- Welche Symmetrie und welches Vorzeichen der Funktionswerte erkennst du im Graphen? - Lies einen einfachen Funktionswert bei \(x=1\) ab und vergleiche ihn mit den angebotenen Termen.

1. Der Graph ist zur \(y\)-Achse symmetrisch und liegt außer im Ursprung oberhalb der \(x\)-Achse; damit passen c) und d) nicht. 2. Am Graphen liest man bei \(x=1\) den Wert \(f(1)=2\) ab. Daher ist \(a=2\). 3. Somit beschreibt \(f(x)=2x^2\) den dargestellten Graphen.

b) \(f(x)=2x^2\)

- Welchen Wert musst du für \(x\) in den Funktionsterm einsetzen? - Was ist \(1^3\)?

1. Setze \(x=1\) in den Funktionsterm ein: \(f(1)=-2\cdot1^3\). 2. Damit ist \(f(1)=-2\).

\(f(1)=-2\)

- Betrachte im Bild nur die rechte Seite mit \(x>0\). - Welches Vorzeichen hat \(x^3\) dort? - Das Vorzeichen von \(a\) entscheidet dann über das Vorzeichen der Funktionswerte.

1. Für \(x>0\) ist \(x^3>0\). Daher hat \(ax^3\) bei positivem \(a\) positive Funktionswerte und bei negativem \(a\) negative Funktionswerte. 2. Der Graph \(p\) liegt für positive \(x\) oberhalb der \(x\)-Achse. Deshalb gehört \(p\) zu \(a>0\). 3. Der Graph \(q\) liegt für positive \(x\) unterhalb der \(x\)-Achse. Deshalb gehört \(q\) zu \(a<0\).

\(p\): \(a>0\) \(q\): \(a<0\)

- Wähle einen positiven \(x\)-Wert, bei dem du beide Graphen gut vergleichen kannst. - Vergleiche die beiden Funktionswerte bei diesem \(x\). - Welcher Wert von \(a\) macht \(ax^2\) größer?

1. Bei gleichem \(x>0\) ist \(x^2\) für beide Funktionen gleich. 2. Ein größerer positiver Wert von \(a\) führt deshalb zu einem größeren Funktionswert \(ax^2\). 3. Der Graph \(s\) liegt für denselben positiven \(x\)-Wert oberhalb von \(r\). Daher gehört \(s\) zum größeren Wert von \(a\).

Der Graph \(s\) gehört zum größeren Wert von \(a\).

- Vergleiche die beiden Graphen an derselben Stelle zwischen \(0\) und \(1\). - Welcher der beiden Funktionswerte liegt näher bei \(0\)? - Welche Exponenten haben die beiden Funktionen, und wie passt das zu deiner Beobachtung?

1. Im Bereich \(0<x<1\) liegt der Graph von \(g(x)=x^6\) unter dem Graphen von \(f(x)=x^2\) und damit näher an der \(x\)-Achse. 2. Es gilt dort \(x^6<x^2\). 3. Allgemein werden die Werte von \(x^n\) für \(0<x<1\) kleiner, wenn der positive natürliche Exponent \(n\) größer wird.

a) Der Graph von \(g(x)=x^6\). b) Für \(0<x<1\) werden die Werte von \(x^n\) kleiner, wenn der positive natürliche Exponent größer wird.

- Berechne zuerst die Werte bei \(x=1,2,4\). - Vergleiche dann \(x=2\) mit \(x=4\). - Nutze die Exponenten, um die Änderungsfaktoren zu erklären.

1. Es gilt \(f(1)=0{,}5\), \(f(2)=8\) und \(f(4)=128\). 2. Es gilt \(g(1)=8\), \(g(2)=32\) und \(g(4)=128\). 3. Von \(x=2\) zu \(x=4\) wird \(x\) verdoppelt. Bei \(f\) ändert sich der Wert um den Faktor \(\frac{128}{8}=16=2^4\), bei \(g\) um den Faktor \(\frac{128}{32}=4=2^2\). 4. Allgemein bewirkt die Verdopplung von \(x\) bei einer Potenz \(x^n\) den Faktor \(2^n\). Deshalb ist der Faktor bei Exponent \(4\) größer als bei Exponent \(2\).

a) \(f(1)=0{,}5\), \(f(2)=8\), \(f(4)=128\); \(g(1)=8\), \(g(2)=32\), \(g(4)=128\) b) \(f\): Faktor \(16\); \(g\): Faktor \(4\) c) Beim Verdoppeln von \(x\) entsteht bei \(x^4\) der Faktor \(2^4=16\), bei \(x^2\) nur der Faktor \(2^2=4\).

- Wie testet man, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen der Form \(x^n=c\) bei geraden Exponenten zwei reelle Lösungen existieren können. - Was bedeutet der Begriff „Stelle“ im Zusammenhang mit Funktionen?

1. Punktprobe für \(P(-2|4)\): Einsetzen von \(x=-2\) ergibt \(f(-2)=\frac{1}{4}\cdot(-2)^4=\frac{1}{4}\cdot16=4\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen. 2. Für \(f(x)=64\) gilt \(\frac{1}{4}x^4=64\). Multiplikation mit \(4\) führt zu \(x^4=256\). Daraus folgen die beiden reellen Lösungen \(x=4\) und \(x=-4\). 3. Für \(x=-3\) ist \(f(-3)=\frac{1}{4}\cdot(-3)^4=\frac{81}{4}=20{,}25\).

a) Ja, der Punkt liegt auf dem Graphen, da \(f(-2)=4\). b) Die \(x\)-Koordinaten sind \(x=4\) und \(x=-4\). c) Der Funktionswert ist \(20{,}25\).

- Überlege dir, welche Vorzeichen die Funktionswerte von \(f(x)\) und \(g(x)\) für beliebige reelle \(x\) annehmen können. - Können eine positive und eine negative Zahl außer bei \(0\) gleich sein? - Wenn du die Gleichung löst, achte auf den Faktor \(1+x^2\). Kann er für reelle \(x\) null werden?

1. Für alle reellen \(x\) gilt \(x^4\ge0\), also \(f(x)\ge0\). Ebenso gilt \(x^6\ge0\), daher ist \(g(x)=-2x^6\le0\). Ein gemeinsamer Punkt kann nur vorliegen, wenn beide Funktionswerte \(0\) sind. Das geschieht nur bei \(x=0\). 2. Rechnerisch gilt \(2x^4=-2x^6\Rightarrow2x^4+2x^6=0\). 3. Faktorisieren liefert \(2x^4(1+x^2)=0\). 4. Der Faktor \(2x^4=0\) liefert \(x=0\). Der Faktor \(1+x^2=0\) hat keine reelle Lösung, da dafür \(x^2=-1\) gelten müsste. 5. Der einzige Schnittpunkt ist somit \(O(0|0)\).

a) Da \(f(x)\ge0\) und \(g(x)\le0\) für alle reellen \(x\) gilt, können beide Funktionen nur beim Funktionswert \(0\) übereinstimmen. Das ist nur im Ursprung möglich. b) Die Rechnung \(2x^4(1+x^2)=0\) liefert als einzige reelle Lösung \(x=0\). Der einzige Schnittpunkt ist \(O(0|0)\).

- Überlege dir, in welcher Potenz die Kantenlänge \(a\) in der Volumenformel vorkommt. - Wie verändert sich ein Produkt, wenn einer der Faktoren mit einer Zahl multipliziert und dann potenziert wird? - Erinnere dich daran, wie man einen Wachstumsfaktor in eine prozentuale Zunahme umrechnet.

1. Berechnung des Volumenverhältnisses für Teil a): Da das Volumen proportional zur dritten Potenz der Kantenlänge ist (\(V \propto a^3\)), gilt für das Verhältnis der Volumina \(\frac{V_{neu}}{V_{alt}} = \left(\frac{a_{neu}}{a_{alt}}\right)^3\). 2. Einsetzen der Werte: \(\left(\frac{12}{10}\right)^3 = 1{,}2^3 = 1{,}728\). 3. Bestimmung der prozentualen Zunahme: Ein Faktor von \(1{,}728\) entspricht einer Steigerung um \(72{,}8\,\%\). 4. Analyse für Teil b): Bei einer Verdreifachung der Kantenlänge (\(a' = 3a\)) ergibt sich das neue Volumen zu \(V' = \frac{\sqrt{2}}{12} (3a)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 27a^3 = 27V\). Das Volumen versiebenundzwanzigfacht sich also.

a) Das Volumen nimmt um \(72{,}8\,\%\) zu. b) Das Volumen vergrößert sich um den Faktor \(27\), da \(3^3 = 27\) ist.

- Was passiert, wenn du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzt? - Wie kannst du die Gleichung nach der Potenz freistellen? - Welche Zahl hoch \(3\) ergibt \(8\)?

1. Einsetzen des Punktes \(P(4|32)\) in die Funktionsgleichung: \(32=\frac{1}{2}\cdot4^n\). 2. Multiplikation mit \(2\) ergibt \(64=4^n\). Da \(4^3=64\) ist, folgt \(n=3\). 3. Mit \(n=3\) gilt für b): \(\frac{1}{2}a^3=4\). 4. Multiplikation mit \(2\) ergibt \(a^3=8\). 5. Daraus folgt \(a=\sqrt[3]{8}=2\).

a) \(n=3\) b) \(a=2\)

- Betrachte zuerst den Wert \(x^2\). Ist er größer als \(1\), zwischen \(0\) und \(1\) oder gleich \(0\) beziehungsweise \(1\)? - Was geschieht mit einer positiven Zahl größer als \(1\), wenn du sie noch einmal quadrierst? - Was geschieht entsprechend mit einer Zahl zwischen \(0\) und \(1\)?

1. Für \(|x|>1\) gilt \(x^2>1\). Daher ist \(x^4=(x^2)^2>x^2\), also \(f(x)>g(x)\). 2. Für \(0<|x|<1\) gilt \(0<x^2<1\). Das erneute Quadrieren macht den Wert kleiner: \(x^4<x^2\). Also ist \(f(x)<g(x)\). 3. Für \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\) gilt jeweils \(x^4=x^2\). Die gemeinsamen Punkte haben die Koordinaten \((-1|1)\), \((0|0)\) und \((1|1)\). 4. Eine vierte Potenz ist nie negativ, denn \(x^4=(x^2)^2\ge0\) für alle reellen \(x\).

a) Für \(|x|>1\) gilt \(f(x)>g(x)\). b) Für \(0<|x|<1\) gilt \(f(x)<g(x)\). c) Bei \(x=-1\), \(0\) und \(1\) sind die Funktionswerte gleich. d) Nein. Es gilt immer \(x^4\ge0\).

Schreibe zuerst beide Volumen als Potenzen von \(x\). Setze die beiden Volumen gleich und löse die entstehende Potenzgleichung. Vergleiche die beiden Formeln für \(x>4\).

1. Für den Würfel gilt \(V_{\text{W}}(x)=x^3\). Für den Quader gilt \(V_{\text{Q}}(x)=4x^2\). 2. Für gleiche Volumina gilt \(x^3=4x^2\). Wegen \(x>0\) darf durch \(x^2\) geteilt werden. Es folgt \(x=4\). 3. Das gemeinsame Volumen ist \(V=4^3=64\). 4. Für \(x>4\) gilt \(x^3>4x^2\), denn nach Division durch \(x^2>0\) bleibt \(x>4\).

a) \(V_{\text{W}}(x)=x^3\), \(V_{\text{Q}}(x)=4x^2\) b) \(x=4\) c) \(64\) d) Für \(x>4\) gilt \(x^3>4x^2\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst? - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere wie man eine Potenz selbst noch einmal potenziert. - Wie hängen Quadratwurzeln und Quadrate zusammen? Das könnte beim Rechnen mit \(\sqrt{2}\) helfen. - Achte beim Einsetzen von Termen wie \(2a\) darauf, den gesamten Ausdruck zu potenzieren.

1. Berechnung der Werte für \(x=0{,}5\): \(f(0{,}5) = (0{,}5)^4 = 0{,}0625\) und \(g(0{,}5) = (0{,}5)^6 = 0{,}015625\). 2. Berechnung der Werte für \(x=2\): \(f(2) = 2^4 = 16\) und \(g(2) = 2^6 = 64\). 3. Bestimmung von \(f(-3)\) und \(g(-1{,}5)\): \(f(-3) = (-3)^4 = 81\) und \(g(-1{,}5) = (-1{,}5)^6 = 11{,}390625\). 4. Berechnung mit Wurzeln: \(g(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^6 = ((\sqrt{2})^2)^3 = 2^3 = 8\). 5. Einsetzen von Variablen: \(f(2a) = (2a)^4 = 2^4 \cdot a^4 = 16a^4\) und \(g(a^2) = (a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}\).

a) \(f(0{,}5) = 0{,}0625\); \(g(0{,}5) = 0{,}015625\); \(f(2) = 16\); \(g(2) = 64\) b) \(f(-3) = 81\); \(g(-1{,}5) = 11{,}390625\) c) \(g(\sqrt{2}) = 8\) d) \(f(2a) = 16a^4\); \(g(a^2) = a^{12}\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis bei einem ungeraden Exponenten hat, wenn die Basis negativ ist. - Was bedeutet die fünfte Wurzel mathematisch, wenn sie mit 5 potenziert wird? - Nutze die Potenzgesetze, um Ausdrücke wie \((a^3b)^5\) zu vereinfachen. - Kannst du ein Muster bei den Werten von \(x\) und \(-x\) erkennen?

1. Berechnung der ganzzahligen Werte: \(f(-2) = (-2)^5 = -32\); \(f(-1) = (-1)^5 = -1\); \(f(0) = 0^5 = 0\); \(f(1) = 1^5 = 1\); \(f(2) = 2^5 = 32\). 2. Dezimalzahlen einsetzen: \(f(0{,}2) = (0{,}2)^5 = 0{,}00032\) und \(f(-0{,}4) = (-0{,}4)^5 = -0{,}01024\). 3. Anwendung der Definition der \(n\)-ten Wurzel: \(f(\sqrt[5]{12}) = (\sqrt[5]{12})^5 = 12\). 4. Rechnen mit Variablen unter Beachtung des ungeraden Exponenten: \(f(-a) = (-a)^5 = -a^5\) und \(f(a^3b) = (a^3b)^5 = (a^3)^5 \cdot b^5 = a^{15}b^5\).

a) \(f(-2) = -32\); \(f(-1) = -1\); \(f(0) = 0\); \(f(1) = 1\); \(f(2) = 32\) b) \(f(0{,}2) = 0{,}00032\); \(f(-0{,}4) = -0{,}01024\) c) \(f(\sqrt[5]{12}) = 12\) d) \(f(-a) = -a^5\); \(f(a^3b) = a^{15}b^5\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie kannst du eine Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) in der fünften Potenz steht? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenzierst. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Dezimalzahlen und Brüchen, falls dir das Rechnen mit Kommazahlen schwerfällt.

1. Für \(A\): \(y=3^5=243\). Somit ist \(A(3|243)\). 2. Für \(B\): \(x^5=-32\). Daraus folgt \(x=\sqrt[5]{-32}=-2\). Somit ist \(B(-2|-32)\). 3. Für \(C\): \(y=(-0{,}1)^5=-0{,}00001\). Somit ist \(C(-0{,}1|-0{,}00001)\). 4. Für \(D\): \(x^5=0\) liefert \(x=0\). Somit ist \(D(0|0)\). 5. Für \(E\): \(y=(0{,}5)^5=0{,}03125\). Somit ist \(E(0{,}5|0{,}03125)\).

a) \(A(3|243)\) b) \(B(-2|-32)\) c) \(C(-0{,}1|-0{,}00001)\) d) \(D(0|0)\) e) \(E(0{,}5|0{,}03125)\)

- Berechne in a) zuerst die vierte Potenz und multipliziere anschließend mit dem Koeffizienten. - Was passiert mit allen \(y\)-Werten, wenn nur das Vorzeichen von \(a\) wechselt? - Vergleiche in c) die beiden Koeffizienten als Quotient. Was bedeutet dieser Faktor für gleiche \(x\)-Werte?

1. Es gilt \(f(3)=0{,}5\cdot3^4=40{,}5\). 2. Wird \(a\) von \(0{,}5\) zu \(-0{,}5\) geändert, wechseln alle Funktionswerte ihr Vorzeichen. Der neue Graph entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse. 3. Bei \(a=2\) gilt \(2x^4=4\cdot0{,}5x^4\). Für jedes \(x\ne0\) ist der neue Funktionswert also viermal so groß wie bei \(f\). Der neue Graph liegt bei demselben \(x\ne0\) entsprechend weiter oberhalb der \(x\)-Achse.

a) \(f(3)=40{,}5\) b) Spiegelung an der \(x\)-Achse c) Für dasselbe \(x\ne0\) sind die Funktionswerte viermal so groß wie bei \(f\).

- Welche Rolle spielt der Koeffizient \(a\) vor \(x^3\) für den Funktionswert bei festem positiven \(x\)? - Vergleiche die drei Graphen an derselben positiven \(x\)-Stelle.

1. Bei \(y=ax^3\) führt ein größerer positiver Wert von \(a\) bei demselben positiven \(x\) zu einem größeren Funktionswert. 2. Es gilt \(2{,}5>1>0{,}4\). 3. Deshalb gehört der Graph mit den größten positiven Funktionswerten zu B, der mittlere zu C und der Graph mit den kleinsten positiven Funktionswerten zu A. Im Bild sind das \(a\rightarrow B\), \(b\rightarrow C\), \(c\rightarrow A\).

\(a\rightarrow B\), \(b\rightarrow C\), \(c\rightarrow A\)

- Welche \(x\)-Werte darfst du in die beiden Funktionsterme einsetzen? - Welche Vorzeichen können die Funktionswerte einer geraden bzw. ungeraden Potenz annehmen? - Vergleiche für die Symmetrie jeweils den Funktionswert zu \(x\) mit dem zu \(-x\).

1. Beide Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert. Daher gilt \(D_f=\mathbb{R}\) und \(D_g=\mathbb{R}\). 2. Für \(f(x)=x^3\) werden alle reellen Funktionswerte angenommen, also \(W_f=\mathbb{R}\). Für \(g(x)=x^6\) gilt \(x^6\ge0\), daher ist \(W_g=[0;\infty[\). 3. Wegen \(f(-x)=-f(x)\) ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Wegen \(g(-x)=g(x)\) ist der Graph von \(g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Für \(f(x)=x^3\): \(D_f=\mathbb{R}\), \(W_f=\mathbb{R}\), punktsymmetrisch zum Ursprung. Für \(g(x)=x^6\): \(D_g=\mathbb{R}\), \(W_g=[0;\infty[\), achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Welche Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, welcher ist punktsymmetrisch zum Ursprung? - Bei welchem Term können Funktionswerte für \(x\ne0\) negativ sein? - Welche Funktion wechselt beim Wechsel von \(x\) zu \(-x\) das Vorzeichen?

1. Graph \(g\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nimmt nur nichtnegative Werte an. Das passt zu \(y=x^2\). 2. Graph \(h\) verläuft durch den Ursprung, ist punktsymmetrisch zum Ursprung und wechselt dort das Vorzeichen. Das passt zu \(y=x^3\). 3. Graph \(f\) ist ebenfalls achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, liegt aber für \(x\ne0\) unterhalb der \(x\)-Achse. Das passt zu \(y=-0{,}5x^4\).

\(f: y=-0{,}5x^4\) \(g: y=x^2\) \(h: y=x^3\)

- Vergleiche die beiden Funktionsterme direkt: Welcher feste Faktor steht zusätzlich bei \(g\)? - Berechne in b) zuerst die dritte Potenz von \(1{,}5\). - Welche Koordinaten hat ein Punkt auf dem Graphen, wenn \(x\) und der zugehörige Funktionswert bekannt sind?

1. Für jedes \(x\) gilt \(g(x)=0{,}5f(x)\). Jeder Funktionswert von \(g\) ist also halb so groß wie der entsprechende Funktionswert von \(f\). Der Graph ist in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht. 2. Es gilt \(g(1{,}5)=0{,}5\cdot(1{,}5)^3=1{,}6875\). Der zugehörige Punkt ist \(P(1{,}5|1{,}6875)\).

a) Für jedes \(x\) gilt \(g(x)=0{,}5f(x)\); der Graph ist in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht. b) \(g(1{,}5)=1{,}6875\); \(P(1{,}5|1{,}6875)\)

- Welche Werte für \(x\) und \(y\) kannst du am Punkt \(Q\) ablesen? - Was kannst du mit einem Punkt und einer Funktionsgleichung mit unbekanntem Koeffizienten tun? - Berechne zuerst die Potenz und löse anschließend nach \(a\) auf.

1. Aus der Abbildung liest man \(Q(2|1)\) ab. 2. Einsetzen in \(f(x)=ax^2\) ergibt \(1=a\cdot2^2\). 3. Damit gilt \(1=4a\), also \(a=\frac{1}{4}=0{,}25\). 4. Die Funktion lautet somit \(f(x)=0{,}25x^2\).

Der Punkt ist \(Q(2|1)\). Der Koeffizient ist \(a=0{,}25\).

- Setze das gegebene Wertepaar in \(f(x)=ax^3\) ein. - Welche Gleichung entsteht dabei für \(a\)? - Nutze den gefundenen Koeffizienten anschließend für den fehlenden Tabellenwert.

1. Aus \(f(-2)=-4\) folgt \(a\cdot(-2)^3=-4\), also \(-8a=-4\) und damit \(a=0{,}5\). 2. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=0{,}5x^3\). 3. Für \(x=2\) gilt \(f(2)=0{,}5\cdot2^3=4\).

\(a=0{,}5\); der fehlende Tabellenwert ist \(4\).

- Ordne in a) zuerst die Eingaben und danach die zugehörigen Ausgaben. - Eine Monotonieaussage muss für beliebige zwei Eingaben in der richtigen Reihenfolge gelten, nicht nur für eine Wertetabelle. - Welche Kombination aus Exponentenparität und Vorzeichen von \(a\) bestimmt bei \(ax^n\) die Richtung des Verlaufs?

1. Es gilt \(f(-2)=-16\), \(f(-1)=-2\), \(f(1)=2\) und \(f(2)=16\). Damit gehört zu \(-2<-1<1<2\) die Reihenfolge \(-16<-2<2<16\). 2. „Streng monoton steigend“ bedeutet: Für alle \(x_1,x_2\in\mathbb{R}\) mit \(x_1<x_2\) gilt \(f(x_1)<f(x_2)\). 3. Der Exponent \(3\) ist ungerade und der Koeffizient \(2\) ist positiv. Deshalb ist \(f(x)=2x^3\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend.

a) \(f(-2)=-16<f(-1)=-2<f(1)=2<f(2)=16\) b) Aus \(x_1<x_2\) muss stets \(f(x_1)<f(x_2)\) folgen. c) \(f\) ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, weil der Exponent ungerade und der Koeffizient positiv ist.

- Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung einsetzen? - Vergleiche in c) nicht nur die Koeffizienten, sondern auch die unterschiedlichen Exponenten. - Was passiert mit dem Quotienten der Beträge der Funktionswerte, wenn \(x\) größer wird?

1. Für \(n=2\) gilt mit \(P(2|-8)\): \(-8=a\cdot2^2\Rightarrow -8=4a\Rightarrow a=-2\). Der Funktionsterm lautet \(f(x)=-2x^2\). 2. Für \(n=4\) gilt \(-8=a\cdot2^4\Rightarrow -8=16a\Rightarrow a=-0{,}5\). Der zweite Funktionsterm lautet \(g(x)=-0{,}5x^4\). 3. Es gilt \(a_f=-2\) und \(a_g=-0{,}5\). Für \(x>2\) ist \(\frac{|g(x)|}{|f(x)|}=\frac{0{,}5x^4}{2x^2}=\frac{x^2}{4}>1\). Mit wachsendem \(x\) wächst dieses Verhältnis; daher nimmt der Betrag von \(g(x)\) stärker zu.

a) \(f(x)=-2x^2\) b) \(g(x)=-0{,}5x^4\) c) Für \(x>2\) wächst der Betrag von \(g(x)\) stärker.

- Was passiert, wenn du die Koordinaten des ersten Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt? - Wie kannst du den Koeffizienten \(a\) nutzen, um mit dem zweiten Punkt den Exponenten \(n\) zu bestimmen? - Welche Eigenschaft des Exponenten entscheidet über die Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse?

1. Einsetzen des Punktes \(P(1|-2)\) in \(f(x)=ax^n\): \(-2=a\cdot1^n\), woraus direkt \(a=-2\) folgt. 2. Einsetzen des Punktes \(Q(2|-32)\) und des Wertes für \(a\) in die Gleichung: \(-32=-2\cdot2^n\). 3. Auflösen nach \(n\): \(16=2^n\), woraus sich \(n=4\) ergibt. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x)=-2x^4\). 4. Da der Exponent \(n=4\) eine gerade natürliche Zahl ist, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=-2x^4\). Da der Exponent \(n=4\) gerade ist, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor in der Gleichung, den du ausklammern kannst? - Welchen Einfluss hat der Exponent auf das Wachstum einer Funktion bei sehr großen positiven Zahlen? - Setze eine Zahl ein, die deutlich größer als deine größte Schnittstelle ist, um das Verhalten zu testen.

1. Gemeinsame Stellen durch Gleichsetzen ermitteln: \(x^3=0{,}01x^5\). 2. Umstellen und Faktorisieren: \(0{,}01x^5-x^3=0\Rightarrow x^3(0{,}01x^2-1)=0\). 3. Lösungen der Gleichung: \(x_1=0\) oder \(0{,}01x^2=1\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x_{2,3}=\pm10\). Die gesuchten Stellen sind \(x\in\{-10;0;10\}\). 4. Für große positive \(x\) wächst \(g\) wegen des höheren Exponenten \(5\) schließlich stärker als \(f\) mit Exponent \(3\). Rechts von der letzten Schnittstelle gilt daher für alle \(x>10\), dass \(g(x)>f(x)\). Beispielsweise ist \(g(20)=0{,}01\cdot3\,200\,000=32\,000\) und \(f(20)=8000\).

a) Die Stellen sind \(x_1=-10\), \(x_2=0\) und \(x_3=10\). b) Für sehr große positive \(x\) liefert \(g(x)=0{,}01x^5\) die größeren Werte, da der höhere Exponent das Wachstum dominiert. Für \(x>10\) gilt dauerhaft \(g(x)>f(x)\).

- Achte darauf, dass \(x^2\) für alle reellen \(x\) nicht negativ ist. Wie beeinflusst das das Vorzeichen des gesamten Terms? - Was passiert mit den Funktionswerten von \(x^3\), wenn \(x\) eine negative Zahl ist? - Überprüfe die Intervalle links von \(0\), zwischen \(0\) und \(4\) sowie rechts von \(4\).

1. Schnittpunkte berechnen: \(x^3=4x^2\Rightarrow x^3-4x^2=0\). 2. Ausklammern: \(x^2(x-4)=0\). 3. Nullstellen: \(x_1=0\) und \(x_2=4\). 4. Koordinaten: \(f(0)=0\Rightarrow S_1(0|0)\); \(f(4)=4\cdot4^2=64\Rightarrow S_2(4|64)\). 5. Analyse der Lage: \(f(x)>g(x)\Leftrightarrow4x^2>x^3\Leftrightarrow x^2(4-x)>0\). Da \(x^2\ge0\) für alle reellen \(x\), ist die Bedingung für \(x\ne0\) genau dann erfüllt, wenn \(x<4\). Für \(x<0\) ist \(x^2>0\) und \(x^3<0\), also liegt \(f\) dort immer über \(g\). 6. Der Graph von \(f\) liegt in den Intervallen \(]-\infty;0[\) und \(]0;4[\) oberhalb von \(g\).

Schnittpunkte: \(S_1(0|0)\) und \(S_2(4|64)\). Der Graph von \(f\) liegt in den Intervallen \(]-\infty;0[\) und \(]0;4[\) oberhalb des Graphen von \(g\).

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Welche Symmetrieeigenschaften haben Potenzfunktionen mit geraden bzw. ungeraden Exponenten? - Wie verändert sich das Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert?

1. Für \(n=4\): Einsetzen von \(Q(2|-16)\) ergibt \(-16=a\cdot2^4\), also \(-16=16a\). Daraus folgt \(a=-1\). 2. Für \(n=3\): Einsetzen von \(Q(2|-16)\) ergibt \(-16=a\cdot2^3\), also \(-16=8a\). Daraus folgt \(a=-2\). 3. Überprüfung von \(R(-2|16)\): Für Fall a) gilt \(g(-2)=-1\cdot(-2)^4=-16\ne16\). Für Fall b) gilt \(g(-2)=-2\cdot(-2)^3=16\). Somit verläuft der Graph der Funktion aus b), also \(g(x)=-2x^3\), durch \(R\). Bei einem ungeraden Exponenten wechselt \(x^n\) beim Vorzeichenwechsel von \(x\) ebenfalls das Vorzeichen.

a) \(a=-1\) b) \(a=-2\) c) Der Graph aus b) mit \(g(x)=-2x^3\), da \(g(-2)=16\).

- Wie hängt die Fläche eines Quadrats von seiner Seitenlänge ab? - Wenn eine Länge um einen bestimmten Prozentsatz sinkt, welcher Dezimalfaktor bleibt dann übrig? - Denke daran, dass beim Quadrieren eines Produkts jeder Faktor quadriert werden muss.

1. Zu Teil a): Sei \(A_1 = s_1^2\) die ursprüngliche Fläche. Die neue Fläche soll \(A_2 = 2A_1\) sein. Mit \(A_2 = s_2^2\) ergibt sich \(s_2^2 = 2s_1^2\). Durch Ziehen der Quadratwurzel erhält man \(s_2 = \sqrt{2}s_1\). Die Seitenlänge muss also mit \(\sqrt{2}\) multipliziert werden. 2. Zu Teil b): Eine Reduktion der Seitenlänge um \(20\,\%\) bedeutet \(s_{neu} = 0{,}8s_{alt}\). 3. Berechnung der neuen Fläche: \(A_{neu} = (0{,}8s_{alt})^2 = 0{,}8^2s_{alt}^2 = 0{,}64A_{alt}\). 4. Die neue Fläche beträgt noch \(64\,\%\) der ursprünglichen Fläche. Der Verlust beträgt somit \(100\,\% - 64\,\% = 36\,\%\).

a) Die Seitenlänge muss mit dem Faktor \(\sqrt{2}\) multipliziert werden. b) Es gehen \(36\,\%\) der ursprünglichen Fläche verloren.

- Setze die Koordinaten von \(P\) in die allgemeine Form ein und löse nach \(k\) auf. - Überlege dir, welches Vorzeichen eine negative Zahl hat, wenn man sie mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert. - Welches Vorzeichen muss \(k\) haben, damit der Funktionswert positiv wird?

1. Für \(n=2\): Einsetzen von \(P(-2|4)\) ergibt \(4=k\cdot(-2)^2\), also \(4=4k\). Daraus folgt \(k=1\). 2. Für \(n=3\): Einsetzen von \(P(-2|4)\) ergibt \(4=k\cdot(-2)^3\), also \(4=-8k\). Daraus folgt \(k=-0{,}5\). 3. Für gerades \(n\) ist \((-2)^n\) positiv. Daher muss \(k>0\) sein, damit der Funktionswert \(4\) entsteht. 4. Für ungerades \(n\) ist \((-2)^n\) negativ. Daher muss \(k<0\) sein, damit das Produkt \(k(-2)^n\) positiv und gleich \(4\) ist.

a) Für \(n=2\) ist \(k=1\). Für \(n=3\) ist \(k=-0{,}5\). b) Bei geradem \(n\) muss \(k>0\) sein; bei ungeradem \(n\) muss \(k<0\) sein.

- Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Wie hilft dir das, \(a\) zu finden? - Nachdem du \(a\) kennst, kannst du die beiden Funktionsterme gleichsetzen. - Gibt es bei geraden Exponenten eine Symmetrie, die dir beim Prüfen der Schnittpunkte hilft?

1. Punkt \(P(2|4)\) in \(f(x)=ax^4\) einsetzen: \(4=a\cdot2^4\Rightarrow4=16a\Rightarrow a=\frac{1}{4}=0{,}25\). 2. Mit \(a=0{,}25\) werden die Funktionen gleichgesetzt: \(0{,}25x^4=x^2\). 3. Umformen und faktorisieren: \(0{,}25x^4-x^2=0\Rightarrow x^2(0{,}25x^2-1)=0\). 4. Aus \(x^2=0\) folgt \(x=0\). Aus \(0{,}25x^2-1=0\) folgt \(x^2=4\), also \(x=2\) oder \(x=-2\). 5. Die zugehörigen Funktionswerte sind \(g(0)=0\) und \(g(-2)=4\). Neben dem bereits gegebenen Punkt \(P(2|4)\) sind die weiteren Schnittpunkte somit \(S_1(0|0)\) und \(S_2(-2|4)\).

a) \(a=0{,}25\) b) Die weiteren Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(-2|4)\).

- Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes nutzen, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden? - Potenziere zuerst die Zahl, bevor du sie mit dem Parameter multiplizierst. - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm? - Vergleiche \(k(x)\) direkt mit \(h(x)\), indem du \(k(x)=ch(x)\) schreibst.

1. Einsetzen von \(P(2|4)\) in \(4=a\cdot2^3\) ergibt \(4=8a\), also \(a=0{,}5\). 2. \(h(-3)=0{,}5\cdot(-3)^3=0{,}5\cdot(-27)=-13{,}5\). 3. Einsetzen von \(Q(1|-2)\) ergibt \(-2=b\cdot1^3\), also \(b=-2\). 4. Es gilt \(k(x)=-2x^3=-4\cdot0{,}5x^3=-4h(x)\). Der Graph von \(k\) entsteht daher aus dem Graphen von \(h\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). Abgesehen vom Ursprung verläuft er im II. und IV. Quadranten.

a) \(a=0{,}5\) b) \(h(-3)=-13{,}5\) c) Es gilt \(k(x)=-4h(x)\). Der Graph entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\); er verläuft im II. und IV. Quadranten sowie durch den Ursprung.

- Achte beim Potenzieren negativer Zahlen auf das Vorzeichen bei einem ungeraden Exponenten. - Stelle in b) zunächst die dritte Potenz von \(x\) frei. - Welche Wirkung hat ein negativer Koeffizient auf positive Werte von \(x^3\)? - Was folgt bei einem ungeraden Exponenten aus dem Vergleich von \(h(a)\) und \(h(-a)\)?

1. \(h(3)=-0{,}2\cdot3^3=-5{,}4\) und \(h(-3)=-0{,}2\cdot(-3)^3=5{,}4\). 2. Aus \(-0{,}2x^3=-25\) folgt \(x^3=125\), also \(x=\sqrt[3]{125}=5\). 3. Aussage (1) ist wahr. Für große positive \(x\) ist \(x^3\) groß und positiv; die Multiplikation mit \(-0{,}2\) liefert entsprechend große negative Funktionswerte. 4. Aussage (2) ist wahr. Wegen des ungeraden Exponenten gilt \(h(-a)=-h(a)\). Daher ist \(h(a)+h(-a)=0\) für jedes reelle \(a\).

a) \(h(3)=-5{,}4\) und \(h(-3)=5{,}4\) b) \(x=5\) c) (1) wahr; (2) wahr

- Welche Gleichung müssen die \(x\)-Koordinaten von Schnittpunkten erfüllen? - Wie verändert sich eine positive Zahl zwischen \(0\) und \(1\), wenn sie erneut quadriert wird? - Berücksichtige in b) die obere Grenze des vorgegebenen Intervalls.

1. Gleichsetzen ergibt \(x^4=x^2\), also \(x^2(x^2-1)=0\). Im Intervall \([0;1{,}5]\) sind die Lösungen \(x=0\) und \(x=1\). Die Schnittpunkte sind \((0|0)\) und \((1|1)\). 2. Für \(x>1\) gilt \(x^2>1\). Mit \(x^2>0\) folgt \(x^4>x^2\). Im vorgegebenen Intervall liegt \(g\) daher für \(1<x\le1{,}5\) oberhalb von \(f\). 3. Für \(0<x<1\) gilt dagegen \(x^2<1\) und damit \(x^4<x^2\).

a) \((0|0)\) und \((1|1)\) b) Für \(1<x\le1{,}5\) verläuft \(g\) oberhalb von \(f\).

- Denke daran, dass das Vorzeichen beim Potenzieren mit \(3\) erhalten bleibt. - Stelle in b) zuerst die dritte Potenz von \(x\) frei. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten. - Überlege dir, wie oft der Graph einer solchen Funktion die \(x\)-Achse schneiden kann.

1. \(f(-2)=0{,}5\cdot(-2)^3=-4\) und \(f(3)=0{,}5\cdot3^3=13{,}5\). 2. Aus \(0{,}5x^3=108\) folgt \(x^3=216\), also \(x=6\). 3. Aussage (1) ist wahr, da bei einer Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt. 4. Aussage (2) ist wahr, da \(0{,}5x^3=0\) nur für \(x=0\) erfüllt ist.

a) \(f(-2)=-4\) und \(f(3)=13{,}5\) b) \(x=6\) c) (1) wahr; (2) wahr

- Wie setzt man zwei Funktionen gleich, um Schnittpunkte zu finden? - Überprüfe für den Vergleich der Graphen Werte, die größer als \(1\) oder zwischen \(0\) und \(1\) liegen. - Was muss für den Exponenten \(n\) und den Koeffizienten \(a\) gelten, damit die Wertemenge nur aus nichtnegativen Zahlen besteht? - Kannst du für Teilaufgabe c) verschiedene gerade Zahlen für \(n\) ausprobieren?

1. Schnittpunkte berechnen: \(x^2=x^4\Rightarrow x^4-x^2=0\Rightarrow x^2(x^2-1)=0\). Die Lösungen sind \(x_1=0\), \(x_2=1\) und \(x_3=-1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\), \(S_2(1|1)\) und \(S_3(-1|1)\). 2. Vergleich der Funktionswerte: Für \(|x|>1\), zum Beispiel \(x=2\), gilt \(2^4=16>2^2=4\). Für \(|x|<1\), zum Beispiel \(x=0{,}5\), gilt \(0{,}5^4=0{,}0625<0{,}5^2=0{,}25\). Der Graph von \(g\) liegt also für \(x\in]-\infty;-1[\cup]1;\infty[\) oberhalb von \(f\). 3. Die Wertemenge von \(f(x)=x^2\) ist \(W=[0;\infty[\). Damit \(h(x)=ax^n\) dieselbe Wertemenge hat, muss \(n\) gerade und \(a>0\) sein. 4. Punkt \(S(2|16)\) einsetzen: \(16=a\cdot2^n\). 5. Für \(n=2\) ist \(16=4a\), also \(a=4\). Damit ist \(h(x)=4x^2\) eine Möglichkeit. 6. Für \(n=4\) ist \(16=16a\), also \(a=1\). Damit ist \(h(x)=x^4\) eine zweite Möglichkeit.

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\), \(S_2(1|1)\) und \(S_3(-1|1)\). b) Der Graph von \(g\) verläuft für \(x<-1\) und für \(x>1\) oberhalb von \(f\). c) Zwei mögliche Funktionsterme sind \(h(x)=4x^2\) und \(h(x)=x^4\).

- Stelle für jeden gegebenen Punkt eine Gleichung mit \(a\) und \(n\) auf. - Wie kannst du den unbekannten Koeffizienten \(a\) aus den beiden Gleichungen eliminieren? - Wenn \(n\) feststeht, lässt sich \(a\) aus einer der Punktbedingungen bestimmen.

1. Aus den beiden Punktbedingungen folgt \(48=a\cdot2^n\) und \(768=a\cdot4^n\). 2. Dividiere die zweite Gleichung durch die erste: \(\frac{768}{48}=\frac{4^n}{2^n}=2^n\). 3. Es ist \(16=2^4\). Daher gilt \(n=4\). 4. Setze \(n=4\) in \(48=a\cdot2^4\) ein. Damit ist \(48=16a\) und somit \(a=3\). 5. Also lautet die Funktion \(f(x)=3x^4\). Gegenüber \(g(x)=x^4\) werden alle Funktionswerte mit dem Faktor \(3\) multipliziert.

\(n=4\), \(a=3\), also \(f(x)=3x^4\). Der Graph entsteht aus \(y=x^4\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\).