Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie lässt sich die direkt folgende ganze Zahl mithilfe von \(x\) ausdrücken? - Welche Rechenoperation verbindet die beiden Zahlen laut Aufgabe? - Welche Bedingung gilt für \(x\) im Sachkontext?

1. Die kleinere Zahl ist \(x\), die nächste Zahl ist \(x+1\). 2. Aus dem Produkt folgt \(x(x+1)=90\). 3. In Normalform lautet die Gleichung \(x^2+x-90=0\). 4. Im Sachkontext gilt \(x\in\mathbb{N}\) und \(x>0\).

\(x(x+1)=90\), also \(x^2+x-90=0\) mit \(x\in\mathbb{N}\) und \(x>0\)

- Welchen Höhenwert hat der Ball genau bei der Bodenberührung? - Welche Zeitwerte gehören zum beschriebenen Zeitraum nach dem Abwurf?

1. Bei der Bodenberührung ist die Höhe gleich null. 2. Daher muss \(-5t^2+15t+2=0\) gelöst werden. 3. Der beschriebene Zeitraum beginnt mit dem Abwurf. Deshalb gilt im Sachkontext \(t\ge0\).

\(-5t^2+15t+2=0\) mit \(t\ge0\)

- Wie viele Spiele bestreitet eine einzelne Mannschaft gegen alle anderen? - Macht es einen Unterschied für die Gesamtzahl, ob es Hin- und Rückspiele gibt? - Überlege dir, wie du die Anzahl der Spiele als Produkt ausdrücken kannst. - Welche der mathematischen Lösungen ist im Hinblick auf die Anzahl von Mannschaften sinnvoll?

1. Aufstellen der Gleichung für die Anzahl der Spiele bei \(n\) Mannschaften: Da jede Mannschaft gegen jede andere (\(n-1\)) Mannschaften zweimal spielt, ergibt sich die Gleichung \(n(n - 1) = 240\). 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(n^2 - n - 240 = 0\). 3. Lösen der Gleichung mit der quadratischen Lösungsformel: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-240)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{1 \pm 31}{2}\). 4. Bestimmen der Lösungen: \(n_1 = 16\) und \(n_2 = -15\). 5. Da die Anzahl der Mannschaften positiv sein muss, ist das Ergebnis \(n = 16\).

Es befinden sich \(16\) Mannschaften in der Liga.

- Setze den gegebenen Wert für die Diagonalen in die Formel ein. - Wie gehst du vor, um eine Gleichung mit einem Bruch auf einer Seite zu vereinfachen? - Denke an die Bedeutung der Variable \(n\) im Sachkontext. Kann jede Zahl eine Anzahl von Ecken beschreiben?

1. Gleichsetzen der Formel mit der gegebenen Anzahl an Diagonalen: \(\frac{n(n - 3)}{2} = 54\). 2. Multiplikation mit \(2\) und Umformen in die Normalform: \(n^2 - 3n - 108 = 0\). 3. Anwendung der Lösungsformel: \(n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{3 \pm 21}{2}\). 4. Berechnung der Werte: \(n_1 = 12\) und \(n_2 = -9\). 5. Interpretation: Das Vieleck hat \(12\) Ecken. Die Lösung \(n = -9\) ist nicht sinnvoll, da eine Anzahl von Ecken (eine geometrische Eigenschaft) nicht negativ sein kann.

Das Vieleck hat \(12\) Ecken. Die negative Lösung \(n = -9\) entfällt, da eine Eckenanzahl stets positiv sein muss.

- Welchen Abstand haben zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen? - Wie kannst du die zweite Zahl mit derselben Variablen ausdrücken wie die erste? - Prüfe, ob sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren lässt. - Warum kann hier auch ein Paar negativer Zahlen infrage kommen?

1. Sei \(x\) die kleinere der beiden ungeraden Zahlen. Die darauffolgende ungerade Zahl ist \(x+2\). 2. Aus \(x(x+2)=195\) folgt \(x^2+2x-195=0\). 3. Es gilt \(x^2+2x-195=(x-13)(x+15)\). Daher ist \(x=13\) oder \(x=-15\). 4. Damit erhält man die Paare \((13;15)\) und \((-15;-13)\).

Die möglichen Zahlenpaare sind \(13\) und \(15\) sowie \(-15\) und \(-13\).

- Welche Maße kannst du aus der Abbildung ablesen? - Um wie viel wird jede Seitenlänge des Schachtelbodens durch die beiden Eckausschnitte verkürzt? - Welche Höhe entsteht beim Hochbiegen? - Welche Bedingung muss die ursprüngliche Seitenlänge erfüllen, damit ein Boden übrig bleibt?

1. Aus der Abbildung liest man für die ursprüngliche Seitenlänge \(a\) und für die ausgeschnittenen Quadrate die Seitenlänge \(4\,\text{cm}\) ab. 2. Der Schachtelboden hat daher die Seitenlänge \(a-8\), die Höhe beträgt \(4\,\text{cm}\). 3. Aus dem Volumen folgt \(4(a-8)^2=576\), also \((a-8)^2=144\). 4. Damit ist \(a-8=12\) oder \(a-8=-12\), also \(a=20\) oder \(a=-4\). 5. Eine Seitenlänge muss positiv und größer als \(8\,\text{cm}\) sein. Somit gilt \(a=20\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Seitenlänge des Blechstücks betrug \(20\,\text{cm}\).

- Wo genau treffen sich Parabel und Gerade im Koordinatensystem? - Welche Beziehung gilt an einem Schnittpunkt zwischen den beiden Funktionswerten? - Wie kannst du alle Terme so auf eine Seite bringen, dass rechts \(0\) steht?

1. Aus dem Graphen liest man \(B(1\mid2)\) und \(C(3\mid2{,}8)\) ab. 2. Für die x-Koordinaten der Schnittpunkte gilt \(f(x)=g(x)\), also \(-0{,}2x^2+1{,}2x+1=0{,}4x+1{,}6\). 3. Umformen ergibt \(-0{,}2x^2+0{,}8x-0{,}6=0\). Wegen des höchsten Exponenten \(2\) ist dies eine quadratische Gleichung zweiten Grades.

a) \(B(1\mid2)\) und \(C(3\mid2{,}8)\), jeweils in Metern b) \(-0{,}2x^2+1{,}2x+1=0{,}4x+1{,}6\) c) \(-0{,}2x^2+0{,}8x-0{,}6=0\); Grad \(2\)

- Wie lässt sich die Länge mithilfe der gewählten Breite \(x\) ausdrücken? - Welche Beziehung gilt zwischen Länge, Breite und Fläche eines Rechtecks? - Welche Bedingung muss \(x\) als Seitenlänge erfüllen?

1. Die Breite ist \(x\,\text{m}\), die Länge daher \((x+3)\,\text{m}\). 2. Aus der Flächenbedingung folgt \(x(x+3)=40\). 3. Ausmultiplizieren und Umformen ergibt die Normalform \(x^2+3x-40=0\). 4. Für den Sachkontext gilt zusätzlich \(x>0\).

\(x(x+3)=40\), also \(x^2+3x-40=0\) mit \(x>0\)

- Aus welchen beiden Anteilen besteht der modellierte Anhalteweg? - Welche Summe muss den vorgegebenen Gesamtweg ergeben? - Welche Werte sind für eine Geschwindigkeit im Sachkontext möglich?

1. Der gesamte Anhalteweg ist die Summe aus Reaktionsweg und Bremsweg. 2. Für einen Anhalteweg von \(40\,\text{m}\) gilt daher \(0{,}3v+0{,}01v^2=40\). 3. In Normalform lautet die Gleichung \(0{,}01v^2+0{,}3v-40=0\). 4. Als Geschwindigkeit im Sachkontext gilt \(v\ge0\).

\(0{,}01v^2+0{,}3v=40\), also \(0{,}01v^2+0{,}3v-40=0\) mit \(v\ge0\)

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu einem Zinssatz von \(p\,\%\)? - Wie oft wird derselbe Wachstumsfaktor in zwei Jahren angewendet? - Wie kannst du nach dem Aufstellen der Gleichung die Nenner beseitigen, ohne sie zu lösen?

1. Der jährliche Wachstumsfaktor ist \(1+\frac{p}{100}\). 2. Nach zwei Jahren gilt daher \(800\left(1+\frac{p}{100}\right)^2=968\). 3. Division durch \(800\) ergibt \(\left(1+\frac{p}{100}\right)^2=1{,}21\). 4. Ausmultiplizieren liefert \(1+\frac{2p}{100}+\frac{p^2}{10000}=1{,}21\). 5. Nach Multiplikation mit \(10\,000\) und Umformen erhält man \(p^2+200p-2100=0\). 6. Im Sachkontext gilt \(p\ge0\).

\(800\left(1+\frac{p}{100}\right)^2=968\), also \(p^2+200p-2100=0\) mit \(p\ge0\)

- Welche Außenmaße kannst du aus der Abbildung ablesen? - Um wie viel verkürzt ein Rand der Breite \(x\) jede innere Seitenlänge insgesamt? - Welche Bedingung muss \(x\) erfüllen, damit die kürzere innere Seite positiv bleibt?

1. Aus der Abbildung liest man die Außenmaße \(18\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) ab. 2. Die inneren Seitenlängen sind daher \(18-2x\) und \(12-2x\). 3. Aus der inneren Fläche folgt \((18-2x)(12-2x)=112\). 4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergeben \(x^2-15x+26=0\). 5. Damit eine innere Fläche übrig bleibt, muss \(0<x<6\) gelten.

\((18-2x)(12-2x)=112\), also \(x^2-15x+26=0\) mit \(0<x<6\)

- Modelliere jede Partie als Paar von zwei verschiedenen Spielern. - Warum darf dieselbe Begegnung nicht zweimal gezählt werden? - Welche Gleichung entsteht, wenn du die Anzahl der Paarungen mit \(190\) gleichsetzt? - Welche der rechnerischen Lösungen ist im Sachzusammenhang möglich?

1. Sei \(n\) die Anzahl der Spieler. Jede Partie entspricht einem ungeordneten Paar verschiedener Spieler, daher ist die Anzahl der Partien \(\frac{n(n-1)}{2}\). 2. Es gilt \(\frac{n(n-1)}{2}=190\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(n(n-1)=380\), also \(n^2-n-380=0\). 3. Es gilt \(n^2-n-380=(n-20)(n+19)\). Daher sind die rechnerischen Lösungen \(n=20\) und \(n=-19\). 4. Eine Spielerzahl muss positiv sein. Somit nehmen \(20\) Spieler teil.

Es nehmen \(20\) Spieler an dem Turnier teil.

- Welche Formel beschreibt die Anzahl der Verbindungen zwischen einer Gruppe von Objekten? - Behandle Teil a wie eine typische Gleichungsaufgabe. - Nutze für Teil b dein Ergebnis aus Teil a und berechne den neuen Wert für eine doppelt so große Gruppe. - Vergleiche das neue Ergebnis mit dem Doppelten des alten Ergebnisses.

1. Teil a: Aufstellen der Gleichung für \(n\) Rechner: \(\frac{n \cdot (n - 1)}{2} = 66\). 2. Umformen zu \(n^2 - n - 132 = 0\) und Lösen mittels Lösungsformel: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 528}}{2} = \frac{1 \pm 23}{2}\). Dies ergibt \(n = 12\) (negative Lösung entfällt). Es sind \(12\) Rechner. 3. Teil b: Berechnung der Kabelanzahl bei Verdopplung der Rechner (\(n = 24\)): \(K = \frac{24 \cdot (24 - 1)}{2} = \frac{24 \cdot 23}{2} = 12 \cdot 23 = 276\). 4. Vergleich mit der doppelten ursprünglichen Kabelanzahl: \(2 \cdot 66 = 132\). Da \(276 \neq 132\), ist die Aussage falsch. Die Kabelanzahl steigt quadratisch an, nicht linear.

a) Es sind \(12\) Rechner im Netzwerk. b) Die Aussage ist falsch. Bei \(24\) Rechnern werden \(276\) Kabel benötigt, was deutlich mehr als das Doppelte von \(66\) (\(132\)) ist.

- Wie hängen Länge, Breite und Flächeninhalt eines Rechtecks zusammen? - Wie kannst du die Länge mithilfe der Breite ausdrücken? - Welche der rechnerischen Lösungen kann eine Seitenlänge sein? - Welche Größe wird am Ende tatsächlich gesucht: Fläche oder Umfang?

1. Sei \(x\) die Breite in Metern. Dann ist die Länge \(x+10\). 2. Aus dem Flächeninhalt folgt \(x(x+10)=375\), also \(x^2+10x-375=0\). 3. Es gilt \(x^2+10x-375=(x-15)(x+25)\). Daher ist \(x=15\) oder \(x=-25\). 4. Nur \(x=15\) ist als Breite möglich. Die Seitenlängen sind \(15\,\text{m}\) und \(25\,\text{m}\). 5. Der Umfang beträgt \(2(15\,\text{m}+25\,\text{m})=80\,\text{m}\).

Die benötigte Gesamtlänge des Zauns beträgt \(80\,\text{m}\).

- Was bedeutet „aufeinanderfolgend“ für zwei Zahlen? - Wie schreibst du das Quadrat einer Summe mathematisch korrekt auf? - Achte darauf, die binomische Formel anzuwenden, wenn du den Term für die zweite Zahl quadrierst. - Welche Art von Zahlen suchst du laut Aufgabenstellung? Dies hilft dir, am Ende die richtige Lösung auszuwählen.

1. Variablen festlegen: Die erste Zahl sei \(n\), die darauffolgende Zahl ist \(n + 1\). 2. Gleichung aufstellen: \(n^2 + (n + 1)^2 = 313\). 3. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(n^2 + n^2 + 2n + 1 = 313 \Rightarrow 2n^2 + 2n - 312 = 0\). 4. Durch 2 dividieren (Normalform): \(n^2 + n - 156 = 0\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \(n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-1 \pm 25}{2}\). 6. Da es sich um natürliche Zahlen handelt, ist nur \(n = \frac{24}{2} = 12\) relevant. 7. Die zweite Zahl bestimmen: \(n + 1 = 13\).

Die beiden Zahlen sind 12 und 13.

- Wie verändern sich die Seitenlängen des Quadrats, wenn man sie verlängert oder verkürzt? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt des neuen Rechtecks auf. - Multipliziere die Klammern sorgfältig aus, um die quadratische Gleichung zu erhalten. - Vergleiche am Ende den Flächeninhalt des Quadrats mit dem gegebenen Flächeninhalt des Rechtecks.

1. Variable festlegen: Seitenlänge des Quadrats sei \(x\). 2. Seiten des neuen Rechtecks: \(x + 3\) und \(x - 2\). 3. Gleichung für den Flächeninhalt aufstellen: \((x + 3)(x - 2) = 84\). 4. Ausmultiplizieren und in Normalform bringen: \(x^2 + x - 6 = 84 \Rightarrow x^2 + x - 90 = 0\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2}\). 6. Da \(x > 0\) sein muss, folgt \(x = 9\,\text{cm}\). 7. Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats: \(A_{\text{Quadrat}} = 9^2 = 81\,\text{cm}^2\). 8. Differenz berechnen: \(84\,\text{cm}^2 - 81\,\text{cm}^2 = 3\,\text{cm}^2\).

Die Seitenlänge des Quadrats betrug \(9\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt hat sich um \(3\,\text{cm}^2\) vergrößert.

- Wie drückst du die Fläche eines Quadrats durch seine Kantenlänge aus? - Wie lautet die Kantenlänge der größeren Platte in Abhängigkeit von \(s\)? - Prüfe, ob sich die quadratische Gleichung nach dem Vereinfachen faktorisieren lässt. - Welche Bedingung muss eine Kantenlänge im Sachzusammenhang erfüllen?

1. Sei \(s\) die Kantenlänge der kleineren Platte in Zentimetern. Dann ist die größere Kantenlänge \(s+10\). 2. Aus den Flächen folgt \(s^2+(s+10)^2=2500\), also \(s^2+10s-1200=0\). 3. Es gilt \(s^2+10s-1200=(s-30)(s+40)\). Daher ist \(s=30\) oder \(s=-40\). 4. Eine Kantenlänge kann nicht negativ sein. Somit ist \(s=30\,\text{cm}\) und die größere Kante \(40\,\text{cm}\) lang.

a) \(s^2+(s+10)^2=2500\), äquivalent \(s^2+10s-1200=0\) b) \(30\,\text{cm}\) und \(40\,\text{cm}\) c) \(s=-40\) ist als Kantenlänge nicht möglich.

- Wie kannst du eine Kathete mithilfe der Summe \(31\,\text{cm}\) durch die andere ausdrücken? - Welche Beziehung gilt zwischen Katheten und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach dem Einsetzen? - Prüfe, ob sich diese Gleichung faktorisieren lässt.

1. Aus \(a+b=31\) folgt \(b=31-a\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(a^2+(31-a)^2=25^2\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt \(a^2-31a+168=0\). 4. Es gilt \(a^2-31a+168=(a-7)(a-24)\). Daher ist \(a=7\) oder \(a=24\). 5. Entsprechend ist die jeweils andere Kathete \(24\,\text{cm}\) beziehungsweise \(7\,\text{cm}\). Die Katheten sind also \(7\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\) lang.

Die beiden Katheten sind \(7\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\) lang.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks aus den Katheten? - Wie kannst du die längere Kathete mit \(x\) ausdrücken? - Prüfe, ob sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren lässt. - Welche Bedingung muss jede reale Seitenlänge erfüllen?

1. Sei \(x\) die kürzere Kathete in Zentimetern. Dann ist die längere Kathete \(x+7\). 2. Aus der Flächenformel folgt \(30=\frac{1}{2}x(x+7)\), also \(x^2+7x-60=0\). 3. Es gilt \(x^2+7x-60=(x-5)(x+12)\). Daher ist \(x=5\) oder \(x=-12\). 4. Eine Seitenlänge muss positiv sein. Somit ist \(x=5\,\text{cm}\) und die zweite Kathete \(12\,\text{cm}\) lang; \(x=-12\) wird verworfen.

a) \(5\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) b) \(x=-12\) ist als Seitenlänge nicht möglich, da eine Länge positiv sein muss.

- Wie kannst du den linken Bruch in zwei Summanden zerlegen? - Welche Beziehung besteht zwischen \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{b}{a}\)? - Welche Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\) hat die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form? - Welche Vorzeichenbedingung gilt für ein Verhältnis zweier Längen?

1. Aus \(\frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}\) folgt \(2+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}\). 2. Mit \(\delta=\frac{a}{b}\) gilt \(\frac{b}{a}=\frac{1}{\delta}\). Daher ist \(2+\frac{1}{\delta}=\delta\). 3. Multiplikation mit \(\delta\) ergibt \(2\delta+1=\delta^2\), also \(\delta^2-2\delta-1=0\). 4. Für \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-1\) liefert die Lösungsformel \(\delta_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=1\pm\sqrt{2}\). 5. Ein Verhältnis positiver Längen muss positiv sein. Deshalb bleibt \(\delta=1+\sqrt{2}\).

a) \(2+\frac{1}{\delta}=\delta\), also \(\delta^2-2\delta-1=0\) b) \(\delta=1+\sqrt{2}\); die zweite Lösung \(1-\sqrt{2}\) ist negativ und daher kein Längenverhältnis.

- Wenn ein Rahmen um ein Bild gelegt wird, wie oft muss die Rahmenbreite zur Länge und Breite des Bildes addiert werden? - Stelle dir vor, wie sich die Außenmaße des Objekts verändern. - Nachdem du die Gleichung aufgestellt hast, versuche sie durch Division zu vereinfachen, bevor du die Lösungsformel nutzt.

1. Bestimmung der Gesamtlänge und Gesamtbreite: Durch den Rahmen kommen an jeder Seite \(x\) hinzu, also sind die neuen Maße \((20 + 2x)\) und \((30 + 2x)\). 2. Aufstellen der Flächeninhalt-Gleichung: \((20 + 2x)(30 + 2x) = 1064\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(600 + 40x + 60x + 4x^2 = 1064\). 4. Zusammenfassen und in Normalform bringen: \(4x^2 + 100x - 464 = 0\). 5. Vereinfachen durch Division durch 4: \(x^2 + 25x - 116 = 0\). 6. Anwendung der Lösungsformel: \(x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-116)}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 464}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{1089}}{2}\). 7. Berechnung der Wurzel: \(\sqrt{1089} = 33\). 8. Ermittlung der Lösungen: \(x_1 = \frac{-25 + 33}{2} = 4\) und \(x_2 = \frac{-25 - 33}{2} = -29\). 9. Da eine Breite positiv sein muss, beträgt der Wert für \(x\) genau \(4\,\text{cm}\).

Der Rahmen ist \(4\,\text{cm}\) breit.

- Welche Formeln für Umfang und Fläche eines Rechtecks brauchst du? - Wie kannst du mithilfe des Umfangs eine Seitenlänge durch die andere ausdrücken? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach dem Einsetzen in die Flächenformel? - Prüfe, ob sich diese Gleichung faktorisieren lässt.

1. Für die Seiten \(a\) und \(b\) gilt \(2a+2b=60\) und \(ab=221\). 2. Aus \(a+b=30\) folgt \(b=30-a\). Einsetzen in die Flächengleichung ergibt \(a(30-a)=221\). 3. Umformen führt zu \(a^2-30a+221=0\). 4. Es gilt \(a^2-30a+221=(a-13)(a-17)\). Daher sind die Seitenlängen \(13\,\text{m}\) und \(17\,\text{m}\).

Das Gehege ist \(17\,\text{m}\) lang und \(13\,\text{m}\) breit.

- Wie verändern sich beide Seitenlängen der inneren Fläche durch einen Streifen der Breite \(x\)? - Welche Flächengleichung beschreibt die verbleibenden \(84\,\text{m}^2\)? - Prüfe, ob sich die vereinfachte quadratische Gleichung faktorisieren lässt. - Welche obere Grenze für \(x\) folgt aus der kürzeren Terrassenseite?

1. Die innere Restfläche hat die Seitenlängen \(15-2x\) und \(10-2x\). Daher gilt \((15-2x)(10-2x)=84\). 2. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt \(2x^2-25x+33=0\). 3. Es gilt \(2x^2-25x+33=(2x-3)(x-11)\). Daher ist \(x=1{,}5\) oder \(x=11\). 4. Für eine echte innere Restfläche muss insbesondere \(10-2x>0\) gelten, also \(0<x<5\). Somit ist nur \(x=1{,}5\,\text{m}\) zulässig.

Der neu geflieste Streifen ist \(1{,}5\,\text{m}\) breit.

- Wie lässt sich die Anzahl der Tage berechnen, die nach der Verstärkung noch gearbeitet wurde? - Beachte, dass sich in dieser Aufgabe die Gesamtmenge (die Fläche) nicht ändert, wohl aber die Zeit. - Kannst du eine Variable für die Tagesleistung wählen und alle anderen Größen davon abhängig machen? - Denke daran, dass am Ende eine quadratische Gleichung entstehen könnte, von der nur das positive Ergebnis im Sachzusammenhang Sinn ergibt.

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die geplante Tagesleistung in \(\text{ha/Tag}\), \(t\) die geplante Dauer in Tagen. 2. Zusammenhang im Plan: \(xt = 120 \Rightarrow t = \frac{120}{x}\). 3. Tatsächlicher Ablauf: 2 Tage mit \(x\), danach \((t - 3) - 2 = t - 5\) Tage mit \(x + 2{,}4\). Die Gesamtfläche bleibt \(120\,\text{ha}\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(2x + (t - 5)(x + 2{,}4) = 120\). 5. Einsetzen von \(t = \frac{120}{x}\): \(2x + (\frac{120}{x} - 5)(x + 2{,}4) = 120\). 6. Ausmultiplizieren: \(2x + 120 + \frac{288}{x} - 5x - 12 = 120\). 7. Vereinfachen und Zusammenfassen: \(-3x + \frac{288}{x} - 12 = 0\). 8. Multiplikation mit \(x\) und Division durch \(-3\): \(x^2 + 4x - 96 = 0\). 9. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} = \frac{-4 \pm 20}{2}\). 10. Die sinnvolle positive Lösung ist \(x = \frac{16}{2} = 8\).

Die ursprünglich geplante Tagesleistung betrug \(8\,\text{ha}\) pro Tag.

- Überlege dir, wie viele Broschüren pro Stunde gedruckt werden (die Rate). - Wie hängen die Gesamtzahl der Broschüren, die Zeit und die Rate zusammen? - Setze eine Variable für die Zeit fest, die ursprünglich geplant war. - Stelle eine Gleichung auf, die die Raten oder die Gesamtanzahl vergleicht. - Achte darauf, am Ende die tatsächliche Zeit und nicht die geplante Zeit anzugeben.

1. Definition der Variablen \(x\) für die ursprünglich geplante Zeit in Stunden. 2. Aufstellen der Terme für die Druckraten: Geplant \(\frac{600}{x}\) Broschüren/h, tatsächlich \(\frac{600}{x} + 10\) Broschüren/h. 3. Aufstellen der Gleichung unter Berücksichtigung der Zeitersparnis: \((x - 3) \cdot (\frac{600}{x} + 10) = 600\). 4. Umformung der Gleichung: \(600 + 10x - \frac{1800}{x} - 30 = 600\), was zu \(10x - 30 - \frac{1800}{x} = 0\) führt. 5. Multiplikation mit \(x\) und Division durch \(10\) ergibt die quadratische Gleichung \(x^2 - 3x - 180 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(x_1 = 15\) und \(x_2 = -12\). Da die Zeit positiv sein muss, ist die geplante Zeit \(15\) Stunden. 7. Berechnung der tatsächlichen Zeit: \(15 - 3 = 12\) Stunden.

Der Druckvorgang dauerte tatsächlich \(12\) Stunden.

- Welche beiden Flächengleichungen beschreiben das ursprüngliche und das veränderte Grundstück? - Wie kannst du mithilfe von \(lb=300\) eine Seitenlänge durch die andere ausdrücken? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach dem Einsetzen und Vereinfachen? - Welche der mathematischen Lösungen kann eine Seitenlänge darstellen?

1. Sei \(l\) die ursprüngliche Länge und \(b\) die ursprüngliche Breite in Metern. Dann gilt \(lb=300\) und \((l+5)(b-2)=300\). 2. Aus \(lb=300\) folgt \(b=\frac{300}{l}\). Einsetzen ergibt \((l+5)\left(\frac{300}{l}-2\right)=300\). 3. Vereinfachen und Multiplikation mit \(l\) führen zu \(l^2+5l-750=0\). 4. Es gilt \(l^2+5l-750=(l-25)(l+30)\). Daher ist \(l=25\) oder \(l=-30\). 5. Nur die positive Länge ist sinnvoll. Damit ist \(l=25\,\text{m}\) und \(b=\frac{300}{25}=12\,\text{m}\).

Die ursprüngliche Länge beträgt \(25\,\text{m}\) und die ursprüngliche Breite \(12\,\text{m}\).

- Bringe die Zeitersparnis zuerst in Stunden. - Wie kannst du die Fahrzeit jeweils aus Weg und Geschwindigkeit ausdrücken? - Welche Gleichung beschreibt, dass die Rückfahrt eine halbe Stunde kürzer dauert? - Welche Lösung ist im Sachzusammenhang als Geschwindigkeit zulässig?

1. Sei \(v\) die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt in \(\text{km/h}\). Auf der Rückfahrt beträgt sie \(v+3\). 2. Die Fahrzeiten sind \(\frac{45}{v}\) und \(\frac{45}{v+3}\). Weil \(30\,\text{Minuten}=0{,}5\,\text{Stunden}\) sind, gilt \(\frac{45}{v}-\frac{45}{v+3}=0{,}5\). 3. Multiplikation mit \(v(v+3)\) und Vereinfachen ergeben \(v^2+3v-270=0\). 4. Es gilt \(v^2+3v-270=(v-15)(v+18)\). Daher ist \(v=15\) oder \(v=-18\). 5. Eine Geschwindigkeit muss positiv sein. Somit beträgt die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt \(15\,\text{km/h}\).

Die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt beträgt \(15\,\text{km/h}\).

- Welche Geschwindigkeiten gegenüber dem Boden gelten mit Rückenwind und mit Gegenwind? - Wie drückst du die beiden Flugzeiten als Weg durch Geschwindigkeit aus? - Welche Zeitdifferenz ist gegeben? - Welche Bedingung muss \(v\) erfüllen, damit die Rückfluggeschwindigkeit positiv ist?

1. Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille in \(\text{km/h}\). Wegen des Rückflugs gegen den Wind gilt \(v>50\). 2. Mit Rückenwind beträgt die Geschwindigkeit \(v+50\), mit Gegenwind \(v-50\). Daher gilt \(\frac{600}{v-50}-\frac{600}{v+50}=1\). 3. Multiplikation mit \((v-50)(v+50)\) ergibt \(600(v+50)-600(v-50)=v^2-2500\). 4. Vereinfachen führt zu \(60\,000=v^2-2500\), also \(v^2=62\,500\). 5. Damit ist \(v=250\) oder \(v=-250\). Wegen \(v>50\) bleibt \(v=250\,\text{km/h}\).

Die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille beträgt \(250\,\text{km/h}\).

- Wie kannst du den Beitrag pro Person vor und nach dem Hinzukommen der drei Schüler ausdrücken? - Welche Differenz der beiden Beiträge ist gegeben? - Für Teil b musst du die neue Gleichung nicht vollständig lösen: Welche behauptete Schülerzahl kannst du direkt prüfen? - Vergleiche die tatsächliche Ersparnis bei dieser Zahl mit den geforderten \(2\,\text{€}\).

1. Sei \(x\) die ursprüngliche Schülerzahl. Dann beträgt der ursprüngliche Beitrag \(\frac{72}{x}\,\text{€}\) und nach dem Hinzukommen der drei Schüler \(\frac{72}{x+3}\,\text{€}\). 2. Aus der Ersparnis folgt \(\frac{72}{x}-\frac{72}{x+3}=2\). 3. Multiplikation mit \(x(x+3)\) und Vereinfachen ergeben \(x^2+3x-108=0\). 4. Es gilt \(x^2+3x-108=(x-9)(x+12)\). Wegen \(x>0\) ist \(x=9\). 5. Für Teil b wird die Behauptung \(x=18\) geprüft. Bei \(18\) Schülern beträgt der Beitrag \(144{:}18=8\,\text{€}\). 6. Bei \(21\) Schülern beträgt er \(\frac{144}{21}\,\text{€}\approx6{,}86\,\text{€}\). Die Ersparnis ist damit nur etwa \(1{,}14\,\text{€}\) und nicht \(2\,\text{€}\).

a) Ursprünglich wollten sich \(9\) Schüler beteiligen. b) Nein. Bei \(18\) ursprünglichen Schülern läge die Ersparnis durch drei weitere Schüler nur bei etwa \(1{,}14\,\text{€}\).

- Überlege dir, welchen Bruchteil der Arbeit jeder Gärtner pro Stunde erledigt. - Wie viel der Arbeit schaffen beide zusammen in einer Stunde? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die die Anteile pro Stunde addiert? - Achte bei deinen Ergebnissen darauf, ob sie im Zusammenhang mit der Zeitmessung logisch sind.

1. Variablen festlegen: Sei \(x\) die Zeit in Stunden, die Herr Grün allein benötigt. Frau Blum benötigt dann \(x + 3\) Stunden. 2. Aufstellen der Arbeitsgleichung (Leistung pro Stunde): Pro Stunde schafft Herr Grün \(\frac{1}{x}\) der Fläche, Frau Blum \(\frac{1}{x + 3}\). Zusammen schaffen sie \(\frac{1}{2}\) der Fläche pro Stunde. Gleichung: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2}\). 3. Umformung: Multiplikation mit \(2x(x + 3)\) ergibt \(2(x + 3) + 2x = x(x + 3)\). Dies führt zu \(4x + 6 = x^2 + 3x\) bzw. \(x^2 - x - 6 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: Die Lösungen sind \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 5. Kontextprüfung: Eine negative Zeit (\(x = -2\)) ist physikalisch für diesen Vorgang nicht möglich. 6. Ergebnis: Herr Grün benötigt alleine \(3\,\text{Stunden}\).

Herr Grün benötigt alleine \(3\,\text{Stunden}\). Die Lösung \(x = -2\) ist nicht sinnvoll, da eine Zeitdauer für eine Arbeit nicht negativ sein kann.

- Wie verändert die Strömung die Geschwindigkeit flussabwärts und flussaufwärts? - Welche Bedingung muss die Strömung erfüllen, damit das Boot flussaufwärts fahren kann? - Wie drückst du die beiden Fahrzeiten als Weg durch Geschwindigkeit aus? - Welche Zeitdifferenz ist gegeben?

1. Sei \(c\) die Strömungsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). Aus dem Sachkontext gilt \(0<c<14\). 2. Flussabwärts beträgt die Geschwindigkeit \(14+c\), flussaufwärts \(14-c\). Daher gilt \(\frac{40}{14-c}-\frac{40}{14+c}=3\). 3. Multiplikation mit \((14-c)(14+c)\) ergibt \(40(14+c)-40(14-c)=3(196-c^2)\). 4. Vereinfachen führt zu \(3c^2+80c-588=0\). 5. Mit der Lösungsformel erhält man \(c=\frac{-80\pm\sqrt{80^2-4\cdot3\cdot(-588)}}{2\cdot3}=\frac{-80\pm116}{6}\). 6. Damit ist \(c=6\) oder \(c=-\frac{98}{3}\). Wegen \(0<c<14\) bleibt \(c=6\,\text{km/h}\).

Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(6\,\text{km/h}\).

- Wie viel Zeit verbringt der Radfahrer tatsächlich mit dem Fahren? - Wie verändert der Wind die Geschwindigkeit gegenüber dem Boden in beide Richtungen? - Welche Bedingung muss die Eigengeschwindigkeit erfüllen, damit die Rückfahrt gegen den Wind möglich ist? - Wie kannst du die Summe der beiden Fahrzeiten ausdrücken?

1. Die reine Fahrzeit beträgt \(5{,}5\,\text{h}-0{,}5\,\text{h}=5\,\text{h}\). 2. Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). Wegen der Fahrt gegen den Wind gilt \(v>4\). 3. Mit Rückenwind beträgt die Geschwindigkeit \(v+4\), mit Gegenwind \(v-4\). Daher gilt \(\frac{48}{v+4}+\frac{48}{v-4}=5\). 4. Multiplikation mit \((v+4)(v-4)\) und Vereinfachen ergeben \(5v^2-96v-80=0\). 5. Mit der Lösungsformel folgt \(v=\frac{96\pm\sqrt{(-96)^2-4\cdot5\cdot(-80)}}{10}=\frac{96\pm104}{10}\). 6. Die Lösungen sind \(v=20\) und \(v=-0{,}8\). Wegen \(v>4\) bleibt \(v=20\,\text{km/h}\).

Die Eigengeschwindigkeit des Radfahrers beträgt \(20\,\text{km/h}\).

- Wie hängen neuer Ticketpreis und Zahl der verkauften Tickets jeweils von der Preiserhöhung ab? - Wie berechnen sich die Gesamteinnahmen? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach dem Ausmultiplizieren und Vereinfachen? - Prüfe, ob beide mathematischen Lösungen im Sachkontext zulässig sind.

1. Sei \(x\) die Preiserhöhung in Euro. Dann beträgt der neue Ticketpreis \(40+x\) und die Zahl der verkauften Tickets \(500-10x\). 2. Für die Einnahmen gilt \((40+x)(500-10x)=20\,210\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergeben \(x^2-10x+21=0\). 4. Es gilt \(x^2-10x+21=(x-3)(x-7)\). Daher ist \(x=3\) oder \(x=7\). 5. Beide Werte führen zu einer positiven Zahl verkaufter Tickets und erfüllen die Einnahmebedingung.

Die Preiserhöhung muss entweder \(3\,\text{€}\) oder \(7\,\text{€}\) betragen.

- Welche Wachstumsfaktoren gehören zu den beiden aufeinanderfolgenden Zinssätzen? - Wie kannst du den Endbetrag nach beiden Jahren in einer einzigen Gleichung ausdrücken? - Welche Bedingung aus dem Sachtext muss eine mathematische Lösung für \(p\) erfüllen?

1. Die Wachstumsfaktoren sind \(1+\frac{p}{100}\) und \(1+\frac{p+1}{100}\). 2. Daher gilt \(2000\left(1+\frac{p}{100}\right)\left(1+\frac{p+1}{100}\right)=2226\). 3. Mit \(x=\frac{p}{100}\) und Division durch \(2000\) erhält man \((1+x)(1{,}01+x)=1{,}113\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(x^2+2{,}01x-0{,}103=0\). 5. Mit der Lösungsformel folgt \(x=\frac{-2{,}01\pm\sqrt{4{,}4521}}{2}=\frac{-2{,}01\pm2{,}11}{2}\). Damit sind \(x=0{,}05\) und \(x=-2{,}06\). 6. Wegen \(p\ge0\) ist nur \(x=0{,}05\) zulässig. Somit gilt \(p=5\). 7. Kontrolle: \(2000\cdot1{,}05\cdot1{,}06=2226\).

Der Zinssatz im ersten Jahr beträgt \(5\,\%\).

- Wie kannst du die Eckenzahlen der beiden Vielecke mit nur einer Variablen ausdrücken? - Setze beide Eckenzahlen in die angegebene Diagonalenformel ein. - Welche Gleichung beschreibt, dass die beiden Diagonalenzahlen zusammen \(287\) ergeben? - Welche mathematische Lösung kann tatsächlich eine Eckenzahl sein?

1. Sei \(n\) die Eckenzahl des kleineren Vielecks. Das größere hat dann \(n+1\) Ecken. 2. Mit der gegebenen Diagonalenformel gilt \(\frac{n(n-3)}{2}+\frac{(n+1)(n-2)}{2}=287\). 3. Vereinfachen ergibt \(n^2-2n-288=0\). 4. Es gilt \(n^2-2n-288=(n-18)(n+16)\). Daher ist \(n=18\) oder \(n=-16\). 5. Eine Eckenzahl muss mindestens \(3\) und ganzzahlig sein. Somit ist \(n=18\), und die Vielecke haben \(18\) und \(19\) Ecken.

Quadratische Gleichung: \(n^2-2n-288=0\) Die Vielecke haben \(18\) und \(19\) Ecken.

- Wie übersetzt du „6 Diagonalen mehr als das Vierfache der Eckenzahl“ in einen Term? - Welche Gleichung entsteht, wenn du diesen Term mit der angegebenen Diagonalenformel gleichsetzt? - Welche der mathematischen Lösungen kann eine Eckenzahl eines Vielecks sein?

1. Nach der Aufgabenbedingung gilt \(D=4n+6\). Mit der gegebenen Formel folgt \(\frac{n(n-3)}{2}=4n+6\). 2. Multiplikation mit \(2\) und Umformen ergeben \(n^2-11n-12=0\). 3. Es gilt \(n^2-11n-12=(n-12)(n+1)\). Daher ist \(n=12\) oder \(n=-1\). 4. Eine Eckenzahl ist eine positive ganze Zahl. Somit ist \(n=12\), also handelt es sich um ein Zwölfeck.

Quadratische Gleichung: \(n^2-11n-12=0\) Es handelt sich um ein Zwölfeck.

- Setze zuerst \(n\) und dann \(2n\) in die angegebene Diagonalenformel ein. - Welche Differenz der beiden Diagonalenzahlen ist laut Aufgabe bekannt? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach dem Vereinfachen? - Welche der mathematischen Lösungen kann eine Eckenzahl sein?

1. Für das ursprüngliche Vieleck gilt \(D_1=\frac{n(n-3)}{2}\). 2. Nach der Verdopplung hat das Vieleck \(2n\) Ecken und damit \(D_2=\frac{2n(2n-3)}{2}=n(2n-3)\) Diagonalen. 3. Nach der Angabe gilt \(D_2-D_1=135\), also \(n(2n-3)-\frac{n(n-3)}{2}=135\). 4. Vereinfachen ergibt \(n^2-n-90=0\). 5. Es gilt \(n^2-n-90=(n-10)(n+9)\). Daher ist \(n=10\) oder \(n=-9\). 6. Eine Eckenzahl muss positiv sein. Somit hat das ursprüngliche Vieleck \(10\) Ecken.

Quadratische Gleichung: \(n^2-n-90=0\) Das ursprüngliche Vieleck hatte \(10\) Ecken, also war es ein Zehneck.

- Wie verändern sich beide Seitenlängen des inneren Bildes durch einen Rand der Breite \(x\) auf jeder Seite? - Welche Flächenbedingung muss das innere Rechteck erfüllen? - Welche Größenbeschränkung muss \(x\) erfüllen, damit tatsächlich ein inneres Rechteck übrig bleibt?

1. Das innere Bild hat die Seitenlängen \(40-2x\) und \(50-2x\). Daher gilt \((40-2x)(50-2x)=1200\). 2. Ausmultiplizieren und Umformen ergibt \(4x^2-180x+800=0\), also \(x^2-45x+200=0\). 3. Mit der Lösungsformel folgt \(x_{1,2}=\frac{45\pm\sqrt{1225}}{2}=\frac{45\pm35}{2}\). Damit sind \(x=40\) und \(x=5\). 4. Für einen Rand muss \(2x<40\) gelten, damit die innere Breite positiv bleibt. Deshalb ist \(x=40\,\text{cm}\) unzulässig. 5. Die mögliche Randbreite beträgt \(x=5\,\text{cm}\).

a) \((40-2x)(50-2x)=1200\) b) \(x=5\,\text{cm}\) c) \(x=40\,\text{cm}\) ist unmöglich, weil dann die inneren Seitenlängen nicht positiv wären.

- Wie groß ist die geforderte Rasenfläche in Quadratmetern? - Wie verändern sich die beiden Seitenlängen der inneren Rasenfläche durch den umlaufenden Weg? - Welche quadratische Gleichung entsteht aus der Flächenbedingung? - Welche Bedingung muss \(x\) erfüllen, damit die innere Fläche positive Seitenlängen hat?

1. Die Gesamtfläche beträgt \(120\cdot80=9600\,\text{m}^2\). Davon sind \(62{,}5\,\%\) gleich \(6000\,\text{m}^2\). 2. Die Rasenfläche hat die Seitenlängen \(120-2x\) und \(80-2x\). Daher gilt \((120-2x)(80-2x)=6000\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergeben \(x^2-100x+900=0\). 4. Es gilt \(x^2-100x+900=(x-10)(x-90)\). Daher ist \(x=10\) oder \(x=90\). 5. Für eine positive innere Breite muss \(80-2x>0\) gelten. Somit ist nur \(x=10\,\text{m}\) möglich.

Der Fußweg muss \(10\,\text{m}\) breit sein.

- Wie verändern sich Länge und Breite des äußeren Rechtecks durch den Weg auf beiden Seiten? - Welche Flächengleichung beschreibt die gesamte Anlage? - Welche der mathematischen Lösungen kann eine Wegbreite sein? - Wie erhältst du die Wegfläche aus Gesamtfläche und Beckenfläche?

1. Die Außenmaße von Becken und Weg sind \(8+2x\) und \(3+2x\). Daher gilt \((8+2x)(3+2x)=66\). 2. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergeben \(2x^2+11x-21=0\). 3. Mit der Lösungsformel erhält man \(x=\frac{-11\pm\sqrt{11^2-4\cdot2\cdot(-21)}}{4}=\frac{-11\pm17}{4}\). 4. Damit ist \(x=1{,}5\) oder \(x=-7\). Als Breite ist nur \(x=1{,}5\,\text{m}\) möglich. 5. Die Beckenfläche beträgt \(3\cdot8=24\,\text{m}^2\). Somit hat der Plattenweg die Fläche \(66-24=42\,\text{m}^2\).

a) \((8+2x)(3+2x)=66\), äquivalent dazu \(2x^2+11x-21=0\) b) \(x=1{,}5\,\text{m}\) c) \(42\,\text{m}^2\)

- Wie kannst du Länge und Breite des Beetes mit nur einer Variablen ausdrücken? - Um wie viel wachsen die beiden Außenmaße durch einen \(2\,\text{m}\) breiten Weg auf beiden Seiten? - Welche Flächengleichung beschreibt Beet und Weg zusammen? - Welche der mathematischen Lösungen kann eine Breite sein?

1. Sei \(x\) die Breite des Beetes in Metern. Dann ist seine Länge \(x+5\). 2. Durch den Weg wachsen beide Außenmaße um jeweils \(4\,\text{m}\). Das Gesamtrechteck hat daher die Seiten \(x+4\) und \(x+9\). 3. Aus der Gesamtfläche folgt \((x+4)(x+9)=150\). 4. Vereinfachen ergibt \(x^2+13x-114=0\). 5. Es gilt \(x^2+13x-114=(x-6)(x+19)\). Daher ist \(x=6\) oder \(x=-19\). 6. Als Breite ist nur \(x=6\,\text{m}\) möglich. Die Länge beträgt dann \(11\,\text{m}\).

Das ursprüngliche Blumenbeet ist \(6\,\text{m}\) breit und \(11\,\text{m}\) lang.

- Welche Bedingung muss die Eigengeschwindigkeit erfüllen, damit das Boot gegen die Strömung vorankommt? - Wie drückst du die Fahrzeit auf dem See und flussaufwärts jeweils aus? - Welche Zeitdifferenz ist gegeben? - Welche Geschwindigkeit gilt anschließend flussabwärts?

1. Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit des Bootes in \(\text{km/h}\). Wegen der Fahrt gegen die Strömung gilt \(v>3\). 2. Auf dem See beträgt die Fahrzeit \(\frac{60}{v}\), flussaufwärts \(\frac{60}{v-3}\). Daher gilt \(\frac{60}{v-3}=\frac{60}{v}+1\). 3. Multiplikation mit \(v(v-3)\) und Vereinfachen ergeben \(v^2-3v-180=0\). 4. Es gilt \(v^2-3v-180=(v-15)(v+12)\). Wegen \(v>3\) bleibt \(v=15\,\text{km/h}\). 5. Flussabwärts beträgt die Geschwindigkeit \(15+3=18\,\text{km/h}\). 6. Die Fahrzeit ist \(\frac{60}{18}\,\text{h}=\frac{10}{3}\,\text{h}=3\,\text{h}\,20\,\text{min}\).

a) Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt \(15\,\text{km/h}\). b) Flussabwärts benötigt das Boot \(3\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).

- Welche Summe der beiden Seitenlängen folgt aus dem gegebenen Umfang? - Wie kannst du die zweite Seitenlänge durch eine gewählte erste Seitenlänge ausdrücken? - Welche Flächengleichung entsteht dadurch? - Prüfe, ob sich die quadratische Gleichung faktorisieren lässt.

1. Sei \(x\) eine Seitenlänge des Rechtecks. Aus dem Umfang \(2(a+b)=26\) folgt \(a+b=13\). Die andere Seitenlänge ist daher \(13-x\). 2. Mit dem Flächeninhalt gilt \(x(13-x)=40\). 3. Umformen ergibt \(x^2-13x+40=0\). 4. Es gilt \(x^2-13x+40=(x-5)(x-8)\). Damit ist \(x=5\) oder \(x=8\). 5. Die beiden Seitenlängen des Rechtecks sind somit \(5\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Rechtecks sind \(5\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\).

- Welche binomische Formel verbindet \((u+v)^2\) mit \(u^2+v^2\) und \(uv\)? - Wie kannst du nach Teil a eine der beiden Zahlen mithilfe von \(u+v=-2\) durch die andere ausdrücken? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach dem Einsetzen in das Produkt?

1. Aus \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\) folgt mit den gegebenen Werten \((-2)^2=52+2uv\). 2. Damit ist \(4=52+2uv\), also \(uv=-24\). 3. Für Teil b gilt wegen \(u+v=-2\) die Beziehung \(v=-2-u\). 4. Einsetzen in \(uv=-24\) ergibt \(u(-2-u)=-24\), also \(u^2+2u-24=0\). 5. Es gilt \(u^2+2u-24=(u-4)(u+6)\). Daher ist \(u=4\) oder \(u=-6\). 6. Entsprechend ist \(v=-6\) beziehungsweise \(v=4\). Die beiden Zahlen sind also \(4\) und \(-6\).

a) \(uv=-24\) b) Die beiden Zahlen sind \(4\) und \(-6\).

- Wie kannst du die ursprüngliche Zahl der Zwiebeln pro Reihe durch \(r\) ausdrücken? - Formuliere den zweiten Pflanzplan mit den beiden veränderten Faktoren. - Die aufgestellte Gleichung soll am Ende ohne Bruch als quadratische Gleichung in \(r\) vorliegen. - Welche mathematische Lösung ist als Reihenanzahl im Sachkontext möglich?

1. Bei \(r\) ursprünglichen Reihen liegen in jeder Reihe \(\frac{504}{r}\) Zwiebeln. 2. Der zweite Plan erfüllt \((r-5)\left(\frac{504}{r}+7\right)=455\). 3. Ausmultiplizieren und Multiplikation mit \(r\) ergeben \(7r^2+14r-2520=0\), also \(r^2+2r-360=0\). 4. Es gilt \(r^2+2r-360=(r-18)(r+20)\). Daher ist \(r=18\) oder \(r=-20\). 5. Eine Reihenanzahl muss positiv sein. Somit sind ursprünglich \(18\) Reihen vorgesehen. 6. Pro Reihe sind dann \(504:18=28\) Zwiebeln vorgesehen. Kontrolle: \((18-5)(28+7)=13\cdot35=455\).

Quadratische Gleichung: \(r^2+2r-360=0\) Ursprünglich waren \(18\) Reihen mit je \(28\) Zwiebeln vorgesehen.

- Wie lässt sich die Förderleistung einer Pumpe als Volumen pro Zeit ausdrücken? - Wie hängen die beiden Alleinzeiten miteinander zusammen? - Welche Differenz der beiden Förderraten ist gegeben? - Welche der Lösungen kann eine positive Arbeitszeit darstellen?

1. Sei \(t\) die Zeit in Stunden, die die zweite Pumpe allein benötigt. Die erste Pumpe benötigt dann \(t+2\) Stunden. 2. Die Förderraten sind \(\frac{120}{t}\,\text{m}^3/\text{h}\) und \(\frac{120}{t+2}\,\text{m}^3/\text{h}\). Daher gilt \(\frac{120}{t}-\frac{120}{t+2}=5\). 3. Multiplikation mit \(t(t+2)\) und Vereinfachen ergeben \(t^2+2t-48=0\). 4. Es gilt \(t^2+2t-48=(t-6)(t+8)\). Wegen \(t>0\) ist \(t=6\). 5. Die zweite Pumpe benötigt also \(6\) Stunden, die erste \(8\) Stunden.

Die erste Pumpe benötigt \(8\,\text{Stunden}\), die zweite Pumpe \(6\,\text{Stunden}\).

- Wie hängen Gesamtbetrag, Stückzahl und Stückpreis vor dem Sonderangebot zusammen? - Wie verändern sich Stückzahl und Stückpreis durch das Angebot? - Welche Bedingung muss eine Lösung für die Anzahl der Tablets erfüllen?

1. Sei \(x\) die ursprünglich geplante Anzahl der Tablets. Dann beträgt der ursprüngliche Stückpreis \(\frac{12000}{x}\,\text{€}\). 2. Nach dem Rabatt gilt \(\left(\frac{12000}{x}-50\right)(x+8)=12\,000\) mit \(x>0\). 3. Ausmultiplizieren und Umformen führen zu \(x^2+8x-1920=0\). 4. Die Diskriminante ist \(\Delta=8^2-4\cdot1\cdot(-1920)=7744\). 5. Mit der Lösungsformel folgt \(x=\frac{-8\pm88}{2}\), also \(x=40\) oder \(x=-48\). 6. Eine negative Tabletanzahl ist unmöglich, daher gilt \(x=40\). 7. Der ursprüngliche Stückpreis ist \(12\,000{:}40=300\,\text{€}\).

Ursprünglich waren \(40\) Tablets zu einem Preis von \(300\,\text{€}\) pro Stück geplant.

- Welchen Bruchteil des gesamten Projekts schafft jede Person an einem Tag? - Welche Arbeitsanteile werden tatsächlich vom Designer und vom Assistenten erledigt? - Welche Gleichung beschreibt, dass diese beiden Anteile zusammen das ganze Projekt ergeben? - Welche der mathematischen Lösungen kann eine positive Arbeitszeit sein?

1. Sei \(x\) die Anzahl der Tage, die der Designer allein benötigt. Der Assistent benötigt dann \(x+10\) Tage. 2. Aus den geleisteten Anteilen folgt \(\frac{4}{x}+\frac{9}{x+10}=1\). 3. Multiplikation mit \(x(x+10)\) und Vereinfachen ergeben \(x^2-3x-40=0\). 4. Es gilt \(x^2-3x-40=(x-8)(x+5)\). Wegen \(x>0\) ist \(x=8\). 5. Der Designer benötigt allein \(8\) Tage, der Assistent \(18\) Tage.

Der Designer würde allein \(8\) Tage benötigen, der Assistent allein \(18\) Tage.

- Wie lässt sich die Arbeitsleistung pro Stunde aus einer Alleinzeit ausdrücken? - Welche Gleichung beschreibt die gemeinsame Arbeitsleistung in \(6\) Stunden? - Für Teil b: Welchen Anteil der gesamten Arbeit schafft der Gärtner in einer Stunde, nachdem du seine Alleinzeit kennst?

1. Sei \(g\) die Zeit des Gärtners in Stunden. Der Auszubildende benötigt \(g+9\) Stunden. 2. Aus den Arbeitsleistungen folgt \(\frac{1}{g}+\frac{1}{g+9}=\frac{1}{6}\). 3. Multiplikation mit \(6g(g+9)\) und Vereinfachen ergeben \(g^2-3g-54=0\). 4. Es gilt \(g^2-3g-54=(g-9)(g+6)\). Wegen \(g>0\) ist \(g=9\). 5. Der Gärtner benötigt allein \(9\) Stunden, der Auszubildende \(18\) Stunden. 6. In \(6\) Stunden erledigt der Gärtner den Anteil \(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\) der Gesamtarbeit.

a) Der Gärtner benötigt allein \(9\) Stunden, der Auszubildende allein \(18\) Stunden. b) Der Gärtner erledigt \(\frac{2}{3}\) der Gesamtarbeit, denn in \(6\) Stunden schafft er \(\frac{6}{9}\) seiner Alleinarbeit.

- Überlege dir, welchen Bruchteil der Arbeit die Roboter pro Stunde verrichten. - Wenn die gemeinsame Zeit \(x\) ist, wie lässt sich dann die Zeit der einzelnen Roboter ausdrücken? - Kannst du eine Gleichung für die Gesamtarbeitsleistung pro Stunde aufstellen?

Zuerst wird die gemeinsame Arbeitszeit mit \(x\) bezeichnet. Die Einzelzeiten der Roboter betragen dann \(x + 16\) und \(x + 9\). Da die Summe der Einzelleistungen der Gesamtleistung entspricht, ergibt sich die Bruchgleichung \(\frac{1}{x} = \frac{1}{x+16} + \frac{1}{x+9}\). Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x+16)(x+9)\) erhält man die Gleichung \((x+16)(x+9) = x(x+9) + x(x+16)\). Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt sich \(x^2 + 25x + 144 = 2x^2 + 25x\). Dies vereinfacht sich zu \(x^2 = 144\). Da die Zeit positiv sein muss, folgt \(x = 12\). Die gemeinsame Zeit beträgt somit \(12\,\text{Stunden}\). Die Einzelzeiten berechnen sich zu \(12 + 16 = 28\,\text{Stunden}\) für den ersten Roboter und \(12 + 9 = 21\,\text{Stunden}\) für den zweiten Roboter.

Gemeinsame Zeit: \(12\,\text{Stunden}\). Einzelzeiten: \(28\,\text{Stunden}\) und \(21\,\text{Stunden}\).

- Welche zwei gut ablesbaren Punkte liegen auf dem mit \(E\) bezeichneten Graphen? - Was bedeutet „weder Gewinn noch Verlust“ für Kosten und Erlös? - Welche quadratische Gleichung entsteht beim Gleichsetzen der beiden Funktionen? - Wie berechnet sich der Gewinn aus Erlös und Kosten?

1. Der mit \(E\) bezeichnete Graph ist eine Gerade durch \((0\mid0)\). Aus einem weiteren gut ablesbaren Punkt wie \((10\mid400)\) folgt die Steigung \(m=\frac{400}{10}=40\). Daher ist \(E(x)=40x\). 2. Für Gewinnschwelle und Gewinngrenze gilt \(E(x)=K(x)\). Also ist \(40x=0{,}5x^2+15x+200\). 3. Umformen ergibt \(x^2-50x+400=0\). 4. Es gilt \(x^2-50x+400=(x-10)(x-40)\). Daher sind die beiden Produktionsmengen \(x=10\) und \(x=40\). 5. Für \(x=30\) ist \(E(30)=40\cdot30=1200\,\text{€}\). 6. Die Kosten betragen \(K(30)=0{,}5\cdot30^2+15\cdot30+200=1100\,\text{€}\). 7. Der Gewinn ist \(1200\,\text{€}-1100\,\text{€}=100\,\text{€}\).

a) \(E(x)=40x\) b) \(x_1=10\) und \(x_2=40\) c) \(100\,\text{€}\)

- Schau dir den geraden Graphen an. Welche Form hat eine Funktionsgleichung für eine Gerade, die durch den Ursprung geht? - Um den Punkt zu finden, an dem beide Maschinen gleich viel kosten, musst du nach der Stelle suchen, an der sich die Graphen schneiden. - Wie kannst du mathematisch zeigen, dass zwei Funktionswerte an einer bestimmten Stelle gleich sind? - Setze die Stückzahl \(50\) in beide Funktionsgleichungen ein, um die jeweiligen Kosten zu vergleichen.

1. Bestimmung der Gleichung für Maschine A: Der Graph ist eine Ursprungsgerade. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(40 \mid 480)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{480}{40} = 12\). Somit lautet die Gleichung \(y = 12x\). 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionen \(0{,}3x^2 = 12x\). Da \(x > 0\) gesucht ist, dividiert man durch \(x\) und erhält \(0{,}3x = 12\), woraus \(x = 40\) folgt. Bei \(40\) Stück sind die Kosten mit \(480\,\text{€}\) gleich. 3. Kostenvergleich bei \(x = 50\): Maschine A: \(y_A = 12 \cdot 50 = 600\,\text{€}\). Maschine B: \(y_B = 0{,}3 \cdot 50^2 = 0{,}3 \cdot 2500 = 750\,\text{€}\). Maschine A ist um \(750\,\text{€} - 600\,\text{€} = 150\,\text{€}\) günstiger.

a) Die Gleichung für Maschine A lautet \(y = 12x\). b) Bei einer Stückzahl von \(40\) sind die Kosten gleich hoch (\(480\,\text{€}\)). c) Bei \(50\) Stück ist Maschine A günstiger; man spart \(150\,\text{€}\) pro Tag.

- Welcher wirtschaftliche Graph muss bei Produktionsmenge \(0\) ebenfalls den Wert \(0\) haben? - Was bedeutet ein positiver Kostenwert bei \(x=0\)? - In welchem Bereich liegt der Gewinngraph oberhalb der \(x\)-Achse? - Welche Stelle liefert bei einer nach unten geöffneten Parabel das Maximum?

1. Graph \(f\) ist der Umsatz, weil er bei Produktionsmenge \(0\) durch den Ursprung verläuft. Graph \(g\) sind die Gesamtkosten, weil bei \(x=0\) bereits positive Kosten entstehen. Graph \(h\) ist damit der Gewinn als Differenz aus Umsatz und Gesamtkosten. 2. Der Kostengraph \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(10\). Die Fixkosten betragen daher \(10\cdot100\,\text{€}=1000\,\text{€}\). 3. Gewinn entsteht dort, wo Graph \(h\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Aus der Abbildung liest man ungefähr \(4<x<26\), also etwa \(400\,\text{L}\) bis \(2600\,\text{L}\). 4. Für \(G(x)=-0{,}1x^2+3x-10\) gilt \(x_S=-\frac{3}{2\cdot(-0{,}1)}=15\). 5. Es ist \(G(15)=12{,}5\). Somit wird der maximale Gewinn bei \(1500\,\text{L}\) erreicht und beträgt \(1250\,\text{€}\).

a) \(f\): Umsatz, weil der Graph durch den Ursprung verläuft; \(g\): Gesamtkosten, weil bei \(x=0\) Fixkosten vorliegen; \(h\): Gewinn als Differenz. b) \(1000\,\text{€}\) c) ungefähr \(4<x<26\), also etwa \(400\,\text{L}\) bis \(2600\,\text{L}\) d) maximal \(1250\,\text{€}\) bei \(1500\,\text{L}\)

- Welchen Wert hat die Höhe genau in dem Moment, in dem der Ball den Boden erreicht? - Welche quadratische Gleichung entsteht daraus? - Welche Zeitwerte gehören überhaupt zum beschriebenen Zeitraum nach dem Abwurf?

1. Am Boden gilt \(h(t)=0\). Daher ist \(-5t^2+20t+5=0\). 2. Division durch \(-5\) ergibt \(t^2-4t-1=0\). 3. Mit der Lösungsformel erhält man \(t=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=2\pm\sqrt{5}\). 4. Damit ist \(t\approx4{,}2\,\text{s}\) oder \(t\approx-0{,}2\,\text{s}\). 5. Das Modell beschreibt Zeiten nach dem Abwurf, also \(t\ge0\). Daher wird die negative Lösung verworfen.

Der Ball erreicht nach etwa \(4{,}2\,\text{s}\) den Boden. Die negative mathematische Lösung wird verworfen, weil nur Zeiten \(t\ge0\) nach dem Abwurf gemeint sind.

- Wie verändern sich Kartenpreis und verkaufte Kartenanzahl in Abhängigkeit von \(x\)? - Wie wird aus Preis und Anzahl der Umsatz berechnet? - Prüfe für jede gefundene Lösung, ob Preis und Kartenanzahl im Modell sinnvoll bleiben.

1. Nach einer Preiserhöhung um \(x\,\text{€}\) kostet eine Karte \((10+x)\,\text{€}\), und es werden \(80-5x\) Karten verkauft. 2. Die Umsatzbedingung lautet \((10+x)(80-5x)=840\). 3. Ausmultiplizieren und Umformen ergibt \(x^2-6x+8=0\). 4. Faktorisieren liefert \((x-2)(x-4)=0\). Daher gilt \(x=2\) oder \(x=4\). 5. Für \(x=2\) werden \(70\) Karten zu \(12\,\text{€}\) verkauft; für \(x=4\) sind es \(60\) Karten zu \(14\,\text{€}\). Beide Fälle ergeben \(840\,\text{€}\) Umsatz und erfüllen die Modellbedingungen.

Die Preiserhöhung kann \(2\,\text{€}\) oder \(4\,\text{€}\) betragen. Beide Lösungen sind sinnvoll: \(70\cdot12\,\text{€}=840\,\text{€}\) und \(60\cdot14\,\text{€}=840\,\text{€}\).

- Wie hängen Außenfläche, Innenfläche und Rahmenfläche zusammen? - Welche Außenmaße sind in der Abbildung angegeben, und wie verändert ein Rand der Breite \(x\) die inneren Seitenlängen? - Welche Größenbeschränkung muss die Rahmenbreite erfüllen, damit das innere Rechteck existiert?

1. Aus der Abbildung liest man die Außenmaße \(14\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\) ab. Die Außenfläche beträgt daher \(14\cdot10=140\,\text{cm}^2\). 2. Da der Rahmen \(80\,\text{cm}^2\) groß ist, hat das innere Rechteck die Fläche \(60\,\text{cm}^2\). 3. Die inneren Seitenlängen sind \(14-2x\) und \(10-2x\). Deshalb gilt \((14-2x)(10-2x)=60\). 4. Vereinfachen ergibt \(x^2-12x+20=0\). 5. Es gilt \(x^2-12x+20=(x-2)(x-10)\). Daher ist \(x=2\) oder \(x=10\). 6. Für ein inneres Rechteck muss \(0<x<5\) gelten. Somit ist nur \(x=2\,\text{cm}\) möglich.

Die Rahmenbreite beträgt \(2\,\text{cm}\). Die Lösung \(x=10\,\text{cm}\) ist unzulässig, weil dann keine positiven Innenmaße übrig bleiben.

- Welche Seiten sind in der Abbildung die beiden Katheten und welche ist die Hypotenuse? - Welche Beziehung gilt in einem rechtwinkligen Dreieck zwischen den drei Seitenlängen? - Welche Bedingung muss eine Seitenlänge nach dem Lösen der Gleichung erfüllen?

1. Aus der Abbildung liest man die Kathetenlängen \(x\,\text{cm}\) und \((x+2)\,\text{cm}\) sowie die Hypotenuse \(10\,\text{cm}\) ab. 2. Mit dem Satz des Pythagoras gilt \(x^2+(x+2)^2=10^2\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt \(x^2+2x-48=0\). 4. Faktorisieren liefert \((x-6)(x+8)=0\). Daher sind \(x=6\) und \(x=-8\) die mathematischen Lösungen. 5. Eine Seitenlänge muss positiv sein. Deshalb ist nur \(x=6\,\text{cm}\) zulässig. 6. Die Seitenlängen sind damit \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\).

\(x=6\,\text{cm}\); die Seitenlängen sind \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\). \(x=-8\) ist als Seitenlänge unzulässig.

- Wie kannst du die Zahl der Module pro Reihe durch \(x\) ausdrücken? - Wie verändern sich beide Faktoren der rechteckigen Anordnung im zweiten Zustand? - Welche Gleichung beschreibt die Gesamtzahl \(306\) im vergrößerten Raster? - Was bedeutet es im Sachkontext, wenn zwei positive ganzzahlige Lösungen entstehen?

1. Bei \(x\) Reihen liegen in jeder Reihe \(\frac{210}{x}\) Module. 2. Nach der Vergrößerung gilt \((x+3)\left(\frac{210}{x}+3\right)=306\). 3. Ausmultiplizieren und Multiplikation mit \(x\) ergeben \(3x^2-87x+630=0\), also \(x^2-29x+210=0\). 4. Faktorisieren liefert \((x-14)(x-15)=0\). Daher ist \(x=14\) oder \(x=15\). 5. Zu \(x=14\) gehören \(15\) Module pro Reihe, zu \(x=15\) gehören \(14\) Module pro Reihe. Beide Lösungen beschreiben dieselbe rechteckige Anordnung mit vertauschter Orientierung. 6. Kontrolle: \(14\cdot15=210\) und \(17\cdot18=306\).

Quadratische Gleichung: \(x^2-29x+210=0\) Die ursprüngliche Anordnung hat \(14\) Reihen mit je \(15\) Modulen oder, äquivalent gedreht, \(15\) Reihen mit je \(14\) Modulen.

- Welche Beziehung gilt zwischen den drei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks? - Wie kannst du die kürzere Kathete mithilfe der längeren ausdrücken? - Welche der rechnerischen Lösungen ist als Seitenlänge möglich? - Wie berechnest du aus den beiden Katheten den Flächeninhalt?

1. Sei \(a\) die längere Kathete in Zentimetern. Dann ist die kürzere Kathete \(a-5\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(a^2+(a-5)^2=25^2\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt \(a^2-5a-300=0\). 4. Es gilt \(a^2-5a-300=(a-20)(a+15)\). Daher ist \(a=20\) oder \(a=-15\). 5. Nur die positive Seitenlänge ist möglich. Die Katheten sind \(20\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\). 6. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot20\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=150\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(150\,\text{cm}^2\).

- Welche Zusammenhänge bestehen zwischen der täglichen Arbeitsmenge, der Zeit und der Gesamtmenge? - Kannst du die geplante Zeit durch die geplante Tagesmenge ausdrücken? - Wie viele Tage wurde insgesamt tatsächlich gearbeitet, wenn die Arbeit früher fertig war? - Stelle eine Gleichung für die tatsächlich produzierte Gesamtmenge auf, indem du die zwei Arbeitsphasen (Normalbetrieb und gesteigerte Produktion) addierst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die geplante Tagesnorm in Bauteilen pro Tag, \(t\) ist die geplante Zeit in Tagen. 2. Aufstellen der Gleichung für den Plan: \(xt = 400\), daraus folgt \(t = \frac{400}{x}\). 3. Aufstellen der Gleichung für den tatsächlichen Verlauf: In den ersten 2 Tagen wurden \(2x\) Teile gefertigt. Die restliche Arbeitszeit betrug \((t - 1) - 2 = t - 3\) Tage mit einer Rate von \(x + 10\). Die Gesamtstückzahl ist \(2x + (t - 3)(x + 10) = 430\). 4. Einsetzen von \(t\): \(2x + (\frac{400}{x} - 3)(x + 10) = 430\). 5. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(2x + 400 + \frac{4000}{x} - 3x - 30 = 430 \Rightarrow -x + 370 + \frac{4000}{x} = 430\). 6. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(-x + \frac{4000}{x} - 60 = 0 \Rightarrow x^2 + 60x - 4000 = 0\). 7. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(x = \frac{-60 \pm \sqrt{3600 + 16000}}{2} = \frac{-60 \pm 140}{2}\). 8. Da die Produktionsrate positiv sein muss, ergibt sich \(x = \frac{80}{2} = 40\).

Laut Plan sollten täglich \(40\) Bauteile produziert werden.

- Welche zwei Größen bestimmen die Gesamtzahl der Stellplätze? - Wie kannst du die Stellplätze pro Reihe durch die ursprüngliche Reihenanzahl ausdrücken? - Welche Gleichung beschreibt den Zustand nach dem Umbau? - Denke daran, am Ende die Reihenanzahl nach der Erweiterung anzugeben.

1. Sei \(r\) die ursprüngliche Anzahl der Reihen und \(s\) die Zahl der Stellplätze pro Reihe. Dann gilt \(rs=300\) und \((r+5)(s+2)=440\). 2. Aus \(rs=300\) folgt \(s=\frac{300}{r}\). Einsetzen ergibt \((r+5)\left(\frac{300}{r}+2\right)=440\). 3. Vereinfachen und Multiplikation mit \(r\) führen zu \(r^2-65r+750=0\). 4. Es gilt \(r^2-65r+750=(r-15)(r-50)\). Damit ist \(r=15\) oder \(r=50\). 5. Nach der Erweiterung gibt es daher entweder \(15+5=20\) Reihen oder \(50+5=55\) Reihen. 6. Beide Fälle sind auch mit ganzzahligen Stellplatzzahlen pro Reihe möglich und erfüllen die Angaben.

Nach der Erweiterung hat der Parkplatz entweder \(20\) Reihen oder \(55\) Reihen.

- Beachte, dass sich die Eigengeschwindigkeit des Bootes zwischen Hin- und Rückweg ändert. - Wie wirkt sich die Strömung jeweils auf die aktuelle Eigengeschwindigkeit aus? - Erstelle Terme für die Zeit des Hinwegs und des Rückwegs. - Die Summe dieser Zeiten entspricht der Gesamtfahrzeit. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, welche der mathematischen Lösungen im Sachkontext sinnvoll ist.

1. Sei \(v\) die ursprüngliche Eigengeschwindigkeit des Bootes in \(\text{km/h}\). 2. Geschwindigkeit auf dem Hinweg (gegen die Strömung): \(v - 3\). 3. Eigengeschwindigkeit auf dem Rückweg: \(v + 3\). Gesamtgeschwindigkeit auf dem Rückweg (mit der Strömung): \((v + 3) + 3 = v + 6\). 4. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtzeit: \(\frac{36}{v - 3} + \frac{36}{v + 6} = 6\). 5. Vereinfachen durch Division durch 6: \(\frac{6}{v - 3} + \frac{6}{v + 6} = 1\). 6. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((v - 3)(v + 6)\): \(6(v + 6) + 6(v - 3) = (v - 3)(v + 6)\). 7. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(12v + 18 = v^2 + 3v - 18 \Rightarrow v^2 - 9v - 36 = 0\). 8. Lösen der quadratischen Gleichung: \((v - 12)(v + 3) = 0\). 9. Da \(v > 3\) sein muss (um gegen die Strömung voranzukommen), ist die Lösung \(v = 12\).

Die ursprüngliche Eigengeschwindigkeit des Bootes betrug \(12\,\text{km/h}\).

- Welchen Anteil des Beckens füllt jede Pumpe in einer Stunde, wenn sie allein arbeitet? - Wie lange arbeitet jede Pumpe tatsächlich an der gemeinsamen Füllung? - Welche Bedingung folgt daraus, dass die zweite Pumpe vier Stunden schneller ist? - Welche der Lösungen der entstehenden quadratischen Gleichung erfüllt diese Bedingung?

1. Sei \(x\) die Zeit in Stunden, die die erste Pumpe allein benötigt. Die zweite Pumpe benötigt dann \(x-4\) Stunden; daher muss \(x>4\) gelten. 2. Die erste Pumpe arbeitet insgesamt \(5\) Stunden, die zweite \(3\) Stunden. Somit gilt \(\frac{5}{x}+\frac{3}{x-4}=1\). 3. Multiplikation mit \(x(x-4)\) und Vereinfachen ergeben \(x^2-12x+20=0\). 4. Es gilt \(x^2-12x+20=(x-10)(x-2)\). Daher ist \(x=10\) oder \(x=2\). 5. Wegen \(x>4\) ist nur \(x=10\) zulässig. Die zweite Pumpe benötigt damit \(10-4=6\) Stunden.

Die erste Pumpe benötigt allein \(10\,\text{Stunden}\), die zweite Pumpe \(6\,\text{Stunden}\).

- Definiere eine Variable für die Zeit, die die schnellere Maschine benötigt. Drücke die Zeit der langsameren Maschine durch diese Variable aus. - Erinnere dich daran, wie man die Arbeitsleistung pro Stunde addiert. - Nachdem du die Zeiten berechnet hast, multipliziere die jeweilige Dauer mit den angegebenen Stundensätzen. - Beachte, dass beim gleichzeitigen Arbeiten die Kosten beider Maschinen pro Stunde addiert werden müssen.

1. Sei \(x\) die Zeit für Mähdrescher A in Stunden. Dann benötigt Mähdrescher B \(x + 5\) Stunden. 2. Aufstellen der Arbeitsgleichung: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\). 3. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6x(x+5)\): \(6(x+5) + 6x = x(x+5)\). 4. Umformung zur Normalform: \(12x + 30 = x^2 + 5x \Rightarrow x^2 - 7x - 30 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2} = \frac{7 \pm 13}{2}\). 6. Da die Zeit positiv sein muss: \(x = 10\). Mähdrescher A benötigt \(10\,\text{h}\), Mähdrescher B benötigt \(15\,\text{h}\). 7. Kostenrechnung für gleichzeitigen Einsatz: \((110\,\text{€/h} + 70\,\text{€/h}) \cdot 6\,\text{h} = 180\,\text{€/h} \cdot 6\,\text{h} = 1080\,\text{€}\). 8. Kostenrechnung für Maschine B allein: \(70\,\text{€/h} \cdot 15\,\text{h} = 1050\,\text{€}\). 9. Vergleich: \(1050\,\text{€} < 1080\,\text{€}\). Es ist günstiger, nur Maschine B einzusetzen.

a) Mähdrescher A benötigt allein \(10\,\text{Stunden}\), Mähdrescher B benötigt allein \(15\,\text{Stunden}\). b) Es ist kostengünstiger, nur Mähdrescher B einzusetzen (\(1050\,\text{€}\) gegenüber \(1080\,\text{€}\) bei gemeinsamem Einsatz).

- Welche Maße des ursprünglichen Pappstücks und der Eckquadrate kannst du aus der Abbildung ablesen? - Wie verändern sich Länge und Breite des Schachtelbodens durch die beiden Ausschnitte an jeder Seite? - Welche Höhe hat die Schachtel nach dem Hochbiegen? - Welche Bedingung muss \(x\) erfüllen, damit ein Schachtelboden übrig bleibt?

1. Aus der Abbildung liest man für das ursprüngliche Rechteck die Breite \(x\) und die Länge \(x+10\) ab. Die ausgeschnittenen Quadrate haben die Seitenlänge \(2\,\text{cm}\). 2. Nach dem Ausschneiden ist die Schachtel \(2\,\text{cm}\) hoch. Der Boden hat die Seitenlängen \(x-4\) und \(x+6\). 3. Aus dem Volumen folgt \(2(x-4)(x+6)=192\), also \((x-4)(x+6)=96\). 4. Vereinfachen ergibt \(x^2+2x-120=0\). 5. Es gilt \(x^2+2x-120=(x-10)(x+12)\). Daher ist \(x=10\) oder \(x=-12\). 6. Für die Schachtel muss \(x>4\) gelten. Somit ist die ursprüngliche Breite \(10\,\text{cm}\) und die Länge \(20\,\text{cm}\).

Das Stück Pappe ist \(20\,\text{cm}\) lang und \(10\,\text{cm}\) breit.

- Welche Gleichung entsteht, wenn du die gegebene Diagonalenformel mit \(90\) gleichsetzt? - Wie ändert sich die Formel, wenn das Vieleck statt \(n\) nun \(n+1\) Ecken hat? - Welche Differenz musst du bilden, um nur die zusätzlich entstehenden Diagonalen zu erfassen?

1. Für Teil a) gilt \(\frac{n(n-3)}{2}=90\). 2. Umformen ergibt \(n^2-3n-180=0\). 3. Mit der Lösungsformel folgt \(n_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{729}}{2}=\frac{3\pm27}{2}\). 4. Als Eckenzahl ist nur \(n=15\) zulässig. 5. Für ein Vieleck mit \(n+1\) Ecken gilt \(d_{n+1}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}\). 6. Der Zuwachs ist \(d_{n+1}-d_n=\frac{(n+1)(n-2)-n(n-3)}{2}=n-1\). 7. Für \(n=15\) erhält man \(14\) zusätzliche Diagonalen.

a) Das Vieleck hat \(15\) Ecken. b) Der Zuwachs beträgt allgemein \(n-1\) Diagonalen; für \(n=15\) sind es \(14\) zusätzliche Diagonalen.

- Wie groß ist der Gewinn im ersten Jahr im Verhältnis zum Startkapital? - Welches Kapital steht zu Beginn des zweiten Jahres zur Verfügung? - Wie kannst du ausdrücken, dass im zweiten Jahr derselbe prozentuale Gewinn erzielt wird? - Prüfe am Ende, ob beide mathematischen Lösungen als Startkapital möglich sind.

1. Der Gewinnfaktor des ersten Jahres ist \(\frac{500}{x}\). Zu Beginn des zweiten Jahres stehen \(x+500\) Euro zur Verfügung. 2. Da der prozentuale Gewinn im zweiten Jahr gleich ist, gilt \((x+500)\left(1+\frac{500}{x}\right)=3600\). 3. Dies ist gleichbedeutend mit \(\frac{(x+500)^2}{x}=3600\). Nach Multiplikation mit \(x\) folgt \(x^2-2600x+250\,000=0\). 4. Mit der Lösungsformel erhält man \(x=\frac{2600\pm\sqrt{2600^2-4\cdot250000}}{2}=\frac{2600\pm2400}{2}\). 5. Damit sind \(x=2500\) und \(x=100\). Beide Werte sind positive Startkapitalien und erfüllen die Vorgaben.

Das Startkapital betrug entweder \(2500\,\text{€}\) oder \(100\,\text{€}\).

- Wie groß ist die innere Motivfläche, wenn die Randfläche bekannt ist? - Wie hängen die Seitenlängen des Motivs von \(x\) ab? - Für Teil b kannst du die halbe Randbreite in dieselbe Flächenidee einsetzen. - Ist die Randfläche als Funktion von \(x\) überhaupt linear?

1. Die Gesamtfläche des Plakats beträgt \(60\cdot40=2400\,\text{cm}^2\). Damit muss die Motivfläche \(2400-900=1500\,\text{cm}^2\) betragen. 2. Für die Motivfläche gilt \((60-2x)(40-2x)=1500\). 3. Vereinfachen ergibt \(x^2-50x+225=0\). 4. Es gilt \(x^2-50x+225=(x-5)(x-45)\). Wegen \(0<x<20\) bleibt \(x=5\,\text{cm}\). 5. Bei halbierter Randbreite \(x=2{,}5\,\text{cm}\) hat das Motiv die Fläche \(55\cdot35=1925\,\text{cm}^2\). 6. Der neue Rand hat daher die Fläche \(2400-1925=475\,\text{cm}^2\). Das ist nicht die Hälfte von \(900\,\text{cm}^2\), also ist die Behauptung falsch.

a) Der Rand ist \(5\,\text{cm}\) breit. b) Die Aussage ist falsch. Bei halbierter Randbreite beträgt die Randfläche \(475\,\text{cm}^2\) statt \(450\,\text{cm}^2\).

- Schreibe den Term für die Fläche eines Rahmens allgemein mit den Variablen für Länge, Breite und Rahmenbreite auf. - Was passiert mit dem Rahmeninhalt, wenn die Rahmenbreite gleich bleibt, aber das Foto schmaler und länger wird? - Betrachte die Formel für den Flächeninhalt des Rahmens und schaue, welche Teile konstant bleiben und welche sich ändern.

1. Aufstellen der Gleichung für Foto 1: \((6 + 2x)(10 + 2x) - 6 \cdot 10 = 80\). 2. Vereinfachen: \(60 + 12x + 20x + 4x^2 - 60 = 80 \Rightarrow 4x^2 + 32x - 80 = 0\). 3. Normalform: \(x^2 + 8x - 20 = 0\). 4. Lösen: \((x + 10)(x - 2) = 0\). Da \(x > 0\), folgt \(x = 2\,\text{cm}\). 5. Analyse der Rahmenfläche: Die Fläche eines Rahmens mit Breite \(x\) um ein Rechteck mit den Seiten \(a\) und \(b\) ist \(A_{\text{Rahmen}} = (a + 2x)(b + 2x) - ab = 2ax + 2bx + 4x^2 = 2x(a + b) + 4x^2\). 6. Vergleich: Bei gleicher Breite \(x\) hängt die Rahmenfläche nur von der Summe der Seitenlängen \((a + b)\) ab. 7. Foto 1: \(6 + 10 = 16\). Foto 2: \(4 + 15 = 19\). 8. Da \(19 > 16\), ist der Umfang bzw. die Summe der Seitenlängen bei Foto 2 größer, weshalb der Rahmen bei gleicher Breite eine größere Fläche einnimmt. Der Rahmen von Foto 2 ist also größer als \(80\,\text{cm}^2\).

a) Die Breite des Rahmens beträgt \(2\,\text{cm}\). b) Der Flächeninhalt des zweiten Rahmens ist größer. Begründung: Die Rahmenfläche lässt sich durch den Term \(2x(a+b) + 4x^2\) beschreiben. Da die Rahmenbreite \(x\) identisch ist, hängt die Fläche von der Summe der Seitenlängen \((a+b)\) ab. Da \(4 + 15 = 19\) größer ist als \(6 + 10 = 16\), ist der Flächeninhalt des zweiten Rahmens größer.

- Stelle dir vor, wie viel reiner Essig nach dem ersten Schritt noch im Fass ist. - Wie verändert sich der Anteil des Essigs an der Gesamtflüssigkeit durch das erste Auffüllen? - Überlege, wie viel Essig im zweiten Schritt anteilig mit der Mischung entfernt wird. - Kannst du einen Term für die Restmenge Essig aufstellen, der nur von der unbekannten Menge \(x\) abhängt? - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Vergleich zum Gesamtvolumen des Fasses logisch ist.

1. Sei \(x\) die Menge der jeweils entnommenen Flüssigkeit in Litern. 2. Nach der ersten Entnahme und dem Auffüllen mit Wasser beträgt die Menge an Essig \(18 - x\). Die Konzentration des Essigs ist nun \(\frac{18 - x}{18}\). 3. Bei der zweiten Entnahme von \(x\) Litern der Mischung wird die Menge \(x \cdot \frac{18 - x}{18}\) an Essig entfernt. 4. Die verbleibende Essigmenge nach dem zweiten Schritt ist \(S_2 = (18 - x) - x \cdot \frac{18 - x}{18} = (18 - x) \cdot (1 - \frac{x}{18}) = \frac{(18 - x)^2}{18}\). 5. Laut Aufgabenstellung gilt \(\frac{(18 - x)^2}{18} = 8\). 6. Umstellen der Gleichung: \((18 - x)^2 = 144\). 7. Wurzelziehen ergibt \(18 - x = 12\) oder \(18 - x = -12\). 8. Die Lösungen sind \(x = 6\) oder \(x = 30\). Da die entnommene Menge nicht größer als das Fassungsvermögen sein kann (\(x \le 18\)), ist nur \(x = 6\) sinnvoll. 9. Es wurden jeweils \(6\,\text{l}\) entnommen.

Es wurden jeweils \(6\,\text{l}\) entnommen.

- Wie hoch ist der Anteil des Konzentrats nach der ersten Verdünnung? - Wenn man zweimal hintereinander auf dieselbe Weise verdünnt, wie wirkt sich das auf den prozentualen Anteil aus? - Setze den Anteil nach zwei Schritten mit dem gegebenen Prozentwert gleich. - Achte darauf, dass das gesuchte Volumen \(V\) größer sein muss als die entnommene Menge von \(4\,\text{l}\).

1. Sei \(V\) das Fassungsvermögen des Behälters in Litern. Die Konzentration nach dem ersten Auffüllen ist \(\frac{V - 4}{V}\). 2. Da im zweiten Schritt erneut im gleichen Verhältnis verdünnt wird, ist die Endkonzentration das Quadrat der Konzentration nach dem ersten Schritt: \(C_{\text{Ende}} = \left(\frac{V - 4}{V}\right)^2\). 3. Laut Aufgabe entspricht dies \(56{,}25\,\%\), also \(0{,}5625\). 4. Es ergibt sich die Gleichung \(\left(1 - \frac{4}{V}\right)^2 = 0{,}5625\). 5. Durch Ziehen der Quadratwurzel erhält man \(1 - \frac{4}{V} = 0{,}75\) (die negative Wurzel \(-0{,}75\) führt zu einem physikalisch nicht sinnvollen Wert für \(V\), der kleiner als die Entnahmemenge wäre). 6. Auflösen nach \(V\): \(\frac{4}{V} = 0{,}25\). 7. Daraus folgt \(V = \frac{4}{0{,}25} = 16\). 8. Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt \(16\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt \(16\,\text{l}\).

- Fertige eine Skizze an und markiere den Treffpunkt. - Überlege, welche Teilstrecke Anton vor dem Treffen zurückgelegt hat und wer diese Teilstrecke nach dem Treffen wandert. - Nutze die Formel Geschwindigkeit mal Zeit gleich Wegstrecke. - Was kannst du über das Verhältnis der Geschwindigkeiten aussagen?

1. Sei \(t\) die Zeit in Stunden bis zum Treffen und \(v_A, v_B\) die Geschwindigkeiten. 2. Die Strecke von \(A\) zum Treffpunkt ist \(s_1 = v_A \cdot t\). Diese Strecke legt Bert nach dem Treffen in \(9\,\text{Stunden}\) zurück: \(s_1 = v_B \cdot 9\). 3. Die Strecke vom Treffpunkt nach \(B\) ist \(s_2 = v_B \cdot t\). Diese Strecke legt Anton nach dem Treffen in \(4\,\text{Stunden}\) zurück: \(s_2 = v_A \cdot 4\). 4. Aus den Gleichungen folgt: \(\frac{v_A}{v_B} = \frac{9}{t}\) und \(\frac{v_A}{v_B} = \frac{t}{4}\). 5. Gleichsetzen ergibt \(\frac{9}{t} = \frac{t}{4} \Rightarrow t^2 = 36 \Rightarrow t = 6\,\text{h}\) (da \(t > 0\)). 6. Anton war insgesamt \(t + 4 = 6 + 4 = 10\,\text{h}\) unterwegs. 7. Bert war insgesamt \(t + 9 = 6 + 9 = 15\,\text{h}\) unterwegs.

Anton war insgesamt \(10\,\text{Stunden}\) und Bert insgesamt \(15\,\text{Stunden}\) unterwegs.

- Denke an die Umrechnung von Minuten in Stunden, damit alle Einheiten zusammenpassen. - Stelle eine Gleichung für den Zeitunterschied der beiden Fahrzeuge auf. - Für Teil b: Überlege, wie sich Fahrzeiten verhalten, wenn man allgemein schneller fährt. Macht ein Geschwindigkeitsunterschied von \(20\,\text{km/h}\) bei sehr hohen oder bei sehr niedrigen Geschwindigkeiten zeitlich mehr aus?

1. Teil a: Variablen festlegen: Geschwindigkeit des Busses \(v\) in \(\text{km/h}\), Geschwindigkeit des Pkw \(v + 20\). 2. Zeitdifferenzgleichung aufstellen (\(30\,\text{min} = 0{,}5\,\text{h}\)): \(\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 20} = 0{,}5\). 3. Multiplikation mit \(2v(v + 20)\) und Vereinfachung: \(240(v + 20) - 240v = v(v + 20) \Rightarrow 4800 = v^2 + 20v\). 4. Quadratische Gleichung lösen: \(v^2 + 20v - 4800 = 0 \Rightarrow v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 19200}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}\). 5. Ergebnis: \(v = 60\,\text{km/h}\) (da \(v > 0\)). Geschwindigkeiten: Bus \(60\,\text{km/h}\), Pkw \(80\,\text{km/h}\). 6. Teil b: Die Zeitdifferenz ist \(\Delta t = \frac{s}{v} - \frac{s}{v + \Delta v} = \frac{s \cdot \Delta v}{v(v + \Delta v)}\). Wenn die Grundgeschwindigkeit \(v\) steigt, während der Abstand \(\Delta v\) gleich bleibt, wird der Nenner größer und der Gesamtwert (der Zeitvorsprung) kleiner.

a) Der Bus fährt mit \(60\,\text{km/h}\), der Pkw mit \(80\,\text{km/h}\). b) Der Zeitvorsprung würde sich verringern.

- Welche einzige Geschwindigkeitsvariable kannst du wählen, wenn sich die beiden Geschwindigkeiten um \(1\,\text{km/h}\) unterscheiden? - Die Strecke, die ein Wanderer nach dem Treffen noch zurücklegt, hat der andere vor dem Treffen bereits zurückgelegt. - Wie kannst du ausdrücken, dass beide Wanderer bis zum Treffpunkt gleich lange unterwegs waren? - Prüfe bei den Lösungen der entstehenden Gleichung, welche Vorzeichen für eine Geschwindigkeit zulässig sind.

1. Sei \(v>0\) die Geschwindigkeit des langsameren Wanderers. Dann beträgt die Geschwindigkeit des schnelleren Wanderers \(v+1\). 2. Nach dem Treffen legt der schnellere Wanderer bis \(P\) die Strecke \(4(v+1)\) zurück. Diese Strecke hat der langsamere Wanderer vor dem Treffen zurückgelegt. Entsprechend hat der schnellere Wanderer vor dem Treffen die Strecke \(9v\) zurückgelegt. 3. Beide waren bis zum Treffpunkt gleich lange unterwegs. Daher gilt \(\frac{4(v+1)}{v}=\frac{9v}{v+1}\). 4. Wegen \(v>0\) darf mit \(v(v+1)\) multipliziert werden: \(4(v+1)^2=9v^2\). Daraus folgt \(5v^2-8v-4=0\). 5. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(v_1=2\) und \(v_2=-0{,}4\). Die negative Lösung ist als Geschwindigkeit unzulässig, also gilt \(v=2\,\text{km/h}\). 6. Der schnellere Wanderer läuft mit \(3\,\text{km/h}\). Die beiden Teilstrecken sind \(4\cdot3\,\text{km}=12\,\text{km}\) und \(9\cdot2\,\text{km}=18\,\text{km}\). Insgesamt beträgt die Entfernung \(30\,\text{km}\).

Die Entfernung zwischen \(P\) und \(Q\) beträgt \(30\,\text{km}\).

- Skizziere die Situation und markiere den Treffpunkt. - Welche Strecke legt Anna nach dem Treffen zurück, und wer ist diese Strecke vor dem Treffen gelaufen? - Stelle eine Gleichung für die Zeitdauern bis zum Treffen auf und beachte den Zeitunterschied beim Start. - Eine Hilfsvariable für das Verhältnis der Geschwindigkeiten kann die Rechnung vereinfachen.

1. Definition der Geschwindigkeiten \(v_a\) und \(v_b\) (in \(\text{km/h}\)). 2. Bestimmung der Teilstrecken nach dem Treffen: Der Weg von A zum Treffpunkt ist \(d_a\), der Weg vom Treffpunkt zu B ist \(d_b\). Es gilt \(d_b = 1 \cdot v_a\) (Annas Weg nach Treffen) und \(d_a = 6 \cdot v_b\) (Bernds Weg nach Treffen). 3. Zeit bis zum Treffpunkt: Anna benötigte \(t_a = \frac{d_a}{v_a} = \frac{6 v_b}{v_a}\) Stunden. Bernd benötigte \(t_b = \frac{d_b}{v_b} = \frac{v_a}{v_b}\) Stunden. 4. Zeitbedingung nutzen: Da Anna \(1\) Stunde früher startete, war sie \(1\) Stunde länger unterwegs: \(t_a = t_b + 1 \Rightarrow \frac{6 v_b}{v_a} = \frac{v_a}{v_b} + 1\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: Setze \(x = \frac{v_a}{v_b}\), dann gilt \(\frac{6}{x} = x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0\). Die positive Lösung ist \(x = 2\), also \(v_a = 2 v_b\). 6. Nutzung der Differenzbedingung: \(d_a - d_b = 12 \Rightarrow 6 v_b - v_a = 12\). Mit \(v_a = 2 v_b\) folgt \(6 v_b - 2 v_b = 12 \Rightarrow 4 v_b = 12\). 7. Ergebnisse: \(v_b = 3\,\text{km/h}\), \(v_a = 6\,\text{km/h}\). 8. Gesamtdistanz: \(D = d_a + d_b = 6 \cdot 3 + 1 \cdot 6 = 18 + 6 = 24\,\text{km}\).

Anna läuft mit \(6\,\text{km/h}\), Bernd mit \(3\,\text{km/h}\). Die Entfernung zwischen A und B beträgt \(24\,\text{km}\).

- Achte darauf, alle Zeitangaben in die gleiche Einheit (Stunden) umzurechnen. - Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit zusammen? - Kannst du für jeden Teil der Strecke einen Term für die benötigte Zeit aufstellen? - Überlege, wie du den Unterschied zwischen den beiden Fahrzeiten mathematisch ausdrücken kannst. - Wenn du eine Gleichung mit Brüchen hast, wie kannst du diese in eine Form ohne Brüche bringen?

1. Aufstellen der Zeitgleichungen für beide Teilstrecken: \(t_1 = \frac{30}{v}\) und \(t_2 = \frac{45}{v+5}\). 2. Berücksichtigung der Zeitdifferenz von \(15\,\text{Minuten} = 0{,}25\,\text{h}\): \(\frac{45}{v+5} - \frac{30}{v} = 0{,}25\). 3. Umformen der Bruchgleichung in eine quadratische Gleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4v(v+5)\): \(180v - 120(v+5) = v(v+5)\). 4. Vereinfachen zur Normalform: \(v^2 - 55v + 600 = 0\). 5. Anwendung der Lösungsformel: \(v = \frac{55 \pm \sqrt{3025 - 2400}}{2} = \frac{55 \pm 25}{2}\). 6. Berechnung der Lösungen: \(v_1 = 40\,\text{km/h}\) und \(v_2 = 15\,\text{km/h}\). Beide Werte sind im Kontext des Radfahrens möglich.

Die ursprüngliche Geschwindigkeit betrug entweder \(15\,\text{km/h}\) oder \(40\,\text{km/h}\).

- Wie lässt sich die geplante Gesamtfahrzeit mithilfe von \(v\) ausdrücken? - Welche Strecke hat der Zug vor der Pause bereits zurückgelegt? - Wie lange dauert die Pause in Stunden? - Welche Zeitbilanz beschreibt eine trotzdem pünktliche Ankunft?

1. Sei \(v\) die ursprünglich geplante Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\). Die geplante Gesamtfahrzeit ist \(\frac{180}{v}\). 2. In den ersten \(2\) Stunden legt der Zug \(2v\,\text{km}\) zurück. Die Reststrecke beträgt \(180-2v\). 3. Die Pause dauert \(12\,\text{min}=0{,}2\,\text{h}\). Wegen der pünktlichen Ankunft gilt \(\frac{180}{v}=2{,}2+\frac{180-2v}{v+15}\). 4. Multiplikation mit \(v(v+15)\) und Vereinfachen ergeben \(v^2+165v-13\,500=0\). 5. Es gilt \(v^2+165v-13\,500=(v-60)(v+225)\). Daher ist \(v=60\) oder \(v=-225\). 6. Als Geschwindigkeit ist nur \(v=60\,\text{km/h}\) möglich.

Die ursprüngliche Geschwindigkeit des Zuges betrug \(60\,\text{km/h}\).

- Bringe die Zeitdifferenz pro Kilometer zuerst in Stunden. - Wie kannst du die Zeit pro Kilometer aus Gesamtzeit und Strecke bestimmen? - Welche Differenz der beiden Zeit-pro-Kilometer-Terme ist gegeben? - Welche der mathematischen Lösungen kann eine Weglänge sein?

1. Anton benötigt pro Kilometer \(\frac{2}{x}\,\text{h/km}\), Bert \(\frac{2}{x+10}\,\text{h/km}\). 2. Es gilt \(36\,\text{s}=0{,}01\,\text{h}\). Daher ist \(\frac{2}{x}-\frac{2}{x+10}=0{,}01\). 3. Multiplikation mit \(100x(x+10)\) und Vereinfachen ergeben \(x^2+10x-2000=0\). 4. Es gilt \(x^2+10x-2000=(x-40)(x+50)\). Wegen \(x>0\) ist \(x=40\,\text{km}\).

Antons Anfahrtsweg beträgt \(40\,\text{km}\).

- Stelle zuerst fest, welche Teilstrecken die beiden bis zum Zeitpunkt ihres Treffens zurückgelegt haben. - Wie hängen die Geschwindigkeit, die Zeit und die Entfernung nach dem Treffen für Wanderer A zusammen? - Kannst du die Zeit bis zum Treffen durch die Geschwindigkeiten ausdrücken? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch eine der beiden Geschwindigkeiten als Unbekannte vorkommt.

1. Seien \(v_A\) und \(v_B\) die Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\) und \(t\) die Zeit bis zum Treffen in \(\text{h}\). 2. Es gilt \((v_A+v_B)t=22{,}5\) und \(v_A=v_B+1\). 3. Nach dem Treffen legt A in \(2\) Stunden die Strecke zurück, die B vor dem Treffen zurückgelegt hat. Daher gilt \(v_Bt=2v_A\), also \(t=\frac{2v_A}{v_B}\). 4. Einsetzen in die Distanzgleichung und Verwenden von \(v_B=v_A-1\) ergibt \((2v_A-1)\frac{2v_A}{v_A-1}=22{,}5\). 5. Nach Multiplikation mit \(v_A-1\) entsteht \(4v_A^2-24{,}5v_A+22{,}5=0\). 6. Die rechnerischen Lösungen sind \(v_A=5\) oder \(v_A=1{,}125\). 7. Mit \(v_B=v_A-1\) folgen die Paare \((v_A;v_B)=(5;4)\) oder \((v_A;v_B)=(1{,}125;0{,}125)\). 8. Das zweite Paar verletzt die Vorgabe \(v_B>1\,\text{km/h}\). Daher bleibt nur \((v_A;v_B)=(5;4)\).

Wanderer A läuft mit \(5\,\text{km/h}\), Wanderer B mit \(4\,\text{km/h}\).

- Wie kannst du die Einzelfüllzeiten in Abhängigkeit von der gemeinsamen Zeit \(x\) ausdrücken? - Welche Beziehung gilt zwischen den drei Einzelleistungen und der gemeinsamen Leistung? - Welche Leitung ist nach dem Bestimmen der Einzelfüllzeiten die langsamste? - Wie verändert sich die Leistungsgleichung, wenn genau diese Leitung ausfällt?

1. Die Einzelfüllzeiten sind \(x+4\), \(x+10\) und \(2x\). Daher gilt \(\frac{1}{x}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+10}+\frac{1}{2x}\). 2. Nach Subtraktion von \(\frac{1}{2x}\) folgt \(\frac{1}{2x}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+10}\). 3. Multiplikation mit \(2x(x+4)(x+10)\) und Vereinfachen ergeben \(3x^2+14x-40=0\). 4. Es gilt \(3x^2+14x-40=(3x+20)(x-2)\). Wegen \(x>0\) ist \(x=2\,\text{h}\). 5. Damit sind die Einzelfüllzeiten \(6\,\text{h}\) für A, \(12\,\text{h}\) für B und \(4\,\text{h}\) für C. Leitung B ist die langsamste. 6. Ohne B beträgt die gemeinsame Leistung von A und C \(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}\) Becken pro Stunde. 7. Die neue Füllzeit ist daher \(\frac{12}{5}\,\text{h}=2{,}4\,\text{h}\).

Gemeinsam benötigen alle drei Leitungen \(2\,\text{Stunden}\). Die Einzelfüllzeiten betragen \(6\,\text{Stunden}\) für A, \(12\,\text{Stunden}\) für B und \(4\,\text{Stunden}\) für C. Ohne die langsamste Leitung B dauert die Befüllung \(2{,}4\,\text{Stunden}\).

- Welche Geschwindigkeiten gelten flussabwärts und flussaufwärts? - Welche Summe der beiden Fahrzeiten ist gegeben? - Für Teil b: Verbringt das Flussboot mehr Zeit in der langsameren oder in der schnelleren Phase? - Was bedeutet das für die Gesamtwirkung von Strömung und Gegenströmung?

1. Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit des Bootes in \(\text{km/h}\). Wegen der Fahrt flussaufwärts gilt \(v>4\). 2. Flussabwärts beträgt die Geschwindigkeit \(v+4\), flussaufwärts \(v-4\). Daher gilt \(\frac{32}{v+4}+\frac{32}{v-4}=6\). 3. Multiplikation mit \((v+4)(v-4)\) und Vereinfachen ergeben \(3v^2-32v-48=0\). 4. Es gilt \(3v^2-32v-48=(3v+4)(v-12)\). Wegen \(v>4\) bleibt \(v=12\,\text{km/h}\). 5. Auf dem stehenden See fährt das zweite Boot beide Teilstrecken mit konstant \(12\,\text{km/h}\). 6. Beim Flussboot ist der Zeitverlust auf der langsameren Fahrt gegen die Strömung größer als der Zeitgewinn auf der schnelleren Fahrt mit der Strömung. Daher ist seine Gesamtfahrzeit länger als auf dem stehenden See.

a) Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt \(12\,\text{km/h}\). b) Das Boot auf dem stehenden See ist schneller wieder am Ausgangspunkt.

- Wie kannst du die Füllleistung jeder Pumpe als Beckenanteil pro Stunde ausdrücken? - Wie lange braucht eine Pumpe für einen festen Anteil des Beckens, wenn ihre Einzelzeit für das ganze Becken bekannt ist? - Prüfe am Ende, ob möglicherweise mehr als ein positives Wertepaar beide Bedingungen erfüllt.

1. Sei \(t_1\) die Einzelzeit der ersten und \(t_2\) die Einzelzeit der zweiten Pumpe in Stunden. Gemeinsam gilt \(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{1}{6}\). 2. Für den nacheinander ausgeführten Vorgang gilt \(\frac{1}{3}t_1+\frac{2}{3}t_2=15\), also \(t_1=45-2t_2\). 3. Einsetzen in die gemeinsame Leistungsbedingung ergibt \(\frac{1}{45-2t_2}+\frac{1}{t_2}=\frac{1}{6}\). 4. Umformen führt zu \(2t_2^2-51t_2+270=0\). 5. Die Diskriminante ist \(\Delta=(-51)^2-4\cdot2\cdot270=441\). 6. Daher gilt \(t_2=\frac{51\pm21}{4}\), also \(t_2=18\) oder \(t_2=7{,}5\). 7. Mit \(t_1=45-2t_2\) erhält man dazu \(t_1=9\) beziehungsweise \(t_1=30\). 8. Beide Paare erfüllen die beiden Bedingungen des Sachtexts.

Es gibt zwei Möglichkeiten: \(t_1=9\,\text{h}\) und \(t_2=18\,\text{h}\) oder \(t_1=30\,\text{h}\) und \(t_2=7{,}5\,\text{h}\).

- Wandle zuerst die gemischte Zeitangabe vollständig in Stunden um. - Welche Gleichung folgt aus der gemeinsamen Arbeitsleistung? - Welche Beziehung zwischen den beiden Einzelzeiten folgt daraus, dass jedes Gerät genau die Hälfte des Auftrags übernimmt? - Wie kannst du eine der beiden Einzelzeiten durch die andere ausdrücken?

1. \(4\,\text{Stunden}\) und \(10\,\text{Minuten}\) entsprechen \(\frac{25}{6}\,\text{Stunden}\). 2. Seien \(x\) und \(y\) die Einzelzeiten der beiden Geräte in Stunden. Aus der gemeinsamen Arbeitszeit folgt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\). 3. Für die nacheinander gedruckten Hälften gilt \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{25}{6}\), also \(x+y=\frac{25}{3}\). 4. Aus \(\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}\) und der bekannten Summe folgt \(xy=\frac{50}{3}\). 5. Setze \(y=\frac{25}{3}-x\) in das Produkt ein: \(x\left(\frac{25}{3}-x\right)=\frac{50}{3}\). 6. Vereinfachen ergibt \(3x^2-25x+50=0\). 7. Es gilt \(3x^2-25x+50=(3x-10)(x-5)\). Damit ist \(x=\frac{10}{3}\) oder \(x=5\). 8. Die beiden Einzelzeiten sind daher \(5\,\text{Stunden}\) und \(\frac{10}{3}\,\text{Stunden}=3\,\text{Stunden}\,20\,\text{Minuten}\).

Ein Kopiergerät benötigt allein \(5\,\text{Stunden}\), das andere \(3\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).

- Welche Strecke muss jeder bis zur Mitte zurücklegen? - Welche Zeitbeziehung entsteht durch den um zwei Stunden früheren Start? - Welche gemeinsame Strecke haben beide bei gleichzeitigem Start nach zwei Stunden zurückgelegt? - Wie kannst du daraus eine Geschwindigkeit durch die andere ausdrücken?

1. Bis zur Streckenmitte sind es von beiden Orten \(40\,\text{km}\). Seien \(v_B\) und \(v_S\) die Geschwindigkeiten der Radfahrer aus Birkenried und Sonnenfels. 2. Für das Treffen in der Mitte gilt \(\frac{40}{v_S}=\frac{40}{v_B}+2\), weil der Radfahrer aus Sonnenfels zwei Stunden länger unterwegs wäre. 3. Bei gleichzeitigem Start legen beide in zwei Stunden zusammen \(80-20=60\,\text{km}\) zurück. Daher gilt \(2(v_B+v_S)=60\), also \(v_S=30-v_B\). 4. Einsetzen ergibt \(\frac{40}{30-v_B}=\frac{40}{v_B}+2\). 5. Nach Multiplikation mit den Nennern und Vereinfachen folgt \(v_B^2+10v_B-600=0\). 6. Es gilt \(v_B^2+10v_B-600=(v_B-20)(v_B+30)\). Wegen \(v_B>0\) ist \(v_B=20\,\text{km/h}\). 7. Damit ist \(v_S=10\,\text{km/h}\).

Der Radfahrer aus Birkenried fährt mit \(20\,\text{km/h}\), der Radfahrer aus Sonnenfels mit \(10\,\text{km/h}\).

- Was genau gibt der Wert „Minuten pro Kilometer“ an und wie hängen Zeit, Strecke und dieser Wert zusammen? - Überlege dir, wie man die Zeit für einen Kilometer ausdrücken kann, wenn die Gesamtdauer und die Gesamtstrecke bekannt sind. - Denk daran, dass Punkte auf einer Geraden in unterschiedlicher Reihenfolge angeordnet sein können. Skizziere die Möglichkeiten.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Entfernung von \(A\) nach \(Z\) in \(\text{km}\). Dann ist die Entfernung von \(B\) nach \(Z\) gleich \(x + 8\). 2. Berechnung des Tempos (Zeit pro \(\text{km}\)): Radfahrer 1 benötigt \(T_1 = \frac{30}{x}\,\frac{\text{min}}{\text{km}}\). Radfahrer 2 benötigt \(T_2 = \frac{30}{x+8}\,\frac{\text{min}}{\text{km}}\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Tempodifferenz: \(\frac{30}{x} - \frac{30}{x+8} = 1\). 4. Umformen in eine quadratische Gleichung: \(30(x+8) - 30x = x(x+8) \Rightarrow 240 = x^2 + 8x \Rightarrow x^2 + 8x - 240 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(x_1 = 12\) und \(x_2 = -20\). Da Entfernungen positiv sind, gilt \(x = 12\,\text{km}\). 6. Bestimmung der Teilstrecken: \(AZ = 12\,\text{km}\) und \(BZ = 12 + 8 = 20\,\text{km}\). 7. Geometrische Anordnung auf der Geraden: Fall 1: \(A\) und \(B\) liegen auf derselben Seite von \(Z\). Die Entfernung \(AB\) ist \(|20 - 12| = 8\,\text{km}\). Fall 2: \(A\) und \(B\) liegen auf verschiedenen Seiten von \(Z\). Die Entfernung \(AB\) ist \(20 + 12 = 32\,\text{km}\).

Die Entfernung zwischen \(A\) und \(B\) beträgt entweder \(8\,\text{km}\) oder \(32\,\text{km}\).

- Welche Beziehung zwischen den beiden Geschwindigkeiten folgt aus der Begegnung nach genau einer Stunde? - Welche Strecke muss jeder nach dem Treffpunkt noch zurücklegen? - Kannst du die Zeitdifferenz mithilfe eines Verhältnisses der beiden Geschwindigkeiten ausdrücken?

1. Da beide nach \(1\,\text{h}\) zusammen \(75\,\text{km}\) zurückgelegt haben, gilt \(v_J+v_M=75\,\text{km/h}\). 2. Bis zur Begegnung legt Julia \(v_J\cdot1\,\text{h}\) und Marc \(v_M\cdot1\,\text{h}\) zurück. Danach muss Julia die zuvor von Marc zurückgelegte Strecke und Marc die zuvor von Julia zurückgelegte Strecke fahren. 3. Die restlichen Fahrzeiten sind daher \(\frac{v_M}{v_J}\,\text{h}\) für Julia und \(\frac{v_J}{v_M}\,\text{h}\) für Marc. 4. Aus der Zeitdifferenz \(50\,\text{min}=\frac{5}{6}\,\text{h}\) folgt \(\frac{v_M}{v_J}-\frac{v_J}{v_M}=\frac{5}{6}\). 5. Mit \(x=\frac{v_J}{v_M}\) ergibt sich \(6x^2+5x-6=0\). Die positive Lösung ist \(x=\frac{2}{3}\). 6. Aus \(v_J=\frac{2}{3}v_M\) und \(v_J+v_M=75\) folgt \(v_M=45\,\text{km/h}\) und \(v_J=30\,\text{km/h}\).

Julia fährt mit \(30\,\text{km/h}\), Marc mit \(45\,\text{km/h}\).

- Klammere zuerst den Faktor vor dem \(x^2\) aus den ersten beiden Gliedern aus. - Denke bei der quadratischen Ergänzung an die binomischen Formeln. - Setze die Scheitelpunktform gleich Null, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden. - Die Nullstellenform hat die Struktur \(a(x - x_1)(x - x_2)\).

1. Umwandlung in Scheitelpunktform: \(h(x) = -0{,}5(x^2 - 4x) + 2{,}5 = -0{,}5((x - 2)^2 - 4) + 2{,}5 = -0{,}5(x - 2)^2 + 2 + 2{,}5 = -0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5\). 2. Berechnung der Nullstellen: \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^2 = 9 \Leftrightarrow x - 2 = \pm 3\). Daraus folgen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Im Sachzusammenhang landet der Roboter bei \(5\,\text{dm}\). 3. Nullstellenform: \(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 5)\). 4. Abgleich mit dem Graphen: Der Scheitelpunkt bei \((2 \mid 4{,}5)\) und die Nullstellen bei \(-1\) und \(5\) sind im Graphen erkennbar.

a) \(h(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5\) b) \(x_1 = 5\); \(x_2 = -1\); Landung bei \(5\,\text{dm}\) c) \(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 5)\) d) Der Graph bestätigt den Scheitelpunkt \((2 \mid 4{,}5)\) und die Nullstellen \(-1\) und \(5\).

- Bestimme aus dem Flächeninhalt zunächst die Seitenlänge des äußeren Quadrats. - Drücke diese Seitenlänge durch \(a\) und \(b\) aus. - Nutze den Satz des Pythagoras mit \(c = 5\,\text{cm}\). - Löse das entstehende Gleichungssystem beziehungsweise die quadratische Gleichung.

1. Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist \(A = 49\,\text{cm}^2\). Daraus folgt für die Seitenlänge \(s = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}\). 2. Da die Dreiecke kongruent sind, setzt sich die Seite des großen Quadrats aus den Katheten \(a\) und \(b\) zusammen: \(a + b = 7\). 3. Im rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). Da \(c = 5\,\text{cm}\) ist, gilt \(a^2 + b^2 = 5^2 = 25\). 4. Wir haben ein Gleichungssystem: (I) \(b = 7 - a\) und (II) \(a^2 + b^2 = 25\). 5. Einsetzen von (I) in (II): \(a^2 + (7 - a)^2 = 25 \Rightarrow a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25 \Rightarrow 2a^2 - 14a + 24 = 0\). 6. Division durch 2 ergibt: \(a^2 - 7a + 12 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(a_1 = 3\) und \(a_2 = 4\). 7. Wenn \(a = 3\), dann ist \(b = 4\) (und umgekehrt). Die Kathetenlängen sind somit \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\).

Die Längen der Katheten betragen \(a = 3\,\text{cm}\) und \(b = 4\,\text{cm}\) (oder umgekehrt).