- Lies zuerst den Wert der markierten Vergleichszahl aus der Zahlengeraden ab. - Quadriere die positive Vergleichszahl und vergleiche das Ergebnis mit dem Radikanden. - Aus dem Vergleich der Quadrate kannst du die Reihenfolge der positiven Zahlen bestimmen.

1. Die markierte Vergleichszahl ist \(A=2{,}2\). 2. Es gilt \(2{,}2^2=4{,}84<5\). 3. Daher ist \(2{,}2<\sqrt{5}\). Also liegt \(\sqrt{5}\) rechts von A.

\(\sqrt{5}\) liegt rechts von A.

- Vergleiche zuerst die beiden Radikanden miteinander. - Beide Radikanden sind nichtnegativ. - Überlege, wie sich die Reihenfolge nichtnegativer Zahlen beim Ziehen der Quadratwurzel verhält.

1. Es gilt \(11<13\). 2. Für nichtnegative Zahlen bleibt die Reihenfolge beim Ziehen der Quadratwurzel erhalten. Daher ist \(\sqrt{11}<\sqrt{13}\).

\(\sqrt{11}<\sqrt{13}\), denn \(11<13\) und beide Radikanden sind nichtnegativ.

- Vergleiche zunächst die positiven Beträge \(\sqrt{13}\) und \(3{,}5\) über ihre Quadrate. - Beide Beträge sind positiv, daher kannst du ihre Quadrate direkt vergleichen. - Überlege anschließend, was beim Übergang zu den Gegenzahlen mit der Reihenfolge geschieht.

1. Für die positiven Beträge gilt \((\sqrt{13})^2=13\) und \(3{,}5^2=12{,}25\). Daher ist \(\sqrt{13}>3{,}5\). 2. Bei den zugehörigen negativen Zahlen kehrt sich die Reihenfolge um. Somit gilt \(-\sqrt{13}<-3{,}5\). 3. Also liegt \(b=-3{,}5\) weiter rechts auf der Zahlengeraden.

\(b=-3{,}5\) liegt weiter rechts, denn \(-\sqrt{13}<-3{,}5\).

- Prüfe zuerst, ob beide zu vergleichenden Zahlen positiv sind. - Für positive Zahlen bleibt die Größenordnung beim Quadrieren erhalten. - Beim Quadrieren eines Bruchs mit einer Quadratwurzel im Nenner verschwindet die Wurzel unmittelbar.

1. Beide Zahlen sind positiv. Daher kann man sie vergleichen, indem man ihre Quadrate vergleicht. 2. Es gilt \(A^2=\frac{12^2}{6}=\frac{144}{6}=24\). 3. Weiter gilt \(B^2=\frac{15^2}{5}=\frac{225}{5}=45\). 4. Aus \(45>24\) folgt \(B>A\).

\(\frac{15}{\sqrt{5}}\) ist größer.

- Bringe alle drei Werte in dieselbe Darstellungsform. - Berechne Quadrat und Quadratwurzel exakt. - Wandle den Prozentwert in eine Dezimalzahl um, bevor du vergleichst.

1. Es gilt \(A=0{,}3^2=0{,}09\). 2. Weiter ist \(B=\sqrt{0{,}04}=0{,}2\). 3. Außerdem gilt \(C=12{,}5\,\%=0{,}125\). 4. Damit ist \(0{,}09<0{,}125<0{,}2\), also \(A<C<B\).

\(A<C<B\)

- Verwende für die Wurzelwerte genügend Nachkommastellen, damit das spätere Runden zuverlässig ist. - Multipliziere zuerst mit dem Faktor vor der Wurzel und runde erst danach. - Vergleiche die beiden auf dieselbe Stelle gerundeten Endwerte.

1. Für \(A\): \(A=2\sqrt{13}\approx 7{,}211102551\dots\approx7{,}2\). 2. Für \(B\): \(B=5\sqrt{2}\approx 7{,}071067812\dots\approx7{,}1\). 3. Somit gilt \(A > B\).

\(A \approx 7{,}2\) und \(B \approx 7{,}1\); daher ist \(A\) größer.

- Mache die Zahlen vergleichbar, ohne Dezimalwerte zu bestimmen. - Bei positiven Zahlen kannst du die Quadrate vergleichen. - Positive Faktoren vor einer Wurzel können durch Quadrieren in den Radikanden einbezogen werden.

1. \(2\sqrt{14}=\sqrt{56}\) und \(3\sqrt{6}=\sqrt{54}\). Daher gilt \(2\sqrt{14}>3\sqrt{6}\). 2. \(0{,}5\sqrt{80}=\sqrt{20}\) und \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}\). Daher sind die Werte gleich. 3. \(4^2=16<17\). Beide Zahlen sind positiv, also gilt \(4<\sqrt{17}\).

a) \(2\sqrt{14}>3\sqrt{6}\), denn \(56>54\). b) \(0{,}5\sqrt{80}=2\sqrt{5}\), denn beide Terme sind \(\sqrt{20}\). c) \(4<\sqrt{17}\), denn \(16<17\).

- Alle drei Zahlen sind positiv. Überlege, welche Eigenschaft des Quadrierens du deshalb für den Vergleich nutzen kannst. - Achte beim Quadrieren von \(2\sqrt{11}\) und \(3\sqrt{5}\) darauf, sowohl den Vorfaktor als auch die Wurzel zu quadrieren. - Vergleiche die drei Quadratwerte zuerst und übertrage ihre Reihenfolge danach auf die ursprünglichen Zahlen.

1. Es gilt \((2\sqrt{11})^2=44\), \((3\sqrt{5})^2=45\) und \(6{,}5^2=42{,}25\). 2. Damit ist \(42{,}25<44<45\). 3. Alle drei Zahlen sind positiv. Daher folgt \(6{,}5<2\sqrt{11}<3\sqrt{5}\).

\(6{,}5<2\sqrt{11}<3\sqrt{5}\), denn die zugehörigen Quadrate erfüllen \(42{,}25<44<45\).

- Kannst du einige der Wurzeln direkt ausrechnen? - Um eine Zahl ohne Wurzel mit einer Wurzel zu vergleichen, kannst du beide Zahlen quadrieren. - Überlege dir, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die Wurzeln liegen müssen.

1. Bestimmung bekannter Werte: \(\sqrt{16} = 4\). Somit sind \(4\) und \(\sqrt{16}\) gleich groß. 2. Vergleich von \(\sqrt{18}\) mit den anderen Werten: Da \(16 < 18 < 25\), gilt \(4 < \sqrt{18} < 5\). 3. Vergleich von \(4{,}1\) mit \(\sqrt{18}\): Es gilt \(4{,}1^2 = 16{,}81\). Da \(16{,}81 < 18\), ist \(4{,}1 < \sqrt{18}\). 4. Vergleich von \(\sqrt{20}\) mit den anderen Werten: Da \(18 < 20\), ist \(\sqrt{18} < \sqrt{20}\). 5. Zusammenführung der Ergebnisse: \(4 = \sqrt{16} < 4{,}1 < \sqrt{18} < \sqrt{20}\).

Die korrekte Reihenfolge lautet: \(4 = \sqrt{16} < 4{,}1 < \sqrt{18} < \sqrt{20}\)

- Bei positiven Werten kannst du einen Vergleich mit einer Quadratwurzel oft durch Quadrieren entscheiden. - Achte bei Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) darauf, wie sich ihr Wert beim Quadrieren verändert. - Nutze bekannte Quadratzahlen oder exakt berechenbare Dezimalquadrate.

1. \(\sqrt{0{,}09}=0{,}3\). Daher gilt \(\sqrt{0{,}09}>0{,}09\). 2. \(1{,}1^2=1{,}21\). Daher gilt \(\sqrt{1{,}21}=1{,}1\). 3. \(4{,}5^2=20{,}25>20\). Beide Werte sind positiv, also gilt \(\sqrt{20}<4{,}5\). 4. Für \(0<q<1\) gilt \(q^2<q\). Mit \(q=\frac{1}{2}\) folgt \(\frac{1}{4}<\frac{1}{2}\), also \(\sqrt{\frac{1}{2}}>\frac{1}{2}\).

a) \(\sqrt{0{,}09}>0{,}09\), denn \(\sqrt{0{,}09}=0{,}3\). b) \(\sqrt{1{,}21}=1{,}1\), denn \(1{,}1^2=1{,}21\). c) \(\sqrt{20}<4{,}5\), denn \(4{,}5^2=20{,}25>20\). d) \(\sqrt{\frac{1}{2}}>\frac{1}{2}\), denn \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}\).

- Berechne in Teil a) die drei Quadratwurzeln exakt. - Für Teil b) musst du zuerst den Definitionsbereich der Quadratwurzel beachten. - Wenn beide Seiten einer Ungleichung nichtnegativ sind, kannst du sie quadrieren und anschließend eine gewöhnliche quadratische Ungleichung untersuchen.

1. Zu a): \(\sqrt{0{,}09}=0{,}3\), also \(0{,}09<0{,}3\). Weiter ist \(\sqrt{1}=1\). Schließlich gilt \(\sqrt{1{,}44}=1{,}2\), also \(1{,}44>1{,}2\). 2. Zu b): Zunächst muss \(x\ge0\) gelten. Dann sind sowohl \(\sqrt{x}\) als auch \(x\) nichtnegativ, sodass die Ungleichung äquivalent quadriert werden darf: \(\sqrt{x}<x\iff x<x^2\). 3. Umformen ergibt \(x^2-x=x(x-1)>0\). Unter der bereits bekannten Bedingung \(x\ge0\) ist dies genau für \(x>1\) erfüllt.

a) (1) \(<\); (2) \(=\); (3) \(>\) b) \(\sqrt{x}<x\) gilt genau für \(x>1\).

- Könntest du die Zahlen vor der Wurzel in die Wurzel hineinziehen, um die Werte besser vergleichen zu können? - Wenn zwei positive Zahlen unter einer Quadratwurzel stehen, welche der Wurzeln ist dann größer? - Erinnere dich daran, dass \(0{,}5\) als Bruch \(\frac{1}{2}\) geschrieben werden kann.

1. Umwandlung der Terme in eine einzige Wurzel mittels \(c\sqrt{d} = \sqrt{c^2 \cdot d}\). 2. Paar a): \(6\sqrt{2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}\) und \(5\sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\). Vergleich der Radikanden: Da \(75 > 72\), gilt \(5\sqrt{3} > 6\sqrt{2}\). 3. Paar b): \(0{,}5\sqrt{80} = \sqrt{0{,}25 \cdot 80} = \sqrt{20}\) und \(\frac{1}{3}\sqrt{180} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 180} = \sqrt{20}\). Vergleich der Radikanden: Da \(20 = 20\), sind die Werte gleich.

a) \(5\sqrt{3}\) ist größer als \(6\sqrt{2}\), da \(\sqrt{75} > \sqrt{72}\). b) Die Werte sind gleich, da beide \(\sqrt{20}\) ergeben.

- Alle drei Werte sind positiv. Welche Vergleichsmethode funktioniert dann ohne Näherungswerte? - Quadriere jeden der drei Terme vollständig. - Ordne zuerst die Quadratwerte und übertrage die Reihenfolge danach auf die ursprünglichen Zahlen.

1. Alle drei Zahlen sind positiv, deshalb kann ihre Reihenfolge über die Quadrate bestimmt werden. 2. Es gilt \(x^2=\frac{18^2}{3}=108\), \(y^2=10^2\cdot2=200\) und \(z^2=192\). 3. Da \(108<192<200\), folgt \(x<z<y\).

\(\frac{18}{\sqrt{3}}<\sqrt{192}<10\sqrt{2}\)

- Berechne zuerst den genauen Wert von Term \( A \). - Fasse die Zahlen unter der Wurzel in Term \( B \) zusammen. - Wie kannst du eine normale Zahl und eine Wurzel miteinander vergleichen? Hilft es vielleicht, beide Werte zu quadrieren?

1. Berechnung des Wertes von Term \( A \): \( \sqrt{0{,}36} + \sqrt{0{,}25} = 0{,}6 + 0{,}5 = 1{,}1 \). 2. Vereinfachung des Wertes unter der Wurzel in Term \( B \): \( 0{,}36 + 0{,}25 = 0{,}61 \), also \( B = \sqrt{0{,}61} \). 3. Vergleich der beiden Werte durch Quadrieren: Um \( 1{,}1 \) mit \( \sqrt{0{,}61} \) zu vergleichen, wird \( 1{,}1 \) quadriert: \( 1{,}1^2 = 1{,}21 \). 4. Da \( 1{,}21 > 0{,}61 \), gilt \( \sqrt{1{,}21} > \sqrt{0{,}61} \). Somit ist \( 1{,}1 > \sqrt{0{,}61} \), woraus folgt, dass Term \( A \) größer als Term \( B \) ist.

Term \( A \) ist größer, da \( 1{,}1 > \sqrt{0{,}61} \).

- Ordne zuerst die Zahlen, deren Dezimaldarstellung direkt bekannt ist. - Um \(2{,}236\) mit \(\sqrt{5}\) zu vergleichen, kannst du die positive Dezimalzahl quadrieren. - Vergleiche \(\sqrt{5}\) ebenso mit \(\frac{9}{4}\), ohne einen Näherungswert der Wurzel vorauszusetzen.

1. Es gilt \(2{,}\overline{2}=2{,}2222\dots<2{,}23<2{,}236\). 2. Zum Vergleich von \(2{,}236\) mit \(\sqrt{5}\) quadriert man: \(2{,}236^2=4{,}999696<5\). Daher ist \(2{,}236<\sqrt{5}\). 3. Außerdem ist \(\frac{9}{4}=2{,}25\) und \(2{,}25^2=5{,}0625>5\). Somit gilt \(\sqrt{5}<\frac{9}{4}\). 4. Insgesamt folgt \(2{,}\overline{2}<2{,}23<2{,}236<\sqrt{5}<\frac{9}{4}\).

\(2{,}\overline{2}<2{,}23<2{,}236<\sqrt{5}<\frac{9}{4}\)

- Ziehe in Teil 1 die positiven Faktoren vor der Wurzel durch Quadrieren unter das Wurzelzeichen. - Vergleiche danach die Radikanden. - Prüfe Max' Aussage nicht nur anhand der Faktoren vor der Wurzel, sondern anhand der vollständigen Termwerte.

1. Zu 1a): \(4\sqrt{3}=\sqrt{48}\) und \(3\sqrt{5}=\sqrt{45}\). Daher gilt \(4\sqrt{3}>3\sqrt{5}\). 2. Zu 1b): \(2\sqrt{10}=\sqrt{40}\) und \(3\sqrt{4{,}5}=\sqrt{40{,}5}\). Daher gilt \(2\sqrt{10}<3\sqrt{4{,}5}\). 3. Zu 2): Obwohl \(4>3\) gilt, ist \(4\sqrt{3}=\sqrt{48}\) und \(3\sqrt{6}=\sqrt{54}\). Wegen \(48<54\) folgt \(4\sqrt{3}<3\sqrt{6}\). Max' Behauptung ist also falsch.

1. a) \(4\sqrt{3}>3\sqrt{5}\) b) \(2\sqrt{10}<3\sqrt{4{,}5}\) 2. Die Behauptung ist falsch: \(4\sqrt{3}<3\sqrt{6}\), weil \(48<54\).

- Ziehe bei a) den positiven Faktor vor der Wurzel unter das Wurzelzeichen. - Bei zwei positiven Zahlen darfst du ihre Quadrate vergleichen. - Nutze bei b) die binomische Formel vollständig.

1. Für a) gilt \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}\). Wegen \(20>19\) ist \(2\sqrt{5}>\sqrt{19}\). 2. Für b) sind beide Werte positiv. Quadrieren ergibt \((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6}=5+\sqrt{24}\) und \((\sqrt{10})^2=10=5+\sqrt{25}\). 3. Wegen \(\sqrt{24}<\sqrt{25}\) ist \((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2<10\). Daher gilt \(\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}\).

a) \(2\sqrt{5}\) ist größer, denn \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}>\sqrt{19}\). b) \(\sqrt{10}\) ist größer, denn \((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+\sqrt{24}<5+\sqrt{25}=10\).

- Ziehe positive Faktoren vor der Wurzel zunächst unter das Wurzelzeichen. - Vergleiche die Radikanden, bevor du irgendwelche Dezimalwerte berechnest. - Nutze den Taschenrechner erst für die abschließende Kontrolle und runde dabei erst das Endergebnis.

1. Zu a): \(3\sqrt{11}=\sqrt{99}\) und \(10=\sqrt{100}\). Da \(99<100\), gilt \(3\sqrt{11}<10\). 2. Zu b): \(5\sqrt{6}=\sqrt{150}\) und \(6\sqrt{5}=\sqrt{180}\). Da \(150<180\), gilt \(5\sqrt{6}<6\sqrt{5}\). 3. Taschenrechnerkontrolle: \(3\sqrt{11}\approx9{,}95<10\). Außerdem gilt \(5\sqrt{6}\approx12{,}25<13{,}42\approx6\sqrt{5}\).

a) \(3\sqrt{11}<10\) (Kontrolle: \(9{,}95<10\)) b) \(5\sqrt{6}<6\sqrt{5}\) (Kontrolle: \(12{,}25<13{,}42\))