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- Überlege dir, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck durch die Entfernung zum Turm gegeben ist. - Vergiss nicht, dass die Messung nicht am Boden, sondern in einer bestimmten Höhe startet. - Welche trigonometrische Funktion setzt Gegenkathete und Ankathete in Beziehung?

1. Der Höhenunterschied zwischen Augenhöhe und Turmspitze ist die Gegenkathete zu \(38^\circ\); die Entfernung \(32\,\text{m}\) ist die Ankathete. 2. Es gilt \(\tan(38^\circ)=\frac{h}{32\,\text{m}}\). Daher ist \(h=32\,\text{m}\cdot\tan(38^\circ)\approx25{,}0011\,\text{m}\). 3. Mit der Augenhöhe ergibt sich \(H\approx25{,}0011\,\text{m}+1{,}60\,\text{m}\approx26{,}60\,\text{m}\).

Der Kirchturm ist etwa \(26{,}60\,\text{m}\) hoch.

- Wie hängen die Steigung in Prozent und der Tangens eines Winkels zusammen? - Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck vor: Welche Katheten entsprechen Höhenunterschied und waagerechter Entfernung? - Überlege, wie man einen Tangenswert in einen Winkel umrechnet und umgekehrt.

1. Bei \(15\,\%\) Steigung gilt \(\tan(\alpha)=0{,}15\). Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}15)\approx8{,}53^\circ\). 2. Für \(10^\circ\) ist die Steigung \(\tan(10^\circ)\approx0{,}176327\). In Prozent sind das \(17{,}63\,\%\).

a) \(\alpha\approx8{,}53^\circ\) b) \(10^\circ\) entsprechen etwa \(17{,}63\,\%\) Steigung.

- Kannst du das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen? - Welcher Satz hilft dir, wenn zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt sind? - Welche trigonometrische Funktion setzt Gegenkathete und Ankathete in Beziehung?

1. Die Höhe halbiert die Basis. Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck gilt \(s=\sqrt{4^2+3^2}\,\text{m}=5{,}00\,\text{m}\). 2. Für den Basiswinkel gilt \(\tan(\alpha)=\frac{3}{4}\). Daher ist \(\alpha=\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\approx36{,}87^\circ\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot8{,}00\,\text{m}\cdot3{,}00\,\text{m}=12{,}00\,\text{m}^2\).

a) \(s=5{,}00\,\text{m}\) b) \(\alpha\approx36{,}87^\circ\) c) \(A=12{,}00\,\text{m}^2\)

- Skizziere die Situation und markiere die bekannten Größen. - Welche Seite des entstehenden rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Höhe \(h\)? - Welche trigonometrische Beziehung verbindet Gegenkathete und Hypotenuse?

1. Die Schnur ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, die Höhe \(h\) die Gegenkathete zu \(55^\circ\). 2. Es gilt \(\sin(55^\circ)=\frac{h}{30\,\text{m}}\). 3. Daher ist \(h=30\,\text{m}\cdot\sin(55^\circ)\approx24{,}57\,\text{m}\).

\(h\approx24{,}57\,\text{m}\)

- Welchen Teil des Dreiecks stellt die Fahrfläche der Rampe dar? - Überlege, welcher trigonometrische Wert das Verhältnis von Höhe zu Rampenlänge beschreibt. - Achte beim Umstellen der Formel darauf, dass die gesuchte Größe \(l\) allein auf einer Seite steht.

1. Modellierung: Die Rampe bildet die Hypotenuse \(l\) eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Höhenunterschied von \(1{,}2\,\text{m}\) ist die Gegenkathete zum Steigungswinkel von \(4^\circ\). 2. Ansatz: Die Beziehung zwischen Gegenkathete, Hypotenuse und Winkel wird durch den Sinus beschrieben: \(\sin(4^\circ) = \frac{1{,}2\,\text{m}}{l}\). 3. Berechnung: Umstellen nach \(l\) ergibt \(l = \frac{1{,}2\,\text{m}}{\sin(4^\circ)} \approx 17{,}20\,\text{m}\).

Die Fahrfläche \(l\) der Rampe ist ca. \(17{,}20\,\text{m}\) lang.

- Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck und beschrifte Pfosten, Schatten und Sonnenstrahl. - Wo liegt der Winkel von \(35^\circ\) in deiner Skizze? - Welche trigonometrische Funktion verbindet die beiden Katheten?

1. Pfosten, Schatten und Sonnenstrahl bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Schattenlänge ist die Ankathete und die Pfostenhöhe die Gegenkathete zu \(35^\circ\). 2. Es gilt \(\tan(35^\circ)=\frac{h}{8\,\text{m}}\). 3. Daher ist \(h=8\,\text{m}\cdot\tan(35^\circ)\approx5{,}60\,\text{m}\).

\(h\approx5{,}60\,\text{m}\)

- Überlege, welche Formel den Flächeninhalt eines Dreiecks mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel verknüpft. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist. - Auch bei einem stumpfen Winkel über \(90^\circ\) funktioniert die Sinus-Flächenformel direkt.

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks bei zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel wird die trigonometrische Flächenformel verwendet: \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha)\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(A = \frac{1}{2} \cdot 42\,\text{m} \cdot 58\,\text{m} \cdot \sin(125^\circ)\). 3. Berechnung: \(A = 1218 \cdot \sin(125^\circ) \approx 1218 \cdot 0{,}81915 \approx 997{,}7272\,\text{m}^2\). 4. Das gerundete Ergebnis ist \(A \approx 997{,}7\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Grundstücks beträgt etwa \(997{,}7\,\text{m}^2\).

- Welches rechtwinklige Teildreieck enthält die Höhe \(h\)? - Welche trigonometrische Funktion verbindet dort Winkel, Hypotenuse und Gegenkathete? - Was gilt für benachbarte Innenwinkel eines Parallelogramms?

1. Im rechtwinkligen Teildreieck ist \(b=4\,\text{cm}\) die Hypotenuse und \(h\) die Gegenkathete zu \(\alpha\). 2. Es gilt \(\sin(50^\circ)=\frac{h}{4\,\text{cm}}\). Daher ist \(h=4\,\text{cm}\cdot\sin(50^\circ)\approx3{,}06\,\text{cm}\). 3. Benachbarte Innenwinkel eines Parallelogramms ergänzen sich zu \(180^\circ\). Somit ist \(\beta=180^\circ-50^\circ=130^\circ\).

\(h\approx3{,}06\,\text{cm}\) und \(\beta=130^\circ\)

- Welche besondere Wirkung hat die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck auf die Grundseite? - Welche Seite ist im rechtwinkligen Teildreieck die Hypotenuse? - Welche Funktion verbindet den Basiswinkel mit der Höhe? - Wie erhältst du aus der halben Grundseite die ganze Grundseite?

1. Die Höhe teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. 2. Für die Höhe gilt \(\sin(70^\circ)=\frac{h}{8\,\text{cm}}\). Daher ist \(h=8\,\text{cm}\cdot\sin(70^\circ)\approx7{,}52\,\text{cm}\). 3. Für die halbe Grundseite gilt \(\cos(70^\circ)=\frac{b/2}{8\,\text{cm}}\). Somit ist \(b=16\,\text{cm}\cdot\cos(70^\circ)\approx5{,}47\,\text{cm}\).

\(h\approx7{,}52\,\text{cm}\) und \(b\approx5{,}47\,\text{cm}\)

- Welche Formel verbindet zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel mit dem Flächeninhalt? - Erinnere dich an den Sinuswert von \(30^\circ\).

1. Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann mit der Flächenformel mit Sinus berechnet werden: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\). 2. Einsetzen der Werte: \(A = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot \sin(30^\circ)\). 3. Da \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\), ergibt sich \(A = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 0{,}5 = 12\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{cm}^2\).

- Welche Seite im Dreieck stellt die tatsächliche Fahrbahn der Rampe dar? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in der gleichen Einheit (z. B. Meter) verwendet werden. - Wenn der Winkel kleiner werden soll, muss die Rampe dann länger oder kürzer werden?

1. Identifikation der gegebenen Größen: Gegenkathete (Höhe \(h = 45\,\text{cm} = 0{,}45\,\text{m}\)) und der maximale Neigungswinkel (\(\alpha = 3{,}5^\circ\)). Gesucht ist die Hypotenuse (Länge der Fahrfläche \(L\)). 2. Anwendung der Sinus-Funktion: \(\sin(3{,}5^\circ) = \frac{0{,}45\,\text{m}}{L}\). 3. Umstellen der Formel nach \(L\): \(L = \frac{0{,}45\,\text{m}}{\sin(3{,}5^\circ)}\). 4. Berechnung des Wertes: \(L \approx 7{,}3711\,\text{m}\). Um den Winkel nicht zu überschreiten, wird auf zwei Dezimalstellen aufgerundet.

Die schräge Fahrfläche der Rampe muss mindestens \(7{,}38\,\text{m}\) lang sein.

- Skizziere die Situation für beide Zeitpunkte. Was bleibt gleich, was ändert sich? - Wie hängen die Höhe des Turms, die Schattenlänge und der Höhenwinkel der Sonne zusammen? - Du musst zwei separate Schattenlängen bestimmen, bevor du ihre Differenz bilden kannst.

1. Am Vormittag gilt \(\tan(22^\circ)=\frac{42\,\text{m}}{s_1}\). Daher ist \(s_1=\frac{42\,\text{m}}{\tan(22^\circ)}\approx103{,}9536\,\text{m}\). 2. Mittags gilt \(\tan(58^\circ)=\frac{42\,\text{m}}{s_2}\). Daher ist \(s_2=\frac{42\,\text{m}}{\tan(58^\circ)}\approx26{,}2445\,\text{m}\). 3. Die Verkürzung beträgt \(s_1-s_2\approx77{,}7091\,\text{m}\), gerundet also \(77{,}71\,\text{m}\).

Der Schatten verkürzt sich um etwa \(77{,}71\,\text{m}\).

- Was bedeutet eine Steigung von \(8\,\%\) für das Verhältnis von Höhe zu waagerechter Strecke? - Rechne zuerst die Kartenlänge in die reale waagerechte Entfernung um. - Welche Seite des Steigungsdreiecks entspricht der tatsächlichen Fahrbahn?

1. Die waagerechte Entfernung beträgt \(5{,}6\,\text{cm}\cdot25\,000=1400\,\text{m}\). 2. Eine Steigung von \(8\,\%\) bedeutet \(\frac{h}{1400}=0{,}08\). Daher ist \(h=112\,\text{m}\). 3. Die Fahrbahn ist die Hypotenuse des Steigungsdreiecks: \(L=\sqrt{1400^2+112^2}\,\text{m}\approx1404{,}47\,\text{m}\).

Der Höhenunterschied beträgt \(112\,\text{m}\), die Fahrbahnlänge etwa \(1404{,}47\,\text{m}\).

- Welche trigonometrische Funktion verbindet Höhenunterschied und horizontale Entfernung? - Rechne die Kartenlänge von Bahn B zuerst in die reale horizontale Entfernung um. - Welche Seite im jeweiligen rechtwinkligen Dreieck entspricht der tatsächlichen Seilbahnstrecke?

1. Für Bahn A gilt \(\tan(\alpha)=\frac{450}{1200}\). Daher ist \(\alpha\approx20{,}56^\circ\). 2. Die Bahnlänge ist \(L_A=\sqrt{1200^2+450^2}\,\text{m}\approx1281{,}60\,\text{m}\). 3. Bei Bahn B entsprechen \(2{,}5\,\text{cm}\) auf der Karte einer horizontalen Entfernung von \(1250\,\text{m}\). 4. Es gilt \(\tan(\beta)=\frac{450}{1250}\), also \(\beta\approx19{,}80^\circ\). 5. Die Bahnlänge ist \(L_B=\sqrt{1250^2+450^2}\,\text{m}\approx1328{,}53\,\text{m}\). 6. Da \(1328{,}53\,\text{m}>1281{,}60\,\text{m}\), ist Bahn B länger.

a) Bahn A: \(\alpha\approx20{,}56^\circ\); Bahn B: \(\beta\approx19{,}80^\circ\) b) Bahn A: \(L_A\approx1281{,}60\,\text{m}\); Bahn B: \(L_B\approx1328{,}53\,\text{m}\). Bahn B ist länger.

- Warum kann man davon ausgehen, dass die Sonnenstrahlen überall den gleichen Winkel zum Boden einnehmen? - Nutze die Eigenschaft, dass bei ähnlichen Figuren das Verhältnis von Höhe zu Breite konstant ist. - Überlege, welche Rolle der Stab und welche Rolle der Schatten im rechtwinkligen Dreieck in Bezug auf den Winkel am Boden spielen.

1. Die Sonnenstrahlen treffen annähernd parallel auf die Erde, weshalb der Höhenwinkel der Sonne \(\alpha\) bei beiden Stäben gleich ist. Da beide Stäbe senkrecht stehen (\(90^\circ\)), sind die Dreiecke nach dem WW-Satz ähnlich. 2. Aufstellen der Verhältnisgleichung für ähnliche Dreiecke: \(\frac{\text{Höhe}_1}{\text{Schatten}_1} = \frac{\text{Höhe}_2}{\text{Schatten}_2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\frac{1{,}6}{2{,}0} = \frac{2{,}4}{x}\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{2{,}4 \cdot 2{,}0}{1{,}6} = 3{,}0\,\text{m}\). 5. Zuordnung: Die Stabhöhe ist die Gegenkathete zum Höhenwinkel der Sonne \(\alpha\), der Schatten ist die Ankathete. Das Verhältnis \(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\) definiert den Tangens (\(\tan(\alpha)\)).

a) Die Dreiecke stimmen im rechten Winkel und im Höhenwinkel der Sonne überein (WW-Ähnlichkeit). b) Die Schattenlänge von Stab 2 beträgt \(3{,}0\,\text{m}\). c) Es handelt sich um den Tangens, da das Verhältnis von Gegenkathete (Stabhöhe) zu Ankathete (Schattenlänge) betrachtet wird.

- Skizziere die Seitenansicht der Überdachung als rechtwinkliges Dreieck und beschrifte die gegebenen Größen. - Welche trigonometrische Funktion verbindet den Winkel mit waagerechter Strecke und Höhenunterschied? - Welche Seite des Dreiecks stellt die tatsächliche Sparrenlänge dar?

1. Für den Höhenunterschied gilt \(\tan(20^\circ)=\frac{h}{4{,}50\,\text{m}}\). Daher ist \(h=4{,}50\,\text{m}\cdot\tan(20^\circ)\approx1{,}64\,\text{m}\). 2. Die Sparren bilden die Hypotenuse. Es gilt \(\cos(20^\circ)=\frac{4{,}50\,\text{m}}{l}\). Somit ist \(l=\frac{4{,}50\,\text{m}}{\cos(20^\circ)}\approx4{,}79\,\text{m}\). 3. Die Steigung beträgt \(\tan(20^\circ)\cdot100\,\%\approx36{,}40\,\%\). Damit wird die Projektvorgabe von höchstens \(40\,\%\) eingehalten.

a) \(h\approx1{,}64\,\text{m}\) b) \(l\approx4{,}79\,\text{m}\) c) Die Steigung beträgt etwa \(36{,}40\,\%\); die Vorgabe wird eingehalten.

- Achte darauf, alle Längenangaben in dieselbe Einheit umzurechnen. - Was passiert mit dem Winkel, wenn die waagerechte Strecke bei gleichbleibender Höhe kürzer wird? - Wie kannst du aus dem Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechter Strecke den Winkel bestimmen?

1. Nach der Umrechnung ist der Höhenunterschied \(0{,}72\,\text{m}\). Für die waagerechte Strecke \(x\) gilt \(\tan(3{,}5^\circ)=\frac{0{,}72}{x}\). Daher ist \(x=\frac{0{,}72}{\tan(3{,}5^\circ)}\approx11{,}77\,\text{m}\). 2. Die Steigung beträgt \(\tan(3{,}5^\circ)\cdot100\,\%\approx6{,}12\,\%\). 3. Bei \(10\,\text{m}\) waagerechter Strecke gilt \(\tan(\alpha)=\frac{0{,}72}{10}\). Somit ist \(\alpha=\arctan(0{,}072)\approx4{,}12^\circ\). 4. Da \(4{,}12^\circ>3{,}5^\circ\), wird die Vorgabe nicht eingehalten.

a) Mindestens \(11{,}77\,\text{m}\) b) Etwa \(6{,}12\,\%\) c) \(\alpha\approx4{,}12^\circ\); die Vorgabe wird nicht eingehalten.

- Was gibt der Maßstab über die wirkliche waagerechte Entfernung an? - Stelle die Situation als rechtwinkliges Dreieck dar. Welche Seiten sind gegeben? - Welche Beziehung liefert die Länge der schrägen Wegstrecke? - Welche trigonometrische Funktion verknüpft Höhenunterschied und waagerechte Entfernung?

1. Die waagerechte Entfernung beträgt \(5{,}4\,\text{cm}\cdot10\,000=540\,\text{m}\). 2. Mit Pythagoras ergibt sich für die Weglänge \(L=\sqrt{540^2+380^2}\,\text{m}\approx660{,}3\,\text{m}\). 3. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha)=\frac{380}{540}\). 4. Mit dem ungerundeten Verhältnis folgt \(\alpha=\arctan\left(\frac{380}{540}\right)\approx35{,}1^\circ\).

Die Weglänge beträgt etwa \(660{,}3\,\text{m}\), der durchschnittliche Steigungswinkel etwa \(35{,}1^\circ\).

- Was bedeutet eine Prozentangabe bei einer Steigung für das Verhältnis der Katheten? - Welche Seite im Dreieck entspricht der tatsächlichen Fahrbahnlänge? - Welche Winkelfunktion verbindet die Hypotenuse und den Höhenunterschied?

1. Eine Steigung von \(12\,\%\) bedeutet \(\tan(\alpha)=0{,}12\). Daher ist \(\alpha=\arctan(0{,}12)\approx6{,}8428^\circ\). 2. Die Straßenlänge \(850\,\text{m}\) ist die Hypotenuse. Mit dem ungerundeten Winkel gilt \(h=850\,\text{m}\cdot\sin(\alpha)\approx101{,}2734\,\text{m}\). 3. Gerundet erhält man \(h\approx101{,}3\,\text{m}\) und \(\alpha\approx6{,}8^\circ\).

a) \(h\approx101{,}3\,\text{m}\) b) \(\alpha\approx6{,}8^\circ\)

- Skizziere die Situation für beide Sonnenstände. Wo liegt der Höhenwinkel im Dreieck? - Welche Größe bleibt bei beiden Rechnungen gleich? - Wie verändert sich die Schattenlänge, wenn der Winkel kleiner wird?

1. Für die Masthöhe gilt \(\tan(52^\circ)=\frac{H}{28\,\text{m}}\). Daher ist \(H=28\,\text{m}\cdot\tan(52^\circ)\approx35{,}8384\,\text{m}\). 2. Bei \(30^\circ\) gilt mit der ungerundeten Masthöhe \(\tan(30^\circ)=\frac{H}{s_2}\). Daraus folgt \(s_2=\frac{H}{\tan(30^\circ)}\approx62{,}0739\,\text{m}\). 3. Die Verlängerung ist \(s_2-28\,\text{m}\approx34{,}0739\,\text{m}\).

a) \(H\approx35{,}8\,\text{m}\) b) Der Schatten verlängert sich um etwa \(34{,}1\,\text{m}\).

- Skizziere einen Querschnitt durch die Pyramidenspitze und die Mitte zweier gegenüberliegender Grundkanten. - Welche waagerechte Strecke gehört in diesem Querschnitt zur halben Grundseitenlänge? - Beim Seked wird das Verhältnis aus horizontalem Rücksprung und Höhe auf sieben Handbreiten pro Elle skaliert.

1. Im mittleren Querschnitt beträgt die waagerechte Strecke von der Grundkantenmitte zur Mitte der Grundfläche \(115{,}2\,\text{m}\). 2. Es gilt \(\tan(\alpha)=\frac{146{,}6}{115{,}2}\). Daher ist \(\alpha\approx51{,}84^\circ\). 3. Der Seked ist der horizontale Rücksprung pro Elle Höhe, ausgedrückt in Handbreiten: \(S=\frac{115{,}2}{146{,}6}\cdot7\approx5{,}5007\). 4. Gerundet ist der Seked \(5{,}5\) Handbreiten.

a) \(\alpha\approx51{,}84^\circ\) b) Der Seked beträgt etwa \(5{,}5\) Handbreiten.

- Wie rechnet man eine Prozentangabe in eine Dezimalzahl für die Steigung um? - Welche Strecke im Grundriss entspricht der horizontalen Entfernung von der Mitte einer Grundkante bis zum Mittelpunkt der Grundfläche? - Welcher Satz liefert die Länge des schrägen Glaselements im Querschnitt?

1. Die waagerechte Strecke von der Mitte einer Grundkante zur Grundflächenmitte beträgt \(9\,\text{m}\). Bei \(140\,\%\) Steigung gilt \(1{,}4=\frac{h}{9}\), also \(h=12{,}6\,\text{m}\). 2. Der Neigungswinkel erfüllt \(\tan(\alpha)=1{,}4\). Daher ist \(\alpha=\arctan(1{,}4)\approx54{,}46^\circ\). 3. Das Glaselement ist die Hypotenuse des Querschnittsdreiecks: \(h_s=\sqrt{12{,}6^2+9^2}\,\text{m}=\sqrt{239{,}76}\,\text{m}\approx15{,}48\,\text{m}\).

a) \(h=12{,}6\,\text{m}\) b) \(\alpha\approx54{,}46^\circ\) c) \(h_s\approx15{,}48\,\text{m}\)

- Welche trigonometrische Funktion verbindet Flussbreite und die Strecke \(AC\)? - Vergleiche die beiden Berechnungen erst mit ungerundeten Werten. - Wie verhält sich der Tangens für Winkel, die sich von unten \(90^\circ\) nähern?

1. Es gilt \(\tan(\gamma)=\frac{AB}{AC}\). Für \(72^\circ\) ist \(AB_1=25\,\text{m}\cdot\tan(72^\circ)\approx76{,}94\,\text{m}\). 2. Für \(73^\circ\) ist \(AB_2=25\,\text{m}\cdot\tan(73^\circ)\approx81{,}77\,\text{m}\). 3. Mit den ungerundeten Werten beträgt die Änderung \(AB_2-AB_1\approx4{,}83\,\text{m}\). 4. Für \(\gamma\to90^\circ\) wächst \(\tan(\gamma)\) ohne obere Grenze. Deshalb wächst auch die berechnete Breite ohne obere Grenze und reagiert zunehmend empfindlich auf kleine Winkelfehler.

a) \(AB\approx76{,}94\,\text{m}\) b) Die berechnete Breite ändert sich um etwa \(4{,}83\,\text{m}\). c) Für \(\gamma\to90^\circ\) wächst die berechnete Breite ohne obere Grenze; kleine Winkelfehler wirken sich dann stark aus.

- Was bedeutet eine Prozentangabe für das Verhältnis von Höhe zu horizontaler Länge? - Welche trigonometrische Funktion beschreibt dieses Verhältnis? - Verwende für die Überprüfung in c) den ungerundeten Winkel aus a). - Vergleiche die neue Prozentsteigung mit exakt \(12\,\%\).

1. Eine Steigung von \(6\,\%\) entspricht \(m=0{,}06\). Damit gilt \(\alpha=\arctan(0{,}06)\approx3{,}43^\circ\). 2. Für die horizontale Länge \(l\) gilt \(0{,}06=\frac{0{,}42\,\text{m}}{l}\). Somit ist \(l=7\,\text{m}\). 3. Für die Überprüfung wird der ungerundete Winkel verdoppelt: \(2\alpha\approx6{,}8673^\circ\). 4. Die zugehörige Steigung ist \(\tan(2\alpha)\cdot100\,\%\approx12{,}04\,\%\). Das ist nicht exakt das Doppelte von \(6\,\%\); die Aussage ist daher falsch.

a) \(\alpha\approx3{,}43^\circ\) b) \(l=7\,\text{m}\) c) Beim doppelten Winkel beträgt die Steigung etwa \(12{,}04\,\%\); die Aussage ist falsch.

- Welche Länge musst du aus der quadratischen Grundfläche zunächst selbst bestimmen? - Welche Rollen haben Flächendiagonale und Würfelkante im rechtwinkligen Dreieck? - Welche trigonometrische Funktion verknüpft diese beiden Katheten mit \(\alpha\)?

1. Die Flächendiagonale der quadratischen Grundfläche ist \(d_f=4\sqrt2\,\text{cm}\). 2. Im relevanten rechtwinkligen Dreieck ist \(d_f\) die Ankathete und die Würfelkante \(4\,\text{cm}\) die Gegenkathete zu \(\alpha\). 3. Daher gilt \(\tan(\alpha)=\frac{4}{4\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\). 4. Somit ist \(\alpha=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)\approx35{,}26^\circ\).

\(\alpha\approx35{,}26^\circ\)

- Versuche, die Längen der Diagonalen allgemein mit einer Variablen (z. B. \(a\) oder \(s\)) auszudrücken. - Was passiert mit dem Verhältnis zweier Seiten in einem Dreieck, wenn alle Seiten um denselben Faktor vergrößert werden? - Nutze den Kosinus, um die Beziehung zwischen der Kante und der Raumdiagonalen zu beschreiben.

1. Aufstellen der Formel für die Raumdiagonale \(d_r\): In einem Würfel mit Kantenlänge \(s\) gilt \(d_r = \sqrt{s^2 + s^2 + s^2} = s \cdot \sqrt{3}\). 2. Identifikation des Winkels \(\gamma\) zwischen Raumdiagonale und Kante: In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kante \(s\) (Ankathete) und der Raumdiagonalen \(d_r\) (Hypotenuse) gilt \(\cos(\gamma) = \frac{s}{d_r}\). 3. Einsetzen der Längen: \(\cos(\gamma) = \frac{s}{s \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). 4. Analyse der Abhängigkeit: Da sich die Kantenlänge \(s\) in dem Bruch kürzt, ist der Winkel unabhängig von der Größe des Würfels. Er ist für Würfel A und Würfel B identisch. 5. Berechnung des Winkels: \(\gamma = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54{,}7356^\circ\). 6. Ergebnis: Der Winkel bleibt gleich und beträgt gerundet \(54{,}7^\circ\).

Der Winkel ist bei beiden Würfeln gleich groß, da das Verhältnis der Seitenlängen im betrachteten Dreieck immer gleich bleibt. Der Winkel beträgt etwa \(54{,}7^\circ\).

- Welche Hilfsstrecke entsteht aus den beiden Kanten \(b\) und \(c\)? - Welche Seite des relevanten rechtwinkligen Dreiecks ist die Raumdiagonale? - Welche trigonometrische Funktion verbindet die Grundkante \(a\) direkt mit der Raumdiagonalen?

1. Die Raumdiagonale hat die Länge \(d_r=\sqrt{15^2+8^2+6^2}\,\text{cm}=\sqrt{325}\,\text{cm}\). 2. Im relevanten rechtwinkligen Dreieck ist \(a=15\,\text{cm}\) die Ankathete zu \(\beta\) und \(d_r\) die Hypotenuse. 3. Daher gilt \(\cos(\beta)=\frac{15}{\sqrt{325}}\). 4. Somit ist \(\beta=\arccos\left(\frac{15}{\sqrt{325}}\right)\approx33{,}69^\circ\).

\(\beta\approx33{,}69^\circ\)

- Wie berechnest du die Diagonale einer quadratischen Grundfläche aus ihrer Seitenlänge? - Welche Rollen haben Flächendiagonale und Höhe im rechtwinkligen Dreieck zum Neigungswinkel? - Welche trigonometrische Funktion verbindet diese beiden Katheten?

1. Die Flächendiagonale der quadratischen Grundfläche ist \(d_f=10\sqrt2\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck ist \(d_f\) die Ankathete und \(c\) die Gegenkathete zum Winkel \(40^\circ\). 3. Es gilt \(\tan(40^\circ)=\frac{c}{d_f}\). Daher ist \(c=10\sqrt2\,\text{cm}\cdot\tan(40^\circ)\approx11{,}87\,\text{cm}\).

\(c\approx11{,}87\,\text{cm}\)

- Was weißt du über die Summe von zwei nebeneinanderliegenden Winkeln in einem Parallelogramm? - Zeichne eine Skizze und trage die Höhe ein. Welches Teildreieck entsteht dabei? - Du kannst die Höhe entweder mit dem Nebenwinkel oder direkt mit dem gegebenen Winkel \(\beta\) berechnen.

1. Bestimmung des Winkels \(\alpha\): In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu \(180^\circ\). Also ist \(\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\). 2. Berechnung der Höhe \(h_a\): Die Höhe berechnet sich über den Sinus des Winkels \(\alpha\) und die Seite \(b\): \(h_a = b \cdot \sin(62^\circ) = 9{,}5\,\text{cm} \cdot \sin(62^\circ) \approx 8{,}388\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\): \(A = a \cdot h_a = 15{,}0\,\text{cm} \cdot 8{,}388\,\text{cm} \approx 125{,}82\ldots\,\text{cm}^2\). 4. Gerundetes Ergebnis: \(A \approx 125{,}8\,\text{cm}^2\). Alternativ kann direkt die Formel \(A = a \cdot b \cdot \sin(\beta)\) verwendet werden, da \(\sin(118^\circ) = \sin(62^\circ)\) gilt.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt etwa \(125{,}8\,\text{cm}^2\).

- Zeichne dir das rechtwinklige Teildreieck ein, das Höhe und eine Rhombusseite enthält. - Welche Seite ist dort die Hypotenuse? - Welches Seitenverhältnis beschreibt den Sinus von \(\alpha\)? - Wie hängen benachbarte Innenwinkel eines Parallelogramms zusammen?

1. Im rechtwinkligen Teildreieck ist \(h=4\,\text{cm}\) die Gegenkathete und \(a=6\,\text{cm}\) die Hypotenuse zu \(\alpha\). 2. Daher gilt \(\sin(\alpha)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\). Somit ist \(\alpha=\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\approx41{,}81^\circ\). 3. Benachbarte Innenwinkel eines Rhombus ergänzen sich zu \(180^\circ\). Daher ist \(\beta=180^\circ-\alpha\approx138{,}19^\circ\).

\(\alpha\approx41{,}81^\circ\) und \(\beta\approx138{,}19^\circ\)

- Wenn du die Höhe einzeichnest, entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Wie lang sind deren Katheten? - Mit welchem Satz kannst du die Hypotenuse (den Schenkel) berechnen? - Der Winkel an der Spitze wird durch die Höhe halbiert. Kannst du den halben Winkel zuerst berechnen?

1. Berechnung der Schenkellänge \(s\): Die Höhe teilt die Grundseite in zwei Hälften von je \(5\,\text{cm}\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt: \(s = \sqrt{(5\,\text{cm})^2 + (4\,\text{cm})^2} = \sqrt{25 + 16}\,\text{cm} = \sqrt{41}\,\text{cm} \approx 6{,}40\,\text{cm}\) 2. Berechnung des Winkels \(\gamma\): Für den halben Spitzenwinkel \(\frac{\gamma}{2}\) gilt im rechtwinkligen Teildreieck: \(\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) = \frac{5\,\text{cm}}{4\,\text{cm}} = 1{,}25\) \(\frac{\gamma}{2} = \arctan(1{,}25) \approx 51{,}34^\circ\) \(\gamma = 2 \cdot 51{,}34^\circ \approx 102{,}68^\circ\)

Der Schenkel ist \(s \approx 6{,}40\,\text{cm}\) lang und der Spitzenwinkel beträgt \(\gamma \approx 102{,}68^\circ\).

- Zeichne zwei Höhen ein, um das Trapez in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen. - Wie lang ist das kurze Stück auf der unteren Seite, das außerhalb des Rechtecks liegt? - Welche Winkelfunktion nutzt Ankathete und Hypotenuse? - Welche Beziehung besteht zwischen den Winkeln an einem Schenkel bei parallelen Grundseiten?

1. Berechnung des Basisabschnitts \(x\): In einem gleichschenkligen Trapez ist der Abschnitt auf der Basis \(a\), der unter dem Schenkel liegt, \(x = \frac{a - c}{2} = \frac{9 - 4}{2} = 2{,}5\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Winkels \(\alpha\): In dem rechtwinkligen Dreieck aus Schenkel, Höhe und Abschnitt \(x\) gilt: \(\cos(\alpha) = \frac{x}{b} = \frac{2{,}5\,\text{cm}}{4\,\text{cm}} = 0{,}625\) \(\alpha = \arccos(0{,}625) \approx 51{,}32^\circ\) 3. Berechnung des Winkels \(\gamma\): Da die Grundseiten parallel sind, gilt \(\gamma = 180^\circ - \alpha \approx 180^\circ - 51{,}32^\circ = 128{,}68^\circ\).

Die Winkel betragen \(\alpha \approx 51{,}32^\circ\) und \(\gamma \approx 128{,}68^\circ\).

- Zerlege das Trapez durch Einzeichnen der Höhen. - Berechne zuerst die Höhe und den kleinen Abschnitt auf der Grundseite mithilfe von Sinus und Kosinus. - Wie hängen die Längen der beiden Grundseiten und die kleinen Randabschnitte zusammen?

1. Berechnung der Höhe \(h\): Im rechtwinkligen Dreieck am Rand des Trapezes gilt \(\sin(50^\circ) = \frac{h}{5\,\text{cm}}\). Daher ist \(h = 5\,\text{cm} \cdot \sin(50^\circ) \approx 3{,}83\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Basisabschnitts \(x\): \(\cos(50^\circ) = \frac{x}{5\,\text{cm}}\), also \(x = 5\,\text{cm} \cdot \cos(50^\circ) \approx 3{,}214\,\text{cm}\). 3. Da das Trapez gleichschenklig ist, tritt der Abschnitt \(x\) zweimal auf. Somit gilt \(c = a - 2x = 12\,\text{cm} - 10\,\text{cm} \cdot \cos(50^\circ) \approx 5{,}57\,\text{cm}\).

Die Deckseite ist \(c \approx 5{,}57\,\text{cm}\) lang und die Höhe beträgt \(h \approx 3{,}83\,\text{cm}\).

- Setze alle bekannten Werte in die Flächenformel ein. - Stelle die Formel so um, dass die gesuchte Seitenlänge alleine auf einer Seite steht. - Was musst du rechnen, um \(a\) zu isolieren?

1. Aufstellen der Gleichung mit der Flächenformel: \(1200 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 80 \cdot \sin(40\,^\circ)\). 2. Vereinfachen der rechten Seite: \(1200 = 40 \cdot a \cdot \sin(40\,^\circ)\). 3. Division durch \(40\): \(30 = a \cdot \sin(40\,^\circ)\). 4. Auflösen nach \(a\): \(a = \frac{30}{\sin(40\,^\circ)} \approx 46{,}67\). 5. Runden auf ganze Meter ergibt \(a \approx 47\,\text{m}\).

Die Seite ist \(a \approx 47\,\text{m}\) lang.

- Der gesamte Sehwinkel wird durch die Verbindung zum Mittelpunkt halbiert. - Im Berührpunkt steht der Radius senkrecht auf der Sichttangente. - Welche Rolle spielen Radius und Mittelpunktentfernung im entstehenden rechtwinkligen Dreieck? - Welche trigonometrische Funktion verbindet diese beiden Seiten mit dem halben Sehwinkel?

1. Zwei Tangenten vom Beobachtungspunkt begrenzen den Sehwinkel. Die Verbindung zum Mittelpunkt halbiert ihn, daher beträgt der Winkel im rechtwinkligen Teildreieck \(0{,}75^\circ\). 2. Der Radius \(12\,\text{m}\) ist die Gegenkathete und die gesuchte Entfernung \(d\) die Hypotenuse. 3. Es gilt \(\sin(0{,}75^\circ)=\frac{12\,\text{m}}{d}\). 4. Somit ist \(d=\frac{12\,\text{m}}{\sin(0{,}75^\circ)}\approx916{,}7587\,\text{m}\), also gerundet \(916{,}8\,\text{m}\).

\(d\approx916{,}8\,\text{m}\)

- Zeichne dir zur Veranschaulichung ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln \(r\) und der Basis \(s\) auf. - Wie kannst du in diesem Dreieck den Radius mithilfe der Trigonometrie berechnen, wenn die Basis und der Winkel an der Spitze bekannt sind? - Wenn du den Radius kennst, kannst du die Formel für den Kreisbogen direkt anwenden. - Denke daran, für die Berechnung von \(b\) den ungerundeten Wert von \(r\) zu verwenden, um Rundungsfehler zu vermeiden.

1. Im gleichschenkligen Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne gilt \(s = 2r \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\). Daher ist \(r = \frac{s}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{6\,\text{cm}}{2\sin(25^\circ)} \approx 7{,}10\,\text{cm}\). 2. Für die Bogenlänge wird der ungerundete Radius verwendet: \(b = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 2\pi \cdot 7{,}0986\,\text{cm} \cdot \frac{50}{360} \approx 6{,}19\,\text{cm}\).

Der Radius des Kreises beträgt \(r \approx 7{,}10\,\text{cm}\) und die Länge des Kreisbogens ist \(b \approx 6{,}19\,\text{cm}\).

- Überlege dir, welche Teildreiecke im Rechteck rechtwinklig sind. - Welche Seitenlängen im Dreieck entsprechen der Ankathete und der Gegenkathete des gegebenen Winkels? - Mit welcher trigonometrischen Funktion kannst du die Seiten aus der Hypotenuse berechnen? - Wie berechnet man allgemein die Fläche eines Rechtecks?

1. Das Dreieck \(ADC\) ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei \(D\). Die Diagonale \(AC = e = 9{,}4\,\text{cm}\) ist die Hypotenuse. 2. Die Länge der Seite \(AD\) (Ankathete zu \(38^\circ\)) berechnet sich über den Kosinus: \(AD = 9{,}4\,\text{cm} \cdot \cos(38^\circ) \approx 7{,}407\,\text{cm}\). 3. Die Länge der Seite \(CD\) (Gegenkathete zu \(38^\circ\)) berechnet sich über den Sinus: \(CD = 9{,}4\,\text{cm} \cdot \sin(38^\circ) \approx 5{,}787\,\text{cm}\). 4. Der Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks ist das Produkt der beiden Seitenlängen: \(A = AD \cdot CD \approx 7{,}407\,\text{cm} \cdot 5{,}787\,\text{cm} \approx 42{,}867 \dots\,\text{cm}^2\). 5. Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt sich \(A \approx 42{,}87\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt etwa \(42{,}87\,\text{cm}^2\).

- Zerlege das regelmäßige Achteck gedanklich in acht kongruente gleichschenklige Dreiecke. - Wie groß ist der Mittelpunktswinkel eines dieser Dreiecke? - Welches rechtwinklige Dreieck entsteht, wenn du dieses Dreieck halbierst?

1. Der Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Achtecks beträgt \(360^\circ:8=45^\circ\). Im halbierten Bestimmungsdreieck ist der Winkel am Mittelpunkt daher \(22{,}5^\circ\). 2. Für den Inkreisradius gilt \(\tan(22{,}5^\circ)=\frac{a/2}{r}\). Somit ist \(r=\frac{2\,\text{cm}}{\tan(22{,}5^\circ)}\approx4{,}83\,\text{cm}\). 3. Für den Umkreisradius gilt \(\sin(22{,}5^\circ)=\frac{a/2}{R}\). Somit ist \(R=\frac{2\,\text{cm}}{\sin(22{,}5^\circ)}\approx5{,}23\,\text{cm}\).

\(R\approx5{,}23\,\text{cm}\) und \(r\approx4{,}83\,\text{cm}\)

- Bestimme zuerst den Mittelpunktswinkel des regelmäßigen Fünfecks. - Welche Größen liegen im halbierten gleichschenkligen Bestimmungsdreieck? - Ordne dort Seitenlänge, Umkreisradius und Inkreisradius den trigonometrischen Seitenrollen zu.

1. Der Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt \(360^\circ:5=72^\circ\). Im halbierten Bestimmungsdreieck ist der Winkel am Mittelpunkt daher \(36^\circ\). 2. Für die Seitenlänge gilt \(\sin(36^\circ)=\frac{a/2}{R}\). Daher ist \(a=20\,\text{cm}\cdot\sin(36^\circ)\approx11{,}76\,\text{cm}\). 3. Für den Inkreisradius gilt \(\cos(36^\circ)=\frac{r}{R}\). Daher ist \(r=10\,\text{cm}\cdot\cos(36^\circ)\approx8{,}09\,\text{cm}\).

\(a\approx11{,}76\,\text{cm}\) und \(r\approx8{,}09\,\text{cm}\)

- Welche Angaben bestimmen das rechtwinklige Dreieck aus Mast, Schatten und Sonnenstrahl? - Prüfe jede zusätzliche Zahl darauf, ob sie in diesem Dreieck vorkommt. - Welche trigonometrische Beziehung verbindet Gegenkathete und Ankathete?

1. Für das rechtwinklige Modell werden die Schattenlänge \(7{,}5\,\text{m}\) und die Sonnenhöhe \(38^\circ\) benötigt. Umfang und Abstand zum Eingang beeinflussen die gesuchte Höhe nicht. 2. Es gilt \(\tan(38^\circ)=\frac{h}{7{,}5\,\text{m}}\). 3. Daher ist \(h=7{,}5\,\text{m}\tan(38^\circ)\approx5{,}8596\,\text{m}\). 4. Gerundet ist der Mast \(5{,}9\,\text{m}\) hoch.

a) Benötigt werden Schattenlänge und Sonnenhöhe; Mastumfang und Abstand zum Gebäudeeingang sind irrelevant. b) \(h\approx5{,}9\,\text{m}\)

- Welche beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind durch waagerechte Strecke und Höhenunterschied gegeben? - Für die Grenzfälle musst du den Höhenunterschied einmal verkleinern und einmal vergrößern. - Vergleiche die beiden Grenzwinkel mit dem Winkel aus dem Messwert.

1. Für den Messwert gilt \(\alpha=\arctan\left(\frac{1{,}80}{4{,}00}\right)\approx24{,}2277^\circ\), also \(24{,}2^\circ\). 2. Der kleinste Höhenunterschied ist \(1{,}75\,\text{m}\). Damit ist \(\alpha_{\min}=\arctan\left(\frac{1{,}75}{4{,}00}\right)\approx23{,}6294^\circ\), also \(23{,}6^\circ\). 3. Der größte Höhenunterschied ist \(1{,}85\,\text{m}\). Damit ist \(\alpha_{\max}=\arctan\left(\frac{1{,}85}{4{,}00}\right)\approx24{,}8205^\circ\), also \(24{,}8^\circ\). 4. Eine Höhenunsicherheit von \(\pm0{,}05\,\text{m}\) führt hier zu ungefähr \(-0{,}6^\circ\) beziehungsweise \(+0{,}6^\circ\) Abweichung vom berechneten Winkel.

a) \(\alpha\approx24{,}2^\circ\) b) \(\alpha_{\min}\approx23{,}6^\circ\), \(\alpha_{\max}\approx24{,}8^\circ\) c) Die Messunsicherheit von \(\pm0{,}05\,\text{m}\) verändert den Winkel hier um ungefähr \(\pm0{,}6^\circ\).

- Erinnere dich an die Definition des Tangens als Gegenkathete durch Ankathete. - Welche Größe steht beim Seked im Zähler und welche im Nenner? - Was passiert mit einem Quotienten, wenn nur sein Nenner verdoppelt wird?

1. Bei einer Elle Höhe, also \(7\) Handbreiten, beträgt der horizontale Rücksprung \(S\) Handbreiten. Deshalb ist \(\tan(\alpha)=\frac{7}{S}\). 2. Für \(S=5{,}25\) gilt \(\tan(\alpha)=\frac{7}{5{,}25}=\frac{4}{3}\). Somit ist \(\alpha=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\approx53{,}13^\circ\). 3. Allgemein ist \(S=\frac{a/2}{h}\cdot7\). Wird bei unveränderter Grundfläche \(h\) verdoppelt, halbiert sich dieser Quotient und damit auch \(S\).

a) \(\tan(\alpha)=\frac{7}{S}\) b) \(\alpha\approx53{,}13^\circ\) c) Der Seked halbiert sich.

- Skizziere das Dreieck und ordne Ankathete und Hypotenuse zum Winkel \(\beta\) zu. - Welche trigonometrische Funktion verknüpft diese beiden Seiten? - Was bedeutet \(d=50s\) für den Quotienten \(\frac{s}{d}\)?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABP\) ist \(AB=s\) die Ankathete und \(BP=d\) die Hypotenuse zu \(\beta\). Daher gilt \(\cos(\beta)=\frac{s}{d}\), also \(d=\frac{s}{\cos(\beta)}\). 2. Für \(\beta=88^\circ\) folgt \(d=\frac{10\,\text{km}}{\cos(88^\circ)}\approx286{,}54\,\text{km}\). 3. Aus \(d=50s\) folgt \(\cos(\beta)=\frac{s}{50s}=\frac{1}{50}\). Daher ist \(\beta=\arccos\left(\frac{1}{50}\right)\approx88{,}85^\circ\).

a) \(d=\frac{s}{\cos(\beta)}\) b) \(d\approx286{,}54\,\text{km}\) c) \(\beta\approx88{,}85^\circ\)

- Nutze die Flächenformel für Dreiecke mit Sinus und stelle sie nach der unbekannten Größe um. - Denke daran, dass die Sinusfunktion für Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) symmetrisch zu \(90^\circ\) ist. Es gibt also oft zwei mögliche Winkel. - Welcher der beiden möglichen Winkel passt zur Beschreibung „stumpfwinklig“?

1. Die Flächenformel lautet \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\). 2. Einsetzen der bekannten Werte führt zur Gleichung: \(14 = \frac{1}{2} \cdot 7{,}2 \cdot 5{,}5 \cdot \sin(\gamma)\). 3. Vereinfachen des Produkts: \(14 = 19{,}8 \cdot \sin(\gamma)\). 4. Auflösen nach \(\sin(\gamma)\): \(\sin(\gamma) = \frac{14}{19{,}8} \approx 0{,}70707\). 5. Bestimmung des Winkels: \(\arcsin(0{,}70707) \approx 45{,}0^\circ\). 6. Da das Dreieck laut Aufgabenstellung stumpfwinklig ist, muss der supplementäre Winkel berechnet werden: \(\gamma = 180^\circ - 45{,}0^\circ = 135{,}0^\circ\).

Der stumpfe Winkel \(\gamma\) beträgt \(135{,}0^\circ\).

- Welche beiden Sichtlinien begrenzen den Sehwinkel? - Warum steht der Radius im Berührpunkt senkrecht auf einer Tangente? - Welcher Anteil des gesamten Sehwinkels erscheint im entstehenden rechtwinkligen Dreieck? - Welche trigonometrische Funktion verbindet Radius und Abstand zum Mittelpunkt?

1. Der Radius des Basketballs beträgt \(r=12\,\text{cm}\). 2. Vom Auge zu einem Berührpunkt einer Sichtlinie entsteht mit dem Radius ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel am Auge ist \(\frac{\alpha}{2}\), die Hypotenuse ist \(80\,\text{cm}\) und die Gegenkathete \(12\,\text{cm}\). 3. Daher gilt \(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{12}{80}=0{,}15\). 4. Somit ist \(\alpha=2\arcsin(0{,}15)\approx17{,}2539^\circ\), also gerundet \(17{,}3^\circ\).

\(\alpha\approx17{,}3^\circ\)

- Kannst du das Trapez in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen? - Welche Winkel ergeben sich in den Teildreiecken an der Basis, wenn du die Seitenverhältnisse betrachtest? - Überlege, wie du den Winkel einer Diagonale zur Grundseite mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen kannst. - Nutze die Winkelsumme im Dreieck, das von der Grundseite und den Diagonalen gebildet wird.

1. Zerlege das Trapez in ein Rechteck der Breite \(c\) und zwei rechtwinklige Dreiecke mit der Kathete \(x = \frac{a-c}{2} = \frac{c}{2}\). Im Basisdreieck gilt \(\cos(\alpha) = \frac{c}{2c} = 0{,}5\), also \(\alpha = 60^\circ\). Die Höhe beträgt \(h = c \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}c\). 2. Für den Steigungswinkel der Diagonale ist die Ankathete \(a-x = 2c-0{,}5c = 1{,}5c\). Daher gilt \(\tan(\angle BAC) = \frac{h}{1{,}5c} = \frac{\sqrt{3}}{3}\), also \(\angle BAC = 30^\circ\). 3. Aufgrund der Symmetrie ist auch \(\angle ABD = 30^\circ\). Im Dreieck \(ABM\) folgt damit \(\epsilon = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\).

Der Winkel \(\epsilon\) beträgt \(120^\circ\).

- Überlege, auf welches Höhenniveau sich der Tangenswert zunächst bezieht. - Welche Höhendifferenz muss berücksichtigt werden, bevor du die eigentliche Gebäudehöhe erhältst? - Vergleiche den Unterschied zwischen beiden Modellen mit der vorgegebenen Toleranz.

1. Der Ausdruck \(25{,}0\tan(32^\circ)+1{,}60\) liefert die Höhe der Dachkante über dem Niveau von Linas Standort, berücksichtigt aber nicht, dass der Gebäudefuß \(1{,}20\,\text{m}\) höher liegt. 2. Die Dachkante liegt relativ zu Linas Standort bei \(25{,}0\,\text{m}\tan(32^\circ)+1{,}60\,\text{m}\approx17{,}2217\,\text{m}\). 3. Von diesem Wert wird der Höhenunterschied des Geländes abgezogen: \(h\approx17{,}2217\,\text{m}-1{,}20\,\text{m}=16{,}0217\,\text{m}\). 4. Gerundet ist das Gebäude etwa \(16{,}0\,\text{m}\) hoch. 5. Das vereinfachte Modell überschätzt die Gebäudehöhe um \(1{,}20\,\text{m}\). Das ist größer als die erlaubte Toleranz von \(0{,}5\,\text{m}\), daher ist das Modell nicht ausreichend.

a) Das vereinfachte Modell ignoriert den \(1{,}20\,\text{m}\) höheren Gebäudefuß. b) \(h\approx16{,}0\,\text{m}\) c) Nein. Der Modellfehler beträgt \(1{,}20\,\text{m}\) und überschreitet die Toleranz von \(0{,}5\,\text{m}\).