- Schau dir die Form der Graphen an: Ist es ein Hochpunkt (Berg) oder ein Tiefpunkt (Tal)? - Lies die Koordinaten der markanten Punkte genau an den Achsen ab. - Überprüfe für jedes Kärtchen einzeln, ob der angegebene Punkt ein Extrempunkt eines der Graphen ist.

1. Analyse von Graph \(f\) (rot): Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der höchste Punkt (Scheitelpunkt) liegt bei \(x = 2\) und \(y = 3\). Somit passt Kärtchen 1 zu Graph \(f\). 2. Analyse von Graph \(g\) (blau): Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Der tiefste Punkt (Scheitelpunkt) liegt bei \(x = -2\) und \(y = 1\). Somit passt Kärtchen 2 zu Graph \(g\). 3. Überprüfung von Kärtchen 3: Der Punkt \((0 \mid 2)\) liegt zwar auf dem Graphen von \(g\), ist dort aber kein Tiefpunkt. Kärtchen 3 passt zu keinem der dargestellten Extrempunkte.

Kärtchen 1 \(\rightarrow f\), Kärtchen 2 \(\rightarrow g\), Kärtchen 3 \(\rightarrow\) kein Graph

- Welche Tabellenwerte treten links und rechts einer bestimmten \(x\)-Stelle paarweise gleich auf? - Wo liegt zwischen diesen gleich hohen Punkten die Symmetrieachse der Parabel? - Welcher Tabellenwert liegt auf dieser Achse?

1. Die Werte links und rechts von \(x=0\) stimmen paarweise überein. Daher ist \(x=0\) die Symmetrieachse. 2. In der Mitte der symmetrischen Werte liegt mit \(f(0)=1\) der kleinste Tabellenwert. Somit ist der Scheitelpunkt \(S(0 \mid 1)\).

Scheitelpunkt: \(S(0 \mid 1)\) Symmetrieachse: \(x=0\)

- Welche x-Werte liegen gleich weit links und rechts von \(x=1\)? - Symmetrische Stellen haben bei einer Parabel denselben Funktionswert. - Welcher Tabellenpunkt liegt auf der Symmetrieachse?

1. Wegen der Symmetrieachse \(x=1\) gehören \(0\) und \(2\), \(-1\) und \(3\) sowie \(-2\) und \(4\) zusammen. 2. Daher gilt \(f(2)=-2\), \(f(3)=1\) und \(f(4)=6\). 3. Bei \(x=1\) steht der Wert \(-3\); der Scheitelpunkt ist \(S(1\mid-3)\).

\(f(2)=-2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=6\); Scheitelpunkt \(S(1\mid-3)\).

- Welche besonderen Punkte des Graphen kannst du direkt aus der Formel ablesen? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wenn du die \(x\)-Koordinate hast, wie findest du dann den passenden \(y\)-Wert?

1. Bestimmung der Nullstellen aus der Produktform: \(x_1 = 4, x_2 = -2\) 2. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_S = \frac{4 + (-2)}{2} = 1\) 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate durch Einsetzen von \(x_S\) in die Funktionsgleichung: \(y_S = 3 \cdot (1 - 4) \cdot (1 + 2) = 3 \cdot (-3) \cdot 3 = -27\)

b) \(S(1\mid-27)\)

- Achte beim Einsetzen negativer Zahlen oder beim Quadrieren besonders auf die Vorzeichen. - Erinnere dich daran, wie man prüft, ob eine Koordinate eine Gleichung erfüllt. - Was bedeutet „oberhalb“ mathematisch für den Vergleich zweier Zahlen?

1. Punktprüfung für \(P(2 | 3)\): Einsetzen von \(x = 2\) in \(h(x)\) ergibt \(h(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3\). Da \(y_P = 3\), liegt der Punkt \(P\) auf dem Graphen. 2. Lage von \(Q(4 | 0)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(h(4) = -0{,}5 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 1 = -8 + 8 + 1 = 1\). Da der \(y\)-Wert von \(Q\) mit \(0\) kleiner ist als der Funktionswert \(1\), liegt \(Q\) unterhalb des Graphen. 3. Bedingung für \(R(1 | y_R)\): Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 1\): \(h(1) = -0{,}5 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 2{,}5\). Damit der Punkt oberhalb liegt, muss sein \(y\)-Wert größer als der Funktionswert sein, also \(y_R > 2{,}5\).

a) Der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen \(G_h\). b) Der Punkt \(Q\) liegt unterhalb des Graphen \(G_h\). c) Es muss gelten: \(y_R > 2{,}5\).

- Setze die x-Werte nacheinander in die Funktionsgleichung ein, um die y-Werte zu erhalten. - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen auf die Klammern, zum Beispiel \((-2)^2\). - Suche in der Tabelle nach einem Punkt, an dem die y-Werte links und rechts davon paarweise gleich sind. - Nullstellen sind die Stellen, an denen der Funktionswert genau Null ist.

1. Berechnung der Funktionswerte für die Tabelle: \(f(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5\) \(f(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0\) \(f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3\) \(f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\) \(f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3\) \(f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0\) \(f(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5\) 2. Bestimmung des Scheitelpunkts: Die Funktionswerte sind symmetrisch um den Wert \(x = 1\). Der kleinste Funktionswert liegt bei \(x = 1\) mit \(f(1) = -4\). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(1 \mid -4)\). 3. Bestimmung der Nullstellen: Die Nullstellen sind die \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0\) gilt. Aus der Tabelle lassen sich \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) ablesen.

a) Werte: \(5, 0, -3, -4, -3, 0, 5\). b) Der Scheitelpunkt ist \(S(1 \mid -4)\). c) Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\).

- Wie kannst du prüfen, welcher Funktionswert an einer bestimmten Stelle \(x\) erwartet wird? - Vergleiche den berechneten Wert mit der gegebenen \(y\)-Koordinate des Punktes. - Was bedeutet es für die Lage des Punktes, wenn die \(y\)-Koordinate größer oder kleiner als der Funktionswert ist?

1. Berechnung der Funktionswerte an den Stellen \(x\): Für \(P_1\): \(f(2) = 2^2 - 3{,}5 = 0{,}5\). Da \(y_1 = 0{,}5\), liegt \(P_1\) auf dem Graphen. Für \(P_2\): \(f(-1{,}5) = (-1{,}5)^2 - 3{,}5 = 2{,}25 - 3{,}5 = -1{,}25\). Da \(y_2 = -1{,}25\), liegt \(P_2\) auf dem Graphen. Für \(P_3\): \(f(0{,}5) = (0{,}5)^2 - 3{,}5 = 0{,}25 - 3{,}5 = -3{,}25\). Da \(-3{,}75 < -3{,}25\), liegt \(P_3\) unterhalb des Graphen. Für \(P_4\): \(f(-1) = (-1)^2 - 3{,}5 = 1 - 3{,}5 = -2{,}5\). Da \(1 > -2{,}5\), liegt \(P_4\) oberhalb des Graphen.

\(P_1\) liegt auf dem Graphen. \(P_2\) liegt auf dem Graphen. \(P_3\) liegt unterhalb des Graphen. \(P_4\) liegt oberhalb des Graphen.

- Welche binomische Formel hilft dir beim zweiten Term? - Wie multiplizierst du die beiden Linearfaktoren des dritten Terms aus? - Woran erkennst du nach der Umformung, ob die Funktionen identisch sind?

1. Ausmultiplizieren von \(g\) ergibt \((x+2)^2-9=x^2+4x-5\). Damit gilt \(g(x)=f(x)\). 2. Ausmultiplizieren von \(h\) ergibt \((x-1)(x+5)=x^2+4x-5\). Damit gilt auch \(h(x)=f(x)\). 3. Alle drei Terme haben dieselbe allgemeine Form \(x^2+4x-5\) und beschreiben daher dieselbe Parabel.

Ja. Alle drei Funktionsterme lassen sich in die allgemeine Form \(x^2+4x-5\) umformen.

- Welche binomische Formel brauchst du zum Auflösen der Klammer? - In welche gemeinsame Form kannst du beide Terme bringen, um sie direkt zu vergleichen? - Was musst du mit der Konstanten außerhalb der Klammer tun?

1. Mit der zweiten binomischen Formel gilt \((x-4)^2=x^2-8x+16\). 2. Daher ist \(f(x)=x^2-8x+16+3=x^2-8x+19\). 3. Die allgemeine Form von \(f\) stimmt mit dem Term von \(g\) überein. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Funktion.

Ja. Die Umformung von \(f\) ergibt die allgemeine Form \(f(x)=x^2-8x+19=g(x)\).

- Erkennst du eine der typischen Formen für quadratische Funktionen wieder? - Welche Information liefern die Zahlenwerte in den Klammern bei der Scheitelpunktform oder der Produktform? - Welcher Wert in der allgemeinen Form bleibt übrig, wenn du \(x = 0\) einsetzt? - Was sagt das Vorzeichen des Koeffizienten vor \(x^2\) über die Öffnung der Parabel aus?

1. Identifikation der Formen: a) Scheitelpunktform, b) Produktform, c) Allgemeine Form. 2. Ablesbare Eigenschaften für a): Scheitelpunkt \(S(3\mid8)\), Streckfaktor \(-2\) (nach unten geöffnet und gestreckt). 3. Ablesbare Eigenschaften für b): Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 5\), Streckfaktor \(0{,}5\) (nach oben geöffnet und gestaucht). 4. Ablesbare Eigenschaften für c): \(y\)-Achsenabschnitt bei \(c = 7\) (Punkt \((0\mid7)\)), Streckfaktor \(4\) (nach oben geöffnet und gestreckt).

a) Scheitelpunktform; Eigenschaften: Scheitelpunkt \(S(3\mid8)\) oder Öffnung nach unten. b) Produktform; Eigenschaften: Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 5\) oder Öffnung nach oben. c) Allgemeine Form; Eigenschaften: \(y\)-Achsenabschnitt bei \(7\) oder Öffnung nach oben.

- Welche Werte für \(x\) sorgen dafür, dass einer der Klammerausdrücke Null wird? - Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wie findet man den Funktionswert an einer bestimmten Stelle? - Welche Rolle spielt die Zahl vor den Klammern für die Öffnung und Form der Parabel?

1. Nullstellen aus der Produktform ablesen: Die Faktoren \((x + 1)\) und \((x - 5)\) ergeben die Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 5\). 2. \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen: Der Scheitelpunkt liegt mittig zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-1 + 5}{2} = 2\). 3. \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen: \(f(2) = -0{,}5(2 + 1)(2 - 5) = -0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = 4{,}5\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 4{,}5)\). 4. Form der Parabel bestimmen: Da der Streckfaktor \(a = -0{,}5\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Da \(|a| = 0{,}5 < 1\) ist, ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestaucht (weiter geöffnet).

Die Nullstellen liegen bei \(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(5 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 4{,}5)\). Die Parabel ist nach unten geöffnet und gestaucht.

- Vergleiche zuerst die Änderungen der \(y\)-Werte von einer Spalte zur nächsten. - Was kennzeichnet eine lineare Wertetabelle bei gleich großen \(x\)-Schritten? - Falls die ersten Differenzen nicht konstant sind: Was kannst du mit diesen Differenzen noch untersuchen?

1. Für Experiment A sind die ersten Differenzen \(10{,}0 - 12{,}0 = -2{,}0\), \(8{,}0 - 10{,}0 = -2{,}0\) und \(6{,}0 - 8{,}0 = -2{,}0\). Da sie konstant sind, beschreiben die Werte eine lineare Funktion. 2. Für Experiment B sind die ersten Differenzen \(2{,}5\), \(1{,}5\) und \(0{,}5\). Sie sind nicht konstant. 3. Die zweiten Differenzen von Experiment B sind \(1{,}5 - 2{,}5 = -1{,}0\) und \(0{,}5 - 1{,}5 = -1{,}0\). Da diese konstant sind, beschreiben die Werte eine quadratische Funktion.

Experiment A wird durch eine lineare Funktion beschrieben, weil die ersten Differenzen konstant \(-2{,}0\) sind. Experiment B wird durch eine quadratische Funktion beschrieben, weil die zweiten Differenzen konstant \(-1{,}0\) sind.

- Welche binomischen Formeln kennst du? - Wie sieht die Scheitelpunktform einer Parabel aus und was sagt sie über den Scheitelpunkt aus? - Schau dir die Vorzeichen der linearen Glieder (das Glied mit \(x\)) genau an. - Überlege, was passiert, wenn man ein \(x\) in einer Funktion durch \(-x\) ersetzt.

1. Umformung von \(f(x)\): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \(f(x) = (x + 4)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_f(-4|0)\). 2. Umformung von \(g(x)\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(g(x) = (x - 4)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_g(4|0)\). 3. Vergleich der Graphen: Beide Parabeln sind nach oben geöffnete Normalparabeln mit Scheitelpunkten auf der \(x\)-Achse. 4. Geometrische Abbildung: Da die \(x\)-Koordinaten der Scheitelpunkte zueinander gegenzahlig sind (\(-4\) und \(4\)) und die Form identisch ist, geht der Graph von \(g\) durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse hervor.

a) \(f(x) = (x+4)^2 \Rightarrow S_f(-4|0)\); \(g(x) = (x-4)^2 \Rightarrow S_g(4|0)\). b) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse.

- Kannst du einen Teil des Terms als Quadrat erkennen? - Was sagt die Form des Terms über die Verschiebung nach links oder rechts aus? - Wie hängen der Scheitelpunkt und die Anzahl der Berührungspunkte mit der \(x\)-Achse zusammen? - Überlege dir den Verlauf des Graphen von links kommend bis zum tiefsten Punkt.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \(x^2 - 6x + 9\): \(g(x) = (x - 3)^2\). 2. Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung der Normalparabel \(f\) um \(3\) Einheiten nach rechts entlang der \(x\)-Achse. 3. Aus der Scheitelpunktform \(g(x) = (x - 3)^2 + 0\) folgt der Scheitelpunkt \(S(3|0)\). Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, gibt es genau eine Nullstelle bei \(x = 3\). 4. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr tiefster Punkt bei \(x = 3\) liegt, fällt der Graph für alle \(x\)-Werte links vom Scheitelpunkt: \(x \le 3\).

1. \(g(x) = (x - 3)^2\) 2. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts. 3. Scheitelpunkt \(S(3|0)\); es gibt eine Nullstelle. 4. Für \(x \le 3\).

- Welche zwei ganzen Zahlen haben das passende Produkt und zugleich die passende Summe? - Wie kannst du dein Faktorenpaar durch Ausmultiplizieren kontrollieren? - Welche Form hat der Linearfaktor, der zu einer Nullstelle \(x_0\) gehört?

1. Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt \(-21\) und deren Summe \(-4\) ist. Das sind \(-7\) und \(3\). 2. Daher gilt \(x^2-4x-21=(x-7)(x+3)\). Die Nullstellen sind \(x_1=7\) und \(x_2=-3\). 3. Allgemein gehört zu einer Nullstelle \(x_0\) der Faktor \((x-x_0)\). Für die negative Nullstelle \(-3\) wird daraus \(x-(-3)=x+3\).

1. \((x-7)(x+3)\) 2. Zu einer Nullstelle \(x_0\) gehört der Faktor \((x-x_0)\); deshalb erscheint das Vorzeichen im Linearfaktor entgegengesetzt.

- Welche Information ist in der Form mit dem Quadrat direkt sichtbar? - Multipliziere für die allgemeine Form die Klammer vollständig aus und fasse zusammen. - Welche gemeinsamen Faktoren besitzt die allgemeine Form, und was zeigt eine Produktform unmittelbar?

1. Der Term liegt in Scheitelpunktform vor. Der Scheitelpunkt ist \(S(3|18)\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(g(x)=-2(x^2-6x+9)+18=-2x^2+12x\). 3. Ausklammern liefert \(g(x)=-2x(x-6)\). Das ist die Produktform. 4. Aus den Faktoren lassen sich die Nullstellen \(x=0\) und \(x=6\) direkt ablesen.

a) Scheitelpunktform; \(S(3|18)\). b) \(g(x)=-2x^2+12x\). c) \(g(x)=-2x(x-6)\); daraus liest man die Nullstellen \(x=0\) und \(x=6\) ab.

- Lies bei beiden Graphen zuerst den Scheitelpunkt ab. - Welche Vorzeichen von \(a\) passen zu den jeweiligen Öffnungsrichtungen? - Welche der vorgegebenen Gleichungen haben zugleich den richtigen Scheitelpunkt und die richtige Öffnungsrichtung?

1. Der blaue Graph \(f\) hat den Scheitelpunkt \(S_f(2\mid3)\) und ist nach unten geöffnet. Diese beiden Merkmale passen zu Gleichung 2: \(y=-(x-2)^2+3\). 2. Der grüne Graph \(g\) hat den Scheitelpunkt \(S_g(-1\mid-2)\) und ist nach oben geöffnet. Diese beiden Merkmale passen zu Gleichung 4: \(y=0{,}5(x+1)^2-2\). 3. Gleichung 1 hat den Scheitelpunkt \(S(1\mid-2)\). Gleichung 3 hat zwar den Scheitelpunkt \(S(2\mid3)\), ist aber nach oben geöffnet. Beide sind daher ausgeschlossen.

a) \(f\): Gleichung 2; \(g\): Gleichung 4 b) \(f\) hat \(S_f(2\mid3)\) und ist nach unten geöffnet; \(g\) hat \(S_g(-1\mid-2)\) und ist nach oben geöffnet.

- Wo befindet sich der tiefste Punkt (Scheitelpunkt) der Parabel? Lies seine Koordinaten ab. - Wie lautet die Scheitelpunktform und welche Werte für \(x_S\) und \(y_S\) ergeben sich aus deinem abgelesenen Scheitelpunkt? - Suche einen weiteren Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterkreuz liegt, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammer in der Scheitelpunktform aufzulösen. - Achte beim Ausmultiplizieren darauf, den Faktor vor der Klammer auf jedes Glied in der Klammer anzuwenden.

1. Ablesen des Scheitelpunkts: Der tiefste Punkt der Parabel (der Scheitelpunkt) liegt bei \(S(2 \mid -1)\). Somit gilt \(x_S=2\) und \(y_S=-1\). 2. Bestimmung der Scheitelpunktform: Wir setzen den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform ein: \(f(x) = a(x - 2)^2 - 1\) Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, wählen wir einen gut ablesbaren Punkt auf der Parabel, zum Beispiel den y-Achsenabschnitt \(P(0 \mid 1)\). Wir setzen seine Koordinaten in die Gleichung ein: \(1 = a(0 - 2)^2 - 1\) \(1 = 4a - 1 \quad \mid +1\) \(2 = 4a \quad \mid :4\) \(a = 0{,}5\) Damit lautet die Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 - 1\) 3. Umwandlung in die allgemeine Form: Wir wenden die zweite binomische Formel an: \(f(x) = 0{,}5(x^2 - 4x + 4) - 1\) Multiplizieren der Klammer mit \(0{,}5\) liefert: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 2 - 1\) Zusammenfassen ergibt die allgemeine Form: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 1\)

a) \(S(2 \mid -1)\) b) \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 - 1\) c) \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 1\)

- Vergleiche die Scheitelpunkte der Terme mit den höchsten beziehungsweise tiefsten Punkten der Graphen. - Welche Öffnungsrichtung folgt jeweils aus dem Vorzeichen von \(a\)? - Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt du \(x=0\).

1. Term 1 hat den Scheitelpunkt \(S_g(2\mid-4)\) und ist nach oben geöffnet. Diese Merkmale zeigt Graph \(q\). 2. Term 2 hat den Scheitelpunkt \(S_f(-1\mid3)\) und ist nach unten geöffnet. Diese Merkmale zeigt Graph \(p\). 3. Für \(f\) gilt \(f(0)=-0{,}5\cdot1^2+3=2{,}5\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0\mid2{,}5)\). 4. Für \(g\) gilt \(g(0)=1{,}5\cdot(-2)^2-4=2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0\mid2)\).

a) Term 1 gehört zu Graph \(q\), denn sein Scheitelpunkt ist \(S_g(2\mid-4)\) und er ist nach oben geöffnet. Term 2 gehört zu Graph \(p\), denn sein Scheitelpunkt ist \(S_f(-1\mid3)\) und er ist nach unten geöffnet. b) \(f\): \((0\mid2{,}5)\); \(g\): \((0\mid2)\)

- Welche beiden Parameter der Scheitelpunktform kannst du direkt aus \(S\) ablesen? - Welcher markierte Punkt liefert die noch fehlende Information? - Setze diesen Punkt in die vorläufige Scheitelpunktform ein und löse nach \(a\) auf.

1. Aus der Abbildung liest man \(S(-2\mid1)\) und \(P(0\mid-1)\) ab. 2. Mit dem Scheitelpunkt gilt zunächst \(f(x)=a(x+2)^2+1\). 3. Einsetzen von \(P\) ergibt \(-1=a(0+2)^2+1\), also \(-1=4a+1\) und damit \(a=-0{,}5\). 4. Somit ist \(f(x)=-0{,}5(x+2)^2+1\).

a) \(S(-2\mid1)\), \(P(0\mid-1)\) b) Aus \(-1=a(0+2)^2+1\) folgt \(-1=4a+1\), also \(a=-0{,}5\). Damit ist \(f(x)=-0{,}5(x+2)^2+1\).

- Bestimme zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts im Graphen. - Überlege, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Was bedeutet das für das Vorzeichen des Streckfaktors? - Vergleiche die Koordinaten des Scheitelpunkts mit den Werten in der Scheitelpunktform der gegebenen Gleichungen. - Wähle einen gut lesbaren Punkt auf der Parabel und prüfe durch Einsetzen, welche Gleichung korrekt ist.

1. Den Scheitelpunkt aus dem Graphen ablesen: Der höchste Punkt der Parabel liegt bei \(S(2 \mid 3)\). 2. Die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) mit den Werten des Scheitelpunkts aufstellen: \(y = a(x - 2)^2 + 3\). 3. Einen weiteren Punkt ablesen, um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, zum Beispiel den y-Achsenabschnitt bei \((0 \mid 1)\). 4. Punkt einsetzen: \(1 = a(0 - 2)^2 + 3 \Rightarrow 1 = 4a + 3 \Rightarrow -2 = 4a \Rightarrow a = -0{,}5\). 5. Die vollständige Gleichung lautet \(y = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\). Dies entspricht Option a).

Die richtige Gleichung ist a) \(y = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\).

- Wo schneidet der Graph die x-Achse? Diese Stellen nennt man Nullstellen. - In der Form \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\) stehen \(x_1\) und \(x_2\) für die Nullstellen. Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen. - Überprüfe den y-Achsenabschnitt im Graphen und vergleiche ihn mit dem Wert, den du erhältst, wenn du \(x = 0\) in die Gleichungen einsetzt.

1. Die Nullstellen aus dem Graphen ablesen: Die Parabel schneidet die x-Achse bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 2. Die Produktform nutzen: \(y = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x - 1)(x - 3)\). 3. Den y-Achsenabschnitt ablesen: Die Parabel schneidet die y-Achse bei \(y = 3\), also im Punkt \((0 \mid 3)\). 4. Den Punkt \((0 \mid 3)\) einsetzen, um \(a\) zu bestimmen: \(3 = a(0 - 1)(0 - 3) \Rightarrow 3 = a(-1)(-3) \Rightarrow 3 = 3a \Rightarrow a = 1\). 5. Die Gleichung lautet \(y = (x - 1)(x - 3)\). Dies entspricht Option a).

Die korrekte Darstellung ist a) \(y = (x - 1)(x - 3)\).

- Lies für jeden Graphen den Scheitelpunkt ab. - Vergleiche ihn mit der Form \(y=(x-d)^2+e\). - Achte auf das Vorzeichen in der Klammer: \(x-d\) führt zum Scheitelpunkt bei \(x=d\).

1. Graph \(f\) hat den Scheitelpunkt \((-2\mid0)\). Daher passt Gleichung (3). 2. Graph \(g\) hat den Scheitelpunkt \((1{,}5\mid0)\). Daher passt Gleichung (5). 3. Graph \(h\) hat den Scheitelpunkt \((0\mid-3)\). Daher passt Gleichung (4). 4. Graph \(k\) hat den Scheitelpunkt \((4\mid1)\). Daher passt Gleichung (1). 5. Gleichung (2) hätte den Scheitelpunkt \((-3\mid0)\) und bleibt übrig.

\(f\rightarrow(3)\), \(g\rightarrow(5)\), \(h\rightarrow(4)\), \(k\rightarrow(1)\); Gleichung (2) bleibt übrig.

- Lies die beiden Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse ab. - Setze die Nullstellen in die Form \(f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\) ein. - Multipliziere die Klammern aus und fasse zusammen.

1. Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1=-2\) und \(x_2=1\). 2. Da es sich um eine Normalparabel handelt, lautet die Produktform \(f(x)=(x-x_1)(x-x_2)=(x+2)(x-1)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=x^2-x+2x-2=x^2+x-2\).

\(f(x) = x^2 + x - 2\)

- Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel im Koordinatensystem? - Erinnere dich an die Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-x_S)^2+y_S\). Wofür stehen \(x_S\) und \(y_S\)? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Einsetzen der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts. - Wie kannst du prüfen, ob der Streckfaktor \(a = 1\) ist?

1. Den Scheitelpunkt \(S\) aus dem Graphen ablesen: Der tiefste Punkt der Parabel liegt bei \(S(2 \mid -3)\). 2. Die Scheitelpunktform aufstellen: \(f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\). Mit den Koordinaten von \(S\) ergibt sich \(f(x) = a(x - 2)^2 - 3\). 3. Den Streckfaktor \(a\) bestimmen: Ein weiterer Punkt auf dem Graphen ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(P(0 \mid 1)\). Einsetzen in die Gleichung: \(1 = a(0 - 2)^2 - 3 \Rightarrow 1 = 4a - 3 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1\). 4. Vergleich mit Sarahs Lösung: Sarah hat das Vorzeichen in der Klammer vertauscht (sie hat den Scheitelpunkt bei \(-2\) statt \(+2\) angenommen). Die korrekte Gleichung lautet: \(f(x) = (x - 2)^2 - 3\).

Sarahs Lösung ist falsch. Sie hat das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts verwechselt. Da der Scheitelpunkt bei \(S(2 \mid -3)\) liegt und die Parabel nicht gestreckt ist (\(a=1\)), lautet die richtige Gleichung: \(f(x) = (x - 2)^2 - 3\).

- Welche horizontale Höhe musst du für Teil a im Graphen verfolgen? - Wo liegt der höchste Punkt der Flugbahn? - Was bedeutet der höchste Punkt für den Wechsel von Steigen zu Fallen? - Welche Genauigkeit lässt die Achsenskalierung sinnvoll zu?

1. Die waagerechte Höhe \(h=4\) wird im Graphen ungefähr bei \(t=0{,}4\) und \(t=1{,}6\) geschnitten. Dazwischen liegt der Graph auf oder über \(4\,\text{m}\). 2. Der höchste Punkt liegt bei etwa \(t=1{,}0\). Von \(t=0\) bis etwa \(t=1{,}0\) steigt der Ball. 3. Danach fällt der Ball bis zum Bodenaufprall bei ungefähr \(t=2{,}1\).

a) Ungefähr \(0{,}4\le t\le1{,}6\) b) Steigend ungefähr für \(0<t<1{,}0\); fallend ungefähr für \(1{,}0<t<2{,}1\)

- Suche zuerst den tiefsten oder höchsten Punkt der Parabeln, um den Scheitelpunkt zu finden. - Überprüfe, wie weit sich der Graph nach oben oder unten verändert, wenn du vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts gehst. - Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet.

1. Bestimmung der Scheitelpunktform für \(f\): Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \(S_f(2 \mid -1)\). Da der Graph eine Normalparabel ist (eine Einheit nach rechts, eine nach oben), lautet die Gleichung: \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\). 2. Bestimmung der Scheitelpunktform für \(g\): Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(-1 \mid 2)\). Geht man vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts, geht der Graph um \(0{,}5\) Einheiten nach unten. Der Streckfaktor ist also \(a = -0{,}5\). Die Gleichung lautet: \(g(x) = -0{,}5(x + 1)^2 + 2\). 3. Ablesen der Nullstellen: Für \(f\) lassen sich die Nullstellen näherungsweise als \(x_1 \approx 1\) und \(x_2 \approx 3\) ablesen. Für \(g\) lassen sich die Nullstellen näherungsweise als \(x_1 \approx -3\) und \(x_2 \approx 1\) ablesen.

a) \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\); \(g(x) = -0{,}5(x + 1)^2 + 2\) b) Nullstellen von \(f\): \(x_1 \approx 1\), \(x_2 \approx 3\); Nullstellen von \(g\): \(x_1 \approx -3\), \(x_2 \approx 1\)

- Der Scheitelpunkt ist der tiefste (oder höchste) Punkt einer Parabel. - Erinnere dich an die Scheitelpunktform \(y = (x - x_S)^2 + y_S\). Was bedeuten \(x_S\) und \(y_S\)? - Achte beim Ablesen genau auf die Skalierung der Achsen. Ein Kästchen entspricht hier \(0{,}5\) Einheiten. - Überprüfe deine Terme, indem du einen weiteren Punkt vom Graphen in deine Gleichung einsetzt.

1. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(f\): Aus dem Graphen lässt sich der tiefste Punkt der orangefarbenen Parabel bei \(S_f(2{,}5 \mid 1)\) ablesen. Da es eine Normalparabel ist, lautet der Term in Scheitelpunktform \(f(x) = (x - 2{,}5)^2 + 1\). 2. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(g\): Der Scheitelpunkt der blauen Parabel liegt bei \(S_g(-3 \mid -0{,}5)\). Der zugehörige Term ist \(g(x) = (x + 3)^2 - 0{,}5\). 3. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(h\): Der Scheitelpunkt der grünen Parabel liegt auf der y-Achse bei \(S_h(0 \mid -2)\). Da keine Verschiebung in x-Richtung vorliegt, lautet der Term \(h(x) = x^2 - 2\).

a) \(S_f(2{,}5 \mid 1)\); \(S_g(-3 \mid -0{,}5)\); \(S_h(0 \mid -2)\) b) \(f(x) = (x - 2{,}5)^2 + 1\); \(g(x) = (x + 3)^2 - 0{,}5\); \(h(x) = x^2 - 2\)

- Bestimme zuerst den Scheitelpunkt und die Öffnungsrichtung. - Stelle die Gleichung zuerst in der Scheitelpunktform auf. - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer.

1. Den Scheitelpunkt ablesen: \(S(2 \mid 1)\). 2. Da die Parabel nach unten geöffnet und formgleich zur Normalparabel ist, lautet die Scheitelpunktform: \(f(x) = -(x - 2)^2 + 1\). 3. Die Klammer auflösen: \(f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 1\). 4. Das Minuszeichen in die Klammer ziehen und zusammenfassen: \(f(x) = -x^2 + 4x - 4 + 1 = -x^2 + 4x - 3\).

\(f(x) = -x^2 + 4x - 3\)

- Welche Informationen kannst du direkt aus dem tiefsten Punkt des Graphen ablesen? - Nutze die Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\). Welche Werte für \(x_S\) und \(y_S\) passen zum Scheitelpunkt? - Wie kannst du den Streckfaktor \(a\) bestimmen, wenn du einen weiteren Punkt der Parabel kennst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammer aufzulösen.

1. Den Scheitelpunkt \(S(3 \mid -2)\) direkt aus dem Graphen ablesen. 2. Die Koordinaten des Scheitelpunkts in den Ansatz der Scheitelpunktform einsetzen: \(f(x) = a(x - 3)^2 - 2\). 3. Einen weiteren Punkt ablesen, zum Beispiel \(P(1 \mid 2)\), und dessen Koordinaten in die Gleichung einsetzen, um \(a\) zu bestimmen: \(2 = a(1 - 3)^2 - 2\) \(2 = 4a - 2\) \(4 = 4a\) \(a = 1\) 4. Die vollständige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform lautet: \(f(x) = (x - 3)^2 - 2\). 5. Umwandlung in die allgemeine Form durch Anwendung der zweiten binomischen Formel und Zusammenfassen: \(f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 2\) \(f(x) = x^2 - 6x + 7\)

a) \(S(3 \mid -2)\) b) \(f(x) = (x - 3)^2 - 2\) c) \(f(x) = x^2 - 6x + 7\)

- Wo liegt der Scheitelpunkt von \(f\)? - Was bewirkt das Addieren oder Subtrahieren der Konstanten \(1\)? - Welches Vorzeichen vor dem Quadrat führt zu einer nach unten geöffneten Parabel?

1. \(u(x)=(x-2)^2+1\) hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid1)\) und ist nach oben geöffnet. Das ist Graph b). 2. \(v(x)=(x-2)^2-1\) hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid-1)\) und ist nach oben geöffnet. Das ist Graph c). 3. \(w(x)=1-(x-2)^2\) hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid1)\) und ist nach unten geöffnet. Das ist Graph a).

a) \(w(x)=g(x)-f(x)\), denn der Graph ist nach unten geöffnet und hat \(S(2\mid1)\). b) \(u(x)=f(x)+g(x)\), denn der Graph ist nach oben geöffnet und hat \(S(2\mid1)\). c) \(v(x)=f(x)-g(x)\), denn der Graph ist nach oben geöffnet und hat \(S(2\mid-1)\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen der drei Funktionsterme. - Woran erkennst du am Vorzeichen von \(a\), ob eine Parabel nach oben oder unten geöffnet ist? - Vergleiche beide Merkmale gemeinsam mit den drei Graphen.

1. Für \(f(x)=x^2-4\) sind die Nullstellen \(-2\) und \(2\); die Parabel ist nach oben geöffnet. Das ist Graph B. 2. Für \(g(x)=x(x-3)\) sind die Nullstellen \(0\) und \(3\); die Parabel ist nach oben geöffnet. Das ist Graph C. 3. Für \(h(x)=-x(x-2)\) sind die Nullstellen \(0\) und \(2\); die Parabel ist nach unten geöffnet. Das ist Graph A.

1 \(\rightarrow\) B: Nullstellen \(-2\) und \(2\), Öffnung nach oben. 2 \(\rightarrow\) C: Nullstellen \(0\) und \(3\), Öffnung nach oben. 3 \(\rightarrow\) A: Nullstellen \(0\) und \(2\), Öffnung nach unten.

- Der höchste Punkt einer Parabel wird Scheitelpunkt genannt. - Die Landung erfolgt dort, wo der Graph die x-Achse (den Boden) berührt oder schneidet.

1. Bei \(x = 1\) liest man auf dem Graphen die Höhe \(y = 3\,\text{m}\) ab. 2. Der höchste Punkt des Graphen (Scheitelpunkt) liegt bei \((2 \mid 4)\). Die maximale Höhe beträgt also \(4\,\text{m}\) nach einer Entfernung von \(2\,\text{m}\). 3. Der Ball landet, wenn die Höhe \(y = 0\) ist. Dies ist am Punkt \((4 \mid 0)\) der Fall. Die Entfernung beträgt \(4\,\text{m}\).

1. Nach \(1\,\text{m}\) ist der Ball \(3\,\text{m}\) hoch. 2. Die maximale Höhe von \(4\,\text{m}\) wird nach \(2\,\text{m}\) Entfernung erreicht. 3. Der Ball landet nach \(4\,\text{m}\).

- Ein Punkt \((x_P\mid y_P)\) liegt genau dann auf dem Graphen, wenn \(f(x_P)=y_P\) gilt. - Setze die drei \(x\)-Koordinaten nacheinander in denselben Funktionsterm ein. - Vergleiche jeden berechneten Funktionswert mit der zugehörigen \(y\)-Koordinate. - Nutze die Zeichnung erst danach als Kontrolle.

1. Für \(P\) gilt \(f(0)=-0{,}5\cdot0^2+2=2\). Der Funktionswert stimmt mit der \(y\)-Koordinate überein; \(P\) liegt auf dem Graphen. 2. Für \(Q\) gilt \(f(2)=-0{,}5\cdot2^2+2=0\). Der Funktionswert stimmt mit der \(y\)-Koordinate überein; \(Q\) liegt auf dem Graphen. 3. Für \(R\) gilt \(f(1)=-0{,}5\cdot1^2+2=1{,}5\). Da \(1{,}5\neq2\), liegt \(R\) nicht auf dem Graphen. 4. Die Zeichnung ist mit diesen drei Rechenergebnissen vereinbar.

\(P\): \(f(0)=2\), also liegt \(P\) auf dem Graphen. \(Q\): \(f(2)=0\), also liegt \(Q\) auf dem Graphen. \(R\): \(f(1)=1{,}5\neq2\), also liegt \(R\) nicht auf dem Graphen.

- Beginne jeweils an der vorgegebenen \(x\)-Koordinate auf der waagerechten Achse. - Welche \(y\)-Koordinate hat der Graph direkt darüber oder darunter? - Beachte, dass das Raster auch halbe Einheiten erkennen lässt.

1. Für jede vorgegebene \(x\)-Koordinate wird die zugehörige Höhe des Graphen am Raster abgelesen. 2. Man erhält der Reihe nach \(0\), \(-1{,}5\), \(-2\), \(-1{,}5\) und \(0\).

<table><tr><th>\(x\)</th><th>\(-3\)</th><th>\(-2\)</th><th>\(-1\)</th><th>\(0\)</th><th>\(1\)</th></tr><tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(0\)</td><td>\(-1{,}5\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(-1{,}5\)</td><td>\(0\)</td></tr></table>

- Welche der drei üblichen Termformen nutzt einen gegebenen Scheitelpunkt unmittelbar? - Was sagt „dieselbe Breite wie die Normalparabel“ über den Betrag von \(a\) aus? - Welches Vorzeichen muss \(a\) wegen der Öffnungsrichtung haben?

1. Da der Scheitelpunkt gegeben ist, ist die Scheitelpunktform besonders geeignet. 2. Gleiche Breite wie die Normalparabel bedeutet \(|a|=1\). Wegen der Öffnung nach unten gilt \(a=-1\). 3. Mit \(S(-2 \mid 3)\) ergibt sich \(f(x)=-(x+2)^2+3\).

Eine geeignete Darstellung ist die Scheitelpunktform: \(f(x)=-(x+2)^2+3\).

- Lies zuerst den Scheitelpunkt und damit die Symmetrieachse ab. - Welche der gefragten \(x\)-Werte liegen paarweise gleich weit von dieser Achse entfernt? - Nutze die Symmetrie, um nicht jeden Wert unabhängig ablesen zu müssen.

1. Aus dem Graphen liest man den Scheitelpunkt \(S(-1\mid-2)\) und beispielsweise die Werte \(p(-3)=2\), \(p(-2)=-1\), \(p(-1)=-2\), \(p(0)=-1\) und \(p(1)=2\) ab. 2. Die Symmetrieachse ist \(x=-1\). Deshalb liegen \(-3\) und \(1\) sowie \(-2\) und \(0\) jeweils gleich weit von der Achse entfernt. 3. Somit kann man nach dem Ablesen einer Seite die entsprechenden Werte auf der anderen Seite durch Symmetrie ergänzen.

<table><tr><th>\(x\)</th><th>-3</th><th>-2</th><th>-1</th><th>0</th><th>1</th></tr><tr><td>\(p(x)\)</td><td>2</td><td>-1</td><td>-2</td><td>-1</td><td>2</td></tr></table> Wegen der Symmetrie zu \(x=-1\) gilt \(p(-3)=p(1)\) und \(p(-2)=p(0)\).

- Welche Stelle und welchen Funktionswert liefert der Scheitelpunkt direkt? - Welche Tabellenstellen müssen wegen der Symmetrie gleiche Werte haben? - Berechne einen Wert außerhalb des Scheitelpunkts, um die verbleibenden Möglichkeiten zu unterscheiden.

1. Aus dem Term liest man den Scheitelpunkt \(S(2\mid3)\) und die Symmetrieachse \(x=2\) ab. Der Tabellenwert bei \(x=2\) muss daher \(3\) sein und Werte bei gleichem Abstand von \(2\) müssen übereinstimmen. 2. Zur eindeutigen Entscheidung berechnet man etwa \(q(1)=-0{,}5(1-2)^2+3=2{,}5\). 3. Nur Tabelle A enthält bei \(x=1\) und symmetrisch bei \(x=3\) den Wert \(2{,}5\). Außerdem gilt \(q(0)=q(4)=1\).

Tabelle A ist korrekt. Der Scheitelpunkt liefert \(q(2)=3\), und zum Beispiel gilt \(q(1)=2{,}5\); wegen der Symmetrie ist auch \(q(3)=2{,}5\).

- Suche in der Tabelle nach gleichen Funktionswerten links und rechts von einer möglichen Symmetrieachse. - Ein Bild kann zu einer Tabellenangabe passen und trotzdem falsch sein. Prüfe deshalb mindestens ein zweites Merkmal. - Für die Scheitelpunktform brauchst du nach dem Scheitelpunkt noch einen weiteren Tabellenpunkt.

1. Die Tabelle ist symmetrisch zu \(x=0\). Der kleinste Tabellenwert ist \(-1\) bei \(x=0\), also ist \(S(0\mid-1)\) der Scheitelpunkt und \(x=0\) die Symmetrieachse. 2. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) ist der Funktionswert \(0\). Das sind die Nullstellen. 3. Bild a) passt zu diesen Angaben. Zum Beispiel zeigt es den Scheitelpunkt \(S(0\mid-1)\) und die Nullstellen \(-1\) und \(1\); außerdem liegt der Punkt \((2\mid3)\) auf der Parabel. 4. Mit dem Scheitelpunkt lautet der Ansatz \(f(x)=a x^2-1\). Aus \(f(1)=0\) folgt \(a=1\). Daher ist \(f(x)=x^2-1\).

a) Scheitelpunkt \(S(0\mid-1)\), Symmetrieachse \(x=0\), Nullstellen \(-1\) und \(1\) b) Bild a), zum Beispiel weil es den Scheitelpunkt \(S(0\mid-1)\) und die Nullstellen \(-1\) und \(1\) zeigt. c) \(f(x)=x^2-1\)

- Wo liegt der tiefste Punkt des Graphen? - Auf welcher Seite dieses Punktes fällt beziehungsweise steigt die Parabel? - An welchen Stellen schneidet der Graph die x-Achse? - Entscheide für die drei dadurch entstehenden Bereiche, ob der Graph oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.

1. Der tiefste Punkt liegt bei \(x=1\). Links davon fällt der Graph, rechts davon steigt er. Daher ist \(f\) auf \((-\infty;1]\) streng fallend und auf \([1;\infty)\) streng steigend. 2. Der Graph schneidet die x-Achse bei \(x=-1\) und \(x=3\). 3. Zwischen den Nullstellen liegt der Graph unterhalb der x-Achse, außerhalb oberhalb. Daher gilt \(f(x)<0\) für \(-1<x<3\), \(f(x)=0\) bei \(x=-1\) und \(x=3\), und \(f(x)>0\) für \(x<-1\) oder \(x>3\).

a) Streng fallend auf \((-\infty;1]\); streng steigend auf \([1;\infty)\). b) \(f(x)<0\) für \(-1<x<3\); \(f(x)=0\) bei \(x=-1\) und \(x=3\); \(f(x)>0\) für \(x<-1\) oder \(x>3\).

- Suche zuerst nach auffälligen Merkmalen der Tabelle: gleiche Werte, kleinster Wert und Nullen. - Prüfe die Kandidaten nur an Informationen, die du sicher aus der Tabelle ablesen kannst. - Zwei verschieden aussehende Terme können dieselbe Funktion beschreiben. Durch Umformen kannst du deine Auswahl am Ende kontrollieren.

1. Die Tabelle hat ihren kleinsten Wert \(-1\) bei \(x=1\). Damit ist der Scheitelpunkt \(S(1\mid-1)\). Das passt zu Term 1. 2. Die Tabelle hat die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2\). Diese beiden Nullstellen sind in Term 2 direkt sichtbar. 3. Durch Ausmultiplizieren erkennt man zusätzlich \(x(x-2)=x^2-2x=(x-1)^2-1\). Die Terme 1 und 2 sind also äquivalent. 4. Die Terme 3 und 4 haben ihre Symmetrie beziehungsweise Nullstellen um \(x=-1\) und passen daher nicht zur Tabelle.

Richtig sind **1 und 2**. Die Tabelle zeigt den Scheitelpunkt \(S(1\mid-1)\), passend zu 1, und die Nullstellen \(0\) und \(2\), passend zu 2. Beide Terme sind äquivalent.

- Wo schneidet der Graph die x-Achse? Vergleiche diese Stellen mit den Formeln. - Wo schneidet der Graph die y-Achse? Welchen Wert muss \(x\) dort haben? - Ist die Parabel nach oben oder unten geöffnet und wie "steil" ist sie?

1. Ablesen der Nullstellen aus dem Graphen: \(x_1 = -2, x_2 = 4\) 2. Ablesen des y-Achsenabschnitts: \(y = -4\) 3. Überprüfung der Optionen: Option c) liefert Nullstellen bei \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{1} = 1 \pm 3 \in \{-2, 4\}\) und \(y(0) = -4\).

c) \(y = 0,5x^2 - x - 4\)

- Welche Klammern gehören zu den gegebenen Nullstellen? - Welcher Faktor vor dem Produkt sorgt für den Leitkoeffizienten \(18\)? - Multipliziere deinen Term zum Schluss wieder aus.

1. Eine Produktform mit den gegebenen Nullstellen hat die Form \(m(x)=A(x-1)(x+\frac13)\). 2. Der Leitkoeffizient muss \(18\) sein. Beim Produkt der Klammern ist der Leitkoeffizient \(1\), daher ist \(A=18\). Also \(m(x)=18(x-1)(x+\frac13)\). 3. Gleichwertig kann man \(m(x)=6(x-1)(3x+1)\) schreiben. 4. Kontrolle: \(6(x-1)(3x+1)=6(3x^2-2x-1)=18x^2-12x-6\).

\(m(x)=6(x-1)(3x+1)\) (gleichwertig: \(18(x-1)(x+\frac13)\)).

- Erkennst du \(x^2-4\) als Differenz zweier Quadrate? - Ergänze bei \(-x^2+2x\) innerhalb der Klammer zu einem vollständigen Quadrat. - Welche Information kann man aus jeder der beiden Zielformen direkt ablesen?

1. Für \(p_1\) gilt \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Die Produktform lautet also \(p_1(x)=(x-2)(x+2)\). Daraus liest man die Nullstellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\) ab. 2. Für \(p_2\) gilt \(-x^2+2x=-(x^2-2x)=-(x-1)^2+1\). Die Scheitelpunktform lautet \(p_2(x)=-(x-1)^2+1\). Daraus liest man den Scheitelpunkt \(S(1\mid1)\) ab. 3. In der Produktform stehen die Nullstellen direkt in den Faktoren. In der Scheitelpunktform stehen die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt im Term.

1. \(p_1(x)=(x-2)(x+2)\); Nullstellen: \(x_1=-2\), \(x_2=2\). 2. \(p_2(x)=-(x-1)^2+1\); Scheitelpunkt: \(S(1\mid1)\). 3. Die Produktform macht Nullstellen direkt sichtbar; die Scheitelpunktform macht den Scheitelpunkt direkt sichtbar.

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn man eine Koordinate des Scheitelpunkts kennt? - Wie kannst du die Information nutzen, dass ein bestimmter Punkt auf der Parabel liegt? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn der Scheitelpunkt auf einer Geraden wie \(x = -2\) liegt?

1. Da die Parabel eine verschobene Normalparabel ist und die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_S = -2\) bekannt ist, lautet der Ansatz in Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - (-2))^2 + y_S = (x + 2)^2 + y_S\). 2. Setze die Koordinaten des Punktes \(P(1\mid5)\) in die Gleichung ein, um \(y_S\) zu berechnen: \(5 = (1 + 2)^2 + y_S\). 3. Löse nach \(y_S\) auf: \(5 = 9 + y_S \Rightarrow y_S = -4\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x) = (x + 2)^2 - 4\). 4. Wandle die Gleichung durch Ausmultiplizieren in die gewünschte allgemeine Form um: \(f(x) = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x\). Damit gilt \(p=4\) und \(q=0\).

\(f(x)=x^2+4x\) mit \(p=4\) und \(q=0\).

- Nullstellen sind Punkte auf der x-Achse. Was bedeutet das für ihre y-Werte? - Wie hängen Nullstellen und die Symmetrieachse der Parabel zusammen? - Was bedeutet die Information „nach unten geöffnete Normalparabel“ für das Vorzeichen und den Wert vor der Klammer in der Funktionsgleichung?

1. Aufgrund der Achsensymmetrie von Parabeln liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts genau in der Mitte zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-3 + 5}{2} = 1\). 2. Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Streckfaktor \(a = -1\). Der Ansatz für die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + y_S\). 3. Zur Berechnung von \(y_S\) wird eine der Nullstellen eingesetzt, z. B. \((5\mid0)\): \(0 = -(5-1)^2 + y_S \Rightarrow 0 = -16 + y_S \Rightarrow y_S = 16\). 4. Der Scheitelpunkt ist somit \(S(1\mid16)\). 5. Der maximale Funktionswert entspricht der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts, also \(16\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + 16\).

Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1\mid16)\). Der maximale Funktionswert beträgt \(16\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + 16\).

- Wie erhältst du aus den beiden Linearfaktoren zuerst die allgemeine Form? - Welche quadratische Ergänzung macht aus \(x^2-2x\) ein vollständiges Quadrat? - Wie liest du den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ab?

1. Ausmultiplizieren liefert zunächst die allgemeine Form \(k(x)=x^2-2x-8\). 2. Für die quadratische Ergänzung gilt \(x^2-2x=x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1\). 3. Damit folgt \(k(x)=(x-1)^2-9\). 4. Aus der Scheitelpunktform liest man \(S(1\mid-9)\) ab.

\(k(x)=(x-1)^2-9\); \(S(1\mid-9)\)

- Wie kannst du bei \(p\) den Faktor vor \(x^2\) bei der quadratischen Ergänzung berücksichtigen? - Welche allgemeine Form erhältst du, wenn du \(q\) ausmultiplizierst? - Was folgt, wenn beide Funktionsterme nach der Umformung identisch sind?

1. Für \(p\) klammert man zunächst \(2\) aus: \(p(x)=2(x^2-2x)-6\). Mit quadratischer Ergänzung folgt \(p(x)=2((x-1)^2-1)-6=2(x-1)^2-8\). 2. Für \(q\) ergibt das Ausmultiplizieren zunächst die allgemeine Form \(q(x)=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6\). 3. Damit hat \(q\) dieselbe allgemeine Form wie \(p\) und folglich ebenfalls die Scheitelpunktform \(q(x)=2(x-1)^2-8\). 4. Beide Funktionen sind identisch; Lukas hat recht.

Lukas hat recht. Beide Funktionen besitzen die Scheitelpunktform \(2(x-1)^2-8\).

- Nutze zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts, um das Grundgerüst der Funktionsgleichung aufzustellen. - Wie kannst du den fehlenden Streckfaktor bestimmen, wenn du einen weiteren Punkt auf der Parabel kennst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammer aufzulösen. - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn du \(x = 0\) setzt? Welcher Buchstabe bleibt in der allgemeinen Form stehen?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 1)^2 + 2\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(P(3\mid10)\): \(10 = a(3 - 1)^2 + 2 \Rightarrow 8 = 4a \Rightarrow a = 2\). Ergebnis: \(f(x) = 2(x - 1)^2 + 2\). 3. Umwandlung in die allgemeine Form: \(f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) + 2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2 = 2x^2 - 4x + 4\). 4. Interpretation von \(c\): Der Wert \(c\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Für diese Funktion gilt \(c = 4\).

a) \(f(x) = 2(x - 1)^2 + 2\) b) \(f(x) = 2x^2 - 4x + 4\) c) Der Wert \(c\) gibt den \(y\)-Achsenabschnitt an; hier ist \(c = 4\).

- Welche Information ist im gegebenen Term bereits ohne Umformung sichtbar? - Welche Darstellung macht die in b) gesuchte Information besonders direkt sichtbar? - Welche Darstellung macht die in c) gesuchte Information besonders direkt sichtbar? - Begründe deine Wahl jeweils mit der Information, die du suchst, nicht nur mit dem Namen der Darstellung.

1. In der allgemeinen Form \(f(x)=x^2-6x+5\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt direkt als \(c=5\) sichtbar. Der Schnittpunkt ist \((0\mid5)\). 2. Für die Nullstellen ist die Produktform günstig. Durch Faktorisieren erhält man \(f(x)=(x-1)(x-5)\). Daher sind \(x_1=1\) und \(x_2=5\). 3. Für den tiefsten Punkt ist die Scheitelpunktform günstig. Quadratisches Ergänzen liefert \(f(x)=(x-3)^2-4\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist \(S(3\mid-4)\) der tiefste Punkt. 4. Allgemeine Form: \(y\)-Achsenabschnitt \(c\) direkt sichtbar. Produktform: Nullstellen direkt an den Faktoren sichtbar. Scheitelpunktform: Scheitelpunkt direkt sichtbar.

a) \((0\mid5)\) b) \(x_1=1\), \(x_2=5\) c) Tiefster Punkt: \(S(3\mid-4)\) d) a) allgemeine Form, weil \(c\) direkt den \(y\)-Achsenabschnitt angibt; b) Produktform, weil die Nullstellen an den Faktoren sichtbar sind; c) Scheitelpunktform, weil der Scheitelpunkt direkt sichtbar ist.

- Kennst du eine Eigenschaft von Parabeln, mit der du die Position des Scheitelpunkts direkt aus den Nullstellen finden kannst? - Wo genau zwischen den Nullstellen liegt die Symmetrieachse der Parabel? - Wie findest du den passenden Funktionswert, wenn du die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bereits kennst?

1. Identifikation der Nullstellen aus der gegebenen Form: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 7\). 2. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(x_S\)) als Mittelwert der Nullstellen aufgrund der Symmetrie der Parabel: \(x_S = \frac{-1 + 7}{2} = 3\). 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate (\(y_S\)) durch Einsetzen von \(x_S\) in die Funktionsgleichung: \(h(3) = 0{,}25(3 + 1)(3 - 7) = 0{,}25 \cdot 4 \cdot (-4) = -4\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform mit dem Streckfaktor \(a = 0{,}25\): \(h(x) = 0{,}25(x - 3)^2 - 4\). Alternativer Weg: Ausmultiplizieren zu \(h(x) = 0{,}25x^2 - 1{,}5x - 1{,}75\) und anschließende quadratische Ergänzung.

\(h(x) = 0{,}25(x - 3)^2 - 4\)

- Wann wird ein Produkt gleich Null? - Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wie findest du den passenden Funktionswert zu einer \(x\)-Stelle? - Welche binomische Formel hilft dir beim Auflösen der Klammer in der Scheitelpunktform?

1. Nullstellen: Direktes Ablesen aus der Produktform ergibt \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 6\). 2. Scheitelpunkt bestimmen: Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt mittig zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f(2) = -0{,}5(2 + 2)(2 - 6) = -0{,}5 \cdot 4 \cdot (-4) = 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2\mid8)\). 3. Umwandlung: Scheitelpunktform ist \(f(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 8\). Ausmultiplizieren: \(-0{,}5(x^2 - 4x + 4) + 8 = -0{,}5x^2 + 2x - 2 + 8 = -0{,}5x^2 + 2x + 6\).

a) Nullstellen: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 6\) b) Scheitelpunkt: \(S(2\mid8)\) c) Scheitelpunktform: \(f(x) = -0{,}5(x-2)^2 + 8\); Allgemeine Form: \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 6\)

- Erinnere dich an die erste binomische Formel, um die Klammer aufzulösen. - Achte beim Multiplizieren mit \(-\frac{1}{2}\) auf die Vorzeichen aller Glieder in der Klammer. - Welche Methode bietet sich an, um die Nullstellen einer Gleichung der Form \(ax^2 + bx = 0\) schnell zu finden? - Wie hängen die Nullstellen mit den Faktoren der Produktform zusammen?

1. Umwandlung in die allgemeine Form durch Auflösen der Klammer (binomische Formel) und Zusammenfassen: \(g(x) = -\frac{1}{2}(x^2 + 8x + 16) + 8\) \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x - 8 + 8\) \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x\) 2. Berechnung der Nullstellen (hier durch Ausklammern in der allgemeinen Form oder direkt aus der Scheitelpunktform): \(-0{,}5x^2 - 4x = 0\) \(x(-0{,}5x - 4) = 0\) \(x_1 = 0\) \(-0{,}5x - 4 = 0 \Rightarrow -0{,}5x = 4 \Rightarrow x_2 = -8\) 3. Aufstellen der Produktform: Mit \(a = -0{,}5\), \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -8\) folgt: \(g(x) = -0{,}5(x - 0)(x + 8)\) bzw. \(g(x) = -0{,}5x(x + 8)\).

a) Die allgemeine Form ist \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x\). b) Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -8\). c) Die Produktform lautet \(g(x) = -0{,}5x(x + 8)\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn einer der Faktoren in der Klammer Null wird? - Wie findet man einen unbekannten Parameter, wenn ein Punkt auf dem Graphen gegeben ist? - Nutze die Symmetrie der Parabel: Wo muss der Scheitelpunkt im Verhältnis zu den Nullstellen liegen?

1. Alle Funktionen der Gruppe haben dieselben Nullstellen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\), da dies die Werte sind, für die die Klammerausdrücke Null werden. 2. Einsetzen von \(R(0\mid3)\) in die Funktionsgleichung: \(3 = a \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 1) \Rightarrow 3 = -3a \Rightarrow a = -1\). 3. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_S = \frac{-3 + 1}{2} = -1\). Einsetzen in die Funktion mit \(a = -1\): \(f(-1) = -1 \cdot (-1 + 3) \cdot (-1 - 1) = -1 \cdot 2 \cdot (-2) = 4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-1\mid4)\).

a) Gemeinsame Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 1\). b) \(a = -1\) c) \(S(-1\mid4)\)

- Wie kannst du die Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln auflösen? - Vergiss nicht, den Faktor vor der Klammer auf jedes Glied in der Klammer anzuwenden. - Um die Produktform zu finden, musst du zuerst die Werte finden, für die die Funktion Null wird. - Überlege, welche Information du aus jeder Darstellung direkt ablesen kannst: Scheitelpunkt, Nullstellen oder y-Achsenabschnitt.

1. Umwandlung in die allgemeine Form durch Auflösen der Klammer (1. Binomische Formel): \(g(x) = -0{,}5(x^2 + 2x + 1) + 2 = -0{,}5x^2 - x - 0{,}5 + 2 = -0{,}5x^2 - x + 1{,}5\). 2. Berechnung der Nullstellen zur Bestimmung der Produktform: \(-0{,}5(x + 1)^2 + 2 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 4 \Rightarrow x + 1 = \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Aufstellen der Produktform: \(g(x) = -0{,}5(x - 1)(x + 3)\). 4. Interpretation: In der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 2)\) direkt ablesen. In der Produktform lassen sich die Nullstellen \(x_1=1\) und \(x_2=-3\) direkt ablesen. In der allgemeinen Form lässt sich der y-Achsenabschnitt \(c = 1{,}5\) direkt ablesen. In allen drei Formen ist der Streckfaktor \(a = -0{,}5\) sichtbar.

a) Allgemeine Form: \(g(x) = -0{,}5x^2 - x + 1{,}5\) b) Produktform: \(g(x) = -0{,}5(x - 1)(x + 3)\) c) Scheitelpunktform: Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 2)\) direkt ablesbar. Produktform: Nullstellen \(x_1=1\) und \(x_2=-3\) direkt ablesbar. Allgemeine Form: y-Achsenabschnitt \(c=1{,}5\) direkt ablesbar. Der Streckfaktor \(a=-0{,}5\) ist in allen drei Formen sichtbar.

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse gegeben sind? - Wo liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den Nullstellen? - Wie findest du den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn du seinen \(x\)-Wert und die Funktionsgleichung kennst?

1. Verwendung der Produktform: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 2)(x - 6)\) 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 3)\) zur Bestimmung von \(a\): \(3 = a(0 + 2)(0 - 6) = -12a\) 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{3}{-12} = -0{,}25\) 4. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}25(x + 2)(x - 6)\) 5. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(x_S\)) als Mittelwert der Nullstellen: \(x_S = \frac{-2 + 6}{2} = 2\) 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(y_S\)) durch Einsetzen von \(x_S\): \(y_S = f(2) = -0{,}25(2 + 2)(2 - 6) = -0{,}25 \cdot 4 \cdot (-4) = 4\) 7. Koordinaten des Scheitelpunkts: \(S(2 \mid 4)\)

Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten \(S(2 \mid 4)\).

- Wenn du die Stellen kennst, an denen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet, welche Form der Gleichung hilft dir dann weiter? - Wo liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den beiden Nullstellen? - Wie findest du den y-Wert eines Punktes heraus, wenn du seinen x-Wert und die Funktionsgleichung kennst?

1. Ansatz mit der Produktform: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\). 2. Einsetzen der Nullstellen: \(f(x) = a(x - 1)(x - 5)\). 3. Bestimmung von \(a\) mit dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \((0 \mid -5)\): \(-5 = a(0 - 1)(0 - 5) \Rightarrow -5 = 5a \Rightarrow a = -1\). 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = -(x - 1)(x - 5) = -x^2 + 6x - 5\). 5. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_S = \frac{1 + 5}{2} = 3\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in die Funktion: \(f(3) = -(3 - 1)(3 - 5) = -(2)(-2) = 4\). 7. Ergebnis: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 \mid 4)\).

Funktionsgleichung: \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) (oder \(f(x) = -(x - 1)(x - 5)\)); Scheitelpunkt: \(S(3 \mid 4)\).

- Wie liest man die Koordinaten direkt aus der Klammer und dem Summanden am Ende ab? - Welche Koordinate gibt die Höhe des Scheitelpunkts an? - Erinnere dich an die erste binomische Formel beim Auflösen der Klammer. - Was muss man für \(x\) einsetzen, um den Punkt auf der senkrechten Achse zu finden?

1. Scheitelpunkt von \(h\): Da \(h(x) = -2(x - 0)^2 + 4\), ist \(S_h(0|4)\). Scheitelpunkt von \(k\): Aus der Form \(k(x) = -2(x - (-1))^2 + 6\) folgt \(S_k(-1|6)\). 2. Der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts gibt das Maximum an. Da \(6 > 4\), liegt der Scheitelpunkt von \(k\) höher als der von \(h\). 3. Ausmultiplizieren von \(k(x) = -2(x^2 + 2x + 1) + 6\): \(-2x^2 - 4x - 2 + 6 = -2x^2 - 4x + 4\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Berechnung: \(k(0) = -2(0)^2 - 4(0) + 4 = 4\). Der Schnittpunkt ist \(P_y(0|4)\).

1. \(S_h(0|4)\) und \(S_k(-1|6)\). 2. Die Parabel \(k\) hat den höheren Scheitelpunkt. 3. \(k(x) = -2x^2 - 4x + 4\) 4. \(P_y(0|4)\)

- Kannst du die Nullstellengleichung nach dem Kürzen in Linearfaktoren zerlegen? - Welche Symmetrieeigenschaft verbindet zwei Nullstellen mit der Scheitelpunktstelle? - Wie hängen Öffnungsrichtung und Vorzeichen der Funktionswerte zwischen den Nullstellen zusammen? - Was sagt der Betrag \(|a|\) über die Breite der Parabel aus?

1. Für die Nullstellen gilt \(-2x^2+4x+6=0\). Division durch \(-2\) ergibt \(x^2-2x-3=0\), also \((x+1)(x-3)=0\). Damit sind \(x_1=-1\) und \(x_2=3\). 2. Die Symmetrieachse liegt in der Mitte der Nullstellen: \(x_S=\frac{-1+3}{2}=1\). Mit \(f(1)=8\) folgt \(S(1\mid8)\). 3. Da \(a=-2<0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt ist daher ein Maximum. 4. Zwischen den Nullstellen liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Somit gilt \(f(x)>0\) für \(-1<x<3\). 5. Wegen \(a<0\) ist der Graph nach unten geöffnet. Da \(|a|=2>1\), ist er schmaler als die Normalparabel.

a) \(x_1=-1\) und \(x_2=3\) b) \(S(1\mid8)\); Maximum c) \(-1<x<3\) d) Nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

- Was bedeutet es für den Wert des Terms an einer bestimmten Stelle, wenn ein bestimmter Linearfaktor existiert? - Wenn du weißt, dass ein Produkt null ist, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du den verbleibenden Teil des Terms finden, wenn du einen Faktor bereits kennst?

1. Wenn \((x + 2)\) ein Faktor ist, muss \(x = -2\) eine Nullstelle des Terms sein. 2. Einsetzen von \(x = -2\) in den Term: \(3 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 10 = 0\). 3. Berechnung von \(b\): \(12 - 2b - 10 = 0 \Rightarrow 2 - 2b = 0 \Rightarrow b = 1\). 4. Der Term lautet somit \(3x^2 + x - 10\). 5. Suche nach der zweiten Nullstelle oder Koeffizientenvergleich: Da \((x + 2) \cdot (3x + k) = 3x^2 + (k + 6)x + 2k\) sein muss, folgt aus \(2k = -10\), dass \(k = -5\). 6. Vollständige Faktorisierung: \((x + 2)(3x - 5)\).

1. \(b = 1\) 2. \((x + 2)(3x - 5)\)

- Lies bei jedem Graphen zuerst den Scheitelpunkt ab. - Welcher weitere Gitterpunkt eignet sich jeweils, um \(a\) zu bestimmen? - Wie hängt die vertikale Änderung vom horizontalen Abstand zum Scheitelpunkt ab?

1. Für \(f\) liest man \(S_f(1\mid2)\) und den Punkt \(P(2\mid3)\) ab. Mit \(f(x)=a(x-1)^2+2\) folgt aus \(3=a+2\) der Wert \(a=1\). Daher ist \(f(x)=(x-1)^2+2\). 2. Für \(g\) liest man \(S_g(-2\mid-1)\) und beispielsweise \(P(0\mid1)\) ab. Mit \(g(x)=a(x+2)^2-1\) folgt \(1=4a-1\), also \(a=0{,}5\). Daher ist \(g(x)=0{,}5(x+2)^2-1\). 3. Für \(h\) liest man \(S_h(2\mid1)\) und \(P(1\mid0)\) ab. Mit \(h(x)=a(x-2)^2+1\) folgt \(0=a+1\), also \(a=-1\). Daher ist \(h(x)=-(x-2)^2+1\). 4. Beim Graphen von \(g\) ist der tiefste Punkt \(S_g(-2\mid-1)\). Geht man vom Scheitelpunkt um \(2\) Einheiten nach rechts, steigt der Graph um \(2\) Einheiten. Daher gilt \(2=a\cdot2^2\) und somit \(a=0{,}5\).

a) \(f(x)=(x-1)^2+2\); \(g(x)=0{,}5(x+2)^2-1\); \(h(x)=-(x-2)^2+1\) b) Bei \(g\) ist \(S_g(-2\mid-1)\) direkt als tiefster Punkt ablesbar. Ein weiterer Gitterpunkt liefert über die horizontale und vertikale Änderung den Faktor \(a=0{,}5\).

- Welche Punkte der beiden Graphen liefern Scheitelpunkt und jeweils einen weiteren einfachen Funktionswert? - Welche beiden Werte machen das gegebene Produkt in Teil c) zu Null? - Wenn eine Lösung außerhalb des dargestellten Bereichs liegt, wie kannst du prüfen, ob sie im Sachkontext sinnvoll ist?

1. Aus der Grafik liest man \(S_f(2\mid4)\) und \(S_g(3\mid3)\) ab. 2. Für \(f\) gilt \(f(x)=a(x-2)^2+4\). Mit \((0\mid0)\) folgt \(0=4a+4\), also \(a=-1\). Daher ist \(f(x)=-(x-2)^2+4\). 3. Für \(g\) gilt \(g(x)=a(x-3)^2+3\). Mit \((1\mid0)\) folgt \(0=4a+3\), also \(a=-0{,}75\). Daher ist \(g(x)=-0{,}75(x-3)^2+3\). 4. Für die Schnittpunkte ist bereits \((x-3)(x+5)=0\) gegeben. Daraus folgen \(x=3\) und \(x=-5\). 5. Der sichtbare Schnittpunkt gehört zu \(x=3\). Für den zweiten gilt \(x=-5\) und \(f(-5)=-45\). Somit ist der zweite mathematische Schnittpunkt \((-5\mid-45)\). 6. Dieser Punkt liegt sowohl bei negativer horizontaler Entfernung als auch unterhalb des Bodenniveaus und damit außerhalb des Sachmodells.

a) \(S_f(2\mid4)\) und \(S_g(3\mid3)\) b) \(f(x)=-(x-2)^2+4\); \(g(x)=-0{,}75(x-3)^2+3\) c) Zweiter mathematischer Schnittpunkt: \((-5\mid-45)\); er liegt außerhalb des sinnvollen Sachbereichs.

- Welche Koordinaten des Scheitelpunkts kannst du aus jeder Scheitelpunktform ablesen? - Was verrät ein negatives Vorzeichen vor dem Quadrat über die Öffnungsrichtung? - Vergleiche jeden abgelesenen Scheitelpunkt mit dem Ursprung der Normalparabel.

1. \(p_1\) hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid-1)\) und ist nach oben geöffnet. Daher gehört Gleichung D dazu. 2. \(p_2\) hat den Scheitelpunkt \(S(-1\mid3)\) und ist nach unten geöffnet. Daher gehört Gleichung C dazu. 3. \(p_3\) hat den Scheitelpunkt \(S(-3\mid1)\) und ist nach oben geöffnet. Daher gehört Gleichung B dazu. 4. \(p_4\) hat den Scheitelpunkt \(S(0\mid-2)\) und ist nach oben geöffnet. Daher gehört Gleichung A dazu. 5. Damit entsteht \(p_1\) durch Verschiebung um \(2\) nach rechts und \(1\) nach unten; \(p_2\) zusätzlich durch Spiegelung an der \(x\)-Achse sowie Verschiebung um \(1\) nach links und \(3\) nach oben; \(p_3\) durch Verschiebung um \(3\) nach links und \(1\) nach oben; \(p_4\) durch Verschiebung um \(2\) nach unten.

a) \(p_1\): D; \(p_2\): C; \(p_3\): B; \(p_4\): A b) \(p_1\): rechts \(2\), unten \(1\); \(p_2\): Spiegelung an der \(x\)-Achse, links \(1\), oben \(3\); \(p_3\): links \(3\), oben \(1\); \(p_4\): unten \(2\).

- Schaue dir zuerst die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse (Nullstellen) an. Wie hängen diese mit den Vorzeichen in der Produktform zusammen? - Wie kannst du den Streckfaktor bestimmen, indem du einen bekannten Punkt des Graphen in deine Gleichung einsetzt und nach dem unbekannten Faktor auflöst? - Bestimme für den zweiten Graphen den Scheitelpunkt direkt aus der Abbildung. Wie wird eine Verschiebung nach links in der Scheitelpunktform mathematisch ausgedrückt? - Achte auf das Vorzeichen des Streckfaktors: Öffnet sich die Parabel nach oben oder nach unten? Ist sie im Vergleich zur Normalparabel gestreckt oder gestaucht?

1. Analyse von Graph a): Bestimmung der Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Ansatz in Produktform \(f(x) = a(x+1)(x-3)\). Bestimmung des Streckfaktors durch Einsetzen des Scheitelpunkts \((1 \mid -2)\): \(-2 = a(1+1)(1-3) \implies -2 = -4a \implies a = 0{,}5\). Korrekte Gleichung ist \(f(x) = 0{,}5(x+1)(x-3)\). Mias Fehler: Vorzeichen in den Linearfaktoren vertauscht und falschen Streckfaktor (\(a = 2\)) gewählt. 2. Analyse von Graph b): Bestimmung des Scheitelpunkts bei \(S(-2 \mid 3)\). Ansatz der Scheitelpunktform \(g(x) = a(x+2)^2 + 3\). Bestimmung des Streckfaktors durch Einsetzen des Punktes \((-1 \mid 1)\): \(1 = a(-1+2)^2 + 3 \implies 1 = a + 3 \implies a = -2\). Korrekte Gleichung ist \(g(x) = -2(x+2)^2 + 3\). Mias Fehler: Vorzeichen in der Klammer vertauscht (Verschiebung nach rechts statt links) und falschen Streckfaktor (\(a = -1\)) gewählt.

a) Mia hat die Vorzeichen der Nullstellen vertauscht und \(a=2\) statt \(a=0{,}5\) verwendet; korrekt ist \(f(x) = 0{,}5(x+1)(x-3)\). b) Mia hat die Verschiebungsrichtung und den Streckfaktor falsch gewählt; korrekt ist \(g(x) = -2(x+2)^2 + 3\).

- Kannst du den Scheitelpunkt (den höchsten oder tiefsten Punkt) des Graphen ablesen? - Wie lautet die Scheitelpunktform einer Parabel? Wie setzt man dort den Scheitelpunkt ein? - Um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen, kannst du die Koordinaten eines beliebigen anderen Punktes auf dem Graphen in deine Funktionsgleichung einsetzen. - Wo schneidet der Graph \(g\) die x-Achse? Diese Punkte sind die Nullstellen, die du direkt in die Produktform einsetzen kannst. - Wie kannst du eine Klammer der Form \((x - d)^2\) oder ein Produkt zweier Klammern ausmultiplizieren, um die allgemeine Form zu erhalten?

1. Teilaufgabe a): - Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt des Graphen \(f\) liegt bei \(S_1(2 \mid -3)\). - Scheitelpunktform aufstellen: \(f(x) = a(x - 2)^2 - 3\). - Parameter \(a\) bestimmen: Einsetzen eines gut ablesbaren Punktes, z. B. \(P(0 \mid -1)\): \(-1 = a(0 - 2)^2 - 3 \implies 2 = 4a \implies a = 0{,}5\). Die Scheitelpunktform lautet somit: \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 - 3\). - In die allgemeine Form umwandeln: \(f(x) = 0{,}5(x^2 - 4x + 4) - 3 = 0{,}5x^2 - 2x + 2 - 3 = 0{,}5x^2 - 2x - 1\). 2. Teilaufgabe b): - Nullstellen ablesen: Der Graph \(g\) schneidet die x-Achse bei \(x_1=-5\) und \(x_2 = -1\). - Produktform aufstellen: \(g(x) = a(x + 5)(x + 1)\). - Parameter \(a\) bestimmen: Einsetzen des y-Achsenabschnitts \(Q(0 \mid -5)\): \(-5 = a(0 + 5)(0 + 1) \implies -5 = 5a \implies a = -1\). Die Produktform lautet somit: \(g(x) = -(x + 5)(x + 1)\). - Ausmultiplizieren der Produktform: \(g(x) = -(x^2 + 6x + 5) = -x^2 - 6x - 5\). - Alternative über die Scheitelpunktform: Mit Scheitelpunkt \(S_2(-3 \mid 4)\) und \(a = -1\): \(g(x) = -(x + 3)^2 + 4 = -(x^2 + 6x + 9) + 4 = -x^2 - 6x - 5\). Beide Wege führen zur selben allgemeinen Form \(g(x) = -x^2 - 6x - 5\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 - 3\); allgemeine Form: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x - 1\). b) Produktform: \(g(x) = -(x + 5)(x + 1)\); Scheitelpunktform: \(g(x) = -(x + 3)^2 + 4\). Beide Formen ergeben ausmultipliziert die allgemeine Form \(g(x) = -x^2 - 6x - 5\).

- Welche Informationen liefern Vorzeichen und Betrag von \(a\) über Öffnung und Breite? - Welche Scheitelpunkte und Nullstellen kannst du direkt aus den Graphen ablesen? - Wie begrenzt ein Hoch- oder Tiefpunkt die Wertemenge?

1. Graph \(C\) ist nach oben geöffnet, schmaler als die Normalparabel und hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid-2)\). Daher gehört \(f_1\) zu \(C\). 2. Graph \(A\) ist nach unten geöffnet, breiter als die Normalparabel und hat den Scheitelpunkt \(S(-2\mid2)\). Daher gehört \(f_2\) zu \(A\). 3. Graph \(B\) ist nach oben geöffnet, gleich breit wie die Normalparabel und hat den Scheitelpunkt \(S(1\mid-4)\). Daher gehört \(f_3\) zu \(B\). 4. Aus der Grafik liest man für \(f_1\) die Nullstellen \(1\) und \(3\), für \(f_2\) die Nullstellen \(-4\) und \(0\), für \(f_3\) die Nullstellen \(-1\) und \(3\) ab. 5. Aus den Scheitelpunkten und Öffnungsrichtungen folgen \(W_1=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge -2\}\), \(W_2=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le 2\}\) und \(W_3=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge -4\}\).

a) \(f_1\rightarrow C\), weil \(C\) nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel ist; \(f_2\rightarrow A\), weil \(A\) nach unten geöffnet und breiter ist; \(f_3\rightarrow B\), weil \(B\) nach oben geöffnet und gleich breit wie die Normalparabel ist. b) \(f_1\): \(1,3\); \(f_2\): \(-4,0\); \(f_3\): \(-1,3\) c) \(W_1=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-2\}\); \(W_2=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le2\}\); \(W_3=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-4\}\)

- Welche Extrempunkte kannst du direkt ablesen? - Welche Öffnungsrichtung hat jeder Graph und welches Vorzeichen muss daher \(a\) haben? - Wie erhältst du aus der Scheitelpunktform die allgemeine Form?

1. Aus der Grafik liest man \(S_f(2\mid-3)\) und \(S_g(-1\mid4)\) ab. 2. \(f\) ist nach oben geöffnet und gleich breit wie die Normalparabel. Daher gilt \(f(x)=(x-2)^2-3\). 3. \(g\) ist nach unten geöffnet und gleich breit wie die Normalparabel. Daher gilt \(g(x)=-(x+1)^2+4\). 4. Ausmultiplizieren liefert die allgemeinen Formen \(f(x)=x^2-4x+1\) und \(g(x)=-x^2-2x+3\).

a) \(S_f(2\mid-3)\); \(S_g(-1\mid4)\) b) \(f(x)=(x-2)^2-3\); \(g(x)=-(x+1)^2+4\) c) \(f(x)=x^2-4x+1\); \(g(x)=-x^2-2x+3\)

- Welche Informationen der Scheitelpunktform kannst du direkt aus jedem Graphen gewinnen? - Wo liegen die Nullstellen eines Funktionsgraphen im Koordinatensystem? - Wie kannst du einen grafisch abgelesenen Nullstellenwert mit dem Funktionsterm kontrollieren? - Welche Gleichung beschreibt algebraisch einen Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Für \(f\) liest man \(S(2 \mid -4)\) und \(a = 1\) ab. Daher ist \(f(x) = (x - 2)^2 - 4\). Für \(g\) liest man \(S(-1 \mid 1)\) und \(a = -1\) ab. Daher ist \(g(x) = -(x + 1)^2 + 1\). Für \(h\) liest man \(S(1 \mid -2)\) und \(a = 0{,}5\) ab. Daher ist \(h(x) = 0{,}5(x - 1)^2 - 2\). 2. Grafisch liest man für \(f\) die Nullstellen \(0\) und \(4\), für \(g\) die Nullstellen \(-2\) und \(0\) und für \(h\) die Nullstellen \(-1\) und \(3\) ab. 3. Rechnerische Kontrolle: \(f(0)=0\), \(f(4)=0\); \(g(-2)=0\), \(g(0)=0\); \(h(-1)=0\), \(h(3)=0\). 4. Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse hat die \(y\)-Koordinate \(0\). Deshalb beschreibt das grafische Schneiden der \(x\)-Achse genau dieselbe Bedingung wie die Gleichung \(f(x)=0\), entsprechend auch für \(g\) und \(h\).

a) \(f(x) = (x - 2)^2 - 4\); \(g(x) = -(x + 1)^2 + 1\); \(h(x) = 0{,}5(x - 1)^2 - 2\) b) \(f\): \(0\) und \(4\); \(g\): \(-2\) und \(0\); \(h\): \(-1\) und \(3\). Alle sechs Werte ergeben beim Einsetzen den Funktionswert \(0\). c) Nullstellen sind genau die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der \(x\)-Achse.

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel mit ihrer Scheitelpunktform zusammen? - Wie kannst du den Streckfaktor bestimmen, nachdem du den Scheitelpunkt abgelesen hast? Nutze dafür einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen. - Welche binomische Formel hilft dir dabei, die Klammer der Scheitelpunktform aufzulösen? - Um die Nullstellen zu berechnen, kannst du entweder die Scheitelpunktform direkt nach \(x\) auflösen oder die allgemeine Form gleich null setzen. Welcher Weg fällt dir leichter?

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus dem Graphen: \(S_f(2 \mid -3)\) und \(S_g(-1 \mid 4)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: - Für \(f\): Einsetzen des Scheitelpunkts liefert \(f(x) = a(x-2)^2 - 3\). Mit einem weiteren ablesbaren Punkt wie \((4 \mid -1)\) ergibt sich \(-1 = a(4-2)^2 - 3 \implies 2 = 4a \implies a = 0{,}5\). Somit ist \(f(x) = 0{,}5(x-2)^2 - 3\). - Für \(g\): Einsetzen des Scheitelpunkts liefert \(g(x) = a(x+1)^2 + 4\). Mit einem weiteren ablesbaren Punkt wie \((0 \mid 3)\) ergibt sich \(3 = a(0+1)^2 + 4 \implies -1 = a\). Somit ist \(g(x) = -(x+1)^2 + 4\). 3. Umformung von \(g(x)\) in die allgemeine Form durch Ausmultiplizieren mit der ersten binomischen Formel: \(g(x) = -(x^2 + 2x + 1) + 4 = -x^2 - 2x - 1 + 4 = -x^2 - 2x + 3\). 4. Berechnung der Nullstellen von \(g\): Ansatz \(g(x) = 0 \implies -(x+1)^2 + 4 = 0 \implies (x+1)^2 = 4 \implies x+1=2\) oder \(x+1 = -2\). Daraus ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\).

a) \(S_f(2 \mid -3)\) mit \(f(x) = 0{,}5(x-2)^2 - 3\); \(S_g(-1 \mid 4)\) mit \(g(x) = -(x+1)^2 + 4\). b) \(g(x) = -x^2 - 2x + 3\) c) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\)

- Lies zuerst die Scheitelpunkte ab. - Welcher weitere Gitterpunkt hilft dir jeweils, \(a\) zu bestimmen? - Welche binomische Formel brauchst du beim Ausmultiplizieren?

1. Aus dem Koordinatensystem liest man \(S_f(1\mid-2)\) und \(S_g(-2\mid3)\) ab. 2. Für \(f\) gilt zunächst \(f(x)=a(x-1)^2-2\). Mit dem Punkt \((0\mid0)\) folgt \(a=2\), also \(f(x)=2(x-1)^2-2\). 3. Für \(g\) gilt zunächst \(g(x)=a(x+2)^2+3\). Mit dem Punkt \((0\mid1)\) folgt \(1=4a+3\), also \(a=-0{,}5\). Damit ist \(g(x)=-0{,}5(x+2)^2+3\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=2x^2-4x\) und \(g(x)=-0{,}5x^2-2x+1\).

a) \(S_f(1\mid-2)\); \(S_g(-2\mid3)\) b) \(f(x)=2(x-1)^2-2\); \(g(x)=-0{,}5(x+2)^2+3\) c) \(f(x)=2x^2-4x\); \(g(x)=-0{,}5x^2-2x+1\)

- Wie hängen die Koordinaten des tiefsten oder höchsten Punktes einer Parabel mit ihrer Scheitelpunktform zusammen? - Welche Werte in der Scheitelpunktform kannst du direkt durch die Koordinaten des Scheitelpunkts ersetzen? - Wie hilft dir ein weiterer, gut ablesbarer Punkt auf dem Graphen dabei, den noch fehlenden Streckfaktor zu berechnen? - Was musst du tun, um eine Gleichung nach einer unbekannten Variable aufzulösen, wenn du alle anderen Werte kennst?

1. Bestimmung der Scheitelpunkte: - Für \(f\) ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt des Graphen: \(S_f(2 \mid -1)\). - Für \(g\) ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt des Graphen: \(S_g(-1 \mid 3)\). - Für \(h\) ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt des Graphen von \(h\): \(S_h(-2 \mid -2)\). 2. Bestimmung der Funktionsgleichungen: - Für \(f\): Einsetzen des Scheitelpunkts liefert den Ansatz \(f(x) = a(x - 2)^2 - 1\). Durch Einsetzen des Punktes \(P(4 \mid 3)\) erhält man \(3 = a \cdot (4 - 2)^2 - 1 \implies 3 = 4a - 1 \implies 4 = 4a \implies a = 1\). Die Gleichung lautet \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\). - Für \(g\): Einsetzen des Scheitelpunkts liefert den Ansatz \(g(x) = a(x + 1)^2 + 3\). Durch Einsetzen des Punktes \(Q(1 \mid 1)\) erhält man \(1 = a \cdot (1 + 1)^2 + 3 \implies 1 = 4a + 3 \implies -2 = 4a \implies a = -0{,}5\). Die Gleichung lautet \(g(x) = -0{,}5(x + 1)^2 + 3\). - Für \(h\): Einsetzen des Scheitelpunkts liefert den Ansatz \(h(x) = a(x + 2)^2 - 2\). Durch Einsetzen des Punktes \(R(0 \mid -1)\) erhält man \(-1 = a \cdot (0 + 2)^2 - 2 \implies -1 = 4a - 2 \implies 1 = 4a \implies a = 0{,}25\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 0{,}25(x + 2)^2 - 2\).

a) Die Scheitelpunkte sind: - \(S_f(2 \mid -1)\) - \(S_g(-1 \mid 3)\) - \(S_h(-2 \mid -2)\) b) Die Funktionsgleichungen lauten: - \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\) - \(g(x) = -0{,}5(x + 1)^2 + 3\) - \(h(x) = 0{,}25(x + 2)^2 - 2\)

- Welche Scheitelpunkte kannst du direkt ablesen? - Welcher zusätzliche Gitterpunkt bestimmt jeweils den Faktor \(a\)? - Welche binomische Formel brauchst du beim Ausmultiplizieren? - Was muss beim Einsetzen einer Nullstelle als Funktionswert entstehen?

1. Für \(f\) liest man \(S_f(1\mid-4)\) ab. Mit dem weiteren Punkt \((2\mid-2)\) folgt aus \(-2=a(2-1)^2-4\) der Wert \(a=2\). Daher ist \(f(x)=2(x-1)^2-4\). 2. Für \(g\) liest man \(S_g(-2\mid2)\) ab. Mit dem Punkt \((0\mid0)\) folgt \(0=4a+2\), also \(a=-0{,}5\). Daher ist \(g(x)=-0{,}5(x+2)^2+2\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=2x^2-4x-2\). 4. Aus der Grafik liest man für \(g\) die Nullstellen \(x_1=-4\) und \(x_2=0\) ab. 5. Einsetzen bestätigt \(g(-4)=-0{,}5\cdot4+2=0\) und \(g(0)=-0{,}5\cdot4+2=0\).

a) \(S_f(1\mid-4)\), \(f(x)=2(x-1)^2-4\); \(S_g(-2\mid2)\), \(g(x)=-0{,}5(x+2)^2+2\) b) \(f(x)=2x^2-4x-2\) c) \(x_1=-4\), \(x_2=0\); beide ergeben beim Einsetzen den Funktionswert \(0\).

- Bestimme zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts für jede Parabel im Koordinatensystem. - Überlege, wie weit die Parabel im Vergleich zu einer Normalparabel nach oben oder unten gestreckt ist, um den Streckfaktor zu bestimmen. - Erinnere dich an die allgemeine Struktur der Scheitelpunktform. Wie setzt man den Scheitelpunkt und den Streckfaktor dort ein? - Um eine quadrierte Klammer aufzulösen, kannst du eine der binomischen Formeln verwenden oder die Klammer mit sich selbst multiplizieren. - Lies für die Produktform die Schnittpunkte des Graphen mit der horizontalen Achse ab.

1. Scheitelpunktformen bestimmen: - Parabel \(f\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2 \mid -1)\). Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt (\(a = 1\)), lautet die Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\) - Parabel \(g\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1 \mid 2)\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist und die Form einer Normalparabel hat (\(a=-1\)), lautet die Scheitelpunktform: \(g(x) = -(x + 1)^2 + 2\) - Parabel \(h\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid -3)\). Die Parabel ist nach oben geöffnet. Geht man vom Scheitelpunkt \(2\) Einheiten nach rechts, geht die Kurve um \(2\) Einheiten nach oben (statt \(4\) bei der Normalparabel). Der Streckfaktor ist somit \(a = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Die Scheitelpunktform lautet: \(h(x) = 0{,}5x^2 - 3\) 2. Umwandlung von \(g\) in die allgemeine Form: - Wir wenden die erste binomische Formel auf den quadratischen Term an: \(g(x) = -(x^2 + 2x + 1) + 2\) - Auflösen der Klammer und Zusammenfassen liefert: \(g(x) = -x^2 - 2x - 1 + 2 = -x^2 - 2x + 1\) 3. Produktform von \(f\) bestimmen: - Die Nullstellen von \(f\) lassen sich direkt am Graphen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) ablesen. - Mit dem Streckfaktor \(a=1\) ergibt sich die Produktform: \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\)

a) \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\); \(g(x) = -(x + 1)^2 + 2\); \(h(x) = 0{,}5x^2 - 3\) b) \(g(x) = -x^2 - 2x + 1\) c) \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\)

- Welche Informationen liefern Scheitelpunkt und ein weiterer gut ablesbarer Punkt? - Wie kannst du die Nullstellengleichung direkt aus der Scheitelpunktform von \(f\) lösen? - Welche einfachen Quadratzahlen helfen bei \(g\)?

1. Für \(f\) liest man \(S_f(2\mid-3)\) und den Punkt \((0\mid1)\) ab. Mit \(f(x)=a(x-2)^2-3\) folgt \(1=4a-3\), also \(a=1\). Damit ist \(f(x)=(x-2)^2-3\). 2. Für \(g\) liest man \(S_g(0\mid1)\) und den Punkt \((1\mid0)\) ab. Daraus folgt \(g(x)=-x^2+1\). 3. Für \(f\) gilt \((x-2)^2-3=0\), also \((x-2)^2=3\). Daher sind die Nullstellen \(x=2-\sqrt{3}\) und \(x=2+\sqrt{3}\). 4. Für \(g\) gilt \(-x^2+1=0\), also \(x^2=1\). Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). 5. Die exakten Ergebnisse stimmen mit den in der Abbildung erkennbaren Schnittstellen mit der \(x\)-Achse überein.

a) \(f(x)=(x-2)^2-3\); \(g(x)=-x^2+1\) b) \(f\): \(x_1=2-\sqrt{3}\), \(x_2=2+\sqrt{3}\); \(g\): \(x_1=-1\), \(x_2=1\)

- Kannst du den Scheitelpunkt der Parabel direkt aus der Abbildung ablesen? - Welche Form einer quadratischen Funktion eignet sich besonders gut, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Wenn du die Nullstellen einer Parabel gut ablesen kannst, welche Darstellung bietet sich dann an? Nutze die Produktform. - Wie kannst du den Streckfaktor \(a\) bestimmen, nachdem du den Scheitelpunkt oder die Nullstellen eingesetzt hast? - Kannst du einen weiteren Punkt auf dem Graphen ablesen und dessen Koordinaten in deine Gleichung einsetzen?

1. Für die Parabel \(f\): - Ablesen des Scheitelpunkts: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_1(2 \mid 3)\). - Ansatz in der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 2)^2 + 3\). - Einsetzen eines weiteren Punktes, zum Beispiel \(P(1\mid1)\): \(1 = a(1 - 2)^2 + 3 \implies 1 = a(-1)^2 + 3 \implies 1 = a + 3 \implies a = -2\). - Der Funktionsterm lautet: \(f(x) = -2(x - 2)^2 + 3\) (oder in allgemeiner Form: \(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\)). 2. Für die Parabel \(g\): - Weg A (Scheitelpunktform): - Ablesen des Scheitelpunkts: \(S_2(-1 \mid -2)\). - Ansatz: \(g(x) = a(x + 1)^2 - 2\). - Einsetzen der Nullstelle \((1 \mid 0)\): \(0 = a(1 + 1)^2 - 2 \implies 0 = 4a - 2 \implies a = 0{,}5\). - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 2\). - Weg B (Produktform): - Ablesen der Nullstellen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). - Ansatz: \(g(x) = a(x + 3)(x - 1)\). - Einsetzen des Scheitelpunkts \(S_2(-1 \mid -2)\): \(-2 = a(-1 + 3)(-1 - 1) \implies -2 = -4a \implies a = 0{,}5\). - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = 0{,}5(x + 3)(x - 1)\) (oder in allgemeiner Form: \(g(x) = 0{,}5x^2 + x - 1{,}5\)).

\(f(x) = -2(x - 2)^2 + 3\) (oder \(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\)); \(g(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 2\) (oder \(g(x) = 0{,}5(x + 3)(x - 1)\) bzw. \(g(x) = 0{,}5x^2 + x - 1{,}5\))

- Welche Terme zeigen den Scheitelpunkt direkt? - Welche Terme zeigen die Nullstellen direkt? - Welche allgemeinen Formen erhältst du durch Ausmultiplizieren der passenden Scheitelpunkt- oder Produktformen? - Prüfe zusätzlich Öffnungsrichtung und Breite.

1. Der Graph \(f\) hat \(S_f(2\mid-1)\) und die Nullstellen \(1\) und \(3\). Dazu gehören Term 8 in Scheitelpunktform, Term 4 in Produktform und Term 1 in allgemeiner Form. 2. Der Graph \(g\) hat \(S_g(-1\mid4)\), ist nach unten geöffnet und hat die Nullstellen \(-3\) und \(1\). Dazu gehören Term 3, Term 7 und Term 5. 3. Der Graph \(h\) hat \(S_h(1\mid-2)\), den Faktor \(a=0{,}5\) und die Nullstellen \(-1\) und \(3\). Dazu gehören Term 6, Term 2 und Term 9.

\(f\): 1, 4, 8; \(g\): 3, 5, 7; \(h\): 2, 6, 9

- Bilde zuerst die drei zusammengesetzten Funktionsterme. - Welcher der drei Terme hat einen negativen quadratischen Koeffizienten? - Für die beiden nach oben geöffneten Graphen helfen die Nullstellen bei der Unterscheidung.

1. Die drei Terme lauten \(u(x)=0{,}5x^2+2x\), \(v(x)=0{,}5x^2-2x\) und \(w(x)=-0{,}5x^2+2x\). 2. Nur \(w\) ist nach unten geöffnet. Das ist Graph \(A\). 3. Für \(u\) liegen die Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=-4\). Das ist Graph \(B\). 4. Für \(v\) liegen die Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=4\). Das ist Graph \(C\).

\(A\rightarrow w(x)=g(x)-f(x)\), weil nur dieser Graph nach unten geöffnet ist. \(B\rightarrow u(x)=f(x)+g(x)\), mit Nullstellen \(-4\) und \(0\). \(C\rightarrow v(x)=f(x)-g(x)\), mit Nullstellen \(0\) und \(4\).

- Lies zuerst den Scheitelpunkt jedes gezeichneten Graphen ab. - Welche Scheitelpunkte ergeben sich aus den vier vorgegebenen Gleichungen? - Achte besonders auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer bei horizontalen Verschiebungen.

1. Graph \(a\) hat den Scheitelpunkt \(S(3\mid0)\) und passt zu Gleichung (1). 2. Graph \(b\) hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid0)\). Gleichung (2) hätte dagegen \(S(-2\mid0)\). Graph \(b\) ist daher falsch zugeordnet; passend wäre \(y=(x-2)^2\). 3. Graph \(c\) hat den Scheitelpunkt \(S(0\mid1{,}5)\) und passt zu Gleichung (3). 4. Graph \(d\) hat den Scheitelpunkt \(S(-1\mid-2)\). Gleichung (4) hätte \(S(1\mid-2)\). Passend wäre \(y=(x+1)^2-2\).

Richtig: \(a\) zu (1) und \(c\) zu (3). Falsch: \(b\) zu (2), Korrektur \(y=(x-2)^2\); \(d\) zu (4), Korrektur \(y=(x+1)^2-2\).

- Lies zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts \(S(x_S \mid y_S)\) aus dem Graphen ab. - Verwende die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\). - Suche dir einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf der Parabel, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Um zur Form \(ax^2 + bx + c\) zu gelangen, musst du die Klammer mit einer binomischen Formel auflösen und den Term zusammenfassen.

1. Parabel a: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid 2)\). Damit lautet der Ansatz der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x-1)^2 + 2\). Durch Einsetzen des Punktes \((0 \mid 4)\) ergibt sich \(4 = a(0-1)^2 + 2\), woraus \(a = 2\) folgt. Scheitelpunktform: \(f(x) = 2(x-1)^2 + 2\). Allgemeine Form: \(f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) + 2 = 2x^2 - 4x + 4\). 2. Parabel b: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2 \mid 1)\). Der Ansatz ist \(g(x) = a(x+2)^2 + 1\). Mit dem Punkt \((0 \mid -1)\) folgt \(-1 = a(0+2)^2 + 1\), also \(-2 = 4a\) und \(a = -0{,}5\). Scheitelpunktform: \(g(x) = -0{,}5(x+2)^2 + 1\). Allgemeine Form: \(g(x) = -0{,}5(x^2 + 4x + 4) + 1 = -0{,}5x^2 - 2x - 1\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = 2(x-1)^2 + 2\); allgemeine Form: \(f(x) = 2x^2 - 4x + 4\) b) Scheitelpunktform: \(g(x) = -0{,}5(x+2)^2 + 1\); allgemeine Form: \(g(x) = -0{,}5x^2 - 2x - 1\)

- Wo liegt der tiefste oder höchste Punkt der Kurve? Das sind die Koordinaten des Scheitels. - Setze diese Werte in die allgemeine Scheitelpunktform ein. - Nimm einen Punkt wie den Schnittpunkt mit einer Achse, um den Wert für \(a\) zu bestimmen. - Achte auf das Vorzeichen von \(a\): Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet?

1. Funktion h: Der Scheitelpunkt ist \(S(0 \mid -3)\). Die Scheitelpunktform ist \(h(x) = a(x-0)^2 - 3 = ax^2 - 3\). Mit dem Punkt \((2 \mid 1)\) berechnet man \(1 = a \cdot 2^2 - 3\), also \(4 = 4a\) und \(a = 1\). Scheitelpunktform und allgemeine Form: \(h(x) = x^2 - 3\). 2. Funktion k: Der Scheitelpunkt ist \(S(3 \mid 4)\). Die Scheitelpunktform ist \(k(x) = a(x-3)^2 + 4\). Mit dem Punkt \((1 \mid 0)\) berechnet man \(0 = a(1-3)^2 + 4\), also \(-4 = 4a\) und \(a = -1\). Scheitelpunktform: \(k(x) = -(x-3)^2 + 4\). Allgemeine Form: \(k(x) = -(x^2 - 6x + 9) + 4 = -x^2 + 6x - 5\).

h) Scheitelpunktform und allgemeine Form: \(h(x) = x^2 - 3\) k) Scheitelpunktform: \(k(x) = -(x-3)^2 + 4\); allgemeine Form: \(k(x) = -x^2 + 6x - 5\)

- Wo schneidet der Graph von \(f\) die \(x\)-Achse? Diese Werte helfen dir bei der Produktform. - Suche den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabeln, um den Scheitelpunkt zu finden. - Um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen, kannst du einen gut ablesbaren Punkt in deinen Ansatz einsetzen. - Achte beim Aufstellen der Klammern auf die Vorzeichen der Koordinaten.

1. Nullstellen von \(f\) ablesen: \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 2. Ansatz für die Produktform: \(f(x) = a(x - 1)(x - 5)\). 3. Beliebigen Punkt vom Graphen \(f\) wählen, z. B. den Scheitelpunkt \(S_f(3 \mid -2)\), und in den Ansatz einsetzen: \(-2 = a \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 5) \Rightarrow -2 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -2 = -4a \Rightarrow a = 0{,}5\). 4. Funktionsterm von \(f\): \(f(x) = 0{,}5(x - 1)(x - 5)\). 5. Scheitelpunkt von \(g\) ablesen: \(S_g(-2 \mid 3)\). 6. Ansatz für die Scheitelpunktform: \(g(x) = a(x + 2)^2 + 3\). 7. Weiteren Punkt vom Graphen \(g\) wählen, z. B. den Schnittpunkt mit der y-Achse \(P(0 \mid 1)\), und einsetzen: \(1 = a \cdot (0 + 2)^2 + 3 \Rightarrow 1 = 4a + 3 \Rightarrow -2 = 4a \Rightarrow a = -0{,}5\). 8. Funktionsterm von \(g\): \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 3\).

a) \(f(x) = 0{,}5(x - 1)(x - 5)\) b) \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 3\)

- Lies bei jedem Graphen zuerst Scheitelpunkt und Öffnungsrichtung ab. - Welche Terme lassen sich schon durch diese beiden Merkmale ausschließen? - Nutze bei Bedarf eine Nullstelle oder einen weiteren Punkt zur Kontrolle.

1. Graph a) hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid-1)\), ist nach oben geöffnet und besitzt die Nullstellen \(1\) und \(3\). Daher passt Term 3: \(f(x)=(x-2)^2-1\). 2. Graph b) hat den Scheitelpunkt \(S(-1\mid3)\) und ist nach unten geöffnet. Daher passt Term 4: \(g(x)=-(x+1)^2+3\). 3. Graph c) hat den Scheitelpunkt \(S(0\mid-2)\), ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel. Daher passt Term 2: \(h(x)=\frac{1}{2}x^2-2\). 4. Term 1, \(k(x)=-x^2+4\), hätte den Scheitelpunkt \(S(0\mid4)\) und bleibt übrig.

a) Term 3, weil der Graph \(S(2\mid-1)\) hat und nach oben geöffnet ist. b) Term 4, weil der Graph \(S(-1\mid3)\) hat und nach unten geöffnet ist. c) Term 2, weil der Graph \(S(0\mid-2)\) hat, nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel ist. Term 1 bleibt übrig.

- Welche Funktion ist schon durch das Vorzeichen ihres Leitkoeffizienten eindeutig zuzuordnen? - Vergleiche bei den beiden nach oben geöffneten Parabeln die Beträge der Leitkoeffizienten mit ihrer Breite. - Für die Wertemenge brauchst du Scheitelpunkthöhe und Öffnungsrichtung zusammen.

1. Graph \(I\) gehört zu \(h\), weil er nach oben geöffnet und mit \(a=0{,}2\) deutlich breiter als die Normalparabel ist. Graph \(II\) gehört zu \(g\), weil nur \(g\) einen negativen Leitkoeffizienten hat und damit nach unten geöffnet ist. Graph \(III\) gehört zu \(f\), weil \(a=1\) gilt und die Parabel nach oben geöffnet ist. 2. Aus der Abbildung liest man für \(h\) die Nullstellen \(-2\) und \(2\), für \(g\) die Nullstellen \(-3\) und \(1\), für \(f\) die Nullstellen \(1\) und \(3\) ab. 3. Die Scheitelpunkthöhen und Öffnungsrichtungen liefern \(W_h=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-0{,}8\}\), \(W_g=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le2\}\) und \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-1\}\).

a) \(I\rightarrow h\), weil \(a=0{,}2>0\) eine breite, nach oben geöffnete Parabel ergibt; \(II\rightarrow g\), weil \(a=-0{,}5<0\) die einzige nach unten geöffnete Parabel liefert; \(III\rightarrow f\), weil \(a=1\) zur nach oben geöffneten Normalparabelbreite passt. b) Nullstellen: \(h:\{-2;2\}\); \(g:\{-3;1\}\); \(f:\{1;3\}\) c) \(W_h=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-0{,}8\}\); \(W_g=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le2\}\); \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-1\}\)

- Lies zuerst Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt für jede Parabel ab. - Nutze den weiteren Punkt, um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen. - Verbinde für die Wertemenge Scheitelpunkthöhe mit Öffnungsrichtung.

1. Für \(p_1\) liest man \(S_1(3\mid4)\) und den Punkt \((1\mid0)\) ab. Aus \(0=a(1-3)^2+4\) folgt \(a=-1\). Damit ist \(p_1:y=-(x-3)^2+4\). 2. Für \(p_2\) liest man \(S_2(-2\mid-2)\) und den Punkt \((0\mid0)\) ab. Aus \(0=a(0+2)^2-2\) folgt \(a=0{,}5\). Damit ist \(p_2:y=0{,}5(x+2)^2-2\). 3. Die Nullstellen sind für \(p_1\) \(1\) und \(5\), für \(p_2\) \(-4\) und \(0\). 4. Aus Öffnungsrichtung und Scheitelpunkthöhe folgen \(W_1=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le4\}\) und \(W_2=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-2\}\).

a) \(p_1:y=-(x-3)^2+4\); \(p_2:y=0{,}5(x+2)^2-2\) b) Nullstellen: \(p_1:\{1;5\}\); \(p_2:\{-4;0\}\) c) Wertemengen: \(W_1=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le4\}\); \(W_2=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-2\}\)

- Welche markanten Punkte liefern dir die Parameter der beiden Parabeln? - Wo schneiden sich die beiden Graphen in der Zeichnung? - Setze für die Kontrolle die \(x\)-Koordinate eines Schnittpunkts in beide Funktionsterme ein. Welche Funktionswerte müssen übereinstimmen?

1. Für \(f\) liest man den Scheitelpunkt \(S_f(0\mid-4)\) und den Punkt \((2\mid0)\) ab. Damit ist \(f(x)=x^2-4\). 2. Für \(g\) liest man \(S_g(1\mid1)\) und den Ursprung \((0\mid0)\) ab. Mit \(g(x)=a(x-1)^2+1\) folgt \(a=-1\), also \(g(x)=-(x-1)^2+1=-x^2+2x\). 3. Aus der Grafik liest man die Schnittpunkte \(P(-1\mid-3)\) und \(Q(2\mid0)\) ab. 4. Kontrolle zum Beispiel für \(Q\): \(f(2)=2^2-4=0\) und \(g(2)=-2^2+2\cdot2=0\). Damit liegt \(Q(2\mid0)\) auf beiden Graphen.

a) \(f(x)=x^2-4\); \(g(x)=-x^2+2x\) b) \(P(-1\mid-3)\) und \(Q(2\mid0)\). Zum Beispiel gilt \(f(2)=g(2)=0\).

- Bestimme zuerst die Koordinaten der Scheitelpunkte durch genaues Ablesen im Gitter. - Eine Spiegelung an der x-Achse erkennst du daran, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Dies wird durch ein Minuszeichen vor der Klammer im Funktionsterm ausgedrückt. - Überlege, wie sich der Term vereinfacht, wenn eine der Koordinaten des Scheitelpunkts Null ist.

1. Analyse von \(p_1\) (grün): Der Scheitelpunkt liegt am höchsten Punkt bei \(S_1(2 \mid 4)\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss ein Minuszeichen vor die Klammer gesetzt werden: \(p_1(x) = -(x - 2)^2 + 4\). 2. Analyse von \(p_2\) (orange): Der Scheitelpunkt liegt am tiefsten Punkt bei \(S_2(-3 \mid -2)\). Die Parabel ist nach oben geöffnet, also lautet der Term \(p_2(x) = (x + 3)^2 - 2\). 3. Analyse von \(p_3\) (lila): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_3(0 \mid -4)\). Da keine Verschiebung in x-Richtung vorliegt, vereinfacht sich der Term zu \(p_3(x) = x^2 - 4\).

a) \(S_1(2 \mid 4)\), \(S_2(-3 \mid -2)\), \(S_3(0 \mid -4)\) b) \(p_1(x) = -(x - 2)^2 + 4\); \(p_2(x) = (x + 3)^2 - 2\); \(p_3(x) = x^2 - 4\)

- Achte auf die Lage des Scheitelpunkts und notiere seine Koordinaten. - Suche dir einen weiteren Punkt auf der Parabel, dessen Koordinaten du exakt ablesen kannst. - Erinnere dich daran, wie man von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form wechselt.

1. Analyse von \(p\): Der Scheitelpunkt ist \(S(0 \mid -3)\). Die Form ist \(p(x) = ax^2 - 3\). Ein weiterer Punkt ist \((1 \mid -1)\). Einsetzen liefert \(-1 = a(1)^2 - 3\), also \(a = 2\). Die allgemeine Form ist \(p(x) = 2x^2 - 3\). 2. Analyse von \(q\): Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 2)\). Die Scheitelpunktform ist \(q(x) = a(x - 2)^2 + 2\). Mit dem Punkt \((0 \mid 1)\) folgt \(1 = a(0 - 2)^2 + 2\), also \(1 = 4a + 2\), was zu \(4a = -1\) bzw. \(a = -0{,}25\) führt. Umformung: \(q(x) = -0{,}25(x^2 - 4x + 4) + 2 = -0{,}25x^2 + x - 1 + 2 = -0{,}25x^2 + x + 1\).

\(p(x) = 2x^2 - 3\); \(q(x) = -0{,}25x^2 + x + 1\)

- Bestimme zuerst die Koordinaten des Scheitelpunktes. - Notiere die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform. - Wie kannst du die Klammer auflösen, um zur allgemeinen Form zu gelangen?

1. Den Scheitelpunkt aus dem Graphen ablesen: \(S(-2 \mid -4)\). 2. Die Scheitelpunktform aufstellen: \(f(x) = (x + 2)^2 - 4\). 3. Die Klammer mit der ersten binomischen Formel auflösen: \(f(x) = x^2 + 4x + 4 - 4\). 4. Zusammenfassen zur allgemeinen Form: \(f(x) = x^2 + 4x\).

\(f(x) = x^2 + 4x\)

- Lies zuerst den Scheitelpunkt möglichst genau aus dem Koordinatensystem ab. - Reicht der Scheitelpunkt allein aus, um auch den Faktor \(a\) festzulegen? - Suche einen weiteren gut ablesbaren Punkt des Graphen und setze seine Koordinaten in den Ansatz der Scheitelpunktform ein. - Wandle erst danach den vollständig bestimmten Term in die allgemeine Form um.

1. Aus dem Graphen liest man den Scheitelpunkt \(S(2{,}5 \mid 1)\) ab. 2. Daher hat die Funktion zunächst die Form \(f(x) = a(x - 2{,}5)^2 + 1\). 3. Ein weiterer gut ablesbarer Punkt ist \(P(1{,}5 \mid 2)\). Einsetzen liefert \(2 = a(1{,}5 - 2{,}5)^2 + 1 = a + 1\), also \(a = 1\). 4. Damit lautet die Scheitelpunktform \(f(x) = (x - 2{,}5)^2 + 1\). 5. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x) = x^2 - 5x + 6{,}25 + 1 = x^2 - 5x + 7{,}25\).

Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 2{,}5)^2 + 1\) Allgemeine Form: \(f(x) = x^2 - 5x + 7{,}25\)

- Welchen Einfluss haben die Koordinaten des Scheitelpunkts auf die Vorzeichen in der Klammer der Scheitelpunktform? - Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt in die allgemeine Scheitelpunktform ein. - Wie kannst du den verbleibenden Parameter \(a\) mit Hilfe eines weiteren Punktes auf der Parabel bestimmen? - Achte darauf, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist.

1. Parabel \(h\): Der Scheitelpunkt ist \(S_h(-1 \mid -4)\). Mit dem Ansatz \(h(x) = a(x + 1)^2 - 4\) und dem Punkt \(P(1 \mid 0)\) erhält man \(0 = a(1 + 1)^2 - 4\). Dies führt zu \(4 = 4a\), also \(a = 1\). Der Term ist \(h(x) = (x + 1)^2 - 4\). 2. Parabel \(k\): Der Scheitelpunkt ist \(S_k(4 \mid 3)\). Mit dem Ansatz \(k(x) = a(x - 4)^2 + 3\) und dem Punkt \(Q(0 \mid -1)\) erhält man \(-1 = a(0 - 4)^2 + 3\). Dies führt zu \(-4 = 16a\), also \(a = -0{,}25\). Der Term ist \(k(x) = -0{,}25(x - 4)^2 + 3\).

Die Funktionsterme sind: \(h(x) = (x + 1)^2 - 4\) \(k(x) = -0{,}25(x - 4)^2 + 3\)

- Lies zuerst die beiden Scheitelpunkte ab. - Welche gut ablesbaren Punkte eignen sich, um jeweils \(a\) zu bestimmen? - Nutze für die Wertemenge Öffnungsrichtung und Scheitelpunkthöhe zusammen. - Auf welcher Seite eines Maximums steigt eine nach unten geöffnete Parabel?

1. Aus dem Graphen liest man \(S_f(3\mid2)\) und \(S_g(-2\mid-1)\) ab. 2. Für \(f\) liefert der Punkt \((1\mid-2)\): \(-2=a(1-3)^2+2\). Daraus folgt \(a=-1\), also \(f(x)=-(x-3)^2+2\). 3. Für \(g\) liefert der Punkt \((0\mid1)\): \(1=a(0+2)^2-1\). Daraus folgt \(a=0{,}5\), also \(g(x)=0{,}5(x+2)^2-1\). 4. Aus Öffnungsrichtung und Scheitelpunkthöhe folgen \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le2\}\) und \(W_g=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-1\}\). 5. Da \(f\) nach unten geöffnet ist und der Scheitelpunkt bei \(x=3\) liegt, ist \(f\) für \(x\le3\) streng monoton steigend.

a) Scheitelpunkte: \(S_f(3\mid2)\); \(S_g(-2\mid-1)\) b) Funktionsgleichungen: \(f(x)=-(x-3)^2+2\); \(g(x)=0{,}5(x+2)^2-1\) c) Wertemengen: \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le2\}\); \(W_g=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-1\}\) d) \(f\) ist streng monoton steigend für \(x\le3\).

- Vergleiche zuerst Scheitelpunkt und Öffnungsrichtung jedes Graphen mit den Kandidaten. - Eine Produktform kann zusätzliche Sicherheit geben, wenn die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse gut sichtbar sind. - Prüfe bei mehreren passenden Termen, ob sie durch Ausmultiplizieren tatsächlich äquivalent sind.

1. Graph \(f\) hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid1)\), ist nach unten geöffnet und hat die Nullstellen \(1\) und \(3\). Dazu passen Term 3, dessen Ausmultiplizieren Term 1 ergibt, und Term 5 mit denselben Nullstellen. Also passen 1, 3 und 5. 2. Graph \(g\) hat \(S(-1\mid-2)\), ist nach oben geöffnet und mit Faktor \(2\) schmaler als die Normalparabel. Dazu passen die äquivalenten Terme 2 und 4. 3. Graph \(h\) hat \(S(0\mid-2)\), ist nach oben geöffnet und mit \(a=0{,}5\) breiter als die Normalparabel. Dazu passt Term 6. 4. Term 7 beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit \(S(2\mid1)\) und passt daher zu keinem gezeichneten Graphen.

\(f\): Terme 1, 3 und 5; sie beschreiben dieselbe nach unten geöffnete Parabel mit \(S(2\mid1)\) und Nullstellen \(1\) und \(3\). \(g\): Terme 2 und 4; beide beschreiben die nach oben geöffnete Parabel mit \(S(-1\mid-2)\) und Streckfaktor \(2\). \(h\): Term 6; er hat \(S(0\mid-2)\) und \(a=0{,}5\). Term 7 bleibt übrig, weil sein Scheitelpunkt \(S(2\mid1)\) zu einer nach oben geöffneten Parabel gehört.

- Beginne mit der Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\). - Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts für \(x_S\) und \(y_S\) ein. - Nutze den zweiten Punkt, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Multipliziere die Klammer aus, um zur allgemeinen Form zu gelangen.

1. Für \(p_1\): Scheitelpunkt \(S_1(2 \mid 1)\) und Punkt \(P_1(0 \mid -1)\). Ansatz in Scheitelpunktform: \(p_1(x) = a(x - 2)^2 + 1\). Einsetzen von \(P_1(0 \mid -1)\): \(-1 = a(0 - 2)^2 + 1 \Rightarrow -2 = 4a \Rightarrow a = -0{,}5\). Allgemeine Form: \(p_1(x) = -0{,}5(x^2 - 4x + 4) + 1 = -0{,}5x^2 + 2x - 1\). 2. Für \(p_2\): Scheitelpunkt \(S_2(-1 \mid -2)\) und Punkt \(P_2(1 \mid 2)\). Ansatz: \(p_2(x) = a(x + 1)^2 - 2\). Einsetzen von \(P_2(1 \mid 2)\): \(2 = a(1 + 1)^2 - 2 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1\). Allgemeine Form: \(p_2(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1\).

\(p_1(x) = -0{,}5x^2 + 2x - 1\); \(p_2(x) = x^2 + 2x - 1\)

- Suche zuerst den Scheitelpunkt im Koordinatensystem. - Wähle einen Punkt, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um \(a\) zu bestimmen. - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die Nullstellen zu berechnen. - Du kannst die Nullstellen direkt aus der Scheitelpunktform berechnen, ohne sie erst umzuformen.

1. Ablesen aus dem Graphen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2 \mid -4{,}5)\). Ein weiterer Punkt auf dem Gitter ist \(P(1 \mid 0)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x + 2)^2 - 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(P(1 \mid 0)\): \(0 = a(1 + 2)^2 - 4{,}5 \Rightarrow 4{,}5 = 9a \Rightarrow a = 0{,}5\). Die Gleichung lautet: \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5\). 4. Berechnung der Nullstellen: \(0 = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5 \quad | +4{,}5\) \(4{,}5 = 0{,}5(x + 2)^2 \quad | :0{,}5\) \(9 = (x + 2)^2 \quad | \sqrt{}\) \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\) \(x_1 = 1\); \(x_2 = -5\).

a) \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5\) b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\).

- Welche quadratische Ergänzung passt zu \(x^2 - 4x\)? - Wie kannst du aus der Scheitelpunktform eine Gleichung lösen, in der nur noch ein Quadrat vorkommt? - Wie hängt die Produktform mit den beiden berechneten Nullstellen zusammen? - Welche einfache Probe bestätigt, dass ein berechneter \(x\)-Wert wirklich eine Nullstelle ist?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x) = 1{,}5(x^2 - 4x) + 4{,}5 = 1{,}5((x - 2)^2 - 4) + 4{,}5 = 1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5\). 2. Für die Nullstellen gilt \(1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1\). Damit sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Die Produktform lautet \(f(x) = 1{,}5(x - 1)(x - 3)\). 4. Kontrolle: \(f(1) = 1{,}5 - 6 + 4{,}5 = 0\) und \(f(3) = 13{,}5 - 18 + 4{,}5 = 0\). Beide Werte sind damit bestätigt.

a) \(f(x) = 1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5\) b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) c) \(f(x) = 1{,}5(x - 1)(x - 3)\) d) \(f(1) = 0\) und \(f(3) = 0\)

- Überlege, welche Verschiebung vorliegt: entlang der x-Achse oder entlang der y-Achse? - Wähle die passende Grundform der Gleichung. - Setze die Koordinaten eines markanten Punktes ein, um den Parameter \(a\) zu bestimmen.

1. Parabel \(h\): Der Scheitelpunkt liegt auf der y-Achse bei \(S_h(0 \mid 3)\). Die Parabel ist nach unten geöffnet. Ein Punkt ist \(P(4 \mid 1)\). Ansatz: \(y = ax^2 + 3\). Einsetzen von \(P\): \(1 = a \cdot 4^2 + 3 \Rightarrow -2 = 16a \Rightarrow a = -0{,}125\). Gleichung: \(h(x) = -0{,}125x^2 + 3\). 2. Parabel \(k\): Der Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse bei \(S_k(3 \mid 0)\). Die Parabel ist nach oben geöffnet. Ein Punkt ist \(Q(2 \mid 2)\). Ansatz: \(y = a(x - 3)^2\). Einsetzen von \(Q\): \(2 = a(2 - 3)^2 \Rightarrow 2 = a \cdot 1 \Rightarrow a = 2\). Gleichung: \(k(x) = 2(x - 3)^2\).

Die Funktionsgleichungen sind: \(h(x) = -0{,}125x^2 + 3\) \(k(x) = 2(x - 3)^2\)

- Welche Stellen auf der x-Achse schneidet der Graph von \(h\)? - Wie kannst du diese Nullstellen in die Produktform \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\) einbauen? - Bei der Parabel \(k\) ist der Scheitelpunkt sehr gut ablesbar. Welcher Ansatz bietet sich hier an? - Vergiss nicht, am Ende einen weiteren Punkt einzusetzen, um den Wert für den Parameter \(a\) zu berechnen.

1. Bestimmung der Gleichung für \(h\) (Produktform): - Ablesen der Nullstellen: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). - Ansatz: \(h(x) = a(x + 1)(x - 3)\). - Ablesen des Scheitelpunkts als Hilfspunkt: \(S(1 \mid 2)\). - Einsetzen zur Bestimmung von \(a\): \(2 = a \cdot (1 + 1)(1 - 3) \Rightarrow 2 = -4a \Rightarrow a = -0{,}5\). - Ergebnis: \(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 3)\). 2. Bestimmung der Gleichung für \(k\) (z. B. Scheitelpunktform): - Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(4 \mid -3)\). - Ansatz: \(k(x) = a(x - 4)^2 - 3\). - Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse: \(P(0 \mid 1)\). - Einsetzen: \(1 = a \cdot (0 - 4)^2 - 3 \Rightarrow 4 = 16a \Rightarrow a = 0{,}25\). - Ergebnis: \(k(x) = 0{,}25(x - 4)^2 - 3\).

\(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 3)\); \(k(x) = 0{,}25(x - 4)^2 - 3\)

- Welche Scheitelpunkte und weiteren Gitterpunkte kannst du ablesen? - Welche Nullstellengleichung entsteht bei \(f\)? - Welchen kleinsten Funktionswert besitzt \(g\)? Was bedeutet das für Nullstellen?

1. \(f\) hat den Scheitelpunkt \(S_f(0\mid5)\) und geht durch \((1\mid4)\). Daher gilt \(f(x)=-x^2+5\). 2. \(g\) hat den Scheitelpunkt \(S_g(2\mid1)\) und geht durch \((1\mid2)\). Daher gilt \(g(x)=(x-2)^2+1\). 3. Für \(f\) gilt \(-x^2+5=0\), also \(x^2=5\). Die Nullstellen sind \(x=-\sqrt{5}\) und \(x=\sqrt{5}\). 4. Für \(g\) ist \((x-2)^2+1>0\) für alle reellen \(x\). Daher besitzt \(g\) keine Nullstellen. 5. Dies stimmt mit der Abbildung überein: \(f\) schneidet die \(x\)-Achse zweimal, \(g\) gar nicht.

a) \(f(x)=-x^2+5\); \(g(x)=(x-2)^2+1\) b) \(f\): \(x_1=-\sqrt{5}\), \(x_2=\sqrt{5}\); \(g\): keine reellen Nullstellen

- Überlege zuerst, welche Informationen du direkt aus dem Graphen ablesen kannst: Scheitelpunkt oder Nullstellen? - Wähle den Ansatz, der am besten zu den abgelesenen Werten passt. - Nutze einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Prüfe am Ende, ob das Vorzeichen von \(a\) zur Öffnung der Parabel passt.

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(f\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid 4)\). Mit der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\) ergibt sich \(f(x) = a(x - 1)^2 + 4\). Ein weiterer Punkt auf dem Graphen ist \((0 \mid 2)\). Einsetzen liefert \(2 = a \cdot (0 - 1)^2 + 4 \Rightarrow 2 = a + 4 \Rightarrow a = -2\). Somit ist \(f(x) = -2(x - 1)^2 + 4\). 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(g\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -6\) und \(x_2 = -2\). Mit der Produktform \(g(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) ergibt sich \(g(x) = a(x + 6)(x + 2)\). Der Scheitelpunkt liegt bei \((-4 \mid -1)\). Einsetzen liefert \(-1 = a \cdot (-4 + 6)(-4 + 2) \Rightarrow -1 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -1 = -4a \Rightarrow a = 0{,}25\). Somit ist \(g(x) = 0{,}25(x + 6)(x + 2)\) (oder in Scheitelpunktform: \(g(x) = 0{,}25(x + 4)^2 - 1\)). 3. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(h\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Mit dem Ansatz \(h(x) = a(x - 1)(x - 5)\) und dem Scheitelpunkt \((3 \mid -2)\) folgt: \(-2 = a \cdot (3 - 1)(3 - 5) \Rightarrow -2 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -2 = -4a \Rightarrow a = 0{,}5\). Somit ist \(h(x) = 0{,}5(x - 1)(x - 5)\) (oder in Scheitelpunktform: \(h(x) = 0{,}5(x - 3)^2 - 2\)).

\(f(x) = -2(x - 1)^2 + 4\); \(g(x) = 0{,}25(x + 4)^2 - 1\) oder \(g(x) = 0{,}25(x + 6)(x + 2)\); \(h(x) = 0{,}5(x - 3)^2 - 2\) oder \(h(x) = 0{,}5(x - 1)(x - 5)\)

- Welchen Punkt haben beide Graphen gemeinsam? Was sagt dieser Punkt über den Parameter \(c\) aus? - Erinnere dich, wie man die Steigung einer Geraden mit einem Steigungsdreieck bestimmt. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du einen weiteren Punkt der Parabel in die Funktionsgleichung einsetzt.

1. Den gemeinsamen y-Achsenabschnitt \(c\) ablesen: Beide Graphen schneiden die y-Achse bei \(4\), also ist \(c = 4\). 2. Die Steigung \(a\) der Geraden \(g\) bestimmen: Die Gerade verläuft durch die Punkte \((0 \mid 4)\) und \((4 \mid 3)\). Die Steigung berechnet sich zu \(a = \frac{3 - 4}{4 - 0} = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). 3. Überprüfung mit der Parabel \(f\): Für \(a = -0{,}25\) und \(c = 4\) ergibt sich \(f(x) = -0{,}25x^2 + 4\). Der Punkt \((4 \mid 0)\) liegt auf dem Graphen, da \(f(4) = -0{,}25 \cdot 16 + 4 = -4 + 4 = 0\), was mit der Zeichnung übereinstimmt. Die gesuchten Werte sind \(a = -0{,}25\) und \(c = 4\).

\(a = -0{,}25\) und \(c = 4\)

- Welche Informationen über Nullstellen kannst du direkt am ausgewählten Graphen ablesen? - Setze den abgelesenen Scheitelpunkt in die Produktform ein, um \(a\) zu bestimmen. - Lass danach nur die zweite Nullstelle als Parameter \(k\) offen.

1. Beim Graphen mit den Nullstellen \(0\) und \(2\) liegt der Scheitelpunkt bei \(S(1\mid1)\). Mit \(1=a(1-0)(1-2)\) folgt \(a=-1\). 2. Eine Nullstelle ist immer \(0\), die zweite nennen wir \(k\). Damit lautet die Produktform \(f_k(x)=-x(x-k)\). 3. Für \(k=-4\) erhält man \(f(x)=-x(x+4)\); die Nullstellen sind \(-4\) und \(0\). Für \(k=4\) erhält man \(f(x)=-x(x-4)\); die Nullstellen sind \(0\) und \(4\). Das passt zu den beiden äußeren Graphen.

a) \(a=-1\). b) \(f_k(x)=-x(x-k)\). c) \(k=-4\) liefert die Nullstellen \(-4,0\), \(k=4\) die Nullstellen \(0,4\); beide passen zur Abbildung.

- Suche in der Tabelle nach paarweise gleichen Funktionswerten. - Wo liegt die Symmetrieachse zwischen solchen Wertepaaren? - Welcher noch unbekannte Parameter bleibt, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Nutze einen weiteren Tabellenpunkt, bevor du ausmultiplizierst.

1. Die Tabellenwerte sind symmetrisch zu \(x=2\); dort liegt mit \(f(2)=-1\) der Scheitelpunkt \(S(2 \mid -1)\). Daher gilt \(f(x)=a(x-2)^2-1\). 2. Mit dem Tabellenpunkt \((1 \mid 0)\) folgt \(0=a(1-2)^2-1\), also \(a=1\). Damit ist \(f(x)=(x-2)^2-1\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=x^2-4x+3\).

a) \(f(x)=(x-2)^2-1\) b) \(f(x)=x^2-4x+3\)

- Welche Angaben zu Scheitelpunkt und Öffnungsrichtung liefert die Formel unmittelbar? - Stimmt die verbale Beschreibung mit diesen Angaben überein? - Wenn Formel und Beschreibung zusammenpassen, wie kannst du die Tabelle gezielt überprüfen? - Prüfe einen Tabellenwert durch Einsetzen in die Formel statt nur nach einem Muster innerhalb der Tabelle zu suchen.

1. Aus der Formel liest man \(a=0{,}5>0\) und den Scheitelpunkt \(S(2\mid-1)\) ab. Damit stimmt die Beschreibung mit der Formel überein. 2. Der fehlerhafte Tabellenwert ist nicht allein durch ein offensichtliches Symmetriepaar zu erkennen. Deshalb wird die Tabelle mit der Formel abgeglichen. 3. Für \(x=4\) gilt \(f(4)=0{,}5(4-2)^2-1=1\). Der Tabellenwert \(1{,}5\) ist falsch. 4. Korrekt muss in der Tabelle bei \(x=4\) der Wert \(1\) stehen. Die übrigen angegebenen Werte stimmen mit der Formel überein.

Die Wertetabelle ist fehlerhaft. Für \(x=4\) muss \(f(4)=1\) statt \(1{,}5\) stehen. Formel und Beschreibung stimmen überein, weil beide den Scheitelpunkt \(S(2\mid-1)\) und eine nach oben geöffnete Parabel angeben.

- Welche x-Werte mit gleichem Funktionswert bilden jeweils ein Paar? - Wo liegt die Mitte jedes solchen x-Wertepaars? - Welche vereinfachte allgemeine Form hat eine Parabel mit Symmetrieachse \(x=0\)? - Nutze zwei verschiedene Tabellenwerte, um die beiden unbekannten Koeffizienten zu bestimmen.

1. Es gilt \(h(-4)=h(4)\) und \(h(-2)=h(2)\). Die Mittelpunkte der zugehörigen x-Werte liegen jeweils bei \(0\). Daher ist die Symmetrieachse \(x=0\). 2. Wegen der Symmetrieachse kann der Term als \(h(x)=ax^2+c\) angesetzt werden. 3. Aus \(h(4)=9\) folgt \(16a+c=9\). Aus \(h(2)=3\) folgt \(4a+c=3\). 4. Subtraktion ergibt \(12a=6\), also \(a=0{,}5\). Damit ist \(c=1\). 5. Also gilt \(h(x)=0{,}5x^2+1\). Der Scheitelpunkt ist \(S(0\mid1)\).

a) \(h(-4)=h(4)\) und \(h(-2)=h(2)\); beide Wertepaar-Mittelpunkte liegen bei \(x=0\). Daher ist \(x=0\) die Symmetrieachse. b) \(h(x)=0{,}5x^2+1\), Scheitelpunkt \(S(0\mid1)\)

- Welche Tabellenwerte zeigen unmittelbar Stellen mit Funktionswert \(0\)? - Welcher besondere Punkt ist im kurzen Graphenausschnitt genau ablesbar? - Wie kannst du eine Nullstelle in die Scheitelpunktform mit noch unbekanntem \(a\) einsetzen? - Welche Information wäre verloren, wenn du nur eine der beiden Darstellungen verwenden dürftest?

1. Aus der Tabelle folgen die Nullstellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\). Ihr Mittelwert ist \(0\), also liegt die Symmetrieachse bei \(x=0\). 2. Aus der Abbildung liest man den Scheitelpunkt \(S(0\mid-2)\) ab. Damit gilt zunächst \(h(x)=a x^2-2\). 3. Die Nullstelle \(x=2\) aus der Tabelle liefert \(0=4a-2\), also \(a=0{,}5\). 4. Somit lautet die Scheitelpunktform \(h(x)=0{,}5x^2-2\). 5. Mit den Nullstellen ergibt sich die Produktform \(h(x)=0{,}5(x+2)(x-2)\). 6. Die Tabelle liefert nur die beiden exakten Nullstellen; daraus lässt sich der Streckfaktor noch nicht bestimmen. Die Abbildung liefert zusätzlich die Scheitelpunkthöhe \(-2\). Umgekehrt zeigt der kurze Graphenausschnitt die Nullstellen nicht. Für den exakten Funktionsterm werden daher Informationen aus beiden Darstellungen benötigt.

a) Nullstellen \(-2\) und \(2\); Scheitelpunkt \(S(0\mid-2)\) b) Scheitelpunktform: \(h(x)=0{,}5x^2-2\); Produktform: \(h(x)=0{,}5(x+2)(x-2)\) c) Die Tabelle liefert die exakten Nullstellen, bestimmt aber den Streckfaktor noch nicht. Die Abbildung liefert die Scheitelpunkthöhe \(-2\), zeigt aber die Nullstellen nicht. Erst beide Darstellungen zusammen liefern die benötigten Angaben.

- Klammere \(x\) aus und bestimme zuerst die Nullstellen für jeden angebotenen Wert von \(b\). - Vergleiche danach diese Stellen mit den Schnittpunkten der drei Graphen mit der \(x\)-Achse.

1. Für \(b=-4\): \(x(x-4)\), Nullstellen \(0\) und \(4\), Symmetrieachse \(x=2\). Das ist \(r\). 2. Für \(b=0\): \(x^2\), doppelte Stelle bei \(x=0\), Symmetrieachse \(x=0\). Das ist \(s\). 3. Für \(b=4\): \(x(x+4)\), Nullstellen \(-4\) und \(0\), Symmetrieachse \(x=-2\). Das ist \(t\).

a) \(b=-4\): Nullstellen \(0,4\); \(b=0\): \(0\); \(b=4\): \(-4,0\). b) \(r:b=-4\), \(s:b=0\), \(t:b=4\).

- Bring beide Gleichungen in die gleiche Form, um sie besser vergleichen zu können. - Wenn zwei Parabeln die gleiche Form haben (beide sind Normalparabeln) und dieselbe Symmetrieachse besitzen, wie liegen sie dann zueinander? - Was passiert, wenn du versuchst, die Terme der beiden Funktionen gleichzusetzen?

1. Scheitelpunkt \(S_1\) direkt aus \(p_1\) ablesen: \(S_1(2|-1)\). 2. Gleichung von \(p_2\) umformen: \(y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1\). Scheitelpunkt \(S_2(2|1)\). 3. Da beide Scheitelpunkte denselben \(x\)-Wert \(x=2\) haben, liegen sie senkrecht übereinander. Der vertikale Abstand ist die Differenz der \(y\)-Werte: \(1 - (-1) = 2\). 4. Begründung der Schnittpunktfreiheit: Rechnerischer Ansatz: \((x-2)^2 - 1 = (x-2)^2 + 1 \Rightarrow -1 = 1\). Dies ist ein Widerspruch, also gibt es keinen Schnittpunkt. Logischer Ansatz: Beide Parabeln sind nach oben geöffnete Normalparabeln mit derselben Symmetrieachse \(x=2\). Da \(p_2\) einen höheren Scheitelpunkt hat als \(p_1\), verläuft \(p_2\) für alle \(x\) genau \(2\) Einheiten oberhalb von \(p_1\).

a) \(S_1(2|-1)\) und \(S_2(2|1)\) b) Der vertikale Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten. c) Ein Gleichsetzen der Funktionsausdrücke führt auf den Widerspruch \(-1 = 1\). Da beide Parabeln die gleiche Form haben und \(p_2\) überall oberhalb von \(p_1\) liegt, schneiden sie sich nie.

- Nutze Scheitelpunkt und Punkt \(P\), um zuerst \(a\) zu bestimmen. - Wie liegen die beiden Nullstellen zur Symmetrieachse? - Welche Darstellung verwendet die beiden Nullstellen direkt? - Multipliziere für die allgemeine Form zuerst die beiden Klammern aus.

1. Ansatz: \(p(x)=a(x-4)^2-2\). Mit \(P(2\mid0)\) gilt \(0=4a-2\), also \(a=0{,}5\). Damit \(p(x)=0{,}5(x-4)^2-2\). 2. \(x=2\) ist eine Nullstelle. Die Symmetrieachse ist \(x=4\). Der Abstand beträgt \(2\), daher liegt die zweite Nullstelle bei \(x=6\). 3. Die Produktform ist \(p(x)=0{,}5(x-2)(x-6)\). 4. Ausmultiplizieren: \(0{,}5(x^2-8x+12)=0{,}5x^2-4x+6\).

a) \(p(x)=0{,}5(x-4)^2-2\) b) \(x_2=6\) c) \(p(x)=0{,}5(x-2)(x-6)\) d) \(p(x)=0{,}5x^2-4x+6\)

- Wie viele unabhängige Informationen benötigst du im Allgemeinen, um die drei Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) festzulegen? - Stell dir grafisch vor, wie viele Parabeln durch zwei gegebene Punkte auf der \(x\)-Achse gehen können. - Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Teilaufgabe a): Die Angabe von zwei Nullstellen reicht nicht aus. Es gibt unendlich viele Parabeln, die durch diese zwei Punkte auf der \(x\)-Achse verlaufen, da der Streckfaktor \(a\) (und damit die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts) beliebig gewählt werden kann. Die Gruppe von Funktionen lautet \(h(x) = a(x + 1)(x - 5)\) mit \(a \neq 0\). 2. Teilaufgabe b): Die Angabe ist ausreichend. Der Scheitelpunkt liefert zwei Bedingungen (\(x_S\) und \(y_S\)), und der \(y\)-Achsenabschnitt liefert den Punkt \(P(0 \mid 5)\) als dritte Bedingung. 3. Berechnung für b): Ansatz \(h(x) = a(x - 2)^2 - 3\). Einsetzen von \(P(0 \mid 5)\) ergibt \(5 = a(0 - 2)^2 - 3\), also \(5 = 4a - 3\). 4. Lösen nach \(a\): \(8 = 4a \Rightarrow a = 2\). 5. Umwandeln: \(h(x) = 2(x - 2)^2 - 3 = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3\). 6. Ergebnis für b): \(h(x) = 2x^2 - 8x + 5\).

a) Nicht eindeutig bestimmbar, da ein dritter Punkt oder der Streckfaktor fehlt. b) Eindeutig bestimmbar: \(h(x) = 2x^2 - 8x + 5\).

- Spiegele den Punkt \(A\) an der Symmetrieachse. Wie ändert sich die \(x\)-Koordinate? - In der Scheitelpunktform ist die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts durch die Symmetrieachse bereits festgelegt. - Stelle eine Gleichung auf, die die Parameter \(a\) und \(y_S\) verbindet, indem du einen bekannten Punkt einsetzt. - Wann ist ein Wert kleiner als Null? Löse die entsprechende Ungleichung.

1. Da der Graph symmetrisch zu \(x = 2\) ist, muss ein Punkt mit demselben \(y\)-Wert denselben Abstand zur Symmetrieachse haben. Punkt \(A(0\mid5)\) hat den Abstand \(2\) zur Achse \(x = 2\). Der gespiegelte Punkt \(B\) liegt also bei \(x = 2 + 2 = 4\) mit \(y = 5\). Somit ist \(B(4\mid5)\). 2. Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = a(x - 2)^2 + y_S\). Punkt \(A(0\mid5)\) einsetzen: \(5 = a(0 - 2)^2 + y_S \Rightarrow 5 = 4a + y_S \Rightarrow y_S = 5 - 4a\). Wähle \(a = 1 \Rightarrow y_S = 1 \Rightarrow g_1(x) = (x - 2)^2 + 1\). Wähle \(a = 2 \Rightarrow y_S = -3 \Rightarrow g_2(x) = 2(x - 2)^2 - 3\). 3. Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse, wenn \(y_S < 0\). Mit \(y_S = 5 - 4a\) folgt: \(5 - 4a < 0 \Rightarrow 5 < 4a \Rightarrow a > 1{,}25\).

a) \(B(4\mid5)\) b) Mögliche Lösungen: \(g(x) = (x - 2)^2 + 1\) und \(g(x) = 2(x - 2)^2 - 3\) c) \(a > 1{,}25\)

- Wo liegt die Symmetrieachse im Verhältnis zu zwei Nullstellen einer Parabel? - Was beschreibt \(c=f(0)\) geometrisch? - Wie baust du bekannte Nullstellen direkt in einen Funktionsterm ein? - Wie kann der zusätzliche Punkt den noch unbekannten Faktor festlegen?

1. Wegen der Symmetrie liegt die Scheitelpunktstelle in der Mitte der beiden Nullstellen: \(x_S=\frac{-2+4}{2}=1\). 2. Da \(a<0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Zwischen ihren Nullstellen liegt sie oberhalb der \(x\)-Achse. Weil \(0\) zwischen \(-2\) und \(4\) liegt, gilt \(f(0)=c>0\). 3. Die Produktform lautet \(f(x)=a(x+2)(x-4)\). 4. Mit \(P(0\mid4)\) folgt \(4=a\cdot2\cdot(-4)\), also \(a=-0{,}5\). 5. Damit ist \(f(x)=-0{,}5(x+2)(x-4)\). 6. Ausmultiplizieren ergibt die allgemeine Form \(f(x)=-0{,}5x^2+x+4\).

a) \(x_S=1\), weil die Symmetrieachse genau in der Mitte der Nullstellen \(-2\) und \(4\) liegt. b) \(c>0\), weil \(x=0\) zwischen den beiden Nullstellen liegt und die nach unten geöffnete Parabel dort oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. c) Produktform: \(f(x)=-0{,}5(x+2)(x-4)\); allgemeine Form: \(f(x)=-0{,}5x^2+x+4\)

- Wo schneidet die Kurve die \(x\)-Achse? In welchem Bereich liegt sie unterhalb der \(x\)-Achse? - Denke dir eine waagerechte Linie bei \(y = 3\). Wo liegt die Kurve oberhalb dieser Linie oder genau darauf? - Welche Funktionswerte hat \(f\) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 4\)?

1. Die Bedingung \(f(x) < 0\) bedeutet, dass der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen muss. Dies geschieht zwischen den Nullstellen \(x = 1\) und \(x = 3\). Die Lösungsmenge ist \(1 < x < 3\). 2. Für \(f(x) \ge 3\) suchen wir die Bereiche, in denen der Graph auf oder oberhalb der Geraden \(y = 3\) liegt. Der Graph schneidet \(y = 3\) bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt die Bedingung für \(x \le 0\) oder \(x \ge 4\). 3. Das Intervall \(]0; 4[\) entspricht dem Bereich, in dem der Graph unterhalb des Wertes \(y = 3\) liegt. Eine passende Ungleichung ist daher \(x^2 - 4x + 3 < 3\), was vereinfacht \(x^2 - 4x < 0\) ergibt.

a) \(1 < x < 3\) b) \(x \le 0\) oder \(x \ge 4\) c) \(x^2 - 4x + 3 < 3\) (oder vereinfacht \(x^2 - 4x < 0\))

- Klammere zuerst den Faktor vor dem \(x^2\) aus den ersten beiden Gliedern aus. - Ergänze den Ausdruck in der Klammer zu einem vollständigen Quadrat. - Nutze die Scheitelpunktform, um die Nullstellen zu bestimmen. - Welche Darstellungsform verwendet die beiden gefundenen Nullstellen direkt?

1. Umwandlung in Scheitelpunktform: \(h(x) = -0{,}5(x^2 - 4x) + 2{,}5 = -0{,}5((x - 2)^2 - 4) + 2{,}5 = -0{,}5(x - 2)^2 + 2 + 2{,}5 = -0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5\). 2. Berechnung der Nullstellen: \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^2 = 9 \Leftrightarrow x - 2 = \pm 3\). Daraus folgen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Im Sachzusammenhang landet der Roboter bei \(5\,\text{dm}\). 3. Produktform: \(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 5)\). 4. Abgleich mit dem Graphen: Der Scheitelpunkt bei \((2 \mid 4{,}5)\) und die Nullstellen bei \(-1\) und \(5\) sind im Graphen erkennbar.

a) \(h(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5\) b) \(x_1 = 5\); \(x_2 = -1\); Landung bei \(5\,\text{dm}\) c) \(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 5)\) d) Der Graph bestätigt den Scheitelpunkt \((2 \mid 4{,}5)\) und die Nullstellen \(-1\) und \(5\).