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- Was bedeutet das Minuszeichen im Exponenten für die Stellung der Potenz im Bruch? - Die Basis \(5\) und der positive Exponent \(2\) bleiben erhalten.

1. Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz: \(5^{-2}=\frac{1}{5^2}\).

\(\frac{1}{5^2}\)

- Welche Bedeutung hat ein negativer Exponent für den Kehrwert einer Potenz? - Suche eine Schreibweise mit der Basis \(7\).

1. Ein negativer Exponent bedeutet, dass der Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz gebildet wird. 2. Daher gilt \(\frac{1}{7^3}=7^{-3}\).

\(7^{-3}\)

- Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst oder dividierst? - Erinnere dich daran, wie man eine Potenz nochmals potenziert. - Was bedeutet ein Exponent von \(0\)? - Achte bei Termen wie \((-3a)^2\) darauf, ob sich das Quadrat auch auf das Vorzeichen und die Zahl bezieht.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Potenzen von Potenzen bei a): \((x^3)^4 = x^{12}\). Multiplikation mit \(x^{-5}\) ergibt \(x^{12 + (-5)} = x^7\). 2. Division der Koeffizienten und Subtraktion der Exponenten bei b): \(24 {:} 3 = 8\) und \(y^{6-2} = y^4\). Ergebnis: \(8y^4\). 3. Auflösen der Klammer bei c): \((-3a)^2 = (-3)^2 \cdot a^2 = 9a^2\). Multiplikation mit \(a^3\) ergibt \(9a^{2+3} = 9a^5\). 4. Bestimmung von \(z^0 = 1\) bei d). Division ergibt \(z^{7-3} = z^4\).

a) \(x^7\) b) \(8y^4\) c) \(9a^5\) d) \(z^4\)

- Überlege dir, welchen Einfluss ein gerader oder ungerader Exponent auf das Vorzeichen der Basis hat. - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen innerhalb oder außerhalb einer Klammer steht. - Was bedeutet ein negativer Exponent für den Wert einer Potenz?

1. Teilaufgabe a): Da der Exponent \(10\) gerade ist, gilt \((-1)^{10} = 1\). Da der Exponent \(11\) ungerade ist, gilt \((-1)^{11} = -1\). Wegen \(1 > -1\) ist das Zeichen \(>\) korrekt. 2. Teilaufgabe b): Der Term \(-4^2\) bedeutet \(-(4 \cdot 4) = -16\). Der Term \((-4)^2\) bedeutet \((-4) \cdot (-4) = 16\). Da eine negative Zahl kleiner als eine positive Zahl ist, gilt \(<\). 3. Teilaufgabe c): Der Term \(3^{-2}\) ist gleich \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). Der Term \((-3)^{-2}\) ist gleich \(\frac{1}{(-3)^2}\). Da \((-3)^2 = 9\) ist, ergibt sich ebenfalls \(\frac{1}{9}\). Die Terme sind also gleich, das Zeichen ist \(=\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(=\)

- Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen mit quadriert wird oder nicht. - Wie verändert sich der Exponent, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst oder dividierst? - Erinnere dich daran, was ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch oder Dezimalzahl bedeutet. - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird?

1. Unterscheidung von Basis und Vorzeichen: \((-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25\), während \(-5^2 = -(5 \cdot 5) = -25\). 2. Anwendung der Produktregel im Nenner: \(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\). Anschließend Division durch Subtraktion der Exponenten: \(x^6 {:} x^5 = x^{6-5} = x^1 = x\). 3. Anwendung der Potenzregel auf ein Produkt und eine Potenz: \((2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 = 16 \cdot a^{3 \cdot 4} = 16a^{12}\). 4. Multiplikation von Potenzen gleicher Basis durch Addition der Exponenten: \(10^{3 + (-5)} = 10^{-2}\). Umwandlung in einen Dezimalbruch: \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).

a) \(25\) und \(-25\) b) \(x\) c) \(16a^{12}\) d) \(0{,}01\)

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Basis im Bruch? - Isoliere zuerst den Term mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung. - Denke daran, dass es beim Quadrieren oft zwei verschiedene Zahlen gibt, die zum selben Ergebnis führen.

1. Umschreiben der Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{a^2} \cdot 25 = 4\), was \(\frac{25}{a^2} = 4\) ergibt. 2. Umstellen der Gleichung nach \(a^2\): \(25 = 4a^2 \implies a^2 = \frac{25}{4}\) 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(a = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\) 4. Berechnung der Ergebnisse: \(a = 2{,}5\) oder \(a = -2{,}5\)

\(a = 2{,}5\) oder \(a = -2{,}5\) (bzw. \(a = \frac{5}{2}\) oder \(a = -\frac{5}{2}\))

- Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Wie kannst du eine Potenz mit einem negativen Exponenten als Bruch umschreiben? - Achte bei negativen Basen darauf, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Kannst du den Term innerhalb einer Klammer zuerst vereinfachen?

1. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(x^{4 + (-6)} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) 2. Anwendung des Gesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(y^{-2 - 3} = y^{-5} = \frac{1}{y^5}\) 3. Auflösen der Klammer mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{(-2z)^3} = \frac{1}{(-2)^3 \cdot z^3} = -\frac{1}{8z^3}\) 4. Zusammenfassen in der Klammer und anschließendes Potenzieren: \((a^{-1})^2 = a^{-1 \cdot 2} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}\)

a) \(\frac{1}{x^2}\) b) \(\frac{1}{y^5}\) c) \(-\frac{1}{8z^3}\) d) \(\frac{1}{a^2}\)

- Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Exponenten für die Basis? - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen zur Basis gehört (in Klammern steht) oder vor der gesamten Potenz steht. - Es hilft oft, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuwandeln. - Wie geht man vor, wenn ein Bruch mit einer negativen Zahl potenziert wird?

1. Berechnung von \(6^{-2}\): Anwendung der Definition \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) ergibt \(\frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}\). 2. Berechnung von \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\): Kehrbruch bilden und positiv potenzieren: \(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}\). 3. Berechnung von \((-0{,}2)^{-2}\): Umwandlung in einen Bruch: \(\left(-\frac{1}{5}\right)^{-2}\). Kehrbruch bilden: \((-5)^2 = 25\). 4. Berechnung von \(-4^{-2}\): Das Minuszeichen steht vor der Potenz. \(-\frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16}\). 5. Berechnung von \(24 \cdot 2^{-4}\): Multiplikation mit dem Kehrwert: \(24 \cdot \frac{1}{2^4} = 24 \cdot \frac{1}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}\).

a) \(\frac{1}{36}\) b) \(\frac{27}{8}\) c) \(25\) d) \(-\frac{1}{16}\) e) \(\frac{3}{2}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn du den Kehrwert der Basis bildest? - Wie multipliziert man Potenzen, die die gleiche Basis haben? - Kannst du Dezimalzahlen wie \(0{,}1\) als Brüche oder Potenzen von 10 schreiben?

1. Anwendung des Gesetzes für die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis: \(2^{4 + (-2)} = 2^2 = 4\). 2. Umformung des ersten Faktors mittels negativer Exponenten: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3\). Multiplikation: \(3^3 \cdot 3^{-2} = 3^{3-2} = 3^1 = 3\). 3. Umwandlung der Dezimalzahl in eine Zehnerpotenz: \(0{,}1 = 10^{-1}\). Einsetzen und Potenzgesetz anwenden: \(10^{-2} \cdot (10^{-1})^{-3} = 10^{-2} \cdot 10^3 = 10^{-2+3} = 10^1 = 10\).

1) \(4\) 2) \(3\) 3) \(10\)

- Welchen Wert hat eine Potenz, wenn der Exponent Null ist? - Denke an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Es hilft oft, alle Zahlen im Ausdruck auf dieselbe Basis (z. B. 5 oder 10) zu bringen. - Wie kannst du eine Division durch einen Bruch mit negativem Exponenten vereinfachen?

1. Berechnung des Terms in der Klammer: Da jede Zahl ungleich Null hoch Null eins ergibt, gilt \(\left( \frac{17}{5} \right)^0 = 1\). Der Ausdruck in der Klammer wird zu \(6 - 2 \cdot 1 = 4\). Anwendung des negativen Exponenten: \(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 2. Darstellung aller Terme als Potenzen zur Basis 5: \(5^{-1}\) bleibt, \(25^2 = (5^2)^2 = 5^4\), und \(0{,}2^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = (5^{-1})^{-2} = 5^2\). Berechnung des Zählers: \(5^{-1} \cdot 5^4 = 5^3 = 125\). Division durch den Nenner: \(\frac{125}{5^2} = \frac{125}{25} = 5\).

1) \(\frac{1}{16}\) (oder \(0{,}0625\)) 2) \(5\)

- Schreibe einen negativen Exponenten zunächst als Kehrwert. - Was steht dann bei der Basis \(0\) im Nenner? - Ist eine Division durch diesen Nenner zulässig?

1. Für eine von null verschiedene Basis gilt \(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\). 2. Würde man dies auf \(0^{-3}\) anwenden, entstünde \(\frac{1}{0^3}=\frac{1}{0}\). Eine Division durch \(0\) ist nicht definiert. 3. Daher ist \(0^{-3}\) nicht definiert; Maras Behauptung ist falsch.

Die Behauptung ist falsch. \(0^{-3}\) ist nicht definiert, weil dabei eine Division durch \(0\) entstehen würde.

- Gehe bei Aufgaben mit mehreren Variablen schrittweise vor und betrachte jede Basis einzeln. - Achte bei der Subtraktion von negativen Exponenten im Nenner besonders auf die Vorzeichenregeln. - Bei Variablen im Exponenten kannst du genauso rechnen wie mit Zahlen. - Rechne Dezimalzahlen bei Bedarf in Brüche um, um die Multiplikation zu vereinfachen.

1. Getrennte Betrachtung der Basen bei a): \(a^{4 - (-1)} = a^5\) und \(b^{-2 - 3} = b^{-5}\). Ergebnis: \(a^5 b^{-5}\) oder \(\frac{a^5}{b^5}\). 2. Potenzieren des Produkts bei b): \((0{,}2)^3 \cdot (x^2)^3 = 0{,}008x^6\). Multiplikation mit \(125x^{-6}\) ergibt \((0{,}008 \cdot 125) \cdot x^{6-6} = 1 \cdot x^0 = 1\). 3. Subtraktion der Exponenten bei c): \((n+3) - (n-1) = n + 3 - n + 1 = 4\). Ergebnis: \(x^4\).

a) \(a^5 b^{-5}\) oder \(\frac{a^5}{b^5}\) b) \(1\) c) \(x^4\)

- Unterscheide sorgfältig zwischen einem negativen Exponenten und einem Minuszeichen vor einer Potenz. - Vereinfache bei Produkten und Quotienten gleicher Basis zunächst die Exponenten. - Prüfe in Teil c), ob sich Zähler und Nenner wegen des gleichen Exponenten gemeinsam zusammenfassen lassen. - Schreibe in Teil d) den Bruch als Potenz derselben Basis und vergleiche anschließend die ganzzahligen Exponenten.

1. Es gilt \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18=0{,}125\), während \(-2^3=-(2^3)=-8\). Daher ist \(2^{-3}>-2^3\). 2. Im Zähler gilt \((x^2)^3=x^6\), im Nenner \(x^4\cdot x^{-1}=x^3\). Somit ist \(\frac{x^6}{x^3}=x^3\). 3. Es gilt \(\frac{15^3}{5^3}=\left(\frac{15}{5}\right)^3=3^3=27\). 4. Da \(\frac1{32}=\frac1{2^5}=2^{-5}\), folgt durch Vergleich der ganzzahligen Exponenten \(x=-5\).

a) \(2^{-3}=0{,}125>-8=-2^3\) b) \(x^3\) c) \(27\) d) \(x=-5\)

- Vereinfache in a) zuerst die Potenz des Produkts und fasse anschließend gleiche Basen zusammen. - Suche in b) eine Potenzdarstellung der rechten Seite, die einen direkten Exponentenvergleich ermöglicht. - In c) sollten Zähler und Nenner auf eine gemeinsame Basis gebracht werden; entscheide selbst, welche Basis dafür zweckmäßig ist. - Kontrolliere am Ende von a), ob tatsächlich kein negativer Exponent mehr vorkommt.

1. In a) ist \((ab)^2=a^2b^2\). Damit ergibt sich \(\frac{18}{3}a^{5-2}b^{-2-2}=6a^3b^{-4}=\frac{6a^3}{b^4}\). 2. In b) ist \(125=5^3\). Also gilt \(5^{8-n}=5^3\), daraus \(8-n=3\) und \(n=5\). 3. In c) ist der Zähler \(2^{2k+1}\). Außerdem gilt \(4^k=(2^2)^k=2^{2k}\). Daher ist der Quotient \(2^{2k+1-2k}=2\), unabhängig von \(k\).

a) \(\frac{6a^3}{b^4}\) b) \(n=5\) c) \(2\)

- Vereinfache zuerst die Potenzen mit der Basis \(a\) im Bruch. - Beachte beim Dividieren gleicher Basen das Subtrahieren der Exponenten, auch wenn einer davon negativ ist. - Setze die gegebenen Zehnerpotenzen erst nach der symbolischen Vereinfachung ein.

1. Mit dem Quotientengesetz für Potenzen gilt \(\frac{a^4}{a^{-2}}=a^{4-(-2)}=a^6\). Damit lautet der Radikand \(a^6b^6\). 2. Weil \(a,b>0\), ist \(\sqrt{a^6b^6}=a^3b^3=(ab)^3\). 3. Für \(a=10^{-1}\) und \(b=10\) ist \(ab=10^{-1}\cdot10=1\). Daher beträgt der Wert \((ab)^3=1\).

Vereinfachter Term: \(a^3b^3=(ab)^3\). Für \(a=10^{-1}\) und \(b=10\) ist der Wert \(1\).

- Erinnere dich an die Definition von negativen Exponenten: \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\). - Überlege, welche Werte ein Quadrat \(x^2\) für beliebige reelle Zahlen annehmen kann. - Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs, wenn die Basis verdoppelt wird und der Exponent \(2\) ist?

1. Lösung der Gleichung \(3x^{-2} = \frac{1}{12}\): Umschreiben zu \(3 \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{12}\). Multiplikation mit \(x^2\) und \(12\) ergibt \(36 = x^2\). Die Lösungen sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\). 2. Begründung der positiven Funktionswerte: Der Term \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) ist für alle \(x \neq 0\) positiv, da das Quadrat einer reellen Zahl stets größer als Null ist. Da der Koeffizient \(3\) ebenfalls positiv ist, ist das Produkt \(3 \cdot \frac{1}{x^2}\) immer positiv. 3. Untersuchung der Verdopplung: Ersetzt man \(x\) durch \(2x\), erhält man \(k(2x) = 3(2x)^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{(2x)^2} = 3 \cdot \frac{1}{4x^2} = \frac{1}{4} \cdot (3x^{-2}) = \frac{1}{4} k(x)\). Der Funktionswert viertelt sich also.

a) \(x = 6\) und \(x = -6\). b) Da \(x^2\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist, ist auch \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) positiv. Die Multiplikation mit \(3\) ändert das Vorzeichen nicht. c) Der Funktionswert wird durch \(4\) geteilt (er viertelt sich).

- Welchen Einfluss hat ein negativer Exponent auf einen Bruch in der Klammer? - Denke daran, dass sich ein Exponent außerhalb der Klammer auf alle Faktoren im Inneren bezieht. - In welcher Reihenfolge solltest du vorgehen: erst die Klammern auflösen oder erst innerhalb der Klammern kürzen?

1. Division der Koeffizienten und Verrechnung der Exponenten der Basis \(a\): \(5 \cdot a^{4-7-(-2)} = 5 \cdot a^{-1} = \frac{5}{a}\) 2. Potenzieren der Klammern und Multiplikation: \(8b^{-6} \cdot b^4 = 8b^{-6+4} = 8b^{-2} = \frac{8}{b^2}\) 3. Kehrbruch bilden und Quadrieren, dann Multiplikation: \(\frac{y^4}{x^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{y^4}{x^{2+1}} = \frac{y^4}{x^3}\)

a) \(\frac{5}{a}\) b) \(\frac{8}{b^2}\) c) \(\frac{y^4}{x^3}\)

- Wie gehst du vor, wenn im Exponenten Variablen wie \(n\) stehen? - Gibt es eine Regel für das Potenzieren von Produkten innerhalb einer Klammer? - Welchen Einfluss hat ein gerader oder ungerader Exponent auf das Vorzeichen der Basis? - Was ist das Ergebnis, wenn der gesamte Exponent nach der Verrechnung null ergibt?

1. Zusammenfassen des Zählers durch Addition der Exponenten: \((2n+1) + (n-2) = 3n-1\). Division durch Subtraktion der Exponenten: \((3n-1) - (3n-1) = 0\). Da \(a^0 = 1\) (für \(a \neq 0\)), ist das Ergebnis \(1\). 2. Potenzieren des Produkts in der Klammer: \(2^{-2} \cdot (b^3)^{-2} = \frac{1}{4} \cdot b^{-6}\). Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{1}{4} \cdot 4 \cdot b^{-6} \cdot b^6 = 1 \cdot b^0 = 1\). 3. Bestimmung des Vorzeichens: \((-x)^4 = x^4\), da der Exponent gerade ist. Zusammenfassen des Zählers: \(x^{4 + (-2)} = x^2\). Division durch Subtraktion: \(x^{2-5} = x^{-3}\). Darstellung ohne negativen Exponenten: \(\frac{1}{x^3}\).

a) \(1\) b) \(1\) c) \(\frac{1}{x^3}\)

- Fasse Potenzen mit der gleichen Basis zusammen, indem du die Exponenten addierst oder subtrahierst. - Potenzen in Klammern werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. - Bei Teilaufgabe c) hilft es, die Zahlen und die Zehnerpotenzen getrennt voneinander zu betrachten.

1. Vereinfachung von Ausdruck a): Anwendung der Regel \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) im Zähler ergibt \(x^{8+(-5)} = x^3\). Division durch \(x^2\) ergibt \(x^{3-2} = x^1 = x\). 2. Vereinfachung von Ausdruck b): Zuerst die Klammer auflösen mit \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \((a^3)^2 \cdot (b^{-2})^2 = a^6 \cdot b^{-4}\). Der gesamte Bruch lautet \(\frac{a^6 \cdot b^{-4}}{a^4 \cdot b^{-4}}\). Kürzen von \(b^{-4}\) (bzw. \(b^{-4-(-4)} = b^0 = 1\)) ergibt \(\frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2\). 3. Berechnung von Ausdruck c): Sortieren der Faktoren: \((4 \cdot 0{,}25) \cdot (10^5 \cdot 10^{-8})\). Es ergibt sich \(1 \cdot 10^{5-8} = 10^{-3}\). Ohne negativen Exponenten geschrieben ist dies \(\frac{1}{10^3}\) oder \(\frac{1}{1000}\).

a) \(x\) b) \(a^2\) c) \(\frac{1}{1000}\) (oder \(0{,}001\))

- Wende zuerst die Potenzgesetze für das Potenzieren von Produkten und Potenzen an, um die Klammern aufzulösen. - Fasse anschließend gleiche Basen im Zähler und Nenner zusammen. - Denke daran, dass \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) gilt. - Beachte beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis, dass die Exponenten subtrahiert werden.

1. Auflösen der Klammern im Zähler und Nenner des ersten Bruchs: \((x^2 y^{-3})^2 = x^4 y^{-6}\), \((x^4 z^2)^3 = x^{12} z^6\) und \((x^2 y z)^4 = x^8 y^4 z^4\). 2. Zusammenfassen des Zählers im ersten Bruch: \(x^4 y^{-6} \cdot x^{12} z^6 = x^{16} y^{-6} z^6\). 3. Kürzen des ersten Bruchs: \(\frac{x^{16} y^{-6} z^6}{x^8 y^4 z^4} = x^{16-8} \cdot y^{-6-4} \cdot z^{6-4} = x^8 y^{-10} z^2\). 4. Umschreiben des zweiten Faktors: \(\frac{y^2}{z^{-1}} = y^2 z^1\). 5. Multiplikation der Teilergebnisse: \(x^8 y^{-10} z^2 \cdot y^2 z = x^8 \cdot y^{-10+2} \cdot z^{2+1} = x^8 y^{-8} z^3\). 6. Umwandlung in eine Form ohne negative Exponenten: \(\frac{x^8 z^3}{y^8}\).

\(\frac{x^8 z^3}{y^8}\)

- Was bedeutet ein negativer Exponent bei einem Bruch? - Wie kannst du Dezimalzahlen als Brüche schreiben, um die Potenzgesetze leichter anzuwenden? - Achte auf die Vorrangregeln, insbesondere Punkt- vor Strichrechnung. - Kannst du einen Bruchterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner getrennt berechnest?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung von \(1{,}5\) in \(\frac{3}{2}\). Anwendung der Regel für negative Exponenten bei Brüchen ergibt \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\). 2. Berechnung der weiteren Terme: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\) und \(4^{-1} = \frac{1}{4}\). 3. Verknüpfung der Ergebnisse: \(\frac{4}{9} + 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{9} + \frac{3}{4} = \frac{16 + 27}{36} = \frac{43}{36}\). 4. Teilaufgabe b): Zähler berechnen durch \(3^{-1} = \frac{1}{3}\) und \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\). Die Summe ist \(\frac{1}{3} + \frac{9}{4} = \frac{4 + 27}{12} = \frac{31}{12}\). 5. Nenner berechnen durch \(2^2 = 4\) und \(7 \cdot 2^{-1} = \frac{7}{2} = 3{,}5\). Die Differenz ist \(4 - 3{,}5 = 0{,}5 = \frac{1}{2}\). 6. Division des Zählers durch den Nenner: \(\frac{31}{12} {:} \frac{1}{2} = \frac{31}{12} \cdot 2 = \frac{31}{6}\).

a) \(\frac{43}{36}\) b) \(\frac{31}{6}\)

- Kannst du Potenzen mit der gleichen Basis im Zähler zusammenfassen? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Basis potenziert wird. - Berechne zuerst den Zähler und den Nenner des Hauptbruchs separat. - Erinnerst du dich, wie man durch einen Bruch dividiert?

1. Vereinfachung des Produkts im Zähler mithilfe des Potenzgesetzes für gleiche Basen: \(2^3 \cdot 2^{-5} = 2^{3-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\). 2. Berechnung der zweiten Potenz im Zähler: \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 3. Addition im Zähler: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 4}{36} = \frac{13}{36}\). 4. Berechnung der Potenzen im Nenner: \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\) und \((-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}\). 5. Subtraktion im Nenner: \(\frac{1}{9} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 9}{36} = -\frac{5}{36}\). 6. Division des Gesamtausdrucks: \(\frac{13}{36} {:} \left(-\frac{5}{36}\right) = \frac{13}{36} \cdot \left(-\frac{36}{5}\right) = -\frac{13}{5} = -2{,}6\).

\(-\frac{13}{5}\) oder \(-2{,}6\)

- Kannst du Variablen in den Exponenten genauso behandeln wie Zahlen? - Wenn du einen Bruch mit einem negativen Exponenten potenzierst, was passiert mit dem Zähler und dem Nenner? - Achte beim Subtrahieren negativer Exponenten besonders auf die Vorzeichen.

1. Koeffizienten dividieren: \(15 {:} 3 = 5\). Exponenten der Basis \(a\) subtrahieren: \(2k - k = k\). Exponenten der Basis \(b\) subtrahieren: \((k - 1) - 2k = -k - 1\). Ergebnis: \(5a^k b^{-k-1}\) bzw. \(\frac{5a^k}{b^{k+1}}\). 2. Klammer auflösen mit \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \((\frac{1}{2})^{-2} = 4\), \((x^{-n})^{-2} = x^{2n}\), \((y^2)^{-2} = y^{-4}\). Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(4 \cdot 4 = 16\), \(x^{2n} \cdot x^{-2n} = x^0 = 1\). Übrig bleibt \(16y^{-4}\) bzw. \(\frac{16}{y^4}\).

a) \(5a^k b^{-k-1}\) oder \(\frac{5a^k}{b^{k+1}}\) b) \(16y^{-4}\) oder \(\frac{16}{y^4}\)

- Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis. - Was ergibt eine Potenz, wenn der Exponent Null ist? - Gehe beim Multiplizieren der Klammern systematisch vor, sodass jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert wird. - Achte auf die Vorzeichen, besonders wenn ein Minuszeichen vor einem Glied steht.

1. Ausmultiplizieren von Teilaufgabe a) unter Anwendung der Regel \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\): \(2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-2x^{-2}) + 3x^{-1} \cdot x + 3x^{-1} \cdot (-2x^{-2})\). 2. Vereinfachen der einzelnen Terme: \(2x^3 - 4x^0 + 3x^0 - 6x^{-3}\). 3. Zusammenfassen unter Beachtung von \(x^0 = 1\): \(2x^3 - 1 - 6x^{-3}\). 4. Ausmultiplizieren von Teilaufgabe b): \(3m^2 \cdot m^{-2} + 3m^2 \cdot n - 2n^{-1} \cdot m^{-2} - 2n^{-1} \cdot n\). 5. Vereinfachen der Terme: \(3m^0 + 3m^2n - 2m^{-2}n^{-1} - 2n^0\). 6. Zusammenfassen der konstanten Terme \(3 - 2 = 1\): \(3m^2n - 2m^{-2}n^{-1} + 1\).

a) \(2x^3 - 1 - 6x^{-3}\) b) \(3m^2n - 2m^{-2}n^{-1} + 1\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Klammer drei Glieder und die andere zwei Glieder hat? - Welchen Wert hat \(y^0\)? - Achte darauf, Terme mit der gleichen Potenz von \(y\) am Ende zusammenzufassen. - „Nach fallenden Potenzen ordnen“ bedeutet, mit dem höchsten Exponenten zu beginnen.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Gliedes des Trinoms mit jedem Glied des Binoms: \(4y^{-2} \cdot y^2 + 4y^{-2} \cdot 2y - 2y^{-1} \cdot y^2 - 2y^{-1} \cdot 2y + 3 \cdot y^2 + 3 \cdot 2y\). 2. Berechnen der Produkte mithilfe der Potenzgesetze: \(4y^0 + 8y^{-1} - 2y^1 - 4y^0 + 3y^2 + 6y\). 3. Vereinfachen der konstanten Terme (\(4y^0 - 4y^0 = 4 - 4 = 0\)). 4. Zusammenfassen der linearen Terme (\(-2y + 6y = 4y\)). 5. Ordnen des Gesamtergebnisses nach absteigenden Exponenten: \(3y^2 + 4y + 8y^{-1}\).

\(3y^2 + 4y + 8y^{-1}\)

- Überlege dir, was mit dem Vorzeichen passiert, wenn der Exponent gerade oder ungerade ist. - Wie hängen negative Exponenten mit Brüchen zusammen? - Kannst du eine Potenz eines Produkts in ein Produkt von Potenzen umwandeln? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) auf den ersten Term: \((-1 \cdot x^{-4})^{-2} = (-1)^{-2} \cdot (x^{-4})^{-2}\). Da \((-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1\) und \((x^{-4})^{-2} = x^{(-4) \cdot (-2)} = x^8\), ergibt sich \(x^8\). 2. Division von Potenzen mit gleicher Basis durch Subtraktion der Exponenten: \((-1)^{(k+2)-k} = (-1)^2\). Da das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist, ergibt sich \(1\). 3. Zuerst wird der innere Bruch vereinfacht: \(\frac{2a^2}{3b^{-1}} = \frac{2a^2 \cdot b}{3}\). Anwendung des negativen Exponenten durch Kehrwertbildung: \(\left( \frac{3}{2a^2 b} \right)^3\). Potenzieren von Zähler und Nenner führt zu \(\frac{3^3}{2^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3} = \frac{27}{8a^6b^3}\).

a) \(x^8\) b) \(1\) c) \(\frac{27}{8a^6b^3}\)

- Kannst du unterschiedliche Basen wie 5 und 25 auf eine gemeinsame Basis zurückführen? - Was weißt du über das Vorzeichen, wenn eine negative Basis mit einer geraden Zahl wie \(2n\) potenziert wird? - Fasse zuerst den Zähler zusammen, bevor du den gesamten Bruch vereinfachst.

1. Da \(3\) eine ungerade Zahl ist, gilt \((-a)^3 = -a^3\). Der Zähler wird zu \(-a^3 \cdot a^{-5} = -a^{3-5} = -a^{-2}\). Division durch den Nenner ergibt \(\frac{-a^{-2}}{a^{-2}} = -1\). 2. Anwendung des Gesetzes für die Potenz einer Potenz: \(\left( -\frac{x}{y} \right)^{-2n}\). Da \(-2n\) für jedes \(n \in \mathbb{Z}\) gerade ist, verschwindet das Minuszeichen: \((\frac{x}{y})^{-2n}\). Durch Kehrwertbildung gilt \((\frac{x}{y})^{-2n} = (\frac{y}{x})^{2n} = \frac{y^{2n}}{x^{2n}}\). 3. Die Basis \(25\) im Nenner lässt sich als \(5^2\) schreiben: \(\frac{5^{2n+1}}{(5^2)^n} = \frac{5^{2n+1}}{5^{2n}}\). Durch Subtraktion der Exponenten bei gleicher Basis erhält man \(5^{(2n+1) - 2n} = 5^1 = 5\).

a) \(-1\) b) \(\frac{y^{2n}}{x^{2n}}\) c) \(5\)

- Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis: Die Exponenten werden addiert. - Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen (Minus mal Minus ergibt Plus). - Was bedeutet ein Exponent von \(0\)? - Verwende das Distributivgesetz, um die Klammern aufzulösen.

1. Multiplikation jedes Gliedes der Klammer mit \(b^3\) unter Addition der Exponenten: \(b^{-4+3} - b^{-2+3} + 1 \cdot b^3 = b^{-1} - b + b^3\). 2. Berücksichtigung von \(x^0 = 1\) und Multiplikation mit \(x^{-2}\): \(15x^{2-2} + 5x^{-2} = 15x^0 + 5x^{-2} = 15 + 5x^{-2}\). 3. Division jedes Gliedes durch \(x^{-5}\) unter Subtraktion der Exponenten: \(ax^{-2-(-5)} - bx^{-3-(-5)} = ax^3 - bx^2\). 4. Division beider Summanden durch den Divisor: \(\frac{2a^{-1}b^2}{2a^{-2}b^{-2}} + \frac{4a^2b^{-1}}{2a^{-2}b^{-2}}\). Anwendung der Potenzgesetze für gleiche Basen (\(a^{m-n}\), \(b^{m-n}\)) ergibt \(a^{-1-(-2)}b^{2-(-2)} + 2a^{2-(-2)}b^{-1-(-2)} = ab^4 + 2a^4b\).

1) \(b^{-1} - b + b^3\) 2) \(15 + 5x^{-2}\) 3) \(ax^3 - bx^2\) 4) \(ab^4 + 2a^4b\)

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kannst du die Summen im Zähler zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Schau dir das Endergebnis an – lässt es sich kompakter schreiben, bevor du die Zahlen einsetzt?

1. Umformung der Summe im Zähler: \(x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy}\) 2. Umformung des Nenners: \((x+y)^{-1} = \frac{1}{x+y}\) 3. Vereinfachung des ersten Bruchs: \(\frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{1}{x+y}} = \frac{x+y}{xy} \cdot (x+y) = \frac{(x+y)^2}{xy}\) 4. Einbezug des letzten Faktors: \(\frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{1}{xy} = \frac{(x+y)^2}{x^2 y^2} = \left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\) 5. Einsetzen der Werte \(x=2\) und \(y=3\): \(\left(\frac{2+3}{2 \cdot 3}\right)^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\)

Der vereinfachte Term ist \(\frac{(x+y)^2}{x^2 y^2}\) (oder \((x^{-1} + y^{-1})^2\)). Der Wert für \(x=2, y=3\) ist \(\frac{25}{36}\).

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen und zusammenfassen? - Was bewirkt ein negativer Exponent bei einem Bruch? - Ist es einfacher, die Zahlen sofort einzusetzen oder erst den Term zu vereinfachen? - Erinnere dich an die Definition von \(x^{-n}\).

1. Den Ausdruck innerhalb der Klammer auf den Hauptnenner \(2a^n\) bringen: \(\frac{a^n + b^n - 2a^n}{2a^n} = \frac{b^n - a^n}{2a^n}\). 2. Den negativen Exponenten anwenden, indem der Kehrwert des Bruches gebildet wird: \(\left( \frac{2a^n}{b^n - a^n} \right)^3\). 3. Die gegebenen Werte \(a = 2\), \(b = 4\) und \(n = 2\) einsetzen: \(a^n = 2^2 = 4\) und \(b^n = 4^2 = 16\). 4. Den Wert innerhalb der Klammer berechnen: \(\frac{2 \cdot 4}{16 - 4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). 5. Den resultierenden Bruch potenzieren: \(\left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}\).

Vereinfachter Term: \(\left( \frac{2a^n}{b^n - a^n} \right)^3\) (oder \(\frac{8a^{3n}}{(b^n - a^n)^3}\)). Numerischer Wert: \(\frac{8}{27}\).

- Was ergibt eine Potenz mit dem Exponenten \(0\)? - Wie verhält sich das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einem ungeraden negativen Exponenten potenziert wird? - Manchmal ist es hilfreich, negative Exponenten zuerst in positive umzuwandeln, indem man die Position im Bruch wechselt. - Kannst du Terme im Zähler und Nenner entdecken, die sich gegenseitig aufheben?

1. Zähler potenzieren und anschließend durch den Nenner dividieren: \(\frac{9p^{-4}q^2}{9p^{-4}q^3} = 1 \cdot p^{-4 - (-4)} \cdot q^{2-3} = p^0 \cdot q^{-1} = \frac{1}{q}\) 2. Potenzieren der negativen Basis und Verrechnung aller Exponenten: \(\frac{(-1)^{-3} \cdot x^{-6} \cdot x^8}{x^{-2}} = -1 \cdot \frac{x^2}{x^{-2}} = -1 \cdot x^{2 - (-2)} = -x^4\) 3. Ersten Faktor durch Kehrbruchbildung vereinfachen und multiplizieren: \(\frac{2^{-2} a^6}{b^{-4}} \cdot \frac{a^{-6}}{b^4} = \frac{a^6 b^4}{4} \cdot \frac{1}{a^6 b^4} = \frac{1}{4}\)

a) \(\frac{1}{q}\) b) \(-x^4\) c) \(\frac{1}{4}\)

- Es ist oft hilfreich, zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor man den äußeren Exponenten anwendet. - Erinnere dich daran, dass die Division durch einen Bruch dasselbe ist wie die Multiplikation mit seinem Kehrwert. - Was passiert mit einer Basis, wenn ihr Exponent \(0\) ergibt? - Achte besonders auf das Vorzeichen der Exponenten beim Subtrahieren negativer Zahlen.

1. Vereinfachung des Ausdrucks innerhalb der großen Klammer: Zähler: \(a^3 \cdot (b^2 c^{-1})^2 = a^3 b^4 c^{-2}\). Nenner: \((a^{-1} b)^3 = a^{-3} b^3\). Bruch: \(\frac{a^3 b^4 c^{-2}}{a^{-3} b^3} = a^{3 - (-3)} \cdot b^{4-3} \cdot c^{-2} = a^6 b^1 c^{-2}\). 2. Anwendung des äußeren Exponenten \(-2\): \((a^6 b c^{-2})^{-2} = a^{-12} b^{-2} c^4\). 3. Division durch den zweiten Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \(a^{-12} b^{-2} c^4 \cdot \frac{a^{10} b^2}{c^4}\). 4. Zusammenfassen der Potenzen: \(a^{-12+10} \cdot b^{-2+2} \cdot c^{4-4} = a^{-2} \cdot b^0 \cdot c^0\). 5. Da \(b^0 = 1\) und \(c^0 = 1\) für \(b, c \neq 0\), bleibt \(a^{-2}\) bzw. \(\frac{1}{a^2}\) übrig. Das Ergebnis ist unabhängig von \(b\) und \(c\).

\(\frac{1}{a^2}\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Potenz in der Klammer selbst einen negativen Exponenten hat? - Kannst du die Terme im Zähler erst vollständig zusammenfassen, bevor du den Bruch kürzt? - Was musst du beachten, wenn du beim Dividieren einen negativen Exponenten subtrahierst? - Erinnere dich an die Bedeutung von Potenzen mit dem Exponenten 0.

1. Auflösen der Klammern im Zähler: \( (5a^2 b^{-1})^2 = 25a^4 b^{-2} \) und \( (2a^{-2} c)^3 = 8a^{-6} c^3 \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Multiplikation der Koeffizienten und Addition der Exponenten: \( 25 \cdot 8 = 200 \), \( a^{4 + (-6)} = a^{-2} \), also \( 200a^{-2} b^{-2} c^3 \). 3. Auflösen der Klammer im Nenner: \( (10a^{-1} b^{-2} c^2)^2 = 100a^{-2} b^{-4} c^4 \). 4. Division der Terme durch Subtraktion der Exponenten: \( \frac{200}{100} = 2 \), \( a^{-2 - (-2)} = a^0 = 1 \), \( b^{-2 - (-4)} = b^2 \), \( c^{3-4} = c^{-1} \). 5. Endergebnis: \( 2b^2 c^{-1} \).

\( 2b^2 c^{-1} \)

- Zerlege den großen Ausdruck in zwei Teile (links und rechts vom Doppelpunkt) und vereinfache diese einzeln. - Achte beim Subtrahieren von Brüchen im Nenner auf das Vorzeichen, wenn du Terme wie \((a-b)\) und \((b-a)\) kürzen möchtest. - Nutze die Regel für die Division von Brüchen. - Kannst du im letzten Schritt binomische Formeln erkennen, um die Berechnung zu vereinfachen?

1. Vereinfachung des linken Teilterms: \(\frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{(a+b)^2}\) 2. Vereinfachung des rechten Teilterms: \(\frac{\frac{1}{a-b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a-b}}{\frac{b-a}{ab}} = \frac{1}{a-b} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{ab}{(a-b)(b-a)} = -\frac{ab}{(a-b)^2}\) 3. Division der Teilterme: \(\frac{ab}{(a+b)^2} {:} \left(-\frac{ab}{(a-b)^2}\right) = \frac{ab}{(a+b)^2} \cdot \left(-\frac{(a-b)^2}{ab}\right) = -\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\) 4. Einsetzen der Werte \(a=5, b=3\): \(-\frac{(5-3)^2}{(5+3)^2} = -\frac{2^2}{8^2} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16}\)

Der vereinfachte Term ist \(-\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\). Der Wert für \(a=5, b=3\) ist \(-\frac{1}{16}\).

- Betrachte zuerst nur den inneren Bruch und suche nach einer Möglichkeit, Zähler und Nenner strukturell zu vergleichen. - Überlege, welche algebraische Zerlegung den Nenner in Faktoren mit Ausdrücken der Form \(x^{-1}\) und \(y^{-1}\) überführen könnte. - Vereinfache erst vollständig, bevor du die äußeren negativen Exponenten und den zweiten Faktor einbeziehst. - Prüfe bei jedem Kürzen, welche der gegebenen Bedingungen sicherstellt, dass der gekürzte Faktor nicht null ist.

1. Im Nenner des inneren Bruchs gilt \(x^{-2}-y^{-2}=(x^{-1}-y^{-1})(x^{-1}+y^{-1})\). 2. Wegen \(x\ne\pm y\) darf der gemeinsame Faktor gekürzt werden. Der innere Bruch wird zu \(\frac{1}{x^{-1}+y^{-1}}\). 3. Der Exponent \(-1\) bildet den Kehrwert, also wird der erste große Faktor zu \(x^{-1}+y^{-1}\). 4. Es gilt \(x^{-1}+y^{-1}=\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}\). 5. Mit \((x+y)^{-1}=\frac1{x+y}\) folgt \(A=\frac{x+y}{xy}\cdot\frac1{x+y}=\frac1{xy}\). 6. Für \(x=2\) und \(y=5\) ist \(A=\frac1{2\cdot5}=\frac1{10}=0{,}1\).

\(A=\frac{1}{xy}\); für \(x=2\) und \(y=5\): \(A=0{,}1\)

- Wie kannst du eine ganze Zahl und einen Bruch innerhalb einer Klammer verrechnen? - Überlege, was die Potenz \( -1 \) für die Struktur eines Bruches bedeutet. - Kannst du den resultierenden Bruch in zwei einzelne Brüche zerlegen, um ihn leichter zu bearbeiten? - Erinnere dich an die Regel für das Verschieben von Potenzen zwischen Zähler und Nenner bei Vorzeichenwechsel des Exponenten.

1. Zusammenfassen des Ausdrucks innerhalb der Klammer auf den Hauptnenner \( a^{-n} - b^{-n} \): \( \frac{a^{-n} + b^{-n} - (a^{-n} - b^{-n})}{a^{-n} - b^{-n}} = \frac{2b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}} \) 2. Bildung des Kehrwerts des gesamten Klammerausdrucks aufgrund des Exponenten \( -1 \): \( \frac{a^{-n} - b^{-n}}{2b^{-n}} \) 3. Aufteilen des Bruchs in zwei separate Brüche: \( \frac{a^{-n}}{2b^{-n}} - \frac{b^{-n}}{2b^{-n}} \) 4. Anwendung der Potenzgesetze für negative Exponenten (\( \frac{x^{-n}}{y^{-n}} = \frac{y^n}{x^n} \)) zur Beseitigung negativer Exponenten: \( \frac{b^n}{2a^n} - \frac{1}{2} = \frac{b^n - a^n}{2a^n} \) 5. Berechnung des Werts durch Einsetzen von \( a=2, b=6, n=2 \): \( \frac{6^2 - 2^2}{2 \cdot 2^2} = \frac{36 - 4}{8} = \frac{32}{8} = 4 \)

\( \frac{b^n - a^n}{2a^n} \); Wert: \( 4 \)