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- Welche Basis haben beide Faktoren gemeinsam? - Was geschieht mit den Exponenten, wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden?

1. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert: \(a^4\cdot a^3=a^{4+3}=a^7\).

\(a^7\)

- Welche Basis steht im Zähler und im Nenner? - Wie werden die Exponenten bei einem Quotienten gleicher Basen miteinander verrechnet?

1. Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert: \(\frac{b^9}{b^5}=b^{9-5}=b^4\).

\(b^4\)

- Hier wird nicht mit einer zweiten Potenz gleicher Basis multipliziert, sondern eine Potenz nochmals potenziert. - Welches Rechenzeichen verbindet in diesem Fall die beiden Exponenten?

1. Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert: \((x^3)^4=x^{3\cdot4}=x^{12}\).

\(x^{12}\)

- Welche einzelnen Faktoren stehen in der Klammer? - Auf welche Faktoren wirkt der Exponent \(2\)?

1. Beim Potenzieren eines Produkts wird jeder Faktor potenziert: \((2ab)^2=2^2a^2b^2=4a^2b^2\).

\(4a^2b^2\)

- Auf welche beiden Teile des Bruchs wirkt der äußere Exponent? - Denke daran, auch den Zahlenfaktor im Zähler zu quadrieren.

1. Beim Potenzieren eines Quotienten werden Zähler und Nenner potenziert: \(\left(\frac{3m}{2}\right)^2=\frac{(3m)^2}{2^2}=\frac{9m^2}{4}\).

\(\frac{9m^2}{4}\)

- Was passiert, wenn du die Multiplikation innerhalb der Klammer zuerst ausführst? - Gibt es eine Regel, wie man eine Potenz, die selbst wieder potenziert wird, vereinfachen kann? - Wie kann man eine Potenz eines Produkts auf die einzelnen Faktoren verteilen?

1. Berechnung von a) über die Basis: Zuerst das Produkt in der Klammer berechnen (\(4 \cdot 5 = 20\)), anschließend die Potenz bilden (\(20^3 = 8000\)). 2. Berechnung von a) über Potenzgesetze: Anwendung von \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) ergibt \(4^3 \cdot 5^3 = 64 \cdot 125 = 8000\). 3. Berechnung von b) über die innere Potenz: Zuerst den Wert in der Klammer berechnen (\(2^3 = 8\)), danach quadrieren (\(8^2 = 64\)). 4. Berechnung von b) über Potenzgesetze: Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\).

a) \(8000\) b) \(64\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst. - Welche Regel gilt für das Potenzieren von Potenzen bezüglich der Exponenten? - Spielt die Reihenfolge der Exponenten beim Gesetz \((a^m)^n\) eine Rolle für das Endergebnis?

1. Berechnung von \(A\): Innere Potenz \((-2)^2 = 4\), dann \(4^3 = 64\). 2. Berechnung von \(B\): Innere Potenz \((-2)^3 = -8\), dann \((-8)^2 = 64\). 3. Anwendung der Potenzgesetze: Das Gesetz \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) auf beide Terme anwenden. 4. Umformung von \(A\): \(A = (-2)^{2 \cdot 3} = (-2)^6\). 5. Umformung von \(B\): \(B = (-2)^{3 \cdot 2} = (-2)^6\). 6. Vergleich: Da beide Terme den identischen Ausdruck \((-2)^6\) ergeben, müssen ihre Werte gleich sein.

a) \(A = 64\); \(B = 64\) b) \(A = (-2)^{2 \cdot 3} = (-2)^6\) und \(B = (-2)^{3 \cdot 2} = (-2)^6\). Da beide Ausdrücke zu \((-2)^6\) vereinfacht werden können, sind sie gleich.

- Was geschieht mit den Exponenten, wenn eine Potenz selbst nochmals potenziert wird? - Wie verändert sich ein negatives Vorzeichen, wenn der äußere Exponent eine gerade Zahl ist? - Erinnere dich daran, dass bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten subtrahiert werden. - Achte darauf, den äußeren Exponenten auf jeden einzelnen Faktor innerhalb der Klammer anzuwenden.

1. Anwendung der Potenz eines Produkts: Jeder Faktor in der Klammer wird mit dem Exponenten \(4\) potenziert. Es ergibt sich \((-3)^{4} \cdot (a^{2})^{4} \cdot (b^{k})^{4}\). Mit \((-3)^{4} = 81\), \((a^{2})^{4} = a^{8}\) und \((b^{k})^{4} = b^{4k}\) folgt \(81 a^{8} b^{4k}\). 2. Zähler und Nenner werden mit \(3\) potenziert: \(\frac{2^3 \cdot (x^n)^3}{(y^3)^3} = \frac{8x^{3n}}{y^9}\). 3. Zuerst wird der Zähler potenziert: \((m^{4}q^{2})^{p} = m^{4p}q^{2p}\). Anschließend werden bei der Division die Exponenten der Basis \(m\) subtrahiert: \(m^{4p-3p}q^{2p} = m^p q^{2p}\).

1. \(81 a^{8} b^{4k}\) 2. \(\frac{8 x^{3n}}{y^{9}}\) 3. \(m^{p} q^{2p}\)

- Wie gehst du vor, wenn ein Produkt in einer Klammer potenziert wird? - Erinnere dich an die Regel für das Potenzieren einer Potenz. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit derselben Basis dividierst? - Überlege, welcher Wert herauskommt, wenn eine Basis mit dem Exponenten Null potenziert wird.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte im Zähler: \( (2a^n \cdot b^{2m})^5 = 2^5 \cdot (a^n)^5 \cdot (b^{2m})^5 \) 2. Potenzieren von Potenzen im Zähler: \( 32 \cdot a^{5n} \cdot b^{10m} \) 3. Potenzieren von Potenzen im Nenner: \( (b^m)^{10} = b^{10m} \) 4. Zusammenfassen des gesamten Bruchs: \( \frac{32a^{5n}b^{10m}}{8a^{3n}b^{10m}} \) 5. Division der Koeffizienten: \( \frac{32}{8} = 4 \) 6. Division der Potenzen mit gleicher Basis durch Subtraktion der Exponenten: \( a^{5n-3n} = a^{2n} \) und \( b^{10m-10m} = b^0 = 1 \) 7. Endergebnis: \( 4a^{2n} \)

\( 4a^{2n} \)

- Welches Rechenzeichen steht zwischen \(p^2\) und \(p^3\)? - Für welche Rechenart kennst du ein Potenzgesetz, bei dem Exponenten addiert werden? - Ein kleiner positiver Wert für \(p\) genügt als Gegenprobe.

1. Das Gesetz \(p^m\cdot p^n=p^{m+n}\) gilt für eine Multiplikation gleicher Basen, nicht für eine Addition. 2. Zum Beispiel ist für \(p=2\) die linke Seite \(2^2+2^3=4+8=12\), während \(2^5=32\) ist. Die Umformung ist daher falsch.

Die Umformung ist falsch. Die Exponentenregel gilt bei der Multiplikation, nicht bei der Addition. Zum Beispiel gilt für \(p=2\): \(12\ne32\).

- Wie verändert sich der Exponent, wenn eine Potenz nochmals hoch \(3\) genommen wird? - Welche Gleichung für die Exponenten entsteht, wenn beide Seiten dieselbe Basis haben?

1. Mit dem Gesetz für Potenzen von Potenzen ist \((q^n)^3=q^{3n}\). 2. Wegen gleicher Basis und \(q\ne1\) müssen die Exponenten übereinstimmen: \(3n=15\). Daher ist \(n=5\).

\(n=5\)

- Vereinfache jeden Term einzeln, bis er in der Form \(a \cdot x^n\) vorliegt. - Unterscheide genau zwischen der Addition von Termen und der Multiplikation von Potenzen. - Beachte, dass eine Potenz außerhalb der Klammer für jeden Faktor in der Klammer gilt.

1. Überprüfung von A: \((2x^2)^4 = 2^4 \cdot (x^2)^4 = 16x^8\). (Äquivalent) 2. Überprüfung von B: \(8x^4 + 8x^4 = 16x^4\). (Nicht äquivalent, da Exponenten bei der Addition gleich bleiben) 3. Überprüfung von C: \(32x^9 {:} (2x) = (32 {:} 2) \cdot x^{9-1} = 16x^8\). (Äquivalent) 4. Überprüfung von D: \((4x^4)^2 = 4^2 \cdot (x^4)^2 = 16x^8\). (Äquivalent) 5. Überprüfung von E: \(2 \cdot (2x^2)^3 = 2 \cdot 8x^6 = 16x^6\). (Nicht äquivalent)

Die Terme A, C und D sind äquivalent zu \(16x^8\).

- Welches Gesetz hilft dir, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird? - Wie gehst du vor, wenn Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden? - Achte beim Ausmultiplizieren der hinteren Klammer genau auf die Vorzeichen, insbesondere beim Multiplizieren von \(-3x\) mit \(-2\).

1. Vereinfachen des Bruchs: Zuerst wird die Potenz in der Klammer berechnet: \((2x^3)^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^6\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Division: \(\frac{4x^6}{x^4} = 4x^{6-4} = 4x^2\). 3. Ausmultiplizieren des zweiten Termteils: \(-3x \cdot (x - 2) = -3x^2 + 6x\). 4. Zusammenführen und Vereinfachen der Teilergebnisse: \(4x^2 - 3x^2 + 6x = x^2 + 6x\).

\(x^2 + 6x\)

- Vereinfache Zähler und Nenner zunächst getrennt mit den Potenzgesetzen. - Welcher Exponent sorgt bei jeder von Null verschiedenen Basis für den Wert \(1\)? - Setze die konkreten Werte erst nach der allgemeinen Vereinfachung ein.

1. Der Zähler ist \((y^n)^2=y^{2n}\). Der Nenner ist \(y^4\cdot y^2=y^6\). Somit gilt \(T=\frac{y^{2n}}{y^6}=y^{2n-6}\). 2. Damit \(y^{2n-6}=1\) für jedes \(y\ne0\) gilt, muss der Exponent \(0\) sein. Also \(2n-6=0\) und damit \(n=3\). 3. Für \(n=4\) ist \(T=y^{8-6}=y^2\). Mit \(y=3\) ergibt sich \(T=9\).

a) \(T=y^{2n-6}\) b) \(n=3\) c) \(T=9\)

- Kannst du die Klammern im Zähler und Nenner zuerst einzeln auflösen? - Welche Regel gilt, wenn du ein Produkt wie \( (ab)^n \) potenzierst? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst? - Überlege dir, wie du die Zahlenkoeffizienten und die Variablen getrennt voneinander behandeln kannst.

1. Auflösen der Klammern im Zähler unter Anwendung der Potenzgesetze für Produkte und Potenzen: \( (4x^3 y)^2 = 16x^6 y^2 \) und \( (3z^2)^3 = 27z^6 \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Multiplikation der Koeffizienten und Variablen: \( 16 \cdot 27 \cdot x^6 \cdot y^2 \cdot z^6 = 432x^6 y^2 z^6 \). 3. Auflösen der Klammer im Nenner: \( (yz)^2 = y^2 z^2 \). Der gesamte Nenner lautet somit \( 12x^4 y^2 z^2 \). 4. Division des Zählers durch den Nenner: Kürzen der Koeffizienten \( \frac{432}{12} = 36 \) und Subtraktion der Exponenten bei gleicher Basis: \( x^{6-4} = x^2 \), \( y^{2-2} = y^0 = 1 \), \( z^{6-2} = z^4 \). 5. Zusammenführen zum Endergebnis: \( 36x^2 z^4 \).

\( 36x^2 z^4 \)

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Basis mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert wird. - Potenziere zuerst die Ausdrücke in den inneren Klammern. - Verwende die Regel \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). - Überprüfe am Ende, ob alle Summanden die gleiche Potenz von \( x \) enthalten, damit du sie addieren oder subtrahieren kannst.

1. Berechnung des ersten Glieds: \( [(-2x)^2]^3 = [4x^2]^3 = 64x^6 \) 2. Berechnung des zweiten Glieds: \( (-4x^3)^2 = 16x^6 \) 3. Berechnung des dritten Glieds: \( [-(2x)^3]^2 = [-8x^3]^2 = 64x^6 \) 4. Berechnung des vierten Glieds: \( 2(-2x^2)^3 = 2(-8x^6) = -16x^6 \) 5. Zusammenfassen aller Glieder: \( 64x^6 - 16x^6 + 64x^6 - (-16x^6) = 48x^6 + 64x^6 + 16x^6 = 128x^6 \)

\( 128x^6 \)

- Vereinfache zuerst den Zähler und den Nenner getrennt voneinander, bevor du den Bruch kürzt. - Erinnere dich an die Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). - Beim Einsetzen einer negativen Zahl für \( a \) solltest du Klammern setzen, um Rechenfehler beim Quadrieren zu vermeiden.

1. Vereinfachung des Zählers: Innerhalb der eckigen Klammer ergibt sich \( (-a)^2 = a^2 \) und \( (-2a)^2 = 4a^2 \). Das Produkt ist \( a^2 \cdot 4a^2 = 4a^4 \). Das Quadrat davon ist \( (4a^4)^2 = 16a^8 \). 2. Vereinfachung des Nenners: \( (-2a^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 = -8a^6 \). 3. Division von Zähler durch Nenner: \( \frac{16a^8}{-8a^6} = -2a^{8-6} = -2a^2 \). 4. Einsetzen von \( a = -2 \) in den vereinfachten Term: \( -2 \cdot (-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8 \).

a) \( -2a^2 \) b) \( -8 \)

- Betrachte in 1) Zahlfaktor und Variablenpotenzen getrennt und suche jeweils eine passende dritte Potenz. - Welche Potenzgesetze helfen dir in 2), Zähler und Nenner mit derselben Basis vergleichbar zu machen? - Prüfe in 3) zunächst einige positive gerade und ungerade Werte von \(k\) und achte auf das Vorzeichen.

1. Für \(T^3=-8x^6y^{3n}\) werden die Faktoren als dritte Potenzen erkannt: \(-8=(-2)^3\), \(x^6=(x^2)^3\) und \(y^{3n}=(y^n)^3\). Daher ist \(T=-2x^2y^n\). 2. Es gilt \(\frac{(a^n\cdot b)^m}{a^{nm}}=\frac{a^{nm}b^m}{a^{nm}}=b^m\). Wegen \(a\ne0\) ist das Kürzen zulässig. Die Gleichung ist allgemein gültig. 3. \((-x^2)^k=(-1)^k(x^2)^k=(-1)^kx^{2k}\). Gleichheit mit \(x^{2k}\) besteht genau dann, wenn \((-1)^k=1\), also wenn \(k\) gerade ist.

1. \(T=-2x^2y^n\) 2. Die Gleichung ist allgemein gültig. 3. Die Gleichung gilt genau für gerade \(k\).

- Bearbeite zuerst die eckigen Klammern, indem du die äußeren Exponenten auf jeden Faktor im Inneren anwendest. - Achte darauf, dass Ausdrücke wie \( (x+y) \) als eine einzige Basis behandelt werden können. - Kannst du den ersten Bruch vereinfachen, bevor du ihn mit dem zweiten Teil des Terms multiplizierst? - Was ergibt das Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis, wenn sich deren Exponenten zu Null addieren?

1. Potenzieren der Produkte im ersten Bruch (Zähler): \( 5^3 \cdot ((x+y)^{2k})^3 \cdot (z^n)^3 = 125 \cdot (x+y)^{6k} \cdot z^{3n} \) 2. Potenzieren der Produkte im ersten Bruch (Nenner): \( 25^2 \cdot ((x+y)^{3k})^2 \cdot (z^{2n})^2 = 625 \cdot (x+y)^{6k} \cdot z^{4n} \) 3. Kürzen des ersten Bruchs: \( \frac{125}{625} \cdot \frac{(x+y)^{6k}}{(x+y)^{6k}} \cdot \frac{z^{3n}}{z^{4n}} = \frac{1}{5} \cdot 1 \cdot z^{3n-4n} = \frac{1}{5} z^{-n} \) 4. Multiplikation mit dem zweiten Term: \( \frac{1}{5} z^{-n} \cdot \frac{125 z^n}{(x+y)^k} \) 5. Verrechnung der Koeffizienten: \( \frac{1}{5} \cdot 125 = 25 \) 6. Verrechnung der Potenzen von \( z \): \( z^{-n} \cdot z^n = z^0 = 1 \) 7. Verbleibender Ausdruck: \( \frac{25}{(x+y)^k} \) oder \( 25(x+y)^{-k} \)

\( \frac{25}{(x+y)^k} \)