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- Lies zuerst den Wert der markierten Vergleichszahl aus der Zahlengeraden ab. - Quadriere die positive Vergleichszahl und vergleiche das Ergebnis mit dem Radikanden. - Aus dem Vergleich der Quadrate kannst du die Reihenfolge der positiven Zahlen bestimmen.

1. Die markierte Vergleichszahl ist \(A=2{,}2\). 2. Es gilt \(2{,}2^2=4{,}84<5\). 3. Daher ist \(2{,}2<\sqrt{5}\). Also liegt \(\sqrt{5}\) rechts von A.

\(\sqrt{5}\) liegt rechts von A.

- Vergleiche zuerst die beiden Radikanden miteinander. - Beide Radikanden sind nichtnegativ. - Überlege, wie sich die Reihenfolge nichtnegativer Zahlen beim Ziehen der Quadratwurzel verhält.

1. Es gilt \(11<13\). 2. Für nichtnegative Zahlen bleibt die Reihenfolge beim Ziehen der Quadratwurzel erhalten. Daher ist \(\sqrt{11}<\sqrt{13}\).

\(\sqrt{11}<\sqrt{13}\)

- Berechne zuerst den Wert jeder einzelnen Wurzel in den Termen. - Achte bei Term C darauf, zuerst den gemischten Bruch umzuwandeln, bevor du die Wurzel ziehst. - Vergleiche am Ende alle Ergebnisse in der gleichen Darstellung (zum Beispiel als Dezimalzahl).

1. Wert von Term A: \( \sqrt{0{,}64} = 0{,}8 \) und \( \sqrt{0{,}36} = 0{,}6 \). Summe: \( 0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}4 \). 2. Wert von Term B: \( \sqrt{2{,}25} = 1{,}5 \) und \( \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \). Differenz: \( 1{,}5 - 0{,}2 = 1{,}3 \). 3. Wert von Term C: Umwandlung in einen unechten Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{25+11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1{,}2 \). 4. Wert von Term D: \( \sqrt{0{,}01} = 0{,}1 \). Produkt: \( 0{,}1 \cdot 12 = 1{,}2 \). 5. Vergleich: \( 1{,}4 > 1{,}3 > 1{,}2 = 1{,}2 \). Der größte Wert ist \( 1{,}4 \).

Term A hat den größten Wert. Einzelwerte: A: \( 1{,}4 \) B: \( 1{,}3 \) C: \( 1{,}2 \) D: \( 1{,}2 \)

- Vergleiche zunächst die positiven Beträge \(\sqrt{13}\) und \(3{,}5\) über ihre Quadrate. - Beide Beträge sind positiv, daher darfst du ihre Quadrate direkt vergleichen. - Überlege anschließend, was beim Übergang zu den Gegenzahlen mit der Reihenfolge geschieht.

1. Für die positiven Beträge gilt \((\sqrt{13})^2=13\) und \(3{,}5^2=12{,}25\). Daher ist \(\sqrt{13}>3{,}5\). 2. Bei den zugehörigen negativen Zahlen kehrt sich die Reihenfolge um. Somit gilt \(-\sqrt{13}<-3{,}5\). 3. Also liegt \(b=-3{,}5\) weiter rechts auf der Zahlengeraden.

\(b=-3{,}5\) liegt weiter rechts, denn \(-\sqrt{13}<-3{,}5\).

- Prüfe zuerst, ob beide zu vergleichenden Zahlen positiv sind. - Für positive Zahlen bleibt die Größenordnung beim Quadrieren erhalten. - Beim Quadrieren eines Bruchs mit einer Quadratwurzel im Nenner verschwindet die Wurzel unmittelbar.

1. Beide Zahlen sind positiv. Daher kann man sie vergleichen, indem man ihre Quadrate vergleicht. 2. Es gilt \(A^2=\frac{12^2}{6}=\frac{144}{6}=24\). 3. Weiter gilt \(B^2=\frac{15^2}{5}=\frac{225}{5}=45\). 4. Aus \(45>24\) folgt \(B>A\).

\(\frac{15}{\sqrt{5}}\) ist größer.

- Bringe alle drei Werte in dieselbe Darstellungsform. - Berechne Quadrat und Quadratwurzel exakt. - Wandle den Prozentwert in eine Dezimalzahl um, bevor du vergleichst.

1. Es gilt \(A=0{,}3^2=0{,}09\). 2. Weiter ist \(B=\sqrt{0{,}04}=0{,}2\). 3. Außerdem gilt \(C=12{,}5\,\%=0{,}125\). 4. Damit ist \(0{,}09<0{,}125<0{,}2\), also \(A<C<B\).

\(A<C<B\)

- Verwende für die Wurzelwerte genügend Nachkommastellen, damit das spätere Runden zuverlässig ist. - Multipliziere zuerst mit dem Faktor vor der Wurzel und runde erst danach. - Vergleiche die beiden auf dieselbe Stelle gerundeten Endwerte.

1. Für \(A\): \(\sqrt{13} \approx 3{,}605551\ldots\). Daher ist \(A \approx 2 \cdot 3{,}605551\ldots = 7{,}211102\ldots \approx 7{,}2\). 2. Für \(B\): \(\sqrt{2} \approx 1{,}414214\ldots\). Daher ist \(B \approx 5 \cdot 1{,}414214\ldots = 7{,}071068\ldots \approx 7{,}1\). 3. Somit gilt \(A > B\).

\(A \approx 7{,}2\) und \(B \approx 7{,}1\); daher ist \(A\) größer.

- Wie kannst du die Zahlen vergleichbar machen, ohne ihren Wert mit dem Taschenrechner zu bestimmen? - Was passiert mit der Ordnung zweier positiver Zahlen, wenn man sie quadriert? - Kannst du einen Faktor vor einer Wurzel wieder in den Radikanden einbeziehen?

1. Vergleich durch Quadrieren oder Einbringen des Faktors: \(2\sqrt{14} = \sqrt{4 \cdot 14} = \sqrt{56}\) und \(3\sqrt{6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}\). Da \(56 > 54\), folgt \(2\sqrt{14} > 3\sqrt{6}\). 2. Umformung: \(0{,}5\sqrt{80} = \sqrt{0{,}25 \cdot 80} = \sqrt{20}\) und \(2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}\). Da \(20 = 20\), folgt \(0{,}5\sqrt{80} = 2\sqrt{5}\). 3. Vergleich der Quadrate: \(4^2 = 16\) und \((\sqrt{17})^2 = 17\). Da \(16 < 17\), folgt \(4 < \sqrt{17}\).

a) \(2\sqrt{14} > 3\sqrt{6}\) b) \(0{,}5\sqrt{80} = 2\sqrt{5}\) c) \(4 < \sqrt{17}\)

- Kannst du einige der Wurzeln direkt ausrechnen? - Um eine Zahl ohne Wurzel mit einer Wurzel zu vergleichen, kannst du beide Zahlen quadrieren. - Überlege dir, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die Wurzeln liegen müssen.

1. Bestimmung bekannter Werte: \(\sqrt{16} = 4\). Somit sind \(4\) und \(\sqrt{16}\) gleich groß. 2. Vergleich von \(\sqrt{18}\) mit den anderen Werten: Da \(16 < 18 < 25\), gilt \(4 < \sqrt{18} < 5\). 3. Vergleich von \(4{,}1\) mit \(\sqrt{18}\): Es gilt \(4{,}1^2 = 16{,}81\). Da \(16{,}81 < 18\), ist \(4{,}1 < \sqrt{18}\). 4. Vergleich von \(\sqrt{20}\) mit den anderen Werten: Da \(18 < 20\), ist \(\sqrt{18} < \sqrt{20}\). 5. Zusammenführung der Ergebnisse: \(4 = \sqrt{16} < 4{,}1 < \sqrt{18} < \sqrt{20}\).

Die korrekte Reihenfolge lautet: \(4 = \sqrt{16} < 4{,}1 < \sqrt{18} < \sqrt{20}\)

- Du kannst beide Seiten eines Vergleichs quadrieren, um die Wurzeln zu eliminieren, solange beide Seiten positiv sind. - Überlege dir bei Zahlen zwischen 0 und 1 genau, was passiert, wenn man sie mit sich selbst multipliziert. Werden sie größer oder kleiner? - Nutze bekannte Quadratzahlen in der Nähe der gegebenen Werte zur Orientierung.

1. Vergleich \( \sqrt{0{,}09} \) und \( 0{,}09 \): Da \( 0{,}3^2 = 0{,}09 \), ist \( \sqrt{0{,}09} = 0{,}3 \). Da \( 0{,}3 > 0{,}09 \), gilt \( \sqrt{0{,}09} > 0{,}09 \). 2. Vergleich \( \sqrt{1{,}21} \) und \( 1{,}1 \): Da \( 1{,}1^2 = 1{,}21 \), ist \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \). Somit gilt \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \). 3. Vergleich \( \sqrt{20} \) und \( 4{,}5 \): Um \( \sqrt{20} \) mit \( 4{,}5 \) zu vergleichen, quadriert man beide Seiten. \( (\sqrt{20})^2 = 20 \) und \( 4{,}5^2 = 20{,}25 \). Da \( 20 < 20{,}25 \), gilt \( \sqrt{20} < 4{,}5 \). 4. Vergleich \( \sqrt{\frac{1}{2}} \) und \( \frac{1}{2} \): Es gilt \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \). Da \( 0{,}5^2 = 0{,}25 \) und \( 0{,}25 < 0{,}5 \), muss die Wurzel aus \( 0{,}5 \) größer sein als \( 0{,}5 \). Also \( \sqrt{\frac{1}{2}} > \frac{1}{2} \).

a) \( \sqrt{0{,}09} > 0{,}09 \) b) \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \) c) \( \sqrt{20} < 4{,}5 \) d) \( \sqrt{\frac{1}{2}} > \frac{1}{2} \)

- Berechne in Teil a) die drei Quadratwurzeln exakt. - Für Teil b) musst du zuerst den Definitionsbereich der Quadratwurzel beachten. - Wenn beide Seiten einer Ungleichung nichtnegativ sind, kannst du sie quadrieren und anschließend eine gewöhnliche quadratische Ungleichung untersuchen.

1. Zu a): \(\sqrt{0{,}09}=0{,}3\), also \(0{,}09<0{,}3\). Weiter ist \(\sqrt{1}=1\). Schließlich gilt \(\sqrt{1{,}44}=1{,}2\), also \(1{,}44>1{,}2\). 2. Zu b): Zunächst muss \(x\ge0\) gelten. Dann sind sowohl \(\sqrt{x}\) als auch \(x\) nichtnegativ, sodass die Ungleichung äquivalent quadriert werden darf: \(\sqrt{x}<x\iff x<x^2\). 3. Umformen ergibt \(x^2-x=x(x-1)>0\). Unter der bereits bekannten Bedingung \(x\ge0\) ist dies genau für \(x>1\) erfüllt.

a) (1) \(<\); (2) \(=\); (3) \(>\) b) \(\sqrt{x}<x\) gilt genau für \(x>1\).

- Könntest du die Zahlen vor der Wurzel in die Wurzel hineinziehen, um die Werte besser vergleichen zu können? - Wenn zwei positive Zahlen unter einer Quadratwurzel stehen, welche der Wurzeln ist dann größer? - Erinnere dich daran, dass \(0{,}5\) als Bruch \(\frac{1}{2}\) geschrieben werden kann.

1. Umwandlung der Terme in eine einzige Wurzel mittels \(c\sqrt{d} = \sqrt{c^2 \cdot d}\). 2. Paar a): \(6\sqrt{2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}\) und \(5\sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\). Vergleich der Radikanden: Da \(75 > 72\), gilt \(5\sqrt{3} > 6\sqrt{2}\). 3. Paar b): \(0{,}5\sqrt{80} = \sqrt{0{,}25 \cdot 80} = \sqrt{20}\) und \(\frac{1}{3}\sqrt{180} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 180} = \sqrt{20}\). Vergleich der Radikanden: Da \(20 = 20\), sind die Werte gleich.

a) \(5\sqrt{3}\) ist größer als \(6\sqrt{2}\), da \(\sqrt{75} > \sqrt{72}\). b) Die Werte sind gleich, da beide \(\sqrt{20}\) ergeben.

- Alle drei Werte sind positiv. Welche Vergleichsmethode funktioniert dann ohne Näherungswerte? - Quadriere jeden der drei Terme vollständig. - Ordne zuerst die Quadratwerte und übertrage die Reihenfolge danach auf die ursprünglichen Zahlen.

1. Alle drei Zahlen sind positiv, deshalb kann ihre Reihenfolge über die Quadrate bestimmt werden. 2. Es gilt \(x^2=\frac{18^2}{3}=108\), \(y^2=10^2\cdot2=200\) und \(z^2=192\). 3. Da \(108<192<200\), folgt \(x<z<y\).

\(\frac{18}{\sqrt{3}}<\sqrt{192}<10\sqrt{2}\)

- Berechne zuerst den genauen Wert von Term \( A \). - Fasse die Zahlen unter der Wurzel in Term \( B \) zusammen. - Wie kannst du eine normale Zahl und eine Wurzel miteinander vergleichen? Hilft es vielleicht, beide Werte zu quadrieren?

1. Berechnung des Wertes von Term \( A \): \( \sqrt{0{,}36} + \sqrt{0{,}25} = 0{,}6 + 0{,}5 = 1{,}1 \). 2. Vereinfachung des Wertes unter der Wurzel in Term \( B \): \( 0{,}36 + 0{,}25 = 0{,}61 \), also \( B = \sqrt{0{,}61} \). 3. Vergleich der beiden Werte durch Quadrieren: Um \( 1{,}1 \) mit \( \sqrt{0{,}61} \) zu vergleichen, wird \( 1{,}1 \) quadriert: \( 1{,}1^2 = 1{,}21 \). 4. Da \( 1{,}21 > 0{,}61 \), gilt \( \sqrt{1{,}21} > \sqrt{0{,}61} \). Somit ist \( 1{,}1 > \sqrt{0{,}61} \), woraus folgt, dass Term \( A \) größer als Term \( B \) ist.

Term \( A \) ist größer, da \( 1{,}1 > \sqrt{0{,}61} \).

- Ordne zuerst die Zahlen, deren Dezimaldarstellung direkt bekannt ist. - Um \(2{,}236\) mit \(\sqrt{5}\) zu vergleichen, kannst du die positive Dezimalzahl quadrieren. - Vergleiche \(\sqrt{5}\) ebenso mit \(\frac{9}{4}\), ohne einen Näherungswert der Wurzel vorauszusetzen.

1. Es gilt \(2{,}\overline{2}=2{,}2222\ldots<2{,}23<2{,}236\). 2. Zum Vergleich von \(2{,}236\) mit \(\sqrt{5}\) quadriert man: \(2{,}236^2=4{,}999696<5\). Daher ist \(2{,}236<\sqrt{5}\). 3. Außerdem ist \(\frac{9}{4}=2{,}25\) und \(2{,}25^2=5{,}0625>5\). Somit gilt \(\sqrt{5}<\frac{9}{4}\). 4. Insgesamt folgt \(2{,}\overline{2}<2{,}23<2{,}236<\sqrt{5}<\frac{9}{4}\).

\(2{,}\overline{2}<2{,}23<2{,}236<\sqrt{5}<\frac{9}{4}\)

- Nutze in Teil 1 die vorgegebene Umformung und vergleiche anschließend die Größen unter den Wurzeln. - Achte in Teil 2 darauf, welches Vorzeichen eine Quadratwurzel immer besitzt. - Vergleiche für allgemeines \(x\) das Vorzeichen von \(x\) mit dem Betrag, der beim Wurzelziehen aus einem Quadrat entsteht.

1. Zu 1a): \(4\sqrt3=\sqrt{16\cdot3}=\sqrt{48}\) und \(3\sqrt5=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}\). Daher gilt \(4\sqrt3>3\sqrt5\). 2. Zu 1b): \(2\sqrt{10}=\sqrt{4\cdot10}=\sqrt{40}\) und \(3\sqrt{4{,}5}=\sqrt{9\cdot4{,}5}=\sqrt{40{,}5}\). Daher gilt \(2\sqrt{10}<3\sqrt{4{,}5}\). 3. Für \(x=-3\) ist die linke Seite \(-3\sqrt2\), die rechte Seite dagegen \(\sqrt{18}=3\sqrt2\). Die beiden Seiten sind nicht gleich. 4. Allgemein gilt \(\sqrt{2x^2}=\sqrt2\,|x|\). Für \(x<0\) ist dies positiv, während \(x\sqrt2\) negativ ist. Die behauptete Gleichung gilt daher nicht für alle reellen Zahlen; tatsächlich gilt sie genau für \(x\ge0\).

1. a) \(4\sqrt3>3\sqrt5\) b) \(2\sqrt{10}<3\sqrt{4{,}5}\) 2. Für \(x=-3\) gilt \(-3\sqrt2\neq3\sqrt2\). Allgemein ist \(\sqrt{2x^2}=|x|\sqrt2\), daher gilt die Gleichung genau für \(x\ge0\).

- Wie kannst du eine Zahl vor einer Wurzel in das Wurzelzeichen hineinziehen? - Wenn du zwei positive Zahlen vergleichst, bleibt die Größenbeziehung dieselbe, wenn du beide Zahlen quadrierst. - Nutze die binomischen Formeln, um Ausdrücke wie \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2\) zu vereinfachen. - Kannst du eine ganze Zahl als Wurzel einer Quadratzahl schreiben, um sie besser mit anderen Wurzeln vergleichen zu können?

1. Vergleich für Teil a: Umformung von \(2\sqrt{5}\) zu \(\sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}\). Da \(20 > 19\) gilt, ist \(\sqrt{20} > \sqrt{19}\). Somit ist \(2\sqrt{5}\) größer als \(\sqrt{19}\). 2. Vergleich für Teil b durch Quadrieren: \((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} = 5 + \sqrt{4 \cdot 6} = 5 + \sqrt{24}\). 3. Quadrieren des zweiten Wertes: \((\sqrt{10})^2 = 10\). Um dies besser vergleichen zu können, schreibe \(10 = 5 + 5 = 5 + \sqrt{25}\). 4. Da \(\sqrt{24} < \sqrt{25}\) ist, folgt \(5 + \sqrt{24} < 5 + \sqrt{25}\). Damit ist \(\sqrt{10}\) größer als \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\).

a) \(2\sqrt{5}\) ist größer. b) \(\sqrt{10}\) ist größer.

- Wie kannst du die Zahlen in eine einheitliche Form bringen, um sie besser vergleichen zu können? - Wenn du die Quadrate der Zahlen vergleichst, was lässt sich daraus für die ursprünglichen Zahlen schließen? - Achte beim Berechnen des Quadrats einer Dezimalzahl sorgfältig auf die Stelle des Kommas.

1. Berechnung der Quadrate der drei Zahlen: \((2\sqrt{11})^2 = 4 \cdot 11 = 44\); \((3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\); \(6{,}5^2 = 42{,}25\). 2. Vergleich der berechneten Quadratwerte: \(42{,}25 < 44 < 45\). 3. Übertragung der Ordnung auf die ursprünglichen positiven Zahlen: \(6{,}5 < 2\sqrt{11} < 3\sqrt{5}\).

\(6{,}5 < 2\sqrt{11} < 3\sqrt{5}\)

- Ziehe positive Faktoren vor der Wurzel zunächst unter das Wurzelzeichen. - Vergleiche die Radikanden, bevor du irgendwelche Dezimalwerte berechnest. - Nutze den Taschenrechner erst für die abschließende Kontrolle und runde dabei erst das Endergebnis.

1. Zu a): \(3\sqrt{11}=\sqrt{99}\) und \(10=\sqrt{100}\). Da \(99<100\), gilt \(3\sqrt{11}<10\). 2. Zu b): \(5\sqrt{6}=\sqrt{150}\) und \(6\sqrt{5}=\sqrt{180}\). Da \(150<180\), gilt \(5\sqrt{6}<6\sqrt{5}\). 3. Taschenrechnerkontrolle: \(3\sqrt{11}\approx9{,}95<10\). Außerdem gilt \(5\sqrt{6}\approx12{,}25<13{,}42\approx6\sqrt{5}\).

a) \(3\sqrt{11}<10\) (Kontrolle: \(9{,}95<10\)) b) \(5\sqrt{6}<6\sqrt{5}\) (Kontrolle: \(12{,}25<13{,}42\))

- Mache zuerst den Nenner mit dem konjugierten Ausdruck rational. - Danach sind beide Zahlen positiv und können über ihre Quadrate verglichen werden. - Für den verbleibenden Vergleich hilft \(35<36\).

1. Erweitern mit \(\sqrt{7}+\sqrt{5}\) ergibt \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}\). 2. Beide zu vergleichenden Zahlen sind positiv. Daher genügt der Vergleich ihrer Quadrate. Es gilt \(\left(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}\right)^2=3+\frac{\sqrt{35}}{2}\). 3. Weil \(\sqrt{35}<6\), gilt \(3+\frac{\sqrt{35}}{2}<3+3=6=(\sqrt{6})^2\). 4. Somit ist \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}<\sqrt{6}\).

\(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}<\sqrt{6}\)