Kostenlose Arbeitsblätter

- Prüfe jede Person danach, ob sie keinen, einen oder beide Workshops besucht. - „Genau einen“ schließt sowohl „beide“ als auch „keinen“ aus.

1. „Genau einen“ erfüllen Personen, die einen der beiden Workshops besuchen, aber nicht beide. 2. Jana besucht nur den Fotoworkshop und Ben nur den Podcastworkshop. 3. Elif besucht beide und Tom keinen; beide erfüllen die Beschreibung daher nicht.

Jana und Ben besuchen genau einen der beiden Workshops.

- Welche zwei disjunkten Gruppen bilden zusammen „mindestens einen der beiden Kurse“? - Welche dieser beiden Gruppen ist bereits gegeben?

1. Die Gruppe „mindestens ein Kurs“ besteht aus den Jugendlichen mit genau einem Kurs und den Jugendlichen mit beiden Kursen. 2. Daher besuchen \(27-8=19\) Jugendliche genau einen Kurs.

\(19\) Jugendliche besuchen genau einen der beiden Kurse.

- Sammle alle Endknoten, die zum Ereignis gehören. - Beziehe ihre Gesamtzahl auf die Zahl aller Durchläufe.

1. Häufigkeit von \(B\): \(72+20=92\). 2. Relative Häufigkeit: \(h(B)=92:200=0{,}46\).

\(0{,}46=46\,\%\).

- Die Gäste mit beiden Angeboten sind in beiden Einzelhäufigkeiten enthalten. - Bestimme zuerst die Häufigkeit der Vereinigung. - Die Zahl für „keines“ ist anschließend der Rest zur Gesamtzahl \(180\).

1. Mit der Additionsregel gilt \(H(V\cup D)=96+74-38=132\). 2. Keines der beiden Angebote wählen \(180-132=48\) Gäste.

\(132\) Gäste wählen mindestens eines der beiden Angebote; \(48\) wählen keines.

- Suche die Gruppe, die in beiden angegebenen Einzelhäufigkeiten enthalten ist. - Prüfe, wie oft diese Gruppe in der Summe \(44+53\) gezählt wird. - Vergleiche das korrigierte Ergebnis anschließend mit der Gesamtzahl \(90\).

1. Die Summe \(44+53=97\) zählt die \(21\) Bestellungen mit beidem zweimal. 2. Richtig ist \(H(S\cup F)=44+53-21=76\). 3. Damit enthalten \(90-76=14\) Bestellungen keines der beiden Angebote.

Die Behauptung ist falsch. \(76\) Bestellungen enthalten mindestens eines der beiden Angebote; \(14\) enthalten keines.

- Ordne die drei Fragen jeweils passenden Bereichen zu. - Verwende für den Außenbereich die Gesamtzahl.

1. Genau eines enthalten \(19+13=32\) Aufträge. 2. Mindestens eines enthalten \(19+8+13=40\) Aufträge. 3. Keines enthalten \(48-40=8\) Aufträge.

Genau eines: \(32\); mindestens eines: \(40\); keines: \(8\) Aufträge.

- Setze die drei angegebenen absoluten Häufigkeiten in die Additionsregel ein. - Vergleiche das Ergebnis direkt mit der behaupteten Zahl.

1. Mit der Additionsregel gilt \(H(A\cup B)=175+92-54=213\). 2. Der berechnete Wert stimmt mit der Behauptung überein.

Die Aussage stimmt: \(213\) Sendungen erfüllen mindestens eines der beiden Merkmale.

- Welche vier disjunkten Gruppen zerlegen die ganze Klasse? - Addiere zunächst die drei bereits bekannten Gruppen. - Vergleiche diese Summe anschließend mit der Gesamtzahl der Jugendlichen.

1. Die vier Gruppen „nur Robotik“, „beide“, „nur Kunst“ und „keine“ umfassen zusammen alle \(40\) Jugendlichen. 2. Die drei bekannten Gruppen enthalten zusammen \(13+7+8=28\) Jugendliche. 3. Für „nur Kunst“ bleiben \(40-28=12\) Jugendliche.

\(12\) Jugendliche besuchen nur die Kunst-AG.

- Ordne die Angaben zunächst nach Herkunft und Zustand in einer Übersicht. - Beachte bei „oder“, dass defekte Rheintec-Bauteile bereits zur Gruppe Rheintec gehören. - Übersetze „nicht von Nordwerk und nicht defekt“ in eine positive Beschreibung der Herkunft und des Zustands.

1. Gesamtzahl der Bauteile: \(n=50\). 2. Insgesamt sind \(5+2=7\) Bauteile defekt. Daher ist \(P(\text{defekt})=\frac{7}{50}=0{,}14\). 3. Von Nordwerk sind \(30-5=25\) Bauteile einwandfrei. Daher ist \(P(\text{Nordwerk und einwandfrei})=\frac{25}{50}=0{,}5\). 4. Für „Rheintec oder defekt“ zählen alle \(20\) Rheintec-Bauteile sowie zusätzlich die \(5\) defekten Nordwerk-Bauteile. Somit sind \(25\) Ergebnisse günstig und \(P(\text{Rheintec oder defekt})=\frac{25}{50}=0{,}5\). 5. „Nicht von Nordwerk und nicht defekt“ bedeutet: von Rheintec und einwandfrei. Das trifft auf \(20-2=18\) Bauteile zu. Daher ist \(P=\frac{18}{50}=\frac{9}{25}=0{,}36\).

a) \(P=0{,}14\) b) \(P=0{,}5\) c) \(P=0{,}5\) d) \(P=0{,}36\)

- Wandle die drei Prozentangaben zuerst in absolute Häufigkeiten um. - Zerlege „genau ein Fehler“ in die beiden Fälle „nur \(F_1\)“ und „nur \(F_2\)“. - Entferne aus jeder Einzelgruppe die gemeinsame Schnittmenge.

1. Es gilt \(H(F_1)=0{,}08\cdot500=40\), \(H(F_2)=0{,}12\cdot500=60\) und \(H(F_1\cap F_2)=0{,}02\cdot500=10\). 2. „Genau ein Fehler“ besteht aus den beiden disjunkten Ereignissen \(F_1\cap\overline{F_2}\) und \(\overline{F_1}\cap F_2\). 3. Es gilt \(H(F_1\cap\overline{F_2})=40-10=30\) und \(H(\overline{F_1}\cap F_2)=60-10=50\). 4. Zusammen sind das \(30+50=80\) Bauteile.

\(80\) Bauteile weisen genau einen der beiden Fehler auf.

- Bestimme zuerst über das Gegenereignis, wie viele Mitglieder mindestens eine Sportart betreiben. - Beim Addieren der beiden Sportgruppen wird die gemeinsame Gruppe zweimal erfasst. - Stelle die Additionsregel so um, dass die gemeinsame Gruppe gesucht ist.

1. Mindestens eine der beiden Sportarten betreiben \(150-30=120\) Mitglieder, also gilt \(H(J\cup S)=120\). 2. Mit der Additionsregel \(H(J\cup S)=H(J)+H(S)-H(J\cap S)\) folgt \(120=90+75-H(J\cap S)\). 3. Daher ist \(H(J\cap S)=45\). 4. Bezogen auf alle \(150\) Mitglieder ergibt sich \(P(J\cap S)=\frac{45}{150}=0{,}3=30\,\%\).

\(P(J\cap S)=0{,}3=30\,\%\).

- Nutze die Gruppe „keines von beidem“, um zuerst die Häufigkeit der Vereinigung zu bestimmen. - Stelle die Additionsregel nach der Schnittmenge um. - „Genau eine“ umfasst die beiden Bereiche außerhalb der Überlappung.

1. Mindestens eine Aktivität üben \(120-25=95\) Jugendliche aus, also gilt \(H(S\cup M)=95\). 2. Mit \(H(S\cup M)=H(S)+H(M)-H(S\cap M)\) folgt \(95=65+50-H(S\cap M)\). Daher ist \(H(S\cap M)=20\). 3. Nur Sport treiben \(65-20=45\) Jugendliche, nur ein Instrument spielen \(50-20=30\). Genau eine Aktivität üben also \(45+30=75\) Jugendliche aus. 4. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{75}{120}=\frac{5}{8}=0{,}625=62{,}5\,\%\).

a) \(20\) Jugendliche. b) \(\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Produkte gekauft wird. - „Weder noch“ ist das Gegenereignis zu „mindestens eines“. - Für „nur Brot“ musst du aus der Brotgruppe diejenigen herausnehmen, die auch Kuchen kaufen.

1. Mit der Additionsregel gilt \(P(B\cup K)=0{,}80+0{,}45-0{,}30=0{,}95\). 2. „Weder noch“ ist das Gegenereignis zur Vereinigung. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(1-0{,}95=0{,}05=5\,\%\). 3. Für „nur Brot“ gilt \(P(B\cap\overline{K})=P(B)-P(B\cap K)=0{,}80-0{,}30=0{,}50\). 4. Erwartungsgemäß sind das \(400\cdot0{,}50=200\) Personen.

a) \(5\,\%\). b) Erwartungsgemäß \(200\) Personen.

- Wandle die beiden Prozentangaben zunächst in absolute Häufigkeiten um. - Nutze „keines der beiden“, um die Häufigkeit der Vereinigung zu bestimmen. - Ziehe nach der Schnittmenge die gemeinsame Gruppe aus der Tablet-Gruppe heraus.

1. Es gilt \(H(T)=0{,}80\cdot500=400\), \(H(L)=0{,}60\cdot500=300\) und \(H(\overline{T}\cap\overline{L})=50\). 2. Damit ist \(H(T\cup L)=500-50=450\). 3. Aus der Additionsregel folgt \(H(T\cap L)=400+300-450=250\). 4. Folglich gilt \(H(T\cap\overline{L})=400-250=150\) und damit \(P(T\cap\overline{L})=\frac{150}{500}=0{,}30\).

\(P(T\cap\overline{L})=0{,}30=30\,\%\).

- Berechne zuerst den Anteil für mindestens eines der Merkmale. - Übertrage den Anteil anschließend auf die Gesamtzahl der Reservierungen.

1. \(P(A\cup E)=0{,}45+0{,}35-0{,}20=0{,}60\). 2. Die zugehörige Anzahl ist \(0{,}60\cdot 240=144\).

\(P(A\cup E)=0{,}60\); das entspricht \(144\) Reservierungen.

- Bestimme die beiden reinen Bereiche getrennt. - Setze ihre Summe anschließend ins Verhältnis zur Gesamtzahl.

1. Nur Bus: \(420-260=160\). 2. Nur Regionalbahn: \(310-260=50\). 3. Genau eines: \(160+50=210\) Karten. 4. Der Anteil ist \(\frac{210}{500}=0{,}42=42\,\%\).

\(210\) Karten, also \(42\,\%\), gelten in genau einem der beiden Verkehrsmittel.

- Die drei angegebenen Fehlergruppen sind disjunkt und ergeben zusammen alle Geräte mit mindestens einem Fehler. - Bestimme den Rest zur Gesamtzahl \(75\). - Beziehe diesen Rest anschließend auf alle geprüften Geräte.

1. Mindestens einen der beiden Fehler haben \(28+19+11=58\) Geräte. 2. Keinen der beiden Fehler haben daher \(75-58=17\) Geräte. 3. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{17}{75}\approx0{,}2267\), also gerundet \(22{,}7\,\%\).

\(\frac{17}{75}\approx22{,}7\,\%\).

- Übertrage die Prozentwerte wegen der Gesamtzahl \(100\) direkt in Anzahlen. - Ziehe den gemeinsamen Bereich aus den beiden Einzelgruppen heraus.

1. Beide Merkmale: \(27\) Projekte. 2. Nur \(A\): \(58-27=31\). 3. Nur \(B\): \(46-27=19\). 4. Mindestens eines: \(31+27+19=77\). 5. Keines: \(100-77=23\).

Nur \(A\): \(31\), beide: \(27\), nur \(B\): \(19\), keines: \(23\).

- Bestimme über die Zahl „keines“ zuerst die Häufigkeit der Vereinigung. - Stelle anschließend die Additionsregel nach der Schnittmenge um.

1. Mindestens eines der beiden Angebote nutzen \(150-22=128\) Gäste, also \(H(A\cup B)=128\). 2. Mit der Additionsregel gilt \(128=83+61-H(A\cap B)\). 3. Daher ist \(H(A\cap B)=144-128=16\).

\(16\) Gäste nutzen Sportbecken und Rutsche.

- Berechne zuerst die Anzahl innerhalb der beiden Angebote. - Vergleiche das Ergebnis mit der Gesamtzahl und bestimme den Rest.

1. Mindestens eines besuchen \(210+165-95=280\) Personen. 2. Dieser Wert ist kleiner als die Gesamtzahl \(320\), also sind die Angaben möglich. 3. Weder Ausstellung noch Führung besuchen \(320-280=40\) Personen.

Die Angaben sind widerspruchsfrei; \(40\) Personen besuchen weder Ausstellung noch Führung.

- Stelle die Beziehung für „mindestens eine Bedingung“ nach dem gemeinsamen Anteil um. - Übersetze den berechneten Anteil zurück in den Sachzusammenhang.

1. \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\). 2. \(P(A\cap B)=0{,}52+0{,}36-0{,}71=0{,}17\). 3. Damit erfüllen \(17\,\%\) der Touren beide Bedingungen.

\(P(A\cap B)=0{,}17\). Also sind \(17\,\%\) der Touren länger als \(10\,\text{km}\) und haben mehr als \(500\,\text{m}\) Höhenunterschied.

- Bestimme zuerst die Zahl mit mindestens einem der beiden Angebote. - Setze die verbleibende Zahl ins Verhältnis zu allen Ständen.

1. Bücher oder Kleidung verkaufen \(54+67-29=92\) Stände. 2. Weder noch verkaufen \(120-92=28\) Stände. 3. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{28}{120}=\frac{7}{30}\approx 0{,}233\).

\(P(\text{weder Bücher noch Kleidung})=\frac{7}{30}\approx 23{,}3\,\%\).

- Bestimme die Überschneidung aus den beiden Einzelzahlen und der Vereinigung. - Leite danach die drei übrigen Bereiche nacheinander ab.

1. Beide: \(74+58-103=29\). 2. Nur \(A\): \(74-29=45\). 3. Nur \(B\): \(58-29=29\). 4. Keines: \(160-103=57\).

Beide: \(29\), nur \(A\): \(45\), nur \(B\): \(29\), keines: \(57\).

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aus allen vier Bereichen. - Ordne die beiden Ereignisse der inneren Vereinigung und dem Außenbereich zu.

1. Insgesamt gibt es \(48+27+39+16=130\) Personen. 2. Mindestens eine Show besuchen \(48+27+39=114\) Personen, also \(P(M\cup S)=\frac{114}{130}=\frac{57}{65}\approx 0{,}877\). 3. Keine Show besuchen \(16\) Personen, also \(P(\overline{M}\cap\overline{S})=\frac{16}{130}=\frac{8}{65}\approx 0{,}123\).

\(P(M\cup S)=\frac{57}{65}\approx 87{,}7\,\%\), \(P(\overline{M}\cap\overline{S})=\frac{8}{65}\approx 12{,}3\,\%\).

- Gesucht ist die Zahl verschiedener Personen, nicht die Zahl aller Schichtanmeldungen. - Bestimme daher zuerst die Häufigkeit der Vereinigung. - Vergleiche sie anschließend mit der Schwelle \(75\).

1. Mit der Additionsregel gilt \(H(A\cup B)=39+46-15=70\). 2. Benötigt werden mindestens \(75\) verschiedene Personen. 3. Daher reichen die Zusagen nicht; es fehlen \(75-70=5\) Personen.

Nein. \(70\) verschiedene Personen übernehmen mindestens eine Schicht; es fehlen \(5\) Zusagen.

- Bestimme die beiden reinen Ereignisbereiche getrennt. - Addiere anschließend nur diese beiden Bereiche.

1. Nur Code: \(0{,}64-0{,}37=0{,}27\). 2. Nur Puzzle: \(0{,}58-0{,}37=0{,}21\). 3. Genau eine Aufgabe: \(0{,}27+0{,}21=0{,}48\).

Die Wahrscheinlichkeit für genau eine Bonusaufgabe beträgt \(0{,}48=48\,\%\).

- Ordne jeder Planungsregel zuerst die passenden der vier gegebenen Gruppen zu. - Für die erste Regel brauchst du einen Anteil an allen \(80\) Befragten. - Für die zweite Regel vergleichst du eine absolute Anzahl mit dem vorgegebenen Grenzwert.

1. An mindestens einem Angebot interessiert sind \(28+22+18=68\) Jugendliche. 2. Der Anteil beträgt \(\frac{68}{80}=0{,}85=85\,\%\). Damit wird die Schwelle von \(75\,\%\) überschritten; der gemeinsame Aktionstag findet statt. 3. Für genau eines der beiden Angebote interessieren sich \(28+18=46\) Jugendliche. 4. Da \(46>30\) gilt, ist auch die zweite Bedingung erfüllt und es werden zwei getrennte Informationsstände aufgebaut.

Der gemeinsame Aktionstag findet statt, weil \(85\,\%\) an mindestens einem Angebot interessiert sind und damit die Schwelle von \(75\,\%\) überschritten wird. Zwei getrennte Informationsstände werden ebenfalls aufgebaut, weil \(46>30\) Jugendliche genau eines der beiden Angebote wählen.

- Formuliere die beiden Merkmale zuerst als klare Ereignisse, bevor du rechnest. - Wähle die Darstellung danach so, dass die vier möglichen Kombinationen der beiden Ereignisse sichtbar werden. - Die beiden Einzelhäufigkeiten enthalten jeweils auch die gemeinsame Gruppe. - Für „genau eines“ brauchst du die beiden Bereiche außerhalb der Schnittmenge.

1. Eine mögliche Definition ist \(B\): „nutzt regelmäßig den Bus“ und \(F\): „nutzt regelmäßig das Fahrrad“. 2. Eine mögliche Darstellung ist die Vierfeldertafel <table><tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\overline{F}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(B\)</td><td>18</td><td>34</td><td>52</td></tr><tr><td>\(\overline{B}\)</td><td>23</td><td>15</td><td>38</td></tr><tr><td>Summe</td><td>41</td><td>49</td><td>90</td></tr></table>. 3. Die vier Bereiche ergeben \(34+18+23+15=90\) und sind damit mit der Gesamtzahl konsistent. 4. Genau eines der beiden Verkehrsmittel nutzen \(34+23=57\) Jugendliche. 5. Daher beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(\frac{57}{90}=\frac{19}{30}\approx0{,}6333\), also etwa \(63{,}3\,\%\).

a) Zum Beispiel \(B\): „Bus“, \(F\): „Fahrrad“. b) <table><tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\overline{F}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(B\)</td><td>18</td><td>34</td><td>52</td></tr><tr><td>\(\overline{B}\)</td><td>23</td><td>15</td><td>38</td></tr><tr><td>Summe</td><td>41</td><td>49</td><td>90</td></tr></table> c) \(P(\text{genau eines})=\frac{19}{30}\approx63{,}3\,\%\).

- Zerlege das Ereignis \(S\) in die Fälle „mit Tablet“ und „ohne Tablet“. - Ergänze danach die Tablet-Gruppe und die Gruppe ohne Smartphone zu ihren jeweiligen Gesamtwahrscheinlichkeiten. - Überlege für c), welches einzige Ereignis nicht zu „mindestens eines der beiden Geräte nicht besitzen“ gehört.

1. Das Ereignis \(S\) zerfällt in \(S\cap T\) und \(S\cap\overline{T}\). Daher gilt \(P(S\cap T)=0{,}84-0{,}52=0{,}32\). 2. In \(T\), aber nicht in \(S\), liegen \(0{,}42-0{,}32=0{,}10\). 3. Da \(P(\overline{S})=1-0{,}84=0{,}16\), gilt \(P(\overline{S}\cap\overline{T})=0{,}16-0{,}10=0{,}06\). 4. \(\overline{S}\cup\overline{T}\) bedeutet: mindestens eines der beiden Geräte wird nicht besessen. Das ist genau der gesamte Ergebnisraum außer \(S\cap T\). Deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit \(1-0{,}32=0{,}68\).

a) \(P(S\cap T)=0{,}32\). b) \(P(\overline{S}\cap\overline{T})=0{,}06\). c) Mindestens eines der beiden Geräte wird nicht besessen; \(P(\overline{S}\cup\overline{T})=0{,}68\).

- Bezeichne die unbekannte Schnittmenge mit einer Variablen und drücke die Vereinigung mithilfe der Additionsregel aus. - Die Vereinigung kann weder größer als die Gesamtzahl der Jugendlichen sein noch kleiner als die geforderte Mindestzahl. - Übersetze jede Planungsbedingung in eine Schranke für dieselbe unbekannte Schnittmenge. - Prüfe am Ende, ob die erhaltenen Schranken einen gemeinsamen ganzzahligen Bereich besitzen.

1. Setze \(x=H(R\cap M)\). Dann gilt nach der Additionsregel \(H(R\cup M)=124+98-x=222-x\). 2. Da höchstens \(200\) Jugendliche vorhanden sind, muss \(222-x\le200\) gelten. Daraus folgt \(x\ge22\). 3. Die erste Planungsbedingung verlangt \(222-x\ge170\). Daraus folgt \(x\le52\). 4. Die zweite Planungsbedingung verlangt zusätzlich \(x\le45\). 5. Zusammen sind damit genau die ganzzahligen Werte \(22\le x\le45\) möglich. Der Wertebereich ist nicht leer, also können beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt werden.

Beide Bedingungen sind gleichzeitig erfüllbar. Es sind genau die ganzzahligen Werte \(H(R\cap M)\in\{22;23;\ldots;45\}\) möglich.