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- Beim Produktgesetz werden zwei nichtnegative Radikanden unter einer gemeinsamen Wurzel multipliziert. - Beim Quotientengesetz darf der Radikand im Nenner nicht null sein. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob der neue Radikand eine Quadratzahl ist.

1. Bei a) wird das Produktgesetz verwendet: \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot27}=\sqrt{81}=9\). 2. Bei b) wird das Quotientengesetz verwendet: \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6\).

a) \(9\); Produktgesetz b) \(6\); Quotientengesetz

- Suche unter den Teilern des Radikanden nach \(4,9,16,25,36,49,\ldots\). - Zerlege den Radikanden als Produkt aus einer Quadratzahl und einem Restfaktor. - Wende anschließend das Produktgesetz für Quadratwurzeln an.

1. \(12=4\cdot3\). Daher ist \(\sqrt{12}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3\). 2. \(45=9\cdot5\). Daher ist \(\sqrt{45}=3\sqrt5\). 3. \(98=49\cdot2\). Daher ist \(\sqrt{98}=7\sqrt2\). 4. Man sucht einen möglichst großen quadratischen Teiler des Radikanden. Bei \(72\) ist das \(36\), also \(72=36\cdot2\) und damit \(\sqrt{72}=6\sqrt2\).

a) \(2\sqrt3\) b) \(3\sqrt5\) c) \(7\sqrt2\) d) Einen möglichst großen quadratischen Teiler des Radikanden suchen und dessen Wurzel vor das Wurzelzeichen ziehen.

- Suche unter den Teilern von \(72\) nach Quadratzahlen. - Der zweite Faktor soll dabei \(2\) bleiben. - Gesucht ist die größte passende Quadratzahl, nicht nur irgendein quadratischer Teiler.

1. Es gilt \(72=36\cdot2\). 2. Die Zahl \(36\) ist eine Quadratzahl und die größtmögliche passende Quadratzahl für \(q\).

\(q=36\)

- Schreibe die Potenzen in a) und b) als Quadrat einer positiven Zahl. - Für ein Quadrat \(u^2\) mit \(u > 0\) ist \(\sqrt{u^2} = u\). - Zerlege in c) das Produkt so, dass du beide Quadratwurzeln einzeln bestimmen kannst.

1. Zu a): \(5^4 = (5^2)^2\). Da \(5^2 = 25 > 0\), gilt \(\sqrt{5^4} = 25\). 2. Zu b): \(2^{10} = (2^5)^2\). Da \(2^5 = 32 > 0\), gilt \(\sqrt{2^{10}} = 32\). 3. Zu c): Mit dem Produktgesetz folgt \(\sqrt{0{,}49 \cdot 10^8} = \sqrt{0{,}49}\sqrt{10^8} = 0{,}7 \cdot 10^4 = 7000\).

a) \(25\) b) \(32\) c) \(7000\)

- Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, um die Wurzel leichter zu ziehen? - Gibt es eine Rechenregel, mit der man einen Quotienten von Wurzeln unter einer gemeinsamen Wurzel schreiben kann? - Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch um?

1. Teilaufgabe a: Bestimmung der Einzelwurzeln \(\sqrt{225} = 15\) und \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\). Multiplikation der Ergebnisse: \(15 \cdot 0{,}2 = 3\). 2. Teilaufgabe b: Anwendung der Rechenregel für Quotienten von Wurzeln \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\). Berechnung von \(\sqrt{\frac{1000}{10}} = \sqrt{100} = 10\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch \(1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}\). Anwendung der Wurzelregel für Brüche \(\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}\).

a) \(3\) b) \(10\) c) \(\frac{4}{3}\) (oder \(1\frac{1}{3}\))

- Berechne bei Teilaufgabe a) zuerst die Potenzen und anschließend die Differenz unter der Wurzel. - Arbeite dich bei verschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Führe die Rechenoperationen unter der Wurzel vollständig aus, bevor du radizierst.

1. Teilaufgabe a: Berechnung der Quadrate \(17^2 = 289\) und \(15^2 = 225\). Berechnung der Differenz \(289 - 225 = 64\). Ziehen der Wurzel \(\sqrt{64} = 8\). 2. Teilaufgabe b: Auswertung der inneren Wurzel \(\sqrt{256} = 16\). Einsetzen in den Term: \(\sqrt{5 \cdot 16 + 1}\). Multiplikation und Addition unter der Wurzel: \(\sqrt{80 + 1} = \sqrt{81}\). Ergebnis ist \(9\).

a) \(8\) b) \(9\)

- Rechne zuerst den Wert unter der Wurzel aus, bevor du die Wurzel ziehst. - Suche nach Quadratzahlen wie \(4, 9, 16, 25, 36, \ldots\), die Teiler der Zahl unter der Wurzel sind. - Gibt es eine Regel, wie man die Wurzel aus einem Bruch zieht?

1. Berechnung des Ausdrucks unter der Wurzel: \(13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\). Die Wurzel daraus ist \(\sqrt{25} = 5\). 2. Zerlegung von 72 in ein Produkt mit einer maximalen Quadratzahl: \(72 = 36 \cdot 2\). Anwendung der Wurzelgesetze ergibt \(\sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). 3. Anwendung der Wurzelregel für Brüche: \(\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}}\). Da \(\sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt{81} = 9\), ist das Ergebnis \(\frac{5}{9}\).

a) \(5\) b) \(6\sqrt{2}\) c) \(\frac{5}{9}\)

- Suche für jede Zahl unter der Wurzel nach Quadratzahlen als Teiler. - Wenn ein Term gleichartig zu \(\sqrt{7}\) ist, muss er sich als \(k\sqrt{7}\) mit rationalem \(k\) darstellen lassen. - Vergleiche nach dem Vereinfachen die Faktoren vor beziehungsweise neben \(\sqrt{7}\), ohne einen Kandidaten vorweg auszuwählen.

1. Vereinfachung von \(\sqrt{112}\): \(\sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}\). 2. Vereinfachung von \(\sqrt{175}\): \(\sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}\). 3. Vereinfachung von \(\sqrt{252}\): \(\sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}\). 4. Vereinfachung von \(\sqrt{\frac{7}{16}}\): \(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}\sqrt{7} = 0{,}25\sqrt{7}\). 5. Für \(\sqrt{70}\) gilt \(\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}} = \sqrt{10}\). Da \(\sqrt{10}\) irrational ist, ist \(\sqrt{70}\) kein rationales Vielfaches von \(\sqrt{7}\). 6. Somit passt \(\sqrt{70}\) nicht in die Reihe.

Der Term \(\sqrt{70}\) passt nicht in die Reihe. Für die anderen Terme ist der Quotient durch \(\sqrt{7}\) rational; bei \(\sqrt{70}\) ist dieser Quotient \(\sqrt{10}\) und damit irrational.

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel in Produkte zerlegen, bei denen ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Erinnerst du dich daran, wie man Wurzeln zusammenfasst? Das geht nur, wenn die Zahl unter der Wurzel (der Radikand) identisch ist. - Achte beim Weglassen der Klammern auf die Rechenzeichen.

1. Teilweises Wurzelziehen der einzelnen Terme: \(2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) und \(3\sqrt{27} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\). 2. Einsetzen der vereinfachten Wurzeln in den Ausdruck: \((6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) + (2\sqrt{2} - 9\sqrt{3})\). 3. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Radikanden: \(6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) und \(2\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -7\sqrt{3}\). 4. Endergebnis: \(8\sqrt{2} - 7\sqrt{3}\).

\(8\sqrt{2} - 7\sqrt{3}\)

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt bei einem Quadrat zusammen? - Kannst du das Verhältnis der Seiten als einen einzigen Wurzelterm schreiben? - Was passiert mit einem Bruch, wenn du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst?

1. Berechnung des Verhältnisses der Seitenlängen über die Wurzeln der Flächeninhalte: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{\sqrt{162}}{\sqrt{2}}\). 2. Anwendung der Quotientenregel: \(\sqrt{\frac{162}{2}} = \sqrt{81} = 9\). Somit gilt \(a_1 {:} a_2 = 9 {:} 1\). 3. Nach der Verdoppelung lautet das Verhältnis \(\frac{\sqrt{2A_1}}{\sqrt{2A_2}} = \sqrt{\frac{2A_1}{2A_2}} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}\). 4. Der gemeinsame Faktor \(2\) kürzt sich; das Verhältnis bleibt \(9 {:} 1\).

a) \(a_1 {:} a_2 = 9 {:} 1\) b) Das Verhältnis bleibt \(9 {:} 1\), da sich der gemeinsame Faktor \(2\) unter der Wurzel kürzt.

- Zerlege die Radikanden so, dass in beiden Summanden oder Differenzgliedern derselbe Faktor unter der Wurzel erscheint. - Nutze anschließend das Produktgesetz, um diesen gemeinsamen Wurzelfaktor sichtbar zu machen. - Wende zuletzt das Distributivgesetz rückwärts an.

1. \(\sqrt{15} + \sqrt{10} = \sqrt{5}\sqrt{3} + \sqrt{5}\sqrt{2} = \sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\). 2. \(\sqrt{21} - \sqrt{14} = \sqrt{7}\sqrt{3} - \sqrt{7}\sqrt{2} = \sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})\). 3. \(\sqrt{33} + \sqrt{22} = \sqrt{11}\sqrt{3} + \sqrt{11}\sqrt{2} = \sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\). 4. \(\sqrt{26} - \sqrt{13} = \sqrt{13}\sqrt{2} - \sqrt{13} = \sqrt{13}(\sqrt{2} - 1)\).

1) \(\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\) 2) \(\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})\) 3) \(\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\) 4) \(\sqrt{13}(\sqrt{2} - 1)\)

- Kannst du das Quotientengesetz für zwei Quadratwurzeln anwenden? - Erinnerst du dich, wie man einen quadratischen Faktor teilweise aus einer Wurzel zieht? - Welche Rechenregel erlaubt es, eine Division durch denselben Faktor auf mehrere Summanden zu verteilen? - Prüfe am Ende, ob beide Rechenwege denselben ursprünglichen Term nur in unterschiedlicher Reihenfolge umformen.

1. Beim ersten Weg gilt \((6\sqrt{28} {:} \sqrt{7}) - (2\sqrt{63} {:} \sqrt{7}) + (\sqrt{112} {:} \sqrt{7}) = 6\sqrt{4} - 2\sqrt{9} + \sqrt{16} = 12 - 6 + 4 = 10\). 2. Beim zweiten Weg gilt \(\sqrt{28}=2\sqrt7\), \(\sqrt{63}=3\sqrt7\) und \(\sqrt{112}=4\sqrt7\). Damit wird die Klammer zu \(12\sqrt7-6\sqrt7+4\sqrt7=10\sqrt7\), also \(T=10\sqrt7 {:} \sqrt7=10\). 3. Beide Wege bestehen aus äquivalenten Umformungen: Im ersten Weg wird die Division über die Summe beziehungsweise Differenz verteilt, im zweiten werden zuerst gleichartige Wurzelterme zusammengefasst. Daher bleibt der Wert des Terms in beiden Rechenwegen gleich.

a) \(10\) b) \(10\) c) Beide Rechenwege verwenden nur äquivalente Umformungen und müssen deshalb denselben Termwert liefern.

- Entscheide für jeden Term, welche binomische Formel passt. - Beim Quadrieren eines Terms wie \(3\sqrt{2}\) werden sowohl der Koeffizient als auch die Wurzel quadriert. - Vereinfache entstehende Wurzeln wie \(\sqrt{50}\) erst nach dem Ausmultiplizieren.

1. Mit der ersten binomischen Formel gilt \((3\sqrt{2} + 2)^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 2 + 2^2 = 18 + 12\sqrt{2} + 4 = 22 + 12\sqrt{2}\). 2. Mit der zweiten binomischen Formel gilt \((2 - \sqrt{7})^2 = 2^2 - 2\cdot 2\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 4 - 4\sqrt{7} + 7 = 11 - 4\sqrt{7}\). 3. Mit der ersten binomischen Formel gilt \((\sqrt{10} + \sqrt{5})^2 = 10 + 2\sqrt{50} + 5 = 15 + 10\sqrt{2}\).

1) \(22 + 12\sqrt{2}\) 2) \(11 - 4\sqrt{7}\) 3) \(15 + 10\sqrt{2}\)

- Was passiert, wenn du den gegebenen Wert direkt in den Ausdruck einsetzt? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man Ausdrücke wie \((a+b)^2\) leichter ausrechnen kann? - Achte beim Vereinfachen darauf, welche Teile des Ausdrucks sich gegenseitig aufheben könnten.

1. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term: \((2 + \sqrt{5})^2 - 4(2 + \sqrt{5}) + 9\) 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf das Quadrat: \((2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}\) 3. Ausmultiplizieren des linearen Teils: \(-4 \cdot (2 + \sqrt{5}) = -8 - 4\sqrt{5}\) 4. Zusammenfassen aller Termglieder: \(9 + 4\sqrt{5} - 8 - 4\sqrt{5} + 9 = 10\)

\(10\)

- Überlege, welche Zahl unter der Wurzel denselben Wert wie der positive Faktor vor der Wurzel besitzt. - Welche Beziehung zwischen Quadrieren und Wurzelziehen hilft dir, den Faktor vollständig unter das Wurzelzeichen zu bringen? - Prüfe deine vermutete Regel an einem einfachen eigenen Beispiel.

1. Der Faktor \(2\) wird quadriert unter die Wurzel gezogen: \(2\sqrt7=\sqrt{2^2\cdot7}=\sqrt{28}\). 2. Ebenso ist \(3\sqrt5=\sqrt{3^2\cdot5}=\sqrt{45}\). 3. Für den Bruch gilt \(\frac12\sqrt{12}=\sqrt{\left(\frac12\right)^2\cdot12}=\sqrt3\). 4. Allgemein gilt für \(c\ge0\) und \(a\ge0\): \(c\sqrt a=\sqrt{c^2a}\).

a) \(\sqrt{28}\) b) \(\sqrt{45}\) c) \(\sqrt3\) d) \(c\sqrt a=\sqrt{c^2a}\) für \(c\ge0\), \(a\ge0\)

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt eines Quadrats zusammen? - Versuche, die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt zu zerlegen, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man die beiden Seitenlängen kennt? - Wurzelterme mit demselben Radikanden (der Zahl unter der Wurzel) können wie Variablen addiert werden.

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\): \(a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(b\): \(b = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs \(U\) des Rechtecks: \(U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (4\sqrt{2} + 5\sqrt{2})\). 4. Zusammenfassen der Wurzelterme: \(4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\). 5. Endergebnis für den Umfang: \(U = 2 \cdot 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\,\text{cm}\).

a) \(a = 4\sqrt{2}\,\text{cm}\) und \(b = 5\sqrt{2}\,\text{cm}\) b) Der Umfang beträgt \(18\sqrt{2}\,\text{cm}\).

- Ist es einfacher, erst die einzelnen Wurzeln zu ziehen oder die Rechengesetze für Wurzeln anzuwenden? - Achte bei Teilaufgabe c) darauf, ob du unter der Wurzel kürzen kannst, bevor du radizierst. - Wie dividiert man zwei Brüche miteinander?

1. Schrittweise Berechnung für a): \(\sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{6} = 2\). 2. Schrittweise Berechnung für b): \(\sqrt{\frac{49}{16}} {:} \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{7}{4} {:} \frac{5}{4} = \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{7}{5}\). 3. Schrittweise Berechnung für c): Zuerst Umwandlung im Radikanden: \(\sqrt{\frac{36}{25} \cdot \frac{25}{16}}\). Kürzen unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{\frac{36}{16}}\). Radizieren liefert \(\frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).

a) \(2\) b) \(\frac{7}{5}\) c) \(\frac{3}{2}\)

- Der Flächeninhalt eines Quadrats ist das Quadrat seiner Seitenlänge. - Vergleiche in Teil 3 nicht zuerst die Wurzelterme, sondern die Quadrate der beiden Seitenlängen. - Das Verhältnis zweier positiver Seitenlängen ist selbst positiv; das bestimmt beim Wurzelziehen das Vorzeichen.

1. Der Flächeninhalt des ersten Quadrats ist \(A_1 = a_1^2 = (\sqrt{18}\,\text{cm})^2 = 18\,\text{cm}^2\). 2. Damit ist \(A_2 = 2A_1 = 36\,\text{cm}^2\). Die Seitenlänge des zweiten Quadrats beträgt \(a_2 = \sqrt{36\,\text{cm}^2} = 6\,\text{cm}\). 3. Für positive Seitenlängen gilt \(\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 = \frac{a_2^2}{a_1^2} = \frac{A_2}{A_1} = 2\). Das Verhältnis \(\frac{a_2}{a_1}\) ist positiv. Daher ist \(\frac{a_2}{a_1} = \sqrt{2}\).

1. \(A_1 = 18\,\text{cm}^2\) 2. \(a_2 = 6\,\text{cm}\) 3. \(\frac{a_2}{a_1} = \sqrt{2}\)

- Nutze die Rechenregeln für Wurzeln (Multiplikation und Division unter einer Wurzel). - Erinnere dich bei Teilaufgabe c) an die binomischen Formeln. - Beachte bei Teilaufgabe e) die Definition der Quadratwurzel: Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist immer nichtnegativ.

1. Berechnung von A: \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2 = \frac{1}{5}\). Das Ergebnis ist ein positiver Bruch. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{Q}\). 2. Berechnung von B: \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3\). Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\). 3. Berechnung von C: Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2}\) irrational ist, ist das gesamte Ergebnis irrational. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{R}\). 4. Berechnung von D: \(\sqrt{10 \cdot 0{,}4} = \sqrt{4} = 2\). Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\). 5. Berechnung von E: \(\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7\). Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\).

a) \(0{,}2 \in \mathbb{Q}\) b) \(3 \in \mathbb{N}\) c) \(3 - 2\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) d) \(2 \in \mathbb{N}\) e) \(7 \in \mathbb{N}\)

- Hilft es dir, die Wurzeln in den Klammern zuerst teilweise zu ziehen? - Kannst du Ausdrücke wie \(3x - 2x\) innerhalb der Klammer zusammenfassen? - Vergiss nicht die Regel „Punkt vor Strich“.

1. Vereinfachung der ersten Klammer durch teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\). 2. Berechnung des Quadrats: \((3\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\). 3. Vereinfachung der Wurzeln in der zweiten Klammer: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) und \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). 4. Berechnung des Produkts: \(\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(2 + 15 = 17\).

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- Kannst du \(\sqrt{12}\) teilweise radizieren, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Erinnerst du dich an die Rechenregeln für Wurzeln bei Multiplikation und Division? - Welche binomische Formel könnte bei Teilaufgabe 5 hilfreich sein? - Wann ist die Wurzel aus einer natürlichen Zahl rational?

1. \(a + b = \sqrt{3} + \sqrt{12} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\). Da \(\sqrt{3}\) irrational ist, ist das Ergebnis irrational. 2. \(a \cdot b = \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\). Das Ergebnis ist rational. 3. \(b {:} a = \sqrt{12} {:} \sqrt{3} = \sqrt{12 {:} 3} = \sqrt{4} = 2\). Das Ergebnis ist rational. 4. \(a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{12})^2 = 3 + 12 = 15\). Das Ergebnis ist rational. 5. \((b - a)^2 = (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\). Das Ergebnis ist rational. Alternativ über die binomische Formel: \(12 - 2\sqrt{36} + 3 = 12 - 12 + 3 = 3\).

1) \(3\sqrt{3}\) (irrational) 2) \(6\) (rational) 3) \(2\) (rational) 4) \(15\) (rational) 5) \(3\) (rational)

- Kannst du die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt zerlegen, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Erinnere dich daran, wie man einen Bruch unter einer Wurzel aufteilt. - Wie wird man eine Wurzel im Nenner eines Bruchs los? - Was passiert mit den Wurzelteilen, wenn du den einen Term durch den anderen teilst?

1. Teilweises Wurzelziehen bei \(A\): \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\) 2. Umwandeln des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch bei \(B\): \(\sqrt{3\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}}\) 3. Rationalmachen des Nenners bei \(B\): \(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} = 0{,}8\sqrt{5}\) 4. Feststellung der Gleichartigkeit: Da beide Terme ein rationales Vielfaches von \(\sqrt{5}\) sind, sind sie gleichartig. 5. Berechnung des Quotienten: \(\frac{A}{B} = \frac{6\sqrt{5}}{0{,}8\sqrt{5}} = \frac{6}{0{,}8} = 7{,}5\)

a) \(A = 6\sqrt{5}\) und \(B = \frac{4}{5}\sqrt{5}\) (oder \(0{,}8\sqrt{5}\)) b) Die Terme sind gleichartig, da beide den Radikanden \(5\) besitzen. c) \(\frac{A}{B} = 7{,}5\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt einer Quadratzahl und einer anderen Zahl schreiben? - Versuche, alle Summanden auf denselben Radikanden (die Zahl unter der Wurzel) zu bringen. - Erinnere dich an die Regeln zum Runden: Ab 5 wird aufgerundet.

1. Vereinfachung von Teil a: Die Radikanden werden faktorisiert, um Quadratzahlen zu isolieren: \(4\sqrt{9 \cdot 2} - 2\sqrt{25 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 2}\). Durch teilweises Wurzelziehen ergibt sich \(4 \cdot 3\sqrt{2} - 2 \cdot 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). 2. Berechnung von Teil a: Mit \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) ergibt sich \(4 \cdot 1{,}4142 \approx 5{,}66\). 3. Vereinfachung von Teil b: Faktorisierung der Radikanden ergibt \(\frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 3} + \sqrt{4 \cdot 3} - 0{,}5\sqrt{16 \cdot 3}\). Teilweises Wurzelziehen führt zu \(\frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 0{,}5 \cdot 4\sqrt{3} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\). 4. Berechnung von Teil b: Mit \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) ergibt sich gerundet \(1{,}73\).

a) \(4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) b) \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)

- Suche in \(150\), \(54\) und \(24\) jeweils nach einem möglichst großen quadratischen Faktor. - Ein von null verschiedenes rationales Vielfaches einer irrationalen Zahl bleibt irrational. - Überlege in Teil c), wie du einen positiven Faktor vor einer Wurzel in den Radikanden einbeziehen kannst.

1. Zu a): \(\sqrt{150} = \sqrt{25\cdot 6} = 5\sqrt{6}\), \(\sqrt{54} = \sqrt{9\cdot 6} = 3\sqrt{6}\) und \(\sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = 2\sqrt{6}\). Daher ist \(T = 5\sqrt{6} - 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}\). 2. Zu b): \(\sqrt{6}\) ist irrational, weil \(6\) keine Quadratzahl ist. Das von null verschiedene rationale Vielfache \(4\sqrt{6}\) ist daher ebenfalls irrational. 3. Zu c): Für den ersten Summanden gilt \(2\sqrt{0{,}5} = \sqrt{4}\sqrt{0{,}5} = \sqrt{4\cdot 0{,}5} = \sqrt{2}\). Außerdem ist \(\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}\). Somit ergibt sich \(2\sqrt{0{,}5} + \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).

a) \(T = 4\sqrt{6}\) b) Das Ergebnis ist irrational. c) \(2\sqrt{0{,}5} + \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt einer Quadratzahl und einer anderen Zahl schreiben? - Überlege, welche Quadratzahlen in 75, 27 oder 108 stecken. - Wurzeln mit demselben Radikanden kannst du wie Variablen (z. B. \(x\)) addieren oder subtrahieren. - Wie lässt sich ein Dezimalbruch oder ein Bruch unter der Wurzel so umformen, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht?

1. Teilweises Radizieren: \(3 \cdot 5\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 15\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}\). Zusammenfassen ergibt \(15\sqrt{3}\). 2. Teilweises Radizieren: \(5\sqrt{2} + 2 \cdot 2\sqrt{2} - 9\sqrt{2} = 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 9\sqrt{2}\). Zusammenfassen ergibt \(0\). 3. Umformen der Radikanden: \(2\sqrt{5} - \sqrt{\frac{45}{100}} + \frac{\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} - \frac{3\sqrt{5}}{10} + \frac{2\sqrt{5}}{10} = 2\sqrt{5} - 0{,}3\sqrt{5} + 0{,}2\sqrt{5}\). Zusammenfassen ergibt \(1{,}9\sqrt{5}\).

1) \(15\sqrt{3}\) 2) \(0\) 3) \(1{,}9\sqrt{5}\) (oder \(\frac{19}{10}\sqrt{5}\))

- Darf man Wurzeln einfach addieren, indem man die Zahlen unter der Wurzel addiert? Probiere es mit einem einfachen Beispiel wie \(\sqrt{9} + \sqrt{16}\). - Versuche zuerst, jeden einzelnen Wurzelterm so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du die Klammern auflöst. - Was ist die Definition einer rationalen Zahl? - Kann ein Ergebnis, das ursprünglich Wurzeln enthielt, am Ende eine ganz normale Zahl ohne Wurzelzeichen sein?

1. Für Teil a): Teilweises Radizieren der Summanden: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) und \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Addition ergibt \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\). Prüfung des Zielwerts: \(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\). Die Aussage ist wahr. 2. Für Teil b): Vereinfachung der einzelnen Wurzeln: \(3\sqrt{20} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\); \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\); \(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\). Einsetzen in den Term: \((6\sqrt{5} - 3\sqrt{5}) - (4\sqrt{5} - \sqrt{5}) = 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 0\). Da \(0\) als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist, handelt es sich um eine rationale Zahl.

a) Die Aussage ist wahr, da \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) und \(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) gilt. b) Der Wert des Terms ist \(0\). Dies ist eine rationale Zahl.

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche zuerst, jede einzelne Wurzel durch teilweises Wurzelziehen zu vereinfachen. - Welche Terme darfst du addieren oder subtrahieren?

1. Teilweises Wurzelziehen für alle Terme: \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\), \(1{,}5\sqrt{12} = 1{,}5 \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\), \(2\sqrt{20} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\), \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) und \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). 2. Einsetzen der Ergebnisse: \((3\sqrt{5} - 3\sqrt{3}) - (4\sqrt{5} - 4\sqrt{3}) + 3\sqrt{3}\). 3. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(3\sqrt{5} - 3\sqrt{3} - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{5}\): \(3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = -\sqrt{5}\). 5. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{3}\): \(-3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). 6. Endergebnis: \(4\sqrt{3} - \sqrt{5}\).

\(4\sqrt{3} - \sqrt{5}\)

- Welche binomischen Formeln erkennst du in den Termen? - Was passiert mit den Wurzeln, wenn man sie quadriert? - Überlege, bei welcher Formel ein „Mittelteil“ stehen bleibt und bei welcher nicht.

1. Berechnung von \(A\): Anwendung der ersten binomischen Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) mit \(a = \sqrt{7}\) und \(b = \sqrt{2}\). Es ergibt sich \((\sqrt{7})^2 + 2\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}\). 2. Berechnung von \(B\): Anwendung der dritten binomischen Formel \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) mit \(a = \sqrt{7}\) und \(b = \sqrt{2}\). Es ergibt sich \((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5\). 3. Begründung: Bei Term \(A\) entsteht durch das gemischte Glied \(2ab\) der Ausdruck \(2\sqrt{14}\), der nicht weiter vereinfacht werden kann und somit irrational ist. Bei Term \(B\) heben sich die gemischten Glieder gegenseitig auf, sodass nur die Quadrate der Wurzeln übrig bleiben. Da das Quadrat einer Quadratwurzel einer natürlichen Zahl wieder eine rationale Zahl ist, ist das Gesamtergebnis rational.

a) \(A = 9 + 2\sqrt{14}\); \(B = 5\). b) Bei \(A\) bleibt das gemischte Glied \(2\sqrt{14}\) erhalten, welches irrational ist. Bei \(B\) (3. binomische Formel) fallen die gemischten Glieder weg, sodass nur die Differenz der Quadrate \(7 - 2\) berechnet wird.

- Suche bei jedem ganzzahligen Radikanden nach einem möglichst großen quadratischen Faktor. - Schreibe \(0{,}2\) als Bruch und erweitere ihn so, dass der Nenner eine Quadratzahl ist. - Fasse erst ganz am Ende die Koeffizienten der gleichartigen \(\sqrt{5}\)-Terme zusammen.

1. Es gilt \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\), \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\), \(\sqrt{125} = 5\sqrt{5}\), \(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) und \(\sqrt{180} = 6\sqrt{5}\). 2. Für den Dezimalbruch gilt \(0{,}2 = \frac{1}{5} = \frac{5}{25}\). Daher ist \(\sqrt{0{,}2} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = 0{,}2\sqrt{5}\). 3. Damit wird der gesamte Term zu \((3 - 2 + 5 - 4 + 0{,}2 + 1 - 6)\sqrt{5}\). 4. Die Summe der Koeffizienten ist \(-2{,}8\). Somit lautet das Ergebnis \(-2{,}8\sqrt{5}\).

\(-2{,}8\sqrt{5}\) oder \(-\frac{14}{5}\sqrt{5}\)

- Sortiere die Summanden danach, welcher Radikand nach dem teilweisen Wurzelziehen übrig bleibt. - Wandle die gemischte Zahl in einen Bruch um und erweitere den Bruch so, dass sein Nenner eine Quadratzahl wird. - Fasse nur Terme mit demselben verbleibenden Radikanden zusammen.

1. Die Terme mit verbleibendem Radikanden \(2\) werden vereinfacht: \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), \(\sqrt{0{,}5} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\sqrt{200} = 10\sqrt{2}\). Zusammen ergibt das \(\frac{27}{2}\sqrt{2}\). 2. Für die Terme mit verbleibendem Radikanden \(3\) gilt \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) und \(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\). 3. Außerdem ist \(5\frac{1}{3} = \frac{16}{3} = \frac{48}{9}\). Daher gilt \(\sqrt{5\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{48}{9}} = \frac{\sqrt{48}}{3} = \frac{4}{3}\sqrt{3}\). 4. Die \(\sqrt{3}\)-Terme ergeben \(-2\sqrt{3} - \frac{4}{3}\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -\frac{28}{3}\sqrt{3}\). 5. Insgesamt erhält man \(\frac{27}{2}\sqrt{2} - \frac{28}{3}\sqrt{3}\).

\(\frac{27}{2}\sqrt{2} - \frac{28}{3}\sqrt{3}\)

- Prüfe bei jedem Ausdruck, ob sich die Summanden als Vielfache desselben Wurzelausdrucks schreiben lassen. - Bei einer Zahl außerhalb einer Wurzel kann es helfen, sie als Quadrat einer passenden Wurzel zu schreiben. - Suche in den Radikanden nach gemeinsamen Faktoren und nach Quadratzahlen, die sich herausziehen lassen. - Bei einem Bruch lohnt sich ein Blick darauf, ob Zähler und Nenner nach einer Umformung einen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Schreibe \(5=(\sqrt5)^2\). Dann gilt \(5+\sqrt5=\sqrt5(\sqrt5+1)\). 2. Beide Radikanden enthalten den gemeinsamen Faktor \(2\): \(\sqrt{18}+\sqrt8=\sqrt2(\sqrt9+\sqrt4)=\sqrt2(3+2)=5\sqrt2\). 3. Klammere \(\sqrt{12}\) aus: \(\sqrt{24}-\sqrt{12}=\sqrt{12}(\sqrt2-1)\). Mit \(\sqrt{12}=2\sqrt3\) folgt \(2\sqrt3(\sqrt2-1)\). 4. Im Zähler lässt sich \(\sqrt5\) ausklammern: \(\frac{\sqrt5(\sqrt6+\sqrt4)}{\sqrt5}=\sqrt6+2\).

1) \(\sqrt5(\sqrt5+1)\) 2) \(5\sqrt2\) 3) \(2\sqrt3(\sqrt2-1)\) 4) \(\sqrt6+2\)

- Berechne zuerst das Quadrat mithilfe der binomischen Formeln. - Versuche, die große Zahl unter der Wurzel durch kleine Quadratzahlen wie \(4\), \(9\), \(16\) oder \(25\) zu teilen, um sie zu vereinfachen. - Heben sich am Ende vielleicht einige Terme mit Wurzeln gegenseitig auf?

1. Ausmultiplizieren mit der zweiten binomischen Formel: \( (4 - 3\sqrt{3})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2 = 16 - 24\sqrt{3} + 27 = 43 - 24\sqrt{3} \) 2. Teilweises Wurzelziehen beim zweiten Summanden: \( \sqrt{1728} = \sqrt{576 \cdot 3} = 24\sqrt{3} \) 3. Zusammenfassen der Teilergebnisse: \( 43 - 24\sqrt{3} + 24\sqrt{3} = 43 \)

\( 43 \)

- Prüfe zunächst, welche Wurzelterme gleichartig sind und zusammengefasst werden können. - Schreibe beim Quadrieren einer Summe die vollständige erste binomische Formel auf. - Für die Widerlegung einer allgemeinen Aussage genügt ein einziges passendes Gegenbeispiel.

1. Durch Zusammenfassen gilt \(\sqrt7+2\sqrt7=3\sqrt7\). Damit ist \((3\sqrt7)^2=9\cdot7=63\). 2. Mit der ersten binomischen Formel ergibt sich \((\sqrt7)^2+2\cdot\sqrt7\cdot2\sqrt7+(2\sqrt7)^2=7+28+28=63\). 3. Es gilt \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2\). Daher ist \((\sqrt{32}-3\sqrt2)^2=(4\sqrt2-3\sqrt2)^2=(\sqrt2)^2=2\). 4. Zum Beispiel für \(a=b=1\) ist \((\sqrt1+\sqrt1)^2=4\), aber \(a+b=2\). Die Behauptung ist falsch. In \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) fehlt in der behaupteten Regel das doppelte Produkt; hier ist das \(2\sqrt{ab}\).

a) \(63\) b) \(2\) c) Die Behauptung ist falsch; es fehlt der Term \(2\sqrt{ab}\).

- Wie kannst du eine Wurzel vereinfachen, wenn unter ihr eine Quadratzahl als Faktor steht? - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \( 3\sqrt{5} \) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Um zu zeigen, dass \( \sqrt{A} = B \) gilt, reicht es oft aus zu prüfen, ob \( B^2 = A \) ist.

1. Berechnung von a): Partielles Wurzelziehen ergibt \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Einsetzen führt zu \(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{3}\right)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12\). 2. Berechnung von b): \((3\sqrt{5} - 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 45 - 12\sqrt{15} + 12 = 57 - 12\sqrt{15}\). 3. Nachweis für c): \((2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}\). Außerdem ist \(2 + \sqrt{3} > 0\). Daher ist \(2 + \sqrt{3}\) die arithmetische Quadratwurzel von \(7 + 4\sqrt{3}\), also \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\).

a) \(12\) b) \(57 - 12\sqrt{15}\) c) \((2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3}\) und \(2+\sqrt{3}>0\).

- Welche binomische Formel passt zur Struktur des Terms? - Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel quadriert? - Kannst du die Terme unter der Wurzel mit einer weiteren binomischen Formel vereinfachen? - Achte beim Zusammenfassen darauf, welche Summanden sich gegenseitig aufheben.

1. Für Teil a) wird die erste binomische Formel \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) angewendet: \( a^2 = 9+\sqrt{17} \), \( b^2 = 9-\sqrt{17} \), \( 2ab = 2\sqrt{(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})} \). 2. Unter der Wurzel des gemischten Terms wird die dritte binomische Formel genutzt: \( 2\sqrt{81-17} = 2\sqrt{64} = 2 \cdot 8 = 16 \). 3. Addition der Teile: \( (9+\sqrt{17}) + 16 + (9-\sqrt{17}) = 18 + 16 = 34 \). 4. Für Teil b) wird die zweite binomische Formel \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) angewendet: \( a^2 = 10-2\sqrt{21} \), \( b^2 = 10+2\sqrt{21} \), \( 2ab = 2\sqrt{(10-2\sqrt{21})(10+2\sqrt{21})} \). 5. Berechnung des gemischten Terms: \( 2\sqrt{100-4 \cdot 21} = 2\sqrt{100-84} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8 \). 6. Zusammenfassen: \( (10-2\sqrt{21}) - 8 + (10+2\sqrt{21}) = 20 - 8 = 12 \).

a) \( 34 \) b) \( 12 \)

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer vereinfachen, bevor du quadrierst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder das Ausmultiplizieren von Klammern. - Achte auf Wurzeln, die den gleichen Radikanden haben. - Kannst du Wurzeln teilweise radizieren, um sie zusammenzufassen?

1. Anwendung der Formel \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\) auf Teilaufgabe a): \((\sqrt{7})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2 + 2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{3} + 2\cdot\sqrt{7}\cdot 2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot 2\) \(7 + 3 + 4 + 2\sqrt{21} + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{3} = 14 + 2\sqrt{21} + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\) 2. Vereinfachung des Terms in der Klammer für Teilaufgabe b): Da \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\), ergibt sich: \((2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2\) 3. Berechnung des Quadrats: \((\sqrt{2})^2 = 2\)

a) \(14 + 2\sqrt{21} + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\) b) \(2\)

- Überlege, ob du Wurzeln wie \(\sqrt{12}\) oder \(\sqrt{8}\) teilweise radizieren kannst. - Fasse alle gleichartigen Wurzelterme zusammen, bevor du die Klammer quadrierst. - Was muss passieren, damit das Endergebnis eine natürliche Zahl ohne Wurzelzeichen ist? - Prüfe, ob du die zweite binomische Formel korrekt anwendest.

1. Teilaufgabe a): Vereinfachung der Wurzel \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Zusammenfassen in der Klammer: \(2\sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 3\sqrt{3} - \sqrt{2}\). Anwendung der binomischen Formel: \((3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\). Berechnung der Werte: \(27 - 6\sqrt{6} + 2 = 29 - 6\sqrt{6}\). 2. Teilaufgabe b): Teilweises Radizieren der Terme: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) und \(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). Addition der Wurzelterme: \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\). Quadrieren des Ergebnisses: \((7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98\). Da \(98\) eine natürliche Zahl ist, ist die Aussage gezeigt.

a) \(29 - 6\sqrt{6}\) b) Das Ergebnis ist \(98\), was eine natürliche Zahl ist.

- Erinnere dich an die erste und zweite binomische Formel: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\). - Was passiert, wenn du für \(a\) und \(b\) Quadratwurzeln einsetzt? - Kannst du den Term unter der großen Wurzel als ein Quadrat eines anderen Terms schreiben? - Suche nach zwei Zahlen, deren Summe und Produkt im Radikanden versteckt sind.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel: \((\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}\). 2. Da \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}\) gilt und \(\sqrt{5} > \sqrt{2}\) ist, folgt \(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}\). 3. Gesucht sind zwei Zahlen \(x\) und \(y\) mit \(x+y=12\) und \(xy=35\). Dies sind \(7\) und \(5\). Somit ist \((\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 = 7+5+2\sqrt{35} = 12+2\sqrt{35}\). Daher gilt \(\sqrt{12+2\sqrt{35}} = \sqrt{7}+\sqrt{5}\).

1. \(7 + 2\sqrt{10}\) 2. \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\) 3. \(\sqrt{7} + \sqrt{5}\)

- Berechne zuerst \(x^2\) mit der ersten binomischen Formel. - Bestimme anschließend \(x^3\) als Produkt \(x\cdot x^2\), bevor du in den großen Term einsetzt. - Fasse beim Schluss getrennt die rationalen Terme und die Vielfachen von \(\sqrt{3}\) zusammen.

1. Zunächst ist \(x^2 = \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{2+\sqrt{3}}{2}\). 2. Damit ergibt sich \(x^3 = x\cdot x^2 = \frac{(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{4} = \frac{5+3\sqrt{3}}{4}\). 3. Einsetzen liefert \(2x^3 - 2x^2 + 3x + 2 = \frac{5+3\sqrt{3}}{2} - (2+\sqrt{3}) + \frac{3+3\sqrt{3}}{2} + 2\). 4. Zusammenfassen der rationalen und irrationalen Anteile ergibt \(4 + 2\sqrt{3}\).

\(4 + 2\sqrt{3}\)

- Berechne zuerst den vollständigen Radikanden von \(T\). - Welche Umkehroperation hilft bei der Gleichung \(\sqrt{x}=2\)? - Lies zur Kontrolle den zu \(y=2\) gehörenden x-Wert am Funktionsgraphen ab.

1. Im Radikanden gilt \(\frac{1}{4}\cdot 2^4 = \frac{1}{4}\cdot 16 = 4\). Daher ist \(T = \sqrt{4} = 2\). 2. Gesucht ist \(x\) mit \(\sqrt{x} = 2\). Quadrieren ergibt \(x = 4\). 3. Am Graphen liegt zum Funktionswert \(2\) der Punkt mit der Koordinate \((4\mid 2)\). Damit bestätigt der Graph \(x=4\).

1. \(T = 2\) 2. \(x = 4\)

- Konzentriere dich zuerst auf den Ausdruck in der großen Klammer. - Wie lässt sich das Produkt der beiden Wurzelterme unter einer einzigen Wurzel zusammenfassen? - Erinnerst du dich an die Definition einer Quadratzahl? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis die Bedingung einer Quadratzahl erfüllt.

1. Zuerst wird der Ausdruck in der Klammer mithilfe der ersten binomischen Formel quadriert: \( (\sqrt{11+\sqrt{72}})^2 + 2\sqrt{(11+\sqrt{72})(11-\sqrt{72})} + (\sqrt{11-\sqrt{72}})^2 \). 2. Vereinfachung der äußeren Quadrate: \( 11+\sqrt{72} + 11-\sqrt{72} = 22 \). 3. Berechnung des gemischten Terms unter Verwendung der dritten binomischen Formel: \( 2\sqrt{11^2 - (\sqrt{72})^2} = 2\sqrt{121-72} = 2\sqrt{49} = 2 \cdot 7 = 14 \). 4. Addition der Ergebnisse innerhalb der Klammer: \( 22 + 14 = 36 \). 5. Multiplikation mit dem Vorfaktor: \( T = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9 \). 6. Da \( 9 = 3^2 \) gilt, ist der Wert eine Quadratzahl.

Der Wert des Terms ist \( 9 \). Da \( 9 = 3^2 \) ist, ist dies eine Quadratzahl.

- Quadriere die vorgeschlagene Summe oder Differenz und nutze die binomischen Formeln. - Vergleiche nach dem Quadrieren den rationalen Anteil und den Wurzelanteil getrennt. - Setze in Teil 3 die allgemeine Darstellung an, quadriere beide Seiten und ordne anschließend die beiden entstehenden Bestandteile dem gegebenen Radikanden zu.

1. Es gilt \((\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}\). Weil \(2\sqrt{21} = \sqrt{84}\) und \(\sqrt{7} - \sqrt{3} > 0\) ist, folgt \(\sqrt{10 - \sqrt{84}} = \sqrt{7} - \sqrt{3}\). 2. Quadriert man die rechte Seite, erhält man \(x + y + 2\sqrt{xy}\). Wegen \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) müssen daher \(x+y=4{,}5\) und \(xy=2\) gelten. Die rationalen Werte \(x=4\) und \(y=0{,}5\) erfüllen beide Bedingungen; auch die vertauschte Zuordnung ist möglich. 3. Allgemein gilt für \(x,y \ge 0\): \((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}\). Daher müssen \(x+y=a\) und \(xy=b\) gelten.

1. Die Gleichung ist wahr. 2. \(x=4\) und \(y=0{,}5\) oder umgekehrt. 3. Es müssen \(x,y \ge 0\), \(x+y=a\) und \(xy=b\) gelten.