- Der Sinus eines Winkels ist immer das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. - Finde zuerst den rechten Winkel, um die Hypotenuse sicher zu bestimmen.

1. Die Hypotenuse ist die Seite \(z\). 2. Für \(\alpha\): Die Gegenkathete ist \(y\). Also \(\sin \alpha = \frac{y}{z}\). 3. Für \(\gamma\): Die Gegenkathete ist \(x\). Also \(\sin \gamma = \frac{x}{z}\).

\(\sin \alpha = \frac{y}{z}\) \(\sin \gamma = \frac{x}{z}\)

- Der Kosinus ist definiert als Ankathete durch Hypotenuse. - Überprüfe genau, welche Seite am Winkel anliegt (Ankathete) und welche gegenüber vom rechten Winkel liegt (Hypotenuse).

1. Die Hypotenuse ist die Seite \(p\), da sie dem rechten Winkel gegenüberliegt. 2. Für \(\delta\): Die Ankathete ist \(r\). Somit ist \(\cos \delta = \frac{r}{p}\). 3. Für \(\epsilon\): Die Ankathete ist \(q\). Somit ist \(\cos \epsilon = \frac{q}{p}\).

\(\cos \delta = \frac{r}{p}\) \(\cos \epsilon = \frac{q}{p}\)

- Der Tangens nutzt nur die Katheten, nicht die Hypotenuse. - Welche Seite liegt dem Winkel \(\mu\) gegenüber? Das ist der Zähler für \(\tan \mu\).

1. Im rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. 2. Für \(\mu\): Die Gegenkathete ist \(h\), die Ankathete ist \(g\). Also \(\tan \mu = \frac{h}{g}\). 3. Für \(\nu\): Die Gegenkathete ist \(g\), die Ankathete ist \(h\). Also \(\tan \nu = \frac{g}{h}\).

\(\tan \mu = \frac{h}{g}\) \(\tan \nu = \frac{g}{h}\)

- Finde zuerst die Hypotenuse. - Überlege dann, für welchen der beiden Winkel (\(\sigma\) oder \(\tau\)) die Seite \(e\) die Ankathete ist.

1. Identifikation der Hypotenuse: Die Seite gegenüber dem rechten Winkel bei \(A\) ist \(f\). 2. In der Gleichung steht \(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\). 3. Die Seite \(e\) ist die Ankathete des Winkels \(\tau\). 4. Somit gilt \(\cos \tau = \frac{e}{f}\).

\(\tau\)

- Welche Seite ist die Hypotenuse? - Welcher der beiden spitzen Winkel liegt der Seite \(k\) gegenüber?

1. Die Hypotenuse ist \(m\), weil sie dem rechten Winkel bei \(K\) gegenüberliegt. 2. Beim Sinus steht im Zähler die Gegenkathete des betrachteten Winkels. 3. Die Seite \(k\) liegt dem Winkel \(\zeta\) gegenüber. 4. Daher gilt \(\sin\zeta=\frac{k}{m}\).

\(\zeta\)

- Welche Vorzeichen haben x- und y-Koordinaten im zweiten Quadranten? - Welche Koordinate entspricht im Einheitskreis dem Kosinus, welche dem Sinus?

1. Im zweiten Quadranten ist die x-Koordinate eines Punktes negativ und die y-Koordinate positiv. 2. Im Einheitskreis gilt \(\cos(\alpha)=x_P\) und \(\sin(\alpha)=y_P\). 3. Daher ist \(\cos(\alpha)<0\) und \(\sin(\alpha)>0\).

\(\sin(\alpha)>0\) und \(\cos(\alpha)<0\)

- Welche besondere Länge hat jeder Radius des Einheitskreises? - Welche der Strecken \(OH\) und \(HP\) ist Ankathete beziehungsweise Gegenkathete zu \(\alpha\)? - Was bewirkt der Nenner \(1\) in den beiden Seitenverhältnissen?

1. Im Einheitskreis hat die Hypotenuse \(OP\) die Länge \(1\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(OHP\) ist \(OH=x\) die Ankathete und \(HP=y\) die Gegenkathete zu \(\alpha\). 3. Daher gilt \(\cos(\alpha)=\frac{x}{1}=x\) und \(\sin(\alpha)=\frac{y}{1}=y\).

Weil \(OP=1\), gilt im Dreieck \(OHP\): \(\cos(\alpha)=\frac{x}{1}=x\) und \(\sin(\alpha)=\frac{y}{1}=y\).

- Welche Identität verbindet \(\sin^2\alpha\) und \(\cos^2\alpha\)? - Wie kannst du \(\tan\alpha\) durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Welche Faktoren lassen sich danach kürzen?

1. Für a) gilt wegen \(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\): \(\frac{\cos^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1\). 2. Für b) ersetze \(\tan\alpha\) durch \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Dann wird der erste Summand zu \(\sin^2\alpha\). 3. Damit ist der ganze Term \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

a) \(1\) b) \(1\)

- Wie kannst du \(\tan\alpha\) durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Welche binomische Formel passt in b)? - Welche trigonometrische Identität erkennst du nach dem Vereinfachen?

1. Für a) ersetze \(\tan\alpha\) durch \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Dann ist der Term \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac1{\sin\alpha}=\frac1{\cos\alpha}\). 2. Für b) ergibt die binomische Formel \(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha\). 3. Nach dem Subtrahieren von \(2\sin\alpha\cos\alpha\) bleibt \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

a) \(\frac{1}{\cos\alpha}\) b) \(1\)

- Schreibe den Tangens in a) als Quotienten von Sinus und Kosinus. - Welche binomische Formel passt in b)? - Wie hängt \(1-\cos^2\alpha\) mit dem trigonometrischen Pythagoras zusammen?

1. Für a) ist \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Daher wird der Term zu \(\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cos^2\alpha\). 2. Für b) liefert die dritte binomische Formel \(1-\cos^2\alpha\). 3. Wegen \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\) ist das Ergebnis \(\sin^2\alpha\).

a) \(\cos^2\alpha\) b) \(\sin^2\alpha\)

- Welche Identität hilft beim Zähler in a)? - Wie kannst du den Tangens in b) umschreiben? - Achte darauf, nur gemeinsame Faktoren zu kürzen.

1. Für a) gilt \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\). Daher ist \(\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha\). 2. Für b) ersetze \(\tan\alpha\) durch \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Dann ist \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1\).

a) \(\sin\alpha\) b) \(1\)

- Schreibe in a) den Tangens als Quotienten. - Was entsteht in b), wenn du die Klammer ausmultiplizierst? - Welche Identität erscheint nach dem Ersetzen von \(\tan^2\alpha\)?

1. Für a) ist \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Somit gilt \(\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\cos\alpha\). 2. Für b) wird nach dem Ausmultiplizieren \(\cos^2\alpha+\cos^2\alpha\tan^2\alpha\) erhalten. 3. Mit \(\tan^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\) folgt \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\).

a) \(\cos\alpha\) b) \(1\)

- Welche Seite liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber und welche liegt an? - Kannst du eine der Katheten durch die andere ausdrücken, um das Verhältnis zu vereinfachen? - Wie ist der Tangens als Verhältnis von Katheten definiert?

1. Definition des Tangens im rechtwinkligen Dreieck: \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}\) und \(\tan \beta = \frac{b}{a}\). 2. Einsetzen der gegebenen Beziehung \(b = 2a\). 3. Berechnung von \(\tan \alpha = \frac{a}{2a} = 0{,}5\). 4. Berechnung von \(\tan \beta = \frac{2a}{a} = 2\).

\(\tan \alpha = 0{,}5\) und \(\tan \beta = 2\)

- Wie groß ist die Winkelsumme in einem Dreieck? - Welche Seiten des Dreiecks werden für den Sinus eines Winkels und welche für den Kosinus des anderen Winkels verwendet? - Gibt es eine Formel, die Sinus, Kosinus und Tangens desselben Winkels verbindet?

1. In einem rechtwinkligen Dreieck mit \(\alpha = 25^\circ\) ist der zweite spitze Winkel \(\beta = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ\). Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist gleichzeitig die Ankathete von \(\beta\). Da \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) und \(\cos(\beta) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\) definiert sind, folgt \(\sin(25^\circ) = \cos(65^\circ)\). 2. Verwendung der Beziehung \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\tan(25^\circ) \approx \frac{0{,}4226}{0{,}9063} \approx 0{,}4663\).

1. Da die Gegenkathete von \(25^\circ\) die Ankathete von \(65^\circ\) im selben rechtwinkligen Dreieck ist, sind die Verhältnisse zur Hypotenuse gleich. 2. \(\tan(25^\circ) \approx 0{,}4663\)

- Was weißt du über die Summe der Winkel in einem Dreieck? - Wann nennt man zwei geometrische Figuren „ähnlich“? - Was passiert mit einem Bruch, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl multipliziert?

1. Da beide Dreiecke rechtwinklig sind (\(90^\circ\)) und einen weiteren Winkel von \(30^\circ\) besitzen, muss der dritte Winkel aufgrund der Innenwinkelsumme in beiden Fällen \(180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) betragen. 2. Nach dem Ähnlichkeitssatz (WW) sind Dreiecke mit übereinstimmenden Winkeln ähnlich zueinander. 3. Halbiert man ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge \(c\), entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit einem \(30^\circ\)-Winkel. Die diesem Winkel gegenüberliegende Kathete ist die halbe ursprüngliche Seite, also \(\frac{c}{2}\), während die Hypotenuse die Länge \(c\) hat. Daher gilt \(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{c/2}{c} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse entsprechender Seiten konstant. Eine Verdoppelung der Seitenlängen (Streckung mit Faktor \(k=2\)) ändert das Verhältnis nicht, da sich der Faktor im Bruch \(\frac{2 \cdot a}{2 \cdot c}\) kürzt.

a) Die Dreiecke sind ähnlich, da sie in allen drei Winkeln (\(90^\circ\), \(30^\circ\), \(60^\circ\)) übereinstimmen (WW-Satz). b) Das Verhältnis beträgt \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). c) Bei ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse fest; eine Skalierung ändert den Wert des Quotienten nicht.

- Welche Seiten des Dreiecks werden durch den Sinus eines Winkels zueinander in Beziehung gesetzt? - Wie kannst du die Formel für den Sinus umstellen, um die gesuchte Seite zu isolieren? - Was sagt ein Dezimalbruch wie \(0{,}6\) über den Anteil einer Größe an einer anderen aus?

1. Berechnung der Gegenkathete \(a\): Aus der Definition \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) folgt \(a = c \cdot \sin(\alpha)\). Einsetzen der Werte ergibt \(a = 15\,\text{cm} \cdot 0{,}6 = 9\,\text{cm}\). 2. Bedeutung des Wertes: Der Sinuswert \(0{,}6\) gibt das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse an. Das bedeutet, die Gegenkathete macht genau \(60\,\%\) der Länge der Hypotenuse aus bzw. das Verhältnis steht fest als \(3:5\).

1. Die Gegenkathete ist \(9\,\text{cm}\) lang. 2. Der Wert \(0{,}6\) bedeutet, dass die Gegenkathete \(\frac{6}{10}\) (oder \(\frac{3}{5}\)) so lang ist wie die Hypotenuse.

- Beschrifte ein rechtwinkliges Dreieck und überlege, welche Rolle eine Kathete für den einen und welche für den anderen Winkel spielt. - Wie viel Grad bleiben für die beiden spitzen Winkel übrig, wenn ein Winkel bereits feststeht? - Kannst du eine allgemeine Regel formulieren, wie Sinus und Kosinus zusammenhängen, wenn man die Winkel „vertauscht“?

1. Begründung über Verhältnisse: In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse \(c\) und Katheten \(a\) (gegenüber \(\alpha\)) und \(b\) (gegenüber \(\beta\)) gilt: \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\). Die Seite \(a\) ist gleichzeitig die Ankathete von \(\beta\). Nach Definition des Kosinus gilt \(\cos(\beta) = \frac{\text{Ankathete von } \beta}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}\). Somit ist \(\sin(\alpha) = \cos(\beta)\). 2. Zusammenhang der Winkel: Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Da ein Winkel \(90^\circ\) groß ist, gilt \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Daraus folgt \(\beta = 90^\circ - \alpha\). 3. Überprüfung für \(30^\circ\): Es ist \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\). Der komplementäre Winkel ist \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Es gilt \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\). Die Werte sind identisch.

1. Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist die Ankathete von \(\beta\), daher sind die Verhältnisse \(\frac{a}{c}\) für \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\beta)\) identisch. 2. Es gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha\). 3. \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\) und \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\); die Gleichung ist erfüllt.

- Wie hängen die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen? - Welche Funktion verbindet die Gegenkathete von \(\alpha\) mit der Hypotenuse? - Welche Funktion verbindet die beiden Katheten direkt?

1. Es gilt \(\beta=90^\circ-35^\circ=55^\circ\). 2. Aus \(\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\) folgt \(c=\frac{8{,}4\,\text{cm}}{\sin(35^\circ)}\approx14{,}64\,\text{cm}\). 3. Aus \(\tan(\alpha)=\frac{a}{b}\) folgt \(b=\frac{8{,}4\,\text{cm}}{\tan(35^\circ)}\approx12{,}00\,\text{cm}\).

\(\beta=55^\circ\), \(b\approx12{,}00\,\text{cm}\), \(c\approx14{,}64\,\text{cm}\)

- Welche geometrische Form entsteht, wenn du ein Quadrat entlang der Diagonale teilst? - Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats in Abhängigkeit von der Seitenlänge \(a\)? - Wie groß sind die Innenwinkel in dem Dreieck, das durch die Diagonale entsteht? - Erinnere dich an die Definitionen der Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

1. Berechnung der Diagonalenlänge \(d\) im Quadrat mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). 2. Identifikation der Winkel: Die Diagonale halbiert den \(90^\circ\)-Winkel des Quadrats, sodass ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln \(45^\circ\), \(45^\circ\) und \(90^\circ\) entsteht. 3. Bestimmung von \(\sin(45^\circ)\): Das Verhältnis von Gegenkathete \(a\) zu Hypotenuse \(a\sqrt{2}\) ergibt \(\frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Bestimmung von \(\cos(45^\circ)\): Das Verhältnis von Ankathete \(a\) zu Hypotenuse \(a\sqrt{2}\) ergibt ebenfalls \(\frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 5. Bestimmung von \(\tan(45^\circ)\): Das Verhältnis von Gegenkathete \(a\) zu Ankathete \(a\) ergibt \(\frac{a}{a} = 1\).

\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan(45^\circ) = 1\)

- Welche grundlegende Gleichung verknüpft Sinus und Kosinus am Einheitskreis oder im rechtwinkligen Dreieck? - Wie ist der Tangens über Sinus und Kosinus definiert? - Achte darauf, dass bei einem spitzen Winkel die Wurzelwerte positiv bleiben.

1. Verwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): Umstellen nach \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\) (da \(\alpha\) spitz ist, ist der Sinus positiv). 2. Verwendung der Definition \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): Einsetzen des Ausdrucks für \(\sin \alpha\) ergibt \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha}\). 3. Einsetzen von \(\cos \alpha = 0{,}6\): \(\sin \alpha = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). 4. Berechnung von \(\tan \alpha\): \(\tan \alpha = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3} = 1{,}\overline{3}\).

a) \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\) und \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha}\) b) \(\sin \alpha = 0{,}8\) und \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels? - Wie ist der Tangens durch Sinus und Kosinus definiert? - Denk an den Satz des Pythagoras im Einheitskreis.

1. Berechnung von \(\cos\alpha\) über den trigonometrischen Pythagoras: \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\). Da \(\alpha\) spitz ist, folgt \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\). 2. Berechnung von \(\tan\alpha\) über das Verhältnis: \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}\). 3. Überprüfung der Identität: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1\). Die Gleichung ist erfüllt.

\(\cos\alpha = \frac{3}{5}\) \(\tan\alpha = \frac{4}{3}\) Die Identität \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) ist erfüllt, da \(\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1\).

- Erkennst du im Zähler des ersten Teils einen Teil des trigonometrischen Pythagoras wieder? - Kannst du den Term im zweiten Teil erst schrittweise vereinfachen, bevor du alles zusammenrechnest?

1. In Teil a) wird der Zähler mithilfe von \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) zu \(\cos^2 \alpha\) vereinfacht. Der Bruch \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}\) ergibt nach Kürzen \(\cos \alpha\). 2. In Teil b) wird \(\frac{\sin \alpha}{\tan \alpha}\) zu \(\cos \alpha\) vereinfacht, da \(\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha\). Der Gesamtausdruck lautet dann \(\cos \alpha \cdot \cos \alpha + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha\), also \(1\).

a) \(\cos \alpha\) b) \(1\)

- Welche Winkelfunktion verbindet Gegenkathete und Hypotenuse? - Bestimme die Gegenkathete für beide Winkel zunächst exakt. - Vergleiche den zweiten Wert mit dem Doppelten des ersten Werts.

1. Für \(\alpha=30^\circ\) gilt \(a_1=10\,\text{cm}\cdot\sin(30^\circ)=5\,\text{cm}\). 2. Nach der Winkelverdopplung ist \(2\alpha=60^\circ\). Dann gilt \(a_2=10\,\text{cm}\cdot\sin(60^\circ)=5\sqrt3\,\text{cm}\approx8{,}66\,\text{cm}\). 3. Das Doppelte von \(a_1\) wäre \(10\,\text{cm}\). Da \(5\sqrt3\,\text{cm}\neq10\,\text{cm}\), ist die Behauptung falsch. 4. Die Gegenkathete ist bei fester Hypotenuse proportional zu \(\sin\alpha\), nicht zu \(\alpha\) selbst.

Die Behauptung ist falsch. Es gilt \(a_1=5\,\text{cm}\) und nach der Verdopplung des Winkels \(a_2=5\sqrt3\,\text{cm}\approx8{,}66\,\text{cm}\), nicht \(10\,\text{cm}\).

- Wie dividiert man einen Wert durch einen Bruch? - Überprüfe den Übergang von Zeile 1 zu Zeile 2 genau auf die Regeln der Bruchrechnung. - Welche Faktoren lassen sich im korrekten Kehrwert-Ausdruck kürzen?

1. Der erste Schritt ist korrekt: Ersetzung von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Der zweite Schritt ist fehlerhaft: Die Division durch einen Bruch erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert. Leon hat fälschlicherweise \(\cos \alpha\) gekürzt, obwohl im Nenner durch \(\cos \alpha\) dividiert wird. 3. Korrekte Rechnung: \(\frac{\cos \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} \cdot \sin \alpha = \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha\). 4. Kürzen von \(\sin \alpha\) ergibt: \(\cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos^2 \alpha\).

Leons Rechnung ist falsch. Der Fehler liegt in Schritt 2 bei der Division durch den Bruch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Richtig gerechnet ergibt sich: \(T = \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \cos^2 \alpha\).

- Versuche, alle Teile des Terms nur mit Sinus und Kosinus auszudrücken. - Kannst du die Terme auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Erinnere dich an den Zusammenhang \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

1. Ersetzung von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): \(\frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha\) 2. Zusammenfassen des Produkts: \(\frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}\) 3. Subtraktion der Brüche mit gleichem Nenner: \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha}\) 4. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras in der Form \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\) 5. Kürzen des Bruchs \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}\) ergibt \(\cos \alpha\)

\(\cos \alpha\)

- Welche Winkelfunktion entspricht jeweils den beiden Seitenverhältnissen? - Berechne die Verhältnisse für beide Winkel getrennt. - Ein Änderungsfaktor entsteht durch Quotient aus neuem und altem Wert; verwende dafür die ungerundeten Werte.

1. Es gilt \(\frac{a}{c}=\sin(10^\circ)\approx0{,}1736\) und \(\frac{b}{c}=\cos(10^\circ)\approx0{,}9848\). 2. Für \(20^\circ\) gilt \(\frac{a'}{c}=\sin(20^\circ)\approx0{,}3420\) und \(\frac{b'}{c}=\cos(20^\circ)\approx0{,}9397\). 3. Mit ungerundeten Werten ist der Änderungsfaktor für \(\frac{a}{c}\) gleich \(\frac{\sin(20^\circ)}{\sin(10^\circ)}\approx1{,}97\). 4. Für \(\frac{b}{c}\) ist der Faktor \(\frac{\cos(20^\circ)}{\cos(10^\circ)}\approx0{,}95\). Das Verhältnis nimmt also leicht ab.

1. \(\frac{a}{c}\approx0{,}1736\), \(\frac{b}{c}\approx0{,}9848\) 2. Änderungsfaktoren: etwa \(1{,}97\) beziehungsweise \(0{,}95\)

- Nutze die Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus bei Komplementärwinkeln. - Schreibe den Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus um.

1. Vereinfachung: Da \(\cos(90^\circ - \delta) = \sin \delta\), gilt \(\frac{\sin \delta}{\cos(90^\circ - \delta)} = \frac{\sin \delta}{\sin \delta} = 1\). 2. Beweis der Identität: Es ist \(\tan \delta = \frac{\sin \delta}{\cos \delta}\). Für den Komplementärwinkel gilt \(\tan(90^\circ - \delta) = \frac{\sin(90^\circ - \delta)}{\cos(90^\circ - \delta)} = \frac{\cos \delta}{\sin \delta}\). Das Produkt ist \(\frac{\sin \delta}{\cos \delta} \cdot \frac{\cos \delta}{\sin \delta} = 1\).

a) \(1\) b) \(\tan \delta \cdot \tan(90^\circ - \delta) = 1\), da die beiden Tangenswerte Kehrwerte voneinander sind.

- Gibt es in dem Term einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Erinnerst du dich an die grundlegende Beziehung zwischen Sinus und Kosinus am Einheitskreis? - Kannst du einen Teil des Terms durch eine Konstante ersetzen?

1. Ausklammern von \(\sin^2 \beta\) aus den letzten beiden Summanden: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta)\) 2. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\): \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot 1\) 3. Erneute Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\)

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- Welche Form hat das Dreieck, das durch die Diagonale im Quadrat entsteht? - Welche Winkel treten in diesem speziellen Dreieck auf? - Wie hängen die Katheten in diesem speziellen Dreieck zusammen?

1. Weg (Pythagoras): Im Quadrat gilt \(s^2 + s^2 = d^2\). Einsetzen: \(2s^2 = 12^2 = 144\). Daraus folgt \(s^2 = 72\) und \(s = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\). 2. Weg (Trigonometrie): In einem halben Quadrat (rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck) beträgt der Winkel \(\alpha = 45^\circ\). Es gilt \(\sin(45^\circ) = \frac{s}{d}\). 3. Umstellen nach \(s\): \(s = d \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\). 4. Numerische Berechnung: \(s \approx 8{,}49\,\text{cm}\).

Die exakte Seitenlänge beträgt \(s = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\). Gerundet ergibt dies \(s \approx 8{,}49\,\text{cm}\).

- Bestimme für jeden Winkel Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse neu; die Rollen von \(u\) und \(v\) wechseln. - Vergleiche anschließend die erhaltenen Brüche für Sinus und Kosinus. - Welche Winkelsumme bleibt für die beiden spitzen Winkel übrig?

1. Der rechte Winkel liegt bei \(C\); daher ist \(w\) die Hypotenuse. 2. Für \(\epsilon\) bei \(B\) ist \(v\) die Gegenkathete und \(u\) die Ankathete. Daher gilt \(\sin\epsilon=\frac{v}{w}\) und \(\cos\epsilon=\frac{u}{w}\). 3. Für \(\phi\) bei \(A\) ist \(u\) die Gegenkathete und \(v\) die Ankathete. Daher gilt \(\tan\phi=\frac{u}{v}\) und \(\sin\phi=\frac{u}{w}\). 4. Außerdem ist \(\cos\phi=\frac{v}{w}\). Somit haben \(\sin\epsilon\) und \(\cos\phi\) dasselbe Seitenverhältnis; entsprechend gilt \(\cos\epsilon=\sin\phi\). 5. Die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ergänzen sich zu \(90^\circ\).

a) \(\sin\epsilon=\frac{v}{w}\) b) \(\cos\epsilon=\frac{u}{w}\) c) \(\tan\phi=\frac{u}{v}\) d) \(\sin\phi=\frac{u}{w}\) e) \(\sin\epsilon=\cos\phi\) und \(\cos\epsilon=\sin\phi\), weil jeweils dasselbe Seitenverhältnis beschrieben wird. f) \(\epsilon+\phi=90^\circ\)

- Überlege dir für jeden Teil, ob das Verhältnis Gegenkathete/Hypotenuse, Ankathete/Hypotenuse oder Gegenkathete/Ankathete darstellt. - Vergleiche das Ergebnis dann mit den Definitionen für die Winkel \(\delta\) und \(\eta\).

1. Der rechte Winkel liegt bei \(A\); daher ist \(f\) die Hypotenuse. 2. Für \(\delta\) bei \(C\) ist \(d\) die Gegenkathete und \(e\) die Ankathete. 3. Für \(\eta\) bei \(B\) ist \(e\) die Gegenkathete. 4. Somit gilt \(\cos \delta = \frac{e}{f}\), \(\sin \eta = \frac{e}{f}\), \(\tan \delta = \frac{d}{e}\) und \(\sin \delta = \frac{d}{f}\).

a) \(\cos \delta = \frac{e}{f}\) b) \(\sin \eta = \frac{e}{f}\) c) \(\tan \delta = \frac{d}{e}\) d) \(\sin \delta = \frac{d}{f}\)

- Welche Seitenlänge fehlt zunächst im rechtwinkligen Dreieck? - Welche Seitenverhältnisse definieren Sinus, Kosinus und Tangens für \(\alpha\)?

1. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(c=\sqrt{6^2+8^2}\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 2. Damit ist \(\sin\alpha=\frac{a}{c}=\frac{6}{10}=0{,}6\). 3. Es ist \(\cos\alpha=\frac{b}{c}=\frac{8}{10}=0{,}8\). 4. Außerdem ist \(\tan\alpha=\frac{a}{b}=\frac68=0{,}75\).

\(c=10\,\text{cm}\), \(\sin\alpha=0{,}6\), \(\cos\alpha=0{,}8\), \(\tan\alpha=0{,}75\)

- Lege zuerst die Hypotenuse fest. - Welche Kathete liegt jeweils dem betrachteten Winkel gegenüber? - Wie ändern sich Gegen- und Ankathete beim Wechsel von \(\alpha\) zu \(\beta\)?

1. Für \(\alpha\) ist \(a\) die Gegenkathete, \(b\) die Ankathete und \(c\) die Hypotenuse. 2. Daher gilt \(\sin\alpha=\frac{12}{37}\approx0{,}324\), \(\cos\alpha=\frac{35}{37}\approx0{,}946\) und \(\tan\alpha=\frac{12}{35}\approx0{,}343\). 3. Für \(\beta\) tauschen Gegen- und Ankathete ihre Rollen. 4. Damit ist \(\sin\beta=\frac{35}{37}\approx0{,}946\), \(\cos\beta=\frac{12}{37}\approx0{,}324\) und \(\tan\beta=\frac{35}{12}\approx2{,}917\).

a) \(\sin\alpha=\frac{12}{37}\approx0{,}324\), \(\cos\alpha=\frac{35}{37}\approx0{,}946\), \(\tan\alpha=\frac{12}{35}\approx0{,}343\) b) \(\sin\beta=\frac{35}{37}\approx0{,}946\), \(\cos\beta=\frac{12}{37}\approx0{,}324\), \(\tan\beta=\frac{35}{12}\approx2{,}917\)

- Welche Seite ist die Hypotenuse? - Welche der beiden gesuchten Katheten liegt dem Winkel \(32^\circ\) gegenüber? - Welche Winkelfunktionen verbinden Gegen- beziehungsweise Ankathete mit der Hypotenuse?

1. Die Hypotenuse ist \(14\,\text{cm}\) lang; der markierte Winkel beträgt \(32^\circ\). 2. Die Gegenkathete ist \(x=14\,\text{cm}\cdot\sin(32^\circ)\approx7{,}42\,\text{cm}\). 3. Die Ankathete ist \(y=14\,\text{cm}\cdot\cos(32^\circ)\approx11{,}87\,\text{cm}\).

\(x\approx7{,}42\,\text{cm}\), \(y\approx11{,}87\,\text{cm}\)

- Welche Seite ist zum Winkel \(40^\circ\) die gegebene Gegenkathete? - Welche Funktion verbindet Gegenkathete und Hypotenuse? - Welche Funktion verbindet Gegenkathete und Ankathete?

1. Die gegebene Kathete mit \(9\,\text{cm}\) ist die Gegenkathete zum Winkel \(40^\circ\). 2. Für die Hypotenuse gilt \(u=\frac{9\,\text{cm}}{\sin(40^\circ)}\approx14{,}00\,\text{cm}\). 3. Für die Ankathete gilt \(v=\frac{9\,\text{cm}}{\tan(40^\circ)}\approx10{,}73\,\text{cm}\).

\(u\approx14{,}00\,\text{cm}\), \(v\approx10{,}73\,\text{cm}\)

- Welche Seite ist die Hypotenuse? - Welche Kathete liegt dem Winkel \(50^\circ\) gegenüber? - Welche Winkelfunktionen verbinden die beiden Katheten mit der Hypotenuse?

1. Die Hypotenuse ist \(10\,\text{cm}\) lang und der markierte Winkel beträgt \(50^\circ\). 2. Die Ankathete ist \(m=10\,\text{cm}\cdot\cos(50^\circ)\approx6{,}43\,\text{cm}\). 3. Die Gegenkathete ist \(k=10\,\text{cm}\cdot\sin(50^\circ)\approx7{,}66\,\text{cm}\).

\(k\approx7{,}66\,\text{cm}\), \(m\approx6{,}43\,\text{cm}\)

- Welche Rechteckseite ist zu \(\alpha\) Gegenkathete und welche Ankathete? - Wie erhältst du aus einem Tangenswert den Winkel? - Wie hängen die beiden spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck zusammen?

1. Für \(\alpha\) ist die Höhe die Gegenkathete und die Breite die Ankathete. Daher ist \(\tan\alpha=\frac8{15}\approx0{,}533\). 2. Somit ist \(\alpha=\arctan\left(\frac8{15}\right)\approx28{,}1^\circ\). 3. Der zweite spitze Winkel ist \(\beta=90^\circ-\alpha\approx61{,}9^\circ\).

a) \(\tan\alpha=\frac8{15}\approx0{,}533\) b) \(\alpha\approx28{,}1^\circ\), \(\beta\approx61{,}9^\circ\)

- Bestimme zuerst für jede Teilaufgabe, in welchem der beiden rechtwinkligen Dreiecke du dich befindest. - Identifiziere die Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel) in dem jeweiligen Dreieck. - Überlege für den gegebenen Winkel, welche Seite die Gegenkathete und welche die Ankathete ist. - Nutze die Definitionen: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse, Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete.

1. Im Dreieck \(ABC\) mit dem rechten Winkel bei \(B\) ist \(r\) die Hypotenuse. \(\alpha\) liegt am Punkt \(A\). Die Ankathete zu \(\alpha\) ist \(p\), die Gegenkathete ist \(q\). Daraus folgt: \(\cos \alpha = \frac{p}{r}\) und \(\tan \alpha = \frac{q}{p}\). 2. Im Dreieck \(ACD\) mit dem rechten Winkel bei \(C\) ist \(t\) die Hypotenuse und \(r\) eine Kathete. \(\beta\) liegt am Punkt \(A\). Die Gegenkathete zu \(\beta\) ist \(s\), die Ankathete ist \(r\). Daraus folgt: \(\sin \beta = \frac{s}{t}\) und \(\cos \beta = \frac{r}{t}\). Zusammenfassend: a) \(\cos \alpha = \frac{p}{r}\) b) \(\sin \beta = \frac{s}{t}\) c) \(\tan \alpha = \frac{q}{p}\) d) \(\cos \beta = \frac{r}{t}\)

a) \(\cos \alpha = \frac{p}{r}\) b) \(\sin \beta = \frac{s}{t}\) c) \(\tan \alpha = \frac{q}{p}\) d) \(\cos \beta = \frac{r}{t}\)

- Überprüfe für jedes Verhältnis, welche Rolle die Seiten (Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse) für die Winkel \(\delta\) und \(\epsilon\) spielen. - Achte darauf, ob eine Funktion oder ein Winkel gesucht ist.

1. Hypotenuse ist \(h\). 2. \(\frac{g}{h}\) ist das Verhältnis Ankathete von \(\epsilon\) zu Hypotenuse, also \(\cos \epsilon\). 3. \(\frac{g}{h}\) ist auch Gegenkathete von \(\delta\) zu Hypotenuse, also \(\sin \delta\). 4. \(\frac{i}{g}\) ist Gegenkathete von \(\epsilon\) zu Ankathete von \(\epsilon\), also \(\tan \epsilon\). 5. \(\frac{i}{h}\) ist Gegenkathete von \(\epsilon\) zu Hypotenuse, also \(\sin \epsilon\). 6. \(\frac{i}{h}\) ist Ankathete von \(\delta\) zu Hypotenuse, also \(\cos \delta\).

a) \(\cos \epsilon = \frac{g}{h}\) b) \(\sin \delta = \frac{g}{h}\) c) \(\tan \epsilon = \frac{i}{g}\) d) \(\sin \epsilon = \frac{i}{h}\) e) \(\cos \delta = \frac{i}{h}\)

- Welche der gegebenen Seiten ist die Hypotenuse? - Welcher Winkel liegt der bekannten Kathete \(b\) gegenüber? - Wie erhältst du den zweiten spitzen Winkel, nachdem du den ersten bestimmt hast?

1. Gegeben sind die Hypotenuse \(c=11{,}2\,\text{cm}\) und die Kathete \(b=6{,}5\,\text{cm}\). 2. Beim Winkel \(\beta\) ist \(b\) die Gegenkathete. Daher gilt \(\sin\beta=\frac{6{,}5}{11{,}2}\). 3. Somit ist \(\beta=\arcsin\left(\frac{6{,}5}{11{,}2}\right)\approx35{,}5^\circ\). 4. Mit dem ungerundeten Wert von \(\beta\) folgt \(\alpha=90^\circ-\beta\approx54{,}5^\circ\).

\(\alpha\approx54{,}5^\circ\), \(\beta\approx35{,}5^\circ\)

- Überlege zuerst, wie groß die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist. - Welche Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks werden durch Sinus, Kosinus oder Tangens verknüpft? - Identifiziere Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete bezogen auf den gegebenen Winkel.

1. Wegen der Winkelsumme gilt \(\beta=180^\circ-90^\circ-28^\circ=62^\circ\). 2. Für die Gegenkathete \(a\) gilt \(\sin(28^\circ)=\frac{a}{12\,\text{cm}}\). Daher ist \(a=12\,\text{cm}\cdot\sin(28^\circ)\approx5{,}63\,\text{cm}\). 3. Für die Ankathete \(b\) gilt \(\cos(28^\circ)=\frac{b}{12\,\text{cm}}\). Daher ist \(b=12\,\text{cm}\cdot\cos(28^\circ)\approx10{,}60\,\text{cm}\).

\(a\approx5{,}63\,\text{cm}\) \(b\approx10{,}60\,\text{cm}\) \(\beta=62^\circ\)

- Welche der beiden gegebenen Strecken ist die Hypotenuse? - Welche Winkelfunktion verknüpft Ankathete und Hypotenuse?

1. Die Diagonale ist die Hypotenuse des entstehenden rechtwinkligen Dreiecks; die \(9\,\text{cm}\) lange Seite ist die Ankathete zu \(\alpha\). 2. Daher gilt \(\cos\alpha=\frac9{11}\). 3. Somit ist \(\alpha=\arccos\left(\frac9{11}\right)\approx35{,}1^\circ\).

\(\alpha\approx35{,}1^\circ\)

- Welche Seite ist im Teildreieck die Hypotenuse? - Welche Funktion verbindet Hypotenuse und Höhe? - Wie hängen benachbarte Parallelogrammwinkel zusammen?

1. Im rechtwinkligen Teildreieck ist \(b\) die Hypotenuse und \(h\) die Gegenkathete zu \(\alpha\). 2. Daher ist \(h=4\sin50^\circ\,\text{cm}\approx3{,}06\,\text{cm}\). 3. Benachbarte Winkel ergänzen sich zu \(180^\circ\), also \(\beta=130^\circ\).

\(h\approx3{,}06\,\text{cm}\), \(\beta=130^\circ\)

- Welche Wirkung hat die Höhe auf die Grundseite eines gleichschenkligen Dreiecks? - Welche Rolle hat der Schenkel im entstehenden rechtwinkligen Dreieck? - Welche Funktionen liefern Höhe und halbe Grundseite?

1. Die Höhe halbiert die Grundseite und erzeugt zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. 2. Es ist \(h=8\sin70^\circ\,\text{cm}\approx7{,}52\,\text{cm}\). 3. Für die halbe Grundseite gilt \(\frac b2=8\cos70^\circ\,\text{cm}\), also \(b\approx5{,}47\,\text{cm}\).

\(h\approx7{,}52\,\text{cm}\), \(b\approx5{,}47\,\text{cm}\)

- Welche Seite ist die Hypotenuse? - Wie ändern sich Gegen- und Ankathete beim Wechsel von \(\alpha\) zu \(\beta\)? - Welche beiden gesuchten Werte sollten wegen der Komplementärwinkel gleich sein?

1. Für \(\alpha\) ist \(a\) die Gegenkathete und \(b\) die Ankathete; \(c\) ist die Hypotenuse. 2. Daher ist \(\sin\alpha=\frac{2}{5{,}2}\approx0{,}385\). 3. Für \(\beta\) ist \(b\) die Gegenkathete, also \(\sin\beta=\frac{4{,}8}{5{,}2}\approx0{,}923\). 4. Ebenso ist \(\cos\alpha=\frac{4{,}8}{5{,}2}\approx0{,}923\).

\(\sin\alpha\approx0{,}385\), \(\sin\beta\approx0{,}923\), \(\cos\alpha\approx0{,}923\)

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? - Welche Seitenrollen gelten relativ zu \(\sigma\) und zu \(\upsilon\)? - Setze erst nach dieser Zuordnung in die Definitionen ein.

1. Die Hypotenuse ist \(t\). Für \(\sigma\) bei \(S\) ist \(s\) die Gegenkathete und \(u\) die Ankathete; für \(\upsilon\) bei \(U\) ist \(s\) die Ankathete. 2. Daher ist \(\sin\sigma=\frac4{4{,}1}\approx0{,}976\). 3. Ebenso ist \(\cos\upsilon=\frac4{4{,}1}\approx0{,}976\). 4. Außerdem ist \(\tan\sigma=\frac4{0{,}9}\approx4{,}444\).

\(\sin\sigma\approx0{,}976\), \(\cos\upsilon\approx0{,}976\), \(\tan\sigma\approx4{,}444\)

- Überlege zuerst, welche Seite die Hypotenuse ist. Sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. - Bestimme für jeden Winkel, welche Kathete gegenüberliegt (Gegenkathete) und welche am Winkel anliegt (Ankathete). - Erinnere dich an die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

1. Bestimmung der Hypotenuse: Die Seite \(z\) liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist somit die Hypotenuse. 2. Bestimmung der Katheten für \(\alpha\): Die Seite \(x\) ist die Gegenkathete zu \(\alpha\), die Seite \(y\) ist die Ankathete zu \(\alpha\). 3. Aufstellen der Verhältnisse für \(\alpha\): \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{x}{z}\) \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{y}{z}\) \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{x}{y}\) 4. Bestimmung der Katheten für \(\beta\): Die Seite \(y\) ist die Gegenkathete zu \(\beta\), die Seite \(x\) ist die Ankathete zu \(\beta\). 5. Aufstellen der Verhältnisse für \(\beta\): \(\sin(\beta) = \frac{y}{z}\) \(\cos(\beta) = \frac{x}{z}\) \(\tan(\beta) = \frac{y}{x}\)

\(\sin(\alpha) = \frac{x}{z}\), \(\cos(\alpha) = \frac{y}{z}\), \(\tan(\alpha) = \frac{x}{y}\) \(\sin(\beta) = \frac{y}{z}\), \(\cos(\beta) = \frac{x}{z}\), \(\tan(\beta) = \frac{y}{x}\)

- Welche der bekannten beziehungsweise gesuchten Seiten sind Ankathete und Hypotenuse zum gegebenen Winkel? - Stelle zuerst das Seitenverhältnis auf und löse danach nach \(x\) auf. - Runde erst das Endergebnis auf zwei Nachkommastellen.

1. \(AB\) ist die Ankathete zu \(37^\circ\), \(AC=x\) die Hypotenuse. 2. Daher gilt \(\cos37^\circ=\frac5x\). 3. Somit ist \(x=\frac{5}{\cos37^\circ}\,\text{cm}\approx6{,}26\,\text{cm}\).

\(\cos37^\circ=\frac5x\), daher \(x\approx6{,}26\,\text{cm}\).

- Welches der beiden durch die Höhe entstehenden Teildreiecke enthält die gegebenen Größen? - Welche gesuchte Strecke ist dort Gegenkathete, welche Ankathete zu \(\beta\)?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(CDB\) ist \(CD\) die Gegenkathete zu \(\beta\). Daher ist \(x=10\sin(35^\circ)\,\text{cm}\approx5{,}74\,\text{cm}\). 2. \(BD\) ist die Ankathete zu \(\beta\). Daher ist \(y=10\cos(35^\circ)\,\text{cm}\approx8{,}19\,\text{cm}\).

\(x\approx5{,}74\,\text{cm}\), \(y\approx8{,}19\,\text{cm}\)

- Welche Seite ist im Teildreieck \(ADC\) die Hypotenuse? - Welche Rolle hat \(AD\) relativ zu \(\alpha\)?

1. Im rechtwinkligen Teildreieck \(ADC\) ist \(AC\) die Hypotenuse und \(AD\) die Ankathete zu \(\alpha\). 2. Daher ist \(y=9\cos40^\circ\,\text{cm}\approx6{,}89\,\text{cm}\).

\(y\approx6{,}89\,\text{cm}\)

- Welche Seite ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Teildreiecks, aus dem die Höhe entsteht? - Welche trigonometrische Beziehung verbindet diese Seite, die Höhe und den eingeschlossenen Winkel? - Runde die Fläche erst am Ende.

1. Die Höhe auf \(a\) ist \(h=b\sin38^\circ=5\sin38^\circ\,\text{cm}\approx3{,}0783\,\text{cm}\). 2. Daher ist \(A=ah=8\cdot5\sin38^\circ\,\text{cm}^2\approx24{,}63\,\text{cm}^2\).

\(h=5\sin38^\circ\,\text{cm}\approx3{,}08\,\text{cm}\); damit \(A\approx24{,}63\,\text{cm}^2\).

- Welche Flächenformel verwendet zwei Seiten und ihren eingeschlossenen Winkel? - Setze die drei gegebenen Größen in genau diese Formel ein. - Runde erst das Endergebnis.

1. Für zwei Seiten und ihren eingeschlossenen Winkel gilt \(A=\frac12ab\sin\gamma\). 2. Daher ist \(A=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\sin47^\circ\,\text{cm}^2\approx17{,}55\,\text{cm}^2\).

\(A=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\sin47^\circ\,\text{cm}^2\approx17{,}55\,\text{cm}^2\).

- Welche Kathete liegt dem Winkel gegenüber und welche an ihm an? - Stelle für beide Katheten jeweils das passende Verhältnis mit der Hypotenuse auf. - Runde erst den berechneten Flächeninhalt.

1. Die Gegenkathete ist \(a=10\sin37^\circ\,\text{cm}\approx6{,}0182\,\text{cm}\). 2. Die Ankathete ist \(b=10\cos37^\circ\,\text{cm}\approx7{,}9864\,\text{cm}\). 3. Daher ist \(A=\frac12ab=50\sin37^\circ\cos37^\circ\,\text{cm}^2\approx24{,}03\,\text{cm}^2\).

\(a=10\sin37^\circ\,\text{cm}\), \(b=10\cos37^\circ\,\text{cm}\); daraus \(A\approx24{,}03\,\text{cm}^2\).

- Welche beiden Katheten verbindet der Tangens zum gegebenen Winkel? - Löse den Ansatz zuerst nach der unbekannten Kathete auf. - Berechne damit anschließend die Dreiecksfläche und runde erst am Ende.

1. Für die gegenüberliegende Kathete \(a\) gilt \(\tan52^\circ=\frac a4\), also \(a=4\tan52^\circ\,\text{cm}\approx5{,}1198\,\text{cm}\). 2. Daher ist \(A=\frac12\cdot4\cdot a\approx10{,}24\,\text{cm}^2\).

\(\tan52^\circ=\frac a4\), also \(a\approx5{,}12\,\text{cm}\) und \(A\approx10{,}24\,\text{cm}^2\).

- Welche besondere Dreiecksform entsteht, wenn du das Teildreieck an seiner senkrechten Kathete spiegelst? - Welche Seitenlängen hat ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse \(1\)? - Welche Bedeutung haben x- und y-Koordinate im Einheitskreis?

1. Der Radius \(OP\) hat die Länge \(1\); der markierte Winkel beträgt \(60^\circ\). 2. Das rechtwinklige Teildreieck ist die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks. Daher sind die Katheten \(\frac12\) und \(\frac{\sqrt3}{2}\). 3. Somit ist \(P\left(\frac12\mid\frac{\sqrt3}{2}\right)\). 4. Im Einheitskreis ist die x-Koordinate der Kosinus und die y-Koordinate der Sinus.

\(P\left(\frac12\mid\frac{\sqrt3}{2}\right)\), \(\cos60^\circ=\frac12\), \(\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\)

- Welche Koordinate entspricht im Einheitskreis dem Sinus? - Wie viele Schnittpunkte hat die eingezeichnete waagrechte Linie mit dem Kreis? - Welche Symmetrie verbindet die beiden zugehörigen Winkel?

1. Der Sinus ist die y-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis. 2. Die waagrechte Linie \(y=\frac12\) schneidet den Einheitskreis in genau zwei Punkten, im ersten und zweiten Quadranten. 3. Der Bezugswinkel ist \(30^\circ\), weil \(\sin30^\circ=\frac12\). 4. Daher sind die Lösungen \(30^\circ\) und \(150^\circ\).

\(\alpha=30^\circ\) oder \(\alpha=150^\circ\)

- Welche Koordinate entspricht dem Kosinus? - In welchen Quadranten ist diese Koordinate negativ? - Welcher Bezugswinkel gehört zum Betrag \(\frac{\sqrt2}{2}\)?

1. Der Kosinus ist die x-Koordinate im Einheitskreis. 2. Die senkrechte Linie \(x=-\frac{\sqrt2}{2}\) schneidet den Kreis in genau zwei Punkten, im zweiten und dritten Quadranten. 3. Der Bezugswinkel ist \(45^\circ\). 4. Daher sind die Lösungen \(135^\circ\) und \(225^\circ\).

\(\alpha=135^\circ\) oder \(\alpha=225^\circ\)

- Setze für Sinus und Kosinus zunächst ihre Seitenverhältnisse ein. - Was geschieht mit der gemeinsamen Hypotenuse \(c\), wenn du die beiden Brüche dividierst? - Welches Seitenverhältnis bleibt übrig, und wie heißt es trigonometrisch?

1. Der Quotient der beiden Definitionen ist \(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{a/c}{b/c}\). 2. Durch Division der Brüche kürzt sich \(c\): \(\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{b}\). 3. Nach der Tangensdefinition ist \(\frac{a}{b}=\tan(\alpha)\). Daher gilt \(\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).

\(\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

- Welche Koordinate eines Einheitskreispunkts entspricht dem Sinus? - In welchen Quadranten ist diese Koordinate negativ? - Welcher Bezugswinkel gehört zum Betrag \(\frac{\sqrt3}{2}\)?

1. Der Sinus ist die y-Koordinate im Einheitskreis. Die Gerade \(y=-\frac{\sqrt3}{2}\) liegt unterhalb der waagerechten Achse und schneidet den Kreis in genau zwei Punkten. 2. Der Bezugswinkel zum Betrag \(\frac{\sqrt3}{2}\) ist \(60^\circ\). 3. Die Schnittpunkte liegen im dritten und vierten Quadranten. Daher sind die Winkel \(180^\circ+60^\circ=240^\circ\) und \(360^\circ-60^\circ=300^\circ\).

\(\alpha=240^\circ\) oder \(\alpha=300^\circ\)

- Welche Seiten des Dreiecks kennst du bereits (Gegenkathete, Ankathete oder Hypotenuse bezüglich \(\alpha\))? - Welche Seite fehlt dir noch für die Berechnung des Cosinus? - Wie kannst du die fehlende Seite in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen?

1. Berechnung der Ankathete \(AB\) mit dem Satz des Pythagoras: \(AB = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) 2. Anwendung der Cosinus-Definition: \(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{4\sqrt{2}}{6}\) 3. Kürzen des Bruchs: \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

- Welche Symmetrie hat die Figur aus zwei Tangenten von demselben äußeren Punkt? - Welchen Winkel erhältst du dadurch in einem der beiden rechtwinkligen Teildreiecke? - Welche Eigenschaft eines Thaleskreises kann für die Tangentenkonstruktion genutzt werden?

1. Die Strecke \(MP\) halbiert wegen der Symmetrie den Winkel zwischen den Tangenten. In jedem der beiden rechtwinkligen Teildreiecke ist der Winkel bei \(P\) daher \(30^\circ\). 2. Für einen Berührpunkt \(T\) gilt \(\sin30^\circ=\frac{MT}{MP}=\frac{2}{MP}\). Daraus folgt \(MP=4\,\text{cm}\). 3. Für die Konstruktion verbindet man \(M\) und \(P\), bestimmt den Mittelpunkt dieser Strecke und zeichnet den Thaleskreis über \(MP\). 4. Die Schnittpunkte dieses Thaleskreises mit \(k\) sind die Berührpunkte. Die Geraden durch \(P\) und diese Punkte sind die gesuchten Tangenten.

a) \(MP=4\,\text{cm}\) b) Thaleskreis über \(MP\) zeichnen; seine Schnittpunkte mit \(k\) sind die Berührpunkte der beiden Tangenten durch \(P\).

- Welche horizontale Länge entsteht, wenn du in einem gleichschenkligen Trapez eine Höhe einzeichnest? - Welche Seite ist im entstehenden rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse? - Welche Bedingung müssen entsprechende Seitenverhältnisse für Ähnlichkeit erfüllen?

1. Fällt man in einem gleichschenkligen Trapez von einem oberen Eckpunkt die Höhe auf die längere Grundseite, ist der horizontale Überstand \(x=\frac{a-c}{2}\). 2. Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck ist \(\cos\alpha=\frac{x}{b}=\frac{a-c}{2b}\). 3. Für \(T_1\) gilt \(x_1=2\,\text{cm}\) und damit \(\cos\alpha_1=\frac24=0{,}5\), also \(\alpha_1=60^\circ\). 4. Für \(T_2\) gilt ebenfalls \(x_2=2\,\text{cm}\), also \(\alpha_2=60^\circ\). 5. Für Ähnlichkeit müssten entsprechende Seiten denselben Streckfaktor haben. Es ist \(\frac{a_2}{a_1}=1{,}5\), aber \(\frac{c_2}{c_1}=\frac{11}{6}\neq1{,}5\). 6. Daher sind die Trapeze trotz gleicher Winkel nicht ähnlich.

a) Beide Basiswinkel betragen \(60^\circ\). b) Nein. Die entsprechenden Seitenverhältnisse sind nicht gleich.

- Welches Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse gehört zum Winkel \(\alpha\)? - Welche fehlende Kathete kannst du zunächst mit dem Satz des Pythagoras bestimmen? - Auf welche zwei Arten kannst du anschließend denselben Flächeninhalt ausdrücken?

1. Es gilt \(\sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{5}{13}\). Daher ist \(\alpha=\arcsin\left(\frac{5}{13}\right)\approx22{,}62^\circ\). 2. Mit dem Satz des Pythagoras folgt \(b=\sqrt{13^2-5^2}\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac12ab=30\,\text{cm}^2\). 4. Zugleich gilt \(A=\frac12ch_c\). Daher ist \(h_c=\frac{2A}{c}=\frac{60}{13}\,\text{cm}\approx4{,}62\,\text{cm}\).

a) \(\alpha\approx22{,}62^\circ\) b) \(h_c=\frac{60}{13}\,\text{cm}\approx4{,}62\,\text{cm}\)

- Stell dir ein einfaches rechtwinkliges Dreieck vor, bei dem das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse genau \(0{,}6\) ergibt. Welche Seitenlängen könnten das sein? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte? - Was weißt du über Dreiecke, die in ihren Winkeln übereinstimmen?

1. Interpretation von \(\sin(\alpha) = 0{,}6 = \frac{6}{10}\): In einem Modell-Dreieck ist die Gegenkathete \(a=6\) und die Hypotenuse \(c=10\). 2. Berechnung der Ankathete \(b\) mit Pythagoras: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\). 3. Bestimmung von \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{8}{10} = 0{,}8\). 4. Bestimmung von \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 5. Begründung zur Ähnlichkeit: Alle rechtwinkligen Dreiecke mit einem gemeinsamen Winkel \(\alpha\) sind zueinander ähnlich (WW-Satz). Bei ähnlichen Figuren sind die Verhältnisse entsprechender Seitenlängen konstant.

a) \(\cos(\alpha) = 0{,}8\) und \(\tan(\alpha) = 0{,}75\). b) Da alle rechtwinkligen Dreiecke mit dem Winkel \(\alpha\) aufgrund übereinstimmender Winkel ähnlich zueinander sind, sind die Verhältnisse ihrer Seitenlängen (und damit die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte) identisch.

- Stell dir vor, du klappst die Hypotenuse langsam nach unten in Richtung der Ankathete. Was passiert dabei mit der Höhe des Dreiecks? - Welche Seite ist in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste? - Was bedeutet es für einen Bruch, wenn der Zähler kleiner ist als der Nenner?

1. Wenn der Winkel \(\alpha\) kleiner wird, verringert sich bei gleichbleibender Hypotenuse \(c\) die Länge der Gegenkathete \(a\). 2. Nähert sich \(\alpha\) dem Wert \(0^\circ\) an, strebt die Länge von \(a\) gegen 0, wodurch auch das Verhältnis \(\frac{a}{c}\) gegen 0 strebt. 3. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(c\) die Seite, die dem größten Winkel (\(90^\circ\)) gegenüberliegt. 4. Da in einem Dreieck der größten Seite der größte Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse immer die längste Seite. 5. Da \(a < c\) gilt, muss der Quotient \(\frac{a}{c}\) immer kleiner als 1 sein.

a) Das Verhältnis wird immer kleiner und strebt gegen 0. b) Da die Hypotenuse \(c\) im rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite ist, gilt stets \(a < c\), woraus \(\frac{a}{c} < 1\) folgt.

- Wie ist der Sinus im rechtwinkligen Dreieck definiert? - Welcher einfache Bruch entspricht \(0{,}8\)? - Wie erhältst du aus einem Sinuswert wieder den zugehörigen spitzen Winkel?

1. Wegen \(\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=0{,}8=\frac45\) kann man Gegenkathete \(4\,\text{cm}\) und Hypotenuse \(5\,\text{cm}\) wählen. 2. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Ankathete \(\sqrt{5^2-4^2}\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). 3. Mit der Umkehrfunktion folgt \(\alpha=\arcsin(0{,}8)\approx53{,}13^\circ\).

a) Zum Beispiel Gegenkathete \(4\,\text{cm}\), Hypotenuse \(5\,\text{cm}\) b) Ankathete \(3\,\text{cm}\) c) \(\alpha\approx53{,}13^\circ\)

- Welche Winkelfunktion verwendet das Verhältnis der beiden Katheten? - Welches Kathetenverhältnis gehört zum Winkel \(\alpha\)? - Wie hängen \(\alpha\) und \(\beta\) im rechtwinkligen Dreieck zusammen?

1. Aus \(a:b=2:3\) folgt \(\frac{a}{b}=\frac23\). 2. Daher ist \(\tan(\alpha)=\frac23\) und somit \(\alpha=\arctan\left(\frac23\right)\approx33{,}69^\circ\). 3. Mit dem ungerundeten Wert von \(\alpha\) folgt \(\beta=90^\circ-\alpha\approx56{,}31^\circ\).

\(\alpha\approx33{,}69^\circ\), \(\beta\approx56{,}31^\circ\)

- Welche Kathete kannst du zuerst aus dem Flächeninhalt bestimmen? - Wie erhältst du danach die Hypotenuse? - Welche Winkelfunktion verwendet die beiden bekannten Katheten?

1. Aus \(A=\frac12ab\) folgt \(24\,\text{cm}^2=\frac12\cdot a\cdot8\,\text{cm}\), also \(a=6\,\text{cm}\). 2. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(c=\sqrt{6^2+8^2}\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 3. Es gilt \(\tan(\alpha)=\frac{6}{8}=0{,}75\). Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}75)\approx36{,}87^\circ\). 4. Mit dem ungerundeten Wert von \(\alpha\) folgt \(\beta=90^\circ-\alpha\approx53{,}13^\circ\).

\(c=10\,\text{cm}\), \(\alpha\approx36{,}87^\circ\), \(\beta\approx53{,}13^\circ\)

- Was sagt das Seitenverhältnis des Tangens über die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks aus? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte Seite? - Nutze die Definitionen von Sinus und Kosinus als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

1. Da \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{5}{12}\), können die Seitenlängen als \(5k\) und \(12k\) modelliert werden. 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} = \sqrt{25k^2 + 144k^2} = \sqrt{169k^2} = 13k\). 3. Bestimmung von \(\sin \alpha\): \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}\). 4. Bestimmung von \(\cos \alpha\): \(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}\).

\(\sin \alpha = \frac{5}{13}\) und \(\cos \alpha = \frac{12}{13}\)

- Wie sind Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck über die Seitenlängen definiert? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte? - Welche Rolle spielen die beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen?

1. Interpretation von \(\tan\beta\) im rechtwinkligen Dreieck: \(\tan\beta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{15}{8}\). Wähle Gegenkathete \(b = 15\) und Ankathete \(a = 8\). 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\). 3. Bestimmung der Verhältnisse: \(\sin\beta = \frac{15}{17}\) und \(\cos\beta = \frac{8}{17}\). 4. Nutzung der Beziehungen für Komplementärwinkel: \(\sin(90^\circ - \beta) = \cos\beta = \frac{8}{17}\) und \(\cos(90^\circ - \beta) = \sin\beta = \frac{15}{17}\).

\(\sin\beta = \frac{15}{17}\) \(\cos\beta = \frac{8}{17}\) \(\sin(90^\circ - \beta) = \frac{8}{17}\) \(\cos(90^\circ - \beta) = \frac{15}{17}\)

- Schreibe den Tangens mithilfe von Sinus und Kosinus und bringe die Terme auf einen gemeinsamen Nenner. - Schau dir den Zähler im zweiten Teil genau an: Lässt er sich vereinfachen, wenn du eine Funktion ersetzt?

1. Für Teil a) wird \(\tan^2 \alpha\) als \(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) geschrieben. Die Subtraktion ergibt \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). Da \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), resultiert \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1\). 2. Für Teil b) wird im Zähler \(\tan \alpha \cdot \cos \alpha = \sin \alpha\) eingesetzt. Der Zähler wird zu \(\sin \alpha + \sin \alpha = 2\sin \alpha\). Der Bruch \(\frac{2\sin \alpha}{\sin \alpha}\) vereinfacht sich zu \(2\).

a) \(1\) b) \(2\)

- Du kannst den Tangens als Verhältnis von Sinus zu Kosinus ausdrücken. - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch eine trigonometrische Funktion vorkommt. - Was passiert, wenn man eine Wurzel quadriert?

1. Nutzung der Beziehung \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\): \(\frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \sqrt{3} \implies \sin \beta = \sqrt{3}\cos \beta\) 2. Einsetzen in \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\): \((\sqrt{3}\cos \beta)^2 + \cos^2 \beta = 1\) 3. Vereinfachung: \(3\cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \implies 4\cos^2 \beta = 1\) 4. Lösung für \(\cos \beta\): \(\cos^2 \beta = \frac{1}{4} \implies \cos \beta = \frac{1}{2}\) (da \(\beta\) spitz ist) 5. Lösung für \(\sin \beta\): \(\sin \beta = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos \beta = \frac{1}{2}\)

- Kannst du den Sinuswert direkt aus dem beschriebenen Längenverhältnis ablesen? - Skizziere dir zur Not ein Dreieck und beschrifte die Seiten mit passenden Variablen oder Beispielwerten. - Denke beim Vereinfachen von Wurzeln wie \(\sqrt{8}\) an teilweises Wurzelziehen. - Nenner rational machen: Wie kannst du eine Wurzel im Nenner eines Bruches beseitigen?

1. Definition des Sinus im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) 2. Einsetzen des Verhältnisses: Sei die Gegenkathete \(a\), dann ist die Hypotenuse \(3a\). Somit gilt \(\sin \alpha = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}\) 3. Berechnung von \(\cos \alpha\) über \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \(\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\) 4. Radizieren: \(\cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) 5. Berechnung von \(\tan \alpha\): \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

\(\sin \alpha = \frac{1}{3}\), \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) und \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen Sinus und Kosinus am Einheitskreis oder im rechtwinkligen Dreieck? - Wie ist der Tangens durch Sinus und Kosinus definiert? - Überlege dir, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete von \(\beta\) ist und welche Rolle sie für den Winkel \(90^\circ - \beta\) spielt.

1. Berechnung von \(\cos \beta\) über den trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\): \(\cos^2 \beta = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\). Da \(\beta\) spitz ist, gilt \(\cos \beta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\). 2. Berechnung von \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\): \(\tan \beta = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\). 3. Anwendung der Komplementärbeziehung \(\sin(90^\circ - \beta) = \cos \beta\): \(\sin(90^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

a) \(\cos \beta = \frac{\sqrt{5}}{3}\) b) \(\tan \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5}\) (oder \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)) c) \(\sin(90^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{5}}{3}\)

- Welche Seitenverhältnisse kannst du aus dem Tangenswert ablesen? - Wie erhältst du aus zwei proportionalen Katheten die zugehörige Hypotenuse? - Welche Seitenverhältnisse definieren anschließend Sinus und Kosinus?

1. Aus \(\tan\alpha=\frac34\) kann man Gegenkathete und Ankathete als \(3k\) und \(4k\) ansetzen. 2. Mit dem Satz des Pythagoras ist die Hypotenuse \(\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k\). 3. Daher gilt \(\sin\alpha=\frac{3k}{5k}=\frac35=0{,}6\) und \(\cos\alpha=\frac{4k}{5k}=\frac45=0{,}8\). 4. Die Kontrolle ergibt \(0{,}6^2+0{,}8^2=0{,}36+0{,}64=1\).

a) \(\sin\alpha=0{,}6\), \(\cos\alpha=0{,}8\) b) Die Identität ist erfüllt.

- Wie sind Sinus und Kosinus über die Seitenlängen im Dreieck definiert? - Ersetze die trigonometrischen Begriffe durch die entsprechenden Brüche aus den Seiten \(a\), \(b\) und \(c\). - Welche Beziehung gilt zwischen den Quadraten der Seitenlängen in jedem rechtwinkligen Dreieck?

1. Definition der trigonometrischen Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) und \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) 2. Einsetzen dieser Verhältnisse in den Ausdruck \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\) ergibt \(\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2\) 3. Anwendung der Potenzgesetze führt zu \(\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}\) 4. Nach dem Satz des Pythagoras gilt in diesem Dreieck \(a^2 + b^2 = c^2\) 5. Ersetzen des Zählers durch \(c^2\) ergibt \(\frac{c^2}{c^2} = 1\), womit die Identität bewiesen ist

Durch Einsetzen von \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) und \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) in \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\) erhält man \(\frac{a^2 + b^2}{c^2}\). Da nach Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt, vereinfacht sich der Bruch zu \(\frac{c^2}{c^2} = 1\).

- Kannst du den Tangens durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Versuche, die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Welchen bekannten Wert hat der Zähler deines resultierenden Bruches? - Nutze für den zweiten Teil das Ergebnis aus dem ersten Teil als Abkürzung.

1. Für Teil a): Ersetzen von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) ergibt \(1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). Bringen auf den Hauptnenner liefert \(\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). Da \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) ist, folgt \(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\). 2. Für Teil b): Einsetzen von \(\tan \alpha = 0{,}75\) in die Formel ergibt \(1 + 0{,}75^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). Berechnung der linken Seite: \(1 + 0{,}5625 = 1{,}5625\). 3. Umstellen nach \(\cos^2 \alpha\): \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1{,}5625} = 0{,}64\). 4. Wurzelziehen liefert \(\cos \alpha = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\).

a) Durch Erweitern von \(1\) zu \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) ergibt sich \(\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). b) \(\cos \alpha = 0{,}8\).

- Was passiert, wenn du die Klammer auf der linken Seite auflöst? - Wie lässt sich der Tangens durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Kannst du im entstandenen Term etwas kürzen, um ihn zu vereinfachen?

1. Ausmultiplizieren der Klammer auf der linken Seite ergibt \(\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \tan^2 \alpha\). 2. Einsetzen der Definition \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) führt zu \(\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). 3. Kürzen des Faktors \(\cos^2 \alpha\) im zweiten Term ergibt \(\sin^2 \alpha\). 4. Der verbleibende Ausdruck \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\) ist identisch mit der rechten Seite.

Durch Ausmultiplizieren der linken Seite und Ersetzen von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) erhält man: \(\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\). Damit ist die Gleichung bewiesen.

- Wie kannst du den Bruch mit dem Tangens so umschreiben, dass er nur noch Sinus- und Kosinus-Terme enthält? - Erinnerst du dich, wie man Brüche voneinander abzieht, wenn sie bereits denselben Nenner haben? - Gibt es eine Formel, mit der man den Ausdruck \(1 - \cos^2 \alpha\) vereinfachen kann?

1. Umschreiben von \(\frac{1}{\tan^2 \alpha}\) als Kehrwert von \(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) ergibt \(\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\). 2. Subtraktion der beiden Brüche auf der linken Seite, da sie nun den gleichen Nenner haben: \(\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\). 3. Nutzung des trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) in der umgestellten Form \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\). 4. Einsetzen in den Zähler ergibt \(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\), was zu \(1\) gekürzt werden kann.

Durch Ersetzen von \(\frac{1}{\tan^2 \alpha}\) durch \(\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\) lässt sich die linke Seite als \(\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\) zusammenfassen. Da \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\) gilt, ergibt der Bruch \(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1\).

- Setze die neuen Seitenlängen (\(2a\) und \(2b\)) in die Formel für den Tangens ein. - Kannst du den entstandenen Bruch vereinfachen? - Was weißt du über die Winkel in Dreiecken, deren Seiten im gleichen Verhältnis stehen? - Erinnere dich an das Thema Ähnlichkeit von Figuren.

1. Aufstellen des Tangens-Verhältnisses für die verdoppelten Seiten: \(\tan(\alpha_{\text{neu}}) = \frac{2a}{2b}\). 2. Kürzen des Bruchs: \(\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\). 3. Vergleich: Da \(\tan(\alpha_{\text{neu}}) = \frac{a}{b} = \tan(\alpha_{\text{alt}})\) gilt, muss auch \(\alpha_{\text{neu}} = \alpha_{\text{alt}}\) sein. Der Winkel bleibt unverändert. 4. Geometrische Begründung: Durch die Verdopplung beider Katheten entsteht ein zum ursprünglichen Dreieck ähnliches Dreieck (Ähnlichkeitssatz SWS). Bei ähnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß.

Der Winkel \(\alpha\) bleibt unverändert. Rechnerisch ergibt sich \(\tan(\alpha_{\text{neu}}) = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\), was dem ursprünglichen Tangenswert entspricht. Geometrisch handelt es sich um eine zentrische Streckung bzw. ähnliche Dreiecke, bei denen die Innenwinkel stets gleich bleiben.

- Was weißt du über Sinus und Kosinus von Winkeln, die sich zu \(90^\circ\) ergänzen? - Gibt es eine bekannte Formel, die die Quadrate von Sinus und Kosinus desselben Winkels verbindet? - Skizziere zur Not ein rechtwinkliges Dreieck und markiere beide spitzen Winkel.

1. Anwendung der Komplementärwinkel-Beziehungen: \(\sin(90^\circ - \beta) = \cos \beta\) und \(\cos(90^\circ - \beta) = \sin \beta\). 2. Einsetzen in den Ausdruck: \((\cos \beta) \cdot \cos \beta + (\sin \beta) \cdot \sin \beta\). 3. Zusammenfassen der Produkte: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta\). 4. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\). 5. Das Endergebnis ist \(1\).

Der Ausdruck lässt sich zu \(1\) vereinfachen. Schritte: \(\sin(90^\circ - \beta) \cdot \cos \beta + \cos(90^\circ - \beta) \cdot \sin \beta\) \(= \cos \beta \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \sin \beta\) \(= \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\)

- Suche nach bekannten Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, mit denen sich der Zähler anders darstellen lässt. - Überlege, wie sich der Tangens durch die beiden anderen trigonometrischen Funktionen beschreiben lässt, und achte auf mögliche Kürzungen. - Prüfe die Behauptung in b) am ursprünglichen Term und vergleiche das Ergebnis mit \(1\).

1. Mit \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) gilt \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\). 2. Wegen \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) wird der Nenner zu \(\cos \alpha \cdot \tan \alpha = \sin \alpha\). 3. Somit ist zunächst \(A = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}\). Ersetzt man \(\cos^2 \alpha\) erneut durch \(1 - \sin^2 \alpha\), erhält man die verlangte Darstellung mit nur einer trigonometrischen Funktion: \(A = \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha\). 4. Für \(\alpha = 45^\circ\) gilt \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\tan(45^\circ) = 1\). Einsetzen in den Ausgangsterm ergibt \(A = \frac{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\). Die Behauptung ist falsch.

a) \(A = \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha\) b) Die Behauptung ist falsch. Für \(\alpha = 45^\circ\) gilt \(A = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707 \neq 1\).

- Betrachte die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks aus der Sicht beider spitzen Winkel. - Was passiert mathematisch, wenn man einen Bruch mit seinem Kehrwert multipliziert? - Prüfe, in welcher Beziehung die Winkel \(22{,}5^\circ\) und \(67{,}5^\circ\) zueinander stehen.

1. Definition des Tangens: In einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten \(a\) und \(b\) gilt \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\) und \(\tan \beta = \frac{b}{a}\). 2. Produktbildung: \(\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1\). 3. Zusammenhang der Winkel: Da \(22{,}5^\circ + 67{,}5^\circ = 90^\circ\) gilt, sind dies die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks. 4. Berechnung: Aus \(\tan 22{,}5^\circ \cdot \tan 67{,}5^\circ = 1\) folgt \(\tan 67{,}5^\circ = \frac{1}{\tan 22{,}5^\circ}\). 5. Numerisches Ergebnis: \(\frac{1}{0{,}4142} \approx 2{,}4143\).

a) Da \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\) und \(\tan \beta = \frac{b}{a}\), ist \(\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1\). b) \(\tan 67{,}5^\circ = \frac{1}{\tan 22{,}5^\circ} \approx 2{,}4143\).

- Skizziere ein gleichseitiges Dreieck und teile es in der Mitte. Welche Winkel entstehen dabei? - Nutze den Satz des Pythagoras, um die Höhe zu berechnen. - Setze die Seitenlängen in die Definition des Tangens ein und vereinfache die Brüche.

1. Berechnung der Höhe \(h\): Im halbierten gleichseitigen Dreieck bilden \(h\), \(\frac{a}{2}\) und \(a\) ein rechtwinkliges Dreieck. Nach Pythagoras: \(h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2 \Rightarrow h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\). 2. Berechnung von \(\tan 30^\circ\): Der Winkel an der Spitze des halbierten Dreiecks ist \(30^\circ\). \(\tan 30^\circ = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). 3. Berechnung von \(\tan 60^\circ\): Der Basiswinkel ist \(60^\circ\). \(\tan 60^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}\). 4. Überprüfung der Formel: Für \(\alpha = 30^\circ\) ist \(90^\circ - \alpha = 60^\circ\). Die Formel besagt \(\tan 60^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ}\). Einsetzen ergibt \(\sqrt{3} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\). Die Gleichung ist erfüllt.

a) \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\). b) \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) (oder \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)) und \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\). c) Da \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) und \(\frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\), ist die Gleichung erfüllt.

- Welche Größen halbiert die Höhe im gleichschenkligen Dreieck? - Welche Winkelfunktion verbindet die halbe Basis mit dem Schenkel? - Was ändert sich im Teildreieck, wenn der Spitzenwinkel verdoppelt wird?

1. Die Höhe halbiert den Spitzenwinkel. Daher gilt \(\frac{c}{2}=12\,\text{cm}\cdot\sin(20^\circ)\), also \(c=24\,\text{cm}\cdot\sin(20^\circ)\approx8{,}21\,\text{cm}\). 2. Für die Höhe gilt \(h_c=12\,\text{cm}\cdot\cos(20^\circ)\approx11{,}28\,\text{cm}\). 3. Beim neuen Spitzenwinkel \(80^\circ\) hat jedes Teildreieck einen Winkel von \(40^\circ\) an der Spitze. Daher ist \(c_{neu}=24\,\text{cm}\cdot\sin(40^\circ)\approx15{,}43\,\text{cm}\).

a) \(c\approx8{,}21\,\text{cm}\) b) \(h_c\approx11{,}28\,\text{cm}\) c) \(c_{neu}\approx15{,}43\,\text{cm}\)

- Welche Kathete liegt dem Winkel \(\beta\) gegenüber? - Welche Werte können Katheten-Hypotenusen-Verhältnisse höchstens annehmen? - Was passiert mit dem Verhältnis Gegenkathete zu Ankathete, wenn der Winkel nahe bei \(90^\circ\) liegt?

1. Beim Winkel \(\beta\) ist \(b\) die Gegenkathete und \(a\) die Ankathete. Daher gilt \(b=15\,\text{cm}\cdot\sin(82^\circ)\approx14{,}85\,\text{cm}\) und \(a=15\,\text{cm}\cdot\cos(82^\circ)\approx2{,}09\,\text{cm}\). 2. Da \(\beta\) nahe bei \(90^\circ\) liegt, ist \(b\) deutlich größer als \(a\). Deshalb ist \(\frac{b}{a}>1\). Dagegen sind \(\frac{a}{c}\) und \(\frac{b}{c}\) als Katheten-Hypotenusen-Verhältnisse kleiner als \(1\). Somit ist \(\frac{b}{a}\) am größten.

1. \(a\approx2{,}09\,\text{cm}\), \(b\approx14{,}85\,\text{cm}\) 2. \(\frac{b}{a}\) ist am größten.

- Wie hängen Sinus, Kosinus und die Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Kannst du die Definition des Kosinus nutzen, um direkt eine Seitenlänge zu finden? - Welche zwei Formeln kennst du, um den Tangens zu berechnen?

1. Berechnung von \(\sin \alpha\): Über \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) folgt \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\). 2. Bestimmung der Katheten: Da \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\), ist \(b = c \cdot \cos \alpha = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5\,\text{cm}\). Da \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\), ist \(a = c \cdot \sin \alpha = 13 \cdot \frac{12}{13} = 12\,\text{cm}\). 3. Berechnung von \(\tan \alpha\): Weg 1 (Seitenverhältnis): \(\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{12}{5} = 2{,}4\). Weg 2 (trigonometrische Beziehung): \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5} = 2{,}4\).

a) \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\) b) \(a = 12\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\) c) \(\tan \alpha = 2{,}4\)

- Wie wird aus einem Steigungswinkel eine prozentuale Steigung? - Welche zwei Werte musst du miteinander vergleichen, um die Verdopplungsbehauptung zu prüfen? - Vergleiche den Wert bei \(40^\circ\) mit dem Doppelten des Werts bei \(20^\circ\).

1. Für \(20^\circ\) ist die prozentuale Steigung \(100\tan(20^\circ)\,\%\approx36{,}40\,\%\). 2. Für \(40^\circ\) ist sie \(100\tan(40^\circ)\,\%\approx83{,}91\,\%\). 3. Das Doppelte von \(36{,}40\,\%\) wäre \(72{,}80\,\%\). Da \(83{,}91\,\%\neq72{,}80\,\%\), ist die Behauptung falsch.

Die Behauptung ist falsch: \(36{,}40\,\%\) bei \(20^\circ\), aber \(83{,}91\,\%\) bei \(40^\circ\) statt \(72{,}80\,\%\).

- Welche Winkel hat ein gleichseitiges Dreieck, und was bewirkt seine Höhe? - Welche Länge hat die halbe Basis? - Welche Seitenverhältnisse beschreiben Sinus und Kosinus im entstehenden rechtwinkligen Dreieck?

1. Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel \(60^\circ\). Die Höhe steht senkrecht auf der Basis und halbiert wegen der Symmetrie den oberen \(60^\circ\)-Winkel. Daher entstehen \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\)-Dreiecke. 2. Die halbe Basis ist \(\frac{s}{2}\). Nach Pythagoras gilt \(h^2+\left(\frac{s}{2}\right)^2=s^2\), also \(h=\frac{\sqrt3}{2}s\). 3. Damit ist \(\sin60^\circ=\frac{h}{s}=\frac{\sqrt3}{2}\). 4. Außerdem ist \(\cos60^\circ=\frac{s/2}{s}=\frac12\).

a) \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) b) \(h=\frac{\sqrt3}{2}s\) c) \(\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\cos60^\circ=\frac12\)

- Wie hängt die Steigung einer Geraden mit ihrem Winkel zur positiven \(x\)-Achse zusammen? - Wie erhältst du den kleineren Winkel zwischen zwei Geraden aus ihren Steigungswinkeln? - Welchen Winkel hat die Winkelhalbierende, und wie wird daraus wieder eine Steigung?

1. Für einen Steigungswinkel gilt \(\tan\alpha=m\). Daher ist \(\alpha_g=\arctan(0{,}5)\approx26{,}57^\circ\) und \(\alpha_h=\arctan(2)\approx63{,}43^\circ\). 2. Der kleinere Schnittwinkel ist die Differenz der ungerundeten Steigungswinkel: \(\gamma\approx36{,}87^\circ\). 3. Für die Winkelhalbierende ist \(\alpha_k=\frac12\alpha_h\). Mit dem ungerundeten Wert folgt \(m_k=\tan\alpha_k\approx0{,}62\).

a) \(\alpha_g\approx26{,}57^\circ\), \(\alpha_h\approx63{,}43^\circ\) b) \(\gamma\approx36{,}87^\circ\) c) \(m_k\approx0{,}62\)

- Welche Länge musst du aus der quadratischen Grundfläche zunächst selbst bestimmen? - Welche Rollen haben Flächendiagonale und Würfelkante im rechtwinkligen Dreieck? - Welche trigonometrische Funktion verknüpft diese beiden Katheten mit \(\alpha\)?

1. Die Flächendiagonale der quadratischen Grundfläche ist \(d_f=4\sqrt2\,\text{cm}\). 2. Im relevanten rechtwinkligen Dreieck ist \(d_f\) die Ankathete und die Würfelkante \(4\,\text{cm}\) die Gegenkathete zu \(\alpha\). 3. Daher gilt \(\tan(\alpha)=\frac{4}{4\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\). 4. Somit ist \(\alpha=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)\approx35{,}26^\circ\).

\(\alpha\approx35{,}26^\circ\)

- Welche Hilfsstrecke entsteht aus den beiden Kanten \(b\) und \(c\)? - Welche Seite des relevanten rechtwinkligen Dreiecks ist die Raumdiagonale? - Welche trigonometrische Funktion verbindet die Grundkante \(a\) direkt mit der Raumdiagonalen?

1. Die Raumdiagonale hat die Länge \(d_r=\sqrt{15^2+8^2+6^2}\,\text{cm}=\sqrt{325}\,\text{cm}\). 2. Im relevanten rechtwinkligen Dreieck ist \(a=15\,\text{cm}\) die Ankathete zu \(\beta\) und \(d_r\) die Hypotenuse. 3. Daher gilt \(\cos(\beta)=\frac{15}{\sqrt{325}}\). 4. Somit ist \(\beta=\arccos\left(\frac{15}{\sqrt{325}}\right)\approx33{,}69^\circ\).

\(\beta\approx33{,}69^\circ\)

- Wie berechnest du die Diagonale einer quadratischen Grundfläche aus ihrer Seitenlänge? - Welche Rollen haben Flächendiagonale und Höhe im rechtwinkligen Dreieck zum Neigungswinkel? - Welche trigonometrische Funktion verbindet diese beiden Katheten?

1. Die Flächendiagonale der quadratischen Grundfläche ist \(d_f=10\sqrt2\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck ist \(d_f\) die Ankathete und \(c\) die Gegenkathete zum Winkel \(40^\circ\). 3. Es gilt \(\tan(40^\circ)=\frac{c}{d_f}\). Daher ist \(c=10\sqrt2\,\text{cm}\cdot\tan(40^\circ)\approx11{,}87\,\text{cm}\).

\(c\approx11{,}87\,\text{cm}\)

- Überlege zuerst, wie die Länge der Hypotenuse \(d\) von der Kathetenlänge \(a\) abhängt. - Erinnere dich an die Definitionen von Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck. - Kannst du den Ausdruck für den Sinus so umformen, dass keine Wurzel mehr im Nenner steht?

1. Berechnung der Hypotenuse \(d\) mithilfe des Satzes von Pythagoras: \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). Daraus folgt durch Wurzelziehen \(d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). 2. Anwendung der Definition des Sinus im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin 45^\circ = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{d}\). 3. Einsetzen von \(d = a\sqrt{2}\): \(\sin 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Durch Erweitern mit \(\sqrt{2}\) ergibt sich der Wert \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind Gegen- und Ankathete gleich lang. Somit gilt für den Kosinus: \(\cos 45^\circ = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{d} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(d=a\sqrt2\), \(\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\) und \(\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\)

- Welche Länge hat die halbe Grundseite nach dem Einzeichnen der Höhe? - Wie kannst du die Höhe in Abhängigkeit von \(s\) bestimmen? - Welche beiden Seiten des Teildreiecks bilden Gegenkathete und Ankathete zum Winkel \(60^\circ\)?

1. Die Höhe halbiert die Grundseite. Im betrachteten rechtwinkligen Teildreieck ist die Hypotenuse \(s\) und die Ankathete zum Winkel \(60^\circ\) gleich \(\frac{s}{2}\). 2. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(h=\sqrt{s^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}s\). 3. Daher gilt \(\tan60^\circ=\frac{h}{s/2}=\frac{(\sqrt3/2)s}{s/2}=\sqrt3\).

\(h=\frac{\sqrt3}{2}s\) und \(\tan60^\circ=\sqrt3\)

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? - Welche Seite liegt dem Winkel \(\rho\) gegenüber und welche an ihm an? - Setze diese Rollen in die drei Definitionen ein.

1. Nach dem Satz des Pythagoras ist \(q=\sqrt{20^2+21^2}\,\text{cm}=29\,\text{cm}\). 2. Für \(\rho\) ist \(r=21\,\text{cm}\) die Gegenkathete und \(p=20\,\text{cm}\) die Ankathete. 3. Daher ist \(\sin\rho=\frac{21}{29}\approx0{,}724\), \(\cos\rho=\frac{20}{29}\approx0{,}690\) und \(\tan\rho=\frac{21}{20}=1{,}05\).

a) \(q=29\,\text{cm}\) b) \(\sin\rho=\frac{21}{29}\approx0{,}724\), \(\cos\rho=\frac{20}{29}\approx0{,}690\), \(\tan\rho=\frac{21}{20}=1{,}05\)

- Welche Seite ist im Dreieck die Hypotenuse? - Welche Rechteckseite liegt \(\alpha\) gegenüber? - Wie hängt \(\beta\) mit \(\alpha\) zusammen?

1. Nach dem Satz des Pythagoras ist \(d=\sqrt{24^2+10^2}\,\text{cm}=26\,\text{cm}\). 2. Für \(\alpha\) ist die \(10\,\text{cm}\) lange Seite die Gegenkathete. Daher ist \(\sin\alpha=\frac{10}{26}=\frac5{13}\). 3. Somit ist \(\alpha=\arcsin\left(\frac5{13}\right)\approx22{,}62^\circ\). 4. Der zweite spitze Winkel ist \(\beta\approx67{,}38^\circ\).

a) \(d=26\,\text{cm}\) b) \(\sin\alpha=\frac5{13}\) c) \(\alpha\approx22{,}62^\circ\), \(\beta\approx67{,}38^\circ\)

- Betrachte für jede Gleichung genau dasjenige rechtwinklige Dreieck, das den genannten Winkel enthält. - Ordne dort Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse zu. - Achte darauf: \(q\) liegt am Winkel \(\alpha\), \(p\) am Winkel \(\beta\).

1. Im Teildreieck \(BDC\) ist \(a\) die Hypotenuse und \(h\) die Gegenkathete zu \(\beta\). Daher gilt \(\sin\beta=\frac{h}{a}\). 2. Im Teildreieck \(ADC\) ist \(h\) die Gegenkathete und \(q\) die Ankathete zu \(\alpha\). Daher gilt \(\tan\alpha=\frac{h}{q}\). 3. Im Gesamtdreieck ist \(b\) die Ankathete zu \(\alpha\) und \(c\) die Hypotenuse. Daher gilt \(\cos\alpha=\frac{b}{c}\). 4. Die Seite \(a\) ist die Gegenkathete zu \(\alpha\). Daher gilt \(\sin\alpha=\frac{a}{c}\).

a) \(\sin\beta=\frac{h}{a}\) b) \(\tan\alpha=\frac{h}{q}\) c) \(\cos\alpha=\frac{b}{c}\) d) \(\sin\alpha=\frac{a}{c}\)

- Bevor du rechnest, müssen alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen. - Welcher Winkel liegt der gegebenen Kathete gegenüber? - Überlege, ob die berechneten Winkelgrößen im Verhältnis zur Zeichnung plausibel sind.

1. Zuerst werden die Einheiten angeglichen: \(5{,}4\,\text{dm}=54\,\text{cm}\). 2. Gegeben sind die Kathete \(b=54\,\text{cm}\) und die Hypotenuse \(c=185\,\text{cm}\). 3. Für \(\beta\) gilt \(\sin(\beta)=\frac{b}{c}=\frac{54}{185}\). 4. Daher ist \(\beta=\arcsin\left(\frac{54}{185}\right)\approx16{,}97^\circ\), also gerundet \(\beta\approx17{,}0^\circ\). 5. Wegen \(\alpha+\beta=90^\circ\) folgt \(\alpha\approx73{,}0^\circ\).

\(\alpha\approx73{,}0^\circ\) und \(\beta\approx17{,}0^\circ\)

- Wie groß ist der zweite spitze Winkel? - Welche Rolle hat \(a\) relativ zu \(\beta\)? - Welche Funktionen verbinden \(a\) mit \(b\) beziehungsweise \(c\)?

1. Der fehlende spitze Winkel ist \(\alpha=40^\circ\). 2. Da \(a\) die Ankathete zu \(\beta\) ist, gilt \(c=\frac{5}{\cos50^\circ}\,\text{cm}\approx7{,}78\,\text{cm}\). 3. Außerdem gilt \(b=5\tan50^\circ\,\text{cm}\approx5{,}96\,\text{cm}\).

\(b\approx5{,}96\,\text{cm}\), \(c\approx7{,}78\,\text{cm}\), \(\alpha=40^\circ\)

- Welche besondere Winkeleigenschaft hat ein Dreieck über einem Kreisdurchmesser? - Welche Seite ist dann die Hypotenuse? - Welche Winkelfunktion verbindet beim gesuchten Winkel die bekannte Kathete mit der Hypotenuse?

1. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck rechtwinklig; der Durchmesser ist die Hypotenuse. 2. Daher gilt \(b=\sqrt{10^2-4^2}\,\text{cm}=2\sqrt{21}\,\text{cm}\approx9{,}17\,\text{cm}\). 3. Für \(\beta\) gilt \(\cos\beta=\frac{4}{10}=0{,}4\). 4. Somit ist \(\beta=\arccos(0{,}4)\approx66{,}4^\circ\).

\(b\approx9{,}17\,\text{cm}\) \(\beta\approx66{,}4^\circ\)

- Welche Seite des Dreiecks ist wegen des Satzes von Thales die Hypotenuse? - Welche Kathete liegt dem \(40^\circ\)-Winkel gegenüber? - Welche beiden Winkelfunktionen verwenden jeweils Gegenkathete beziehungsweise Ankathete zusammen mit der Hypotenuse?

1. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck rechtwinklig und die Hypotenuse ist \(8\,\text{cm}\) lang. 2. Für die Gegenkathete gilt \(a=8\sin(40^\circ)\,\text{cm}\approx5{,}14\,\text{cm}\). 3. Für die Ankathete gilt \(b=8\cos(40^\circ)\,\text{cm}\approx6{,}13\,\text{cm}\).

\(a\approx5{,}14\,\text{cm}\) \(b\approx6{,}13\,\text{cm}\)

- Wie hängen benachbarte Innenwinkel im Parallelogramm zusammen? - Welche Seite bildet mit der Höhe ein rechtwinkliges Teildreieck? - Wie erhältst du daraus die Höhe auf \(a\)?

1. Der benachbarte Winkel ist \(\alpha=180^\circ-118^\circ=62^\circ\). 2. Die Höhe auf \(a\) ist \(h_a=b\sin62^\circ\approx8{,}388\,\text{cm}\). 3. Somit ist \(A=ah_a\approx15{,}0\cdot8{,}388\,\text{cm}^2\approx125{,}8\,\text{cm}^2\).

\(A\approx125{,}8\,\text{cm}^2\)

- Welches rechtwinklige Teildreieck entsteht aus Höhe und Rhombusseite? - Welche Seite ist darin die Hypotenuse? - Wie hängen benachbarte Innenwinkel eines Rhombus zusammen?

1. Im rechtwinkligen Teildreieck ist \(h\) die Gegenkathete und \(a\) die Hypotenuse zu \(\alpha\). 2. Daher gilt \(\sin\alpha=\frac46=\frac23\), also \(\alpha\approx41{,}81^\circ\). 3. Somit ist \(\beta=180^\circ-\alpha\approx138{,}19^\circ\).

\(\alpha\approx41{,}81^\circ\), \(\beta\approx138{,}19^\circ\)

- Welche beiden Katheten entstehen durch die Höhe? - Wie erhältst du daraus zuerst den Schenkel? - Welche Winkelgröße im Teildreieck entspricht der Hälfte von \(\gamma\)?

1. Die Höhe halbiert die Grundseite; im Teildreieck sind die Katheten \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) lang. 2. Daher ist \(s=\sqrt{5^2+4^2}\,\text{cm}=\sqrt{41}\,\text{cm}\approx6{,}40\,\text{cm}\). 3. Für den halben Spitzenwinkel gilt \(\tan\left(\frac\gamma2\right)=\frac54\). 4. Somit ist \(\gamma=2\arctan\left(\frac54\right)\approx102{,}68^\circ\).

\(s\approx6{,}40\,\text{cm}\), \(\gamma\approx102{,}68^\circ\)

- Wie lang ist jeder horizontale Randabschnitt? - Welche Funktion verbindet diesen Abschnitt mit dem Schenkel und dem Basiswinkel? - Welche Winkelbeziehung folgt aus den parallelen Grundseiten?

1. Der horizontale Randabschnitt ist \(x=\frac{a-c}{2}=2{,}5\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Randdreieck gilt \(\cos\alpha=\frac{x}{b}=0{,}625\). Daher ist \(\alpha\approx51{,}32^\circ\). 3. Wegen der parallelen Grundseiten ist \(\gamma=180^\circ-\alpha\approx128{,}68^\circ\).

\(\alpha\approx51{,}32^\circ\), \(\gamma\approx128{,}68^\circ\)

- Welche beiden Komponenten hat ein Schenkel relativ zur Grundseite? - Welche davon ist die Höhe und welche der horizontale Randabschnitt? - Wie oft tritt dieser Randabschnitt wegen der Symmetrie auf?

1. Im rechtwinkligen Randdreieck gilt \(h=5\sin50^\circ\,\text{cm}\approx3{,}83\,\text{cm}\). 2. Der horizontale Randabschnitt ist \(x=5\cos50^\circ\,\text{cm}\approx3{,}214\,\text{cm}\). 3. Wegen der Symmetrie ist \(c=a-2x\approx5{,}57\,\text{cm}\).

\(c\approx5{,}57\,\text{cm}\), \(h\approx3{,}83\,\text{cm}\)

- Überlege dir, wie man die Höhe eines Parallelogramms mit Hilfe von Trigonometrie ausdrücken kann. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms: Grundseite mal Höhe. - In welchem rechtwinkligen Dreieck kommt der Winkel \(\alpha\) vor?

1. Einzeichnen der Höhe \(h_a\) vom Punkt \(D\) auf die Grundseite \(a\) (Strecke \(AB\)). Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck \(AFD\) mit der Hypotenuse \(b\). 2. Anwendung der Definition des Sinus im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin \alpha = \frac{h_a}{b}\). 3. Umstellen nach der Höhe: \(h_a = b \cdot \sin \alpha\). 4. Einsetzen in die allgemeine Flächenformel für Parallelogramme \(A = a \cdot h_a\) ergibt: \(A = a \cdot b \cdot \sin \alpha\).

Die Formel für den Flächeninhalt lautet \(A = a \cdot b \cdot \sin \alpha\).

- Welche der gesuchten Strecken liegen im rechtwinkligen Teildreieck mit der bekannten Kathete \(b\)? - Welche davon ist dort Ankathete beziehungsweise Gegenkathete zu \(\alpha\)? - Wie erhältst du anschließend die ganze Hypotenuse und den verbleibenden Abschnitt?

1. Im Teildreieck an \(A\) gilt \(q=b\cos\alpha=6\cos(40^\circ)\,\text{cm}\approx4{,}5963\,\text{cm}\). 2. Für die Höhe gilt \(h=b\sin\alpha=6\sin(40^\circ)\,\text{cm}\approx3{,}8567\,\text{cm}\). 3. Im Gesamtdreieck ist \(c=\frac{b}{\cos\alpha}\approx7{,}8324\,\text{cm}\). 4. Daher ist \(p=c-q\approx3{,}2362\,\text{cm}\). 5. Gerundet erhält man \(p\approx3{,}24\,\text{cm}\), \(q\approx4{,}60\,\text{cm}\) und \(h\approx3{,}86\,\text{cm}\).

\(p\approx3{,}24\,\text{cm}\), \(q\approx4{,}60\,\text{cm}\), \(h\approx3{,}86\,\text{cm}\)

- Welchen zweiten spitzen Winkel kannst du zuerst bestimmen? - Betrachte das rechtwinklige Dreieck \(BCD\). Welche Seiten sind dort \(p\), \(h\) und \(a\)? - Wie kannst du die ganze Hypotenuse \(c\) aus \(a\) und \(\alpha\) bestimmen? - Wie erhältst du danach \(q\)?

1. Der zweite spitze Winkel ist \(\beta=55^\circ\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(BCD\) gilt \(p=a\cos(\beta)=9\cos(55^\circ)\,\text{cm}\approx5{,}1622\,\text{cm}\). 3. Für die Höhe gilt dort \(h=a\sin(\beta)=9\sin(55^\circ)\,\text{cm}\approx7{,}3724\,\text{cm}\). 4. Im großen Dreieck gilt \(\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\). Daher ist \(c=\frac{9}{\sin(35^\circ)}\,\text{cm}\approx15{,}6910\,\text{cm}\). 5. Damit ist \(q=c-p\approx10{,}5288\,\text{cm}\). 6. Gerundet erhält man \(p\approx5{,}16\,\text{cm}\), \(q\approx10{,}53\,\text{cm}\) und \(h\approx7{,}37\,\text{cm}\).

\(p\approx5{,}16\,\text{cm}\), \(q\approx10{,}53\,\text{cm}\), \(h\approx7{,}37\,\text{cm}\)

- Welche Kathete kannst du direkt aus \(c\) und \(\beta\) bestimmen? - Betrachte danach das rechtwinklige Dreieck \(BCD\). Welche Rollen haben \(p\) und \(h\) dort? - Wie erhältst du aus \(p\) und \(c\) den Abschnitt \(q\)?

1. Die Kathete \(a\) ist \(a=c\cos(\beta)=15\cos(50^\circ)\,\text{cm}\approx9{,}6418\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(BCD\) ist \(p\) die Ankathete zu \(\beta\). Daher gilt \(p=a\cos(\beta)\approx6{,}1976\,\text{cm}\). 3. Dort ist \(h\) die Gegenkathete zu \(\beta\). Daher gilt \(h=a\sin(\beta)\approx7{,}3861\,\text{cm}\). 4. Der zweite Abschnitt ist \(q=c-p\approx8{,}8024\,\text{cm}\). 5. Gerundet erhält man \(p\approx6{,}20\,\text{cm}\), \(q\approx8{,}80\,\text{cm}\) und \(h\approx7{,}39\,\text{cm}\).

\(p\approx6{,}20\,\text{cm}\), \(q\approx8{,}80\,\text{cm}\) und \(h\approx7{,}39\,\text{cm}\)

- Welche Figur bilden die beiden Radien mit der Sehne? - Was bewirkt die Symmetrieachse dieses Dreiecks für Sehne und Mittelpunktswinkel? - Welche Bogenlängenformel nutzt anschließend den Mittelpunktswinkel?

1. Die beiden Radien und die Sehne bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Nach Halbierung gilt \(s=2r\sin\left(\frac\alpha2\right)\). 2. Daher ist \(r=\frac{6}{2\sin25^\circ}\,\text{cm}\approx7{,}10\,\text{cm}\). 3. Mit dem ungerundeten Radius ist \(b=2\pi r\cdot\frac{50}{360}\approx6{,}19\,\text{cm}\).

\(r\approx7{,}10\,\text{cm}\), \(b\approx6{,}19\,\text{cm}\)

- Welche Rolle spielt die Diagonale im rechtwinkligen Teildreieck? - Wie erhältst du aus Hypotenuse und Winkel beide Katheten? - Welche zwei Längen brauchst du für die Rechtecksfläche?

1. Die Diagonale ist die Hypotenuse des entstehenden rechtwinkligen Dreiecks. 2. Die beiden Rechteckseiten sind \(9{,}4\cos38^\circ\,\text{cm}\) und \(9{,}4\sin38^\circ\,\text{cm}\). 3. Ihr Produkt ist der Flächeninhalt: \(A\approx42{,}87\,\text{cm}^2\).

\(A\approx42{,}87\,\text{cm}^2\)

- Welche Beziehung liefert aus den beiden Katheten die Hypotenuse? - Welche Winkelfunktion verwendet nur Gegenkathete und Ankathete? - Wie hängen die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen?

1. Mit dem Satz des Pythagoras gilt \(c=\sqrt{4^2+7^2}\,\text{cm}=\sqrt{65}\,\text{cm}\approx8{,}06\,\text{cm}\). 2. Für \(\alpha\) gilt \(\tan\alpha=\frac47\). Daher ist \(\alpha=\arctan\left(\frac47\right)\approx29{,}7^\circ\). 3. Der zweite spitze Winkel ist \(\beta=90^\circ-\alpha\approx60{,}3^\circ\).

\(c=\sqrt{65}\,\text{cm}\approx8{,}06\,\text{cm}\), \(\alpha\approx29{,}7^\circ\), \(\beta\approx60{,}3^\circ\)

- Durch welche Höhe kannst du das Trapez in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen? - Welcher Abschnitt der unteren Grundseite ist gleich lang wie \(BC\)? - Welche Winkelfunktion liefert den übrigen Abschnitt?

1. Fällt man von \(C\) das Lot auf \(AD\) mit Fußpunkt \(E\), so gilt im Rechteck \(ABCE\): \(AE=BC=6\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(CED\) ist \(ED=8\cos(50^\circ)\,\text{cm}\approx5{,}14\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(AD=AE+ED\approx11{,}14\,\text{cm}\).

\(x\approx11{,}14\,\text{cm}\)

- In welchem der beiden Dreiecke kannst du zuerst die gemeinsame Seite \(AB\) bestimmen? - Welche Rolle hat \(AB\) anschließend im zweiten Dreieck? - Welche Funktion verbindet dort \(AB\) mit der gesuchten Hypotenuse?

1. Im Dreieck \(ABC\) gilt \(\sin30^\circ=\frac{BC}{AB}\). Daher ist \(AB=10\,\text{cm}\). 2. Im Dreieck \(ABD\) gilt \(\sin40^\circ=\frac{AB}{AD}\). 3. Somit ist \(AD=\frac{10}{\sin40^\circ}\,\text{cm}\approx15{,}56\,\text{cm}\).

\(AD\approx15{,}56\,\text{cm}\)

- Welche Höhe kannst du zuerst im linken rechtwinkligen Teildreieck bestimmen? - Welche beiden Seiten sind im zweiten Teildreieck Gegenkathete und Ankathete zu \(\alpha\)? - Welche Winkelfunktion verwendet genau diese beiden Seiten?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) ist \(AC=\sqrt{13^2-5^2}\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(ADC\) gilt \(\tan\alpha=\frac{9}{12}=0{,}75\). 3. Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}75)\approx36{,}87^\circ\).

\(\alpha\approx36{,}87^\circ\)

- Welche Teilstrecke auf \(BC\) erhältst du aus dem \(15^\circ\)-Winkel? - Wie groß ist der gesamte Winkel bei \(A\)? - Wie setzt sich \(CB\) aus \(CD\) und \(BD\) zusammen?

1. Im Dreieck \(ADC\) gilt \(CD=12\tan(15^\circ)\,\text{cm}\). 2. Der gesamte Winkel \(\angle CAB\) ist \(45^\circ\), daher ist \(CB=12\tan(45^\circ)\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). 3. Somit ist \(BD=CB-CD=12-12\tan(15^\circ)\,\text{cm}\approx8{,}78\,\text{cm}\).

\(BD\approx8{,}78\,\text{cm}\)

- In welche zwei rechtwinkligen Dreiecke zerlegt die Höhe die Figur? - Welche Basisstrecke ist in jedem Teildreieck die Gegenkathete zum gegebenen Winkel bei \(A\)? - Wie setzt sich \(BD\) aus den beiden mit dem Tangens bestimmbaren Teilstrecken zusammen?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) gilt \(\tan(32^\circ)=\frac{BC}{8}\). Daher ist \(BC=8\tan(32^\circ)\,\text{cm}\approx5{,}00\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(ADC\) gilt \(\tan(47^\circ)=\frac{CD}{8}\). Daher ist \(CD=8\tan(47^\circ)\,\text{cm}\approx8{,}58\,\text{cm}\). 3. Somit ist \(BD=BC+CD=8\bigl(\tan(32^\circ)+\tan(47^\circ)\bigr)\,\text{cm}\approx13{,}58\,\text{cm}\).

\(BD\approx13{,}58\,\text{cm}\)

- Als Differenz welcher beiden Winkel bei \(A\) lässt sich \(x\) ausdrücken? - Welche Gegenkatheten gehören in den beiden rechtwinkligen Dreiecken zu diesen Winkeln? - Bilde die Differenz erst aus ungerundeten Winkelwerten.

1. Im Dreieck \(ADC\) ist \(\angle CAD=\arctan\left(\frac4{10}\right)\approx21{,}80^\circ\). 2. Da \(CB=12\,\text{cm}\), ist im Gesamtdreieck \(\angle CAB=\arctan\left(\frac{12}{10}\right)\approx50{,}19^\circ\). 3. Mit ungerundeten Zwischenwerten folgt \(x=\angle CAB-\angle CAD\approx28{,}39^\circ\).

\(x\approx28{,}39^\circ\)

- Wie groß ist der Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Achtecks? - Was geschieht mit diesem Winkel und mit der Seite \(a\), wenn du das Bestimmungsdreieck halbierst? - Welche Rollen haben \(R\), \(r\) und \(a/2\) im rechtwinkligen Teildreieck?

1. Der Mittelpunktswinkel des Achtecks ist \(360^\circ:8=45^\circ\); im halbierten Bestimmungsdreieck beträgt er \(22{,}5^\circ\). 2. Es gilt \(\tan22{,}5^\circ=\frac{a/2}{r}\), also \(r=\frac{2}{\tan22{,}5^\circ}\,\text{cm}\approx4{,}83\,\text{cm}\). 3. Außerdem gilt \(\sin22{,}5^\circ=\frac{a/2}{R}\), also \(R=\frac{2}{\sin22{,}5^\circ}\,\text{cm}\approx5{,}23\,\text{cm}\).

\(R\approx5{,}23\,\text{cm}\), \(r\approx4{,}83\,\text{cm}\)

- Bestimme den Mittelpunktswinkel aus der Anzahl der Seiten. - Was geschieht mit diesem Winkel im halbierten Bestimmungsdreieck? - Welche Seitenrolle haben dort \(a/2\), \(r\) und \(R\)?

1. Der Mittelpunktswinkel des Fünfecks ist \(72^\circ\); im halbierten Bestimmungsdreieck beträgt er \(36^\circ\). 2. Daher ist \(a=2R\sin36^\circ\approx11{,}76\,\text{cm}\). 3. Außerdem ist \(r=R\cos36^\circ\approx8{,}09\,\text{cm}\).

\(a\approx11{,}76\,\text{cm}\), \(r\approx8{,}09\,\text{cm}\)

- Was bedeutet ein negativer gerichteter Winkel geometrisch? - In welchen Quadranten ist die y-Koordinate negativ? - Verwende den Betrag des Rechnerwinkels als Bezugswinkel.

1. Der Wert \(-44{,}43^\circ\) beschreibt eine Drehung im Uhrzeigersinn und liegt nicht im geforderten Bereich. 2. Der Bezugswinkel ist etwa \(44{,}43^\circ\). Da der Sinus negativ ist, liegen die Lösungen im dritten und vierten Quadranten. 3. Im dritten Quadranten ist \(\alpha_1=180^\circ+44{,}4270^\circ\approx224{,}43^\circ\). 4. Im vierten Quadranten ist \(\alpha_2=360^\circ-44{,}4270^\circ\approx315{,}57^\circ\).

\(\alpha\approx224{,}43^\circ\) oder \(\alpha\approx315{,}57^\circ\)

- Welche Seitenrollen siehst du relativ zu \(\alpha\) im linken Dreieck? - Welche Verhältnisse bleiben beim gleichmäßigen Skalieren unverändert? - Welche geometrische Bedeutung haben die beiden Koordinaten des Punktes im Einheitskreis?

1. Relativ zu \(\alpha\) ist die Ankathete \(4\), die Gegenkathete \(3\) und die Hypotenuse \(5\). 2. Daher ist \(\cos(\alpha)=\frac{4}{5}\) und \(\sin(\alpha)=\frac{3}{5}\). 3. Beim Skalieren auf Hypotenusenlänge \(1\) bleiben diese Verhältnisse erhalten. 4. Im Einheitskreis sind sie die x- und y-Koordinate. Somit ist \(P\left(\frac{4}{5}\mid\frac{3}{5}\right)\).

\(P\left(\frac{4}{5}\mid\frac{3}{5}\right)\); die x-Koordinate entspricht \(\cos(\alpha)\), die y-Koordinate \(\sin(\alpha)\).

- Welche Strecke in der Grundfläche gehört im passenden rechtwinkligen Dreieck zur Raumdiagonale? - Bestimme zuerst die Länge dieser Strecke. - Welches Seitenverhältnis verbindet diese Strecke, die Körperhöhe und den gesuchten Winkel?

1. Die Projektion der Raumdiagonale auf die Grundfläche ist die Grundflächendiagonale. Ihre Länge ist \(p=\sqrt{6^2+8^2}\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck aus Projektion, Körperhöhe und Raumdiagonale gilt \(\tan\alpha=\frac{12}{10}\). 3. Daher ist \(\alpha=\arctan\left(\frac{12}{10}\right)\approx50{,}2^\circ\).

\(\alpha\approx50{,}2^\circ\)

- Welche Beziehung verbindet die Höhe mit den beiden Hypotenusenabschnitten? - Drücke mit \(q=4p\) die Höhe durch nur eine Variable aus. - Welche beiden Seiten bilden im Teildreieck am Winkel \(\alpha\) Gegenkathete und Ankathete?

1. Nach dem Höhensatz gilt \(h_c^2=pq\). 2. Mit \(q=4p\) folgt \(h_c^2=4p^2\) und damit \(h_c=2p\). 3. Im rechtwinkligen Teildreieck am Winkel \(\alpha\) ist \(h_c\) die Gegenkathete und \(q\) die Ankathete. Daher gilt \(\tan\alpha=\frac{h_c}{q}\). 4. Einsetzen liefert \(\tan\alpha=\frac{2p}{4p}=\frac12=0{,}5\).

\(\tan\alpha=0{,}5\)

- Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor. Welche Seite ist immer die längste? - Vergleiche die Brüche für Sinus (\(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)) und Tangens (\(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)). Wenn der Wert des Bruchs gleich ist, was bedeutet das für die Nenner? - Was passiert mit dem Sinuswert eines Winkels, wenn der Winkel größer wird?

1. Es gilt \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\). Da für spitze Winkel \(\cos \beta < 1\) ist, muss \(\sin \beta = \tan \beta \cdot \cos \beta\) kleiner als \(\tan \beta\) sein. Wenn \(\tan \beta = 0{,}3\) ist, dann ist \(\sin \beta < 0{,}3\). Da der Sinus im Bereich von \(0^\circ\) bis \(90^\circ\) mit wachsendem Winkel ansteigt und \(\sin \alpha = 0{,}3\) gilt, muss \(\alpha > \beta\) sein. 2. Berechnung: \(\alpha = \arcsin(0{,}3) \approx 17{,}46^\circ\). \(\beta = \arctan(0{,}3) \approx 16{,}70^\circ\). Damit ist \(\alpha > \beta\) bestätigt.

1. Der Winkel \(\alpha\) ist größer als \(\beta\). 2. \(\alpha \approx 17{,}46^\circ\) und \(\beta \approx 16{,}70^\circ\).

- Welche Seite ist in einem rechtwinkligen Dreieck grundsätzlich die längste? - Vergleiche die Nenner der Brüche für Sinus und Tangens. Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner kleiner wird? - Stell dir vor, der Winkel \(\alpha\) wird sehr steil (fast \(90^\circ\)). Was passiert dann mit der Länge der Ankathete?

1. Vergleich der Definitionen: \(\sin(\alpha) = \frac{G}{H}\) und \(\tan(\alpha) = \frac{G}{A}\), wobei \(G\) die Gegenkathete, \(A\) die Ankathete und \(H\) die Hypotenuse ist. 2. Da die Hypotenuse \(H\) in jedem rechtwinkligen Dreieck die längste Seite ist, gilt stets \(H > A\). 3. Bei gleichem Zähler \(G\) ist ein Bruch größer, wenn der Nenner kleiner ist. Wegen \(A < H\) folgt \(\frac{G}{A} > \frac{G}{H}\), also \(\tan(\alpha) > \sin(\alpha)\). 4. Analyse des Verhaltens bei \(\alpha \to 90^\circ\): Während \(\sin(\alpha)\) sich dem Wert \(1\) annähert (da \(G\) fast so lang wie \(H\) wird), strebt \(\tan(\alpha)\) gegen Unendlich (da die Ankathete \(A\) gegen \(0\) geht). 5. Die Differenz \(\tan(\alpha) - \sin(\alpha)\) wird in der Nähe von \(90^\circ\) beliebig groß und kann daher bei wachsendem \(\alpha\) nicht immer kleiner werden. Die Behauptung ist falsch.

a) Da \(H > A\) gilt, ist \(\frac{G}{H} < \frac{G}{A}\), folglich \(\sin(\alpha) < \tan(\alpha)\). b) Die Behauptung ist falsch; da \(\tan(\alpha)\) gegen Unendlich strebt und \(\sin(\alpha)\) gegen \(1\) strebt, wird der Abstand in der Nähe von \(90^\circ\) beliebig groß und kann nicht immer kleiner werden.

- Nutze in Teil a) zuerst die Winkelsumme und die Beziehung zwischen Basis- und Spitzenwinkel. - Welche rechtwinkligen Teildreiecke entstehen durch die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks? - In Teil b) ist das Verhältnis von Höhe zu halber Basis vorgegeben. Welche trigonometrische Beziehung beschreibt genau dieses Verhältnis?

1. Im gleichschenkligen Dreieck gilt \(2\alpha+\gamma=180^\circ\). Mit \(\alpha=2\gamma\) folgt \(5\gamma=180^\circ\), also \(\gamma=36^\circ\) und \(\alpha=72^\circ\). 2. Die Höhe halbiert die Basis. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(\cos(72^\circ)=\frac{5}{s}\). Daher ist \(s=\frac{5}{\cos(72^\circ)}\,\text{cm}\approx16{,}18\,\text{cm}\). 3. Für Teil b) gilt im rechtwinkligen Teildreieck \(\tan(\alpha)=\frac{h_c}{c/2}\). Mit \(h_c=c\) folgt \(\tan(\alpha)=2\). 4. Somit ist \(\alpha=\arctan(2)\approx63{,}43^\circ\). Da \(2\alpha<180^\circ\) gilt, ist ein solches gleichschenkliges Dreieck möglich.

a) \(s\approx16{,}18\,\text{cm}\) b) Ja; \(\alpha\approx63{,}43^\circ\).

- Wie lässt sich \(\frac{c}{b}\) durch den Kosinus ausdrücken? - Vergleiche in b) die neuen und alten Werte durch einen Quotienten und runde erst am Ende. - Was geschieht mit dem Kosinus, wenn ein spitzer Winkel gegen \(90^\circ\) geht?

1. Es gilt \(V=\frac{1}{\cos\alpha}\). Aus \(V=2\) folgt \(\cos\alpha=\frac12\) und damit \(\alpha=60^\circ\). 2. Für \(80^\circ\) ist \(V(80^\circ)=\frac{1}{\cos(80^\circ)}\approx5{,}7588\). 3. Für \(85^\circ\) ist \(V(85^\circ)=\frac{1}{\cos(85^\circ)}\approx11{,}4737\). 4. Mit ungerundeten Werten ist der Änderungsfaktor \(\frac{V(85^\circ)}{V(80^\circ)}\approx1{,}99\). Die Behauptung ist damit zutreffend. 5. Für \(\alpha\to90^\circ\) gilt \(\cos\alpha\to0\). Da dieser Wert im Nenner von \(V=\frac1{\cos\alpha}\) steht, wächst \(V\) ohne obere Schranke.

a) \(\alpha=60^\circ\) b) \(V(80^\circ)\approx5{,}7588\), \(V(85^\circ)\approx11{,}4737\); Änderungsfaktor \(\approx1{,}99\). Die Behauptung stimmt. c) Weil \(\cos\alpha\) gegen \(0\) geht, wird \(\frac1{\cos\alpha}\) beliebig groß.

- Stelle die Sinus-Flächenformel nach \(\sin\gamma\) um. - Welche zwei Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) können denselben positiven Sinuswert haben? - Welche der beiden Möglichkeiten passt zur Angabe „stumpfwinklig“?

1. Aus \(A=\frac12ab\sin\gamma\) folgt \(\sin\gamma=\frac{14}{19{,}8}\approx0{,}70707\). 2. Der Taschenrechner liefert zunächst einen spitzen Winkel von etwa \(45{,}0^\circ\). 3. Da \(\gamma\) laut Aufgabe stumpf ist, gilt \(\gamma=180^\circ-45{,}0^\circ=135{,}0^\circ\).

\(\gamma=135{,}0^\circ\)

- Wo liegt die Höhe auf \(a\) bei einem stumpfen Winkel? - Welcher Winkel im entstehenden rechtwinkligen Dreieck ist supplementär zu \(\gamma\)? - Wie kannst du die Höhe anschließend in der üblichen Flächenformel ersetzen?

1. Betrachte die Höhe \(h_a\) von \(A\) auf die Verlängerung der Grundseite \(a\). 2. Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck ist der zu \(\gamma\) supplementäre Winkel \(180^\circ-\gamma\). 3. Daher gilt \(\sin(180^\circ-\gamma)=\frac{h_a}{b}\). 4. Mit \(\sin(180^\circ-\gamma)=\sin\gamma\) folgt \(h_a=b\sin\gamma\). 5. Eingesetzt in \(A=\frac12ah_a\) erhält man \(A=\frac12ab\sin\gamma\).

Wegen \(h_a=b\sin(180^\circ-\gamma)=b\sin\gamma\) gilt auch für stumpfes \(\gamma\): \(A=\frac12ab\sin\gamma\).

- Welche Winkelbeziehung liefert das gleichschenklige Dreieck \(ABD\) zusammen mit dem Außenwinkel bei \(D\)? - Welche exakten trigonometrischen Werte kennst du für \(30^\circ\)? - Wie setzt sich \(AC\) zusammen?

1. Wegen \(AD=BD\) ist \(ABD\) gleichschenklig. Der Außenwinkel bei \(D\) beträgt \(30^\circ\) und ist die Summe der beiden gleichen gegenüberliegenden Innenwinkel. Daher ist \(\alpha=15^\circ\). 2. Im Dreieck \(BCD\) gilt \(CD=\frac1{\tan30^\circ}=\sqrt3\) und \(BD=\frac1{\sin30^\circ}=2\). 3. Somit ist \(AC=AD+CD=2+\sqrt3\). 4. Daher ist \(\tan15^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac1{2+\sqrt3}=2-\sqrt3\).

a) \(\alpha=15^\circ\) b) \(CD=\sqrt3\), \(BD=2\), \(AC=2+\sqrt3\) c) \(\tan15^\circ=2-\sqrt3\)

- Wie groß ist der Unterschied zwischen den beiden parallelen Seiten? Wie verteilt er sich wegen der Symmetrie? - Welche zwei Seiten und welcher Winkel gehören in das rechtwinklige Randdreieck? - Welche waagerechte Strecke legt die Diagonale zurück?

1. Jeder horizontale Randabschnitt hat die Länge \(\frac{a-c}{2}=\frac{3}{4}c\). 2. Sei \(\varphi\) der Winkel zwischen einem Schenkel und der längeren Grundseite. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(\cos(\varphi)=\frac{3c/4}{c}=\frac{3}{4}\). 3. Für die Höhe gilt damit \(h=c\sin(\varphi)\). Aus \(\sin(\varphi)=\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}\) folgt \(h=\frac{\sqrt{7}}{4}c\). 4. Die waagerechte Projektion einer Diagonale ist \(\frac{3}{4}c+c=\frac{7}{4}c\). Für ihren Winkel \(\theta\) zur Grundseite gilt daher \(\tan(\theta)=\frac{h}{7c/4}=\frac{\sqrt{7}}{7}\). 5. Es ist \(\theta\approx20{,}7048^\circ\). Wegen der Symmetrie ist der stumpfe Winkel zwischen den Diagonalen \(\epsilon=180^\circ-2\theta\approx138{,}6^\circ\).

\(\cos(\varphi)=\frac{3}{4}\), \(h=c\sin(\varphi)=\frac{\sqrt{7}}{4}c\), \(\tan(\theta)=\frac{\sqrt{7}}{7}\) und damit \(\epsilon\approx138{,}6^\circ\).

- Welche exakten Werte von Sinus und Kosinus kennst du für \(30^\circ\)? - Wie setzt sich \(BD\) aus \(BC\) und \(CD\) zusammen? - Wie groß sind die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks? - Welche Seiten im Dreieck \(ABD\) liefern \(\sin75^\circ\)?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ADC\) ist \(AD=2\sin30^\circ=1\) und \(CD=2\cos30^\circ=\sqrt3\). 2. Daher ist \(BD=2-\sqrt3\). 3. Im Dreieck \(ABD\) gilt \(AB^2=1+(2-\sqrt3)^2=8-4\sqrt3\). Somit ist \(AB=\sqrt6-\sqrt2\). 4. Die Basiswinkel des Ausgangsdreiecks sind \(75^\circ\). Daher ist \(\sin75^\circ=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{\sqrt6-\sqrt2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).

a) \(AD=1\), \(CD=\sqrt3\), \(BD=2-\sqrt3\) b) \(AB=\sqrt6-\sqrt2\) c) \(\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)