Kostenlose Arbeitsblätter

- Formuliere zuerst das Gegenteil der Aussage, die bewiesen werden soll. - Beim indirekten Beweis wird diese gegenteilige Aussage vorläufig angenommen. - Hier geht es nur um den Start des Beweises, noch nicht um die spätere Rechnung.

1. Bei einem indirekten Beweis nimmt man zunächst das Gegenteil der zu beweisenden Aussage an. 2. Daher nimmt man an, dass \(\sqrt{3}\) rational ist.

Man nimmt an, dass \(\sqrt{3}\) rational ist.

- Überlege, was ein einzelner Fall bei einer Aussage über alle möglichen Fälle leisten kann. - Prüfe, ob hier eine gegenteilige Annahme bis zu einem Widerspruch verfolgt wird. - Entscheidend ist, welche Rolle das konkrete Zahlenbeispiel für die allgemeine Aussage spielt.

1. Die beiden Faktoren \(\sqrt{2}\) sind irrational, ihr Produkt ist aber die rationale Zahl \(2\). 2. Damit wird die allgemeine Aussage durch einen einzelnen passenden Fall widerlegt. Es handelt sich um ein Gegenbeispiel.

Es handelt sich um ein Gegenbeispiel.

- Suche nach einer kleinen natürlichen Zahl, deren Quadrat durch 4 teilbar ist, die selbst aber kleiner als 4 ist. - Was passiert in der Argumentationskette eines indirekten Beweises, wenn ein Schritt nicht mehr logisch zwingend ist? - Überlege, was der Unterschied zwischen einer Primzahl wie 2 und einer zusammengesetzten Zahl wie 4 in Bezug auf Quadrate ist.

1. Überprüfung der Aussage durch ein Gegenbeispiel: Wähle \(p = 2\). Dann ist \(p^2 = 2^2 = 4\). 2. Die Zahl \(p^2 = 4\) ist offensichtlich durch 4 teilbar. 3. Die Zahl \(p = 2\) ist jedoch nicht durch 4 teilbar. Damit ist die Aussage falsch. 4. Bedeutung für den Beweisversuch zur Irrationalität von \(\sqrt{4}\): Man gelangt aus \(\sqrt{4} = \frac{p}{q}\) zu \(p^2 = 4q^2\). Hieraus folgt zwar, dass \(p^2\) durch 4 teilbar ist, aber man kann nicht schlussfolgern, dass \(p\) durch 4 teilbar ist (nur, dass \(p\) gerade ist). 5. Setzt man \(p = 2k\), folgt aus \(p^2 = 4q^2\) lediglich \(k^2 = q^2\), also \(k = q\) für natürliche Zahlen. Damit kann \(p = 2q\) gelten; zum Beispiel erfüllen \(p = 2\) und \(q = 1\) die Gleichung, ohne die Teilerfremdheit zu verletzen. Es entsteht kein Widerspruch.

Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(p = 2\), da \(2^2 = 4\) durch 4 teilbar ist, 2 selbst aber nicht. Beim Beweisversuch für \(\sqrt{4}\) folgt aus \(p^2 = 4q^2\) nur, dass \(p\) gerade ist. Setzt man \(p = 2k\), erhält man \(k^2 = q^2\), nicht aber, dass \(q\) gerade ist. Daher entsteht kein Widerspruch zur Teilerfremdheit; \(p = 2\) und \(q = 1\) liefern bereits die gekürzte Darstellung \(\sqrt{4} = 2\).

- Ein indirekter Beweis beginnt mit der Annahme des Gegenteils der zu beweisenden Aussage. - Suche den Schritt, in dem erstmals die Teilerfremdheit von \(p\) und \(q\) verletzt wird. - Der Schluss „irrational“ darf erst nach dem Widerspruch stehen.

1. Der Beweis beginnt mit der Annahme A des Gegenteils: \(\sqrt2\) sei rational und als vollständig gekürzter Bruch \(\frac pq\) darstellbar. 2. Aus dieser Annahme folgt durch Quadrieren Schritt B. 3. Weil aus einem geraden Quadrat eine gerade Grundzahl folgt, schließt sich Schritt C an. 4. Das Einsetzen von \(p=2k\) führt zu Schritt D und zeigt, dass auch \(q\) gerade sein muss. 5. Damit entsteht in Schritt E der Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit von \(p\) und \(q\). 6. Aus dem Widerspruch folgt Schritt F. Die richtige Reihenfolge lautet A, B, C, D, E, F.

Reihenfolge: A – B – C – D – E – F. Annahme: \(\sqrt2=\frac pq\) mit teilerfremden natürlichen Zahlen \(p,q\). Widerspruch: Am Ende müssten \(p\) und \(q\) beide gerade sein und wären damit nicht teilerfremd.

- Frage dich, wie viele Fälle man benötigt, um eine Aussage mit „für alle“ zu widerlegen. - Eine endliche Rechneranzeige enthält niemals die gesamte Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl. - Widerlegen und Beweisen haben unterschiedliche logische Anforderungen.

1. Eine Aussage, die für alle Werte gelten soll, ist bereits durch ein einziges Gegenbeispiel widerlegt. Zum Beispiel gilt für \(a=9\) und \(b=16\): \(\sqrt{9+16}=5\), aber \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\). Die Behauptung ist damit falsch. 2. Eine endliche Liste von Dezimalstellen zeigt nur einen endlichen Ausschnitt der Zahl. Daraus folgt nicht logisch, dass die vollständige Dezimaldarstellung niemals periodisch wird. Für die Irrationalität von \(\sqrt2\) ist daher ein allgemeines Beweisargument nötig. 3. Ein Gegenbeispiel widerlegt eine allgemeine Aussage durch einen einzigen passenden Fall; ein Beweis zeigt mit einer vollständigen logischen Argumentation, dass eine Aussage in allen geforderten Fällen gilt.

a) Ein Gegenbeispiel genügt, z. B. \(a=9\), \(b=16\): \(5\ne7\). b) Endlich viele Dezimalstellen können die Nichtperiodizität der gesamten unendlichen Dezimaldarstellung nicht beweisen. c) Ein Gegenbeispiel widerlegt eine Allaussage durch einen Fall; ein Beweis begründet ihre Gültigkeit allgemein.

- Überlege dir, was passieren würde, wenn das Ergebnis der Rechnung rational wäre. - Könnte man die Gleichung so umstellen, dass die irrationale Zahl allein auf einer Seite steht? - Was weißt du über das Rechnen mit Brüchen (rationalen Zahlen)? Bleibt das Ergebnis ein Bruch? - Suche für das Gegenbeispiel nach zwei Zahlen, die sich gegenseitig „aufheben“.

1. Annahme zum Widerspruch: Die Summe \(q = r + s\) sei eine rationale Zahl. 2. Da \(r\) und \(q\) rational sind, lässt sich die Gleichung nach \(s\) umstellen: \(s = q - r\). 3. Die Differenz zweier rationaler Zahlen ist stets rational. Daraus würde folgen, dass \(s\) eine rationale Zahl ist. 4. Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass \(s\) irrational ist. Somit muss die Summe \(r + s\) irrational sein. 5. Gegenbeispiel für b): Wählt man zwei irrationale Zahlen wie \(a = \sqrt{2}\) und \(b = -\sqrt{2}\), so ergibt deren Summe \(a + b = 0\). Da \(0\) eine rationale Zahl ist, ist die Summe zweier irrationaler Zahlen nicht zwingend irrational.

a) Angenommen, die Summe \(r+s=q\) wäre rational. Dann wäre \(s=q-r\) ebenfalls rational (Differenz zweier rationaler Zahlen), was der Voraussetzung widerspricht. b) Nein, die Summe muss nicht irrational sein. Ein Gegenbeispiel ist \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\).

- Was bedeutet es für einen Bruch, wenn er „vollständig gekürzt“ ist? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass keine Wurzel mehr vorkommt? - Wenn du weißt, dass eine Zahl ein Vielfaches von 5 ist, wie kannst du sie allgemein mit einer Variablen schreiben? - Suche nach einem logischen Widerspruch zu deiner ursprünglichen Annahme.

1. Annahme des Gegenteils: \(\sqrt{5}\) ist rational. Dann lässt sich \(\sqrt{5}\) als vollständig gekürzter Bruch \(\frac{p}{q}\) mit \(p, q \in \mathbb{N}\) und \(\text{ggT}(p, q) = 1\) darstellen. 2. Quadrieren der Gleichung \(\sqrt{5} = \frac{p}{q}\) führt zu \(5 = \frac{p^2}{q^2}\), woraus \(p^2 = 5q^2\) folgt. 3. Da \(p^2\) ein Vielfaches von 5 ist, muss nach der Voraussetzung auch \(p\) durch 5 teilbar sein. Es gilt also \(p = 5k\) für ein \(k \in \mathbb{N}\). 4. Einsetzen von \(p = 5k\) in die Gleichung \(p^2 = 5q^2\) ergibt \((5k)^2 = 5q^2\), also \(25k^2 = 5q^2\). 5. Durch Division durch 5 erhält man \(5k^2 = q^2\). Daraus folgt, dass \(q^2\) und damit auch \(q\) durch 5 teilbar sind. 6. Da sowohl \(p\) als auch \(q\) durch 5 teilbar sind, ist der Bruch \(\frac{p}{q}\) nicht vollständig gekürzt (\(\text{ggT}(p, q) \geq 5\)). Dies steht im Widerspruch zur Annahme in Schritt 1. Somit ist \(\sqrt{5}\) irrational.

Der Beweis erfolgt durch Widerspruch: Unter der Annahme \(\sqrt{5} = \frac{p}{q}\) (vollständig gekürzt) folgt \(p^2 = 5q^2\). Damit ist \(p\) durch 5 teilbar (\(p = 5k\)). Einsetzen ergibt \(25k^2 = 5q^2 \Rightarrow 5k^2 = q^2\), wonach auch \(q\) durch 5 teilbar sein muss. Dies widerspricht der Annahme, dass der Bruch gekürzt ist. Somit ist \(\sqrt{5}\) irrational.

- Was wäre die logische Schlussfolgerung, wenn man annimmt, dass die Summe rational ist? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass die bekannte irrationale Zahl allein auf einer Seite steht? - Was weißt du über das Ergebnis, wenn man zwei rationale Zahlen voneinander subtrahiert?

1. Annahme des Gegenteils: Die Zahl \(x = 3 + \sqrt{2}\) ist rational. 2. Definition rationaler Zahlen: Wenn \(x\) rational ist, dann existieren ganze Zahlen \(a\) und \(b\) (\(b \neq 0\)), sodass \(x = \frac{a}{b}\). 3. Umstellen der Gleichung nach \(\sqrt{2}\): \(3 + \sqrt{2} = \frac{a}{b}\) \(\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 3\) 4. Zusammenfassen der rechten Seite: \(\sqrt{2} = \frac{a - 3b}{b}\). 5. Da \(a\) und \(b\) ganze Zahlen sind, ist auch \(a - 3b\) eine ganze Zahl. Somit ist die rechte Seite \(\frac{a - 3b}{b}\) ein Bruch aus zwei ganzen Zahlen und damit eine rationale Zahl. 6. Dies bedeutet, dass \(\sqrt{2}\) rational sein müsste. Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass \(\sqrt{2}\) irrational ist. 7. Da die Annahme zu einem Widerspruch führt, muss sie falsch sein. Also ist \(3 + \sqrt{2}\) irrational.

Angenommen, \(3 + \sqrt{2} = r\) wäre rational. Dann ließe sich die Gleichung zu \(\sqrt{2} = r - 3\) umformen. Da die Differenz zweier rationaler Zahlen (\(r\) und 3) wieder rational ist, müsste \(\sqrt{2}\) rational sein. Dies widerspricht der bekannten Tatsache, dass \(\sqrt{2}\) irrational ist. Folglich muss \(3 + \sqrt{2}\) irrational sein.

- Formuliere genau, was die Annahme „Es gibt nur endlich viele Primzahlen“ für eine vollständige Liste bedeuten würde. - Vergleiche \(N\) mit dem Produkt aller Zahlen dieser angenommenen Liste und achte darauf, welcher Rest bei einer Division entsteht. - Verbinde anschließend die Aussage „keine Primzahl der Liste teilt \(N\)“ mit der im Text erlaubten Tatsache über natürliche Zahlen größer als \(1\).

1. Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen \(p_1,p_2,\ldots,p_k\); die Liste enthält also alle Primzahlen. 2. Setze \(N=p_1\cdot p_2\cdots p_k+1\). Für jedes \(p_i\) ist das Produkt \(p_1\cdot p_2\cdots p_k\) durch \(p_i\) teilbar. Bei der Division von \(N\) durch \(p_i\) bleibt deshalb der Rest \(1\). Also teilt keines der \(p_i\) die Zahl \(N\). 3. Es ist \(N>1\). Nach der angegebenen Tatsache besitzt \(N\) daher einen Primteiler \(q\). Dieser Primteiler kann keiner der angeblich vollständigen Liste \(p_1,\ldots,p_k\) angehören. 4. Das widerspricht der Annahme, die Liste enthalte alle Primzahlen. Also gibt es unendlich viele Primzahlen.

a) Angenommen, \(p_1,p_2,\ldots,p_k\) sind alle Primzahlen. b) Keine dieser Primzahlen teilt \(N=p_1\cdot p_2\cdots p_k+1\), denn bei Division durch jedes \(p_i\) bleibt Rest \(1\). c) Da \(N>1\) einen Primteiler besitzen muss, existiert eine Primzahl außerhalb der angenommenen vollständigen Liste. Das ist ein Widerspruch; folglich gibt es unendlich viele Primzahlen.

- Untersuche, ob die beiden Wurzeln natürliche Zahlen sind oder nicht. - Welche Rolle spielt die Lage der Wurzel zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen für den Nenner \(b\)? - Überprüfe die Voraussetzung \(b \neq 1\) für beide Fälle. - Wann kann ein Bruch aus teilerfremden Quadratzahlen doch eine ganze Zahl sein?

1. Bei \(\sqrt{7}\) gilt \(2^2 = 4\) und \(3^2 = 9\), also \(2 < \sqrt{7} < 3\). Daraus folgt zwingend, dass \(\sqrt{7}\) keine natürliche Zahl ist, weshalb bei einer Darstellung als Bruch \(\frac{a}{b}\) der Nenner \(b \neq 1\) sein muss. 2. Bei \(\sqrt{16}\) hingegen gilt \(\sqrt{16} = 4\). Hier ist die Darstellung als Bruch \(\frac{4}{1}\) möglich, wobei \(b = 1\) gilt. 3. Der entscheidende Punkt ist die Bedingung \(b \neq 1\). Nur wenn \(\sqrt{n}\) keine natürliche Zahl ist, führt die Teilerfremdheit von \(a^2\) und \(b^2\) bei \(b^2 > 1\) zu dem Widerspruch, dass \(\frac{a^2}{b^2}\) keine ganze Zahl sein kann. 4. Da \(\sqrt{16}\) eine natürliche Zahl ist, bricht der Beweis an der Stelle ab, an der \(b \neq 1\) gefolgert werden müsste.

Der entscheidende Unterschied liegt in der Bedingung \(b \neq 1\). Da \(2 < \sqrt{7} < 3\), ist \(\sqrt{7}\) keine natürliche Zahl und der Nenner \(b\) einer Bruchdarstellung muss ungleich 1 sein. Daraus folgt der Widerspruch, dass \(\frac{a^2}{b^2}\) keine ganze Zahl sein kann. Da jedoch \(\sqrt{16} = 4\) eine natürliche Zahl ist, kann hier \(b = 1\) gelten. In diesem Fall ist \(\frac{a^2}{b^2} = \frac{16}{1} = 16\) eine natürliche Zahl, und es entsteht kein Widerspruch.

- Beginne mit der Annahme des Gegenteils dessen, was zu beweisen ist. - Suche die nächstgelegenen Quadratzahlen, um die Größe von \(\sqrt{24}\) einzuschätzen. - Erinnere dich an die Definition von teilerfremden Zahlen und Primfaktorzerlegungen. - Was müsste für den Bruch gelten, damit das Ergebnis eine ganze Zahl wie 24 ist?

1. Annahme: \(\sqrt{24}\) ist rational, also \(\sqrt{24} = \frac{a}{b}\) mit \(a, b \in \mathbb{N}\) und \(\text{ggT}(a,b) = 1\). 2. Da \(4^2 = 16\) und \(5^2 = 25\), gilt \(4 < \sqrt{24} < 5\). Da \(\sqrt{24}\) zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt, ist sie selbst keine natürliche Zahl. Folglich muss der Nenner \(b > 1\) sein. 3. Durch Quadrieren der Annahme folgt \(24 = \frac{a^2}{b^2}\). 4. Da \(a\) und \(b\) teilerfremd sind, besitzen sie keine gemeinsamen Primfaktoren. Beim Quadrieren entstehen keine neuen Primfaktoren; lediglich ihre Exponenten werden verdoppelt. Daher besitzen auch \(a^2\) und \(b^2\) keine gemeinsamen Primfaktoren und sind somit teilerfremd. 5. Ein Bruch \(\frac{a^2}{b^2}\) mit teilerfremden Zahlen und \(b^2 > 1\) kann keine natürliche Zahl ergeben. Dies widerspricht jedoch der Gleichung \(\frac{a^2}{b^2} = 24\). 6. Damit ist die Annahme widerlegt und \(\sqrt{24}\) ist irrational.

Angenommen, \(\sqrt{24} = \frac{a}{b}\) sei rational mit teilerfremden \(a, b\). Wegen \(4 < \sqrt{24} < 5\) ist \(\sqrt{24} \notin \mathbb{N}\), also \(b \neq 1\). Aus \(\sqrt{24} = \frac{a}{b}\) folgt \(24 = \frac{a^2}{b^2}\). Da \(a, b\) teilerfremd sind, sind auch \(a^2, b^2\) teilerfremd (da keine neuen Primfaktoren durch Quadrieren entstehen). Ein vollständig gekürzter Bruch mit Nenner \(b^2 > 1\) ist keine natürliche Zahl, was im Widerspruch zu 24 steht. Somit ist \(\sqrt{24}\) irrational.