- Lies die beiden Seitenlängen direkt aus der Abbildung ab. - Für das arithmetische Mittel werden beide Werte addiert und anschließend durch ihre Anzahl geteilt. - Der Mittelwert muss zwischen den beiden abgelesenen Seitenlängen liegen.

1. Die Seitenlängen des Rechtecks sind \(4\,\text{LE}\) und \(3\,\text{LE}\). 2. Ihr arithmetisches Mittel ist \(x_1=(4\,\text{LE}+3\,\text{LE}):2=3{,}5\,\text{LE}\).

\(x_1=3{,}5\,\text{LE}\)

- Setze den gegebenen Startwert an beiden Stellen der Heronformel ein. - Berechne zuerst den Quotienten innerhalb der Klammer. - Prüfe anschließend, ob dein Näherungswert zwischen den benachbarten ganzen Zahlen zu \(\sqrt{6}\) liegt.

1. Einsetzen von \(x_0=2\) ergibt \(x_1=\frac{1}{2}\left(2+\frac{6}{2}\right)\). 2. Damit ist \(x_1=\frac{1}{2}(2+3)=2{,}5\).

\(x_1=2{,}5\)

- Der Flächeninhalt bleibt bei jedem Rechteck gleich. Nutze für die jeweils unbekannte Seite die Beziehung zwischen Fläche und Seitenlängen. - Die neue Seite \(a_1\) entsteht als arithmetisches Mittel der beiden bisherigen Seitenlängen. - Vergleiche in d) das Quadrat der Näherung mit dem Flächenwert \(18\).

1. Für das Ausgangsrechteck gilt \(a_0b_0=18\,\text{cm}^2\). Daher ist \(b_0=18\,\text{cm}^2 {:} 6\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). 2. Der Mittelwert der beiden Seitenlängen ist \(a_1=\frac{6\,\text{cm}+3\,\text{cm}}{2}=4{,}5\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt bleibt unverändert, also gilt \(b_1=18\,\text{cm}^2 {:} 4{,}5\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). 4. Das Quadrat der neuen Annäherung ist \(a_1^2=(4{,}5\,\text{cm})^2=20{,}25\,\text{cm}^2\). 5. Die absolute Abweichung beträgt \(\left|20{,}25\,\text{cm}^2-18\,\text{cm}^2\right|=2{,}25\,\text{cm}^2\).

a) \(b_0=3\,\text{cm}\) b) \(a_1=4{,}5\,\text{cm}\) c) \(b_1=4\,\text{cm}\) d) \(a_1^2=20{,}25\,\text{cm}^2\); die absolute Abweichung beträgt \(2{,}25\,\text{cm}^2\).

- Setze den jeweils letzten Näherungswert in die Heron-Formel ein. - Rechne mit Brüchen, damit in den ersten beiden Schritten keine Rundungsfehler entstehen. - Für Teil b) quadrierst du den zweiten Näherungswert und vergleichst ihn anschließend mit der Zielzahl \(2\).

1. Der erste Heron-Schritt ergibt \(x_1 = \frac{1}{2}\left(x_0 + \frac{2}{x_0}\right) = \frac{1}{2}(1 + 2) = \frac{3}{2}\). 2. Der zweite Heron-Schritt ergibt \(x_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{2}{\frac{3}{2}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\right) = \frac{17}{12}\). 3. Es ist \(x_2^2 = \left(\frac{17}{12}\right)^2 = \frac{289}{144}\). 4. Damit beträgt die Differenz \(x_2^2 - 2 = \frac{289}{144} - \frac{288}{144} = \frac{1}{144}\).

a) \(x_1 = \frac{3}{2}\), \(x_2 = \frac{17}{12}\) b) \(x_2^2 - 2 = \frac{1}{144}\)

- Eine absolute Abweichung ist der Betrag aus Näherungswert minus Referenzwert. - Die Breite eines Intervalls ist obere Grenze minus untere Grenze. - Vergleiche nicht nur die Anzahl der Dezimalstellen, sondern die tatsächlich verbleibende Unsicherheit.

1. Die absolute Abweichung der zweiten Heron-Näherung beträgt \(|3{,}162281-3{,}162278|=0{,}000003\). 2. Die Breite des Intervalls ist \(3{,}17-3{,}16=0{,}01\). 3. Die Heron-Näherung liegt hier nur etwa \(0{,}000003\) vom Referenzwert entfernt. Die Intervallschachtelung grenzt den Wert dagegen lediglich auf ein Intervall der Breite \(0{,}01\) ein. 4. Für die angegebenen Schritte liefert daher das Heron-Verfahren deutlich schneller eine hohe numerische Genauigkeit. Die Intervallschachtelung hat dafür den Vorteil, eine sichere obere und untere Schranke anzugeben.

a) \(0{,}000003\) b) \(0{,}01\) c) Das Heron-Verfahren ist hier genauer; seine angegebene Näherung weicht nur etwa \(0{,}000003\) ab, während das Intervall noch die Breite \(0{,}01\) hat.

- Welche allgemeine Rechenvorschrift gehört zum Heron-Verfahren für \(\sqrt{a}\)? - Achte darauf, im nächsten Schritt wirklich den vorherigen Näherungswert zu verwenden. - Was bleibt von Schritt zu Schritt gleich, und was wird jeweils neu eingesetzt?

1. Für \(\sqrt{10}\) lautet die Heron-Rekursion \(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{10}{x_n}\right)\). 2. Es ist \(x_1=\frac{1}{2}\left(3+\frac{10}{3}\right)=\frac{19}{6}\approx3{,}166667\). 3. Danach gilt \(x_2=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{6}+\frac{10}{19/6}\right)=\frac{721}{228}\approx3{,}162281\). 4. Für den nächsten Schritt setzt man \(x_2\) wieder in dieselbe Vorschrift ein: \(x_3=\frac{1}{2}\left(x_2+\frac{10}{x_2}\right)\). 5. Es handelt sich um eine Iteration, weil dieselbe Rechenvorschrift wiederholt auf den jeweils zuletzt erhaltenen Näherungswert angewendet wird.

a) \(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{10}{x_n}\right)\) b) \(x_1=\frac{19}{6}\approx3{,}166667\), \(x_2=\frac{721}{228}\approx3{,}162281\) c) \(x_3=\frac{1}{2}\left(x_2+\frac{10}{x_2}\right)\) d) Dieselbe Rechenvorschrift wird immer wieder auf den vorherigen Näherungswert angewendet.

- Nutze die Iterationsformel \(x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{A}{x_n})\) mit \(A = 10\). - Rechne in den ersten Schritten mit Brüchen, um Rundungsfehler zu vermeiden. - Wie gehst du allgemein vor, wenn im Nenner eines Bruchs selbst ein Bruch steht? - Prüfe nach jedem Schritt, ob dein neuer Näherungswert in der erwarteten Größenordnung liegt.

1. Erster Schritt \(x_1\): \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot (3 + \frac{10}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9+10}{3} = \frac{19}{6}\). 2. Zweiter Schritt \(x_2\): \(x_2 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{6} + \frac{10}{\frac{19}{6}}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{6} + \frac{60}{19}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{361 + 360}{114} = \frac{721}{228}\). 3. Dezimalwert von \(x_2\): \(721 {:} 228 \approx 3{,}162281\). 4. Quadrat von \(x_2\): \((\frac{721}{228})^2 = \frac{519841}{51984} \approx 10{,}0000192\). 5. Differenz zu \(10\): \(10{,}0000192 - 10 = 0{,}0000192\).

a) \(x_1 = \frac{19}{6}\) und \(x_2 = \frac{721}{228}\) b) \(x_2 \approx 3{,}162281\) c) Das Quadrat \(x_2^2\) weicht um ca. \(0{,}0000192\) von \(10\) ab.

- Führe die Formel für beide Startwerte getrennt aus. - Vergleiche den Abstand der berechneten Werte zum Zielwert. - Welche beiden Zahlen werden in einem Heron-Schritt jeweils gemittelt, und wie hängen sie vom Startwert ab?

1. Berechnung für Schüler A \((x_0 = 1{,}5 = \frac{3}{2})\): \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{2}{\frac{3}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{4}{3}) = \frac{17}{12} \approx 1{,}4166667\). 2. Berechnung für Schüler B \((x_0 = 2)\): \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot (2 + \frac{2}{2}) = 1{,}5\). 3. Vergleich der Fehler: Fehler A: \(|1{,}4166667 - 1{,}4142136| \approx 0{,}0024531\). Fehler B: \(|1{,}5 - 1{,}4142136| \approx 0{,}0857864\). 4. Damit liefert der Startwert \(1{,}5\) in diesem Vergleich nach einem Schritt die genauere Näherung. 5. Der Startwert bestimmt die beiden Größen \(x_0\) und \(\frac{2}{x_0}\), aus denen der nächste Mittelwert entsteht. Deshalb kann ein anderer Startwert schon im ersten Schritt zu einem anderen Fehler führen; für die beiden gegebenen Startwerte zeigt der direkte Fehlervergleich den Vorteil von \(1{,}5\).

a) Schüler A erhält \(x_1 \approx 1{,}4167\); Schüler B erhält \(x_1 = 1{,}5\). b) Der Startwert \(1{,}5\) liefert nach einem Schritt das genauere Ergebnis. c) Der Startwert verändert die beiden Größen, deren Mittelwert im Heron-Schritt gebildet wird, und damit den Fehler des nächsten Näherungswerts. Für diese beiden Startwerte ist \(1{,}5\) günstiger; aus der Nähe von \(x_0^2\) zur Zielzahl allein folgt jedoch keine allgemeine Regel zur Konvergenzgeschwindigkeit.

- Bilde für Teil a) das arithmetische Mittel aus \(3\) und \(\frac{10}{3}\). - Um einen positiven Wert mit \(\sqrt{10}\) zu vergleichen, kannst du sein Quadrat mit \(10\) vergleichen. - Nutze in Teil c) das feste Produkt \(x_n \cdot \frac{10}{x_n} = 10\).

1. Der erste Näherungswert ist \(x_1 = \frac{1}{2}\left(3 + \frac{10}{3}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{19}{3} = \frac{19}{6}\). 2. Es gilt \(x_1^2 = \left(\frac{19}{6}\right)^2 = \frac{361}{36}\). Weil \(361 > 360\), ist \(\frac{361}{36} > 10\). Da \(x_1 > 0\), folgt \(x_1 > \sqrt{10}\). 3. Für \(x_n > \sqrt{10} > 0\) gilt \(x_n \cdot \frac{10}{x_n} = 10\). Wären beide Faktoren größer als \(\sqrt{10}\), wäre ihr Produkt größer als \(10\). Daher muss \(\frac{10}{x_n} < \sqrt{10}\) gelten.

a) \(x_1 = \frac{19}{6}\) b) \(x_1 > \sqrt{10}\), denn \(x_1^2 = \frac{361}{36} > 10\). c) Die beiden positiven Faktoren \(x_n\) und \(\frac{10}{x_n}\) haben das Produkt \(10\). Liegt der erste über \(\sqrt{10}\), muss der zweite unter \(\sqrt{10}\) liegen.

- Verwende für jeden Schritt \(x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{13}{x_n}\right)\). - Runde den ersten Wert nur für die verlangte Angabe; verwende für die nächste Iteration möglichst viele Stellen. - Vergleiche die Nachkommastellen von links nach rechts und stoppe bei der ersten Abweichung.

1. Der erste Näherungswert ist \(x_1 = \frac{1}{2}\left(3{,}5 + \frac{13}{3{,}5}\right) = \frac{1}{2}(3{,}5 + 3{,}7142857\dots) = 3{,}6071428\dots\). Auf vier Nachkommastellen gerundet ist \(x_1 \approx 3{,}6071\). 2. Mit dem ungerundeten Zwischenwert ergibt der nächste Heron-Schritt \(x_2 = \frac{1}{2}\left(x_1 + \frac{13}{x_1}\right) \approx 3{,}6055516\dots\). 3. Der Vergleich lautet \(x_2 \approx 3{,}6055516\dots\) und \(\sqrt{13} \approx 3{,}605551275\dots\). 4. Die ersten sechs Nachkommastellen sind bei beiden Zahlen \(605551\). Erst die siebte Nachkommastelle unterscheidet sich.

a) \(x_1 \approx 3{,}6071\), \(x_2 \approx 3{,}6055516\) b) Die ersten sechs Nachkommastellen stimmen überein.

- Setze den jeweils letzten Näherungswert in die Iterationsformel ein. - Rechne zunächst mit Brüchen, um Rundungsfehler zu vermeiden. - Bilde für den absoluten Fehler den Betrag der Differenz. - Runde beide Werte nacheinander auf vier und fünf Nachkommastellen.

1. \(x_1 = \frac{1}{2}\left(2 + \frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{4} = 2{,}25\). 2. \(x_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{9}{4} + \frac{5}{\frac{9}{4}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{9}{4} + \frac{20}{9}\right) = \frac{161}{72} \approx 2{,}236111\). 3. Mit \(\sqrt{5} \approx 2{,}236068\) beträgt der absolute Fehler \(\left|\frac{161}{72} - \sqrt{5}\right| \approx 0{,}000043\). 4. Auf vier Nachkommastellen gerundet ergeben beide Werte \(2{,}2361\). Auf fünf Nachkommastellen unterscheiden sie sich: \(x_2 \approx 2{,}23611\), während \(\sqrt{5} \approx 2{,}23607\) gilt. Daher stimmen sie gerundet auf vier Nachkommastellen überein.

a) \(x_1 = \frac{9}{4} = 2{,}25\), \(x_2 = \frac{161}{72} \approx 2{,}236111\). b) Absoluter Fehler: ungefähr \(0{,}000043\). Gerundet stimmen \(x_2\) und \(\sqrt{5}\) auf vier Nachkommastellen überein.

- Welche Gleichung verbindet die beiden Seitenlängen eines Rechtecks mit seinem Flächeninhalt? - Drücke zuerst die unbekannte zweite Seitenlänge durch \(a\) und \(x_n\) aus. - Setze anschließend beide Seitenlängen in die im Text genannte Mittelwert-Idee ein. - Was ist geometrisch besonders an einem Rechteck mit zwei gleich langen Seiten?

1. Sei \(y_n\) die zweite Seitenlänge. Wegen des Flächeninhalts gilt \(x_ny_n=a\). Da \(x_n>0\), folgt \(y_n=\frac{a}{x_n}\). 2. Die nächste Näherung ist der arithmetische Mittelwert der beiden Seitenlängen. Daher gilt \(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\). 3. Für \(x_n=\sqrt{a}\) ist \(\frac{a}{x_n}=\sqrt{a}\). Somit gilt \(x_{n+1}=\sqrt{a}\). Geometrisch sind dann beide Rechteckseiten gleich lang; das Rechteck ist bereits ein Quadrat.

a) \(\frac{a}{x_n}\) b) \(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\) c) Für \(x_n=\sqrt{a}\) gilt \(x_{n+1}=\sqrt{a}\); das Rechteck ist dann bereits ein Quadrat.