- Überlege zuerst, ob die gesuchte Seite eine Kathete oder die Hypotenuse ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Seitenquadraten in einem rechtwinkligen Dreieck. - Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?

1. Identifikation der gegebenen Seiten: Die Katheten sind \(a = 5\,\text{cm}\) und \(b = 12\,\text{cm}\). Die Hypotenuse \(x\) ist gesucht. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(x^2 = a^2 + b^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(x^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). 4. Ziehen der Wurzel: \(x = \sqrt{169} = 13\). Die gesuchte Länge beträgt \(13\,\text{cm}\).

\(x = 13\,\text{cm}\)

- Identifiziere zuerst die Hypotenuse (die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) und die beiden Katheten. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Quadraten der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Achte darauf, ob du die Hypotenuse oder eine Kathete suchst.

1. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). 2. Setze die Längen der Katheten ein: \(4{,}8^2 + 3{,}6^2 = x^2\). 3. Berechne die Quadrate: \(23{,}04 + 12{,}96 = x^2\). 4. Addiere die Werte: \(x^2 = 36\). 5. Ziehe die Quadratwurzel: \(x = \sqrt{36} = 6\). Die Seite \(x\) ist \(6\,\text{cm}\) lang.

\(x = 6\,\text{cm}\)

- Welche besondere Seitenbeziehung gilt in einem halben gleichseitigen Dreieck? - Welche Seite liegt dem \(30^\circ\)-Winkel gegenüber?

1. In einem \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\)-Dreieck ist die dem \(30^\circ\)-Winkel gegenüberliegende Kathete halb so lang wie die Hypotenuse. 2. Daher gilt \(c=2\cdot4\,\text{cm}=8\,\text{cm}\).

\(c=8\,\text{cm}\)

- Wie groß ist der dritte Winkel? - Was folgt aus zwei gleich großen Winkeln für die gegenüberliegenden Seiten?

1. Der dritte Winkel ist ebenfalls \(45^\circ\), weil die Winkelsumme \(180^\circ\) beträgt. 2. Das Dreieck ist deshalb gleichschenklig-rechtwinklig. 3. Seine Katheten sind gleich lang. Die andere Kathete ist also \(6\,\text{cm}\) lang.

Die andere Kathete ist \(6\,\text{cm}\) lang, weil das Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist.

- Was bedeutet „gleichschenklig“ für die beiden Katheten dieses rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Seite ist die Hypotenuse? - Vereinfache die entstehende Quadratwurzel vollständig.

1. Da das Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist, sind beide Katheten \(5\,\text{cm}\) lang. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(c^2=5^2+5^2=50\). 3. Daher ist \(c=\sqrt{50}\,\text{cm}=5\sqrt{2}\,\text{cm}\).

\(c=5\sqrt{2}\,\text{cm}\)

- Welche besondere Dreiecksart entsteht durch den \(45^\circ\)-Winkel? - Welche Symmetrieeigenschaft hat die Höhe auf die Hypotenuse in diesem Dreieck?

1. Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig. 2. Die Höhe auf die Hypotenuse halbiert die Hypotenuse und bildet zwei kleinere \(45^\circ\)-\(45^\circ\)-\(90^\circ\)-Dreiecke. 3. Daher ist \(h_c=\frac{c}{2}=5\,\text{cm}\).

\(h_c=5\,\text{cm}\)

- Welche Größe ist in der angegebenen Formel gesucht? - Welche beiden gegebenen Werte kannst du direkt einsetzen? - Löse die entstandene Gleichung nach \(p\) auf.

1. In \(a^2=cp\) werden \(a=12\,\text{cm}\) und \(c=20\,\text{cm}\) eingesetzt: \(12^2=20p\). 2. Auflösen nach \(p\) ergibt \(p=\frac{144}{20}\,\text{cm}=7{,}2\,\text{cm}\).

\(p=7{,}2\,\text{cm}\)

- Welchen Winkel bilden zwei benachbarte Seiten eines Rechtecks? - Welche Rolle spielt die Diagonale im dadurch entstehenden Dreieck? - Welche Beziehung verbindet die drei Seitenlängen dieses Dreiecks?

1. Zwei benachbarte Rechteckseiten und die Diagonale bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(AC^2=12^2+5^2=144+25=169\). 3. Somit ist \(AC=13\,\text{cm}\).

Die Diagonale ist \(AC=13\,\text{cm}\) lang.

- Welche Gleichung verbindet bei einem rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten mit der Hypotenuse? - Prüfe nach der Berechnung von \(d^2\), ob der erhaltene Wert eine Quadratzahl ist. - Eine allgemeine „niemals“-Aussage ist bereits durch ein einziges Gegenbeispiel widerlegt.

1. In a) gilt nach dem Satz des Pythagoras \(d^2=1^2+1^2=2\). Daher ist \(d=\sqrt{2}\). Da \(2\) keine Quadratzahl ist, ist \(\sqrt{2}\) irrational. 2. In b) gilt \(d^2=3^2+4^2=9+16=25\). Daher ist \(d=5\), also rational. 3. Die Aussage ist falsch. Das Rechteck mit Seitenlängen \(3\) und \(4\) ist ein Gegenbeispiel, denn seine Diagonale hat die rationale Länge \(5\).

a) \(d=\sqrt{2}\), also irrational. b) \(d=5\), also rational. Die Aussage ist falsch; ein Rechteck mit Seitenlängen \(3\) und \(4\) hat die rationale Diagonalenlänge \(5\).

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn man eine Diagonale in ein Rechteck einzeichnet? - Welche Seiten des entstandenen Dreiecks sind gegeben und welche wird gesucht? - Achte darauf, dass die Einheiten während der Rechnung konsistent bleiben.

1. Identifikation des rechtwinkligen Dreiecks, das durch die Seiten \(a\), \(b\) und die Diagonale \(d\) gebildet wird. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(d^2 = a^2 + b^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(d^2 = (1{,}2\,\text{m})^2 + (3{,}5\,\text{m})^2 = 1{,}44\,\text{m}^2 + 12{,}25\,\text{m}^2 = 13{,}69\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Diagonale durch Ziehen der Quadratwurzel: \(d = \sqrt{13{,}69\,\text{m}^2} = 3{,}7\,\text{m}\).

Die Diagonale des Rechtecks ist \(3{,}7\,\text{m}\) lang.

- Welche Seite fehlt dir, um den Flächeninhalt und den Umfang berechnen zu können? - Wie kannst du die fehlende Seite mithilfe der Diagonale und der gegebenen Seite bestimmen? - Erinnere dich an den Zusammenhang der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck.

1. Berechnung der fehlenden Seitenlänge \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = ab = 15 \cdot 8 = 120\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs: \(U = 2(a + b) = 2 \cdot (15 + 8) = 2 \cdot 23 = 46\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(120\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(46\,\text{cm}\).

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn du ein Quadrat an der Diagonale teilst? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Seitenlängen und der Diagonale in einem Quadrat? - Erinnere dich an den Satz über die Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken.

1. Da das Blatt quadratisch ist, bildet die Diagonale zusammen mit zwei Seiten des Quadrats ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. 2. Die Seitenlängen des Quadrats sind die Katheten des Dreiecks (\(a = 20\,\text{cm}\)), die Diagonale ist die Hypotenuse (\(d\)). 3. Anwendung des Satzes von Pythagoras: \(d^2 = a^2 + a^2\). 4. Einsetzen der Werte: \(d^2 = 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800\). 5. Berechnung der Wurzel: \(d = \sqrt{800} \approx 28{,}284\dots\,\text{cm}\). 6. Das Ergebnis gerundet auf eine Dezimalstelle beträgt \(28{,}3\,\text{cm}\).

Die Faltkante ist etwa \(28{,}3\,\text{cm}\) lang.

- Überlege zuerst, welche Seite (Kathete oder Hypotenuse) gesucht ist. - Stelle sicher, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Quadraten der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck.

1. Berechnung für Spalte a): Gegeben sind die Katheten \(a = 15\,\text{cm}\) und \(b = 20\,\text{cm}\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\). 2. Berechnung für Spalte b): Gegeben sind die Kathete \(a = 0{,}8\,\text{dm}\) und die Hypotenuse \(c = 1{,}7\,\text{dm}\). Die fehlende Kathete berechnet sich durch \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{1{,}7^2 - 0{,}8^2} = \sqrt{2{,}89 - 0{,}64} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\,\text{dm}\). 3. Berechnung für Spalte c): Gegeben sind die Kathete \(b = 120\,\text{mm} = 12\,\text{cm}\) und die Hypotenuse \(c = 13\,\text{cm}\). Die fehlende Kathete berechnet sich durch \(a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\).

a) \(c = 25\,\text{cm}\) b) \(b = 1{,}5\,\text{dm}\) c) \(a = 5\,\text{cm}\) (oder \(50\,\text{mm}\))

- Was passiert mit einer Wurzel, wenn du sie quadrierst? - Stelle den Satz des Pythagoras jeweils nach der gesuchten Seite um. - Achte darauf, welche Seite die Hypotenuse ist.

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Satzes des Pythagoras mit Wurzelwerten. \(c^2 = a^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{23})^2 = 13 + 23 = 36\). Daraus folgt \(c = \sqrt{36} = 6\). 2. Teilaufgabe b): Umstellen der Formel nach der gesuchten Kathete. \(b^2 = c^2 - a^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\). Daraus folgt \(b = \sqrt{144} = 12\).

a) \(c = 6\) b) \(b = 12\)

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn man ein Rechteck entlang einer Diagonale teilt? - Wie hängen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks, wenn beide Seitenlängen bekannt sind?

1. Anwendung des Satzes von Pythagoras im Rechteck: \(a^2 + b^2 = d^2\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(5^2 + b^2 = 13^2\), also \(25 + b^2 = 169\). 3. Umstellen nach \(b^2\): \(b^2 = 169 - 25 = 144\). 4. Berechnen der Seitenlänge \(b\): \(b = \sqrt{144} = 12\,\text{m}\). 5. Berechnen des Flächeninhalts: \(A = ab = 5\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\).

Die zweite Seite ist \(12\,\text{m}\) lang und der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{m}^2\).

- Kannst du das gleichschenklige Dreieck in zwei spiegelsymmetrische rechtwinklige Dreiecke zerlegen? - Welche Seitenlängen sind in einem dieser Teildreiecke bekannt? - Wie hängen die Grundseite, die Höhe und die Schenkel mathematisch zusammen?

1. Berechnung der halben Basis mithilfe des Satzes des Pythagoras im rechtwinkligen Teildreieck: \((\frac{c}{2})^2 = s^2 - h_c^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64\). 2. Bestimmung der halben Basis durch Radizieren: \(\frac{c}{2} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 3. Berechnung der gesamten Basis: \(c = 2 \cdot 8\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120\,\text{cm}^2\).

Die Basis beträgt \(c = 16\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt ist \(A = 120\,\text{cm}^2\).

- Welche geometrische Form bildet der Bildschirm zusammen mit seiner Diagonale? - Erinnere dich an den Zusammenhang der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. - Ein Verhältnis wird wie ein Bruch gekürzt, indem man beide Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert.

1. Berechnung der Breite \(w\) mit dem Satz des Pythagoras: \(w^2 + 15^2 = 17^2\). 2. Umstellen und Lösen: \(w^2 = 289 - 225 = 64\). Somit ist \(w = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 3. Bestimmung des Seitenverhältnisses: Das Verhältnis von Breite zu Höhe ist \(8 : 15\). Da \(8\) und \(15\) keinen gemeinsamen Teiler außer \(1\) haben, ist dies bereits die gekürzte Form.

a) Die Breite des Bildschirms beträgt \(8\,\text{cm}\). b) Das Seitenverhältnis beträgt \(8 : 15\).

- Welche Form hat ein Quadrat und welche Winkel treten dort auf? - Wie hängen die Seiten eines Quadrats zusammen? - Kannst du eine Skizze zeichnen und die Diagonale als Seite eines Dreiecks betrachten?

1. Ein Quadrat besitzt vier rechte Winkel. Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, in denen die Diagonale die Hypotenuse und die Quadratseiten die Katheten bilden. Daher ist der Satz des Pythagoras anwendbar. 2. Ansatz mit dem Satz des Pythagoras: \(a^2 + a^2 = (20\,\text{m})^2\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(2a^2 = 400\,\text{m}^2\). 4. Isolieren von \(a^2\): \(a^2 = 200\,\text{m}^2\). 5. Ziehen der Wurzel für den exakten Wert: \(a = \sqrt{200}\,\text{m} = 10\sqrt{2}\,\text{m}\). 6. Numerische Berechnung: \(a \approx 14{,}14\,\text{m}\).

1. Die Diagonale zerlegt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. 2. Exakt: \(a = \sqrt{200}\,\text{m}\) (bzw. \(10\sqrt{2}\,\text{m}\)); gerundet: \(a \approx 14{,}14\,\text{m}\).

- Wie hängen die Diagonale und die Seitenlängen in einem Quadrat zusammen? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke. - Musst du die Seitenlänge einzeln ausrechnen, um den Flächeninhalt zu finden? - Was ist die Definition des Flächeninhalts eines Quadrats?

1. Sei \(a\) die Seitenlänge des Quadrats und \(d\) die Diagonale. Nach dem Satz des Pythagoras gilt in einem Quadrat \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). 2. Setze den gegebenen Wert \(d = 60\,\text{cm}\) in die Gleichung ein: \(60^2 = 2a^2\). 3. Berechne das Quadrat der Diagonale: \(3600 = 2a^2\). 4. Löse nach dem Flächeninhalt \(A = a^2\) auf, indem du beide Seiten durch \(2\) dividierst: \(a^2 = 1800\). 5. Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt somit \(1800\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Schildes beträgt \(1800\,\text{cm}^2\).

- Welche geometrische Form hat das Display? - Wie hängen die Seitenlängen und die Diagonale in dieser Form zusammen? - Vergleiche dein berechnetes Ergebnis mit dem Grenzwert aus der Aufgabenstellung.

1. Modellierung des Displays als Rechteck mit den Katheten \(a = 18\,\text{cm}\) und \(b = 24\,\text{cm}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung der Diagonalen \(d\): \(d^2 = 18^2 + 24^2\). 3. Berechnung der Quadrate: \(d^2 = 324 + 576 = 900\). 4. Bestimmung der Länge der Diagonalen durch Wurzelziehen: \(d = \sqrt{900} = 30\,\text{cm}\). 5. Vergleich mit der Maximalgröße der Hülle: Da \(30\,\text{cm} > 28\,\text{cm}\) ist, passt das Tablet nicht in die Schutzhülle.

Das Tablet passt nicht in die Schutzhülle, da seine Diagonale \(30\,\text{cm}\) lang ist und damit die maximal zulässige Bildschirmdiagonale von \(28\,\text{cm}\) überschreitet.

- Wie berechnet man den Umfang einer geometrischen Figur, wenn die Längen der Außenkanten bekannt sind? - Welche Eigenschaft muss ein Dreieck erfüllen, um als „gleichschenklig“ zu gelten? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem. - Hilft es dir, die Punkte kurz in ein Skizzen-Koordinatensystem einzutragen?

1. Berechnung der Seitenlänge \(c = |\overline{AB}|\): Da beide Punkte auf der Geraden \(y = 1\) liegen, ergibt sich die Länge aus der Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(|4 - (-2)| = 6\). Alternativ per Formel: \(\sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(a = |\overline{BC}|\): \(|\overline{BC}| = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). 3. Berechnung der Seitenlänge \(b = |\overline{AC}|\): \(|\overline{AC}| = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). 4. Bestimmung des Umfangs: \(U = 6 + 5 + 5 = 16\). 5. Prüfung auf Gleichschenkligkeit: Da die Seiten \(a\) und \(b\) beide die Länge \(5\) besitzen, sind zwei Seiten des Dreiecks gleich lang. Das Dreieck ist somit gleichschenklig.

a) Der Umfang des Dreiecks beträgt \(16\,\text{Längeneinheiten}\). b) Das Dreieck ist gleichschenklig, da die Seiten \(\overline{AC}\) und \(\overline{BC}\) mit jeweils \(5\,\text{Längeneinheiten}\) gleich lang sind.

- Was bedeutet „Reichweite“ mathematisch für den Abstand zwischen zwei Punkten? - Welche Bedingung muss der Abstand erfüllen, damit eine Verbindung möglich ist? - Achte beim Einsetzen der negativen Koordinaten in die Formel besonders auf die Vorzeichen.

1. Aufstellen des Ansatzes für den Abstand \(d\) zwischen \(R(2|3)\) und \(L(-2|6)\): \(d = \sqrt{(x_L - x_R)^2 + (y_L - y_R)^2}\). 2. Einsetzen der Koordinaten: \(d = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (6 - 3)^2}\). 3. Berechnung der Differenzen: \(\Delta x = -4\) und \(\Delta y = 3\). 4. Quadrieren und Summieren: \(d = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\). 5. Ergebnis des Abstands: \(d = 5\,\text{m}\). 6. Vergleich mit der Reichweite: Da der berechnete Abstand von \(5\,\text{m}\) exakt der maximalen Reichweite des Routers entspricht, befindet sich der Laptop gerade noch im Empfangsbereich.

Ja, der Laptop kann eine Verbindung herstellen. Der berechnete Abstand zwischen Router und Laptop beträgt genau \(5\,\text{m}\), was exakt der maximalen Reichweite entspricht.

- Suche in jedem Körper rechtwinklige Dreiecke, mit denen du zur Raumdiagonale gelangst. - Beim Würfel sind alle drei Kantenlängen gleich. - Runde erst, nachdem du die beiden Diagonalen verglichen hast.

1. Für den Quader gilt \(d_Q=\sqrt{16^2+8^2+4^2}\,\text{cm}=\sqrt{336}\,\text{cm}=4\sqrt{21}\,\text{cm}\). 2. Für den Würfel gilt \(d_W=\sqrt{8^2+8^2+8^2}\,\text{cm}=8\sqrt{3}\,\text{cm}\). 3. Die Differenz ist \(4\sqrt{21}-8\sqrt{3}\,\text{cm}\approx4{,}47\,\text{cm}\).

a) Quader: \(d_Q=4\sqrt{21}\,\text{cm}\); Würfel: \(d_W=8\sqrt{3}\,\text{cm}\) b) \(4{,}47\,\text{cm}\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Achte darauf, welche Seite die längste im Dreieck ist. - Wie lässt sich die Formel umstellen, wenn nicht die längste Seite gesucht ist?

1. Anwendung des Satzes von Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) und Umstellung nach der gesuchten Kathete: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). 2. Berechnung für a): \(b = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35\). Die Kathete \(b\) ist \(35\,\text{cm}\) lang. 3. Berechnung für b): \(b = \sqrt{2{,}5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25 - 2{,}25} = \sqrt{4} = 2\). Die Kathete \(b\) ist \(2\,\text{m}\) lang.

a) \(b = 35\,\text{cm}\) b) \(b = 2\,\text{m}\)

- Kannst du eine Skizze der Situation zeichnen? - Welche geometrische Form entsteht durch die beiden Laufwege und die direkte Verbindungslinie? - Berechne zuerst, wie viele Kilometer jeder Wanderer in der gegebenen Zeit geschafft hat. - Gibt es einen bekannten mathematischen Satz für Berechnungen an Dreiecken mit einem rechten Winkel?

1. Berechnung der von Wanderer A zurückgelegten Strecke: \(s_A = 4{,}8\,\text{km/h} \cdot 1{,}5\,\text{h} = 7{,}2\,\text{km}\). 2. Berechnung der von Wanderer B zurückgelegten Strecke: \(s_B = 3{,}6\,\text{km/h} \cdot 1{,}5\,\text{h} = 5{,}4\,\text{km}\). 3. Da die Richtungen Norden und Westen rechtwinklig zueinander stehen, bilden die Strecken die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. 4. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung des Abstands \(d\): \(d = \sqrt{s_A^2 + s_B^2}\). 5. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{7{,}2^2 + 5{,}4^2} = \sqrt{51{,}84 + 29{,}16} = \sqrt{81}\). 6. Ergebnis: \(d = 9\,\text{km}\).

Nach \(1{,}5\) Stunden sind die beiden Wanderer \(9\,\text{km}\) voneinander entfernt.

- Erstelle gedanklich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Flugstrecke als Hypotenuse. - Achte beim Subtrahieren der Koordinaten auf die Vorzeichen. - Die Länge einer Kathete ist immer der absolute Betrag der Differenz der Koordinaten.

1. Berechnung der horizontalen Differenz: \(\Delta x = 6 - (-6) = 12\). 2. Berechnung der vertikalen Differenz: \(\Delta y = 1 - (-4) = 5\). 3. Berechnung der Streckenlänge \(l\) mit dem Satz des Pythagoras: \(l^2 = 12^2 + 5^2\). 4. \(l^2 = 144 + 25 = 169\). 5. \(l = \sqrt{169} = 13\). Die Flugstrecke ist \(13\,\text{Längeneinheiten}\) lang.

Die Flugstrecke beträgt \(13\,\text{Längeneinheiten}\).

- Suche zuerst den rechten Winkel in jedem der beiden kleineren Dreiecke. - Bestimme für jedes Dreieck einzeln, welche Seiten die Katheten und welche Seite die Hypotenuse ist. - Beachte, dass die Seite \(h\) zu beiden rechtwinkligen Dreiecken gehört.

1. Linkes Teildreieck: Die Katheten sind die Höhe \(h\) und der Basisabschnitt \(s\). Die Hypotenuse ist die Seite \(b\). Die Gleichung lautet: \(s^2 + h^2 = b^2\). 2. Rechtes Teildreieck: Die Katheten sind die Höhe \(h\) und der Basisabschnitt \(r\). Die Hypotenuse ist die Seite \(a\). Die Gleichung lautet: \(r^2 + h^2 = a^2\).

Linkes Dreieck: \(s^2 + h^2 = b^2\) Rechtes Dreieck: \(r^2 + h^2 = a^2\)

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist damit die Hypotenuse? - Wie hängen in einem rechtwinkligen Dreieck die Quadrate der beiden Katheten und der Hypotenuse zusammen? - Welche Größe musst du in dieser Gleichung zuerst isolieren, bevor du die gesuchte Länge bestimmen kannst?

1. Die Hypotenuse ist \(25\,\text{cm}\) lang; die bekannte Kathete ist \(7\,\text{cm}\) lang. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(x^2+7^2=25^2\). 3. Daraus folgt \(x^2=25^2-7^2=625-49=576\). 4. Wegen \(x>0\) ist \(x=\sqrt{576}=24\,\text{cm}\).

\(x=24\,\text{cm}\)

- Bevor du rechnest, solltest du alle Längenangaben auf die gleiche Einheit bringen. - Welche Einheit bietet sich hier an, um Kommazahlen zu vermeiden? - Stelle die Formel so um, dass das Quadrat der gesuchten Seite isoliert ist.

1. Umrechnung der Einheiten: Die Hypotenuse ist \(1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}\) lang. Die Kathete ist \(6\,\text{cm}\) lang. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(x^2 + 6^2 = 10^2\). 3. Berechnung: \(x^2 = 100 - 36 = 64\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{64} = 8\). Die Länge beträgt \(8\,\text{cm}\).

\(x = 8\,\text{cm}\)

- Überprüfe, ob alle Längen in der gleichen Einheit vorliegen. - Welche Seite ist die längste im Dreieck? - Addiere die Quadrate der kürzeren Seiten, um das Quadrat der längsten Seite zu erhalten.

1. Einheiten vereinheitlichen: \(0{,}7\,\text{m} = 7\,\text{dm}\). Die Katheten sind somit \(7\,\text{dm}\) und \(24\,\text{dm}\). 2. Pythagoras anwenden: \(x^2 = 7^2 + 24^2\). 3. Berechnung: \(x^2 = 49 + 576 = 625\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{625} = 25\). Die Hypotenuse ist \(25\,\text{dm}\) lang.

\(x = 25\,\text{dm}\)

- Wandle die Einheiten so um, dass sie zueinander passen. - Achte darauf, dass hier eine Seite am rechten Winkel gesucht ist. - Denke daran, am Ende die Wurzel zu ziehen.

1. Umrechnung in Meter: \(10\,\text{dm} = 1\,\text{m}\). Die Hypotenuse ist \(2{,}6\,\text{m}\) lang. 2. Pythagoras für die Kathete \(x\): \(x^2 + 1^2 = 2{,}6^2\). 3. Umstellen: \(x^2 = 2{,}6^2 - 1^2 = 6{,}76 - 1 = 5{,}76\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4\). Die Kathete ist \(2{,}4\,\text{m}\) lang.

\(x = 2{,}4\,\text{m}\)

- Ist \(x\) eine Kathete oder die Hypotenuse? - Rechne zuerst alle Angaben in Millimeter um. - Nutze den Taschenrechner für die Quadrate und die Wurzel, falls nötig.

1. Einheiten angleichen: \(1{,}5\,\text{cm} = 15\,\text{mm}\). Die Hypotenuse ist \(39\,\text{mm}\). 2. Pythagoras: \(x^2 + 15^2 = 39^2\). 3. Umstellen: \(x^2 = 39^2 - 15^2 = 1521 - 225 = 1296\). 4. Ergebnis: \(x = \sqrt{1296} = 36\). Die gesuchte Länge beträgt \(36\,\text{mm}\).

\(x = 36\,\text{mm}\)

- Darf man die Quadratwurzel einer Summe auf die beiden Summanden verteilen? - Berechne zuerst die Summe der Quadrate und ziehe erst danach die Wurzel. - Prüfe, ob das Ergebnis zur Größenordnung eines Rechtecks mit Seiten \(9\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) passt.

1. Leon behandelt die Quadratwurzel einer Summe fälschlich wie die Summe der einzelnen Quadratwurzeln. Im Allgemeinen gilt \(\sqrt{a^2+b^2}\neq a+b\). 2. Für die Rechteckdiagonale gilt nach dem Satz des Pythagoras \(d^2=12^2+9^2\). 3. Damit ist \(d^2=144+81=225\). 4. Also folgt \(d=\sqrt{225}=15\,\text{cm}\).

Leon hat die Wurzel fälschlich auf die beiden Summanden verteilt. Richtig ist \(d=15\,\text{cm}\).

- Überlege, wie du die Längen der waagerechten und senkrechten Linien direkt aus den Koordinaten ablesen kannst. - Welcher bekannte mathematische Satz hilft dir dabei, in einem rechtwinkligen Dreieck die längste Seite zu berechnen? - Achte darauf, die Koordinatenwerte korrekt voneinander abzuziehen.

1. Bestimmung der Kathetenlängen durch Differenzbildung der Koordinaten: \(|\overline{AC}| = 13 - 1 = 12\) \(|\overline{BC}| = 6 - 1 = 5\) 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras im Dreieck \(ABC\): \(|\overline{AB}|^2 = 12^2 + 5^2\) \(|\overline{AB}|^2 = 144 + 25 = 169\) 3. Berechnung der Wurzel: \(|\overline{AB}| = \sqrt{169} = 13\)

a) \(|\overline{AC}| = 12\); \(|\overline{BC}| = 5\) b) \(|\overline{AB}| = 13\)

- Skizziere die beiden Punkte und ihre direkte Verbindung im Koordinatensystem. - Betrachte getrennt, wie stark sich die Koordinaten in horizontaler und vertikaler Richtung unterscheiden. - Überlege, welcher bekannte geometrische Zusammenhang die direkte Entfernung aus diesen beiden Änderungen liefert.

1. Berechnung der Koordinatendifferenzen: \(\Delta x = 3 - (-2) = 5\) \(\Delta y = 5 - 1 = 4\) 2. Berechnung des Abstands \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41\) 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(d = \sqrt{41} \approx 6{,}4031\dots\) 4. Rundung auf zwei Dezimalstellen ergibt \(6{,}40\).

Die beiden Steine sind ca. \(6{,}40\) Einheiten voneinander entfernt.

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn du ein Quadrat entlang einer Diagonalen teilst? - Welchen Satz kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck anwenden, um die Seitenlängen in Beziehung zu setzen? - Versuche, die Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen.

1. In einem Quadrat bilden zwei benachbarte Seiten und die Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Diagonale \(d\): \(d^2 = a^2 + a^2\). 3. Zusammenfassen der Terme ergibt: \(d^2 = 2a^2\). 4. Durch Ziehen der Wurzel erhält man: \(d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).

\(d = a\sqrt{2}\)

- Welche Eigenschaften haben die Diagonalen einer Raute an ihrem Schnittpunkt? - Mit welchen Teilen der beiden Diagonalen entsteht zusammen mit einer Rautenseite ein rechtwinkliges Dreieck? - Achte darauf, die Diagonalen vor der Rechnung zu halbieren.

1. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander. Daher sind die Katheten eines entstehenden rechtwinkligen Dreiecks \(2{,}4\,\text{cm}\) und \(0{,}7\,\text{cm}\) lang. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(s^2=2{,}4^2+0{,}7^2=5{,}76+0{,}49=6{,}25\). 3. Somit ist \(s=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge beträgt \(2{,}5\,\text{cm}\).

- Welche Längendifferenz der beiden Grundseiten bildet eine Kathete eines rechtwinkligen Teildreiecks? - Welche Strecke bildet die zweite Kathete? - Welche Seite des Teildreiecks ist gesucht?

1. Zerlege das Trapez gedanklich in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. Die waagerechte Kathete des Dreiecks hat die Länge \(x=a-c=5\,\text{m}-2\,\text{m}=3\,\text{m}\). 2. Die zweite Kathete ist die Höhe \(h=4\,\text{m}\), die schräge Seite \(s\) ist die Hypotenuse. 3. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(s^2=3^2+4^2=9+16=25\). 4. Daher ist \(s=5\,\text{m}\).

Die schräge Seite ist \(s=5\,\text{m}\) lang.

- Nutze den Kathetensatz, um den an die Kathete \(a\) anliegenden Abschnitt \(p\) zu finden. - Die Summe der Abschnitte \(p\) und \(q\) ergibt die Gesamtlänge der Seite \(c\). - Erinnere dich an den Höhensatz für die Berechnung von \(h\).

1. Berechnung von \(p\) mit dem Kathetensatz: \(a^2 = c \cdot p \implies p = \frac{4{,}5^2}{7{,}5} = \frac{20{,}25}{7{,}5} = 2{,}7\,\text{cm}\). 2. Berechnung von \(q\) durch Subtraktion: \(q = c - p = 7{,}5 - 2{,}7 = 4{,}8\,\text{cm}\). 3. Berechnung von \(h\) mit dem Höhensatz: \(h = \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{2{,}7 \cdot 4{,}8} = \sqrt{12{,}96} = 3{,}6\,\text{cm}\).

\(p = 2{,}7\,\text{cm}\), \(q = 4{,}8\,\text{cm}\), \(h = 3{,}6\,\text{cm}\)

- Welche Länge solltest du zuerst aus den beiden Katheten bestimmen? - Welcher Hypotenusenabschnitt gehört jeweils zu \(a\) und zu \(b\)? - Welche Beziehung liefert anschließend die Höhe?

1. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(c=13\,\text{cm}\). 2. Nach dem Kathetensatz gilt \(p=\frac{a^2}{c}=\frac{25}{13}\,\text{cm}\approx1{,}92\,\text{cm}\). 3. Ebenso ist \(q=\frac{b^2}{c}=\frac{144}{13}\,\text{cm}\approx11{,}08\,\text{cm}\). 4. Mit dem Höhensatz folgt \(h=\sqrt{pq}=\frac{60}{13}\,\text{cm}\approx4{,}62\,\text{cm}\).

\(p\approx1{,}92\,\text{cm}\), \(q\approx11{,}08\,\text{cm}\), \(h\approx4{,}62\,\text{cm}\)

- Welche besondere Wirkung hat die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks auf die gegenüberliegende Seite? - Welche Seitenlängen kennst du dadurch in einem rechtwinkligen Teildreieck? - Bestimme die Höhe zunächst exakt und runde erst am Ende.

1. Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks halbiert die gegenüberliegende Seite. Daher ist die halbe Grundseite \(4{,}5\,\text{cm}\) lang. 2. Im entstehenden rechtwinkligen Teildreieck gilt \(h^2+4{,}5^2=9^2\). 3. Damit ist \(h=\sqrt{81-20{,}25}=\sqrt{\frac{243}{4}}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}\). 4. Auf zwei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(h\approx7{,}79\,\text{cm}\).

\(h=\frac{9\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}\approx7{,}79\,\text{cm}\)

- Welche Strecke halbiert in einem gleichschenkligen Dreieck die Basis? - Welche Seitenlängen kennst du dadurch in einem rechtwinkligen Teildreieck? - Welche Seite dieses Teildreiecks ist die Hypotenuse?

1. Die Höhe auf die Basis halbiert die Basis. Eine Kathete des rechtwinkligen Teildreiecks ist daher \(5\,\text{cm}\) lang. 2. Ein Schenkel mit \(13\,\text{cm}\) ist die Hypotenuse. 3. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(h^2=13^2-5^2=169-25=144\). 4. Somit ist \(h=12\,\text{cm}\).

Die Höhe beträgt \(h=12\,\text{cm}\).

- Welche Größen haben die beiden spitzen Winkel in einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck? - Welche beiden kleineren Dreiecke entstehen durch die Höhe auf die Hypotenuse? - Was folgt daraus für die beiden Hypotenusenabschnitte?

1. Die beiden spitzen Winkel des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks sind jeweils \(45^\circ\). 2. Die Höhe auf die Hypotenuse teilt das Dreieck in zwei kleinere \(45^\circ\)-\(45^\circ\)-\(90^\circ\)-Dreiecke. 3. Daher ist jeder der beiden Hypotenusenabschnitte so lang wie die Höhe, also \(8\,\text{cm}\). 4. Somit ist \(AB=8\,\text{cm}+8\,\text{cm}=16\,\text{cm}\).

\(AB=16\,\text{cm}\)

- Wie erhältst du die ganze Hypotenuse aus ihren beiden Abschnitten? - Welche Beziehung verbindet die Höhe auf die Hypotenuse mit den beiden Abschnitten?

1. Die Hypotenuse ist \(c=p+q=25\,\text{cm}\). 2. Nach dem Höhensatz gilt \(h_c^2=pq\). 3. Daher ist \(h_c=\sqrt{9\cdot16}\,\text{cm}=12\,\text{cm}\).

\(h_c=12\,\text{cm}\), \(c=25\,\text{cm}\)

- Überlege, wie du den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem berechnen kannst. - Betrachte für die schräge Strecke die horizontalen und vertikalen Koordinatendifferenzen als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. - Vergleiche die berechneten Werte am Ende miteinander.

1. Berechnung der Länge der Strecke \(AB\): Da beide Punkte den gleichen \(y\)-Wert haben, ist die Länge die Differenz der \(x\)-Werte: \(|5 - 1| = 4\). 2. Berechnung der Länge der Strecke \(AC\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{(3-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\). 3. Vergleich der Werte: \(\sqrt{13} \approx 3{,}61\). Da \(4 > 3{,}61\), ist \(AB\) länger als \(AC\).

Die Strecke \(AB\) ist länger als die Strecke \(AC\).

- Welche drei Längen bilden das rechtwinklige Verschiebungsdreieck des Pfeils? - Welche Vorzeichen muss die vertikale Verschiebung haben, wenn der Pfeil nach rechts oben zeigt? - Wie erhältst du aus den beiden Verschiebungen die Koordinaten des Endpunkts?

1. Die horizontale und die vertikale Verschiebung bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die Pfeillänge \(5\) ist die Hypotenuse. 2. Für die vertikale Verschiebung \(\Delta y\) gilt \(5^2=3^2+(\Delta y)^2\). 3. Daraus folgt \((\Delta y)^2=25-9=16\). Da der Pfeil nach oben zeigt, ist \(\Delta y=4\). 4. Der Endpunkt ist daher \(B(1+3\mid2+4)=B(4\mid6)\).

Der Pfeil geht \(4\) Einheiten nach oben. Sein Endpunkt ist \(B(4\mid6)\).

- Berechne für beide Strecken die Kathetenlängen ihrer rechtwinkligen Hilfsdreiecke. - Vergleiche die Ergebnisse der Pythagoras-Rechnung.

1. Für die Strecke \(AB\) gilt: \(\Delta x = 2\) und \(\Delta y = 3\). Daher ist \(AB = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\). 2. Für die Strecke \(CD\) gilt: \(\Delta x = 7 - 4 = 3\) und \(\Delta y = 3 - 1 = 2\). Daher ist \(CD = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\). 3. Somit haben beide Strecken dieselbe Länge.

Ja, beide Strecken haben die Länge \(\sqrt{13}\).

- Welche Strecke ist im rechtwinkligen Dreieck aus zwei Rechteckseiten und der Diagonale die Hypotenuse? - Wie musst du den Satz des Pythagoras umstellen, wenn eine Kathete gesucht ist? - Prüfe, ob deine berechnete Seite kürzer als die Diagonale ist.

1. Die Diagonale und die beiden Rechteckseiten bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Diagonale ist dessen Hypotenuse. 2. Für die gesuchte Seite \(b\) gilt daher \(b^2=17^2-8^2=289-64=225\). 3. Somit ist \(b=15\,\text{cm}\).

Die andere Seite ist \(15\,\text{cm}\) lang.

- Welchen Winkel bildet ein Radius mit der Tangente im Berührpunkt? - Welche Strecke ist im Dreieck \(MTP\) die Hypotenuse? - Welche beiden Kathetenlängen sind gegeben?

1. Der Radius \(MT\) steht im Berührpunkt \(T\) senkrecht auf der Tangente. Daher ist das Dreieck \(MTP\) rechtwinklig. 2. Die Strecke \(MP\) ist die Hypotenuse. Somit gilt \(MP^2=5^2+12^2=25+144=169\). 3. Daher ist \(MP=13\,\text{cm}\).

\(MP=13\,\text{cm}\)

- Wo liegt der Mittelpunkt von Inkreis und Umkreis im Quadrat? - Welche Strecke vom Mittelpunkt zu einer Ecke bestimmt den Umkreisradius? - Welche Strecke vom Mittelpunkt zu einer Seite bestimmt den Inkreisradius?

1. Der Inkreisradius ist \(r=\frac a2=4\,\text{cm}\). 2. Die Diagonale ist \(d=a\sqrt2=8\sqrt2\,\text{cm}\). 3. Der Umkreisradius ist die halbe Diagonale: \(R=4\sqrt2\,\text{cm}\approx5{,}66\,\text{cm}\).

\(R\approx5{,}66\,\text{cm}\), \(r=4\,\text{cm}\)

- Wie lang ist die halbe Sechseckseite von \(H\) bis zu einer Ecke? - Welche Strecke ist im markierten rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse? - Setze \(r\), die halbe Seite und die Strecke vom Mittelpunkt zur Ecke in den Satz des Pythagoras ein.

1. Da \(H\) die Seitenmitte ist, ist die halbe Seite \(3\,\text{cm}\) lang. 2. Im rechtwinkligen Dreieck aus Mittelpunkt, Seitenmitte und Ecke ist die Strecke zur Ecke \(6\,\text{cm}\) die Hypotenuse. 3. Daher gilt \(r^2+3^2=6^2\). Somit ist \(r=\sqrt{27}\,\text{cm}=3\sqrt3\,\text{cm}\approx5{,}20\,\text{cm}\).

\(r^2+3^2=6^2\), also \(r=3\sqrt3\,\text{cm}\approx5{,}20\,\text{cm}\).

- Welche der drei Seitenlängen fehlt dir noch für die Flächenformel eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Seite ist die Hypotenuse? - Wie berechnet sich der Flächeninhalt aus den beiden Katheten?

1. Für die zweite Kathete \(b\) gilt nach dem Satz des Pythagoras \(b^2=13^2-5^2=169-25=144\). 2. Damit ist \(b=12\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\).

\(A=30\,\text{cm}^2\)

- Welche Wirkung hat die Höhe auf eine Seite des gleichseitigen Dreiecks? - Welche Längen hat das entstehende rechtwinklige Teildreieck? - Bestimme zuerst die Höhe und danach den Flächeninhalt.

1. Die Höhe halbiert die Grundseite. Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(4\,\text{cm}\) und die halbe Grundseite \(2\,\text{cm}\) lang. 2. Nach dem Satz des Pythagoras ist \(h=\sqrt{4^2-2^2}\,\text{cm}=2\sqrt3\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(A=\frac12\cdot4\cdot2\sqrt3\,\text{cm}^2=4\sqrt3\,\text{cm}^2\approx6{,}93\,\text{cm}^2\).

\(A=4\sqrt3\,\text{cm}^2\approx6{,}93\,\text{cm}^2\)

- Welche Wirkung hat die Höhe auf die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks? - Welche drei Strecken bilden dadurch ein rechtwinkliges Teildreieck? - Welche Höhe brauchst du anschließend für die Flächenformel?

1. Die Höhe auf die Basis halbiert die Basis, sodass in einem rechtwinkligen Teildreieck eine Kathete \(6\,\text{cm}\) lang ist. 2. Für die Höhe gilt \(h^2=10^2-6^2=64\), also \(h=8\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot12\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=48\,\text{cm}^2\).

\(A=48\,\text{cm}^2\)

- Wie lang ist der noch fehlende Hypotenusenabschnitt? - Welche Beziehung verbindet die Höhe mit den beiden Abschnitten?

1. Der andere Hypotenusenabschnitt ist \(p=c-q=9\,\text{cm}\). 2. Nach dem Höhensatz gilt \(h^2=pq=9\cdot4\,\text{cm}^2=36\,\text{cm}^2\). 3. Daher ist \(h=6\,\text{cm}\).

\(h=6\,\text{cm}\)

- Welche Hilfslinie muss den gegebenen senkrechten Abstand der parallelen Seiten tatsächlich darstellen? - Wie verteilt sich bei einem gleichschenkligen Trapez die Differenz der beiden parallelen Seiten? - Erst wenn beide Katheten aus den Angaben bestimmbar sind, ist die Skizze für einen direkten Pythagoras-Ansatz geeignet.

1. In einem gleichschenkligen Trapez verteilt sich die Differenz der parallelen Seiten symmetrisch auf beide Randabschnitte: \(\frac{14-8}{2}=3\,\text{cm}\). 2. Skizze a) zeigt die Senkrechte von \(D\) auf \(AB\). Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) und der Hypotenuse \(x\). 3. Nach Pythagoras gilt \(x^2=3^2+4^2=25\,\text{cm}^2\), also \(x=5\,\text{cm}\).

Skizze a); die Katheten sind \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). Daher \(x^2=3^2+4^2\) und \(x=5\,\text{cm}\).

- Welche Seitenlängen fehlen dir noch, um alle Verhältnisse vergleichen zu können? - Erinnere dich an einen wichtigen Satz für Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken. - Wie kannst du mit den Seitenlängen feststellen, ob eine Figur eine maßstäbliche Vergrößerung der anderen ist?

1. Berechnung der fehlenden Seite in Dreieck \(A\) (Hypotenuse \(c_1\)) mit dem Satz des Pythagoras: \(c_1 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 2. Berechnung der fehlenden Seite in Dreieck \(B\) (Kathete \(b_2\)) mit dem Satz des Pythagoras: \(b_2 = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\,\text{cm}\). 3. Vergleich der Verhältnisse entsprechender Seiten: \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{12}{6} = 2\); \(\frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{8} = 2\); \(\frac{c_2}{c_1} = \frac{20}{10} = 2\). 4. Da alle entsprechenden Seitenverhältnisse gleich sind, sind die Dreiecke nach dem Ähnlichkeitssatz SSS ähnlich.

Ja, die Dreiecke sind ähnlich. Die Seitenlängen von Dreieck \(A\) sind \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\). Die Seitenlängen von Dreieck \(B\) sind \(12\,\text{cm}\), \(16\,\text{cm}\) und \(20\,\text{cm}\). Da alle entsprechenden Seiten im Verhältnis \(2:1\) stehen, liegt Ähnlichkeit vor.

- Denke beim Vereinfachen an die Potenzgesetze, insbesondere wie man ein Produkt quadriert. - Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks, wenn man die beiden Seiten kennt, die den rechten Winkel einschließen? - Das Verhältnis \(\frac{z}{x}\) bedeutet, wie oft \(x\) in \(z\) passt.

1. Vereinfachung der Quadrate: \((3x)^2 = 9x^2\) und \((4x)^2 = 16x^2\). 2. Addition der Terme: \(z^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2\). 3. Ziehen der Wurzel (da \(x, z > 0\)): \(z = \sqrt{25x^2} = 5x\). 4. Berechnung des Verhältnisses: \(\frac{z}{x} = \frac{5x}{x} = 5\). 5. Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Kathete}_1 \cdot \text{Kathete}_2 = \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot 4x = 6x^2\). 6. Gleichung lösen: \(6x^2 = 54 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\,\text{cm}\). 7. Berechnung von \(z\): \(z = 5 \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\).

a) \(z^2 = 25x^2\) b) Das Verhältnis ist \(5\). c) \(x = 3\,\text{cm}\) und \(z = 15\,\text{cm}\).

- Wie hängt der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit seinen beiden Katheten zusammen? - Welche Vereinfachung ergibt sich daraus, dass die beiden Katheten gleich lang sind? - Wie bestimmst du anschließend die Hypotenuse?

1. Für den Flächeninhalt gilt wegen der gleich langen Katheten \(A=\frac{1}{2}a^2\). 2. Aus \(32=\frac{1}{2}a^2\) folgt \(a^2=64\) und damit \(a=b=8\,\text{cm}\). 3. Nach dem Satz des Pythagoras ist \(c^2=8^2+8^2=128\). 4. Daher gilt \(c=\sqrt{128}\,\text{cm}=8\sqrt{2}\,\text{cm}\).

Die beiden Katheten sind jeweils \(8\,\text{cm}\) lang; die Hypotenuse ist \(8\sqrt{2}\,\text{cm}\) lang.

- Skizziere das Dreieck und zeichne die Höhe ein. Wo findest du ein rechtwinkliges Dreieck? - Wie lang ist die Teilstrecke der Basis in dem rechtwinkligen Dreieck? - Welche Information fehlt dir noch, um den gesamten Umfang berechnen zu können?

1. Die Höhe \(h_c\) teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei spiegelsymmetrische rechtwinklige Dreiecke. Eine Kathete entspricht der halben Basis \(\frac{c}{2} = 8\,\text{cm}\), die andere Kathete ist die Höhe \(h_c = 15\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Schenkellänge \(a\) (Hypotenuse) mit dem Satz von Pythagoras: \(a^2 = (8\,\text{cm})^2 + (15\,\text{cm})^2\). 3. Ausrechnen: \(a^2 = 64\,\text{cm}^2 + 225\,\text{cm}^2 = 289\,\text{cm}^2\). 4. Wurzel ziehen: \(a = \sqrt{289\,\text{cm}^2} = 17\,\text{cm}\). 5. Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind beide Schenkel \(17\,\text{cm}\) lang. 6. Berechnung des Umfangs: \(U = c + 2a = 16\,\text{cm} + 2 \cdot 17\,\text{cm} = 16\,\text{cm} + 34\,\text{cm} = 50\,\text{cm}\).

Der Umfang des Dreiecks beträgt \(50\,\text{cm}\).

- Stelle dir die beiden Wege bildlich vor. Welcher Weg bildet die Hypotenuse eines Dreiecks? - Berechne zuerst die Länge beider Wege separat. - Was ist der Unterschied zwischen der Summe der Katheten und der Länge der Hypotenuse?

1. Berechnung der Wegstrecke entlang der Kanten: \(120\,\text{m} + 160\,\text{m} = 280\,\text{m}\). 2. Berechnung der direkten Wegstrecke (Hypotenuse \(d\)) quer über das Feld mithilfe des Satzes des Pythagoras: \(d^2 = (120\,\text{m})^2 + (160\,\text{m})^2\). 3. Ausrechnen: \(d^2 = 14\,400\,\text{m}^2 + 25\,600\,\text{m}^2 = 40\,000\,\text{m}^2\). 4. Wurzel ziehen: \(d = \sqrt{40\,000\,\text{m}^2} = 200\,\text{m}\). 5. Differenz der beiden Wege berechnen: \(280\,\text{m} - 200\,\text{m} = 80\,\text{m}\).

Der direkte Weg ist um \(80\,\text{m}\) kürzer.

- Welche Strecke wäre bei einem rechten Winkel die Hypotenuse? - Vergleiche für Teil a) die passende Quadratsumme mit dem Quadrat der gemessenen Diagonale. - In den Teilen b) und c) ändert sich jeweils nur eine Seitenlänge. Welche Größen bleiben fest?

1. Es ist \(1{,}20^2+1{,}60^2=1{,}44+2{,}56=4{,}00\), aber \(2{,}05^2=4{,}2025\). Da die Werte verschieden sind, ist der Rahmen nicht exakt rechtwinklig. 2. Für einen rechten Winkel müsste die Diagonale \(d=\sqrt{1{,}20^2+1{,}60^2}=2{,}00\,\text{m}\) lang sein. 3. Bei fester Diagonale \(2{,}05\,\text{m}\) und fester Kathete \(1{,}60\,\text{m}\) gilt \(a^2=2{,}05^2-1{,}60^2=1{,}6425=\frac{657}{400}\). 4. Daher ist \(a=\frac{\sqrt{657}}{20}=\frac{3\sqrt{73}}{20}\,\text{m}\approx1{,}28\,\text{m}\).

a) Nicht rechtwinklig, da \(1{,}20^2+1{,}60^2=4{,}00\neq4{,}2025=2{,}05^2\). b) \(d=2{,}00\,\text{m}\) c) \(a=\frac{3\sqrt{73}}{20}\,\text{m}\approx1{,}28\,\text{m}\)

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks. Was musst du dafür zuerst finden? - Wie hängen die Seiten eines Quadrats mit seiner Diagonale zusammen? - Kannst du den Flächeninhalt eines Quadrats direkt aus der Länge seiner Diagonale bestimmen? - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse.

1. Berechnung der fehlenden Seite \(b\) des Rechtecks: \(b = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks: \(A_{\text{Rechteck}} = 10 \cdot 24 = 240\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des Quadrats über die Diagonale: Da im Quadrat \(d^2 = s^2 + s^2 = 2s^2\) gilt, ist der Flächeninhalt \(A_{\text{Quadrat}} = s^2 = \frac{d^2}{2} = \frac{26^2}{2} = \frac{676}{2} = 338\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(338\,\text{cm}^2 > 240\,\text{cm}^2\). Das Quadrat hat den größeren Flächeninhalt.

Das Quadrat hat mit \(338\,\text{cm}^2\) einen größeren Flächeninhalt als das Rechteck mit \(240\,\text{cm}^2\).

- Welches Maß des Tores musst du zuerst berechnen, um die Länge der Diagonale bestimmen zu können? - Wie hängen Breite, Höhe und Flächeninhalt bei einem Rechteck zusammen? - Wenn du Breite und Höhe kennst, wie findest du dann die Länge der Schrägverbindung?

1. Berechnung der Höhe \(h\) des Tores aus dem Flächeninhalt und der Breite: \(h = \frac{A}{b} = \frac{1{,}92}{1{,}20} = 1{,}60\,\text{m}\). 2. Berechnung der Länge der diagonalen Strebe \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{1{,}20^2 + 1{,}60^2} = \sqrt{1{,}44 + 2{,}56} = \sqrt{4{,}00} = 2{,}00\,\text{m}\).

Die diagonale Strebe muss \(2{,}00\,\text{m}\) lang sein.

- In einem gleichschenkligen Dreieck halbiert die Höhe auf die Basis diese genau. - Kannst du ein rechtwinkliges Teildreieck finden, um die Höhe zu berechnen? - Welche Maße benötigst du für die Standardformel des Flächeninhalts eines Dreiecks?

1. Einheiten angleichen: \(a = b = 3{,}7\,\text{cm}\). 2. Höhe \(h_c\) im gleichschenkligen Dreieck bestimmen: Die Höhe teilt die Basis \(c\) in zwei Hälften zu je \(1{,}2\,\text{cm}\). 3. Satz des Pythagoras im Teildreieck anwenden: \(h_c^2 + 1{,}2^2 = 3{,}7^2 \implies h_c^2 + 1{,}44 = 13{,}69\). 4. Höhe berechnen: \(h_c^2 = 12{,}25 \implies h_c = \sqrt{12{,}25} = 3{,}5\,\text{cm}\). 5. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 2{,}4\,\text{cm} \cdot 3{,}5\,\text{cm} = 4{,}2\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(4{,}2\,\text{cm}^2\).

- Untersuche zuerst, ob eines der Dreiecke rechtwinklig ist. - Wenn ein Dreieck nicht rechtwinklig ist, ist es vielleicht gleichschenklig? - Berechne für beide Fälle die notwendige Höhe, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

1. Dreieck 1 prüfen: \(15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521\). Da \(39^2 = 1521\), ist es rechtwinklig. 2. Flächeninhalt Dreieck 1: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 36 = 270\,\text{cm}^2\). 3. Dreieck 2 ist gleichschenklig. Höhe \(h\) auf die Basis \(14\,\text{cm}\) berechnen: \(h^2 + 7^2 = 25^2 \implies h^2 + 49 = 625\). 4. Höhe berechnen: \(h^2 = 576 \implies h = 24\,\text{cm}\). 5. Flächeninhalt Dreieck 2: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: \(270\,\text{cm}^2 > 168\,\text{cm}^2\). Dreieck 1 hat den größeren Flächeninhalt.

Dreieck 1 hat einen Flächeninhalt von \(270\,\text{cm}^2\), Dreieck 2 einen von \(168\,\text{cm}^2\). Somit besitzt Dreieck 1 die größere Fläche.

- Wie hängt die Diagonale des Quadrats mit dem Kreis zusammen, wenn die Ecken auf dem Rand liegen? - Wenn du die Diagonale kennst, wie kannst du dann den Flächeninhalt des Quadrats berechnen? - Musst du die Seitenlänge \(a\) einzeln ausrechnen, um den Flächeninhalt \(a^2\) zu bestimmen?

1. Die Diagonale \(d\) verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte des Quadrats und verläuft durch den Kreismittelpunkt; sie entspricht daher dem Durchmesser des Kreises. 2. Somit gilt: \(d = 2r = 2 \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). 3. Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke mit der Seitenlänge \(a\) als Katheten. 4. Nach dem Satz von Pythagoras gilt: \(a^2 + a^2 = d^2\). 5. Einsetzen des Wertes für \(d\): \(2a^2 = 10^2 = 100\). 6. Der Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats ist definiert als \(A = a^2\). 7. Umstellen der Gleichung nach \(a^2\): \(a^2 = \frac{100}{2} = 50\). 8. Der Flächeninhalt beträgt somit \(50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt \(50\,\text{cm}^2\).

- Teile jedes Dreieck durch seine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke. - Welche besondere Seitenbeziehung gilt in einem halben gleichseitigen Dreieck? - Vergleiche die beiden Flächen erst, nachdem du Basis und Höhe exakt bestimmt hast.

1. Beim ersten Dreieck bildet die Höhe ein \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\)-Dreieck. Daher ist \(h_1=5\,\text{cm}\). 2. Für die halbe Basis gilt \(x_1=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\,\text{cm}\), also \(b_1=10\sqrt{3}\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(A_1=\frac{1}{2}b_1h_1=25\sqrt{3}\,\text{cm}^2\). 4. Das zweite Dreieck ist gleichseitig, also \(b_2=10\,\text{cm}\). Seine Höhe ist \(h_2=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\,\text{cm}\). 5. Daher ist \(A_2=\frac{1}{2}b_2h_2=25\sqrt{3}\,\text{cm}^2\). 6. Somit haben beide Dreiecke exakt denselben Flächeninhalt.

Beide Dreiecke haben den Flächeninhalt \(25\sqrt{3}\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Beziehung zwischen den beiden Katheten mit einer Variablen ausdrücken? - Setze diesen Ausdruck in die bekannte Formel für rechtwinklige Dreiecke ein. - Vergiss beim Quadrieren von Ausdrücken wie \((2a)\) oder \(5\sqrt{5}\) nicht, alle Faktoren zu berücksichtigen.

1. Aufstellen der Beziehung zwischen den Seiten: Sei \(a\) die Länge der ersten Kathete. Dann gilt für die zweite Kathete \(b = 2a\). 2. Einsetzen in den Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) führt zu \(a^2 + (2a)^2 = (5\sqrt{5})^2\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(a^2 + 4a^2 = 25 \cdot 5\), also \(5a^2 = 125\). 4. Lösen nach \(a\): Division durch 5 ergibt \(a^2 = 25\), woraus durch Wurzelziehen \(a = 5\,\text{cm}\) folgt (da Längen positiv sind). 5. Berechnung von \(b\): Da \(b = 2a\), ergibt sich \(b = 2 \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\).

Die Katheten sind \(a = 5\,\text{cm}\) und \(b = 10\,\text{cm}\) lang.

- Wie lässt sich der Flächeninhalt eines Quadrats direkt aus seiner Diagonale bestimmen? - Welche Rechteckseite folgt anschließend aus dem gemeinsamen Flächeninhalt? - Welche rechtwinklige Teilfigur verbindet die beiden Rechteckseiten mit der gesuchten Diagonale?

1. Der Flächeninhalt des Quadrats ist \(A=\frac{d_Q^2}{2}=\frac{10^2}{2}=50\,\text{cm}^2\). 2. Für das flächengleiche Rechteck gilt daher \(4\cdot b_R=50\), also \(b_R=12{,}5\,\text{cm}\). 3. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(d_R=\sqrt{4^2+12{,}5^2}=\sqrt{172{,}25}=\frac{\sqrt{689}}{2}\,\text{cm}\). 4. Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt sich \(d_R\approx13{,}12\,\text{cm}\).

\(d_R=\frac{\sqrt{689}}{2}\,\text{cm}\approx13{,}12\,\text{cm}\)

- Welche Information kannst du direkt aus dem Flächeninhalt und der Basis gewinnen? - Erinnere dich daran, dass die Höhe die Basis in zwei gleich große Teile teilt. - Welche drei Seiten bilden in der Figur ein rechtwinkliges Dreieck?

1. Berechnung der Höhe \(h\) aus der Flächenformel: \(48 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h \Rightarrow 48 = 6 \cdot h \Rightarrow h = 8\,\text{m}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung der Schenkellänge \(s\): \(s^2 = h^2 + (\frac{12}{2})^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\). 3. Bestimmung der Schenkellänge: \(s = \sqrt{100} = 10\,\text{m}\). 4. Berechnung des Umfangs: \(U = c + 2s = 12 + 2 \cdot 10 = 32\,\text{m}\).

Die Länge der Dachbalken beträgt jeweils \(10\,\text{m}\) und der Umfang der Giebelfläche ist \(32\,\text{m}\).

- Wie kannst du die Länge der Schenkel herausfinden, wenn du den gesamten Umfang und die Basis kennst? - Was musst du zuerst berechnen, um den Flächeninhalt bestimmen zu können? - Überlege dir einen Plan, welche Zwischengrößen nacheinander berechnet werden müssen.

1. Berechnung der Schenkellänge \(s\) aus dem Umfang: \(36 = 10 + 2s \Rightarrow 26 = 2s \Rightarrow s = 13\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h_c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(h_c^2 = s^2 - (\frac{c}{2})^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\). 3. Bestimmung der Höhe: \(h_c = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: \(60\,\text{cm}^2 > 50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\) und ist somit größer als \(50\,\text{cm}^2\).

- Wie kannst du eine Kathete mithilfe der Summe \(31\,\text{cm}\) durch die andere ausdrücken? - Welche Beziehung gilt zwischen Katheten und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach dem Einsetzen? - Prüfe, ob sich diese Gleichung faktorisieren lässt.

1. Aus \(a+b=31\) folgt \(b=31-a\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(a^2+(31-a)^2=25^2\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt \(a^2-31a+168=0\). 4. Es gilt \(a^2-31a+168=(a-7)(a-24)\). Daher ist \(a=7\) oder \(a=24\). 5. Entsprechend ist die jeweils andere Kathete \(24\,\text{cm}\) beziehungsweise \(7\,\text{cm}\). Die Katheten sind also \(7\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\) lang.

Die beiden Katheten sind \(7\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\) lang.

- Was bedeutet eine Steigung von \(8\,\%\) für das Verhältnis von Höhe zu waagerechter Strecke? - Rechne zuerst die Kartenlänge in die reale waagerechte Entfernung um. - Welche Seite des Steigungsdreiecks entspricht der tatsächlichen Fahrbahn?

1. Die waagerechte Entfernung beträgt \(5{,}6\,\text{cm}\cdot25\,000=1400\,\text{m}\). 2. Eine Steigung von \(8\,\%\) bedeutet \(\frac{h}{1400}=0{,}08\). Daher ist \(h=112\,\text{m}\). 3. Die Fahrbahn ist die Hypotenuse des Steigungsdreiecks: \(L=\sqrt{1400^2+112^2}\,\text{m}\approx1404{,}47\,\text{m}\).

Der Höhenunterschied beträgt \(112\,\text{m}\), die Fahrbahnlänge etwa \(1404{,}47\,\text{m}\).

- Wie hängen die Seiten und die Diagonale in einem Quadrat zusammen? - Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Quadrats aus seiner Seite? - Kannst du die Zahl 3 als Summe von zwei Zahlen schreiben, die bereits Quadrate von bekannten Längen in der Figur sind? - Überlege, wie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet wird.

1. Berechnung der Diagonalen des ersten Quadrats: Nach dem Satz von Pythagoras gilt für die Diagonale \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), also \(d = a\sqrt{2}\). 2. Berechnung des neuen Flächeninhalts: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(d\) hat den Flächeninhalt \(A_{neu} = d^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2\). Das neue Quadrat hat also den doppelten Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats. 3. Konstruktion für die dreifache Fläche: Das Zielquadrat benötigt den Flächeninhalt \(3a^2\), also die Seitenlänge \(s = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\). 4. Anwendung des Satzes von Pythagoras: Es gilt \((a\sqrt{3})^2 = 3a^2 = 2a^2 + a^2\). Da \(2a^2 = d^2\) ist, folgt \((a\sqrt{3})^2 = d^2 + a^2\). 5. Geometrische Schlussfolgerung: Die gesuchte Seitenlänge ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Originalseite \(a\) und die Originaldiagonale \(d\) sind.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(2a^2\). b) Die Seitenlänge für die dreifache Fläche entspricht der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Seite \(a\) und die Diagonale \(d = a\sqrt{2}\) des ursprünglichen Quadrats sind, da \(a^2 + d^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2\).

- Welche Strecke kommt in beiden rechtwinkligen Dreiecken vor? - In welchem Dreieck kannst du diese gemeinsame Strecke zuerst bestimmen? - Welche Rolle spielt \(x\) im zweiten Dreieck?

1. Im linken Dreieck gilt \(k^2=17^2-8^2=225\). Daher ist \(k=15\,\text{cm}\). 2. Im rechten Dreieck gilt \(x^2=15^2+20^2=625\). 3. Somit ist \(x=25\,\text{cm}\).

\(x=25\,\text{cm}\)

- Welche gemeinsame Länge brauchst du für beide Teilflächen? - In welchem Dreieck kannst du diese Länge zuerst mit dem Satz des Pythagoras bestimmen? - Wie berechnet sich anschließend die Fläche jedes rechtwinkligen Dreiecks?

1. Im linken Dreieck gilt \(s^2=25^2-7^2=576\). Daher ist \(s=24\,\text{m}\). 2. Der Flächeninhalt des linken Dreiecks ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot7\cdot24=84\,\text{m}^2\). 3. Der Flächeninhalt des rechten Dreiecks ist \(A_2=\frac{1}{2}\cdot24\cdot10=120\,\text{m}^2\). 4. Insgesamt gilt \(A=A_1+A_2=204\,\text{m}^2\).

\(A=204\,\text{m}^2\)

- Welche Diagonale kannst du zuerst in der rechteckigen Grundfläche bestimmen? - Welche drei Strecken bilden danach das zweite rechtwinklige Dreieck? - Welche davon ist dort die Hypotenuse?

1. In der Grundfläche gilt \(d_G^2=12^2+9^2=225\), also \(d_G=15\,\text{cm}\). 2. Im zweiten rechtwinkligen Dreieck gilt \(h^2=17^2-15^2=64\). 3. Daher ist \(h=8\,\text{cm}\).

\(h=8\,\text{cm}\)

- Skizziere die Situation: Ein Kreis in einem Quadrat. - Welches Maß des Quadrats entspricht dem Durchmesser des Kreises? - Wie kannst du von der Fläche des Quadrats auf seine Diagonale schließen? - Welche Formel benötigst du für den Flächeninhalt eines Kreises?

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\): Aus \(A_{\text{Quadrat}} = a^2 = 18\,\text{m}^2\) folgt \(a = \sqrt{18} \approx 4{,}24\,\text{m}\). 2. Berechnung der Diagonalen \(d\): Mit dem Satz des Pythagoras gilt \(d^2 = a^2 + a^2 = 2 \cdot 18 = 36\). Daraus folgt \(d = \sqrt{36} = 6{,}00\,\text{m}\). 3. Bestimmung des Kreisradius \(r\): Da der Kreis die Seiten berührt, entspricht sein Durchmesser der Seitenlänge \(a\). Also ist \(r = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{18}}{2} \approx 2{,}12\,\text{m}\). 4. Berechnung des Kreisflächeninhalts \(A_{\text{Kreis}}\): \(A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 = \pi\left(\frac{\sqrt{18}}{2}\right)^2 = \pi\frac{18}{4} = 4{,}5\pi \approx 14{,}14\,\text{m}^2\).

Die Diagonale des Quadrats ist \(6{,}00\,\text{m}\) lang. Der Flächeninhalt des Blumenrads beträgt ca. \(14{,}14\,\text{m}^2\).

- Überlege dir, wie die längste Strecke innerhalb eines Quaders verläuft. - Welche drei Kantenlängen bilden zusammen mit der Raumdiagonalen eine mathematische Beziehung? - Kannst du eine Formel aufstellen, in der die Höhe die einzige Unbekannte ist?

1. Anwendung des Satzes von Pythagoras im Raum für die Raumdiagonale \(e\): \(e^2 = l^2 + b^2 + h^2\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte \(e = 130\,\text{cm}\), \(l = 40\,\text{cm}\) und \(b = 30\,\text{cm}\): \(130^2 = 40^2 + 30^2 + h^2\). 3. Berechnen der Quadrate: \(16\,900 = 1600 + 900 + h^2\), also \(16\,900 = 2500 + h^2\). 4. Umstellen nach \(h^2\): \(h^2 = 16\,900 - 2500 = 14\,400\). 5. Ziehen der Quadratwurzel: \(h = \sqrt{14\,400} = 120\,\text{cm}\).

Der Karton muss mindestens \(120\,\text{cm}\) hoch sein.

- Was bedeutet „quadratische Grundfläche“ für die Variablen in deiner Formel? - Stelle die Formel für die Raumdiagonale so auf, dass nur noch eine Unbekannte übrig bleibt. - Achte darauf, dass in der Formel zwei Seitenlängen identisch sind.

1. Da die Grundfläche quadratisch ist, gilt für Länge und Breite \(l = b = a\). 2. Die Formel für die Raumdiagonale lautet \(e^2 = a^2 + a^2 + h^2\), vereinfacht \(e^2 = 2a^2 + h^2\). 3. Einsetzen der Werte \(e = 9\) und \(h = 7\): \(9^2 = 2a^2 + 7^2\). 4. Quadrieren der Zahlen: \(81 = 2a^2 + 49\). 5. Umstellen nach \(a^2\): \(2a^2 = 81 - 49 = 32\), also \(a^2 = 16\). 6. Wurzel ziehen: \(a = 4\,\text{cm}\).

Die Kantenlänge \(a\) der quadratischen Grundfläche beträgt \(4\,\text{cm}\).

- Welche Besonderheit weisen die Kanten eines Würfels auf? - Wie vereinfacht sich die Formel für die Raumdiagonale, wenn alle Kanten gleich lang sind? - Kannst du den Faktor bestimmen, ohne die konkreten Zahlenwerte zu nutzen, indem du nur mit dem Buchstaben \(a\) rechnest?

1. Für einen Würfel gilt \(e^2 = 3a^2\). Einsetzen von \(e = 12\): \(144 = 3a^2\). 2. Berechnen von \(a^2 = \frac{144}{3} = 48\). Damit ist \(a = \sqrt{48}\,\text{cm} = 4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}\). 3. Die Flächendiagonale \(d\) berechnet sich über \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). 4. Einsetzen von \(a^2 = 48\): \(d = \sqrt{2 \cdot 48}\,\text{cm} = \sqrt{96}\,\text{cm} = 4\sqrt{6}\,\text{cm} \approx 9{,}80\,\text{cm}\). 5. Das Verhältnis der Raumdiagonale zur Kantenlänge ist \(\frac{e}{a} = \frac{\sqrt{3a^2}}{a} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}\). b) Die Flächendiagonale beträgt \(4\sqrt{6}\,\text{cm} \approx 9{,}80\,\text{cm}\). c) Die Raumdiagonale ist \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)-mal so lang wie die Kantenlänge.

- Was ist die längstmögliche Strecke innerhalb eines Quaders? - Kannst du die Diagonale berechnen, indem du den Satz des Pythagoras nacheinander auf die Grundfläche und dann in die Höhe anwendest? - Skizziere den Quader und die Lage des Stabes.

1. Identifikation der Maße des Quaders: \(a = 20\,\text{cm}\), \(b = 30\,\text{cm}\), \(c = 50\,\text{cm}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras im Raum zur Berechnung der Raumdiagonalen \(d\): \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{20^2 + 30^2 + 50^2} = \sqrt{400 + 900 + 2500} = \sqrt{3800}\). 4. Berechnung der Länge: \(d \approx 61{,}6\,\text{cm}\). 5. Vergleich mit der Stablänge: Da \(61{,}6\,\text{cm} < 62\,\text{cm}\) ist, ist der Karton selbst an der längsten Stelle zu kurz.

Nein, der Stab passt nicht in den Karton. Die Raumdiagonale des Kartons beträgt nur ca. \(61{,}6\,\text{cm}\), was kürzer ist als der \(62\,\text{cm}\) lange Stab.

- Zerlege das Trapez in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke. - Wie lang ist die Strecke auf der Grundseite von einer unteren Ecke bis zum gegenüberliegenden Höhenfußpunkt? - Suche nach einem rechtwinkligen Dreieck, in dem die Diagonale die längste Seite (Hypotenuse) darstellt.

1. Berechnung des Abschnitts \(x\) auf der Grundseite \(a\), der durch das Fällen des Lots von der Ecke der Seite \(c\) entsteht: \(x = \frac{a - c}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Basis \(b_{diag}\) des rechtwinkligen Dreiecks, in dem die Diagonale \(e\) die Hypotenuse bildet: \(b_{diag} = c + x = 6 + 3 = 9\,\text{cm}\) (oder \(a - x = 12 - 3 = 9\,\text{cm}\)). 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras mit der Höhe \(h = 4\,\text{cm}\) und der Basis \(9\,\text{cm}\): \(e^2 = 9^2 + 4^2\). 4. Berechnung der Werte: \(e^2 = 81 + 16 = 97\). 5. Berechnung der Länge: \(e = \sqrt{97} \approx 9{,}85\,\text{cm}\).

Die Diagonale des Trapezes ist etwa \(9{,}85\,\text{cm}\) lang.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Was bedeutet „gleichschenklig-rechtwinklig“ für die Längen der Katheten? - Stelle eine Gleichung für die Hypotenuse vor und nach der Änderung auf. - Wie verändert sich ein Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdoppelt?

1. Im ursprünglichen Dreieck mit Kathete \(a\) gilt nach Pythagoras: \(c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), also \(c = a \cdot \sqrt{2}\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot a^2\). 3. Im neuen Dreieck ist die Kathete \(a' = 2a\). 4. Die neue Hypotenuse ist \(c' = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a \cdot \sqrt{2}\). Da \(c = a \cdot \sqrt{2}\) ist, gilt \(c' = 2c\). Die Hypotenuse verdoppelt sich. 5. Der neue Flächeninhalt ist \(A' = \frac{1}{2} \cdot (2a)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4a^2 = 2a^2\). Im Vergleich zu \(A = 0{,}5a^2\) ist dies das Vierfache: \(A' = 4A\).

Die Länge der Hypotenuse verdoppelt sich, während sich der Flächeninhalt des Segels vervierfacht.

- Setze die bekannten Werte in die Abstandsformel ein. Wie kannst du die Wurzel auf einer Seite der Gleichung auflösen? - Denke daran, dass beim Lösen einer Gleichung der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen entstehen können. - Gibt es vielleicht zwei verschiedene Punkte auf der Höhe \(y = 5\), die denselben Abstand zu \(A\) haben?

1. Anwendung der Abstandsformel: \(5 = \sqrt{(k - 1)^2 + (5 - 2)^2}\). 2. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(25 = (k - 1)^2 + 3^2\). 3. Vereinfachen: \(25 = (k - 1)^2 + 9\). 4. Subtraktion von 9: \(16 = (k - 1)^2\). 5. Ziehen der Wurzel (beachte beide Fälle): Fall 1: \(k - 1 = 4 \implies k_1 = 5\). Fall 2: \(k - 1 = -4 \implies k_2 = -3\). 6. Die möglichen Werte für \(k\) sind \(5\) und \(-3\).

Die möglichen Werte für \(k\) sind \(k_1 = 5\) und \(k_2 = -3\).

- Welche Beziehung verbindet die drei Kantenlängen eines Quaders mit seiner Raumdiagonale? - Stelle diese Beziehung so um, dass nur die gesuchte Kante unbekannt ist. - Nutze die gefundene Kantenlänge erst danach für das Volumen.

1. Für die Raumdiagonale gilt \(d^2=a^2+b^2+c^2\). 2. Daher ist \(c=\sqrt{17^2-12^2-9^2}\,\text{cm}=\sqrt{64}\,\text{cm}=8\,\text{cm}\). 3. Das Volumen ist \(V=abc=12\cdot9\cdot8\,\text{cm}^3=864\,\text{cm}^3\).

a) \(c=8\,\text{cm}\) b) \(V=864\,\text{cm}^3\)

- Berechne zuerst die unbekannte Seite im ursprünglichen Zustand. - Wie lang ist die neue Hypotenuse nach der Änderung? - Führe die Berechnung für das veränderte Dreieck erneut durch und vergleiche die Ergebnisse.

1. Berechnung der Kathete \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung der neuen Hypotenuse: \(c' = 29\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 35\,\text{cm}\). 3. Berechnung der neuen Kathete \(b'\): \(b' = \sqrt{35^2 - 21^2} = \sqrt{1225 - 441} = \sqrt{784} = 28\,\text{cm}\). 4. Ermittlung der Differenz: \(28\,\text{cm} - 20\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Die Kathete \(b\) vergrößert sich um \(8\,\text{cm}\).

1. \(b = 20\,\text{cm}\) 2. Die Kathete \(b\) vergrößert sich um \(8\,\text{cm}\).

- Skizziere beide Figuren und zeichne jeweils eine geeignete Höhe ein. - Wie teilt die Höhe ein gleichseitiges Dreieck die Grundseite? - Wie zerlegt die Symmetrie das gleichschenklige Trapez an den beiden Seitenrändern? - Welche waagerechte Strecke liegt unter einer Diagonale des Trapezes?

1. Im gleichseitigen Dreieck halbiert die Höhe die Grundseite. Daher gilt \(a^2=9^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2\), also \(\frac{3}{4}a^2=81\). 2. Damit ist \(a=\frac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}\,\text{cm}\approx10{,}4\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot9=27\sqrt{3}\,\text{cm}^2\approx46{,}8\,\text{cm}^2\). 3. Beim gleichschenkligen Trapez ist jeder seitliche Grundseitenabschnitt \(x=\frac{20-8}{2}=6\,\text{cm}\) lang. 4. Mit einem Schenkel als Hypotenuse folgt \(h=\sqrt{10^2-6^2}=8\,\text{cm}\). 5. Unter der Diagonale liegt waagerecht die Strecke \(8+6=14\,\text{cm}\). Daher ist \(e=\sqrt{8^2+14^2}=\sqrt{260}=2\sqrt{65}\,\text{cm}\approx16{,}1\,\text{cm}\).

1) \(a\approx10{,}4\,\text{cm}\), \(A\approx46{,}8\,\text{cm}^2\) 2) \(h=8\,\text{cm}\), \(e\approx16{,}1\,\text{cm}\)

- Stelle dir die Positionen in einem Koordinatensystem vor, wobei der Leuchtturm im Nullpunkt liegt. - Wo befinden sich die beiden Boote nach zwei Stunden? Achte darauf, dass eines der Boote bereits einen Startvorteil im Norden hatte. - Wie groß ist der horizontale und der vertikale Abstand zwischen den Endpunkten der Boote? - Kannst du aus diesen Abständen ein rechtwinkliges Dreieck bilden, um die Diagonale zu berechnen?

1. Bestimmung der Position des Segelboots nach \(2\) Stunden: Die Ost-Koordinate beträgt \(12\,\text{km/h} \cdot 2\,\text{h} = 24\,\text{km}\). Die Nord-Koordinate bleibt konstant bei \(15\,\text{km}\). 2. Bestimmung der Position des Motorboots nach \(2\) Stunden: Die Nord-Koordinate beträgt \(4\,\text{km/h} \cdot 2\,\text{h} = 8\,\text{km}\). Die Ost-Koordinate ist \(0\,\text{km}\). 3. Berechnung der Differenzen der Koordinaten: In Ost-Richtung beträgt der Unterschied \(\Delta x = 24\,\text{km} - 0\,\text{km} = 24\,\text{km}\). In Nord-Richtung beträgt der Unterschied \(\Delta y = 15\,\text{km} - 8\,\text{km} = 7\,\text{km}\). 4. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung des Abstands \(d\): \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). 5. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625}\). 6. Ergebnis: \(d = 25\,\text{km}\).

Der Abstand zwischen den beiden Booten beträgt nach \(2\) Stunden genau \(25\,\text{km}\).

- Nutze das im Diagramm dargestellte rechtwinklige Hilfsdreieck, um die schräge Strecke zu berechnen. - Wie lang sind die waagerechte und die senkrechte Seite dieses Dreiecks in Längeneinheiten? - Welcher berühmte mathematische Satz hilft dir, bei bekannten Katheten die Hypotenuse zu berechnen? - Achte darauf, am Ende die Längeneinheiten der Karte korrekt in die realen Meter umzurechnen. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn man die Längen der beiden Katheten kennt?

1. Bestimmung der Längen der beiden Katheten im Koordinatensystem: Die horizontale Kathete \(PR\) verläuft von \(x = -4\) bis \(x = 4\). Ihre Länge beträgt: \(4 - (-4) = 8\,\text{LE}\) Die vertikale Kathete \(RQ\) verläuft von \(y = -2\) bis \(y = 4\). Ihre Länge beträgt: \(4 - (-2) = 6\,\text{LE}\) 2. Berechnung der Hypotenuse \(PQ\) mit dem Satz des Pythagoras: \(PQ^2 = PR^2 + RQ^2\) \(PQ^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\) \(PQ = \sqrt{100} = 10\,\text{LE}\) 3. Umrechnung der Entfernung in Meter: Da eine Längeneinheit \(10\,\text{m}\) entspricht, beträgt die tatsächliche Entfernung: \(10 \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}\) 4. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks \(PQR\): Die tatsächlichen Längen der Katheten in Metern sind: \(g = 8 \cdot 10\,\text{m} = 80\,\text{m}\) (Grundseite) \(h = 6 \cdot 10\,\text{m} = 60\,\text{m}\) (Höhe) Der Flächeninhalt \(A\) eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich durch: \(A = \frac{1}{2}gh\) \(A = \frac{1}{2} \cdot 80\,\text{m} \cdot 60\,\text{m} = 2400\,\text{m}^2\)

a) Die tatsächliche Entfernung (Luftlinie) zwischen Mia und Ben beträgt \(100\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) beträgt \(2400\,\text{m}^2\).

- Welche horizontalen und vertikalen Abstände haben \(M\) und \(N\)? - Wo muss \(P\) liegen, damit die beiden Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen? - Welche Beziehung verbindet die beiden Kathetenlängen mit der schrägen Strecke \(MN\)? - Prüfe bei Umfang und Fläche, welche Einheit jeweils erforderlich ist.

1. Die Koordinatendifferenzen betragen \(\Delta x=|2-(-4)|=6\) und \(\Delta y=|-1-3|=4\). 2. Für die direkte Entfernung gilt \(MN=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\,\text{km}\approx7{,}21\,\text{km}\). 3. Ein möglicher achsenparalleler Hilfspunkt ist \(P(2\mid3)\); alternativ ist \(P(-4\mid-1)\) möglich. 4. Die beiden Katheten sind \(6\,\text{km}\) und \(4\,\text{km}\) lang. Daher ist \(U=6+4+2\sqrt{13}=(10+2\sqrt{13})\,\text{km}\approx17{,}21\,\text{km}\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\,\text{km}^2\).

a) \(MN=2\sqrt{13}\,\text{km}\approx7{,}21\,\text{km}\). b) Zum Beispiel \(P(2\mid3)\); alternativ \(P(-4\mid-1)\). c) \(U=(10+2\sqrt{13})\,\text{km}\approx17{,}21\,\text{km}\); \(A=12\,\text{km}^2\).

- Welche der drei Strecken ist die Hypotenuse? - Kann die gesuchte Höhe länger als die Leiter sein? - Überlege beim Umstellen, ob das Quadrat einer bekannten Kathete addiert oder subtrahiert werden muss.

1. Die Leiter ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Eine Kathete kann daher nicht länger als die \(10\,\text{m}\) lange Hypotenuse sein; \(11{,}7\,\text{m}\) ist bereits aus diesem Grund unmöglich. 2. Mia hat die Quadrate addiert, obwohl eine Kathete gesucht ist. Richtig ist \(h^2=10^2-6^2\). 3. Damit gilt \(h^2=100-36=64\). 4. Also ist \(h=8\,\text{m}\).

Mias Ergebnis ist unmöglich, weil eine Kathete nicht länger als die Hypotenuse sein kann. Sie hat beim Umstellen fälschlich addiert. Die korrekte Höhe ist \(h=8\,\text{m}\).

- Wie groß ist bei einem gleichschenkligen Trapez der horizontale Überstand jeder Seitenkante? - Welche rechtwinkligen Teildreiecke liefern Schenkel und Diagonale? - Vergleiche für b) das Quadrat der längsten Dreiecksseite mit der Summe der beiden anderen Seitenquadrate.

1. Wegen der Symmetrie beträgt der horizontale Überstand auf jeder Seite \(x=\frac{25-7}{2}=9\,\text{cm}\). 2. Daher ist \(b=d=\sqrt{12^2+9^2}=15\,\text{cm}\). 3. Für die Diagonale gilt \(e=\sqrt{16^2+12^2}=20\,\text{cm}\), weil der zugehörige horizontale Abschnitt \(25-9=16\,\text{cm}\) lang ist. 4. Im Dreieck \(ABC\) sind die Seiten \(15\,\text{cm}\), \(20\,\text{cm}\) und \(25\,\text{cm}\) lang. Es gilt \(15^2+20^2=25^2\). 5. Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck bei \(C\) rechtwinklig.

a) \(b=d=15\,\text{cm}\), \(e=20\,\text{cm}\) b) Ja. Der rechte Winkel liegt bei \(C\).

- Welche geometrische Figur wird durch den Radius, den Abstand und die Sehne gebildet? - Erinnere dich daran, dass der Abstand eines Punktes zu einer Geraden immer senkrecht gemessen wird. - Wie teilt das Lot vom Mittelpunkt auf die Sehne diese Sehne auf? - Nutze den Satz des Pythagoras in dem entstehenden Teildreieck.

1. Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks: Der Radius \(r\), der Abstand \(d\) und die halbe Sehnenlänge \(\frac{s}{2}\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Der Radius \(r\) ist die Hypotenuse (\(13\,\text{cm}\)). Der Abstand \(d\) ist eine Kathete (\(5\,\text{cm}\)). 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(r^2 = d^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2\). 4. Umstellen nach der unbekannten Kathete: \(\left(\frac{s}{2}\right)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\). 5. Wurzel ziehen: \(\frac{s}{2} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 6. Berechnung der vollen Sehnenlänge: \(s = 2 \cdot 12\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\).

Die Sehne hat eine Länge von \(s = 24\,\text{cm}\).

- Welche Eigenschaft hat das Lot vom Kreismittelpunkt auf eine Sehne? - Welche drei Strecken bilden dadurch ein rechtwinkliges Dreieck? - Welche dieser Strecken ist die Hypotenuse?

1. Das Lot vom Kreismittelpunkt auf die Sehne halbiert die Sehne. Eine Kathete des entstehenden rechtwinkligen Dreiecks ist daher \(15\,\text{cm}\) lang. 2. Der Radius \(17\,\text{cm}\) ist die Hypotenuse. Somit gilt \(d^2+15^2=17^2\). 3. Daraus folgt \(d^2=289-225=64\). 4. Also ist \(d=8\,\text{cm}\).

Der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt beträgt \(d=8\,\text{cm}\).

- Wie teilen die Diagonalen eine Raute auf? - Ersetze in der allgemeinen Formel für die Seitenlänge der Raute die Variable \(f\) durch den gegebenen Ausdruck \(2e\). - Denke daran, dass du im rechtwinkligen Dreieck mit den halben Längen der Diagonalen arbeitest.

1. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander. Die halben Diagonalen sind \(\frac{e}{2}\) und \(\frac{f}{2}\). 2. Da \(f = 2e\), gilt für die halbe Diagonale: \(\frac{f}{2} = \frac{2e}{2} = e\). 3. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt nach Pythagoras: \(s^2 = \left(\frac{e}{2}\right)^2 + e^2\). 4. Umformung: \(s^2 = \frac{e^2}{4} + \frac{4e^2}{4} = \frac{5}{4}e^2\). 5. Wurzel ziehen: \(s = \sqrt{\frac{5}{4}e^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}e\).

\(s = \frac{\sqrt{5}}{2}e\)

- Welche zweite Diagonalenlänge fehlt dir für die Flächenformel der Raute? - Welche Eigenschaften der Diagonalen erzeugen ein rechtwinkliges Teildreieck? - Verwende für dieses Teildreieck zunächst nur halbe Diagonalen.

1. Für die Flächenformel \(A=\frac{ef}{2}\) wird zunächst die zweite Diagonale \(e\) benötigt. 2. Die Diagonalen einer Raute halbieren einander und stehen senkrecht aufeinander. Daher gilt in einem rechtwinkligen Teildreieck \(\left(\frac{e}{2}\right)^2+6^2=10^2\). 3. Somit ist \(\left(\frac{e}{2}\right)^2=64\), also \(\frac{e}{2}=8\,\text{m}\) und \(e=16\,\text{m}\). 4. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{16\,\text{m}\cdot12\,\text{m}}{2}=96\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(96\,\text{m}^2\).

- Welche drei Strecken bilden an der schrägen Seite ein rechtwinkliges Teildreieck? - Welche Länge entspricht dabei der Differenz der beiden Grundseiten? - Wie erhältst du aus dieser Differenz anschließend die längere Grundseite?

1. Die schräge Seite \(s=13\,\text{cm}\), die Höhe \(h=12\,\text{cm}\) und die Differenz \(x=a-c\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(x^2=13^2-12^2=169-144=25\). 3. Somit ist \(x=5\,\text{cm}\). 4. Daher folgt \(a=c+x=7\,\text{cm}+5\,\text{cm}=12\,\text{cm}\).

Die längere Grundseite ist \(a=12\,\text{cm}\) lang.

- Welche zwei kongruenten rechtwinkligen Teildreiecke entstehen an den Seiten eines gleichschenkligen Trapezes? - Welche bekannte Strecke ist in einem solchen Teildreieck die Hypotenuse? - Warum musst du den berechneten waagerechten Abschnitt zweimal zur oberen Grundseite addieren?

1. Senkrechte von den Endpunkten der oberen Grundseite auf die untere Grundseite zerlegen das Trapez in ein Rechteck und zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. 2. In jedem Teildreieck ist der Schenkel \(10\,\text{m}\) die Hypotenuse und die Höhe \(8\,\text{m}\) eine Kathete. 3. Für die waagerechte Kathete \(x\) gilt \(x^2=10^2-8^2=100-64=36\), also \(x=6\,\text{m}\). 4. Wegen der Symmetrie kommt dieser Abschnitt zweimal vor. Daher ist \(a=c+2x=5\,\text{m}+2\cdot6\,\text{m}=17\,\text{m}\).

Die untere Grundseite ist \(a=17\,\text{m}\) lang.

- Welcher Hypotenusenabschnitt gehört nach der festgelegten Bezeichnung zur Kathete \(b\)? - Wie erhältst du den zweiten Abschnitt, sobald die ganze Hypotenuse bekannt ist? - Welche Beziehungen verbinden anschließend \(a\), \(p\), \(c\) sowie \(h_c\), \(p\) und \(q\)?

1. Nach dem Kathetensatz gilt \(b^2=qc\). Daher ist \(c=\frac{12^2}{9{,}6}=15\,\text{cm}\). 2. Der zweite Hypotenusenabschnitt ist \(p=c-q=15-9{,}6=5{,}4\,\text{cm}\). 3. Mit \(a^2=pc\) folgt \(a=\sqrt{5{,}4\cdot15}\,\text{cm}=9\,\text{cm}\). 4. Nach dem Höhensatz gilt \(h_c^2=pq=5{,}4\cdot9{,}6=51{,}84\), also \(h_c=7{,}2\,\text{cm}\).

a) \(c=15\,\text{cm}\) b) \(p=5{,}4\,\text{cm}\), \(a=9\,\text{cm}\) c) \(h_c=7{,}2\,\text{cm}\)

- Welche drei Strecken bilden das rechtwinklige Teildreieck mit der Seite \(a\)? - Wie setzt sich \(c\) aus \(p\) und \(q\) zusammen? - Welche Beziehung zwischen Höhe und Hypotenusenabschnitten kann für c) entscheidend sein?

1. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(a^2=h_c^2+p^2=4^2+8^2=80\). Daher ist \(a=4\sqrt5\,\text{cm}\approx8{,}94\,\text{cm}\). 2. Die ganze Seite ist \(c=p+q=10\,\text{cm}\). Somit gilt \(pc=8\cdot10=80=a^2\). 3. Außerdem ist \(h_c^2=16\) und \(pq=8\cdot2=16\). 4. Nach der Umkehrung des Höhensatzes ist das Dreieck bei \(C\) rechtwinklig.

a) \(a=4\sqrt5\,\text{cm}\approx8{,}94\,\text{cm}\) b) Ja. Es gilt \(a^2=pc=80\,\text{cm}^2\). c) Ja. Wegen \(h_c^2=pq\) ist das Dreieck bei \(C\) rechtwinklig.

- Welche Strecke halbiert in einem gleichschenkligen Dreieck die Grundseite und erzeugt ein rechtwinkliges Teildreieck? - Welche beiden Seiten dieses Teildreiecks kannst du in Vielfachen von \(x\) angeben? - Wie hängt der Flächeninhalt anschließend von Grundseite und Höhe ab? - Welche Bedingung gilt für \(x\), wenn es eine Länge beschreibt?

1. Die Höhe auf die Grundseite halbiert die Grundseite. Im entstehenden rechtwinkligen Teildreieck ist eine Kathete daher \(5x\) lang. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(h=\sqrt{(13x)^2-(5x)^2}=\sqrt{144x^2}=12x\), da \(x>0\). 3. Damit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot10x\cdot12x=60x^2\). 4. Für \(A=240\,\text{cm}^2\) folgt \(60x^2=240\), also \(x^2=4\). 5. Wegen \(x>0\) ist \(x=2\,\text{cm}\).

a) \(A=60x^2\) b) \(x=2\,\text{cm}\)

- Welche Längendifferenz der parallelen Seiten bildet eine Kathete eines rechtwinkligen Teildreiecks? - Welche Seite dieses Teildreiecks ist die Hypotenuse? - Wie lautet die Flächenformel für ein Trapez? - Welche Bedingung gilt für \(k\), wenn es einen Längenfaktor beschreibt?

1. Die Differenz der parallelen Seiten ist \(12k-7k=5k\). Zusammen mit der Höhe und dem schrägen Schenkel entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(h=\sqrt{(13k)^2-(5k)^2}=12k\), da \(k>0\). 3. Für den Flächeninhalt folgt \(A=\frac{12k+7k}{2}\cdot12k=114k^2\). 4. Mit \(A=456\,\text{cm}^2\) gilt \(114k^2=456\), also \(k^2=4\). 5. Da \(k>0\), ist \(k=2\,\text{cm}\).

a) \(A=114k^2\) b) \(k=2\,\text{cm}\)

- Wie verteilt sich die Differenz der beiden Grundseiten bei einem gleichschenkligen Trapez auf die beiden Seiten? - Welche drei Strecken bilden dadurch ein rechtwinkliges Teildreieck? - Welche Größe brauchst du nach der Höhenberechnung noch für die Trapezfläche?

1. Wegen der Symmetrie ist jeder der beiden äußeren Abschnitte auf der längeren Grundseite \(x=\frac{a-c}{2}=\frac{15-9}{2}=3\,\text{m}\) lang. 2. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(h^2+x^2=s^2\). Damit ist \(h^2=5^2-3^2=16\), also \(h=4\,\text{m}\). 3. Für das Trapez gilt \(A=\frac{a+c}{2}\cdot h=\frac{15\,\text{m}+9\,\text{m}}{2}\cdot4\,\text{m}=48\,\text{m}^2\).

1. \(h=4\,\text{m}\) 2. \(A=48\,\text{m}^2\)

- Welche Längendifferenz der parallelen Seiten gehört zum rechtwinkligen Teildreieck an der schrägen Seite? - Welche Strecke ist in diesem Teildreieck die Hypotenuse? - Welche Größe brauchst du nach der Höhenberechnung noch für die Trapezfläche?

1. Die Differenz der parallelen Seiten ist \(x=a-c=14\,\text{m}-8\,\text{m}=6\,\text{m}\). Sie bildet mit der Höhe und der schrägen Seite ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(h^2=10^2-6^2=64\), also \(h=8\,\text{m}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{a+c}{2}\cdot h=\frac{14\,\text{m}+8\,\text{m}}{2}\cdot8\,\text{m}=88\,\text{m}^2\).

1. \(h=8\,\text{m}\) 2. \(A=88\,\text{m}^2\)

- Finde die Länge der gemeinsamen Kathete der beiden ineinander liegenden Dreiecke. - Achte darauf, für das große Dreieck die Gesamtlänge der unteren Seite zu verwenden.

1. Im inneren rechtwinkligen Dreieck ist die vertikale Kathete \(h\). Es gilt: \(h^2 = 12{,}5^2 - 3{,}5^2 = 156{,}25 - 12{,}25 = 144\). Also ist \(h = 12\). 2. Das große rechtwinklige Dreieck hat die Katheten \(h = 12\) und die Basis \(3{,}5 + 1{,}5 = 5\). 3. Die Hypotenuse \(x\) berechnet sich durch: \(x^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\). 4. \(x = \sqrt{169} = 13\). Die Strecke \(x\) ist \(13\,\text{cm}\) lang.

\(x = 13\,\text{cm}\)

- Die Figur besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken, die sich eine Seite teilen. - Kannst du die Länge der gemeinsamen Seite (die Höhe) berechnen? - Welcher mathematische Satz hilft dir dabei, in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite zu finden? - Wenn du die Höhe kennst, kannst du sie im zweiten Dreieck verwenden, um \(x\) zu bestimmen.

1. Das große Dreieck wird durch die Höhe \(h\) in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegt. 2. Im linken Teildreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(h^2 + 6^2 = 10^2\). 3. Daraus berechnet man das Quadrat der Höhe: \(h^2 = 100 - 36 = 64\). 4. Im rechten Teildreieck gilt ebenfalls der Satz des Pythagoras: \(x^2 = h^2 + 15^2\). 5. Einsetzen des Wertes für \(h^2\): \(x^2 = 64 + 225 = 289\). 6. Durch Ziehen der Wurzel erhält man die gesuchte Länge: \(x = \sqrt{289} = 17\). Die Strecke \(x\) ist \(17\,\text{cm}\) lang.

\(x = 17\,\text{cm}\)

- Betrachte zuerst das innere rechtwinklige Dreieck, um die unbekannte Höhe zu finden. - Der rechte Winkel gilt für beide Dreiecke, die die vertikale Seite gemeinsam haben. - Achte darauf, für das große Dreieck die Gesamtlänge der unteren Seite zu verwenden.

1. Es liegen zwei rechtwinklige Dreiecke vor, die sich die vertikale Kathete \(h\) teilen. 2. Für das kleinere Dreieck gilt: \(h^2 + 7^2 = 25^2\). 3. Das Quadrat der Kathete berechnet sich zu: \(h^2 = 625 - 49 = 576\). 4. Die Grundseite des großen Dreiecks setzt sich aus den beiden Teilstücken zusammen: \(7 + 3 = 10\). 5. Für das große Dreieck gilt nun: \(x^2 = h^2 + 10^2\). 6. Einsetzen des Wertes für \(h^2\): \(x^2 = 576 + 100 = 676\). 7. Wurzelziehen liefert: \(x = \sqrt{676} = 26\). Die Strecke \(x\) ist \(26\,\text{cm}\) lang.

\(x = 26\,\text{cm}\)

- Welche Winkel entstehen, weil \(BD\) eine Höhe ist? - Welche Seiten der beiden rechtwinkligen Dreiecke sind gleich lang oder gemeinsam? - Welche Folgerung für die beiden Basisabschnitte liefert die Kongruenz? - Welcher Satz bestimmt anschließend die Höhe?

1. Da \(BD\) eine Höhe auf \(AC\) ist, gilt \(\angle ADB=\angle CDB=90^\circ\). 2. Die Hypotenusen der beiden rechtwinkligen Dreiecke sind gleich lang: \(AB=BC=10\,\text{cm}\). Außerdem ist \(BD\) eine gemeinsame Kathete. 3. Damit sind die Dreiecke \(ABD\) und \(CBD\) nach dem Kongruenzsatz SsW für rechtwinklige Dreiecke kongruent. Folglich gilt \(AD=CD\). 4. Wegen \(AC=12\,\text{cm}\) ist \(AD=CD=6\,\text{cm}\). 5. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABD\) gilt \(BD^2=AB^2-AD^2=10^2-6^2=64\). 6. Daher ist \(BD=8\,\text{cm}\).

Die Dreiecke \(ABD\) und \(CBD\) sind nach SsW kongruent. Die Höhe beträgt \(BD=8\,\text{cm}\).

- Wie lang ist \(PB\), wenn die ganze Quadratseite \(8\,\text{cm}\) und \(AP=2\,\text{cm}\) sind? - Welche Seite ist im rechtwinkligen Dreieck \(PBQ\) die Hypotenuse? - Der verlangte Pythagoras-Ansatz gehört selbst zur Antwort; eine reine Flächenzerlegung reicht deshalb nicht aus.

1. Es gilt \(PB=8\,\text{cm}-2\,\text{cm}=6\,\text{cm}\) und \(BQ=2\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(PBQ\) ist \(PQ\) die Hypotenuse. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(PQ^2=PB^2+BQ^2=6^2+2^2=40\,\text{cm}^2\). 3. Damit ist \(PQ=\sqrt{40}\,\text{cm}=2\sqrt{10}\,\text{cm}\). 4. Da \(PQRS\) ein Quadrat ist, gilt \(A_{PQRS}=PQ^2=40\,\text{cm}^2\).

\(PQ^2=6^2+2^2=40\,\text{cm}^2\), also \(PQ=2\sqrt{10}\,\text{cm}\) und \(A_{PQRS}=40\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst die Hypotenuse. - Auf welche zwei Arten kannst du den Flächeninhalt desselben rechtwinkligen Dreiecks ausdrücken?

1. Nach dem Satz des Pythagoras ist \(c=\sqrt{8^2+6^2}\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 2. Der Flächeninhalt ist sowohl \(\frac12ab\) als auch \(\frac12ch_c\). 3. Deshalb gilt \(ab=ch_c\), also \(h_c=\frac{8\cdot6}{10}\,\text{cm}=4{,}8\,\text{cm}\).

\(h_c=4{,}8\,\text{cm}\)

- Wie lang ist jede Hälfte der Seite, nachdem die Höhe eingezeichnet wurde? - Welche drei Seiten gehören zu einem der entstehenden rechtwinkligen Dreiecke? - Welcher Teil der Höhe ist der Umkreisradius \(R\), welcher der Inkreisradius \(r\)?

1. Die Höhe halbiert die Seite \(12\,\text{cm}\), also ist eine Hälfte \(6\,\text{cm}\) lang. 2. Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck gilt \(h^2+6^2=12^2\). Daher ist \(h=6\sqrt3\,\text{cm}\). 3. Der Mittelpunkt teilt die Höhe im Verhältnis \(2:1\). Deshalb ist \(R=\frac{2}{3}h=4\sqrt3\,\text{cm}\approx6{,}93\,\text{cm}\). 4. Für den Inkreisradius gilt \(r=\frac{1}{3}h=2\sqrt3\,\text{cm}\approx3{,}46\,\text{cm}\).

\(h^2+6^2=12^2\), also \(h=6\sqrt3\,\text{cm}\). Damit \(R=4\sqrt3\,\text{cm}\approx6{,}93\,\text{cm}\) und \(r=2\sqrt3\,\text{cm}\approx3{,}46\,\text{cm}\).

- Welche Aussage macht der Satz des Thales über ein Dreieck über einem Kreisdurchmesser? - Wie lang ist der Durchmesser in Abhängigkeit vom gegebenen Radius? - Welche zwei Katheten brauchst du für die Flächenformel?

1. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck rechtwinklig, weil eine Seite ein Durchmesser des Kreises ist. 2. Die Hypotenuse ist der Durchmesser und hat die Länge \(2R=10\,\text{cm}\). 3. Für die fehlende Kathete \(b\) gilt \(b^2=10^2-6^2=64\), also \(b=8\,\text{cm}\). 4. Damit beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac{1}{2}\cdot6\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\).

\(A=24\,\text{cm}^2\)

- Welcher Hypotenusenabschnitt gehört zur Kathete \(a\)? - Welche Beziehung liefert zunächst \(p\)? - Wie erhältst du danach \(q\) und die Höhe?

1. Nach dem Kathetensatz gilt \(p=\frac{a^2}{c}=6{,}4\,\text{cm}\). 2. Damit ist \(q=c-p=3{,}6\,\text{cm}\). 3. Nach dem Höhensatz ist \(h=\sqrt{pq}=4{,}8\,\text{cm}\).

\(p=6{,}4\,\text{cm}\), \(h=4{,}8\,\text{cm}\)

- Welche Winkelsumme gilt im rechtwinkligen Dreieck aus Wand, Boden und Leiter? - Welche Seitenbeziehung gilt im halben gleichseitigen Dreieck? - Wie kannst du nach dem Bodenabstand die Höhe bestimmen?

1. Wand und Boden stehen senkrecht aufeinander. Daher ist der Winkel zwischen Leiter und Wand \(30^\circ\). 2. Im \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\)-Dreieck ist die dem \(30^\circ\)-Winkel gegenüberliegende Kathete halb so lang wie die Hypotenuse. Der Bodenabstand ist daher \(3\,\text{m}\). 3. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Höhe \(h=\sqrt{6^2-3^2}\,\text{m}=3\sqrt3\,\text{m}\approx5{,}20\,\text{m}\).

a) \(30^\circ\) b) \(3\,\text{m}\) c) \(h\approx5{,}20\,\text{m}\)

- Was weißt du über Winkel über einem Kreisdurchmesser? - Welche Dreiecke mit der Strecke \(BD\) kannst du dadurch untersuchen? - Wie setzt sich \(AC\) zusammen, wenn \(D\) zwischen \(A\) und \(C\) liegt?

1. Nach dem Satz des Thales ist \(\angle ADB=90^\circ\), da \(D\) auf dem Kreis mit dem Durchmesser \(AB\) liegt. 2. Ebenso ist \(\angle BDC=90^\circ\), da \(D\) auf dem Kreis mit dem Durchmesser \(BC\) liegt. 3. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABD\) gilt \(AD=\sqrt{10^2-8^2}=6\,\text{cm}\). 4. Im rechtwinkligen Dreieck \(BCD\) gilt \(DC=\sqrt{17^2-8^2}=15\,\text{cm}\). 5. Da \(D\) zwischen \(A\) und \(C\) liegt, ist \(AC=AD+DC=21\,\text{cm}\).

\(AC=21\,\text{cm}\)

- Welche Beziehung verbindet \(h_c\), \(p\) und \(q\)? - Welcher der beiden Hypotenusenabschnitte liegt an der Kathete \(a\)? - Welche zwei rechtwinkligen Teildreiecke liefern anschließend \(a\) und \(b\)?

1. Nach dem Höhensatz gilt \(h_c^2=pq\). Daher ist \(q=\frac{h_c^2}{p}=\frac{2{,}4^2}{1{,}8}\,\text{cm}=3{,}2\,\text{cm}\). 2. Im rechten Teildreieck gilt \(a^2=h_c^2+p^2=2{,}4^2+1{,}8^2=9\). Somit ist \(a=3\,\text{cm}\). 3. Im linken Teildreieck gilt \(b^2=h_c^2+q^2=2{,}4^2+3{,}2^2=16\). Somit ist \(b=4\,\text{cm}\).

a) \(q=3{,}2\,\text{cm}\) b) \(a=3\,\text{cm}\), \(b=4\,\text{cm}\)

- Welche Seiten sind in der Abbildung die beiden Katheten und welche ist die Hypotenuse? - Welche Beziehung gilt in einem rechtwinkligen Dreieck zwischen den drei Seitenlängen? - Welche Bedingung muss eine Seitenlänge nach dem Lösen der Gleichung erfüllen?

1. Aus der Abbildung liest man die Kathetenlängen \(x\,\text{cm}\) und \((x+2)\,\text{cm}\) sowie die Hypotenuse \(10\,\text{cm}\) ab. 2. Mit dem Satz des Pythagoras gilt \(x^2+(x+2)^2=10^2\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt \(x^2+2x-48=0\). 4. Faktorisieren liefert \((x-6)(x+8)=0\). Daher sind \(x=6\) und \(x=-8\) die mathematischen Lösungen. 5. Eine Seitenlänge muss positiv sein. Deshalb ist nur \(x=6\,\text{cm}\) zulässig. 6. Die Seitenlängen sind damit \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\).

\(x=6\,\text{cm}\); die Seitenlängen sind \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\). \(x=-8\) ist als Seitenlänge unzulässig.

- Welche Beziehung gilt zwischen den drei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks? - Wie kannst du die kürzere Kathete mithilfe der längeren ausdrücken? - Welche der rechnerischen Lösungen ist als Seitenlänge möglich? - Wie berechnest du aus den beiden Katheten den Flächeninhalt?

1. Sei \(a\) die längere Kathete in Zentimetern. Dann ist die kürzere Kathete \(a-5\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(a^2+(a-5)^2=25^2\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt \(a^2-5a-300=0\). 4. Es gilt \(a^2-5a-300=(a-20)(a+15)\). Daher ist \(a=20\) oder \(a=-15\). 5. Nur die positive Seitenlänge ist möglich. Die Katheten sind \(20\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\). 6. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot20\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=150\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(150\,\text{cm}^2\).

- Stelle für jeden Fall eine Gleichung mit dem Satz des Pythagoras auf. - Denke beim Lösen der Gleichungen an binomische Formeln. - Beachte, dass \(x\) eine positive Zahl sein muss, da es eine Länge beschreibt.

1. Fall a (Hypotenuse ist 10): Aufstellen der Gleichung \(x^2 + (x+2)^2 = 10^2\). Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100\), also \(2x^2 + 4x - 96 = 0\). Dividiert durch 2: \(x^2 + 2x - 48 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(x = 6\) und \(x = -8\). Da eine Länge positiv sein muss, ist \(x = 6\). 2. Fall b (Hypotenuse ist \(x+2\)): Aufstellen der Gleichung \(x^2 + 10^2 = (x+2)^2\). Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + 100 = x^2 + 4x + 4\). Subtraktion von \(x^2\) führt auf \(100 = 4x + 4\). Umstellen ergibt \(96 = 4x\), also \(x = 24\).

a) Für \(x = 6\) ist das Dreieck rechtwinklig (Seiten: \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\)). b) Ja, für \(x = 24\) ist das Dreieck rechtwinklig (Seiten: \(24\,\text{cm}\), \(26\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\)).

- Warum halbiert die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks seine Basis? - Bestimme zuerst den Abstand des Kreismittelpunkts von der Sehne. - Überlege für beide Fälle, ob sich die Dreieckshöhe aus Radius und Mittelpunktabstand als Summe oder als Differenz ergibt.

1. Die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks halbiert die \(10\,\text{cm}\) lange Sehne; die halbe Basis ist \(5\,\text{cm}\) lang. 2. Für den Abstand \(d\) des Kreismittelpunkts von der Sehne gilt \(d=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{11}\,\text{cm}\). 3. Im Fall a) ist die Dreieckshöhe \(h_1=6+\sqrt{11}\,\text{cm}\). Daher ist \(s_1=\sqrt{h_1^2+5^2}=\sqrt{72+12\sqrt{11}}\,\text{cm}\approx10{,}57\,\text{cm}\). 4. Im Fall b) ist die Dreieckshöhe \(h_2=6-\sqrt{11}\,\text{cm}\). Daher ist \(s_2=\sqrt{h_2^2+5^2}=\sqrt{72-12\sqrt{11}}\,\text{cm}\approx5{,}67\,\text{cm}\).

a) \(s=\sqrt{72+12\sqrt{11}}\,\text{cm}\approx10{,}57\,\text{cm}\) b) \(s=\sqrt{72-12\sqrt{11}}\,\text{cm}\approx5{,}67\,\text{cm}\)

- Wie hängen Umfang und Flächeninhalt mit den Seitenlängen zusammen? - Könntest du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Seitenlängen zu finden? - Gibt es eine Verbindung zwischen der Summe der Seiten \((a+b)\), dem Produkt \((ab)\) und der Summe der Quadrate \((a^2 + b^2)\)? - Erinnere dich an die erste binomische Formel.

Es gibt zwei Lösungswege: Weg 1 (über die Seitenlängen): 1. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2(a+b) = 28 \Rightarrow a+b = 14\) und \(ab = 48\). 2. Einsetzen von \(b = 14 - a\) in die Flächenformel: \(a(14-a) = 48 \Rightarrow a^2 - 14a + 48 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(a = 6\) und \(b = 8\) (oder umgekehrt). 4. Berechnung der Diagonale: \(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). Weg 2 (direkt über binomische Formeln): 1. \(a+b = 14\) und \(ab = 48\). 2. Nutzen der Formel \((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\). 3. Da \(a^2 + b^2 = d^2\), folgt \(14^2 = d^2 + 2 \cdot 48\). 4. \(196 = d^2 + 96 \Rightarrow d^2 = 100\). 5. \(d = 10\,\text{cm}\).

Die Diagonale des Rechtecks ist \(10\,\text{cm}\) lang.

- Berücksichtige, dass der Rahmen auf beiden Seiten (links/rechts sowie oben/unten) von den Maßen der Nische abgezogen werden muss. - Überlege, welche Abmessung der Nische (Breite oder Höhe) die Größe des Bildschirms zuerst einschränkt. - Verwende das Seitenverhältnis, um die jeweils andere Seite des Bildschirms auszudrücken. - Wie hängen Breite, Höhe und Diagonale in einem Rechteck zusammen?

1. Bestimmung der maximal möglichen Maße für den Bildschirm (ohne Rahmen): Breite \(w_{\text{max}} = 90\,\text{cm} - 2 \cdot 2{,}5\,\text{cm} = 85\,\text{cm}\); Höhe \(h_{\text{max}} = 60\,\text{cm} - 2 \cdot 2{,}5\,\text{cm} = 55\,\text{cm}\). 2. Prüfung des 16:9-Verhältnisses: Bei maximaler Breite \(w = 85\,\text{cm}\) ergibt sich die Höhe zu \(h = 85 \cdot \frac{9}{16} = 47{,}8125\,\text{cm}\). Da \(47{,}8125\,\text{cm} < 55\,\text{cm}\), begrenzt die Breite des Schranks die Größe des Fernsehers. 3. Berechnung der Bildschirmdiagonale \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{85^2 + 47{,}8125^2} \approx \sqrt{7225 + 2286{,}04} \approx 97{,}52\,\text{cm}\). 4. Umrechnung der Diagonale in Zoll: \(97{,}52\,\text{cm} : 2{,}54\,\text{cm/Zoll} \approx 38{,}39\,\text{Zoll}\). 5. Die größte ganze Zollgröße, die noch in die Nische passt, ist somit \(38\,\text{Zoll}\).

Die größte ganze Zollgröße, die in die Nische passt, beträgt \(38\,\text{Zoll}\).

- Drücke bei jedem Seitenverhältnis Breite und Höhe mit demselben Skalierungsfaktor aus. - Welche Beziehung verbindet Breite, Höhe und Diagonale eines rechteckigen Bildschirms? - Für den Flächeninhalt brauchst du den Skalierungsfaktor nicht zwingend selbst, wenn du sein Quadrat schon kennst.

1. Beim Format \(4{:}3\) seien Breite und Höhe \(4x\) und \(3x\). Dann gilt \((4x)^2+(3x)^2=40^2\), also \(25x^2=1600\) und \(x=8\). Damit sind die Seiten \(32\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\) lang und \(A_{4:3}=768\,\text{cm}^2\). 2. Beim Format \(16{:}9\) seien Breite und Höhe \(16k\) und \(9k\). Aus \((16k)^2+(9k)^2=40^2\) folgt \(337k^2=1600\), also \(k^2=\frac{1600}{337}\). 3. Daher ist \(A_{16:9}=16k\cdot9k=144k^2=\frac{230400}{337}\,\text{cm}^2\approx683{,}68\,\text{cm}^2\). 4. Der \(4{:}3\)-Bildschirm hat die größere Fläche. Der Unterschied ist \(768-\frac{230400}{337}=\frac{28416}{337}\,\text{cm}^2\approx84{,}32\,\text{cm}^2\).

\(A_{4:3}=768\,\text{cm}^2\) \(A_{16:9}=\frac{230400}{337}\,\text{cm}^2\approx683{,}68\,\text{cm}^2\) Der \(4{:}3\)-Bildschirm ist um \(\frac{28416}{337}\,\text{cm}^2\approx84{,}32\,\text{cm}^2\) größer.

- Wie kannst du \(b\) mithilfe von \(a\) ausdrücken? - Welche Beziehung gilt zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? - Bringe die entstehende Gleichung auf die Form \(\dots=0\) und löse sie mit einem Verfahren, das du kennst. - Welche der Lösungen kann eine Seitenlänge sein?

1. Aus der Angabe folgt \(b=a+4\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(a^2+(a+4)^2=14^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(2a^2+8a-180=0\), also \(a^2+4a-90=0\). 4. Die Lösungen sind \(a=-2\pm\sqrt{94}\). Nur die positive Lösung ist als Seitenlänge möglich. 5. Daher ist \(a=-2+\sqrt{94}\,\text{cm}\approx7{,}70\,\text{cm}\) und \(b=2+\sqrt{94}\,\text{cm}\approx11{,}70\,\text{cm}\).

\(a=-2+\sqrt{94}\,\text{cm}\approx7{,}70\,\text{cm}\), \(b=2+\sqrt{94}\,\text{cm}\approx11{,}70\,\text{cm}\)

- Nenne die Seitenlänge \(a\) und die Diagonale \(d\). Welche Beziehung zwischen beiden steht im Text? - Betrachte das rechtwinklige Dreieck aus zwei Quadratseiten und der Diagonale. Welche Beziehung gilt dort? - Verbinde beide Beziehungen und löse die entstehende Gleichung. - Prüfe, welche Lösung als Seitenlänge möglich ist.

1. Sei \(a\) die Seitenlänge und \(d\) die Diagonale. Es gilt \(d=a+5\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt im Quadrat \(d^2=a^2+a^2=2a^2\). 3. Einsetzen von \(d=a+5\) ergibt \((a+5)^2=2a^2\). 4. Daraus folgt \(a^2-10a-25=0\). 5. Die Lösungen sind \(a=5\pm5\sqrt{2}\). Nur die positive Lösung ist als Seitenlänge möglich. 6. Daher ist \(a=5+5\sqrt{2}\,\text{cm}\approx12{,}07\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge beträgt \(a\approx12{,}07\,\text{cm}\).

- Zerlege das Trapez gedanklich so, dass rechtwinklige Dreiecke entstehen. - Wie lang ist wegen der Symmetrie jeder der beiden seitlichen Abschnitte der längeren Grundseite? - Welche waagerechte Teilstrecke bildet zusammen mit \(h\) und der Diagonale \(e\) ein rechtwinkliges Dreieck? - Für Teil c): Welche Aussage erlaubt es, aus den drei Seitenlängen auf Rechtwinkligkeit zu schließen?

1. Wegen der Symmetrie des gleichschenkligen Trapezes ist der seitliche Grundseitenabschnitt \(x=\frac{a-c}{2}=\frac{14-4}{2}=5\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Randdreieck gilt \(h^2+5^2=13^2\). Daher ist \(h=\sqrt{169-25}=12\,\text{cm}\). 3. Für die Diagonale \(e=AC\) ist die waagerechte Kathete \(14-5=9\,\text{cm}\) lang. Somit gilt \(e=\sqrt{9^2+12^2}=15\,\text{cm}\). 4. Für das Dreieck \(ABC\) ist \(A_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot14\cdot12=84\,\text{cm}^2\). 5. Seine Seiten sind \(13\,\text{cm}\), \(14\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\). Es gilt \(13^2+14^2=365\neq225=15^2\). Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck daher nicht rechtwinklig.

a) \(h=12\,\text{cm}\); \(e=15\,\text{cm}\) b) \(A_{ABC}=84\,\text{cm}^2\) c) Nein. Es gilt \(13^2+14^2\neq15^2\), also ist \(ABC\) nicht rechtwinklig.

- Welche Diagonale wird durch die Symmetrieachse halbiert? - Bestimme zuerst den Abschnitt von \(f\), der zusammen mit der halben Diagonale \(e\) und der bekannten Seite \(a\) ein rechtwinkliges Dreieck bildet. - Wie lang ist danach der verbleibende Abschnitt von \(f\)? - Welche beiden Katheten gehören schließlich zur gesuchten Seite \(b\)?

1. Da \(f\) die Symmetrieachse ist, halbiert sie \(e\). Jede Hälfte von \(e\) ist daher \(8\,\text{cm}\) lang. 2. Für den Abschnitt \(f_1\) neben der kürzeren Seite gilt im rechtwinkligen Teildreieck \(f_1^2=10^2-8^2=36\). Somit ist \(f_1=6\,\text{cm}\). 3. Der andere Abschnitt der Symmetrieachse ist \(f_2=21\,\text{cm}-6\,\text{cm}=15\,\text{cm}\). 4. Für die längere Seite gilt damit \(b^2=8^2+15^2=64+225=289\). 5. Daher ist \(b=17\,\text{cm}\).

Die längere Seite ist \(b=17\,\text{cm}\) lang.

- Welche der beiden Diagonalen wird von der Symmetrieachse halbiert? - Welche Länge hat deshalb jede Hälfte der \(24\,\text{cm}\) langen Diagonale? - Bestimme die zwei Teilstrecken der gesuchten Diagonale in den beiden rechtwinkligen Teildreiecken getrennt. - Wie setzt sich \(d\) anschließend aus diesen Teilstrecken zusammen?

1. Die \(24\,\text{cm}\) lange Diagonale wird von der Symmetrieachse rechtwinklig halbiert. Jede Hälfte ist daher \(12\,\text{cm}\) lang. 2. Die gesuchte Diagonale \(d\) besteht aus zwei Teilstrecken \(d_1\) und \(d_2\). 3. Im Teildreieck mit der Seite \(a\) gilt \(d_1^2=13^2-12^2=25\), also \(d_1=5\,\text{cm}\). 4. Im Teildreieck mit der Seite \(b\) gilt \(d_2^2=20^2-12^2=256\), also \(d_2=16\,\text{cm}\). 5. Somit ist \(d=d_1+d_2=21\,\text{cm}\).

Die andere Diagonale ist \(d=21\,\text{cm}\) lang.

- Welche Beziehung gilt im rechtwinkligen Teildreieck mit den Seiten \(h_c\), \(p\) und \(a\)? - Wie kannst du die beiden Ausdrücke für \(a^2\) miteinander verbinden? - Wie lässt sich \(c-p\) mit dem anderen Hypotenusenabschnitt ausdrücken? - Welche bekannte Beziehung entsteht nach dem Umformen, und welche Umkehrung gehört zu ihr?

1. Da \(h_c\) die Höhe auf \(c\) ist, bildet sie mit dem Abschnitt \(p\) und der Seite \(a\) ein rechtwinkliges Teildreieck. Dort gilt \(a^2=h_c^2+p^2\). 2. Setze diesen Ausdruck in die gegebene Bedingung \(a^2=p\cdot c\) ein: \(h_c^2+p^2=p\cdot c\). 3. Stelle nach \(h_c^2\) um: \(h_c^2=p\cdot c-p^2=p(c-p)\). 4. Wegen \(c=p+q\) gilt \(c-p=q\). 5. Damit folgt \(h_c^2=p\cdot q\). 6. Nach der Umkehrung des Höhensatzes ist ein Dreieck mit dieser Beziehung rechtwinklig bei \(C\). Die Aussage ist daher wahr.

Die Aussage ist wahr. Aus \(a^2=h_c^2+p^2\) und \(a^2=p\cdot c\) folgt \(h_c^2=p(c-p)\). Wegen \(c-p=q\) erhält man \(h_c^2=p\cdot q\). Nach der Umkehrung des Höhensatzes ist das Dreieck rechtwinklig bei \(C\).

- Welche Hälfte der Breite liegt zwischen \(A\) und dem Mittelpunkt \(M\) in Breitenrichtung? - Welche waagerechte Entfernung in der Grundfläche erhältst du aus Breiten- und Tiefenanteil? - Wie kannst du diese Grundflächenentfernung anschließend mit der Höhe verbinden?

1. Vom Punkt \(A\) bis zum Punkt \(M\) beträgt die Verschiebung in Breitenrichtung \(\frac{a}{2}=3\,\text{cm}\), in Tiefenrichtung \(4\,\text{cm}\) und in Höhenrichtung \(12\,\text{cm}\). 2. Zunächst ist die waagerechte Entfernung in der Grundfläche \(g=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\text{cm}\). 3. Mit dieser Strecke und der Höhe entsteht ein zweites rechtwinkliges Dreieck. Daher gilt \(AM=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\,\text{cm}\).

Die Strecke \(AM\) ist \(13\,\text{cm}\) lang.

- Setze \(EC=x\). - Welche Seitenbeziehung gilt im rechtwinkligen Dreieck \(BEC\) mit einem \(60^\circ\)-Winkel? - Welche Winkel erhältst du anschließend im Dreieck \(ABE\)?

1. Setze \(EC=x\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(BEC\) gilt wegen des \(60^\circ\)-Winkels \(BE=2x\). 3. Der Winkel \(\angle AEB\) ist der Nebenwinkel zu \(60^\circ\), also \(120^\circ\). 4. Im Dreieck \(ABE\) gilt \(\angle EAB=30^\circ\), also \(\angle ABE=30^\circ\). 5. Damit ist \(ABE\) gleichschenklig und \(AE=BE=2x\). 6. Folglich ist \(AE=2EC\).

\(AE=2EC\)

- Welche Längen haben \(AM\) und \(MB\) aufgrund der Mittelpunkteigenschaft und der Beziehung \(AB=2\cdot CD\)? - Welche geometrische Bedeutung hat es, wenn \(AM\), \(BM\) und \(DM\) gleich lang sind? - Welche Rolle spielt dann die Strecke \(AB\) in diesem Kreis? - Welche Aussage liefert der Satz des Thales für das Dreieck \(ADB\)?

1. Aus \(AB=2\cdot CD\) und der Mittelpunkteigenschaft von \(M\) folgt \(AM=MB=CD=7{,}5\,\text{cm}\). 2. Zusammen mit \(DM=CD\) gilt daher \(AM=BM=DM\). 3. Die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) liegen somit auf einem Kreis mit Mittelpunkt \(M\). Da \(M\) Mittelpunkt von \(AB\) ist, ist \(AB\) ein Durchmesser dieses Kreises. 4. Nach dem Satz des Thales ist \(\angle ADB=90^\circ\). 5. Außerdem ist \(AB=15\,\text{cm}\). Im rechtwinkligen Dreieck \(ADB\) gilt daher \(9^2+BD^2=15^2\). 6. Somit ist \(BD^2=144\) und \(BD=12\,\text{cm}\).

\(BD=12\,\text{cm}\)

- Welche Längenbeziehung erhältst du, wenn du den Mittelpunkt \(M\) von \(AB\) betrachtest? - Was folgt aus \(AM\parallel CD\) und \(AM=CD\) für das Viereck \(AMCD\)? - Welche besondere Aussage kennst du über ein Dreieck, dessen Seitenhalbierende zu einer Seite halb so lang wie diese Seite ist? - In welchem Dreieck kannst du anschließend den Satz des Pythagoras anwenden?

1. Sei \(M\) der Mittelpunkt von \(AB\). Dann gilt \(AM=MB=\frac{1}{2}AB\). Aus \(AB=2\cdot CD\) folgt \(AM=MB=CD\). 2. Weil \(AM\parallel CD\) und \(AM=CD\), ist \(AMCD\) ein Parallelogramm. Daher gilt \(MC=AD\). 3. Mit \(AD=CD\) folgt \(MC=AM=MB=\frac{1}{2}AB\). 4. Im Dreieck \(ABC\) ist \(MC\) damit eine Seitenhalbierende zur Seite \(AB\), deren Länge der halben Seite \(AB\) entspricht. Nach der Umkehrung des Satzes des Thales ist \(\angle ACB=90^\circ\). 5. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) gilt \(AB^2=AC^2+BC^2=15^2+20^2=625\). 6. Daher ist \(AB=25\,\text{cm}\) und wegen \(AB=2\cdot CD\) folgt \(CD=12{,}5\,\text{cm}\).

\(AB=25\,\text{cm}\) und \(CD=12{,}5\,\text{cm}\)

- Welche Winkel entstehen nach dem Satz des Thales bei \(M\)? - Was folgt aus der Summe dieser beiden Winkel für die Lage von \(Q\), \(M\) und \(S\)? - Wie kannst du die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks über zwei Flächenformeln bestimmen?

1. Nach dem Satz des Thales sind \(\angle PMQ\) und \(\angle PMS\) jeweils \(90^\circ\). 2. Daher liegen \(Q\), \(M\) und \(S\) auf einer Geraden, und \(PM\) ist die Höhe im rechtwinkligen Dreieck \(PQS\) auf die Hypotenuse \(QS\). 3. Nach dem Satz des Pythagoras ist \(QS=\sqrt{12^2+5^2}\,\text{cm}=13\,\text{cm}\). 4. Aus \(\frac12\cdot12\cdot5=\frac12\cdot13\cdot PM\) folgt \(PM=\frac{60}{13}\,\text{cm}\approx4{,}62\,\text{cm}\).

\(PM=\frac{60}{13}\,\text{cm}\approx4{,}62\,\text{cm}\)

- Bestimme zuerst die gesamte Hypotenuse \(KM\). - Nutze die Ähnlichkeit von \(\triangle EFM\) und \(\triangle KNM\), um \(EF\), \(FM\) und \(NF\) auszudrücken. - Verwende anschließend \(EF = NF\) und den Satz des Pythagoras.

1. \(KM = 70\). Aus \(\Delta EFM \sim \Delta KNM\) folgt \(\frac{EF}{KN} = \frac{FM}{NM} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}\). 2. \(EF = \frac{3}{7} KN\) und \(FM = \frac{3}{7} NM\). 3. \(NF = NM - FM = \frac{4}{7} NM\). 4. \(EF = NF \Rightarrow \frac{3}{7} KN = \frac{4}{7} NM \Rightarrow KN = \frac{4}{3} NM\). 5. \(NM^2 + (\frac{4}{3} NM)^2 = 70^2 \Rightarrow \frac{25}{9} NM^2 = 4900\). 6. \(NM^2 = 1764 \Rightarrow NM = 42\). 7. \(KN = \frac{4}{3} \cdot 42 = 56\). 8. \(U = 42 + 56 + 70 = 168\).

\(x = U_{KNM} = 168\)