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- Setze die jeweilige horizontale Entfernung für \(x\) in den gegebenen Funktionsterm ein. - Beachte die Rechenreihenfolge: Potenzen werden vor Multiplikationen und Additionen berechnet. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis als Höhe im Sachzusammenhang sinnvoll ist.

1. Für \(x=2\) gilt \(y=-0{,}5\cdot2^2+2\cdot2+1=-2+4+1=3\). Die Höhe beträgt \(3\,\text{m}\). 2. Für \(x=4\) gilt \(y=-0{,}5\cdot4^2+2\cdot4+1=-8+8+1=1\). Die Höhe beträgt \(1\,\text{m}\).

1) \(3\,\text{m}\) 2) \(1\,\text{m}\)

- Überlege dir für beide Fälle, was passiert, wenn du den Eingangswert (Kilometer bzw. Seitenlänge) verdoppelst. - Welche Form haben die Funktionsgleichungen, die du aufstellen würdest? - Bei einer linearen Funktion muss die Änderung pro Schritt immer gleich groß sein.

1. Situation (1) ist linear. Es gibt eine feste Grundgebühr (\(y\)-Achsenabschnitt \(b = 3{,}50\)) und eine konstante Änderungsrate pro Kilometer (Steigung \(m = 1{,}80\)). Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = 1{,}80x + 3{,}50\). 2. Situation (2) ist nicht linear. Der Flächeninhalt \(A\) berechnet sich durch \(A(a) = a^2\). Da die Variable \(a\) quadriert wird, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Eine Verdopplung der Seitenlänge führt beispielsweise zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts, was der Definition einer linearen Änderung widerspricht.

(1) Linear, da die Kosten pro Kilometer konstant steigen und es einen festen Startwert gibt. (2) Nicht linear, da der Flächeninhalt quadratisch mit der Seitenlänge wächst (\(A = a^2\)).

- Überlege dir zuerst, mit welchem Faktor man eine Größe multipliziert, wenn sie um einen bestimmten Prozentsatz abnimmt. - Wie wirkt sich dieser Faktor auf das Quadrat der Seitenlänge aus? - Kannst du die neue Fläche als Bruchteil oder Prozentsatz der alten Fläche ausdrücken?

1. Sei \(s\) die ursprüngliche Seitenlänge. Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A_1 = s^2\). 2. Eine Verringerung der Seitenlänge um \(15\,\%\) entspricht einem Faktor von \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Die neue Seitenlänge ist \(s_2 = 0{,}85s\). 3. Der neue Flächeninhalt berechnet sich zu \(A_2 = (0{,}85s)^2 = 0{,}7225s^2\). 4. Der neue Flächeninhalt beträgt somit \(72{,}25\,\%\) des ursprünglichen Inhalts. 5. Die prozentuale Verkleinerung ist \(100\,\% - 72{,}25\,\% = 27{,}75\,\%\).

Der Flächeninhalt verringert sich um \(27{,}75\,\%\).

- Wie verändert sich der Bremsweg, wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt? - Setze die gegebenen Wertepaare in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Konstante zu finden. - Was musst du tun, um eine Gleichung nach der Variablen aufzulösen, die im Quadrat steht?

1. Bestimmung von \(k\) für beide Messwerte: \(k_1 = \frac{16}{40^2} = \frac{16}{1600} = 0{,}01\) und \(k_2 = \frac{64}{80^2} = \frac{64}{6400} = 0{,}01\). Da \(k\) für beide Punkte identisch ist, ist das Modell \(s(v) = 0{,}01v^2\) konsistent. 2. Berechnung des Bremswegs für \(v = 120\,\text{km/h}\): \(s(120) = 0{,}01 \cdot 120^2 = 0{,}01 \cdot 14\,400 = 144\,\text{m}\). 3. Berechnung der Geschwindigkeit für \(s = 100\,\text{m}\): \(100 = 0{,}01v^2 \Rightarrow v^2 = 10\,000 \Rightarrow v = \sqrt{10\,000} = 100\,\text{km/h}\).

a) Die Konstante beträgt \(k = 0{,}01\), da \(\frac{16}{40^2} = \frac{64}{80^2} = 0{,}01\). Die Funktion lautet \(s(v) = 0{,}01v^2\). b) Bei \(120\,\text{km/h}\) beträgt der Bremsweg \(144\,\text{m}\). c) Die Geschwindigkeit betrug \(100\,\text{km/h}\).

- Was bedeutet es für das Ergebnis, wenn die Variable in einer Formel im Quadrat steht? - Wie verändert sich ein Wert, wenn du ihn erst verdoppelst und dann quadrierst? - Wenn eine Wirkung (hier der Bremsweg) bei demselben Eingabewert doppelt so groß ist, wie muss sich dann der Faktor vor dem \(v^2\) ändern?

1. Berechnung der Bremswege durch Einsetzen in \(s(v) = 0{,}01v^2\): Für \(v = 30\,\text{km/h}\) ergibt sich \(s = 0{,}01 \cdot 30^2 = 9\,\text{m}\). Für \(v = 60\,\text{km/h}\) ergibt sich \(s = 0{,}01 \cdot 60^2 = 36\,\text{m}\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Da \(36 : 9 = 4\), vervierfacht sich der Bremsweg bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit. Dies entspricht dem quadratischen Wachstum \(2^2 = 4\). 3. Aufstellen der neuen Gleichung: Da sich die Funktionswerte verdoppeln, wird der Proportionalitätsfaktor mit \(2\) multipliziert: \(s_{\text{nass}}(v) = 2 \cdot 0{,}01v^2 = 0{,}02v^2\).

a) Der Bremsweg beträgt \(9\,\text{m}\) bei \(30\,\text{km/h}\) und \(36\,\text{m}\) bei \(60\,\text{km/h}\). b) Bei Verdopplung der Geschwindigkeit vervierfacht sich der Bremsweg, da \(2^2 = 4\). c) \(s_{\text{nass}}(v) = 0{,}02v^2\)

- Welche horizontale Höhe musst du im Graphen für Teil a betrachten? - Wie hoch ist der Ball zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Suche im fallenden Ast den Zeitpunkt, an dem der Graph wieder diese Anfangshöhe erreicht. - Da Teil b grafisch verlangt ist: Welche Genauigkeit lässt sich aus der Achsenskalierung sinnvoll ablesen?

1. Im Graphen liegt die Flugbahn von \(t=1\) bis \(t=3\) auf oder oberhalb der Höhe \(4\,\text{m}\). Daher gilt \(1\le t\le3\). 2. Die Abwurfhöhe beträgt \(1\,\text{m}\). Beim Sinken erreicht der Graph diese Höhe wieder bei etwa \(t=4\). Danach liegt er bis zum Auftreffen auf dem Boden, das im Graphen bei ungefähr \(t=4{,}2\) zu erkennen ist, unterhalb der Abwurfhöhe.

a) \(1\le t\le3\) b) Ungefähr für \(4<t<4{,}2\)

- Der höchste Punkt einer Parabel wird Scheitelpunkt genannt. - Die Landung erfolgt dort, wo der Graph die x-Achse (den Boden) berührt oder schneidet.

1. Bei \(x = 1\) liest man auf dem Graphen die Höhe \(y = 3\,\text{m}\) ab. 2. Der höchste Punkt des Graphen (Scheitelpunkt) liegt bei \((2 \mid 4)\). Die maximale Höhe beträgt also \(4\,\text{m}\) nach einer Entfernung von \(2\,\text{m}\). 3. Der Ball landet, wenn die Höhe \(y = 0\) ist. Dies ist am Punkt \((4 \mid 0)\) der Fall. Die Entfernung beträgt \(4\,\text{m}\).

1. Nach \(1\,\text{m}\) ist der Ball \(3\,\text{m}\) hoch. 2. Die maximale Höhe von \(4\,\text{m}\) wird nach \(2\,\text{m}\) Entfernung erreicht. 3. Der Ball landet nach \(4\,\text{m}\).

- Welche Bedingung muss die Höhe eines Bogens oberhalb des Bodens erfüllen? - An welchen Stellen endet der Bogen am Boden? - Was bedeutet ein negativer Höhenwert relativ zum gewählten Bodenniveau?

1. Der Bogen reicht nur dort, wo seine Höhe nicht negativ ist. Die Bodenpunkte erfüllen \(-0{,}5(x-4)^2+8=0\). Daraus folgt \((x-4)^2=16\), also \(x=0\) oder \(x=8\). Der sinnvolle Bereich ist \(0\le x\le8\). 2. Es gilt \(h(10)=-0{,}5\cdot6^2+8=-18+8=-10\). Eine Höhe von \(-10\,\text{m}\) liegt unter dem gewählten Bodenbezug und gehört nicht zum beschriebenen Bogen; die Formel wird hier außerhalb ihres Sachbereichs benutzt.

a) \(0\le x\le8\) b) \(h(10)=-10\,\text{m}\). Dieser Wert liegt außerhalb des physikalisch sinnvollen Modellbereichs und beschreibt den Bogen nicht.

- Was bedeutet eine Erhöhung „um \(125\,\%\)“ für den Gesamtwert der Fläche im Vergleich zum Startwert? - Wenn du weißt, wie sich die Fläche vervielfacht, wie findest du dann heraus, wie sich die Seitenlänge verändert hat? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Streckfaktor von Längen und dem von Flächen.

1. Sei \(A_{\mathrm{alt}}\) die ursprüngliche Fläche. Eine Erhöhung um \(125\,\%\) bedeutet, dass die neue Fläche \(A_{\mathrm{neu}} = A_{\mathrm{alt}} + 1{,}25A_{\mathrm{alt}} = 2{,}25A_{\mathrm{alt}}\) beträgt. 2. Für die Seitenlängen gilt der Zusammenhang \(s_{\mathrm{neu}}^2 = 2{,}25s_{\mathrm{alt}}^2\). 3. Um den Faktor \(k\) für die Seitenlänge zu finden, wird die Wurzel gezogen: \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 4. Ein Faktor von \(1{,}5\) entspricht einer Zunahme um \(0{,}5\), also einer Steigerung der Seitenlänge um \(50\,\%\).

Die Seitenlänge muss um \(50\,\%\) erhöht werden.

- Was bedeutet die Variable \(n\) in diesem Zusammenhang? - Wie geht man vor, wenn ein Funktionswert gegeben ist und die zugehörige Stelle gesucht wird? - Welche mathematischen Bedingungen müssen für die Anzahl von Ecken in einem Vieleck gelten?

1. Einsetzen von \(n = 8\) in die Funktionsgleichung: \(d(8) = \frac{1}{2} \cdot 8^2 - 1{,}5 \cdot 8 = 32 - 12 = 20\). Das Achteck hat 20 Diagonalen. 2. Aufstellen der Gleichung für \(d = 54\): \(54 = 0{,}5n^2 - 1{,}5n\). Umgeformt in die Normalform: \(n^2 - 3n - 108 = 0\). 3. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(n_{1,2} = 1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 108} = 1{,}5 \pm \sqrt{110{,}25} = 1{,}5 \pm 10{,}5\). Dies ergibt \(n_1 = 12\) und \(n_2 = -9\). 4. Da eine Anzahl an Ecken nicht negativ sein kann, ist nur \(n = 12\) eine sinnvolle Lösung. Das Vieleck hat 12 Ecken.

a) Ein Achteck hat 20 Diagonalen. b) Das Vieleck hat 12 Ecken. c) Nur die positive Lösung \(n = 12\) ist sinnvoll, da eine negative Anzahl an Ecken (\(n = -9\)) geometrisch nicht existiert.

- Welche Variable steht für die Zeit und welche für die Entfernung? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen? - Um herauszufinden, wer „vorne“ liegt, musst du die Positionen zum selben Zeitpunkt vergleichen.

1. Berechnung für Fahrzeug A nach 5 s: \(s_A(5) = 1{,}2 \cdot 5^2 = 1{,}2 \cdot 25 = 30\,\text{m}\). 2. Berechnung des Zeitpunkts für \(120\,\text{m}\) bei Fahrzeug A: \(120 = 1{,}2t^2 \Rightarrow t^2 = 100 \Rightarrow t = 10\,\text{s}\) (negative Lösung entfällt). 3. Vergleich nach 10 s: \(s_A(10) = 1{,}2 \cdot 10^2 = 120\,\text{m}\). Für Fahrzeug B: \(s_B(10) = 0{,}8 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 = 80 + 20 = 100\,\text{m}\). 4. Da \(120\,\text{m} > 100\,\text{m}\), liegt Fahrzeug A nach 10 Sekunden vorne.

a) Fahrzeug A hat \(30\,\text{m}\) zurückgelegt. b) Nach \(10\,\text{s}\) hat Fahrzeug A die \(120\,\text{m}\) erreicht. c) Fahrzeug A liegt vorne, da es nach \(10\,\text{s}\) bereits \(120\,\text{m}\) weit gefahren ist, während Fahrzeug B erst \(100\,\text{m}\) erreicht hat.

- Welcher \(x\)-Wert gehört zum Ort des Abstoßes? - Welcher besondere Punkt einer Parabel gibt den höchsten Wert an? - Wie berechnet man allgemein die Koordinaten dieses höchsten Punktes? - Was musst du für die Variable einsetzen, um die Höhe an einer bestimmten Stelle zu finden?

1. Abstoßhöhe berechnen: Den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) bestimmen: \(h(0) = -0{,}05 \cdot 0^2 + 0{,}6 \cdot 0 + 2 = 2\). Die Abstoßhöhe beträgt \(2\,\text{m}\). 2. Maximale Höhe bestimmen: Den Scheitelpunkt der Parabel berechnen. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{0{,}6}{2 \cdot (-0{,}05)} = \frac{0{,}6}{0{,}1} = 6\). 3. Maximalen Funktionswert berechnen: \(h(6) = -0{,}05 \cdot 6^2 + 0{,}6 \cdot 6 + 2 = -0{,}05 \cdot 36 + 3{,}6 + 2 = -1{,}8 + 5{,}6 = 3{,}8\). Die maximale Höhe beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). 4. Höhe bei \(10\,\text{m}\) berechnen: Den Funktionswert an der Stelle \(x = 10\) bestimmen: \(h(10) = -0{,}05 \cdot 10^2 + 0{,}6 \cdot 10 + 2 = -0{,}05 \cdot 100 + 6 + 2 = -5 + 8 = 3\). Die Höhe beträgt \(3\,\text{m}\).

a) Die Kugel wird aus einer Höhe von \(2\,\text{m}\) abgestoßen. b) Die maximale Höhe beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). c) In \(10\,\text{m}\) Entfernung befindet sich die Kugel in einer Höhe von \(3\,\text{m}\).

- Was bedeutet „Austritt aus der Düse“ für den Wert von \(x\)? - Wie findest du den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion? - Was gilt für die Höhe \(h(x)\), wenn das Wasser auf die Oberfläche trifft? - Welche mathematische Methode hilft dir, die Stellen zu finden, an denen die Höhe Null ist?

1. Austrittshöhe: Funktionswert für \(x = 0\) berechnen: \(h(0) = 1{,}25\). Austrittshöhe ist \(1{,}25\,\text{m}\). 2. Höchster Punkt (Scheitelpunkt): \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-0{,}25)} = \frac{1}{0{,}5} = 2\). Die Höhe am Scheitelpunkt ist \(h(2) = -0{,}25 \cdot 2^2 + 2 + 1{,}25 = -1 + 2 + 1{,}25 = 2{,}25\). Der höchste Punkt liegt bei \((2 \mid 2{,}25)\). 3. Auftreffpunkt (Nullstelle): \(0 = -0{,}25x^2 + x + 1{,}25\). Multiplikation mit \(-4\) ergibt \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 5} = 2 \pm 3\). 4. Ergebnisse der Nullstellen: \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da nur positive Entfernungen sinnvoll sind, trifft der Strahl in \(5\,\text{m}\) Entfernung auf.

a) Der Strahl tritt in einer Höhe von \(1{,}25\,\text{m}\) aus. b) Der höchste Punkt liegt bei \(x = 2\,\text{m}\) in einer Höhe von \(2{,}25\,\text{m}\). c) Der Wasserstrahl trifft in \(5\,\text{m}\) Entfernung von der Düse auf die Wasseroberfläche.

- Welchen Wert hat die Zeit \(t\) zum Zeitpunkt des Abschusses? - Setze alle bekannten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die fehlende Unbekannte zu finden. - Wie gehst du vor, wenn du die Höhe zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt wissen möchtest?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung: Gegeben ist die Anfangshöhe \(h_0 = 1{,}5\,\text{m}\). Einsetzen des Punktes \((2 | 31{,}5)\) in \(h(t) = -5t^2 + v_0t + 1{,}5\) führt zu \(31{,}5 = -5 \cdot 2^2 + v_0 \cdot 2 + 1{,}5\). 2. Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\): \(31{,}5 = -20 + 2v_0 + 1{,}5 \implies 31{,}5 = -18{,}5 + 2v_0 \implies 50 = 2v_0 \implies v_0 = 25\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -5t^2 + 25t + 1{,}5\). 3. Berechnung der Höhe nach \(4\,\text{s}\): Einsetzen von \(t = 4\) ergibt \(h(4) = -5 \cdot 4^2 + 25 \cdot 4 + 1{,}5 = -80 + 100 + 1{,}5 = 21{,}5\). Die Höhe beträgt \(21{,}5\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -5t^2 + 25t + 1{,}5\). b) Nach \(4\,\text{s}\) befindet sich die Rakete in einer Höhe von \(21{,}5\,\text{m}\).

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn der Springer nach einer gewissen Zeit wieder auf derselben Höhe ist? - Parabeln sind symmetrisch. Wo muss also zeitlich gesehen der höchste Punkt liegen, wenn zwei Zeitpunkte mit gleicher Höhe bekannt sind? - Wenn du die Funktionsgleichung vollständig hast, wie findest du den höchsten Punkt der Flugbahn?

1. Bestimmung von \(v_0\): Mit \(h_0 = 10\) und der Bedingung \(h(0{,}8) = 10\) ergibt sich \(10 = -5 \cdot 0{,}8^2 + v_0 \cdot 0{,}8 + 10\). 2. Auflösen nach \(v_0\): \(0 = -3{,}2 + 0{,}8v_0 \implies 3{,}2 = 0{,}8v_0 \implies v_0 = 4\). Die Funktion ist \(h(t) = -5t^2 + 4t + 10\). 3. Berechnung des Scheitelpunkts: Die Zeit bis zum Erreichen der maximalen Höhe liegt in der Mitte zwischen den Zeitpunkten gleicher Höhe (hier \(t = 0\) und \(t = 0{,}8\)), also bei \(t_{\max} = 0{,}4\,\text{s}\) (alternativ über \(t = \frac{-b}{2a}\)). 4. Maximale Höhe: \(h(0{,}4) = -5 \cdot 0{,}4^2 + 4 \cdot 0{,}4 + 10 = -0{,}8 + 1{,}6 + 10 = 10{,}8\). Die maximale Höhe beträgt \(10{,}8\,\text{m}\).

Der Springer erreicht eine maximale Höhe von \(10{,}8\,\text{m}\).

- Welcher Wert von \(x\) entspricht dem Moment des Abwurfs? - Wo befindet sich der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel? - Wie kannst du die Höhe des Balls an einer ganz bestimmten Stelle berechnen? - Was muss für die Höhe des Balls gelten, damit er über ein Hindernis fliegt?

1. Berechnung der Abwurfhöhe: Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktion: \(h(0) = -0{,}1 \cdot 0^2 + 1 \cdot 0 + 2 = 2\). Der Ball wird aus \(2\,\text{m}\) Höhe abgeworfen. 2. Bestimmung der maximalen Höhe: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-0{,}1)} = 5\). Die maximale Höhe ist der Funktionswert am Scheitelpunkt: \(h(5) = -0{,}1 \cdot 5^2 + 5 + 2 = -2{,}5 + 5 + 2 = 4{,}5\). Die maximale Höhe beträgt \(4{,}5\,\text{m}\). 3. Prüfung des Hindernisses: Berechnung der Ballhöhe bei \(x = 9\): \(h(9) = -0{,}1 \cdot 9^2 + 9 + 2 = -8{,}1 + 9 + 2 = 2{,}9\). Da \(2{,}9\,\text{m} < 3\,\text{m}\), überfliegt der Ball das Hindernis nicht.

a) Der Ball wird aus einer Höhe von \(2\,\text{m}\) abgeworfen. b) Die maximale Höhe beträgt \(4{,}5\,\text{m}\). c) Nein, der Ball überfliegt das Hindernis nicht, da er in \(9\,\text{m}\) Entfernung nur eine Höhe von \(2{,}9\,\text{m}\) hat.

- Wie berechnet man den Wert einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Erinnerst du dich an die Symmetrie von Parabeln? Was bedeutet es für den Scheitelpunkt, wenn zwei Punkte dieselbe Höhe haben? - Welche Formel hilft dir, den Extrempunkt einer quadratischen Funktion in der Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) zu finden?

1. Berechnung der Funktionswerte für Teilaufgabe a: \(k(60) = 0{,}001 \cdot 60^2 - 0{,}18 \cdot 60 + 15{,}6 = 3{,}6 - 10{,}8 + 15{,}6 = 8{,}4\). \(k(120) = 0{,}001 \cdot 120^2 - 0{,}18 \cdot 120 + 15{,}6 = 14{,}4 - 21{,}6 + 15{,}6 = 8{,}4\). Beide Geschwindigkeiten führen zum gleichen Verbrauch von \(8{,}4\,\text{l}/100\,\text{km}\). 2. Bestimmung des Minimums für Teilaufgabe b: Da der Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist (\(a = 0{,}001 > 0\)), liegt das Minimum im Scheitelpunkt. Berechnung der \(v\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(v_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0{,}18}{2 \cdot 0{,}001} = \frac{0{,}18}{0{,}002} = 90\). Berechnung des minimalen Verbrauchs: \(k(90) = 0{,}001 \cdot 90^2 - 0{,}18 \cdot 90 + 15{,}6 = 8{,}1 - 16{,}2 + 15{,}6 = 7{,}5\). Die optimale Geschwindigkeit beträgt \(90\,\text{km/h}\) bei einem Verbrauch von \(7{,}5\,\text{l}/100\,\text{km}\).

a) Bei beiden Geschwindigkeiten beträgt der Verbrauch \(8{,}4\,\text{l}/100\,\text{km}\). b) Der Verbrauch ist bei einer Geschwindigkeit von \(90\,\text{km/h}\) am geringsten und beträgt dort \(7{,}5\,\text{l}/100\,\text{km}\).

- Vergleiche die beiden Faktoren in den Funktionsgleichungen, um das Verhältnis der Bremswege direkt zu sehen. - Berechne zuerst den konkreten Wert für die nasse Straße und nutze diesen dann als Zielwert für die trockene Straße. - Wie berechnet man den prozentualen Unterschied zwischen zwei Werten?

1. Bremsweg bei \(50\,\text{km/h}\): \(s_t(50) = 0{,}005 \cdot 2500 = 12{,}5\,\text{m}\) und \(s_n(50) = 0{,}008 \cdot 2500 = 20\,\text{m}\). 2. Prozentualer Vergleich: \(\frac{20 - 12{,}5}{12{,}5} = \frac{7{,}5}{12{,}5} = 0{,}6\). Der Bremsweg ist auf nassem Asphalt um \(60\,\%\) länger. Alternativ: \(\frac{0{,}008}{0{,}005} = 1{,}6\). 3. Bremsweg nass bei \(80\,\text{km/h}\): \(s_n(80) = 0{,}008 \cdot 6400 = 51{,}2\,\text{m}\). 4. Geschwindigkeit auf trockener Straße für \(51{,}2\,\text{m}\): \(51{,}2 = 0{,}005v^2 \Rightarrow v^2 = \frac{51{,}2}{0{,}005} = 10\,240 \Rightarrow v = \sqrt{10\,240} \approx 101{,}19\,\text{km/h}\).

a) Auf trockener Straße beträgt der Bremsweg \(12{,}5\,\text{m}\), auf nassem Asphalt \(20\,\text{m}\). Der Bremsweg verlängert sich um \(60\,\%\). b) Der Bremsweg bei \(80\,\text{km/h}\) auf nasser Straße (\(51{,}2\,\text{m}\)) entspricht auf trockener Straße einer Geschwindigkeit von \(v \approx 101{,}2\,\text{km/h}\).

- Wo in einer Parabel befindet sich der höchste Punkt? - Was gilt für die Höhe \(h(x)\), wenn der Ball den Boden berührt? - Welcher Parameter in der Funktionsgleichung gibt die Höhe an der Stelle \(x = 0\) an?

1. Bestimmung der maximalen Höhe (Scheitelpunkt): Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts mit \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2\). Berechnung der Höhe: \(h(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 2{,}5 = -2 + 4 + 2{,}5 = 4{,}5\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Wurfweite (Nullstelle): Setze \(h(x) = 0 \Rightarrow -0{,}5x^2 + 2x + 2{,}5 = 0\). Multiplikation mit \(-2\): \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung: \((x-5)(x+1) = 0\). Die relevante Nullstelle liegt bei \(x = 5\). Die Wurfweite beträgt \(5\,\text{m}\). 3. Anpassung der Anfangshöhe: Die Anfangshöhe entspricht dem \(y\)-Achsenabschnitt \(c\). Wenn diese um \(1\,\text{m}\) steigt, ändert sich \(c\) von \(2{,}5\) auf \(3{,}5\). Die neue Gleichung ist \(h_{\text{neu}}(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 3{,}5\).

a) Die maximale Höhe beträgt \(4{,}5\,\text{m}\). b) Die Wurfweite beträgt \(5\,\text{m}\). c) Die neue Funktionsgleichung lautet \(h_{\text{neu}}(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 3{,}5\).

- Überlege, wie viele Punkte du mindestens benötigst, um die Parameter einer linearen bzw. einer quadratischen Funktion eindeutig zu bestimmen. - Setze die bekannten Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten. - Vergleiche die berechneten Funktionswerte für einen bestimmten Zeitpunkt mit dem tatsächlich gemessenen Wert, um die Genauigkeit zu beurteilen.

1. Aufstellen der linearen Funktion \(h_{\text{lin}}(t) = mt + c\): Aus \(h(0) = 50\) folgt \(c = 50\). Mit \(h(4) = 170\): \(170 = m \cdot 4 + 50 \Rightarrow 120 = 4m \Rightarrow m = 30\). Somit: \(h_{\text{lin}}(t) = 30t + 50\). 2. Aufstellen der quadratischen Funktion \(h_{\text{quad}}(t) = at^2 + bt + c\): Aus \(h(0) = 50\) folgt \(c = 50\). Gleichungssystem mit den Punkten \((2|90)\) und \((4|170)\): I) \(4a + 2b + 50 = 90 \Rightarrow 4a + 2b = 40 \Rightarrow 2a + b = 20\) II) \(16a + 4b + 50 = 170 \Rightarrow 16a + 4b = 120 \Rightarrow 4a + b = 30\) Subtraktion II - I: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\). Einsetzen in I: \(2(5) + b = 20 \Rightarrow 10 + b = 20 \Rightarrow b = 10\). Somit: \(h_{\text{quad}}(t) = 5t^2 + 10t + 50\). 3. Prüfung für \(t = 5\): \(h_{\text{lin}}(5) = 30 \cdot 5 + 50 = 200\,\text{cm}\). Abweichung: \(|222{,}5 - 200| = 22{,}5\,\text{cm}\). \(h_{\text{quad}}(5) = 5 \cdot 5^2 + 10 \cdot 5 + 50 = 125 + 50 + 50 = 225\,\text{cm}\). Abweichung: \(|222{,}5 - 225| = 2{,}5\,\text{cm}\). Das quadratische Modell beschreibt das Wachstum deutlich besser.

a) Die lineare Funktion lautet \(h_{\text{lin}}(t) = 30t + 50\), die quadratische Funktion lautet \(h_{\text{quad}}(t) = 5t^2 + 10t + 50\). b) Das quadratische Modell beschreibt den Wert nach 5 Wochen besser, da die berechnete Höhe (\(225\,\text{cm}\)) näher am Messwert (\(222{,}5\,\text{cm}\)) liegt als die des linearen Modells (\(200\,\text{cm}\)).

- Welche Steigung hat die Gerade durch den Ursprung und den letzten Messpunkt? - Welche zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\) liefern die beiden weiteren Punkte des quadratischen Ansatzes? - Welche Eigenschaft unterscheidet eine lineare Zunahme von einer quadratischen Zunahme im Hinblick auf die Änderungsrate? - Welche Aussage über die Zukunft lässt sich aus nur drei Messpunkten nicht sicher ableiten?

1. Aus \(80=10m\) folgt \(m=8\). Damit ist \(f(x)=8x\). 2. Für \(g(x)=ax^2+bx\) erhält man aus \((5 \mid 25)\) die Gleichung \(5a+b=5\) und aus \((10 \mid 80)\) die Gleichung \(10a+b=8\). Subtraktion ergibt \(5a=3\), also \(a=0{,}6\) und anschließend \(b=2\). Daher ist \(g(x)=0{,}6x^2+2x\). 3. Es gilt \(f(12)=96\) und \(g(12)=110{,}4\), jeweils in Tausend Nutzern. 4. Unter der ausdrücklich angenommenen weiter zunehmenden Zuwachsrate passt das quadratische Modell besser als das lineare Modell mit konstanter Zuwachsrate. Die drei Messpunkte allein beweisen jedoch nicht, dass das Wachstum künftig quadratisch verläuft; insbesondere eine weiter entfernte Extrapolation wäre damit nicht abgesichert.

a) \(f(x)=8x\) b) \(g(x)=0{,}6x^2+2x\) c) Linear: \(96\,000\) Nutzer; quadratisch: \(110\,400\) Nutzer. Unter der genannten Annahme passt das quadratische Modell besser. Die wenigen Messpunkte rechtfertigen aber keine allgemeine oder langfristige quadratische Prognose.

- Setze die gegebenen Entfernungswerte für die Variable in die Funktionsgleichung ein. - Überlege, an welcher Stelle einer Parabel der höchste Punkt erreicht wird und wie man diesen berechnet. - Was bedeutet es für die Höhe eines Objekts, wenn es den Boden berührt?

1. Berechnung der Höhen für Teilaufgabe a): Für \(x = 2\) ergibt sich \(f(2) = -0{,}25 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = -1 + 4 = 3\,\text{m}\). Für \(x = 6\) ergibt sich \(f(6) = -0{,}25 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6 = -9 + 12 = 3\,\text{m}\). Da beide Werte identisch sind, ist die Bedingung erfüllt. 2. Bestimmung der maximalen Höhe für Teilaufgabe b): Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den Stellen gleicher Höhe oder wird über \(x_s = -\frac{b}{2a}\) berechnet: \(x_s = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}25)} = \frac{2}{0{,}5} = 4\). Die maximale Höhe ist \(f(4) = -0{,}25 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = -4 + 8 = 4\,\text{m}\). 3. Berechnung der Fußpunkte für Teilaufgabe c): Die Fußpunkte liegen dort, wo die Höhe \(0\) ist. Ansatz: \(-0{,}25x^2 + 2x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x \cdot (-0{,}25x + 2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (linker Fußpunkt) und \(x_2 = \frac{-2}{-0{,}25} = 8\) (rechter Fußpunkt). Die Entfernung beträgt \(8 - 0 = 8\,\text{m}\).

a) Die Höhe an beiden Stellen beträgt \(3\,\text{m}\). b) Die maximale Höhe beträgt \(4\,\text{m}\). c) Die Fußpunkte liegen \(8\,\text{m}\) auseinander, da die Nullstellen der Funktion bei \(x = 0\) und \(x = 8\) liegen.

- Was bedeutet „weder Gewinn noch Verlust“ mathematisch für den Funktionswert? - Welche Eigenschaft der Parabel hilft dir, den optimalen Preis für den maximalen Gewinn zu finden? - Was passiert in einem Geschäft, wenn man Produkte verschenkt (Preis gleich Null)?

1. Berechnung der Nullstellen für Teilaufgabe a): Ansatz \(G(x) = 0\). \(-2x^2 + 60x - 400 = 0 \Rightarrow x^2 - 30x + 200 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 15 \pm \sqrt{15^2 - 200} = 15 \pm \sqrt{25}\). Somit sind \(x_1 = 10\) und \(x_2 = 20\). Die beiden Break-even-Preise liegen bei \(10\,\text{€}\) und \(20\,\text{€}\). 2. Bestimmung des Gewinnmaximums für Teilaufgabe b): Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(x_s = -\frac{60}{2 \cdot (-2)} = 15\). Der maximale Gewinn beträgt \(G(15) = -2 \cdot 15^2 + 60 \cdot 15 - 400 = -450 + 900 - 400 = 50\,\text{€}\). 3. Interpretation für Teilaufgabe c): \(G(0)\) ist der Gewinn bei einem Verkaufspreis von \(0\,\text{€}\). Der Wert \(-400\) bedeutet, dass das Modell bei einem Verkaufspreis von \(0\,\text{€}\) einen Verlust von \(400\,\text{€}\) prognostiziert. Aus der Funktionsgleichung allein lässt sich nicht schließen, dass dieser Betrag ausschließlich Fixkosten darstellt.

a) Die Break-even-Preise betragen \(10\,\text{€}\) und \(20\,\text{€}\). b) Bei einem Preis von \(15\,\text{€}\) wird der maximale Gewinn von \(50\,\text{€}\) erzielt. c) Das Modell prognostiziert bei einem Verkaufspreis von \(0\,\text{€}\) einen Verlust von \(400\,\text{€}\). Ob dieser Betrag Fixkosten entspricht, ist aus dem Modell nicht ableitbar.

- Wie sieht die allgemeine Form aus, wenn die Konstante am Ende wegfällt? - Welche Verfahren kennst du, um eine quadratische Gleichung zu lösen? - Was bedeutet eine Nullstelle im Kontext einer Brücke, die auf dem Boden steht?

1. Expansion von \(p(x)\): \((x - 10)^2 = x^2 - 20x + 100\). 2. Multiplikation mit \(-0{,}1\): \(-0{,}1x^2 + 2x - 10\). 3. Addition von \(10\): \(p(x) = -0{,}1x^2 + 2x\). 4. Nullstellenberechnung: Setze \(-0{,}1x^2 + 2x = 0\). 5. Division durch \(-0{,}1\) führt zu \(x^2 - 20x = 0\). 6. Ausklammern oder \(p\)-\(q\)-Formel: \(x(x - 20) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 20\). 7. Breite: \(20\,\text{m} - 0\,\text{m} = 20\,\text{m}\).

a) \(p(x) = -0{,}1x^2 + 2x\) b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 20\). Der Bogen hat eine Breite von \(20\,\text{m}\).

- Welcher Teil der Scheitelpunktkoordinaten gibt die Höhe an, welcher die Entfernung? - Was bedeutet eine Nullstelle im Kontext eines Sprungs? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten auf der x-Achse? - Was meint man im Alltag mit „flacher“ im Vergleich von zwei Kurven? Hat das etwas mit der Steigung oder dem Streckfaktor zu tun?

1. Bestimmung der Scheitelpunkte: Für den ersten Sprung ist \(S_f(2|2)\), die maximale Höhe beträgt \(2\,\text{m}\). Für den zweiten Sprung ist \(S_g(3|1{,}8)\), die maximale Höhe beträgt \(1{,}8\,\text{m}\). Der erste Sprung erreicht die größere maximale Höhe. 2. Berechnung der Nullstellen für die Sprungweite: Für \(f(x)\): \(0 = -0{,}5(x-2)^2 + 2 \Rightarrow (x-2)^2 = 4 \Rightarrow x-2 = \pm 2\). Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Die Weite beträgt \(4\,\text{m}\). Für \(g(x)\): \(0 = -0{,}2(x-3)^2 + 1{,}8 \Rightarrow (x-3)^2 = 9 \Rightarrow x-3 = \pm 3\). Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 6\). Die Weite beträgt \(6\,\text{m}\). 3. Vergleich: Der zweite Sprung ist flacher, da er eine geringere maximale Höhe (\(1{,}8\,\text{m} < 2\,\text{m}\)) erreicht, aber eine größere Weite (\(6\,\text{m} > 4\,\text{m}\)) erzielt. Mathematisch ist der Betrag des Streckfaktors \(|a|\) bei \(g(x)\) kleiner (\(0{,}2 < 0{,}5\)).

a) Sprung 1 erreicht die größere maximale Höhe (\(2\,\text{m}\) gegenüber \(1{,}8\,\text{m}\)). b) Sprungweite 1: \(4\,\text{m}\); Sprungweite 2: \(6\,\text{m}\). c) Sprung 2 ist flacher, da er bei geringerer Maximalhöhe eine größere Weite besitzt.

- Was bedeutet es für den \(y\)-Wert, wenn wir die Breite am Boden suchen? - Wie hängen die \(x\)-Koordinaten mit der Gesamtbreite eines Objekts zusammen, wenn das Koordinatensystem mittig liegt? - Skizziere die Situation, um zu sehen, an welcher Stelle die Höhe des Transports die Tunnelwand berühren würde.

1. Berechnung der Nullstellen für die Bodenbreite: \(0 = -0{,}2x^2 + 5 \Rightarrow 0{,}2x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 25\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -5\) und \(x_2 = 5\). Die Breite beträgt \(5 - (-5) = 10\,\text{m}\). 2. Berechnung der Breite bei einer Höhe von \(4\,\text{m}\): \(4 = -0{,}2x^2 + 5 \Rightarrow 0{,}2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 5\). 3. Die \(x\)-Koordinaten der Tunnelwände in dieser Höhe sind \(x \approx \pm 2{,}236\). 4. Die maximale Breite des Transports ist die Differenz dieser Werte: \(2 \cdot \sqrt{5} \approx 4{,}47\,\text{m}\).

a) Die Breite am Boden beträgt \(10\,\text{m}\). b) Der Transport darf maximal etwa \(4{,}47\,\text{m}\) breit sein.

- Wie verteilen sich die \(x\)-Koordinaten, wenn ein Gesamtabstand von \(120\,\text{m}\) symmetrisch um die \(y\)-Achse liegt? - Wenn du die Höhe kennst, wie findest du dann die zugehörigen seitlichen Abstände für eine andere Höhe? - Achte darauf, am Ende die gesamte Breite anzugeben, nicht nur den Abstand zur Mitte.

1. Da der Abstand \(120\,\text{m}\) beträgt und die Parabel symmetrisch zur \(y\)-Achse liegt, befinden sich die Stationen bei \(x = 60\) und \(x = -60\). 2. Berechnung der Höhe \(h\): \(y = 0{,}005 \cdot 60^2 = 0{,}005 \cdot 3600 = 18\). Die Höhe beträgt \(18\,\text{m}\). 3. Die Wasserhöhe beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 18\,\text{m} = 9\,\text{m}\). 4. Berechnung der Breite bei \(y = 9\): \(9 = 0{,}005 \cdot x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{0{,}005} = 1800\). 5. \(x = \pm \sqrt{1800} \approx \pm 42{,}43\). 6. Die Breite der Wasseroberfläche ist die Differenz der \(x\)-Werte: \(2 \cdot \sqrt{1800} \approx 84{,}85\,\text{m}\).

a) Die Höhe der Messstationen beträgt \(18\,\text{m}\). b) Die Wasseroberfläche ist etwa \(84{,}85\,\text{m}\) breit.

- Könntest du den Ursprung des Koordinatensystems an den Anfang des Bogens legen? - Welche besonderen Punkte der Parabel sind durch die Breite der Brücke gegeben? - Wie hilft dir ein weiterer bekannter Punkt auf dem Bogen, die Form der Parabel genau festzulegen? - Wo befindet sich bei einer symmetrischen Parabel immer der höchste Punkt?

1. Da der Bogen bei \(x = 0\) und \(x = 40\) den Boden berührt, liegen die Nullstellen bei \(0\) und \(40\). Ansatz in der Nullstellenform: \(h(x) = ax(x - 40)\). 2. Einsetzen des Punktes \((10 | 15)\) zur Bestimmung von \(a\): \(15 = a \cdot 10 \cdot (10 - 40) = -300a\). 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{15}{-300} = -0{,}05\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}05x^2 + 2x\). 4. Die maximale Höhe liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen bei \(x = 20\). 5. Berechnung der maximalen Höhe: \(h(20) = -0{,}05 \cdot 20^2 + 2 \cdot 20 = -20 + 40 = 20\). Die maximale Höhe beträgt \(20\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}05x^2 + 2x\). b) Die maximale Höhe des Bogens beträgt \(20\,\text{m}\).

- Wenn der Scheitelpunkt im Ursprung liegt, wie sieht dann die einfachste Form der Parabelgleichung aus? - Wie gehst du vor, wenn du einen Funktionswert (die Höhe) gegeben hast und den dazugehörigen \(x\)-Wert (den Abstand) suchst? - Achte darauf, am Ende die Wurzel korrekt zu ziehen und auf die geforderten Stellen zu runden.

1. Da der Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 0)\) liegt, lautet der Ansatz \(f(x) = ax^2\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(4 \mid 3{,}2)\) zur Bestimmung von \(a\): \(3{,}2 = a \cdot 4^2 \Rightarrow 3{,}2 = 16a \Rightarrow a = 0{,}2\). Die Gleichung ist \(f(x) = 0{,}2x^2\). 3. Gesucht ist der Wert für \(x\), bei dem \(f(x) = 2\) gilt: \(2 = 0{,}2x^2\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x^2 = \frac{2}{0{,}2} = 10 \Rightarrow x = \sqrt{10} \approx 3{,}1622\ldots\). 5. Der horizontale Abstand von der Mitte beträgt ca. \(3{,}16\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}2x^2\). b) Der horizontale Abstand beträgt ca. \(3{,}16\,\text{m}\).

- Welche Informationen aus dem Text entsprechen dem Scheitelpunkt der Parabel? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den Streckfaktor der Parabel zu berechnen? - Was bedeutet „auf dem Boden auftreffen“ für den Funktionswert? - Welche Form der Parabelgleichung ist am einfachsten zu verwenden, wenn der höchste Punkt bekannt ist?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\) mit dem Scheitelpunkt \(S(2{,}5 \mid 4{,}25)\): \(f(x) = a(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 2)\) zur Bestimmung von \(a\): \(2 = a(0 - 2{,}5)^2 + 4{,}25 \Rightarrow -2{,}25 = 6{,}25a \Rightarrow a = -0{,}36\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}36(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25\). 4. Berechnung der Höhe bei \(x = 4{,}00\): \(f(4) = -0{,}36(4 - 2{,}5)^2 + 4{,}25 = -0{,}36 \cdot 2{,}25 + 4{,}25 = 3{,}44\,\text{m}\). 5. Berechnung der Nullstelle für die Wurfweite: \(0 = -0{,}36(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25 \Rightarrow (x - 2{,}5)^2 = \frac{4{,}25}{0{,}36} \approx 11{,}81\). 6. Da nur die positive Entfernung sinnvoll ist: \(x = 2{,}5 + \sqrt{\frac{4{,}25}{0{,}36}} \approx 2{,}5 + 3{,}44 = 5{,}94\,\text{m}\).

a) \(f(x) = -0{,}36(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25\) b) Der Ball befindet sich in einer Höhe von \(3{,}44\,\text{m}\). c) Der Ball würde nach ca. \(5{,}94\,\text{m}\) auf dem Boden auftreffen.

- Wenn sich zwei Kurven schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein. - Wie löst man eine quadratische Gleichung, wenn kein absolutes Glied (Zahl ohne \(x\)) vorhanden ist? - Erinnerst du dich, wie man die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts aus der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c\) berechnet? - Was gibt der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts in diesem Sachzusammenhang an?

1. Gleichsetzen der Funktionen zur Berechnung des Schnittpunktes: \(-0{,}5x^2 + 2x + 1 = -x^2 + 3x + 1\). 2. Umformen der Gleichung: \(0{,}5x^2 - x = 0\). 3. Ausklammern: \(x(0{,}5x - 1) = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) (Startpunkt) und \(x_2 = 2\). 4. Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen: \(f(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3\). Der Kreuzungspunkt liegt bei \((2 \mid 3)\). 5. Bestimmung der Maxima: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \(x = \frac{-2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2\) mit \(y = 3\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(x = \frac{-3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5\) mit \(g(1{,}5) = -1{,}5^2 + 3 \cdot 1{,}5 + 1 = 3{,}25\). 6. Vergleich: Da \(3{,}25 > 3\), erreicht Strahl B die größere Höhe.

a) Die Wasserstrahlen kreuzen sich im Punkt \((2 \mid 3)\). b) Strahl B erreicht mit \(3{,}25\,\text{m}\) eine größere maximale Höhe als Strahl A (\(3\,\text{m}\)).

- Was passiert mathematisch zum Zeitpunkt des Abwurfs, also bei einer horizontalen Entfernung von Null? - Wie findest du die höchste Stelle einer Parabel, wenn die Funktionsgleichung in der allgemeinen Form gegeben ist? - Wenn eine bestimmte Höhe gesucht ist, musst du die Gleichung gleich diesem Wert setzen. - Es gibt oft zwei Stellen für eine bestimmte Höhe – welche passt zum „Sinkflug“?

1. Interpretation: Der Wert \(h(0) = 2\) gibt die Abwurfhöhe des Balls an, also \(2\,\text{m}\). 2. Berechnung des Scheitelpunkts: Die \(x\)-Koordinate des Scheitels liegt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{1{,}2}{2 \cdot (-0{,}2)} = 3\). 3. Einsetzen von \(x = 3\) in die Funktion: \(h(3) = -0{,}2 \cdot 3^2 + 1{,}2 \cdot 3 + 2 = -1{,}8 + 3{,}6 + 2 = 3{,}8\). Die maximale Höhe beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). 4. Berechnung der Entfernung für die Korbhöhe: Setze \(h(x) = 3{,}05\): \(3{,}05 = -0{,}2x^2 + 1{,}2x + 2 \Rightarrow 0{,}2x^2 - 1{,}2x + 1{,}05 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel nach Division durch \(0{,}2\)): \(x^2 - 6x + 5{,}25 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{3^2 - 5{,}25} = 3 \pm \sqrt{3{,}75}\). 6. Ergebnisse: \(x_1 \approx 3 - 1{,}94 = 1{,}06\) (Steigflug) und \(x_2 \approx 3 + 1{,}94 = 4{,}94\) (Sinkflug). Da der Ball im Sinkflug in den Korb fallen soll, ist die Entfernung ca. \(4{,}94\,\text{m}\).

a) Der Wert 2 gibt die Abwurfhöhe von \(2\,\text{m}\) an. b) Die maximale Höhe des Balls beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). c) Der Korb muss sich in einer horizontalen Entfernung von ca. \(4{,}94\,\text{m}\) befinden.

- Achte genau auf den Unterschied zwischen Radius und Durchmesser. - Setze die bekannten Werte für Masse und Radius in die allgemeine Formel ein, um die Unbekannte zu finden. - Überlege dir, wie sich das Quadrat einer Zahl verhält: Welchen Faktor muss der Radius haben, damit am Ende eine \(4\) als Multiplikator für die gesamte Masse herauskommt?

1. Bestimmung von \(k\): Einsetzen der Werte \(m = 1{,}2\) und \(r = 10\) in \(m = kr^2\) führt zu \(1{,}2 = k \cdot 100\). Daraus folgt \(k = 0{,}012\,\frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}\). 2. Berechnung für Durchmesser \(30\,\text{cm}\): Der Radius beträgt \(r = 15\,\text{cm}\). Einsetzen in die Formel: \(m(15) = 0{,}012 \cdot 15^2 = 0{,}012 \cdot 225 = 2{,}7\,\text{kg}\). 3. Analyse der Massenvervielfachung: Da \(m\) proportional zu \(r^2\) ist, führt eine Vervierfachung der Masse (\(\cdot 4\)) zu einer Veränderung des Radius um den Faktor \(\sqrt{4} = 2\). Der Radius muss also verdoppelt werden.

a) \(k = 0{,}012\,\frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}\) (bzw. \(m(r) = 0{,}012r^2\) für \(r\) in \(\text{cm}\) und \(m\) in \(\text{kg}\)) b) Die Masse beträgt \(2{,}7\,\text{kg}\). c) Der Radius muss verdoppelt werden, da die Masse quadratisch vom Radius abhängt und \(2^2 = 4\) gilt.

- Schau dir die höchsten Punkte der beiden Kurven in der Grafik an. Welche Koordinaten haben sie? - Erinnere dich an die allgemeine Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion. Wie kannst du den Scheitelpunkt dort einsetzen? - Um den Streckungsfaktor zu bestimmen, kannst du einen gut ablesbaren Punkt auf der jeweiligen Kurve (zum Beispiel den Startpunkt auf dem Boden) in deine Gleichung einsetzen. - Wenn zwei Kurven aufeinandertreffen, haben sie an dieser Stelle denselben Funktionswert. Welcher mathematische Ansatz hilft dir, diesen Punkt zu berechnen? - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, welche Ergebnisse im realen Sachkontext (Entfernungen auf dem Boden) überhaupt Sinn ergeben.

1. **Scheitelpunkte ablesen:** Aus der Grafik lassen sich die Scheitelpunkte direkt ablesen: - Für den blauen Bogen \(f\): \(S_1(2 \mid 4)\) - Für den orangefarbenen Bogen \(g\): \(S_2(3 \mid 3)\) 2. **Scheitelpunktform aufstellen:** - Allgemeine Scheitelpunktform: \(y = a(x - d)^2 + e\) mit Scheitelpunkt \(S(d \mid e)\). - Für den blauen Bogen \(f\): \(f(x) = a_1(x - 2)^2 + 4\). Mit dem Punkt \((0 \mid 0)\) ergibt sich: \(0 = a_1(0 - 2)^2 + 4 \Rightarrow a_1 = -1\). Somit ist \(f(x) = -(x - 2)^2 + 4\). - Für den orangefarbenen Bogen \(g\): \(g(x) = a_2(x - 3)^2 + 3\). Mit dem Punkt \((1 \mid 0)\) ergibt sich: \(0 = a_2(1 - 3)^2 + 3 \Rightarrow a_2 = -0{,}75\). Somit ist \(g(x) = -0{,}75(x - 3)^2 + 3\). 3. **Schnittpunkt berechnen:** Gleichsetzen der Funktionsterme: \(-(x - 2)^2 + 4 = -0{,}75(x - 3)^2 + 3\) Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(-x^2 + 4x = -0{,}75x^2 + 4{,}5x - 3{,}75\) \(0{,}25x^2 + 0{,}5x - 3{,}75 = 0\) Multiplikation mit \(4\): \(x^2 + 2x - 15 = 0\) Faktorisieren liefert \((x - 3)(x + 5) = 0\). Da im Sachkontext \(x \ge 0\) sein muss, ist \(x = 3\) die einzige sinnvolle Lösung. Einsetzen in \(f(x)\) ergibt \(f(3) = -(3 - 2)^2 + 4 = 3\). Der Schnittpunkt der beiden Wasserbögen liegt somit bei \(P(3 \mid 3)\).

a) \(S_1(2 \mid 4)\) und \(S_2(3 \mid 3)\) b) \(f(x) = -(x - 2)^2 + 4\) und \(g(x) = -0{,}75(x - 3)^2 + 3\) c) Der Schnittpunkt liegt bei \(P(3 \mid 3)\).

- Wie lautet die allgemeine Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion? Welche Koordinaten des Scheitelpunkts kannst du aus dem Graphen ablesen? - Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, kannst du einen weiteren bekannten Punkt des Graphen in deine aufgestellte Gleichung einsetzen. Welcher Punkt auf der \(y\)-Achse ist besonders leicht abzulesen? - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt? Welchen Wert musst du für \(x\) einsetzen, um die Höhe des Balls am Korb zu bestimmen? - Welche Bedingung muss für die Höhe des Balls gelten, wenn er den Boden berührt? Welche Gleichung musst du dafür lösen?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung (Teil a): Aus der Zeichnung lässt sich der Scheitelpunkt \(S(4 \mid 4{,}4)\) ablesen. Der Ansatz für die Scheitelpunktform lautet somit: \(f(x) = a(x - 4)^2 + 4{,}4\) Die Abwurfhöhe bei \(x = 0\) ist auf der \(y\)-Achse beim Punkt \((0 \mid 2)\) ablesbar. Durch Einsetzen dieses Punktes lässt sich der Streckfaktor \(a\) bestimmen: \(2 = a \cdot (0 - 4)^2 + 4{,}4\) \(2 = 16a + 4{,}4 \quad \vert - 4{,}4\) \(-2{,}4 = 16a \quad \vert : 16\) \(a = -0{,}15\) Die Funktionsgleichung lautet somit: \(f(x) = -0{,}15(x - 4)^2 + 4{,}4\) 2. Überprüfung des Korbwurfs (Teil b): Um zu prüfen, ob der Ball durch den Korb bei \((7 \mid 3{,}05)\) geht, wird \(x = 7\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f(7) = -0{,}15 \cdot (7 - 4)^2 + 4{,}4\) \(f(7) = -0{,}15 \cdot 3^2 + 4{,}4\) \(f(7) = -0{,}15 \cdot 9 + 4{,}4\) \(f(7) = -1{,}35 + 4{,}4 = 3{,}05\) Da der Funktionswert genau \(3{,}05\,\text{m}\) beträgt, geht der Ball exakt durch den Korb. 3. Berechnung des Bodenkontakts (Teil c): Der Ball berührt den Boden, wenn die Höhe \(y = 0\) ist. Wir suchen die positive Nullstelle: \(-0{,}15(x - 4)^2 + 4{,}4 = 0\) \(-0{,}15(x - 4)^2 = -4{,}4 \quad \vert : (-0{,}15)\) \((x - 4)^2 = \frac{440}{15} = \frac{88}{3}\) \(x - 4 = \pm \sqrt{\frac{88}{3}}\) \(x = 4 \pm \sqrt{\frac{88}{3}}\) Da nur die positive Lösung im Sachkontext sinnvoll ist: \(x = 4 + \sqrt{\frac{88}{3}} \approx 9{,}42\) Der Ball berührt den Boden nach ca. \(9{,}42\,\text{m}\).

a) \(f(x) = -0{,}15(x - 4)^2 + 4{,}4\) b) Ja, der Ball geht exakt durch den Korb, da \(f(7) = 3{,}05\) ist. c) Der Ball berührt den Boden nach einer horizontalen Entfernung von \(9{,}42\,\text{m}\).

- Kannst du auf jedem Graphen einen Punkt ablesen, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt? - Wie kannst du die Koordinaten eines bekannten Punktes \((v \mid F_L)\) nutzen, um den Parameter \(a\) in der Formel zu bestimmen? - Welcher Wert stellt den Grundwert (\(100\,\%\)) dar, wenn du den prozentualen Unterschied im Vergleich zur Rennradhaltung berechnest? - Wie groß ist der absolute Unterschied zwischen den beiden Werten bei \(10\,\text{m/s}\)?

1. Ablesen geeigneter Punkte aus dem Diagramm: - Für die aufrechte Haltung (roter Graph): Am Punkt \((10 \mid 40)\) beträgt der Luftwiderstand bei \(10\,\text{m/s}\) genau \(40\,\text{N}\). Alternativ kann auch der Punkt \((5 \mid 10)\) abgelesen werden. - Für die Rennradhaltung (blauer Graph): Am Punkt \((10 \mid 25)\) beträgt der Luftwiderstand bei \(10\,\text{m/s}\) genau \(25\,\text{N}\). 2. Bestimmung des Faktors \(a\) durch Einsetzen in \(F_L = av^2\): - Aufrechte Haltung: \(40 = a \cdot 10^2 \implies 40 = 100a \implies a = 0{,}4\) - Rennradhaltung: \(25 = a \cdot 10^2 \implies 25 = 100a \implies a = 0{,}25\) 3. Berechnung des prozentualen Unterschieds bei \(v = 10\,\text{m/s}\): - Luftwiderstand aufrechte Haltung: \(40\,\text{N}\) - Luftwiderstand Rennradhaltung: \(25\,\text{N}\) - Differenz: \(40\,\text{N} - 25\,\text{N} = 15\,\text{N}\) - Prozentualer Unterschied bezogen auf die Rennradhaltung: \(\frac{15}{25} \cdot 100\,\% = 60\,\%\) (Alternativ direkt über die Faktoren \(a\): \(\frac{0{,}4 - 0{,}25}{0{,}25} = \frac{0{,}15}{0{,}25} = 0{,}6 = 60\,\%\))

a) Aufrechte Haltung: \(a = 0{,}4\); Rennradhaltung: \(a = 0{,}25\) b) Der Luftwiderstand ist um \(60\,\%\) größer.

- Kannst du wichtige Punkte der Flugbahn, wie den Abwurfort oder den höchsten Punkt, direkt aus dem Graphen ablesen? - Wie hängen der höchste Punkt einer Parabel und ihr Funktionsterm zusammen? - Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit der Ball eine bestimmte Höhe erreicht? - Wie berechnest du den Punkt, an dem der Ball wieder auf dem Boden auftrifft? - Vergleiche die Eigenschaften der beiden Parabeln Schritt für Schritt: Wer hat den höheren Scheitelpunkt und wer die größere Nullstelle?

1. Bestimmung markanter Punkte aus dem Graphen: Der Abwurfpunkt liegt bei \((0 \mid 2)\), der Scheitelpunkt bei \((4 \mid 4)\). 2. Überprüfung der Funktionsterme für Teilaufgabe a): - \(g(0) = 4 \neq 2\) (falsch) - \(h(x)\) ist nach oben geöffnet und \(h(4) = 0 \neq 4\) (falsch) - \(f(0) = 2\) und \(f(4) = 4\). Somit beschreibt der Term \(f(x) = -0{,}125x^2 + x + 2\) die Flugbahn. 3. Berechnung der Entfernung zum Korb für Teilaufgabe b): Ansatz \(f(x) = 3 \implies -0{,}125x^2 + x + 2 = 3 \implies x^2 - 8x + 8 = 0\). Lösungen: \(x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{8}\). Da der Ball fällt, wählen wir die größere Lösung: \(x = 4 + \sqrt{8} \approx 6{,}83\,\text{m}\). 4. Vergleich mit dem zweiten Wurf für Teilaufgabe c): - Scheitelpunkt von \(k(x) = -0{,}1x^2 + 0{,}8x + 2\): \(x_S = 4 \implies y_S = k(4) = 3{,}6\,\text{m}\). Da \(3{,}6\,\text{m} < 4\,\text{m}\) (Scheitelpunkt von \(f\)), fliegt der zweite Ball nicht so hoch wie der erste. - Nullstellen von \(k(x)\): \(-0{,}1x^2 + 0{,}8x + 2 = 0 \implies x^2 - 8x - 20 = 0 \implies (x-10)(x+2) = 0\). Die positive Nullstelle liegt bei \(x = 10\,\text{m}\). Der erste Ball landet bei \(x = 4 + \sqrt{32} \approx 9{,}66\,\text{m}\). Da \(10\,\text{m} > 9{,}66\,\text{m}\), fliegt der zweite Ball weiter.

a) Der Funktionsterm (1) \(f(x) = -0{,}125x^2 + x + 2\) beschreibt die Flugbahn. b) Der Ball durchquert den Korb in einer Entfernung von ca. \(6{,}83\,\text{m}\). c) Der zweite Ball fliegt nicht höher (maximale Höhe von \(3{,}6\,\text{m}\) im Vergleich zu \(4\,\text{m}\) beim ersten Ball), aber er fliegt weiter (Auftreffpunkt bei \(10\,\text{m}\) im Vergleich zu ca. \(9{,}66\,\text{m}\) beim ersten Ball).

- Überlege dir, was die Nullstellen im Sachzusammenhang „Tunnelbreite“ bedeuten. - Der Parameter \(c\) in \(y = ax^2 + c\) entspricht dem y-Achsenabschnitt, also hier der maximalen Tunnelhöhe. - Wenn ein Fahrzeug mittig fährt, verteilt sich seine Breite gleichmäßig nach links und rechts von der y-Achse. - Berechne die Höhe der Parabel an der Stelle, an der sich die Außenkante des Fahrzeugs befindet.

1. Ablesen der Werte: Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). Die Breite am Boden beträgt somit \(2 - (-2) = 4\,\text{m}\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid 4)\). 2. Funktionsgleichung bestimmen: Aus \(S(0 \mid 4)\) folgt direkt \(c = 4\). Mit der Nullstelle \((2 \mid 0)\) ergibt sich \(0 = a \cdot 2^2 + 4\), also \(4a = -4\) und \(a = -1\). Die Gleichung lautet \(h(x) = -x^2 + 4\). 3. Maximale Fahrzeughöhe: Ein \(2\,\text{m}\) breites Fahrzeug nimmt bei mittiger Fahrt den Bereich von \(x = -1\) bis \(x = 1\) ein. Die kritische Höhe ist der Funktionswert an den Rändern, also \(h(1) = -1^2 + 4 = 3\). Das Fahrzeug darf höchstens \(3\,\text{m}\) hoch sein.

a) Nullstellen: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\); Scheitelpunkt: \(S(0 \mid 4)\); Breite: \(4\,\text{m}\) b) \(h(x) = -x^2 + 4\) c) Das Fahrzeug darf höchstens \(3\,\text{m}\) hoch sein.

- Welche Kandidaten passen bereits wegen der Öffnungsrichtung nicht zum sichtbaren Graphabschnitt? - Welchen gut ablesbaren Punkt kannst du zum Unterscheiden der verbleibenden Terme verwenden? - Wie kannst du bei einer Parabel mit zwei Nullstellen die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bestimmen? - Welche Bedeutung hat die positive Nullstelle in diesem Sachzusammenhang?

1. Der sichtbare Graph öffnet sich nach unten, daher scheidet Term (3) aus. Außerdem ist der Punkt \((2 \mid 3)\) ablesbar. Es gilt \(f(2)=-0{,}25\cdot4+4=3\), während \(g(2)=-0{,}5\cdot4+8=6\). Somit passt Term (1). 2. \(f(x)=-0{,}25x^2+2x\) hat die Nullstellen \(x_1=0\) und \(x_2=8\). Die Symmetrieachse liegt daher bei \(x_S=4\). Mit \(f(4)=-0{,}25\cdot16+8=4\) beträgt die maximale Höhe \(4\,\text{m}\). 3. Die positive Nullstelle \(x=8\) bedeutet im Kontext, dass der Wasserstrahl nach \(8\,\text{m}\) wieder die Wasseroberfläche erreicht.

a) Term (1): \(f(x)=-0{,}25x^2+2x\) b) Maximale Höhe: \(4\,\text{m}\) bei \(x=4\,\text{m}\) c) \(8\,\text{m}\)

- Welche Vereinfachung folgt für den konstanten Term von \(g\) aus dem Punkt \(P(0 \mid 0)\)? - Welche zwei Gleichungen liefern die Punkte \(Q\) und \(R\) für die verbleibenden Koeffizienten? - Welche Bedeutung hat der Scheitelpunkt für die maximale Flughöhe? - Welche der beiden Nullstellen ist im Sachzusammenhang die Flugweite?

1. Für Rakete B wird \(g(x)=ax^2+bx+c\) angesetzt. Aus \(P(0 \mid 0)\) folgt \(c=0\). Mit \(Q\) und \(R\) erhält man \(25a+5b=4\) und \(100a+10b=6\). Lösen ergibt \(a=-0{,}04\) und \(b=1\), also \(g(x)=-0{,}04x^2+x\). 2. Für Rakete A ist \(x_S=-\frac{1}{2\cdot(-0{,}05)}=10\) und \(f(10)=5\). Für Rakete B ist \(x_S=-\frac{1}{2\cdot(-0{,}04)}=12{,}5\) und \(g(12{,}5)=6{,}25\). Rakete B steigt höher. 3. Für Rakete A gilt \(x(-0{,}05x+1)=0\), also ist die positive Nullstelle \(20\). Für Rakete B gilt \(x(-0{,}04x+1)=0\), also ist die positive Nullstelle \(25\). Rakete B fliegt weiter.

a) \(g(x)=-0{,}04x^2+x\) b) Rakete A: \(S_A(10 \mid 5)\); Rakete B: \(S_B(12{,}5 \mid 6{,}25)\). Rakete B steigt höher. c) Positive Nullstellen: Rakete A \(20\,\text{m}\), Rakete B \(25\,\text{m}\). Rakete B fliegt weiter.

- Achte beim Ablesen darauf, dass der Wert für \(v\) in der Formel erst durch 10 geteilt und dann quadriert wird. - Wähle einen Wert für \(v\) auf der x-Achse aus (z. B. \(20\,\text{m/s}\)) und lies den zugehörigen Kraftwert \(F\) auf der y-Achse ab. - Wenn ein Wert genau doppelt so groß ist wie ein anderer, um wie viel Prozent ist er dann „größer“?

1. Für Kurve A wird ein Punkt abgelesen, zum Beispiel \(P(20 \mid 8)\). Einsetzen in die Formel \(F = k(\frac{v}{10})^2\) ergibt \(8 = k(\frac{20}{10})^2 = k \cdot 2^2 = 4k\). Daraus folgt \(k_A = 2\). 2. Für Kurve B wird der Punkt \(Q(20 \mid 4)\) abgelesen. Einsetzen ergibt \(4 = k(\frac{20}{10})^2 = 4k\), woraus \(k_B = 1\) folgt. 3. Berechnung der Kräfte bei \(v = 25\,\text{m/s}\): \(F_A(25) = 2 \cdot (\frac{25}{10})^2 = 2 \cdot 2{,}5^2 = 2 \cdot 6{,}25 = 12{,}5\,\text{kN}\) \(F_B(25) = 1 \cdot (\frac{25}{10})^2 = 1 \cdot 2{,}5^2 = 6{,}25\,\text{kN}\) 4. Prozentualer Vergleich: Da \(F_A\) mit \(12{,}5\,\text{kN}\) genau doppelt so groß ist wie \(F_B\) mit \(6{,}25\,\text{kN}\), ist die Kraft in Kurve A um \(100\,\%\) größer (\(\frac{12{,}5 - 6{,}25}{6{,}25} = 1 = 100\,\%\)).

a) Für Kurve A ist \(k = 2\) und für Kurve B ist \(k = 1\). b) Bei \(25\,\text{m/s}\) ist die Seitenkraft in Kurve A um \(100\,\%\) größer als in Kurve B.

- Welche zwei gut ablesbaren Punkte des linearen Graphen reichen aus, um seine Steigung zu bestimmen? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt, an dem beide Sparpläne denselben Betrag liefern? - Eine Lösung der Schnittgleichung gehört zum gemeinsamen Startpunkt. Welche weitere Lösung ist gesucht? - Wie viele Monate entsprechen drei Jahren?

1. Für \(S_2\) sind im dargestellten Bereich z. B. die Punkte \((0 \mid 0)\) und \((6 \mid 90)\) ablesbar. Daher ist die Steigung \(m=\frac{90}{6}=15\), also \(S_2(x)=15x\). 2. Gleichsetzen ergibt \(0{,}5x^2=15x\). Daraus folgt \(x(0{,}5x-15)=0\), also \(x_1=0\) und \(x_2=30\). Nach dem Start sind die Beträge nach \(30\) Monaten erneut gleich. 3. Drei Jahre entsprechen \(36\) Monaten. Es gilt \(S_1(36)=0{,}5\cdot36^2=648\). Nach dem Kauf für \(600\,\text{€}\) bleiben \(48\,\text{€}\) übrig.

a) \(S_2(x)=15x\) b) Nach \(30\) Monaten erneut. c) Ja. Es bleiben \(48\,\text{€}\) übrig.

- Welche Art von Funktion wächst immer steiler an? Lineare oder quadratische Funktionen? - Suche dir für die Geradengleichung einen Punkt, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt. - Der Anhalteweg setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Berechne erst beide Teile einzeln für die gegebene Geschwindigkeit.

1. Da der Bremsweg quadratisch mit der Geschwindigkeit wächst (Vervierfachung bei Verdopplung), muss er durch eine Parabel dargestellt werden. Somit gehört Graph \(p\) zum Bremsweg. 2. Für den Reaktionsweg \(k\) wird ein Punkt vom linearen Graphen abgelesen, z. B. \((50 \mid 15)\). Die Steigung ist \(m = \frac{15}{50} = 0{,}3\). Die Gleichung lautet \(y = 0{,}3x\). 3. Bei \(v = 60\,\text{km/h}\) wird der Reaktionsweg berechnet: \(s_R = 0{,}3 \cdot 60 = 18\,\text{m}\). 4. Der Bremsweg beträgt \(s_B = 0{,}01 \cdot 60^2 = 36\,\text{m}\). 5. Der gesamte Anhalteweg ist \(s_A = 18\,\text{m} + 36\,\text{m} = 54\,\text{m}\).

a) Graph \(p\) stellt den Bremsweg dar, da die Kurve eine Parabel ist und quadratisches Wachstum zeigt. b) \(y = 0{,}3x\) c) Der Anhalteweg beträgt \(54\,\text{m}\).

- Welcher der drei Graphen muss bei Produktionsmenge null ebenfalls den Wert null haben? - Was bedeutet der Wert des Kostengraphen bei \(x=0\)? - In welchem Bereich liegt der Gewinngraph oberhalb der \(x\)-Achse? - Welche Eigenschaft einer nach unten geöffneten Parabel bestimmt ihren größten Funktionswert?

1. \(f\) ist der Umsatz, weil der Graph durch den Ursprung verläuft. \(g\) sind die Gesamtkosten, weil bei \(x=0\) bereits positive Kosten entstehen. Damit ist \(h\) der Gewinn als Differenz aus Umsatz und Kosten. 2. Der Kostengraph \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(10\). Die Fixkosten betragen daher \(10\cdot100\,\text{€}=1000\,\text{€}\). 3. Der Gewinn ist dort positiv, wo \(h\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Aus der Grafik liest man ungefähr \(4<x<26\). Das entspricht etwa \(400\,\text{L}\) bis \(2600\,\text{L}\). 4. Für \(h(x)=-0{,}1x^2+3x-10\) liegt die Symmetrieachse bei \(x=-\frac{3}{2\cdot(-0{,}1)}=15\). 5. Es ist \(h(15)=-0{,}1\cdot225+45-10=12{,}5\). Damit wird der maximale Gewinn bei \(1500\,\text{L}\) erreicht und beträgt \(1250\,\text{€}\).

a) \(f\): Umsatz; \(g\): Gesamtkosten; \(h\): Gewinn b) \(1000\,\text{€}\) c) ungefähr \(4<x<26\), also etwa \(400\,\text{L}\) bis \(2600\,\text{L}\) d) maximal \(1250\,\text{€}\) bei \(1500\,\text{L}\)

- Welche Stelle einer nach unten geöffneten Parabel beschreibt die größte Höhe? - Wie kannst du die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts aus der allgemeinen Form bestimmen? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt beziehungsweise Ort, an dem die Höhe \(0\) ist? - Welche der beiden mathematischen Lösungen passt zum beschriebenen Flug nach dem Abwurf?

1. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(x_S=-\frac{0{,}6}{2\cdot(-0{,}05)}=6\). Einsetzen ergibt \(h(6)=-0{,}05\cdot36+0{,}6\cdot6+2=3{,}8\). Somit ist \(S(6 \mid 3{,}8)\). 2. Im Kontext bedeutet dies: Nach \(6\,\text{m}\) horizontaler Entfernung erreicht die Kugel ihre maximale Höhe von \(3{,}8\,\text{m}\). 3. Für den Auftreffpunkt gilt \(h(x)=0\): \(-0{,}05x^2+0{,}6x+2=0\). Nach Division durch \(-0{,}05\) erhält man \(x^2-12x-40=0\), also \(x=6\pm\sqrt{76}\). Nur die positive Lösung ist im Sachzusammenhang sinnvoll: \(x\approx14{,}72\).

a) \(S(6 \mid 3{,}8)\). Nach \(6\,\text{m}\) horizontaler Entfernung erreicht die Kugel ihre maximale Höhe von \(3{,}8\,\text{m}\). b) Die Weite beträgt ungefähr \(14{,}72\,\text{m}\).

- Berechne zunächst, welchen Wert jedes Modell an der Stelle der Kontrollmessung vorhersagt. - Wie kannst du den Abstand zwischen Vorhersage und Messwert als positive Zahl vergleichen? - Welche Reichweite hat eine Schlussfolgerung, die nur auf einem einzelnen Kontrollpunkt beruht?

1. Das lineare Modell liefert \(L(1)=7\). Die absolute Abweichung vom Kontrollwert beträgt \(|7-6{,}2|=0{,}8\). 2. Das quadratische Modell liefert \(Q(1)=6\). Die absolute Abweichung beträgt \(|6-6{,}2|=0{,}2\). 3. Am Kontrollpunkt \(x=1\) liegt das quadratische Modell näher am Messwert. Daraus folgt nur, dass es diesen einen unabhängigen Kontrollpunkt besser beschreibt; eine allgemeine Überlegenheit ist damit nicht bewiesen.

\(L\): Abweichung \(0{,}8\); \(Q\): Abweichung \(0{,}2\). Am Kontrollpunkt \(x=1\) wird das quadratische Modell besser gestützt.

- Erstelle für jedes Modell zunächst die vier vorhergesagten Werte. - Wie erhältst du aus Messwert und Modellwert eine Abweichung, bei der das Vorzeichen keine Rolle spielt? - Vergleiche erst nach dem Summieren aller vier Abweichungen. - Worauf darfst du deine Schlussfolgerung beschränken?

1. Modell \(A\) liefert die Werte \(1\), \(3\), \(7\), \(13\). Die absoluten Abweichungen sind \(0{,}1\), \(0{,}1\), \(0{,}2\), \(0{,}2\); ihre Summe ist \(0{,}6\). 2. Modell \(B\) liefert \(1{,}2\), \(3{,}0\), \(6{,}8\), \(12{,}6\). Die absoluten Abweichungen sind \(0{,}1\), \(0{,}1\), \(0\), \(0{,}6\); ihre Summe ist \(0{,}8\). 3. Nach der vorgegebenen Summe der absoluten Abweichungen passt Modell \(A\) zu diesen vier Messwerten besser. Daraus folgt keine Aussage über andere \(x\)-Werte.

Summe für \(A\): \(0{,}6\) Summe für \(B\): \(0{,}8\) Nach diesem Kriterium passt \(A\) zu den vier gegebenen Messwerten besser.

- Nutze die Formel für den Flächeninhalt des Quadrats und setze die veränderten Werte ein. - Was passiert mit einem Faktor in einer Klammer, wenn die Klammer quadriert wird? - Denke an den Unterschied zwischen linearem und quadratischem Wachstum.

1. Teil a): Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A = a^2\). Bei Verdopplung der Seite ist der neue Inhalt \(A_{\mathrm{neu}} = (2a)^2 = 4a^2\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich also. 2. Teil b): Gesucht ist \(k\) mit \((ka)^2 = 2a^2\). Dies führt auf \(k^2 = 2\), also \(k = \sqrt{2} \approx 1{,}41\). 3. Teil c): Die Behauptung ist falsch. Bei einer Vergrößerung der Seite um \(50\,\%\) wird die Seite mit \(1{,}5\) multipliziert. Die Fläche verändert sich um den Faktor \(1{,}5^2 = 2{,}25\). Das entspricht einer Zunahme um \(125\,\%\), nicht um \(50\,\%\). Der Zusammenhang zwischen Länge und Fläche bei einer quadratischen Form ist nicht proportional, sondern quadratisch.

a) Der Flächeninhalt vervierfacht sich (\(A_{\mathrm{neu}} = 4a^2\)). b) Der Faktor beträgt \(k \approx 1{,}41\). c) Die Behauptung ist falsch; die Fläche vergrößert sich bei einer Seitenlängenzunahme von \(50\,\%\) tatsächlich um \(125\,\%\).

- Findest du zuerst heraus, welcher Wert für \(p\) überhaupt zu einer Zunahme von \(44\,\%\) führt? - Was wäre der neue Prozentsatz für die Seitenlänge, wenn du \(p\) verdoppelst? - Berechne nun die neue Fläche mit diesem verdoppelten Prozentsatz. - Vergleiche dein Ergebnis mit dem Doppelten der ersten Flächenzunahme.

1. Dabei bezeichnet \(p\) den Prozentsatz in Dezimalform. Aus \((1 + p)^2 = 1{,}44\) folgt \(1 + p = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2\), woraus sich \(p = 0{,}2 = 20\,\%\) ergibt. 2. Für den verdoppelten Prozentsatz gilt \(2p = 0{,}4 = 40\,\%\). Der neue Wachstumsfaktor der Seitenlänge ist daher \(1{,}4\). 3. Die neue Fläche hat den Faktor \((1{,}4)^2 = 1{,}96\). Dies entspricht einer Zunahme von \(96\,\%\). 4. Da \(96\,\% \neq 88\,\%\), führt die Verdopplung des Prozentsatzes der Seitenlänge nicht zu einer Verdopplung der Flächenzunahme; der Zuwachs ist bei \(2p\) überproportional größer.

Nein. Hier ist \(p\) als Dezimalzahl zu verwenden: \(p = 0{,}2 = 20\,\%\). Bei einer Verdopplung auf \(2p = 0{,}4 = 40\,\%\) steigt die Fläche um \(96\,\%\) statt um \(88\,\%\).

- Überlege dir, wie viele Gegner eine einzelne Mannschaft hat. - Wie viele Spiele bestreitet eine Mannschaft insgesamt, wenn es Hin- und Rückspiele gibt? - Was passiert, wenn eine neue Mannschaft dazukommt? Gegen wen muss sie alles spielen?

1. Herleitung: Jede der \(n\) Mannschaften spielt gegen \(n-1\) andere Mannschaften. Da es Hin- und Rückspiele gibt, spielt jede Mannschaft \(2 \cdot (n-1)\) Spiele. Insgesamt werden dabei \(n \cdot 2 \cdot (n - 1)\) Mannschaftseinsätze gezählt. Da jedes Spiel bei beiden beteiligten Mannschaften gezählt wird, wird durch \(2\) geteilt: \(S(n) = \frac{n \cdot 2 \cdot (n - 1)}{2} = n \cdot (n - 1) = n^2 - n\). 2. Berechnung der Mannschaften für \(S = 240\): \(n^2 - n = 240 \Rightarrow n^2 - n - 240 = 0\). 3. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(n_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 240} = 0{,}5 \pm \sqrt{240{,}25} = 0{,}5 \pm 15{,}5\). Dies ergibt \(n_1 = 16\) und \(n_2 = -15\). Die Liga besteht aus 16 Mannschaften. 4. Zuwachs bei einer zusätzlichen Mannschaft (\(n + 1\)): Die neue Mannschaft muss gegen alle \(n\) vorhandenen Mannschaften jeweils zweimal spielen. Der Zuwachs beträgt also \(2n\) Spiele. Mathematisch: \(S(n + 1) - S(n) = [(n + 1)^2 - (n + 1)] - [n^2 - n] = n^2 + 2n + 1 - n - 1 - n^2 + n = 2n\).

a) Jede der \(n\) Mannschaften spielt gegen die anderen \(n-1\) Teams zweimal. Da jedes Spiel so doppelt gezählt wird, gilt \(S(n) = \frac{n \cdot 2 \cdot (n - 1)}{2} = n \cdot (n - 1) = n^2 - n\). b) Es spielten 16 Mannschaften in der Liga. c) Es kommen \(2n\) zusätzliche Spiele hinzu.

- Berechne zuerst den höchsten Punkt für den Ball, dessen Gleichung bereits vollständig bekannt ist. - Wie kannst du die Information über den Zeitpunkt des höchsten Punktes nutzen, um die fehlende Geschwindigkeit bei Ball B zu berechnen? - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Maximalwerte.

1. Maximale Höhe Ball A: Der Scheitelpunkt liegt bei \(t = \frac{-20}{2 \cdot (-5)} = 2\,\text{s}\). Einsetzen in die Funktion: \(h_A(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 2 = -20 + 40 + 2 = 22\,\text{m}\). 2. Bestimmung von \(v_0\) für Ball B: Der Scheitelpunkt liegt bei \(t = 1{,}5\,\text{s}\). Aus der Formel \(t = \frac{-v_0}{2a}\) folgt \(1{,}5 = \frac{-v_0}{-10}\), also \(v_0 = 15\). 3. Maximale Höhe Ball B: Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichung \(h_B(t) = -5t^2 + 15t + 1\): \(h_B(1{,}5) = -5 \cdot 1{,}5^2 + 15 \cdot 1{,}5 + 1 = -11{,}25 + 22{,}5 + 1 = 12{,}25\,\text{m}\). 4. Vergleich: Da \(22\,\text{m} > 12{,}25\,\text{m}\), erreicht Ball A die größere maximale Höhe.

Ball A erreicht mit einer maximalen Höhe von \(22\,\text{m}\) einen höheren Punkt als Ball B, der nur eine maximale Höhe von \(12{,}25\,\text{m}\) erreicht.

- Du hast drei Punkte gegeben. Kannst du daraus ein Gleichungssystem für die Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\) aufstellen? - Wie lässt sich ein System aus drei Gleichungen schrittweise auf zwei Gleichungen reduzieren? - Was bedeutet die Landung mathematisch für den Wert der Höhe? - Welches Verfahren kennst du, um die Nullstellen einer quadratischen Gleichung zu finden?

1. Ansatz \(h(t) = at^2 + bt + c\) und Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(a + b + c = 15\) (II) \(4a + 2b + c = 18\) (III) \(9a + 3b + c = 17\) 2. Differenzen bilden: (II) - (I): \(3a + b = 3\) (III) - (II): \(5a + b = -1\) 3. \(a\) und \(b\) bestimmen: \((5a + b) - (3a + b) = -1 - 3 \implies 2a = -4 \implies a = -2\). Einsetzen in \(3a + b = 3 \implies 3(-2) + b = 3 \implies b = 9\). 4. \(c\) bestimmen: \(-2 + 9 + c = 15 \implies 7 + c = 15 \implies c = 8\). Die Funktion ist \(h(t) = -2t^2 + 9t + 8\). 5. Starthöhe bei \(t = 0\): \(h(0) = 8\). Die Drohne startete aus \(8\,\text{m}\) Höhe. 6. Nullstellen berechnen: \(-2t^2 + 9t + 8 = 0\). Anwendung der Mitternachtsformel: \(t = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 8}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 64}}{-4} = \frac{-9 \pm \sqrt{145}}{-4}\). 7. Relevante Lösung (\(t > 0\)): \(t \approx \frac{-9 - 12{,}04}{-4} \approx 5{,}26\). Die Drohne landet nach etwa \(5{,}26\,\text{s}\).

a) \(h(t) = -2t^2 + 9t + 8\) b) Die Drohne startete aus einer Höhe von \(8\,\text{m}\). c) Die Drohne landet nach ca. \(5{,}26\,\text{s}\).

- Wie kannst du die Informationen über die Spannweite und die Höhe als Punkte im Koordinatensystem ausdrücken? - Was bedeutet eine Spannweite von \(40\,\text{m}\) für die Position der Punkte auf der x-Achse, wenn die Mitte bei \(0\) liegt? - Wenn ein Fahrzeug eine bestimmte Breite hat und mittig fährt, wie weit ragen seine Kanten dann nach links und rechts? - Welche Höhe des Bogens ist entscheidend, damit ein breites Fahrzeug nicht anstößt?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Da der höchste Punkt bei \((0|10)\) liegt, ist \(c = 10\). Die Spannweite von \(40\,\text{m}\) bedeutet Nullstellen bei \(x = 20\) und \(x = -20\). Einsetzen von \((20|0)\): \(0 = a \cdot 20^2 + 10 \implies 400a = -10 \implies a = -0{,}025\). Die Gleichung lautet \(f(x) = -0{,}025x^2 + 10\). 2. Berechnung der Höhe bei \(x = 15\): \(f(15) = -0{,}025 \cdot 15^2 + 10 = -0{,}025 \cdot 225 + 10 = -5{,}625 + 10 = 4{,}375\). Die Höhe beträgt \(4{,}375\,\text{m}\). 3. Prüfung des Schwertransports: Bei einer Breite von \(6\,\text{m}\) reicht der Transport von \(x = -3\) bis \(x = 3\). Die kritische Höhe des Bogens an den Außenkanten des Transports ist \(f(3) = -0{,}025 \cdot 3^2 + 10 = -0{,}225 + 10 = 9{,}775\). Da \(9{,}775\,\text{m} > 9{,}5\,\text{m}\) ist, passt der Transport unter dem Bogen durch.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}025x^2 + 10\). b) In \(15\,\text{m}\) Abstand von der Mitte ist der Bogen \(4{,}375\,\text{m}\) hoch. c) Ja, der Transport kann passieren. An den Außenkanten des Transports (\(3\,\text{m}\) von der Mitte) ist der Bogen noch ca. \(9{,}78\,\text{m}\) hoch, was über der Fahrzeughöhe von \(9{,}5\,\text{m}\) liegt.

- Wie findet man den höchsten Punkt einer Flugbahn, wenn die Funktionsgleichung gegeben ist? - Was bedeutet die Nullstelle einer solchen Funktion im Sachzusammenhang „Kugelstoßen“? - Um die \(p\)-\(q\)-Formel anzuwenden, muss vor dem \(x^2\) eine \(1\) stehen. Wie formst du die Gleichungen entsprechend um? - Da die Kugel bei \(x = 0\) abgestoßen wird, ist nur die positive Nullstelle für die Weite relevant.

1. Maximale Höhe für Teilaufgabe a) (Scheitelpunktform oder \(x_s = -\frac{b}{2a}\)): Stoßer A: \(x_s = -\frac{0{,}6}{2 \cdot (-0{,}05)} = \frac{0{,}6}{0{,}1} = 6\). \(h_A(6) = -0{,}05 \cdot 36 + 0{,}6 \cdot 6 + 2 = -1{,}8 + 3{,}6 + 2 = 3{,}8\,\text{m}\). Stoßer B: \(x_s = -\frac{0{,}5}{2 \cdot (-0{,}04)} = \frac{0{,}5}{0{,}08} = 6{,}25\). \(h_B(6{,}25) = -0{,}04 \cdot 39{,}0625 + 0{,}5 \cdot 6{,}25 + 2{,}1 = -1{,}5625 + 3{,}125 + 2{,}1 = 3{,}6625\,\text{m}\). Stoßer A erreicht eine größere maximale Höhe (\(3{,}8\,\text{m} > 3{,}6625\,\text{m}\)). 2. Wurfweite für Teilaufgabe b) (Nullstellen mit \(p\)-\(q\)-Formel): Stoßer A: \(-0{,}05x^2 + 0{,}6x + 2 = 0 \implies x^2 - 12x - 40 = 0\). \(x = 6 \pm \sqrt{36 + 40} = 6 \pm \sqrt{76} \approx 6 + 8{,}72 = 14{,}72\,\text{m}\). Stoßer B: \(-0{,}04x^2 + 0{,}5x + 2{,}1 = 0 \implies x^2 - 12{,}5x - 52{,}5 = 0\). \(x = 6{,}25 \pm \sqrt{39{,}0625 + 52{,}5} = 6{,}25 \pm \sqrt{91{,}5625} = 6{,}25 + 9{,}5688 \approx 15{,}82\,\text{m}\). Stoßer B stößt weiter (\(15{,}82\,\text{m} > 14{,}72\,\text{m}\)).

a) Stoßer A erreicht mit \(3{,}8\,\text{m}\) eine größere maximale Höhe als Stoßer B (\(3{,}6625\,\text{m}\)). b) Stoßer B stößt weiter. Seine Kugel landet bei ca. \(15{,}82\,\text{m}\), während die Kugel von Stoßer A nach ca. \(14{,}72\,\text{m}\) den Boden berührt.

- Der Anhalteweg besteht aus zwei unterschiedlichen mathematischen Komponenten. Betrachte sie einzeln. - Was passiert mit einem Term, wenn du für die Variable das Doppelte einsetzt? Nutze Klammern beim Einsetzen von \((2v)\). - Achte darauf, ob nach dem gesamten Anhalteweg oder nur nach dem Bremsweg gefragt ist.

1. Berechnung für \(v = 130\,\text{km/h}\): \(s_A(130) = 0{,}3 \cdot 130 + 0{,}007 \cdot 130^2 = 39 + 0{,}007 \cdot 16\,900 = 39 + 118{,}3 = 157{,}3\,\text{m}\). 2. Untersuchung der Verdopplung: Reaktionsweg \(R(v) = 0{,}3v \Rightarrow R(2v) = 0{,}3(2v) = 2(0{,}3v)\). Der Reaktionsweg verdoppelt sich. Bremsweg \(B(v) = 0{,}007v^2 \Rightarrow B(2v) = 0{,}007(2v)^2 = 0{,}007 \cdot 4v^2 = 4(0{,}007v^2)\). Der Bremsweg vervierfacht sich. 3. Bestimmung der Geschwindigkeit für \(B(v) = 100\,\text{m}\): \(0{,}007v^2 = 100 \Rightarrow v^2 = \frac{100}{0{,}007} \approx 14\,285{,}71 \Rightarrow v = \sqrt{14\,285{,}71} \approx 119{,}52\,\text{km/h}\).

a) Der Anhalteweg bei \(130\,\text{km/h}\) beträgt \(157{,}3\,\text{m}\). b) Bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit verdoppelt sich der Reaktionsweg, während sich der Bremsweg vervierfacht. c) Der Bremsweg beträgt bei ca. \(119{,}5\,\text{km/h}\) genau \(100\,\text{m}\).

- Nutze den Messwert bei \(t=0\) als Achsenabschnitt beider Modelle. - Vergleiche für den Kontrollzeitpunkt nicht nur die Modellwerte, sondern ihre Abstände zum Messwert. - Was zeigt ein einzelner erfolgreicher Kontrollpunkt tatsächlich über ein Modell? - Liegt \(t=30\) innerhalb oder außerhalb des Zeitbereichs der ursprünglichen Messdaten?

1. Für das lineare Modell gilt \(k_{\text{lin}}(t)=mt+400\). Aus \(480=20m+400\) folgt \(m=4\), also \(k_{\text{lin}}(t)=4t+400\). 2. Für \(k_{\text{quad}}(t)=at^2+bt+400\) liefern die Punkte bei \(t=10\) und \(t=20\) die Gleichungen \(10a+b=3\) und \(20a+b=4\). Daraus folgen \(a=0{,}1\) und \(b=2\). Somit ist \(k_{\text{quad}}(t)=0{,}1t^2+2t+400\). 3. Es gilt \(k_{\text{lin}}(15)=460\,\text{ppm}\), also eine Abweichung von \(7{,}5\,\text{ppm}\). Dagegen ist \(k_{\text{quad}}(15)=452{,}5\,\text{ppm}\), also eine Abweichung von \(0\,\text{ppm}\). Für diesen Kontrollzeitpunkt passt das quadratische Modell genauer. 4. Das quadratische Modell liefert \(k_{\text{quad}}(30)=550\,\text{ppm}\). Der einzelne Kontrollwert zeigt aber nur, dass das Modell bei \(15\) Stunden gut passt. Er belegt nicht, dass derselbe quadratische Zusammenhang außerhalb des bisher beobachteten Zeitraums bis \(30\) Stunden fortbesteht.

a) \(k_{\text{lin}}(t)=4t+400\) b) \(k_{\text{quad}}(t)=0{,}1t^2+2t+400\) c) Am Kontrollzeitpunkt ist das quadratische Modell genauer: Abweichung \(0\,\text{ppm}\) statt \(7{,}5\,\text{ppm}\). d) Das quadratische Modell prognostiziert \(550\,\text{ppm}\). Der Kontrollwert bei \(15\) Stunden validiert diese Extrapolation bis \(30\) Stunden jedoch nicht sicher.

- Wo befindet sich der Ball zum Zeitpunkt des Abwurfs auf der \(x\)-Achse? - Wie findet man den höchsten Punkt einer Flugkurve? - Welchen Wert hat die Höhe, wenn der Ball auf dem Boden aufkommt? - Nutze für die Berechnung der Weite die \(p\)-\(q\)-Formel oder ein anderes Verfahren zur Lösung quadratischer Gleichungen.

1. Bestimmung der Abwurfhöhe für Teilaufgabe a): Die Abwurfhöhe entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(x = 0\). Für beide Funktionen gilt \(h_1(0) = h_2(0) = 2\). Die Abwurfhöhe beträgt \(2\,\text{m}\). 2. Vergleich der Maximalhöhen für Teilaufgabe b): Scheitelpunkt von \(h_1\): \(x_{s1} = -\frac{1{,}2}{2 \cdot (-0{,}2)} = 3\); \(h_1(3) = -0{,}2 \cdot 9 + 1{,}2 \cdot 3 + 2 = 3{,}8\,\text{m}\). Scheitelpunkt von \(h_2\): \(x_{s2} = -\frac{0{,}8}{2 \cdot (-0{,}1)} = 4\); \(h_2(4) = -0{,}1 \cdot 16 + 0{,}8 \cdot 4 + 2 = 3{,}6\,\text{m}\). Der erste Ball fliegt höher. 3. Bestimmung der Wurfweite für Teilaufgabe c): Nullstellenberechnung (\(h_1(x) = 0\) beziehungsweise \(h_2(x) = 0\)). Für \(h_1\): \(-0{,}2x^2 + 1{,}2x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x - 10 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = 3 + \sqrt{9 + 10} \approx 7{,}36\,\text{m}\). Für \(h_2\): \(-0{,}1x^2 + 0{,}8x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 8x - 20 = 0\). Die positive Lösung ist \(x = \frac{8 + \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10\,\text{m}\). Der zweite Ball fliegt mit \(10\,\text{m}\) weiter als der erste (\(\approx 7{,}36\,\text{m}\)).

a) Beide Bälle werden aus einer Höhe von \(2\,\text{m}\) abgeworfen. b) Der erste Ball erreicht mit \(3{,}8\,\text{m}\) eine größere Höhe als der zweite Ball (\(3{,}6\,\text{m}\)). c) Der zweite Ball fliegt weiter. Seine Wurfweite beträgt \(10\,\text{m}\), während der erste Ball nur ca. \(7{,}36\,\text{m}\) weit fliegt.

- Nutze die Koordinaten des höchsten Punktes, um die Scheitelpunktform aufzustellen. - Überlege, wie du den Parameter \(a\) mit Hilfe des Startpunktes finden kannst. - Wenn die Weite verdoppelt wird, wo muss dann die neue Nullstelle und wo die neue Mitte der Flugbahn liegen? - Vergleiche die alten und neuen Ergebnisse für die Höhe direkt miteinander.

1. Aufstellen der Scheitelpunktform mit \(S(2|4)\): \(f(x) = a(x - 2)^2 + 4\). 2. Einsetzen des Punktes \((0|0)\) zur Bestimmung von \(a\): \(0 = a(0 - 2)^2 + 4 \Rightarrow 4a = -4 \Rightarrow a = -1\). 3. Umformen in die Normalform: \(f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x\). 4. Nullstellen von \(f(x) = -x(x - 4)\) bestimmen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). Die Weite beträgt \(4\,\text{m}\). 5. Neue Weite bestimmen: \(x_{\text{neu}} = 2 \cdot 4 = 8\). Da \(a = -1\) bleibt und die Parabel durch \((0|0)\) und \((8|0)\) geht, liegt der neue Scheitelpunkt bei \(x_s = 4\). 6. Funktionsgleichung für den zweiten Strahl: \(g(x) = -x(x - 8) = -x^2 + 8x\). 7. Neue maximale Höhe: \(g(4) = -4^2 + 8 \cdot 4 = -16 + 32 = 16\). Die Höhe vervierfacht sich von \(4\,\text{m}\) auf \(16\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -x^2 + 4x\). b) Das Wasser trifft in einer Entfernung von \(4\,\text{m}\) wieder auf. c) Die maximale Höhe vervierfacht sich auf \(16\,\text{m}\).

- Welche Informationen über die Landung des Wasserstrahls geben dir die Nullstellen? - Wie findest du die maximale Höhe, wenn du die Breite des Strahls kennst? - Wie gehst du vor, wenn ein bestimmter Funktionswert (die Höhe) vorgegeben ist und du die passenden Stellen suchen sollst?

1. Nullstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 8\). Ansatz: \(f(x) = ax(x - 8)\). 2. Punkt \((2 | 3)\) einsetzen: \(3 = a \cdot 2 \cdot (2 - 8) = -12a\). 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{3}{-12} = -0{,}25\). Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x\). 4. Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 4\). Maximale Höhe: \(f(4) = -0{,}25 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = -4 + 8 = 4\,\text{m}\). 5. Für die Höhe \(2\,\text{m}\) die Gleichung lösen: \(-0{,}25x^2 + 2x = 2 \Leftrightarrow -0{,}25x^2 + 2x - 2 = 0\). 6. Umformen zur Normalform: \(x^2 - 8x + 8 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = 4 \pm \sqrt{16 - 8} = 4 \pm \sqrt{8}\). 7. Ergebnisse: \(x_1 = 4 - \sqrt{8} \approx 1{,}17\,\text{m}\) und \(x_2 = 4 + \sqrt{8} \approx 6{,}83\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x\). b) Die maximale Höhe beträgt \(4\,\text{m}\). c) Der Wasserstrahl erreicht die Höhe von \(2\,\text{m}\) bei einer horizontalen Entfernung von ca. \(1{,}17\,\text{m}\) und \(6{,}83\,\text{m}\).

- Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem. Wo legst du den Ursprung am besten hin? - Wie breit ist der LKW zu jeder Seite der Mitte? - Welche Höhe hat der Tunnelbogen genau an der Stelle, an der sich die Außenkante des LKWs befindet?

1. Wahl des Koordinatensystems: Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 4)\), Nullstellen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 4\) (da die Breite \(8\,\text{m}\) beträgt) 2. Aufstellen der Funktionsgleichung in der Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\): \(f(x) = a(x + 4)(x - 4) = a(x^2 - 16)\) 3. Einsetzen des Scheitelpunkts \(S(0 \mid 4)\) zur Bestimmung von \(a\): \(4 = a(0^2 - 16) \Rightarrow 4 = -16a \Rightarrow a = -0{,}25\) 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}25x^2 + 4\) 5. Bestimmung der kritischen Stellen für den LKW: Bei einer Breite von \(3\,\text{m}\) und mittiger Fahrt befinden sich die Außenkanten bei \(x = -1{,}5\) und \(x = 1{,}5\) 6. Berechnung der Tunnelhöhe an der Stelle \(x = 1{,}5\): \(f(1{,}5) = -0{,}25 \cdot (1{,}5)^2 + 4 = -0{,}25 \cdot 2{,}25 + 4 = -0{,}5625 + 4 = 3{,}4375\) 7. Vergleich mit der LKW-Höhe: \(3{,}4375\,\text{m} < 3{,}50\,\text{m}\). Der LKW ist an den Außenkanten höher als der Tunnelbogen.

Nein, der LKW kann nicht durch den Tunnel fahren. An seinen Außenkanten (bei \(1{,}5\,\text{m}\) Abstand zur Mitte) beträgt die Tunnelhöhe nur ca. \(3{,}44\,\text{m}\), der LKW ist jedoch \(3{,}50\,\text{m}\) hoch.

- Fertige eine Skizze an. Wo liegt die Mitte des Tunnels im Koordinatensystem? - Wenn ein Fahrzeug eine bestimmte Breite hat und mittig fährt, wie verteilen sich die Maße nach links und rechts von der Mitte? - An welcher Stelle des Fahrzeugs ist es am kritischsten, ob es durch den Tunnel passt — in der Mitte oder an den Außenkanten? - Wie hängen die Breite eines Objekts und die \(x\)-Koordinaten in diesem Modell zusammen?

1. Berechnung der Bodenbreite über die Nullstellen: \(0 = -0{,}15x^2 + 5{,}4 \Rightarrow 0{,}15x^2 = 5{,}4 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6\). Die Breite beträgt \(6 - (-6) = 12\,\text{m}\). 2. Prüfung der LKW-Passage: Bei einer Breite von \(3{,}20\,\text{m}\) und mittiger Fahrt befinden sich die Außenkanten bei \(x = 1{,}6\) und \(x = -1{,}6\). 3. Berechnung der Tunnelhöhe an der Außenkante: \(h(1{,}6) = -0{,}15 \cdot (1{,}6)^2 + 5{,}4 = -0{,}15 \cdot 2{,}56 + 5{,}4 = 5{,}016\,\text{m}\). Da \(5{,}016 > 3{,}80\), passt der LKW durch. 4. Berechnung der maximalen Breite für \(4{,}50\,\text{m}\) Höhe: Setze \(h(x) = 4{,}5\). 5. \(4{,}5 = -0{,}15x^2 + 5{,}4 \Rightarrow 0{,}15x^2 = 0{,}9 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \sqrt{6} \approx 2{,}45\). 6. Die maximale Breite ist das Doppelte der \(x\)-Koordinate: \(2 \cdot 2{,}45 = 4{,}90\,\text{m}\).

a) Der Tunnel ist am Boden \(12\,\text{m}\) breit. b) Ja, der LKW passt durch, da der Tunnel an seinen Außenkanten noch ca. \(5{,}02\,\text{m}\) hoch ist. c) Das Fahrzeug darf maximal ca. \(4{,}90\,\text{m}\) breit sein.

- Überlege dir zuerst, wo du den Ursprung deines Koordinatensystems hinlegst, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wie kannst du eine Parabelgleichung aufstellen, wenn du die beiden Stellen kennst, an denen sie den Boden berührt? - Wo genau befindet sich der LKW unter der Brücke, wenn er „mittig“ fährt? - Welche Stellen am LKW sind am kritischsten für die Durchfahrtshöhe?

1. Koordinatensystem festlegen: Linker Pfeiler bei \((0 \mid 0)\), rechter Pfeiler bei \((12 \mid 0)\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = ax(x - 12)\). 2. Bestimmung von \(a\) mit dem Punkt \((2 \mid 4)\): \(4 = a \cdot 2 \cdot (2 - 12) \Rightarrow 4 = -20a \Rightarrow a = -0{,}2\). Die Gleichung ist \(f(x) = -0{,}2x(x - 12) = -0{,}2x^2 + 2{,}4x\). 3. Position des LKW: Die Mitte der Brücke liegt bei \(x = 6\). Da der LKW \(3{,}2\,\text{m}\) breit ist, erstreckt er sich von \(x = 6 - 1{,}6 = 4{,}4\) bis \(x = 6 + 1{,}6 = 7{,}6\). 4. Prüfung der kritischen Höhe an den Außenkanten des LKW (\(x = 4{,}4\) oder \(x = 7{,}6\)): \(f(4{,}4) = -0{,}2 \cdot (4{,}4)^2 + 2{,}4 \cdot 4{,}4 = -0{,}2 \cdot 19{,}36 + 10{,}56 = -3{,}872 + 10{,}56 = 6{,}688\). 5. Vergleich: Da die Brückenhöhe an der engsten Stelle des LKW-Dachs \(6{,}688\,\text{m}\) beträgt und der LKW nur \(4{,}5\,\text{m}\) hoch ist, kann er problemlos mittig hindurchfahren.

Ja, der LKW kann mittig hindurchfahren. An den Außenkanten des LKW-Aufbaus (bei einer Breite von \(3{,}2\,\text{m}\)) beträgt die lichte Höhe der Brücke ca. \(6{,}69\,\text{m}\), was deutlich über der Fahrzeughöhe von \(4{,}5\,\text{m}\) liegt.

- Welche Gleichung beschreibt die Grenze zwischen nichtnegativen und negativen Modellwerten? - Ist ein mathematisch zulässiger Funktionswert automatisch durch Messdaten bestätigt? - Über welchen Zeitraum liegen tatsächlich Informationen aus dem Versuch vor? - Was sagt ein negativer Füllhöhenwert über die Fortsetzung des Modells aus?

1. Die positive Nullstelle erfüllt \(-0{,}4t^2+4t+10=0\). Nach Multiplikation mit \(-2{,}5\) erhält man \(t^2-10t-25=0\). Damit ist \(t=5\pm5\sqrt{2}\); positiv ist \(t=5+5\sqrt{2}\approx12{,}07\). 2. Die Behauptung ist nicht gerechtfertigt. Das Modell wurde nur für Messungen in den ersten \(5\) Minuten beschrieben. Dass die Formel bis etwa \(12{,}07\) Minuten nichtnegative Werte liefert, ist keine empirische Bestätigung für diesen Zeitraum. 3. Es gilt \(H(15)=-0{,}4\cdot225+60+10=-20\,\text{cm}\). Die negative Füllhöhe ist im beschriebenen Sachmodell nicht sinnvoll und zeigt deutlich, dass die algebraische Fortsetzung der Parabel nicht automatisch eine gültige reale Prognose ist.

a) Bis \(t=5+5\sqrt{2}\approx12{,}07\,\text{min}\) ist der Formelwert nichtnegativ. b) Die Behauptung ist falsch: Messdaten bis \(5\) Minuten rechtfertigen keine Nutzung bis zur mathematischen Nullstelle. c) \(H(15)=-20\,\text{cm}\); der unsinnige Kontextwert zeigt die Grenze der Extrapolation.

- Welche Gleichungen entstehen, wenn du die drei Messpunkte in die allgemeine Form einsetzt? - Welche Information liefert der Messwert bei \(t=0\) sofort über einen Koeffizienten? - Vergleiche für die Kontrolle den vorhergesagten Wert mit dem unabhängig gemessenen Wert. - Wie weit reicht eine Aussage, die nur durch einen zusätzlichen Kontrollpunkt gestützt wird?

1. Aus \(q(0)=3\) folgt \(c=3\). Aus \(q(1)=6\) und \(q(2)=13\) folgen \(a+b=3\) sowie \(4a+2b=10\). Daraus erhält man \(a=2\) und \(b=1\). Also gilt \(q(t)=2t^2+t+3\). 2. Für den Kontrollpunkt liefert das Modell \(q(3)=2\cdot9+3+3=24\). Die absolute Abweichung beträgt \(|24-24{,}5|=0{,}5\). 3. Die kleine Abweichung stützt das Modell an diesem unabhängigen Kontrollpunkt. Sie beweist weder, dass das Modell für alle anderen Zeitpunkte gut passt, noch dass eine weitreichende Extrapolation zulässig ist.

a) \(q(t)=2t^2+t+3\) b) \(q(3)=24\); absolute Abweichung \(0{,}5\) c) Der Kontrollpunkt stützt das Modell dort, beweist aber keine allgemeine oder unbegrenzte Gültigkeit.

- Berechne zuerst die Nullstellen durch Ausklammern von \(x\). - Den Scheitelpunkt findest du genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. - Schau dir das Verhältnis der berechneten Weiten und Höhen genau an. - Erinnere dich an die Formel für den x-Wert des Scheitelpunkts \(x_s = -\frac{b}{2a}\) und wie \(b\) darin vorkommt.

1. Analyse von \(f(x)\): Scheitelpunkt bei \(x_s = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}05)} = 20\). Höhe \(f(20) = -0{,}05 \cdot 400 + 2 \cdot 20 = -20 + 40 = 20\,\text{m}\). Nullstellen: \(-0{,}05x(x - 40) = 0 \Rightarrow x=0\) und \(x=40\). Weite: \(40\,\text{m}\). 2. Analyse von \(g(x)\): Scheitelpunkt bei \(x_s = -\frac{4}{2 \cdot (-0{,}05)} = 40\). Höhe \(g(40) = -0{,}05 \cdot 1600 + 4 \cdot 40 = -80 + 160 = 80\,\text{m}\). Nullstellen: \(-0{,}05x(x - 80) = 0 \Rightarrow x=0\) und \(x=80\). Weite: \(80\,\text{m}\). 3. Vergleich: Bei Verdopplung von \(b\) (von 2 auf 4) verdoppelt sich die Weite (\(40 \to 80\)), während sich die Höhe vervierfacht (\(20 \to 80\)). 4. Begründung: Die Weite ist \(x_w = \frac{b}{|a|}\) (linearer Zusammenhang mit \(b\)). Die Scheitelhöhe ist \(y_s = \frac{b^2}{4|a|}\) (quadratischer Zusammenhang mit \(b\)). Daher führt eine Verdopplung von \(b\) zu einer Vervierfachung der Höhe.

a) Rakete \(f\): Max. Höhe \(20\,\text{m}\), Weite \(40\,\text{m}\). Rakete \(g\): Max. Höhe \(80\,\text{m}\), Weite \(80\,\text{m}\). b) Bei Verdopplung des Koeffizienten \(b\) verdoppelt sich die Flugweite, während sich die maximale Höhe vervierfacht. Dies liegt an der quadratischen Abhängigkeit der Höhe von \(b\) in der Formel \(y_s = \frac{b^2}{4|a|}\).

- Welche Darstellungsform nutzt die Lage des höchsten Punkts aus dem Bauplan unmittelbar? - Für das zweite Modell stammen die Bedingungen aus drei anderen Punkten. Welche drei Gleichungen ergeben sich daraus? - Trenne beim Vergleich zwischen Punkten, die ein Modell zur Bestimmung benutzt hat, und Punkten, an denen es tatsächlich geprüft wird. - Sind Bauplanbedingungen und Messwerte mit möglicher Messabweichung im Sachzusammenhang gleich stark zu gewichten? - Welcher Bereich von \(x\) gehört überhaupt zum beschriebenen Brückenbogen?

1. Wegen des Scheitelpunkts \(S(6\mid4{,}5)\) hat das Bauplanmodell die Form \(h_P(x)=a(x-6)^2+4{,}5\). Mit \(A(0\mid0)\) folgt \(0=36a+4{,}5\), also \(a=-\frac18\). Damit ist \(h_P(x)=-\frac18(x-6)^2+4{,}5\). 2. Für das Messmodell liefern die drei Punkte die Gleichungen \(9a+3b+c=3{,}5\), \(36a+6b+c=4{,}5\) und \(81a+9b+c=3{,}25\). Lösen ergibt \(a=-\frac18\), \(b=\frac{35}{24}\) und \(c=\frac14\). Somit gilt \(h_M(x)=-\frac18x^2+\frac{35}{24}x+\frac14\). 3. Das Bauplanmodell erfüllt \(A\), \(S\) und \(B\) exakt. Es liefert \(h_P(3)=h_P(9)=\frac{27}{8}=3{,}375\); die Abweichungen zu \(P\) und \(Q\) betragen jeweils \(0{,}125\,\text{m}\). Das Messmodell erfüllt \(P\), \(S\) und \(Q\) exakt, liefert aber \(h_M(0)=0{,}25\) und \(h_M(12)=-0{,}25\). Es verfehlt damit die bekannten Auflagepunkte jeweils um \(0{,}25\,\text{m}\). 4. Wenn die Auflagepunkte und die Lage des höchsten Punkts als verlässliche Bauplanbedingungen gelten und die Vermessungswerte kleine Messabweichungen enthalten dürfen, ist \(h_P\) das geeignetere Modell für den gesamten Bogen. Es erfüllt die konstruktiven Randbedingungen exakt und weicht an den beiden übrigen Messpunkten nur gering ab. 5. Der Sachbereich des Bogens ist \(0\le x\le12\). Eine algebraische Fortsetzung außerhalb dieses Intervalls beschreibt nicht automatisch einen Teil des Bauwerks; dafür fehlen sachliche Angaben.

a) \(h_P(x)=-\frac18(x-6)^2+4{,}5\) b) \(h_M(x)=-\frac18x^2+\frac{35}{24}x+\frac14\) c) \(h_P\) ist unter den angegebenen Annahmen geeigneter: Es erfüllt \(A\), \(S\) und \(B\) exakt und weicht bei \(P\) und \(Q\) jeweils nur um \(0{,}125\,\text{m}\) ab. \(h_M\) trifft die drei Vermessungspunkte exakt, verfehlt aber beide bekannten Auflagepunkte um \(0{,}25\,\text{m}\). d) Außerhalb von \(0\le x\le12\) fehlen Angaben über das Bauwerk; die algebraische Fortsetzung ist dort nicht als reales Brückenmodell begründet.