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- Welchen Funktionswert hat \(f\) bei \(x=0\) in Abhängigkeit von \(c\)? - Welche Koordinate des Startpunkts kannst du direkt aus der Zeichnung ablesen?

1. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=c\). Daher lässt sich \(c\) am Schnittpunkt des Graphen mit der \(y\)-Achse ablesen. 2. Der Graph beginnt bei \((0\mid3)\). Somit ist \(c=3\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=\sqrt{x}+3\).

\(c=3\), also \(f(x)=\sqrt{x}+3\)

- Welche Symmetrie und welches Vorzeichen der Funktionswerte erkennst du im Graphen? - Lies einen einfachen Funktionswert bei \(x=1\) ab und vergleiche ihn mit den angebotenen Termen.

1. Der Graph ist zur \(y\)-Achse symmetrisch und öffnet sich nach oben; damit passen c) und d) nicht. 2. Am Graphen liest man bei \(x=1\) den Wert \(f(1)=2\) ab. Daher ist der Faktor \(a=2\). 3. Somit beschreibt \(f(x)=2x^2\) den dargestellten Graphen.

b) \(f(x)=2x^2\)

- Welchen Wert musst du für \(x\) in den Funktionsterm einsetzen? - Was ist \(1^3\)?

1. Setze \(x=1\) in den Funktionsterm ein: \(f(1)=-2\cdot1^3\). 2. Damit ist \(f(1)=-2\).

\(f(1)=-2\)

- Wie testet man, ob ein Punkt die Bedingung einer Gleichung erfüllt? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen der Form \(x^n = c\) bei geraden Exponenten zwei Lösungen existieren können. - Was bedeutet der Begriff „Stelle“ im Zusammenhang mit Funktionen?

1. Punktprobe für \(P(-2 | 4)\): Einsetzen von \(x = -2\) in die Gleichung ergibt \(f(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^4 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen. 2. Bestimmung der \(x\)-Koordinaten für \(f(x) = 64\): Ansatz \(\frac{1}{4}x^4 = 64\). Multiplikation mit \(4\) führt zu \(x^4 = 256\). Ziehen der vierten Wurzel ergibt \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). 3. Berechnung für \(x = -3\): Einsetzen ergibt \(f(-3) = \frac{1}{4} \cdot (-3)^4 = \frac{1}{4} \cdot 81 = 20{,}25\).

a) Ja, der Punkt liegt auf dem Graphen, da \(f(-2) = 4\). b) Die \(x\)-Koordinaten sind \(x = 4\) und \(x = -4\). c) Der Funktionswert ist \(20{,}25\).

- Überlege dir, welche Vorzeichen die Funktionswerte von \(f(x)\) und \(g(x)\) für beliebige \(x\)-Werte annehmen können. - Können eine positive und eine negative Zahl (außer der Null) jemals gleich sein? - Wenn du die Gleichung löst, achte auf Terme wie \(x^2 + 1\). Können diese null werden?

1. Argumentation für a): Da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x\), gilt \(f(x) \geq 0\). Da \(x^6 \geq 0\) für alle \(x\), gilt \(g(x) = -2x^6 \leq 0\). Ein gemeinsamer Punkt kann nur existieren, wenn beide Funktionswerte gleich \(0\) sind. Dies ist nur bei \(x=0\) der Fall, da für alle \(x \neq 0\) gilt: \(f(x) > 0\) und \(g(x) < 0\). 2. Rechnung für b): \(2x^4 = -2x^6 \Rightarrow 2x^4 + 2x^6 = 0\). 3. Faktorisieren: \(2x^4(1 + x^2) = 0\). 4. Nullstellen finden: \(2x^4 = 0\) liefert \(x = 0\). Der Faktor \((1 + x^2) = 0\) hat keine reelle Lösung, da \(x^2 = -1\) im Bereich der reellen Zahlen unmöglich ist. 5. Einziger Schnittpunkt ist somit \(S(0 | 0)\).

a) Da \(f(x)\) für alle \(x\) stets größer oder gleich Null ist und \(g(x)\) stets kleiner oder gleich Null, können sie nur beim Wert Null (also im Ursprung) übereinstimmen. b) Die Rechnung \(2x^4(1 + x^2) = 0\) zeigt, dass nur \(x=0\) eine reelle Lösung ist, da \(1 + x^2\) niemals Null wird. Der einzige Schnittpunkt ist \(S(0 | 0)\).

- Überlege dir, in welcher Potenz die Kantenlänge \(a\) in der Volumenformel vorkommt. - Wie verändert sich ein Produkt, wenn einer der Faktoren mit einer Zahl multipliziert und dann potenziert wird? - Erinnere dich daran, wie man einen Wachstumsfaktor in eine prozentuale Zunahme umrechnet.

1. Berechnung des Volumenverhältnisses für Teil a): Da das Volumen proportional zur dritten Potenz der Kantenlänge ist (\(V \propto a^3\)), gilt für das Verhältnis der Volumina \(\frac{V_{neu}}{V_{alt}} = \left(\frac{a_{neu}}{a_{alt}}\right)^3\). 2. Einsetzen der Werte: \(\left(\frac{12}{10}\right)^3 = 1{,}2^3 = 1{,}728\). 3. Bestimmung der prozentualen Zunahme: Ein Faktor von \(1{,}728\) entspricht einer Steigerung um \(72{,}8\,\%\). 4. Analyse für Teil b): Bei einer Verdreifachung der Kantenlänge (\(a' = 3a\)) ergibt sich das neue Volumen zu \(V' = \frac{\sqrt{2}}{12} (3a)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 27a^3 = 27V\). Das Volumen versiebenundzwanzigfacht sich also.

a) Das Volumen nimmt um \(72{,}8\,\%\) zu. b) Das Volumen vergrößert sich um den Faktor \(27\), da \(3^3 = 27\) ist.

- Was passiert, wenn du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzt? - Wie kannst du die Gleichung nach der Potenz freistellen? - Welche Zahl hoch 3 ergibt 8?

1. Einsetzen des Punktes \(P(4 | 32)\) in die Funktionsgleichung: \(32 = \frac{1}{2} \cdot 4^n\). 2. Multiplikation mit 2 ergibt \(64 = 4^n\). Da \(4^3 = 64\) ist, folgt \(n = 3\). 3. Ansatz für Teil b) mit \(n = 3\): \(f(a) = \frac{1}{2} a^3 = 4\). 4. Multiplikation mit 2 ergibt \(a^3 = 8\). 5. Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(a = \sqrt[3]{8} = 2\).

a) \(n = 3\) b) \(a = 2\)

- Welche Änderung entsteht durch den Faktor vor der Potenz? - Welche Wirkung hat eine Veränderung innerhalb der Klammer am Argument \(x\)? - Welche Transformation erkennst du am Summanden außerhalb der Potenz?

1. Der Faktor \(-0{,}5\) bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 2. Durch \(x-2\) wird der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. 3. Durch \(+3\) wird der Graph um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 4. Der Graph ist dadurch nach unten geöffnet und verläuft flacher als der Graph von \(f\).

Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben; der Graph ist nach unten geöffnet und flacher als \(f\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie hoch drei nimmt? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Funktionen für denselben x-Wert. Siehst du ein Muster? - Erinnere dich an die Definitionen für Achsensymmetrie (\(f(-x) = f(x)\)) und Punktsymmetrie (\(f(-x) = -f(x)\)). - Wie wirkt sich ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem aus?

1. Berechnung der Tabellenwerte für \(f(x) = x^3\): \(f(-2) = -8\), \(f(-1) = -1\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\), \(f(2) = 8\). 2. Berechnung der Tabellenwerte für \(g(x) = -x^3\): \(g(-2) = 8\), \(g(-1) = 1\), \(g(0) = 0\), \(g(1) = -1\), \(g(2) = -8\). 3. Geometrische Abbildung: Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse. Wegen der Punktsymmetrie von \(f\) zum Ursprung führt hier auch eine Spiegelung an der \(y\)-Achse zu demselben Graphen. 4. Prüfung auf Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(g(-x) = -(-x)^3 = x^3\), aber \(g(x) = -x^3\). Somit gilt im Allgemeinen \(g(-x) \ne g(x)\); der Graph ist nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 5. Prüfung auf Punktsymmetrie zum Ursprung: \(-g(x) = -(-x^3) = x^3\). Daher gilt \(g(-x) = -g(x)\), also ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Werte für \(f(x)\): \(-8; -1; 0; 1; 8\); Werte für \(g(x)\): \(8; 1; 0; -1; -8\). b) Spiegelung an der \(x\)-Achse; bei dieser speziellen Funktion liefert auch die Spiegelung an der \(y\)-Achse denselben Graphen. c) Der Graph ist nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, aber punktsymmetrisch zum Ursprung, denn \(g(-x) = -g(x)\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie kannst du eine Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) in der fünften Potenz steht? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenzierst. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Dezimalzahlen und Brüchen, falls dir das Rechnen mit Kommazahlen schwerfällt.

1. Für Punkt \(A\): Einsetzen von \(x = 3\) in \(y = x^5\) ergibt \(y = 3^5 = 243\). Somit ist \(A(3; 243)\). 2. Für Punkt \(B\): Einsetzen von \(y = -32\) ergibt \(-32 = x^5\). Ziehen der 5. Wurzel liefert \(x = \sqrt[5]{-32} = -2\). Somit ist \(B(-2; -32)\). 3. Für Punkt \(C\): Einsetzen von \(x = -0{,}1\) ergibt \(y = (-0{,}1)^5 = -0{,}00001\). Somit ist \(C(-0{,}1; -0{,}00001)\). 4. Für Punkt \(D\): Einsetzen von \(y = 0\) ergibt \(0 = x^5\), woraus direkt \(x = 0\) folgt. Somit ist \(D(0; 0)\). 5. Für Punkt \(E\): Einsetzen von \(x = 0{,}5\) ergibt \(y = (0{,}5)^5 = 0{,}03125\). Somit ist \(E(0{,}5; 0{,}03125)\).

a) \(A(3; 243)\) b) \(B(-2; -32)\) c) \(C(-0{,}1; -0{,}00001)\) d) \(D(0; 0)\) e) \(E(0{,}5; 0{,}03125)\)

- Welche der vier Funktionen kann für \(x>0\) einen fallenden Graphen besitzen? - Vergleiche einfache Funktionswerte, zum Beispiel bei \(x=1\), \(x=2\) oder \(x=4\), mit der Zeichnung. - Beobachte bei den steigenden Graphen, ob die Steigung mit wachsendem \(x\) eher zu- oder abnimmt.

1. Graph \(c\) ist für \(x>0\) streng fallend und wächst für \(x\to0^+\) unbegrenzt. Das passt zu \(f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}\). Daher gehört 1) zu \(c\). 2. Für \(g(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) gilt unter anderem \(g(1)=1\) und \(g(4)=2\). Der Graph wächst für \(x>0\) mit abnehmender Steigung. Daher gehört 2) zu \(a\). 3. Für \(h(x)=x^{\frac{3}{2}}\) gilt \(h(0)=0\) und \(h(1)=1\). Für \(x>1\) wächst der Graph stärker als \(a\), aber schwächer als eine quadratische Potenz mit gleichem Vorfaktor. Daher gehört 3) zu \(b\). 4. \(k(x)=\frac{1}{4}x^2\) ist eine in \(y\)-Richtung gestauchte Parabel und erfüllt \(k(2)=1\) sowie \(k(4)=4\). Daher gehört 4) zu \(d\).

1) \(\rightarrow c\) 2) \(\rightarrow a\) 3) \(\rightarrow b\) 4) \(\rightarrow d\)

- Welche Gerade darf der Graph wegen seiner Polstelle nicht schneiden? - Welche Gerade beschreibt das langfristige Höhenniveau des verschobenen Graphen? - Wie spiegeln sich horizontale und vertikale Verschiebungen in einem Funktionsterm wider?

1. Aus der Zeichnung ist die senkrechte Asymptote \(x=-1\) ablesbar. Die waagerechte Asymptote ist \(y=-3\). 2. Die senkrechte Asymptote zeigt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links; die waagerechte Asymptote zeigt eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten. 3. Damit lautet der Funktionsterm \(g(x)=\frac{1}{(x+1)^2}-3\). 4. Als Kontrolle gilt beispielsweise \(g(0)=\frac{1}{1^2}-3=-2\), passend zum gezeichneten Graphen.

Senkrechte Asymptote: \(x=-1\) Funktionsterm: \(g(x)=\frac{1}{(x+1)^2}-3\)

- Welche Rolle spielt der Faktor \(a\) vor \(x^3\) für die Funktionswerte? - Welcher Graph steigt für positive \(x\)-Werte am stärksten an? - Vergleiche die drei Graphen an derselben positiven \(x\)-Stelle.

1. Bei \(y=ax^3\) führt ein größerer positiver Wert von \(a\) bei demselben positiven \(x\) zu einem größeren Funktionswert und damit zu einem steileren Verlauf. 2. Es gilt \(2{,}5>1>0{,}4\). 3. Graph \(a\) ist am steilsten und gehört zu A. Graph \(b\) liegt zwischen den beiden anderen und gehört zu B. Graph \(c\) ist am flachsten und gehört zu C.

\(a\rightarrow A\), \(b\rightarrow B\), \(c\rightarrow C\)

- Vergleiche die Lage des Minimums von \(x^4\) mit dem Minimum des gezeichneten Graphen. - Welche Änderung im Funktionsterm beschreibt eine Verschiebung in \(x\)-Richtung? - Welche Änderung beschreibt eine Verschiebung in \(y\)-Richtung?

1. Das Minimum des gezeichneten Graphen liegt bei \(S(1\mid1)\). 2. Der Graph von \(g(x)=x^4\) hat sein Minimum bei \((0\mid0)\). Die Verschiebung des Minimums um \(1\) nach rechts und \(1\) nach oben führt zu \(f(x)=(x-1)^4+1\). 3. Damit wurde der Graph von \(g\) um \(1\) Einheit nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben.

\(f(x)=(x-1)^4+1\); Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(1\) Einheit nach oben.

- Welche Information liefert der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse über \(c\)? - Welche noch unbekannte Größe lässt sich anschließend mit dem markierten Punkt bestimmen? - Vergleiche den Betrag des gefundenen Faktors mit \(1\), um die Veränderung der Form zu beschreiben.

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0\mid-2)\). Aus \(h(0)=c\) folgt \(c=-2\). 2. Der markierte Punkt \(P(1\mid-1{,}5)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen liefert \(-1{,}5=a\cdot1^3-2\), also \(a=0{,}5\). 3. Somit gilt \(h(x)=0{,}5x^3-2\). Gegenüber \(f\) wird der Graph in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und anschließend um \(2\) Einheiten nach unten verschoben.

\(a=0{,}5\), \(c=-2\), also \(h(x)=0{,}5x^3-2\); Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten.

- Welche Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, welcher ist punktsymmetrisch zum Ursprung? - Bei welchem Term können Funktionswerte für \(x\ne0\) negativ sein? - Welche Funktion wechselt beim Wechsel von \(x\) zu \(-x\) das Vorzeichen?

1. Graph \(g\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nimmt nur nichtnegative Werte an. Das passt zu \(y=x^2\). 2. Graph \(h\) verläuft durch den Ursprung, ist punktsymmetrisch zum Ursprung und wechselt dort das Vorzeichen. Das passt zu \(y=x^3\). 3. Graph \(f\) ist ebenfalls achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, liegt aber für \(x\ne0\) unterhalb der \(x\)-Achse. Das passt zu \(y=-0{,}5x^4\).

\(f: y=-0{,}5x^4\) \(g: y=x^2\) \(h: y=x^3\)

- Welche der drei Funktionen ist nur für nichtnegative \(x\) definiert? - Welche Funktion besitzt für jedes \(x\ne0\) einen positiven Funktionswert? - Bei welcher Funktion liegen die beiden Äste in unterschiedlichen Vorzeichenquadranten?

1. Graph \(c\) ist nur für nichtnegative \(x\) gezeichnet und beginnt im Ursprung. Das passt zu \(w(x)=\sqrt{x}\). 2. Graph \(a\) liegt für \(x\ne0\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Das passt zu \(u(x)=\frac{1}{x^2}\). 3. Graph \(b\) liegt im II. und IV. Quadranten und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das passt zu \(v(x)=-\frac{1}{x}\).

\(a\rightarrow u(x)=\frac{1}{x^2}\) \(b\rightarrow v(x)=-\frac{1}{x}\) \(c\rightarrow w(x)=\sqrt{x}\)

- Was passiert mit den \(y\)-Werten, wenn man den gesamten Term mit einer Zahl zwischen \(0\) und \(1\) multipliziert? - Setze den Wert \(x = 2\) einfach in die Funktionsgleichung von \(g\) ein.

1. Interpretation des Faktors: Der Faktor \(a = 0{,}5\) bewirkt eine Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung. Jeder Funktionswert von \(g\) ist genau halb so groß wie der entsprechende Wert von \(f\) an derselben Stelle \(x\). 2. Berechnung des Funktionswerts: \(g(2) = 0{,}5 \cdot 2^3 = 0{,}5 \cdot 8 = 4\). Der Punkt auf dem Graphen ist \(P(2 \mid 4)\).

a) Der Graph von \(g\) ist gegenüber dem Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung gestaucht (flacherer Verlauf). b) \(g(2) = 4\). Der Punkt ist \(P(2 \mid 4)\).

- Welche Koordinaten kannst du für die markierten Punkte aus den Achsen ablesen? - Was fällt beim Vergleich der Funktionswerte zu \(x\) und \(-x\) auf? - Welche kleinste positive natürliche Zahl erfüllt die daraus folgende Bedingung an den Exponenten? - Wie lässt sich anschließend der Vorfaktor mit einem der beiden Punkte bestimmen?

1. Aus der Abbildung liest man \(A(2\mid16)\) und \(B(-2\mid16)\) ab. Damit gilt \(f(2)=f(-2)\). Bei einer Funktion der Form \(ax^n\) ist dies für entgegengesetzte, von null verschiedene Eingaben genau bei geradem \(n\) möglich. 2. Die kleinstmögliche positive gerade natürliche Zahl ist \(n=2\). 3. Mit \(A(2\mid16)\) gilt \(16=a\cdot2^2=4a\). Daher ist \(a=4\). 4. Somit lautet die Funktion \(f(x)=4x^2\).

a) \(A(2\mid16)\), \(B(-2\mid16)\); da \(f(2)=f(-2)\), muss \(n\) gerade sein. b) \(f(x)=4x^2\)

- Was bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm für das Aussehen des Graphen? - Erinnere dich an die Nummerierung der Quadranten (gegen den Uhrzeigersinn, beginnend oben rechts). - Teste einen positiven und einen negativen \(x\)-Wert für \(g(x)\), um die Lage im Koordinatensystem zu prüfen.

1. Geometrische Abbildung: Der Term \(-x^3\) entspricht \(-(x^3)\). Dies bedeutet, dass jeder Funktionswert von \(f\) negiert wird. Somit entsteht der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der x-Achse. (Alternativ: Spiegelung an der y-Achse, da \((-x)^3 = -x^3\)). 2. Quadranten: Der Graph von \(f(x) = x^3\) verläuft im I. und III. Quadranten. Durch die Spiegelung an der x-Achse verläuft der Graph von \(g(x) = -x^3\) im II. Quadranten (für negative \(x\)-Werte sind die \(y\)-Werte positiv) und im IV. Quadranten (für positive \(x\)-Werte sind die \(y\)-Werte negativ).

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der x-Achse (oder an der y-Achse). b) Der Graph von \(g\) verläuft im II. und IV. Quadranten.

- Welche Information über horizontale und vertikale Verschiebung liefert der Startpunkt einer Wurzelfunktion? - Welcher Parameter bleibt nach dem Ablesen des Startpunkts noch unbekannt? - Wie kann der zweite markierte Punkt diesen Parameter festlegen?

1. Aus der Abbildung liest man den Startpunkt \(S(1\mid2)\) ab. Daher sind \(x_0=1\) und \(y_0=2\), also \(f(x)=a\sqrt{x-1}+2\). 2. Der markierte Punkt ist \(P(5\mid4)\). Einsetzen ergibt \(4=a\sqrt{5-1}+2=2a+2\). 3. Daraus folgt \(a=1\). 4. Somit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=\sqrt{x-1}+2\).

\(f(x)=\sqrt{x-1}+2\)

- Welcher charakteristische Punkt von \(x^4\) lässt sich nach einer Verschiebung besonders gut verfolgen? - Vergleiche dessen neue Koordinaten mit \((0\mid0)\). - Achte beim Einsetzen von \(x_0\) auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer.

1. Aus der Grafik ist der Tiefpunkt \(S(-2\mid-1)\) ablesbar. 2. Gegenüber dem Tiefpunkt \((0\mid0)\) von \(x^4\) bedeutet dies eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten. 3. Damit ist \(x_0=-2\) und \(y_0=-1\). Es folgt \(g(x)=(x+2)^4-1\). 4. Zur Kontrolle gilt beispielsweise \(g(-1)=0\), passend zur Zeichnung.

\(g(x)=(x+2)^4-1\); Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten.

- Welcher charakteristische Punkt von \(x^3\) lässt sich nach einer Verschiebung gut verfolgen? - Welche horizontalen und vertikalen Abstände hat dieser Punkt vom Ursprung? - Wie erscheinen diese Verschiebungen in der Form \((x-x_0)^3+y_0\)?

1. Der charakteristische Terrassenpunkt des gezeichneten Graphen liegt bei \(P(1\mid2)\). 2. Gegenüber dem Terrassenpunkt \((0\mid0)\) von \(x^3\) ist der Graph um \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Daher gilt \(x_0=1\) und \(y_0=2\), also \(h(x)=(x-1)^3+2\). 4. Zur Kontrolle gilt \(h(0)=1\), passend zum Graphen.

\(h(x)=(x-1)^3+2\); Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben.

- Welche Werte für \(x\) und \(y\) kannst du an der Stelle des Punktes \(Q\) ablesen? - Was musst du tun, wenn du einen Punkt und eine Funktionsgleichung mit einem unbekannten Parameter hast? - Denke daran, zuerst die Potenz zu berechnen, bevor du nach \(a\) auflöst.

1. Koordinaten ablesen: Der Punkt \(Q\) hat die Koordinaten \((2 \mid 1)\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung: Wir setzen \(x = 2\) und \(f(x) = 1\) in \(f(x) = ax^2\) ein: \(1 = a \cdot 2^2\). 3. Berechnung: - \(1 = a \cdot 4\) - \(a = \frac{1}{4} = 0{,}25\) 4. Die Funktion lautet somit \(f(x) = 0{,}25x^2\).

Der Punkt \(Q\) hat die Koordinaten \((2 \mid 1)\). Der Streckfaktor ist \(a = 0{,}25\).

- Welche Werte liefern die Terme bei \(x=1\)? - Welcher Funktionsterm muss für wachsende positive \(x\) fallen? - Vergleiche bei den steigenden Graphen zusätzlich einen zweiten einfachen \(x\)-Wert.

1. Graph \(a\) hat bei \(x=1\) den Wert \(3\) und wächst mit abnehmender Steigung. Das passt zu \(f(x)=3x^{0{,}5}\). 2. Graph \(c\) fällt für positive \(x\) und verläuft durch \((1\mid4)\). Das passt zu \(h(x)=\frac{4}{x}\). 3. Graph \(b\) verläuft durch \((1\mid1)\) und \((2\mid4)\). Das passt zu \(g(x)=x^2\). 4. Graph \(d\) verläuft durch \((1\mid0{,}5)\) und ebenfalls durch \((2\mid4)\). Das passt zu \(k(x)=0{,}5x^3\). 5. \(m(x)=x^{-2}\) bleibt unbenutzt; seine Werte passen zu keinem der vier Graphen.

\(a\rightarrow f\) \(b\rightarrow g\) \(c\rightarrow h\) \(d\rightarrow k\) \(m\) bleibt unbenutzt.

- Welcher Term kann für positive \(x\) negative Funktionswerte liefern? - Welche der Funktionen mit positiver Ausgabe fällt für wachsende \(x\)? - Prüfe einfache Stellen wie \(x=1\) und \(x=4\), um die verbleibenden Graphen zu unterscheiden.

1. Graph \(d\) verläuft durch den Ursprung und liegt für positive \(x\) unterhalb der \(x\)-Achse. Das passt zu \(s(x)=-0{,}2x^2\). 2. Graph \(b\) fällt für positive \(x\) und erfüllt unter anderem \(q(1)=1\) und \(q(4)=0{,}5\). Daher gehört \(b\) zu \(q(x)=x^{-0{,}5}\). 3. Graph \(c\) erfüllt \(r(1)=1{,}5\) und \(r(4)=3\). Daher gehört \(c\) zu \(r(x)=1{,}5\sqrt{x}\). 4. Graph \(a\) verläuft durch \((1\mid1)\) und hat bei \(x=4\) ungefähr den Wert \(1{,}6\). Das passt zu \(p(x)=\sqrt[3]{x}\). 5. \(t(x)=2x^{-1}\) bleibt unbenutzt, da der zugehörige Graph bei \(x=1\) den Wert \(2\) hätte.

\(a\rightarrow p\) \(b\rightarrow q\) \(c\rightarrow r\) \(d\rightarrow s\) \(t\) bleibt unbenutzt.

- Für welche \(x\)-Werte ist \(\sqrt{x}\) als reelle Funktion definiert? - Wie verändert sich die Steigung der Wurzelfunktion für größere positive \(x\)? - Welcher Graph enthält den Punkt \(P(4\mid2)\)?

1. Die Wurzelfunktion ist nur für \(x\ge0\) definiert, beginnt im Ursprung und wächst mit abnehmender Steigung. Diese Eigenschaften zeigt Graph \(b\). 2. Zusätzlich gilt \(f(4)=\sqrt{4}=2\). Der Punkt \(P(4\mid2)\) liegt auf Graph \(b\). 3. Die übrigen Graphen zeigen eine Parabel, eine reziproke Funktion beziehungsweise eine Gerade und passen daher nicht.

Graph \(b\)

- Woran erkennst du im Koordinatensystem einen Schnittpunkt zweier Graphen? - Vergleiche zwischen den beiden Schnittpunkten die Höhen der Graphen für denselben \(x\)-Wert. - Prüfe auch den Bereich rechts vom zweiten Schnittpunkt innerhalb der vorgegebenen Grenze.

1. Aus der Grafik liest man die Schnittpunkte \(S_1(0\mid0)\) und \(S_2(4\mid2)\) ab. 2. Für \(0<x<4\) liegt der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\). Dort gilt also \(\sqrt{x}>0{,}5x\). 3. Für \(4<x<5\) liegt die Gerade oberhalb der Wurzelfunktion.

1. \(S_1(0\mid0)\) und \(S_2(4\mid2)\) 2. Für \(0<x<4\)

- Welcher Tabellenwert macht die Bestimmung von \(a\) besonders direkt? - Setze anschließend den noch fehlenden \(x\)-Wert in den gefundenen Funktionsterm ein.

1. Für \(x=1\) gilt \(f(1)=a\cdot1^3=a\). Aus der Tabelle folgt daher \(a=0{,}5\). 2. Damit ist \(f(x)=0{,}5x^3\). 3. Für \(x=2\) folgt \(f(2)=0{,}5\cdot2^3=0{,}5\cdot8=4\).

\(a=0{,}5\); der fehlende Tabellenwert ist \(4\).

- Was passiert, wenn du die Koordinaten des ersten Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt? - Wie kannst du den Koeffizienten \(a\) nutzen, um mit dem zweiten Punkt den Exponenten \(n\) zu bestimmen? - Welche Eigenschaft des Exponenten entscheidet über die Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse?

1. Einsetzen des Punktes \(P(1 | -2)\) in \(f(x) = ax^n\): \(-2 = a \cdot 1^n\), woraus direkt \(a = -2\) folgt. 2. Einsetzen des Punktes \(Q(2 | -32)\) und des Wertes für \(a\) in die Gleichung: \(-32 = -2 \cdot 2^n\). 3. Auflösen nach \(n\): \(16 = 2^n\), woraus sich \(n = 4\) ergibt. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = -2x^4\). 4. Da der Exponent \(n = 4\) eine gerade natürliche Zahl ist, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^4\). Da der Exponent \(n = 4\) gerade ist, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Welche Information liefert dir die Punktsymmetrie über den Exponenten \(n\)? - Was kannst du über das Vorzeichen von \(a\) sagen, wenn du den Punkt \(P(2\mid8)\) betrachtest? - Wie beeinflussen das Vorzeichen von \(a\) und die Art des Exponenten den Verlauf des Graphen?

1. Aus der Punktsymmetrie zum Ursprung folgt, dass der Exponent \(n\) eine ungerade natürliche Zahl sein muss (\(n \in \{1, 3, 5, \dots\}\)). 2. Da der Graph durch \(P(2\mid8)\) verläuft, gilt \(a \cdot 2^n = 8\). Da \(2^n\) für alle ungeraden \(n \ge 1\) positiv ist, muss auch \(a\) positiv sein (\(a = \frac{8}{2^n} > 0\)). 3. Eine Potenzfunktion \(f(x) = ax^n\) mit positivem Koeffizienten \(a > 0\) und ungeradem Exponenten \(n\) ist jedoch im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. 4. Dies steht im Widerspruch zur Forderung, dass die Funktion streng monoton fallend sein soll. Eine solche Funktion existiert daher nicht.

Eine solche Funktion existiert nicht. Aus der Punktsymmetrie und dem Punkt \(P(2\mid8)\) folgt, dass der Koeffizient \(a\) positiv und der Exponent \(n\) ungerade sein muss. Solche Funktionen sind jedoch streng monoton wachsend, nicht fallend.

- Wie gehst du vor, wenn du herausfinden willst, wo zwei Graphen die gleichen Punkte haben? - Kannst du den Term so umformen, dass du ein Produkt erhältst, das Null ergibt? - Überlege, was es grafisch bedeutet, wenn ein Funktionswert kleiner als ein anderer ist. - Prüfe die Bereiche zwischen den berechneten Stellen durch das Einsetzen von Testwerten.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung der Schnittpunkte: \(\frac{1}{2}x^4 = 8x^2\). 2. Umformen der Gleichung: \(\frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = 0 \Rightarrow x^2 \cdot (\frac{1}{2}x^2 - 8) = 0\). 3. Nullstellen bestimmen: \(x_1 = 0\) oder \(\frac{1}{2}x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 4\). 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(0) = 0\), \(f(4) = 128\), \(f(-4) = 128\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(4 | 128)\) und \(S_3(-4 | 128)\). 5. Untersuchung der Ungleichung \(f(x) < g(x)\): \(\frac{1}{2}x^4 < 8x^2\). Für \(x \neq 0\) ergibt Division durch \(\frac{1}{2}x^2\): \(x^2 < 16\). Dies gilt für \(-4 < x < 4\). Da bei \(x = 0\) ein Berührpunkt vorliegt (\(f(0)=g(0)\)), verläuft \(G_f\) in den Intervallen \((-4; 0)\) und \((0; 4)\) unterhalb von \(G_g\).

Schnittpunkte: \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(4 | 128)\), \(S_3(-4 | 128)\). \(G_f\) verläuft unterhalb von \(G_g\) in den Intervallen \((-4; 0)\) und \((0; 4)\).

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor in der Gleichung, den du ausklammern kannst? - Welchen Einfluss hat der Exponent auf das Wachstum einer Funktion bei sehr großen Zahlen? - Setze eine Zahl ein, die deutlich größer als deine größte Schnittstelle ist, um das Verhalten zu testen.

1. Gemeinsame Stellen durch Gleichsetzen ermitteln: \(x^3 = 0{,}01x^5\). 2. Umstellen und Faktorisieren: \(0{,}01x^5 - x^3 = 0 \Rightarrow x^3 \cdot (0{,}01x^2 - 1) = 0\). 3. Lösungen der Gleichung: \(x_1 = 0\) oder \(0{,}01x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 10\). Die gesuchten Stellen sind \(x \in \{-10; 0; 10\}\). 4. Vergleich für große \(x\): Da \(g\) eine Potenzfunktion mit einem höheren Grad (\(n=5\)) als \(f\) (\(n=3\)) ist, wächst \(g(x)\) für \(x \to \infty\) schneller als \(f(x)\). Rechts von der letzten Schnittstelle \(x = 10\) gilt für alle \(x > 10\), dass \(g(x) > f(x)\). Beispielsweise ist \(g(20) = 0{,}01 \cdot 3\,200\,000 = 32\,000\) und \(f(20) = 8000\).

a) Die Stellen sind \(x_1 = -10\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 10\). b) Für sehr große \(x\) liefert \(g(x) = 0{,}01x^5\) die größeren Werte, da die Potenz mit dem höheren Exponenten (\(x^5\)) das Wachstum dominiert. Für \(x > 10\) gilt dauerhaft \(g(x) > f(x)\).

- Achte darauf, dass \(x^2\) für alle reellen \(x\) nicht negativ ist. Wie beeinflusst das das Vorzeichen des gesamten Terms? - Was passiert mit den Funktionswerten von \(x^3\), wenn \(x\) eine negative Zahl ist? - Überprüfe die Intervalle links von \(0\), zwischen \(0\) und \(4\) sowie rechts von \(4\).

1. Schnittpunkte berechnen: \(x^3 = 4x^2 \Rightarrow x^3 - 4x^2 = 0\). 2. Ausklammern: \(x^2 \cdot (x - 4) = 0\). 3. Nullstellen: \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle/Berührpunkt) und \(x_2 = 4\). 4. Koordinaten: \(f(0) = 0 \Rightarrow S_1(0 | 0)\); \(f(4) = 4 \cdot 4^2 = 64 \Rightarrow S_2(4 | 64)\). 5. Analyse der Lage: \(f(x) > g(x) \Leftrightarrow 4x^2 > x^3 \Leftrightarrow x^2(4 - x) > 0\). Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x\), ist die Bedingung erfüllt, wenn \(4 - x > 0\) und \(x \neq 0\). Das bedeutet \(x < 4\). Für \(x < 0\) ist \(x^2 > 0\) und \(x^3 < 0\), also liegt die Parabel \(f\) dort immer über der kubischen Funktion \(g\). 6. Ergebnis: Der Graph von \(f\) liegt im Intervall \((-\infty; 0)\) und im Intervall \((0; 4)\) oberhalb von \(g\).

Schnittpunkte: \(S_1(0 | 0)\) und \(S_2(4 | 64)\). Der Graph von \(f\) liegt in den Intervallen \((-\infty; 0)\) und \((0; 4)\) oberhalb des Graphen von \(g\).

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Welche Symmetrieeigenschaften haben Potenzfunktionen mit geraden bzw. ungeraden Exponenten? - Wie verändert sich das Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert?

1. Berechnung für \(n = 4\): Einsetzen von \(Q(2 | -16)\) ergibt \(-16 = a \cdot 2^4\), also \(-16 = 16a\). Daraus folgt \(a = -1\). 2. Berechnung für \(n = 3\): Einsetzen von \(Q(2 | -16)\) ergibt \(-16 = a \cdot 2^3\), also \(-16 = 8a\). Daraus folgt \(a = -2\). 3. Überprüfung von \(R(-2 | 16)\): Für Fall a) gilt \(g(-2) = -1 \cdot (-2)^4 = -16 \neq 16\). Für Fall b) gilt \(g(-2) = -2 \cdot (-2)^3 = -2 \cdot (-8) = 16\). Somit verläuft der Graph der Funktion aus b) (\(g(x) = -2x^3\)) durch den Punkt \(R\). Begründung: Funktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wodurch sich das Vorzeichen des Funktionswertes bei negativem \(x\) umkehrt.

a) \(a = -1\) b) \(a = -2\) c) Der Graph aus Aufgabenteil b) mit \(g(x) = -2x^3\), da \(g(-2) = 16\).

- Erinnere dich an die Definition von negativen Exponenten: \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\). - Überlege, welche Werte ein Quadrat \(x^2\) für beliebige reelle Zahlen annehmen kann. - Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs, wenn die Basis verdoppelt wird und der Exponent \(2\) ist?

1. Lösung der Gleichung \(3x^{-2} = \frac{1}{12}\): Umschreiben zu \(3 \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{12}\). Multiplikation mit \(x^2\) und \(12\) ergibt \(36 = x^2\). Die Lösungen sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\). 2. Begründung der positiven Funktionswerte: Der Term \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) ist für alle \(x \neq 0\) positiv, da das Quadrat einer reellen Zahl stets größer als Null ist. Da der Koeffizient \(3\) ebenfalls positiv ist, ist das Produkt \(3 \cdot \frac{1}{x^2}\) immer positiv. 3. Untersuchung der Verdopplung: Ersetzt man \(x\) durch \(2x\), erhält man \(k(2x) = 3(2x)^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{(2x)^2} = 3 \cdot \frac{1}{4x^2} = \frac{1}{4} \cdot (3x^{-2}) = \frac{1}{4} k(x)\). Der Funktionswert viertelt sich also.

a) \(x = 6\) und \(x = -6\). b) Da \(x^2\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist, ist auch \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) positiv. Die Multiplikation mit \(3\) ändert das Vorzeichen nicht. c) Der Funktionswert wird durch \(4\) geteilt (er viertelt sich).

- Wenn du das Volumen kennst und die Kantenlänge suchst, welche Rechenoperation kehrt das Potenzieren mit 3 um? - Was bedeutet es mathematisch für den Faktor vor dem \(a\), wenn das gesamte Volumen verdoppelt wird? - Schreibe die Bedingungen als Gleichungen auf, in denen die neue Kantenlänge als Vielfaches der alten Kantenlänge erscheint.

1. Zu Teil a): Gesucht ist \(a'\) mit \((a')^3 = \frac{1}{8} a^3\). Durch Ziehen der Kubikwurzel folgt \(a' = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}a = \frac{1}{2} a\). Die Kantenlänge muss halbiert werden (Faktor \(0{,}5\)). 2. Zu Teil b): Gesucht ist \(k\) mit \((ka)^3 = 2a^3\). Es folgt \(k^3 = 2\), also \(k = \sqrt[3]{2}\). 3. Zu Teil c): Ein Volumen von \(50\,\%\) entspricht \(V' = 0{,}5V\). Es gilt \((a')^3 = 0{,}5a^3\), woraus \(a' = \sqrt[3]{0{,}5}a\) folgt. Da \(0{,}5 = \frac{1}{2}\), kann dies auch als \(a' = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}a\) geschrieben werden.

a) Die Kantenlänge muss mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) multipliziert werden. b) Der Faktor ist \(\sqrt[3]{2}\). c) Die Kantenlänge schrumpft auf das \(\sqrt[3]{0{,}5}\)-fache (oder \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)-fache) der ursprünglichen Länge.

- Wie hängt die Fläche eines Quadrats von seiner Seitenlänge ab? - Wenn eine Länge um einen bestimmten Prozentsatz sinkt, welcher Dezimalfaktor bleibt dann übrig? - Denke daran, dass beim Quadrieren eines Produkts jeder Faktor quadriert werden muss.

1. Zu Teil a): Sei \(A_1 = s_1^2\) die ursprüngliche Fläche. Die neue Fläche soll \(A_2 = 2A_1\) sein. Mit \(A_2 = s_2^2\) ergibt sich \(s_2^2 = 2s_1^2\). Durch Ziehen der Quadratwurzel erhält man \(s_2 = \sqrt{2}s_1\). Die Seitenlänge muss also mit \(\sqrt{2}\) multipliziert werden. 2. Zu Teil b): Eine Reduktion der Seitenlänge um \(20\,\%\) bedeutet \(s_{neu} = 0{,}8s_{alt}\). 3. Berechnung der neuen Fläche: \(A_{neu} = (0{,}8s_{alt})^2 = 0{,}8^2s_{alt}^2 = 0{,}64A_{alt}\). 4. Die neue Fläche beträgt noch \(64\,\%\) der ursprünglichen Fläche. Der Verlust beträgt somit \(100\,\% - 64\,\% = 36\,\%\).

a) Die Seitenlänge muss mit dem Faktor \(\sqrt{2}\) multipliziert werden. b) Es gehen \(36\,\%\) der ursprünglichen Fläche verloren.

- Setze die Koordinaten von \(P\) in die allgemeine Form ein und löse nach \(k\) auf. - Überlege dir, welches Vorzeichen eine negative Zahl hat, wenn man sie mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert. - Welches Vorzeichen muss \(k\) haben, damit das Gesamtergebnis der Rechnung positiv (\(y=4\)) wird?

1. Für \(n = 2\): Einsetzen von \(P(-2 | 4)\) ergibt \(4 = k \cdot (-2)^2\), also \(4 = 4k\). Daraus folgt \(k = 1\). 2. Für \(n = 3\): Einsetzen von \(P(-2 | 4)\) ergibt \(4 = k \cdot (-2)^3\), also \(4 = -8k\). Daraus folgt \(k = -0{,}5\). 3. Analyse für gerade \(n\): Für gerades \(n\) ist \((-2)^n\) positiv. Daher muss \(k\) positiv sein, damit das Ergebnis \(y = 4\) ist. 4. Analyse für ungerade \(n\): Für ungerades \(n\) ist \((-2)^n\) negativ. Daher muss \(k\) negativ sein, damit das Produkt \(k \cdot (-2)^n\) positiv wird und \(y = 4\) ergibt.

a) Für \(n = 2\) ist \(k = 1\). Für \(n = 3\) ist \(k = -0{,}5\). b) Wenn \(n\) gerade ist, muss \(k > 0\) (positiv) sein. Wenn \(n\) ungerade ist, muss \(k < 0\) (negativ) sein. Begründung: \((-2)^n\) ist positiv für gerade \(n\) und negativ für ungerade \(n\); \(k\) muss das Vorzeichen so anpassen, dass \(y = 4\) resultiert.

- Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Wie hilft dir das, \(a\) zu finden? - Nachdem du \(a\) kennst, kannst du die Graphen wie gewohnt gleichsetzen. - Gibt es Symmetrien bei geraden Exponenten, die dir helfen könnten, weitere Punkte zu finden?

1. Bestimmung von \(a\): Punkt \(P(2 | 4)\) in \(f(x) = ax^4\) einsetzen: \(4 = a \cdot 2^4 \implies 4 = 16a \implies a = \frac{4}{16} = 0{,}25\). 2. Gleichsetzen der Funktionen mit \(a = 0{,}25\): \(0{,}25x^4 = x^2\). 3. Lösen der Gleichung: \(0{,}25x^4 - x^2 = 0 \implies x^2(0{,}25x^2 - 1) = 0\). 4. Nullstellen der Faktoren: - \(x^2 = 0 \implies x_1 = 0\) - \(0{,}25x^2 - 1 = 0 \implies 0{,}25x^2 = 1 \implies x^2 = 4 \implies x_2 = 2, x_3 = -2\). 5. \(y\)-Koordinaten berechnen: - \(g(0) = 0^2 = 0 \implies S_1(0 | 0)\) - \(g(2) = 2^2 = 4 \implies P(2 | 4)\) (bereits gegeben) - \(g(-2) = (-2)^2 = 4 \implies S_2(-2 | 4)\).

a) Der Parameter ist \(a = 0{,}25\). b) Die weiteren Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\) und \(S_2(-2 | 4)\).

- Vergleiche zuerst, an welcher Stelle die beiden Funktionsterme dieselbe Grundform \(x^3\) besitzen könnten. - Trenne Veränderungen am Argument von Veränderungen der Funktionswerte. - Prüfe deine Abfolge, indem du den Funktionsterm nach jeder Transformation notierst.

1. Verschiebe den Graphen von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts. Dadurch entsteht \(f_1(x)=f(x-2)=0{,}25x^3\). 2. Strecke anschließend in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). Dann gilt \(f_2(x)=4f_1(x)=x^3\). 3. Verschiebe den Graphen zuletzt um \(5\) Einheiten nach unten. Damit erhält man \(g(x)=x^3-5\).

Eine mögliche Abfolge ist: \(2\) Einheiten nach rechts verschieben, in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) strecken und anschließend \(5\) Einheiten nach unten verschieben.

- Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes nutzen, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden? - Potenziere zuerst die Zahl, bevor du sie mit dem Parameter multiplizierst. - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm? - Vergleiche \(k(x)\) direkt mit \(h(x)\), indem du \(k(x) = ch(x)\) schreibst.

1. Bestimmung von \(a\): Einsetzen von \(P(2 | 4)\) in \(4 = a \cdot 2^3\). Dies ergibt \(4 = 8a\), woraus \(a = 0{,}5\) folgt. 2. Berechnung von \(h(-3)\): \(h(-3) = 0{,}5 \cdot (-3)^3 = 0{,}5 \cdot (-27) = -13{,}5\). 3. Analyse von \(k(x)\): Einsetzen von \(Q(1 | -2)\) ergibt \(-2 = b \cdot 1^3\), also \(b = -2\). 4. Vergleich der Graphen: Es gilt \(k(x) = -2x^3 = -4 \cdot 0{,}5x^3 = -4h(x)\). Der Graph von \(k\) entsteht daher aus dem Graphen von \(h\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). Er verläuft, abgesehen vom Ursprung, im II. und IV. Quadranten.

a) \(a = 0{,}5\). b) \(h(-3) = -13{,}5\). c) Es gilt \(k(x) = -4h(x)\). Der Graph entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\); er verläuft im II. und IV. Quadranten sowie durch den Ursprung.

- Kannst du die Terme so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn du sie quadrierst oder hoch vier rechnest? - Unterscheide bei den Ungleichungen zwischen Zahlen, deren Betrag größer als 1 ist, und Zahlen zwischen -1 und 1. - Gibt es eine reelle Zahl, deren vierte Potenz negativ ist?

1. Umstellen der Gleichung zu \(x^4 - x^2 = 0\) und Faktorisieren zu \(x^2(x-1)(x+1) = 0\): Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 2. Untersuchung des Vorzeichens von \(x^2(x^2-1)\): Da \(x^2 \ge 0\), ist der Ausdruck positiv, wenn \(x^2 - 1 > 0\) und \(x \neq 0\). Dies gilt für \(|x| > 1\), also \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(x^2(x^2-1)\): Der Ausdruck ist negativ, wenn \(x^2 - 1 < 0\) und \(x \neq 0\). Dies gilt für \(|x| < 1\) ohne die Null, also \(x \in (-1; 0) \cup (0; 1)\). 4. Anwendung der Potenzgesetze für gerade Exponenten: Da \((-1)^2 = 1\), gilt die Identität \((-x)^2 = x^2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 5. Prüfung der Wertebereiche gerader Potenzen: Da \(x^4 = (x^2)^2 \ge 0\) für alle reellen Zahlen gilt, ist die Ungleichung \(x^4 < 0\) für kein \(x\) erfüllt.

1) \(x \in \{-1; 0; 1\}\) 2) \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\) 3) \(x \in (-1; 0) \cup (0; 1)\) 4) alle \(x \in \mathbb{R}\) 5) keine Lösung

- Versuche, den Ausdruck \(x^5 - x^3\) zu faktorisieren, um die kritischen Stellen zu finden. - Wie ändert sich das Verhalten von Potenzen, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt, im Vergleich zu einer Basis größer als 1? - Überlege dir für negative Basen, ob der Wert der Potenz bei einem höheren ungeraden Exponenten kleiner oder größer wird. - Ein Test mit Beispielwerten aus den Intervallen (z. B. \(2\), \(0{,}5\) oder \(-2\)) kann dir helfen, deine Vermutung zu prüfen.

1. Lösen der Gleichung \(x^5 - x^3 = 0\) durch Ausklammern: \(x^3(x^2-1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 2. Durchführung einer Vorzeichenanalyse für das Produkt \(x^3(x-1)(x+1)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen: Das Produkt ist positiv für \(x \in (-1; 0)\) und \(x \in (1; \infty)\). 3. Vergleich der Werte in den spezifischen Intervallen: - Für \(x > 1\): \(x^5 > x^3\), da bei Basen größer als 1 die Potenz mit dem höheren Exponenten größer ist. - Für \(0 < x < 1\): \(x^3 > x^5\), da bei Basen zwischen 0 und 1 höhere Potenzen kleinere Werte liefern. - Für \(x < -1\): \(x^3 > x^5\), da beide Potenzen negativ sind und \(|x^5| > |x^3|\) gilt, wodurch \(x^5\) weiter links auf der Zahlengeraden liegt.

1) \(x \in \{-1; 0; 1\}\) 2) \(L = (-1; 0) \cup (1; \infty)\) 3) a) \(x^5 > x^3\); b) \(x^3 > x^5\); c) \(x^3 > x^5\)

- Erinnere dich an die Formeln für das Volumen eines Würfels und eines Quaders. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Größen „gleich“ sein sollen? - Kannst du die Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Überlege dir, wie sich die Werte von \(x^2\) und \(x^3\) verändern, wenn \(x\) sehr groß wird.

1. Aufstellen der Volumenformeln: \(V_{\text{W}}(x) = x^3\) und \(V_{\text{Q}}(x) = x^2 \cdot 4 = 4x^2\). 2. Gleichsetzen der Volumina zur Bestimmung von \(x\): \(x^3 = 4x^2\). 3. Umformen der Gleichung: \(x^3 - 4x^2 = 0 \implies x^2(x - 4) = 0\). 4. Da \(x > 0\) gefordert ist, entfällt die Lösung \(x = 0\). Es bleibt \(x - 4 = 0\), also \(x = 4\,\text{m}\). 5. Berechnung des Volumens: \(V = 4^3 = 64\,\text{m}^3\) (oder \(4 \cdot 4^2 = 64\,\text{m}^3\)). 6. Begründung für große \(x\): Da die Potenz \(x^3\) schneller wächst als \(4x^2\), wird der Würfel für alle \(x > 4\) ein größeres Volumen haben.

a) \(V_{\text{W}} = x^3\) und \(V_{\text{Q}} = 4x^2\). b) Die Kantenlänge beträgt \(x = 4\,\text{m}\). c) Das Volumen beträgt \(64\,\text{m}^3\). d) Das Volumen des Würfels wächst kubisch (\(x^3\)), während das des Quaders nur quadratisch (\(4x^2\)) wächst. Ab dem Schnittpunkt bei \(x=4\) steigt \(x^3\) steiler an.

- Welche Bruchdarstellungen gehören zu \(x^{-1}\) und \(x^{-2}\)? - Prüfe für die Quadranten getrennt positive und negative Werte von \(x\). - Vergleiche, wie sich sehr kleine positive und sehr große positive Nenner auf die Funktionswerte auswirken. - Ein Schnittpunkt erfüllt beide Funktionsgleichungen gleichzeitig.

1. Für beide Funktionen gilt \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Der Graph von \(f(x)=\frac{1}{x}\) liegt im I. und III. Quadranten, der Graph von \(g(x)=\frac{1}{x^2}\) im I. und II. Quadranten. 2. \(f(0{,}1)=10\) und \(g(0{,}1)=100\). Für \(x\to0^+\) wächst \(g\) schneller gegen unendlich. 3. Für \(x\to\infty\) gilt bei beiden Funktionen \(f(x),g(x)\to0\). Die Graphen nähern sich der Geraden \(y=0\). 4. Aus \(x^{-1}=x^{-2}\) folgt für \(x\ne0\) nach Multiplikation mit \(x^2\) die Gleichung \(x=1\). Damit ist der Schnittpunkt \(S(1\mid1)\).

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); \(f\): I. und III. Quadrant; \(g\): I. und II. Quadrant. b) \(f(0{,}1)=10\), \(g(0{,}1)=100\); \(g\) wächst für \(x\to0^+\) schneller gegen unendlich. c) Beide Graphen nähern sich \(y=0\). d) \(S(1\mid1)\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst? - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere wie man eine Potenz selbst noch einmal potenziert. - Wie hängen Quadratwurzeln und Quadrate zusammen? Das könnte beim Rechnen mit \(\sqrt{2}\) helfen. - Achte beim Einsetzen von Termen wie \(2a\) darauf, den gesamten Ausdruck zu potenzieren.

1. Berechnung der Werte für \(x=0{,}5\): \(f(0{,}5) = (0{,}5)^4 = 0{,}0625\) und \(g(0{,}5) = (0{,}5)^6 = 0{,}015625\). 2. Berechnung der Werte für \(x=2\): \(f(2) = 2^4 = 16\) und \(g(2) = 2^6 = 64\). 3. Bestimmung von \(f(-3)\) und \(g(-1{,}5)\): \(f(-3) = (-3)^4 = 81\) und \(g(-1{,}5) = (-1{,}5)^6 = 11{,}390625\). 4. Berechnung mit Wurzeln: \(g(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^6 = ((\sqrt{2})^2)^3 = 2^3 = 8\). 5. Einsetzen von Variablen: \(f(2a) = (2a)^4 = 2^4 \cdot a^4 = 16a^4\) und \(g(a^2) = (a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}\).

a) \(f(0{,}5) = 0{,}0625\); \(g(0{,}5) = 0{,}015625\); \(f(2) = 16\); \(g(2) = 64\) b) \(f(-3) = 81\); \(g(-1{,}5) = 11{,}390625\) c) \(g(\sqrt{2}) = 8\) d) \(f(2a) = 16a^4\); \(g(a^2) = a^{12}\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis bei einem ungeraden Exponenten hat, wenn die Basis negativ ist. - Was bedeutet die fünfte Wurzel mathematisch, wenn sie mit 5 potenziert wird? - Nutze die Potenzgesetze, um Ausdrücke wie \((a^3b)^5\) zu vereinfachen. - Kannst du ein Muster bei den Werten von \(x\) und \(-x\) erkennen?

1. Berechnung der ganzzahligen Werte: \(f(-2) = (-2)^5 = -32\); \(f(-1) = (-1)^5 = -1\); \(f(0) = 0^5 = 0\); \(f(1) = 1^5 = 1\); \(f(2) = 2^5 = 32\). 2. Dezimalzahlen einsetzen: \(f(0{,}2) = (0{,}2)^5 = 0{,}00032\) und \(f(-0{,}4) = (-0{,}4)^5 = -0{,}01024\). 3. Anwendung der Definition der \(n\)-ten Wurzel: \(f(\sqrt[5]{12}) = (\sqrt[5]{12})^5 = 12\). 4. Rechnen mit Variablen unter Beachtung des ungeraden Exponenten: \(f(-a) = (-a)^5 = -a^5\) und \(f(a^3b) = (a^3b)^5 = (a^3)^5 \cdot b^5 = a^{15}b^5\).

a) \(f(-2) = -32\); \(f(-1) = -1\); \(f(0) = 0\); \(f(1) = 1\); \(f(2) = 32\) b) \(f(0{,}2) = 0{,}00032\); \(f(-0{,}4) = -0{,}01024\) c) \(f(\sqrt[5]{12}) = 12\) d) \(f(-a) = -a^5\); \(f(a^3b) = a^{15}b^5\)

- Welchen Einfluss hat ein gerader Exponent auf das Vorzeichen des Ergebnisses? - Wenn \(x^6\) einen positiven Wert ergibt, wie viele Möglichkeiten kann es dann für \(x\) geben? - Kannst du die große Zahl in d) als Zehnerpotenz schreiben? - Was folgt aus \(x^6=0\)?

1. Für \(P_1\): \(y=(-2)^6=64\). Das Ergebnis ist positiv, da der Exponent gerade ist. 2. Für \(P_2\): Aus \(x^6=1\) folgen wegen des geraden Exponenten die beiden Lösungen \(x=1\) und \(x=-1\). 3. Für \(P_3\): \(y=(0{,}5)^6=(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64}=0{,}015625\). 4. Für \(P_4\): Aus \(x^6=1\,000\,000=10^6\) folgen wegen des geraden Exponenten \(x=10\) und \(x=-10\). 5. Für \(P_5\): Aus \(x^6=0\) folgt nur \(x=0\).

a) \(P_1(-2;64)\) b) \(P_2(1;1)\) oder \(P_2(-1;1)\) c) \(P_3(0{,}5;0{,}015625)\) d) \(P_4(10;1000000)\) oder \(P_4(-10;1000000)\) e) \(P_5(0;0)\)

- Welche charakteristische Stelle des Graphen von \(x^3\) lässt sich nach einer Verschiebung weiterhin gut erkennen? - Welche Parameter der Form \(a(x-d)^3+e\) kannst du aus dieser Stelle ablesen? - Wie kann ein weiterer ablesbarer Punkt helfen, den noch unbekannten Parameter zu bestimmen?

1. Der Sattelpunkt von \(g\) liegt bei \((2\mid1)\). Daher hat \(g\) zunächst die Form \(g(x)=a(x-2)^3+1\). 2. Der ablesbare Punkt \(P(3\mid2)\) liefert \(2=a(3-2)^3+1\), also \(a=1\). Damit gilt \(g(x)=(x-2)^3+1\). 3. Der Sattelpunkt von \(h\) liegt bei \((-1\mid3)\). Daher hat \(h\) zunächst die Form \(h(x)=a(x+1)^3+3\). 4. Der ablesbare Punkt \(Q(1\mid-1)\) liefert \(-1=a(1+1)^3+3\), also \(a=-0{,}5\). Damit gilt \(h(x)=-0{,}5(x+1)^3+3\).

\(g(x)=(x-2)^3+1\) und \(h(x)=-0{,}5(x+1)^3+3\)

- Wie kannst du mit den markierten Punkten prüfen, welcher Funktionsterm zu einem Graphen gehört? - Welche der drei Funktionen muss für positive \(x\) fallen? - Vergleiche bei den beiden steigenden Funktionen, wie sich ihre Steigungen mit wachsendem \(x\) verändern.

1. Für (A) gilt \(f(4)=1{,}5\cdot4^{0{,}5}=3\). Daher liegt \(P(4\mid3)\) auf dem zugehörigen Graphen; das ist Graph \(a\). 2. Für (B) gilt \(g(4)=0{,}5\cdot4^{1{,}5}=4\). Daher liegt \(Q(4\mid4)\) auf dem zugehörigen Graphen; das ist Graph \(b\). 3. Für (C) gilt \(h(2)=2\cdot2^{-1}=1\). Daher liegt \(R(2\mid1)\) auf dem zugehörigen Graphen; das ist Graph \(c\). 4. Qualitativ bestätigt sich die Zuordnung: Graph \(a\) wächst für \(x>0\) mit abnehmender Steigung, Graph \(b\) mit zunehmender Steigung und Graph \(c\) fällt und nähert sich für große positive \(x\) der \(x\)-Achse.

a) (A) \(\rightarrow a\), (B) \(\rightarrow b\), (C) \(\rightarrow c\) b) 1. Rechnerisch: \(f(4)=3\), \(g(4)=4\) und \(h(2)=1\), also liegen \(P\), \(Q\) und \(R\) jeweils auf den zugeordneten Graphen. 2. Anschaulich: \(a\) wächst mit abnehmender Steigung, \(b\) mit zunehmender Steigung und \(c\) fällt hyperbelartig.

- Achte beim Potenzieren negativer Zahlen auf das Vorzeichen des Ergebnisses bei ungeraden Exponenten. - Um \(x\) aus \(x^3 = c\) zu berechnen, benötigst du die dritte Wurzel. - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen des Koeffizienten vor dem \(x^3\) auf den Verlauf des Graphen auswirkt. - Was bedeutet es geometrisch für einen Graphen, wenn \(h(a) + h(-a) = 0\) gilt? Denke an die Punktspiegelung.

1. Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichung: \(h(3) = -0{,}2 \cdot 3^3 = -0{,}2 \cdot 27 = -5{,}4\) \(h(-3) = -0{,}2 \cdot (-3)^3 = -0{,}2 \cdot (-27) = 5{,}4\) 2. Lösen der Gleichung für \(x\): \(-0{,}2x^3 = -25 \Leftrightarrow x^3 = 125\) Durch Ziehen der Kubikwurzel erhält man \(x = \sqrt[3]{125} = 5\). 3. Prüfung der Aussagen: (1) Wahr. Da der Exponent \(3\) ungerade und der Koeffizient \(-0{,}2\) negativ ist, gilt für den Grenzwert: \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\). Der Graph fällt streng monoton. (2) Wahr. Die Funktion \(h\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da der Exponent ungerade ist. Es gilt \(h(-a) = -h(a)\), woraus direkt \(h(a) + h(-a) = h(a) - h(a) = 0\) folgt.

a) \(h(3) = -5{,}4\) und \(h(-3) = 5{,}4\) b) \(x = 5\) c) (1) Wahr; (2) Wahr

- Setze für Teilaufgabe a) einfach die Zahl \(2\) für \(x\) in die Formel ein. - Was passiert mit einem Punkt \((x \mid y)\), wenn er zu \((x \mid -y)\) wird? - Wenn du die \(y\)-Werte verdoppelst oder vervierfachst, wird die Kurve dann breiter oder schmaler?

1. Funktionswert berechnen: \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^4 = 0{,}5 \cdot 16 = 8\). 2. Änderung des Vorzeichens: Wenn \(a\) von \(0{,}5\) zu \(-0{,}5\) wird, werden alle \(y\)-Werte negativ. Dies entspricht einer Spiegelung des Graphen an der \(x\)-Achse. Der Graph ist dann nach unten geöffnet. 3. Änderung des Betrags von \(a\): Ein größerer Faktor (\(a = 2\)) bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung. Für jedes \(x \neq 0\) ist der neue Funktionswert viermal so groß wie der alte. Der Graph verläuft somit steiler nach oben und liegt „innerhalb“ des ursprünglichen Graphen.

a) Der Funktionswert ist \(f(2) = 8\). b) Der Graph wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und öffnet sich nach unten. c) Der Graph wird in \(y\)-Richtung gestreckt, verläuft steiler und liegt „innerhalb“ der ursprünglichen Kurve.

- Welche Gleichung müssen die \(x\)-Koordinaten von Schnittpunkten erfüllen? - Wie verändert sich eine positive Zahl zwischen \(0\) und \(1\), wenn sie erneut quadriert wird? - Berücksichtige in b) die obere Grenze des vorgegebenen Intervalls.

1. Gleichsetzen ergibt \(x^4=x^2\), also \(x^2(x^2-1)=0\). Im Intervall \([0;1{,}5]\) sind die Lösungen \(x=0\) und \(x=1\). Die Schnittpunkte sind \((0\mid0)\) und \((1\mid1)\). 2. Für \(x>1\) gilt \(x^2>1\). Mit \(x^2>0\) folgt \(x^4>x^2\). Im vorgegebenen Intervall liegt \(g\) daher für \(1<x\le1{,}5\) oberhalb von \(f\). 3. Für \(0<x<1\) gilt dagegen \(x^2<1\) und damit \(x^4<x^2\).

a) \((0\mid0)\) und \((1\mid1)\) b) Für \(1<x\le1{,}5\) verläuft \(g\) oberhalb von \(f\).

- Denke daran, dass das Vorzeichen beim Potenzieren mit 3 erhalten bleibt. - Wenn du den Funktionswert kennst, stelle die Gleichung so um, dass die Potenz alleine auf einer Seite steht. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten. - Überlege dir, wie oft der Graph einer solchen Funktion die x-Achse schneiden kann.

1. Berechnung der Funktionswerte: \(f(-2) = 0{,}5 \cdot (-2)^3 = 0{,}5 \cdot (-8) = -4\). Für den zweiten Wert gilt \(f(3) = 0{,}5 \cdot 3^3 = 0{,}5 \cdot 27 = 13{,}5\). 2. Auflösen der Gleichung \(0{,}5x^3 = 108\): Durch Division durch \(0{,}5\) erhält man \(x^3 = 216\). Das Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = 6\). 3. Bewertung der Aussagen: (1) Wahr, da bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten (hier 3) stets Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt. (2) Wahr, da \(0{,}5x^3 = 0\) nur für \(x = 0\) erfüllt ist.

a) \(f(-2) = -4\) und \(f(3) = 13{,}5\) b) \(x = 6\) c) (1) wahr, da der Exponent ungerade ist; (2) wahr, die einzige Lösung ist \(x = 0\)

- Warum ist ein markierter Punkt mit \(x=1\) besonders hilfreich für den Vorfaktor? - Welche Gleichung für \(n\) erhältst du anschließend aus dem zweiten Punkt? - Kannst du den dabei entstehenden Bruch als Potenz zur Basis \(2\) schreiben?

1. Aus dem Koordinatensystem liest man \(P(1\mid2)\) und \(Q(2\mid1)\) ab. 2. Mit \(P\) gilt \(2=a\cdot1^n\), also \(a=2\). 3. Mit \(Q\) folgt \(1=2\cdot2^n\), also \(2^n=\frac{1}{2}=2^{-1}\). 4. Daher ist \(n=-1\) und somit \(f(x)=2x^{-1}=\frac{2}{x}\).

\(f(x)=2x^{-1}=\frac{2}{x}\)

- Welcher der beiden Punkte vereinfacht die Bestimmung des Vorfaktors besonders stark? - Welche Gleichung für den Exponenten entsteht aus dem zweiten Punkt? - Lassen sich beide Seiten dieser Gleichung als Potenzen derselben Basis schreiben?

1. Mit \(P(1\mid0{,}5)\) gilt \(0{,}5=a\cdot1^n\), also \(a=0{,}5\). 2. Mit \(Q(4\mid4)\) folgt \(4=0{,}5\cdot4^n\), also \(8=4^n\). 3. Mit \(8=2^3\) und \(4^n=(2^2)^n=2^{2n}\) folgt \(3=2n\), also \(n=1{,}5\). 4. Damit ist \(g(x)=0{,}5x^{1{,}5}\). Beide markierten Punkte liegen auf dem gezeichneten Graphen und bestätigen das Ergebnis.

\(a=0{,}5\), \(n=1{,}5\), also \(g(x)=0{,}5x^{1{,}5}\)

- Berechne zuerst den vollständigen Radikanden von \(T\). - Welche Umkehroperation hilft bei der Gleichung \(\sqrt{x}=2\)? - Lies zur Kontrolle den zu \(y=2\) gehörenden x-Wert am Funktionsgraphen ab.

1. Im Radikanden gilt \(\frac{1}{4}\cdot 2^4 = \frac{1}{4}\cdot 16 = 4\). Daher ist \(T = \sqrt{4} = 2\). 2. Gesucht ist \(x\) mit \(\sqrt{x} = 2\). Quadrieren ergibt \(x = 4\). 3. Am Graphen liegt zum Funktionswert \(2\) der Punkt mit der Koordinate \((4\mid 2)\). Damit bestätigt der Graph \(x=4\).

1. \(T = 2\) 2. \(x = 4\)

- Wie setzt man zwei Funktionen gleich, um Schnittpunkte zu finden? - Überprüfe für den Vergleich der Graphen Werte, die größer als 1 oder zwischen 0 und 1 liegen. - Was muss für den Exponenten \(n\) und den Koeffizienten \(a\) gelten, damit der Wertebereich nur aus nicht-negativen Zahlen besteht? - Kannst du für Teilaufgabe c) verschiedene gerade Zahlen für \(n\) ausprobieren?

1. Schnittpunkte berechnen: \(x^2 = x^4 \implies x^4 - x^2 = 0 \implies x^2(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(1 | 1)\) und \(S_3(-1 | 1)\). 2. Vergleich der Funktionswerte: Für \(|x| > 1\) (z. B. \(x=2\)) gilt \(2^4 = 16 > 2^2 = 4\). Für \(|x| < 1\) (z. B. \(x=0{,}5\)) gilt \(0{,}5^4 = 0{,}0625 < 0{,}5^2 = 0{,}25\). Der Graph von \(g\) liegt also für \(x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; \infty[\) oberhalb von \(f\). 3. Wertebereich von \(f(x) = x^2\) ist \(W = [0; \infty[\). Damit \(h(x) = ax^n\) denselben Wertebereich hat, muss \(n\) gerade und \(a > 0\) sein. 4. Punkt \(S(2 | 16)\) einsetzen: \(16 = a \cdot 2^n\). - Möglichkeit 1: Wähle \(n=2\). Dann ist \(16 = a \cdot 4\), also \(a = 4\). Term: \(h(x) = 4x^2\). - Möglichkeit 2: Wähle \(n=4\). Dann ist \(16 = a \cdot 16\), also \(a = 1\). Term: \(h(x) = x^4\).

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(1 | 1)\) und \(S_3(-1 | 1)\). b) Der Graph von \(g\) verläuft für \(x < -1\) und für \(x > 1\) oberhalb von \(f\). c) Zwei mögliche Funktionsterme sind \(h(x) = 4x^2\) und \(h(x) = x^4\).