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- Beim Betrag zählt der Abstand zu \(0\), nicht die Richtung auf der Zahlengeraden. - Ein Abstand ist nie negativ. - Überlege für einen negativen Wert von \(x\), welche Rechenoperation aus \(x\) eine positive Zahl macht.

1. Der Abstand von \(-4\) zu \(0\) beträgt \(4\), also \(|-4|=4\). 2. Der Abstand von \(2\) zu \(0\) beträgt \(2\), also \(|2|=2\). Für \(0\) gilt \(|0|=0\). 3. Die Zahlen \(-4\) und \(4\) liegen auf verschiedenen Seiten von \(0\), aber jeweils vier Einheiten von \(0\) entfernt. Deshalb haben beide den Betrag \(4\). 4. Allgemein gilt \(|x|=x\) für \(x\ge0\) und \(|x|=-x\) für \(x<0\).

a) \(|-4|=4\), \(|2|=2\), \(|0|=0\) b) Beide Zahlen haben den Abstand \(4\) von \(0\). c) \(|x|=x\) für \(x\ge0\); \(|x|=-x\) für \(x<0\)

- Lies zuerst den Wert des markierten Punkts A aus der Zahlengeraden ab. - Eine Quadratwurzel liefert immer einen nichtnegativen Wert. - Vergleiche dein Ergebnis mit der Länge der markierten Strecke bis \(0\).

1. Aus der Zahlengeraden liest man \(u=-3\) ab. 2. Es gilt \(\sqrt{u^2}=\sqrt{(-3)^2}=3\). 3. Der Abstand von \(-3\) zu \(0\) beträgt ebenfalls \(3\). Das entspricht \(|u|\).

\(\sqrt{u^2}=3\). Das ist der Abstand von \(u=-3\) zu \(0\), also \(|u|=3\).

- Kannst du im Radikanden eine Struktur erkennen, die zu einer binomischen Formel passt? - Überlege, welche Zahl zum Quadrat den hinteren Teil des Ausdrucks ergibt. - Prüfe, ob der mittlere Teil des Ausdrucks genau das Doppelte des Produkts der beiden Basen ist. - Denk daran, dass das Ergebnis einer Quadratwurzel mit Variablen oft Betragsstriche benötigt.

1. Identifikation der binomischen Formeln für jeden Radikanden: a) Radikand \(x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2\) entspricht \((x + 3)^2\). Die Wurzel ergibt \(|x + 3|\). b) Radikand \(y^2 - 2 \cdot 5 \cdot y + 5^2\) entspricht \((y - 5)^2\). Die Wurzel ergibt \(|y - 5|\). c) Radikand \(4^2 + 2 \cdot 4 \cdot a + a^2\) entspricht \((4 + a)^2\). Die Wurzel ergibt \(|4 + a|\). d) Radikand \(b^2 - 2 \cdot 1 \cdot b + 1^2\) entspricht \((b - 1)^2\). Die Wurzel ergibt \(|b - 1|\).

a) \(|x + 3|\) b) \(|y - 5|\) c) \(|4 + a|\) d) \(|b - 1|\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie zuerst quadriert und anschließend die Wurzel zieht? - Überlege dir, ob der Ausdruck in der Klammer positiv oder negativ ist, wenn du eine Zahl einsetzt, die die Bedingung erfüllt. - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel und welche Werte sie annehmen kann. - Hilft dir der Begriff des Betrags weiter?

1. Anwendung der Identität \(\sqrt{x^2} = |x|\) auf Teilaufgabe a): \(\sqrt{(a-7)^2} = |a-7|\). 2. Bestimmung des Vorzeichens der Differenz: Da \(a < 7\), ist \(a-7 < 0\). 3. Auflösung des Betrags: Für negative Werte gilt \(|x| = -x\), also \(-(a-7) = 7-a\). 4. Anwendung auf Teilaufgabe b): \(\sqrt{(2x-6)^2} = |2x-6|\). 5. Da \(x > 3\), folgt \(2x > 6\) und somit \(2x-6 > 0\). Der Betrag bleibt unverändert: \(2x-6\). 6. Begründung: Die Quadratwurzel ist als die nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat den Radikanden ergibt. Wegen \(a < 7\) gilt \((a-7)^2 > 0\); daher ist auch \(\sqrt{(a-7)^2} = 7-a > 0\).

a) \(7-a\) b) \(2x-6\) Begründung: Die Quadratwurzel liefert per Definition stets nichtnegative Ergebnisse. Da \(a < 7\), ist \(a-7\) negativ und \(7-a\) positiv; deshalb gilt \(\sqrt{(a-7)^2}=7-a\).

- Was passiert, wenn du eine negative Zahl zuerst quadrierst und dann die Wurzel ziehst? - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratwurzel immer haben muss. - Erinnere dich an die Definition des Betrags \( |a| \). - Setze beispielhaft Zahlen wie \( 5 \) und \( 3 \) in den Term ein und beobachte, was passiert.

1. Anwendung der Identität \( \sqrt{a^2} = |a| \): Der Term wird zu \( T(x) = |x-4| - x \). 2. Fall \( x \ge 4 \): Da der Ausdruck \( x-4 \) nicht negativ ist, gilt \( |x-4| = x-4 \). Einsetzen ergibt \( T(x) = (x-4) - x = -4 \). 3. Fall \( x < 4 \): Da der Ausdruck \( x-4 \) negativ ist, gilt \( |x-4| = -(x-4) = 4-x \). Einsetzen ergibt \( T(x) = (4-x) - x = 4-2x \). 4. Begründung: Die Quadratwurzel liefert stets nichtnegative Werte, weshalb \( \sqrt{a^2} \) als \( |a| \) definiert ist. Das Vorzeichen von \( x-4 \) ändert sich an der Stelle \( x=4 \), was die Fallunterscheidung erzwingt.

a) \(T(x) = -4\) b) \(T(x) = 4-2x\) c) Die Fallunterscheidung ist notwendig, da \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) gilt. Für \(x < 4\) ist \(x-4\) negativ, sodass der Betrag das Vorzeichen umkehrt.

- Vergleiche bei den beiden eingesetzten Werten insbesondere das Vorzeichen von \(x-4\). - Nutze die Bedeutung des Betrags als nichtnegative Größe. - Bestimme, unter welcher Vorzeichenbedingung ein Ausdruck mit seinem Betrag übereinstimmt.

1. Für \(x=1\) gilt \(T(1)=\sqrt{(-3)^2}=3\). Für \(x=7\) gilt \(T(7)=\sqrt{3^2}=3\). 2. Allgemein ist \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\), weil die Quadratwurzel nichtnegativ ist. 3. Die Gleichung \(|x-4|=x-4\) gilt genau dann, wenn \(x-4\ge0\). Somit ist Laras Behauptung genau für \(x\ge4\) richtig und für \(x<4\) falsch.

a) \(T(1)=3\), \(T(7)=3\) b) Allgemein gilt \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\). Die behauptete Gleichheit mit \(x-4\) gilt genau für \(x\ge4\).

- Nutze bei jedem Teil die Beziehung \(\sqrt{u^2}=|u|\). - Bestimme in c) zuerst das Vorzeichen von \(2-\sqrt{5}\), ohne die Wurzel als Dezimalzahl auszurechnen. - Für eine negative Zahl \(y\) ist ihr Betrag gleich \(-y\).

1. Zu a): \(\sqrt{(-15)^2}=|-15|=15\). 2. Zu b): \(\sqrt{(0{,}4)^2}=|0{,}4|=0{,}4\). 3. Zu c): Weil \(2^2<5\), gilt \(2<\sqrt{5}\). Somit ist \(2-\sqrt{5}<0\) und daher \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2\). 4. Zu d): Allgemein gilt \(\sqrt{y^2}=|y|\). Für \(y<0\) ist \(|y|=-y\).

a) \(15\) b) \(0{,}4\) c) \(\sqrt{5}-2\) d) \(-y\)

- Ersetze zuerst \(\sqrt{u^2}\) durch \(|u|\). - Welche zwei Werte kann ein Ausdruck annehmen, wenn sein Betrag \(9\) ist? - Prüfe beide gefundenen Werte in der ursprünglichen Gleichung.

1. Es gilt \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\). Die Gleichung lautet daher \(|x-4|=9\). 2. Ein Betrag ist genau dann \(9\), wenn der Ausdruck im Betrag \(9\) oder \(-9\) ist. Es entstehen die beiden Gleichungen \(x-4=9\) und \(x-4=-9\). 3. Aus \(x-4=9\) folgt \(x=13\); aus \(x-4=-9\) folgt \(x=-5\). 4. Beide Werte erfüllen die Ausgangsgleichung: \(\sqrt{9^2}=9\) und \(\sqrt{(-9)^2}=9\).

Die Lösungen sind \(x=13\) und \(x=-5\).

- Kannst du Terme unter der Wurzel erst wie normale Rechenausdrücke zusammenfassen? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Wurzel aus einem Quadrat ziehst. - Wie verändert sich ein Wert, wenn du ihn durch eine Dezimalzahl teilst, die kleiner als 1 ist?

1. Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{3a \cdot 12a} = \sqrt{36a^2}\). Da \(a \ge 0\), ist \(\sqrt{36a^2} = 6a\). 2. Subtraktion der gleichartigen Terme unter der Wurzel: \(\sqrt{(125 - 44)x^2} = \sqrt{81x^2}\). Radizieren ergibt \(9|x|\). 3. Wurzel aus Zähler und Nenner ziehen: \(\frac{\sqrt{16a^2}}{\sqrt{0{,}25}} = \frac{4|a|}{0{,}5}\). Division ergibt \(8|a|\). 4. Betrag berechnen: \(\sqrt{(-15)^2} = |-15| = 15\). Der zweite Teil ist \(\sqrt{b^2} = |b|\). Ergebnis: \(15 + |b|\).

a) \(6a\) b) \(9|x|\) c) \(8|a|\) d) \(15 + |b|\)

- Gibt es ein Gesetz, mit dem du die Klammer auflösen kannst? - Was passiert mit Variablen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen? - Überlege, ob der Ausdruck unter der Wurzel und der abgezogene Wert am Ende identisch sind. - Wie oft passt \(1{,}3\) in die Zahl \(13\)?

1. Distributivgesetz anwenden: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{36} + \sqrt{100} = 6 + 10 = 16\). 2. Wurzeln im Zähler und Nenner vereinfachen: \(\frac{0{,}2|z|}{0{,}1|z|}\). Da \(z \neq 0\), kürzt sich \(|z|\) heraus: \(\frac{0{,}2}{0{,}1} = 2\). 3. Radizieren des Produkts: \(\sqrt{x^2 \cdot y^2} = |x| \cdot |y| = |xy|\). Subtraktion: \(|xy| - |xy| = 0\). 4. Terme einzeln radizieren: \(\frac{13|c|}{1{,}3}\). Division der Koeffizienten: \(10|c|\).

a) \(16\) b) \(2\) c) \(0\) d) \(10|c|\)

- Prüfe zuerst, welches Vorzeichen \(x^k\) in den verschiedenen Fällen besitzt. - Beachte, dass eine reelle Quadratwurzel immer nichtnegativ ist. - Unterscheide genau zwischen geraden und ungeraden Exponenten, bevor du die Potenz mit dem Exponenten \(\frac{k}{2}\) interpretierst.

1. Für \(x=4\) und \(k=2\) gilt \(\sqrt{4^2}=4=4^{2/2}\). Die Behauptung stimmt in diesem Fall. 2. Für \(x=-3\) und \(k=2\) gilt \(\sqrt{(-3)^2}=3\), während \((-3)^{2/2}=-3\) ist. Die Behauptung ist also nicht allgemein richtig. 3. Für \(x\ge0\) gilt \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). 4. Für \(x<0\) und gerades \(k\) ist \(k/2\) ganzzahlig und \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). 5. Für \(x<0\) und ungerades \(k\) ist \(x^k<0\); daher ist \(\sqrt{x^k}\) in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

a) Die Behauptung stimmt für \(x=4\) und \(k=2\). b) Sie ist für \(x=-3\) und \(k=2\) falsch. c) Für \(x\ge0\): \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). Für \(x<0\) und gerades \(k\): \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). Für \(x<0\) und ungerades \(k\) ist die Wurzel in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

- Achte bei Aufgabenteil b) darauf, ob es eine Rechenregel gibt, mit der man Summen unter der Wurzel trennen darf. - Bei Koeffizienten vor den Variablen musst du auch von diesen die Wurzel ziehen, um die Basis für die binomische Formel zu finden. - Brüche im Radikanden lassen sich oft als Quadrat eines anderen Bruchs schreiben.

1. Überprüfung auf Quadratzahlen und binomische Strukturen: a) \(9z^2 = (3z)^2\), \(4 = 2^2\), Mischterm \(-2 \cdot 3z \cdot 2 = -12z\). Radikand ist \((3z - 2)^2\). Ergebnis: \(|3z - 2|\). b) \(r^2 + s^2\) ist keine binomische Formel (Mischterm fehlt). Nicht weiter vereinfachbar. c) \(4m^2 = (2m)^2\), \(25n^2 = (5n)^2\), Mischterm \(2 \cdot 2m \cdot 5n = 20mn\). Radikand ist \((2m + 5n)^2\). Ergebnis: \(|2m + 5n|\). d) \(c^2\), \(\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2\), Mischterm \(2 \cdot c \cdot \frac{1}{2} = c\). Radikand ist \((c + \frac{1}{2})^2\). Ergebnis: \(|c + \frac{1}{2}|\).

a) \(|3z - 2|\) b) Nicht weiter vereinfachbar, da \(r^2 + s^2\) kein vollständiges Quadrat ist. c) \(|2m + 5n|\) d) \(|c + \frac{1}{2}|\)

- Manchmal hilft es, zuerst einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden unter der Wurzel auszuklammern. - Lass dich von der Reihenfolge der Summanden nicht verwirren; sortiere sie gegebenenfalls um. - Dezimalzahlen lassen sich oft leichter verarbeiten, wenn man sie als Brüche betrachtet oder gezielt nach ihren Wurzeln sucht.

1. Faktorisierung und Anwendung binomischer Formeln: a) Faktor \(2\) ausklammern: \(\sqrt{2(x^2 + 2x + 1)} = \sqrt{2(x + 1)^2} = \sqrt{2} \cdot |x + 1|\). b) Erkennen der Basen: \(0{,}01u^2 = (0{,}1u)^2\), \(4v^2 = (2v)^2\). Mischterm \(-2 \cdot 0{,}1u \cdot 2v = -0{,}4uv\). Radikand ist \((0{,}1u - 2v)^2\). Ergebnis: \(|0{,}1u - 2v|\). c) Terme umordnen: \(\sqrt{p^2 - 4pq + 4q^2} = \sqrt{(p - 2q)^2} = |p - 2q|\). d) Erkennen der Basen: \(\frac{4}{9}a^2 = (\frac{2}{3}a)^2\), \(b^2\). Mischterm \(2 \cdot \frac{2}{3}a \cdot b = \frac{4}{3}ab\). Radikand ist \((\frac{2}{3}a + b)^2\). Ergebnis: \(|\frac{2}{3}a + b|\).

a) \(\sqrt{2} \cdot |x + 1|\) b) \(|0{,}1u - 2v|\) c) \(|p - 2q|\) d) \(|\frac{2}{3}a + b|\)

- Prüfe in a) die beiden behauptet gleichen Ausdrücke getrennt. - Nutze in b) die allgemeine Beziehung zwischen \(\sqrt{u^2}\) und \(|u|\). - Entwickle anschließend das benötigte Quadrat mit einer passenden binomischen Formel.

1. Für \(x=3\) gilt \(\sqrt{(3-7)^2}=\sqrt{16}=4\), während \(x-7=-4\) ist. Die Behauptung ist falsch. Allgemein gilt \(\sqrt{(x-7)^2}=|x-7|\). 2. Damit rechts \(|4a-3b|\) entsteht, muss unter der Wurzel \((4a-3b)^2\) stehen. 3. Mit der zweiten binomischen Formel ist \((4a-3b)^2=16a^2-24ab+9b^2\). Daher gilt für alle reellen \(a,b\): \(\sqrt{16a^2-24ab+9b^2}=|4a-3b|\).

a) Für \(x=3\) ist \(\sqrt{(3-7)^2}=4\), aber \(x-7=-4\). Die Behauptung ist falsch. b) \(16a^2-24ab+9b^2\)

- Achte auf die Brüche und wie sie sich beim Quadrieren verhalten. - Wann ist eine Wurzel im Bereich der reellen Zahlen definiert? - Was passiert mit dem Vorzeichen innerhalb eines Quadrats oder innerhalb von Betragsstrichen?

1. Vereinfachung von \( T(x) \): Der Radikand entspricht \( (\frac{1}{3}x - 1)^2 \), da \( (\frac{1}{3}x)^2 = \frac{1}{9}x^2 \), \( 2 \cdot \frac{1}{3}x \cdot 1 = \frac{2}{3}x \) und \( 1^2 = 1 \). Das Ergebnis ist \( |\frac{1}{3}x - 1| \). 2. Definitionsbereich: Da \( (\frac{1}{3}x - 1)^2 \ge 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), ist der Radikand nie negativ. Somit ist \( D = \mathbb{R} \). 3. Vergleich: \( \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| \) und \( \sqrt{(3-x)^2} = |3-x| \). Da \( |a| = |-a| \), gilt \( |x-3| = |-(3-x)| = |3-x| \). Die Ergebnisse sind identisch.

a) \( |\frac{1}{3}x - 1| \) b) \( D = \mathbb{R} \), da der Term unter der Wurzel als Quadrat eines reellen Ausdrucks immer größer oder gleich Null ist. c) Ja, sie sind identisch, da \( |x-3| = |3-x| \) für alle \( x \) gilt.

- Vergleiche die beiden Seiten zuerst für einen positiven und einen negativen Wert mit gleichem Betrag. - Welche Bedeutung hat der Exponent \(0{,}5\) für nichtnegative Zahlen? - Suche für Teil c) nach einer Schreibweise, die unabhängig vom Vorzeichen von \(x\) stets nichtnegativ ist.

1. Für \(x=4\) gilt \((4^2)^{0{,}5}=16^{0{,}5}=\sqrt{16}=4\). Die Gleichung ist wahr. 2. Für \(x=-4\) gilt \(((-4)^2)^{0{,}5}=16^{0{,}5}=4\ne-4\). Die Gleichung ist falsch. 3. Der Exponent \(0{,}5\) entspricht der Quadratwurzel. Nach dem Quadrieren ist das Vorzeichen der Ausgangszahl nicht mehr erkennbar, und die Quadratwurzel liefert stets den nichtnegativen Wert. 4. Für alle reellen \(x\) gilt daher \((x^2)^{0{,}5}=|x|\).

a) Für \(x=4\) wahr; für \(x=-4\) falsch. b) Die Potenz mit Exponent \(0{,}5\) liefert wie die Quadratwurzel einen nichtnegativen Wert. c) \((x^2)^{0{,}5}=|x|\)

- Kannst du eine große Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus einer Quadratzahl und einer anderen Zahl zerlegen? - Gibt es eine Regel, wie man zwei Wurzeln dividiert? - Was weißt du über den Abstand zwischen zwei Zahlen \(a\) und \(b\) auf dem Zahlenstrahl, egal in welcher Reihenfolge man sie betrachtet? - Überlege, ob das Ergebnis im Fall b) noch ein Betragszeichen benötigt, wenn \(y\) positiv sein muss.

1. Zu a): Teilweises Wurzelziehen durch Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{9 \cdot 2 \cdot x^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2} = 3\sqrt{2}|x|\). 2. Zu b): Anwendung des Wurzelgesetzes für Division: \(\sqrt{\frac{12y^3}{3y}} = \sqrt{4y^2}\). Da \(y > 0\) vorgegeben ist, gilt \(\sqrt{4y^2} = 2|y| = 2y\). 3. Zu c): Anwendung der Betragsregel ergibt \(|a-b| - |b-a|\). Da für alle reellen Zahlen \(|x| = |-x|\) gilt und \(a-b = -(b-a)\) ist, folgt \(|a-b| = |b-a|\). Die Subtraktion ergibt somit \(0\).

a) \(3\sqrt{2}|x|\) b) \(2y\) c) \(0\)

- Was passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert und danach die Wurzel zieht? - Überprüfe die Ergebnisse der Rechnungen in Zeile 5 einzeln. - Welche Eigenschaft haben Ergebnisse von Quadratwurzeln immer? - Gibt es einen Unterschied zwischen \(\sqrt{(-1)^2}\) und \(-1\)?

1. Überprüfung der Identität in Zeile 3: Da \((-1)^2 = 1\) und \(1^2 = 1\) gilt, ist die Gleichung korrekt. 2. Identifikation des Fehlers: Der Fehler liegt in Zeile 5 beim Entfernen des Wurzelzeichens. 3. Anwendung der Wurzelregel: Die Quadratwurzel aus einem Quadrat ist definiert als der Betrag der Basis, also \(\sqrt{x^2} = |x|\). 4. Korrektur von Zeile 5: Die korrekte Umformung lautet \(|2 - 3| = |4 - 3|\). 5. Auswertung der Beträge: Dies führt zu \(|-1| = |1|\), woraus die wahre Aussage \(1 = 1\) folgt. Der Schluss \(2 = 4\) ist damit widerlegt.

Der Fehler liegt in Zeile 5. Leon hat missachtet, dass \(\sqrt{x^2} = |x|\) gilt. Korrekt müsste die Zeile \(|2 - 3| = |4 - 3|\) (oder \(1 = 1\)) lauten.

- Untersuche zunächst, ob der Radikand als vollständiges Quadrat geschrieben werden kann. - Nutze die beiden vorgegebenen Werte, um die behauptete Vereinfachung zu testen. - Bestimme anschließend allgemein, wann ein Ausdruck mit seinem Betrag übereinstimmt.

1. Es gilt \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), also \(T(x)=\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|\). 2. Für \(x=8\) ergibt sich \(T(8)=|8-5|=3\). 3. Für \(x=2\) ergibt sich \(T(2)=|2-5|=3\). 4. Sophies Ausdruck \(x-5\) liefert bei \(x=8\) ebenfalls \(3\), bei \(x=2\) aber \(-3\). Die Behauptung ist daher nicht allgemein richtig. 5. Es gilt \(|x-5|=x-5\) genau dann, wenn \(x-5\ge0\). Somit ist die Vereinfachung genau für \(x\ge5\) korrekt.

a) \(T(8)=3\), \(T(2)=3\) b) Die Vereinfachung \(T(x)=x-5\) ist genau für \(x\ge5\) korrekt.

- Erinnerst du dich an einen Zusammenhang zwischen der Quadratwurzel eines Quadrats und dem Betrag? - Kannst du die Ausdrücke unter den Wurzeln als Quadrate von Binomen schreiben? - Überlege dir, welches Vorzeichen die Terme innerhalb der Betragsstriche für Werte zwischen \(-2\) und \(2\) annehmen. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen innerhalb eines Betrags für das Auflösen der Betragsstriche?

1. Faktorisieren der Radikanden mithilfe der binomischen Formeln: \(\sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-2)^2}\) 2. Anwendung der Identität \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(|x+2| - |x-2|\) 3. Untersuchung der Vorzeichen innerhalb der Beträge für \(-2 < x < 2\): Da \(x > -2\), gilt \(x+2 > 0\). Da \(x < 2\), gilt \(x-2 < 0\). 4. Auflösen der Betragsstriche: \(|x+2| = x+2\) und \(|x-2| = -(x-2) = 2-x\) 5. Subtraktion und Vereinfachung des Gesamtausdrucks: \((x+2) - (2-x) = x + 2 - 2 + x = 2x\)

\(2x\)

- Schau dir den Teil unter der Wurzel genau an. Gibt es eine Möglichkeit, diesen als Quadrat zu schreiben? - Was passiert mit dem Betrag einer Zahl, wenn die Zahl selbst negativ ist? - Untersuche separat, was passiert, wenn die Variable größer oder kleiner als \(5\) ist.

1. Den Ausdruck unter der Wurzel mithilfe der zweiten binomischen Formel umschreiben: \(\sqrt{(y-5)^2}\) 2. Den Wurzelterm durch den Betrag ersetzen: \(\frac{y + |y-5|}{2}\) 3. Fallunterscheidung für \(y \geq 5\): Da \(y-5 \geq 0\), ist \(|y-5| = y-5\). Einsetzen ergibt \(\frac{y + y - 5}{2} = \frac{2y - 5}{2} = y - 2{,}5\). 4. Fallunterscheidung für \(y < 5\): Da \(y-5 < 0\), ist \(|y-5| = -(y-5) = 5-y\). Einsetzen ergibt \(\frac{y + 5 - y}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5\).

1) Für \(y \geq 5\): \(y - 2{,}5\) 2) Für \(y < 5\): \(2{,}5\)

- Setze die Zahlen für \(a\) ein und beachte die Vorrangregeln (Klammer zuerst). - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel: Kann das Ergebnis einer Wurzelrechnung negativ sein? - Was bewirken Betragsstriche bei einer negativen Differenz? - Wie verhält sich der Term, wenn der Wert in der Klammer negativ wird?

1. Berechnung für \(a = 15\): \(T = \sqrt{(15 - 12)^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3\). 2. Berechnung für \(a = 7\): \(T = \sqrt{(7 - 12)^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\). 3. Begründung zu Teil b: Nach der Definition der Quadratwurzel ist das Ergebnis einer Wurzeloperation niemals negativ. Während \((7-12)^2 = 25\) positiv ist, ist die daraus gezogene Wurzel nichtnegativ und hat hier den Wert \(5\), nicht \(-5\). 4. Verallgemeinerung für Teil c: Da das Ergebnis dem positiven Abstand der Zahl \(a\) von \(12\) entspricht, lautet die allgemeine Vereinfachung \(T = |a - 12|\). Dies stellt sicher, dass für \(a < 12\) das Ergebnis positiv bleibt (z. B. \(-(-5) = 5\)).

a) Für \(a = 15\) ist \(T = 3\); für \(a = 7\) ist \(T = 5\). b) Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist per Definition immer nichtnegativ. Da \((-5)^2 = 25\) ist, ist \(\sqrt{25} = 5\). c) Die allgemeine Vereinfachung lautet \(T = |a - 12|\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Quadratwurzel aus einem Quadrat und dem Betrag einer Zahl. - Wie löst man ein Betragszeichen auf, wenn man weiß, dass die Zahl darin negativ ist? - Überlege dir für den letzten Teil, für welche Zahlen ihr Betrag gleich ihrer Gegenzahl ist.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{x^2 \cdot y^4} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^2)^2} = |x| \cdot |y^2|\). Da \(y^2\) für alle reellen \(y\) nichtnegativ ist, gilt \(|y^2| = y^2\). Da \(x < 0\) vorgegeben ist, gilt \(|x| = -x\). Das Ergebnis ist \(-xy^2\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{\frac{25a^2}{b^2}} = \frac{5|a|}{|b|}\). Da \(a > 0\), ist \(|a| = a\). Da \(b < 0\), ist \(|b| = -b\). Der Term vereinfacht sich zu \(\frac{5a}{-b} = -\frac{5a}{b}\). 3. Die linke Seite \(\sqrt{z^2}\) ist per Definition gleich \(|z|\). Die Gleichung \(|z| = -z\) ist genau dann wahr, wenn \(z\) kleiner oder gleich Null ist. Ergebnis: \(z \le 0\).

a) \(-xy^2\) b) \(-\frac{5a}{b}\) c) \(z \le 0\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl quadriert und anschließend die Wurzel zieht? Gilt das für alle Zahlen? - Überlege dir, ob das Ergebnis einer Quadratwurzel jemals negativ sein kann. - Wie kannst du feststellen, ob ein Ausdruck wie \(5 - \sqrt{26}\) positiv oder negativ ist, ohne einen Taschenrechner zu benutzen? - Erinnerst du dich an das teilweise Wurzelziehen für Zahlen wie \(\sqrt{12}\)?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\) auf Teil a: \(\sqrt{(5 - \sqrt{26})^2} = |5 - \sqrt{26}|\). 2. Vergleich der Werte: Da \(5 = \sqrt{25}\) und \(\sqrt{25} < \sqrt{26}\), ist die Differenz negativ. 3. Auflösen des Betrags: \(|5 - \sqrt{26}| = -(5 - \sqrt{26}) = \sqrt{26} - 5\). 4. Anwendung auf Teil b: \(\sqrt{12 \cdot (\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{12} \cdot |\sqrt{3} - 2|\). 5. Teilweises Wurzelziehen von \(\sqrt{12}\): \(\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). 6. Vergleich der Werte: Da \(2 = \sqrt{4}\) und \(\sqrt{3} < \sqrt{4}\), ist die Differenz \(\sqrt{3} - 2\) negativ. 7. Auflösen des Betrags und Multiplikation: \(2\sqrt{3} \cdot (2 - \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 2 \cdot 3 = 4\sqrt{3} - 6\).

a) \(\sqrt{26} - 5\) b) \(4\sqrt{3} - 6\)

- Kannst du den Bruch unter der Wurzel aufteilen? - Wie vereinfacht sich der Ausdruck \( \sqrt{a^2} \), wenn \( a \) negativ ist? - Untersuche separat den Zähler und den Nenner des entstandenen Bruchs. - Was passiert beim Kürzen, wenn im Nenner ein Betrag steht?

1. Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln: \( \sqrt{\frac{5}{(k-2)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{(k-2)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{|k-2|} \). 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( Q(k) = (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{|k-2|} \). 3. Fallunterscheidung für \( k > 2 \): Hier ist \( k-2 > 0 \), also \( |k-2| = k-2 \). Der Term vereinfacht sich zu \( (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{k-2} = \sqrt{5} \). 4. Fallunterscheidung für \( k < 2 \): Hier ist \( k-2 < 0 \), also \( |k-2| = -(k-2) \). Der Term vereinfacht sich zu \( (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{-(k-2)} = \frac{\sqrt{5}}{-1} = -\sqrt{5} \). 5. Für \(k=2\) ist der ursprüngliche Term wegen des Nenners \((k-2)^2=0\) nicht definiert.

Für \( k > 2 \) nimmt der Term den Wert \( \sqrt{5} \) an. Für \( k < 2 \) nimmt der Term den Wert \( -\sqrt{5} \) an. Für \(k=2\) ist der Term nicht definiert.

- Kannst du die Terme unter den Wurzeln mithilfe der binomischen Formeln umschreiben? - Was passiert, wenn man die Quadratwurzel aus einem quadrierten Ausdruck zieht? Denke an Betragsstriche. - Prüfe, ob die Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche für den angegebenen Bereich von \(x\) positiv oder negativ sind. - Wie verändert sich ein Betragsterm \(|z|\), wenn \(z\) negativ ist?

1. Erkennen der binomischen Formeln unter den Wurzeln: \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\) und \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(A = |2x - 3| + |2x + 3|\). 3. Untersuchung der Vorzeichen im gegebenen Intervall \(-1{,}5 \le x \le 1{,}5\): - Für \(x \le 1{,}5\) ist \(2x \le 3\), also \(2x - 3 \le 0\). Daher gilt \(|2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x\). - Für \(x \ge -1{,}5\) ist \(2x \ge -3\), also \(2x + 3 \ge 0\). Daher gilt \(|2x + 3| = 2x + 3\). 4. Einsetzen und Zusammenfassen: \(A = (3 - 2x) + (2x + 3) = 6\).

\(6\)

- Kannst du Faktoren aus den Wurzeln ziehen, indem du Quadratzahlen identifizierst? - Überlege, was mit einer Wurzel passiert, wenn ihr Radikand ein Quadrat ist. - Wie beeinflusst die Bedingung \(x > y\) das Vorzeichen von Termen wie \(x-y\)? - Versuche, Terme mit gleichen Wurzelanteilen am Ende zusammenzufassen.

1. Vereinfachung der Wurzeln mit dem Faktor \(z\): Da \(x > 0\), gilt \(\sqrt{9x^2 z} = 3x\sqrt{z}\) und \(\sqrt{4x^2 z} = 2x\sqrt{z}\). 2. Vereinfachung der Wurzeln von Quadraten: Da \(x > y\), ist \(x-y > 0\), woraus \(\sqrt{(x-y)^2} = x-y\) folgt. Ebenso ist \(\sqrt{(x+y)^2} = x+y\). 3. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(x\sqrt{z} + 3x\sqrt{z} - 2x\sqrt{z} + (x-y) - (x+y)\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{z}\): \((1 + 3 - 2)x\sqrt{z} = 2x\sqrt{z}\). 5. Zusammenfassen der restlichen Terme: \(x - y - x - y = -2y\). 6. Endergebnis: \(2x\sqrt{z} - 2y\).

\(2x\sqrt{z} - 2y\)

- Suche im ersten Radikanden nach einer Quadratstruktur und behandle anschließend alle Wurzeln aus Quadraten einheitlich. - Nutze das vorgegebene Zahlenpaar in b) als direkten Vergleich zwischen allgemeiner Vereinfachung und Behauptung. - Leite in c) aus \(a>b>0\) die Vorzeichen der Ausdrücke innerhalb der Beträge ab.

1. Der erste Radikand ist \(4(a-b)^2\). Daher gilt \(\sqrt{4(a-b)^2}=2|a-b|\). 2. Außerdem ist \(\sqrt{a^2}=|a|\) und \(\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|\). Somit lautet die allgemeine Vereinfachung \(T=2|a-b|+|a|-|a+b|\). 3. Für \(a=-1\) und \(b=0\) ergibt sich \(T=2|-1|+|-1|-|-1|=2\). Die behauptete Formel liefert dagegen \(2a-3b=-2\). Damit ist die allgemeine Behauptung widerlegt. 4. Unter \(a>b>0\) gelten \(a-b>0\), \(a>0\) und \(a+b>0\). Daher wird \(T=2(a-b)+a-(a+b)\). 5. Vereinfachen ergibt \(T=2a-3b\). Unter der angegebenen Bedingung ist die Behauptung also korrekt.

a) \(T=2|a-b|+|a|-|a+b|\) b) Für \(a=-1\), \(b=0\) ist \(T=2\), aber \(2a-3b=-2\). Die Behauptung ist im Allgemeinen falsch. c) Für \(a>b>0\) gilt \(|a-b|=a-b\), \(|a|=a\) und \(|a+b|=a+b\); daher folgt \(T=2a-3b\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Quadratwurzel aus einem quadrierten negativen Term ziehst? - Kannst du den Betrag eines Terms auflösen, wenn du weißt, dass der Term kleiner als null ist? - Welche Potenz von \(a\) lässt sich vollständig aus der Quadratwurzel ziehen?

1. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{a^7(b-3)^2} = \sqrt{a^6 \cdot a \cdot (b-3)^2}\). 2. Für \(a \ge 0\) ist \(\sqrt{a^6} = a^3\). 3. Da \(b < 3\), ist \(b-3 < 0\). Es gilt \(\sqrt{(b-3)^2} = |b-3| = 3-b\). 4. Ergebnis: \(a^3(3-b)\sqrt{a}\).

\(a^3(3-b)\sqrt{a}\)

- Suche im ersten Schritt nach dem größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten und der kleinsten Potenz von \(x\). - Erkennst du in der Klammer eine Struktur der Form \(a^2 - 2ab + b^2\)? - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einem Quadrat ziehst? Denke an die Definition \(\sqrt{a^2} = |a|\). - Wann ist eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert?

1. Ausklammern von \(2x\) im Radikanden: \(18x^3 - 24x^2 + 8x = 2x(9x^2 - 12x + 4)\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die Klammer: \(9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2\). 3. Einsetzen in den Wurzelterm: \(T(x) = \sqrt{2x \cdot (3x - 2)^2}\). 4. Teilweises Wurzelziehen unter Beachtung des Betrags: \(\sqrt{(3x - 2)^2} = |3x - 2|\). Somit ist \(T(x) = |3x - 2| \cdot \sqrt{2x}\). 5. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Radikand \(2x(3x - 2)^2\) muss größer oder gleich Null sein. Da \((3x - 2)^2\) für alle \(x\) nichtnegativ ist, muss \(2x \ge 0\) gelten, also \(x \ge 0\).

a) \(2x(3x - 2)^2\) b) \(T(x) = |3x - 2|\sqrt{2x}\); Bedingung: \(x \ge 0\)

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor unter den Wurzeln, den du ausklammern kannst? - Welche binomischen Formeln lassen sich hier anwenden? - Berücksichtige die Bedingungen für \(a\) und \(b\), um zu entscheiden, wie die Betragsstriche aufgelöst werden können. - Achte beim Subtrahieren der Terme besonders auf die Vorzeichen und Klammern.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(c\) unter den Wurzeln: \(T = \sqrt{c(a^2 - 2ab + b^2)} - \sqrt{c(a^2 + 2ab + b^2)}\). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \(T = \sqrt{c(a - b)^2} - \sqrt{c(a + b)^2}\). 3. Teilweises Wurzelziehen unter Beachtung der Beträge: \(T = \sqrt{c} \cdot |a - b| - \sqrt{c} \cdot |a + b|\). 4. Auflösen der Beträge unter Berücksichtigung der Bedingungen \(a > b > 0\): - Da \(a > b\), ist \(a - b > 0\), also \(|a - b| = a - b\). - Da \(a > 0\) und \(b > 0\), ist \(a + b > 0\), also \(|a + b| = a + b\). 5. Einsetzen und Vereinfachen: \(T = \sqrt{c}(a - b) - \sqrt{c}(a + b) = \sqrt{c}(a - b - a - b) = \sqrt{c}(-2b) = -2b\sqrt{c}\).

\(-2b\sqrt{c}\)

- Bringe \(1+x\) und \(1-x\) nach dem Einsetzen jeweils auf den Nenner \(m^2+1\). - Erkennst du in den Zählern vollständige Quadrate? - Beim Ziehen der Wurzel aus \((m-1)^2\) ist ein Betrag nötig. - Untersuche anschließend getrennt die Fälle \(m<1\), \(m=1\) und \(m>1\).

1. Nach dem Einsetzen gilt \(1+x=1+\frac{2m}{m^2+1}=\frac{m^2+2m+1}{m^2+1}=\frac{(m+1)^2}{m^2+1}\). 2. Ebenso gilt \(1-x=1-\frac{2m}{m^2+1}=\frac{m^2-2m+1}{m^2+1}=\frac{(m-1)^2}{m^2+1}\). 3. Da \(m>0\), ist \(m+1>0\). Somit ist \(\sqrt{1+x}=\frac{m+1}{\sqrt{m^2+1}}\). Für den zweiten Wurzelterm gilt \(\sqrt{1-x}=\frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}\). 4. Einsetzen in \(A\) und Kürzen des gemeinsamen Nenners ergibt \(A=\frac{m+1-|m-1|}{m+1+|m-1|}\). 5. Für \(0<m<1\) ist \(|m-1|=1-m\). Daher folgt \(A=\frac{2m}{2}=m\). 6. Für \(m=1\) ist \(|m-1|=0\), also \(A=\frac{2}{2}=1\). 7. Für \(m>1\) ist \(|m-1|=m-1\). Daher folgt \(A=\frac{2}{2m}=\frac{1}{m}\).

Für \(0<m<1\) gilt \(A=m\), für \(m=1\) gilt \(A=1\), und für \(m>1\) gilt \(A=\frac{1}{m}\).