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- Lies zuerst alle möglichen Ergebnisse direkt am Glücksrad ab. - Welche der angezeigten Zahlen erfüllen beide Bedingungen gleichzeitig? - Welche angezeigten Zahlen erfüllen mindestens eine der beiden Bedingungen?

1. Aus dem Glücksrad liest man die Ergebnismenge \(\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}\) ab. 2. Für die geraden Zahlen gilt \(A=\{2;4;6\}\); für Zahlen größer als \(3\) gilt \(B=\{4;5;6\}\). 3. In beiden Ereignissen liegen \(4\) und \(6\), also \(A\cap B=\{4;6\}\). 4. Mindestens eine der beiden Bedingungen erfüllen \(2\), \(4\), \(5\) und \(6\), also \(A\cup B=\{2;4;5;6\}\).

\(A\cap B=\{4;6\}\) und \(A\cup B=\{2;4;5;6\}\).

- Übersetze die Zeichen nacheinander in Alltagssprache. - Achte darauf, dass „oder“ in der Mathematik auch den gemeinsamen Fall einschließt.

1. \(A\cap B\) bedeutet: Das Los ist blau und trägt einen Stern. 2. \(A\cup B\) bedeutet: Das Los ist blau oder trägt einen Stern oder erfüllt beides. 3. \(A\cap \overline{B}\) bedeutet: Das Los ist blau und trägt keinen Stern.

a) blau und mit Stern b) blau oder mit Stern oder beides c) blau und ohne Stern

- Kannst du die Informationen in einem Diagramm (z. B. mit überlappenden Kreisen) darstellen? - Was passiert, wenn man die Zahlen für Französisch und Italienisch einfach addiert? Warum ist das Ergebnis noch nicht die Lösung? - Wie viele Kinder sind insgesamt an der Schule und wie viele davon lernen mindestens eine der beiden Sprachen?

1. Berechnung der Kinder, die mindestens eine Fremdsprache lernen (Vereinigungsmenge): \(94 + 66 - 25 = 135\) 2. Berechnung der Kinder, die keine Sprache lernen (Komplementärmenge): \(255 - 135 = 120\)

\(120\) Kinder lernen keine zusätzliche Fremdsprache.

- Welche beiden Gruppen zerlegen alle Fußballspieler danach, ob sie zusätzlich Tennis spielen oder nicht? - Wie lässt sich „Fußball und kein Tennis“ mit einer Schnittmenge und einem Gegenereignis notieren? - Welche der gegebenen Häufigkeiten musst du von der Gesamtzahl der Fußballspieler abziehen?

1. Für die Fußballspieler gilt \(H(F)=75\). 2. Die \(18\) Personen, die beide Sportarten spielen, bilden die Schnittmenge \(F\cap T\), also \(H(F\cap T)=18\). 3. „Fußball und kein Tennis“ wird durch \(F\cap \overline{T}\) beschrieben. 4. Innerhalb von \(F\) bleiben nach dem Abziehen der Schnittmenge \(H(F\cap \overline{T})=75-18=57\) Personen.

\(H(F\cap \overline{T})=57\). Es spielen also \(57\) Mitglieder Fußball und kein Tennis.

- Schreibe zuerst alle Zahlen auf, die in die jeweilige Menge gehören. - Überlege dir, was das Symbol für die Schnittmenge grafisch bedeuten könnte. - Was passiert bei der Vereinigung mit Zahlen, die in beiden Mengen vorkommen? - Gibt es eine systematische Art, alle Teiler einer Zahl zu finden?

1. Bestimmung der Elemente von \(A\): \(A = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\). 2. Bestimmung der Elemente von \(B\): \(B = \{4; 8; 12; 16; 20; 24; 28\}\). 3. Ermittlung der Schnittmenge durch Identifikation gemeinsamer Elemente: \(A \cap B = \{4; 8; 12; 24\}\). 4. Ermittlung der Vereinigungsmenge durch Zusammenfassen aller eindeutigen Elemente beider Mengen: \(A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 20; 24; 28\}\).

\(A \cap B = \{4; 8; 12; 24\}\) \(A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 20; 24; 28\}\)

- Welche Zahlen von \(1\) bis \(20\) sind Primzahlen? - Welche Ergebnisse erfüllen die Bedingung „durch \(3\) teilbar“? - Welche Ergebnisse müssen für die Schnittmenge beide Bedingungen erfüllen? - Bei der Vereinigungsmenge soll jedes passende Ergebnis nur einmal vorkommen.

1. Die Primzahlen bis \(20\) sind \(E_1=\{2;3;5;7;11;13;17;19\}\). 2. Die durch \(3\) teilbaren Ergebnisse sind \(E_2=\{3;6;9;12;15;18\}\). 3. In beiden Mengen liegt nur die Zahl \(3\). Daher ist \(E_1\cap E_2=\{3\}\). 4. Für die Vereinigungsmenge werden alle Ergebnisse aus beiden Mengen ohne Wiederholung zusammengefasst: \(E_1\cup E_2=\{2;3;5;6;7;9;11;12;13;15;17;18;19\}\).

\(E_1\cap E_2=\{3\}\) \(E_1\cup E_2=\{2;3;5;6;7;9;11;12;13;15;17;18;19\}\)

- Überlege für jede Beschreibung, welche der vier Bereiche „nur \(A\)“, „beide“, „nur \(B\)“ und „keines“ dazugehören. - Das Wort „oder“ beschreibt eine Vereinigung, das Wort „und“ eine Schnittmenge. - Was bedeutet der Überstrich über einem Ereignis?

1. „Beide treten gleichzeitig ein“ entspricht \(A \cap B\), also \(P(A \cap B)\). 2. „Mindestens eines“ entspricht \(A \cup B\), also \(P(A \cup B)\). 3. „Keines der beiden“ bedeutet: \(A\) tritt nicht ein und \(B\) tritt nicht ein. Das ist \(\overline{A} \cap \overline{B}\), also \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\). 4. „Höchstens eines“ bedeutet: Es ist nicht der Fall, dass beide eintreten. Das sind alle Fälle in \(\overline{A} \cup \overline{B}\), also \(P(\overline{A} \cup \overline{B})\).

1. \(P(A \cap B)\) 2. \(P(A \cup B)\) 3. \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) 4. \(P(\overline{A} \cup \overline{B})\)

- Welche geordneten Würfelpaare haben zusammen die Augensumme \(8\)? - Welche dieser Paare erfüllen zusätzlich die Bedingung des Ereignisses \(B\)? - Welche Ergebnisse aus \(A\) bleiben übrig, wenn \(B\) gerade nicht eintritt?

1. Die geordneten Paare mit Augensumme \(8\) sind \((2; 6)\), \((3; 5)\), \((4; 4)\), \((5; 3)\) und \((6; 2)\). Daher ist \(A=\{(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2)\}\). 2. Von diesen Ergebnissen enthalten \((3; 5)\) und \((5; 3)\) mindestens eine \(5\). Also ist \(A \cap B=\{(3; 5); (5; 3)\}\). 3. Für \(A \cap \overline{B}\) müssen die Ergebnisse in \(A\) liegen, dürfen aber keine \(5\) enthalten. Daher ist \(A \cap \overline{B}=\{(2; 6); (4; 4); (6; 2)\}\).

a) \(A=\{(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2)\}\) b) \(A \cap B=\{(3; 5); (5; 3)\}\) c) Die Augensumme ist \(8\), aber es wurde keine \(5\) gewürfelt. \(A \cap \overline{B}=\{(2; 6); (4; 4); (6; 2)\}\).

- Liste die beiden Ereignismengen zuerst vollständig auf. - Welche Zahlen kommen in beiden Mengen vor? - In der Vereinigung soll jedes Ergebnis nur einmal stehen.

1. \(A=\{4; 8; 12; 16; 20\}\). 2. \(B=\{1; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19\}\). 3. Gemeinsam sind \(12\) und \(16\), also \(A \cap B=\{12; 16\}\). 4. Damit ist \(A \cup B=\{1; 4; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20\}\).

\(A \cap B=\{12; 16\}\) und \(A \cup B=\{1; 4; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20\}\).

- Welche Bedeutung haben „und“ und „oder“ bei zwei Mengen? - Prüfe, ob in Miras Ergebnis Elemente fehlen, die nur in einer der beiden Mengen liegen. - Welche Menge enthält ausschließlich die gemeinsamen Elemente?

1. Die Menge \(\{3; 5\}\) enthält nur die gemeinsamen Elemente und ist daher die Schnittmenge. 2. Es gilt \(A \cap B=\{3; 5\}\). 3. Für die Vereinigung werden alle Elemente aufgenommen, die in \(A\) oder in \(B\) liegen. 4. Somit ist \(A \cup B=\{1; 3; 4; 5; 6; 7\}\).

Mira hat Schnitt- und Vereinigungsmenge verwechselt. Richtig sind \(A \cap B=\{3; 5\}\) und \(A \cup B=\{1; 3; 4; 5; 6; 7\}\).

- Ordne jeden Film zunächst den beiden Ereignissen zu. - Welche Filme besitzen beide Merkmale? - Welche Filme besitzen mindestens eines der beiden Merkmale?

1. \(A=\{F_1; F_2; F_5\}\) und \(B=\{F_1; F_3; F_5\}\). 2. In beiden Mengen liegen \(F_1\) und \(F_5\), also \(A \cap B=\{F_1; F_5\}\). 3. Mindestens eines der Merkmale besitzen \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) und \(F_5\), also \(A \cup B=\{F_1; F_2; F_3; F_5\}\).

\(A \cap B=\{F_1; F_5\}\) und \(A \cup B=\{F_1; F_2; F_3; F_5\}\).

- Bestimme zuerst alle Primzahlen in \(\Omega\). - Welche Ergebnisse sind größer als \(8\)? - Vergleiche anschließend die beiden Mengen für Schnitt und Vereinigung.

1. \(A=\{2; 3; 5; 7; 11\}\) und \(B=\{9; 10; 11; 12\}\). 2. Das gemeinsame Ergebnis ist \(11\), also \(A \cap B=\{11\}\). 3. Alle Ergebnisse aus mindestens einer der beiden Mengen sind \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\), \(10\), \(11\) und \(12\). 4. Daher ist \(A \cup B=\{2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 12\}\).

\(A \cap B=\{11\}\), \(A \cup B=\{2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 12\}\).

- Übersetze beide Aussagen zuerst in Ergebnismengen. - Beachte die Reihenfolge der beiden Würfe. - Welche Ergebnisse kommen in beiden Mengen vor, welche in mindestens einer?

1. \(A=\{KK; KZ\}\) und \(B=\{KZ; ZK\}\). 2. Das gemeinsame Ergebnis ist \(KZ\), also \(A \cap B=\{KZ\}\). 3. In mindestens einem der beiden Ereignisse liegen \(KK\), \(KZ\) und \(ZK\), also \(A \cup B=\{KK; KZ; ZK\}\).

\(A \cap B=\{KZ\}\) und \(A \cup B=\{KK; KZ; ZK\}\).

- Bestimme die beiden Ereignismengen unabhängig voneinander. - Prüfe jede Aussage einzeln. - Welche Bedingung muss ein Element erfüllen, damit es in der Schnittmenge liegt?

1. Die Quadratzahlen sind \(A=\{4; 9\}\), die ungeraden Zahlen sind \(B=\{3; 5; 7; 9\}\). 2. Gemeinsam ist nur \(9\), daher ist Aussage I richtig. 3. Die Vereinigung ist \(\{3; 4; 5; 7; 9\}\), daher ist auch Aussage II richtig. 4. Aussage III ist falsch, weil \(4\) nicht ungerade ist.

Die Aussagen I und II sind richtig; Aussage III ist falsch.

- Berechne die Quersumme jedes Codes systematisch. - Welche Codes sind durch \(3\) teilbar? - Halte beim Bilden der Vereinigung gemeinsame Elemente nur einmal fest.

1. Gerade Quersumme haben \(A=\{11; 13; 15; 17; 19\}\). 2. Durch \(3\) teilbar sind \(B=\{12; 15; 18\}\). 3. Gemeinsam ist \(15\), also \(A \cap B=\{15\}\). 4. Die Vereinigung ist \(A \cup B=\{11; 12; 13; 15; 17; 18; 19\}\).

\(A \cap B=\{15\}\), \(A \cup B=\{11; 12; 13; 15; 17; 18; 19\}\).

- Lege für jedes Merkmal eine Ereignismenge an. - Welche Titel liegen in beiden Ereignissen? - Für „genau eines“ dürfen die gemeinsamen Titel nicht enthalten sein.

1. Mit \(A=\{T_1; T_4; T_6\}\) und \(B=\{T_2; T_4; T_5; T_6\}\) gilt \(A \cap B=\{T_4; T_6\}\). 2. Die Vereinigung ist \(A \cup B=\{T_1; T_2; T_4; T_5; T_6\}\). 3. Genau ein Merkmal besitzen die Elemente der Vereinigung, die nicht in der Schnittmenge liegen: \(\{T_1; T_2; T_5\}\).

a) \(T_4; T_6\) b) \(T_1; T_2; T_4; T_5; T_6\) c) \(T_1; T_2; T_5\)

- Was bedeutet „mindestens eine der beiden Aktivitäten“ in Mengenschreibweise? - Überlege, welcher Teil beim Addieren der beiden Gruppengrößen doppelt gezählt wird. - In welche zwei disjunkten Bereiche lässt sich die Menge \(B\) zerlegen?

1. Für die Vereinigungsmenge gilt \(H(A \cup B)=H(A)+H(B)-H(A \cap B)\). 2. Nach \(H(A \cap B)\) umgestellt: \(H(A \cap B)=45+32-60=17\). 3. Die Chormitglieder zerfallen in die Gruppen \(A \cap B\) und \(B \cap \overline{A}\). 4. Daher ist \(H(B \cap \overline{A})=32-17=15\).

Es sind \(17\) Schüler in beiden AGs, also \(H(A \cap B)=17\). Ausschließlich im Chor sind \(15\) Schüler, also \(H(B \cap \overline{A})=15\).

- Überlege dir zuerst, welche Ergebnisse im Venn-Diagramm nicht zu dem Ereignis gehören dürfen. - Was bedeutet „höchstens“ im mathematischen Sinne? Sind null Ereignisse auch erlaubt? - Wie hängen das Gegenereignis und die ursprüngliche Menge zusammen? - Wann kann ein Ereignis niemals eintreten?

1. Analyse der verbalen Beschreibung: „Höchstens eines“ bedeutet, dass entweder keines der beiden Ereignisse eintritt oder genau eines der beiden (entweder nur \(A\) oder nur \(B\)). Ausgeschlossen ist lediglich der Fall, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten. 2. Formale Darstellung (Variante 1): Da nur das gleichzeitige Eintreten beider Ereignisse (\(A \cap B\)) ausgeschlossen ist, lässt sich \(E\) als Komplement der Schnittmenge schreiben: \(E = \overline{A \cap B}\). 3. Formale Darstellung (Variante 2): Alternativ kann man die drei zulässigen Fälle vereinigen: \(E = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)\). 4. Bedingung für das sichere Ereignis: Damit \(E = \Omega\) gilt, muss sein Komplement die leere Menge sein. Da \(\overline{E} = A \cap B\), folgt: \(A \cap B = \emptyset\). Die Ereignisse \(A\) und \(B\) müssen also unvereinbar (disjunkt) sein.

a) Zu \(E\) gehören die Fälle: „Nur \(A\) tritt ein“, „Nur \(B\) tritt ein“ und „Weder \(A\) noch \(B\) tritt ein“. b) Mögliche Darstellungen sind \(E = \overline{A \cap B}\) oder \(E = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)\). c) Das Ereignis \(E\) ist das sichere Ereignis, wenn \(A\) und \(B\) unvereinbar sind, also \(A \cap B = \emptyset\) gilt.

- Lies zuerst die möglichen Zahlen auf jedem der beiden Räder ab und bilde geordnete Paare. - Prüfe für jedes Paar getrennt, ob die Summe ungerade ist und ob das Produkt größer als \(4\) ist. - Welche Paare erfüllen beide Bedingungen gleichzeitig? - Für ein Ereignis mit Überstrich brauchst du genau die Fälle, in denen diese Bedingung nicht erfüllt ist.

1. Aus den vier Möglichkeiten des ersten und den zwei Möglichkeiten des zweiten Rades entstehen acht geordnete Paare: \(\Omega=\{(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)\}\). 2. Für \(E\) gilt \(E=\{(1; 2); (2; 1); (3; 2); (4; 1)\}\). 3. Für \(F\) gilt \(F=\{(3; 2); (4; 2)\}\). 4. Daher ist \(E \cap F=\{(3; 2)\}\). 5. Es folgt \(E \cap \overline{F}=\{(1; 2); (2; 1); (4; 1)\}\) und \(F \cap \overline{E}=\{(4; 2)\}\). 6. \(F \cap \overline{E}\) bedeutet: Das Produkt ist größer als \(4\) und die Summe ist gerade.

a) \(\Omega=\{(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)\}\) b) \(E \cap F=\{(3; 2)\}\) c) \(E \cap \overline{F}=\{(1; 2); (2; 1); (4; 1)\}\) und \(F \cap \overline{E}=\{(4; 2)\}\). Das zweite Ereignis bedeutet: Das Produkt ist größer als \(4\) und die Summe ist gerade.

- Welche Elemente der Vereinigung liegen nicht in \(A\)? - Welche Elemente müssen wegen der vorgegebenen Schnittmenge zu \(B\) gehören? - Prüfe deine gefundene Menge anschließend gegen beide vorgegebenen Gleichungen.

1. Die Elemente \(b\), \(d\) und \(f\) liegen nicht in \(A\), aber in der Vereinigung; sie müssen daher in \(B\) liegen. 2. Die Elemente \(c\) und \(e\) gehören laut Schnittmenge ebenfalls zu \(B\). 3. Die Elemente \(a\) und \(g\) dürfen nicht zu \(B\) gehören, sonst wären sie ebenfalls Teil der Schnittmenge. 4. Damit ist eindeutig \(B=\{b; c; d; e; f\}\).

\(B=\{b; c; d; e; f\}\).

- Welche Elemente müssen zwingend in beiden Mengen liegen? - Welche Elemente liegen in der Vereinigung, aber nicht in der Schnittmenge? - Wie kannst du diese übrigen Elemente verteilen, ohne die vorgegebene Schnittmenge zu verändern?

1. Die Elemente \(2\) und \(6\) müssen in beiden Mengen liegen. 2. Die Elemente \(1\), \(4\) und \(7\) müssen jeweils in mindestens einer, aber nicht in beiden Mengen liegen. 3. Eine Möglichkeit ist \(A=\{1; 2; 4; 6\}\), \(B=\{2; 6; 7\}\). 4. Eine zweite Möglichkeit ist \(A=\{1; 2; 6; 7\}\), \(B=\{2; 4; 6\}\). 5. Weitere Aufteilungen der Elemente \(1\), \(4\) und \(7\) auf genau eine der beiden Mengen sind ebenfalls möglich.

Zum Beispiel \(A=\{1; 2; 4; 6\}\), \(B=\{2; 6; 7\}\) und \(A=\{1; 2; 6; 7\}\), \(B=\{2; 4; 6\}\).