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- Achte darauf, dass eine Quadratwurzel immer einen nichtnegativen Wert liefert. - Die angegebene Vorzeichenbedingung entscheidet, wie der quadrierte Term nach dem Wurzelziehen geschrieben werden kann. - Prüfe, ob für die erlaubten Werte von \(x\) ein Betragszeichen noch nötig ist.

1. Allgemein gilt \(\sqrt{x^2}=|x|\). 2. Wegen \(x\ge0\) ist \(|x|=x\). Daher gilt \(\sqrt{x^2}=x\).

\(x\)

- Suche unter der Wurzel nach einem Faktor, der selbst ein vollständiges Quadrat ist. - Nutze die angegebene Vorzeichenbedingung für den Variablenfaktor. - Der nichtquadratische Zahlenfaktor bleibt unter der Wurzel stehen.

1. Mit dem Produktgesetz gilt \(\sqrt{7b^2}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{b^2}\). 2. Wegen \(b\ge0\) ist \(\sqrt{b^2}=b\). Daher folgt \(\sqrt{7b^2}=b\sqrt{7}\).

\(b\sqrt{7}\)

- Kannst du die Wurzeln unter einem gemeinsamen Wurzelzeichen zusammenfassen? - Gibt es Quadrate in den Radikanden, die du teilweise oder ganz aus der Wurzel ziehen kannst? - Wann ist eine Division durch eine Variable problematisch? - Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel mit sich selbst multipliziert?

1. Teilaufgabe a: Anwendung des Produktgesetzes \(\sqrt{7 \cdot 28} = \sqrt{196}\). Ergebnis: \(14\). Es ist keine zusätzliche Variablenbedingung erforderlich. 2. Teilaufgabe b: Anwendung des Quotientengesetzes \(\sqrt{\frac{45x^3}{5x}} = \sqrt{9x^2}\). Bedingung: \(x > 0\). Ergebnis: \(3x\). 3. Teilaufgabe c: Zusammenfassen der Koeffizienten und der Wurzeln \(2 \cdot 3 \cdot (\sqrt{a})^2 = 6a\). Bedingung: \(a \ge 0\). Ergebnis: \(6a\). 4. Teilaufgabe d: Teilweises Wurzelziehen \(\sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 3} = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\). Zusammenfassen der gleichartigen Wurzeln ergibt \(6\sqrt{3}\). Es ist keine zusätzliche Variablenbedingung erforderlich.

a) \(14\) (keine zusätzliche Bedingung) b) \(3x\) (für \(x > 0\)) c) \(6a\) (für \(a \ge 0\)) d) \(6\sqrt{3}\) (keine zusätzliche Bedingung)

- Wie kannst du eine Zahl so umschreiben, dass sie als Quadratwurzel dargestellt wird? - Überlege, welche Rechenregel für das Produkt von zwei Wurzeln gilt. - Was passiert mit einem Faktor, wenn man ihn „rückwärts“ aus einer Wurzel ziehen würde? - Achte bei Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner zu quadrieren.

1. Anwendung der Regel \(c\sqrt{d} = \sqrt{c^2 \cdot d}\) für \(c \ge 0\) in allen Teilaufgaben. 2. Für a): Berechnung von \(4^2 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80\), daraus folgt \(\sqrt{80}\). 3. Für b): Quadrieren des Bruchs \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\) und Multiplikation mit \(18\), ergibt \(\frac{4 \cdot 18}{9} = 8\), daraus folgt \(\sqrt{8}\). 4. Für c): Quadrieren der Dezimalzahl \(0{,}2^2 = 0{,}04\) und Multiplikation mit \(200\), ergibt \(0{,}04 \cdot 200 = 8\), daraus folgt \(\sqrt{8}\). 5. Für d): Quadrieren der Variable \(k^2\) und Multiplikation mit \(k\), ergibt \(k^2 \cdot k = k^3\), daraus folgt \(\sqrt{k^3}\).

a) \(\sqrt{80}\) b) \(\sqrt{8}\) c) \(\sqrt{8}\) d) \(\sqrt{k^3}\)

- Überlege, welche der drei binomischen Formeln jeweils passt. - Denk daran, dass das Quadrat einer Wurzel die ursprüngliche Zahl ergibt, also \( (\sqrt{x})^2 = x \). - Achte beim Quadrieren von Produkten wie \( (\sqrt{3}x)^2 \) darauf, beide Faktoren zu quadrieren. - Beim mittleren Term der binomischen Formel kannst du Wurzeln zusammenfassen, indem du die Radikanden multiplizierst.

1. Anwendung der 1. binomischen Formel \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) auf a): \( (\sqrt{r})^2 + 2 \cdot \sqrt{r} \cdot 4 + 4^2 = r + 8\sqrt{r} + 16 \). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) auf b): \( 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{s} + (\sqrt{s})^2 = 25 - 10\sqrt{s} + s \). 3. Anwendung der 1. binomischen Formel auf c): \( (\sqrt{3}x)^2 + 2 \cdot \sqrt{3}x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3x^2 + 2\sqrt{6}x + 2 \). 4. Anwendung der 2. binomischen Formel auf d): \( \left(\frac{\sqrt{y}}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{y}}{3} \cdot 6 + 6^2 = \frac{y}{9} - 4\sqrt{y} + 36 \).

a) \( r + 8\sqrt{r} + 16 \) b) \( 25 - 10\sqrt{s} + s \) c) \( 3x^2 + 2\sqrt{6}x + 2 \) d) \( \frac{y}{9} - 4\sqrt{y} + 36 \) Bedingungen: \(r,s,y \ge 0\), \(x\in\mathbb R\).

- Kannst du den mittleren Teil des Ausdrucks so umformen, dass er die gleiche Form wie die anderen beiden Teile hat? - Überlege, welche Faktoren unter der Wurzel Quadratzahlen oder Quadrate von Variablen sind. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, Wurzeln von Produkten aufzuteilen?

1. Teilweises Wurzelziehen im zweiten Summanden: \(\sqrt{9x^2 y} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y} = 3x\sqrt{y}\) 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(4x\sqrt{y} - 3x\sqrt{y} + 2x\sqrt{y}\) 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme: \((4 - 3 + 2) \cdot x\sqrt{y} = 3x\sqrt{y}\)

\(3x\sqrt{y}\)

- Erkennst du im ersten Teil des Ausdrucks eine der binomischen Formeln wieder? - Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Versuche, erst das Produkt vollständig zu berechnen, bevor du die hinteren Terme betrachtest.

1. Anwenden der dritten binomischen Formel \((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\) auf das Produkt: \((\sqrt{2p})^2 - (\sqrt{3q})^2\) 2. Quadrieren der Wurzelterme: \(2p - 3q\) 3. Den restlichen Term hinzufügen: \(2p - 3q + 3q - p\) 4. Zusammenfassen der Terme: \((2p - p) + (-3q + 3q) = p\)

\(p\)

- Was weißt du über das Vorzeichen des Ausdrucks unter einer Quadratwurzel? - Wie verhält sich das Relationszeichen einer Ungleichung, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du eine Zahl einsetzt, die größer als dein berechneter Grenzwert ist.

1. Der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) muss größer oder gleich Null sein: \(24 - 4x \ge 0\). 2. Subtraktion von 24 auf beiden Seiten führt zu \(-4x \ge -24\). 3. Division durch \(-4\) unter Umkehrung des Vergleichszeichens ergibt \(x \le 6\). 4. Der Term ist somit für alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x \le 6\) definiert.

\(x \le 6\)

- Kannst du die gleichartigen Terme unter der Wurzel zuerst zusammenfassen? - Was passiert mit dem Exponenten einer Potenz, wenn man die Quadratwurzel daraus zieht? - Erinnerst du dich an die Quadratzahlen bis 20? Das könnte hier helfen.

1. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder unter der Wurzel: \(225z^4 - 81z^4 = 144z^4\). 2. Anwendung der Produktregel für Wurzeln: \(\sqrt{144 \cdot z^4} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{z^4}\). 3. Ziehen der Quadratwurzeln: \(\sqrt{144} = 12\) und \(\sqrt{z^4} = z^2\). 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(12z^2\).

\(12z^2\)

- Welche Wurzelterme sind gleichartig und können durch Zusammenfassen ihrer Koeffizienten vereinfacht werden? - Welche Einschränkungen gelten für Variablen, die direkt unter einer Wurzel stehen? - Erinnerst du dich an die Regel für \(\sqrt{x^2}\)?

1. Zu a): Da \(\sqrt{a}\) nur für \(a \ge 0\) definiert ist, lautet die Bedingung \(a \ge 0\). Zusammenfassen der Koeffizienten ergibt \((2 + 5 - 1)\sqrt{a} = 6\sqrt{a}\). 2. Zu b): Der Term enthält \(\sqrt{3}\), was immer definiert ist. Ausklammern von \(x\sqrt{3}\) ergibt \((1 - 0{,}5)x\sqrt{3} = 0{,}5x\sqrt{3}\). Definiert für alle \(x \in \mathbb{R}\). 3. Zu c): Anwendung der Betragsregel ergibt \(5|z| + |z|\). Zusammenfassen ergibt \(6|z|\). Da Quadrate unter der Wurzel stehen, ist der Term für alle \(z \in \mathbb{R}\) definiert.

a) \(6\sqrt{a}\); definiert für \(a \ge 0\) b) \(0{,}5x\sqrt{3}\); definiert für \(x \in \mathbb{R}\) c) \(6|z|\); definiert für \(z \in \mathbb{R}\)

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel in Potenzen mit geraden Exponenten zerlegen? - Achte darauf, ob die Terme in der Klammer positiv oder negativ sind. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, eine Wurzel aus einem Produkt in ein Produkt aus Wurzeln zu verwandeln?

1. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{(x-7)^5} = \sqrt{(x-7)^4 \cdot (x-7)}\). Da \(x \ge 7\), ist \(x-7 \ge 0\). Anwendung der Wurzelregel: \(\sqrt{(x-7)^4} = (x-7)^2\). Ergebnis: \((x-7)^2 \sqrt{x-7}\). 2. Aufspaltung des Produkts unter der Wurzel: \(\sqrt{a^3 \cdot (b+2)^2} = \sqrt{a^2 \cdot a \cdot (b+2)^2}\). Da \(a \ge 0\) und \(b \ge -2\) (somit \(b+2 \ge 0\)), gilt \(\sqrt{a^2} = a\) und \(\sqrt{(b+2)^2} = b+2\). Ergebnis: \(a(b+2)\sqrt{a}\).

1) \((x-7)^2 \sqrt{x-7}\) 2) \(a(b+2)\sqrt{a}\)

- Wie ändert sich ein Faktor, wenn man ihn unter eine Quadratwurzel zieht? - Versuche, den Ausdruck unter der Wurzel nach dem Hineinziehen des Faktors zu kürzen. - Prüfe am Ende, ob du aus dem Radikanden noch eine Quadratzahl als Faktor herausziehen kannst.

1. Teilaufgabe a): Um den Faktor \(6x\) unter die Quadratwurzel zu ziehen, wird er quadriert: \(6x \cdot \sqrt{\frac{y}{3x}} = \sqrt{(6x)^2 \cdot \frac{y}{3x}}\). 2. Berechnung des Radikanden: \((6x)^2 = 36x^2\), also \(\sqrt{36x^2 \cdot \frac{y}{3x}} = \sqrt{\frac{36x^2y}{3x}}\). 3. Kürzen des Bruchs im Radikanden: \(\frac{36x^2y}{3x} = 12xy\). 4. Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{12xy} = \sqrt{4 \cdot 3xy} = 2\sqrt{3xy}\). 5. Teilaufgabe b): Der Faktor \(\frac{a}{2}\) wird quadriert unter die Wurzel gezogen: \(\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot \frac{20b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{20b}{a}}\). 6. Kürzen des Bruchs: \(\frac{20a^2b}{4a} = 5ab\). 7. Endergebnis: \(\sqrt{5ab}\).

a) \(2\sqrt{3xy}\) b) \(\sqrt{5ab}\)

- Vereinfache jedes Paar so weit wie möglich, bevor du die verbleibenden Radikanden vergleichst. - Eine Summe oder Differenz wie \(a^2\pm b^2\) darf nicht gliedweise radiziert werden. - Prüfe bei c) zuerst, welche Bedingung an \(y\) aus beiden Wurzeln folgt.

1. Zu a): Aus der gemeinsamen Definitionsbedingung folgt \(x\ge0\). Es gilt \(\sqrt{20x^3}=\sqrt{4x^2\cdot5x}=2x\sqrt{5x}\) und \(\sqrt{45x}=3\sqrt{5x}\). Beide Terme haben nach dem Vereinfachen den Radikanden \(5x\) und sind daher gleichartig. 2. Zu b): Die Radikanden \(a^2+b^2\) und \(a^2-b^2\) sind im Allgemeinen verschieden und lassen sich nicht auf denselben Radikanden vereinfachen. Die Terme sind daher nicht gleichartig. 3. Zu c): Damit beide Terme definiert sind, muss \(y>0\) gelten. Dann ist \(\sqrt{\frac{1}{3y}}=\frac{1}{\sqrt{3y}}=\frac{\sqrt{3y}}{3y}\). Beide Terme besitzen damit den Radikanden \(3y\) und sind gleichartig.

a) Gleichartig b) Nicht gleichartig c) Gleichartig

- Achte bei Aufgaben mit Koeffizienten wie \(3\sqrt{5}\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Gibt es eine Struktur, die sich in allen Teilaufgaben wiederholt? - Bearbeite bei der letzten Teilaufgabe zuerst den Ausdruck innerhalb der großen Wurzel.

1. Zu a): Anwendung der dritten binomischen Formel \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\). Mit \(x = 3\sqrt{5}\) und \(y = 2\sqrt{2}\) folgt \((3\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 45 - 8 = 37\). 2. Zu b): Anwendung der dritten binomischen Formel. Mit \(x = \frac{1}{3}\sqrt{a}\) und \(y = \sqrt{b}\) folgt \((\frac{1}{3}\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = \frac{1}{9}a - b\). 3. Zu c): Zuerst Vereinfachung des Terms unter der großen Wurzel mittels der dritten binomischen Formel: \((\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2) = (\sqrt{13})^2 - 2^2 = 13 - 4 = 9\). Anschließend die äußere Wurzel ziehen: \(\sqrt{9} = 3\).

a) \(37\) b) \(\frac{1}{9}a - b\) c) \(3\)

- Kannst du die Zahlen unter ein gemeinsames Wurzelzeichen schreiben? - Wie gehst du mit den Zahlen vor der Wurzel um? Werden sie mit den Zahlen unter der Wurzel verrechnet? - Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für Division bei gleichen Basen? - Überprüfe am Ende, ob du aus dem Ergebnis unter der Wurzel noch eine Quadratzahl ziehen kannst.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a} {:} \sqrt{b} = \sqrt{a {:} b}\): \(\sqrt{108 {:} 3} = \sqrt{36} = 6\). 2. Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{\frac{125x^3}{5x}}\). Kürzen des Bruchs unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{25x^2}\). Ziehen der Wurzel führt zu \(5x\). 3. Getrennte Division der Koeffizienten und der Wurzelterme: \((12 {:} 3) \cdot \sqrt{10 {:} 2} = 4\sqrt{5}\).

1) \(6\) 2) \(5x\) 3) \(4\sqrt{5}\)

- Kannst du das Distributivgesetz anwenden, um die Klammer aufzulösen? - Welche Rechenregel kennst du für die Division von zwei Wurzeln? - Versuche, die Terme unter einer einzigen Wurzel zusammenzufassen und dann zu kürzen. - Denk daran, dass \(\sqrt{4a}\) auch als \(2 \cdot \sqrt{a}\) geschrieben werden kann.

1. Anwendung des Distributivgesetzes: Division jedes Summanden in der Klammer durch den Divisor \(\sqrt{5xy}\). 2. Zusammenfassen der Quotienten unter einer gemeinsamen Wurzel gemäß \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\): \(\sqrt{\frac{20x^3y}{5xy}} + \sqrt{\frac{5xy^3}{5xy}}\). 3. Kürzen der Brüche unter den Radikanden: \(\sqrt{4x^2} + \sqrt{y^2}\). 4. Radizieren der Terme unter Berücksichtigung positiver Variablen: \(2x + y\). 5. Für den zweiten Teil: Division jedes Terms durch \(\sqrt{a}\) ergibt \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{4a}}{\sqrt{a}}\). 6. Vereinfachen: \(1 - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1\).

1) \(2x+y\) 2) \(-1\)

- Kannst du eine ganze Zahl oder eine Variable als Quadrat einer Wurzel schreiben? - Suche nach einem gemeinsamen Faktor in beiden Teilen des Terms. - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einer Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Kannst du den Term \(\sqrt{xy}\) mithilfe der Rechenregeln für Wurzeln umschreiben?

1. Darstellung der Zahl \(6\) als Quadrat einer Wurzel: \(6 = (\sqrt{6})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{6}\): \((\sqrt{6})^2 + \sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)\). 2. Darstellung der Zahl \(3\) als Quadrat einer Wurzel: \(3 = (\sqrt{3})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{3}\): \((\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)\). 3. Darstellung der Variable \(y\) als Quadrat einer Wurzel: \(y = (\sqrt{y})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{y}\): \((\sqrt{y})^2 - \sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt{y} - 1)\). 4. Zerlegung von \(\sqrt{xy}\) in \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\) und Darstellung von \(x\) als \((\sqrt{x})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{x}\): \((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})\).

1) \(\sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)\) 2) \(\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)\) 3) \(\sqrt{y}(\sqrt{y} - 1)\) 4) \(\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})\)

- Kannst du einen der Terme als Quadrat einer Wurzel schreiben? - Was passiert, wenn du einen Teil des Terms so umschreibst, dass er denselben Ausdruck wie ein anderer Teil enthält? - Kannst du einen gemeinsamen Faktor identifizieren, der in beiden Summanden vorkommt?

1. Den Term \(x\) als \((\sqrt{x})^2\) umschreiben und den gemeinsamen Faktor \(\sqrt{x}\) ausklammern: \(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)\). 2. Den Ausdruck \(x+y\) als \((\sqrt{x+y})^2\) schreiben und \(\sqrt{x+y}\) ausklammern: \(\sqrt{x+y}(\sqrt{x+y} - 1)\).

1) \(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)\) 2) \(\sqrt{x+y}(\sqrt{x+y} - 1)\)

- Welche Erweiterung könnte den Nenner in Teil a) in eine Differenz von Quadraten verwandeln? - Schreibe bei b) \(a\) als Quadrat von \(\sqrt{a}\) und nutze die Differenz von Quadraten. - Prüfe vor jedem Kürzen, ob der gekürzte Faktor im angegebenen Definitionsbereich null werden kann.

1. Zu a): Erweitern mit \(\sqrt{x+1}+1\) ergibt im Nenner \((x+1)-1=x\). Wegen \(x\ne0\) darf gekürzt werden. Es bleibt \(\sqrt{x+1}+1\). 2. Zu b): Es gilt \(a-16=(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4)\). Da \(\sqrt{a}+4>0\), kann dieser Faktor gekürzt werden. Es bleibt \(\sqrt{a}-4\).

a) \(\sqrt{x+1}+1\) b) \(\sqrt{a}-4\)

- Welchen kleinsten Wert kann \(x^2\) für eine reelle Zahl annehmen? - Welche untere Schranke folgt daraus für den Radikanden \(x^2+25\)? - Vergleiche den daraus folgenden kleinsten Wurzelwert mit der rechten Seite der Gleichung.

1. Für jede reelle Zahl gilt \(x^2\ge0\). Daher ist \(x^2+25\ge25\). 2. Für nichtnegative Zahlen bleibt die Größenordnung beim Ziehen der Quadratwurzel erhalten. Also gilt \(\sqrt{x^2+25}\ge\sqrt{25}=5\). 3. Die linke Seite kann somit niemals den Wert \(4\) annehmen. Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung.

Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung, weil \(\sqrt{x^2+25}\ge5\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt.

- Was muss für den Wert unter einer Quadratwurzel immer gelten? - Wenn ein Ausdruck im Nenner eines Bruchs steht, welchen Wert darf er dann niemals annehmen? - Wenn zwei Wurzeln addiert werden, welche Werte für \(x\) sind dann für den gesamten Ausdruck erlaubt? - Überlege dir, wie man Bedingungen wie „größer als“ und „ungleich“ kombiniert.

1. Für \(A(x)\) muss der Radikand nichtnegativ sein: \(5x - 15 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 15 \Rightarrow x \ge 3\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3\}\) bzw. \(D = [3; \infty)\). 2. Für \(B(x)\) müssen beide Radikanden gleichzeitig nichtnegativ sein. Bedingung 1: \(12 - 4x \ge 0 \Rightarrow 12 \ge 4x \Rightarrow x \le 3\). Bedingung 2: \(x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2\). Die Schnittmenge ergibt \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 3\}\) bzw. \(D = [-2; 3]\). 3. Für \(C(x)\) muss der Radikand im Nenner echt positiv sein, da die Wurzel nicht Null werden darf: \(2x - 8 > 0 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 4\}\) bzw. \(D = (4; \infty)\).

a) \(x \ge 3\) bzw. \(D = [3; \infty)\) b) \(-2 \le x \le 3\) bzw. \(D = [-2; 3]\) c) \(x > 4\) bzw. \(D = (4; \infty)\)

- Prüfe zuerst, welche Werte eine Quadratwurzel überhaupt annehmen kann. - Bei mehreren Wurzeln müssen alle Definitionsbedingungen gleichzeitig erfüllt sein. - Isoliere eine Wurzel nur so weit, wie es für eine Unmöglichkeitsbegründung nötig ist.

1. Zu a): Eine reelle Quadratwurzel ist stets nichtnegativ. Deshalb kann \(\sqrt{x+12}\) niemals den Wert \(-5\) annehmen. 2. Zu b): Für die erste Wurzel muss \(x\ge8\) gelten, für die zweite zugleich \(x\le2\). Diese Bedingungen haben keine gemeinsame reelle Zahl. Die Gleichung ist daher schon wegen ihres Definitionsbereichs unlösbar. 3. Zu c): Nach Subtraktion von \(10\) folgt \(\sqrt{x-1}=-7\). Eine reelle Quadratwurzel kann keinen negativen Wert annehmen, also gibt es keine Lösung.

a) Keine reelle Lösung, weil eine Quadratwurzel nicht negativ sein kann. b) Keine reelle Lösung, weil die Bedingungen \(x\ge8\) und \(x\le2\) unvereinbar sind. c) Keine reelle Lösung, weil die Gleichung auf \(\sqrt{x-1}=-7\) führt.

- Untersuche zuerst, ob der Faktor vor der Wurzel positiv oder negativ ist. - Überlege, was mit dem Vorzeichen passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert. - Wie kann man einen negativen Ausdruck so umschreiben, dass ein Minuszeichen vor einer positiven Klammer steht? - Gibt es im Radikanden Terme, die sich nach dem Hineinziehen kürzen lassen?

1. Bestimmung des Vorzeichens: Da \(a > 1\), ist die Differenz \(1 - a\) negativ. 2. Umformung des Faktors: Um den Faktor unter die Wurzel zu ziehen, wird er als \(-(a-1)\) geschrieben, wobei \((a-1)\) positiv ist. 3. Einbeziehen in die Wurzel: Der positive Teil wird quadriert unter die Wurzel geschrieben, während das Minuszeichen vor der Wurzel stehen bleibt: \(-\sqrt{(a-1)^2 \cdot \frac{5}{a-1}}\). 4. Vereinfachung des Radikanden: Durch Kürzen von \((a-1)\) im Zähler und Nenner ergibt sich das Resultat \(-\sqrt{5(a-1)}\).

\(-\sqrt{5(a-1)}\)

- Behandle den gemeinsamen Wurzelterm zunächst wie eine Variable und sammle ihn auf einer Seite. - Isoliere die Wurzel vollständig, bevor du quadrierst. - Prüfe den gefundenen Wert anschließend in der ursprünglichen Gleichung.

1. Die Wurzelterme werden auf einer Seite gesammelt: \(\frac{7}{4}\sqrt{2x}-\frac{3}{4}\sqrt{2x}=13-5\). 2. Damit folgt \(\sqrt{2x}=8\). 3. Quadrieren ergibt \(2x=64\), also \(x=32\). 4. Für \(x=32\) ist der Radikand \(2x\) nichtnegativ. Die Probe in der Ausgangsgleichung bestätigt die Lösung.

\(\mathbb{L}=\{32\}\)

- Kannst du im Term unter der Wurzel etwas ausklammern? - Suchst du gezielt nach Faktoren, aus denen man glatt die Wurzel ziehen kann (Quadratzahlen oder Potenzen mit geraden Exponenten)? - Worauf musst du achten, wenn du eine Summe unter einer Wurzel hast?

1. Ausklammern des größten quadratischen Faktors unter der Wurzel: \(4x^2(2y + xy^2)\) 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Produkte: \(\sqrt{4x^2} \cdot \sqrt{2y + xy^2}\) 3. Radizieren des quadratischen Terms: \(2x \cdot \sqrt{2y + xy^2}\)

a) \(2x\sqrt{2y + xy^2}\)

- Fasse in a) zuerst die beiden gleichen Summanden unter der Wurzel zusammen. - Eine Quadratwurzel ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat den Radikanden ergibt. - Suche in b) deshalb nacheinander nach einer nichtnegativen Potenz, deren Quadrat \(y^{16}\) beziehungsweise \(y^8\) ist.

1. Zu a): Unter der Wurzel ist \(x^2+x^2=2x^2\). Für \(x>0\) gilt daher \(\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}\sqrt{x^2}=x\sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2}\ne2\), ist die behauptete Gleichung falsch. 2. Zu b): Weil \(y^8\ge0\) und \((y^8)^2=y^{16}\), gilt \(\sqrt{y^{16}}=y^8\). Ebenso ist \(y^4\ge0\) und \((y^4)^2=y^8\), also \(\sqrt{y^8}=y^4\). Damit ist \(T=y^4\).

a) Die Aussage ist falsch; für \(x>0\) gilt \(\sqrt{2x^2}=x\sqrt{2}\ne2x\). b) \(T=y^4\)

- Vergleiche bei den beiden eingesetzten Werten insbesondere das Vorzeichen von \(x-4\). - Nutze die Bedeutung des Betrags als nichtnegative Größe. - Bestimme, unter welcher Vorzeichenbedingung ein Ausdruck mit seinem Betrag übereinstimmt.

1. Für \(x=1\) gilt \(T(1)=\sqrt{(-3)^2}=3\). Für \(x=7\) gilt \(T(7)=\sqrt{3^2}=3\). 2. Allgemein ist \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\), weil die Quadratwurzel nichtnegativ ist. 3. Die Gleichung \(|x-4|=x-4\) gilt genau dann, wenn \(x-4\ge0\). Somit ist Laras Behauptung genau für \(x\ge4\) richtig und für \(x<4\) falsch.

a) \(T(1)=3\), \(T(7)=3\) b) Allgemein gilt \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\). Die behauptete Gleichheit mit \(x-4\) gilt genau für \(x\ge4\).

- Nutze bei jedem Teil die Beziehung \(\sqrt{u^2}=|u|\). - Bestimme in c) zuerst das Vorzeichen von \(2-\sqrt{5}\), ohne die Wurzel als Dezimalzahl auszurechnen. - Für eine negative Zahl \(y\) ist ihr Betrag gleich \(-y\).

1. Zu a): \(\sqrt{(-15)^2}=|-15|=15\). 2. Zu b): \(\sqrt{(0{,}4)^2}=|0{,}4|=0{,}4\). 3. Zu c): Weil \(2^2<5\), gilt \(2<\sqrt{5}\). Somit ist \(2-\sqrt{5}<0\) und daher \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2\). 4. Zu d): Allgemein gilt \(\sqrt{y^2}=|y|\). Für \(y<0\) ist \(|y|=-y\).

a) \(15\) b) \(0{,}4\) c) \(\sqrt{5}-2\) d) \(-y\)

- Ersetze zuerst \(\sqrt{u^2}\) durch \(|u|\). - Welche zwei Werte kann ein Ausdruck annehmen, wenn sein Betrag \(9\) ist? - Prüfe beide gefundenen Werte in der ursprünglichen Gleichung.

1. Es gilt \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\). Die Gleichung lautet daher \(|x-4|=9\). 2. Ein Betrag ist genau dann \(9\), wenn der Ausdruck im Betrag \(9\) oder \(-9\) ist. Es entstehen die beiden Gleichungen \(x-4=9\) und \(x-4=-9\). 3. Aus \(x-4=9\) folgt \(x=13\); aus \(x-4=-9\) folgt \(x=-5\). 4. Beide Werte erfüllen die Ausgangsgleichung: \(\sqrt{9^2}=9\) und \(\sqrt{(-9)^2}=9\).

Die Lösungen sind \(x=13\) und \(x=-5\).

- Achte bei a) darauf, welchen Vorzeichenbereich die Hauptwurzel besitzt. - Nutze bei b) die Wurzelgesetze nur unter den gegebenen Bedingungen an \(z\). - Prüfe bei c) nach dem Beseitigen der Wurzel den erhaltenen Wert in der Ausgangsgleichung.

1. Für \(x=5\) gilt \(\sqrt{5^2}=5\). Für \(x=-5\) gilt \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\). Die Aussage stimmt daher nicht für negative \(x\); allgemein gilt \(\sqrt{x^2}=|x|\). 2. Für \(z>0\) darf der Quotient unter einer Wurzel zusammengefasst werden: \(\frac{\sqrt{32z^5}}{\sqrt{2z}}=\sqrt{\frac{32z^5}{2z}}=\sqrt{16z^4}=4z^2\). 3. Aus \(\sqrt y\cdot\sqrt8=4\) folgt \(\sqrt{8y}=4\). Quadrieren ergibt \(8y=16\), also \(y=2\). Die Probe erfüllt die ursprüngliche Gleichung.

a) Die Aussage ist falsch; allgemein gilt \(\sqrt{x^2}=|x|\). b) \(4z^2\) c) \(y=2\)

- Vereinfache zuerst die Potenzen mit der Basis \(a\) im Bruch. - Beachte beim Dividieren gleicher Basen das Subtrahieren der Exponenten, auch wenn einer davon negativ ist. - Setze die gegebenen Zehnerpotenzen erst nach der symbolischen Vereinfachung ein.

1. Mit dem Quotientengesetz für Potenzen gilt \(\frac{a^4}{a^{-2}}=a^{4-(-2)}=a^6\). Damit lautet der Radikand \(a^6b^6\). 2. Weil \(a,b>0\), ist \(\sqrt{a^6b^6}=a^3b^3=(ab)^3\). 3. Für \(a=10^{-1}\) und \(b=10\) ist \(ab=10^{-1}\cdot10=1\). Daher beträgt der Wert \((ab)^3=1\).

Vereinfachter Term: \(a^3b^3=(ab)^3\). Für \(a=10^{-1}\) und \(b=10\) ist der Wert \(1\).

- Erkennst du in den ersten beiden Teilaufgaben eine Struktur, bei der sich nur das Vorzeichen in der Mitte unterscheidet? - In Teilaufgabe c) kannst du das Produkt der Wurzeln unter einer Wurzel zusammenfassen und prüfen, ob du daraus die Wurzel ziehen kannst. - Achte in Teilaufgabe d) auf das Minuszeichen vor der Klammer und wie es die Vorzeichen beim Auflösen beeinflusst.

1. Anwendung der 3. binomischen Formel \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) auf a): \( (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{d})^2 = 11 - d \). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel auf b): \( (x\sqrt{5})^2 - (2y)^2 = 5x^2 - 4y^2 \). 3. Anwendung der 1. binomischen Formel auf c): \( (\sqrt{8})^2 + 2\sqrt{8}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 8 + 2\sqrt{16} + 2 = 10 + 2 \cdot 4 = 18 \). 4. Anwendung der 1. binomischen Formel auf den ersten Teil von d): \( a + 2\sqrt{ab} + b \). Subtraktion von \( (a+b) \) ergibt: \( a + 2\sqrt{ab} + b - a - b = 2\sqrt{ab} \).

a) \( 11 - d \) b) \( 5x^2 - 4y^2 \) c) \( 18 \) d) \( 2\sqrt{ab} \) Bedingungen: \(d,a,b \ge 0\), \(x,y\in\mathbb R\).

- Vergleiche mit \((u\pm v)^2=u^2\pm2uv+v^2\). - Bestimme zuerst die Ausdrücke \(u\) und \(v\). - Achte auf die Bedingungen, unter denen die Wurzeln definiert sind.

1. Zu a): Setze \(u=\sqrt{x}\) und \(v=\sqrt{7}\). Dann ist \(2uv=2\sqrt{x}\sqrt{7}=2\sqrt{7x}\). Daher muss \(\square=v^2=7\) gelten, und der Term lautet \((\sqrt{x}+\sqrt{7})^2\). 2. Zu b): Setze \(u=\sqrt{3a}\) und \(v=\sqrt{2}\). Dann ist \(2uv=2\sqrt{3a}\sqrt{2}=2\sqrt{6a}=\sqrt{24a}\). Daher muss \(\square=v^2=2\) gelten, und der Term lautet \((\sqrt{3a}-\sqrt{2})^2\).

a) \(\square=7\), also \((\sqrt x+\sqrt7)^2\). b) \(\square=2\), also \((\sqrt{3a}-\sqrt2)^2\).

- Suche in der Potenz unter der ersten Wurzel nach einem quadratischen Faktor, den du herausziehen kannst. - Fasse danach im Zähler die gleichartigen Wurzelterme zusammen. - Die Bedingung \(a>0\) stellt sicher, dass \(\sqrt{a}\) im Nenner nicht null ist.

1. Wegen \(a>0\) gilt \(\sqrt{a^3}=\sqrt{a^2\cdot a}=a\sqrt{a}\). 2. Der Zähler wird damit zu \(a\sqrt{a}+2a\sqrt{a}=3a\sqrt{a}\). 3. Da \(\sqrt{a}>0\), darf gekürzt werden: \(\frac{3a\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=3a\). 4. Schließlich ist \(3a-a=2a\).

\(2a\)

- Welche zwei mathematischen Regeln müssen hier gleichzeitig beachtet werden (Wurzelziehen und Division)? - Wann ist ein Bruch insgesamt positiv? - Kann der Nenner eines Bruchs jemals Null werden?

1. Der gesamte Bruch unter der Wurzel muss nichtnegativ sein: \(\frac{5}{a - 3} \ge 0\). 2. Da der Zähler \(5\) positiv ist, muss auch der Nenner \(a - 3\) positiv sein. 3. Der Nenner darf nicht Null sein, daher gilt die strikte Bedingung \(a - 3 > 0\). 4. Daraus folgt \(a > 3\). 5. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen größer als 3.

\(a > 3\)

- Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen wie \(k^2\) oder \((k-2)^2\)? - Überlege dir für jeden Teil, ob es Werte gibt, die den Ausdruck unter der Wurzel negativ machen könnten. - Gibt es in einem der Fälle vielleicht nur eine einzige Lösung oder gar keine Einschränkung?

1. Teil a: Da \(k^2 \ge 0\) für alle reellen \(k\), ist \(k^2 + 10 \ge 10\). Da der Radikand immer positiv ist, ist der Term für alle \(k \in \mathbb{R}\) definiert. 2. Teil b: Ein Quadrat \((k - 2)^2\) ist stets \(\ge 0\). Das negative Vorzeichen davor macht den Ausdruck \(-(k - 2)^2 \le 0\). Eine Wurzel ist nur für Radikanden \(\ge 0\) definiert. Dies ist nur erfüllt, wenn \(-(k - 2)^2 = 0\), also bei \(k = 2\). 3. Teil c: Der Nenner \(k^2\) muss ungleich Null sein, also \(k \neq 0\). Da \(4 > 0\) und \(k^2 > 0\) für alle \(k \neq 0\), ist der Bruch \(\frac{4}{k^2}\) immer positiv. Der Term ist somit für alle \(k \neq 0\) definiert.

a) Alle reellen Zahlen (\(k \in \mathbb{R}\)) b) Nur für \(k = 2\) c) Alle reellen Zahlen außer Null (\(k \neq 0\))

- Wie verändert sich ein Term, wenn du ihn unter eine Quadratwurzel schreibst? - Nutze die Rechenregeln für Brüche und Potenzen, um den Ausdruck unter der Wurzel am Ende zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, dass \((m \cdot n)^2 = m^2 \cdot n^2\) gilt. - Achte beim Kürzen unter der Wurzel genau auf die Exponenten der Variablen.

1. Einbringen des Faktors \(\frac{a}{2}\) unter die Wurzel durch Quadrieren: \(\sqrt{(\frac{a}{2})^2 \cdot \frac{8}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{8}{a}}\). Kürzen von \(a\) und Verrechnung der Zahlen: \(\sqrt{\frac{8a^2}{4a}} = \sqrt{2a}\). 2. Einbringen des Faktors \(3b^2\): \(\sqrt{(3b^2)^2 \cdot \frac{1}{3b^3}} = \sqrt{9b^4 \cdot \frac{1}{3b^3}}\). Kürzen der Potenzen von \(b\) und der Zahlen: \(\sqrt{\frac{9b^4}{3b^3}} = \sqrt{3b}\). 3. Einbringen des Faktors \(\frac{2}{3x}\): \(\sqrt{(\frac{2}{3x})^2 \cdot 18x^3} = \sqrt{\frac{4}{9x^2} \cdot 18x^3}\). Verrechnung der Brüche: \(\frac{4 \cdot 18}{9} = 4 \cdot 2 = 8\) und \(\frac{x^3}{x^2} = x\). Ergebnis: \(\sqrt{8x}\).

a) \(\sqrt{2a}\) b) \(\sqrt{3b}\) c) \(\sqrt{8x}\)

- Prüfe die angegebenen Schritte der Reihe nach und stoppe beim ersten nicht zulässigen Wurzelgesetz. - Achte darauf, ob die auftretenden Wurzelterme nach einer Vereinfachung gleichartig sind. - Unterscheide Regeln für Produkte von Regeln für Summen und Differenzen.

1. Schritt 1 ist korrekt, weil für \(b\ge0\) gilt \(\sqrt{49b}=7\sqrt b\) und \(\sqrt{100b}=10\sqrt b\). 2. Der erste Fehler liegt in Schritt 2. Es gilt nicht \(\sqrt{100b}-4\sqrt b=\sqrt{96b}\). Nach Schritt 1 sind die Terme gleichartig: \(10\sqrt b-4\sqrt b=6\sqrt b\). 3. Der ursprüngliche Term wird damit zu \(3\cdot7\sqrt b-2(10\sqrt b-4\sqrt b)\). 4. Daher gilt \(21\sqrt b-2\cdot6\sqrt b=21\sqrt b-12\sqrt b=9\sqrt b\).

a) Der erste Fehler liegt in Schritt 2. Die Radikanden einer Differenz dürfen nicht einfach subtrahiert werden. b) \(9\sqrt b\)

- Überlege, welcher Teil des Terms \(u\) und welcher \(v\) in der Formel \((u-v)(u+v)\) entspricht. - Denk daran, dass beim Quadrieren eines Produkts wie \(2\sqrt{3}\) jeder Faktor quadriert werden muss. - Klammern sind wichtig, wenn du einen ganzen Ausdruck subtrahierst, der aus einer Wurzel entstanden ist.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel \((u-v)(u+v) = u^2 - v^2\) auf alle Teilaufgaben. 2. Berechnung von 1): \(5^2 - (2\sqrt{3})^2 = 25 - 4 \cdot 3 = 25 - 12 = 13\). 3. Berechnung von 2): \((x\sqrt{y})^2 - (y\sqrt{x})^2 = x^2 y - y^2 x\) bzw. \(xy(x-y)\). 4. Berechnung von 3): \((2\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a-b})^2 = 4(a+b) - (a-b) = 4a + 4b - a + b = 3a + 5b\).

1) \(13\); 2) \(x^2 y - xy^2\); 3) \(3a + 5b\).

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel in Produkte zerlegen, bei denen ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Untersuche, ob sich alle Wurzelterme auf eine gemeinsame Form mit demselben Radikanden bringen lassen. - Wie verhält es sich mit dem Addieren und Subtrahieren von Wurzeln, die den gleichen Ausdruck unter der Wurzel haben?

1. Teilweises Wurzelziehen der einzelnen Glieder: \(2\sqrt{18x} = 2 \cdot 3\sqrt{2x} = 6\sqrt{2x}\), \(3\sqrt{8x} = 3 \cdot 2\sqrt{2x} = 6\sqrt{2x}\) und \(\sqrt{50x} = 5\sqrt{2x}\) 2. Einsetzen der vereinfachten Terme: \(T = (6\sqrt{2x} - 5\sqrt{2x} + 4) + (5\sqrt{2x} - 6\sqrt{2x})\) 3. Zusammenfassen der Koeffizienten von \(\sqrt{2x}\): \((6 - 5 + 5 - 6) \cdot \sqrt{2x} = 0 \cdot \sqrt{2x} = 0\) 4. Endergebnis nach Addition der Konstante: \(T = 0 + 4 = 4\)

\(4\)

- Versuche, alle drei Wurzelterme so umzuformen, dass unter der Wurzel jeweils derselbe Ausdruck steht. - Welche Quadratzahlen sind Teiler von \(27\), \(48\) und \(147\)? - Darf man Wurzeln einfach addieren, indem man die Zahlen unter der Wurzel addiert? Überprüfe dies kritisch durch Einsetzen.

1. Teilweises Wurzelziehen auf der linken Seite: \(\sqrt{27y} = \sqrt{9 \cdot 3y} = 3\sqrt{3y}\) und \(\sqrt{48y} = \sqrt{16 \cdot 3y} = 4\sqrt{3y}\) 2. Addition der Terme auf der linken Seite: \(3\sqrt{3y} + 4\sqrt{3y} = 7\sqrt{3y}\) 3. Teilweises Wurzelziehen auf der rechten Seite: \(\sqrt{147y} = \sqrt{49 \cdot 3y} = 7\sqrt{3y}\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da die linke Seite und die rechte Seite identisch zu \(7\sqrt{3y}\) vereinfacht werden können, ist die Gleichung für alle \(y \ge 0\) wahr.

Die Aussage ist wahr, da beide Seiten der Gleichung den Wert \(7\sqrt{3y}\) ergeben.

- Gibt es eine Regel, mit der man zwei Wurzeln, die dividiert werden, zusammenfassen kann? - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln oder das Komma verschieben, um einfacher zu dividieren? - Bei Teil d: Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du sie dividierst? - Erinnerst du dich an die Regel \(\sqrt{x^2} = |x|\)?

1. Zu a): Anwendung der Regel \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}\) ergibt \(\sqrt{\frac{180}{5}} = \sqrt{36} = 6\). 2. Zu b): Umwandlung in einen gemeinsamen Wurzelterm \(\sqrt{\frac{1{,}2}{0{,}3}} = \sqrt{4} = 2\). 3. Zu c): Zusammenfassen des Zählers zu \(\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10\). Division durch \(\sqrt{4} = 2\) ergibt \(10 {:} 2 = 5\). Alternativ: \(\sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter einer Wurzel \(\sqrt{\frac{27 \cdot a^3}{3 \cdot a}} = \sqrt{9 \cdot a^2}\). Da \(a > 0\), ist das Ergebnis \(3a\).

a) \(6\) b) \(2\) c) \(5\) d) \(3a\)

- Prüfe bei jedem Ausdruck, ob sich die Summanden als Vielfache desselben Wurzelausdrucks schreiben lassen. - Bei einer Zahl außerhalb einer Wurzel kann es helfen, sie als Quadrat einer passenden Wurzel zu schreiben. - Suche in den Radikanden nach gemeinsamen Faktoren und nach Quadratzahlen, die sich herausziehen lassen. - Bei einem Bruch lohnt sich ein Blick darauf, ob Zähler und Nenner nach einer Umformung einen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Schreibe \(5=(\sqrt5)^2\). Dann gilt \(5+\sqrt5=\sqrt5(\sqrt5+1)\). 2. Beide Radikanden enthalten den gemeinsamen Faktor \(2\): \(\sqrt{18}+\sqrt8=\sqrt2(\sqrt9+\sqrt4)=\sqrt2(3+2)=5\sqrt2\). 3. Klammere \(\sqrt{12}\) aus: \(\sqrt{24}-\sqrt{12}=\sqrt{12}(\sqrt2-1)\). Mit \(\sqrt{12}=2\sqrt3\) folgt \(2\sqrt3(\sqrt2-1)\). 4. Im Zähler lässt sich \(\sqrt5\) ausklammern: \(\frac{\sqrt5(\sqrt6+\sqrt4)}{\sqrt5}=\sqrt6+2\).

1) \(\sqrt5(\sqrt5+1)\) 2) \(5\sqrt2\) 3) \(2\sqrt3(\sqrt2-1)\) 4) \(\sqrt6+2\)

- Wie dividiert man durch einen Bruch? Gilt das auch innerhalb oder für Wurzeln? - Du kannst die Division durch eine Wurzel als Multiplikation mit der Kehrwert-Wurzel schreiben. - Verwende das Distributivgesetz, um jeden Teil der Klammer einzeln zu multiplizieren. - Kannst du die Terme unter der Wurzel so weit kürzen, dass du die Wurzel einfach ziehen kannst?

1. Umwandlung der Division durch eine Wurzel in eine Multiplikation mit dem Kehrwert unter der Wurzel: \({:} \sqrt{\frac{1}{x}}\) entspricht \(\cdot \sqrt{x}\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \(\sqrt{x^3} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\). 3. Zusammenfassen unter der Wurzel: \(\sqrt{x^4} + \sqrt{x^2}\). 4. Radizieren: \(x^2 + x\). 5. Für den zweiten Teil: Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors: \((\sqrt{a^2b} - \sqrt{b^3}) \cdot \sqrt{\frac{a^2}{b}}\). 6. Distributivgesetz anwenden: \(\sqrt{a^2b \cdot \frac{a^2}{b}} - \sqrt{b^3 \cdot \frac{a^2}{b}}\). 7. Kürzen der Variablen unter der Wurzel: \(\sqrt{a^4} - \sqrt{a^2b^2}\). 8. Radizieren: \(a^2 - ab\).

1) \(x^2+x\) 2) \(a^2-ab\)

- Versuche zuerst, den Zähler so umzuformen, dass du einen Faktor ausklammern kannst, der auch im Nenner vorkommt. - Kannst du eine Wurzel im Zähler finden, die in beiden Summanden (oder Subtrahenden) „versteckt“ ist? - Erinnere dich daran, wie man Wurzeln aus Produkten (wie \(\sqrt{15}\)) zerlegt. - Wie lässt sich eine Variable wie \(a\) mithilfe einer Wurzel ausdrücken?

1. Im Zähler wird \(7\) als \((\sqrt{7})^2\) geschrieben. Ausklammern von \(\sqrt{7}\) ergibt \(\sqrt{7}(1 + \sqrt{7})\). Nach dem Kürzen durch \(\sqrt{7}\) verbleibt \(1 + \sqrt{7}\). 2. Im Zähler wird \(a\) als \((\sqrt{a})^2\) geschrieben. Ausklammern von \(\sqrt{a}\) ergibt \(\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)\). Nach dem Kürzen durch den Faktor \((\sqrt{a} - 1)\) verbleibt \(\sqrt{a}\). 3. Im Zähler wird \(\sqrt{15}\) als \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}\) geschrieben. Ausklammern von \(\sqrt{5}\) ergibt \(\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)\). Nach dem Kürzen durch \(\sqrt{5}\) verbleibt \(\sqrt{3} - 1\).

1) \(1 + \sqrt{7}\) 2) \(\sqrt{a}\) 3) \(\sqrt{3} - 1\)

- Kannst du die Terme in Paare aufteilen, die etwas gemeinsam haben? - Gibt es in den Teilgruppen Faktoren, die nach dem Ausklammern in beiden Klammern identisch sind? - Lässt sich ein Teil des Ausdrucks mit einer binomischen Formel umschreiben, um neue Faktoren zu erzeugen? - Was passiert, wenn du Variablen wie \( x \) als Quadrat einer Wurzel betrachtest?

1. Gruppierung der Summanden: \( (\sqrt{uv} - \sqrt{3u}) + (\sqrt{2v} - \sqrt{6}) \). Aus der ersten Gruppe \( \sqrt{u} \) und aus der zweiten Gruppe \( \sqrt{2} \) ausklammern: \( \sqrt{u}(\sqrt{v} - \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \). Den gemeinsamen Faktor \( (\sqrt{v} - \sqrt{3}) \) ausklammern: \( (\sqrt{u} + \sqrt{2})(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \). 2. Den Ausdruck \( x - y \) mithilfe der dritten binomischen Formel als \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \) schreiben. Den hinteren Teil \( -3\sqrt{x} + 3\sqrt{y} \) durch Ausklammern von \( -3 \) zu \( -3(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \) umformen. Den gemeinsamen Faktor \( (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \) ausklammern: \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3) \).

1) \( (\sqrt{u} + \sqrt{2})(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \) 2) \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3) \)

- Prüfe bei Teil 1, ob der Term zur Struktur \(u^2-2uv+v^2\) passt. - Bei Teil 2 kann die Substitution \(u=\sqrt{a}\) den Ausdruck übersichtlicher machen. - Suche nach einer Gruppierung, bei der zwei Summengruppen denselben Klammerfaktor besitzen.

1. In Teil 1 erkennt man mit \(u=\sqrt{x}\) die zweite binomische Formel: \(u^2-10u+25=(u-5)^2\). Daher gilt \(x-10\sqrt{x}+25=(\sqrt{x}-5)^2\). 2. Für Teil 2 setze \(u=\sqrt{a}\). Dann wird der Term zu \(3u^2-5u-2\). Durch geschicktes Gruppieren erhält man \(3u^2-6u+u-2=3u(u-2)+(u-2)\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors ergibt \((u-2)(3u+1)\). Nach der Rücksubstitution folgt \((\sqrt{a}-2)(3\sqrt{a}+1)\).

1) \((\sqrt{x}-5)^2\) 2) \((\sqrt{a}-2)(3\sqrt{a}+1)\)

- Schau dir die Ausdrücke unter den Wurzeln genau an – lassen sie sich in Produkte zerlegen? - Ein Term ohne Wurzel kann oft als Quadrat einer Wurzel geschrieben werden, um das Ausklammern zu ermöglichen. - Achte bei Teilaufgabe 2 besonders auf den Zusammenhang zwischen dem Quadrat einer Differenz und der Wurzel daraus.

1. Zerlegung von \(x^2 - 16\) in \((x - 4)(x + 4)\) und Darstellung von \(x - 4\) als \((\sqrt{x - 4})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{x - 4}\) führt zu: \(\sqrt{x - 4}(\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4})\). 2. Erkennen der zweiten binomischen Formel unter der Wurzel: \(\sqrt{(x - y)^2} = x - y\) (da \(x \ge y\)). Der Term lautet dann \((x - y) + \sqrt{x - y}\). Ausklammern von \(\sqrt{x - y}\) ergibt: \(\sqrt{x - y}(\sqrt{x - y} + 1)\).

1) \(\sqrt{x - 4}(\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4})\) 2) \(\sqrt{x - y}(\sqrt{x - y} + 1)\)

- Achte beim Quadrieren von Termen wie \(5\sqrt{z}\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Wie lässt sich ein Term wie \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{xy}\) durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen? - Gehe Schritt für Schritt vor: Erst die Formel allgemein hinschreiben, dann die Quadrate und Produkte einzeln ausrechnen.

1. Berechnung von a) mit der zweiten binomischen Formel: \((5\sqrt{z})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{z} \cdot 1 + 1^2 = 25z - 10\sqrt{z} + 1\). 2. Berechnung von b) mit der ersten binomischen Formel: \((\frac{1}{2}\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{x} \cdot 4\sqrt{y} + (4\sqrt{y})^2 = \frac{1}{4}x + 4\sqrt{xy} + 16y\). 3. Berechnung von c) mit der zweiten binomischen Formel: \((\sqrt{xy})^2 - 2 \cdot \sqrt{xy} \cdot 3\sqrt{x} + (3\sqrt{x})^2\). 4. Vereinfachung des mittleren Terms in c): \(2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{xy} = 6 \cdot \sqrt{x^2y} = 6x\sqrt{y}\). 5. Endergebnis für c): \(xy - 6x\sqrt{y} + 9x\).

a) \(25z - 10\sqrt{z} + 1\) b) \(\frac{1}{4}x + 4\sqrt{xy} + 16y\) c) \(xy - 6x\sqrt{y} + 9x\)

- Schreibe \(a\) als \((\sqrt{a})^2\) und untersuche den Zähler auf eine Differenz von Quadraten. - Prüfe, ob nach dem Faktorisieren ein Faktor zum Radikanden im Nenner passt. - Nutze die Bedingung \(0\le a<1\), um sicherzustellen, dass die vorkommenden Wurzeln und der Nenner zulässig sind.

1. Mit der dritten binomischen Formel gilt \(1-a=(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})\). 2. Damit ist \(T=(1-\sqrt{a})\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}\). 3. Wegen \(1+\sqrt{a}>0\) gilt \(\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}=\sqrt{1+\sqrt{a}}\). Somit folgt \(T=(1-\sqrt{a})\sqrt{1+\sqrt{a}}\).

\((1-\sqrt{a})\sqrt{1+\sqrt{a}}\)

- Untersuche zuerst, wann die beiden Wurzeln und der Nenner definiert sind. - Schreibe \(b-c\) als Differenz zweier Quadrate mit \(\sqrt{b}\) und \(\sqrt{c}\). - Beim alternativen Weg musst du den Sonderfall \(b=c\) beachten, bevor du einen Faktor \(b-c\) kürzt.

1. Für reelle Quadratwurzeln müssen \(b\ge0\) und \(c\ge0\) gelten. Der Nenner \(\sqrt{b}+\sqrt{c}\) ist genau dann null, wenn \(b=c=0\). Somit gilt zusätzlich \((b,c)\ne(0,0)\). 2. Mit \(b-c=(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})\) kann im Definitionsbereich der gemeinsame Faktor gekürzt werden. Es folgt \(A=\sqrt{b}-\sqrt{c}\). 3. Alternativ erweitert man mit \(\sqrt{b}-\sqrt{c}\). Für \(b\ne c\) entsteht \(\frac{(b-c)(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}=\sqrt{b}-\sqrt{c}\). Für \(b=c>0\) ist der ursprüngliche Term bereits \(0\), ebenso das vereinfachte Ergebnis.

a) \(A=\sqrt{b}-\sqrt{c}\) b) Für \(b\ne c\) führt Erweitern mit \(\sqrt{b}-\sqrt{c}\) zu \(\frac{(b-c)(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}=\sqrt{b}-\sqrt{c}\). Für \(b=c>0\) sind ursprünglicher und vereinfachter Term beide \(0\). c) \(b\ge0\), \(c\ge0\) und \((b,c)\ne(0,0)\)

- Berechne zunächst \(x+y\) und \(x-y\) getrennt. - Achte beim Subtrahieren von \(y\) auf das Minuszeichen vor der gesamten Klammer im Zähler. - Wenn Zähler und Nenner des großen Bruchs vereinfacht sind, behandle die Division wie die Division zweier gewöhnlicher Brüche.

1. Für den Zähler gilt \(x+y=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=2\). 2. Für den Nenner gilt \(x-y=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\). 3. Damit ist \(T=2:\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=2\cdot\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\).

\(T=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

- Bestimme die Definitionsbedingung für jede Wurzel getrennt. - Schneide anschließend die beiden zulässigen Mengen. - Eine durch Umformen erhaltene Zahl ist nur dann eine Lösung, wenn sie auch in der ursprünglichen Gleichung zulässig ist.

1. Für \(\sqrt{x-3}\) muss \(x-3\ge0\), also \(x\ge3\), gelten. 2. Für \(\sqrt{1-x}\) muss zugleich \(1-x\ge0\), also \(x\le1\), gelten. 3. Es gibt keine reelle Zahl, die beide Bedingungen erfüllt. Die Definitionsmenge der ursprünglichen Gleichung ist leer. 4. Deshalb kann \(x=2\) keine Lösung sein. Beim Einsetzen entstünde zudem \(\sqrt{-1}\), was in \(\mathbb{R}\) nicht definiert ist.

\(x=2\) ist keine Lösung. Die ursprüngliche Gleichung hat die leere Definitionsmenge, weil gleichzeitig \(x\ge3\) und \(x\le1\) gelten müsste.

- Vereinfache beide Wurzeln zunächst durch teilweises Wurzelziehen. - Fasse danach die gleichartigen Wurzelterme zusammen. - Quadriere erst, wenn nur noch eine Wurzel auf einer Seite steht, und führe am Ende eine Probe durch.

1. Teilweises Wurzelziehen ergibt \(\sqrt{12x}=2\sqrt{3x}\) und \(\sqrt{75x}=5\sqrt{3x}\). 2. Damit lautet die Gleichung \(7\sqrt{3x}=14\), also \(\sqrt{3x}=2\). 3. Quadrieren ergibt \(3x=4\) und damit \(x=\frac{4}{3}\). 4. Der Wert \(\frac{4}{3}\) liegt in der Grundmenge. Die Probe bestätigt die Lösung.

\(x=\frac{4}{3}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Quadratwurzel aus einem quadrierten negativen Term ziehst? - Kannst du den Betrag eines Terms auflösen, wenn du weißt, dass der Term kleiner als null ist? - Welche Potenz von \(a\) lässt sich vollständig aus der Quadratwurzel ziehen?

1. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{a^7(b-3)^2} = \sqrt{a^6 \cdot a \cdot (b-3)^2}\). 2. Für \(a \ge 0\) ist \(\sqrt{a^6} = a^3\). 3. Da \(b < 3\), ist \(b-3 < 0\). Es gilt \(\sqrt{(b-3)^2} = |b-3| = 3-b\). 4. Ergebnis: \(a^3(3-b)\sqrt{a}\).

\(a^3(3-b)\sqrt{a}\)

- Überlege, wie du den Ausdruck unter der Wurzel faktorisieren kannst, um Quadrate zu finden. - Wann ist eine Quadratwurzel in den reellen Zahlen nicht definiert? - Welche Einschränkungen ergeben sich durch den Nenner eines Bruchs? - Kannst du die Wurzel eines Bruchs als Bruch zweier Wurzeln schreiben?

1. Die Terme unter der Wurzel werden zusammengefasst: \(T = \sqrt{\frac{a^5-a^4}{b^4}} = \sqrt{\frac{a^4(a-1)}{b^4}}\). 2. Für \(b \ne 0\) ist \(\frac{a^4}{b^4} \ge 0\). Der Radikand ist daher genau dann nicht negativ, wenn \(a=0\) oder \(a-1 \ge 0\). Somit gilt \(a \in \{0\} \cup [1,\infty)\) und \(b \ne 0\). 3. Für \(a \ge 1\) kann die Wurzel produktweise zerlegt werden: \(T = \sqrt{\frac{a^4}{b^4}}\sqrt{a-1} = \frac{a^2}{b^2}\sqrt{a-1}\). 4. Für den Sonderfall \(a=0\) ist der ursprüngliche Radikand gleich \(0\), also \(T=0\).

a) \(T = \frac{a^2}{b^2}\sqrt{a-1}\) für \(a \ge 1\); für \(a=0\) gilt \(T=0\). b) Der Term ist für \(b \ne 0\) und \(a \in \{0\} \cup [1,\infty)\) definiert.

- Behandle beim Kubieren den rationalen Faktor und den Wurzelfaktor zunächst getrennt. - Zerlege die Potenzen unter der Wurzel so, dass möglichst große Quadrate sichtbar werden. - Nutze die Positivitätsbedingungen, wenn du Quadratfaktoren aus der Wurzel ziehst.

1. Beim Kubieren bleibt das Minuszeichen erhalten: \(\left(-\frac{x}{y}\sqrt{\frac{2y}{x^3}}\right)^3=-\frac{x^3}{y^3}\sqrt{\frac{8y^3}{x^9}}\). 2. Für \(x,y>0\) gilt \(\sqrt{8y^3}=2y\sqrt{2y}\) und \(\sqrt{x^9}=x^4\sqrt{x}\). Damit folgt \(-\frac{2\sqrt{2y}}{xy^2\sqrt{x}}\). 3. Erweitern des Bruchs mit \(\sqrt{x}\) liefert \(-\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2y^2}\).

\(-\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2y^2}\)

- Quadriere die vorgeschlagene Summe oder Differenz und nutze die binomischen Formeln. - Vergleiche nach dem Quadrieren den rationalen Anteil und den Wurzelanteil getrennt. - Setze in Teil 3 die allgemeine Darstellung an, quadriere beide Seiten und ordne anschließend die beiden entstehenden Bestandteile dem gegebenen Radikanden zu.

1. Es gilt \((\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}\). Weil \(2\sqrt{21} = \sqrt{84}\) und \(\sqrt{7} - \sqrt{3} > 0\) ist, folgt \(\sqrt{10 - \sqrt{84}} = \sqrt{7} - \sqrt{3}\). 2. Quadriert man die rechte Seite, erhält man \(x + y + 2\sqrt{xy}\). Wegen \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) müssen daher \(x+y=4{,}5\) und \(xy=2\) gelten. Die rationalen Werte \(x=4\) und \(y=0{,}5\) erfüllen beide Bedingungen; auch die vertauschte Zuordnung ist möglich. 3. Allgemein gilt für \(x,y \ge 0\): \((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}\). Daher müssen \(x+y=a\) und \(xy=b\) gelten.

1. Die Gleichung ist wahr. 2. \(x=4\) und \(y=0{,}5\) oder umgekehrt. 3. Es müssen \(x,y \ge 0\), \(x+y=a\) und \(xy=b\) gelten.

- Setze die Ausdrücke für \(x\) und \(y\) ein und bringe Zähler und Nenner jeweils auf einen Hauptnenner. - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie sind hier beim Ausmultiplizieren der Zähler sehr nützlich. - Denke daran, dass \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\) gilt. - Welchen Vorteil bietet es, den Hauptnenner in der Form \((a-1)\) stehen zu lassen, anstatt ihn sofort wegzukürzen?

1. Berechnung von \(x-y\): Hauptnenner ist \((\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) = a-1\). Der Zähler ergibt sich zu \((\sqrt{a}+1)^2 - (\sqrt{a}-1)^2 = (a+2\sqrt{a}+1) - (a-2\sqrt{a}+1) = 4\sqrt{a}\). Also \(x-y = \frac{4\sqrt{a}}{a-1}\). 2. Berechnung von \(x+y\): Mit dem gleichen Hauptnenner \(a-1\) ergibt sich der Zähler zu \((\sqrt{a}+1)^2 + (\sqrt{a}-1)^2 = (a+2\sqrt{a}+1) + (a-2\sqrt{a}+1) = 2a+2 = 2(a+1)\). Also \(x+y = \frac{2(a+1)}{a-1}\). 3. Division der Ergebnisse: \(S = \frac{x-y}{x+y} = \frac{4\sqrt{a}}{a-1} {:} \frac{2(a+1)}{a-1} = \frac{4\sqrt{a}}{a-1} \cdot \frac{a-1}{2(a+1)}\). 4. Kürzen und Vereinfachen: Nach dem Kürzen von \((a-1)\) und der Zahl 2 bleibt \(S = \frac{2\sqrt{a}}{a+1}\).

Der Ausdruck vereinfacht sich zu \(S = \frac{2\sqrt{a}}{a+1}\).

- Setze den Term für \( x \) in den Ausdruck \( x^2 - 1 \) ein und versuche, diesen als ein vollständiges Quadrat zu schreiben. - Welche Rolle spielt die Bedingung \( a > 1 \) beim Auflösen der Wurzel? - Kannst du den Zähler und den Nenner einzeln berechnen, um den Bruch übersichtlicher zu machen?

1. Berechnung von \( x^2 - 1 \): \( x^2 - 1 = \left( \frac{1}{2} (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}) \right)^2 - 1 = \frac{1}{4} (a + 2 + \frac{1}{a}) - 1 = \frac{a + 2 + \frac{1}{a} - 4}{4} = \frac{a - 2 + \frac{1}{a}}{4} = \left( \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) \right)^2 \). 2. Bestimmung von \( \sqrt{x^2-1} \): Da \( a > 1 \), ist \( \sqrt{a} > \frac{1}{\sqrt{a}} \), daher ist \( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \) positiv. Es folgt \( \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) \). 3. Vereinfachung des Zählers: \( x + \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{2} (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}) + \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) = \sqrt{a} \). 4. Vereinfachung des Nenners: \( x - \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{2} (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}) - \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) = \frac{1}{\sqrt{a}} \). 5. Berechnung des Gesamtausdrucks: \( E = \frac{\sqrt{a}}{\frac{1}{\sqrt{a}}} = (\sqrt{a})^2 = a \).

\( E = a \)

- Suche zunächst eine Erweiterung, durch die der Nenner ohne Wurzelterm geschrieben werden kann. - Bringe nach der Substitution den Ausdruck \(x^2+1\) auf einen gemeinsamen Nenner und suche im Zähler nach einem vollständigen Quadrat. - Nutze \(0<t<1\), um beim Ziehen der Quadratwurzel das richtige Vorzeichen festzulegen.

1. Erweitern mit \(\sqrt{x^2+1}+1\) ergibt \(T(x)=\frac{x(\sqrt{x^2+1}+1)}{x^2}=\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x}\). Da \(0<t<1\), ist der eingesetzte Wert \(x>0\) und damit nicht null. 2. Für \(x=\frac{2t}{1-t^2}\) gilt \(x^2+1=\frac{4t^2+(1-t^2)^2}{(1-t^2)^2}=\frac{(1+t^2)^2}{(1-t^2)^2}\). 3. Wegen \(0<t<1\) sind \(1+t^2\) und \(1-t^2\) positiv. Daher ist \(\sqrt{x^2+1}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\). 4. Einsetzen liefert \(T=\frac{\frac{1+t^2}{1-t^2}+1}{\frac{2t}{1-t^2}}=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}\).

\(T=\frac{1}{t}\)

- Kannst du den Term unter der Wurzel so umformen, dass er ein Quadrat ergibt? - Was passiert, wenn du den gegebenen Ausdruck für \( x \) direkt einsetzt und ausmultiplizierst? - Achte auf die Bedingung \( a > 1 \). Warum ist diese beim Ziehen der Wurzel wichtig? - Kannst du den Zähler und den Nenner getrennt voneinander vereinfachen?

1. Einsetzen von \( x = a + \frac{1}{a} \) in den Radikanden: \( x^2 - 4 = (a + \frac{1}{a})^2 - 4 \). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel: \( a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} - 4 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} - 4 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \). 3. Rückführung auf die zweite binomische Formel: \( a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = (a - \frac{1}{a})^2 \). 4. Ziehen der Wurzel: Da \( a > 1 \), ist \( a - \frac{1}{a} > 0 \), woraus folgt \( \sqrt{x^2 - 4} = a - \frac{1}{a} \). 5. Berechnung des Nenners: \( x - \sqrt{x^2 - 4} = (a + \frac{1}{a}) - (a - \frac{1}{a}) = \frac{2}{a} \). 6. Einsetzen in den Bruch: \( \frac{a - \frac{1}{a}}{\frac{2}{a}} = \frac{\frac{a^2 - 1}{a}}{\frac{2}{a}} = \frac{a^2 - 1}{2} \).

\( \frac{a^2 - 1}{2} \)

- Versuche zuerst, die Ausdrücke \( x+2 \) und \( x-2 \) auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Erkennst du in den Zählern der neuen Brüche eine bekannte Formel? - Warum ist die Information \( a > b \) für das Vereinfachen der Wurzeln von Bedeutung? - Kannst du den großen Bruch am Ende durch Kürzen vereinfachen?

1. Einsetzen von \( x \) in die Radikanden: \( x + 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{ab} \) und \( x - 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \( x + 2 = \frac{(a+b)^2}{ab} \) und \( x - 2 = \frac{(a-b)^2}{ab} \). 3. Ziehen der Wurzeln: \( \sqrt{x+2} = \frac{a+b}{\sqrt{ab}} \) und \( \sqrt{x-2} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \) (da \( a > b > 0 \)). 4. Berechnung des Zählers: \( \frac{a+b}{\sqrt{ab}} + \frac{a-b}{\sqrt{ab}} = \frac{2a}{\sqrt{ab}} \). 5. Berechnung des Nenners: \( \frac{a+b}{\sqrt{ab}} - \frac{a-b}{\sqrt{ab}} = \frac{2b}{\sqrt{ab}} \). 6. Division der Terme: \( \frac{2a}{\sqrt{ab}} {:} \frac{2b}{\sqrt{ab}} = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} \).

\( \frac{a}{b} \)

- Prüfe die Bedingungen für \(x\) und \(y\), um das Vorzeichen des Faktors vor der Wurzel zu bestimmen. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Ausdruck unter der Wurzel zu faktorisieren. - Achte darauf, dass beim Einziehen eines negativen Wertes ein Minuszeichen vor der Wurzel erhalten bleibt. - Welche Potenzen von Variablen lassen sich im Radikanden gegeneinander kürzen?

1. Vorzeichenanalyse: Aufgrund der Bedingung \(0 < x < y\) ist die Differenz \(x - y\) negativ und \(x\) positiv. Somit ist der gesamte Faktor \(\frac{x-y}{x}\) negativ. 2. Termvorbereitung: Der Faktor wird als \(-\frac{y-x}{x}\) umgeschrieben, sodass der Bruch \(\frac{y-x}{x}\) positiv ist. 3. Einziehen unter die Wurzel: Das Quadrat des positiven Bruchs wird mit dem Radikanden multipliziert: \(-\sqrt{\frac{(y-x)^2}{x^2} \cdot \frac{x^3}{y^2-x^2}}\). 4. Faktorisierung und Kürzen: Mit der dritten binomischen Formel \(y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)\) wird der Radikand zu \(\frac{(y-x)^2 \cdot x^3}{x^2 \cdot (y-x)(y+x)}\) vereinfacht. Nach dem Kürzen von \(x^2\) und \((y-x)\) verbleibt \(-\sqrt{\frac{x(y-x)}{y+x}}\).

\(-\sqrt{\frac{x(y-x)}{x+y}}\)