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- Welche besondere Seitenbeziehung gilt im halben gleichseitigen Dreieck? - Welche Seite liegt dem \(30^\circ\)-Winkel gegenüber?

1. In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem \(30^\circ\)-Winkel ist die dem \(30^\circ\)-Winkel gegenüberliegende Kathete halb so lang wie die Hypotenuse. 2. Hier ist diese Kathete \(4\,\text{cm}\) lang. 3. Daher gilt \(c=2\cdot4\,\text{cm}=8\,\text{cm}\).

Die Hypotenuse \(c\) ist \(8\,\text{cm}\) lang.

- Berechne zuerst die Größe des dritten Winkels im Dreieck. - Was für eine besondere Art von Dreieck liegt vor, wenn zwei Winkel gleich groß sind? - Was bedeutet das für die Seiten, die diesen Winkeln gegenüberliegen?

1. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). 2. Da ein Winkel \(90^\circ\) und einer \(45^\circ\) ist, muss der dritte Winkel ebenfalls \(180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\) sein. 3. Ein Dreieck mit zwei gleichen Winkeln ist gleichschenklig. 4. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Schenkel (hier die Katheten) gleich lang. 5. Somit ist die andere Kathete ebenfalls \(6\,\text{cm}\) lang.

Die andere Kathete ist ebenfalls \(6\,\text{cm}\) lang, da es sich um ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck handelt.

- Überlege dir, wie die Symmetrie in einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck aussieht. - Wenn du das Dreieck entlang der Höhe faltest, was passiert mit der Hypotenuse?

1. In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck halbiert die Höhe auf die Hypotenuse diese Hypotenuse. 2. Zudem ist die Höhe in diesem speziellen Fall genau halb so lang wie die Hypotenuse. 3. Rechnung: \(h_c = \frac{1}{2} \cdot c = \frac{10\,\text{cm}}{2} = 5\,\text{cm}\).

Die Höhe \(h_c\) ist \(5\,\text{cm}\) lang.

- Welche drei Größen verbindet der Kathetensatz in dieser Skizze? - Welcher Hypotenusenabschnitt liegt direkt an der Kathete \(a\)? - Welche Gleichung kannst du mit \(a\), \(c\) und diesem Abschnitt aufstellen?

1. Für die Kathete \(a\) und ihren Hypotenusenabschnitt \(p\) gilt der Kathetensatz \(a^2=c\cdot p\). 2. Einsetzen liefert \(12^2=20p\). 3. Daher ist \(p=\frac{144}{20}\,\text{cm}=7{,}2\,\text{cm}\).

\(p=7{,}2\,\text{cm}\)

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn man eine Diagonale in ein Rechteck einzeichnet? - Welche Seiten des entstandenen Dreiecks sind gegeben und welche wird gesucht? - Achte darauf, dass die Einheiten während der Rechnung konsistent bleiben.

1. Identifikation des rechtwinkligen Dreiecks, das durch die Seiten \(a\), \(b\) und die Diagonale \(d\) gebildet wird. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(d^2 = a^2 + b^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(d^2 = (1{,}2\,\text{m})^2 + (3{,}5\,\text{m})^2 = 1{,}44\,\text{m}^2 + 12{,}25\,\text{m}^2 = 13{,}69\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Diagonale durch Ziehen der Quadratwurzel: \(d = \sqrt{13{,}69\,\text{m}^2} = 3{,}7\,\text{m}\).

Die Diagonale des Rechtecks ist \(3{,}7\,\text{m}\) lang.

- Welche Seite fehlt dir, um den Flächeninhalt und den Umfang berechnen zu können? - Wie kannst du die fehlende Seite mithilfe der Diagonale und der gegebenen Seite bestimmen? - Erinnere dich an den Zusammenhang der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck.

1. Berechnung der fehlenden Seitenlänge \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = ab = 15 \cdot 8 = 120\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs: \(U = 2(a + b) = 2 \cdot (15 + 8) = 2 \cdot 23 = 46\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(120\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(46\,\text{cm}\).

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn du ein Quadrat an der Diagonale teilst? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Seitenlängen und der Diagonale in einem Quadrat? - Erinnere dich an den Satz über die Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken.

1. Da das Blatt quadratisch ist, bildet die Diagonale zusammen mit zwei Seiten des Quadrats ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. 2. Die Seitenlängen des Quadrats sind die Katheten des Dreiecks (\(a = 20\,\text{cm}\)), die Diagonale ist die Hypotenuse (\(d\)). 3. Anwendung des Satzes von Pythagoras: \(d^2 = a^2 + a^2\). 4. Einsetzen der Werte: \(d^2 = 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800\). 5. Berechnung der Wurzel: \(d = \sqrt{800} \approx 28{,}284\ldots\,\text{cm}\). 6. Das Ergebnis gerundet auf eine Dezimalstelle beträgt \(28{,}3\,\text{cm}\).

Die Faltkante ist etwa \(28{,}3\,\text{cm}\) lang.

- Überlege zuerst, welche Seite (Kathete oder Hypotenuse) gesucht ist. - Stelle sicher, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Quadraten der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck.

1. Berechnung für Spalte a): Gegeben sind die Katheten \(a = 15\,\text{cm}\) und \(b = 20\,\text{cm}\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\). 2. Berechnung für Spalte b): Gegeben sind die Kathete \(a = 0{,}8\,\text{dm}\) und die Hypotenuse \(c = 1{,}7\,\text{dm}\). Die fehlende Kathete berechnet sich durch \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{1{,}7^2 - 0{,}8^2} = \sqrt{2{,}89 - 0{,}64} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\,\text{dm}\). 3. Berechnung für Spalte c): Gegeben sind die Kathete \(b = 120\,\text{mm} = 12\,\text{cm}\) und die Hypotenuse \(c = 13\,\text{cm}\). Die fehlende Kathete berechnet sich durch \(a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\).

a) \(c = 25\,\text{cm}\) b) \(b = 1{,}5\,\text{dm}\) c) \(a = 5\,\text{cm}\) (oder \(50\,\text{mm}\))

- Was passiert mit einer Wurzel, wenn du sie quadrierst? - Stelle den Satz des Pythagoras jeweils nach der gesuchten Seite um. - Achte darauf, welche Seite die Hypotenuse ist.

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Satzes des Pythagoras mit Wurzelwerten. \(c^2 = a^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{23})^2 = 13 + 23 = 36\). Daraus folgt \(c = \sqrt{36} = 6\). 2. Teilaufgabe b): Umstellen der Formel nach der gesuchten Kathete. \(b^2 = c^2 - a^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\). Daraus folgt \(b = \sqrt{144} = 12\).

a) \(c = 6\) b) \(b = 12\)

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn man ein Rechteck entlang einer Diagonale teilt? - Wie hängen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks, wenn beide Seitenlängen bekannt sind?

1. Anwendung des Satzes von Pythagoras im Rechteck: \(a^2 + b^2 = d^2\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(5^2 + b^2 = 13^2\), also \(25 + b^2 = 169\). 3. Umstellen nach \(b^2\): \(b^2 = 169 - 25 = 144\). 4. Berechnen der Seitenlänge \(b\): \(b = \sqrt{144} = 12\,\text{m}\). 5. Berechnen des Flächeninhalts: \(A = ab = 5\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\).

Die zweite Seite ist \(12\,\text{m}\) lang und der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{m}^2\).

- Kannst du das gleichschenklige Dreieck in zwei spiegelsymmetrische rechtwinklige Dreiecke zerlegen? - Welche Seitenlängen sind in einem dieser Teildreiecke bekannt? - Wie hängen die Grundseite, die Höhe und die Schenkel mathematisch zusammen?

1. Berechnung der halben Basis mithilfe des Satzes des Pythagoras im rechtwinkligen Teildreieck: \((\frac{c}{2})^2 = s^2 - h_c^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64\). 2. Bestimmung der halben Basis durch Radizieren: \(\frac{c}{2} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 3. Berechnung der gesamten Basis: \(c = 2 \cdot 8\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120\,\text{cm}^2\).

Die Basis beträgt \(c = 16\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt ist \(A = 120\,\text{cm}^2\).

- Welche geometrische Form bildet der Bildschirm zusammen mit seiner Diagonale? - Erinnere dich an den Zusammenhang der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. - Ein Verhältnis wird wie ein Bruch gekürzt, indem man beide Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert.

1. Berechnung der Breite \(w\) mit dem Satz des Pythagoras: \(w^2 + 15^2 = 17^2\). 2. Umstellen und Lösen: \(w^2 = 289 - 225 = 64\). Somit ist \(w = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 3. Bestimmung des Seitenverhältnisses: Das Verhältnis von Breite zu Höhe ist \(8 : 15\). Da \(8\) und \(15\) keinen gemeinsamen Teiler außer \(1\) haben, ist dies bereits die gekürzte Form.

a) Die Breite des Bildschirms beträgt \(8\,\text{cm}\). b) Das Seitenverhältnis beträgt \(8 : 15\).

- Welche Form hat ein Quadrat und welche Winkel treten dort auf? - Wie hängen die Seiten eines Quadrats zusammen? - Kannst du eine Skizze zeichnen und die Diagonale als Seite eines Dreiecks betrachten?

1. Ein Quadrat besitzt vier rechte Winkel. Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, in denen die Diagonale die Hypotenuse und die Quadratseiten die Katheten bilden. Daher ist der Satz des Pythagoras anwendbar. 2. Ansatz mit dem Satz des Pythagoras: \(a^2 + a^2 = (20\,\text{m})^2\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(2a^2 = 400\,\text{m}^2\). 4. Isolieren von \(a^2\): \(a^2 = 200\,\text{m}^2\). 5. Ziehen der Wurzel für den exakten Wert: \(a = \sqrt{200}\,\text{m} = 10\sqrt{2}\,\text{m}\). 6. Numerische Berechnung: \(a \approx 14{,}14\,\text{m}\).

1. Die Diagonale zerlegt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. 2. Exakt: \(a = \sqrt{200}\,\text{m}\) (bzw. \(10\sqrt{2}\,\text{m}\)); gerundet: \(a \approx 14{,}14\,\text{m}\).

- Wie hängen die Diagonale und die Seitenlängen in einem Quadrat zusammen? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke. - Musst du die Seitenlänge einzeln ausrechnen, um den Flächeninhalt zu finden? - Was ist die Definition des Flächeninhalts eines Quadrats?

1. Sei \(a\) die Seitenlänge des Quadrats und \(d\) die Diagonale. Nach dem Satz des Pythagoras gilt in einem Quadrat \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). 2. Setze den gegebenen Wert \(d = 60\,\text{cm}\) in die Gleichung ein: \(60^2 = 2a^2\). 3. Berechne das Quadrat der Diagonale: \(3600 = 2a^2\). 4. Löse nach dem Flächeninhalt \(A = a^2\) auf, indem du beide Seiten durch \(2\) dividierst: \(a^2 = 1800\). 5. Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt somit \(1800\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Schildes beträgt \(1800\,\text{cm}^2\).

- Welche geometrische Form hat das Display? - Wie hängen die Seitenlängen und die Diagonale in dieser Form zusammen? - Vergleiche dein berechnetes Ergebnis mit dem Grenzwert aus der Aufgabenstellung.

1. Modellierung des Displays als Rechteck mit den Katheten \(a = 18\,\text{cm}\) und \(b = 24\,\text{cm}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung der Diagonalen \(d\): \(d^2 = 18^2 + 24^2\). 3. Berechnung der Quadrate: \(d^2 = 324 + 576 = 900\). 4. Bestimmung der Länge der Diagonalen durch Wurzelziehen: \(d = \sqrt{900} = 30\,\text{cm}\). 5. Vergleich mit der Maximalgröße der Hülle: Da \(30\,\text{cm} > 28\,\text{cm}\) ist, passt das Tablet nicht in die Schutzhülle.

Das Tablet passt nicht in die Schutzhülle, da seine Diagonale \(30\,\text{cm}\) lang ist und damit die maximal zulässige Bildschirmdiagonale von \(28\,\text{cm}\) überschreitet.

- Wie berechnet man den Umfang einer geometrischen Figur, wenn die Längen der Außenkanten bekannt sind? - Welche Eigenschaft muss ein Dreieck erfüllen, um als „gleichschenklig“ zu gelten? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem. - Hilft es dir, die Punkte kurz in ein Skizzen-Koordinatensystem einzutragen?

1. Berechnung der Seitenlänge \(c = |\overline{AB}|\): Da beide Punkte auf der Geraden \(y = 1\) liegen, ergibt sich die Länge aus der Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(|4 - (-2)| = 6\). Alternativ per Formel: \(\sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(a = |\overline{BC}|\): \(|\overline{BC}| = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). 3. Berechnung der Seitenlänge \(b = |\overline{AC}|\): \(|\overline{AC}| = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). 4. Bestimmung des Umfangs: \(U = 6 + 5 + 5 = 16\). 5. Prüfung auf Gleichschenkligkeit: Da die Seiten \(a\) und \(b\) beide die Länge \(5\) besitzen, sind zwei Seiten des Dreiecks gleich lang. Das Dreieck ist somit gleichschenklig.

a) Der Umfang des Dreiecks beträgt \(16\,\text{Längeneinheiten}\). b) Das Dreieck ist gleichschenklig, da die Seiten \(\overline{AC}\) und \(\overline{BC}\) mit jeweils \(5\,\text{Längeneinheiten}\) gleich lang sind.

- Was bedeutet „Reichweite“ mathematisch für den Abstand zwischen zwei Punkten? - Welche Bedingung muss der Abstand erfüllen, damit eine Verbindung möglich ist? - Achte beim Einsetzen der negativen Koordinaten in die Formel besonders auf die Vorzeichen.

1. Aufstellen des Ansatzes für den Abstand \(d\) zwischen \(R(2|3)\) und \(L(-2|6)\): \(d = \sqrt{(x_L - x_R)^2 + (y_L - y_R)^2}\). 2. Einsetzen der Koordinaten: \(d = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (6 - 3)^2}\). 3. Berechnung der Differenzen: \(\Delta x = -4\) und \(\Delta y = 3\). 4. Quadrieren und Summieren: \(d = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\). 5. Ergebnis des Abstands: \(d = 5\,\text{m}\). 6. Vergleich mit der Reichweite: Da der berechnete Abstand von \(5\,\text{m}\) exakt der maximalen Reichweite des Routers entspricht, befindet sich der Laptop gerade noch im Empfangsbereich.

Ja, der Laptop kann eine Verbindung herstellen. Der berechnete Abstand zwischen Router und Laptop beträgt genau \(5\,\text{m}\), was exakt der maximalen Reichweite entspricht.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Achte darauf, welche Seite die längste im Dreieck ist. - Wie lässt sich die Formel umstellen, wenn nicht die längste Seite gesucht ist?

1. Anwendung des Satzes von Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) und Umstellung nach der gesuchten Kathete: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). 2. Berechnung für a): \(b = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35\). Die Kathete \(b\) ist \(35\,\text{cm}\) lang. 3. Berechnung für b): \(b = \sqrt{2{,}5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25 - 2{,}25} = \sqrt{4} = 2\). Die Kathete \(b\) ist \(2\,\text{m}\) lang.

a) \(b = 35\,\text{cm}\) b) \(b = 2\,\text{m}\)

- Kannst du eine Skizze der Situation zeichnen? - Welche geometrische Form entsteht durch die beiden Laufwege und die direkte Verbindungslinie? - Berechne zuerst, wie viele Kilometer jeder Wanderer in der gegebenen Zeit geschafft hat. - Gibt es einen bekannten mathematischen Satz für Berechnungen an Dreiecken mit einem rechten Winkel?

1. Berechnung der von Wanderer A zurückgelegten Strecke: \(s_A = 4{,}8\,\text{km/h} \cdot 1{,}5\,\text{h} = 7{,}2\,\text{km}\). 2. Berechnung der von Wanderer B zurückgelegten Strecke: \(s_B = 3{,}6\,\text{km/h} \cdot 1{,}5\,\text{h} = 5{,}4\,\text{km}\). 3. Da die Richtungen Norden und Westen rechtwinklig zueinander stehen, bilden die Strecken die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. 4. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung des Abstands \(d\): \(d = \sqrt{s_A^2 + s_B^2}\). 5. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{7{,}2^2 + 5{,}4^2} = \sqrt{51{,}84 + 29{,}16} = \sqrt{81}\). 6. Ergebnis: \(d = 9\,\text{km}\).

Nach \(1{,}5\) Stunden sind die beiden Wanderer \(9\,\text{km}\) voneinander entfernt.

- Nutze den Kathetensatz, um den an die Kathete \(a\) anliegenden Abschnitt \(p\) zu finden. - Die Summe der Abschnitte \(p\) und \(q\) ergibt die Gesamtlänge der Seite \(c\). - Erinnere dich an den Höhensatz für die Berechnung von \(h\).

1. Berechnung von \(p\) mit dem Kathetensatz: \(a^2 = c \cdot p \implies p = \frac{4{,}5^2}{7{,}5} = \frac{20{,}25}{7{,}5} = 2{,}7\,\text{cm}\). 2. Berechnung von \(q\) durch Subtraktion: \(q = c - p = 7{,}5 - 2{,}7 = 4{,}8\,\text{cm}\). 3. Berechnung von \(h\) mit dem Höhensatz: \(h = \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{2{,}7 \cdot 4{,}8} = \sqrt{12{,}96} = 3{,}6\,\text{cm}\).

\(p = 2{,}7\,\text{cm}\), \(q = 4{,}8\,\text{cm}\), \(h = 3{,}6\,\text{cm}\)

- Welche Länge solltest du zuerst aus den beiden Katheten bestimmen? - Welcher Kathetensatz gehört jeweils zu \(a\) und zu \(b\)? - Welche Kontrollbeziehung müssen \(p\), \(q\) und \(c\) erfüllen?

1. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(c=\sqrt{5^2+12^2}\,\text{cm}=13\,\text{cm}\). 2. Nach dem Kathetensatz gilt \(p=\frac{a^2}{c}=\frac{25}{13}\,\text{cm}\approx1{,}92\,\text{cm}\). 3. Ebenso gilt \(q=\frac{b^2}{c}=\frac{144}{13}\,\text{cm}\approx11{,}08\,\text{cm}\). 4. Mit dem Höhensatz und den ungerundeten Werten folgt \(h=\sqrt{pq}=\frac{60}{13}\,\text{cm}\approx4{,}62\,\text{cm}\).

\(p\approx1{,}92\,\text{cm}\), \(q\approx11{,}08\,\text{cm}\), \(h\approx4{,}62\,\text{cm}\)

- Was wissen wir über die Winkel in einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck? - Wenn du die Höhe einzeichnest, entstehen neue, kleinere Dreiecke. Was für eine Art von Dreiecken sind das? - Überlege dir, wie die Höhe die Hypotenuse in einem symmetrischen Dreieck teilt.

1. Da das Dreieck rechtwinklig (\(90^\circ\)) und gleichschenklig ist, sind die beiden anderen Winkel jeweils \(45^\circ\). 2. Die Höhe \(h_c\) steht senkrecht auf der Hypotenuse \(AB\) und teilt das große Dreieck in zwei kleinere, ebenfalls gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke auf. 3. In jedem dieser Teildreiecke (z. B. \(ADC\), wobei \(D\) der Fußpunkt der Höhe auf \(AB\) ist) ist die Höhe eine Kathete. Da der Winkel bei \(A\) \(45^\circ\) ist, muss auch der andere spitze Winkel im Teildreieck \(45^\circ\) sein. 4. Somit ist die Strecke \(AD\) genauso lang wie die Höhe \(CD\), also \(AD = 8\,\text{cm}\). 5. Aus Symmetriegründen gilt auch \(BD = 8\,\text{cm}\). 6. Die Gesamtlänge der Hypotenuse ist \(AB = AD + BD = 8 + 8 = 16\,\text{cm}\).

Die Hypotenuse \(AB\) ist \(16\,\text{cm}\) lang.

- Die Höhe \(CD\) teilt das große Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke auf. - Welches der Teildreiecke enthält alle gegebenen Informationen?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(CDB\) ist \(\angle CDB = 90^\circ\). 2. \(CD\) ist die Gegenkathete zu \(\beta\): \(x = 10 \cdot \sin(35^\circ) \approx 5{,}74\,\text{cm}\). 3. \(BD\) ist die Ankathete zu \(\beta\): \(y = 10 \cdot \cos(35^\circ) \approx 8{,}19\,\text{cm}\).

\(x \approx 5{,}74\,\text{cm}\) und \(y \approx 8{,}19\,\text{cm}\)

- Wie erhältst du die ganze Hypotenuse aus ihren beiden Abschnitten? - Welche Beziehung verbindet die Höhe auf die Hypotenuse mit den beiden Hypotenusenabschnitten?

1. Die Hypotenuse ist die Summe ihrer beiden Abschnitte: \(c=p+q=9\,\text{cm}+16\,\text{cm}=25\,\text{cm}\). 2. Nach dem Höhensatz gilt \(h_c^2=pq\). 3. Damit ist \(h_c=\sqrt{9\cdot16}\,\text{cm}=12\,\text{cm}\).

\(h_c=12\,\text{cm}\), \(c=25\,\text{cm}\)

- Zeichne dir ein Quadrat mit seinen Diagonalen auf. Wo liegen der Umkreis und der Inkreis? - Der Inkreis berührt die Seitenmitten, der Umkreis die Ecken.

1. Der Inkreisradius ist die Hälfte der Seitenlänge: \(r = \frac{a}{2} = 4\,\text{cm}\). 2. Der Umkreisradius ist die halbe Diagonale des Quadrats: \(R = \frac{d}{2} = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\,\text{cm}\).

Der Umkreisradius ist \(R \approx 5{,}66\,\text{cm}\) und der Inkreisradius ist \(r = 4\,\text{cm}\).

- Ein regelmäßiges Sechseck lässt sich in sechs gleichseitige Dreiecke zerlegen. - Was weißt du über die Seitenlängen in einem gleichseitigen Dreieck?

1. Bei einem regelmäßigen Sechseck entspricht der Umkreisradius genau der Seitenlänge: \(R = a = 6\,\text{cm}\). 2. Der Inkreisradius entspricht der Höhe eines der sechs gleichseitigen Teildreiecke: \(r = \frac{a}{2}\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20\,\text{cm}\).

Der Umkreisradius ist \(R = 6\,\text{cm}\) und der Inkreisradius ist \(r \approx 5{,}20\,\text{cm}\).

- Zeichne die Höhe auf eine Seite des gleichseitigen Dreiecks ein. - Welche Längen hat das dadurch entstehende rechtwinklige Dreieck? - Bestimme zuerst die Höhe mit dem Satz des Pythagoras und berechne danach den Flächeninhalt.

1. Die Höhe auf eine Seite halbiert das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Hypotenuse ist \(4\,\text{cm}\) lang, die halbe Grundseite \(2\,\text{cm}\). 2. Mit dem Satz des Pythagoras gilt \(h^2 = (4\,\text{cm})^2 - (2\,\text{cm})^2 = 16\,\text{cm}^2 - 4\,\text{cm}^2 = 12\,\text{cm}^2\). Also ist \(h = 2\sqrt{3}\,\text{cm}\). 3. Damit ergibt sich \(A = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\sqrt{3}\,\text{cm} = 4\sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 6{,}93\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(4\sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 6{,}93\,\text{cm}^2\).

- Welche beiden Katheten brauchst du für die Flächenformel eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Kathete ist zum Winkel \(30^\circ\) die Gegenkathete und welche die Ankathete? - Welche Winkelfunktionen verbinden diese Katheten mit der gegebenen Hypotenuse?

1. Die Gegenkathete zum Winkel \(30^\circ\) ist \(a=10\,\text{cm}\cdot\sin(30^\circ)=5\,\text{cm}\). 2. Die Ankathete ist \(b=10\,\text{cm}\cdot\cos(30^\circ)=5\sqrt3\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(A=\frac12ab=\frac12\cdot5\,\text{cm}\cdot5\sqrt3\,\text{cm}=\frac{25\sqrt3}{2}\,\text{cm}^2\approx21{,}65\,\text{cm}^2\).

\(A=\frac{25\sqrt3}{2}\,\text{cm}^2\approx21{,}65\,\text{cm}^2\)

- Welche zweite Kathete brauchst du zusätzlich zur gegebenen Kathete für die Flächenformel? - Welche Winkelfunktion verbindet bei \(60^\circ\) die beiden Katheten direkt? - Nutze erst den exakten Wert der fehlenden Kathete und runde erst ganz am Ende.

1. Sei \(a\) die dem Winkel \(60^\circ\) gegenüberliegende Kathete. Dann gilt \(\tan(60^\circ)=\frac{a}{4}\). 2. Daher ist \(a=4\sqrt3\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac12\cdot4\,\text{cm}\cdot4\sqrt3\,\text{cm}=8\sqrt3\,\text{cm}^2\approx13{,}86\,\text{cm}^2\).

\(A=8\sqrt3\,\text{cm}^2\approx13{,}86\,\text{cm}^2\)

- Welche Länge hat der noch fehlende Hypotenusenabschnitt? - Welche Beziehung verbindet die Höhe mit den beiden Hypotenusenabschnitten? - Achte darauf, dass \(p+q=c\) gilt.

1. Der zweite Hypotenusenabschnitt ist \(p=c-q=13\,\text{cm}-4\,\text{cm}=9\,\text{cm}\). 2. Nach dem Höhensatz gilt \(h^2=pq=9\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=36\,\text{cm}^2\). 3. Daher ist \(h=6\,\text{cm}\).

\(h=6\,\text{cm}\)

- Welche Seitenlängen fehlen dir noch, um alle Verhältnisse vergleichen zu können? - Erinnere dich an einen wichtigen Satz für Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken. - Wie kannst du mit den Seitenlängen feststellen, ob eine Figur eine maßstäbliche Vergrößerung der anderen ist?

1. Berechnung der fehlenden Seite in Dreieck \(A\) (Hypotenuse \(c_1\)) mit dem Satz des Pythagoras: \(c_1 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 2. Berechnung der fehlenden Seite in Dreieck \(B\) (Kathete \(b_2\)) mit dem Satz des Pythagoras: \(b_2 = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\,\text{cm}\). 3. Vergleich der Verhältnisse entsprechender Seiten: \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{12}{6} = 2\); \(\frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{8} = 2\); \(\frac{c_2}{c_1} = \frac{20}{10} = 2\). 4. Da alle entsprechenden Seitenverhältnisse gleich sind, sind die Dreiecke nach dem Ähnlichkeitssatz SSS ähnlich.

Ja, die Dreiecke sind ähnlich. Die Seitenlängen von Dreieck \(A\) sind \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\). Die Seitenlängen von Dreieck \(B\) sind \(12\,\text{cm}\), \(16\,\text{cm}\) und \(20\,\text{cm}\). Da alle entsprechenden Seiten im Verhältnis \(2:1\) stehen, liegt Ähnlichkeit vor.

- Denke beim Vereinfachen an die Potenzgesetze, insbesondere wie man ein Produkt quadriert. - Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks, wenn man die beiden Seiten kennt, die den rechten Winkel einschließen? - Das Verhältnis \(\frac{z}{x}\) bedeutet, wie oft \(x\) in \(z\) passt.

1. Vereinfachung der Quadrate: \((3x)^2 = 9x^2\) und \((4x)^2 = 16x^2\). 2. Addition der Terme: \(z^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2\). 3. Ziehen der Wurzel (da \(x, z > 0\)): \(z = \sqrt{25x^2} = 5x\). 4. Berechnung des Verhältnisses: \(\frac{z}{x} = \frac{5x}{x} = 5\). 5. Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Kathete}_1 \cdot \text{Kathete}_2 = \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot 4x = 6x^2\). 6. Gleichung lösen: \(6x^2 = 54 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\,\text{cm}\). 7. Berechnung von \(z\): \(z = 5 \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\).

a) \(z^2 = 25x^2\) b) Das Verhältnis ist \(5\). c) \(x = 3\,\text{cm}\) und \(z = 15\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn die beiden Seiten am rechten Winkel bekannt sind? - Kannst du aus dem Flächeninhalt zuerst die Längen der Katheten bestimmen? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte?

1. Die Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck lautet \(A = \frac{1}{2}ab\). Da es gleichschenklig ist, gilt \(a = b\), also \(A = \frac{1}{2}a^2\). 2. Einsetzen des Flächeninhalts: \(32 = \frac{1}{2}a^2\). 3. Auflösen nach \(a\): \(64 = a^2\), woraus \(a = 8\,\text{cm}\) folgt. Die beiden Katheten sind also jeweils \(8\,\text{cm}\) lang. 4. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit Pythagoras: \(c^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128\). 5. Ergebnis: \(c = \sqrt{128}\,\text{cm} = 8\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 11{,}31\,\text{cm}\).

Die beiden Katheten sind jeweils \(8\,\text{cm}\) lang, die Hypotenuse ist etwa \(11{,}31\,\text{cm}\) (exakt \(8\sqrt{2}\,\text{cm}\)) lang.

- Skizziere das Dreieck und zeichne die Höhe ein. Wo findest du ein rechtwinkliges Dreieck? - Wie lang ist die Teilstrecke der Basis in dem rechtwinkligen Dreieck? - Welche Information fehlt dir noch, um den gesamten Umfang berechnen zu können?

1. Die Höhe \(h_c\) teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei spiegelsymmetrische rechtwinklige Dreiecke. Eine Kathete entspricht der halben Basis \(\frac{c}{2} = 8\,\text{cm}\), die andere Kathete ist die Höhe \(h_c = 15\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Schenkellänge \(a\) (Hypotenuse) mit dem Satz von Pythagoras: \(a^2 = (8\,\text{cm})^2 + (15\,\text{cm})^2\). 3. Ausrechnen: \(a^2 = 64\,\text{cm}^2 + 225\,\text{cm}^2 = 289\,\text{cm}^2\). 4. Wurzel ziehen: \(a = \sqrt{289\,\text{cm}^2} = 17\,\text{cm}\). 5. Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind beide Schenkel \(17\,\text{cm}\) lang. 6. Berechnung des Umfangs: \(U = c + 2a = 16\,\text{cm} + 2 \cdot 17\,\text{cm} = 16\,\text{cm} + 34\,\text{cm} = 50\,\text{cm}\).

Der Umfang des Dreiecks beträgt \(50\,\text{cm}\).

- Stelle dir die beiden Wege bildlich vor. Welcher Weg bildet die Hypotenuse eines Dreiecks? - Berechne zuerst die Länge beider Wege separat. - Was ist der Unterschied zwischen der Summe der Katheten und der Länge der Hypotenuse?

1. Berechnung der Wegstrecke entlang der Kanten: \(120\,\text{m} + 160\,\text{m} = 280\,\text{m}\). 2. Berechnung der direkten Wegstrecke (Hypotenuse \(d\)) quer über das Feld mithilfe des Satzes des Pythagoras: \(d^2 = (120\,\text{m})^2 + (160\,\text{m})^2\). 3. Ausrechnen: \(d^2 = 14\,400\,\text{m}^2 + 25\,600\,\text{m}^2 = 40\,000\,\text{m}^2\). 4. Wurzel ziehen: \(d = \sqrt{40\,000\,\text{m}^2} = 200\,\text{m}\). 5. Differenz der beiden Wege berechnen: \(280\,\text{m} - 200\,\text{m} = 80\,\text{m}\).

Der direkte Weg ist um \(80\,\text{m}\) kürzer.

- Welche Strecke wäre bei einem rechten Winkel die Hypotenuse? - Vergleiche für Teil a) die passende Quadratsumme mit dem Quadrat der gemessenen Diagonale. - In den Teilen b) und c) ändert sich jeweils nur eine Seitenlänge. Welche Größen bleiben fest?

1. Es ist \(1{,}20^2+1{,}60^2=1{,}44+2{,}56=4{,}00\), aber \(2{,}05^2=4{,}2025\). Da die Werte verschieden sind, ist der Rahmen nicht exakt rechtwinklig. 2. Für einen rechten Winkel müsste die Diagonale \(d=\sqrt{1{,}20^2+1{,}60^2}=2{,}00\,\text{m}\) lang sein. 3. Bei fester Diagonale \(2{,}05\,\text{m}\) und fester Kathete \(1{,}60\,\text{m}\) gilt \(a^2=2{,}05^2-1{,}60^2=1{,}6425=\frac{657}{400}\). 4. Daher ist \(a=\frac{\sqrt{657}}{20}=\frac{3\sqrt{73}}{20}\,\text{m}\approx1{,}28\,\text{m}\).

a) Nicht rechtwinklig, da \(1{,}20^2+1{,}60^2=4{,}00\neq4{,}2025=2{,}05^2\). b) \(d=2{,}00\,\text{m}\) c) \(a=\frac{3\sqrt{73}}{20}\,\text{m}\approx1{,}28\,\text{m}\)

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks. Was musst du dafür zuerst finden? - Wie hängen die Seiten eines Quadrats mit seiner Diagonale zusammen? - Kannst du den Flächeninhalt eines Quadrats direkt aus der Länge seiner Diagonale bestimmen? - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse.

1. Berechnung der fehlenden Seite \(b\) des Rechtecks: \(b = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks: \(A_{\text{Rechteck}} = 10 \cdot 24 = 240\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des Quadrats über die Diagonale: Da im Quadrat \(d^2 = s^2 + s^2 = 2s^2\) gilt, ist der Flächeninhalt \(A_{\text{Quadrat}} = s^2 = \frac{d^2}{2} = \frac{26^2}{2} = \frac{676}{2} = 338\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(338\,\text{cm}^2 > 240\,\text{cm}^2\). Das Quadrat hat den größeren Flächeninhalt.

Das Quadrat hat mit \(338\,\text{cm}^2\) einen größeren Flächeninhalt als das Rechteck mit \(240\,\text{cm}^2\).

- Welches Maß des Tores musst du zuerst berechnen, um die Länge der Diagonale bestimmen zu können? - Wie hängen Breite, Höhe und Flächeninhalt bei einem Rechteck zusammen? - Wenn du Breite und Höhe kennst, wie findest du dann die Länge der Schrägverbindung?

1. Berechnung der Höhe \(h\) des Tores aus dem Flächeninhalt und der Breite: \(h = \frac{A}{b} = \frac{1{,}92}{1{,}20} = 1{,}60\,\text{m}\). 2. Berechnung der Länge der diagonalen Strebe \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{1{,}20^2 + 1{,}60^2} = \sqrt{1{,}44 + 2{,}56} = \sqrt{4{,}00} = 2{,}00\,\text{m}\).

Die diagonale Strebe muss \(2{,}00\,\text{m}\) lang sein.

- Bringe zuerst alle drei Seitenlängen in dieselbe Einheit. - Welche Seite ist danach die längste, und welchen Quadratvergleich kannst du durchführen? - Wenn sich ein rechter Winkel ergibt: Welche beiden Seiten stehen dann senkrecht aufeinander und können als Grundseite und Höhe dienen?

1. Zuerst werden die Einheiten angeglichen: \(c=250\,\text{cm}=2{,}5\,\text{m}\). 2. Es gilt \(0{,}7^2+2{,}4^2=0{,}49+5{,}76=6{,}25\) und \(2{,}5^2=6{,}25\). 3. Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck daher rechtwinklig; der rechte Winkel liegt bei \(C\). 4. Die Katheten sind \(a\) und \(b\). Somit ist \(A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot0{,}7\cdot2{,}4=0{,}84\,\text{m}^2\).

Das Dreieck ist nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras rechtwinklig. Sein Flächeninhalt beträgt \(0{,}84\,\text{m}^2\), also \(8400\,\text{cm}^2\).

- In einem gleichschenkligen Dreieck halbiert die Höhe auf die Basis diese genau. - Kannst du ein rechtwinkliges Teildreieck finden, um die Höhe zu berechnen? - Welche Maße benötigst du für die Standardformel des Flächeninhalts eines Dreiecks?

1. Einheiten angleichen: \(a = b = 3{,}7\,\text{cm}\). 2. Höhe \(h_c\) im gleichschenkligen Dreieck bestimmen: Die Höhe teilt die Basis \(c\) in zwei Hälften zu je \(1{,}2\,\text{cm}\). 3. Satz des Pythagoras im Teildreieck anwenden: \(h_c^2 + 1{,}2^2 = 3{,}7^2 \implies h_c^2 + 1{,}44 = 13{,}69\). 4. Höhe berechnen: \(h_c^2 = 12{,}25 \implies h_c = \sqrt{12{,}25} = 3{,}5\,\text{cm}\). 5. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 2{,}4\,\text{cm} \cdot 3{,}5\,\text{cm} = 4{,}2\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(4{,}2\,\text{cm}^2\).

- Untersuche zuerst, ob eines der Dreiecke rechtwinklig ist. - Wenn ein Dreieck nicht rechtwinklig ist, ist es vielleicht gleichschenklig? - Berechne für beide Fälle die notwendige Höhe, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

1. Dreieck 1 prüfen: \(15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521\). Da \(39^2 = 1521\), ist es rechtwinklig. 2. Flächeninhalt Dreieck 1: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 36 = 270\,\text{cm}^2\). 3. Dreieck 2 ist gleichschenklig. Höhe \(h\) auf die Basis \(14\,\text{cm}\) berechnen: \(h^2 + 7^2 = 25^2 \implies h^2 + 49 = 625\). 4. Höhe berechnen: \(h^2 = 576 \implies h = 24\,\text{cm}\). 5. Flächeninhalt Dreieck 2: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: \(270\,\text{cm}^2 > 168\,\text{cm}^2\). Dreieck 1 hat den größeren Flächeninhalt.

Dreieck 1 hat einen Flächeninhalt von \(270\,\text{cm}^2\), Dreieck 2 einen von \(168\,\text{cm}^2\). Somit besitzt Dreieck 1 die größere Fläche.

- Wie hängt die Diagonale des Quadrats mit dem Kreis zusammen, wenn die Ecken auf dem Rand liegen? - Wenn du die Diagonale kennst, wie kannst du dann den Flächeninhalt des Quadrats berechnen? - Musst du die Seitenlänge \(a\) einzeln ausrechnen, um den Flächeninhalt \(a^2\) zu bestimmen?

1. Die Diagonale \(d\) verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte des Quadrats und verläuft durch den Kreismittelpunkt; sie entspricht daher dem Durchmesser des Kreises. 2. Somit gilt: \(d = 2r = 2 \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). 3. Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke mit der Seitenlänge \(a\) als Katheten. 4. Nach dem Satz von Pythagoras gilt: \(a^2 + a^2 = d^2\). 5. Einsetzen des Wertes für \(d\): \(2a^2 = 10^2 = 100\). 6. Der Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats ist definiert als \(A = a^2\). 7. Umstellen der Gleichung nach \(a^2\): \(a^2 = \frac{100}{2} = 50\). 8. Der Flächeninhalt beträgt somit \(50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt \(50\,\text{cm}^2\).

- Was weißt du über die Seitenverhältnisse in einem halben gleichseitigen Dreieck? - Teile die Dreiecke durch ihre Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke auf. - Berechne für jedes Dreieck separat die Grundseite und die Höhe.

1. Dreieck 1 (\(\alpha = 30^\circ\)): Da es gleichschenklig ist, sind die Winkel \(30^\circ, 30^\circ, 120^\circ\). Die Höhe \(h_1\) auf die Basis bildet mit einem Schenkel ein rechtwinkliges Dreieck mit \(30^\circ\) und \(60^\circ\). Die Seite gegenüber von \(30^\circ\) ist halb so lang wie die Hypotenuse: \(h_1 = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm}\). 2. Die halbe Basis \(x_1\) berechnet sich zu \(x_1 = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\,\text{cm}\). Die Basis ist \(b_1 = 10\sqrt{3}\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalt \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot b_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3} \approx 43{,}30\,\text{cm}^2\). 4. Dreieck 2 (\(\alpha = 60^\circ\)): Das Dreieck ist gleichseitig (\(60^\circ, 60^\circ, 60^\circ\)), also \(b_2 = 10\,\text{cm}\). 5. Die Höhe \(h_2\) berechnet sich zu \(h_2 = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\,\text{cm}\). 6. Flächeninhalt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot b_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}30\,\text{cm}^2\). 7. Ergebnis: Beide Dreiecke haben exakt denselben Flächeninhalt.

Beide Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt von \(25\sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 43{,}30\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Beziehung zwischen den beiden Katheten mit einer Variablen ausdrücken? - Setze diesen Ausdruck in die bekannte Formel für rechtwinklige Dreiecke ein. - Vergiss beim Quadrieren von Ausdrücken wie \((2a)\) oder \(5\sqrt{5}\) nicht, alle Faktoren zu berücksichtigen.

1. Aufstellen der Beziehung zwischen den Seiten: Sei \(a\) die Länge der ersten Kathete. Dann gilt für die zweite Kathete \(b = 2a\). 2. Einsetzen in den Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) führt zu \(a^2 + (2a)^2 = (5\sqrt{5})^2\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(a^2 + 4a^2 = 25 \cdot 5\), also \(5a^2 = 125\). 4. Lösen nach \(a\): Division durch 5 ergibt \(a^2 = 25\), woraus durch Wurzelziehen \(a = 5\,\text{cm}\) folgt (da Längen positiv sind). 5. Berechnung von \(b\): Da \(b = 2a\), ergibt sich \(b = 2 \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\).

Die Katheten sind \(a = 5\,\text{cm}\) und \(b = 10\,\text{cm}\) lang.

- Wie lässt sich der Flächeninhalt eines Quadrats direkt aus seiner Diagonale bestimmen? - Welche Rechteckseite folgt anschließend aus dem gemeinsamen Flächeninhalt? - Welche rechtwinklige Teilfigur verbindet die beiden Rechteckseiten mit der gesuchten Diagonale?

1. Der Flächeninhalt des Quadrats ist \(A=\frac{d_Q^2}{2}=\frac{10^2}{2}=50\,\text{cm}^2\). 2. Für das flächengleiche Rechteck gilt daher \(4\cdot b_R=50\), also \(b_R=12{,}5\,\text{cm}\). 3. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(d_R=\sqrt{4^2+12{,}5^2}=\sqrt{172{,}25}=\frac{\sqrt{689}}{2}\,\text{cm}\). 4. Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt sich \(d_R\approx13{,}12\,\text{cm}\).

\(d_R=\frac{\sqrt{689}}{2}\,\text{cm}\approx13{,}12\,\text{cm}\)

- Welche Information kannst du direkt aus dem Flächeninhalt und der Basis gewinnen? - Erinnere dich daran, dass die Höhe die Basis in zwei gleich große Teile teilt. - Welche drei Seiten bilden in der Figur ein rechtwinkliges Dreieck?

1. Berechnung der Höhe \(h\) aus der Flächenformel: \(48 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h \Rightarrow 48 = 6 \cdot h \Rightarrow h = 8\,\text{m}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung der Schenkellänge \(s\): \(s^2 = h^2 + (\frac{12}{2})^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\). 3. Bestimmung der Schenkellänge: \(s = \sqrt{100} = 10\,\text{m}\). 4. Berechnung des Umfangs: \(U = c + 2s = 12 + 2 \cdot 10 = 32\,\text{m}\).

Die Länge der Dachbalken beträgt jeweils \(10\,\text{m}\) und der Umfang der Giebelfläche ist \(32\,\text{m}\).

- Wie kannst du die Länge der Schenkel herausfinden, wenn du den gesamten Umfang und die Basis kennst? - Was musst du zuerst berechnen, um den Flächeninhalt bestimmen zu können? - Überlege dir einen Plan, welche Zwischengrößen nacheinander berechnet werden müssen.

1. Berechnung der Schenkellänge \(s\) aus dem Umfang: \(36 = 10 + 2s \Rightarrow 26 = 2s \Rightarrow s = 13\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h_c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(h_c^2 = s^2 - (\frac{c}{2})^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\). 3. Bestimmung der Höhe: \(h_c = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: \(60\,\text{cm}^2 > 50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\) und ist somit größer als \(50\,\text{cm}^2\).

- Welche Seite gehört zu beiden Dreiecken? - Kannst du die Länge dieser gemeinsamen Seite zuerst bestimmen? - Überlege, welche Seite in den jeweiligen Dreiecken die längste ist (Hypotenuse). - Nutze den Satz des Pythagoras für jedes Dreieck nacheinander.

1. Berechnung der gemeinsamen Kathete \(k\) im ersten Dreieck mithilfe des Satzes des Pythagoras: \(k^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\). Daraus folgt \(k = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Hypotenuse \(x\) im zweiten Dreieck unter Verwendung von \(k\): \(x^2 = k^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\). 3. Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\).

Die Hypotenuse des zweiten Dreiecks ist \(25\,\text{cm}\) lang.

- Zerlege die Figur gedanklich in ihre zwei Grundformen. - Was musst du wissen, um den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen? - Berechne zuerst die Länge der gemeinsamen Trennlinie der beiden Teilflächen. - Wie hängen die Grundseite und die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten zusammen?

1. Berechnung der gemeinsamen Seite \(s\) im ersten Dreieck: \(s^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576\). Somit ist \(s = \sqrt{576} = 24\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Dreiecks: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des zweiten Dreiecks mit der Kathete \(s = 24\,\text{m}\) und der Kathete \(10\,\text{m}\): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120\,\text{m}^2\). 4. Addition der Teilflächen: \(A_{ges} = 84 + 120 = 204\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt des Grundstücks beträgt \(204\,\text{m}^2\).

- Welche drei Strecken bilden das rechtwinklige Dreieck in der Grundfläche? - Welche der dort berechneten Strecken taucht anschließend im zweiten rechtwinkligen Dreieck wieder auf? - Welche Rolle spielt die Raumdiagonale im zweiten Dreieck?

1. In der Grundfläche gilt \(d_G^2=12^2+9^2=225\). Daher ist \(d_G=15\,\text{cm}\). 2. Im zweiten rechtwinkligen Dreieck ist \(D\) die Hypotenuse. Somit gilt \(h^2=D^2-d_G^2=17^2-15^2=64\). 3. Daher ist \(h=8\,\text{cm}\).

\(h=8\,\text{cm}\)

- Skizziere die Situation: Ein Kreis in einem Quadrat. - Welches Maß des Quadrats entspricht dem Durchmesser des Kreises? - Wie kannst du von der Fläche des Quadrats auf seine Diagonale schließen? - Welche Formel benötigst du für den Flächeninhalt eines Kreises?

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\): Aus \(A_{\text{Quadrat}} = a^2 = 18\,\text{m}^2\) folgt \(a = \sqrt{18} \approx 4{,}24\,\text{m}\). 2. Berechnung der Diagonalen \(d\): Mit dem Satz des Pythagoras gilt \(d^2 = a^2 + a^2 = 2 \cdot 18 = 36\). Daraus folgt \(d = \sqrt{36} = 6{,}00\,\text{m}\). 3. Bestimmung des Kreisradius \(r\): Da der Kreis die Seiten berührt, entspricht sein Durchmesser der Seitenlänge \(a\). Also ist \(r = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{18}}{2} \approx 2{,}12\,\text{m}\). 4. Berechnung des Kreisflächeninhalts \(A_{\text{Kreis}}\): \(A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 = \pi\left(\frac{\sqrt{18}}{2}\right)^2 = \pi\frac{18}{4} = 4{,}5\pi \approx 14{,}14\,\text{m}^2\).

Die Diagonale des Quadrats ist \(6{,}00\,\text{m}\) lang. Der Flächeninhalt des Blumenrads beträgt ca. \(14{,}14\,\text{m}^2\).

- Überlege dir, wie die längste Strecke innerhalb eines Quaders verläuft. - Welche drei Kantenlängen bilden zusammen mit der Raumdiagonalen eine mathematische Beziehung? - Kannst du eine Formel aufstellen, in der die Höhe die einzige Unbekannte ist?

1. Anwendung des Satzes von Pythagoras im Raum für die Raumdiagonale \(e\): \(e^2 = l^2 + b^2 + h^2\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte \(e = 130\,\text{cm}\), \(l = 40\,\text{cm}\) und \(b = 30\,\text{cm}\): \(130^2 = 40^2 + 30^2 + h^2\). 3. Berechnen der Quadrate: \(16\,900 = 1600 + 900 + h^2\), also \(16\,900 = 2500 + h^2\). 4. Umstellen nach \(h^2\): \(h^2 = 16\,900 - 2500 = 14\,400\). 5. Ziehen der Quadratwurzel: \(h = \sqrt{14\,400} = 120\,\text{cm}\).

Der Karton muss mindestens \(120\,\text{cm}\) hoch sein.

- Was bedeutet „quadratische Grundfläche“ für die Variablen in deiner Formel? - Stelle die Formel für die Raumdiagonale so auf, dass nur noch eine Unbekannte übrig bleibt. - Achte darauf, dass in der Formel zwei Seitenlängen identisch sind.

1. Da die Grundfläche quadratisch ist, gilt für Länge und Breite \(l = b = a\). 2. Die Formel für die Raumdiagonale lautet \(e^2 = a^2 + a^2 + h^2\), vereinfacht \(e^2 = 2a^2 + h^2\). 3. Einsetzen der Werte \(e = 9\) und \(h = 7\): \(9^2 = 2a^2 + 7^2\). 4. Quadrieren der Zahlen: \(81 = 2a^2 + 49\). 5. Umstellen nach \(a^2\): \(2a^2 = 81 - 49 = 32\), also \(a^2 = 16\). 6. Wurzel ziehen: \(a = 4\,\text{cm}\).

Die Kantenlänge \(a\) der quadratischen Grundfläche beträgt \(4\,\text{cm}\).

- Welche Besonderheit weisen die Kanten eines Würfels auf? - Wie vereinfacht sich die Formel für die Raumdiagonale, wenn alle Kanten gleich lang sind? - Kannst du den Faktor bestimmen, ohne die konkreten Zahlenwerte zu nutzen, indem du nur mit dem Buchstaben \(a\) rechnest?

1. Für einen Würfel gilt \(e^2 = 3a^2\). Einsetzen von \(e = 12\): \(144 = 3a^2\). 2. Berechnen von \(a^2 = \frac{144}{3} = 48\). Damit ist \(a = \sqrt{48}\,\text{cm} = 4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}\). 3. Die Flächendiagonale \(d\) berechnet sich über \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). 4. Einsetzen von \(a^2 = 48\): \(d = \sqrt{2 \cdot 48}\,\text{cm} = \sqrt{96}\,\text{cm} = 4\sqrt{6}\,\text{cm} \approx 9{,}80\,\text{cm}\). 5. Das Verhältnis der Raumdiagonale zur Kantenlänge ist \(\frac{e}{a} = \frac{\sqrt{3a^2}}{a} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}\). b) Die Flächendiagonale beträgt \(4\sqrt{6}\,\text{cm} \approx 9{,}80\,\text{cm}\). c) Die Raumdiagonale ist \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)-mal so lang wie die Kantenlänge.

- Was ist die längstmögliche Strecke innerhalb eines Quaders? - Kannst du die Diagonale berechnen, indem du den Satz des Pythagoras nacheinander auf die Grundfläche und dann in die Höhe anwendest? - Skizziere den Quader und die Lage des Stabes.

1. Identifikation der Maße des Quaders: \(a = 20\,\text{cm}\), \(b = 30\,\text{cm}\), \(c = 50\,\text{cm}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras im Raum zur Berechnung der Raumdiagonalen \(d\): \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{20^2 + 30^2 + 50^2} = \sqrt{400 + 900 + 2500} = \sqrt{3800}\). 4. Berechnung der Länge: \(d \approx 61{,}6\,\text{cm}\). 5. Vergleich mit der Stablänge: Da \(61{,}6\,\text{cm} < 62\,\text{cm}\) ist, ist der Karton selbst an der längsten Stelle zu kurz.

Nein, der Stab passt nicht in den Karton. Die Raumdiagonale des Kartons beträgt nur ca. \(61{,}6\,\text{cm}\), was kürzer ist als der \(62\,\text{cm}\) lange Stab.

- Zerlege das Trapez in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke. - Wie lang ist die Strecke auf der Grundseite von einer unteren Ecke bis zum gegenüberliegenden Höhenfußpunkt? - Suche nach einem rechtwinkligen Dreieck, in dem die Diagonale die längste Seite (Hypotenuse) darstellt.

1. Berechnung des Abschnitts \(x\) auf der Grundseite \(a\), der durch das Fällen des Lots von der Ecke der Seite \(c\) entsteht: \(x = \frac{a - c}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Basis \(b_{diag}\) des rechtwinkligen Dreiecks, in dem die Diagonale \(e\) die Hypotenuse bildet: \(b_{diag} = c + x = 6 + 3 = 9\,\text{cm}\) (oder \(a - x = 12 - 3 = 9\,\text{cm}\)). 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras mit der Höhe \(h = 4\,\text{cm}\) und der Basis \(9\,\text{cm}\): \(e^2 = 9^2 + 4^2\). 4. Berechnung der Werte: \(e^2 = 81 + 16 = 97\). 5. Berechnung der Länge: \(e = \sqrt{97} \approx 9{,}85\,\text{cm}\).

Die Diagonale des Trapezes ist etwa \(9{,}85\,\text{cm}\) lang.

- Setze die bekannten Werte in die Abstandsformel ein. Wie kannst du die Wurzel auf einer Seite der Gleichung auflösen? - Denke daran, dass beim Lösen einer Gleichung der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen entstehen können. - Gibt es vielleicht zwei verschiedene Punkte auf der Höhe \(y = 5\), die denselben Abstand zu \(A\) haben?

1. Anwendung der Abstandsformel: \(5 = \sqrt{(k - 1)^2 + (5 - 2)^2}\). 2. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(25 = (k - 1)^2 + 3^2\). 3. Vereinfachen: \(25 = (k - 1)^2 + 9\). 4. Subtraktion von 9: \(16 = (k - 1)^2\). 5. Ziehen der Wurzel (beachte beide Fälle): Fall 1: \(k - 1 = 4 \implies k_1 = 5\). Fall 2: \(k - 1 = -4 \implies k_2 = -3\). 6. Die möglichen Werte für \(k\) sind \(5\) und \(-3\).

Die möglichen Werte für \(k\) sind \(k_1 = 5\) und \(k_2 = -3\).

- Berechne zuerst die unbekannte Seite im ursprünglichen Zustand. - Wie lang ist die neue Hypotenuse nach der Änderung? - Führe die Berechnung für das veränderte Dreieck erneut durch und vergleiche die Ergebnisse.

1. Berechnung der Kathete \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung der neuen Hypotenuse: \(c' = 29\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 35\,\text{cm}\). 3. Berechnung der neuen Kathete \(b'\): \(b' = \sqrt{35^2 - 21^2} = \sqrt{1225 - 441} = \sqrt{784} = 28\,\text{cm}\). 4. Ermittlung der Differenz: \(28\,\text{cm} - 20\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Die Kathete \(b\) vergrößert sich um \(8\,\text{cm}\).

1. \(b = 20\,\text{cm}\) 2. Die Kathete \(b\) vergrößert sich um \(8\,\text{cm}\).

- Stelle dir die Positionen in einem Koordinatensystem vor, wobei der Leuchtturm im Nullpunkt liegt. - Wo befinden sich die beiden Boote nach zwei Stunden? Achte darauf, dass eines der Boote bereits einen Startvorteil im Norden hatte. - Wie groß ist der horizontale und der vertikale Abstand zwischen den Endpunkten der Boote? - Kannst du aus diesen Abständen ein rechtwinkliges Dreieck bilden, um die Diagonale zu berechnen?

1. Bestimmung der Position des Segelboots nach \(2\) Stunden: Die Ost-Koordinate beträgt \(12\,\text{km/h} \cdot 2\,\text{h} = 24\,\text{km}\). Die Nord-Koordinate bleibt konstant bei \(15\,\text{km}\). 2. Bestimmung der Position des Motorboots nach \(2\) Stunden: Die Nord-Koordinate beträgt \(4\,\text{km/h} \cdot 2\,\text{h} = 8\,\text{km}\). Die Ost-Koordinate ist \(0\,\text{km}\). 3. Berechnung der Differenzen der Koordinaten: In Ost-Richtung beträgt der Unterschied \(\Delta x = 24\,\text{km} - 0\,\text{km} = 24\,\text{km}\). In Nord-Richtung beträgt der Unterschied \(\Delta y = 15\,\text{km} - 8\,\text{km} = 7\,\text{km}\). 4. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung des Abstands \(d\): \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). 5. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625}\). 6. Ergebnis: \(d = 25\,\text{km}\).

Der Abstand zwischen den beiden Booten beträgt nach \(2\) Stunden genau \(25\,\text{km}\).

- Beginne damit, eine Skizze anzufertigen und die bekannten Längen einzutragen. - Nutze die Symmetrie des gleichschenkligen Trapezes, um die Länge der Katheten in den äußeren Teildreiecken zu bestimmen. - Überlege, welche Seiten des Dreiecks \(ABC\) du bereits berechnet hast und welche noch fehlen. - Wenn die Quadratsumme zweier Seiten genau das Quadrat der dritten Seite ergibt, was sagt das über den Winkel zwischen den ersten beiden Seiten aus?

1. Berechnung der Schenkellänge \(b\): Der überstehende Abschnitt auf der Grundseite ist \(x = \frac{a - c}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9\,\text{cm}\). Mithilfe von \(h = 12\,\text{cm}\) folgt: \(b = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}\). Da das Trapez gleichschenklig ist, gilt \(d = b = 15\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Diagonale \(e\): Die Diagonale ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(h = 12\,\text{cm}\) und \(a - x = 25 - 9 = 16\,\text{cm}\). Es ergibt sich: \(e = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\,\text{cm}\). 3. Rechtwinkligkeit von \(\triangle ABC\): Die Seitenlängen sind \(a = 25\,\text{cm}\), \(b = 15\,\text{cm}\) und \(e = 20\,\text{cm}\). Es gilt zu prüfen: \(15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\). Da auch \(25^2 = 625\) ist, gilt \(b^2 + e^2 = a^2\). 4. Ergebnis: Das Dreieck \(ABC\) ist rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt der längsten Seite (Hypotenuse \(a\)) gegenüber, also am Punkt \(C\).

a) \(b = d = 15\,\text{cm}\); \(e = 20\,\text{cm}\) b) Ja, das Dreieck \(ABC\) ist rechtwinklig, da \(15^2 + 20^2 = 25^2\) erfüllt ist. Der rechte Winkel liegt am Punkt \(C\).

- Welche gemeinsame Folgerung über \(a^2+b^2\) erhältst du aus den beiden Voraussetzungen? - Wie hängen \(p\), \(q\) und die ganze Seite \(c\) zusammen? - Welche Aussage erlaubt dir, aus einer Gleichung zwischen den drei Seitenquadraten auf einen rechten Winkel zu schließen?

1. Aus den beiden Voraussetzungen folgt \(a^2+b^2=p\cdot c+q\cdot c\). 2. Klammere \(c\) aus: \(a^2+b^2=c(p+q)\). 3. Da \(p\) und \(q\) die beiden Abschnitte der Seite \(c\) sind, gilt \(p+q=c\). 4. Damit folgt \(a^2+b^2=c^2\). 5. Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse \(c\). Der rechte Winkel liegt daher bei \(C\).

Aus den beiden Voraussetzungen folgt \(a^2+b^2=c(p+q)\). Wegen \(p+q=c\) erhält man \(a^2+b^2=c^2\). Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck rechtwinklig bei \(C\).

- Welche Beziehung verknüpft eine Kathete mit ihrem direkt darunter liegenden Hypotenusenabschnitt und der gesamten Hypotenuse? - Wenn du die Gesamtlänge der Hypotenuse und einen ihrer Abschnitte kennst, wie findest du den anderen? - Überlege, welche verschiedenen Sätze dir zur Verfügung stehen, um die zweite Kathete und die Höhe zu berechnen. Gibt es vielleicht Kontrollmöglichkeiten?

1. Berechnung der Hypotenuse \(c\): Durch Anwendung des Kathetensatzes \(b^2 = p \cdot c\) ergibt sich \(c = \frac{b^2}{p} = \frac{12^2}{9{,}6} = \frac{144}{9{,}6} = 15\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Abschnitts \(q\): Da sich die Hypotenuse aus den Abschnitten \(p\) und \(q\) zusammensetzt, gilt \(q = c - p = 15 - 9{,}6 = 5{,}4\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Kathete \(a\): Durch Anwendung des Kathetensatzes \(a^2 = q \cdot c = 5{,}4 \cdot 15 = 81\) folgt \(a = \sqrt{81} = 9\,\text{cm}\). Alternativ kann dies über den Satz des Pythagoras im Gesamtdreieck berechnet werden. 4. Berechnung der Höhe \(h_c\): Nach dem Höhensatz gilt \(h_c^2 = p \cdot q = 9{,}6 \cdot 5{,}4 = 51{,}84\), woraus \(h_c = \sqrt{51{,}84} = 7{,}2\,\text{cm}\) folgt.

a) \(c = 15\,\text{cm}\) b) \(q = 5{,}4\,\text{cm}\), \(a = 9\,\text{cm}\) c) \(h_c = 7{,}2\,\text{cm}\)

- Welche Seiten bilden mit \(a\) das rechtwinklige Teildreieck? - Wie erhältst du die gesamte Seite \(c\) aus den beiden Abschnitten \(p\) und \(q\)? - Vergleiche für b) die beiden Seiten der angegebenen Beziehung, ohne aus ihr schon eine Schlussfolgerung zu ziehen. - Welche Beziehung zwischen \(h_c\), \(p\) und \(q\) kann die Rechtwinkligkeit des Gesamtdreiecks begründen?

1. Im rechtwinkligen Teildreieck mit den Katheten \(h_c\) und \(p\) gilt \(a^2=h_c^2+p^2=4^2+8^2=80\). Daher ist \(a=\sqrt{80}\,\text{cm}=4\sqrt5\,\text{cm}\approx8{,}94\,\text{cm}\). 2. Die Seite \(c\) hat die Länge \(c=p+q=8\,\text{cm}+2\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). Damit ist \(p\cdot c=8\cdot10=80\). Also gilt tatsächlich \(a^2=p\cdot c\). 3. Für die Höhe gilt \(h_c^2=4^2=16\) und \(p\cdot q=8\cdot2=16\). Somit ist \(h_c^2=p\cdot q\) erfüllt. 4. Nach der Umkehrung des Höhensatzes ist das Dreieck daher rechtwinklig bei \(C\).

a) \(a=4\sqrt5\,\text{cm}\approx8{,}94\,\text{cm}\) b) Ja. Es gilt \(a^2=80\) und \(p\cdot c=80\). c) Ja. Wegen \(h_c^2=p\cdot q\) ist das Dreieck nach der Umkehrung des Höhensatzes rechtwinklig bei \(C\).

- Welche besondere Winkeleigenschaft hat ein Dreieck über dem Durchmesser eines Thaleskreises? - Welche beiden Seitenlängen kennst du dadurch in einem rechtwinkligen Dreieck? - Welche Winkelfunktion verbindet beim Winkel \(\beta\) die gegebene Kathete mit der Hypotenuse?

1. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel am Umfang über dem Durchmesser ein rechter Winkel. 2. Für die zweite Kathete gilt \(b=\sqrt{10^2-4^2}\,\text{cm}=\sqrt{84}\,\text{cm}=2\sqrt{21}\,\text{cm}\approx9{,}17\,\text{cm}\). 3. Beim Winkel \(\beta\) ist die Kathete mit \(4\,\text{cm}\) die Ankathete und der Durchmesser die Hypotenuse. Daher gilt \(\cos(\beta)=\frac{4}{10}=0{,}4\). 4. Somit ist \(\beta=\arccos(0{,}4)\approx66{,}4^\circ\).

\(b\approx9{,}17\,\text{cm}\) \(\beta\approx66{,}4^\circ\)

- Welche besondere Winkeleigenschaft hat ein Dreieck über dem Durchmesser eines Thaleskreises? - Welche Seite ist dadurch die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks? - Ordne zum Winkel \(40^\circ\) Gegenkathete und Ankathete zu, bevor du die passenden Winkelfunktionen auswählst.

1. Da eine Seite des Dreiecks der Durchmesser des Kreises ist und der dritte Eckpunkt auf dem Kreis liegt, ist das Dreieck nach dem Satz des Thales rechtwinklig. Die Hypotenuse hat die Länge \(8\,\text{cm}\). 2. Die Kathete \(a\) ist die Gegenkathete zum Winkel \(40^\circ\). Daher ist \(a=8\,\text{cm}\cdot\sin(40^\circ)\approx5{,}14\,\text{cm}\). 3. Die Kathete \(b\) ist die Ankathete zum Winkel \(40^\circ\). Daher ist \(b=8\,\text{cm}\cdot\cos(40^\circ)\approx6{,}13\,\text{cm}\).

\(a\approx5{,}14\,\text{cm}\) \(b\approx6{,}13\,\text{cm}\)

- Welche der Größen \(p\), \(q\) und \(h\) liegen im Teildreieck mit der bekannten Kathete \(b\)? - Ordne dort zum Winkel \(\alpha\) Ankathete und Gegenkathete zu. - Wie kannst du anschließend die ganze Hypotenuse \(c\) und daraus den zweiten Abschnitt bestimmen?

1. Im Teildreieck \(ADC\) gilt \(q=b\cos(\alpha)=6\,\text{cm}\cdot\cos(40^\circ)\approx4{,}5963\,\text{cm}\). 2. Für die Höhe gilt \(h=b\sin(\alpha)=6\,\text{cm}\cdot\sin(40^\circ)\approx3{,}8567\,\text{cm}\). 3. Im Gesamtdreieck gilt \(c=\frac{b}{\cos(\alpha)}=\frac{6\,\text{cm}}{\cos(40^\circ)}\approx7{,}8324\,\text{cm}\). 4. Mit ungerundeten Zwischenergebnissen folgt \(p=c-q\approx3{,}2362\,\text{cm}\). 5. Gerundet auf zwei Nachkommastellen erhält man \(p\approx3{,}24\,\text{cm}\), \(q\approx4{,}60\,\text{cm}\) und \(h\approx3{,}86\,\text{cm}\).

\(p\approx3{,}24\,\text{cm}\), \(q\approx4{,}60\,\text{cm}\), \(h\approx3{,}86\,\text{cm}\)

- Welchen zweiten spitzen Winkel kannst du zuerst bestimmen? - Welche Größen liegen im rechtwinkligen Teildreieck mit der bekannten Kathete \(a\)? - Wie kannst du nach \(p\) und \(h\) den noch fehlenden Hypotenusenabschnitt bestimmen?

1. Der zweite spitze Winkel ist \(\beta=90^\circ-35^\circ=55^\circ\). 2. Im Teildreieck \(BDC\) gilt \(p=a\cos(\beta)=9\,\text{cm}\cdot\cos(55^\circ)\approx5{,}1622\,\text{cm}\). 3. Für die Höhe gilt \(h=a\sin(\beta)=9\,\text{cm}\cdot\sin(55^\circ)\approx7{,}3724\,\text{cm}\). 4. Mit ungerundeten Zwischenergebnissen liefert der Höhensatz \(q=\frac{h^2}{p}\approx10{,}5288\,\text{cm}\). 5. Gerundet auf zwei Nachkommastellen erhält man \(p\approx5{,}16\,\text{cm}\), \(q\approx10{,}53\,\text{cm}\) und \(h\approx7{,}37\,\text{cm}\).

\(p\approx5{,}16\,\text{cm}\), \(q\approx10{,}53\,\text{cm}\), \(h\approx7{,}37\,\text{cm}\)

- Welche Kathete kannst du aus der Hypotenuse und dem Winkel \(\beta\) bestimmen? - Wie verbindet der Kathetensatz diese Kathete mit ihrem Hypotenusenabschnitt? - Wie hängen \(p\) und \(q\) mit der ganzen Hypotenuse zusammen?

1. Im Gesamtdreieck ist \(a=c\cos(\beta)=15\,\text{cm}\cdot\cos(50^\circ)\approx9{,}6418\,\text{cm}\). 2. Mit dem Kathetensatz folgt \(p=\frac{a^2}{c}=15\,\text{cm}\cdot\cos^2(50^\circ)\approx6{,}1976\,\text{cm}\). 3. Daher ist \(q=c-p\approx8{,}8024\,\text{cm}\). 4. Mit ungerundeten Zwischenergebnissen ergibt der Höhensatz \(h=\sqrt{pq}\approx7{,}3861\,\text{cm}\). 5. Gerundet erhält man \(p\approx6{,}20\,\text{cm}\), \(q\approx8{,}80\,\text{cm}\) und \(h\approx7{,}39\,\text{cm}\).

\(p\approx6{,}20\,\text{cm}\), \(q\approx8{,}80\,\text{cm}\), \(h\approx7{,}39\,\text{cm}\)

- Welche Beziehung liefert aus den beiden Katheten die Hypotenuse? - Welche Winkelfunktion verwendet nur Gegenkathete und Ankathete? - Wie hängen die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen?

1. Mit dem Satz des Pythagoras gilt \(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+7^2}\,\text{cm}=\sqrt{65}\,\text{cm}\approx8{,}06\,\text{cm}\). 2. Für \(\alpha\) gilt \(\tan(\alpha)=\frac{a}{b}=\frac47\). Damit ist \(\alpha=\arctan\left(\frac47\right)\approx29{,}7^\circ\). 3. Der zweite spitze Winkel ist \(\beta=90^\circ-\alpha\approx60{,}3^\circ\).

\(c=\sqrt{65}\,\text{cm}\approx8{,}06\,\text{cm}\), \(\alpha\approx29{,}7^\circ\), \(\beta\approx60{,}3^\circ\)

- Wie kannst du das Trapez durch eine zusätzliche Höhe in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen? - Welcher Teil der unteren Grundseite ist genauso lang wie \(BC\)? - Welche Seite des verbleibenden rechtwinkligen Dreiecks musst du noch bestimmen?

1. Fällt man von \(C\) das Lot auf \(AD\) mit Fußpunkt \(E\), entsteht rechts das rechtwinklige Dreieck \(CED\). 2. Wegen des Rechtecks \(ABCE\) gilt \(AE=BC=6\,\text{cm}\). 3. Im Dreieck \(CED\) ist \(ED\) die Ankathete zum Winkel \(50^\circ\). Daher ist \(ED=8\,\text{cm}\cdot\cos(50^\circ)\approx5{,}14\,\text{cm}\). 4. Somit gilt \(x=AE+ED=6\,\text{cm}+8\,\text{cm}\cdot\cos(50^\circ)\approx11{,}14\,\text{cm}\).

\(x\approx11{,}14\,\text{cm}\)

- Bestimme zuerst die Länge der dritten Seite des Dreiecks. - Überlege dir zwei verschiedene Wege, wie man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen kann.

1. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c^2 = a^2 + b^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\), also \(c = 10\,\text{cm}\). 2. Die Fläche des Dreiecks lässt sich auf zwei Arten berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\) oder \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\). 3. Gleichsetzen: \(a \cdot b = c \cdot h_c \implies 8 \cdot 6 = 10 \cdot h_c\). 4. Auflösen nach \(h_c\): \(h_c = \frac{48}{10} = 4{,}8\,\text{cm}\).

Die Höhe \(h_c\) ist \(4{,}8\,\text{cm}\) lang.

- Welche Länge kannst du zuerst im linken rechtwinkligen Teildreieck bestimmen? - Welche beiden Seiten des rechten Teildreiecks sind für den Winkel \(\alpha\) Gegenkathete und Ankathete? - Welche Winkelfunktion verwendet genau diese beiden Seiten?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) gilt \(AC=\sqrt{13^2-5^2}\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(ADC\) ist \(\tan(\alpha)=\frac{CD}{AC}=\frac{9}{12}=0{,}75\). 3. Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}75)\approx36{,}87^\circ\).

\(\alpha\approx36{,}87^\circ\)

- Welche Teilstrecke auf \(BC\) kannst du aus dem Winkel \(15^\circ\) bestimmen? - Wie groß ist der gesamte Winkel \(\angle CAB\)? - Wie erhältst du aus der ganzen Strecke \(CB\) und der Teilstrecke \(CD\) die gesuchte Strecke \(BD\)?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ADC\) gilt \(CD=12\,\text{cm}\cdot\tan(15^\circ)\). 2. Der gesamte Winkel bei \(A\) ist \(\angle CAB=15^\circ+30^\circ=45^\circ\). 3. Daher ist im Gesamtdreieck \(CB=12\,\text{cm}\cdot\tan(45^\circ)=12\,\text{cm}\). 4. Mit ungerundeten Zwischenergebnissen folgt \(x=BD=CB-CD=12\,\text{cm}-12\,\text{cm}\cdot\tan(15^\circ)\approx8{,}78\,\text{cm}\).

\(x\approx8{,}78\,\text{cm}\)

- In welche zwei rechtwinkligen Dreiecke zerlegt die Höhe die Figur? - Welche Basisstrecke gehört jeweils als Gegenkathete zu den Winkeln bei \(A\)? - Wie setzt sich die ganze Strecke \(BD\) aus den beiden Teilstrecken zusammen?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) gilt \(BC=AC\tan(30^\circ)=\frac{8}{\sqrt3}\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(ADC\) gilt \(CD=AC\tan(45^\circ)=8\,\text{cm}\). 3. Daher ist \(x=BD=BC+CD=\frac{8}{\sqrt3}\,\text{cm}+8\,\text{cm}\approx12{,}62\,\text{cm}\).

\(x\approx12{,}62\,\text{cm}\)

- Als Differenz welcher beiden Winkel bei \(A\) lässt sich \(x\) ausdrücken? - Welche Gegenkatheten gehören in den beiden rechtwinkligen Dreiecken zu diesen Winkeln? - Verwende die Winkelwerte ungerundet, bevor du ihre Differenz bildest.

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ADC\) gilt \(\angle CAD=\arctan\left(\frac{4}{10}\right)\approx21{,}80^\circ\). 2. Für das große Dreieck ist \(CB=CD+DB=12\,\text{cm}\). Daher ist \(\angle CAB=\arctan\left(\frac{12}{10}\right)\approx50{,}19^\circ\). 3. Mit ungerundeten Winkelwerten folgt \(x=\angle CAB-\angle CAD\approx28{,}39^\circ\).

\(x\approx28{,}39^\circ\)

- In einem gleichseitigen Dreieck fallen der Schwerpunkt, der Inkreismittelpunkt und der Umkreismittelpunkt zusammen. - Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden (die hier auch Höhen sind) im Verhältnis 2:1.

1. Im gleichseitigen Dreieck ist die Höhe \(h = \frac{a}{2}\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39\,\text{cm}\). 2. Der Umkreisradius beträgt zwei Drittel der Höhe: \(R = \frac{2}{3}h = \frac{a}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{cm}\). 3. Der Inkreisradius beträgt ein Drittel der Höhe: \(r = \frac{1}{3}h = \frac{a}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\,\text{cm}\).

Der Umkreisradius beträgt \(R \approx 6{,}93\,\text{cm}\) und der Inkreisradius beträgt \(r \approx 3{,}46\,\text{cm}\).

- Welcher Hypotenusenabschnitt liegt an der Kathete \(a\)? - Welche Gleichung verbindet \(a\), \(c\) und diesen Abschnitt? - Wie erhältst du danach den zweiten Hypotenusenabschnitt und daraus die Höhe?

1. Für die Kathete \(a\) gilt der Kathetensatz \(a^2=c\cdot p\). 2. Daher ist \(p=\frac{a^2}{c}=\frac{64}{10}\,\text{cm}=6{,}4\,\text{cm}\). 3. Der andere Hypotenusenabschnitt ist \(q=c-p=10\,\text{cm}-6{,}4\,\text{cm}=3{,}6\,\text{cm}\). 4. Nach dem Höhensatz gilt \(h=\sqrt{pq}=\sqrt{6{,}4\cdot3{,}6}\,\text{cm}=4{,}8\,\text{cm}\).

\(p=6{,}4\,\text{cm}\), \(h=4{,}8\,\text{cm}\)

- Welche Eigenschaft haben die beiden Dreiecke aufgrund der parallelen Linien? - Kannst du eine Seite im kleineren Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnen? - Nutze das Verhältnis entsprechender Seitenlängen in ähnlichen Dreiecken.

1. Da die Strecken \(EF\) und \(BC\) parallel zueinander stehen und beide senkrecht auf \(AC\) stehen, sind die Dreiecke \(ABC\) und \(AEF\) zueinander ähnlich. 2. Im kleinen rechtwinkligen Dreieck \(AEF\) berechnen wir die Kathete \(y\) mithilfe des Satzes des Pythagoras: \(y = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\,\text{LE}\). 3. Über das Ähnlichkeitsverhältnis der beiden Dreiecke gilt für die Kathete \(x\): \(\frac{x}{12} = \frac{AC}{y}\). 4. Die Gesamtlänge \(AC\) beträgt \(6 + 9 = 15\,\text{LE}\). 5. Damit ergibt sich \(x = 12 \cdot \frac{15}{9} = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20\,\text{LE}\).

\(x = 20\,\text{LE}\), \(y = 9\,\text{LE}\)

- Welche Winkelsumme gilt im rechtwinkligen Dreieck aus Wand, Boden und Leiter? - Welche Seitenbeziehung kennst du im halben gleichseitigen Dreieck? - Wie kannst du nach dem Bodenabstand die Höhe bestimmen?

1. Wand und Boden stehen senkrecht aufeinander. Daher ist der dritte Winkel \(180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\). 2. Im \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\)-Dreieck ist die dem \(30^\circ\)-Winkel gegenüberliegende Kathete halb so lang wie die Hypotenuse. Der Abstand des Leiterfußes von der Wand ist daher \(3\,\text{m}\). 3. Für die Höhe gilt \(h=\sqrt{6^2-3^2}\,\text{m}=3\sqrt3\,\text{m}\approx5{,}20\,\text{m}\).

a) \(30^\circ\) b) \(3\,\text{m}\) c) \(h\approx5{,}20\,\text{m}\)

- Welche Beziehung verbindet \(h_c\), \(p\) und \(q\)? - Welcher der beiden Hypotenusenabschnitte liegt an der Kathete \(a\)? - Welche zwei rechtwinkligen Teildreiecke liefern anschließend \(a\) und \(b\)?

1. Nach dem Höhensatz gilt \(h_c^2=pq\). Daher ist \(q=\frac{h_c^2}{p}=\frac{2{,}4^2}{1{,}8}\,\text{cm}=3{,}2\,\text{cm}\). 2. Im rechten Teildreieck gilt \(a^2=h_c^2+p^2=2{,}4^2+1{,}8^2=9\). Somit ist \(a=3\,\text{cm}\). 3. Im linken Teildreieck gilt \(b^2=h_c^2+q^2=2{,}4^2+3{,}2^2=16\). Somit ist \(b=4\,\text{cm}\).

a) \(q=3{,}2\,\text{cm}\) b) \(a=3\,\text{cm}\), \(b=4\,\text{cm}\)

- Warum halbiert die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks seine Basis? - Bestimme zuerst den Abstand des Kreismittelpunkts von der Sehne aus Radius und halber Sehnenlänge. - Vergleiche in den beiden Bildern die Lage der Spitze relativ zu Sehne und Mittelpunkt. Wie setzt sich dadurch jeweils die Dreieckshöhe zusammen?

1. Die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks halbiert die \(10\,\text{cm}\) lange Sehne. Die halbe Basis ist \(5\,\text{cm}\) lang. 2. Sei \(d\) der Abstand des Kreismittelpunkts von der Sehne. Im rechtwinkligen Dreieck aus Radius, halber Sehne und \(d\) gilt \(d=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{11}\,\text{cm}\). 3. Im Fall a) liegen Kreismittelpunkt und Spitze auf verschiedenen Seiten der Sehne. Die Dreieckshöhe ist daher \(h_1=6+\sqrt{11}\,\text{cm}\). 4. Somit ist \(s_1=\sqrt{h_1^2+5^2}=\sqrt{72+12\sqrt{11}}\,\text{cm}\approx10{,}57\,\text{cm}\). 5. Im Fall b) liegen Kreismittelpunkt und Spitze auf derselben Seite der Sehne. Die Dreieckshöhe ist \(h_2=6-\sqrt{11}\,\text{cm}\). 6. Damit ist \(s_2=\sqrt{h_2^2+5^2}=\sqrt{72-12\sqrt{11}}\,\text{cm}\approx5{,}67\,\text{cm}\).

a) \(s=\sqrt{72+12\sqrt{11}}\,\text{cm}\approx10{,}57\,\text{cm}\) b) \(s=\sqrt{72-12\sqrt{11}}\,\text{cm}\approx5{,}67\,\text{cm}\)

- Wie hängen Umfang und Flächeninhalt mit den Seitenlängen zusammen? - Könntest du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Seitenlängen zu finden? - Gibt es eine Verbindung zwischen der Summe der Seiten \((a+b)\), dem Produkt \((ab)\) und der Summe der Quadrate \((a^2 + b^2)\)? - Erinnere dich an die erste binomische Formel.

Es gibt zwei Lösungswege: Weg 1 (über die Seitenlängen): 1. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2(a+b) = 28 \Rightarrow a+b = 14\) und \(ab = 48\). 2. Einsetzen von \(b = 14 - a\) in die Flächenformel: \(a(14-a) = 48 \Rightarrow a^2 - 14a + 48 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(a = 6\) und \(b = 8\) (oder umgekehrt). 4. Berechnung der Diagonale: \(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). Weg 2 (direkt über binomische Formeln): 1. \(a+b = 14\) und \(ab = 48\). 2. Nutzen der Formel \((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\). 3. Da \(a^2 + b^2 = d^2\), folgt \(14^2 = d^2 + 2 \cdot 48\). 4. \(196 = d^2 + 96 \Rightarrow d^2 = 100\). 5. \(d = 10\,\text{cm}\).

Die Diagonale des Rechtecks ist \(10\,\text{cm}\) lang.

- Berücksichtige, dass der Rahmen auf beiden Seiten (links/rechts sowie oben/unten) von den Maßen der Nische abgezogen werden muss. - Überlege, welche Abmessung der Nische (Breite oder Höhe) die Größe des Bildschirms zuerst einschränkt. - Verwende das Seitenverhältnis, um die jeweils andere Seite des Bildschirms auszudrücken. - Wie hängen Breite, Höhe und Diagonale in einem Rechteck zusammen?

1. Bestimmung der maximal möglichen Maße für den Bildschirm (ohne Rahmen): Breite \(w_{\text{max}} = 90\,\text{cm} - 2 \cdot 2{,}5\,\text{cm} = 85\,\text{cm}\); Höhe \(h_{\text{max}} = 60\,\text{cm} - 2 \cdot 2{,}5\,\text{cm} = 55\,\text{cm}\). 2. Prüfung des 16:9-Verhältnisses: Bei maximaler Breite \(w = 85\,\text{cm}\) ergibt sich die Höhe zu \(h = 85 \cdot \frac{9}{16} = 47{,}8125\,\text{cm}\). Da \(47{,}8125\,\text{cm} < 55\,\text{cm}\), begrenzt die Breite des Schranks die Größe des Fernsehers. 3. Berechnung der Bildschirmdiagonale \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{85^2 + 47{,}8125^2} \approx \sqrt{7225 + 2286{,}04} \approx 97{,}52\,\text{cm}\). 4. Umrechnung der Diagonale in Zoll: \(97{,}52\,\text{cm} : 2{,}54\,\text{cm/Zoll} \approx 38{,}39\,\text{Zoll}\). 5. Die größte ganze Zollgröße, die noch in die Nische passt, ist somit \(38\,\text{Zoll}\).

Die größte ganze Zollgröße, die in die Nische passt, beträgt \(38\,\text{Zoll}\).

- Drücke bei jedem Seitenverhältnis Breite und Höhe mit demselben Skalierungsfaktor aus. - Welche Beziehung verbindet Breite, Höhe und Diagonale eines rechteckigen Bildschirms? - Für den Flächeninhalt brauchst du den Skalierungsfaktor nicht zwingend selbst, wenn du sein Quadrat schon kennst.

1. Beim Format \(4{:}3\) seien Breite und Höhe \(4x\) und \(3x\). Dann gilt \((4x)^2+(3x)^2=40^2\), also \(25x^2=1600\) und \(x=8\). Damit sind die Seiten \(32\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\) lang und \(A_{4:3}=768\,\text{cm}^2\). 2. Beim Format \(16{:}9\) seien Breite und Höhe \(16k\) und \(9k\). Aus \((16k)^2+(9k)^2=40^2\) folgt \(337k^2=1600\), also \(k^2=\frac{1600}{337}\). 3. Daher ist \(A_{16:9}=16k\cdot9k=144k^2=\frac{230400}{337}\,\text{cm}^2\approx683{,}68\,\text{cm}^2\). 4. Der \(4{:}3\)-Bildschirm hat die größere Fläche. Der Unterschied ist \(768-\frac{230400}{337}=\frac{28416}{337}\,\text{cm}^2\approx84{,}32\,\text{cm}^2\).

\(A_{4:3}=768\,\text{cm}^2\) \(A_{16:9}=\frac{230400}{337}\,\text{cm}^2\approx683{,}68\,\text{cm}^2\) Der \(4{:}3\)-Bildschirm ist um \(\frac{28416}{337}\,\text{cm}^2\approx84{,}32\,\text{cm}^2\) größer.

- Nutze in Teil a) zuerst die Winkelsumme und die Beziehung zwischen Basis- und Spitzenwinkel. - Welche rechtwinkligen Teildreiecke entstehen durch die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks? - In Teil b) ist das Verhältnis von Höhe zu halber Basis vorgegeben. Welche trigonometrische Beziehung beschreibt genau dieses Verhältnis?

1. Im gleichschenkligen Dreieck gilt \(2\alpha+\gamma=180^\circ\). Mit \(\alpha=2\gamma\) folgt \(5\gamma=180^\circ\), also \(\gamma=36^\circ\) und \(\alpha=72^\circ\). 2. Die Höhe halbiert die Basis. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(\cos(72^\circ)=\frac{5}{s}\). Daher ist \(s=\frac{5}{\cos(72^\circ)}\,\text{cm}\approx16{,}18\,\text{cm}\). 3. Für Teil b) gilt im rechtwinkligen Teildreieck \(\tan(\alpha)=\frac{h_c}{c/2}\). Mit \(h_c=c\) folgt \(\tan(\alpha)=2\). 4. Somit ist \(\alpha=\arctan(2)\approx63{,}43^\circ\). Da \(2\alpha<180^\circ\) gilt, ist ein solches gleichschenkliges Dreieck möglich.

a) \(s\approx16{,}18\,\text{cm}\) b) Ja; \(\alpha\approx63{,}43^\circ\).

- Wie kannst du die zweite Kathete ausdrücken, wenn du für die erste eine Variable wählst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln beim Auflösen der Klammern. - Welche mathematische Methode hilft dir, eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen? - Kann eine Seitenlänge negativ sein?

1. Definition der Variablen: Sei \(a\) die Länge der kürzeren Kathete, dann gilt für die längere Kathete \(b = a + 7\). 2. Aufstellen der Gleichung nach Pythagoras: \(a^2 + (a + 7)^2 = 13^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(a^2 + a^2 + 14a + 49 = 169\), was zu \(2a^2 + 14a - 120 = 0\) führt. 4. Normalform der quadratischen Gleichung: \(a^2 + 7a - 60 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel): \(a_{1,2} = -3{,}5 \pm \sqrt{3{,}5^2 + 60} = -3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 + 60} = -3{,}5 \pm 8{,}5\). 6. Bestimmung der sinnvollen Länge: \(a = 5\,\text{cm}\) (da \(a > 0\)). 7. Berechnung der zweiten Kathete: \(b = 5 + 7 = 12\,\text{cm}\).

Die Katheten sind \(a = 5\,\text{cm}\) und \(b = 12\,\text{cm}\) lang.

- Stelle eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen Diagonale und Seite beschreibt. - Nutze den Satz des Pythagoras, um eine zweite Beziehung zwischen diesen Größen herzustellen. - Du wirst eine quadratische Gleichung erhalten. Denke an die p-q-Formel oder die quadratische Ergänzung. - Überlege am Ende, ob beide mathematischen Lösungen im Sachkontext sinnvoll sind.

1. Sei \(a\) die Seitenlänge und \(d\) die Diagonale. Es gilt die Beziehung \(d = a + 5\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt im Quadrat \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). 3. Ersetze \(d\) durch den Ausdruck \(a + 5\): \((a + 5)^2 = 2a^2\). 4. Wende die erste binomische Formel an: \(a^2 + 10a + 25 = 2a^2\). 5. Stelle die quadratische Gleichung in die Normalform um: \(a^2 - 10a - 25 = 0\). 6. Nutze die p-q-Formel: \(a_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - (-25)} = 5 \pm \sqrt{50}\). 7. Da eine Seitenlänge positiv sein muss, gilt \(a = 5 + \sqrt{50} = 5 + 5\sqrt{2} \approx 12{,}07\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt ca. \(12{,}07\,\text{cm}\).

- Skizziere beide Figuren und zeichne jeweils eine geeignete Höhe ein. - Wie teilt die Höhe ein gleichseitiges Dreieck die Grundseite? - Wie zerlegt die Symmetrie das gleichschenklige Trapez an den beiden Seitenrändern? - Welche waagerechte Strecke liegt unter einer Diagonale des Trapezes?

1. Im gleichseitigen Dreieck halbiert die Höhe die Grundseite. Daher gilt \(a^2=9^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2\), also \(\frac{3}{4}a^2=81\). 2. Damit ist \(a=\frac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}\,\text{cm}\approx10{,}4\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot9=27\sqrt{3}\,\text{cm}^2\approx46{,}8\,\text{cm}^2\). 3. Beim gleichschenkligen Trapez ist jeder seitliche Grundseitenabschnitt \(x=\frac{20-8}{2}=6\,\text{cm}\) lang. 4. Mit einem Schenkel als Hypotenuse folgt \(h=\sqrt{10^2-6^2}=8\,\text{cm}\). 5. Unter der Diagonale liegt waagerecht die Strecke \(8+6=14\,\text{cm}\). Daher ist \(e=\sqrt{8^2+14^2}=\sqrt{260}=2\sqrt{65}\,\text{cm}\approx16{,}1\,\text{cm}\).

1) \(a\approx10{,}4\,\text{cm}\), \(A\approx46{,}8\,\text{cm}^2\) 2) \(h=8\,\text{cm}\), \(e\approx16{,}1\,\text{cm}\)

- Welche Beziehung gilt im rechtwinkligen Teildreieck mit den Seiten \(h_c\), \(p\) und \(a\)? - Wie kannst du die beiden Ausdrücke für \(a^2\) miteinander verbinden? - Wie lässt sich \(c-p\) mit dem anderen Hypotenusenabschnitt ausdrücken? - Welche bekannte Beziehung entsteht nach dem Umformen, und welche Umkehrung gehört zu ihr?

1. Da \(h_c\) die Höhe auf \(c\) ist, bildet sie mit dem Abschnitt \(p\) und der Seite \(a\) ein rechtwinkliges Teildreieck. Dort gilt \(a^2=h_c^2+p^2\). 2. Setze diesen Ausdruck in die gegebene Bedingung \(a^2=p\cdot c\) ein: \(h_c^2+p^2=p\cdot c\). 3. Stelle nach \(h_c^2\) um: \(h_c^2=p\cdot c-p^2=p(c-p)\). 4. Wegen \(c=p+q\) gilt \(c-p=q\). 5. Damit folgt \(h_c^2=p\cdot q\). 6. Nach der Umkehrung des Höhensatzes ist ein Dreieck mit dieser Beziehung rechtwinklig bei \(C\). Die Aussage ist daher wahr.

Die Aussage ist wahr. Aus \(a^2=h_c^2+p^2\) und \(a^2=p\cdot c\) folgt \(h_c^2=p(c-p)\). Wegen \(c-p=q\) erhält man \(h_c^2=p\cdot q\). Nach der Umkehrung des Höhensatzes ist das Dreieck rechtwinklig bei \(C\).

- Setze für \(EC\) eine Variable ein. - Welche besondere Seitenbeziehung gilt im rechtwinkligen Dreieck \(BEC\) mit einem \(60^\circ\)-Winkel? - Bestimme danach die beiden noch fehlenden Winkel im Dreieck \(ABE\). Welche Seiten sind dort gleich lang?

1. Setze \(EC=x\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(BEC\) ist \(\angle BEC=60^\circ\). Daher ist \(BE=2x\), weil die dem \(30^\circ\)-Winkel gegenüberliegende Kathete halb so lang wie die Hypotenuse ist. 3. Der Winkel \(\angle AEB\) ist der Nebenwinkel zu \(60^\circ\), also \(120^\circ\). 4. Im Dreieck \(ABE\) gilt \(\angle EAB=30^\circ\). Deshalb ist \(\angle ABE=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ\). 5. Damit ist das Dreieck \(ABE\) gleichschenklig und es gilt \(AE=BE\). 6. Aus \(BE=2x\) und \(EC=x\) folgt \(AE=2EC\).

Es gilt \(\overline{AE}=2\overline{EC}\).

- Welche besondere Eigenschaft haben Winkel, die über dem Durchmesser eines Kreises liegen? - Was lässt sich über die Lage des Punktes \(M\) aussagen, wenn man die Winkel an diesem Punkt betrachtet? - Die Strecke \(PM\) steht senkrecht auf einer der Diagonalen des Rechtecks. Kannst du dieses Wissen nutzen, um ein rechtwinkliges Dreieck zu betrachten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Grundseite, Höhe und Flächeninhalt in einem Dreieck.

1. Da \(PQ\) der Durchmesser des ersten Kreises ist, ist der Winkel \(\angle PMQ = 90^\circ\) nach dem Satz des Thales. 2. Da \(PS\) der Durchmesser des zweiten Kreises ist, ist der Winkel \(\angle PMS = 90^\circ\) nach dem Satz des Thales. 3. Die Summe der Winkel \(\angle PMQ + \angle PMS = 180^\circ\) bedeutet, dass der Punkt \(M\) auf der Diagonale \(QS\) des Rechtecks liegt. 4. Die Strecke \(PM\) ist somit die Höhe auf der Hypotenuse \(QS\) im rechtwinkligen Dreieck \(PQS\). 5. Die Länge der Diagonale \(QS\) wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet: \(QS = \sqrt{PQ^2 + PS^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\). 6. Über den Flächeninhalt des Dreiecks \(PQS\) gilt: \(A = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot PS = \frac{1}{2} \cdot QS \cdot PM\). 7. Einsetzen der Werte ergibt: \(12 \cdot 5 = 13 \cdot PM \Rightarrow 60 = 13 \cdot PM \Rightarrow PM = \frac{60}{13}\,\text{cm} \approx 4{,}62\,\text{cm}\).

\(PM = \frac{60}{13}\,\text{cm} \approx 4{,}62\,\text{cm}\)

- Bestimme zuerst die gesamte Hypotenuse \(KM\). - Nutze die Ähnlichkeit von \(\triangle EFM\) und \(\triangle KNM\), um \(EF\), \(FM\) und \(NF\) auszudrücken. - Verwende anschließend \(EF = NF\) und den Satz des Pythagoras.

1. \(KM = 70\). Aus \(\Delta EFM \sim \Delta KNM\) folgt \(\frac{EF}{KN} = \frac{FM}{NM} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}\). 2. \(EF = \frac{3}{7} KN\) und \(FM = \frac{3}{7} NM\). 3. \(NF = NM - FM = \frac{4}{7} NM\). 4. \(EF = NF \Rightarrow \frac{3}{7} KN = \frac{4}{7} NM \Rightarrow KN = \frac{4}{3} NM\). 5. \(NM^2 + (\frac{4}{3} NM)^2 = 70^2 \Rightarrow \frac{25}{9} NM^2 = 4900\). 6. \(NM^2 = 1764 \Rightarrow NM = 42\). 7. \(KN = \frac{4}{3} \cdot 42 = 56\). 8. \(U = 42 + 56 + 70 = 168\).

\(x = U_{KNM} = 168\)