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- Welche Rolle hat der Nenner eines rationalen Exponenten in der Wurzelschreibweise? - Wo erscheint der Zähler des Exponenten?

1. Der Nenner \(4\) wird zum Wurzelexponenten und der Zähler \(3\) zum Potenzexponenten: \(a^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{a^3}\).

\(\sqrt[4]{a^3}\)

- Welche Zahl bestimmt bei einer n-ten Wurzel den Nenner des rationalen Exponenten? - Welche Rolle spielt der Exponent \(2\) im Radikanden?

1. Der Wurzelexponent \(5\) wird zum Nenner des rationalen Exponenten. 2. Der Exponent \(2\) des Radikanden wird zum Zähler. Daher gilt \(\sqrt[5]{b^2}=b^{\frac{2}{5}}\).

\(b^{\frac{2}{5}}\)

- Kannst du den Exponenten als Bruch schreiben? - Es hilft oft, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren, um mit kleineren Zahlen zu rechnen. - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Kommst du weiter, wenn du die Dezimalzahlen in Brüche umwandelst?

1. Umwandlung von \(27^{\frac{4}{3}}\) in eine Wurzelform: \(\sqrt[3]{27^4} = (\sqrt[3]{27})^4\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\), folgt \(3^4 = 81\). 2. Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\): \(\sqrt[3]{10^9} = 10^{\frac{9}{3}} = 10^3 = 1000\). 3. Umwandlung des Dezimalbruchs in einen Bruch oder direkte Berechnung: \(0{,}09^{1{,}5} = 0{,}09^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{0{,}09})^3\). Da \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\), folgt \(0{,}3^3 = 0{,}027\). 4. Direkte Berechnung der 4. Wurzel: Da \(0{,}2^4 = 0{,}0016\), ist \(\sqrt[4]{0{,}0016} = 0{,}2\).

a) \(81\) b) \(1000\) c) \(0{,}027\) d) \(0{,}2\)

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten: \(x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\). - Prüfe, ob du die Radikanden als Potenzen kleinerer Basen (wie 2 oder 3) schreiben kannst. - Fasse Produkte von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten unter einer Wurzel zusammen.

1. Berechnung von \(e\): Die \(n\)-te Wurzel aus \(0\) ist immer \(0\), also \(e = 0\). 2. Berechnung von \(d\): Der Exponent \(0{,}25\) entspricht dem Bruch \(\frac{1}{4}\). Somit ist \(d = \sqrt[4]{16} = 2\), da \(2^4 = 16\). 3. Berechnung von \(a\): Da \(3^4 = 81\), ist \(a = \sqrt[4]{81} = 3\). 4. Berechnung von \(b\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{2}{5}\). Es gilt \(b = (32)^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 5. Berechnung von \(c\): Nach den Wurzelgesetzen gilt \(c = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). 6. Vergleich der Ergebnisse: \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\). Die Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\).

Die aufsteigende Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\) mit den Werten \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\).

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Was bewirkt ein Minuszeichen im Exponenten? - Erinnerst du dich, welche Wurzel aus der Basis gezogen werden muss, wenn der Nenner des Bruchexponenten eine bestimmte Zahl ist? - Es ist oft einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.

1. Umwandlung von \(144^{0{,}5}\): Der Exponent \(0{,}5\) entspricht \(\frac{1}{2}\). Somit gilt \(144^{0{,}5} = \sqrt{144} = 12\). 2. Umwandlung von \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}\): Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der Basis. Es gilt \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3\). 3. Umwandlung von \(32^{0{,}4}\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Es gilt \(32^{0{,}4} = \sqrt[5]{32^2} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 4. Umwandlung von \(1000^{-\frac{2}{3}}\): Der negative Exponent führt zum Kehrwert \(\frac{1}{1000^{\frac{2}{3}}}\). Dies entspricht \(\frac{1}{\sqrt[3]{1000^2}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{1000})^2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).

a) \(\sqrt{144} = 12\) b) \(\sqrt[3]{27} = 3\) c) \((\sqrt[5]{32})^2 = 4\) d) \(\frac{1}{(\sqrt[3]{1000})^2} = 0{,}01\)

- Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln? - Was bedeutet ein Minuszeichen im Exponenten für die Position des Terms? - Überlege, wie man eine Potenz mit einem Bruch im Exponenten als Wurzel schreibt. - Wie gehst du vor, wenn eine ganze Klammer potenziert wird?

1. Definition \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) anwenden. 2. Für a): \(x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}\). 3. Für b): \(1{,}5 = \frac{3}{2}\), also \(y^{\frac{3}{2}} = \sqrt{y^3}\). 4. Für c): Negativer Exponent bedeutet Kehrwert, \(z^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{z^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{z}}\). 5. Für d): \((4a)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(4a)^3} = \sqrt[4]{64a^3}\).

a) \(\sqrt[3]{x^2}\) b) \(\sqrt{y^3}\) c) \(\frac{1}{\sqrt{z}}\) d) \(\sqrt[4]{64a^3}\)

- Versuche, die Zahlen unter der Wurzel als Potenzen zur Basis 2 zu schreiben. - Wie hängen die Wurzelexponenten mit den Exponenten in der Potenzschreibweise zusammen? - Rechne die Werte der Ausdrücke Schritt für Schritt aus.

1. Term von Lukas umformen: \(\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2\). 2. Ursprünglichen Term umformen: \(\sqrt[6]{64} = 64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2\). 3. Vergleich: Da beide Terme den Wert \(2^1\) bzw. \(2\) ergeben, haben sowohl Lukas als auch Marie recht.

Beide haben recht. Es gilt \(\sqrt[6]{64} = 2\), \(\sqrt[3]{8} = 2\) und \(2^1 = 2\).

- Was bedeutet der Wurzelexponent für den Nenner eines Bruchs im Exponenten? - Wie kannst du Brüche im Exponenten genauso behandeln wie normale Brüche? - Gibt es eine Regel, wie man einen Bruch im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten schreibt?

1. Umwandlung der Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten unter Verwendung von \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\): a) \(\sqrt[12]{b^3} = b^{\frac{3}{12}}\) b) \(\sqrt[10]{z^{15}} = z^{\frac{15}{10}}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[6]{y^4}} = y^{-\frac{4}{6}}\) 2. Kürzen der Brüche in den Exponenten: a) \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) b) \(\frac{15}{10} = \frac{3}{2}\) c) \(-\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\) 3. Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise: a) \(b^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{b}\) b) \(z^{\frac{3}{2}} = \sqrt{z^3}\) c) \(y^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\)

a) \(\sqrt[4]{b}\) b) \(\sqrt{z^3}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\)

- Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kann man eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?

1. Umwandlung in Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). 2. Berechnung für a): \(\sqrt[4]{20} = 20^{\frac{1}{4}} = 20^{0{,}25} \approx 2{,}115\). 3. Berechnung für b): \(\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}} \approx 2{,}924\). 4. Berechnung für c): \(\frac{1}{\sqrt[5]{10}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{5}}} = 10^{-\frac{1}{5}} = 10^{-0{,}2} \approx 0{,}631\). 5. Berechnung für d): \(\sqrt[3]{-27} = (-27)^{\frac{1}{3}} = -3\).

a) \(20^{\frac{1}{4}} \approx 2{,}115\) b) \(5^{\frac{2}{3}} \approx 2{,}924\) c) \(10^{-\frac{1}{5}} \approx 0{,}631\) d) \((-27)^{\frac{1}{3}} = -3\)

- Könntest du versuchen, alle Basen als Potenzen der Zahl 2 zu schreiben? - Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen im Exponenten? - Erinnerst du dich an die Regel für das Potenzieren einer Potenz?

1. Berechnung von \(A\): \(16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8\). 2. Berechnung von \(B\): \(\sqrt[3]{8^2} = (8^2)^{\frac{1}{3}} = ((2^3)^2)^{\frac{1}{3}} = (2^6)^{\frac{1}{3}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 2^2 = 4\). 3. Berechnung von \(C\): \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1{,}5} = (4^{-1})^{-1{,}5} = 4^{1{,}5} = (2^2)^{1{,}5} = 2^{2 \cdot 1{,}5} = 2^3 = 8\). 4. Berechnung von \(D\): \(\sqrt{2^6} = (2^6)^{\frac{1}{2}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 2^3 = 8\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(A = 8\), \(B = 4\), \(C = 8\), \(D = 8\). Die Terme \(A\), \(C\) und \(D\) haben denselben Wert.

Die Werte sind: \(A = 8\), \(B = 4\), \(C = 8\), \(D = 8\). Somit gilt: \(A = C = D\).

- Kannst du alle Terme so umschreiben, dass sie dieselbe Basis haben? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Wurzeln und Brüchen im Exponenten? - Wie kannst du eine Potenz, die selbst in einer Klammer steht, weiter vereinfachen?

1. Umwandlung aller Terme in Potenzen mit der Basis \(5\) und rationalen Exponenten unter Verwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). 2. Für \(T_1\): \(\sqrt[4]{5^6} = 5^{\frac{6}{4}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 3. Für \(T_2\): \(\sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}}\). 4. Für \(T_3\): Da \(25 = 5^2\), gilt \(25^{\frac{3}{4}} = (5^2)^{\frac{3}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{4}} = 5^{\frac{6}{4}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 5. Für \(T_4\): Da \(125 = 5^3\), gilt \(125^{\frac{1}{2}} = (5^3)^{\frac{1}{2}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 6. Alle Terme lassen sich auf die Form \(5^{\frac{3}{2}}\) (bzw. \(5^{1{,}5}\)) bringen und sind somit wertgleich.

Durch Anwendung der Potenzgesetze lassen sich alle vier Terme auf die Form \(5^{\frac{3}{2}}\) (oder \(5^{1{,}5}\)) vereinfachen. Da die Basis und der Exponent jeweils identisch sind, besitzen die Terme denselben Wert.

- Was bedeutet das Wurzelsymbol, wenn man es als Exponenten schreibt? - Gibt es eine Regel, wie man Potenzen innerhalb einer Wurzel behandelt? - Wie verändert sich das Vorzeichen eines Exponenten, wenn eine Potenz vom Nenner in den Zähler rückt? - Kannst du Brüche im Exponenten kürzen?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) auf alle Teilaufgaben. 2. Teilaufgabe a): \(\sqrt[3]{x^9} = x^{\frac{9}{3}} = x^3\). 3. Teilaufgabe b): \((a^{10} \cdot b^{20})^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{10}{5}} \cdot b^{\frac{20}{5}} = a^2 \cdot b^4\). 4. Teilaufgabe c): \(\frac{1}{y^{\frac{12}{4}}} = \frac{1}{y^3} = y^{-3}\). 5. Teilaufgabe d): \(z^{\frac{5k}{k}} = z^5\).

a) \(x^3\) b) \(a^2 \cdot b^4\) c) \(y^{-3}\) oder \(\frac{1}{y^3}\) d) \(z^5\)

- Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt. - Kannst du einen Term in der Klammer einzeln potenzieren? - Achte darauf, Brüche bei der Addition oder Subtraktion auf den gleichen Nenner zu bringen.

1. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(3^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 3^1 = 3\) 2. Anwendung des Gesetzes \(a^m {:} a^n = a^{m-n}\) mit Hauptnenner \(6\): \(x^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}\) (oder \(\sqrt{x}\)) 3. Anwendung des Gesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \(4^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot y^1 = 2y\) 4. Umwandlung der Wurzeln in Potenzen und Addition der Exponenten: \(a^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}} = a^1 = a\)

a) \(3\) b) \(x^{\frac{1}{2}}\) oder \(\sqrt{x}\) c) \(2y\) d) \(a\)

- Wie lässt sich eine Wurzel allgemein als Potenz schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du die Basis 27 als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis.

1. Umwandlung von Term \(A\): \(\sqrt[3]{27^2} = (27^2)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}\). Da \(27 = 3^3\), folgt \((3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\). 2. Umwandlung von Term \(B\): \((\sqrt[3]{27})^2 = (27^{\frac{1}{3}})^2 = 27^{\frac{2}{3}} = 9\). 3. Vergleich \(A\) und \(B\): Beide Terme ergeben \(9\), sie sind äquivalent. 4. Umwandlung von Term \(C\): \(\sqrt[4]{x^{12}} = (x^{12})^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{12}{4}} = x^3\). 5. Umwandlung von Term \(D\): \(x^2 \cdot \sqrt{x^2} = x^2 \cdot (x^2)^{\frac{1}{2}} = x^2 \cdot x^1 = x^3\). 6. Vergleich \(C\) und \(D\): Beide Terme ergeben \(x^3\), sie sind äquivalent.

a) Ja, beide Terme sind äquivalent und haben den Wert \(9\). b) Ja, beide Terme sind äquivalent und lassen sich zu \(x^3\) vereinfachen.

- Kannst du die Wurzeln als Potenzen mit Brüchen schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für Potenzen mit der gleichen Basis? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? - Könnte es helfen, Brüche in den Exponenten zuerst zu kürzen?

1. Teilaufgabe a: Umwandlung der Wurzeln in Potenzen ergibt \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{2}{6}}\). Da \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) ist, ergibt die Addition der Exponenten \(x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = x^1 = x\). 2. Teilaufgabe b: Darstellung als Potenzen führt zu \(a^{\frac{5}{2}} : a^{\frac{2}{4}}\). Kürzen des zweiten Exponenten ergibt \(a^{\frac{5}{2}} : a^{\frac{1}{2}}\). Die Subtraktion der Exponenten liefert \(a^{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{2}} = a^2\). 3. Teilaufgabe c: Anwendung der dritten binomischen Formel \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) auf die Wurzelterme ergibt \((\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2\). Durch das Quadrieren der Wurzeln erhält man das Ergebnis \(b - a\).

a) \(x\) b) \(a^2\) c) \(b - a\)

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz schreiben? - Welches Gesetz gilt, wenn Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Kannst du den Bruch im Exponenten kürzen?

1. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[4]{x^6} = x^{\frac{6}{4}} = x^{\frac{3}{2}}\). 2. Anwendung des ersten Potenzgesetzes für die Multiplikation bei gleicher Basis: \(x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}\). 3. Addition der Exponenten: \(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1\). 4. Endergebnis: \(x^1 = x\).

\(x\)

- Setze zuerst die bekannte Zahl in die Formel ein und vereinfache den Ausdruck in der Klammer. - Wie lässt sich die Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Erinnere dich: Eine Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) entspricht einer Quadratwurzel.

1. Einsetzen des gegebenen Wertes \(O = 54\) in die Formel: \(V = \left(\frac{54}{6}\right)^{1{,}5}\). 2. Vereinfachen des Bruchs in der Klammer: \(V = 9^{1{,}5}\). 3. Umwandeln des dezimalen Exponenten in einen Bruch: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\), also \(V = 9^{\frac{3}{2}}\). 4. Anwendung der Definition rationaler Exponenten: \(V = (\sqrt{9})^3\) oder \(V = \sqrt{9^3}\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(\sqrt{9} = 3\), dann \(3^3 = 27\). 6. Das Volumen beträgt \(27\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Würfels beträgt \(27\,\text{cm}^3\).

- Kannst du die Wurzel als Potenz mit einem Bruch als Exponenten schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Exponenten, wenn du durch eine Potenz dividierst? - Achte darauf, alle Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\) 2. Anwendung des ersten Potenzgesetzes im Zähler bzw. in der Klammer: \(a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\) 3. Anwendung des zweiten Potenzgesetzes für die Division: \(a^{\frac{7}{6}} {:} a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6} - (-\frac{1}{2})}\) 4. Berechnung des Exponenten: \(\frac{7}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\) 5. Endergebnis: \(a^{\frac{5}{3}}\)

\(a^{\frac{5}{3}}\)

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welches Potenzgesetz gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Achte darauf, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch kürzen oder vereinfachen?

1. Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten: \(\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}\) und \(\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}\). Anwendung des Potenzgesetzes für die Multiplikation: \(7^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = 7^{\frac{5}{6}}\). Rückführung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[6]{7^5}\). 2. Umwandlung: \(x^{\frac{3}{4}} {:} x^{\frac{1}{8}}\). Anwendung des Potenzgesetzes für die Division: \(x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{8}} = x^{\frac{6}{8} - \frac{1}{8}} = x^{\frac{5}{8}}\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[8]{x^5}\). 3. Umwandlung: \(a^{\frac{2}{5}} \cdot a^{\frac{1}{10}}\). Addition der Exponenten: \(\frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Das Ergebnis ist \(a^{\frac{1}{2}}\), was \(\sqrt{a}\) entspricht.

1) \(\sqrt[6]{7^5}\) (oder \(\sqrt[6]{16\,807}\)) 2) \(\sqrt[8]{x^5}\) 3) \(\sqrt{a}\)

- Welche Rolle spielen der Wurzelexponent und der Exponent des Radikanden beim Schreiben als Bruch? - Was bedeutet ein Minuszeichen in einem Exponenten für die Position des Terms (Zähler oder Nenner)? - Kannst du eine Summe in Klammern wie eine einzelne Variable behandeln?

1. Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\): \(\sqrt[5]{x^3} = x^{\frac{3}{5}}\). 2. Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) und Berücksichtigung des negativen Exponenten (\(x^{-k} = \frac{1}{x^k}\)): \(a^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\). 3. Umschreiben der Wurzel im Nenner als Potenz: \(\frac{1}{y^{\frac{1}{4}}}\). Anwendung der Regel für negative Exponenten: \(y^{-\frac{1}{4}}\). 4. Interpretation der Summe als Basis und Anwendung der Definition: \((m+n)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(m+n)^3}\).

1) \(x^{\frac{3}{5}}\) 2) \(\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\) oder \(\sqrt[3]{a^{-2}}\) 3) \(y^{-\frac{1}{4}}\) 4) \(\sqrt[4]{(m+n)^3}\)

- Welche Rolle spielen Wurzelexponent und Potenzexponent bei der Umwandlung in eine rationale Potenz? - Welche Darstellung von \(27\) macht die Berechnung in b) besonders einfach? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen im Exponenten in c), und wie lässt sich \(0{,}75\) als Bruch schreiben?

1. In a) gilt wegen \(y\ge0\): \(\sqrt[5]{y^2}=y^{\frac{2}{5}}\). 2. In b) ist \(27^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9\). 3. In c) ist \(0{,}75=\frac{3}{4}\). Wegen \(b>0\) gilt \(b^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{b^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}\).

a) \(y^{\frac{2}{5}}\) b) \(9\) c) \(\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}\)

- Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welches Gesetz wendest du an, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Überlege, was passiert, wenn der Wurzelexponent und der äußere Exponent gleich sind.

1. Wahr: Nach der Definition der \( n \)-ten Wurzel gilt \( (\sqrt[n]{a})^n = a \), also \( (\sqrt[5]{15})^5 = 15 \). 2. Wahr: Umformung in Potenzschreibweise ergibt \( (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8 \). 3. Falsch: Die Berechnung ergibt \( (3^{\frac{1}{3}})^6 = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2 = 9 \). Die korrekte Aussage lautet \( (\sqrt[3]{3})^6 = 9 \). 4. Wahr: Umformung ergibt \( (5^8)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{8}{4}} = 5^2 = 25 \).

1. Wahr 2. Wahr 3. Falsch (Korrektur: \( 9 \)) 4. Wahr

- Überlege dir, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann. - Was passiert mit einem negativen Vorzeichen, wenn der Exponent eine gerade Zahl ist? - Erinnere dich an die Regel für das Potenzieren von Produkten: Jeder Faktor in der Klammer muss potenziert werden.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Wurzeln \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \) oder Umwandlung in rationale Exponenten \( (a^{\frac{1}{n}})^m = a^{\frac{m}{n}} \). 2. Teil a): \( (\sqrt[6]{x^4})^3 = \sqrt[6]{x^{12}} = x^{\frac{12}{6}} = x^2 \). 3. Teil b): Der negative Koeffizient wird mit potenziert: \( (-2)^4 \cdot (\sqrt[4]{y^3})^4 = 16 \cdot y^3 = 16y^3 \). 4. Teil c): Potenzieren des Vorfaktors und der Wurzel: \( (0{,}5)^3 \cdot (\sqrt[3]{2a^2})^3 = 0{,}125 \cdot 2a^2 = 0{,}25a^2 \).

a) \( x^2 \) b) \( 16y^3 \) c) \( 0{,}25a^2 \)

- Welches Potenzgesetz gilt für ein Produkt in Klammern, das quadriert wird? - Welche rationale Potenz entspricht der Kubikwurzel in 2), wenn die Basis nichtnegativ ist? - Schreibe das Endergebnis wieder mit einem Wurzelzeichen, wie in der Aufgabe verlangt.

1. Es gilt \((5a^2\sqrt{a})^2=25a^4(\sqrt{a})^2=25a^5\). 2. Wegen \(b\ge0\) darf \(\sqrt[3]{b}=b^{\frac{1}{3}}\) in der verwendeten rationalen Potenzschreibweise geschrieben werden. Dann ist \((b^3\sqrt[3]{b})^2=b^6b^{\frac{2}{3}}=b^6\sqrt[3]{b^2}\).

1) \(25a^5\) 2) \(b^6\sqrt[3]{b^2}\)

- Kannst du die Wurzeln schrittweise von innen nach außen in Potenzen umschreiben? - Welche Rechenregel gilt für das Produkt von Potenzen mit der gleichen Basis? - Wie wird eine Potenz potenziert, wenn man eine Wurzel als Exponenten schreibt? - Hilft es dir, Zahlen wie \(8\) zuerst als Potenz einer kleineren Zahl zu schreiben?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{a^2 \cdot a^{1/4}}\). Addition der Exponenten in der Klammer: \(2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). Anwendung der äußeren Wurzel: \((a^{9/4})^{1/3} = a^{9/12} = a^{3/4}\). 2. Teilaufgabe b): Darstellung aller Faktoren zur Basis \(2\): \(\sqrt{2^3 \cdot 2^{1/3}}\). Addition der Exponenten: \(3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\). Anwendung der Quadratwurzel: \((2^{10/3})^{1/2} = 2^{5/3}\).

a) \(a^{3/4}\) b) \(2^{5/3}\)

- Kannst du die Wurzeln als Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten umschreiben? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wie wirkt sich ein negativer Exponent auf einen Bruch aus? - Kannst du den Ausdruck innerhalb der Klammer zuerst vereinfachen, bevor du den äußeren Exponenten anwendest?

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Wurzel als Potenz ergibt \((7^{\frac{1}{2}})^{-2}\). Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(7^{\frac{1}{2} \cdot (-2)} = 7^{-1}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{7}\). 2. Teilaufgabe b): Vereinfachung des inneren Terms ergibt \(\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2\). Die äußere Potenz liefert \((a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst wird die Kubikwurzel berechnet: \(\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}\), da \((\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}\). Anwendung des negativen Exponenten ergibt \((\frac{1}{4})^{-2} = (\frac{4}{1})^2 = 16\).

a) \(\frac{1}{7}\) b) \(a\) c) \(16\)

- Welche rationalen Exponenten entsprechen den Wurzeln unter den gegebenen positiven Basisbedingungen? - Welche Potenzgesetze gelten für Produkte und Quotienten mit derselben Basis? - Schreibe eine Variable ohne sichtbaren Exponenten als Potenz mit Exponent \(1\).

1. In a) gilt wegen \(x>0\): \(\sqrt[5]{x^2}=x^{\frac{2}{5}}\). Daher ist \(\frac{x^3}{x^{\frac{2}{5}}}=x^{3-\frac{2}{5}}=x^{\frac{13}{5}}\). 2. In b) ist \(\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\). Somit folgt \(\frac{a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{3}}}{a}=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-1}=a^{-\frac{1}{6}}\).

a) \(x^{\frac{13}{5}}\) b) \(a^{-\frac{1}{6}}\)

- Wie kannst du die beiden Potenzen mit negativen Exponenten als Kehrwerte schreiben? - Welcher gemeinsame Nenner entsteht im Zähler des großen Bruchs? - Betrachte nach dem Zusammenfassen, welcher Faktor im Zähler und Nenner des großen Bruchs gleich ist.

1. Schreibe die negativen Exponenten als Kehrwerte: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) und \(b^{-n}=\frac{1}{b^n}\). 2. Dann ist \(A=\frac{\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}}{\frac{1}{a^nb^n}}\). 3. Im Zähler gilt \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}=\frac{a^n+b^n}{a^nb^n}\). Durch die Division durch \(\frac{1}{a^nb^n}\) folgt \(A=a^n+b^n\). 4. Für \(a=2\), \(b=3\) und \(n=2\) ergibt sich \(A=2^2+3^2=13\).

Vereinfachter Term: \(a^n+b^n\) Wert: \(13\)

- Übersetze jeden rationalen Exponenten genau mit der in der Aufgabe angegebenen Definition. - Prüfe anschließend den Radikanden und den Wurzelexponenten. - Welche Wurzeln können in \(\mathbb{R}\) einen negativen Radikanden haben?

1. In a) gilt \((-8)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(-8)^2}=\sqrt[3]{64}=4\). Die Kubikwurzel ist auch für negative Ausgangsbasen über den hier entstehenden positiven Radikanden reell definiert. 2. In b) gilt nach der angegebenen Definition \((-8)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-8}\). Eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

a) definiert, Wert \(4\) b) in \(\mathbb{R}\) nicht definiert

- Welche Wirkung hat das Minuszeichen vor einem rationalen Exponenten? - Bestimme zunächst den Wert der entsprechenden positiven Potenz. - Prüfe anschließend, ob der entstehende Kehrwert zulässig ist.

1. Ein negativer Exponent bedeutet einen Kehrwert: \(0^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{0^{\frac{2}{3}}}\), sofern dieser Ausdruck definiert wäre. 2. Es ist \(0^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{0^2}=0\). 3. Damit entstünde \(\frac{1}{0}\). Eine Division durch \(0\) ist nicht definiert. Also ist \(0^{-\frac{2}{3}}\) nicht definiert.

\(0^{-\frac{2}{3}}\) ist nicht definiert.

- Welche Wurzelschreibweise entspricht dem Exponenten \(-\frac{1}{2}\)? - Welche Bedingung kommt von der Quadratwurzel? - Welche zusätzliche Bedingung entsteht dadurch, dass der Wurzelterm im Nenner steht?

1. Der Term kann als \(x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\) gelesen werden. 2. Für die Quadratwurzel muss \(x\ge0\) gelten. 3. Weil \(\sqrt{x}\) im Nenner steht, darf zugleich \(x\ne0\) sein. Zusammen ergibt sich \(x>0\).

\(x>0\)

- Hilft es dir, die Wurzeln als rationale Exponenten zu schreiben? - Wie verrechnet man Potenzen mit der gleichen Basis, wenn sie multipliziert werden? - Kannst du am Ende ganze Potenzen aus der Wurzel herausziehen?

1. Umwandlung der Wurzeln in rationale Potenzen: \(a^{4/3}b^{5/3} \cdot a^{4/6}b^{3/6}\) 2. Multiplikation der Potenzen mit gleicher Basis durch Addition der Exponenten: \(a^{4/3 + 2/3} = a^2\) und \(b^{10/6 + 3/6} = b^{13/6}\) 3. Vereinfachung des b-Exponenten und Rückumwandlung in Wurzelform: \(b^{13/6} = b^{12/6} \cdot b^{1/6} = b^2 \sqrt[6]{b}\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(a^2 b^2 \sqrt[6]{b}\)

d) \(a^2b^2 \cdot \sqrt[6]{b}\)

- Schreibe die Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten, wenn dadurch gleiche Basen sichtbar werden. - Überlege bei Produkten und Quotienten mit gleicher Basis, wie die Exponenten miteinander verrechnet werden. - Bei einer Potenz von einer Potenz werden die Exponenten miteinander multipliziert. - Betrachte bei e) zuerst die Wurzel als Potenz und anschließend die äußere Potenz.

1. Zu a): \(\sqrt[4]{x^5}\cdot\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{5}{4}}\cdot x^{\frac{3}{4}} = x^2\). 2. Zu b): \(\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{7}{6}} = \sqrt[6]{a^7}\). 3. Zu c): \(\frac{\sqrt[5]{b^4}}{\sqrt[5]{b^{-1}}} = b^{\frac{4}{5}-(-\frac{1}{5})} = b\). 4. Zu d): \((y^{\frac{1}{4}}\cdot y^{\frac{3}{4}})^2 = (y^1)^2 = y^2\). 5. Zu e): \((\sqrt[3]{x^2})^2=(x^{\frac{2}{3}})^2=x^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{x^4}\).

a) \(x^2\) b) \(a^{\frac{7}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{a^7}\) c) \(b\) d) \(y^2\) e) \(x^{\frac{4}{3}}\) oder \(\sqrt[3]{x^4}\)

- Schreibe die Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten. - Versuche, beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst? - Ein Exponentenvergleich ist möglich, wenn die Basen auf beiden Seiten identisch sind.

1. Zu a): Umformung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten ergibt \(x^{\frac{n}{2}} = x^7\). Durch Exponentenvergleich folgt \(\frac{n}{2} = 7\), also \(n = 14\). 2. Zu b): Darstellung von \(81\) als Potenz zur Basis \(3\) ergibt \(81 = 3^4\). Die Gleichung lautet \(3^{\frac{n}{2}} = 3^4\). Exponentenvergleich liefert \(\frac{n}{2} = 4\), also \(n = 8\). 3. Zu c): Anwendung der Regel für Wurzeln mit dem Wurzelexponenten \(k\), \(\sqrt[k]{x^m} = x^{\frac{m}{k}}\), ergibt \(x^{\frac{12}{3}} = x^4\). Somit ist \(n = 4\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter der Wurzel mit dem ersten Potenzgesetz ergibt \(\sqrt{x^{4+n}} = x^{\frac{4+n}{2}}\). Gleichsetzen des Exponenten mit \(5\) führt zu \(\frac{4+n}{2} = 5\), woraus \(4+n = 10\) und somit \(n = 6\) folgt.

a) \(n = 14\) b) \(n = 8\) c) \(n = 4\) d) \(n = 6\)

- Schreibe die Quadratwurzel als Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\). - Welches Potenzgesetz gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Schreibe die Dezimalzahl in Teil c) zuerst als Zehnerpotenz.

1. Mit \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) gilt \(\sqrt{10^{2n}} = (10^{2n})^{\frac{1}{2}} = 10^{2n \cdot \frac{1}{2}} = 10^n\). 2. Zu a): \(\sqrt{10^6} = 10^3 = 1000\). 3. Zu b): \(\sqrt{10^{-4}} = 10^{-2} = 0{,}01\). 4. Zu c): \(0{,}000001 = 10^{-6}\), also \(\sqrt{0{,}000001} = 10^{-3} = 0{,}001\).

1. \(\sqrt{10^{2n}} = 10^n\) 2. a) \(1000\), b) \(0{,}01\), c) \(0{,}001\)

- Prüfe zuerst, welches Vorzeichen \(x^k\) in den verschiedenen Fällen besitzt. - Beachte, dass eine reelle Quadratwurzel immer nichtnegativ ist. - Unterscheide genau zwischen geraden und ungeraden Exponenten, bevor du die Potenz mit dem Exponenten \(\frac{k}{2}\) interpretierst.

1. Für \(x=4\) und \(k=2\) gilt \(\sqrt{4^2}=4=4^{2/2}\). Die Behauptung stimmt in diesem Fall. 2. Für \(x=-3\) und \(k=2\) gilt \(\sqrt{(-3)^2}=3\), während \((-3)^{2/2}=-3\) ist. Die Behauptung ist also nicht allgemein richtig. 3. Für \(x\ge0\) gilt \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). 4. Für \(x<0\) und gerades \(k\) ist \(k/2\) ganzzahlig und \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). 5. Für \(x<0\) und ungerades \(k\) ist \(x^k<0\); daher ist \(\sqrt{x^k}\) in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

a) Die Behauptung stimmt für \(x=4\) und \(k=2\). b) Sie ist für \(x=-3\) und \(k=2\) falsch. c) Für \(x\ge0\): \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). Für \(x<0\) und gerades \(k\): \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). Für \(x<0\) und ungerades \(k\) ist die Wurzel in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

- Schreibe alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Nutze die Potenzgesetze für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis. - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Beachte die Bedingung \(a > 0\), die Vereinfachungen wie \(\sqrt{a^2} = a\) ermöglicht.

1. Term 1: \(\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. 2. Term 2: \(\sqrt{a} = a^{0{,}5}\). Multiplikation: \(a^{0{,}5} \cdot a^{1{,}5} = a^{0{,}5 + 1{,}5} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. 3. Term 3: Nach dem Potenzgesetz \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\) gilt \((a^4)^{1/4} = a^{4 \cdot 1/4} = a^1 = a\). Dieser Term ist nicht äquivalent. 4. Term 4: Da \(a > 0\), ist \(\sqrt{a^2} = a\). Die Division ergibt \(\frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. Zusammenfassend sind die Terme 1, 2 und 4 äquivalent zu \(a^2\).

Die Terme 1, 2 und 4 sind äquivalent zu \(a^2\). Term 3 hingegen entspricht \(a\).

- Wie verändern sich die Exponenten, wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert oder dividiert werden? - Du kannst Wurzeln auch als Potenzen mit Brüchen im Exponenten schreiben. - Gibt es eine Basis, die sowohl für die Zahl unter der Wurzel als auch für den Divisor passt?

1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Addition der Exponenten \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1\). Das Ergebnis ist \(x^1 = x\). 2. Division von Wurzeln mit gleichem Index: Zusammenfassung unter eine Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{\frac{y^5}{y^2}} = \sqrt[3]{y^3} = y\). 3. Umrechnung in Potenzen: \(\sqrt[4]{(3^4)^3} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27\). Division durch \(3^2 = 9\) ergibt \(27 {:} 9 = 3\).

a) \(x\) b) \(y\) c) \(3\)

- Berechne für jeden Term den exakten Zahlenwert, um sie vergleichen zu können. - Wandle alle Potenzen mit rationalen Exponenten in die entsprechende Wurzelschreibweise um. - Achte besonders auf das Vorzeichen der Exponenten und wie es die Basis beeinflusst.

1. Berechnung von \(A\): \(16^{0{,}25} = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2\). 2. Berechnung von \(B\): \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-0{,}5} = 9^{0{,}5} = \sqrt{9} = 3\). 3. Berechnung von \(C\): \(\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\). 4. Berechnung von \(D\): \(25^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(0{,}2 < 2 < 3 < 9\). Daraus folgt die Reihenfolge \(D < A < B < C\).

Die aufsteigende Reihenfolge ist: \(D < A < B < C\) (entspricht \(0{,}2 < 2 < 3 < 9\)).

- Wandle zuerst alle Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten um. - Welche Rechenregeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Denk daran, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du den Bruch im Exponenten am Ende noch kürzen?

1. Umwandlung in Potenzen: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}\), \(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\), \(\sqrt[12]{a^5} = a^{\frac{5}{12}}\). 2. Zähler zusammenfassen mit \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\): \(a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{8}{12} + \frac{3}{12}} = a^{\frac{11}{12}}\). 3. Division durch Nenner mit \(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\): \(a^{\frac{11}{12} - \frac{5}{12}} = a^{\frac{6}{12}}\). 4. Exponenten kürzen: \(a^{\frac{1}{2}}\). 5. Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\).

Potenzschreibweise: \(a^{\frac{1}{2}}\) Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\)

- Wandle alle Wurzeln in eine einheitliche Schreibweise mit Exponenten um. - Wenn die Basis gleich ist, worauf musst du dann schauen, um die Gleichheit zu prüfen? - Erinnere dich an die Bedeutung von negativen Exponenten.

1. Umformung beider Seiten in Potenzen: a) Linke Seite: \(\sqrt[6]{x^9} = x^{\frac{9}{6}} = x^{\frac{3}{2}}\). Rechte Seite: \(\sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}}\). Die Exponenten sind identisch. Aussage ist wahr. b) Linke Seite: \(\sqrt[4]{x^2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}}\). Rechte Seite: \(\sqrt[8]{x^6} = x^{\frac{6}{8}} = x^{\frac{3}{4}}\). Da \(\frac{1}{2} \neq \frac{3}{4}\), ist die Aussage falsch. c) Linke Seite: \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}\). Rechte Seite: \(\sqrt[6]{x^{-2}} = x^{-\frac{2}{6}} = x^{-\frac{1}{3}}\). Die Exponenten sind identisch. Aussage ist wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr

- Welche Zahl bietet sich hier als gemeinsame Basis an? - Wie schreibst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}5\) als Potenz? - Wenn die Basis größer als 1 ist, wie hängen dann die Größe der Potenz und der Exponent zusammen? - Kannst du eine Wurzel in eine Potenz mit einem Bruch im Exponenten umwandeln?

1. Umformung von \(T_1\): \(\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{0{,}5}\). 2. Umformung von \(T_2\): \(0{,}5^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1\). 3. Umformung von \(T_3\): \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{0{,}5}} = 2^{-0{,}5}\). 4. Umformung von \(T_4\): \(4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \approx 2^{0{,}67}\). 5. Vergleich der Exponenten bei gleicher Basis 2: \(-0{,}5 < 0{,}5 < \frac{2}{3} < 1\). 6. Daraus ergibt sich die Reihenfolge: \(T_3 < T_1 < T_4 < T_2\).

Die richtige Reihenfolge ist: \(T_3 < T_1 < T_4 < T_2\). In der Form \(2^n\) lauten die Terme: \(T_3 = 2^{-0{,}5}\), \(T_1 = 2^{0{,}5}\), \(T_4 = 2^{\frac{2}{3}}\), \(T_2 = 2^1\).

- Kannst du alle Teile des Ausdrucks zuerst in Potenzen mit der Basis \(x\) umschreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten bei einer Division? - Wie rechnet man mit Brüchen im Exponenten? Denke an den gemeinsamen Nenner.

1. Umschreiben der Wurzeln als Potenzen: \(\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}\) und \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze im Zähler (Multiplikation bei gleicher Basis): \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = x^{\frac{7}{6}}\). 3. Anwendung der Potenzgesetze für den Bruch (Division bei gleicher Basis): \(\frac{x^{\frac{7}{6}}}{x^1} = x^{\frac{7}{6} - 1} = x^{\frac{1}{6}}\). 4. Überprüfung mit \(x = 64\): Ursprünglicher Term: \(\frac{\sqrt[3]{64^2} \cdot \sqrt{64}}{64} = \frac{\sqrt[3]{4096} \cdot 8}{64} = \frac{16 \cdot 8}{64} = \frac{128}{64} = 2\). Vereinfachtes Ergebnis: \(64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^1 = 2\). 5. Die Ergebnisse stimmen überein.

Der vereinfachte Term lautet \(x^{\frac{1}{6}}\). Die Überprüfung für \(x = 64\) ergibt in beiden Fällen den Wert \(2\).

- Versuche, beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Erinnere dich daran, wie man einen Bruchstrich durch einen negativen Exponenten ersetzen kann. - Wenn die Basen gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein.

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Gleichung zur Basis \(2\). Es gilt \(8 = 2^3\) und \(\sqrt[x]{2^{15}} = 2^{\frac{15}{x}}\). Gleichsetzen der Exponenten: \(\frac{15}{x} = 3\), woraus \(x = 5\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Potenzgesetze für Division und Wurzeln. \(\frac{7^{\frac{5}{3}}}{7^k} = 7^{\frac{2}{3}}\) führt zu \(7^{\frac{5}{3} - k} = 7^{\frac{2}{3}}\). Exponentenvergleich: \(\frac{5}{3} - k = \frac{2}{3}\), also \(k = \frac{3}{3} = 1\). 3. Teilaufgabe c): Umschreiben der rechten Seite zur Basis \(10\). \(\frac{1}{\sqrt[4]{100}} = \frac{1}{(10^2)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{10^{\frac{2}{4}}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} = 10^{-\frac{1}{2}}\). Somit ist \(k = -0{,}5\).

a) \(x = 5\) b) \(k = 1\) c) \(k = -0{,}5\) (oder \(k = -\frac{1}{2}\))

- Erinnere dich daran, wie man negative Exponenten in positive umwandelt. - Kannst du Terme im Zähler erst zusammenfassen, bevor du die Wurzel ziehst oder dividierst? - Behandle Ausdrücke in Klammern wie eine einzelne Basis. - Wie geht man vor, wenn im Exponenten einer Potenz eine Variable steht?

1. Teilaufgabe a): Umschreiben des Nenners \(\frac{1}{x^{-6}} = x^6\), dann \(\sqrt[3]{3^3 \cdot x^6} = 3 \cdot x^2\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung der Wurzel im Nenner zu \((a^{3n} \cdot b^{2n})^{\frac{1}{n}} = a^3 \cdot b^2\), dann Invertierung zu \(a^{-3} \cdot b^{-2}\). 3. Teilaufgabe c): Multiplikation im Zähler ergibt \(\sqrt[3]{x^{2+7}} = \sqrt[3]{x^9} = x^3\). Division durch den Nenner \(x^3 : x^2 = x^1 = x\). 4. Teilaufgabe d): Anwendung der Regel für rationale Exponenten auf die Differenz \((a-b)^{\frac{12}{4}} = (a-b)^3\).

a) \(3x^2\) b) \(a^{-3} \cdot b^{-2}\) oder \(\frac{1}{a^3 \cdot b^2}\) c) \(x\) d) \((a-b)^3\)

- Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Schreibe alle Wurzeln zuerst in die Potenzschreibweise um, um sie besser verrechnen zu können. - Überlege, welche Zahl hoch drei \(27\) ergibt. - Was ist der Wert einer Potenz, wenn der Exponent null ergibt?

1. Anwendung des Gesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(z^{\frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{2})} = z^{-1} = \frac{1}{z}\) 2. Umwandlung aller Wurzeln in Potenzen mit der Basis \(x\): \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{5}{6}}\). Addition der Exponenten mit Hauptnenner \(6\): \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = 0\). Ergebnis: \(x^0 = 1\) 3. Potenzieren der einzelnen Faktoren in der Klammer: \(27^{\frac{1}{3}} \cdot (a^6)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot a^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 3a^2\)

a) \(z^{-1}\) oder \(\frac{1}{z}\) b) \(1\) c) \(3a^2\)

- Arbeite dich bei geschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Kannst du die Zahl \(8\) als eine Potenz mit der Basis \(2\) schreiben, um den Bruch im Exponenten zu vereinfachen? - Vergiss nicht, dass eine Variable im Nenner ohne sichtbaren Exponenten den Exponenten \(1\) hat. - Schreibe alle Faktoren als Potenzen derselben Basis und fasse die Exponenten zusammen.

1. Innere Wurzel als Potenz schreiben: \(\sqrt{a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{a^{\frac{4}{3}}}\). Äußere Wurzel anwenden: \((a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}\) (oder \(\sqrt[3]{a^2}\)). 2. Zähler vereinfachen: \(8^{\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 \cdot x^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2\). Gesamter Bruch: \(\frac{4x^2}{4x} = x\). 3. Alle Terme als Potenzen zur Basis \(z\) schreiben: \(z^{-\frac{1}{2}} \cdot z^{\frac{6}{4}} \cdot z^{-1}\). Exponenten addieren: \(-\frac{2}{4} + \frac{6}{4} - \frac{4}{4} = 0\). Ergebnis: \(z^0 = 1\).

a) \(a^{\frac{2}{3}}\) oder \(\sqrt[3]{a^2}\) b) \(x\) c) \(1\)

- Schreibe die Wurzeln zuerst in die Form \(x^{\frac{1}{n}}\) um. - Welches Gesetz kennst du für das Multiplizieren von Potenzen, die denselben Exponenten haben? - Fasse im zweiten Teil zuerst die Zahlen unter einer einzigen Wurzel zusammen.

1. Begründung über Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für gleiche Exponenten: \(a^k \cdot b^k = (a \cdot b)^k\). Hier ist \(k = \frac{1}{n}\), also \(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}}\). 3. Rückumwandlung in Wurzelschreibweise: \((a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b}\). 4. Berechnung des Beispiels: \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16}\). 5. Bestimmung der 4. Wurzel aus 16: Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\).

a) Die Herleitung erfolgt über \(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b}\). b) \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{16} = 2\).

- Welche rationalen Exponenten entsprechen den Wurzeln in a) und c)? - Welche binomische Formel passt zu b), und was passiert beim Produkt der beiden mittleren Potenzen? - Bringe in c) alle Faktoren auf dieselbe Basis und addiere beziehungsweise subtrahiere anschließend die Exponenten.

1. In a) gilt \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\). Daher ist \(\sqrt[4]{x^3\sqrt{x}}=(x^{3+\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{7}{8}}=\sqrt[8]{x^7}\). 2. In b) liefert die erste binomische Formel \(y^{\frac{2}{3}}+2y^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{3}}+y^{-\frac{2}{3}}\). Der mittlere Faktor ist \(y^0=1\), also ergibt sich \(y^{\frac{2}{3}}+2+y^{-\frac{2}{3}}\). 3. In c) werden alle Faktoren als Potenzen zur Basis \(z\) geschrieben: \(z^{\frac{4}{3}}z^{-1}z^{-\frac{1}{6}}\). Die Summe der Exponenten ist \(\frac{8}{6}-\frac{6}{6}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\). Damit ist das Ergebnis \(z^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{z}\).

a) \(x^{\frac{7}{8}}\) oder \(\sqrt[8]{x^7}\) b) \(y^{\frac{2}{3}}+2+y^{-\frac{2}{3}}\) c) \(z^{\frac{1}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{z}\)

- Achte bei Binomen darauf, auch die Koeffizienten vor den Wurzeln zu quadrieren. - Kannst du Brüche in den Exponenten auf den gleichen Nenner bringen, um sie zu addieren oder zu subtrahieren? - Wie verrechnet man Exponenten im Zähler und Nenner eines Bruches?

1. Teilaufgabe a: Anwendung der ersten binomischen Formel liefert \((2\sqrt{a})^2 + 2 \cdot (2\sqrt{a}) \cdot (3\sqrt{b}) + (3\sqrt{b})^2\). Das Quadrieren der einzelnen Faktoren und das Zusammenfassen des mittleren Terms ergibt \(4a + 12\sqrt{ab} + 9b\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung in Potenzen ergibt \(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{8}}\). Da \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) ist, addieren sich die Exponenten zu \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1\). Das Ergebnis ist \(x\). 3. Teilaufgabe c: Darstellung als Potenzen ergibt \(\frac{y^2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2}{3}}}\). Die Verrechnung der Exponenten lautet \(2 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3}\). Mit dem Hauptnenner 6 ergibt dies \(\frac{12}{6} + \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = \frac{11}{6}\). Das Ergebnis ist \(y^{\frac{11}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{y^{11}}\).

a) \(4a + 12\sqrt{ab} + 9b\) b) \(x\) c) \(y^{\frac{11}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{y^{11}}\)

- Beginne damit, den Ausdruck von innen nach außen zu vereinfachen. - Denk daran, dass \(a\) dasselbe ist wie \(a^1\). - Wie verrechnet man eine Potenz, die nochmals potenziert wird?

1. Umwandlung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}\). 2. Vereinfachung des Terms unter der äußeren Wurzel: \(a \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^1 \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{1 + \frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{3}}\). 3. Anwendung der äußeren Wurzel auf das Zwischenergebnis: \(\sqrt[3]{a^{\frac{5}{3}}} = (a^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für das Potenzieren von Potenzen (Multiplikation der Exponenten): \(\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{9}\). 5. Endergebnis: \(a^{\frac{5}{9}}\).

\(a^{\frac{5}{9}}\)

- Es hilft oft, zuerst alle Wurzeln in Brüche im Exponenten umzuwandeln. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du einen negativen Exponenten im Nenner subtrahierst. - Bringe die Brüche in den Exponenten auf einen gemeinsamen Hauptnenner, um sie leichter verrechnen zu können.

1. Umwandlung beider Wurzeln in Potenzschreibweise: Zähler \((x^2 y)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}\), Nenner \((x y^{-1})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}}\). 2. Trennung der Variablen nach Basen: \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{2}}}\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes für die Division (Subtraktion der Exponenten): Für \(x\): \(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\). Für \(y\): \(\frac{1}{3} - (-\frac{1}{2}) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\). 4. Zusammenführung der Ergebnisse: \(x^{\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{5}{6}}\).

\(x^{\frac{1}{6}} y^{\frac{5}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{x \cdot y^5}\)

- Welche Variable kommt in beiden Grundformeln vor? - Wie kannst du eine der Formeln so umstellen, dass du diese gemeinsame Variable ersetzen kannst? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt. - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Auflösen der Oberflächenformel \(O = 6a^2\) nach der Kantenlänge \(a\): \(a^2 = \frac{O}{6} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{O}{6}}\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(a\) in die Volumenformel \(V = a^3\): \(V = \left(\sqrt{\frac{O}{6}}\right)^3\). 3. Umwandeln der Wurzel in die Potenzschreibweise: \(\sqrt{\frac{O}{6}} = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\). 4. Anwenden der Potenzgesetze \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\): \(V = \left(\left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^3 = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\). 5. Vergleich mit der Zielformel ergibt \(k = 6\) und \(n = \frac{3}{2}\) (oder \(n = 1{,}5\)).

Die hergeleitete Formel lautet \(V = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\) (oder \(V = \sqrt{\left(\frac{O}{6}\right)^3}\)).

- Ersetze in der gegebenen Formel das ursprüngliche Volumen durch das Achtfache. - Welches Potenzgesetz trennt eine Potenz eines Produkts in zwei Faktoren? - Wie kannst du \(8^{\frac{2}{3}}\) mithilfe einer Kubikwurzel deuten?

1. Sei \(V_1\) das ursprüngliche Volumen. Dann ist \(O_1=6V_1^{\frac{2}{3}}\). 2. Das neue Volumen lautet \(V_2=8V_1\). Damit ist \(O_2=6(8V_1)^{\frac{2}{3}}\). 3. Mit dem Potenzgesetz für Produkte folgt \(O_2=6\cdot8^{\frac{2}{3}}V_1^{\frac{2}{3}}\). 4. Es gilt \(8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4\). 5. Somit ist \(O_2=4\cdot6V_1^{\frac{2}{3}}=4O_1\). Der Materialbedarf für die Außenhülle vervierfacht sich.

Der Oberflächeninhalt und damit der Materialbedarf für die Außenhülle vergrößern sich um den Faktor \(4\).

- Probiere einfache Zahlenbeispiele aus, um ein Gefühl für die Aussagen zu bekommen. - Was passiert, wenn die Basis eine Zahl zwischen 0 und 1 ist? - Überlege dir, wie sich der Wert einer Potenz verändert, wenn der Exponent verändert wird. - Denke an die Bedeutung von Exponenten wie \(0{,}5\).

1. Analyse zu a): Die Aussage behauptet \(a^{2n} = 2 \cdot a^n\). Dies ist im Allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel: Sei \(a = 3\) und \(n = 1\). Dann ist \(3^1 = 3\). Verdoppelt man den Exponenten auf \(n = 2\), erhält man \(3^2 = 9\). Da \(9 \neq 2 \cdot 3 = 6\), ist die Aussage widerlegt. 2. Analyse zu b): Die Aussage behauptet \(a^x < a\) für \(0 < x < 1\). Dies ist nur für Basen \(a > 1\) wahr. Für Basen zwischen 0 und 1 ist die Aussage falsch. Ein Gegenbeispiel: Sei \(a = 0{,}25\) und \(x = 0{,}5\). Es gilt \(0{,}25^{0{,}5} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\), ist das Ergebnis größer als die Basis, womit die Aussage widerlegt ist.

a) Falsch. Gegenbeispiel: \(3^1 = 3\), aber \(3^{2 \cdot 1} = 9\). Der Wert hat sich verdreifacht, nicht verdoppelt. b) Falsch. Dies gilt nur für \(a > 1\). Gegenbeispiel: \(0{,}25^{0{,}5} = 0{,}5\). Hier ist das Ergebnis \(0{,}5\) größer als die Basis \(0{,}25\).

- Vergleiche die beiden Seiten zuerst für einen positiven und einen negativen Wert mit gleichem Betrag. - Welche Bedeutung hat der Exponent \(0{,}5\) für nichtnegative Zahlen? - Suche für Teil c) nach einer Schreibweise, die unabhängig vom Vorzeichen von \(x\) stets nichtnegativ ist.

1. Für \(x=4\) gilt \((4^2)^{0{,}5}=16^{0{,}5}=\sqrt{16}=4\). Die Gleichung ist wahr. 2. Für \(x=-4\) gilt \(((-4)^2)^{0{,}5}=16^{0{,}5}=4\ne-4\). Die Gleichung ist falsch. 3. Der Exponent \(0{,}5\) entspricht der Quadratwurzel. Nach dem Quadrieren ist das Vorzeichen der Ausgangszahl nicht mehr erkennbar, und die Quadratwurzel liefert stets den nichtnegativen Wert. 4. Für alle reellen \(x\) gilt daher \((x^2)^{0{,}5}=|x|\).

a) Für \(x=4\) wahr; für \(x=-4\) falsch. b) Die Potenz mit Exponent \(0{,}5\) liefert wie die Quadratwurzel einen nichtnegativen Wert. c) \((x^2)^{0{,}5}=|x|\)

- Erinnere dich daran, dass \(x^0 = 1\) gilt (für \(x \neq 0\)). - Wie addiert man Brüche im Exponenten? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Variablen im Bruch?

1. Anwendung des Distributivgesetzes und Addition der Exponenten bei gleicher Basis. 2. Teilaufgabe a): \(x^{-3} \cdot x^5 - x^{-3} \cdot 2x^3 + x^{-3} \cdot 4x^2 = x^2 - 2x^0 + 4x^{-1} = x^2 - 2 + 4x^{-1}\). 3. Teilaufgabe b): \(z^{\frac{1}{2}} \cdot z^{\frac{3}{2}} - z^{\frac{1}{2}} \cdot 5z^{-\frac{1}{2}} = z^{\frac{4}{2}} - 5z^0 = z^2 - 5\). 4. Teilaufgabe c): \(2a^2b^{-2} \cdot ab^2 - 2a^2b^{-2} \cdot 3b^3 = 2a^3b^0 - 6a^2b^1 = 2a^3 - 6a^2b\).

a) \(x^2 - 2 + 4x^{-1}\) (oder \(x^2 - 2 + \frac{4}{x}\)) b) \(z^2 - 5\) c) \(2a^3 - 6a^2b\)

- Kannst du Wurzeln in eine Potenzschreibweise umwandeln, um die Rechenregeln besser anwenden zu können? - Überlege dir, welche Potenzregel zuerst angewendet werden muss, wenn eine Klammer selbst noch eine Potenz hat. - Multipliziere Brüche, indem du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizierst.

1. Teilaufgabe a): Zuerst die Potenz der Klammer auflösen: \((xy^2)^3 = x^3y^6\). Dann ausmultiplizieren: \(x^3y^6 \cdot x^{-2}y^{-4} + x^3y^6 \cdot 3x^{-3}y^{-6} = x^1y^2 + 3x^0y^0 = xy^2 + 3\). 2. Teilaufgabe b): Wurzeln als Potenzen schreiben: \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt{a^3} = a^{\frac{3}{2}}\). Ausmultiplizieren: \(a^{\frac{1}{2}} \cdot 2a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}} \cdot 4a^{-\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{4}{2}} - 4a^0 + a^0 = 2a^2 - 4 + 1 = 2a^2 - 3\). 3. Teilaufgabe c): Koeffizienten und Variablen getrennt verrechnen: \(\frac{2}{3} \cdot 6 u^0 v - \frac{2}{3} \cdot 9 u^2 v^0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^3 v^3 = 4v - 6u^2 + u^3v^3\).

a) \(xy^2 + 3\) b) \(2a^2 - 3\) c) \(4v - 6u^2 + u^3v^3\)

- Wie lassen sich Dezimalzahlen im Exponenten als Brüche schreiben? - Welche Regeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Exponenten? - Könnte es helfen, alle Wurzeln einheitlich als Potenzen mit rationalen Exponenten darzustellen?

1. Umwandlung des Dezimalbruchs in einen echten Bruch: \(1{,}25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\). Somit gilt \(x^{1{,}25} = x^{5/4} = \sqrt[4]{x^5}\). 2. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz: \(a^{2/3} \cdot a^{1/3}\). Anwendung des Potenzgesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(a^{2/3 + 1/3} = a^1 = a\). 3. Umwandlung des Exponenten: \(-0{,}25 = -\frac{1}{4}\). Berechnung: \(16^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Umwandlung beider Terme in Potenzen: \(\frac{z^{3/2}}{z^{2/4}} = \frac{z^{1{,}5}}{z^{0{,}5}}\). Anwendung des Gesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(z^{1{,}5 - 0{,}5} = z^1 = z\).

a) \(\sqrt[4]{x^5}\) b) \(a\) c) \(0{,}5\) d) \(z\)

- Welche rationalen Exponenten haben die beiden Faktoren in a)? - Kannst du in b) zuerst die innere Kubikwurzel vollständig vereinfachen? - Schreibe in c) beide Seiten als Potenzen zur Basis \(5\), bevor du die Exponenten vergleichst.

1. In a) gilt \(\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}\). Daher ist \(x\cdot\sqrt[4]{x^3}=x^1\cdot x^{\frac{3}{4}}=x^{\frac{7}{4}}\). 2. In b) ist \(\sqrt[3]{y^6}=y^2\). Damit folgt \(\sqrt[6]{y^4y^2}=\sqrt[6]{y^6}=y\). 3. In c) wird die linke Seite zu \(5^{\frac{k}{3}}\), während \(25=5^2\) gilt. Aus \(\frac{k}{3}=2\) folgt \(k=6\).

a) \(x^{\frac{7}{4}}\) b) \(y\) c) \(k=6\)

- Kannst du die Potenz mit dem Bruch im Exponenten als Wurzel schreiben? - Was ist der Kehrwert des Exponenten, um die Variable zu isolieren? - Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen möchtest? - Überprüfe dein Ergebnis aus Teil c) mit deiner Rechnung aus Teil a).

1. Einsetzen von \(V = 125\) in die Formel: \(m = 0{,}4 \cdot 125^{2/3}\). 2. Berechnung der Potenz: \(125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25\). 3. Multiplikation: \(m = 0{,}4 \cdot 25 = 10\). Die Masse beträgt \(10\,\text{kg}\). 4. Umstellen der Formel nach \(V\): Zuerst Division durch \(0{,}4\) ergibt \(\frac{m}{0{,}4} = V^{2/3}\), was \(2{,}5m = V^{2/3}\) entspricht. 5. Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{3}{2}\): \(V = (2{,}5m)^{3/2}\) oder \(V = \sqrt{(2{,}5m)^3}\). 6. Für \(m = 10\) ergibt sich \(V = (2{,}5 \cdot 10)^{3/2} = 25^{3/2} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125\). Das Volumen beträgt \(125\,\text{dm}^3\).

a) Die Masse beträgt \(10\,\text{kg}\). b) \(V = (2{,}5m)^{3/2}\) oder \(V = \sqrt{15{,}625 \cdot m^3}\). c) Das Innenvolumen beträgt \(125\,\text{dm}^3\).

- Wie lässt sich eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch darstellen? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn ein Produkt in der Klammer steht und potenziert wird? - Wenn du eine Gleichung nach einer Basis auflösen willst, mit welchem Exponenten musst du beide Seiten potenzieren?

1. Einsetzen von \(x = 16\): \(y = 3 \cdot 16^{0{,}75} = 3 \cdot 16^{3/4}\). 2. Berechnung der Potenz: \(16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\). 3. Ergebnis für a): \(y = 3 \cdot 8 = 24\). 4. Umformen nach \(x\): Division durch 3 liefert \(\frac{y}{3} = x^{3/4}\). 5. Potenzieren mit dem Kehrwert \(\frac{4}{3}\): \(x = (\frac{y}{3})^{4/3}\). 6. Untersuchung der Änderung: Ersetzt man \(x\) durch \(81x\), folgt \(y_{neu} = 3(81x)^{3/4} = 3 \cdot 81^{3/4} \cdot x^{3/4}\). 7. Da \(81^{3/4} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27\), gilt \(y_{neu} = 27 \cdot (3x^{3/4}) = 27y\). Der Wert vergrößert sich um den Faktor 27.

a) \(y = 24\) b) \(x = (\frac{y}{3})^{4/3}\) c) Der Wert von \(y\) vergrößert sich um den Faktor 27, da \((81 \cdot x)^{3/4} = 81^{3/4} \cdot x^{3/4} = 27x^{3/4}\).

- Schreibe alle Wurzeln zuerst in die Potenzschreibweise mit Brüchen um. - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der Wurzel in eine Potenz \(\sqrt{x} = x^{0{,}5}\). Anwendung des Gesetzes \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\): \(x^{0{,}5} \cdot x^2 = x^{2{,}5}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung \(\sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}}\). Anwendung des Gesetzes \(\frac{y^m}{y^n} = y^{m-n}\): \(y^{\frac{2}{3}} {:} y^1 = y^{\frac{2}{3} - 1} = y^{-\frac{1}{3}}\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen in der Klammer \(a^{0{,}5} \cdot a^{0{,}25} = a^{0{,}75}\). Potenzieren einer Potenz \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \((a^{0{,}75})^2 = a^{1{,}5}\). 4. Teilaufgabe d): Umwandlung des Nenners \(\sqrt{z^3} = (z^3)^{0{,}5} = z^{1{,}5}\). Der Bruch ergibt \(\frac{z^{1{,}5}}{z^{1{,}5}} = 1\), was als Potenz \(z^0\) geschrieben werden kann.

a) \(x^{2{,}5}\) b) \(y^{-\frac{1}{3}}\) c) \(a^{1{,}5}\) d) \(z^0\) oder \(1\)

- Kannst du die Quadratwurzel aus einem Produkt ziehen, indem du die Exponenten der Faktoren betrachtest? - Wie berechnet man das Volumen eines Würfels, wenn die Seitenlänge der Grundfläche bekannt ist? - Erinnere dich an das Gesetz zur Potenzierung von Potenzen: \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\).

1. Berechnung der Seitenlänge \(s\) durch Wurzelziehen: \(s = \sqrt{2^8 \cdot 5^2} = (2^8 \cdot 5^2)^{\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze: \(s = 2^{8 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80\,\text{m}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\) des Würfels: \(V = s^3 = 80^3 = 512\,000\,\text{m}^3\). 4. Darstellung als Potenzprodukt: \(V = (2^4 \cdot 5)^3 = 2^{4 \cdot 3} \cdot 5^{1 \cdot 3} = 2^{12} \cdot 5^3\).

a) \(s = 80\,\text{m}\) b) \(V = 512\,000\,\text{m}^3\) c) \(V = 2^{12} \cdot 5^3\)

- Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel in eine Potenz mit einem Bruch als Exponenten umschreibt. - Kannst du die Brüche in den Exponenten der drei Terme kürzen? - Was fällt dir auf, wenn du die gekürzten Brüche miteinander vergleichst?

1. Umwandlung der Wurzelterme in die Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten unter Verwendung der Regel \(\sqrt[n]{y^m} = y^{\frac{m}{n}}\). 2. Term A: \(y^{\frac{3}{6}} = y^{\frac{1}{2}}\). 3. Term B: \(y^{\frac{2}{4}} = y^{\frac{1}{2}}\). 4. Term C: \(y^{\frac{5}{10}} = y^{\frac{1}{2}}\). 5. Da alle drei Terme nach dem Kürzen der Brüche im Exponenten den gleichen Exponenten \(\frac{1}{2}\) besitzen, sind sie für alle \(y \ge 0\) äquivalent. 6. Die einfachste Form ist \(y^{\frac{1}{2}}\) oder \(\sqrt{y}\).

Alle Terme sind äquivalent zu \(y^{\frac{1}{2}}\) bzw. \(\sqrt{y}\), da sich die rationalen Exponenten \(\frac{3}{6}\), \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{5}{10}\) alle auf \(\frac{1}{2}\) kürzen lassen.

- Berechne zunächst beide Ausdrücke an den beiden vorgegebenen Stellen. - Nutze in Teil b) die Verbindung zwischen Wurzelnotation und rationalen Exponenten und kürze den Exponentenbruch, wenn möglich. - Vergleiche in Teil c) die Radikanden \(x^2\) und \(|x|\) hinsichtlich ihres Vorzeichens.

1. Für \(x=16\) gilt \(A=\sqrt[4]{256}=4\) und \(B=\sqrt{16}=4\). Für \(x=-16\) gilt ebenfalls \(A=\sqrt[4]{256}=4\) und \(B=\sqrt{16}=4\). 2. Für \(x>0\) gilt \(A=(x^2)^{\frac14}=x^{\frac24}=x^{\frac12}\). Außerdem ist wegen \(|x|=x\) auch \(B=\sqrt{x}=x^{\frac12}\). Somit ist \(A=B\). 3. Bei \(A\) ist der Radikand \(x^2\) für alle reellen \(x\) nichtnegativ. Bei \(B\) stellt der Betrag sicher, dass auch für negative \(x\) ein nichtnegativer Radikand entsteht.

a) Für \(x=16\) und \(x=-16\) gilt jeweils \(A=B=4\). b) Für \(x>0\): \(A=x^{\frac12}=B\) c) Das Quadrat in \(A\) und der Betrag in \(B\) sorgen jeweils für einen nichtnegativen Radikanden.

- Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\) gilt. - Bei verschachtelten Wurzeln ist es oft hilfreich, von innen nach außen zu arbeiten. - Welche Rechenregel gilt für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Kannst du einen Wurzelexponenten und einen Potenzexponenten wie einen Bruch kürzen?

1. In Aufgabenteil a) wird die innere Wurzel als Potenz geschrieben: \(b \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{1 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{4}{3}}\). Die äußere Quadratwurzel entspricht dem Exponenten \(\frac{1}{2}\), also \((b^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{4}{6}} = b^{\frac{2}{3}}\). Als einzelne Wurzel geschrieben ergibt dies \(\sqrt[3]{b^2}\). 2. In Aufgabenteil b) wird der Radikand als Quadrat geschrieben: \(49p^2 = (7p)^2\). Der Ausdruck \(\sqrt[4]{(7p)^2}\) kann als Potenz \((7p)^{\frac{2}{4}}\) dargestellt werden. Kürzen des Bruchs im Exponenten führt zu \((7p)^{\frac{1}{2}}\), was der Quadratwurzel \(\sqrt{7p}\) entspricht. 3. In Aufgabenteil c) werden die Wurzeln der linken Seite als Potenzen geschrieben: \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}\). Nach den Potenzgesetzen werden die Exponenten addiert: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Somit gilt \(2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\), was der rechten Seite der Gleichung entspricht.

a) \(\sqrt[3]{b^2}\) b) \(\sqrt{7p}\) c) Der Nachweis erfolgt über die Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\).

- Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Wie lässt sie sich auf Terme mit Exponenten anwenden? - Wie hängen die Exponenten \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{3}\) zusammen? - Kannst du die Wurzeln im zweiten Teil direkt im Kopf ziehen? - Was bedeutet ein rationaler Exponent wie \(\frac{1}{3}\) als Wurzel geschrieben?

1. Umschreiben des Zählers unter Ausnutzung der Potenzgesetze: \(x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2\) und \(y^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{1}{3}})^2\) 2. Anwendung der dritten binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) auf den Zähler mit \(a = x^{\frac{1}{3}}\) und \(b = y^{\frac{1}{3}}\): \(x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})\) 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})\) im Bruch führt zum vereinfachten Term \(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}\) 4. Einsetzen der Werte \(x = 27\) und \(y = 8\): \(27^{\frac{1}{3}} - 8^{\frac{1}{3}}\) 5. Berechnung der dritten Wurzeln: \(3 - 2 = 1\)

a) \( E = x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} \) (oder \( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} \)) b) \( 1 \)

- Was bedeutet ein Bruchstrich für die Verrechnung der Exponenten? - Wenn der Exponent ein unechter Bruch ist (Zähler größer als Nenner), kannst du einen Teil vor die Wurzel ziehen. - Vergiss nicht, Brüche im Exponenten so weit wie möglich zu kürzen.

1. Umwandlung aller Terme in die Potenzschreibweise: \(y^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{5}{6}} \cdot y^{-\frac{1}{2}}\). Zusammenfassen der Exponenten durch Addition und Subtraktion: \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1\). Das Ergebnis ist \(y^1 = y\). 2. Umwandlung in rationale Exponenten: \(k^{\frac{2}{3}} \cdot k^{\frac{3}{4}} {:} k^{\frac{1}{12}}\). Berechnung des Gesamtexponenten: \(\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[3]{k^4} = k \cdot \sqrt[3]{k}\). 3. Umwandlung: \(z^{\frac{4}{5}} {:} z^{\frac{2}{15}}\). Subtraktion der Exponenten: \(\frac{4}{5} - \frac{2}{15} = \frac{12}{15} - \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\). Das Ergebnis in Wurzelschreibweise ist \(\sqrt[3]{z^2}\).

1) \(y\) 2) \(k \cdot \sqrt[3]{k}\) 3) \(\sqrt[3]{z^2}\)

- Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben, um bekannte Rechenregeln für Potenzen zu nutzen? - Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Wie rechnet man, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du den Wert einer Potenz mit rationalem Exponenten schrittweise berechnen (zuerst die Wurzel, dann der Exponent oder umgekehrt)?

1. Aussage a): Umwandlung in Potenzen ergibt \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\). Anwendung des Potenzgesetzes \(x^p \cdot x^q = x^{p+q}\) führt zu \(x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = x^1 = x\). Die Aussage ist wahr. 2. Aussage b): Die linke Seite wird zu \(a^{\frac{1}{6}}\), die rechte Seite ist \(a^{\frac{1}{5}}\). Die Gleichung gilt nicht für alle \(a \ge 0\). Zum Beispiel ergibt \(a=64\) links \(64^{\frac{1}{6}}=2\), rechts jedoch \(64^{\frac{1}{5}} \neq 2\), da \(2^5=32\). Die Aussage ist daher falsch. 3. Aussage c): Umwandlung ergibt \(\frac{1}{16^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}}\). Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\). Somit gilt \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr, da \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^1\). b) Falsch; zum Beispiel ist für \(a=64\) die linke Seite \(2\), während \(64^{\frac{1}{5}} \neq 2\) gilt. c) Wahr, da \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

- Erinnere dich, wie man Brüche mit Wurzeln im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten schreibt. - Welche Zahl hoch vier ergibt 16? - Welches Potenzgesetz gilt, wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Denke daran, dass \(x\) auch als \(x^1\) geschrieben werden kann.

1. Darstellung als Potenz: Der Ausdruck \(\sqrt[4]{x^3}\) entspricht \(x^{3/4}\). Da dieser im Nenner steht, gilt \(T = x^{-3/4}\). 2. Berechnung für \(x = 16\): Einsetzen ergibt \(16^{-3/4} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3}\). Mit \(\sqrt[4]{16} = 2\) folgt \(\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 3. Nachweis der Identität: Multiplikation \(x^{-3/4} \cdot x^1\). Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) ergibt \(x^{-3/4 + 1} = x^{1/4}\). Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[4]{x}\).

a) \(T = x^{-3/4}\) b) \(0{,}125\) c) \(x^{-3/4} \cdot x^1 = x^{1/4} = \sqrt[4]{x}\)

- Wenn ein Produkt in der Klammer steht, muss jeder Faktor einzeln potenziert werden. - Nutze die Regel \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \), um Wurzeln und Potenzen zusammenzufassen. - Brüche im Exponenten lassen sich oft kürzen, bevor man das Endergebnis berechnet. - Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für ein Produkt: \( 3^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = 27 \cdot 2 = 54 \). 2. Verrechnung der Exponenten: \( \frac{5^{\frac{12}{6}}}{5} = \frac{5^2}{5} = 5^1 = 5 \). 3. Umformung in Potenzschreibweise: \( (4^{\frac{1}{4}})^2 = 4^{\frac{2}{4}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 \). 4. Vereinfachung des Zählers und Division: \( \frac{y^{\frac{9}{3}}}{y^2} = \frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y \).

1. \( 54 \) 2. \( 5 \) 3. \( 2 \) 4. \( y \)

- Überlege zuerst, wie du Wurzeln als Potenzen schreiben kannst. - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Teilen von Potenzen mit der gleichen Basis. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn er vom Nenner in den Zähler wandert? - Versuche, alle Terme auf die Form \(x^a y^b\) zu bringen.

1. Umwandlung der Wurzel im Nenner in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \((x \cdot y^{-1})^{\frac{1}{4}}\) 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) auf Zähler und Nenner: \(\frac{x^{\frac{2}{4}} \cdot y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{4}}}\) 3. Anwendung des Potenzgesetzes für Quotienten \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) für die Basen \(x\) und \(y\): \(x^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{3}{4} - (-\frac{1}{4})}\) 4. Berechnung der Exponenten: \(x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{4}{4}} = x^{\frac{1}{4}} \cdot y^1\) 5. Rückführung des rationalen Exponenten in die Wurzelschreibweise: \(y\sqrt[4]{x}\)

\(y\sqrt[4]{x}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen des Faktors \(-2\), wenn die ganze Klammer hoch \(3\) genommen wird? - Welche rationale Potenz entspricht \(\sqrt[5]{x^2}\) unter der gegebenen Bedingung \(x>0\)? - Welche Vorzeichen haben die Faktoren des vereinfachten Terms für zulässige \(x\)?

1. Potenziere die Faktoren getrennt: \(T=(-2)^3x^3(\sqrt[5]{x^2})^3\). 2. Wegen \(x>0\) gilt \(\sqrt[5]{x^2}=x^{\frac{2}{5}}\). Damit ist \(T=-8x^3x^{\frac{6}{5}}=-8x^{\frac{21}{5}}=-8x^4\sqrt[5]{x}\). 3. Für \(x>0\) sind \(x^4\) und \(\sqrt[5]{x}\) positiv. Mit dem negativen Faktor \(-8\) ist \(T\) daher stets negativ.

1) \(-8x^4\sqrt[5]{x}\) 2) Ja. Für jedes \(x>0\) ist \(T<0\).

- Überlege, wie du den Ausdruck in der Klammer zuerst vereinfachen kannst oder ob es leichter ist, die äußere Potenz zuerst anzuwenden. - Kannst du die Wurzel in eine andere Schreibweise umwandeln, um besser mit den Exponenten zu rechnen? - Welche Regeln kennst du für das Potenzieren von Produkten und Brüchen? - Wie verhalten sich eine dritte Wurzel und eine dritte Potenz zueinander?

1. Anwendung der Potenzregel \( (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \) auf die Klammer: \( \left( \frac{a^2}{b} \right)^3 \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{b^2}{a^3}} \right)^3 \) 2. Potenzieren des ersten Bruchs: \( \frac{(a^2)^3}{b^3} = \frac{a^6}{b^3} \) 3. Auflösen der dritten Wurzel durch den Exponenten 3 beim zweiten Faktor: \( \frac{b^2}{a^3} \) 4. Multiplikation der Teilergebnisse: \( \frac{a^6}{b^3} \cdot \frac{b^2}{a^3} = \frac{a^6 \cdot b^2}{b^3 \cdot a^3} \) 5. Kürzen der Variablen unter Verwendung der Potenzgesetze für die Division: \( a^{6-3} \cdot b^{2-3} = a^3 \cdot b^{-1} = \frac{a^3}{b} \)

\( \frac{a^3}{b} \)

- Es hilft oft, alle Wurzeln zuerst in Potenzen mit rationalen Exponenten umzuwandeln. - Wie lassen sich geschachtelte Ausdrücke (Wurzel in einer Wurzel) von innen nach außen auflösen? - Kannst du den Zähler und den Nenner zuerst separat zu jeweils einer Potenz zusammenfassen? - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit derselben Basis dividiert.

1. Umwandlung aller Wurzeln im Zähler in Potenzen mit rationalen Exponenten: \( \sqrt{x \cdot x^{2/3}} = (x^{1 + 2/3})^{1/2} = (x^{5/3})^{1/2} \) 2. Vereinfachung des Zählers durch Multiplikation der Exponenten: \( x^{5/6} \) 3. Umwandlung des Nenners in eine Potenz: \( x^1 \cdot x^{1/6} = x^{1 + 1/6} = x^{7/6} \) 4. Anwendung der Divisionsregel für Potenzen (\( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)): \( x^{5/6} {:} x^{7/6} = x^{5/6 - 7/6} = x^{-2/6} \) 5. Kürzen des Bruchs im Exponenten und Umwandlung in die Wurzelschreibweise: \( x^{-1/3} = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)

\( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)

- Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Könnte es helfen, zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammer zu vereinfachen? - Welches Potenzgesetz wendest du an, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Umwandlung der Wurzeln in Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \) und \( \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Addition der Exponenten: \( a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{2 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} \). 3. Vereinfachen des Bruchs innerhalb der Klammer durch Subtraktion der Exponenten: \( \frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{15}{6} - \frac{4}{6}} = a^{\frac{11}{6}} \). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für das Potenzieren von Potenzen: \( \left( a^{\frac{11}{6}} \right)^6 = a^{\frac{11}{6} \cdot 6} = a^{11} \).

\( a^{11} \)

- Beginne damit, die Klammer im Zähler aufzulösen. Welches Gesetz hilft dir dabei? - Wie verrechnet man Exponenten, wenn Potenzen mit der gleichen Basis dividiert werden? - Was bedeutet ein negativer Exponent beim Subtrahieren im Nenner? - Erinnere dich an den Wert von Potenzen mit dem Exponenten 0.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte auf den Zähler: \((x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{2}})^4 = (x^{\frac{1}{4}})^4 \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^4\). 2. Multiplikation der Exponenten im Zähler: \(x^{\frac{1}{4} \cdot 4} \cdot y^{-\frac{1}{2} \cdot 4} = x^1 \cdot y^{-2}\). 3. Einsetzen in den ursprünglichen Bruch: \(\frac{x^1 \cdot y^{-2}}{x^1 \cdot y^{-3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für die Division bei gleicher Basis: \(x^{1-1} \cdot y^{-2 - (-3)}\). 5. Verrechnung der Exponenten: \(x^0 \cdot y^1\). 6. Da \(x^0 = 1\) (für \(x \neq 0\)), ergibt sich als Endergebnis \(y\).

\(y\)

- Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann. - Wie verhalten sich Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Versuche die Zahl unter der Wurzel als Potenz einer kleinen Basis (wie 2, 3 oder 5) darzustellen.

1. Berechnung der Werte: \(\sqrt{\sqrt{625}} = \sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt[4]{625} = 5\). Die Werte sind identisch. 2. Begründung über Potenzen: Nach der Definition ist \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\). Somit gilt \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\). Durch Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) folgt \(a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}}\), was der Definition von \(\sqrt[4]{a}\) entspricht. 3. Bestimmung von \(n\): Die Gleichung \(\sqrt[3]{\sqrt[n]{729}} = 3\) lässt sich als \(\sqrt[3 \cdot n]{729} = 3\) schreiben. Da \(729 = 3^6\), folgt \(\sqrt[3n]{3^6} = 3\). Dies entspricht \(3^{\frac{6}{3n}} = 3^1\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(\frac{6}{3n} = 1\), woraus \(\frac{2}{n} = 1\) und somit \(n = 2\) folgt.

a) Beide Werte ergeben \(5\). b) \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{1/2})^{1/2} = a^{1/2 \cdot 1/2} = a^{1/4} = \sqrt[4]{a}\). c) \(n = 2\).

- Welche rationalen Exponenten entsprechen den beiden Quadratwurzeln im ersten Rechenweg? - Wie verändert sich ein positiver Faktor, wenn du ihn unter eine Quadratwurzel ziehst? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden verlangten Wege erst nach vollständiger Vereinfachung.

1. Mit rationalen Exponenten ist \(\sqrt{p^5\sqrt{p}}=(p^5p^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=(p^{\frac{11}{2}})^{\frac{1}{2}}=p^{\frac{11}{4}}=\sqrt[4]{p^{11}}\). 2. Wegen \(p>0\) ist \(p^5=\sqrt{p^{10}}\). Damit gilt \(\sqrt{p^5\sqrt{p}}=\sqrt{\sqrt{p^{10}}\sqrt{p}}=\sqrt{\sqrt{p^{11}}}=\sqrt[4]{p^{11}}\). 3. Beide Rechenwege führen zum selben Ausdruck; die Behauptung ist richtig.

Die Aussage ist korrekt: \(\sqrt{p^5\sqrt{p}}=\sqrt[4]{p^{11}}\).

- Versuche, beide Seiten der Gleichung in die Form \(a^{\text{Bruch}}\) zu bringen. - Was bedeutet ein Bruchstrich für die Exponenten der Potenzen? - Gehe Schritt für Schritt vor, indem du zuerst den Ausdruck unter der großen Wurzel vereinfachst.

1. Linke Seite der Gleichung schrittweise umformen: \(\sqrt[4]{a^3} = a^{3/4}\). 2. Multiplikation unter der Quadratwurzel: \(a^1 \cdot a^{3/4} = a^{7/4}\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: \((a^{7/4})^{1/2} = a^{7/8}\). 4. Vergleich mit der rechten Seite: \(\sqrt[8]{a^7} = a^{7/8}\). Die Gleichung ist wahr. 5. Vereinfachung des zweiten Terms: Den Bruch unter der vierten Wurzel vereinfachen: \(\frac{z}{z^{1/2}} = z^{1 - 1/2} = z^{1/2}\). 6. Anwendung der vierten Wurzel auf das Ergebnis: \((z^{1/2})^{1/4} = z^{1/8}\). 7. Endergebnis als Wurzel: \(\sqrt[8]{z}\).

Die Gleichung ist wahr, da beide Seiten vereinfacht \(a^{7/8}\) ergeben. Der zweite Term vereinfacht sich zu \(\sqrt[8]{z}\).

- Überlege dir, wie man das Produkt zweier Potenzen mit derselben Basis zusammenfasst. - Hilft es dir, die Zahlen in der Basis (wie die 16) zuerst als Potenzen kleinerer Zahlen zu schreiben? - Kannst du die Terme so umformen, dass du sie ohne Taschenrechner direkt vergleichen kannst? - Achte bei Teilaufgabe a) darauf, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der Wurzeln in Potenzen ergibt \((3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}})^{-3}\). Addition der Exponenten bei gleicher Basis: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Multiplikation mit dem äußeren Exponenten: \((3^{\frac{2}{3}})^{-3} = 3^{\frac{2}{3} \cdot (-3)} = 3^{-2}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung von Term A: \(\sqrt[4]{16} = 2\), somit ist \(A = 2^3 = 8\). Berechnung von Term B: Umwandlung in Potenzen ergibt \((16^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}} = 16^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Da \(8 > 4\), ist Term A größer als Term B.

a) \(\frac{1}{9}\) b) Term \(A\) ist größer (da \(8 > 4\)).

- Versuche zuerst, alle Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten umzuwandeln. - Nutze die Potenzgesetze, um die Exponenten im Zähler zu addieren und anschließend den Exponenten des Nenners zu subtrahieren. - Um den Wert für eine Zahl zu berechnen, ist es oft einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.

1. Umwandlung aller Terme in Potenzschreibweise: \(\sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}}\), \(y^2\) bleibt, \(\sqrt{y^3} = y^{\frac{3}{2}}\). 2. Zusammenfassen des Zählers mittels Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}\). Der Zähler ist \(y^{\frac{7}{3}}\). 3. Division durch den Nenner mittels Subtraktion der Exponenten: \(\frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{14}{6} - \frac{9}{6} = \frac{5}{6}\). Der vereinfachte Term lautet \(y^{\frac{5}{6}}\). Somit ist \(k = \frac{5}{6}\). 4. Einsetzen von \(y = 64\): \(T = 64^{\frac{5}{6}}\). Berechnung über die 6. Wurzel: \(\sqrt[6]{64} = 2\). Potenzieren des Ergebnisses: \(2^5 = 32\).

a) \(y^{\frac{5}{6}}\) b) \(32\)

- Welcher gemeinsame Nenner eignet sich für die beiden Bruchterme? - Fasse zuerst nur die Zähler nach dem Erweitern zusammen. - Prüfe beim Einsetzen, ob die ursprünglichen Nenner von null verschieden bleiben.

1. Der gemeinsame Nenner der beiden Bruchterme ist \((x^n-1)(x^n+1)=x^{2n}-1\). 2. Der Zähler wird zu \(x^n(x^n+1)-x^n(x^n-1)=2x^n\). Damit gilt \(T=\frac{2x^n}{x^{2n}-1}\). 3. Für \(x=2\) und \(n=2\) folgt \(T=\frac{2\cdot2^2}{2^4-1}=\frac{8}{15}\).

1. \(T=\frac{2x^n}{x^{2n}-1}\) 2. \(\frac{8}{15}\)

- Versuche, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, um die Wurzeln leichter zu ziehen. - Erinnere dich daran, wie man Potenzen potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Zahl im Bruch? - Überlege, welche Zahl hoch Null welches Ergebnis liefert.

1. Umwandlung der Dezimalzahl \(0{,}125\) in einen Bruch: \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\). Berechnung der Potenz: \((2^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 2^1 = 2\). 2. Berechnung des zweiten Faktors: \((0{,}25)^{0{,}5} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5\). Das Produkt des ersten Terms ergibt \(2 \cdot 0{,}5 = 1\). 3. Anwendung der Potenzgesetze auf den zweiten Summanden: \((3^2)^{1{,}5} = 3^{2 \cdot 1{,}5} = 3^3 = 27\). 4. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz: \(\sqrt[4]{81^3} = (81^3)^{\frac{1}{4}} = (81^{\frac{1}{4}})^3 = 3^3 = 27\). 5. Bestimmung des letzten Summanden: Jede Zahl ungleich Null hoch Null ergibt \(1\), also \((5{,}7)^0 = 1\). 6. Zusammenführung der Teilergebnisse: \(1 + 27 - 27 + 1 = 2\).

\(2\)

- Es ist oft einfacher, verschachtelte Wurzeln von innen nach außen in Potenzen umzuwandeln. - Achte beim Vereinfachen der Brüche im Exponenten auf den Hauptnenner. - Prüfe im zweiten Teil, ob du die Zahl \(64\) als Potenz einer kleineren Basis (wie zum Beispiel \(2\)) schreiben kannst, um das Rechnen mit dem Bruch im Exponenten zu erleichtern.

1. Umschreiben des Terms mit rationalen Exponenten: \(T = \frac{(a^3 \cdot b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{(a \cdot b)^{\frac{1}{3}}}\) 2. Auflösen der Klammern im Zähler und Nenner: \(T = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{2}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}\) 3. Kürzen des Faktors \(b^{\frac{1}{3}}\) und Verrechnen der Exponenten von \(a\): \(a^{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{6} - \frac{2}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\) 4. Einsetzen von \(a = 64\) in den vereinfachten Term: \(64^{\frac{7}{6}}\) 5. Berechnung des Werts: \(64 = 2^6\), also \((2^6)^{\frac{7}{6}} = 2^7 = 128\)

a) \(a^{\frac{7}{6}}\) (oder \(a\sqrt[6]{a}\)) b) \(128\)

- Welches Potenzgesetz erlaubt dir, die äußere sechste Potenz auf die Faktoren in der Klammer zu verteilen? - Wie verhalten sich Kubikwurzel und dritte Potenz zueinander, und was bleibt bei einer sechsten Potenz übrig? - Welche gleichen Basen kannst du nach der Multiplikation im Zähler und Nenner kürzen?

1. Verteile die sechste Potenz auf die beiden Faktoren: \(\left(\frac{x-y}{x}\right)^6\left(\sqrt[3]{\frac{x^2}{x-y}}\right)^6\). 2. Der erste Faktor ist \(\frac{(x-y)^6}{x^6}\). 3. Für jede reelle Zahl \(u\) gilt \((\sqrt[3]{u})^6=((\sqrt[3]{u})^3)^2=u^2\). Daher wird der zweite Faktor zu \(\left(\frac{x^2}{x-y}\right)^2=\frac{x^4}{(x-y)^2}\). 4. Multiplizieren und Kürzen ergibt \(\frac{(x-y)^6x^4}{x^6(x-y)^2}=\frac{(x-y)^4}{x^2}\).

\(\frac{(x-y)^4}{x^2}\)

- Könnte es helfen, alle Wurzeln zuerst in Potenzen umzuwandeln? - Wie gehst du vor, wenn du Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber verschachtelten Klammern hast? - Erinnere dich an das Gesetz für Potenzen von Potenzen. - Um am Ende eine einzige Wurzel zu erhalten, müssen die Exponenten den gleichen Nenner haben.

1. Darstellung mit rationalen Exponenten: \(Q = \left( a^2 \cdot b^{-1} \cdot (b \cdot a^{-1})^{1/2} \right)^{1/3}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes \((x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n\): \(Q = \left( a^2 \cdot b^{-1} \cdot b^{1/2} \cdot a^{-1/2} \right)^{1/3}\). 3. Zusammenfassen der Exponenten mit \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(Q = \left( a^{2 - 1/2} \cdot b^{-1 + 1/2} \right)^{1/3} = \left( a^{3/2} \cdot b^{-1/2} \right)^{1/3}\). 4. Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(Q = a^{1/2} \cdot b^{-1/6}\). 5. Angleichen der Nenner im Exponenten: \(a^{3/6} \cdot b^{-1/6} = \left( \frac{a^3}{b} \right)^{1/6}\). 6. Ergebnis als einzige Wurzel: \(\sqrt[6]{\frac{a^3}{b}}\). Alternativ kann dies als \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[6]{b}}\) geschrieben werden.

\(Q = \sqrt[6]{\frac{a^3}{b}}\)

- Versuche, alle Terme auf die gleiche Basis (hier die Basis 2) zu bringen. - Wie gehst du vor, wenn Brüche im Spiel sind? Kann man diese als Potenzen mit negativen Exponenten schreiben? - Vergleiche am Ende die Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung.

1. Teilaufgabe a): Umformung der linken Seite zur Basis 2: \(\sqrt{2 \cdot (2^2)^{1/3}} = \sqrt{2^1 \cdot 2^{2/3}} = \sqrt{2^{5/3}} = (2^{5/3})^{1/2} = 2^{5/6}\). Umformung der rechten Seite zur Basis 2: \(\sqrt[3]{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt[3]{2^{5/2}} = (2^{5/2})^{1/3} = 2^{5/6}\). Da beide Seiten den Wert \(2^{5/6}\) ergeben, ist die Gleichheit gezeigt. 2. Teilaufgabe b): Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\). Einsetzen in den Term: \(\sqrt[3]{2^{-1} \cdot \sqrt{2^{-1}}} = \sqrt[3]{2^{-1} \cdot 2^{-1/2}}\). Zusammenfassen der Exponenten unter der Wurzel: \(-1 + (-1/2) = -3/2\). Anwendung der äußeren Wurzel: \((2^{-3/2})^{1/3} = 2^{-1/2}\). Vergleich mit \(2^k\) ergibt \(k = -1/2\) bzw. \(k = -0{,}5\).

a) Beide Seiten ergeben nach Umformung \(2^{5/6}\). b) \(k = -\frac{1}{2}\) (also \(k = -0{,}5\)).

- Wie lassen sich negative Exponenten als Brüche darstellen? - Kannst du den Nenner des großen Bruchs als einen einzigen Bruch schreiben? - Was passiert, wenn man eine Potenz mit einem weiteren Exponenten potenziert? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn die Basis ein Produkt wie \((x \cdot y)\) ist?

1. Den Nenner des großen Bruchs umschreiben: \(x^{-k} + y^{-k} = \frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k}\). 2. Die Brüche im Nenner addieren: \(\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} = \frac{y^k + x^k}{x^k \cdot y^k}\). 3. Den Doppelbruch vereinfachen: \(\frac{x^k + y^k}{\frac{x^k + y^k}{x^k y^k}} = (x^k + y^k) \cdot \frac{x^k y^k}{x^k + y^k} = x^k y^k\). 4. Den äußeren Exponenten auf das Ergebnis \((xy)^k\) anwenden: \(((xy)^k)^{-\frac{1}{k}} = (xy)^{k \cdot \left(-\frac{1}{k}\right)} = (xy)^{-1} = \frac{1}{xy}\). 5. Die Werte \(x = 0{,}25\) und \(y = 8\) einsetzen: \(\frac{1}{0{,}25 \cdot 8} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Vereinfachter Term: \(\frac{1}{xy}\). Numerischer Wert: \(0{,}5\).