- Vergleiche zuerst nur die horizontale Lage der drei Tiefpunkte. - Welcher der vorgegebenen Parameterwerte passt jeweils zu dieser \(x\)-Koordinate? - Formuliere anschließend den beobachteten Zusammenhang allgemein mit \(a\).

1. Der Tiefpunkt von Graph A liegt bei \(x=-2\), der von Graph B bei \(x=0\) und der von Graph C bei \(x=2\). 2. Daher gehört Graph A zu \(a=-2\), Graph B zu \(a=0\) und Graph C zu \(a=2\). 3. In allen drei Fällen stimmt die \(x\)-Koordinate des Tiefpunkts mit dem Parameterwert überein. Für diese Schar liegt die Extremstelle also bei \(x=a\).

a) A: \(a=-2\); B: \(a=0\); C: \(a=2\). b) Die \(x\)-Koordinate des Tiefpunkts ist jeweils \(x=a\).

- Welche Werte hat der Parameter \(a\) bei den beiden Funktionen? - Welche Rolle spielt der Betrag von \(a\) für die Weite? - Welche Rolle spielt das Vorzeichen von \(a\) für die Öffnungsrichtung?

1. Für \(f\) gilt \(a=1\), für \(g\) gilt \(a=3\). 2. Weil \(|3|>|1|\), ist der Graph von \(g\) schmaler als die Normalparabel. 3. Da \(a=3>0\) ist, ist \(g\) nach oben geöffnet.

Der Graph von \(g\) ist schmaler als der von \(f\) und nach oben geöffnet, weil \(|a|=3>1\) und \(a>0\) gilt.

- Vergleiche zuerst die Beträge der beiden Parameterwerte. - Welche Eigenschaft hängt vom Betrag ab? - Welche Eigenschaft hängt vom Vorzeichen ab?

1. Für \(f\) gilt \(a=1\), für \(g\) gilt \(a=-1\). 2. Die Beträge sind gleich: \(|1|=|-1|=1\). Deshalb sind beide Parabeln gleich breit. 3. Die Vorzeichen sind verschieden. Daher öffnet \(f\) nach oben und \(g\) nach unten.

Beide Parabeln sind gleich breit, weil \(|a|=1\) gilt. \(f\) öffnet nach oben, \(g\) nach unten, weil sich das Vorzeichen von \(a\) ändert.

- Welche Bedingung an das Vorzeichen folgt aus „nach unten geöffnet“? - Welche Bedingung an \(|a|\) folgt aus „breiter als die Normalparabel“? - Welcher angebotene Wert erfüllt beide Bedingungen zugleich?

1. Nach unten geöffnet bedeutet \(a<0\). Damit bleiben \(-2\) und \(-0{,}4\). 2. Breiter als die Normalparabel bedeutet \(0<|a|<1\). 3. Nur \(a=-0{,}4\) erfüllt beide Bedingungen.

\(a=-0{,}4\), weil \(a<0\) die Öffnung nach unten bewirkt und \(|a|=0{,}4<1\) die Parabel breiter als die Normalparabel macht.

- Was passiert mit der Funktionsgleichung, wenn du die Koordinaten eines Punktes für \(x\) und \(y\) einsetzt? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass der gesuchte Parameter allein auf einer Seite steht? - Berechne den Wert für jeden Punkt einzeln und schaue, welche Ergebnisse zusammenfallen.

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die Gleichung \(e = y - x^2\): Für \(A(2|1{,}5)\): \(e = 1{,}5 - 2^2 = 1{,}5 - 4 = -2{,}5\). Für \(B(-1|-1{,}5)\): \(e = -1{,}5 - (-1)^2 = -1{,}5 - 1 = -2{,}5\). Für \(C(0|4)\): \(e = 4 - 0^2 = 4\). Für \(D(3|13)\): \(e = 13 - 3^2 = 13 - 9 = 4\). Für \(E(1|-2)\): \(e = -2 - 1^2 = -3\). 2. Zusammenfassung der berechneten Werte: Die drei Werte für \(e\) sind \(-2{,}5\), \(4\) und \(-3\).

Die drei Werte für \(e\) sind \(-2{,}5\), \(4\) und \(-3\).

- Vergleiche die Terme mit der Scheitelpunktform \(y=(x-x_S)^2+y_S\). - Welche Rolle spielen \(x_S\) und \(y_S\) für die Lage des Scheitelpunkts? - Wenn eine Verschiebung in einer Richtung fehlt, welchen Wert hat dann die zugehörige Scheitelpunktkoordinate?

1. Identifikation der Verschiebungen anhand der Parameter in der Funktionsgleichung: - \(f(x) = x^2 - 5\): Subtraktion von \(5\) außerhalb des Quadrats bewirkt eine Verschiebung nach unten. Scheitelpunkt \(S(0\mid-5)\). (Beschreibung 2) - \(g(x) = (x+4)^2\): Addition von \(4\) innerhalb des Quadrats bewirkt eine Verschiebung nach links. Scheitelpunkt \(S(-4\mid0)\). (Beschreibung 1) - \(h(x) = (x-1)^2 + 2\): Subtraktion von \(1\) innerhalb der Klammer und Addition von \(2\) außerhalb der Klammer bewirken Verschiebungen in beide Richtungen. Scheitelpunkt \(S(1\mid2)\). (Beschreibung 3)

1. \(g(x) = (x+4)^2\) mit \(S(-4\mid0)\) 2. \(f(x) = x^2 - 5\) mit \(S(0\mid-5)\) 3. \(h(x) = (x-1)^2 + 2\) mit \(S(1\mid2)\)

- Versuche zuerst, die Funktionsgleichungen in die Form \((x - x_S)^2\) umzuschreiben. - Wo liegen die tiefsten Punkte der beiden Parabeln? - Stell dir die Lage der beiden Punkte auf der \(x\)-Achse vor. Wie weit sind sie voneinander entfernt?

1. Umwandlung in die Scheitelpunktform mittels binomischer Formeln: \(f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \Rightarrow S_f(2\mid0)\) \(g(x) = x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \Rightarrow S_g(-5\mid0)\) 2. Vergleich der Scheitelpunkte: Beide liegen auf der \(x\)-Achse. 3. Berechnung der Verschiebung in \(x\)-Richtung: Differenz der \(x\)-Werte ist \(-5 - 2 = -7\). 4. Ergebnis: Der Graph von \(f\) muss um \(7\) Einheiten nach links verschoben werden, um mit \(g\) deckungsgleich zu sein.

a) Der Scheitelpunkt von \(f\) ist \(S_f(2\mid0)\), der von \(g\) ist \(S_g(-5\mid0)\). b) Der Graph von \(f\) muss um \(7\) Einheiten nach links verschoben werden.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt, wie „breit“ oder „schmal“ eine Parabel ist? - Erinnere dich daran, welche Eigenschaft der Koeffizient vor dem \(x^2\) haben muss, damit eine Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. - Was bedeutet es für die Form der Parabel, wenn der Wert vor dem \(x^2\) betragsmäßig sehr groß oder sehr klein ist? - Vergleiche die Werte mit der Zahl \(1\), um die Form in Relation zur Normalparabel zu setzen.

1. Bestimmung der Weite durch den Betrag des Koeffizienten \(a\): \(|a_3| = 0{,}1\), \(|a_2| = 0{,}5\), \(|a_1| = 2\), \(|a_4| = 3\). Je kleiner der Betrag, desto weiter die Öffnung. Reihenfolge: \(f_3, f_2, f_1, f_4\). 2. Vergleich mit der Normalparabel (\(|a| = 1\)): Eine Parabel ist enger, wenn \(|a| > 1\). Dies trifft auf \(f_1\) (\(|2| > 1\)) und \(f_4\) (\(|-3| > 1\)) zu. 3. Die Öffnungsrichtung wird durch das Vorzeichen von \(a\) bestimmt. Ist \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Dies gilt für \(f_3\) (\(a = -0{,}1\)) und \(f_4\) (\(a = -3\)).

a) \(f_3, f_2, f_1, f_4\) b) \(f_1\) und \(f_4\) c) \(f_3\) und \(f_4\), da ihr Streckfaktor \(a\) negativ ist.

- Wenn ein Punkt auf einer Kurve liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. - Setze die bekannten Koordinaten in die Gleichung ein, um die fehlende Unbekannte zu finden. - Nutze die vervollständigte Gleichung, um die Position des zweiten Punktes wie gewohnt zu prüfen.

1. Berechnung von \(q\): Einsetzen der Koordinaten von \(P(3 | 11)\) in die Funktionsgleichung: \(11 = 3^2 + q \implies 11 = 9 + q \implies q = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 + 2\). 2. Lage von \(Q(-2 | 5)\): Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = -2\): \(f(-2) = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6\). Vergleich des gegebenen \(y\)-Wertes von \(Q\) mit dem Funktionswert: Da \(5 < 6\), liegt der Punkt \(Q\) unterhalb der Parabel.

1. \(q = 2\) 2. Der Punkt \(Q\) liegt unterhalb der Parabel.

- Denk an die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\). Welche Rolle spielen \(x_S\) und \(y_S\)? - Was sagt das Vorzeichen von \(a\) über die Öffnung aus? - Wie beeinflusst der Betrag von \(a\) die Form der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? - Überlege dir, ob der Scheitelpunkt der höchste oder der niedrigste Punkt der Kurve ist.

1. Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\) ablesen: \(S(3 \mid 5)\). 2. Der Streckfaktor ist \(a = -1{,}5\). Da \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Da \(|a| = 1{,}5 > 1\), ist die Parabel schmaler (gestreckt) als die Normalparabel. 3. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt. Die Wertemenge umfasst alle \(y\)-Werte kleiner oder gleich dem \(y\)-Wert des Scheitelpunkts: \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 5\}\) bzw. \(W = (-\infty; 5]\). 4. Eine passende Abfolge ist: Die Normalparabel wird zuerst an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(1{,}5\) in \(y\)-Richtung gestreckt. Anschließend wird sie um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(5\) Einheiten nach oben verschoben.

a) \(S(3 \mid 5)\) b) Nach unten geöffnet (\(a < 0\)) und schmaler/gestreckt (\(|a| > 1\)). c) \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 5\}\) d) Zuerst Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung mit Faktor \(1{,}5\) in \(y\)-Richtung, anschließend Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(5\) Einheiten nach oben.

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn der Streckfaktor vervielfacht wird? - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt die Bedingungen einer Gleichung erfüllt?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(A(5\mid5)\) in die Funktionsgleichung: \(5 = a \cdot 5^2\). Daraus folgt \(5 = 25a\) und somit \(a = 0{,}2\). 2. Bestimmung des neuen Streckfaktors \(a'\): \(a' = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\). Die neue Funktionsgleichung lautet \(y = 0{,}8x^2\). 3. Punktprobe für \(B(2{,}5\mid5)\): Einsetzen von \(x = 2{,}5\) ergibt \(y = 0{,}8 \cdot 2{,}5^2 = 0{,}8 \cdot 6{,}25 = 5\). 4. Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes \(B\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der zweiten Parabel.

1. Der Parameter ist \(a = 0{,}2\). 2. Ja, der Punkt \(B(2{,}5\mid5)\) liegt auf der zweiten Parabel mit der Gleichung \(y = 0{,}8x^2\).

- Was sagt die Lage des Scheitelpunkts über den Parameter \(c\) in der Funktionsgleichung aus? - Wie verhält sich eine Parabel, wenn der Streckfaktor \(a\) positiv ist? - Überlege dir, wie der Graph aussehen muss, damit er die \(x\)-Achse gar nicht berührt.

1. Da der Scheitelpunkt bei \(S(0\mid-4)\) liegt, ist \(c = -4\). Einsetzen von \(P(2\mid0)\) in \(f(x) = ax^2 - 4\): \(0 = a \cdot 2^2 - 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4\). 2. Da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S = -4\)) und die Parabel wegen \(a=1 > 0\) nach oben geöffnet ist, muss der Graph die \(x\)-Achse zweimal schneiden. 3. Damit eine nach oben geöffnete Parabel keine Nullstellen hat, muss der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegen. Er muss also um mehr als \(4\) Einheiten nach oben verschoben werden. Ein möglicher neuer Scheitelpunkt ist \(S'(0\mid1)\).

a) \(f(x) = x^2 - 4\) b) Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. c) Verschiebung nach oben um mehr als \(4\) Einheiten; z. B. \(S'(0\mid1)\).

- Überlege dir, wie sich eine Änderung direkt am \(x\)-Wert im Vergleich zu einer Änderung am gesamten Funktionswert auf den Graphen auswirkt. - Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die Form (breit oder schmal) verantwortlich und welcher für die Position im Koordinatensystem? - Erinnere dich an die allgemeine Scheitelpunktform \(a(x - x_S)^2 + y_S\). Was bedeuten die einzelnen Parameter? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Verschiebung entlang der \(x\)-Achse.

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) führt zum Funktionsterm \(3x^2\). 2. Die Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links wird durch das Ersetzen von \(x\) durch \((x + 4)\) realisiert, woraus \(3(x + 4)^2\) folgt. 3. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten erfolgt durch Subtraktion von \(1\) am Ende des Terms: \(g(x) = 3(x + 4)^2 - 1\). 4. Der Scheitelpunkt der Normalparabel \((0|0)\) wird entsprechend der Verschiebungen auf den Punkt \(S(-4|-1)\) abgebildet.

Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 3(x + 4)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4|-1)\).

- Welchen Einfluss hat ein Vorzeichen vor dem gesamten Term auf die Öffnung der Parabel? - Wie verändern Werte innerhalb und außerhalb der Klammer die Lage des Scheitelpunkts? - Überlege dir, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, um zwischen Maximum und Minimum zu unterscheiden. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man \(x\) durch \((x-x_S)\) ersetzt?

1. Für \(f(x) = (x - 4)^2 + 3\): Verschiebung der Normalparabel um \(4\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach oben. Scheitelpunkt \(S(4\mid3)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ein Minimum bei \(y = 3\) für \(x = 4\) vor. 2. Für \(g(x) = -x^2 - 2\): Spiegelung der Normalparabel an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten. Scheitelpunkt \(S(0\mid-2)\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, liegt ein Maximum bei \(y = -2\) für \(x = 0\) vor. 3. Für \(h(x) = (x + 2)^2 - 5\): Verschiebung der Normalparabel um \(2\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach unten. Scheitelpunkt \(S(-2\mid-5)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ein Minimum bei \(y = -5\) für \(x = -2\) vor.

a) \(4\) nach rechts, \(3\) nach oben; \(S(4\mid3)\); Minimum. b) Spiegelung an der \(x\)-Achse, \(2\) nach unten; \(S(0\mid-2)\); Maximum. c) \(2\) nach links, \(5\) nach unten; \(S(-2\mid-5)\); Minimum.

- Wie verändert sich die Funktionsgleichung, wenn der Graph entlang der Koordinatenachsen verschoben wird? - Welche Eigenschaft des Scheitelpunkts entscheidet hier über mögliche Nullstellen? - Welchen Wert hat \(x\) bei jedem Punkt auf der \(y\)-Achse?

1. Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben ergibt \(p(x)=(x-3)^2+1\). Durch Ausmultiplizieren folgt \(p(x)=x^2-6x+10\). Das ist die allgemeine Form. 2. Der Scheitelpunkt \(S(3\mid1)\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ihr gesamter Graph oberhalb der \(x\)-Achse; sie besitzt keine Nullstellen. 3. Für \(x=0\) gilt \(p(0)=10\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist daher \(S_y(0\mid10)\).

1) Scheitelpunktform: \(p(x)=(x-3)^2+1\); allgemeine Form: \(p(x)=x^2-6x+10\) 2) Der Scheitelpunkt \(S(3\mid1)\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. 3) \(S_y(0\mid10)\)

- Welche Koordinaten kannst du aus der Scheitelpunktform direkt ablesen? - Welche Änderungen innerhalb und außerhalb der Klammer verschieben den Graphen horizontal bzw. vertikal? - Welche Rolle spielt die Öffnungsrichtung für die größtmöglichen \(y\)-Werte?

1. Aus den Scheitelpunktformen liest man \(S_f(0\mid0)\) und \(S_g(2\mid3)\) ab. 2. Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach oben. 3. Da \(a=-0{,}5<0\) ist, sind beide Parabeln nach unten geöffnet. Daher gilt \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le0\}\) und \(W_g=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le3\}\).

a) \(S_f(0\mid0)\) und \(S_g(2\mid3)\) b) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach oben c) \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le0\}\) und \(W_g=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le3\}\)

- Welchen Einfluss haben die Zahlenwerte in der Klammer und außerhalb der Klammer auf die Lage der Parabel? - Wie verändert sich das Vorzeichen der Funktionsgleichung, wenn eine Parabel „auf den Kopf gestellt“ wird? - Achte besonders auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer bei Verschiebungen entlang der \(x\)-Achse. - Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Form \(y = (x - x_S)^2 + y_S\) ablesen.

1. Analyse der Funktion \(g(x) = (x - 5)^2 + 3\): Die Normalparabel wird um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(h\): Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt \(y = -x^2\). Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links ersetzt \(x\) durch \((x + 4)\). Die Gleichung lautet \(h(x) = -(x + 4)^2\). 3. Bestimmung der Scheitelpunkte: Aus der Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) ergeben sich für \(g\) der Scheitelpunkt \(S_g(5\mid3)\) und für \(h\) der Scheitelpunkt \(S_h(-4\mid0)\).

a) Die Normalparabel wird um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. b) \(h(x) = -(x + 4)^2\) c) \(S_g(5\mid3)\) und \(S_h(-4\mid0)\)

- Erinnere dich daran, wie der Betrag des Faktors vor dem \(x^2\) die Form der Parabel beeinflusst. - Überlege dir, in welche Richtung eine Parabel geöffnet sein muss, um einen höchsten Punkt (Maximum) zu haben. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn man einen Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt?

1. Vergleich der Form: Da \(|-4| > 1\), ist der Graph von \(g\) schmaler (gestreckt) als die Normalparabel. Da \(|0{,}5| < 1\), ist der Graph von \(f\) breiter (gestaucht). 2. Bestimmung des Maximums: Eine Parabel der Form \(y = ax^2\) besitzt ein Maximum, wenn sie nach unten geöffnet ist, also \(a < 0\). Dies trifft auf \(g(x)\) zu. Da der Scheitelpunkt im Ursprung \((0\mid0)\) liegt, ist das Maximum \(y = 0\). 3. Spiegelung: Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt das Vorzeichen des Streckfaktors um. Für \(f(x) = 0{,}5x^2\) ergibt sich somit \(a = -0{,}5\).

a) \(g(x)\) ist schmaler, da der Betrag des Streckfaktors (\(|-4| = 4\)) größer als 1 ist. b) \(g(x)\) besitzt ein Maximum; der Wert ist \(y = 0\). c) Der Parameter muss \(a = -0{,}5\) sein.

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie beeinflusst ein Faktor vor dem \(x^2\) die Form der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? - Überlege, ob die \(y\)-Werte bei gleichem \(x\) größer oder kleiner werden als bei der Normalparabel.

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(4 | 4)\) in die Funktionsgleichung: \(4 = a \cdot 4^2\). 2. Berechnung von \(a\): \(4 = 16a \Rightarrow a = \frac{4}{16} = 0{,}25\). 3. Vergleich mit der Normalparabel: Da der Betrag von \(a\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt (\(0 < 0{,}25 < 1\)), handelt es sich um eine Stauchung in \(y\)-Richtung. Der Graph ist flacher als die Normalparabel.

a) \(a = 0{,}25\) b) Der Graph ist gegenüber der Normalparabel in \(y\)-Richtung gestaucht.

- Welchen Wert hat die Funktion \(f\) an der Stelle \(x=0\)? - Was musst du für \(x\) in die Gleichung von \(g\) einsetzen, damit das Ergebnis in der Klammer \(0\) wird? - Vergleiche die Lage der beiden Punkte, an denen der Funktionswert \(0\) ist, auf der \(x\)-Achse.

1. Bestimmung des Scheitelpunkts: Die Funktion \(g(x) = (x+5)^2\) liegt in der Scheitelpunktform \(y=(x-x_S)^2+y_S\) vor, wobei \(x_S=-5\) und \(y_S=0\). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(-5\mid0)\). 2. Erklärung der Verschiebung: Der Funktionswert \(f(0) = 0^2 = 0\) wird bei der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\) erreicht. Damit die Funktion \(g(x) = (x+5)^2\) ebenfalls den Wert \(0\) annimmt, muss der Ausdruck in der Klammer Null ergeben: \(x + 5 = 0\). Dies ist für \(x = -5\) der Fall. Da der charakteristische Punkt (der Scheitelpunkt) von \(x = 0\) auf \(x = -5\) wandert, entspricht dies einer Verschiebung um \(5\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links).

a) Der Scheitelpunkt ist \(S(-5\mid0)\). b) Damit \(g(x) = 0\) gilt (wie \(f(0) = 0\)), muss \(x = -5\) sein. Der Punkt wurde also von \(x=0\) zu \(x=-5\) verschoben, was einer Verschiebung nach links entspricht.

- Vergleiche die Richtung einer horizontalen Verschiebung mit dem Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Unterscheide horizontale von vertikalen Änderungen der Scheitelpunktform. - Lies den Scheitelpunkt erst ab, nachdem die Gleichung in b) feststeht.

1. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links ersetzt \(x\) durch \(x+3\); eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben addiert \(2\). Deshalb ist Leons Gleichung \(y=(x+3)^2+2\) korrekt. 2. Nach rechts um \(3\) und nach unten um \(2\) ergibt \(y=(x-3)^2-2\). 3. Daraus liest man den Scheitelpunkt \(S(3\mid-2)\) ab.

a) Die Aussage ist korrekt: Eine Verschiebung um \(3\) nach links ersetzt \(x\) durch \(x+3\), und die Verschiebung um \(2\) nach oben addiert \(2\). Daher entsteht \(y=(x+3)^2+2\). b) \(y=(x-3)^2-2\) c) \(S(3\mid-2)\)

- Trenne die Wirkung des Vorzeichens von der Wirkung des Betrags \(|a|\). - Vergleiche \(|a|\) jeweils mit \(1\). - Überlege, wie eine Multiplikation aller y-Werte mit einem Betrag kleiner beziehungsweise größer als \(1\) die Parabel verändert.

1. Für \(a>0\) ist die Parabel nach oben geöffnet; für \(a<0\) ist sie nach unten geöffnet. 2. Bei \(a=\frac{1}{2}\) ist der Graph nach oben geöffnet und gegenüber der Normalparabel in y-Richtung gestaucht; dadurch ist die Parabel breiter. 3. Bei \(a=-2\) ist der Graph an der x-Achse gespiegelt und in y-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt; dadurch ist die Parabel schmaler.

a) \(a>0\): nach oben geöffnet; \(a<0\): nach unten geöffnet. b) \(a=\frac{1}{2}\): nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel. \(a=-2\): nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

- Wie hängen der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel mit ihrem Scheitelpunkt zusammen? - Welche Rolle spielt es für die Funktionsgleichung, ob eine Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist? - Wie kannst du die Verschiebung einer Parabel in \(x\)- und \(y\)-Richtung an ihrem Funktionsterm ablesen?

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus dem Koordinatensystem: Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt (bei einer nach oben geöffneten Parabel) bzw. der höchste Punkt (bei einer nach unten geöffneten Parabel). Aus der Zeichnung lässt sich für die Parabel \(f\) der Scheitelpunkt \(S_1(2 \mid 1)\) ablesen. Für die Parabel \(g\) lässt sich der Scheitelpunkt \(S_2(-1 \mid 3)\) ablesen. 2. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Die Scheitelpunktform einer verschobenen Normalparabel lautet allgemein \(y = a(x-x_S)^2+y_S\), wobei \(S(x_S \mid y_S)\) der Scheitelpunkt ist. Da \(f\) nach oben geöffnet ist, gilt \(a = 1\). Einsetzen von \(S_1(2 \mid 1)\) ergibt: \(f(x) = (x - 2)^2 + 1\) Da \(g\) nach unten geöffnet ist, gilt \(a = -1\). Einsetzen von \(S_2(-1 \mid 3)\) ergibt: \(g(x) = -(x + 1)^2 + 3\)

a) \(S_1(2 \mid 1)\) und \(S_2(-1 \mid 3)\) b) \(f(x) = (x - 2)^2 + 1\) und \(g(x) = -(x + 1)^2 + 3\)

- Welche Information liefert der Scheitelpunkt hier direkt über \(c\)? - Welcher weitere gut ablesbare Punkt eignet sich, um \(a\) zu bestimmen? - Wie kannst du einen berechneten Funktionswert anschließend am Graphen kontrollieren?

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0\mid-2)\). Bei \(f(x)=ax^2+c\) ist daher \(c=-2\). 2. Ein gut ablesbarer weiterer Punkt ist die Nullstelle \(P(2\mid0)\). Einsetzen ergibt \(0=4a-2\), also \(a=0{,}5\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}5x^2-2\). 4. Für \(x=3\) gilt \(f(3)=0{,}5\cdot9-2=2{,}5\). Die feinere waagerechte Gitterung bestätigt am Graphen den Wert \(y=2{,}5\).

a) \(a=0{,}5\), \(c=-2\); \(f(x)=0{,}5x^2-2\) b) \(f(3)=2{,}5\)

- Wo liegt der tiefste Punkt der neuen Kurve im Vergleich zum Ursprung? - Wie viele Einheiten musst du nach links oder rechts gehen? - Wie viele Einheiten musst du nach oben oder unten gehen? - Hat sich die Öffnung der Parabel verändert oder ist sie noch so breit wie die Normalparabel?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(g\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2 \mid -3)\). 2. Analyse der Verschiebung: Die Normalparabel wurde um 2 Einheiten nach links und um 3 Einheiten nach unten verschoben. 3. Überprüfung der Form: Da man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben geht, um auf den Graphen zu gelangen, handelt es sich weiterhin um eine Normalparabel (keine Streckung oder Stauchung). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit \(x_S = -2\) und \(y_S = -3\) ergibt sich die Scheitelpunktform \(g(x) = (x + 2)^2 - 3\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung um 2 Einheiten nach links und 3 Einheiten nach unten. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = (x + 2)^2 - 3\).

- Alle drei Parabeln haben ihren Scheitelpunkt im Ursprung. Welche allgemeine Form der Funktionsgleichung gehört dazu? - Suche dir für jede Kurve einen Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten aus. - Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes nutzen, um die Unbekannte in der Funktionsgleichung zu berechnen? - Überlege dir vorab, ob der Wert für \(a\) positiv oder negativ sein muss, je nachdem, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

1. Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, wird für jeden Graphen ein gut ablesbarer Punkt \(P(x \mid y)\) (ungleich dem Ursprung) gewählt und dessen Koordinaten in die Grundform \(y = ax^2\) eingesetzt. 2. Graph \(f\): Der Punkt \((1 \mid 2)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(2 = a \cdot 1^2\), also \(a = 2\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x^2\). 3. Graph \(g\): Der Punkt \((2 \mid 2)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(2 = a \cdot 2^2\), woraus \(2 = 4a\) und somit \(a = 0{,}5\) folgt. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = 0{,}5x^2\). 4. Graph \(h\): Der Punkt \((1 \mid -1{,}5)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(-1{,}5 = a \cdot 1^2\), also \(a = -1{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(h(x) = -1{,}5x^2\).

\(f(x) = 2x^2\), \(g(x) = 0{,}5x^2\), \(h(x) = -1{,}5x^2\)

- Vergleiche die Lage des Scheitelpunkts im Graphen mit der Lage, die aus Finns Gleichung hervorgeht. - Was bedeutet ein Minuszeichen vor der Klammer für die Öffnung der Parabel? - Überprüfe durch Einsetzen eines Punktes (z. B. der Nullstelle), ob die Gleichung stimmen kann.

1. Den Scheitelpunkt aus der Gleichung von Finn ablesen: \(S(1 \mid 4)\). 2. Den Scheitelpunkt aus dem Graphen ablesen: Der höchste Punkt der Parabel liegt bei \(S(-1 \mid 4)\). 3. Vergleich: Der Graph ist gegenüber Finns Vermutung an der \(y\)-Achse gespiegelt (Verschiebung um \(1\) nach links statt nach rechts). 4. Die Form der Parabel prüfen: Vom Scheitelpunkt aus geht man \(1\) nach rechts und \(1\) nach unten zum Punkt \((0 \mid 3)\). Der Streckfaktor ist also tatsächlich \(a = -1\). 5. Korrekte Gleichung aufstellen: Mit \(S(-1 \mid 4)\) und \(a = -1\) ergibt sich \(g(x) = -(x - (-1))^2 + 4 = -(x + 1)^2 + 4\).

Nein, die Gleichung passt nicht ganz. Finn hat eine Verschiebung nach rechts (\(x-1\)) statt nach links (\(x+1\)) angenommen. Der Scheitelpunkt im Graphen liegt bei \((-1 \mid 4)\). Die richtige Gleichung lautet: \(g(x) = -(x+1)^2 + 4\).

- Der Scheitelpunkt ist bei einer nach oben geöffneten Normalparabel der tiefste Punkt des Graphen. - In der Form \(y = (x - x_S)^2 + y_S\) geben \(x_S\) und \(y_S\) die Koordinaten des Scheitelpunkts an. - Achte besonders auf das Vorzeichen in der Klammer: Eine Verschiebung nach links bedeutet ein Pluszeichen in der Klammer.

1. Identifikation des Scheitelpunkts von \(f\): Der tiefste Punkt des Graphen liegt im Koordinatensystem bei \(S_f(3 \mid -2)\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(f\): Mit den Werten \(x_S = 3\) und \(y_S = -2\) ergibt sich die Gleichung \(f(x) = (x - 3)^2 - 2\). 3. Identifikation des Scheitelpunkts von \(g\): Der tiefste Punkt des Graphen liegt bei \(S_g(-1 \mid 3)\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(g\): Mit \(x_S = -1\) (da \(x - (-1) = x + 1\)) und \(y_S = 3\) lautet die Gleichung \(g(x) = (x + 1)^2 + 3\).

\(f\): \(S(3 \mid -2)\), \(f(x) = (x - 3)^2 - 2\) \(g\): \(S(-1 \mid 3)\), \(g(x) = (x + 1)^2 + 3\)

- Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. - Die Symmetrieachse ist die vertikale Gerade, die genau durch die Mitte der Parabel geht. - In der Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) geben \(x_S\) und \(y_S\) direkt die Koordinaten des Scheitelpunkts an. - Um den Streckfaktor \(a\) zu finden, kannst du einen weiteren gut ablesbaren Punkt der Parabel in den Funktionsansatz einsetzen.

1. Scheitelpunkte ablesen: Für die Parabel \(f\) liegt der tiefste Punkt bei \(S_f(3 \mid -4)\). Für die Parabel \(g\) liegt der höchste Punkt bei \(S_g(-2 \mid 2)\). 2. Symmetrieachse von \(f\): Die Symmetrieachse verläuft vertikal durch den Scheitelpunkt. Da \(x_S = 3\), lautet die Gleichung \(x = 3\). 3. Funktionsgleichung von \(g\): Der Scheitelpunkt ist \(S(-2 \mid 2)\), also lautet der Ansatz \(g(x) = a(x + 2)^2 + 2\). Ein weiterer Punkt auf der Parabel ist der Ursprung \((0 \mid 0)\). Einsetzen ergibt \(0 = a \cdot (0 + 2)^2 + 2\), also \(0 = 4a + 2\). Daraus folgt \(4a = -2\) und somit \(a = -0{,}5\). Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 2\).

a) \(S_f(3 \mid -4)\), \(S_g(-2 \mid 2)\) b) \(x = 3\) c) \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 2\)

- Was bedeutet „an der \(x\)-Achse gespiegelt“ für das Vorzeichen vor der Klammer? - Bestimme den höchsten Punkt der Parabel. - Da der Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt, ist die Verschiebung in x-Richtung Null.

1. Den Scheitelpunkt ablesen: \(S(0 \mid 4)\). 2. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss der Streckfaktor \(a = -1\) sein. 3. Einsetzen in die Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\): \(f(x) = -1(x - 0)^2 + 4\). 4. Vereinfachen: \(f(x) = -x^2 + 4\).

\(f(x) = -x^2 + 4\)

- Suche dir einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterkreuz liegt. - Wie hängen der \(x\)-Wert und der \(y\)-Wert bei einer Funktion der Form \(y = ax^2\) zusammen? - Wenn du \(a\) bestimmt hast, kannst du jeden beliebigen \(x\)-Wert einsetzen, um den \(y\)-Wert zu finden.

1. Ablesen eines Graphenpunktes: Ein gut erkennbarer Punkt auf dem Graphen ist \(P(2 \mid -1)\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(-1 = a \cdot 2^2 \implies -1 = 4a \implies a = -0{,}25\). 3. Berechnung von \(f(4)\): \(f(4) = -0{,}25 \cdot 4^2 = -0{,}25 \cdot 16 = -4\). 4. Da der \(y\)-Wert negativ ist, liegt der Punkt unterhalb der \(x\)-Achse.

a) \(a = -0{,}25\) b) \(f(4) = -4\); der Punkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse.

- Wo liegt der höchste oder tiefste Punkt der jeweiligen Parabel? Notiere dir die Koordinaten. - Wie lautet die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion? - Suche dir einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterkreuz liegt, um den Streckfaktor zu berechnen. - Achte auf das Vorzeichen des Streckfaktors: Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet?

1. Bestimmung des Funktionsterms für \(f\): - Ablesen des Scheitelpunkts: \(S_f(3 \mid -1)\). - Ansatz in Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 3)^2 - 1\). - Ablesen eines weiteren Punktes, z. B. \(P(5 \mid 1)\). - Einsetzen von \(P\) zur Bestimmung von \(a\): \(1 = a \cdot (5 - 3)^2 - 1 \Rightarrow 2 = 4a \Rightarrow a = 0{,}5\). - Ergebnis: \(f(x) = 0{,}5(x - 3)^2 - 1\). 2. Bestimmung des Funktionsterms für \(g\): - Ablesen des Scheitelpunkts: \(S_g(-2 \mid 4)\). - Ansatz in Scheitelpunktform: \(g(x) = a(x + 2)^2 + 4\). - Ablesen eines weiteren Punktes, z. B. \(Q(0 \mid 2)\). - Einsetzen von \(Q\) zur Bestimmung von \(a\): \(2 = a \cdot (0 + 2)^2 + 4 \Rightarrow -2 = 4a \Rightarrow a = -0{,}5\). - Ergebnis: \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 4\).

Die Funktionsterme lauten: \(f(x) = 0{,}5(x - 3)^2 - 1\) \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 4\)

- Achte zuerst auf das Vorzeichen des Faktors vor dem \(x^2\). Was sagt es über die Öffnung aus? - Vergleiche die „Breite“ der Graphen mit der gestrichelten Normalparabel. - Ein großer Betrag von \(a\) macht die Kurve steiler.

1. Ausrichtung: Das negative Vorzeichen bei allen drei Funktionen bewirkt, dass die Parabeln nach unten geöffnet sind. 2. Öffnungsweite (Betrag von \(a\)): * Für \(|a| > 1\) ist die Parabel schmaler (gestreckt) als die Normalparabel. Dies trifft auf \(y = -2x^2\) zu. Das ist Graph \(k\). * Für \(|a| = 1\) ist die Form identisch zur Normalparabel, nur gespiegelt. Dies trifft auf \(y = -x^2\) zu. Das ist Graph \(h\). * Für \(0 < |a| < 1\) ist die Parabel breiter (gestaucht) als die Normalparabel. Dies trifft auf \(y = -0{,}2x^2\) zu. Das ist Graph \(g\).

Zuordnung: \(g: y = -0{,}2x^2\), \(h: y = -x^2\), \(k: y = -2x^2\). Erklärung: Das negative Vorzeichen von \(a\) spiegelt die Parabel an der \(x\)-Achse nach unten. Ist der Betrag \(|a| > 1\), wird die Parabel schmaler (gestreckt); ist \(|a| < 1\), wird sie breiter (gestaucht).

- Vergleiche die Position des tiefsten oder höchsten Punktes (Scheitelpunkt) der beiden Graphen. - Überlege, ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist. Was bedeutet das für das Vorzeichen vor dem Term? - Prüfe, ob der Graph im Vergleich zur Normalparabel „breiter“ oder „schmaler“ geworden ist.

1. Analyse der Transformationen: Der Scheitelpunkt der Normalparabel \(f(x) = x^2\) liegt im Ursprung \((0 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \((3 \mid 2)\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. Zudem ist die Parabel nach unten geöffnet, was einer Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht. Da die Form der Normalparabel beibehalten wurde (vom Scheitelpunkt aus geht man \(1\) zur Seite und \(1\) nach unten), liegt keine Streckung vor. 2. Aufstellen des Funktionsterms: Mit dem Scheitelpunkt \(S(3 \mid 2)\) und der Spiegelung ergibt sich die Scheitelpunktform \(g(x) = -(x - 3)^2 + 2\).

a) Der Graph von \(f\) wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt, um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. b) \(g(x) = -(x - 3)^2 + 2\)

- Vergleiche zuerst nur die Breite der drei Graphen. - Welcher Betrag von \(a\) gehört zum schmalsten beziehungsweise breitesten Graphen? - Was ändert sich zusätzlich, wenn \(a\) negativ ist?

1. Graph \(f\) ist am schmalsten. Daher gehört zu ihm der größte Betrag des Faktors, also (2) \(y=2x^2\). 2. Graph \(g\) hat die Breite der Normalparabel. Daher gehört (3) \(y=x^2\) zu \(g\). 3. Graph \(h\) ist am breitesten. Daher gehört (1) \(y=0{,}5x^2\) zu \(h\). 4. Allgemein gilt: Für \(|a|>1\) ist die Parabel schmaler als die Normalparabel, für \(0<|a|<1\) breiter. Das Vorzeichen von \(a\) bestimmt die Öffnungsrichtung.

a) \(f\): (2); \(g\): (3); \(h\): (1) b) Für \(|a|>1\) ist die Parabel schmaler, für \(0<|a|<1\) breiter als die Normalparabel. Für \(a>0\) öffnet sie nach oben, für \(a<0\) nach unten.

- Überlege zuerst, um welchen Grundtyp von Funktion es sich handelt. - Haben alle Kurven dieselbe Form oder sind sie unterschiedlich gestreckt? - Was haben alle Graphen gemeinsam und worin unterscheiden sie sich? - Wähle einen markanten Punkt aus (z. B. den Schnittpunkt mit der vertikalen Achse), um die Verschiebung zu beschreiben.

1. Analyse der Form: Alle Graphen sind nach oben geöffnete Parabeln mit derselben Öffnung. 2. Bestimmung des Streckfaktors \(a\): Betrachtet man die Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \((0 \mid 1)\), so verläuft diese auch durch den Punkt \((2 \mid 3)\). Einsetzen in \(y = ax^2 + 1\) ergibt \(3 = a \cdot 2^2 + 1\), also \(2 = 4a\) und somit \(a = 0{,}5\). 3. Identifikation des Parameters: Die Parabeln sind lediglich entlang der \(y\)-Achse verschoben. Der Scheitelpunkt liegt jeweils bei \((0 \mid k)\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Schar lässt sich durch \(f_k(x) = 0{,}5x^2 + k\) mit \(k \in \mathbb{R}\) beschreiben. Im Graphen sind die Werte \(k \in \{-3; -1; 1; 3\}\) dargestellt.

\(f_k(x) = 0{,}5x^2 + k\)

- Notiere dir zuerst die Koordinaten der Scheitelpunkte für \(g\) und \(h\). - Überlege, ob die Parabeln nach oben oder unten geöffnet sind. - Erinnere dich an die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\).

1. Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(-3 \mid -4)\). Da die Form der Parabel der Normalparabel entspricht (eine Einheit zur Seite, eine nach oben), lautet die Gleichung: \(g(x) = (x + 3)^2 - 4\). 2. Der Scheitelpunkt von \(h\) liegt bei \(S_h(2 \mid 2)\). Die Parabel ist nach unten geöffnet, aber ansonsten formgleich zur Normalparabel. Somit lautet die Gleichung: \(h(x) = -(x - 2)^2 + 2\).

\(g(x) = (x + 3)^2 - 4\); \(h(x) = -(x - 2)^2 + 2\)

- Alle drei Parabeln haben dieselbe Form, sie sind nur an verschiedenen Stellen im Koordinatensystem. - Bestimme die Verschiebung des Scheitelpunkts ausgehend vom Ursprung.

1. Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \((0 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \((1 \mid -3)\). Die Parabel wurde um \(1\) Einheit nach rechts und \(3\) Einheiten nach unten verschoben. Da der Streckfaktor \(a=2\) erhalten bleibt, ist \(g(x) = 2(x - 1)^2 - 3\). 2. Der Scheitelpunkt von \(h\) liegt bei \((-2 \mid 1)\). Die Parabel wurde um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach oben verschoben. Somit ist \(h(x) = 2(x + 2)^2 + 1\).

\(g(x) = 2(x - 1)^2 - 3\); \(h(x) = 2(x + 2)^2 + 1\)

- Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt der Normalparabel? - Welche Koordinaten liest du aus \((x-5)^2+2\) ab? - Vergleiche die beiden Scheitelpunkte statt nur das Zeichen in der Klammer zu lesen.

1. Aus \(g(x)=(x-5)^2+2\) liest man den Scheitelpunkt \(S(5\mid2)\) ab. 2. Die Normalparabel hat den Scheitelpunkt \(S(0\mid0)\). Der neue Scheitelpunkt liegt daher \(5\) Einheiten rechts und \(2\) Einheiten höher. 3. Tareks horizontale Verschiebungsrichtung ist falsch.

Die Beschreibung ist falsch. Die Normalparabel hat den Scheitelpunkt \(S(0\mid0)\), während \(g\) den Scheitelpunkt \(S(5\mid2)\) hat. Daher wird der Graph um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben.

- Untersuche die Gleichung \(x^2=-c\). - Für welche reellen Zahlen kann ein Quadrat stehen? - Wie hängt das Vorzeichen von \(-c\) vom Vorzeichen von \(c\) ab?

1. Für \(c=-16\) gilt \(h(x)=x^2-16\). - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0)=-16\), also \((0|-16)\). - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(x^2-16=0\), also \(x=4\) oder \(x=-4\). Die Punkte sind \((4|0)\) und \((-4|0)\). 2. Allgemein gilt für Nullstellen \(x^2+c=0\), also \(x^2=-c\). Über den reellen Zahlen existiert mindestens eine Lösung genau dann, wenn \(-c\ge 0\), also \(c\le 0\). Für \(c>0\) besitzt der Graph keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

a) Die Schnittpunkte sind \((0|-16)\), \((4|0)\) und \((-4|0)\). b) Für \(c>0\) gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, weil \(x^2=-c\) dann keine reelle Lösung besitzt.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die vertikale Verschiebung des Graphen? - Wie hängen die vertikale Lage des tiefsten Punktes und die Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zusammen? - Was passiert mit dem Graphen, wenn du den Wert am Ende der Gleichung veränderst?

1. Die Wertemenge einer nach oben geöffneten Parabel (\(a=1\)) beginnt beim \(y\)-Wert des Scheitelpunkts. Der Scheitelpunkt von \(p_c\) ist \(S(3|c)\). Damit die Wertemenge bei \(4\) beginnt, muss \(c = 4\) gelten. 2. Für \(c = -1\) lautet die Gleichung \(p_{-1}(x) = (x-3)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|-1)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist und der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gibt es genau zwei Nullstellen. 3. Allgemeiner Zusammenhang: Ist \(c < 0\), liegt der Scheitelpunkt unter der \(x\)-Achse und es gibt zwei Nullstellen. Ist \(c = 0\), liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse (eine Nullstelle). Ist \(c > 0\), liegt er darüber (keine Nullstelle).

a) \(c = 4\) b) Für \(c = -1\) gibt es zwei Nullstellen. Allgemein gilt: Bei \(c < 0\) gibt es zwei Nullstellen, bei \(c = 0\) eine und bei \(c > 0\) keine, da \(c\) die Höhe des Scheitelpunkts einer nach oben geöffneten Parabel festlegt.

- Stelle dir vor, wie sich die Parabel entlang der \(y\)-Achse bewegt, wenn du \(c\) veränderst. - Wann liegt eine nach oben geöffnete Parabel vollständig oberhalb der \(x\)-Achse? - Vergleiche die Koordinaten des alten Scheitelpunkts mit denen des neuen Scheitelpunkts. - Wie verändert sich eine Funktionsgleichung, wenn man sie in \(x\)-Richtung oder \(y\)-Richtung verschiebt?

1. Bedingung für keine Nullstellen: Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1\)), hat sie keine Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Das ist für \(c > 0\) der Fall. 2. Nullstellen für \(c = -16\): \((x + 3)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 16 \Rightarrow x + 3 = \pm 4\). 3. Berechnete Werte: \(x_1 = -3 + 4 = 1\) und \(x_2 = -3 - 4 = -7\). 4. Verschiebung analysieren: Der ursprüngliche Scheitelpunkt ist \(S(-3 \mid -16)\). Um nach \(S'(0 \mid 0)\) zu gelangen, muss die Parabel um 3 Einheiten nach rechts und um 16 Einheiten nach oben verschoben werden. 5. Neue Funktionsgleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\).

a) Für \(c > 0\), da der Scheitelpunkt dann oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -7\) c) Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 16 Einheiten nach oben; neue Gleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\)

- Setze den gemeinsamen Scheitelpunkt zuerst in die Scheitelpunktform ein. - Nutze danach jeweils den zusätzlichen Punkt, um \(a\) zu bestimmen. - Was sagen Vorzeichen und Betrag von \(a\) über Öffnung und Breite aus?

1. Beide Funktionen haben die Form \(a(x-3)^2\). 2. Für die erste Parabel gilt \(4=a_1(1-3)^2=4a_1\). Daher ist \(a_1=1\). 3. Für die zweite Parabel gilt \(-8=a_2(1-3)^2=4a_2\). Daher ist \(a_2=-2\). 4. Die erste Parabel ist eine nach oben geöffnete Normalparabel. Die zweite ist nach unten geöffnet und wegen \(|a_2|=2>1\) schmaler als die Normalparabel.

Erste Parabel: \(a_1=1\), nach oben geöffnet, gleich breit wie die Normalparabel. Zweite Parabel: \(a_2=-2\), nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

- Überlege, welche Form die Funktionsgleichungen haben und wo der Scheitelpunkt bei Gleichungen ohne lineares Glied (also ohne ein einfaches \(x\)) liegt. - Um Nullstellen zu finden, musst du die Gleichung \(y = 0\) nach \(x\) auflösen. - Wie beeinflusst die Zahl vor dem \(x^2\) die Form der Parabel? - Stell dir vor, wie steil die Kurven nach oben gehen, wenn sie am selben Punkt starten.

1. Bestimmung der Scheitelpunkte: Beide Funktionen liegen in der Form \(f(x) = ax^2 + c\) vor. Hier ist der Scheitelpunkt immer \(S(0 | c)\). Für \(f(x)\): \(S_f(0\mid-4)\). Für \(g(x)\): \(S_g(0\mid-4)\). Beide Parabeln haben denselben Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Nullstellen: Für \(f(x)\): \(x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2; x_2 = 2\). Für \(g(x)\): \(2x^2 - 4 = 0 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x_1 \approx -1{,}41; x_2 \approx 1{,}41\). 3. Vergleich der Öffnung: Der Streckfaktor \(a\) bei \(g(x)\) ist \(2\), bei \(f(x)\) ist er \(1\). Da \(2 > 1\), ist die Parabel zu \(g\) enger (gestreckt). Bei einer engeren Parabel mit gleichem Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegen die Nullstellen näher beieinander, da die Funktionswerte schneller ansteigen. Der Abstand der Nullstellen bei \(f\) beträgt \(4\), bei \(g\) genau \(2\sqrt{2}\approx2{,}83\).

a) Beide haben den Scheitelpunkt \(S(0\mid-4)\). b) Nullstellen von \(f\): \(x = \pm 2\); Nullstellen von \(g\): \(x \approx \pm 1{,}41\). c) Die Parabel zu \(g\) ist enger. Dadurch liegen ihre Nullstellen näher zusammen als die von \(f\): Der Abstand beträgt bei \(g\) \(2\sqrt2\approx2{,}83\), bei \(f\) dagegen \(4\).

- Welche Angaben kannst du direkt aus der Scheitelpunktform von \(f\) ablesen? - Welche Gleichung entsteht für die Nullstellen, wenn du \(f(x)=0\) setzt? - Wie verändert eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten alle Funktionswerte? - Was bedeutet es für Nullstellen, wenn selbst der größte Funktionswert negativ ist?

1. Aus der Scheitelpunktform liest man \(S_f(2\mid1)\) ab. Für die Nullstellen gilt \(-(x-2)^2+1=0\), also \((x-2)^2=1\). Damit sind \(x_1=1\) und \(x_2=3\). 2. Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten ergibt \(g(x)=f(x)-2=-(x-2)^2-1\). Ausmultiplizieren liefert \(g(x)=-x^2+4x-5\). 3. Der Scheitelpunkt verschiebt sich zu \(S_g(2\mid-1)\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist \(-1\) ihr größter Funktionswert. Deshalb liegt der gesamte Graph unterhalb der \(x\)-Achse und \(g\) hat keine Nullstellen.

a) \(S_f(2\mid1)\); \(x_1=1\), \(x_2=3\) b) \(g(x)=-x^2+4x-5\) c) Keine Nullstellen, weil der höchste Punkt \(S_g(2\mid-1)\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

- Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(a\) die Öffnungsrichtung? - Was sagt der Betrag von \(a\) über die Breite im Vergleich zur Normalparabel aus? - Setze den gegebenen Punkt in \(p(x)=ax^2\) ein, um \(a\) zu bestimmen.

1. Wird \(a\) durch \(2a\) ersetzt, verdoppeln sich für jedes \(x\) die Funktionswerte. Der Betrag des Streckfaktors verdoppelt sich, daher wird die Parabel enger; ihre Öffnungsrichtung bleibt unverändert. 2. Bestimmung von \(a\) für \(p(x)\): Einsetzen von \(P(2\mid-2)\) ergibt \(-2 = a \cdot 2^2 \implies -2 = 4a \implies a = -0{,}5\). Die Gleichung lautet \(p(x) = -0{,}5x^2\). 3. Punktprobe für \(R(-3\mid-4{,}5)\): \(p(-3) = -0{,}5 \cdot (-3)^2 = -0{,}5 \cdot 9 = -4{,}5\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(R\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Der Betrag des Streckfaktors verdoppelt sich; die Parabel wird enger, und die Öffnungsrichtung bleibt gleich. b) Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = -0{,}5x^2\). c) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf dem Graphen, da \(p(-3) = -4{,}5\) gilt.

- Überlege dir zuerst, was die Begriffe „gestreckt“ und „gestaucht“ mathematisch für den Wert vor dem \(x^2\) bedeuten. - Was muss für den Koeffizienten gelten, damit eine Parabel „enger“ oder „weiter“ als eine andere ist? - Achte bei Teil b) darauf, dass alle drei Bedingungen für denselben Wert erfüllt sein müssen.

1. Analyse von \(f(x) = -5x^2\): Wegen \(a = -5 < 0\) nach unten geöffnet; wegen \(|-5| > 1\) gestreckt (enger als die Normalparabel). 2. Analyse von \(g(x) = \frac{2}{3}x^2\): Wegen \(a = \frac{2}{3} > 0\) nach oben geöffnet; wegen \(|\frac{2}{3}| < 1\) gestaucht (weiter als die Normalparabel). 3. Bedingungen für \(k(x) = ax^2\): - Weiter als \(f \implies |a| < 5\). - Enger als \(g \implies |a| > \frac{2}{3}\). - Gleiche Richtung wie \(f \implies a < 0\). 4. Kombiniert: \(-5 < a < -\frac{2}{3}\). Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel \(a = -2\), also \(k(x) = -2x^2\).

a) \(f\) ist nach unten geöffnet und gestreckt. \(g\) ist nach oben geöffnet und gestaucht. b) Mögliche Lösung: \(k(x) = -2x^2\) (Jedes \(a\) mit \(-5 < a < -\frac{2}{3}\) ist korrekt).

- Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein \(y\)-Wert bei gleichem \(x\) größer ist als ein anderer? - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Parabeln, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt.

1. Einsetzen von \(P(3 \mid 4{,}5)\) in \(y = ax^2\): \(4{,}5 = a \cdot 3^2 \implies 4{,}5 = 9a \implies a = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(p(x) = 0{,}5x^2\). 2. Berechnung der \(y\)-Werte bei \(x = 10\): \(p(10) = 0{,}5 \cdot 10^2 = 0{,}5 \cdot 100 = 50\). Für \(q\): \(q(10) = 0{,}4 \cdot 10^2 = 0{,}4 \cdot 100 = 40\). Da \(50 > 40\), liegt die Parabel \(p\) an dieser Stelle höher. 3. Punkt \(R(-3 \mid 4{,}5)\) liegt auf dem Graphen, da Parabeln der Form \(y = ax^2\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sind. Da \(P(3 \mid 4{,}5)\) auf dem Graphen liegt, muss auch der an der \(y\)-Achse gespiegelte Punkt \(R(-3 \mid 4{,}5)\) darauf liegen.

a) \(a = 0{,}5\) b) \(p(10) = 50\) und \(q(10) = 40\). Parabel \(p\) verläuft höher. c) Ja, aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse.

- Was bedeutet es für das Aussehen des Graphen, wenn der Wert von \(a\) sehr groß ist? - Erinnere dich an die Symmetrie der Parabel: Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du das Vorzeichen von \(x\) änderst?

1. Bestimmung der Parameter: Für \(f\): \(2 = a \cdot 2^2 = 4a \Rightarrow a = 0{,}5\). Also \(f(x) = 0{,}5x^2\). Für \(g\): \(2 = b \cdot 1^2 = 1b \Rightarrow b = 2\). Also \(g(x) = 2x^2\). 2. Vergleich der Graphen: Da \(|2| > |0{,}5|\) ist, ist der Graph von \(g\) enger geöffnet (er ist stärker gestreckt). 3. Symmetrie: Parabeln der Form \(y = ax^2\) sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Ein Punkt \((x|y)\) wird an der \(y\)-Achse auf \((-x|y)\) gespiegelt. Für \(f\): Aus \(A(2|2)\) folgt \(A'(-2|2)\). Für \(g\): Aus \(B(1|2)\) folgt \(B'(-1|2)\).

1. \(f(x) = 0{,}5x^2\) und \(g(x) = 2x^2\). 2. Die Parabel von \(g\) ist enger, da \(|b| > |a|\). 3. \(A'(-2|2)\) und \(B'(-1|2)\).

- Nutze die Scheitelpunktform so, dass die gegebenen Scheitelkoordinaten direkt erkennbar sind. - Verknüpfe Öffnungsrichtung und Breite mit Vorzeichen und Betrag von \(a\). - Bestimme die Wertemenge aus Scheitelpunkthöhe und Öffnungsrichtung.

1. In Scheitelpunktform gilt \(g(x)=a(x+2)^2-4\). 2. Für eine nach oben geöffnete, gegenüber der Normalparabel breitere Parabel muss \(0<a<1\) gelten. Zum Beispiel ist \(g(x)=0{,}5(x+2)^2-4\) möglich. 3. Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt. Daher ist \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-4\}\). 4. Nach dem Vorzeichenwechsel von \(a\) bleibt der Scheitelpunkt erhalten, die Parabel öffnet sich aber nach unten. Dann ist \(W_{neu}=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le-4\}\).

a) Zum Beispiel \(g(x)=0{,}5(x+2)^2-4\); allgemein ist jedes \(a\) mit \(0<a<1\) möglich. b) \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-4\}\) c) Nach dem Vorzeichenwechsel von \(a\) ist \(W_{neu}=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le-4\}\), weil der Scheitelpunkt nun der höchste statt der tiefste Punkt ist.

- Welche Angaben sind bei beiden Scheitelpunktformen gleich? - Was ändert sich, wenn nur der Betrag von \(a\) größer wird? - Vergleiche einen Punkt mit gleichem horizontalen Abstand vom Scheitelpunkt.

1. Beide Funktionen haben die Form \(a(x - x_S)^2 + y_S\) mit \(x_S = -2\) und \(y_S = -1\). Somit haben beide den identischen Scheitelpunkt \(S(-2 \mid -1)\). Da die Symmetrieachse durch den \(x\)-Wert des Scheitelpunkts verläuft, haben beide die Symmetrieachse \(x = -2\). 2. Da bei beiden \(a > 0\) gilt (\(0{,}5\) bzw. \(3\)), sind beide Parabeln nach oben geöffnet. Eine nach oben geöffnete Parabel fällt links vom Scheitelpunkt. Beide Funktionen sind also für \(x \leq -2\), also auf dem Intervall \((-\infty; -2]\) streng monoton fallend. 3. Punktprobe für \(f(0)\): \(f(0) = 0{,}5(0 + 2)^2 - 1 = 0{,}5 \cdot 4 - 1 = 2 - 1 = 1\). Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt auf dem Graphen von \(f\). 4. Punktprobe für \(h(0)\): \(h(0) = 3(0 + 2)^2 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11\). Da \(11 \neq 1\), liegt der Punkt \(P\) nicht auf dem Graphen von \(h\).

a) Beide Graphen haben denselben Scheitelpunkt \(S(-2 \mid -1)\) und dieselbe Symmetrieachse \(x = -2\). b) Für \(x \le -2\) (bzw. im Intervall \((-\infty; -2]\)). c) Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt nur auf dem Graphen von \(f\), da \(f(0) = 1\), aber \(h(0) = 11\).

- Welche Angaben kannst du direkt aus beiden Scheitelpunktformen ablesen? - Welche Größe im Term ändert sich, wenn nur \(c\) verändert wird? - Wann berührt eine nach oben geöffnete Parabel die \(x\)-Achse in genau einem Punkt?

1. Aus den Scheitelpunktformen liest man \(S_f(3\mid-4)\) und \(S_{g_c}(3\mid c-9)\) ab. 2. Der Parameter \(c\) verändert nur die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts. Wird \(c\) um \(1\) erhöht, verschiebt sich der gesamte Graph um \(1\) Einheit nach oben; die Form und die Symmetrieachse \(x=3\) bleiben gleich. 3. Genau eine Nullstelle liegt vor, wenn der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Parabel auf der \(x\)-Achse liegt. Daher muss \(c-9=0\) gelten. Somit ist \(c=9\).

a) \(S_f(3\mid-4)\) und \(S_{g_c}(3\mid c-9)\) b) \(c\) verschiebt den Graphen nur nach oben oder unten; eine Erhöhung von \(c\) um \(1\) verschiebt ihn um \(1\) Einheit nach oben. c) \(c=9\), weil dann der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt.

- Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert? - Wie verändert sich der Term einer Funktion, wenn man den gesamten Graphen entlang der vertikalen Achse bewegt? - Kannst du die Verschiebung zuerst allgemein als \(f(x) + d\) aufschreiben?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt: \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\). 2. Eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach unten verändert den Funktionsterm zu \(g(x) = f(x) - 4\). 3. Einsetzen und Vereinfachen: \(g(x) = -2x^2 + 8x - 6 - 4 = -2x^2 + 8x - 10\). 4. Die neue Gleichung für die Nullstellen lautet somit \(-2x^2 + 8x - 10 = 0\).

a) \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\) b) \(-2x^2 + 8x - 10 = 0\)

- Wie hängen die Vorzeichen in der Klammer der Scheitelpunktform mit der Verschiebung auf der \(x\)-Achse zusammen? - Was bedeutet es für die Anzahl der Nullstellen, wenn der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel über der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Nullstellen finden, indem du die Gleichung nach der Klammer auflöst?

1. Den Scheitelpunkt direkt aus der Form \(f(x) = (x-x_S)^2+y_S\) ablesen: \(S(-3\mid-4)\). 2. Zur Berechnung der Nullstellen den Ansatz \(f(x) = 0\) nutzen: \((x+3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4\). Durch Wurzelziehen ergibt sich \(x+3 = 2\) oder \(x+3 = -2\), woraus die Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -5\) folgen. 3. Für die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts den \(x\)-Wert des Scheitelpunkts um \(2\) erhöhen (\(-3 + 2 = -1\)) und für die Verschiebung um \(6\) Einheiten nach oben den \(y\)-Wert um \(6\) erhöhen (\(-4 + 6 = 2\)). Der neue Scheitelpunkt ist \(S'(-1\mid2)\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = (x+1)^2 + 2\). 4. Da der Scheitelpunkt \(S'(-1\mid2)\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S = 2 > 0\)) und die Parabel nach oben geöffnet ist (positiver Vorfaktor \(1\)), besitzt die Funktion \(g\) keine Nullstellen.

a) Scheitelpunkt \(S(-3\mid-4)\); Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -5\). b) \(g(x) = (x+1)^2 + 2\). c) Keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Welche Angaben kannst du direkt aus der Scheitelpunktform von \(f\) ablesen? - Wie verändert \(h_k(x)=f(x)+k\) die Höhe des Scheitelpunkts? - Wo muss der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel liegen, damit sie die \(x\)-Achse zweimal, einmal oder gar nicht schneidet?

1. Aus der Scheitelpunktform liest man \(S_f(-3\mid-4)\) ab. Die Parabel ist nach oben geöffnet. 2. Für \(h_k\) gilt \(h_k(x)=(x+3)^2-4+k\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_{h_k}(-3\mid-4+k)\). 3. Zwei Nullstellen liegen vor, wenn der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt: \(-4+k<0\), also \(k<4\). 4. Genau eine Nullstelle liegt vor, wenn der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt: \(k=4\). 5. Keine Nullstellen liegen vor, wenn der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt: \(k>4\).

a) \(S_f(-3\mid-4)\); nach oben geöffnet. b) 1. \(k<4\) 2. \(k=4\) 3. \(k>4\)

- Vergleiche Abstand und Mittelpunkt der ursprünglichen und der neuen Nullstellen. - Was bleibt unverändert, wenn zwei Nullstellenpaare denselben Abstand haben und die Parabel nur verschoben wird? - Welche Verschiebung bringt den Scheitelpunkt \(S(4\mid-4)\) in den Ursprung?

1. Die ursprünglichen Nullstellen \(2\) und \(6\) haben den Abstand \(4\); die Zielnullstellen \(0\) und \(4\) ebenfalls. Daher bleibt die Form unverändert und es genügt eine horizontale Verschiebung. 2. Die Mitte der ursprünglichen Nullstellen liegt bei \(x=4\), die Mitte der neuen bei \(x=2\). Der Graph wird also um \(2\) Einheiten nach links und um \(0\) Einheiten in \(y\)-Richtung verschoben. Damit ist \(g(x)=(x-2)^2-4=x^2-4x\). 3. Um den Scheitelpunkt \(S(4\mid-4)\) in den Ursprung zu verschieben, muss der Graph um \(4\) Einheiten nach links und um \(4\) Einheiten nach oben verschoben werden. Die verschobene Parabel hat dann die Gleichung \(y=x^2\).

a) \(2\) Einheiten nach links, keine vertikale Verschiebung; \(g(x)=(x-2)^2-4\). b) \(4\) Einheiten nach links und \(4\) Einheiten nach oben.

- Wie gehst du vor, wenn ein Punkt gegeben ist und du einen Parameter in der Gleichung suchst? - Was ist der Unterschied zwischen einer Stelle und einem Funktionswert? - Denke daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = c\) zwei Lösungen haben kann.

1. Berechnung von \(a\) durch Einsetzen von \(P\): \(-5 = a \cdot (-5)^2 \Rightarrow -5 = 25a \Rightarrow a = -0{,}2\). 2. Berechnung des Funktionswerts: \(f(3) = -0{,}2 \cdot 3^2 = -0{,}2 \cdot 9 = -1{,}8\). 3. Bestimmung der Stellen für \(y = -10\): \(-10 = -0{,}2x^2 \Rightarrow x^2 = 50\). 4. Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x_1 = \sqrt{50} \approx 7{,}07\) und \(x_2 = -\sqrt{50} \approx -7{,}07\).

a) \(a = -0{,}2\) b) \(f(3) = -1{,}8\) c) \(x_1 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\) und \(x_2 = -\sqrt{50} = -5\sqrt{2} \approx -7{,}07\)

- Welcher Bereich für \(a\) macht die Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel? - Welche Vorzeichen haben die Koordinaten eines Punktes im zweiten Quadranten? - Prüfe deine Wahl am Ende mit \(f(0)=1\).

1. Für eine nach unten geöffnete, breitere Parabel muss \(-1<a<0\) gelten. Wir wählen zum Beispiel \(a=-0{,}5\). 2. Im zweiten Quadranten gilt \(x_S<0\) und \(y_S>0\). Wir wählen \(S(-2\mid3)\). 3. Damit ist \(f(x)=-0{,}5(x+2)^2+3\). Kontrolle an der \(y\)-Achse: \(f(0)=-0{,}5\cdot4+3=1\). Alle drei Bedingungen sind erfüllt.

Ein mögliches Beispiel ist \(f(x)=-0{,}5(x+2)^2+3\). Dann ist die Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel, der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2\mid3)\) und \(f(0)=1\).

- Wie verändert sich das Vorzeichen von \(a\), wenn die Parabel gespiegelt wird? - Was bewirkt eine Verschiebung nach links in der Klammer der Scheitelpunktform? - Stell dir vor, wo der Scheitelpunkt liegt und in welche Richtung die „Arme“ der Parabel gehen.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse bedeutet \(a = -1\). 2. Verschiebung um \(5\) nach links bedeutet \(x_S = -5\). In der Formel steht dann \((x - (-5))\), also \((x+5)\). 3. Verschiebung um \(3\) nach oben bedeutet \(y_S = 3\). 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = -(x+5)^2 + 3\). 5. Nullstellen: Da die Parabel nach unten geöffnet ist (\(a = -1\)) und ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S = 3\)), muss der Graph die \(x\)-Achse zweimal schneiden. Es existieren also zwei Nullstellen.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x+5)^2 + 3\). Die Funktion besitzt zwei Nullstellen, da die Parabel nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

- Führe die beschriebenen Schritte nacheinander am Funktionsterm durch. - Achte darauf, ob eine Streckung auf die bereits verschobene Funktion angewendet wird (Klammersetzung!). - Prüfe durch Ausmultiplizieren, ob verschiedene Beschreibungen zum selben Ziel führen können.

1. Untersuchung von Lukas' Vorgehen: Streckung von \(x^2\) mit Faktor 3 ergibt \(3x^2\). Anschließende Verschiebung um 12 nach unten ergibt \(3x^2 - 12\). Dies entspricht \(f(x)\). 2. Untersuchung von Annas Vorgehen: Verschiebung von \(x^2\) um 4 nach unten ergibt \(x^2 - 4\). Die anschließende Streckung des gesamten Graphen mit Faktor 3 bedeutet, dass der gesamte Term multipliziert wird: \(3(x^2 - 4)\). 3. Ausmultiplizieren des Terms von Anna: \(3 \cdot x^2 - 3 \cdot 4 = 3x^2 - 12\). Dies entspricht ebenfalls \(f(x)\). 4. Ergebnis: Beide haben recht, da beide Wege zur korrekten Funktionsgleichung führen.

Beide haben recht. Lukas: \(x^2 \xrightarrow{\text{Streckung}} 3x^2 \xrightarrow{\text{Verschiebung}} 3x^2 - 12\). Anna: \(x^2 \xrightarrow{\text{Verschiebung}} x^2 - 4 \xrightarrow{\text{Streckung}} 3(x^2 - 4) = 3x^2 - 12\).

- Was passiert mathematisch mit dem Term, wenn du einen Graphen an der \(x\)-Achse spiegelst? - Überlege dir, ob das Vorzeichen der Verschiebung durch eine spätere Spiegelung beeinflusst wird. - Notiere dir nach jedem Teilschritt die neue Funktionsgleichung.

1. Analyse von Beschreibung 1: Schritt 1 ergibt \(2x^2\). Schritt 2 ergibt \(2x^2 + 6\). Schritt 3 (Spiegelung des gesamten Graphen) ergibt \(-(2x^2 + 6) = -2x^2 - 6\). Dies ist ungleich \(k(x)\). 2. Analyse von Beschreibung 2: Schritt 1 ergibt \(-x^2\). Schritt 2 ergibt \(-2x^2\). Schritt 3 ergibt \(-2x^2 + 6\). Dies entspricht exakt \(k(x)\). 3. Ergebnis: Nur Beschreibung 2 ist korrekt.

Nur Beschreibung 2 ist korrekt. Bei Beschreibung 1 würde die Spiegelung am Ende auch die Verschiebung umkehren, was zu \(y = -2x^2 - 6\) führen würde.

- Achte auf die Zahl vor dem Quadrat bzw. vor der Klammer: Was sagt sie über die Breite der Parabel aus? - Wann ist eine Parabel „gestreckt“ und wann „gestaucht“? - Wie erkennst du an der Funktionsgleichung, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist? - Der Scheitelpunkt gibt dir direkt den höchsten oder tiefsten Punkt an. Wie liest du ihn aus der Form ab?

1. Analyse von \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\): Der Streckfaktor \(a = 0{,}5\) ist positiv und erfüllt \(0 < |a| < 1\), daher ist die Parabel nach oben geöffnet und gestaucht (breiter als die Normalparabel). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0\mid-2)\). Da sie nach oben geöffnet ist, hat sie ein Minimum bei \(y = -2\) an der Stelle \(x = 0\). 2. Analyse von \(g(x) = -2(x - 3)^2 + 4\): Der Streckfaktor \(a = -2\) ist negativ und erfüllt \(|a| > 1\), daher ist die Parabel nach unten geöffnet (an der \(x\)-Achse gespiegelt) und gestreckt (schmaler als die Normalparabel). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3\mid4)\). Da sie nach unten geöffnet ist, hat sie ein Maximum bei \(y = 4\) an der Stelle \(x = 3\).

1. \(f(x)\): nach oben geöffnet, gestaucht; \(g(x)\): nach unten geöffnet, gestreckt. 2. \(f(x)\): Minimum bei \((0\mid-2)\); \(g(x)\): Maximum bei \((3\mid4)\).

- Wie kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt in eine Funktionsgleichung übersetzen? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert? - Wenn ein Funktionswert gegeben ist, für welche Variable in der Gleichung setzt du diesen ein? - Denke daran, dass beim Ziehen einer Quadratwurzel oft zwei Lösungen entstehen können.

1. Beschreibung der Verschiebung: Der Scheitelpunkt wurde vom Ursprung \((0 \mid 0)\) zum Punkt \(S(2 \mid -9)\) bewegt, was einer Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 9 Einheiten nach unten entspricht. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung und Berechnung der Nullstellen: \(g(x) = (x - 2)^2 - 9\). Aus \(g(x) = 0\) folgt \((x - 2)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 9 \Rightarrow x - 2 = \pm 3\). Daraus folgen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). 3. Berechnung der \(x\)-Koordinaten für den Funktionswert 7: \(g(x) = 7 \Rightarrow (x - 2)^2 - 9 = 7 \Rightarrow (x - 2)^2 = 16 \Rightarrow x - 2 = \pm 4\). Daraus folgen \(x = 6\) und \(x = -2\).

1) Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 9 Einheiten nach unten. 2) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). 3) Die gesuchten \(x\)-Koordinaten sind \(x = 6\) und \(x = -2\).

- Wie ändert sich das Vorzeichen vor dem Hauptterm, wenn ein Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wird? - Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die vertikale Linie, an der die Parabel gespiegelt werden kann? - Stelle dir den Verlauf einer nach unten geöffneten Parabel vor: Wo geht es „bergauf“ und wo „bergab“? - Hat die vertikale Verschiebung oder die Spiegelung einen Einfluss auf die Links-Rechts-Position des Scheitelpunktes?

1. Aufstellen der Gleichung für \(p_2\): Die Spiegelung von \(y = 2(x + 4)^2\) an der \(x\)-Achse kehrt das Vorzeichen des Streckfaktors um, also \(y = -2(x + 4)^2\). Die anschließende Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben ergibt \(y = -2(x + 4)^2 + 3\). 2. Bestimmung der Symmetrieachse: Die Symmetrieachse einer Parabel in Scheitelpunktform verläuft vertikal durch die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes. Für beide Gleichungen ist \(x_S = -4\), also lautet die Symmetrieachse \(x = -4\). 3. Analyse der Monotonie von \(p_2\): Da der Streckfaktor \(a = -2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Graph steigt links vom Scheitelpunkt bis zum Maximum an und fällt danach ab. Somit ist die Funktion für \(x \le -4\) monoton steigend und für \(x \ge -4\) monoton fallend.

a) \(y = -2(x + 4)^2 + 3\) b) Die Symmetrieachse ist für beide Parabeln \(x = -4\). c) Der Graph von \(p_2\) ist monoton steigend für \(x \in (-\infty; -4]\) und monoton fallend für \(x \in [-4; \infty)\).

- Vergleiche die Scheitelpunktkoordinaten \(x_S\) und \(y_S\) in beiden Gleichungen. - Was bewirkt ein Faktor, dessen Betrag größer als 1 ist, im Vergleich zu einem Faktor zwischen 0 und 1? - Wie findest du den Punkt auf der \(y\)-Achse? Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte dort? - Überlege dir, welches Vorzeichen ein Ergebnis einer Quadrierung immer hat. Welchen Einfluss hat dann das Vorzeichen des Faktors \(a\) davor?

1. Beide Funktionsgleichungen haben die Form \(a(x-x_S)^2+y_S\) mit \(x_S=1\) und \(y_S=0\). Somit haben beide Parabeln denselben Scheitelpunkt \(S(1\mid0)\), der auf der \(x\)-Achse liegt. 2. Für \(f(x)\) ist \(|a| = 2 > 1\), die Parabel ist also gestreckt (schmaler) als die Normalparabel und wegen \(a > 0\) nach oben geöffnet. Für \(g(x)\) ist \(|a| = 0{,}5 < 1\), die Parabel ist also gestaucht (breiter) und wegen \(a < 0\) nach unten geöffnet. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): Für \(f\): \(f(0) = 2(0-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2 \implies S_{y,f}(0\mid2)\). Für \(g\): \(g(0) = -0{,}5(0-1)^2 = -0{,}5 \cdot 1 = -0{,}5 \implies S_{y,g}(0\mid-0{,}5)\). 4. Das Quadrat \((x - 1)^2\) ist für jede reelle Zahl \(x\) nichtnegativ. Da der Vorfaktor bei \(f\) positiv (\(2\)) und bei \(g\) negativ (\(-0{,}5\)) ist, liefert \(f(x)\) für alle \(x \neq 1\) positive Werte und \(g(x)\) negative Werte. Daher ist \(f(100)\) positiv.

1. Beide haben den Scheitelpunkt \(S(1\mid0)\). 2. \(f\) ist gestreckt und nach oben geöffnet; \(g\) ist gestaucht und nach unten geöffnet. 3. \(S_{y,f}(0\mid2)\) und \(S_{y,g}(0\mid-0{,}5)\). 4. Die Funktion \(f\), da der Faktor \(a = 2\) positiv ist und \((100 - 1)^2 > 0\) gilt.

- Wie weit muss man von der ersten \(x\)-Koordinate zur zweiten \(x\)-Koordinate wandern? - Überlege dir, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. - Wo liegt der tiefste Punkt der Parabel im Vergleich zur \(x\)-Achse? - Wenn eine Parabel nach oben offen ist und ihr tiefster Punkt über der \(x\)-Achse liegt, kann sie die Achse dann berühren?

1. Bestimmung des ursprünglichen Scheitelpunktes: Aus \(y = (x + 2)^2 - 1\) folgt \(S_1(-2 | -1)\). 2. Berechnung der Verschiebung zum neuen Scheitelpunkt \(S_2(3 | 4)\): In \(x\)-Richtung: \(3 - (-2) = 5\) Einheiten nach rechts. In \(y\)-Richtung: \(4 - (-1) = 5\) Einheiten nach oben. 3. Aufstellen der neuen Funktionsgleichung: Mit \(S_2(3 | 4)\) und gleichbleibender Form (\(a = 1\)) lautet die Gleichung \(p_2: y = (x - 3)^2 + 4\). 4. Analyse der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Beide Parabeln sind nach oben geöffnet (\(a = 1 > 0\)). 5. Prüfung von \(p_1\): Der Scheitelpunkt \(S_1(-2 | -1)\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse. Da sie nach oben geöffnet ist, muss sie die \(x\)-Achse zweimal schneiden. 6. Prüfung von \(p_2\): Der Scheitelpunkt \(S_2(3 | 4)\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Da sie nach oben geöffnet ist, entfernt sie sich von der \(x\)-Achse und hat somit keine Schnittpunkte.

a) Verschiebung um \(5\) Einheiten nach rechts und \(5\) Einheiten nach oben; Gleichung \(p_2: y = (x - 3)^2 + 4\). b) Nur \(p_1\) schneidet die \(x\)-Achse, da ihr Scheitelpunkt unterhalb der Achse liegt und sie nach oben geöffnet ist. \(p_2\) liegt komplett oberhalb der \(x\)-Achse.

- Wie wirkt sich eine Verschiebung in \(x\)-Richtung auf den Ausdruck in der Klammer aus? - Wie erhältst du aus der Scheitelpunktform die allgemeine Form? - Was sagt die Lage des tiefsten Punkts einer nach oben geöffneten Parabel über ihre Nullstellen aus?

1. Für \(G_1\) lautet die Scheitelpunktform \(y=(x-3)^2-4\). Durch Ausmultiplizieren erhält man die allgemeine Form \(y=x^2-6x+5\). 2. Der Scheitelpunkt \(S(-2\mid1)\) von \(G_2\) entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach oben. 3. Damit gilt zunächst \(y=(x+2)^2+1\) und nach dem Ausmultiplizieren \(y=x^2+4x+5\). 4. \(G_1\) hat ihren tiefsten Punkt bei \(y=-4\) und ist nach oben geöffnet, also besitzt sie zwei Nullstellen. \(G_2\) hat ihren tiefsten Punkt bei \(y=1\) und ist nach oben geöffnet, also besitzt sie keine Nullstellen.

a) \(y=x^2-6x+5\) b) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach oben; \(y=x^2+4x+5\) c) \(G_1\) hat zwei Nullstellen, weil sein Scheitelpunkt \(S(3\mid-4)\) unter der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. \(G_2\) hat keine Nullstellen, weil \(S(-2\mid1)\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Was sagt das Vorzeichen vor dem quadratischen Term über die Öffnung der Parabel aus? - Wie prüft man, ob ein Punkt die Gleichung einer Funktion erfüllt? - Vergleiche die Lage des Scheitelpunktes mit dem Ursprung.

1. Nullstellenberechnung durch \(0 = -x^2 + 4\). Dies führt zu \(x^2 = 4\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) folgen. Die Nullstellen liegen bei \((2 \mid 0)\) und \((-2 \mid 0)\). 2. Da der Koeffizient vor \(x^2\) negativ ist (\(a = -1\)), ist die Parabel nach unten geöffnet. Sie besitzt daher ein Maximum. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid 4)\), das Maximum ist also \(y = 4\). 3. Punktprobe durch Einsetzen von \(x = 1{,}5\): \(g(1{,}5) = -(1{,}5)^2 + 4 = -2{,}25 + 4 = 1{,}75\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(P\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen. 4. Der Graph entsteht durch Spiegelung der Normalparabel an der \(x\)-Achse (wegen \(-x^2\)) und anschließende Verschiebung um 4 Einheiten nach oben entlang der \(y\)-Achse.

1. Nullstellen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. Maximum bei \(y = 4\), da die Parabel nach unten geöffnet ist. 3. Ja, der Punkt liegt auf dem Graphen, da \(g(1{,}5) = 1{,}75\). 4. Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um 4 Einheiten nach oben.

- Wie lässt sich der vertikale Abstand zwischen zwei Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle mathematisch ausdrücken? - Wenn du den Funktionswert der Normalparabel an der Stelle \(x = 5\) kennst, wie groß muss dann der Funktionswert der gestreckten Parabel sein? - Nutze den gefundenen Streckfaktor, um die \(y\)-Werte für die neue Position zu bestimmen.

1. Berechnung des Funktionswertes der Normalparabel an der Stelle \(x = 5\): \(f(5) = 5^2 = 25\). 2. Bestimmung des Funktionswertes von \(g\) an der Stelle \(x = 5\): Da der Abstand \(50\) beträgt und \(g\) oberhalb liegt, gilt \(g(5) = f(5) + 50 = 25 + 50 = 75\). 3. Berechnung von \(a\): Setze \(g(5) = 75\) in \(g(x) = ax^2\) ein: \(75 = a \cdot 5^2 \Rightarrow 75 = 25a \Rightarrow a = 3\). 4. Berechnung der Funktionswerte an der Stelle \(x = 10\): \(f(10) = 10^2 = 100\) und \(g(10) = 3 \cdot 10^2 = 300\). 5. Berechnung des Abstands an der Stelle \(x = 10\): \(300 - 100 = 200\).

a) \(a = 3\) b) Der Abstand an der Stelle \(x = 10\) beträgt \(200\) Längeneinheiten.

- Wie kannst du die Scheitelpunkte direkt aus den Funktionsgleichungen ablesen? - Überlege dir, wie viele Schritte du vom ersten Scheitelpunkt gehen musst, um zum zweiten zu gelangen. - Was gilt für den \(x\)-Wert an jedem Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Identifikation der Scheitelpunkte: Aus \(f(x) = (x-2)^2 + 3\) folgt \(S_f(2 | 3)\). Aus \(h(x) = (x+3)^2 - 1\) folgt \(S_h(-3 | -1)\). 2. Berechnung der Verschiebung: Um von \(S_f\) zu \(S_h\) zu gelangen, berechnet man die Differenz der Koordinaten. In \(x\)-Richtung: \(-3 - 2 = -5\) (also \(5\) Einheiten nach links). In \(y\)-Richtung: \(-1 - 3 = -4\) (also \(4\) Einheiten nach unten). 3. Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): Für \(f\): \(f(0) = (0-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7\). Schnittpunkt \(S_{y,f}(0 | 7)\). Für \(h\): \(h(0) = (0+3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8\). Schnittpunkt \(S_{y,h}(0 | 8)\). 4. Vergleich: Da \(8 > 7\), schneidet der Graph von \(h\) die \(y\)-Achse weiter oben.

a) Verschiebung um \(5\) Einheiten nach links und \(4\) Einheiten nach unten. b) Die Schnittpunkte sind \(S_{y,f}(0 | 7)\) und \(S_{y,h}(0 | 8)\). Die Parabel \(h\) schneidet die \(y\)-Achse weiter oben.

- Welche Funktionsform ist besonders geeignet, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Wie kannst du den zusätzlichen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Faktor zu bestimmen? - Was verrät der Betrag von \(a\) über die Breite der Parabel? - Wie liest du horizontale und vertikale Verschiebungen aus der Scheitelpunktform ab?

1. Mit dem Scheitelpunkt gilt \(p_2(x)=a(x-2)^2-3\). 2. Einsetzen von \(P(4\mid5)\) ergibt \(5=a(4-2)^2-3\), also \(8=4a\) und damit \(a=2\). 3. Somit lautet die Funktionsgleichung \(p_2(x)=2(x-2)^2-3\). 4. Der Faktor \(a=2\) macht die Parabel schmaler als die Normalparabel. Der Ausdruck \((x-2)\) bedeutet eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts; \(-3\) bedeutet eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten.

a) \(a=2\); \(p_2(x)=2(x-2)^2-3\) b) Schmaler als die Normalparabel, um \(2\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

- Trenne die Funktionen zunächst nach dem Vorzeichen des Faktors vor \(x^2\). - Vergleiche anschließend innerhalb jeder Öffnungsrichtung die Breite der beiden Graphen. - Welche Rolle spielt der Betrag \(|a|\) für die Breite?

1. Die positiven Faktoren gehören zu den nach oben geöffneten Graphen \(p\) und \(q\). Von diesen ist \(p\) schmaler. Deshalb gehört \(f_2(x)=1{,}5x^2\) zu \(p\) und \(f_4(x)=0{,}25x^2\) zu \(q\). 2. Die negativen Faktoren gehören zu den nach unten geöffneten Graphen \(r\) und \(s\). Von diesen ist \(s\) schmaler. Deshalb gehört \(f_3(x)=-2x^2\) zu \(s\) und \(f_1(x)=-0{,}5x^2\) zu \(r\). 3. Entscheidend sind damit das Vorzeichen und der Betrag von \(a\), nicht die Reihenfolge der Funktionsnamen.

a) \(f_1\rightarrow r\), \(f_2\rightarrow p\), \(f_3\rightarrow s\), \(f_4\rightarrow q\) b) Das Vorzeichen von \(a\) bestimmt die Öffnungsrichtung. Bei gleichem Vorzeichen ist die Parabel für den größeren Betrag \(|a|\) schmaler.

- Bestimme zuerst die Koordinaten des höchsten oder tiefsten Punktes (des Scheitelpunkts) des Graphen. - Wie weit ist dieser Scheitelpunkt im Vergleich zum Ursprung \((0 \mid 0)\) verschoben? - Schaue dir die Öffnungsrichtung der Parabel an. Was bedeutet das für das Vorzeichen des Faktors vor der Klammer? - Gehe vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts. Wie weit musst du nach oben oder unten gehen, um wieder auf dem Graphen zu landen? Vergleiche dies mit der Normalparabel. - Nutze die allgemeine Scheitelpunktform \(g(x) = a(x - d)^2 + e\), um die abgelesenen Werte einzusetzen.

1. Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt \(S\) des Graphen liegt bei \(S(2 \mid 3)\). 2. Verschiebung bestimmen: Der Graph ist im Vergleich zur Normalparabel um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Spiegelung und Streckung/Stauchung bestimmen: - Da die Parabel nach unten geöffnet ist, wurde sie an der \(x\)-Achse gespiegelt (der Streckfaktor \(a\) ist negativ). - Vom Scheitelpunkt \(S(2 \mid 3)\) geht man \(1\) Einheit nach rechts und \(0{,}5\) Einheiten nach unten zu einem weiteren Punkt auf dem Graphen, beispielsweise \((3 \mid 2{,}5)\). Bei der Normalparabel würde man ausgehend vom Scheitelpunkt bei einem Schritt von \(1\) nach rechts um \(1\) nach oben gehen. Also ist der Streckfaktor \(a = -0{,}5\). Der Graph ist somit um den Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht und an der \(x\)-Achse gespiegelt. 4. Funktionsterm aufstellen: Mit dem Scheitelpunkt \(S(d \mid e) = S(2 \mid 3)\) und dem Streckfaktor \(a = -0{,}5\) lautet die Scheitelpunktform: \(g(x) = a(x - d)^2 + e = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\).

a) Spiegelung an der \(x\)-Achse und Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben. b) \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\)

- Da alle drei Graphen denselben Scheitelpunkt haben, welche sichtbare Eigenschaft unterscheidet sie? - Wie verändert ein größerer Betrag \(|a|\) die Breite einer Parabel? - Für b) setzt du den Funktionsterm mit \(a=1\) gleich \(0\).

1. Alle drei Parabeln sind nach oben geöffnet und haben denselben Scheitelpunkt \(S(0\mid-4)\). Deshalb entscheidet hier die Breite. 2. Graph \(k\) ist am schmalsten. Dazu gehört der größte Betrag \(|a|=2\), also \(a_2\). 3. Graph \(m\) hat die Breite der Normalparabel. Daher gehört \(a_3=1\) zu \(m\). 4. Graph \(n\) ist am breitesten. Daher gehört \(a_1=0{,}5\) zu \(n\). 5. Für \(a=1\) gilt \(x^2-4=0\), also \(x^2=4\). Damit sind die Nullstellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\); dies stimmt mit Graph \(m\) überein.

a) \(k\): \(a_2=2\); \(m\): \(a_3=1\); \(n\): \(a_1=0{,}5\). Der größere Betrag \(|a|\) gehört zum schmaleren Graphen. b) \(x_1=-2\) und \(x_2=2\); der zugehörige Graph ist \(m\).

- Vergleiche die Positionen der tiefsten bzw. höchsten Punkte der beiden Graphen. - Überlege, ob der Graph von \(g\) im Vergleich zur Normalparabel „schmaler“ oder „breiter“ verläuft und in welche Richtung er geöffnet ist. - Wenn du vom Scheitelpunkt genau eine Einheit nach rechts gehst, gibt dir der vertikale Abstand zum Graphen direkt den Wert des Parameters \(a\) an. - Um von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form zu gelangen, musst du die binomische Formel anwenden und anschließend die Klammer auflösen.

1. Analyse der Transformationen: Der Graph von \(g\) ist nach unten geöffnet, was einer Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid 4)\), was eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(4\) Einheiten nach oben bedeutet. Geht man vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts (\(x=2\)), sinkt der Funktionswert um \(2\) Einheiten (\(y=2\)), woraus der Streckfaktor \(a = -2\) folgt. 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: Mit dem Streckfaktor \(a = -2\) und dem Scheitelpunkt \(S(1 \mid 4)\) lautet die Formel \(g(x) = -2(x - 1)^2 + 4\). 3. Umwandlung in die allgemeine Form: Durch Auflösen der Klammer mit der zweiten binomischen Formel erhält man \(g(x) = -2(x^2 - 2x + 1) + 4\). Ausmultipliziert ergibt dies \(g(x) = -2x^2 + 4x - 2 + 4\). Zusammengefasst lautet die allgemeine Form \(g(x) = -2x^2 + 4x + 2\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung mit dem Faktor \(2\), Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(4\) Einheiten nach oben. b) \(g(x) = -2(x - 1)^2 + 4\) c) \(g(x) = -2x^2 + 4x + 2\)

- Schau dir in Bild a) an, welchen \(y\)-Wert der Graph an der Stelle \(x=2\) hat, um den Streckfaktor zu finden. - Erinnere dich daran, dass eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse das Vorzeichen innerhalb der Klammer beeinflusst. - Der Scheitelpunkt lässt sich in jedem Bild direkt ablesen. Nutze ihn für die Scheitelpunktform. - Setze für den \(y\)-Achsenabschnitt den Wert \(x=0\) in deine Funktionsgleichung ein.

1. Bestimmung der Transformationen: In Bild a) wurde die Normalparabel mit dem Faktor \(0{,}25\) gestaucht, da der Punkt \((2 \mid 1)\) auf dem Graphen liegt. In Bild b) wurde dieser Graph um \(2\) Einheiten nach links verschoben. In Bild c) erfolgte eine zusätzliche Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten. 2. Aufstellen der Scheitelpunktformen: - Für Bild a) liegt der Scheitelpunkt bei \((0 \mid 0)\), also \(p_1(x) = 0{,}25x^2\). - Für Bild b) liegt der Scheitelpunkt bei \((-2 \mid 0)\), also \(p_2(x) = 0{,}25(x + 2)^2\). - Für Bild c) liegt der Scheitelpunkt bei \((-2 \mid -3)\), also \(p_3(x) = 0{,}25(x + 2)^2 - 3\). 3. Berechnungen für \(p_3\): - Der \(y\)-Achsenabschnitt wird durch \(p_3(0)\) berechnet: \(0{,}25 \cdot (0 + 2)^2 - 3 = 0{,}25 \cdot 4 - 3 = 1 - 3 = -2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -2)\). - Umwandlung in die allgemeine Form: \(p_3(x) = 0{,}25(x^2 + 4x + 4) - 3 = 0{,}25x^2 + x + 1 - 3 = 0{,}25x^2 + x - 2\).

1. a) Stauchung mit dem Faktor \(0{,}25\); b) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links; c) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten. 2. \(p_1(x) = 0{,}25x^2\); \(p_2(x) = 0{,}25(x + 2)^2\); \(p_3(x) = 0{,}25(x + 2)^2 - 3\) 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid -2)\). Die allgemeine Form lautet \(p_3(x) = 0{,}25x^2 + x - 2\).

- Welchen gut ablesbaren Punkt kannst du bei jedem Graphen in \(y=ax^2\) einsetzen? - Welche Rolle spielt der Betrag \(|a|\) für die Breite einer Parabel? - Wie löst du in Teil c) eine Gleichung, in der nur \(x^2\) vorkommt?

1. Für \(f\) kann der Punkt \(P_f(2\mid6)\) abgelesen werden. Einsetzen ergibt \(6=4a_f\), also \(a_f=1{,}5\). 2. Für \(g\) kann der Punkt \(P_g(2\mid2)\) abgelesen werden. Einsetzen ergibt \(2=4a_g\), also \(a_g=0{,}5\). 3. Da \(|a_f|=1{,}5>1\), ist der Graph von \(f\) im Vergleich zur Normalparabel gestreckt und damit schmaler. Da \(|a_g|=0{,}5<1\), ist der Graph von \(g\) gestaucht und damit breiter. 4. Für Teil c) gilt \(13{,}5=1{,}5x^2\). Daraus folgt \(x^2=9\), also \(x=3\) oder \(x=-3\).

a) \(a_f=1{,}5\); \(a_g=0{,}5\) b) \(f\) ist gestreckt, weil \(|a_f|>1\); \(g\) ist gestaucht, weil \(0<|a_g|<1\). c) \(x=3\) oder \(x=-3\)

- Notiere dir zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts für jede Parabel. - Erinnere dich daran, wie man die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Form \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) einsetzt. - Verwende den zweiten markierten Punkt, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Überprüfe am Ende, ob das Vorzeichen von \(a\) zur Öffnungsrichtung der Parabel passt.

1. Bestimmung von \(f\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_f(2 \mid 1)\). Der Ansatz in Scheitelpunktform lautet \(f(x) = a(x - 2)^2 + 1\). Durch Einsetzen des Punktes \(P(4 \mid 3)\) ergibt sich \(3 = a(4 - 2)^2 + 1\), also \(2 = 4a\), woraus \(a = 0{,}5\) folgt. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 + 1\). 2. Bestimmung von \(g\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_g(-3 \mid 6)\). Der Ansatz lautet \(g(x) = a(x + 3)^2 + 6\). Einsetzen von \(Q(-2 \mid 4)\) ergibt \(4 = a(-2 + 3)^2 + 6\), also \(-2 = a \cdot 1^2\), woraus \(a = -2\) folgt. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = -2(x + 3)^2 + 6\).

Die Funktionsgleichungen lauten: \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 + 1\) \(g(x) = -2(x + 3)^2 + 6\)

- Vergleiche die Öffnungsrichtung und Breite der drei Graphen. - Welche Information liefert die Lage des Scheitelpunkts auf der \(y\)-Achse über \(c\)? - Welche Kombination aus \(a\) und \(c\) passt jeweils gleichzeitig?

1. Graph \(f\) ist die Normalparabel mit Scheitelpunkt \((0\mid0)\). Das passt zu (2) mit \(a=1\) und \(c=0\). 2. Graph \(g\) ist nach oben geöffnet, schmaler als die Normalparabel und hat den Scheitelpunkt \((0\mid-3)\). Das passt zu (3) mit \(a=2\) und \(c=-3\). 3. Graph \(h\) ist nach unten geöffnet, breiter als die Normalparabel und hat den Scheitelpunkt \((0\mid2)\). Das passt zu (1) mit \(a=-0{,}5\) und \(c=2\).

\(f\rightarrow(2)\), weil \(a=1\) und \(c=0\). \(g\rightarrow(3)\), weil \(a=2\) die Parabel schmaler macht und \(c=-3\) gilt. \(h\rightarrow(1)\), weil \(a=-0{,}5\) eine nach unten geöffnete, breitere Parabel ergibt und \(c=2\) gilt.

- Lies den Scheitelpunkt \(S(x_S \mid y_S)\) direkt aus dem Koordinatensystem ab und setze ihn in die Scheitelpunktform ein. - Um den Streckfaktor \(a\) zu finden, schaue dir an, wie weit du vom Scheitelpunkt aus nach oben oder unten gehen musst, wenn du eine passende Strecke nach rechts gehst. - Die Normalparabel \(p(x)=x^2\) dient als Vergleich für Öffnungsrichtung und Breite. - Achte auf das Vorzeichen in \((x-x_S)^2\): Ist \(x_S\) negativ, steht in der Klammer ein Pluszeichen.

1. Bestimmung der Scheitelpunkte aus dem Graphen: \(S_f(0 \mid -5)\), \(S_g(-3 \mid 4)\), \(S_h(4 \mid 1)\). 2. Bestimmung der Streckfaktoren \(a\): - Bei \(f\) gelangt man vom Scheitelpunkt 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben zum nächsten Gitterpunkt \((1 \mid -3)\), also \(a=2\). - Bei \(g\) gelangt man vom Scheitelpunkt 1 Einheit nach rechts und 1 Einheit nach unten zu \((-2 \mid 3)\), also \(a=-1\). - Bei \(h\) gelangt man vom Scheitelpunkt 2 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben zu \((6 \mid 3)\). Mit der Punktprobe \(3=a\cdot(6-4)^2+1\) folgt \(2=4a\), also \(a=0{,}5\). 3. Aufstellen der Funktionsterme: - \(f(x)=2x^2-5\) - \(g(x)=-(x+3)^2+4\) - \(h(x)=0{,}5(x-4)^2+1\) 4. Erläuterung für \(g\): - \(a=-1\): Der Graph ist an der \(x\)-Achse gespiegelt und nach unten geöffnet; seine Breite entspricht der Normalparabel. - \(x_S=-3\): Der Scheitelpunkt liegt 3 Einheiten links vom Ursprung. - \(y_S=4\): Der Scheitelpunkt liegt 4 Einheiten über dem Ursprung.

a) \(f(x)=2x^2-5\); \(g(x)=-(x+3)^2+4\); \(h(x)=0{,}5(x-4)^2+1\) b) Für \(g\) gilt \(a=-1\), \(x_S=-3\) und \(y_S=4\). Daher ist die Parabel an der \(x\)-Achse gespiegelt, gleich breit wie die Normalparabel und hat den Scheitelpunkt \((-3\mid4)\).

- Notiere dir zuerst die Koordinaten der Scheitelpunkte. - Nutze die Scheitelpunktform als Startpunkt. - Wie kannst du den Streckfaktor bestimmen, wenn du einen weiteren Punkt auf der Parabel kennst?

1. Parabel \(p\): Der Scheitelpunkt ist \(S_p(2 \mid 3)\). Der Graph geht durch \(A(6 \mid -1)\). Einsetzen in den Ansatz \(y = a(x - 2)^2 + 3\) ergibt \(-1 = a(6 - 2)^2 + 3\), also \(-4 = 16a\) und \(a = -0{,}25\). Die Gleichung ist \(p(x) = -0{,}25(x - 2)^2 + 3\). 2. Parabel \(q\): Der Scheitelpunkt ist \(S_q(-2 \mid -4)\). Der Graph geht durch \((-1 \mid -1)\). Einsetzen in \(y = a(x + 2)^2 - 4\) ergibt \(-1 = a(-1 + 2)^2 - 4\), also \(3 = a\), somit \(a = 3\). Die Gleichung ist \(q(x) = 3(x + 2)^2 - 4\).

\(p(x) = -0{,}25(x - 2)^2 + 3\) \(q(x) = 3(x + 2)^2 - 4\)

- Notiere dir zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts für jede Parabel. - Überlege, wie du den Faktor \(a\) bestimmen kannst. Bei einer Normalparabel ist \(|a| = 1\). - Du kannst \(a\) bestimmen, indem du vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts gehst und schaust, wie viele Einheiten du nach oben oder unten gehen musst. - Alternativ kannst du einen beliebigen Punkt der Parabel in die Scheitelpunktform einsetzen und nach \(a\) auflösen.

1. Parabel \(p_1\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-3 \mid -4)\). Vom Scheitelpunkt aus geht man eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben zum Punkt \((-2 \mid -3)\). Da \(1^2 = 1\), ist der Streckfaktor \(a = 1\). Es handelt sich um eine verschobene Normalparabel. Gleichung: \(p_1(x) = (x + 3)^2 - 4\). 2. Parabel \(p_2\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2 \mid 2)\). Die Parabel ist nach unten geöffnet, also ist \(a < 0\). Ein weiterer Punkt ist \((0 \mid 0)\). Einsetzen in \(y = a(x - 2)^2 + 2\) ergibt: \(0 = a(0 - 2)^2 + 2 \Rightarrow 0 = 4a + 2 \Rightarrow -2 = 4a \Rightarrow a = -0{,}5\). Gleichung: \(p_2(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 2\). 3. Parabel \(p_3\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid -3)\). Die Parabel ist nach oben geöffnet. Ein weiterer Punkt ist \((1 \mid -1)\). Einsetzen in \(y = ax^2 - 3\) ergibt: \(-1 = a \cdot 1^2 - 3 \Rightarrow -1 = a - 3 \Rightarrow a = 2\). Gleichung: \(p_3(x) = 2x^2 - 3\).

Die Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform sind: \(p_1(x) = (x + 3)^2 - 4\) (verschobene Normalparabel) \(p_2(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 2\) \(p_3(x) = 2x^2 - 3\)

- Achte darauf, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Das bestimmt das Vorzeichen des Streckfaktors \(a\). - Vergleiche die Lage eines Punktes, zum Beispiel bei \(x=2\), mit dem entsprechenden Punkt der Normalparabel. - Ist \(|a|>1\), ist die Parabel schmaler als die Normalparabel; bei \(0<|a|<1\) ist sie breiter.

1. Die Öffnungsrichtung prüfen: Der Graph ist nach unten geöffnet, was einer Spiegelung der Normalparabel an der \(x\)-Achse entspricht. 2. Einen Punkt ablesen, um den Streckfaktor zu bestimmen: Der Scheitelpunkt liegt im Ursprung \((0 \mid 0)\). Ein weiterer gut ablesbarer Punkt auf dem Graphen ist \(P(2 \mid -6)\). 3. Den Streckfaktor \(a\) berechnen: Einsetzen der Koordinaten von \(P\) in den Ansatz \(g(x)=ax^2\) ergibt \(-6=a\cdot2^2\Rightarrow -6=4a\Rightarrow a=-1{,}5\). 4. Die Transformationen benennen: Da \(|a|=1{,}5>1\), liegt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\) vor. Zusammen mit der Spiegelung ergibt sich der Streckfaktor \(a=-1{,}5\). 5. Funktionsterm aufstellen: \(g(x)=-1{,}5x^2\).

Der Graph entsteht durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\). Der Funktionsterm lautet \(g(x)=-1{,}5x^2\).

- Was bedeutet die Information „Normalparabel“ für die Funktionsgleichung? - Wo liegen die Scheitelpunkte der einzelnen Graphen? - Überlege, wie du die Koordinaten der Scheitelpunkte in eine Formel mit einem Parameter \(t\) fassen kannst.

1. Scheitelpunkte bestimmen: Die Scheitelpunkte der Parabeln liegen alle auf der Geraden \(y = 1\). Sie befinden sich bei den \(x\)-Werten \(-3\), \(-1\), \(1\) und \(3\). 2. Scheitelpunktform nutzen: Da es sich um Normalparabeln handelt, ist der Streckfaktor \(a = 1\). Die Scheitelpunktform lautet \(y = (x - x_S)^2 + y_S\). 3. Einsetzen: Mit \(y_S = 1\) und dem variablen Parameter \(t\) für die horizontale Position \(x_S\) ergibt sich \(h_t(x) = (x - t)^2 + 1\). 4. Parameterwerte: Die gezeichneten Graphen entsprechen \(t \in \{-3; -1; 1; 3\}\).

\(h_t(x) = (x - t)^2 + 1\)

- Was folgt aus \(P(0\mid3)\) für \(c\)? - Setze danach \(Q(4\mid3)\) ein und bestimme \(b\) in Abhängigkeit von \(a\). - Wo liegt die Mitte zwischen zwei gleich hohen Punkten bei \(x=0\) und \(x=4\)? - Setze diese x-Stelle in deinen allgemeinen Term ein und vergleiche anschließend mit der Abbildung.

1. Aus \(P(0\mid3)\) folgt \(c=3\). Aus \(Q(4\mid3)\) folgt \(3=16a+4b+3\), also \(b=-4a\). Damit ist \(f_a(x)=ax^2-4ax+3\). 2. Mit \(R(2\mid5)\): \(5=4a-8a+3\). Daraus folgt \(-4a=2\) und \(a=-0{,}5\). 3. \(P\) und \(Q\) haben denselben Funktionswert und liegen bei \(x=0\) und \(x=4\). Die Symmetrieachse liegt in der Mitte bei \(x=2\). Dort ist \(f_a(2)=4a-8a+3=3-4a\). Wenn \(a\) größer wird, wird \(3-4a\) kleiner. In der Abbildung liegen die Scheitelpunkte der Beispiele entsprechend unterschiedlich hoch auf der Geraden \(x=2\).

a) \(f_a(x)=ax^2-4ax+3\). b) \(a=-0{,}5\). c) Symmetrieachse \(x=2\); Scheitelpunkthöhe \(y_S=3-4a\). Mit wachsendem \(a\) wird \(y_S\) kleiner; die Abbildung bestätigt diese Richtung.

- Wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt, muss er die Funktionsgleichung erfüllen. - Beachte, dass beim Lösen der Gleichung nach \(d\) durch Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können. - Welcher Wert für \(d\) passt zu mehreren der angegebenen Punkte?

1. Bestimmung von \(d\) durch Einsetzen in \(y = (x+d)^2\), woraus folgt \(x+d = \sqrt{y}\) oder \(x+d = -\sqrt{y}\). Für \(A(-3|4)\): \(-3+d = 2 \Rightarrow d=5\) oder \(-3+d = -2 \Rightarrow d=1\). Für \(B(0|1)\): \(0+d = 1 \Rightarrow d=1\) oder \(0+d = -1 \Rightarrow d=-1\). Da \(d=1\) bei beiden möglich ist, prüfen wir \(C(-2|1)\): \(-2+d = 1 \Rightarrow d=3\) oder \(-2+d = -1 \Rightarrow d=1\). Somit gehören \(A, B, C\) zur Funktion mit \(d=1\). 2. Prüfung der restlichen Punkte für die zweite Gruppe: Für \(F(2|0)\): \(2+d = 0 \Rightarrow d=-2\). Überprüfung für \(D(1|1)\): \(1+d = 1 \Rightarrow d=0\) oder \(1+d = -1 \Rightarrow d=-2\). Überprüfung für \(E(4|4)\): \(4+d = 2 \Rightarrow d=-2\) oder \(4+d = -2 \Rightarrow d=-6\). Somit gehören \(D, E, F\) zur Funktion mit \(d=-2\).

Die beiden Werte sind \(d_1 = 1\) und \(d_2 = -2\). Zum Graphen mit \(d = 1\) gehören die Punkte \(A, B\) und \(C\). Zum Graphen mit \(d = -2\) gehören die Punkte \(D, E\) und \(F\).

- Achte auf das Vorzeichen des Parameters, wenn der Punkt im negativen \(y\)-Bereich liegt. - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung für \(x^2 = c\) haben? - Setze für die letzte Teilaufgabe die Koordinaten als Platzhalter in die Funktionsgleichung ein und löse nach der Unbekannten auf.

1. Bestimmung der Gleichung: Einsetzen von \(P(4 | -4)\) ergibt \(-4 = a \cdot 4^2 \Rightarrow -4 = 16a \Rightarrow a = -0{,}25\). Die Gleichung lautet \(y = -0{,}25x^2\). 2. Berechnung der \(x\)-Koordinaten für \(T\): Einsetzen von \(y = -36\) in die Gleichung ergibt \(-36 = -0{,}25x^2\). Multiplikation mit \(-4\) liefert \(144 = x^2\). Daraus ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 12\) und \(x_2 = -12\). 3. Berechnung von \(k\): Einsetzen von \(U(k | -k)\) in \(y = -0{,}25x^2\) führt zu der Gleichung \(-k = -0{,}25k^2\). Da \(k \neq 0\) vorausgesetzt ist, kann die Gleichung durch \(-k\) dividiert werden: \(1 = 0{,}25k\). Daraus folgt durch Multiplikation mit \(4\), dass \(k = 4\) ist.

a) Die Gleichung lautet \(y = -0{,}25x^2\). b) Die möglichen \(x\)-Koordinaten sind \(12\) und \(-12\). c) Der Wert für \(k\) ist \(4\).