- Benenne in jeder Situation zuerst die beiden beteiligten Seiten relativ zum angegebenen Winkel. - Welche Funktion verbindet Gegenkathete und Ankathete, welche Gegenkathete und Hypotenuse, welche Ankathete und Hypotenuse? - Du sollst nur modellieren; eine numerische Berechnung ist nicht nötig.

1. In a) sind Gegenkathete \(h\) und Ankathete \(d\) beteiligt. Daher gilt \(\tan(\alpha)=\frac{h}{d}\). 2. In b) sind Gegenkathete \(h\) und Hypotenuse \(s\) beteiligt. Daher gilt \(\sin(\beta)=\frac{h}{s}\). 3. In c) sind Ankathete \(d\) und Hypotenuse \(s\) beteiligt. Daher gilt \(\cos(\gamma)=\frac{d}{s}\).

a) \(\tan(\alpha)=\frac{h}{d}\) b) \(\sin(\beta)=\frac{h}{s}\) c) \(\cos(\gamma)=\frac{d}{s}\)

- Wo liegt der rechte Winkel in der Abbildung? - Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? - Betrachte anschließend die beiden Katheten relativ zum Winkel \(\alpha\).

1. Die waagerechte Strecke \(d\) liegt am Winkel \(\alpha\) an und ist eine Kathete; sie ist die Ankathete. 2. Die senkrechte Höhe \(h\) liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber; sie ist die Gegenkathete. 3. Die Sichtlinie \(s\) liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist daher die Hypotenuse. Sie beschreibt die direkte Sichtentfernung und nicht die waagerechte Entfernung.

\(d\): Ankathete; \(h\): Gegenkathete; \(s\): Hypotenuse. Die Sichtlinie \(s\) ist schräg und daher nicht die waagerechte Entfernung.

- Wo liegt der rechte Winkel in deiner Skizze? - Welche bekannte Strecke liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber? - Welche bekannte Strecke ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks?

1. Im rechtwinkligen Dreieck ist die Seilrutsche die Hypotenuse mit \(25\,\text{m}\). Der Höhenunterschied von \(7\,\text{m}\) liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber. 2. Daher gilt \(\sin(\alpha)=\frac{7}{25}\). 3. Also ist \(\alpha=\arcsin\left(\frac{7}{25}\right)\approx16{,}3^\circ\).

\(\sin(\alpha)=\frac{7}{25}\), also \(\alpha\approx16{,}3^\circ\).

- Überlege dir, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck durch die Entfernung zum Turm gegeben ist. - Vergiss nicht, dass die Messung nicht am Boden, sondern in einer bestimmten Höhe startet. - Welche trigonometrische Funktion setzt Gegenkathete und Ankathete in Beziehung?

1. Der Höhenunterschied zwischen Augenhöhe und Turmspitze ist die Gegenkathete zu \(38^\circ\); die Entfernung \(32\,\text{m}\) ist die Ankathete. 2. Es gilt \(\tan(38^\circ)=\frac{h}{32\,\text{m}}\). Daher ist \(h=32\,\text{m}\cdot\tan(38^\circ)\approx25{,}0011\,\text{m}\). 3. Mit der Augenhöhe ergibt sich \(H\approx25{,}0011\,\text{m}+1{,}60\,\text{m}\approx26{,}60\,\text{m}\).

Der Kirchturm ist etwa \(26{,}60\,\text{m}\) hoch.

- Wie hängen die Steigung in Prozent und der Tangens eines Winkels zusammen? - Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck vor: Welche Katheten entsprechen Höhenunterschied und waagerechter Entfernung? - Überlege, wie man einen Tangenswert in einen Winkel umrechnet und umgekehrt.

1. Bei \(15\,\%\) Steigung gilt \(\tan(\alpha)=0{,}15\). Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}15)\approx8{,}53^\circ\). 2. Für \(10^\circ\) ist die Steigung \(\tan(10^\circ)\approx0{,}176327\). In Prozent sind das \(17{,}63\,\%\).

a) \(\alpha\approx8{,}53^\circ\) b) \(10^\circ\) entsprechen etwa \(17{,}63\,\%\) Steigung.

- Kannst du das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen? - Welcher Satz hilft dir, wenn zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt sind? - Welche trigonometrische Funktion setzt Gegenkathete und Ankathete in Beziehung?

1. Die Höhe halbiert die Basis. Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck gilt \(s=\sqrt{4^2+3^2}\,\text{m}=5{,}00\,\text{m}\). 2. Für den Basiswinkel gilt \(\tan(\alpha)=\frac{3}{4}\). Daher ist \(\alpha=\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\approx36{,}87^\circ\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot8{,}00\,\text{m}\cdot3{,}00\,\text{m}=12{,}00\,\text{m}^2\).

a) \(s=5{,}00\,\text{m}\) b) \(\alpha\approx36{,}87^\circ\) c) \(A=12{,}00\,\text{m}^2\)

- Welche drei Strecken bilden hier das rechtwinklige Modell? - Welche Seite entspricht der Höhe \(h\), und welche der Schnur? - Welche trigonometrische Beziehung verbindet Gegenkathete und Hypotenuse?

1. Die Schnur ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, die Höhe \(h\) die Gegenkathete zu \(55^\circ\). 2. Es gilt \(\sin(55^\circ)=\frac{h}{30\,\text{m}}\). 3. Daher ist \(h=30\,\text{m}\cdot\sin(55^\circ)\approx24{,}57\,\text{m}\).

\(h\approx24{,}57\,\text{m}\)

- Welchen Teil des rechtwinkligen Dreiecks stellt die Fahrfläche der Rampe dar? - Welches Seitenverhältnis verbindet Höhenunterschied und Rampenlänge mit dem Steigungswinkel? - Achte beim Umstellen darauf, dass \(l\) allein auf einer Seite steht.

1. Die Rampe bildet die Hypotenuse \(l\) eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Höhenunterschied von \(1{,}2\,\text{m}\) ist die Gegenkathete zum Steigungswinkel von \(4^\circ\). 2. Daher gilt \(\sin(4^\circ)=\frac{1{,}2\,\text{m}}{l}\). 3. Umstellen nach \(l\) ergibt \(l=\frac{1{,}2\,\text{m}}{\sin(4^\circ)}\approx17{,}20\,\text{m}\).

\(l\approx17{,}20\,\text{m}\)

- Welche Strecken entsprechen im rechtwinkligen Modell der Schattenlänge und der Pfostenhöhe? - Zu welcher Seite liegt der Winkel von \(35^\circ\) am Boden? - Welche trigonometrische Funktion verbindet die beiden Katheten?

1. Pfosten, Schatten und Sonnenstrahl bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Schattenlänge ist die Ankathete und die Pfostenhöhe die Gegenkathete zu \(35^\circ\). 2. Es gilt \(\tan(35^\circ)=\frac{h}{8\,\text{m}}\). 3. Daher ist \(h=8\,\text{m}\cdot\tan(35^\circ)\approx5{,}60\,\text{m}\).

\(h\approx5{,}60\,\text{m}\)

- Welche Flächenformel verwendet zwei Seiten und ihren eingeschlossenen Winkel? - Prüfe, ob \(\alpha\) tatsächlich zwischen den Seiten \(b\) und \(c\) liegt. - Ein stumpfer eingeschlossener Winkel kann direkt in die Sinus-Flächenformel eingesetzt werden.

1. Bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel gilt \(A=\frac12bc\sin(\alpha)\). 2. Einsetzen ergibt \(A=\frac12\cdot42\,\text{m}\cdot58\,\text{m}\cdot\sin(125^\circ)\). 3. Damit ist \(A\approx997{,}7\,\text{m}^2\).

\(A\approx997{,}7\,\text{m}^2\)

- Welche beiden rechtwinkligen Richtungsanteile bilden Gegenkathete und Ankathete zum gesuchten Richtungswinkel? - Welche trigonometrische Funktion verbindet diese beiden Katheten? - Für die direkte Entfernung brauchst du anschließend die Verbindung der beiden Richtungsanteile.

1. Die Ost- und Nordanteile sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Für den Richtungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=\frac{2{,}1}{3{,}5}=0{,}6\). 2. Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}6)\approx31{,}0^\circ\). 3. Die direkte Entfernung ist die Hypotenuse: \(s=\sqrt{(3{,}5\,\text{km})^2+(2{,}1\,\text{km})^2}\approx4{,}1\,\text{km}\).

a) \(\alpha\approx31{,}0^\circ\) nördlich von Osten b) \(s\approx4{,}1\,\text{km}\)

- Wo befindet sich die Person, die den Winkel tatsächlich misst? - Zwischen welchen beiden Richtungen ist ein Höhenwinkel definiert? - Ordne im korrekten Modell \(h\) und \(d\) relativ zu \(\alpha\) ein.

1. Ein Höhenwinkel wird am Beobachtungspunkt zwischen der waagerechten Blickrichtung und der Sichtlinie gemessen. 2. Das zeigt Skizze a): Dort liegt \(\alpha\) bei \(A\) zwischen der waagerechten Strecke \(d\) und der Sichtlinie. 3. Relativ zu diesem Winkel ist \(h\) die Gegenkathete und \(d\) die Ankathete. Daher gilt \(\tan(\alpha)=\frac{h}{d}\).

Skizze a); \(\tan(\alpha)=\frac{h}{d}\).

- Markiere in deiner Skizze zuerst die Augenhöhe. - Welche Höhe gehört im rechtwinkligen Dreieck vom Augenpunkt bis zur Turmspitze? - Welche bekannte Strecke ist waagerecht, und wo liegt der Winkel von \(28^\circ\)?

1. Im rechtwinkligen Dreieck beträgt die Höhe vom Augenpunkt bis zur Turmspitze \(30-2=28\,\text{m}\). 2. Mit dem Höhenwinkel \(28^\circ\) gilt \(\tan(28^\circ)=\frac{28}{d}\). 3. Daher ist \(d=\frac{28}{\tan(28^\circ)}\,\text{m}\approx52{,}7\,\text{m}\).

\(\tan(28^\circ)=\frac{28}{d}\), also \(d\approx52{,}7\,\text{m}\).

- Welche Seite des rechtwinkligen Dreiecks ist die schräge Fahrfläche? - Welche trigonometrische Beziehung verbindet Höhenunterschied, Neigungswinkel und Fahrflächenlänge? - Warum ist hier der größte erlaubte Winkel für die Mindestlänge entscheidend? - Achte darauf, in welche Richtung du am Ende runden musst.

1. Der Höhenunterschied ist \(45\,\text{cm}=0{,}45\,\text{m}\). Die kürzeste zulässige Rampe entsteht beim größten erlaubten Winkel \(3{,}5^\circ\). 2. Für die Fahrflächenlänge \(L\) gilt \(\sin(3{,}5^\circ)=\frac{0{,}45}{L}\). 3. Daher ist \(L=\frac{0{,}45}{\sin(3{,}5^\circ)}\,\text{m}\approx7{,}3712\,\text{m}\). 4. Damit die Rampe den Höchstwinkel sicher nicht überschreitet, wird auf zwei Dezimalstellen nach oben gerundet: \(L=7{,}38\,\text{m}\).

Die schräge Fahrfläche muss mindestens \(7{,}38\,\text{m}\) lang sein.

- Skizziere die Situation für beide Zeitpunkte. Was bleibt gleich, was ändert sich? - Wie hängen die Höhe des Turms, die Schattenlänge und der Höhenwinkel der Sonne zusammen? - Du musst zwei separate Schattenlängen bestimmen, bevor du ihre Differenz bilden kannst.

1. Am Vormittag gilt \(\tan(22^\circ)=\frac{42\,\text{m}}{s_1}\). Daher ist \(s_1=\frac{42\,\text{m}}{\tan(22^\circ)}\approx103{,}9536\,\text{m}\). 2. Mittags gilt \(\tan(58^\circ)=\frac{42\,\text{m}}{s_2}\). Daher ist \(s_2=\frac{42\,\text{m}}{\tan(58^\circ)}\approx26{,}2445\,\text{m}\). 3. Die Verkürzung beträgt \(s_1-s_2\approx77{,}7091\,\text{m}\), gerundet also \(77{,}71\,\text{m}\).

Der Schatten verkürzt sich um etwa \(77{,}71\,\text{m}\).

- Welche trigonometrische Funktion verbindet Höhenunterschied und horizontale Entfernung? - Rechne die Kartenlänge von Bahn B zuerst in die reale horizontale Entfernung um. - Welche Seite im jeweiligen rechtwinkligen Dreieck entspricht der tatsächlichen Seilbahnstrecke?

1. Für Bahn A gilt \(\tan(\alpha)=\frac{450}{1200}\). Daher ist \(\alpha\approx20{,}56^\circ\). 2. Die Bahnlänge ist \(L_A=\sqrt{1200^2+450^2}\,\text{m}\approx1281{,}60\,\text{m}\). 3. Bei Bahn B entsprechen \(2{,}5\,\text{cm}\) auf der Karte einer horizontalen Entfernung von \(1250\,\text{m}\). 4. Es gilt \(\tan(\beta)=\frac{450}{1250}\), also \(\beta\approx19{,}80^\circ\). 5. Die Bahnlänge ist \(L_B=\sqrt{1250^2+450^2}\,\text{m}\approx1328{,}53\,\text{m}\). 6. Da \(1328{,}53\,\text{m}>1281{,}60\,\text{m}\), ist Bahn B länger.

a) Bahn A: \(\alpha\approx20{,}56^\circ\); Bahn B: \(\beta\approx19{,}80^\circ\) b) Bahn A: \(L_A\approx1281{,}60\,\text{m}\); Bahn B: \(L_B\approx1328{,}53\,\text{m}\). Bahn B ist länger.

- Warum kann man davon ausgehen, dass die Sonnenstrahlen überall den gleichen Winkel zum Boden einnehmen? - Nutze die Eigenschaft, dass bei ähnlichen Figuren das Verhältnis von Höhe zu Breite konstant ist. - Überlege, welche Rolle der Stab und welche Rolle der Schatten im rechtwinkligen Dreieck in Bezug auf den Winkel am Boden spielen.

1. Die Sonnenstrahlen treffen annähernd parallel auf die Erde, weshalb der Höhenwinkel der Sonne \(\alpha\) bei beiden Stäben gleich ist. Da beide Stäbe senkrecht stehen (\(90^\circ\)), sind die Dreiecke nach dem WW-Satz ähnlich. 2. Aufstellen der Verhältnisgleichung für ähnliche Dreiecke: \(\frac{\text{Höhe}_1}{\text{Schatten}_1} = \frac{\text{Höhe}_2}{\text{Schatten}_2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\frac{1{,}6}{2{,}0} = \frac{2{,}4}{x}\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{2{,}4 \cdot 2{,}0}{1{,}6} = 3{,}0\,\text{m}\). 5. Zuordnung: Die Stabhöhe ist die Gegenkathete zum Höhenwinkel der Sonne \(\alpha\), der Schatten ist die Ankathete. Das Verhältnis \(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\) definiert den Tangens (\(\tan(\alpha)\)).

a) Die Dreiecke stimmen im rechten Winkel und im Höhenwinkel der Sonne überein (WW-Ähnlichkeit). b) Die Schattenlänge von Stab 2 beträgt \(3{,}0\,\text{m}\). c) Es handelt sich um den Tangens, da das Verhältnis von Gegenkathete (Stabhöhe) zu Ankathete (Schattenlänge) betrachtet wird.

- Skizziere die Seitenansicht der Überdachung als rechtwinkliges Dreieck und beschrifte die gegebenen Größen. - Welche trigonometrische Funktion verbindet den Winkel mit waagerechter Strecke und Höhenunterschied? - Welche Seite des Dreiecks stellt die tatsächliche Sparrenlänge dar?

1. Für den Höhenunterschied gilt \(\tan(20^\circ)=\frac{h}{4{,}50\,\text{m}}\). Daher ist \(h=4{,}50\,\text{m}\cdot\tan(20^\circ)\approx1{,}64\,\text{m}\). 2. Die Sparren bilden die Hypotenuse. Es gilt \(\cos(20^\circ)=\frac{4{,}50\,\text{m}}{l}\). Somit ist \(l=\frac{4{,}50\,\text{m}}{\cos(20^\circ)}\approx4{,}79\,\text{m}\). 3. Die Steigung beträgt \(\tan(20^\circ)\cdot100\,\%\approx36{,}40\,\%\). Damit wird die Projektvorgabe von höchstens \(40\,\%\) eingehalten.

a) \(h\approx1{,}64\,\text{m}\) b) \(l\approx4{,}79\,\text{m}\) c) Die Steigung beträgt etwa \(36{,}40\,\%\); die Vorgabe wird eingehalten.

- Achte darauf, alle Längenangaben in dieselbe Einheit umzurechnen. - Was passiert mit dem Winkel, wenn die waagerechte Strecke bei gleichbleibender Höhe kürzer wird? - Wie kannst du aus dem Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechter Strecke den Winkel bestimmen?

1. Nach der Umrechnung ist der Höhenunterschied \(0{,}72\,\text{m}\). Für die waagerechte Strecke \(x\) gilt \(\tan(3{,}5^\circ)=\frac{0{,}72}{x}\). Daher ist \(x=\frac{0{,}72}{\tan(3{,}5^\circ)}\approx11{,}77\,\text{m}\). 2. Die Steigung beträgt \(\tan(3{,}5^\circ)\cdot100\,\%\approx6{,}12\,\%\). 3. Bei \(10\,\text{m}\) waagerechter Strecke gilt \(\tan(\alpha)=\frac{0{,}72}{10}\). Somit ist \(\alpha=\arctan(0{,}072)\approx4{,}12^\circ\). 4. Da \(4{,}12^\circ>3{,}5^\circ\), wird die Vorgabe nicht eingehalten.

a) Mindestens \(11{,}77\,\text{m}\) b) Etwa \(6{,}12\,\%\) c) \(\alpha\approx4{,}12^\circ\); die Vorgabe wird nicht eingehalten.

- Was gibt der Maßstab über die wirkliche waagerechte Entfernung an? - Stelle die Situation als rechtwinkliges Dreieck dar. Welche Seiten sind gegeben? - Welche Beziehung liefert die Länge der schrägen Wegstrecke? - Welche trigonometrische Funktion verknüpft Höhenunterschied und waagerechte Entfernung?

1. Die waagerechte Entfernung beträgt \(5{,}4\,\text{cm}\cdot10\,000=540\,\text{m}\). 2. Mit Pythagoras ergibt sich für die Weglänge \(L=\sqrt{540^2+380^2}\,\text{m}\approx660{,}3\,\text{m}\). 3. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=\frac{380}{540}\). 4. Mit dem ungerundeten Verhältnis folgt \(\alpha=\arctan\left(\frac{380}{540}\right)\approx35{,}1^\circ\).

Die Weglänge beträgt etwa \(660{,}3\,\text{m}\), der durchschnittliche Steigungswinkel etwa \(35{,}1^\circ\).

- Was bedeutet eine Prozentangabe bei einer Steigung für das Verhältnis der Katheten? - Welche Seite im Dreieck entspricht der tatsächlichen Fahrbahnlänge? - Welche Winkelfunktion verbindet die Hypotenuse und den Höhenunterschied?

1. Eine Steigung von \(12\,\%\) bedeutet \(\tan(\alpha)=0{,}12\). Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}12)\approx6{,}8428^\circ\). 2. Die Straßenlänge \(850\,\text{m}\) ist die Hypotenuse. Mit dem ungerundeten Winkel gilt \(h=850\,\text{m}\cdot\sin(\alpha)\approx101{,}2734\,\text{m}\). 3. Gerundet erhält man \(h\approx101{,}3\,\text{m}\) und \(\alpha\approx6{,}8^\circ\).

a) \(h\approx101{,}3\,\text{m}\) b) \(\alpha\approx6{,}8^\circ\)

- Skizziere die Situation für beide Sonnenstände. Wo liegt der Höhenwinkel im Dreieck? - Welche Größe bleibt bei beiden Rechnungen gleich? - Wie verändert sich die Schattenlänge, wenn der Winkel kleiner wird?

1. Für die Masthöhe gilt \(\tan(52^\circ)=\frac{H}{28\,\text{m}}\). Daher ist \(H=28\,\text{m}\cdot\tan(52^\circ)\approx35{,}8384\,\text{m}\). 2. Bei \(30^\circ\) gilt mit der ungerundeten Masthöhe \(\tan(30^\circ)=\frac{H}{s_2}\). Daraus folgt \(s_2=\frac{H}{\tan(30^\circ)}\approx62{,}0739\,\text{m}\). 3. Die Verlängerung ist \(s_2-28\,\text{m}\approx34{,}0739\,\text{m}\).

a) \(H\approx35{,}8\,\text{m}\) b) Der Schatten verlängert sich um etwa \(34{,}1\,\text{m}\).

- Skizziere einen Querschnitt durch die Pyramidenspitze und die Mitte zweier gegenüberliegender Grundkanten. - Welche waagerechte Strecke gehört in diesem Querschnitt zur halben Grundseitenlänge? - Beim Seked wird das Verhältnis aus horizontalem Rücksprung und Höhe auf sieben Handbreiten pro Elle skaliert.

1. Im mittleren Querschnitt beträgt die waagerechte Strecke von der Grundkantenmitte zur Mitte der Grundfläche \(115{,}2\,\text{m}\). 2. Es gilt \(\tan(\alpha)=\frac{146{,}6}{115{,}2}\). Daher ist \(\alpha\approx51{,}84^\circ\). 3. Der Seked ist der horizontale Rücksprung pro Elle Höhe, ausgedrückt in Handbreiten: \(S=\frac{115{,}2}{146{,}6}\cdot7\approx5{,}5007\). 4. Gerundet ist der Seked \(5{,}5\) Handbreiten.

a) \(\alpha\approx51{,}84^\circ\) b) Der Seked beträgt etwa \(5{,}5\) Handbreiten.

- Wie rechnet man eine Prozentangabe in eine Dezimalzahl für die Steigung um? - Welche Strecke im Grundriss entspricht der horizontalen Entfernung von der Mitte einer Grundkante bis zum Mittelpunkt der Grundfläche? - Welcher Satz liefert die Länge des schrägen Glaselements im Querschnitt?

1. Die waagerechte Strecke von der Mitte einer Grundkante zur Grundflächenmitte beträgt \(9\,\text{m}\). Bei \(140\,\%\) Steigung gilt \(1{,}4=\frac{h}{9}\), also \(h=12{,}6\,\text{m}\). 2. Der Neigungswinkel erfüllt \(\tan(\alpha)=1{,}4\). Daher ist \(\alpha=\arctan(1{,}4)\approx54{,}46^\circ\). 3. Das Glaselement ist die Hypotenuse des Querschnittsdreiecks: \(h_s=\sqrt{12{,}6^2+9^2}\,\text{m}=\sqrt{239{,}76}\,\text{m}\approx15{,}48\,\text{m}\).

a) \(h=12{,}6\,\text{m}\) b) \(\alpha\approx54{,}46^\circ\) c) \(h_s\approx15{,}48\,\text{m}\)

- Welche Seiten des eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks entsprechen Flussbreite und Messstrecke? - Welche trigonometrische Funktion verbindet diese beiden Katheten mit \(\gamma\)? - Vergleiche die beiden Berechnungen erst mit ungerundeten Werten und überlege anschließend, wie sich der Tangens nahe \(90^\circ\) verhält.

1. Es gilt \(\tan(\gamma)=\frac{AB}{AC}\). Für \(72^\circ\) ist \(AB_1=25\,\text{m}\cdot\tan(72^\circ)\approx76{,}94\,\text{m}\). 2. Für \(73^\circ\) ist \(AB_2=25\,\text{m}\cdot\tan(73^\circ)\approx81{,}77\,\text{m}\). 3. Mit den ungerundeten Werten beträgt die Änderung \(AB_2-AB_1\approx4{,}83\,\text{m}\). 4. Für \(\gamma\to90^\circ\) wächst \(\tan(\gamma)\) ohne obere Grenze. Deshalb wächst auch die berechnete Breite ohne obere Grenze und reagiert zunehmend empfindlich auf kleine Winkelfehler.

a) \(AB\approx76{,}94\,\text{m}\) b) Die berechnete Breite ändert sich um etwa \(4{,}83\,\text{m}\). c) Für \(\gamma\to90^\circ\) wächst die berechnete Breite ohne obere Grenze; kleine Winkelfehler wirken sich dann stark aus.

- Was bedeutet eine Prozentsteigung für das Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Länge? - Welche trigonometrische Funktion beschreibt dieses Verhältnis? - Verwende für die Überprüfung in c) den ungerundeten Winkel aus a). - Vergleiche die neue Prozentsteigung mit genau \(12\,\%\).

1. Eine Steigung von \(6\,\%\) bedeutet \(\tan(\alpha)=0{,}06\). Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}06)\approx3{,}43^\circ\). 2. Für die horizontale Länge \(l\) gilt \(0{,}06=\frac{0{,}42}{l}\). Somit ist \(l=7\,\text{m}\). 3. Für die Überprüfung wird der ungerundete Winkel verdoppelt: \(2\alpha\approx6{,}8673^\circ\). 4. Die zugehörige Steigung ist \(\tan(2\alpha)\cdot100\,\%\approx12{,}04\,\%\). Das ist nicht genau das Doppelte von \(6\,\%\). Sofias Aussage ist falsch.

a) \(\alpha\approx3{,}43^\circ\) b) \(l=7\,\text{m}\) c) Beim doppelten Winkel beträgt die Steigung etwa \(12{,}04\,\%\). Die Aussage ist falsch.

- Welche Flächenformel verbindet zwei Seiten mit ihrem eingeschlossenen Winkel? - Welche Größe ist in dieser Formel unbekannt? - Stelle die Gleichung nach \(a\) um, bevor du einsetzt und rundest.

1. Mit der Sinus-Flächenformel gilt \(1200\,\text{m}^2=\frac12\cdot a\cdot80\,\text{m}\cdot\sin(40^\circ)\). 2. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a=\frac{30\,\text{m}}{\sin(40^\circ)}\approx46{,}67\,\text{m}\). 3. Auf ganze Meter gerundet ist \(a\approx47\,\text{m}\).

\(a\approx47\,\text{m}\)

- Welche beiden Sichttangenten begrenzen in der Abbildung den gesamten Sehwinkel? - Warum halbiert die Verbindung zum Mittelpunkt die symmetrische Figur? - Welche Seitenrollen haben Radius und Mittelpunktentfernung im entstehenden rechtwinkligen Teildreieck? - Welche trigonometrische Funktion verbindet diese Seiten mit dem halben Sehwinkel?

1. Zwei Tangenten vom Beobachtungspunkt begrenzen den Sehwinkel. Die Verbindung zum Mittelpunkt halbiert ihn, daher beträgt der Winkel im rechtwinkligen Teildreieck \(0{,}75^\circ\). 2. Der Radius \(12\,\text{m}\) ist die Gegenkathete und die gesuchte Entfernung \(d\) die Hypotenuse. 3. Es gilt \(\sin(0{,}75^\circ)=\frac{12\,\text{m}}{d}\). 4. Somit ist \(d=\frac{12\,\text{m}}{\sin(0{,}75^\circ)}\approx916{,}8\,\text{m}\).

\(d\approx916{,}8\,\text{m}\)

- Welche Angaben bestimmen das rechtwinklige Dreieck aus Mast, Schatten und Sonnenstrahl? - Prüfe jede zusätzliche Zahl darauf, ob sie in diesem Dreieck vorkommt. - Welche trigonometrische Beziehung verbindet Gegenkathete und Ankathete?

1. Für das rechtwinklige Modell werden die Schattenlänge \(7{,}5\,\text{m}\) und die Sonnenhöhe \(38^\circ\) benötigt. Umfang und Abstand zum Eingang beeinflussen die gesuchte Höhe nicht. 2. Es gilt \(\tan(38^\circ)=\frac{h}{7{,}5\,\text{m}}\). 3. Daher ist \(h=7{,}5\,\text{m}\tan(38^\circ)\approx5{,}8596\,\text{m}\). 4. Gerundet ist der Mast \(5{,}9\,\text{m}\) hoch.

a) Benötigt werden Schattenlänge und Sonnenhöhe; Mastumfang und Abstand zum Gebäudeeingang sind irrelevant. b) \(h\approx5{,}9\,\text{m}\)

- Welche beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind durch waagerechte Strecke und Höhenunterschied gegeben? - Für die Grenzfälle musst du den Höhenunterschied einmal verkleinern und einmal vergrößern. - Vergleiche die beiden Grenzwinkel mit dem Winkel aus dem Messwert.

1. Für den Messwert gilt \(\alpha=\arctan\left(\frac{1{,}80}{4{,}00}\right)\approx24{,}2277^\circ\), also \(24{,}2^\circ\). 2. Der kleinste Höhenunterschied ist \(1{,}75\,\text{m}\). Damit ist \(\alpha_{\min}=\arctan\left(\frac{1{,}75}{4{,}00}\right)\approx23{,}6294^\circ\), also \(23{,}6^\circ\). 3. Der größte Höhenunterschied ist \(1{,}85\,\text{m}\). Damit ist \(\alpha_{\max}=\arctan\left(\frac{1{,}85}{4{,}00}\right)\approx24{,}8205^\circ\), also \(24{,}8^\circ\). 4. Eine Höhenunsicherheit von \(\pm0{,}05\,\text{m}\) führt hier zu ungefähr \(-0{,}6^\circ\) beziehungsweise \(+0{,}6^\circ\) Abweichung vom berechneten Winkel.

a) \(\alpha\approx24{,}2^\circ\) b) \(\alpha_{\min}\approx23{,}6^\circ\), \(\alpha_{\max}\approx24{,}8^\circ\) c) Die Messunsicherheit von \(\pm0{,}05\,\text{m}\) verändert den Winkel hier um ungefähr \(\pm0{,}6^\circ\).

- Führe für den unbekannten Abstand \(BT\) eine Variable ein; wie lang ist dann \(AT\)? - Beide Beobachtungen liefern eine Tangensgleichung mit derselben Höhe \(h\). - Der Winkel von \(45^\circ\) vereinfacht eine der beiden Gleichungen besonders stark.

1. Setze \(BT=x\). Dann ist \(AT=x+40\,\text{m}\). 2. Vom Punkt \(B\) gilt \(\tan(45^\circ)=\frac{h}{x}\). Daher ist \(h=x\). 3. Vom Punkt \(A\) gilt \(\tan(30^\circ)=\frac{h}{x+40\,\text{m}}\). Mit \(h=x\) folgt \(\frac{x}{x+40}=\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt3}\). 4. Daraus folgt \(x(\sqrt3-1)=40\,\text{m}\), also \(x=20(\sqrt3+1)\,\text{m}\approx54{,}6\,\text{m}\). 5. Wegen \(h=x\) beträgt die Turmhöhe \(h\approx54{,}6\,\text{m}\).

\(h\approx54{,}6\,\text{m}\)

- Erinnere dich an die Definition des Tangens als Gegenkathete durch Ankathete. - Welche Größe steht beim Seked im Zähler und welche im Nenner? - Was passiert mit einem Quotienten, wenn nur sein Nenner verdoppelt wird?

1. Bei einer Elle Höhe, also \(7\) Handbreiten, beträgt der horizontale Rücksprung \(S\) Handbreiten. Deshalb ist \(\tan(\alpha)=\frac{7}{S}\). 2. Für \(S=5{,}25\) gilt \(\tan(\alpha)=\frac{7}{5{,}25}=\frac{4}{3}\). Somit ist \(\alpha=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\approx53{,}13^\circ\). 3. Allgemein ist \(S=\frac{a/2}{h}\cdot7\). Wird bei unveränderter Grundfläche \(h\) verdoppelt, halbiert sich dieser Quotient und damit auch \(S\).

a) \(\tan(\alpha)=\frac{7}{S}\) b) \(\alpha\approx53{,}13^\circ\) c) Der Seked halbiert sich.

- Ordne in der Abbildung Ankathete und Hypotenuse zum Winkel \(\beta\) zu. - Welche trigonometrische Funktion verknüpft diese beiden Seiten? - Was bedeutet \(d=50s\) für den Quotienten \(\frac{s}{d}\)?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABP\) ist \(AB=s\) die Ankathete und \(BP=d\) die Hypotenuse zu \(\beta\). Daher gilt \(\cos(\beta)=\frac{s}{d}\), also \(d=\frac{s}{\cos(\beta)}\). 2. Für \(\beta=88^\circ\) folgt \(d=\frac{10\,\text{km}}{\cos(88^\circ)}\approx286{,}54\,\text{km}\). 3. Aus \(d=50s\) folgt \(\cos(\beta)=\frac{s}{50s}=\frac{1}{50}\). Daher ist \(\beta=\arccos\left(\frac{1}{50}\right)\approx88{,}85^\circ\).

a) \(d=\frac{s}{\cos(\beta)}\) b) \(d\approx286{,}54\,\text{km}\) c) \(\beta\approx88{,}85^\circ\)

- Welche beiden Sichtlinien begrenzen den Sehwinkel? - Warum steht der Radius im Berührpunkt senkrecht auf einer Tangente? - Welcher Anteil des gesamten Sehwinkels erscheint im entstehenden rechtwinkligen Dreieck? - Welche trigonometrische Funktion verbindet Radius und Abstand zum Mittelpunkt?

1. Der Radius des Basketballs beträgt \(r=12\,\text{cm}\). 2. Vom Auge zu einem Berührpunkt einer Sichtlinie entsteht mit dem Radius ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel am Auge ist \(\frac{\alpha}{2}\), die Hypotenuse ist \(80\,\text{cm}\) und die Gegenkathete \(12\,\text{cm}\). 3. Daher gilt \(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{12}{80}=0{,}15\). 4. Somit ist \(\alpha=2\arcsin(0{,}15)\approx17{,}3^\circ\).

\(\alpha\approx17{,}3^\circ\)

- Überlege, auf welches Höhenniveau sich der Tangenswert zunächst bezieht. - Welche Höhendifferenz muss berücksichtigt werden, bevor du die eigentliche Gebäudehöhe erhältst? - Vergleiche den Unterschied zwischen beiden Modellen mit der vorgegebenen Toleranz.

1. Der Ausdruck \(25{,}0\tan(32^\circ)+1{,}60\) liefert die Höhe der Dachkante über dem Niveau von Linas Standort, berücksichtigt aber nicht, dass der Gebäudefuß \(1{,}20\,\text{m}\) höher liegt. 2. Die Dachkante liegt relativ zu Linas Standort bei \(25{,}0\,\text{m}\tan(32^\circ)+1{,}60\,\text{m}\approx17{,}2217\,\text{m}\). 3. Von diesem Wert wird der Höhenunterschied des Geländes abgezogen: \(h\approx17{,}2217\,\text{m}-1{,}20\,\text{m}=16{,}0217\,\text{m}\). 4. Gerundet ist das Gebäude etwa \(16{,}0\,\text{m}\) hoch. 5. Das vereinfachte Modell überschätzt die Gebäudehöhe um \(1{,}20\,\text{m}\). Das ist größer als die erlaubte Toleranz von \(0{,}5\,\text{m}\), daher ist das Modell nicht ausreichend.

a) Das vereinfachte Modell ignoriert den \(1{,}20\,\text{m}\) höheren Gebäudefuß. b) \(h\approx16{,}0\,\text{m}\) c) Nein. Der Modellfehler beträgt \(1{,}20\,\text{m}\) und überschreitet die Toleranz von \(0{,}5\,\text{m}\).