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- Was passiert mit der Funktionsgleichung, wenn du die Koordinaten eines Punktes für \(x\) und \(y\) einsetzt? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass der gesuchte Parameter allein auf einer Seite steht? - Berechne den Wert für jeden Punkt einzeln und schaue, welche Ergebnisse zusammenfallen.

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die Gleichung \(e = y - x^2\): Für \(A(2|1{,}5)\): \(e = 1{,}5 - 2^2 = 1{,}5 - 4 = -2{,}5\). Für \(B(-1|-1{,}5)\): \(e = -1{,}5 - (-1)^2 = -1{,}5 - 1 = -2{,}5\). Für \(C(0|4)\): \(e = 4 - 0^2 = 4\). Für \(D(3|13)\): \(e = 13 - 3^2 = 13 - 9 = 4\). Für \(E(1|-2)\): \(e = -2 - 1^2 = -3\). 2. Zusammenfassung der berechneten Werte: Die drei Werte für \(e\) sind \(-2{,}5\), \(4\) und \(-3\).

Die drei Werte für \(e\) sind \(-2{,}5\), \(4\) und \(-3\).

- Erinnere dich an die allgemeine Scheitelpunktform \(y = (x - d)^2 + e\). - Welche Rolle spielen die Werte \(d\) und \(e\) für die Lage des Scheitelpunktes? - Wenn ein Wert in der Gleichung fehlt (also null ist), findet in diese Richtung keine Verschiebung statt.

1. Identifikation der Verschiebungen anhand der Parameter in der Funktionsgleichung: - \(f(x) = x^2 - 5\): Subtraktion von \(5\) außerhalb des Quadrats bewirkt eine Verschiebung nach unten. Scheitelpunkt \(S(0|-5)\). (Beschreibung 2) - \(g(x) = (x+4)^2\): Addition von \(4\) innerhalb des Quadrats bewirkt eine Verschiebung nach links. Scheitelpunkt \(S(-4|0)\). (Beschreibung 1) - \(h(x) = (x-1)^2 + 2\): Subtraktion von \(1\) innerhalb der Klammer und Addition von \(2\) außerhalb der Klammer bewirken Verschiebungen in beide Richtungen. Scheitelpunkt \(S(1|2)\). (Beschreibung 3)

1. \(g(x) = (x+4)^2\) mit \(S(-4|0)\) 2. \(f(x) = x^2 - 5\) mit \(S(0|-5)\) 3. \(h(x) = (x-1)^2 + 2\) mit \(S(1|2)\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt, wie „breit“ oder „schmal“ eine Parabel ist? - Erinnere dich daran, welche Eigenschaft der Koeffizient vor dem \(x^2\) haben muss, damit eine Parabel nach oben oder unten offen ist. - Was bedeutet es für die Form der Parabel, wenn der Wert vor dem \(x^2\) betragsmäßig sehr groß oder sehr klein ist? - Vergleiche die Werte mit der Zahl \(1\), um die Form in Relation zur Normalparabel zu setzen.

1. Bestimmung der Weite durch den Betrag des Koeffizienten \(a\): \(|a_3| = 0{,}1\), \(|a_2| = 0{,}5\), \(|a_1| = 2\), \(|a_4| = 3\). Je kleiner der Betrag, desto weiter die Öffnung. Reihenfolge: \(f_3, f_2, f_1, f_4\). 2. Vergleich mit der Normalparabel (\(|a| = 1\)): Eine Parabel ist enger, wenn \(|a| > 1\). Dies trifft auf \(f_1\) (\(|2| > 1\)) und \(f_4\) (\(|-3| > 1\)) zu. 3. Die Öffnungsrichtung wird durch das Vorzeichen von \(a\) bestimmt. Ist \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Dies gilt für \(f_3\) (\(a = -0{,}1\)) und \(f_4\) (\(a = -3\)).

a) \(f_3, f_2, f_1, f_4\) b) \(f_1\) und \(f_4\) c) \(f_3\) und \(f_4\), da ihr Streckfaktor \(a\) negativ ist.

- Denk an die allgemeine Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\). Welche Rolle spielen \(d\) und \(e\)? - Was sagt das Vorzeichen von \(a\) über die Öffnung aus? - Wie beeinflusst der Betrag von \(a\) die Form der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? - Überlege dir, ob der Scheitelpunkt der höchste oder der niedrigste Punkt der Kurve ist.

1. Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\) ablesen: \(S(3 \mid 5)\). 2. Der Formfaktor ist \(a = -1{,}5\). Da \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Da \(|a| = 1{,}5 > 1\), ist die Parabel schmaler (gestreckt) als die Normalparabel. 3. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt. Der Wertebereich umfasst alle \(y\)-Werte kleiner oder gleich dem \(y\)-Wert des Scheitelpunkts: \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 5\}\) bzw. \(W = (-\infty; 5]\). 4. Eine passende Abfolge ist: Die Normalparabel wird zuerst an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(1{,}5\) in \(y\)-Richtung gestreckt. Anschließend wird sie um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(5\) Einheiten nach oben verschoben.

a) \(S(3 \mid 5)\) b) Nach unten geöffnet (\(a < 0\)) und schmaler/gestreckt (\(|a| > 1\)). c) \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 5\}\) d) Zuerst Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung mit Faktor \(1{,}5\) in \(y\)-Richtung, anschließend Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(5\) Einheiten nach oben.

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn der Streckfaktor vervielfacht wird? - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt die Bedingungen einer Gleichung erfüllt?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(A(5 | 5)\) in die Funktionsgleichung: \(5 = a \cdot 5^2\). Daraus folgt \(5 = 25a\) und somit \(a = 0{,}2\). 2. Bestimmung des neuen Streckfaktors \(a'\): \(a' = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\). Die neue Funktionsgleichung lautet \(y = 0{,}8x^2\). 3. Punktprobe für \(B(2{,}5 | 5)\): Einsetzen von \(x = 2{,}5\) ergibt \(y = 0{,}8 \cdot 2{,}5^2 = 0{,}8 \cdot 6{,}25 = 5\). 4. Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes \(B\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der zweiten Parabel.

1. Der Parameter ist \(a = 0{,}2\). 2. Ja, der Punkt \(B(2{,}5 | 5)\) liegt auf der zweiten Parabel mit der Gleichung \(y = 0{,}8x^2\).

- Was sagt die Lage des Scheitelpunkts über den Parameter \(c\) in der Funktionsgleichung aus? - Wie verhält sich eine Parabel, wenn der Streckfaktor \(a\) positiv ist? - Überlege dir, wie der Graph aussehen muss, damit er die \(x\)-Achse gar nicht berührt.

1. Da der Scheitelpunkt bei \(S(0|-4)\) liegt, ist \(c = -4\). Einsetzen von \(P(2|0)\) in \(f(x) = ax^2 - 4\): \(0 = a \cdot 2^2 - 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4\). 2. Da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_s = -4\)) und die Parabel wegen \(a=1 > 0\) nach oben geöffnet ist, muss der Graph die \(x\)-Achse zweimal schneiden. 3. Damit eine nach oben geöffnete Parabel keine Nullstellen hat, muss der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegen. Er muss also um mehr als \(4\) Einheiten nach oben verschoben werden. Ein möglicher neuer Scheitelpunkt ist \(S'(0|1)\).

a) \(f(x) = x^2 - 4\) b) Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. c) Verschiebung nach oben um mehr als \(4\) Einheiten; z. B. \(S'(0|1)\).

- Überlege dir, wie sich eine Änderung direkt am \(x\)-Wert im Vergleich zu einer Änderung am gesamten Funktionswert auf den Graphen auswirkt. - Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die Form (breit oder schmal) verantwortlich und welcher für die Position im Koordinatensystem? - Erinnere dich an die allgemeine Scheitelpunktform \(a(x - x_S)^2 + y_S\). Was bedeuten die einzelnen Parameter? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Verschiebung entlang der \(x\)-Achse.

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) führt zum Funktionsterm \(3x^2\). 2. Die Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links wird durch das Ersetzen von \(x\) durch \((x + 4)\) realisiert, woraus \(3(x + 4)^2\) folgt. 3. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten erfolgt durch Subtraktion von \(1\) am Ende des Terms: \(g(x) = 3(x + 4)^2 - 1\). 4. Der Scheitelpunkt der Normalparabel \((0|0)\) wird entsprechend der Verschiebungen auf den Punkt \(S(-4|-1)\) abgebildet.

Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 3(x + 4)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4|-1)\).

- Welchen Einfluss hat ein Vorzeichen vor dem gesamten Term auf die Öffnung der Parabel? - Wie verändern Werte innerhalb und außerhalb der Klammer die Lage des Scheitelpunkts? - Überlege dir, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, um zwischen Maximum und Minimum zu unterscheiden. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man \(x\) durch \((x-d)\) ersetzt?

1. Für \(f(x) = (x - 4)^2 + 3\): Verschiebung der Normalparabel um \(4\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach oben. Scheitelpunkt \(S(4|3)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ein Minimum bei \(y = 3\) für \(x = 4\) vor. 2. Für \(g(x) = -x^2 - 2\): Spiegelung der Normalparabel an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten. Scheitelpunkt \(S(0|-2)\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, liegt ein Maximum bei \(y = -2\) für \(x = 0\) vor. 3. Für \(h(x) = (x + 2)^2 - 5\): Verschiebung der Normalparabel um \(2\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach unten. Scheitelpunkt \(S(-2|-5)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ein Minimum bei \(y = -5\) für \(x = -2\) vor.

a) \(4\) nach rechts, \(3\) nach oben; \(S(4|3)\); Minimum. b) Spiegelung an der \(x\)-Achse, \(2\) nach unten; \(S(0|-2)\); Maximum. c) \(2\) nach links, \(5\) nach unten; \(S(-2|-5)\); Minimum.

- Wie verändert sich die Funktionsgleichung, wenn man den Graphen entlang der Achsen schiebt? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Klammern aufzulösen. - Wo liegt der tiefste Punkt der Parabel im Vergleich zur horizontalen Achse? - Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der vertikalen Achse liegt?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform durch Einsetzen der Verschiebungswerte (3 Einheiten rechts, 1 Einheit oben): \(p(x) = (x - 3)^2 + 1\). Umwandlung in die Normalform durch Anwendung der zweiten binomischen Formel: \(p(x) = x^2 - 6x + 9 + 1 = x^2 - 6x + 10\). 2. Begründung der fehlenden Nullstellen: Der Scheitelpunkt \(S(3 \mid 1)\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse (\(y_S = 1 > 0\)). Da die Parabel nach oben geöffnet ist (Streckfaktor \(a = 1\)), verläuft der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse. 3. Berechnung des Schnittpunktes mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(p(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 10 = 10\). Resultierender Punkt: \(S_y(0 \mid 10)\).

1) Scheitelpunktform: \(p(x) = (x - 3)^2 + 1\); Normalform: \(p(x) = x^2 - 6x + 10\). 2) Der Scheitelpunkt \(S(3 \mid 1)\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. 3) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 10)\).

- Was kannst du direkt aus der Form der Funktionsgleichungen über die Lage des höchsten Punktes ablesen? - Wie verändern die Zahlenwerte innerhalb und außerhalb der Klammer die Position des Graphen im Koordinatensystem? - Überlege, ob die Parabeln nach oben oder unten geöffnet sind, um zu bestimmen, welche \(y\)-Werte erreicht werden können.

1. Bestimmung der Scheitelpunkte aus der Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\): Für \(f(x) = -0{,}5(x - 0)^2 + 0\) ist der Scheitelpunkt \(S_f(0 \mid 0)\). Für \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\) ist der Scheitelpunkt \(S_g(2 \mid 3)\). 2. Analyse der Verschiebung: Der Übergang von \(x^2\) zu \((x - 2)^2\) entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. Der Summand \(+3\) am Ende entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben. 3. Bestimmung der Wertebereiche: Da der Streckfaktor \(a = -0{,}5\) negativ ist, sind beide Parabeln nach unten geöffnet. Der maximale Funktionswert entspricht jeweils der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes. Somit gilt \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 0\}\) (oder \((-\infty; 0]\)) und \(W_g = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 3\}\) (oder \((-\infty; 3]\)).

a) \(S_f(0 \mid 0)\) und \(S_g(2 \mid 3)\) b) Der Graph von \(g\) entsteht durch Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach oben. c) \(W_f = (-\infty; 0]\) und \(W_g = (-\infty; 3]\)

- Welchen Einfluss haben die Zahlenwerte in der Klammer und außerhalb der Klammer auf die Lage der Parabel? - Wie verändert sich das Vorzeichen der Funktionsgleichung, wenn eine Parabel „auf den Kopf gestellt“ wird? - Achte besonders auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer bei Verschiebungen entlang der \(x\)-Achse. - Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Form \(y = (x - d)^2 + e\) ablesen.

1. Analyse der Funktion \(g(x) = (x - 5)^2 + 3\): Die Normalparabel wird um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(h\): Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt \(y = -x^2\). Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links ersetzt \(x\) durch \((x + 4)\). Die Gleichung lautet \(h(x) = -(x + 4)^2\). 3. Bestimmung der Scheitelpunkte: Aus der Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) ergeben sich für \(g\) der Scheitelpunkt \(S_g(5|3)\) und für \(h\) der Scheitelpunkt \(S_h(-4|0)\).

a) Die Normalparabel wird um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. b) \(h(x) = -(x + 4)^2\) c) \(S_g(5|3)\) und \(S_h(-4|0)\)

- Erinnere dich daran, wie der Betrag des Faktors vor dem \(x^2\) die Form der Parabel beeinflusst. - Überlege dir, in welche Richtung eine Parabel geöffnet sein muss, um einen höchsten Punkt (Maximum) zu haben. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn man einen Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt?

1. Vergleich der Form: Da \(|-4| > 1\), ist der Graph von \(g\) schmaler (gestreckt) als die Normalparabel. Da \(|0{,}5| < 1\), ist der Graph von \(f\) breiter (gestaucht). 2. Bestimmung des Maximums: Eine Parabel der Form \(y = ax^2\) besitzt ein Maximum, wenn sie nach unten geöffnet ist, also \(a < 0\). Dies trifft auf \(g(x)\) zu. Da der Scheitelpunkt im Ursprung \((0|0)\) liegt, ist das Maximum \(y = 0\). 3. Spiegelung: Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt das Vorzeichen des Streckfaktors um. Für \(f(x) = 0{,}5x^2\) ergibt sich somit \(a = -0{,}5\).

a) \(g(x)\) ist schmaler, da der Betrag des Streckfaktors (\(|-4| = 4\)) größer als 1 ist. b) \(g(x)\) besitzt ein Maximum; der Wert ist \(y = 0\). c) Der Parameter muss \(a = -0{,}5\) sein.

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie beeinflusst ein Faktor vor dem \(x^2\) die Form der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? - Überlege, ob die \(y\)-Werte bei gleichem \(x\) größer oder kleiner werden als bei der Normalparabel.

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(4 | 4)\) in die Funktionsgleichung: \(4 = a \cdot 4^2\). 2. Berechnung von \(a\): \(4 = 16a \Rightarrow a = \frac{4}{16} = 0{,}25\). 3. Vergleich mit der Normalparabel: Da der Betrag von \(a\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt (\(0 < 0{,}25 < 1\)), handelt es sich um eine Stauchung in \(y\)-Richtung. Der Graph ist flacher als die Normalparabel.

a) \(a = 0{,}25\) b) Der Graph ist gegenüber der Normalparabel in \(y\)-Richtung gestaucht.

- Welchen Wert hat die Funktion \(f\) an der Stelle \(x=0\)? - Was musst du für \(x\) in die Gleichung von \(g\) einsetzen, damit das Ergebnis in der Klammer \(0\) wird? - Vergleiche die Lage der beiden Punkte, an denen der Funktionswert \(0\) ist, auf der \(x\)-Achse.

1. Bestimmung des Scheitelpunkts: Die Funktion \(g(x) = (x+5)^2\) liegt in der Scheitelpunktform \(y = (x-d)^2 + e\) vor, wobei \(d = -5\) und \(e = 0\). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(-5 | 0)\). 2. Erklärung der Verschiebung: Der Funktionswert \(f(0) = 0^2 = 0\) wird bei der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\) erreicht. Damit die Funktion \(g(x) = (x+5)^2\) ebenfalls den Wert \(0\) annimmt, muss der Ausdruck in der Klammer Null ergeben: \(x + 5 = 0\). Dies ist für \(x = -5\) der Fall. Da der charakteristische Punkt (der Scheitelpunkt) von \(x = 0\) auf \(x = -5\) wandert, entspricht dies einer Verschiebung um \(5\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links).

a) Der Scheitelpunkt ist \(S(-5 | 0)\). b) Damit \(g(x) = 0\) gilt (wie \(f(0) = 0\)), muss \(x = -5\) sein. Der Punkt wurde also von \(x=0\) zu \(x=-5\) verschoben, was einer Verschiebung nach links entspricht.

- Vergleiche die Richtung einer horizontalen Verschiebung mit dem Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Unterscheide horizontale von vertikalen Änderungen der Scheitelpunktform. - Lies den Scheitelpunkt erst ab, nachdem die Gleichung in b) feststeht.

1. Eine Verschiebung der Normalparabel um \(3\) Einheiten nach links ersetzt \(x\) durch \(x+3\); die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben addiert \(2\). Daher ist \(y=(x+3)^2+2\) korrekt. 2. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach unten ergibt \(y=(x-3)^2-2\). 3. Aus dieser Scheitelpunktform liest man den Scheitelpunkt \(S(3 \mid -2)\) ab.

a) Die Aussage ist korrekt. b) \(y=(x-3)^2-2\) c) \(S(3 \mid -2)\)

- Welche besondere Eigenschaft des Graphen kannst du direkt an der y-Achse ablesen? - Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit dem Parameter \(c\) in der Gleichung zusammen? - Wenn du einen Punkt auf dem Graphen abliest, wie kannst du seine Koordinaten nutzen, um den verbleibenden unbekannten Parameter zu berechnen? - Wie kannst du überprüfen, ob deine Funktionsgleichung stimmt, indem du einen weiteren Punkt einsetzt?

1. Bestimmung von \(c\) über den Scheitelpunkt: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse bei \(S(0 \mid -2)\). Da die Parabel der Form \(f(x) = ax^2 + c\) entspricht, gibt der y-Achsenabschnitt direkt den Wert von \(c\) an. Es gilt also: \(c = -2\) 2. Bestimmung von \(a\) mit einem weiteren Punkt: Wir wählen einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen, zum Beispiel die Nullstelle \(P(2 \mid 0)\). Wir setzen die Koordinaten von \(P\) in die Funktionsgleichung ein: \(0 = a \cdot 2^2 - 2\) \(2 = 4a\) \(a = \frac{2}{4} = 0{,}5\) Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\). 3. Berechnung des Funktionswerts für \(x = 3\): Wir setzen \(x = 3\) in die ermittelte Funktionsgleichung ein: \(f(3) = 0{,}5 \cdot 3^2 - 2 = 0{,}5 \cdot 9 - 2 = 4{,}5 - 2 = 2{,}5\) Beim Blick auf den Graphen lässt sich bestätigen, dass der Funktionswert bei \(x = 3\) tatsächlich genau bei \(y = 2{,}5\) liegt.

a) Die Parameter sind \(a = 0{,}5\) und \(c = -2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\). b) Der berechnete Funktionswert für \(x = 3\) ist \(f(3) = 2{,}5\). Dies stimmt mit dem Graphen überein.

- Wo liegt der tiefste Punkt der neuen Kurve im Vergleich zum Ursprung? - Wie viele Einheiten musst du nach links oder rechts gehen? - Wie viele Einheiten musst du nach oben oder unten gehen? - Hat sich die Öffnung der Parabel verändert oder ist sie noch so breit wie die Normalparabel?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(g\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2 \mid -3)\). 2. Analyse der Verschiebung: Die Normalparabel wurde um 2 Einheiten nach links und um 3 Einheiten nach unten verschoben. 3. Überprüfung der Form: Da man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben geht, um auf den Graphen zu gelangen, handelt es sich weiterhin um eine Normalparabel (keine Streckung oder Stauchung). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit \(x_S = -2\) und \(y_S = -3\) ergibt sich die Scheitelpunktform \(g(x) = (x + 2)^2 - 3\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung um 2 Einheiten nach links und 3 Einheiten nach unten. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = (x + 2)^2 - 3\).

- Alle drei Parabeln haben ihren Scheitelpunkt im Ursprung. Welche allgemeine Form der Funktionsgleichung gehört dazu? - Suche dir für jede Kurve einen Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten aus. - Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes nutzen, um die Unbekannte in der Funktionsgleichung zu berechnen? - Überlege dir vorab, ob der Wert für \(a\) positiv oder negativ sein muss, je nachdem, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

1. Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, wird für jeden Graphen ein gut ablesbarer Punkt \(P(x \mid y)\) (ungleich dem Ursprung) gewählt und dessen Koordinaten in die Grundform \(y = ax^2\) eingesetzt. 2. Grüner Graph \(f\): Der Punkt \((1 \mid 2)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(2 = a \cdot 1^2\), also \(a = 2\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x^2\). 3. Blauer Graph \(g\): Der Punkt \((2 \mid 2)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(2 = a \cdot 2^2\), woraus \(2 = 4a\) und somit \(a = 0{,}5\) folgt. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = 0{,}5x^2\). 4. Roter Graph \(h\): Der Punkt \((1 \mid -1{,}5)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(-1{,}5 = a \cdot 1^2\), also \(a = -1{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(h(x) = -1{,}5x^2\).

\(f(x) = 2x^2\), \(g(x) = 0{,}5x^2\), \(h(x) = -1{,}5x^2\)

- Was bedeutet „an der x-Achse gespiegelt“ für das Vorzeichen vor der Klammer? - Bestimme den höchsten Punkt der Parabel. - Da der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt, ist die Verschiebung in x-Richtung Null.

1. Den Scheitelpunkt ablesen: \(S(0 \mid 4)\). 2. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss der Streckfaktor \(a = -1\) sein. 3. Einsetzen in die Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - d)^2 + e\): \(f(x) = -1(x - 0)^2 + 4\). 4. Vereinfachen: \(f(x) = -x^2 + 4\).

\(f(x) = -x^2 + 4\)

- Suche dir einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterkreuz liegt. - Wie hängen der \(x\)-Wert und der \(y\)-Wert bei einer Funktion der Form \(y = ax^2\) zusammen? - Wenn du \(a\) bestimmt hast, kannst du jeden beliebigen \(x\)-Wert einsetzen, um den \(y\)-Wert zu finden.

1. Ablesen eines Graphenpunktes: Ein gut erkennbarer Punkt auf dem Graphen ist \(P(2 \mid -1)\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(-1 = a \cdot 2^2 \implies -1 = 4a \implies a = -0{,}25\). 3. Berechnung von \(f(4)\): \(f(4) = -0{,}25 \cdot 4^2 = -0{,}25 \cdot 16 = -4\). 4. Da der \(y\)-Wert negativ ist, liegt der Punkt unterhalb der \(x\)-Achse.

a) \(a = -0{,}25\) b) \(f(4) = -4\); der Punkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse.

- Achte zuerst auf das Vorzeichen des Faktors vor dem \(x^2\). Was sagt es über die Öffnung aus? - Vergleiche die „Breite“ der Graphen mit der gestrichelten Normalparabel. - Ein großer Betrag von \(a\) macht die Kurve steiler.

1. Ausrichtung: Das negative Vorzeichen bei allen drei Funktionen bewirkt, dass die Parabeln nach unten geöffnet sind. 2. Öffnungsweite (Betrag von \(a\)): * Für \(|a| > 1\) ist die Parabel schmaler (gestreckt) als die Normalparabel. Dies trifft auf \(y = -2x^2\) zu. Das ist Graph \(k\). * Für \(|a| = 1\) ist die Form identisch zur Normalparabel, nur gespiegelt. Dies trifft auf \(y = -x^2\) zu. Das ist Graph \(h\). * Für \(0 < |a| < 1\) ist die Parabel breiter (gestaucht) als die Normalparabel. Dies trifft auf \(y = -0{,}2x^2\) zu. Das ist Graph \(g\).

Zuordnung: \(g: y = -0{,}2x^2\), \(h: y = -x^2\), \(k: y = -2x^2\). Erklärung: Das negative Vorzeichen von \(a\) spiegelt die Parabel an der \(x\)-Achse nach unten. Ist der Betrag \(|a| > 1\), wird die Parabel schmaler (gestreckt); ist \(|a| < 1\), wird sie breiter (gestaucht).

- Vergleiche die Position des tiefsten oder höchsten Punktes (Scheitelpunkt) der beiden Graphen. - Überlege, ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist. Was bedeutet das für das Vorzeichen vor dem Term? - Prüfe, ob der Graph im Vergleich zur Normalparabel „breiter“ oder „schmaler“ geworden ist.

1. Analyse der Transformationen: Der Scheitelpunkt der Normalparabel \(f(x) = x^2\) liegt im Ursprung \((0 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \((3 \mid 2)\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. Zudem ist die Parabel nach unten geöffnet, was einer Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht. Da die Form der Normalparabel beibehalten wurde (vom Scheitelpunkt aus geht man \(1\) zur Seite und \(1\) nach unten), liegt keine Streckung vor. 2. Aufstellen des Funktionsterms: Mit dem Scheitelpunkt \(S(3 \mid 2)\) und der Spiegelung ergibt sich die Scheitelpunktform \(g(x) = -(x - 3)^2 + 2\).

a) Der Graph von \(f\) wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt, um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. b) \(g(x) = -(x - 3)^2 + 2\)

- Schau dir an, welchen y-Wert die Graphen an der Stelle \(x = 1\) haben. - Vergleiche die „Steilheit“ der Graphen miteinander. Welcher Graph steigt am schnellsten an? - Überlege dir, was passiert, wenn man eine Zahl mit einem Faktor größer als 1 oder kleiner als 1 multipliziert.

1. Punktprobe oder Vergleich der Weite: Für \(x = 1\) gilt bei (1) \(y = 2\), bei (2) \(y = 1\) und bei (3) \(y = 0{,}5\). 2. Zuordnung: Der Graph \(f\) (am engsten) gehört zu (1) \(y = 2x^2\). Der mittlere Graph \(g\) gehört zu (2) \(y = x^2\). Der am weitesten geöffnete Graph \(h\) gehört zu (3) \(y = 0{,}5x^2\). 3. Erklärung: Je größer der Betrag von \(a\) ist, desto steiler verläuft der Graph und desto „enger“ ist die Parabel (Streckung in y-Richtung). Ist der Betrag von \(a\) kleiner als 1 (aber größer als 0), verläuft der Graph flacher und die Parabel ist „weiter“ geöffnet (Stauchung in y-Richtung). Das Vorzeichen von \(a\) bestimmt die Öffnungsrichtung: Für \(a>0\) ist die Parabel nach oben, für \(a<0\) nach unten geöffnet.

a) Zuordnung: \(f\) ist (1) \(y = 2x^2\); \(g\) ist (2) \(y = x^2\); \(h\) ist (3) \(y = 0{,}5x^2\). b) Wenn \(|a| > 1\), wird die Parabel gestreckt (enger). Wenn \(0 < |a| < 1\), wird sie gestaucht (weiter). Für \(a>0\) ist sie nach oben, für \(a<0\) nach unten geöffnet.

- Überlege zuerst, um welchen Grundtyp von Funktion es sich handelt. - Haben alle Kurven dieselbe Form oder sind sie unterschiedlich gestreckt? - Was haben alle Graphen gemeinsam und worin unterscheiden sie sich? - Wähle einen markanten Punkt aus (z. B. den Schnittpunkt mit der vertikalen Achse), um die Verschiebung zu beschreiben.

1. Analyse der Form: Alle Graphen sind nach oben geöffnete Parabeln mit derselben Öffnung. 2. Bestimmung des Formfaktors \(a\): Betrachtet man die Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \((0 \mid 1)\), so verläuft diese auch durch den Punkt \((2 \mid 3)\). Einsetzen in \(y = ax^2 + 1\) ergibt \(3 = a \cdot 2^2 + 1\), also \(2 = 4a\) und somit \(a = 0{,}5\). 3. Identifikation des Parameters: Die Parabeln sind lediglich entlang der \(y\)-Achse verschoben. Der Scheitelpunkt liegt jeweils bei \((0 \mid k)\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Schar lässt sich durch \(f_k(x) = 0{,}5x^2 + k\) mit \(k \in \mathbb{R}\) beschreiben. Im Graphen sind die Werte \(k \in \{-3; -1; 1; 3\}\) dargestellt.

\(f_k(x) = 0{,}5x^2 + k\)

- Notiere dir zuerst die Koordinaten der Scheitelpunkte für \(g\) und \(h\). - Überlege, ob die Parabeln nach oben oder unten geöffnet sind. - Erinnere dich an die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_s)^2 + y_s\).

1. Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(-3 \mid -4)\). Da die Form der Parabel der Normalparabel entspricht (eine Einheit zur Seite, eine nach oben), lautet die Gleichung: \(g(x) = (x + 3)^2 - 4\). 2. Der Scheitelpunkt von \(h\) liegt bei \(S_h(2 \mid 2)\). Die Parabel ist nach unten geöffnet, aber ansonsten formgleich zur Normalparabel. Somit lautet die Gleichung: \(h(x) = -(x - 2)^2 + 2\).

\(g(x) = (x + 3)^2 - 4\); \(h(x) = -(x - 2)^2 + 2\)

- Alle drei Parabeln haben dieselbe Form, sie sind nur an verschiedenen Stellen im Koordinatensystem. - Bestimme die Verschiebung des Scheitelpunkts ausgehend vom Ursprung.

1. Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \((0 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \((1 \mid -3)\). Die Parabel wurde um \(1\) Einheit nach rechts und \(3\) Einheiten nach unten verschoben. Da der Streckfaktor \(a=2\) erhalten bleibt, ist \(g(x) = 2(x - 1)^2 - 3\). 2. Der Scheitelpunkt von \(h\) liegt bei \((-2 \mid 1)\). Die Parabel wurde um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach oben verschoben. Somit ist \(h(x) = 2(x + 2)^2 + 1\).

\(g(x) = 2(x - 1)^2 - 3\); \(h(x) = 2(x + 2)^2 + 1\)

- Untersuche die Gleichung \(x^2=-c\). - Für welche reellen Zahlen kann ein Quadrat stehen? - Wie hängt das Vorzeichen von \(-c\) vom Vorzeichen von \(c\) ab?

1. Für \(c=-16\) gilt \(h(x)=x^2-16\). - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0)=-16\), also \((0|-16)\). - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(x^2-16=0\), also \(x=4\) oder \(x=-4\). Die Punkte sind \((4|0)\) und \((-4|0)\). 2. Allgemein gilt für Nullstellen \(x^2+c=0\), also \(x^2=-c\). Über den reellen Zahlen existiert mindestens eine Lösung genau dann, wenn \(-c\ge 0\), also \(c\le 0\). Für \(c>0\) besitzt der Graph keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

a) Die Schnittpunkte sind \((0|-16)\), \((4|0)\) und \((-4|0)\). b) Für \(c>0\) gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, weil \(x^2=-c\) dann keine reelle Lösung besitzt.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die vertikale Verschiebung des Graphen? - Wie hängen die vertikale Lage des tiefsten Punktes und die Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zusammen? - Was passiert mit dem Graphen, wenn du den Wert am Ende der Gleichung veränderst?

1. Die Wertemenge einer nach oben geöffneten Parabel (\(a=1\)) beginnt beim \(y\)-Wert des Scheitelpunkts. Der Scheitelpunkt von \(p_c\) ist \(S(3|c)\). Damit die Wertemenge bei \(4\) beginnt, muss \(c = 4\) gelten. 2. Für \(c = -1\) lautet die Gleichung \(p_{-1}(x) = (x-3)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|-1)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist und der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gibt es genau zwei Nullstellen. 3. Allgemeiner Zusammenhang: Ist \(c < 0\), liegt der Scheitelpunkt unter der \(x\)-Achse und es gibt zwei Nullstellen. Ist \(c = 0\), liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse (eine Nullstelle). Ist \(c > 0\), liegt er darüber (keine Nullstelle).

a) \(c = 4\) b) Für \(c = -1\) gibt es zwei Nullstellen. Allgemein gilt: Bei \(c < 0\) gibt es zwei Nullstellen, bei \(c = 0\) eine und bei \(c > 0\) keine, da \(c\) die Höhe des Scheitelpunkts einer nach oben geöffneten Parabel festlegt.

- Was sagt das Vorzeichen des Streckfaktors über die Öffnungsrichtung aus? - Was bedeutet es für die Form der Parabel, wenn der Betrag des Streckfaktors größer als 1 ist? - Beide Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf derselben vertikalen Linie. Was fällt dir an ihrer Position im Vergleich zu den Nullstellen auf?

1. Ansatz für beide Funktionen in Nullstellenform: \(f(x) = a(x - 1)(x - 5)\). 2. Berechnung für Parabel 1 mit \(A(3 \mid -4)\): \(-4 = a_1 \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 5) \Rightarrow -4 = a_1 \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -4 = -4a_1 \Rightarrow a_1 = 1\). 3. Berechnung für Parabel 2 mit \(B(3 \mid 8)\): \(8 = a_2 \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 5) \Rightarrow 8 = a_2 \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow 8 = -4a_2 \Rightarrow a_2 = -2\). 4. Vergleich: \(a_1 = 1\) bedeutet, dass es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt. \(a_2 = -2\) bedeutet, dass die Parabel nach unten geöffnet ist und im Vergleich zur Normalparabel in \(y\)-Richtung gestreckt wurde.

Für die erste Parabel gilt \(a_1 = 1\); sie ist eine nach oben geöffnete Normalparabel. Für die zweite Parabel gilt \(a_2 = -2\); sie ist nach unten geöffnet und schmaler (gestreckt) als eine Normalparabel.

- Überlege, welche Form die Funktionsgleichungen haben und wo der Scheitelpunkt bei Gleichungen ohne lineares Glied (also ohne ein einfaches \(x\)) liegt. - Um Nullstellen zu finden, musst du die Gleichung \(y = 0\) nach \(x\) auflösen. - Wie beeinflusst die Zahl vor dem \(x^2\) die Form der Parabel? - Stell dir vor, wie steil die Kurven nach oben gehen, wenn sie am selben Punkt starten.

1. Bestimmung der Scheitelpunkte: Beide Funktionen liegen in der Form \(f(x) = ax^2 + c\) vor. Hier ist der Scheitelpunkt immer \(S(0 | c)\). Für \(f(x)\): \(S_f(0 | -4)\). Für \(g(x)\): \(S_g(0 | -4)\). Beide Parabeln haben denselben Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Nullstellen: Für \(f(x)\): \(x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2; x_2 = 2\). Für \(g(x)\): \(2x^2 - 4 = 0 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x_1 \approx -1{,}41; x_2 \approx 1{,}41\). 3. Vergleich der Öffnung: Der Streckfaktor \(a\) bei \(g(x)\) ist \(2\), bei \(f(x)\) ist er \(1\). Da \(2 > 1\), ist die Parabel zu \(g\) enger (gestreckt). Bei einer engeren Parabel mit gleichem Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegen die Nullstellen näher beieinander, da die Funktionswerte schneller ansteigen. Der Abstand der Nullstellen bei \(f\) beträgt \(4\), bei \(g\) genau \(2\sqrt{2}\approx2{,}83\).

a) Beide haben den Scheitelpunkt \(S(0 | -4)\). b) Nullstellen von \(f\): \(x = \pm 2\); Nullstellen von \(g\): \(x \approx \pm 1{,}41\). c) Die Parabel zu \(g\) ist enger. Dadurch liegen ihre Nullstellen näher zusammen als die von \(f\): Der Abstand beträgt bei \(g\) \(2\sqrt2\approx2{,}83\), bei \(f\) dagegen \(4\).

- Du kannst den Scheitelpunkt entweder durch quadratische Ergänzung oder mit einer Formel finden. - Eine Verschiebung nach unten ändert nur den konstanten Teil (das \(c\)) der Funktionsgleichung. - Überlege dir, wo der Scheitelpunkt liegt und ob die Parabel nach oben oder unten „schaut“. - Kann eine nach unten geöffnete Parabel die \(x\)-Achse schneiden, wenn ihr höchster Punkt bereits unter der \(x\)-Achse liegt?

1. Berechnung des Scheitelpunkts von \(f\): Die \(x\)-Koordinate ist \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\). Die \(y\)-Koordinate ist \(f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S_f(2 | 1)\). 2. Berechnung der Nullstellen von \(f\): \(-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1\). \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Funktionsgleichung von \(g\): Verschiebung um \(2\) nach unten bedeutet \(g(x) = f(x) - 2\). \(g(x) = -x^2 + 4x - 3 - 2 = -x^2 + 4x - 5\). 4. Überprüfung auf Nullstellen für \(g\): Der neue Scheitelpunkt ist \(S_g(2 | 1 - 2) = S_g(2 | -1)\). Da der Koeffizient vor \(x^2\) negativ ist (\(a = -1\)), ist die Parabel nach unten geöffnet. Da der höchste Punkt (Scheitelpunkt) bei \(y = -1\) liegt, also unterhalb der \(x\)-Achse, und die Parabel nach unten geöffnet ist, kann sie die \(x\)-Achse nie erreichen. Es gibt keine Nullstellen.

a) Scheitelpunkt \(S(2 | 1)\), Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). b) \(g(x) = -x^2 + 4x - 5\). c) Nein, \(g\) hat keine Nullstellen. Da der Scheitelpunkt \(S_g(2 | -1)\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

- Versuche zuerst, die Funktionsgleichungen in die Form \((x - d)^2\) umzuschreiben. - Wo liegen die tiefsten Punkte der beiden Parabeln? - Stell dir die Lage der beiden Punkte auf der \(x\)-Achse vor. Wie weit sind sie voneinander entfernt?

1. Umwandlung in die Scheitelpunktform mittels binomischer Formeln: \(f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \Rightarrow S_f(2|0)\) \(g(x) = x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \Rightarrow S_g(-5|0)\) 2. Vergleich der Scheitelpunkte: Beide liegen auf der \(x\)-Achse. 3. Berechnung der Verschiebung in \(x\)-Richtung: Differenz der \(x\)-Werte ist \(-5 - 2 = -7\). 4. Ergebnis: Der Graph von \(f\) muss um \(7\) Einheiten nach links verschoben werden, um mit \(g\) deckungsgleich zu sein.

a) Der Scheitelpunkt von \(f\) ist \(S_f(2|0)\), der von \(g\) ist \(S_g(-5|0)\). b) Der Graph von \(f\) muss um \(7\) Einheiten nach links verschoben werden.

- Stell dir vor, du hättest eine Tabelle mit Werten. Was passiert mit den Ergebnissen, wenn du die vordere Zahl verdoppelst? - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein Punkt die Bedingung einer Gleichung erfüllt? - Erinnere dich an die Punktprobe: Einsetzen und schauen, ob eine wahre Aussage entsteht.

1. Wird \(a\) durch \(2a\) ersetzt, verdoppeln sich für jedes \(x\) die Funktionswerte. Der Betrag des Streckfaktors verdoppelt sich, daher wird die Parabel enger; ihre Öffnungsrichtung bleibt unverändert. 2. Bestimmung von \(a\) für \(p(x)\): Einsetzen von \(P(2 | -2)\) ergibt \(-2 = a \cdot 2^2 \implies -2 = 4a \implies a = -0{,}5\). Die Gleichung lautet \(p(x) = -0{,}5x^2\). 3. Punktprobe für \(R(-3 | -4{,}5)\): \(p(-3) = -0{,}5 \cdot (-3)^2 = -0{,}5 \cdot 9 = -4{,}5\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(R\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Der Betrag des Streckfaktors verdoppelt sich; die Parabel wird enger, und die Öffnungsrichtung bleibt gleich. b) Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = -0{,}5x^2\). c) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf dem Graphen, da \(p(-3) = -4{,}5\) gilt.

- Überlege dir zuerst, was die Begriffe „gestreckt“ und „gestaucht“ mathematisch für den Wert vor dem \(x^2\) bedeuten. - Was muss für den Koeffizienten gelten, damit eine Parabel „enger“ oder „weiter“ als eine andere ist? - Achte bei Teil b) darauf, dass alle drei Bedingungen für denselben Wert erfüllt sein müssen.

1. Analyse von \(f(x) = -5x^2\): Wegen \(a = -5 < 0\) nach unten geöffnet; wegen \(|-5| > 1\) gestreckt (enger als die Normalparabel). 2. Analyse von \(g(x) = \frac{2}{3}x^2\): Wegen \(a = \frac{2}{3} > 0\) nach oben geöffnet; wegen \(|\frac{2}{3}| < 1\) gestaucht (weiter als die Normalparabel). 3. Bedingungen für \(k(x) = ax^2\): - Weiter als \(f \implies |a| < 5\). - Enger als \(g \implies |a| > \frac{2}{3}\). - Gleiche Richtung wie \(f \implies a < 0\). 4. Kombiniert: \(-5 < a < -\frac{2}{3}\). Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel \(a = -2\), also \(k(x) = -2x^2\).

a) \(f\) ist nach unten geöffnet und gestreckt. \(g\) ist nach oben geöffnet und gestaucht. b) Mögliche Lösung: \(k(x) = -2x^2\) (Jedes \(a\) mit \(-5 < a < -\frac{2}{3}\) ist korrekt).

- Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein \(y\)-Wert bei gleichem \(x\) größer ist als ein anderer? - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Parabeln, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt.

1. Einsetzen von \(P(3 \mid 4{,}5)\) in \(y = ax^2\): \(4{,}5 = a \cdot 3^2 \implies 4{,}5 = 9a \implies a = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(p(x) = 0{,}5x^2\). 2. Berechnung der \(y\)-Werte bei \(x = 10\): \(p(10) = 0{,}5 \cdot 10^2 = 0{,}5 \cdot 100 = 50\). Für \(q\): \(q(10) = 0{,}4 \cdot 10^2 = 0{,}4 \cdot 100 = 40\). Da \(50 > 40\), liegt die Parabel \(p\) an dieser Stelle höher. 3. Punkt \(R(-3 \mid 4{,}5)\) liegt auf dem Graphen, da Parabeln der Form \(y = ax^2\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sind. Da \(P(3 \mid 4{,}5)\) auf dem Graphen liegt, muss auch der an der \(y\)-Achse gespiegelte Punkt \(R(-3 \mid 4{,}5)\) darauf liegen.

a) \(a = 0{,}5\) b) \(p(10) = 50\) und \(q(10) = 40\). Parabel \(p\) verläuft höher. c) Ja, aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse.

- Wenn ein Punkt auf einer Kurve liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. - Setze die bekannten Koordinaten in die Gleichung ein, um die fehlende Unbekannte zu finden. - Nutze die vervollständigte Gleichung, um die Position des zweiten Punktes wie gewohnt zu prüfen.

1. Berechnung von \(q\): Einsetzen der Koordinaten von \(P(3 | 11)\) in die Funktionsgleichung: \(11 = 3^2 + q \implies 11 = 9 + q \implies q = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 + 2\). 2. Lage von \(Q(-2 | 5)\): Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = -2\): \(f(-2) = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6\). Vergleich des gegebenen \(y\)-Wertes von \(Q\) mit dem Funktionswert: Da \(5 < 6\), liegt der Punkt \(Q\) unterhalb der Parabel.

1. \(q = 2\) 2. Der Punkt \(Q\) liegt unterhalb der Parabel.

- Was passiert mit der Gleichung, wenn du den \(x\)-Wert eines Punktes einsetzt? - Überlege dir, wie sich der \(y\)-Wert eines Punktes verändern muss, damit er senkrecht nach oben wandert. - Wie hängen die Begriffe „Gleichung“, „größer als“ und „kleiner als“ mit den Lagen „auf“, „oberhalb“ und „unterhalb“ zusammen?

1. Punkt \(M(2 | y)\) auf der Parabel: Setze \(x = 2\) in \(g(x)\) ein: \(g(2) = -2(2 - 1)^2 + 5 = -2(1)^2 + 5 = -2 + 5 = 3\). Damit \(M\) auf der Parabel liegt, muss \(y = 3\) gelten. 2. Bedingung für „oberhalb“: Ein Punkt liegt oberhalb des Graphen, wenn sein \(y\)-Wert größer ist als der Funktionswert an der entsprechenden \(x\)-Stelle. Da \(g(2) = 3\), lautet die Bedingung: \(y > 3\). 3. Lage von \(N(4 | -13)\): Berechne \(g(4) = -2(4 - 1)^2 + 5 = -2(3)^2 + 5 = -2 \cdot 9 + 5 = -18 + 5 = -13\). Da der gegebene \(y\)-Wert \(-13\) exakt dem Funktionswert entspricht, liegt der Punkt \(N\) auf der Parabel.

1. \(y = 3\) 2. \(y > 3\) 3. Der Punkt \(N\) liegt auf der Parabel.

- Was bedeutet es für das Aussehen des Graphen, wenn der Wert von \(a\) sehr groß ist? - Erinnere dich an die Symmetrie der Parabel: Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du das Vorzeichen von \(x\) änderst?

1. Bestimmung der Parameter: Für \(f\): \(2 = a \cdot 2^2 = 4a \Rightarrow a = 0{,}5\). Also \(f(x) = 0{,}5x^2\). Für \(g\): \(2 = b \cdot 1^2 = 1b \Rightarrow b = 2\). Also \(g(x) = 2x^2\). 2. Vergleich der Graphen: Da \(|2| > |0{,}5|\) ist, ist der Graph von \(g\) enger geöffnet (er ist stärker gestreckt). 3. Symmetrie: Parabeln der Form \(y = ax^2\) sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Ein Punkt \((x|y)\) wird an der \(y\)-Achse auf \((-x|y)\) gespiegelt. Für \(f\): Aus \(A(2|2)\) folgt \(A'(-2|2)\). Für \(g\): Aus \(B(1|2)\) folgt \(B'(-1|2)\).

1. \(f(x) = 0{,}5x^2\) und \(g(x) = 2x^2\). 2. Die Parabel von \(g\) ist enger, da \(|b| > |a|\). 3. \(A'(-2|2)\) und \(B'(-1|2)\).

- Nutze die Scheitelpunktform so, dass die gegebenen Scheitelkoordinaten direkt erkennbar sind. - Verknüpfe Öffnungsrichtung und Breite der Parabel mit Betrag und Vorzeichen des Parameters \(a\). - Bestimme den Wertebereich aus der Lage des Scheitelpunkts und der Öffnungsrichtung.

1. In Scheitelpunktform gilt \(g(x)=a(x+2)^2-4\). 2. Für eine nach oben geöffnete, gegenüber der Normalparabel breitere Parabel muss \(0<a<1\) gelten. Eine mögliche Wahl ist \(a=0{,}5\), also \(g(x)=0{,}5(x+2)^2-4\). 3. Der Scheitelpunkt ist bei dieser nach oben geöffneten Parabel der tiefste Punkt. Daher ist der Wertebereich \(W=[-4;\infty)\). 4. Wird \(a\) mit \(-1\) multipliziert, ändert sich nur die Öffnungsrichtung. Der Scheitelpunkt bleibt bei \((-2 \mid -4)\), ist dann aber der höchste Punkt. Der neue Wertebereich ist \(W_{neu}=(-\infty;-4]\).

a) Zum Beispiel \(g(x)=0{,}5(x+2)^2-4\); allgemein ist jedes \(a\) mit \(0<a<1\) möglich. b) \(W=[-4;\infty)\) c) Nach dem Vorzeichenwechsel von \(a\) ist \(W_{neu}=(-\infty;-4]\).

- Schau dir die Struktur der Terme genau an. Welche Teile sind identisch? - Wo wechselt eine Parabel ihr Steigungsverhalten (Monotonie)? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt zu einer Funktion gehört? - Erinnerst du dich, wie man den \(x\)-Wert eines Punktes in eine Funktionsgleichung einsetzt?

1. Beide Funktionen haben die Form \(a(x - d)^2 + e\) mit \(d = -2\) und \(e = -1\). Somit haben beide den identischen Scheitelpunkt \(S(-2 \mid -1)\). Da die Symmetrieachse durch den \(x\)-Wert des Scheitelpunkts verläuft, haben beide die Symmetrieachse \(x = -2\). 2. Da bei beiden \(a > 0\) gilt (\(0{,}5\) bzw. \(3\)), sind beide Parabeln nach oben geöffnet. Eine nach oben geöffnete Parabel fällt links vom Scheitelpunkt. Beide Funktionen sind also für \(x \leq -2\), also auf dem Intervall \((-\infty; -2]\) streng monoton fallend. 3. Punktprobe für \(f(0)\): \(f(0) = 0{,}5(0 + 2)^2 - 1 = 0{,}5 \cdot 4 - 1 = 2 - 1 = 1\). Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt auf dem Graphen von \(f\). 4. Punktprobe für \(h(0)\): \(h(0) = 3(0 + 2)^2 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11\). Da \(11 \neq 1\), liegt der Punkt \(P\) nicht auf dem Graphen von \(h\).

a) Beide Graphen haben denselben Scheitelpunkt \(S(-2 \mid -1)\) und dieselbe Symmetrieachse \(x = -2\). b) Für \(x \le -2\) (bzw. im Intervall \((-\infty; -2]\)). c) Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt nur auf dem Graphen von \(f\), da \(f(0) = 1\), aber \(h(0) = 11\).

- Wie hängen die Vorzeichen in der Klammer der Scheitelpunktform mit der Verschiebung auf der \(x\)-Achse zusammen? - Was bedeutet es für die Anzahl der Nullstellen, wenn der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel über der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Nullstellen finden, indem du die Gleichung nach der Klammer auflöst?

1. Den Scheitelpunkt direkt aus der Form \(f(x) = (x-d)^2 + e\) ablesen: \(S(-3 | -4)\). 2. Zur Berechnung der Nullstellen den Ansatz \(f(x) = 0\) nutzen: \((x+3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4\). Durch Wurzelziehen ergibt sich \(x+3 = 2\) oder \(x+3 = -2\), woraus die Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -5\) folgen. 3. Für die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts den \(x\)-Wert des Scheitelpunkts um \(2\) erhöhen (\(-3 + 2 = -1\)) und für die Verschiebung um \(6\) Einheiten nach oben den \(y\)-Wert um \(6\) erhöhen (\(-4 + 6 = 2\)). Der neue Scheitelpunkt ist \(S'(-1 | 2)\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = (x+1)^2 + 2\). 4. Da der Scheitelpunkt \(S'(-1 | 2)\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S = 2 > 0\)) und die Parabel nach oben geöffnet ist (positiver Vorfaktor \(1\)), besitzt die Funktion \(g\) keine Nullstellen.

a) Scheitelpunkt \(S(-3 | -4)\); Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -5\). b) \(g(x) = (x+1)^2 + 2\). c) Keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Wie gehst du vor, wenn ein Punkt gegeben ist und du einen Parameter in der Gleichung suchst? - Was ist der Unterschied zwischen einer Stelle und einem Funktionswert? - Denke daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = c\) zwei Lösungen haben kann.

1. Berechnung von \(a\) durch Einsetzen von \(P\): \(-5 = a \cdot (-5)^2 \Rightarrow -5 = 25a \Rightarrow a = -0{,}2\). 2. Berechnung des Funktionswerts: \(f(3) = -0{,}2 \cdot 3^2 = -0{,}2 \cdot 9 = -1{,}8\). 3. Bestimmung der Stellen für \(y = -10\): \(-10 = -0{,}2x^2 \Rightarrow x^2 = 50\). 4. Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x_1 = \sqrt{50} \approx 7{,}07\) und \(x_2 = -\sqrt{50} \approx -7{,}07\).

a) \(a = -0{,}2\) b) \(f(3) = -1{,}8\) c) \(x_1 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\) und \(x_2 = -\sqrt{50} = -5\sqrt{2} \approx -7{,}07\)

- Was muss für den Wert \(a\) gelten, damit eine Parabel gestaucht ist? - In welchem Bereich liegen \(x\)- und \(y\)-Werte im zweiten Quadranten? - Skizziere dir grob die Lage der Parabel, um die Anzahl der Nullstellen zu prüfen.

1. Bedingung 1 (nach unten geöffnet und gestaucht): Der Parameter \(a\) muss negativ sein und sein Betrag muss zwischen 0 und 1 liegen, z. B. \(a = -0{,}5\). 2. Bedingung 2 (Scheitelpunkt im 2. Quadranten): Die \(x\)-Koordinate muss negativ (\(x_s < 0\)) und die \(y\)-Koordinate muss positiv (\(y_s > 0\)) sein. Beispiel: \(S(-3 \mid 4)\). 3. Bedingung 3 (zwei Nullstellen): Da die Parabel nach unten geöffnet ist (\(a < 0\)), muss der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegen (\(y_s > 0\)), damit es zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse gibt. Dies ist durch die Wahl im 2. Quadranten bereits erfüllt. 4. Zusammenfügen der gewählten Parameter: \(f(x) = -0{,}5(x+3)^2 + 4\).

Ein mögliches Beispiel ist \(f(x) = -0{,}5(x+3)^2 + 4\). (Andere Lösungen sind möglich, solange \(-1 < a < 0\), \(x_s < 0\) und \(y_s > 0\) gilt.)

- Wie verändert sich das Vorzeichen von \(a\), wenn die Parabel gespiegelt wird? - Was bewirkt eine Verschiebung nach links in der Klammer der Scheitelpunktform? - Stell dir vor, wo der Scheitelpunkt liegt und in welche Richtung die „Arme“ der Parabel gehen.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse bedeutet \(a = -1\). 2. Verschiebung um \(5\) nach links bedeutet \(x_s = -5\). In der Formel steht dann \((x - (-5))\), also \((x+5)\). 3. Verschiebung um \(3\) nach oben bedeutet \(y_s = 3\). 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = -(x+5)^2 + 3\). 5. Nullstellen: Da die Parabel nach unten geöffnet ist (\(a = -1\)) und ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_s = 3\)), muss der Graph die \(x\)-Achse zweimal schneiden. Es existieren also zwei Nullstellen.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x+5)^2 + 3\). Die Funktion besitzt zwei Nullstellen, da die Parabel nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

- Führe die beschriebenen Schritte nacheinander am Funktionsterm durch. - Achte darauf, ob eine Streckung auf die bereits verschobene Funktion angewendet wird (Klammersetzung!). - Prüfe durch Ausmultiplizieren, ob verschiedene Beschreibungen zum selben Ziel führen können.

1. Untersuchung von Lukas' Vorgehen: Streckung von \(x^2\) mit Faktor 3 ergibt \(3x^2\). Anschließende Verschiebung um 12 nach unten ergibt \(3x^2 - 12\). Dies entspricht \(f(x)\). 2. Untersuchung von Annas Vorgehen: Verschiebung von \(x^2\) um 4 nach unten ergibt \(x^2 - 4\). Die anschließende Streckung des gesamten Graphen mit Faktor 3 bedeutet, dass der gesamte Term multipliziert wird: \(3(x^2 - 4)\). 3. Ausmultiplizieren des Terms von Anna: \(3 \cdot x^2 - 3 \cdot 4 = 3x^2 - 12\). Dies entspricht ebenfalls \(f(x)\). 4. Ergebnis: Beide haben recht, da beide Wege zur korrekten Funktionsgleichung führen.

Beide haben recht. Lukas: \(x^2 \xrightarrow{\text{Streckung}} 3x^2 \xrightarrow{\text{Verschiebung}} 3x^2 - 12\). Anna: \(x^2 \xrightarrow{\text{Verschiebung}} x^2 - 4 \xrightarrow{\text{Streckung}} 3(x^2 - 4) = 3x^2 - 12\).

- Was passiert mathematisch mit dem Term, wenn du einen Graphen an der \(x\)-Achse spiegelst? - Überlege dir, ob das Vorzeichen der Verschiebung durch eine spätere Spiegelung beeinflusst wird. - Notiere dir nach jedem Teilschritt die neue Funktionsgleichung.

1. Analyse von Beschreibung 1: Schritt 1 ergibt \(2x^2\). Schritt 2 ergibt \(2x^2 + 6\). Schritt 3 (Spiegelung des gesamten Graphen) ergibt \(-(2x^2 + 6) = -2x^2 - 6\). Dies ist ungleich \(k(x)\). 2. Analyse von Beschreibung 2: Schritt 1 ergibt \(-x^2\). Schritt 2 ergibt \(-2x^2\). Schritt 3 ergibt \(-2x^2 + 6\). Dies entspricht exakt \(k(x)\). 3. Ergebnis: Nur Beschreibung 2 ist korrekt.

Nur Beschreibung 2 ist korrekt. Bei Beschreibung 1 würde die Spiegelung am Ende auch die Verschiebung umkehren, was zu \(y = -2x^2 - 6\) führen würde.

- Achte auf die Zahl vor dem Quadrat bzw. vor der Klammer: Was sagt sie über die Breite der Parabel aus? - Wann ist eine Parabel „gestreckt“ und wann „gestaucht“? - Wie erkennst du an der Funktionsgleichung, ob die Parabel nach oben oder unten offen ist? - Der Scheitelpunkt gibt dir direkt den höchsten oder tiefsten Punkt an. Wie liest du ihn aus der Form ab?

1. Analyse von \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\): Der Streckfaktor \(a = 0{,}5\) ist positiv und erfüllt \(0 < |a| < 1\), daher ist die Parabel nach oben geöffnet und gestaucht (breiter als die Normalparabel). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0|-2)\). Da sie nach oben geöffnet ist, hat sie ein Minimum bei \(y = -2\) an der Stelle \(x = 0\). 2. Analyse von \(g(x) = -2(x - 3)^2 + 4\): Der Streckfaktor \(a = -2\) ist negativ und erfüllt \(|a| > 1\), daher ist die Parabel nach unten geöffnet (an der \(x\)-Achse gespiegelt) und gestreckt (schmaler als die Normalparabel). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|4)\). Da sie nach unten geöffnet ist, hat sie ein Maximum bei \(y = 4\) an der Stelle \(x = 3\).

1. \(f(x)\): nach oben geöffnet, gestaucht; \(g(x)\): nach unten geöffnet, gestreckt. 2. \(f(x)\): Minimum bei \((0|-2)\); \(g(x)\): Maximum bei \((3|4)\).

- Wie kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt in eine Funktionsgleichung übersetzen? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert? - Wenn ein Funktionswert gegeben ist, für welche Variable in der Gleichung setzt du diesen ein? - Denke daran, dass beim Ziehen einer Quadratwurzel oft zwei Lösungen entstehen können.

1. Beschreibung der Verschiebung: Der Scheitelpunkt wurde vom Ursprung \((0 \mid 0)\) zum Punkt \(S(2 \mid -9)\) bewegt, was einer Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 9 Einheiten nach unten entspricht. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung und Berechnung der Nullstellen: \(g(x) = (x - 2)^2 - 9\). Aus \(g(x) = 0\) folgt \((x - 2)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 9 \Rightarrow x - 2 = \pm 3\). Daraus folgen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). 3. Berechnung der \(x\)-Koordinaten für den Funktionswert 7: \(g(x) = 7 \Rightarrow (x - 2)^2 - 9 = 7 \Rightarrow (x - 2)^2 = 16 \Rightarrow x - 2 = \pm 4\). Daraus folgen \(x = 6\) und \(x = -2\).

1) Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 9 Einheiten nach unten. 2) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). 3) Die gesuchten \(x\)-Koordinaten sind \(x = 6\) und \(x = -2\).

- Wie ändert sich das Vorzeichen vor dem Hauptterm, wenn ein Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wird? - Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die vertikale Linie, an der die Parabel gespiegelt werden kann? - Stelle dir den Verlauf einer nach unten geöffneten Parabel vor: Wo geht es „bergauf“ und wo „bergab“? - Hat die vertikale Verschiebung oder die Spiegelung einen Einfluss auf die Links-Rechts-Position des Scheitelpunktes?

1. Aufstellen der Gleichung für \(p_2\): Die Spiegelung von \(y = 2(x + 4)^2\) an der \(x\)-Achse kehrt das Vorzeichen des Streckfaktors um, also \(y = -2(x + 4)^2\). Die anschließende Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben ergibt \(y = -2(x + 4)^2 + 3\). 2. Bestimmung der Symmetrieachse: Die Symmetrieachse einer Parabel in Scheitelpunktform verläuft vertikal durch die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes. Für beide Gleichungen ist \(d = -4\), also lautet die Symmetrieachse \(x = -4\). 3. Analyse der Monotonie von \(p_2\): Da der Streckfaktor \(a = -2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Graph steigt links vom Scheitelpunkt bis zum Maximum an und fällt danach ab. Somit ist die Funktion für \(x \le -4\) monoton steigend und für \(x \ge -4\) monoton fallend.

a) \(y = -2(x + 4)^2 + 3\) b) Die Symmetrieachse ist für beide Parabeln \(x = -4\). c) Der Graph von \(p_2\) ist monoton steigend für \(x \in (-\infty; -4]\) und monoton fallend für \(x \in [-4; \infty)\).

- Vergleiche die Parameter \(d\) und \(e\) in beiden Gleichungen. - Was bewirkt ein Faktor, dessen Betrag größer als 1 ist, im Vergleich zu einem Faktor zwischen 0 und 1? - Wie findest du den Punkt auf der \(y\)-Achse? Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte dort? - Überlege dir, welches Vorzeichen ein Ergebnis einer Quadrierung immer hat. Welchen Einfluss hat dann das Vorzeichen des Faktors \(a\) davor?

1. Beide Funktionsgleichungen haben die Form \(a(x-d)^2 + e\) mit \(d=1\) und \(e=0\). Somit haben beide Parabeln denselben Scheitelpunkt \(S(1|0)\), der auf der \(x\)-Achse liegt. 2. Für \(f(x)\) ist \(|a| = 2 > 1\), die Parabel ist also gestreckt (schmaler) als die Normalparabel und wegen \(a > 0\) nach oben geöffnet. Für \(g(x)\) ist \(|a| = 0{,}5 < 1\), die Parabel ist also gestaucht (breiter) und wegen \(a < 0\) nach unten geöffnet. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): Für \(f\): \(f(0) = 2(0-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2 \implies S_{y,f}(0|2)\). Für \(g\): \(g(0) = -0{,}5(0-1)^2 = -0{,}5 \cdot 1 = -0{,}5 \implies S_{y,g}(0|-0{,}5)\). 4. Das Quadrat \((x - 1)^2\) ist für jede reelle Zahl \(x\) nichtnegativ. Da der Vorfaktor bei \(f\) positiv (\(2\)) und bei \(g\) negativ (\(-0{,}5\)) ist, liefert \(f(x)\) für alle \(x \neq 1\) positive Werte und \(g(x)\) negative Werte. Daher ist \(f(100)\) positiv.

1. Beide haben den Scheitelpunkt \(S(1|0)\). 2. \(f\) ist gestreckt und nach oben geöffnet; \(g\) ist gestaucht und nach unten geöffnet. 3. \(S_{y,f}(0|2)\) und \(S_{y,g}(0|-0{,}5)\). 4. Die Funktion \(f\), da der Faktor \(a = 2\) positiv ist und \((100 - 1)^2 > 0\) gilt.

- Wie weit muss man von der ersten \(x\)-Koordinate zur zweiten \(x\)-Koordinate wandern? - Überlege dir, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. - Wo liegt der tiefste Punkt der Parabel im Vergleich zur \(x\)-Achse? - Wenn eine Parabel nach oben offen ist und ihr tiefster Punkt über der \(x\)-Achse liegt, kann sie die Achse dann berühren?

1. Bestimmung des ursprünglichen Scheitelpunktes: Aus \(y = (x + 2)^2 - 1\) folgt \(S_1(-2 | -1)\). 2. Berechnung der Verschiebung zum neuen Scheitelpunkt \(S_2(3 | 4)\): In \(x\)-Richtung: \(3 - (-2) = 5\) Einheiten nach rechts. In \(y\)-Richtung: \(4 - (-1) = 5\) Einheiten nach oben. 3. Aufstellen der neuen Funktionsgleichung: Mit \(S_2(3 | 4)\) und gleichbleibender Form (\(a = 1\)) lautet die Gleichung \(p_2: y = (x - 3)^2 + 4\). 4. Analyse der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Beide Parabeln sind nach oben geöffnet (\(a = 1 > 0\)). 5. Prüfung von \(p_1\): Der Scheitelpunkt \(S_1(-2 | -1)\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse. Da sie nach oben geöffnet ist, muss sie die \(x\)-Achse zweimal schneiden. 6. Prüfung von \(p_2\): Der Scheitelpunkt \(S_2(3 | 4)\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Da sie nach oben geöffnet ist, entfernt sie sich von der \(x\)-Achse und hat somit keine Schnittpunkte.

a) Verschiebung um \(5\) Einheiten nach rechts und \(5\) Einheiten nach oben; Gleichung \(p_2: y = (x - 3)^2 + 4\). b) Nur \(p_1\) schneidet die \(x\)-Achse, da ihr Scheitelpunkt unterhalb der Achse liegt und sie nach oben geöffnet ist. \(p_2\) liegt komplett oberhalb der \(x\)-Achse.

- Wie wirkt sich eine Verschiebung in \(x\)-Richtung auf den Term in der Klammer aus? - Was gibt der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts über das Minimum der Funktion an? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammern aufzulösen. - Skizziere dir die Lage der Scheitelpunkte grob in einem Koordinatensystem.

1. Aufstellen der Scheitelpunktform für \(G_1\): Da die Parabel um \(3\) nach rechts und \(4\) nach unten verschoben wurde, lautet die Gleichung \(y = (x - 3)^2 - 4\). 2. Umwandlung in die Normalform für \(G_1\): Durch Ausmultiplizieren erhält man \(y = x^2 - 6x + 9 - 4\), also \(y = x^2 - 6x + 5\). 3. Beschreibung der Verschiebung für \(G_2\): Der Scheitelpunkt \(S(-2|1)\) entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach oben. 4. Bestimmung der Gleichung für \(G_2\): Scheitelpunktform \(y = (x + 2)^2 + 1\). Ausmultipliziert ergibt dies \(y = x^2 + 4x + 4 + 1\), also \(y = x^2 + 4x + 5\). 5. Analyse der Nullstellen: \(G_1\) hat ihren tiefsten Punkt (Scheitelpunkt) bei \(y = -4\). Da sie nach oben geöffnet ist, muss sie die \(x\)-Achse zweimal schneiden (zwei Nullstellen). \(G_2\) hat ihren tiefsten Punkt bei \(y = 1\). Da sie nach oben geöffnet ist, liegt der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse (keine Nullstellen).

a) \(y = x^2 - 6x + 5\) b) Verschiebung um \(2\) nach links und \(1\) nach oben; Gleichung: \(y = x^2 + 4x + 5\) c) \(G_1\) hat zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben offen ist. \(G_2\) hat keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Was sagt das Vorzeichen vor dem quadratischen Term über die Öffnung der Parabel aus? - Wie prüft man, ob ein Punkt die Gleichung einer Funktion erfüllt? - Vergleiche die Lage des Scheitelpunktes mit dem Ursprung.

1. Nullstellenberechnung durch \(0 = -x^2 + 4\). Dies führt zu \(x^2 = 4\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) folgen. Die Nullstellen liegen bei \((2 \mid 0)\) und \((-2 \mid 0)\). 2. Da der Koeffizient vor \(x^2\) negativ ist (\(a = -1\)), ist die Parabel nach unten geöffnet. Sie besitzt daher ein Maximum. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid 4)\), das Maximum ist also \(y = 4\). 3. Punktprobe durch Einsetzen von \(x = 1{,}5\): \(g(1{,}5) = -(1{,}5)^2 + 4 = -2{,}25 + 4 = 1{,}75\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(P\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen. 4. Der Graph entsteht durch Spiegelung der Normalparabel an der \(x\)-Achse (wegen \(-x^2\)) und anschließende Verschiebung um 4 Einheiten nach oben entlang der \(y\)-Achse.

1. Nullstellen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. Maximum bei \(y = 4\), da die Parabel nach unten geöffnet ist. 3. Ja, der Punkt liegt auf dem Graphen, da \(g(1{,}5) = 1{,}75\). 4. Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um 4 Einheiten nach oben.

- Wie lässt sich der vertikale Abstand zwischen zwei Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle mathematisch ausdrücken? - Wenn du den Funktionswert der Normalparabel an der Stelle \(x = 5\) kennst, wie groß muss dann der Funktionswert der gestreckten Parabel sein? - Nutze den gefundenen Streckfaktor, um die \(y\)-Werte für die neue Position zu bestimmen.

1. Berechnung des Funktionswertes der Normalparabel an der Stelle \(x = 5\): \(f(5) = 5^2 = 25\). 2. Bestimmung des Funktionswertes von \(g\) an der Stelle \(x = 5\): Da der Abstand \(50\) beträgt und \(g\) oberhalb liegt, gilt \(g(5) = f(5) + 50 = 25 + 50 = 75\). 3. Berechnung von \(a\): Setze \(g(5) = 75\) in \(g(x) = ax^2\) ein: \(75 = a \cdot 5^2 \Rightarrow 75 = 25a \Rightarrow a = 3\). 4. Berechnung der Funktionswerte an der Stelle \(x = 10\): \(f(10) = 10^2 = 100\) und \(g(10) = 3 \cdot 10^2 = 300\). 5. Berechnung des Abstands an der Stelle \(x = 10\): \(300 - 100 = 200\).

a) \(a = 3\) b) Der Abstand an der Stelle \(x = 10\) beträgt \(200\) Längeneinheiten.

- Wie kannst du die Scheitelpunkte direkt aus den Funktionsgleichungen ablesen? - Überlege dir, wie viele Schritte du vom ersten Scheitelpunkt gehen musst, um zum zweiten zu gelangen. - Was gilt für den \(x\)-Wert an jedem Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Identifikation der Scheitelpunkte: Aus \(f(x) = (x-2)^2 + 3\) folgt \(S_f(2 | 3)\). Aus \(h(x) = (x+3)^2 - 1\) folgt \(S_h(-3 | -1)\). 2. Berechnung der Verschiebung: Um von \(S_f\) zu \(S_h\) zu gelangen, berechnet man die Differenz der Koordinaten. In \(x\)-Richtung: \(-3 - 2 = -5\) (also \(5\) Einheiten nach links). In \(y\)-Richtung: \(-1 - 3 = -4\) (also \(4\) Einheiten nach unten). 3. Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): Für \(f\): \(f(0) = (0-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7\). Schnittpunkt \(S_{y,f}(0 | 7)\). Für \(h\): \(h(0) = (0+3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8\). Schnittpunkt \(S_{y,h}(0 | 8)\). 4. Vergleich: Da \(8 > 7\), schneidet der Graph von \(h\) die \(y\)-Achse weiter oben.

a) Verschiebung um \(5\) Einheiten nach links und \(4\) Einheiten nach unten. b) Die Schnittpunkte sind \(S_{y,f}(0 | 7)\) und \(S_{y,h}(0 | 8)\). Die Parabel \(h\) schneidet die \(y\)-Achse weiter oben.

- Welche allgemeine Form einer quadratischen Gleichung nutzt man am besten, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Wie kann man einen gegebenen Punkt auf dem Graphen nutzen, um eine unbekannte Variable in der Gleichung zu berechnen? - Was bedeutet ein Faktor \(a > 1\) für das Aussehen der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? - Achte auf den Unterschied zwischen der Verschiebung des Graphen und den Koordinaten des Scheitelpunkts.

1. Ansatz der Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) mit den Koordinaten des Scheitelpunkts \(S(2 | -3)\): \(y = a(x - 2)^2 - 3\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(4 | 5)\) in die Gleichung: \(5 = a(4 - 2)^2 - 3\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(5 = a \cdot 2^2 - 3\), also \(5 = 4a - 3\). 4. Isolieren von \(a\): \(8 = 4a \Rightarrow a = 2\). 5. Aufstellen der fertigen Gleichung: \(p_2: y = 2(x - 2)^2 - 3\). 6. Interpretation der Parameter: \(a = 2\) bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung (die Parabel ist schmaler als die Normalparabel); der Wert \(2\) in der Klammer bewirkt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts; der Wert \(-3\) bewirkt eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten.

a) \(a = 2\); Funktionsgleichung: \(y = 2(x - 2)^2 - 3\) b) Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler), um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

- Trenne die Graphen zuerst nach ihrer Öffnungsrichtung. - Vergleiche danach innerhalb jeder Gruppe, welcher Graph schmaler beziehungsweise breiter ist. - Das Vorzeichen von \(a\) bestimmt die Richtung, der Betrag von \(a\) die Breite.

1. Die Graphen \(p\) und \(q\) sind nach oben geöffnet, also gehören sie zu den Funktionen mit positivem Faktor. Graph \(p\) ist schmaler und gehört deshalb zu \(f_1(x)=1{,}5x^2\); Graph \(q\) ist breiter und gehört zu \(f_2(x)=0{,}25x^2\). 2. Die Graphen \(r\) und \(s\) sind nach unten geöffnet, also gehören sie zu den Funktionen mit negativem Faktor. Graph \(s\) ist schmaler und gehört zu \(f_4(x)=-2x^2\); Graph \(r\) ist breiter und gehört zu \(f_3(x)=-0{,}5x^2\). 3. Das Vorzeichen von \(a\) bestimmt die Öffnungsrichtung. Der Betrag \(|a|\) bestimmt die Breite: Für \(|a|>1\) ist die Parabel schmaler, für \(0<|a|<1\) breiter als die Normalparabel.

a) \(f_1\rightarrow p\), \(f_2\rightarrow q\), \(f_3\rightarrow r\), \(f_4\rightarrow s\). b) Positive Faktoren öffnen nach oben, negative nach unten; ein größerer Betrag von \(a\) macht die Parabel schmaler.

- Bestimme zuerst die Koordinaten des höchsten oder tiefsten Punktes (des Scheitelpunkts) des Graphen. - Wie weit ist dieser Scheitelpunkt im Vergleich zum Ursprung \((0 \mid 0)\) verschoben? - Schaue dir die Öffnungsrichtung der Parabel an. Was bedeutet das für das Vorzeichen des Faktors vor der Klammer? - Gehe vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts. Wie weit musst du nach oben oder unten gehen, um wieder auf dem Graphen zu landen? Vergleiche dies mit der Normalparabel. - Nutze die allgemeine Scheitelpunktform \(g(x) = a(x - d)^2 + e\), um die abgelesenen Werte einzusetzen.

1. Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt \(S\) des Graphen liegt bei \(S(2 \mid 3)\). 2. Verschiebung bestimmen: Der Graph ist im Vergleich zur Normalparabel um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Spiegelung und Streckung/Stauchung bestimmen: - Da die Parabel nach unten geöffnet ist, wurde sie an der \(x\)-Achse gespiegelt (der Streckfaktor \(a\) ist negativ). - Vom Scheitelpunkt \(S(2 \mid 3)\) geht man \(1\) Einheit nach rechts und \(0{,}5\) Einheiten nach unten zu einem weiteren Punkt auf dem Graphen, beispielsweise \((3 \mid 2{,}5)\). Bei der Normalparabel würde man ausgehend vom Scheitelpunkt bei einem Schritt von \(1\) nach rechts um \(1\) nach oben gehen. Also ist der Streckfaktor \(a = -0{,}5\). Der Graph ist somit um den Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht und an der \(x\)-Achse gespiegelt. 4. Funktionsterm aufstellen: Mit dem Scheitelpunkt \(S(d \mid e) = S(2 \mid 3)\) und dem Streckfaktor \(a = -0{,}5\) lautet die Scheitelpunktform: \(g(x) = a(x - d)^2 + e = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\).

a) Spiegelung an der \(x\)-Achse und Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben. b) \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\)

- Überlege dir, wie sich der Faktor vor dem \(x^2\) auf die Form der Parabel auswirkt. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn der Faktor größer oder kleiner als 1 ist? - Um Nullstellen zu berechnen, musst du den Funktionsterm gleich Null setzen und nach \(x\) auflösen.

1. Zuordnung der Parameter: Der Parameter \(a\) bestimmt die Öffnung der Parabel. Je größer \(|a|\), desto schmaler („steiler“) ist die Parabel. - Der schmalste Graph ist \(k\), also gehört dazu \(a = 2\). - Der mittlere Graph ist \(m\), also gehört dazu \(a = 1\) (Normalparabel). - Der breiteste Graph ist \(n\), also gehört dazu \(a = 0{,}5\). 2. Berechnung der Nullstellen für \(a = 1\): Ansatz: \(x^2 - 4 = 0\) \(x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2; x_2 = -2\). Ein Blick auf Graph \(m\) bestätigt, dass dieser die x-Achse bei \(2\) und \(-2\) schneidet.

a) \(k: a = 2\); \(m: a = 1\); \(n: a = 0{,}5\) b) Die Nullstellen für \(a = 1\) sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Dies entspricht den Schnittpunkten von Graph \(m\) mit der x-Achse.

- Vergleiche die Positionen der tiefsten bzw. höchsten Punkte der beiden Graphen. - Überlege, ob der Graph von \(g\) im Vergleich zur Normalparabel „schmaler“ oder „breiter“ verläuft und in welche Richtung er geöffnet ist. - Wenn du vom Scheitelpunkt genau eine Einheit nach rechts gehst, gibt dir der vertikale Abstand zum Graphen direkt den Wert des Parameters \(a\) an. - Um von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form zu gelangen, musst du die binomische Formel anwenden und anschließend die Klammer auflösen.

1. Analyse der Transformationen: Der Graph von \(g\) ist nach unten geöffnet, was einer Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid 4)\), was eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(4\) Einheiten nach oben bedeutet. Geht man vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts (\(x=2\)), sinkt der Funktionswert um \(2\) Einheiten (\(y=2\)), woraus der Streckfaktor \(a = -2\) folgt. 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: Mit dem Streckfaktor \(a = -2\) und dem Scheitelpunkt \(S(1 \mid 4)\) lautet die Formel \(g(x) = -2(x - 1)^2 + 4\). 3. Umwandlung in die allgemeine Form: Durch Auflösen der Klammer mit der zweiten binomischen Formel erhält man \(g(x) = -2(x^2 - 2x + 1) + 4\). Ausmultipliziert ergibt dies \(g(x) = -2x^2 + 4x - 2 + 4\). Zusammengefasst lautet die allgemeine Form \(g(x) = -2x^2 + 4x + 2\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung mit dem Faktor \(2\), Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(4\) Einheiten nach oben. b) \(g(x) = -2(x - 1)^2 + 4\) c) \(g(x) = -2x^2 + 4x + 2\)

- Schau dir in Bild a) an, welchen \(y\)-Wert der Graph an der Stelle \(x=2\) hat, um den Stauchfaktor zu finden. - Erinnere dich daran, dass eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse das Vorzeichen innerhalb der Klammer beeinflusst. - Der Scheitelpunkt lässt sich in jedem Bild direkt ablesen. Nutze ihn für die Scheitelpunktform. - Setze für den \(y\)-Achsenabschnitt den Wert \(x=0\) in deine Funktionsgleichung ein.

1. Bestimmung der Transformationen: In Bild a) wurde die Normalparabel mit dem Faktor \(0{,}25\) gestaucht, da der Punkt \((2 \mid 1)\) auf dem Graphen liegt. In Bild b) wurde dieser Graph um \(2\) Einheiten nach links verschoben. In Bild c) erfolgte eine zusätzliche Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten. 2. Aufstellen der Scheitelpunktformen: - Für Bild a) liegt der Scheitelpunkt bei \((0 \mid 0)\), also \(p_1(x) = 0{,}25x^2\). - Für Bild b) liegt der Scheitelpunkt bei \((-2 \mid 0)\), also \(p_2(x) = 0{,}25(x + 2)^2\). - Für Bild c) liegt der Scheitelpunkt bei \((-2 \mid -3)\), also \(p_3(x) = 0{,}25(x + 2)^2 - 3\). 3. Berechnungen für \(p_3\): - Der \(y\)-Achsenabschnitt wird durch \(p_3(0)\) berechnet: \(0{,}25 \cdot (0 + 2)^2 - 3 = 0{,}25 \cdot 4 - 3 = 1 - 3 = -2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -2)\). - Umwandlung in die allgemeine Form: \(p_3(x) = 0{,}25(x^2 + 4x + 4) - 3 = 0{,}25x^2 + x + 1 - 3 = 0{,}25x^2 + x - 2\).

1. a) Stauchung mit dem Faktor \(0{,}25\); b) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links; c) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten. 2. \(p_1(x) = 0{,}25x^2\); \(p_2(x) = 0{,}25(x + 2)^2\); \(p_3(x) = 0{,}25(x + 2)^2 - 3\) 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid -2)\). Die allgemeine Form lautet \(p_3(x) = 0{,}25x^2 + x - 2\).

- Nutze markante Punkte wie den Wert bei \(x=2\), um \(a\) schnell zu berechnen. - Erinnere dich: Was passiert mit der Form der Parabel, wenn \(|a|\) größer oder kleiner als \(1\) ist? - Für Aufgabenteil c) musst du die Gleichung nach \(x^2\) umstellen und dann die Wurzel ziehen.

1. Bestimmung von \(a_f\): Ablesen von \(P_f(2 \mid 6)\). Einsetzen: \(6 = a_f \cdot 2^2 \implies 6 = 4a_f \implies a_f = 1{,}5\). 2. Bestimmung von \(a_g\): Ablesen von \(P_g(2 \mid 2)\). Einsetzen: \(2 = a_g \cdot 2^2 \implies 2 = 4a_g \implies a_g = 0{,}5\). 3. Vergleich: Da \(|a_f| = 1{,}5 > 1\), ist der Graph von \(f\) im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler). Da \(|a_g| = 0{,}5 < 1\), ist der Graph von \(g\) gestaucht (breiter). 4. Berechnung der \(x\)-Koordinate für \(f\): \(13{,}5 = 1{,}5x^2 \implies x^2 = \frac{13{,}5}{1{,}5} = 9 \implies x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).

a) \(a_f = 1{,}5\); \(a_g = 0{,}5\) b) \(f\) ist gestreckt (\(a > 1\)), \(g\) ist gestaucht (\(a < 1\)). c) \(x = 3\) oder \(x = -3\).

- Vergleiche die Form der Graphen mit der einer Normalparabel. Welche ist breiter, welche schmaler? - Achte auf die Lage der Scheitelpunkte auf der senkrechten Achse. - Was verrät dir die Öffnungsrichtung über das Vorzeichen des ersten Parameters in der Gleichung?

1. Graph \(f\): Es handelt sich um die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung \((0 \mid 0)\). Dies entspricht der Gleichung (1) mit \(a = 1\) und \(c = 0\). 2. Graph \(g\): Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler (gestreckt) als die Normalparabel. Der Scheitelpunkt liegt bei \((0 \mid -3)\). Dies passt zu Gleichung (2) mit \(a = 2\) (Streckung) und \(c = -3\) (Verschiebung nach unten). 3. Graph \(h\): Die Parabel ist nach unten geöffnet (gespiegelt) und breiter (gestaucht) als die Normalparabel. Der Scheitelpunkt liegt bei \((0 \mid 2)\). Dies passt zu Gleichung (3) mit \(a = -0{,}5\) (Spiegelung und Stauchung) und \(c = 2\) (Verschiebung nach oben).

Zuordnung: (1) \(\rightarrow f\), (2) \(\rightarrow g\), (3) \(\rightarrow h\).

- Lies den Scheitelpunkt \(S(d \mid e)\) direkt aus dem Koordinatensystem ab und setze ihn in die Formel ein. - Um den Streckfaktor \(a\) zu finden, schaue dir an, wie weit du vom Scheitelpunkt aus nach oben oder unten gehen musst, wenn du genau eine Einheit nach rechts gehst. - Die Normalparabel \(p(x) = x^2\) dient als Vergleichsmaßstab für die Form und Lage. - Denke daran, dass in der Formel \((x-d)^2\) ein Minuszeichen vor dem \(d\) steht. Wenn der Scheitelpunkt im negativen Bereich liegt, wird daraus ein Plus.

1. Bestimmung der Scheitelpunkte aus dem Graphen: \(S_f(0 \mid -5)\), \(S_g(-3 \mid 4)\), \(S_h(4 \mid 1)\). 2. Bestimmung der Öffnungsfaktoren \(a\): - Bei \(f\) gelangt man vom Scheitelpunkt 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben zum nächsten Gitterpunkt \((1 \mid -3)\), also \(a = 2\). - Bei \(g\) gelangt man vom Scheitelpunkt 1 Einheit nach rechts und 1 Einheit nach unten zu \((-2 \mid 3)\), also \(a = -1\). - Bei \(h\) gelangt man vom Scheitelpunkt 2 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben zu \((6 \mid 3)\). Mit der Punktprobe \(3 = a \cdot (6-4)^2 + 1\) folgt \(2 = 4a\), also \(a = 0{,}5\). 3. Aufstellen der Funktionsterme: - \(f(x) = 2x^2 - 5\) - \(g(x) = -(x+3)^2 + 4\) - \(h(x) = 0{,}5(x-4)^2 + 1\) 4. Erläuterung der Parameter für \(g\): - \(a = -1\): Der Graph ist an der x-Achse gespiegelt (nach unten geöffnet). - \(d = -3\): Der Graph ist um 3 Einheiten nach links verschoben. - \(e = 4\): Der Graph ist um 4 Einheiten nach oben verschoben.

a) \(f(x) = 2x^2 - 5\); \(g(x) = -(x+3)^2 + 4\); \(h(x) = 0{,}5(x-4)^2 + 1\) b) Bei \(g\) bewirkt \(a=-1\) die Spiegelung an der x-Achse, \(d=-3\) die Verschiebung um 3 Einheiten nach links und \(e=4\) die Verschiebung um 4 Einheiten nach oben.

- Achte darauf, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Das beeinflusst das Vorzeichen des Faktors vor dem \(x^2\). - Vergleiche die Lage eines Punktes (z. B. bei \(x = 2\)) mit dem entsprechenden Punkt der Normalparabel. - Wenn der Betrag des Faktors vor dem \(x^2\) größer als 1 ist, spricht man von einer Streckung, ist er kleiner als 1 (aber größer als 0), von einer Stauchung.

1. Die Öffnungsrichtung prüfen: Der Graph ist nach unten geöffnet, was einer Spiegelung der Normalparabel an der \(x\)-Achse entspricht. 2. Einen Punkt ablesen, um den Formfaktor zu bestimmen: Der Scheitelpunkt liegt im Ursprung \((0 \mid 0)\). Ein weiterer gut ablesbarer Punkt auf dem Graphen ist \(P(2 \mid -6)\). 3. Den Streckfaktor \(a\) berechnen: Einsetzen der Koordinaten von \(P\) in den Ansatz \(g(x) = ax^2\) ergibt \(-6 = a \cdot 2^2 \Rightarrow -6 = 4a \Rightarrow a = -1{,}5\). 4. Die Transformationen benennen: Da \(|a| = 1{,}5 > 1\), liegt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\) vor. Zusammen mit der Spiegelung ergibt sich der Gesamtfaktor \(-1{,}5\). 5. Funktionsterm aufstellen: \(g(x) = -1{,}5x^2\).

Der Graph entsteht durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\). Der Funktionsterm lautet \(g(x) = -1{,}5x^2\).

- Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? Was bedeutet das für das Vorzeichen vor der Klammer? - Bestimme zuerst die Koordinaten des höchsten Punktes. - Kombiniere die Verschiebung in beide Achsenrichtungen mit der Spiegelung.

1. Der Graph von \(g\) ist nach unten geöffnet, was einer Spiegelung an der x-Achse entspricht (Faktor \(-1\)). 2. Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S(3 \mid 1)\). 3. Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. 4. Zusammenführung der Transformationen in die Scheitelpunktform: \(g(x) = -(x - 3)^2 + 1\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung an der x-Achse sowie eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -(x - 3)^2 + 1\).

- Was bedeutet die Information „Normalparabel“ für die Funktionsgleichung? - Wo liegen die Scheitelpunkte der einzelnen Graphen? - Überlege, wie du die Koordinaten der Scheitelpunkte in eine Formel mit einem Parameter \(t\) fassen kannst.

1. Scheitelpunkte bestimmen: Die Scheitelpunkte der Parabeln liegen alle auf der Geraden \(y = 1\). Sie befinden sich bei den \(x\)-Werten \(-3\), \(-1\), \(1\) und \(3\). 2. Scheitelpunktform nutzen: Da es sich um Normalparabeln handelt, ist der Streckfaktor \(a = 1\). Die allgemeine Scheitelpunktform lautet \(y = (x - x_s)^2 + y_s\). 3. Einsetzen: Mit \(y_s = 1\) und dem variablen Parameter \(t\) für die horizontale Position \(x_s\) ergibt sich \(h_t(x) = (x - t)^2 + 1\). 4. Parameterwerte: Die gezeichneten Graphen entsprechen \(t \in \{-3; -1; 1; 3\}\).

\(h_t(x) = (x - t)^2 + 1\)

- Stelle dir vor, wie sich die Parabel entlang der \(y\)-Achse bewegt, wenn du \(c\) veränderst. - Wann liegt eine nach oben geöffnete Parabel vollständig oberhalb der \(x\)-Achse? - Vergleiche die Koordinaten des alten Scheitelpunkts mit denen des neuen Scheitelpunkts. - Wie verändert sich eine Funktionsgleichung, wenn man sie in \(x\)-Richtung oder \(y\)-Richtung verschiebt?

1. Bedingung für keine Nullstellen: Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1\)), hat sie keine Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Das ist für \(c > 0\) der Fall. 2. Nullstellen für \(c = -16\): \((x + 3)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 16 \Rightarrow x + 3 = \pm 4\). 3. Berechnete Werte: \(x_1 = -3 + 4 = 1\) und \(x_2 = -3 - 4 = -7\). 4. Verschiebung analysieren: Der ursprüngliche Scheitelpunkt ist \(S(-3 \mid -16)\). Um nach \(S'(0 \mid 0)\) zu gelangen, muss die Parabel um 3 Einheiten nach rechts und um 16 Einheiten nach oben verschoben werden. 5. Neue Funktionsgleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\).

a) Für \(c > 0\), da der Scheitelpunkt dann oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -7\) c) Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 16 Einheiten nach oben; neue Gleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\)

- Wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt, muss er die Funktionsgleichung erfüllen. - Beachte, dass beim Lösen der Gleichung nach \(d\) durch Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können. - Welcher Wert für \(d\) passt zu mehreren der angegebenen Punkte?

1. Bestimmung von \(d\) durch Einsetzen in \(y = (x+d)^2\), woraus folgt \(x+d = \sqrt{y}\) oder \(x+d = -\sqrt{y}\). Für \(A(-3|4)\): \(-3+d = 2 \Rightarrow d=5\) oder \(-3+d = -2 \Rightarrow d=1\). Für \(B(0|1)\): \(0+d = 1 \Rightarrow d=1\) oder \(0+d = -1 \Rightarrow d=-1\). Da \(d=1\) bei beiden möglich ist, prüfen wir \(C(-2|1)\): \(-2+d = 1 \Rightarrow d=3\) oder \(-2+d = -1 \Rightarrow d=1\). Somit gehören \(A, B, C\) zur Funktion mit \(d=1\). 2. Prüfung der restlichen Punkte für die zweite Gruppe: Für \(F(2|0)\): \(2+d = 0 \Rightarrow d=-2\). Überprüfung für \(D(1|1)\): \(1+d = 1 \Rightarrow d=0\) oder \(1+d = -1 \Rightarrow d=-2\). Überprüfung für \(E(4|4)\): \(4+d = 2 \Rightarrow d=-2\) oder \(4+d = -2 \Rightarrow d=-6\). Somit gehören \(D, E, F\) zur Funktion mit \(d=-2\).

Die beiden Werte sind \(d_1 = 1\) und \(d_2 = -2\). Zum Graphen mit \(d = 1\) gehören die Punkte \(A, B\) und \(C\). Zum Graphen mit \(d = -2\) gehören die Punkte \(D, E\) und \(F\).

- Achte auf das Vorzeichen des Parameters, wenn der Punkt im negativen \(y\)-Bereich liegt. - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung für \(x^2 = c\) haben? - Setze für die letzte Teilaufgabe die Koordinaten als Platzhalter in die Funktionsgleichung ein und löse nach der Unbekannten auf.

1. Bestimmung der Gleichung: Einsetzen von \(P(4 | -4)\) ergibt \(-4 = a \cdot 4^2 \Rightarrow -4 = 16a \Rightarrow a = -0{,}25\). Die Gleichung lautet \(y = -0{,}25x^2\). 2. Berechnung der \(x\)-Koordinaten für \(T\): Einsetzen von \(y = -36\) in die Gleichung ergibt \(-36 = -0{,}25x^2\). Multiplikation mit \(-4\) liefert \(144 = x^2\). Daraus ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 12\) und \(x_2 = -12\). 3. Berechnung von \(k\): Einsetzen von \(U(k | -k)\) in \(y = -0{,}25x^2\) führt zu der Gleichung \(-k = -0{,}25k^2\). Da \(k \neq 0\) vorausgesetzt ist, kann die Gleichung durch \(-k\) dividiert werden: \(1 = 0{,}25k\). Daraus folgt durch Multiplikation mit \(4\), dass \(k = 4\) ist.

a) Die Gleichung lautet \(y = -0{,}25x^2\). b) Die möglichen \(x\)-Koordinaten sind \(12\) und \(-12\). c) Der Wert für \(k\) ist \(4\).

- Vergleiche die Terme von \(f(x)\) und \(g(x)\). Was ist identisch, was unterscheidet sich? - Wann berührt der Graph einer Parabel die x-Achse genau an einem Punkt? - Was sagt die y-Koordinate des Scheitelpunkts über die Anzahl der Nullstellen aus, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist? - Wie verändert der Parameter \(c\) die Lage des Graphen im Koordinatensystem?

1. Scheitelpunktform von \(f\) durch quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 6x + 3^2 - 3^2 + 5\) \(f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 5\) \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\) 2. Nullstellen von \(f\): \((x - 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4 \Rightarrow x - 3 = \pm 2\) \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\) 3. Untersuchung von \(g(x) = x^2 - 6x + c\): Die quadratische Ergänzung liefert analog \(g(x) = (x - 3)^2 - 9 + c\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S(3 | c - 9)\). Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt, also die y-Koordinate des Scheitelpunkts Null ist. \(c - 9 = 0 \Rightarrow c = 9\).

a) Die Scheitelpunktform von \(f\) ist \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\). b) Die Nullstellen von \(f\) sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). c) Für \(c = 9\) hat \(g\) genau eine Nullstelle. Begründung: In der Scheitelpunktform \(g(x) = (x - 3)^2 + (c - 9)\) muss der konstante Teil \(c - 9\) gleich Null sein, damit der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt.

- Erinnere dich an den Prozess der quadratischen Ergänzung: Welches Glied musst du addieren und subtrahieren, um ein Binom zu bilden? - Überlege dir, wie sich der Graph bewegt, wenn du eine Zahl zum gesamten Funktionsterm addierst. - Wo muss der Scheitelpunkt liegen, damit die Parabel die \(x\)-Achse gerade noch berührt?

1. Quadratische Ergänzung durchführen: \(f(x) = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-3 | -4)\). 2. Nullstellen von \(f\) berechnen: \((x+3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x+3 = \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -5\). 3. Die neue Funktion \(h(x) = (x+3)^2 - 4 + k\) hat den Scheitelpunkt \(S_h(-3 | -4+k)\). 4. Eine nach oben geöffnete Parabel hat zwei Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt unter der \(x\)-Achse liegt: \(-4+k < 0 \Rightarrow k < 4\). 5. Sie hat genau eine Nullstelle (Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse), wenn \(-4+k = 0 \Rightarrow k = 4\). 6. Sie hat keine Nullstellen (Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse), wenn \(-4+k > 0 \Rightarrow k > 4\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x+3)^2 - 4\); Nullstellen: \(x_1 = -1, x_2 = -5\). b) 1. Zwei Nullstellen für \(k < 4\); 2. Eine Nullstelle für \(k = 4\); 3. Keine Nullstellen für \(k > 4\).

- Vergleiche den Abstand der ursprünglichen Nullstellen mit dem Abstand der neuen Nullstellen in Aufgabenteil b. - Was sagt dir die Mitte zwischen zwei Nullstellen über die Position des Scheitelpunkts? - Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt einer Funktion der Form \(y = x^2\)?

1. Quadratische Ergänzung für \(f\): \(f(x) = x^2 - 8x + 16 - 16 + 12 = (x-4)^2 - 4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(4 | -4)\). 2. Nullstellen berechnen: \((x-4)^2 = 4 \Rightarrow x-4 = \pm 2\), also \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 2\). 3. Die ursprünglichen Nullstellen \(2\) und \(6\) haben einen Abstand von \(4\). Die Ziel-Nullstellen \(0\) und \(4\) haben ebenfalls einen Abstand von \(4\). Da die Form der Parabel (Öffnung) gleich bleibt, muss sich nur die horizontale Lage ändern, während der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts gleich bleibt. 4. Die Mitte der ursprünglichen Nullstellen liegt bei \(x=4\), die Mitte der neuen Nullstellen bei \(x=2\). Die Parabel muss also um \(2\) Einheiten nach links verschoben werden. Die Verschiebung in \(y\)-Richtung ist \(0\). Die neue Gleichung ist \(g(x) = (x-2)^2 - 4 = x^2 - 4x\). 5. Um den Scheitelpunkt \(S(4 | -4)\) in den Ursprung \((0 | 0)\) zu schieben, muss der Graph um \(4\) Einheiten nach links (\(x\)-Richtung) und um \(4\) Einheiten nach oben (\(y\)-Richtung) verschoben werden. Die Gleichung lautet dann \(j(x) = x^2\).

a) \(f(x) = (x-4)^2 - 4\); Nullstellen: \(x_1 = 2, x_2 = 6\). b) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links (\(x\)-Richtung) und \(0\) Einheiten in \(y\)-Richtung; \(g(x) = (x-2)^2 - 4\). c) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und \(4\) Einheiten nach oben.

- Überlege dir, wo der Scheitelpunkt \(S\) liegt, wenn du den Nullpunkt des Koordinatensystems verschiebst. - Wenn der neue Ursprung links unter dem Scheitelpunkt liegt, in welche Richtung wandert der Scheitelpunkt dann relativ zum neuen Ursprung? - Nutze die Scheitelpunktform für die neue Gleichung.

1. Ursprung in \(A(-5 \mid -5)\): Im alten System (Ursprung \(S\)) hat \(A\) die Koordinaten \((-5 \mid -5)\). Wenn \(A\) der neue Ursprung \((0 \mid 0)\) ist, verschiebt sich der Scheitelpunkt \(S\) von \((0 \mid 0)\) nach \((5 \mid 5)\). Die neue Gleichung lautet \(y = -0{,}2(x - 5)^2 + 5\). 2. Ursprung in \(B(5 \mid -5)\): Analog hat \(B\) im alten System die Koordinaten \((5 \mid -5)\). Wird \(B\) der neue Ursprung, liegt der Scheitelpunkt \(S\) im neuen System bei \((-5 \mid 5)\). Die neue Gleichung lautet \(y = -0{,}2(x + 5)^2 + 5\).

Wird der Ursprung in den Punkt \(A\) gelegt, lautet die Gleichung \(y = -0{,}2(x - 5)^2 + 5\). Wird der Ursprung in den Punkt \(B\) gelegt, lautet die Gleichung \(y = -0{,}2(x + 5)^2 + 5\).

- Nutze die Tatsache, dass alle Graphen durch den Ursprung gehen. - Untersuche die Lage der zweiten Nullstelle bei jedem Graphen. - Überprüfe an einem Beispielgraphen (z. B. dem mit dem Scheitelpunkt \((2 \mid 4)\)), ob es sich um eine Normalparabel handelt. - Die Produktform \(f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)\) ist hier besonders hilfreich.

1. Gemeinsame Punkte: Alle Parabeln gehen durch den Punkt \((0 \mid 0)\). Das bedeutet, dass in der Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) das absolute Glied \(c = 0\) ist. 2. Formfaktor bestimmen: Die Parabeln sind nach unten geöffnet. Die Parabel mit der Nullstelle bei \(x = 2\) hat ihren Scheitelpunkt bei \((1 \mid 1)\). Einsetzen in \(y = a(x-x_1)(x-x_2)\) mit \(x_1=0, x_2=2\) ergibt \(1 = a(1-0)(1-2) = -a\), also \(a = -1\). Alle Parabeln sind nach unten geöffnete Normalparabeln. 3. Nullstellenform nutzen: Eine Nullstelle ist immer \(x_1 = 0\), die zweite Nullstelle variiert. Wir nennen sie \(k\). Damit lautet die Produktform \(f_k(x) = -x(x - k)\). 4. Ausmultiplizieren (optional): \(f_k(x) = -x^2 + kx\). Die dargestellten Graphen haben die Parameter \(k \in \{-4; -2; 0; 2; 4\}\).

\(f_k(x) = -x(x - k)\) oder \(f_k(x) = -x^2 + kx\)