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- Ordne jeder Seite zuerst ihren gegenüberliegenden Winkel zu. - Im Sinussatz müssen Seite und Sinus ihres Gegenwinkels zusammengehören.

1. Zu \(a\) gehört der Gegenwinkel \(\alpha\), zu \(b\) der Gegenwinkel \(\beta\). 2. Daher lautet die passende Gleichung \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\).

\(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\)

- Schau im Bild zuerst auf den Scheitelpunkt des markierten Winkels. - Welche Seite des Dreiecks berührt diesen Scheitelpunkt nicht?

1. Der Winkel \(\beta\) liegt am Punkt \(B\). 2. Die Seite, die den Punkt \(B\) nicht berührt, ist \(AC\); sie heißt \(b\). 3. Das zugehörige Seite-Winkel-Paar ist daher \((b,\beta)\).

Gegenüber von \(\beta\) liegt \(b\); das Seite-Winkel-Paar ist \((b,\beta)\).

- Prüfe bei jeder Angabe, ob eine Seite und genau ihr Gegenwinkel gemeinsam bekannt sind. - Ein Winkel allein oder drei Seiten ohne Winkel liefern noch kein vollständiges Seite-Winkel-Paar.

1. Für einen unmittelbaren Sinussatz-Ansatz muss mindestens ein vollständiges Paar aus einer Seite und ihrem Gegenwinkel bekannt sein. 2. Nur bei A) sind \(a\) und der zugehörige Gegenwinkel \(\alpha\) gemeinsam bekannt; zusätzlich ist mit \(\beta\) ein weiterer Winkel gegeben. 3. Daher ist A) geeignet, mit dem bekannten Paar \((a,\alpha)\).

A); bekanntes Seite-Winkel-Paar: \((a,\alpha)\).

- Welche Eigenschaft haben die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks? - Wie groß ist ihre gemeinsame Größe hier? - Welches bekannte Seite-Winkel-Paar eignet sich im Sinussatz als Bezug?

1. Wegen der Gleichschenkligkeit gilt \(\alpha=\beta=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{a}{\sin(72^\circ)}=\frac{8{,}4\,\text{cm}}{\sin(36^\circ)}\). 3. Daher ist \(a=\frac{8{,}4\,\text{cm}\sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}\approx13{,}59\,\text{cm}\). 4. Wegen \(a=b\) ist auch \(b\approx13{,}59\,\text{cm}\).

\(a\approx13{,}59\,\text{cm}\) und \(b\approx13{,}59\,\text{cm}\)

- Was weißt du über die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Welches mathematische Gesetz setzt Seitenlängen und die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel in Beziehung? - Überprüfe, welche Seite welchem Winkel gegenüberliegt.

1. Über die Innenwinkelsumme gilt \(\gamma=180^\circ-42^\circ-75^\circ=63^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz folgt \(b=\frac{a\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}=\frac{8{,}5\sin(75^\circ)}{\sin(42^\circ)}\approx12{,}27\,\text{cm}\). 3. Ebenso gilt \(c=\frac{a\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}=\frac{8{,}5\sin(63^\circ)}{\sin(42^\circ)}\approx11{,}32\,\text{cm}\).

\(\gamma=63^\circ\), \(b\approx12{,}27\,\text{cm}\) und \(c\approx11{,}32\,\text{cm}\)

- Welche Eigenschaft haben die beiden Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck? - Bestimme zuerst die Basiswinkel aus der Winkelsumme. - Welches bekannte Seite-Winkel-Paar kannst du anschließend im Sinussatz verwenden?

1. Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha=\beta=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz folgt \(\frac{c}{\sin(\gamma)}=\frac{s}{\sin(\alpha)}\). 3. Daher ist \(c=\frac{10\,\text{cm}\sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)}\approx6{,}8404\,\text{cm}\). 4. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist \(c\approx6{,}84\,\text{cm}\).

\(c\approx6{,}84\,\text{cm}\)

- Wenn zwei Winkel gegeben sind, kannst du den dritten immer berechnen. - Welchen Winkel benötigst du für den Sinussatz, um die Seite \(a\) mit der gegebenen Seite \(c\) in Beziehung zu setzen?

1. Winkelsumme im Dreieck: \(\gamma = 180^\circ - (45^\circ + 105^\circ) = 30^\circ\). 2. Sinussatz: \(\frac{x}{\sin(45^\circ)} = \frac{2}{\sin(30^\circ)}\). 3. Umstellen: \(x = \frac{2 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}\). 4. Einsetzen: \(x = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0{,}5} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\).

\(x = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\)

- Welches gegebene Seite-Winkel-Paar kannst du direkt verwenden? - Ordne der gesuchten Seite \(b\) ihren Gegenwinkel zu. - Verwende die exakten Sinuswerte der beiden Standardwinkel.

1. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\). 2. Daher ist \(b=\frac{6\,\text{cm}\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}\). 3. Mit \(\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\) und \(\sin(30^\circ)=\frac12\) folgt \(b=6\sqrt2\,\text{cm}\).

\(b=6\sqrt2\,\text{cm}\)

- Verwende den Sinussatz, um den fehlenden Winkel zu bestimmen. - Achte darauf, ob der Sinuswert größer als 1 ist – was würde das bedeuten? - Addiere den berechneten Winkel zum gegebenen Winkel und vergleiche das Ergebnis mit der Innenwinkelsumme des Dreiecks.

a) Berechnung des Winkels \(\gamma\) mit dem Sinussatz: \(\sin(\gamma) = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{5{,}0 \cdot \sin(100^\circ)}{8{,}0} \approx 0{,}6155\). Mögliche Winkel: \(\gamma_1 \approx 38{,}0^\circ\) und \(\gamma_2 \approx 142{,}0^\circ\). Prüfung der Winkelsumme: \(\beta + \gamma_1 = 100^\circ + 38{,}0^\circ = 138{,}0^\circ < 180^\circ\) (möglich). \(\beta + \gamma_2 = 100^\circ + 142{,}0^\circ = 242{,}0^\circ > 180^\circ\) (nicht möglich). Es existiert genau ein Dreieck. b) Berechnung des Winkels \(\beta\) mit dem Sinussatz: \(\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a} = \frac{6{,}0 \cdot \sin(35^\circ)}{4{,}5} \approx 0{,}7648\). Mögliche Winkel: \(\beta_1 \approx 49{,}9^\circ\) und \(\beta_2 \approx 130{,}1^\circ\). Prüfung der Winkelsumme: \(\alpha + \beta_1 = 35^\circ + 49{,}9^\circ = 84{,}9^\circ < 180^\circ\) (möglich). \(\alpha + \beta_2 = 35^\circ + 130{,}1^\circ = 165{,}1^\circ < 180^\circ\) (möglich). Es existieren zwei verschiedene Dreiecke.

a) Genau ein Dreieck, da die zweite rechnerische Lösung die Winkelsumme von \(180^\circ\) überschreitet. b) Zwei verschiedene Dreiecke, da beide rechnerischen Lösungen für den Winkel \(\beta\) zusammen mit \(\alpha\) weniger als \(180^\circ\) ergeben.

- Bestimme zuerst den dritten Innenwinkel. - Welches bekannte Seite-Winkel-Paar kannst du im Sinussatz verwenden? - Welche Flächenformel nutzt zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel? - Verwende für b) den ungerundeten Seitenwert aus a).

1. Der fehlende Winkel ist \(\beta=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz gilt \(c=\frac{8\,\text{cm}\sin(60^\circ)}{\sin(75^\circ)}\approx7{,}1726\,\text{cm}\), also \(c\approx7{,}17\,\text{cm}\). 3. Für die Fläche wird der ungerundete Wert von \(c\) verwendet: \(A=\frac{1}{2}bc\sin(45^\circ)\approx20{,}2872\,\text{cm}^2\). 4. Gerundet ist \(A\approx20{,}29\,\text{cm}^2\).

a) \(c\approx7{,}17\,\text{cm}\) b) \(A\approx20{,}29\,\text{cm}^2\)

- Welchen Winkel kannst du direkt berechnen, wenn zwei andere Winkel bereits bekannt sind? - Wenn du einen Winkel und die gegenüberliegende Seite kennst, kannst du das Verhältnis für den Sinussatz nutzen. - Achte darauf, dein Rechengerät auf Gradmaß (DEG) einzustellen.

1. Über die Innenwinkelsumme gilt \(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz folgt \(a=\frac{c\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}=\frac{9\sin(40^\circ)}{\sin(80^\circ)}\approx5{,}9\,\text{cm}\). 3. Ebenso gilt \(b=\frac{c\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}=\frac{9\sin(60^\circ)}{\sin(80^\circ)}\approx7{,}9\,\text{cm}\).

\(\gamma=80^\circ\), \(a\approx5{,}9\,\text{cm}\) und \(b\approx7{,}9\,\text{cm}\)

- Bestimme zuerst den dritten Winkel im Dreieck. - Welches bekannte Seite-Winkel-Paar kannst du im Sinussatz verwenden? - Achte darauf, welche Seite der gesuchten Entfernung entspricht und welcher Winkel ihr gegenüberliegt. - Runde erst das Endergebnis.

1. Der dritte Winkel beträgt \(\gamma=180^\circ-42^\circ-105^\circ=33^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{80\,\text{m}}{\sin(\gamma)}\). 3. Daher ist \(a=80\,\text{m}\cdot\frac{\sin(42^\circ)}{\sin(33^\circ)}\approx98{,}2861\,\text{m}\). 4. Auf eine Dezimalstelle gerundet ist die Entfernung \(98{,}3\,\text{m}\).

Die Berghütte ist etwa \(98{,}3\,\text{m}\) vom Punkt \(B\) entfernt.

- Drücke im ersten Bild dieselbe Höhe einmal mit \(\alpha\) und einmal mit \(\beta\) aus. - Wiederhole die Idee im zweiten Bild mit einer anderen Höhe und verbinde die beiden erhaltenen Verhältnisgleichungen. - Welche spitze Winkelgröße erscheint im dritten Bild anstelle des stumpfen Winkels \(\alpha\)? - Welche Sinusbeziehung verbindet einen Winkel mit seinem Ergänzungswinkel auf \(180^\circ\)?

1. Im ersten Bild gilt für die Höhe \(h_c\): \(h_c=b\sin(\alpha)\) und zugleich \(h_c=a\sin(\beta)\). 2. Daher ist \(b\sin(\alpha)=a\sin(\beta)\), also \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\). 3. Im zweiten Bild gilt für die Höhe \(h_a\): \(h_a=c\sin(\beta)\) und zugleich \(h_a=b\sin(\gamma)\). 4. Daher ist \(c\sin(\beta)=b\sin(\gamma)\), also \(\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\). Zusammen mit Schritt 2 folgt der Sinussatz für spitzwinklige Dreiecke. 5. Im dritten Bild ist \(\alpha\) stumpf. Im äußeren rechtwinkligen Teildreieck liegt bei \(A\) der spitze Winkel \(180^\circ-\alpha\). Deshalb gilt \(h_c=b\sin(180^\circ-\alpha)=b\sin(\alpha)\). 6. Zugleich gilt weiterhin \(h_c=a\sin(\beta)\). Damit folgt auch im stumpfwinkligen Fall \(b\sin(\alpha)=a\sin(\beta)\). Ein Dreieck kann höchstens einen stumpfen Winkel besitzen, daher lässt sich das Argument auf den jeweils stumpfen Winkel übertragen. 7. Ist ein Winkel recht, fällt eine der verwendeten Höhen mit einer Dreiecksseite zusammen; mit \(\sin(90^\circ)=1\) bleiben dieselben Verhältnisgleichungen gültig. Damit gilt der Sinussatz für jedes Dreieck.

a) Aus \(b\sin(\alpha)=a\sin(\beta)\) und \(c\sin(\beta)=b\sin(\gamma)\) folgt \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\). b) Für stumpfes \(\alpha\) gilt \(h_c=b\sin(180^\circ-\alpha)=b\sin(\alpha)\) und zugleich \(h_c=a\sin(\beta)\). Daher bleibt dieselbe Sinussatz-Beziehung gültig.

- Ordne die vorhandenen Angaben nach Seiten und Winkeln, statt sofort eine Formel einzusetzen. - Gibt es bereits eine bekannte Seite zusammen mit ihrem Gegenwinkel? - Prüfe, welche Angaben der jeweils andere Satz zu Beginn verlangen würde.

1. Gegeben sind ein vollständiges Seite-Winkel-Paar \((a,\alpha)\) und ein weiterer Winkel \(\beta\). Damit kann der Sinussatz unmittelbar verwendet werden. 2. Für den Kosinussatz fehlen zu Beginn entweder drei Seiten oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel. 3. Die passende Gleichung lautet \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\), also hier \(\frac{7}{\sin(40^\circ)}=\frac{b}{\sin(65^\circ)}\).

Sinussatz; \(\frac{7}{\sin(40^\circ)}=\frac{b}{\sin(65^\circ)}\)

- Bestimme zuerst den dritten Innenwinkel des Vermessungsdreiecks. - Welche Seite kannst du mit der bekannten Standlinie und einem Gegenwinkel bestimmen? - Der gesuchte Uferabstand ist eine Höhe des Dreiecks; nutze danach ein rechtwinkliges Teildreieck.

1. Der dritte Winkel ist \(\gamma=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz wird zunächst \(b=AC\) bestimmt: \(b=\frac{60\,\text{m}\sin(70^\circ)}{\sin(60^\circ)}\approx65{,}1038\,\text{m}\). 3. Der senkrechte Abstand ist die Höhe auf \(AB\). Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(d=b\sin(50^\circ)\). 4. Daher ist \(d\approx65{,}1038\,\text{m}\sin(50^\circ)\approx49{,}8724\,\text{m}\). 5. Gerundet beträgt der Abstand \(49{,}9\,\text{m}\).

\(d\approx49{,}9\,\text{m}\)

- Welches bekannte Seite-Winkel-Paar kannst du im Sinussatz direkt verwenden? - Eine Gleichung der Form \(\sin(x)=k\) kann für Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) zwei Lösungen besitzen. - Prüfe für jede Winkelmöglichkeit, ob der dritte Innenwinkel positiv bleibt. - Berechne die verbleibende Seite erst, nachdem du die Winkel des jeweiligen Falls festgelegt hast.

1. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\). Daher ist \(\sin(\alpha)=\frac{a\sin(\gamma)}{c}\approx0{,}815753\). 2. Daraus entstehen zwei mögliche Winkel: \(\alpha_1\approx54{,}66^\circ\) und \(\alpha_2=180^\circ-\alpha_1\approx125{,}34^\circ\). 3. Im ersten Fall ist \(\beta_1=180^\circ-35^\circ-\alpha_1\approx90{,}34^\circ\). Mit dem Sinussatz folgt \(b_1=\frac{c\sin(\beta_1)}{\sin(35^\circ)}\approx7{,}85\,\text{cm}\). 4. Im zweiten Fall ist \(\beta_2=180^\circ-35^\circ-\alpha_2\approx19{,}66^\circ\). Damit folgt \(b_2=\frac{c\sin(\beta_2)}{\sin(35^\circ)}\approx2{,}64\,\text{cm}\). 5. Die Angaben entsprechen einem SSW-Fall. Weil sowohl \(\alpha_1\) als auch sein Supplementwinkel mit der Winkelsumme vereinbar sind, entstehen zwei verschiedene Dreiecke.

Fall 1: \(\alpha_1\approx54{,}66^\circ\), \(\beta_1\approx90{,}34^\circ\), \(b_1\approx7{,}85\,\text{cm}\) Fall 2: \(\alpha_2\approx125{,}34^\circ\), \(\beta_2\approx19{,}66^\circ\), \(b_2\approx2{,}64\,\text{cm}\) Die SSW-Angaben lassen hier zwei Dreiecke zu.

- Was ist der Wert von \(\sin(90^\circ)\)? - Wie kannst du eine Gleichung mit zwei Brüchen umformen, um eine Variable zu isolieren? - Wenn zwei Winkel gleich sind, was weißt du dann über ihre Sinuswerte?

1. Aus \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(90^\circ)}\) folgt mit \(\sin(90^\circ) = 1\) die Gleichung \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = c\). Umgestellt nach \(\sin(\alpha)\) ergibt sich \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\). 2. Der Sinussatz ist eine allgemeinere Form. Im Spezialfall eines rechten Winkels reduziert er sich exakt auf die Definition am rechtwinkligen Dreieck. Er widerspricht ihr nicht, sondern schließt sie als Sonderfall ein. 3. Wenn \(\alpha = \beta\), dann ist \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\). Aus \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}\) folgt dann direkt \(a = b\). Dies entspricht der Eigenschaft, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Schenkel gleich lang sind.

1. \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\) 2. Der Sinussatz ist die Verallgemeinerung; für \(\gamma = 90^\circ\) liefert er dieselbe Beziehung wie die Definition im rechtwinkligen Dreieck. 3. Für \(\alpha = \beta\) gilt \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\), woraus \(a = b\) folgt (Gleichschenkligkeit).

- Welche ist die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden? - Wie lässt sich diese senkrechte Entfernung mit \(c\) und \(\alpha\) ausdrücken? - Was geschieht geometrisch im Grenzfall, wenn \(a\) genau diese Entfernung erreicht?

1. Die kleinste mögliche Länge von \(a\) ist die senkrechte Entfernung von \(B\) zur Geraden durch \(A\) und \(C\). Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck gilt \(\sin(40^\circ)=\frac{a_{\min}}{12\,\text{cm}}\). 2. Daher ist \(a_{\min}=12\,\text{cm}\cdot\sin(40^\circ)\approx7{,}71\,\text{cm}\). 3. Bei genau dieser Länge fällt \(C\) mit dem Lotfuß zusammen. Das Dreieck ist dann rechtwinklig und \(\gamma=90^\circ\).

1. \(a_{\min}\approx7{,}71\,\text{cm}\) 2. Rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma=90^\circ\)

- Welche Beziehung zwischen Seiten und ihren gegenüberliegenden Winkeln hilft hier weiter? - Vergleiche die Seite \(a\) mit der Höhe, die zur gegebenen Seite-Winkel-Konstellation gehört. - Zu einem Sinuswert können zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) zwei verschiedene Winkel gehören. - Prüfe für beide Winkelmöglichkeiten, ob noch ein positiver dritter Innenwinkel bleibt.

1. Zunächst wird die Höhenbedingung des mehrdeutigen SsW-Falls geprüft. Für einen spitzen Winkel \(\alpha\) gibt es genau zwei Dreiecke, wenn \(c\sin(\alpha)<a<c\). Hier gilt \(7\sin(40^\circ)\approx4{,}50<5<7\). Daher sind zwei Lösungen möglich. 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{\sin(\gamma)}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{a}\), also \(\sin(\gamma)=\frac{c\sin(\alpha)}{a}\). 3. Einsetzen ergibt \(\sin(\gamma)=\frac{7\sin(40^\circ)}{5}\approx0{,}8999\). 4. Der erste mögliche Winkel ist \(\gamma_1\approx64{,}15^\circ\). 5. Der zweite mögliche Winkel ist der Supplementwinkel \(\gamma_2=180^\circ-\gamma_1\approx115{,}85^\circ\). 6. Beide Fälle sind zulässig, weil jeweils \(\alpha+\gamma<180^\circ\) gilt. Somit entstehen zwei nicht-kongruente Dreiecke.

a) \(\gamma_1\approx64{,}15^\circ\) und \(\gamma_2\approx115{,}85^\circ\) b) Es gibt zwei Dreiecke, weil \(c\sin(\alpha)<a<c\) gilt und beide möglichen Winkel \(\gamma\) zusammen mit \(\alpha\) eine Winkelsumme unter \(180^\circ\) ergeben.

- Vergleiche die Seite \(c\) mit der Höhe, die zur gegebenen Seite-Winkel-Konstellation gehört. - Zu einem Sinuswert können zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) zwei Winkel gehören. - Prüfe für beide Winkelmöglichkeiten, ob zusammen mit \(\gamma\) noch ein positiver dritter Innenwinkel bleibt.

1. Für den spitzen Winkel \(\gamma\) gibt es im mehrdeutigen SsW-Fall genau zwei Dreiecke, wenn \(b\sin(\gamma)<c<b\). Hier gilt \(7{,}2\sin(38^\circ)\approx4{,}43<5{,}4<7{,}2\). Daher sind zwei Lösungen möglich. 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{\sin(\gamma)}{c}\), also \(\sin(\beta)=\frac{7{,}2\sin(38^\circ)}{5{,}4}\approx0{,}8209\). 3. Daraus folgen \(\beta_1\approx55{,}17^\circ\) und \(\beta_2=180^\circ-\beta_1\approx124{,}83^\circ\). 4. Beide Fälle sind zulässig, weil jeweils \(\beta+\gamma<180^\circ\) gilt. 5. Die verbleibenden Winkel sind \(\alpha_1=180^\circ-38^\circ-\beta_1\approx86{,}83^\circ\) und \(\alpha_2=180^\circ-38^\circ-\beta_2\approx17{,}17^\circ\).

Es existieren zwei verschiedene Dreiecke. 1. Fall: \(\beta_1\approx55{,}17^\circ\) und \(\alpha_1\approx86{,}83^\circ\) 2. Fall: \(\beta_2\approx124{,}83^\circ\) und \(\alpha_2\approx17{,}17^\circ\)

- Vergleiche die kürzere gegebene Seite mit der zugehörigen Höhe und mit der längeren gegebenen Seite. - Skizziere, an welchen zwei Stellen der noch freie Eckpunkt liegen kann. - Welche zwei Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) können denselben Sinuswert besitzen? - Bestimme erst die möglichen Winkel und daraus anschließend die dritte Seite.

1. Setze \(a=80\,\text{m}\), \(b=120\,\text{m}\) und \(\alpha=35^\circ\). Für den mehrdeutigen SsW-Fall mit spitzem \(\alpha\) müssen die Seiten die Bedingung \(b\sin(\alpha)<a<b\) erfüllen. Hier gilt \(120\sin(35^\circ)\approx68{,}83<80<120\). Daher sind zwei Dreiecke möglich. 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\sin(\beta)=\frac{b\sin(\alpha)}{a}=\frac{120\sin(35^\circ)}{80}\approx0{,}8604\). 3. Daraus folgen \(\beta_1\approx59{,}36^\circ\) und \(\beta_2\approx120{,}64^\circ\). 4. Die zugehörigen dritten Winkel sind \(\gamma_1\approx85{,}64^\circ\) und \(\gamma_2\approx24{,}36^\circ\). 5. Mit dem Sinussatz erhält man unter Verwendung der ungerundeten Winkelwerte \(c_1\approx139{,}07\,\text{m}\) und \(c_2\approx57{,}52\,\text{m}\).

Die dritte Seite ist nicht eindeutig festgelegt, weil die SsW-Daten zwei zulässige Dreiecke ergeben. Die beiden möglichen Längen sind \(c_1\approx139{,}07\,\text{m}\) und \(c_2\approx57{,}52\,\text{m}\).