- Lies zuerst alle möglichen Ergebnisse direkt am Glücksrad ab. - Welche der angezeigten Zahlen erfüllen beide Bedingungen gleichzeitig? - Welche angezeigten Zahlen erfüllen mindestens eine der beiden Bedingungen?

1. Aus dem Glücksrad liest man die Ergebnismenge \(\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}\) ab. 2. Für die geraden Zahlen gilt \(A=\{2;4;6\}\); für Zahlen größer als \(3\) gilt \(B=\{4;5;6\}\). 3. In beiden Ereignissen liegen \(4\) und \(6\), also \(A\cap B=\{4;6\}\). 4. Mindestens eine der beiden Bedingungen erfüllen \(2\), \(4\), \(5\) und \(6\), also \(A\cup B=\{2;4;5;6\}\).

\(A\cap B=\{4;6\}\) und \(A\cup B=\{2;4;5;6\}\).

- Übersetze die Zeichen nacheinander in Alltagssprache. - Achte darauf, dass „oder“ in der Mathematik auch den gemeinsamen Fall einschließt.

1. \(A\cap B\) bedeutet: Das Los ist blau und trägt einen Stern. 2. \(A\cup B\) bedeutet: Das Los ist blau oder trägt einen Stern oder erfüllt beides. 3. \(A\cap \overline{B}\) bedeutet: Das Los ist blau und trägt keinen Stern.

a) blau und mit Stern b) blau oder mit Stern oder beides c) blau und ohne Stern

- Suche für die Schnittmenge nur nach Elementen, die in beiden gegebenen Mengen stehen. - Nimm für die Vereinigung jedes vorkommende Element genau einmal auf. - Prüfe anschließend, ob jedes Element der Schnittmenge auch in der Vereinigung enthalten ist.

1. In beiden Mengen kommen \(3\) und \(5\) vor. Daher ist \(A\cap B=\{3;5\}\). 2. Für die Vereinigung werden alle Elemente aufgenommen, die in mindestens einer der beiden Mengen vorkommen. Daher ist \(A\cup B=\{1;3;4;5;7\}\).

\(A\cap B=\{3;5\}\) und \(A\cup B=\{1;3;4;5;7\}\).

- Kannst du die Informationen in einem Diagramm (z. B. mit überlappenden Kreisen) darstellen? - Was passiert, wenn man die Zahlen für Französisch und Italienisch einfach addiert? Warum ist das Ergebnis noch nicht die Lösung? - Wie viele Kinder sind insgesamt an der Schule und wie viele davon lernen mindestens eine der beiden Sprachen?

1. Mindestens eine der beiden Sprachen lernen \(94+66-25=135\) Kinder. Die \(25\) Kinder mit beiden Sprachen dürfen nur einmal gezählt werden. 2. „Keine der beiden zusätzlichen Fremdsprachen“ ist das Gegenereignis zu „mindestens eine der beiden Sprachen“. Daher gilt \(255-135=120\).

\(120\) Kinder lernen keine der beiden zusätzlichen Fremdsprachen.

- Welche beiden Gruppen zerlegen alle Fußballspieler danach, ob sie zusätzlich Tennis spielen oder nicht? - Wie lässt sich „Fußball und kein Tennis“ mit einer Schnittmenge und einem Gegenereignis notieren? - Welche der gegebenen Häufigkeiten musst du von der Gesamtzahl der Fußballspieler abziehen?

1. Für die Fußballspieler gilt \(H(F)=75\). 2. Die \(18\) Personen, die beide Sportarten spielen, bilden die Schnittmenge \(F\cap T\), also \(H(F\cap T)=18\). 3. „Fußball und kein Tennis“ wird durch \(F\cap \overline{T}\) beschrieben. 4. Innerhalb von \(F\) bleiben nach dem Abziehen der Schnittmenge \(H(F\cap \overline{T})=75-18=57\) Personen.

\(H(F\cap \overline{T})=57\). Es spielen also \(57\) Mitglieder Fußball und kein Tennis.

- Schreibe zuerst die Zahlen auf, die zu \(A\) und zu \(B\) gehören. - Welche Zahlen stehen in beiden Listen? - Für die Vereinigung brauchst du jede vorkommende Zahl genau einmal.

1. Die Teiler von \(24\) sind \(A=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\). 2. Die positiven Vielfachen von \(4\) unter \(30\) sind \(B=\{4;8;12;16;20;24;28\}\). 3. In beiden Mengen liegen \(4\), \(8\), \(12\) und \(24\). Also ist \(A\cap B=\{4;8;12;24\}\). 4. Für die Vereinigung werden alle vorkommenden Zahlen einmal aufgenommen: \(A\cup B=\{1;2;3;4;6;8;12;16;20;24;28\}\).

\(A \cap B = \{4; 8; 12; 24\}\) \(A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 20; 24; 28\}\)

- Welche Zahlen von \(1\) bis \(20\) sind Primzahlen? - Welche Ergebnisse erfüllen die Bedingung „durch \(3\) teilbar“? - Welche Ergebnisse müssen für die Schnittmenge beide Bedingungen erfüllen? - Bei der Vereinigungsmenge soll jedes passende Ergebnis nur einmal vorkommen.

1. Die Primzahlen bis \(20\) sind \(E_1=\{2;3;5;7;11;13;17;19\}\). 2. Die durch \(3\) teilbaren Ergebnisse sind \(E_2=\{3;6;9;12;15;18\}\). 3. In beiden Mengen liegt nur die Zahl \(3\). Daher ist \(E_1\cap E_2=\{3\}\). 4. Für die Vereinigungsmenge werden alle Ergebnisse aus beiden Mengen ohne Wiederholung zusammengefasst: \(E_1\cup E_2=\{2;3;5;6;7;9;11;12;13;15;17;18;19\}\).

\(E_1\cap E_2=\{3\}\) \(E_1\cup E_2=\{2;3;5;6;7;9;11;12;13;15;17;18;19\}\)

- Überlege für jede Beschreibung, welche der vier Bereiche „nur \(A\)“, „beide“, „nur \(B\)“ und „keines“ dazugehören. - Das Wort „oder“ beschreibt eine Vereinigung, das Wort „und“ eine Schnittmenge. - Was bedeutet der Überstrich über einem Ereignis?

1. „Beide treten gleichzeitig ein“ entspricht \(A \cap B\), also \(P(A \cap B)\). 2. „Mindestens eines“ entspricht \(A \cup B\), also \(P(A \cup B)\). 3. „Keines der beiden“ bedeutet: \(A\) tritt nicht ein und \(B\) tritt nicht ein. Das ist \(\overline{A} \cap \overline{B}\), also \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\). 4. „Höchstens eines“ bedeutet: Es ist nicht der Fall, dass beide eintreten. Das sind alle Fälle in \(\overline{A} \cup \overline{B}\), also \(P(\overline{A} \cup \overline{B})\).

1. \(P(A \cap B)\) 2. \(P(A \cup B)\) 3. \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) 4. \(P(\overline{A} \cup \overline{B})\)

- Welche geordneten Würfelpaare haben zusammen die Augensumme \(8\)? - Welche dieser Paare erfüllen zusätzlich die Bedingung des Ereignisses \(B\)? - Welche Ergebnisse aus \(A\) bleiben übrig, wenn \(B\) gerade nicht eintritt?

1. Die geordneten Paare mit Augensumme \(8\) sind \((2; 6)\), \((3; 5)\), \((4; 4)\), \((5; 3)\) und \((6; 2)\). Daher ist \(A=\{(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2)\}\). 2. Von diesen Ergebnissen enthalten \((3; 5)\) und \((5; 3)\) mindestens eine \(5\). Also ist \(A \cap B=\{(3; 5); (5; 3)\}\). 3. Für \(A \cap \overline{B}\) müssen die Ergebnisse in \(A\) liegen, dürfen aber keine \(5\) enthalten. Daher ist \(A \cap \overline{B}=\{(2; 6); (4; 4); (6; 2)\}\).

a) \(A=\{(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2)\}\) b) \(A \cap B=\{(3; 5); (5; 3)\}\) c) Die Augensumme ist \(8\), aber es wurde keine \(5\) gewürfelt. \(A \cap \overline{B}=\{(2; 6); (4; 4); (6; 2)\}\).

- Liste die beiden Ereignismengen zuerst vollständig auf. - Welche Zahlen kommen in beiden Mengen vor? - In der Vereinigung soll jedes Ergebnis nur einmal stehen.

1. \(A=\{4; 8; 12; 16; 20\}\). 2. \(B=\{1; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19\}\). 3. Gemeinsam sind \(12\) und \(16\), also \(A \cap B=\{12; 16\}\). 4. Damit ist \(A \cup B=\{1; 4; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20\}\).

\(A \cap B=\{12; 16\}\) und \(A \cup B=\{1; 4; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20\}\).

- Welche Bedeutung haben „und“ und „oder“ bei zwei Mengen? - Prüfe, ob in Miras Ergebnis Elemente fehlen, die nur in einer der beiden Mengen liegen. - Welche Menge enthält ausschließlich die gemeinsamen Elemente?

1. Die Menge \(\{3; 5\}\) enthält nur die gemeinsamen Elemente und ist daher die Schnittmenge. 2. Es gilt \(A \cap B=\{3; 5\}\). 3. Für die Vereinigung werden alle Elemente aufgenommen, die in \(A\) oder in \(B\) liegen. 4. Somit ist \(A \cup B=\{1; 3; 4; 5; 6; 7\}\).

Mira hat Schnitt- und Vereinigungsmenge verwechselt. Richtig sind \(A \cap B=\{3; 5\}\) und \(A \cup B=\{1; 3; 4; 5; 6; 7\}\).

- Ordne jeden Film zunächst den beiden Ereignissen zu. - Welche Filme besitzen beide Merkmale? - Welche Filme besitzen mindestens eines der beiden Merkmale?

1. \(A=\{F_1; F_2; F_5\}\) und \(B=\{F_1; F_3; F_5\}\). 2. In beiden Mengen liegen \(F_1\) und \(F_5\), also \(A \cap B=\{F_1; F_5\}\). 3. Mindestens eines der Merkmale besitzen \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) und \(F_5\), also \(A \cup B=\{F_1; F_2; F_3; F_5\}\).

\(A \cap B=\{F_1; F_5\}\) und \(A \cup B=\{F_1; F_2; F_3; F_5\}\).

- Bestimme zuerst alle Primzahlen in \(\Omega\). - Welche Ergebnisse sind größer als \(8\)? - Vergleiche anschließend die beiden Mengen für Schnitt und Vereinigung.

1. \(A=\{2; 3; 5; 7; 11\}\) und \(B=\{9; 10; 11; 12\}\). 2. Das gemeinsame Ergebnis ist \(11\), also \(A \cap B=\{11\}\). 3. Alle Ergebnisse aus mindestens einer der beiden Mengen sind \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\), \(10\), \(11\) und \(12\). 4. Daher ist \(A \cup B=\{2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 12\}\).

\(A \cap B=\{11\}\), \(A \cup B=\{2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 12\}\).

- Übersetze beide Aussagen zuerst in Ergebnismengen. - Beachte die Reihenfolge der beiden Würfe. - Welche Ergebnisse kommen in beiden Mengen vor, welche in mindestens einer?

1. \(A=\{KK; KZ\}\) und \(B=\{KZ; ZK\}\). 2. Das gemeinsame Ergebnis ist \(KZ\), also \(A \cap B=\{KZ\}\). 3. In mindestens einem der beiden Ereignisse liegen \(KK\), \(KZ\) und \(ZK\), also \(A \cup B=\{KK; KZ; ZK\}\).

\(A \cap B=\{KZ\}\) und \(A \cup B=\{KK; KZ; ZK\}\).

- Bestimme die beiden Ereignismengen unabhängig voneinander. - Prüfe jede Aussage einzeln. - Welche Bedingung muss ein Element erfüllen, damit es in der Schnittmenge liegt?

1. Die Quadratzahlen sind \(A=\{4; 9\}\), die ungeraden Zahlen sind \(B=\{3; 5; 7; 9\}\). 2. Gemeinsam ist nur \(9\), daher ist Aussage I richtig. 3. Die Vereinigung ist \(\{3; 4; 5; 7; 9\}\), daher ist auch Aussage II richtig. 4. Aussage III ist falsch, weil \(4\) nicht ungerade ist.

Die Aussagen I und II sind richtig; Aussage III ist falsch.

- Berechne die Quersumme jedes Codes systematisch. - Welche Codes sind durch \(3\) teilbar? - Halte beim Bilden der Vereinigung gemeinsame Elemente nur einmal fest.

1. Gerade Quersumme haben \(A=\{11; 13; 15; 17; 19\}\). 2. Durch \(3\) teilbar sind \(B=\{12; 15; 18\}\). 3. Gemeinsam ist \(15\), also \(A \cap B=\{15\}\). 4. Die Vereinigung ist \(A \cup B=\{11; 12; 13; 15; 17; 18; 19\}\).

\(A \cap B=\{15\}\), \(A \cup B=\{11; 12; 13; 15; 17; 18; 19\}\).

- Lege für jedes Merkmal eine Ereignismenge an. - Welche Titel liegen in beiden Ereignissen? - Für „genau eines“ dürfen die gemeinsamen Titel nicht enthalten sein.

1. Mit \(A=\{T_1; T_4; T_6\}\) und \(B=\{T_2; T_4; T_5; T_6\}\) gilt \(A \cap B=\{T_4; T_6\}\). 2. Die Vereinigung ist \(A \cup B=\{T_1; T_2; T_4; T_5; T_6\}\). 3. Genau ein Merkmal besitzen die Elemente der Vereinigung, die nicht in der Schnittmenge liegen: \(\{T_1; T_2; T_5\}\).

a) \(T_4; T_6\) b) \(T_1; T_2; T_4; T_5; T_6\) c) \(T_1; T_2; T_5\)

- Welche vier Fälle sind bei zwei Ereignissen möglich: beide, nur \(A\), nur \(B\), keines? - Welche dieser Fälle passen zu „höchstens eines“? - Für c): Wann kann der Fall „beide“ nicht eintreten?

1. „Höchstens eines“ umfasst drei Fälle: nur \(A\), nur \(B\) oder keines von beiden. Nur „beide gleichzeitig“ gehört nicht zu \(E\). 2. Deshalb ist \(E\) das Gegenereignis zu \(A\cap B\): \(E=\overline{A\cap B}\). 3. Man kann auch die drei erlaubten Fälle vereinigen: \(E=(\overline{A}\cap\overline{B})\cup(A\cap\overline{B})\cup(\overline{A}\cap B)\). 4. \(E=\Omega\) gilt genau dann, wenn der ausgeschlossene Fall unmöglich ist. Also muss \(A\cap B=\emptyset\) gelten; \(A\) und \(B\) sind dann unvereinbar.

a) Zu \(E\) gehören „nur \(A\)“, „nur \(B\)“ und „keines von beiden“. b) \(E=\overline{A\cap B}\) oder \(E=(\overline{A}\cap\overline{B})\cup(A\cap\overline{B})\cup(\overline{A}\cap B)\). c) \(E=\Omega\) gilt, wenn \(A\cap B=\emptyset\), also wenn \(A\) und \(B\) unvereinbar sind.

- Lies zuerst die möglichen Zahlen auf jedem der beiden Räder ab und bilde geordnete Paare. - Prüfe für jedes Paar getrennt, ob die Summe ungerade ist und ob das Produkt größer als \(4\) ist. - Welche Paare erfüllen beide Bedingungen gleichzeitig? - Für ein Ereignis mit Überstrich brauchst du genau die Fälle, in denen diese Bedingung nicht erfüllt ist.

1. Aus den vier Möglichkeiten des ersten und den zwei Möglichkeiten des zweiten Rades entstehen acht geordnete Paare: \(\Omega=\{(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)\}\). 2. Für \(E\) gilt \(E=\{(1; 2); (2; 1); (3; 2); (4; 1)\}\). 3. Für \(F\) gilt \(F=\{(3; 2); (4; 2)\}\). 4. Daher ist \(E \cap F=\{(3; 2)\}\). 5. Es folgt \(E \cap \overline{F}=\{(1; 2); (2; 1); (4; 1)\}\) und \(F \cap \overline{E}=\{(4; 2)\}\). 6. \(F \cap \overline{E}\) bedeutet: Das Produkt ist größer als \(4\) und die Summe ist gerade.

a) \(\Omega=\{(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)\}\) b) \(E \cap F=\{(3; 2)\}\) c) \(E \cap \overline{F}=\{(1; 2); (2; 1); (4; 1)\}\) und \(F \cap \overline{E}=\{(4; 2)\}\). Das zweite Ereignis bedeutet: Das Produkt ist größer als \(4\) und die Summe ist gerade.

- Welche Elemente der Vereinigung liegen nicht in \(A\)? - Welche Elemente müssen wegen der vorgegebenen Schnittmenge zu \(B\) gehören? - Prüfe deine gefundene Menge anschließend gegen beide vorgegebenen Gleichungen.

1. Die Elemente \(b\), \(d\) und \(f\) liegen nicht in \(A\), aber in der Vereinigung; sie müssen daher in \(B\) liegen. 2. Die Elemente \(c\) und \(e\) gehören laut Schnittmenge ebenfalls zu \(B\). 3. Die Elemente \(a\) und \(g\) dürfen nicht zu \(B\) gehören, sonst wären sie ebenfalls Teil der Schnittmenge. 4. Damit ist eindeutig \(B=\{b; c; d; e; f\}\).

\(B=\{b; c; d; e; f\}\).

- Welche Elemente müssen zwingend in beiden Mengen liegen? - Welche Elemente liegen in der Vereinigung, aber nicht in der Schnittmenge? - Wie kannst du diese übrigen Elemente verteilen, ohne die vorgegebene Schnittmenge zu verändern?

1. Die Elemente \(2\) und \(6\) müssen in beiden Mengen liegen. 2. Die Elemente \(1\), \(4\) und \(7\) müssen jeweils in mindestens einer, aber nicht in beiden Mengen liegen. 3. Eine Möglichkeit ist \(A=\{1; 2; 4; 6\}\), \(B=\{2; 6; 7\}\). 4. Eine zweite Möglichkeit ist \(A=\{1; 2; 6; 7\}\), \(B=\{2; 4; 6\}\). 5. Weitere Aufteilungen der Elemente \(1\), \(4\) und \(7\) auf genau eine der beiden Mengen sind ebenfalls möglich.

Zum Beispiel \(A=\{1; 2; 4; 6\}\), \(B=\{2; 6; 7\}\) und \(A=\{1; 2; 6; 7\}\), \(B=\{2; 4; 6\}\).