- Achte darauf, dass eine Quadratwurzel immer einen nichtnegativen Wert liefert. - Die angegebene Vorzeichenbedingung entscheidet, wie der quadrierte Term nach dem Wurzelziehen geschrieben werden kann. - Prüfe, ob für die erlaubten Werte von \(x\) ein Betragszeichen noch nötig ist.

1. Allgemein gilt \(\sqrt{x^2}=|x|\). 2. Wegen \(x\ge0\) ist \(|x|=x\). Daher gilt \(\sqrt{x^2}=x\).

\(x\)

- Suche unter der Wurzel nach einem Faktor, der selbst ein vollständiges Quadrat ist. - Nutze die angegebene Vorzeichenbedingung für den Variablenfaktor. - Der nichtquadratische Zahlenfaktor bleibt unter der Wurzel stehen.

1. Mit dem Produktgesetz gilt \(\sqrt{7b^2}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{b^2}\). 2. Wegen \(b\ge0\) ist \(\sqrt{b^2}=b\). Daher folgt \(\sqrt{7b^2}=b\sqrt{7}\).

\(b\sqrt{7}\)

- Überlege rückwärts, welche Potenz unter einer Quadratwurzel zu \(x^2\) wird. - Die Zahl \(36\) liefert bereits den benötigten Zahlenfaktor vor dem Variablenterm. - Deine Begründung muss für ein beliebiges \(x\ge0\) gelten.

1. Damit nach dem Wurzelziehen der Faktor \(x^2\) entsteht, muss unter der Wurzel dessen Quadrat \(x^4\) stehen. 2. Für \(m=4\) gilt \(\sqrt{36x^4}=6\sqrt{(x^2)^2}\). 3. Weil \(x^2\ge0\) ist, folgt \(\sqrt{(x^2)^2}=x^2\). Somit gilt \(\sqrt{36x^4}=6x^2\) für alle \(x\ge0\). 4. Daher ist \(m=4\).

\(m=4\), denn \(\sqrt{36x^4}=6\sqrt{(x^2)^2}=6x^2\) für alle \(x\ge0\).

- Kannst du die Wurzeln unter einem gemeinsamen Wurzelzeichen zusammenfassen? - Gibt es Quadrate in den Radikanden, die du teilweise oder ganz aus der Wurzel ziehen kannst? - Wann ist eine Division durch eine Variable problematisch? - Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel mit sich selbst multipliziert?

1. Teilaufgabe a: Anwendung des Produktgesetzes \(\sqrt{7 \cdot 28} = \sqrt{196}\). Ergebnis: \(14\). Es ist keine zusätzliche Variablenbedingung erforderlich. 2. Teilaufgabe b: Anwendung des Quotientengesetzes \(\sqrt{\frac{45x^3}{5x}} = \sqrt{9x^2}\). Bedingung: \(x > 0\). Ergebnis: \(3x\). 3. Teilaufgabe c: Zusammenfassen der Koeffizienten und der Wurzeln \(2 \cdot 3 \cdot (\sqrt{a})^2 = 6a\). Bedingung: \(a \ge 0\). Ergebnis: \(6a\). 4. Teilaufgabe d: Teilweises Wurzelziehen \(\sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 3} = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\). Zusammenfassen der gleichartigen Wurzeln ergibt \(6\sqrt{3}\). Es ist keine zusätzliche Variablenbedingung erforderlich.

a) \(14\) (keine zusätzliche Bedingung) b) \(3x\) (für \(x > 0\)) c) \(6a\) (für \(a \ge 0\)) d) \(6\sqrt{3}\) (keine zusätzliche Bedingung)

- Überlege, welche der drei binomischen Formeln jeweils passt. - Denk daran, dass das Quadrat einer Wurzel die ursprüngliche Zahl ergibt, also \( (\sqrt{x})^2 = x \). - Achte beim Quadrieren von Produkten wie \( (\sqrt{3}x)^2 \) darauf, beide Faktoren zu quadrieren. - Beim mittleren Term der binomischen Formel kannst du Wurzeln zusammenfassen, indem du die Radikanden multiplizierst.

1. Anwendung der 1. binomischen Formel \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) auf a): \( (\sqrt{r})^2 + 2 \cdot \sqrt{r} \cdot 4 + 4^2 = r + 8\sqrt{r} + 16 \). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) auf b): \( 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{s} + (\sqrt{s})^2 = 25 - 10\sqrt{s} + s \). 3. Anwendung der 1. binomischen Formel auf c): \( (\sqrt{3}x)^2 + 2 \cdot \sqrt{3}x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3x^2 + 2\sqrt{6}x + 2 \). 4. Anwendung der 2. binomischen Formel auf d): \( \left(\frac{\sqrt{y}}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{y}}{3} \cdot 6 + 6^2 = \frac{y}{9} - 4\sqrt{y} + 36 \).

a) \( r + 8\sqrt{r} + 16 \) b) \( 25 - 10\sqrt{s} + s \) c) \( 3x^2 + 2\sqrt{6}x + 2 \) d) \( \frac{y}{9} - 4\sqrt{y} + 36 \) Bedingungen: \(r,s,y \ge 0\), \(x\in\mathbb R\).

- Erkennst du in den ersten beiden Teilaufgaben eine Struktur, bei der sich nur das Vorzeichen in der Mitte unterscheidet? - In Teilaufgabe c) kannst du das Produkt der Wurzeln unter einer Wurzel zusammenfassen und prüfen, ob du daraus die Wurzel ziehen kannst. - Achte in Teilaufgabe d) auf das Minuszeichen vor der Klammer und wie es die Vorzeichen beim Auflösen beeinflusst.

1. Anwendung der 3. binomischen Formel \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) auf a): \( (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{d})^2 = 11 - d \). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel auf b): \( (x\sqrt{5})^2 - (2y)^2 = 5x^2 - 4y^2 \). 3. Anwendung der 1. binomischen Formel auf c): \( (\sqrt{8})^2 + 2\sqrt{8}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 8 + 2\sqrt{16} + 2 = 10 + 2 \cdot 4 = 18 \). 4. Anwendung der 1. binomischen Formel auf den ersten Teil von d): \( a + 2\sqrt{ab} + b \). Subtraktion von \( (a+b) \) ergibt: \( a + 2\sqrt{ab} + b - a - b = 2\sqrt{ab} \).

a) \( 11 - d \) b) \( 5x^2 - 4y^2 \) c) \( 18 \) d) \( 2\sqrt{ab} \) Bedingungen: \(d,a,b \ge 0\), \(x,y\in\mathbb R\).

- Kannst du den mittleren Teil des Ausdrucks so umformen, dass er die gleiche Form wie die anderen beiden Teile hat? - Überlege, welche Faktoren unter der Wurzel Quadratzahlen oder Quadrate von Variablen sind. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, Wurzeln von Produkten aufzuteilen?

1. Teilweises Wurzelziehen im zweiten Summanden: \(\sqrt{9x^2 y} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y} = 3x\sqrt{y}\) 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(4x\sqrt{y} - 3x\sqrt{y} + 2x\sqrt{y}\) 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme: \((4 - 3 + 2) \cdot x\sqrt{y} = 3x\sqrt{y}\)

\(3x\sqrt{y}\)

- Erkennst du im ersten Teil des Ausdrucks eine der binomischen Formeln wieder? - Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Versuche, erst das Produkt vollständig zu berechnen, bevor du die hinteren Terme betrachtest.

1. Anwenden der dritten binomischen Formel \((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\) auf das Produkt: \((\sqrt{2p})^2 - (\sqrt{3q})^2\) 2. Quadrieren der Wurzelterme: \(2p - 3q\) 3. Den restlichen Term hinzufügen: \(2p - 3q + 3q - p\) 4. Zusammenfassen der Terme: \((2p - p) + (-3q + 3q) = p\)

\(p\)

- Was weißt du über das Vorzeichen des Ausdrucks unter einer Quadratwurzel? - Wie verhält sich das Relationszeichen einer Ungleichung, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du eine Zahl einsetzt, die größer als dein berechneter Grenzwert ist.

1. Der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) muss größer oder gleich Null sein: \(24 - 4x \ge 0\). 2. Subtraktion von 24 auf beiden Seiten führt zu \(-4x \ge -24\). 3. Division durch \(-4\) unter Umkehrung des Vergleichszeichens ergibt \(x \le 6\). 4. Der Term ist somit für alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x \le 6\) definiert.

\(x \le 6\)

- Welche zwei mathematischen Regeln müssen hier gleichzeitig beachtet werden (Wurzelziehen und Division)? - Wann ist ein Bruch insgesamt positiv? - Kann der Nenner eines Bruchs jemals Null werden?

1. Der gesamte Bruch unter der Wurzel muss nichtnegativ sein: \(\frac{5}{a - 3} \ge 0\). 2. Da der Zähler \(5\) positiv ist, muss auch der Nenner \(a - 3\) positiv sein. 3. Der Nenner darf nicht Null sein, daher gilt die strikte Bedingung \(a - 3 > 0\). 4. Daraus folgt \(a > 3\). 5. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen größer als 3.

\(a > 3\)

- Prüfe zuerst, ob sich der Radikand vor dem Wurzelziehen vereinfachen lässt. - Welche Potenzen im Radikanden sind vollständige Quadrate? - Achte bei Variablen darauf, ob beim Wurzelziehen ein Betrag nötig ist.

1. Unter der Wurzel gilt \(225z^4-81z^4=144z^4\). 2. Damit ist \(\sqrt{144z^4}=12\sqrt{z^4}\). 3. Weil \(z^4=(z^2)^2\) und \(z^2\ge0\) für jedes reelle \(z\) gilt, ist \(\sqrt{z^4}=z^2\). 4. Somit ergibt sich \(12z^2\).

\(12z^2\)

- Welche Wurzelterme sind gleichartig und können über ihre Koeffizienten zusammengefasst werden? - Welche Bedingung entsteht, wenn eine Variable direkt unter einer Quadratwurzel steht? - Schreibe bei c) \(z^4\) als Quadrat eines Ausdrucks, der selbst nie negativ ist.

1. Für a) muss \(a\ge0\) gelten. Zusammenfassen der Koeffizienten ergibt \((2+5-1)\sqrt a=6\sqrt a\). 2. In b) ist \(\sqrt3\) stets definiert. Es gilt \(x\sqrt3-0{,}5x\sqrt3=0{,}5x\sqrt3\); der Term ist für alle \(x\in\mathbb{R}\) definiert. 3. Für alle \(z\in\mathbb{R}\) gilt \(z^2\ge0\). Daher ist \(\sqrt{25z^4}=5z^2\) und \(\sqrt{z^4}=z^2\). Zusammen ergibt sich \(6z^2\).

a) \(6\sqrt a\); definiert für \(a\ge0\) b) \(0{,}5x\sqrt3\); definiert für \(x\in\mathbb{R}\) c) \(6z^2\); definiert für \(z\in\mathbb{R}\)

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel in Potenzen mit geraden Exponenten zerlegen? - Achte darauf, ob die Terme in der Klammer positiv oder negativ sind. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, eine Wurzel aus einem Produkt in ein Produkt aus Wurzeln zu verwandeln?

1. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{(x-7)^5} = \sqrt{(x-7)^4 \cdot (x-7)}\). Da \(x \ge 7\), ist \(x-7 \ge 0\). Anwendung der Wurzelregel: \(\sqrt{(x-7)^4} = (x-7)^2\). Ergebnis: \((x-7)^2 \sqrt{x-7}\). 2. Aufspaltung des Produkts unter der Wurzel: \(\sqrt{a^3 \cdot (b+2)^2} = \sqrt{a^2 \cdot a \cdot (b+2)^2}\). Da \(a \ge 0\) und \(b \ge -2\) (somit \(b+2 \ge 0\)), gilt \(\sqrt{a^2} = a\) und \(\sqrt{(b+2)^2} = b+2\). Ergebnis: \(a(b+2)\sqrt{a}\).

1) \((x-7)^2 \sqrt{x-7}\) 2) \(a(b+2)\sqrt{a}\)

- Wie ändert sich ein Faktor, wenn man ihn unter eine Quadratwurzel zieht? - Versuche, den Ausdruck unter der Wurzel nach dem Hineinziehen des Faktors zu kürzen. - Prüfe am Ende, ob du aus dem Radikanden noch eine Quadratzahl als Faktor herausziehen kannst.

1. Teilaufgabe a): Um den Faktor \(6x\) unter die Quadratwurzel zu ziehen, wird er quadriert: \(6x \cdot \sqrt{\frac{y}{3x}} = \sqrt{(6x)^2 \cdot \frac{y}{3x}}\). 2. Berechnung des Radikanden: \((6x)^2 = 36x^2\), also \(\sqrt{36x^2 \cdot \frac{y}{3x}} = \sqrt{\frac{36x^2y}{3x}}\). 3. Kürzen des Bruchs im Radikanden: \(\frac{36x^2y}{3x} = 12xy\). 4. Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{12xy} = \sqrt{4 \cdot 3xy} = 2\sqrt{3xy}\). 5. Teilaufgabe b): Der Faktor \(\frac{a}{2}\) wird quadriert unter die Wurzel gezogen: \(\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot \frac{20b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{20b}{a}}\). 6. Kürzen des Bruchs: \(\frac{20a^2b}{4a} = 5ab\). 7. Endergebnis: \(\sqrt{5ab}\).

a) \(2\sqrt{3xy}\) b) \(\sqrt{5ab}\)

- Vereinfache in a) und c) zuerst jeden Wurzelterm getrennt. - Vergleiche danach nur die Ausdrücke, die unter den Wurzeln übrig bleiben. - Ein einzelner Variablenwert, bei dem zwei Terme gleich werden, reicht für „gleichartig“ nicht aus.

1. Für a) gilt \(x\ge0\). Es ist \(\sqrt{20x^3}=2x\sqrt{5x}\) und \(\sqrt{45x}=3\sqrt{5x}\). Nach dem Vereinfachen steht in beiden Termen \(\sqrt{5x}\). Sie sind gleichartig. 2. Bei b) sind die Radikanden \(a^2+b^2\) und \(a^2-b^2\) im Allgemeinen verschieden. Die Terme sind nicht gleichartig. Dass sie für einzelne Werte gleich werden können, ändert daran nichts. 3. Für \(y\ge0\) gilt \(\sqrt{12y^3}=2y\sqrt{3y}\) und \(y\sqrt{27y}=3y\sqrt{3y}\). Nach dem Vereinfachen steht in beiden Termen \(\sqrt{3y}\). Sie sind gleichartig.

a) Gleichartig b) Nicht gleichartig c) Gleichartig

- Versuche, alle drei Wurzelterme so umzuformen, dass unter der Wurzel jeweils derselbe Ausdruck steht. - Welche Quadratzahlen sind Teiler von \(27\), \(48\) und \(147\)? - Darf man Wurzeln einfach addieren, indem man die Zahlen unter der Wurzel addiert? Überprüfe dies kritisch durch Einsetzen.

1. Teilweises Wurzelziehen auf der linken Seite: \(\sqrt{27y} = \sqrt{9 \cdot 3y} = 3\sqrt{3y}\) und \(\sqrt{48y} = \sqrt{16 \cdot 3y} = 4\sqrt{3y}\) 2. Addition der Terme auf der linken Seite: \(3\sqrt{3y} + 4\sqrt{3y} = 7\sqrt{3y}\) 3. Teilweises Wurzelziehen auf der rechten Seite: \(\sqrt{147y} = \sqrt{49 \cdot 3y} = 7\sqrt{3y}\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da die linke Seite und die rechte Seite identisch zu \(7\sqrt{3y}\) vereinfacht werden können, ist die Gleichung für alle \(y \ge 0\) wahr.

Die Aussage ist wahr, da beide Seiten der Gleichung den Wert \(7\sqrt{3y}\) ergeben.

- Kannst du das Distributivgesetz anwenden, um die Klammer aufzulösen? - Welche Rechenregel kennst du für die Division von zwei Wurzeln? - Versuche, die Terme unter einer einzigen Wurzel zusammenzufassen und dann zu kürzen. - Denk daran, dass \(\sqrt{4a}\) auch als \(2 \cdot \sqrt{a}\) geschrieben werden kann.

1. Anwendung des Distributivgesetzes: Division jedes Summanden in der Klammer durch den Divisor \(\sqrt{5xy}\). 2. Zusammenfassen der Quotienten unter einer gemeinsamen Wurzel gemäß \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\): \(\sqrt{\frac{20x^3y}{5xy}} + \sqrt{\frac{5xy^3}{5xy}}\). 3. Kürzen der Brüche unter den Radikanden: \(\sqrt{4x^2} + \sqrt{y^2}\). 4. Radizieren der Terme unter Berücksichtigung positiver Variablen: \(2x + y\). 5. Für den zweiten Teil: Division jedes Terms durch \(\sqrt{a}\) ergibt \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{4a}}{\sqrt{a}}\). 6. Vereinfachen: \(1 - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1\).

1) \(2x+y\) 2) \(-1\)

- Kannst du eine ganze Zahl oder eine Variable als Quadrat einer Wurzel schreiben? - Suche nach einem gemeinsamen Faktor in beiden Teilen des Terms. - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einer Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Kannst du den Term \(\sqrt{xy}\) mithilfe der Rechenregeln für Wurzeln umschreiben?

1. Darstellung der Zahl \(6\) als Quadrat einer Wurzel: \(6 = (\sqrt{6})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{6}\): \((\sqrt{6})^2 + \sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)\). 2. Darstellung der Zahl \(3\) als Quadrat einer Wurzel: \(3 = (\sqrt{3})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{3}\): \((\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)\). 3. Darstellung der Variable \(y\) als Quadrat einer Wurzel: \(y = (\sqrt{y})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{y}\): \((\sqrt{y})^2 - \sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt{y} - 1)\). 4. Zerlegung von \(\sqrt{xy}\) in \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\) und Darstellung von \(x\) als \((\sqrt{x})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{x}\): \((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})\).

1) \(\sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)\) 2) \(\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)\) 3) \(\sqrt{y}(\sqrt{y} - 1)\) 4) \(\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})\)

- Suche unter jeder Wurzel nach Faktoren, die vollständige Quadrate sind. - Achte bei Variablen darauf, ob ein herausgezogener Faktor sicher nichtnegativ ist. - Vereinfache zuerst die einzelnen Wurzeln und prüfe danach, ob gleichartige Wurzelterme entstehen.

1. Für a) gilt \(\sqrt{72x^3}=\sqrt{36x^2\cdot2x}=6x\sqrt{2x}\) und \(x\sqrt{8x}=x\sqrt{4\cdot2x}=2x\sqrt{2x}\), weil \(x\ge0\). Daher ist der Term \(4x\sqrt{2x}\). 2. Für b) zerlegt man \(45a^2b^3=9a^2b^2\cdot5b\). Damit ist \(\sqrt{45a^2b^3}=3|a|b\sqrt{5b}\), weil \(b\ge0\) und \(\sqrt{a^2}=|a|\).

a) \(4x\sqrt{2x}\) b) \(3|a|b\sqrt{5b}\)

- Kannst du einen der Terme als Quadrat einer Wurzel schreiben? - Was passiert, wenn du einen Teil des Terms so umschreibst, dass er denselben Ausdruck wie ein anderer Teil enthält? - Kannst du einen gemeinsamen Faktor identifizieren, der in beiden Summanden vorkommt?

1. Den Term \(x\) als \((\sqrt{x})^2\) umschreiben und den gemeinsamen Faktor \(\sqrt{x}\) ausklammern: \(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)\). 2. Den Ausdruck \(x+y\) als \((\sqrt{x+y})^2\) schreiben und \(\sqrt{x+y}\) ausklammern: \(\sqrt{x+y}(\sqrt{x+y} - 1)\).

1) \(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)\) 2) \(\sqrt{x+y}(\sqrt{x+y} - 1)\)

- Prüfe bei a), ob du den Quotienten der beiden Wurzeln zunächst unter einem Wurzelzeichen zusammenfassen darfst. - Schreibe bei b) \(a\) als \((\sqrt a)^2\) und suche eine bekannte Faktorisierung. - Kontrolliere vor dem Kürzen, ob der gekürzte Faktor im angegebenen Definitionsbereich null werden kann.

1. Für a) darf wegen \(x>0\) der Quotient der Wurzeln zusammengefasst werden: \(\frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x}}=\sqrt{\frac{48x^3}{3x}}=\sqrt{16x^2}=4x\). 2. Für b) gilt \(a-16=(\sqrt a-4)(\sqrt a+4)\). Da \(\sqrt a+4>0\), kann dieser Faktor gekürzt werden. Es bleibt \(\sqrt a-4\).

a) \(4x\) b) \(\sqrt a-4\)

- Was muss für den Wert unter einer Quadratwurzel immer gelten? - Wenn ein Ausdruck im Nenner eines Bruchs steht, welchen Wert darf er dann niemals annehmen? - Wenn zwei Wurzeln addiert werden, welche Werte für \(x\) sind dann für den gesamten Ausdruck erlaubt? - Überlege dir, wie man Bedingungen wie „größer als“ und „ungleich“ kombiniert.

1. Für \(A(x)\) muss der Radikand nichtnegativ sein: \(5x - 15 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 15 \Rightarrow x \ge 3\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3\}\) bzw. \(D = [3; \infty)\). 2. Für \(B(x)\) müssen beide Radikanden gleichzeitig nichtnegativ sein. Bedingung 1: \(12 - 4x \ge 0 \Rightarrow 12 \ge 4x \Rightarrow x \le 3\). Bedingung 2: \(x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2\). Die Schnittmenge ergibt \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 3\}\) bzw. \(D = [-2; 3]\). 3. Für \(C(x)\) muss der Radikand im Nenner echt positiv sein, da die Wurzel nicht Null werden darf: \(2x - 8 > 0 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 4\}\) bzw. \(D = (4; \infty)\).

a) \(x \ge 3\) bzw. \(D = [3; \infty)\) b) \(-2 \le x \le 3\) bzw. \(D = [-2; 3]\) c) \(x > 4\) bzw. \(D = (4; \infty)\)

- Prüfe zuerst, welche Werte eine Quadratwurzel überhaupt annehmen kann. - Bei mehreren Wurzeln müssen alle Definitionsbedingungen gleichzeitig erfüllt sein. - Isoliere eine Wurzel nur so weit, wie es für eine Unmöglichkeitsbegründung nötig ist.

1. Zu a): Eine reelle Quadratwurzel ist stets nichtnegativ. Deshalb kann \(\sqrt{x+12}\) niemals den Wert \(-5\) annehmen. 2. Zu b): Für die erste Wurzel muss \(x\ge8\) gelten, für die zweite zugleich \(x\le2\). Diese Bedingungen haben keine gemeinsame reelle Zahl. Die Gleichung ist daher schon wegen ihres Definitionsbereichs unlösbar. 3. Zu c): Nach Subtraktion von \(10\) folgt \(\sqrt{x-1}=-7\). Eine reelle Quadratwurzel kann keinen negativen Wert annehmen, also gibt es keine Lösung.

a) Keine reelle Lösung, weil eine Quadratwurzel nicht negativ sein kann. b) Keine reelle Lösung, weil die Bedingungen \(x\ge8\) und \(x\le2\) unvereinbar sind. c) Keine reelle Lösung, weil die Gleichung auf \(\sqrt{x-1}=-7\) führt.

- Untersuche zuerst, ob der Faktor vor der Wurzel positiv oder negativ ist. - Überlege, was mit dem Vorzeichen passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert. - Wie kann man einen negativen Ausdruck so umschreiben, dass ein Minuszeichen vor einer positiven Klammer steht? - Gibt es im Radikanden Terme, die sich nach dem Hineinziehen kürzen lassen?

1. Bestimmung des Vorzeichens: Da \(a > 1\), ist die Differenz \(1 - a\) negativ. 2. Umformung des Faktors: Um den Faktor unter die Wurzel zu ziehen, wird er als \(-(a-1)\) geschrieben, wobei \((a-1)\) positiv ist. 3. Einbeziehen in die Wurzel: Der positive Teil wird quadriert unter die Wurzel geschrieben, während das Minuszeichen vor der Wurzel stehen bleibt: \(-\sqrt{(a-1)^2 \cdot \frac{5}{a-1}}\). 4. Vereinfachung des Radikanden: Durch Kürzen von \((a-1)\) im Zähler und Nenner ergibt sich das Resultat \(-\sqrt{5(a-1)}\).

\(-\sqrt{5(a-1)}\)

- Suche unter der Wurzel nach einem gemeinsamen Faktor, der selbst ein vollständiges Quadrat enthält. - Klammere zuerst unter der Wurzel aus und prüfe dann, welchen Quadratfaktor du aus der Wurzel ziehen kannst. - Nutze die gegebene Bedingung an \(x\), wenn du die Wurzel aus einem Quadrat ziehst.

1. Unter der Wurzel lässt sich \(4x^2\) ausklammern: \(8x^2y+4x^3y^2=4x^2(2y+xy^2)\). 2. Damit gilt \(\sqrt{8x^2y+4x^3y^2}=\sqrt{4x^2}\,\sqrt{2y+xy^2}\). 3. Wegen \(x\ge0\) ist \(\sqrt{4x^2}=2x\). Daher lautet das Ergebnis \(2x\sqrt{2y+xy^2}\).

\(2x\sqrt{2y+xy^2}\)

- Setze beispielhaft positive Zahlen, negative Zahlen und die Null für die Variable ein. - Denk an die Definition der Quadratwurzel: Welches Vorzeichen hat das Ergebnis einer Wurzel immer? - Wann ist eine Wurzelrechnung im Bereich der reellen Zahlen überhaupt erlaubt?

1. Analyse von \( \sqrt{x^2} = x \): Die Quadratwurzel ist per Definition immer nichtnegativ. Für negative \( x \) (z. B. \( x = -3 \)) gilt \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \), was nicht \( x \) entspricht. Die Aussage ist daher nur für \( x \geq 0 \) wahr. 2. Analyse von \( (\sqrt{x})^2 = x \): Der Ausdruck \( \sqrt{x} \) ist nur definiert, wenn der Radikand nicht negativ ist, also \( x \geq 0 \). Für alle diese Werte gilt die Identität tatsächlich. Die Aussage ist daher nur für \( x \geq 0 \) wahr. 3. Analyse von \( \sqrt{-x} \): Damit die Wurzel im reellen Bereich definiert ist, muss der Radikand \( -x \geq 0 \) sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn \( x \leq 0 \) ist. Die Aussage ist daher nur für \( x \leq 0 \) wahr.

a) Nur wahr für \( x \geq 0 \). b) Nur wahr für \( x \geq 0 \). c) Nur wahr für \( x \leq 0 \).

- Fasse in a) zuerst die beiden gleichen Summanden unter der Wurzel zusammen. - Eine Quadratwurzel ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat den Radikanden ergibt. - Suche in b) deshalb nacheinander nach einer nichtnegativen Potenz, deren Quadrat \(y^{16}\) beziehungsweise \(y^8\) ist.

1. Zu a): Unter der Wurzel ist \(x^2+x^2=2x^2\). Für \(x>0\) gilt daher \(\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}\sqrt{x^2}=x\sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2}\ne2\), ist die behauptete Gleichung falsch. 2. Zu b): Weil \(y^8\ge0\) und \((y^8)^2=y^{16}\), gilt \(\sqrt{y^{16}}=y^8\). Ebenso ist \(y^4\ge0\) und \((y^4)^2=y^8\), also \(\sqrt{y^8}=y^4\). Damit ist \(T=y^4\).

a) Die Aussage ist falsch; für \(x>0\) gilt \(\sqrt{2x^2}=x\sqrt{2}\ne2x\). b) \(T=y^4\)

- Prüfe bei jeder Wurzel zuerst, wann ihr Radikand nichtnegativ ist. - Beachte, dass \(\sqrt{x^2}\) immer nichtnegativ ist. - Überlege bei einem negativen Quadrat, wann der Ausdruck trotzdem mindestens \(0\) sein kann.

1. Aussage (1) ist wahr. Für eine reelle Quadratwurzel muss \(x-2\ge0\) gelten. Das ist genau für \(x\ge2\) der Fall. 2. Aussage (2) ist wahr. Es gilt \(\sqrt{x^2}=|x|\). Für \(x\le0\) ist \(|x|=-x\); für \(x>0\) gilt \(|x|=x\ne-x\). 3. Aussage (3) ist wahr. Es muss \(-(x-5)^2\ge0\) gelten. Da \((x-5)^2\ge0\) ist, ist das nur bei \((x-5)^2=0\), also bei \(x=5\), möglich.

(1) Wahr, denn \(x-2\ge0\) gilt genau für \(x\ge2\). (2) Wahr, denn \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\) genau für \(x\le0\). (3) Wahr, denn \(-(x-5)^2\ge0\) ist nur für \(x=5\) möglich.

- Suche bei a) und c) nach einem möglichst großen quadratischen Faktor im Radikanden. - Bei b) helfen die angegebenen Positivitätsbedingungen beim Zusammenfassen und Kürzen. - Prüfe in c) nicht durch Einsetzen einzelner Zahlen, sondern durch Vereinfachen der linken Seite.

1. Für a) gilt \(45x^3=9x^2\cdot5x\). Wegen \(x\ge0\) folgt \(\sqrt{45x^3}=3x\sqrt{5x}\). 2. Für b) darf wegen \(z>0\) der Quotient unter einer Wurzel zusammengefasst werden: \(\frac{\sqrt{32z^5}}{\sqrt{2z}}=\sqrt{\frac{32z^5}{2z}}=\sqrt{16z^4}=4z^2\). 3. Für c) ist \(18u^3=9u^2\cdot2u\). Wegen \(u\ge0\) gilt daher \(\sqrt{18u^3}=3u\sqrt{2u}\). Die Gleichheit ist also richtig.

a) \(3x\sqrt{5x}\) b) \(4z^2\) c) Die Gleichheit gilt für \(u\ge0\).

- Vergleiche mit \((u\pm v)^2=u^2\pm2uv+v^2\). - Bestimme zuerst die Ausdrücke \(u\) und \(v\). - Achte auf die Bedingungen, unter denen die Wurzeln definiert sind.

1. Zu a): Setze \(u=\sqrt{x}\) und \(v=\sqrt{7}\). Dann ist \(2uv=2\sqrt{x}\sqrt{7}=2\sqrt{7x}\). Daher muss \(\square=v^2=7\) gelten, und der Term lautet \((\sqrt{x}+\sqrt{7})^2\). 2. Zu b): Setze \(u=\sqrt{3a}\) und \(v=\sqrt{2}\). Dann ist \(2uv=2\sqrt{3a}\sqrt{2}=2\sqrt{6a}=\sqrt{24a}\). Daher muss \(\square=v^2=2\) gelten, und der Term lautet \((\sqrt{3a}-\sqrt{2})^2\).

a) \(\square=7\), also \((\sqrt x+\sqrt7)^2\). b) \(\square=2\), also \((\sqrt{3a}-\sqrt2)^2\).

- Suche in der Potenz unter der ersten Wurzel nach einem quadratischen Faktor, den du herausziehen kannst. - Fasse danach im Zähler die gleichartigen Wurzelterme zusammen. - Die Bedingung \(a>0\) stellt sicher, dass \(\sqrt{a}\) im Nenner nicht null ist.

1. Wegen \(a>0\) gilt \(\sqrt{a^3}=\sqrt{a^2\cdot a}=a\sqrt{a}\). 2. Der Zähler wird damit zu \(a\sqrt{a}+2a\sqrt{a}=3a\sqrt{a}\). 3. Da \(\sqrt{a}>0\), darf gekürzt werden: \(\frac{3a\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=3a\). 4. Schließlich ist \(3a-a=2a\).

\(2a\)

- Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen wie \(k^2\) oder \((k-2)^2\)? - Überlege dir für jeden Teil, ob es Werte gibt, die den Ausdruck unter der Wurzel negativ machen könnten. - Gibt es in einem der Fälle vielleicht nur eine einzige Lösung oder gar keine Einschränkung?

1. Teil a: Da \(k^2 \ge 0\) für alle reellen \(k\), ist \(k^2 + 10 \ge 10\). Da der Radikand immer positiv ist, ist der Term für alle \(k \in \mathbb{R}\) definiert. 2. Teil b: Ein Quadrat \((k - 2)^2\) ist stets \(\ge 0\). Das negative Vorzeichen davor macht den Ausdruck \(-(k - 2)^2 \le 0\). Eine Wurzel ist nur für Radikanden \(\ge 0\) definiert. Dies ist nur erfüllt, wenn \(-(k - 2)^2 = 0\), also bei \(k = 2\). 3. Teil c: Der Nenner \(k^2\) muss ungleich Null sein, also \(k \neq 0\). Da \(4 > 0\) und \(k^2 > 0\) für alle \(k \neq 0\), ist der Bruch \(\frac{4}{k^2}\) immer positiv. Der Term ist somit für alle \(k \neq 0\) definiert.

a) Alle reellen Zahlen (\(k \in \mathbb{R}\)) b) Nur für \(k = 2\) c) Alle reellen Zahlen außer Null (\(k \neq 0\))

- Berechne zuerst alle Wurzeln, die keine Unbekannte enthalten. - Bei c) muss der Radikand \(x\) nichtnegativ sein; bei d) steht \(\sqrt{x}\) zusätzlich im Nenner. - Isoliere anschließend \(x\) beziehungsweise \(\sqrt{x}\) und prüfe den gefundenen Wert im zulässigen Bereich.

1. Teil a): \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) und \(\sqrt{0{,}81} = 0{,}9\). Damit gilt \(0{,}5 + x = 0{,}9\), also \(x = 0{,}4\). 2. Teil b): \(\sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5\) und \(\sqrt{\frac{9}{16}} = 0{,}75\). Damit gilt \(0{,}5x = 0{,}75\), also \(x = 1{,}5\). 3. Teil c): Wegen \(\sqrt{x}\) muss \(x \ge 0\) gelten. Aus \(1{,}1 - \sqrt{x} = 0{,}6\) folgt \(\sqrt{x} = 0{,}5\), also \(x = 0{,}25\). Dieser Wert ist zulässig. 4. Teil d): Wegen des Nenners \(\sqrt{x}\) muss \(x > 0\) gelten. Mit \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\) folgt \(0{,}2 {:} \sqrt{x} = 0{,}1\), also \(\sqrt{x} = 2\) und damit \(x = 4\). Dieser Wert liegt im Definitionsbereich.

a) \(x = 0{,}4\) b) \(x = 1{,}5\) c) \(x = 0{,}25\) d) \(x = 4\)

- Wie verändert sich ein Term, wenn du ihn unter eine Quadratwurzel schreibst? - Nutze die Rechenregeln für Brüche und Potenzen, um den Ausdruck unter der Wurzel am Ende zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, dass \((m \cdot n)^2 = m^2 \cdot n^2\) gilt. - Achte beim Kürzen unter der Wurzel genau auf die Exponenten der Variablen.

1. Einbringen des Faktors \(\frac{a}{2}\) unter die Wurzel durch Quadrieren: \(\sqrt{(\frac{a}{2})^2 \cdot \frac{8}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{8}{a}}\). Kürzen von \(a\) und Verrechnung der Zahlen: \(\sqrt{\frac{8a^2}{4a}} = \sqrt{2a}\). 2. Einbringen des Faktors \(3b^2\): \(\sqrt{(3b^2)^2 \cdot \frac{1}{3b^3}} = \sqrt{9b^4 \cdot \frac{1}{3b^3}}\). Kürzen der Potenzen von \(b\) und der Zahlen: \(\sqrt{\frac{9b^4}{3b^3}} = \sqrt{3b}\). 3. Einbringen des Faktors \(\frac{2}{3x}\): \(\sqrt{(\frac{2}{3x})^2 \cdot 18x^3} = \sqrt{\frac{4}{9x^2} \cdot 18x^3}\). Verrechnung der Brüche: \(\frac{4 \cdot 18}{9} = 4 \cdot 2 = 8\) und \(\frac{x^3}{x^2} = x\). Ergebnis: \(\sqrt{8x}\).

a) \(\sqrt{2a}\) b) \(\sqrt{3b}\) c) \(\sqrt{8x}\)

- Prüfe die angegebenen Schritte der Reihe nach und stoppe beim ersten nicht zulässigen Wurzelgesetz. - Achte darauf, ob die auftretenden Wurzelterme nach einer Vereinfachung gleichartig sind. - Unterscheide Regeln für Produkte von Regeln für Summen und Differenzen.

1. Schritt 1 ist korrekt, weil für \(b\ge0\) gilt \(\sqrt{49b}=7\sqrt b\) und \(\sqrt{100b}=10\sqrt b\). 2. Der erste Fehler liegt in Schritt 2. Es gilt nicht \(\sqrt{100b}-4\sqrt b=\sqrt{96b}\). Nach Schritt 1 sind die Terme gleichartig: \(10\sqrt b-4\sqrt b=6\sqrt b\). 3. Der ursprüngliche Term wird damit zu \(3\cdot7\sqrt b-2(10\sqrt b-4\sqrt b)\). 4. Daher gilt \(21\sqrt b-2\cdot6\sqrt b=21\sqrt b-12\sqrt b=9\sqrt b\).

a) Der erste Fehler liegt in Schritt 2. Die Radikanden einer Differenz dürfen nicht einfach subtrahiert werden. b) \(9\sqrt b\)

- Überlege, welcher Teil des Terms \(u\) und welcher \(v\) in der Formel \((u-v)(u+v)\) entspricht. - Denk daran, dass beim Quadrieren eines Produkts wie \(2\sqrt{3}\) jeder Faktor quadriert werden muss. - Klammern sind wichtig, wenn du einen ganzen Ausdruck subtrahierst, der aus einer Wurzel entstanden ist.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel \((u-v)(u+v) = u^2 - v^2\) auf alle Teilaufgaben. 2. Berechnung von 1): \(5^2 - (2\sqrt{3})^2 = 25 - 4 \cdot 3 = 25 - 12 = 13\). 3. Berechnung von 2): \((x\sqrt{y})^2 - (y\sqrt{x})^2 = x^2 y - y^2 x\) bzw. \(xy(x-y)\). 4. Berechnung von 3): \((2\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a-b})^2 = 4(a+b) - (a-b) = 4a + 4b - a + b = 3a + 5b\).

1) \(13\); 2) \(x^2 y - xy^2\); 3) \(3a + 5b\).

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel in Produkte zerlegen, bei denen ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Untersuche, ob sich alle Wurzelterme auf eine gemeinsame Form mit demselben Radikanden bringen lassen. - Wie verhält es sich mit dem Addieren und Subtrahieren von Wurzeln, die den gleichen Ausdruck unter der Wurzel haben?

1. Teilweises Wurzelziehen der einzelnen Glieder: \(2\sqrt{18x} = 2 \cdot 3\sqrt{2x} = 6\sqrt{2x}\), \(3\sqrt{8x} = 3 \cdot 2\sqrt{2x} = 6\sqrt{2x}\) und \(\sqrt{50x} = 5\sqrt{2x}\) 2. Einsetzen der vereinfachten Terme: \(T = (6\sqrt{2x} - 5\sqrt{2x} + 4) + (5\sqrt{2x} - 6\sqrt{2x})\) 3. Zusammenfassen der Koeffizienten von \(\sqrt{2x}\): \((6 - 5 + 5 - 6) \cdot \sqrt{2x} = 0 \cdot \sqrt{2x} = 0\) 4. Endergebnis nach Addition der Konstante: \(T = 0 + 4 = 4\)

\(4\)

- Wie dividiert man durch einen Bruch? Gilt das auch innerhalb oder für Wurzeln? - Du kannst die Division durch eine Wurzel als Multiplikation mit der Kehrwert-Wurzel schreiben. - Verwende das Distributivgesetz, um jeden Teil der Klammer einzeln zu multiplizieren. - Kannst du die Terme unter der Wurzel so weit kürzen, dass du die Wurzel einfach ziehen kannst?

1. Umwandlung der Division durch eine Wurzel in eine Multiplikation mit dem Kehrwert unter der Wurzel: \({:} \sqrt{\frac{1}{x}}\) entspricht \(\cdot \sqrt{x}\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \(\sqrt{x^3} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\). 3. Zusammenfassen unter der Wurzel: \(\sqrt{x^4} + \sqrt{x^2}\). 4. Radizieren: \(x^2 + x\). 5. Für den zweiten Teil: Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors: \((\sqrt{a^2b} - \sqrt{b^3}) \cdot \sqrt{\frac{a^2}{b}}\). 6. Distributivgesetz anwenden: \(\sqrt{a^2b \cdot \frac{a^2}{b}} - \sqrt{b^3 \cdot \frac{a^2}{b}}\). 7. Kürzen der Variablen unter der Wurzel: \(\sqrt{a^4} - \sqrt{a^2b^2}\). 8. Radizieren: \(a^2 - ab\).

1) \(x^2+x\) 2) \(a^2-ab\)

- Kannst du die Terme in Paare aufteilen, die etwas gemeinsam haben? - Gibt es in den Teilgruppen Faktoren, die nach dem Ausklammern in beiden Klammern identisch sind? - Lässt sich ein Teil des Ausdrucks mit einer binomischen Formel umschreiben, um neue Faktoren zu erzeugen? - Was passiert, wenn du Variablen wie \( x \) als Quadrat einer Wurzel betrachtest?

1. Gruppierung der Summanden: \( (\sqrt{uv} - \sqrt{3u}) + (\sqrt{2v} - \sqrt{6}) \). Aus der ersten Gruppe \( \sqrt{u} \) und aus der zweiten Gruppe \( \sqrt{2} \) ausklammern: \( \sqrt{u}(\sqrt{v} - \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \). Den gemeinsamen Faktor \( (\sqrt{v} - \sqrt{3}) \) ausklammern: \( (\sqrt{u} + \sqrt{2})(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \). 2. Den Ausdruck \( x - y \) mithilfe der dritten binomischen Formel als \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \) schreiben. Den hinteren Teil \( -3\sqrt{x} + 3\sqrt{y} \) durch Ausklammern von \( -3 \) zu \( -3(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \) umformen. Den gemeinsamen Faktor \( (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \) ausklammern: \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3) \).

1) \( (\sqrt{u} + \sqrt{2})(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \) 2) \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3) \)

- Schau dir die Ausdrücke unter den Wurzeln genau an – lassen sie sich in Produkte zerlegen? - Ein Term ohne Wurzel kann oft als Quadrat einer Wurzel geschrieben werden, um das Ausklammern zu ermöglichen. - Achte bei Teilaufgabe 2 besonders auf den Zusammenhang zwischen dem Quadrat einer Differenz und der Wurzel daraus.

1. Zerlegung von \(x^2 - 16\) in \((x - 4)(x + 4)\) und Darstellung von \(x - 4\) als \((\sqrt{x - 4})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{x - 4}\) führt zu: \(\sqrt{x - 4}(\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4})\). 2. Erkennen der zweiten binomischen Formel unter der Wurzel: \(\sqrt{(x - y)^2} = x - y\) (da \(x \ge y\)). Der Term lautet dann \((x - y) + \sqrt{x - y}\). Ausklammern von \(\sqrt{x - y}\) ergibt: \(\sqrt{x - y}(\sqrt{x - y} + 1)\).

1) \(\sqrt{x - 4}(\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4})\) 2) \(\sqrt{x - y}(\sqrt{x - y} + 1)\)

- Achte beim Quadrieren von Termen wie \(5\sqrt{z}\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Wie lässt sich ein Term wie \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{xy}\) durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen? - Gehe Schritt für Schritt vor: Erst die Formel allgemein hinschreiben, dann die Quadrate und Produkte einzeln ausrechnen.

1. Berechnung von a) mit der zweiten binomischen Formel: \((5\sqrt{z})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{z} \cdot 1 + 1^2 = 25z - 10\sqrt{z} + 1\). 2. Berechnung von b) mit der ersten binomischen Formel: \((\frac{1}{2}\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{x} \cdot 4\sqrt{y} + (4\sqrt{y})^2 = \frac{1}{4}x + 4\sqrt{xy} + 16y\). 3. Berechnung von c) mit der zweiten binomischen Formel: \((\sqrt{xy})^2 - 2 \cdot \sqrt{xy} \cdot 3\sqrt{x} + (3\sqrt{x})^2\). 4. Vereinfachung des mittleren Terms in c): \(2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{xy} = 6 \cdot \sqrt{x^2y} = 6x\sqrt{y}\). 5. Endergebnis für c): \(xy - 6x\sqrt{y} + 9x\).

a) \(25z - 10\sqrt{z} + 1\) b) \(\frac{1}{4}x + 4\sqrt{xy} + 16y\) c) \(xy - 6x\sqrt{y} + 9x\)

- Schreibe \(a\) als \((\sqrt{a})^2\) und untersuche den Zähler auf eine Differenz von Quadraten. - Prüfe, ob nach dem Faktorisieren ein Faktor zum Radikanden im Nenner passt. - Nutze die Bedingung \(0\le a<1\), um sicherzustellen, dass die vorkommenden Wurzeln und der Nenner zulässig sind.

1. Mit der dritten binomischen Formel gilt \(1-a=(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})\). 2. Damit ist \(T=(1-\sqrt{a})\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}\). 3. Wegen \(1+\sqrt{a}>0\) gilt \(\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}=\sqrt{1+\sqrt{a}}\). Somit folgt \(T=(1-\sqrt{a})\sqrt{1+\sqrt{a}}\).

\((1-\sqrt{a})\sqrt{1+\sqrt{a}}\)

- Berechne zunächst \(x+y\) und \(x-y\) getrennt. - Achte beim Subtrahieren von \(y\) auf das Minuszeichen vor der gesamten Klammer im Zähler. - Wenn Zähler und Nenner des großen Bruchs vereinfacht sind, behandle die Division wie die Division zweier gewöhnlicher Brüche.

1. Für den Zähler gilt \(x+y=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=2\). 2. Für den Nenner gilt \(x-y=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\). 3. Damit ist \(T=2:\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=2\cdot\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\).

\(T=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

- Bestimme die Definitionsbedingung für jede Wurzel getrennt. - Schneide anschließend die beiden zulässigen Mengen. - Eine durch Umformen erhaltene Zahl ist nur dann eine Lösung, wenn sie auch in der ursprünglichen Gleichung zulässig ist.

1. Für \(\sqrt{x-3}\) muss \(x-3\ge0\), also \(x\ge3\), gelten. 2. Für \(\sqrt{1-x}\) muss zugleich \(1-x\ge0\), also \(x\le1\), gelten. 3. Es gibt keine reelle Zahl, die beide Bedingungen erfüllt. Die Definitionsmenge der ursprünglichen Gleichung ist leer. 4. Deshalb kann \(x=2\) keine Lösung sein. Beim Einsetzen entstünde zudem \(\sqrt{-1}\), was in \(\mathbb{R}\) nicht definiert ist.

\(x=2\) ist keine Lösung. Die ursprüngliche Gleichung hat die leere Definitionsmenge, weil gleichzeitig \(x\ge3\) und \(x\le1\) gelten müsste.

- Überlege, wie du den Ausdruck unter der Wurzel faktorisieren kannst, um Quadrate zu finden. - Wann ist eine Quadratwurzel in den reellen Zahlen nicht definiert? - Welche Einschränkungen ergeben sich durch den Nenner eines Bruchs? - Kannst du die Wurzel eines Bruchs als Bruch zweier Wurzeln schreiben?

1. Die Terme unter der Wurzel werden zusammengefasst: \(T = \sqrt{\frac{a^5-a^4}{b^4}} = \sqrt{\frac{a^4(a-1)}{b^4}}\). 2. Für \(b \ne 0\) ist \(\frac{a^4}{b^4} \ge 0\). Der Radikand ist daher genau dann nicht negativ, wenn \(a=0\) oder \(a-1 \ge 0\). Somit gilt \(a \in \{0\} \cup [1,\infty)\) und \(b \ne 0\). 3. Für \(a \ge 1\) kann die Wurzel produktweise zerlegt werden: \(T = \sqrt{\frac{a^4}{b^4}}\sqrt{a-1} = \frac{a^2}{b^2}\sqrt{a-1}\). 4. Für den Sonderfall \(a=0\) ist der ursprüngliche Radikand gleich \(0\), also \(T=0\).

a) \(T = \frac{a^2}{b^2}\sqrt{a-1}\) für \(a \ge 1\); für \(a=0\) gilt \(T=0\). b) Der Term ist für \(b \ne 0\) und \(a \in \{0\} \cup [1,\infty)\) definiert.

- Prüfe die Bedingungen für \(x\) und \(y\), um das Vorzeichen des Faktors vor der Wurzel zu bestimmen. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Ausdruck unter der Wurzel zu faktorisieren. - Achte darauf, dass beim Einziehen eines negativen Wertes ein Minuszeichen vor der Wurzel erhalten bleibt. - Welche Potenzen von Variablen lassen sich im Radikanden gegeneinander kürzen?

1. Vorzeichenanalyse: Aufgrund der Bedingung \(0 < x < y\) ist die Differenz \(x - y\) negativ und \(x\) positiv. Somit ist der gesamte Faktor \(\frac{x-y}{x}\) negativ. 2. Termvorbereitung: Der Faktor wird als \(-\frac{y-x}{x}\) umgeschrieben, sodass der Bruch \(\frac{y-x}{x}\) positiv ist. 3. Einziehen unter die Wurzel: Das Quadrat des positiven Bruchs wird mit dem Radikanden multipliziert: \(-\sqrt{\frac{(y-x)^2}{x^2} \cdot \frac{x^3}{y^2-x^2}}\). 4. Faktorisierung und Kürzen: Mit der dritten binomischen Formel \(y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)\) wird der Radikand zu \(\frac{(y-x)^2 \cdot x^3}{x^2 \cdot (y-x)(y+x)}\) vereinfacht. Nach dem Kürzen von \(x^2\) und \((y-x)\) verbleibt \(-\sqrt{\frac{x(y-x)}{y+x}}\).

\(-\sqrt{\frac{x(y-x)}{x+y}}\)