- Achte darauf, welcher Koeffizient vor welcher Potenz von \(x\) steht. - Was bedeutet es für einen Koeffizienten, wenn ein Glied (wie \(x\) oder die Zahl ohne \(x\)) gar nicht im Term vorkommt? - Die Reihenfolge der Summanden ändert nichts an ihrer Bedeutung für \(a\), \(b\) oder \(c\).

1. Vergleich der gegebenen Terme mit der Grundform \(f(x) = ax^2 + bx + c\). 2. Für a): Umstellen zu \(f(x) = -x^2 + 4x + 7\). Daraus folgt \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = 7\). 3. Für b): Ergänzen des fehlenden linearen Glieds zu \(f(x) = 0{,}75x^2 + 0x - 2\). Daraus folgt \(a = 0{,}75\), \(b = 0\), \(c = -2\). 4. Für c): Umstellen und Ergänzen der Konstante zu \(f(x) = -2x^2 + 5x + 0\). Daraus folgt \(a = -2\), \(b = 5\), \(c = 0\).

a) \(a = -1; b = 4; c = 7\) b) \(a = 0{,}75; b = 0; c = -2\) c) \(a = -2; b = 5; c = 0\)

- Suche zuerst nach allen Gliedern mit \(x^2\), dann nach denen mit \(x\) und zum Schluss nach den reinen Zahlen. - Achte darauf, dass das Vorzeichen immer zu der Zahl gehört, die direkt dahinter steht. - Wenn vor einem \(x\) oder \(x^2\) keine Zahl steht, kannst du dir eine \(1\) denken. - Was bedeutet es für den Koeffizienten \(c\), wenn in der fertigen Form keine einzelne Zahl ohne Variable steht?

1. Zusammenfassen der \(x^2\)-Glieder: \(3x^2 - x^2 = 2x^2\). Ergebnis: \(f(x) = 2x^2 + 5x + 2\) mit \(a = 2, b = 5, c = 2\). 2. Ordnen der Glieder und Zusammenfassen der Konstanten: \(4 - 1{,}5 = 2{,}5\). Ergebnis: \(g(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 2{,}5\) mit \(a = 0{,}5, b = -2, c = 2{,}5\). 3. Addition der Brüche \(\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2\) und Verrechnung der \(x\)-Glieder \(-3 + 4 = 1\). Ergebnis: \(h(x) = 2x^2 + x\) mit \(a = 2, b = 1, c = 0\).

a) \(f(x) = 2x^2 + 5x + 2\); \(a = 2, b = 5, c = 2\) b) \(g(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 2{,}5\); \(a = 0{,}5, b = -2, c = 2{,}5\) c) \(h(x) = 2x^2 + x\); \(a = 2, b = 1, c = 0\)

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Eine davon passt hier perfekt. - Achte beim Ausmultiplizieren darauf, dass das \(x\) in der Klammer mit beiden Gliedern multipliziert wird. - Sortiere am Ende alle Terme mit \(x^2\), alle mit \(x\) und alle reinen Zahlenwerte, um sie leichter zusammenrechnen zu können.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x + 4)(x - 4)\): \(x^2 - 16\) 2. Ausmultiplizieren der Klammer \(2x(x + 3)\): \(2x^2 + 6x\) 3. Zusammenfassen aller Terme: \(f(x) = x^2 - 16 + 2x^2 + 6x - 5\) 4. Ordnen nach Potenzen und Vereinfachen: \(f(x) = 3x^2 + 6x - 21\) 5. Bestimmung der Koeffizienten: \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = -21\)

\(f(x) = 3x^2 + 6x - 21\) mit \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = -21\)

- Was bedeutet „gleich breit wie die Normalparabel“ für den Betrag von \(a\), und was sagt die Öffnungsrichtung über das Vorzeichen aus? - Welcher Koeffizient beschreibt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse direkt? - Wie nutzt du den gegebenen Punkt, wenn nur noch ein Koeffizient unbekannt ist?

1. Da der Graph nach oben geöffnet und gleich breit wie die Normalparabel ist, gilt \(a=1\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liefert direkt \(c=-3\). 3. Mit \(P(2\mid5)\) gilt \(5=1\cdot2^2+2b-3\). Daraus folgt \(5=1+2b\), also \(b=2\). 4. Damit lautet die Funktion \(f(x)=x^2+2x-3\).

\(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\); \(f(x)=x^2+2x-3\)

- Was gibt das Vorzeichen der Zahl vor dem \(x^2\) über die Form der Parabel an? - Achte darauf, dass die Terme nicht immer in der Reihenfolge \(ax^2 + bx + c\) sortiert sind. - Welche Zahl im Funktionsterm entspricht dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wenn ein Teil des Terms (wie \(x\) oder die Zahl ohne \(x\)) fehlt, welchen Wert hat dann der entsprechende Koeffizient?

1. Für \(f_1(x) = -3x^2 + 4x - 5\) ist \(a = -3\) und \(c = -5\). Da \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. 2. Für \(f_2(x) = x^2 - 7\) ist \(a = 1\) und \(c = -7\). Da \(a > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet. 3. Durch Umstellen von \(f_3(x) = 2x^2 - 5x + 8\) ergibt sich \(a = 2\) und \(c = 8\). Da \(a > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet. 4. Durch Umstellen von \(f_4(x) = -x^2 + 1{,}5x + 0{,}25\) ergibt sich \(a = -1\) und \(c = 0{,}25\). Da \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet.

1. \(a = -3\), \(c = -5\), nach unten geöffnet. 2. \(a = 1\), \(c = -7\), nach oben geöffnet. 3. \(a = 2\), \(c = 8\), nach oben geöffnet. 4. \(a = -1\), \(c = 0{,}25\), nach unten geöffnet.

- Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Teil innerhalb der Klammer. - Beim Multiplizieren von zwei Klammern musst du jedes Element der ersten Klammer mit jedem Element der zweiten Klammer multiplizieren. - Überlege dir, welche Bedingung für den Koeffizienten \(a\) gelten muss, damit eine Funktion „quadratisch“ genannt wird.

1. Ausmultiplizieren der Klammer: \(2x \cdot x - 2x \cdot 4 + 5 = 2x^2 - 8x + 5\). Ergebnis: \(a = 2, b = -8, c = 5\). Da \(a \neq 0\), ist es eine quadratische Funktion. 2. Ausmultiplizieren der Klammern (jedes Glied mit jedem): \(x^2 - 2x + 3x - 6 - x^2\). Zusammenfassen: \(x - 6\). Ergebnis: \(a = 0, b = 1, c = -6\). Da \(a = 0\), ist es keine quadratische Funktion, sondern eine lineare Funktion.

a) \(f(x) = 2x^2 - 8x + 5\); \(a = 2, b = -8, c = 5\). Es ist eine quadratische Funktion. b) \(g(x) = x - 6\); \(a = 0, b = 1, c = -6\). Es ist keine quadratische Funktion (sondern eine lineare Funktion).

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammern aufzulösen. - Multipliziere den Faktor vor der Klammer erst dann mit jedem Glied in der Klammer, wenn das Quadrat aufgelöst ist. - Wo schneidet eine Parabel die vertikale Achse, wenn man sich die allgemeine Form ansieht?

1. Umwandlung von \(f(x)\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(f(x) = 3(x^2 - 4x + 4) - 5\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \(f(x) = 3x^2 - 12x + 12 - 5\), also \(f(x) = 3x^2 - 12x + 7\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Wert \(c\), hier \(7\). 2. Umwandlung von \(g(x)\): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \(g(x) = -0{,}5(x^2 + 8x + 16) + 10\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x - 8 + 10\), also \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x + 2\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(2\).

a) \(f(x) = 3x^2 - 12x + 7\); \(y\)-Achsenabschnitt: \(7\) b) \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x + 2\); \(y\)-Achsenabschnitt: \(2\)

- In welcher Reihenfolge kannst du die beiden Klammern und den äußeren Faktor bearbeiten? - Welche Terme entstehen beim Ausmultiplizieren von \((x + 4)(x - 1)\)? - Wo steht der Koeffizient \(b\) in der allgemeinen Form?

1. Zuerst werden die beiden Klammern multipliziert: \((x + 4)(x - 1) = x^2 - x + 4x - 4 = x^2 + 3x - 4\). 2. Anschließend wird mit \(2\) multipliziert: \(A(x) = 2(x^2 + 3x - 4) = 2x^2 + 6x - 8\). 3. In der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c\) ist der Koeffizient vor \(x\) gleich \(b\). Daher ist \(b = 6\).

Die allgemeine Form lautet \(A(x) = 2x^2 + 6x - 8\). Es gilt \(b = 6\).

- Welche Eigenschaft hat die Funktionsgleichung einer Parabel, die symmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Kannst du die gegebenen Punkte in die allgemeine Form der Funktionsgleichung einsetzen? - Wie viele Unbekannte hast du und wie viele Gleichungen kannst du daraus bilden? - Gibt es ein Verfahren, mit dem du eine Unbekannte eliminieren kannst?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in den Funktionsterm \(f(x) = ax^2 + c\): (I) \(a \cdot 2^2 + c = 1 \Rightarrow 4a + c = 1\) (II) \(a \cdot 4^2 + c = 7 \Rightarrow 16a + c = 7\) 2. Subtraktion von Gleichung (I) von Gleichung (II): \(12a = 6 \Rightarrow a = 0{,}5\). 3. Einsetzen von \(a\) in Gleichung (I): \(4 \cdot 0{,}5 + c = 1 \Rightarrow 2 + c = 1 \Rightarrow c = -1\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x^2 - 1\).

- Überlege, wie der Funktionsterm aussehen muss, damit die Nullstellen durch die gegebene Gleichung berechnet werden können. - Was weißt du über den \(x\)-Wert eines Punktes, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Welcher Teil des Funktionsterms gibt direkt den Wert an der Stelle \(x = 0\) an?

1. Zur Bestimmung der Funktionsvorschriften wird jeweils die linke Seite der Gleichung als Funktionsterm verwendet. 2. Für a) ergibt sich \(f(x) = 4x^2 - 5x + 2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\), also \(f(0) = 2\). Ergebnis: \(S_y(0|2)\). 3. Für b) ergibt sich \(g(x) = -0{,}5x^2 + 3x\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\), also \(g(0) = 0\). Ergebnis: \(S_y(0|0)\).

a) \(f(x) = 4x^2 - 5x + 2\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|2)\) b) \(g(x) = -0{,}5x^2 + 3x\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|0)\)

- Welche binomische Formel hilft dir, die Klammer aufzulösen? - Achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte: Potenz vor Multiplikation vor Strichrechnung. - Vergiss nicht, den Faktor vor der Klammer auf jeden Summanden in der Klammer anzuwenden.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den Term \((x - 0{,}5)^2\): \(x^2 - x + 0{,}25\). 2. Multiplikation des Ergebnisses mit dem Streckfaktor \(4\): \(4 \cdot (x^2 - x + 0{,}25) = 4x^2 - 4x + 1\). 3. Subtraktion der Konstanten \(3\): \(4x^2 - 4x + 1 - 3 = 4x^2 - 4x - 2\). Die allgemeine Form lautet \(f(x) = 4x^2 - 4x - 2\).

\(f(x) = 4x^2 - 4x - 2\)

- Welche binomische Formel steckt in \((x-3)^2\)? - Welche Vorzeichen entstehen, wenn du jeden Term der Klammer mit \(-2\) multiplizierst? - Welche Zahlen stehen danach vor \(x^2\), vor \(x\) und als konstanter Term?

1. Es gilt \((x-3)^2=x^2-6x+9\). 2. Beim Multiplizieren mit \(-2\) wird aus dem linearen Term \(-6x\) der Term \(+12x\), nicht \(-12x\). 3. Daher ist \(f(x)=-2x^2+12x-18+5=-2x^2+12x-13\). 4. Somit gilt \(a=-2\), \(b=12\) und \(c=-13\).

Jonas hat beim Multiplizieren von \(-6x\) mit \(-2\) das Vorzeichen falsch übernommen. Korrekt ist \(f(x)=-2x^2+12x-13\) mit \(a=-2\), \(b=12\), \(c=-13\).

- Schreibe die erste binomische Formel vollständig auf. - Welcher Term entsteht aus zweimal dem Produkt von \(x\) und \(4\)? - Ziehe erst nach dem Ausmultiplizieren die \(3\) ab.

1. Beim Quadrieren eines Binoms entsteht ein mittlerer Term: \((x+4)^2=x^2+8x+16\). 2. Lina hat den Term \(8x\) ausgelassen. 3. Daher ist \(g(x)=x^2+8x+16-3=x^2+8x+13\).

Lina hat beim Quadrieren den mittleren Term \(8x\) vergessen. Korrekt ist \(g(x)=x^2+8x+13\).

- Multipliziere das Produkt zunächst ohne das äußere Minus aus. - Welche Wirkung hat anschließend ein Faktor \(-1\) auf jeden Summanden? - Lies die Koeffizienten erst aus dem vollständig vereinfachten Term ab.

1. Zunächst gilt \((x+2)(x-3)=x^2-x-6\). 2. Das Minus vor dem gesamten Produkt muss auf jeden Term wirken: \(-(x^2-x-6)=-x^2+x+6\). 3. Bens Fehler besteht darin, die Vorzeichen des linearen und konstanten Terms beim Vorzeichenwechsel nicht korrekt zu ändern. 4. Daher ist \(a=-1\), \(b=1\), \(c=6\).

Beim Minus vor dem gesamten Produkt müssen alle drei Vorzeichen wechseln. Korrekt ist \(-x^2+x+6\), also \(a=-1\), \(b=1\), \(c=6\).

- In welcher Form kannst du die Symmetrieachse direkt ablesen? - Lies bei jedem Term die x-Koordinate des Scheitelpunkts ab. - Vergleiche anschließend nur das Vorzeichen von \(b\) mit der Lage der Achse.

1. Aus der Scheitelpunktform liest man die x-Koordinate des Scheitelpunkts und damit die Symmetrieachse ab. 2. Für \(b=-8\) gilt \(f_{-8}(x)=2(x-2)^2-5\). Die Symmetrieachse ist \(x=2\). 3. Für \(b=0\) gilt \(f_0(x)=2x^2+3\). Die Symmetrieachse ist \(x=0\). 4. Für \(b=8\) gilt \(f_8(x)=2(x+2)^2-5\). Die Symmetrieachse ist \(x=-2\). 5. In diesen Beispielen liegt die Achse bei negativem \(b\) rechts von der \(y\)-Achse, bei \(b=0\) auf der \(y\)-Achse und bei positivem \(b\) links von ihr.

a) \(b=-8\): \(x=2\); \(b=0\): \(x=0\); \(b=8\): \(x=-2\) b) Bei festem \(a=2\) liegt die Symmetrieachse in diesen Beispielen für negatives \(b\) rechts, für \(b=0\) auf und für positives \(b\) links von der \(y\)-Achse.

- Multipliziere zuerst \((x-3)^2\) aus. - Welcher Koeffizient steht danach vor \(x\), wenn du mit \(-2\) multiplizierst? - Der Term \(y_S\) beeinflusst nur das konstante Glied.

1. Ausmultiplizieren des quadratischen Terms: \((x-3)^2=x^2-6x+9\). 2. Mit \(-2\) multiplizieren: \(-2(x-3)^2=-2x^2+12x-18\). 3. Der zusätzliche Term \(y_S\) verändert nur das konstante Glied, nicht den Koeffizienten vor \(x\). 4. Beim Vergleich mit \(f(x)=-2x^2+bx+5\) folgt deshalb \(b=12\).

\(b=12\)

- Welche binomische Formel brauchst du für das Quadrat? - Was passiert mit allen Vorzeichen in der zweiten Klammer durch das Minus davor? - Welche gleichartigen Terme kannst du am Ende zusammenfassen?

1. Mit der zweiten binomischen Formel gilt \((x-2)^2=x^2-4x+4\). 2. Multiplizieren mit \(3\) ergibt \(3x^2-12x+12\). 3. Vor der zweiten Klammer steht ein Minuszeichen, daher gilt \(-(x^2-5x+4)=-x^2+5x-4\). 4. Zusammenfassen liefert \(g(x)=3x^2-12x+12-x^2+5x-4=2x^2-7x+8\). Das ist die allgemeine Form. 5. Damit sind \(a=2\), \(b=-7\) und \(c=8\).

\(g(x)=2x^2-7x+8\) mit \(a=2\), \(b=-7\), \(c=8\)

- Was geschieht mit \(x\) und \(x^2\), wenn du \(x=1\) einsetzt? - Für den allgemeinen Beweis solltest du nicht mit konkreten Zahlen rechnen. - Welche drei Terme bleiben bei \(f(1)\) übrig? - Wende die bewiesene Beziehung erst nach dem allgemeinen Schritt auf \(h\) an.

1. Für \(g\) sind \(a=\frac{1}{4}\), \(b=-2\) und \(c=\frac{3}{4}\). Daher ist \(S=\frac{1}{4}-2+\frac{3}{4}=-1\). 2. Es gilt \(g(1)=\frac{1}{4}-2+\frac{3}{4}=-1\). Damit stimmt \(g(1)\) mit der Koeffizientensumme überein. 3. Allgemein ist \(f(1)=a\cdot1^2+b\cdot1+c=a+b+c\). Damit ist die Beziehung für jede quadratische Funktion in allgemeiner Form bewiesen. 4. Für \(h\) ist die Koeffizientensumme \(h(1)=-123+45+18=-60\).

a) \(S=-1\) b) \(g(1)=-1\), also \(g(1)=S\). c) \(f(1)=a\cdot1^2+b\cdot1+c=a+b+c\). d) Die Koeffizientensumme von \(h\) ist \(-60\).

- Erinnere dich an die binomischen Formeln für das Auflösen von Klammern der Form \((a+b)^2\). - Achte beim Auflösen von Minusklammern darauf, dass sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren. - Beim Dividieren eines gesamten Terms durch eine Zahl musst du jedes Glied im Zähler einzeln dividieren. - Vergiss nicht, am Ende alle Terme mit \(x^2\), alle mit \(x\) und alle konstanten Zahlen zusammenzufassen.

1. Ausmultiplizieren von \(f(x) = 2x(x - 4) + 10 = 2x^2 - 8x + 10\). Koeffizienten: \(a = 2, b = -8, c = 10\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \(f(x) = (x + 5)^2 - 3 = x^2 + 10x + 25 - 3 = x^2 + 10x + 22\). Koeffizienten: \(a = 1, b = 10, c = 22\). 3. Teilen der Zählerterme durch \(3\): \(f(x) = \frac{6x^2}{3} - \frac{9x}{3} + 4 = 2x^2 - 3x + 4\). Koeffizienten: \(a = 2, b = -3, c = 4\). 4. Auflösen der Klammer mit Minuszeichen: \(f(x) = 0{,}5x^2 - x^2 + 2x - 1 = -0{,}5x^2 + 2x - 1\). Koeffizienten: \(a = -0{,}5, b = 2, c = -1\).

a) \(f(x) = 2x^2 - 8x + 10 \Rightarrow a = 2, b = -8, c = 10\) b) \(f(x) = x^2 + 10x + 22 \Rightarrow a = 1, b = 10, c = 22\) c) \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4 \Rightarrow a = 2, b = -3, c = 4\) d) \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x - 1 \Rightarrow a = -0{,}5, b = 2, c = -1\)

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen dir, die Klammern mit dem Quadrat schnell aufzulösen. - Achte bei Teil b darauf, erst die Potenz (die Klammer zum Quadrat) zu berechnen und das Ergebnis danach mit der Zahl davor zu multiplizieren. - Vergiss nicht, am Ende alle gleichartigen Glieder (alle \(x^2\), alle \(x\) und alle Zahlen) miteinander zu verrechnen.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 10x + 25 + 2x - 10\). Zusammenfassen: \(x^2 - 8x + 15\). Ergebnis: \(a = 1, b = -8, c = 15\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel: \(2(x^2 + 2x + 1) - 3x^2 + 4\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(2x^2 + 4x + 2 - 3x^2 + 4 = -x^2 + 4x + 6\). Ergebnis: \(a = -1, b = 4, c = 6\).

a) \(f(x) = x^2 - 8x + 15\); \(a = 1, b = -8, c = 15\) b) \(g(x) = -x^2 + 4x + 6\); \(a = -1, b = 4, c = 6\)

- Wandle jede Funktion Schritt für Schritt um, indem du Klammern auflöst und zusammenfasst. - Achte bei der zweiten Funktion besonders auf das Quadrat von \(2x\). - Vergleiche am Ende die Zahlen, die direkt vor dem \(x\) stehen. Denke daran, dass bei negativen Zahlen diejenige mit dem größeren Betrag die kleinere Zahl ist.

1. Umformung \(f_1(x)\): \(-2(x^2 + 5x - 3x - 15) = -2(x^2 + 2x - 15) = -2x^2 - 4x + 30\). Hier ist \(b = -4\). 2. Umformung \(f_2(x)\): Anwendung der binomischen Formel ergibt \((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 + 4x = 4x^2 - 4x + 1 + 4x = 4x^2 + 1\). Hier ist \(b = 0\). 3. Umformung \(f_3(x)\): \(0{,}25(x^2 - 8x + 16) - 4 = 0{,}25x^2 - 2x + 4 - 4 = 0{,}25x^2 - 2x\). Hier ist \(b = -2\). 4. Vergleich der \(b\)-Werte: \(-4\) ist der kleinste Wert (da \(-4 < -2 < 0\)).

Die allgemeinen Formen sind: 1) \(f_1(x) = -2x^2 - 4x + 30\) 2) \(f_2(x) = 4x^2 + 1\) 3) \(f_3(x) = 0{,}25x^2 - 2x\) Die Funktion \(f_1\) hat mit \(b = -4\) den kleinsten Wert für den Koeffizienten \(b\).

- Beginne damit, die beiden Terme mit einem Gleichheitszeichen zu verbinden. - Wie kannst du eine Gleichung so umformen, dass alle Terme auf einer Seite stehen und auf der anderen Seite nur noch die Null? - Fasse gleiche Potenzen von \(x\) (also die \(x^2\)-Glieder, die \(x\)-Glieder und die Zahlen ohne \(x\)) zusammen.

1. Ansatz durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(1{,}5x^2 - 4x + 1 = 0{,}5x^2 + 2\). 2. Subtraktion von \(0{,}5x^2\) auf beiden Seiten: \(x^2 - 4x + 1 = 2\). 3. Subtraktion von \(2\) auf beiden Seiten, um die Form \(= 0\) zu erhalten: \(x^2 - 4x - 1 = 0\). 4. Die resultierende quadratische Gleichung ist \(x^2 - 4x - 1 = 0\).

\(x^2 - 4x - 1 = 0\)

- Wie gehst du vor, wenn vor der Klammer ein Minuszeichen steht? - Wo in der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c\) kannst du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Was passiert mit dem Wert einer Funktion, wenn du für \(x\) die Zahl Null einsetzt?

1. Expansion von \(g(x)\): Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\). 2. Multiplikation mit \(-2\): \(-2(x^2 + 6x + 9) = -2x^2 - 12x - 18\). 3. Addition der Konstanten \(5\): \(-2x^2 - 12x - 18 + 5 = -2x^2 - 12x - 13\). Dies entspricht \(h(x)\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in die allgemeine Form ergibt den \(y\)-Wert \(-13\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -13)\).

a) Nach Umformung ergibt sich \(g(x) = -2x^2 - 12x - 13\), was identisch mit \(h(x)\) ist. b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 | -13)\).

- Welche Funktionsform kannst du direkt aus dem Scheitelpunkt aufstellen? - Multipliziere die Scheitelpunktform aus und vergleiche mit \(x^2+px+q\). - Welchen Wert hat \(f(0)\) in der allgemeinen Form? - Wie weit liegen \(x=0\) und \(x=6\) von der Symmetrieachse \(x=3\) entfernt?

1. Aus dem Scheitelpunkt folgt die Scheitelpunktform \(f(x)=(x-3)^2-4\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=x^2-6x+5\). Daher sind \(p=-6\) und \(q=5\). 3. In der allgemeinen Form ist \(q=f(0)\). Deshalb liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(S_y(0\mid5)\). 4. \(f(6)=6^2-6\cdot6+5=5\). Außerdem ist \(f(0)=5\). 5. Die Stellen \(0\) und \(6\) haben den gleichen Abstand von der Symmetrieachse \(x=3\). Daher sind die Funktionswerte gleich.

a) \(p=-6\), \(q=5\) b) \(f(x)=x^2-6x+5\), \(S_y(0\mid5)\); der konstante Term \(q=5\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. c) \(f(6)=5=f(0)\). Die Stellen \(0\) und \(6\) liegen symmetrisch zur Achse \(x=3\).

- Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt, wenn Ort und Wert des Maximums bekannt sind? - Wie gelangst du von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form? - Was musst du für eine Punktprobe vergleichen? - Was erhältst du in \(f(x)=-x^2+px+q\), wenn du \(x=0\) einsetzt?

1. Das Maximum bei \(x=-1\) mit dem Wert \(4\) ist der Scheitelpunkt \(S(-1\mid4)\). 2. Daher lautet die Scheitelpunktform \(f(x)=-(x+1)^2+4\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=-x^2-2x+3\). Somit sind \(p=-2\) und \(q=3\). 4. Für \(P(1\mid0)\) gilt \(f(1)=-1-2+3=0\). Der Punkt liegt also auf dem Graphen. 5. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=3\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0\mid3)\). In der allgemeinen Form ist der konstante Koeffizient \(q\) der \(y\)-Achsenabschnitt.

a) \(p=-2\), \(q=3\) b) Ja, denn \(f(1)=0\). c) \(S_y(0\mid3)\); der Koeffizient \(q=3\) gibt den \(y\)-Achsenabschnitt an.

- Setze die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um zwei Gleichungen zu erhalten. - Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunktes mit dem Parameter \(c\) zusammen? - Skizziere dir grob die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel.

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte: \(a \cdot 1^2 + c = 1\) und \(a \cdot 3^2 + c = -7\). 2. Lösen des Systems: Aus \(a + c = 1\) folgt \(c = 1 - a\). Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(9a + (1 - a) = -7\), also \(8a = -8\). Daraus folgt \(a = -1\). 3. Berechnung von \(c\): \(c = 1 - (-1) = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -x^2 + 2\). 4. Analyse der Nullstellen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0|2)\), also oberhalb der \(x\)-Achse. Da \(a = -1\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, muss der Graph die \(x\)-Achse zweimal schneiden.

a) \(a = -1\) und \(c = 2\). b) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse, da der Scheitelpunkt \((0|2)\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist.

- Welcher Koeffizient ist gleich \(f(0)\)? - Was folgt aus der Symmetrieachse für einen zweiten Punkt mit demselben Funktionswert wie \(Q\)? - Nutze diesen zweiten Punkt, um \(p\) zu bestimmen. - Die Symmetrieachse verläuft durch den Scheitelpunkt.

1. Aus \(Q(0\mid5)\) folgt \(f(0)=5\). Damit ist \(q=5\). 2. Der Spiegelpunkt von \(Q(0\mid5)\) an der Symmetrieachse \(x=-3\) ist \(Q'(-6\mid5)\). Auch dieser Punkt liegt auf der Parabel. 3. Einsetzen von \(Q'\) in \(f(x)=x^2+px+5\) ergibt \(5=36-6p+5\). Also gilt \(-6p=-36\) und damit \(p=6\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=x^2+6x+5\). 5. Die Symmetrieachse liefert die x-Koordinate des Scheitelpunkts: \(x_S=-3\). Einsetzen ergibt \(f(-3)=9-18+5=-4\). 6. Der Scheitelpunkt ist \(S(-3\mid-4)\).

a) \(p=6\) und \(q=5\) b) \(S(-3\mid-4)\)

- Was sagt die Öffnungsrichtung der Parabel über das Vorzeichen von \(a\)? - Wo schneidet der Graph die \(y\)-Achse? Was folgt daraus für \(c\)? - Welcher der beiden Werte ist am Graphen größer: \(f(1)\) oder \(f(-1)\)? - Setze \(1\) und \(-1\) in \(ax^2+bx+c\) ein und subtrahiere die beiden Ergebnisse.

1. Koeffizient \(a\): Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Streckfaktor negativ, also \(a<0\). 2. Koeffizient \(c\): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse unterhalb des Ursprungs. Daher ist der \(y\)-Achsenabschnitt negativ, also \(c<0\). 3. Koeffizient \(b\): Am Graphen erkennt man \(f(1)>f(-1)\). Aus der allgemeinen Form folgt \(f(1)=a+b+c\) und \(f(-1)=a-b+c\). Damit ist \(f(1)-f(-1)=2b\). Da die Differenz positiv ist, gilt \(b>0\).

Es gilt \(a<0\), \(b>0\) und \(c<0\).