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- Überlege, wie viele Nullen die jeweilige Zahl hat und wie viele noch fehlen, um auf die sechs Nullen der Million zu kommen. - Wie oft passt die kleinere Zahl in die größere? - Du kannst die Stellenwerttafel zu Hilfe nehmen.

1. Berechnung für Tausender: \(1\,000\,000 : 1000 = 1000\). Es werden \(1000\) Tausender benötigt. 2. Berechnung für Zehntausender: \(1\,000\,000 : 10\,000 = 100\). Es werden \(100\) Zehntausender benötigt. 3. Berechnung für Hunderttausender: \(1\,000\,000 : 100\,000 = 10\). Es werden \(10\) Hunderttausender benötigt.

a) \(1000\) Tausender b) \(100\) Zehntausender c) \(10\) Hunderttausender

- Prüfe jeweils, wie oft der Divisor vollständig in die Zahl passt. - Der Rest muss immer kleiner als der Divisor sein. - Kontrolliere mit \(\text{Quotient} \cdot \text{Divisor} + \text{Rest}\), ob du wieder die Ausgangszahl erhältst.

1. Bei der Division durch \(10\) gilt: \(5420 : 10 = 542\) und \(5427 : 10 = 542\) Rest \(7\). 2. Bei der Division durch \(100\) gilt: \(19\,300 : 100 = 193\), \(19\,306 : 100 = 193\) Rest \(6\) und \(19\,340 : 100 = 193\) Rest \(40\).

a) \(542\) b) \(542\) Rest \(7\) c) \(193\) d) \(193\) Rest \(6\) e) \(193\) Rest \(40\)

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Zahl mit 10 multiplizierst. - Wie viele Nullen kommen bei jedem Schritt dazu? - Kannst du die Anzahl der Zehner zählen und daraus das Ergebnis ableiten?

1. Multiplikation der ersten beiden Zahlen: \(10 \cdot 10 = 100\) 2. Multiplikation des Ergebnisses mit der nächsten 10: \(100 \cdot 10 = 1000\) 3. Fortsetzung der Multiplikation: \(1000 \cdot 10 = 10\,000\) 4. Nächster Schritt: \(10\,000 \cdot 10 = 100\,000\) 5. Letzter Schritt: \(100\,000 \cdot 10 = 1\,000\,000\)

\(1\,000\,000\)

- Vergleiche bei jeder Aufgabe die Größenordnung von Ausgangszahl und Ergebnis. - Überlege, wie viele Zehnerfaktoren im Divisor oder Faktor stecken. - Kontrolliere eine Division durch die passende Umkehraufgabe.

1. \(300\,000 : 100 = 3000\). 2. \(30\,000 : 10 = 3000\). 3. \(300\,000 : 1000 = 300\). 4. \(3000 \cdot 100 = 300\,000\).

a) \(3000\) b) \(3000\) c) \(300\) d) \(300\,000\)

- Erinnere dich an die Regel: Zehn Einheiten eines Stellenwerts ergeben immer eine Einheit des nächstgrößeren Stellenwerts. - Was passiert, wenn du diesen Schritt zweimal hintereinander ausführst?

1. \(10 \cdot 100\,000 = 1\,000\,000\). Das entspricht \(1\) Million. 2. \(10 \cdot 10\,000 = 100\,000\). Das entspricht \(1\) Hunderttausender. 3. \(100 \cdot 10\,000 = 1\,000\,000\). Das entspricht \(1\) Million.

a) \(1\) Million b) Hunderttausender c) \(1\) Million

- Vergleiche zuerst, welchen Wert ein einzelnes Plättchen in den verschiedenen Spalten hat. - Für den größtmöglichen Wert müssen die Plättchen vor dem Bündeln an der höchstmöglichen Stelle liegen. - Prüfe anschließend, ob \(10\) Plättchen in einer Stelle bereits gebündelt werden müssen.

1. Für den größtmöglichen Wert liegen alle \(10\) Plättchen zunächst in der höchsten vorhandenen Spalte, also bei den Hunderttausendern (HT). 2. Diese Anordnung ist noch nicht die gebündelte Stellenwertdarstellung, denn \(10\) Hunderttausender werden zu einer Einheit des nächsthöheren Stellenwerts gebündelt. 3. \(10 \cdot 100\,000 = 1\,000\,000\). Die gebündelte Zahl ist also \(1\,000\,000\), in Worten „eine Million“.

a) Hunderttausender (HT) b) \(1\,000\,000\); eine Million

- Überlege dir zuerst, wie viele Tausenderpakete in der Zahl stecken. - Eine Stellenwerttafel kann dir helfen, keine Stelle zu vergessen. - Was passiert mit einer Zahl, wenn man eine Null in der Mitte einfach weglässt? - Erinnere dich daran, dass die Null anzeigt, dass ein bestimmter Stellenwert „leer“ ist.

1. Analyse der Wortform: Die Zahl besteht aus \(40\) Tausendern und \(800\). 2. Aufteilung in Stellenwerte: \(40\) Tausender entsprechen \(4\) Zehntausendern und \(0\) Tausendern. Hinzu kommen \(8\) Hunderter. Da keine weiteren Werte genannt werden, sind es \(0\) Zehner und \(0\) Einer. 3. Ergebnis Stellenwerte: \(4\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(8\) Hunderter, \(0\) Zehner, \(0\) Einer. 4. Ziffernschreibweise: Durch Zusammensetzen der Stellen ergibt sich \(40\,800\). 5. Begründung der Nullen: Die Null an der Tausenderstelle zeigt an, dass kein einzelner Tausender (zusätzlich zu den Zehntausendern) vorhanden ist. Die Null an der Zehnerstelle zeigt an, dass keine Zehner vorhanden sind. Die Nullen dienen als Platzhalter, damit die anderen Ziffern an ihrem richtigen Stellenwert stehen.

a) \(4\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(8\) Hunderter, \(0\) Zehner, \(0\) Einer. b) \(40\,800\). c) Die Nullen stehen dort, weil diese Stellenwerte (Tausender und Zehner) in der Zahl nicht mit anderen Ziffern besetzt sind. Sie dienen als Platzhalter.

- Überlege dir zuerst, wie die Zahlen in einer Stellenwerttafel aussehen würden. - Welchen Wert hat eine 5, wenn sie an der Tausenderstelle steht? Welchen Wert hat sie an der Zehnerstelle? - Stell dir die Null wie eine leere Schachtel vor, die den Platz für einen bestimmten Wert freihält.

1. Umwandlung von Worten in Ziffern: „fünfzigtausendachthundert“ entspricht \(50\,800\); „fünftausendacht“ entspricht \(5008\). 2. Bestimmung der Nullstellen für \(50\,800\): Die Ziffer 0 steht an der Tausenderstelle, der Zehnerstelle und der Einerstelle. 3. Analyse des Stellenwerts: In der Zahl \(5008\) steht die 5 an der Tausenderstelle und hat den Wert \(5000\). 4. Vergleich: In der Zahl \(58\) steht die 5 an der Zehnerstelle und hat nur noch den Wert \(50\). Ohne die Nullen als Platzhalter rückt die 5 an eine viel kleinere Stelle, und der Gesamtwert der Zahl verringert sich drastisch.

a) \(50\,800\) und \(5008\). b) An der Tausenderstelle, der Zehnerstelle und der Einerstelle. c) Die 5 würde von der Tausenderstelle auf die Zehnerstelle rutschen. Ihr Wert würde sich von \(5000\) auf \(50\) verringern.

- Stelle dir vor, du bildest immer Gruppen zu \(10\). Wie hängt die Anzahl voller Gruppen mit der Division zusammen? - Prüfe bei Zahlen, die nicht glatt durch \(10\) teilbar sind, was nach den vollständigen Gruppen übrig bleibt. - Kontrolliere deine Ergebnisse, indem du volle Schachteln und übrige Bleistifte wieder zusammensetzt.

1. Berechnung der Schachtelanzahl für \(860\) Bleistifte: \(860 : 10 = 86\). 2. Berechnung der Schachtelanzahl für \(2400\) Bleistifte: \(2400 : 10 = 240\). 3. Division mit Rest für \(347\) Bleistifte: \(347 : 10 = 34\) Rest \(7\). Es können \(34\) Schachteln gefüllt werden, \(7\) Stifte bleiben übrig. 4. Bestimmung des Rests für \(1005\) Bleistifte: \(1005 : 10 = 100\) Rest \(5\). Es bleiben \(5\) Bleistifte übrig.

a) \(86\) Schachteln b) \(240\) Schachteln c) \(34\) Schachteln werden voll, \(7\) Bleistifte bleiben übrig d) \(5\) Bleistifte bleiben übrig

- Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie durch \(10\) oder \(100\) teilt? - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts. - Kannst du die Nullen beim Teilen geschickt nutzen? - Zerlege bei der Division durch \(3\) oder \(4\) die Zahl so, dass sich die von null verschiedenen Teile leicht teilen lassen.

1. Bei a) gilt zuerst \(400\,000 : 10 = 40\,000\), dann \(40\,000 : 10 = 4000\) und schließlich \(4000 : 4 = 1000\). 2. Bei b) gilt zuerst \(90\,000 : 10 = 9000\), dann \(9000 : 3 = 3000\) und schließlich \(3000 : 10 = 300\). 3. Bei c) gilt zuerst \(1\,000\,000 : 100 = 10\,000\), dann \(10\,000 : 10 = 1000\) und schließlich \(1000 : 10 = 100\).

a) \(1000\) b) \(300\) c) \(100\)

- Rechne zuerst alle bereits festgelegten Schritte aus. - Wenn eine Lücke vor einem bekannten Endwert steht, kannst du auch vom Endwert rückwärts denken. - Prüfe jede eingesetzte Zahl anschließend in der vollständigen Kettenrechnung.

1. Bei a) gilt zuerst \(280\,000 : 10 = 28\,000\). Von \(28\,000\) zu \(2800\) wird noch einmal durch \(10\) geteilt. 2. Bei b) kann rückwärts gerechnet werden: Vor der letzten Division durch \(10\) muss \(4500\) stehen. Damit gilt \(450\,000 : 100 = 4500\). 3. Bei c) gilt \(1\,000\,000 : 10 : 10 = 10\,000\). Von \(10\,000\) zu \(100\) wird durch \(100\) geteilt.

a) \(10\) b) \(100\) c) \(100\)

- Vergleiche Ausgangswert und Zielwert: Um welchen Faktor unterscheiden sie sich? - Prüfe, ob der gesuchte Faktor die Zahl vergrößern oder verkleinern muss. - Setze deinen Kandidaten in die vollständige Rechnung ein und kontrolliere das Ergebnis.

1. \(50\,000 : 100 = 500\). 2. \(500 \cdot 1000 = 500\,000\). 3. \(500\,000 : 10 = 50\,000\). 4. \(5000 \cdot 10 = 50\,000\).

a) \(100\) b) \(1000\) c) \(10\) d) \(10\)

- Achte darauf, ob durch \(100\) oder \(1000\) geteilt wird. - Bei einer Division mit Rest muss der Rest kleiner als der Divisor sein. - Für die rückwärts gestellte Aufgabe kannst du Quotient, Divisor und Rest wieder zur Ausgangszahl zusammensetzen.

1. \(34\,500 : 100 = 345\). 2. \(6780 : 100 = 67\) Rest \(80\). 3. \(125\,000 : 1000 = 125\). 4. Für d) wird die Ausgangszahl mit der Umkehraufgabe bestimmt: \(8 \cdot 100 + 15 = 815\). 5. \(89\,432 : 1000 = 89\) Rest \(432\).

a) \(345\) b) \(67\;\text{Rest}\;80\) c) \(125\) d) \(815\) e) \(89\;\text{Rest}\;432\)

- Überlege dir, an welcher Stelle in der Zahl jede Ziffer stehen muss. - Denk daran, dass eine Null an einer Stelle den Wert dieser Stelle auf Null setzt, aber als Platzhalter wichtig ist. - Im Deutschen werden Zahlen bis eine Million meistens als ein langes Wort zusammengeschrieben.

1. Die Stellenwerte werden der Reihe nach von links nach rechts (HT, ZT, T, H, Z, E) zusammengesetzt: \(5\) Hunderttausender, \(2\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(8\) Hunderter, \(4\) Zehner und \(1\) Einer ergeben die Ziffernfolge \(520\,841\). 2. Zur Umwandlung in Worte wird die Zahl in den Tausender-Teil (\(520\)) und den Rest (\(841\)) zerlegt. 3. \(520\) Tausend spricht man als „fünfhundertzwanzigtausend“. 4. \(841\) spricht man als „achthunderteinundvierzig“. 5. Zusammengesetzt ergibt dies: fünfhundertzwanzigtausendachthunderteinundvierzig.

Ziffernfolge: \(520\,841\) In Worten: fünfhundertzwanzigtausendachthunderteinundvierzig

- Überlege, was bei jedem einzelnen Faktor \(10\) oder \(100\) mit dem Stellenwert geschieht. - Kannst du die Stufenzahlen zuerst zu einem einzigen Faktor zusammenfassen? - Vergleiche am Ende, ob beide Wege zum selben Ergebnis führen.

1. Schrittweise ergibt sich \(52 \cdot 10 = 520\), dann \(520 \cdot 10 = 5200\) und schließlich \(5200 \cdot 10 = 52\,000\). Zusammengefasst gilt \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\), also \(52 \cdot 1000 = 52\,000\). 2. Schrittweise ergibt sich \(81 \cdot 100 = 8100\) und \(8100 \cdot 100 = 810\,000\). Zusammengefasst gilt \(100 \cdot 100 = 10\,000\), also \(81 \cdot 10\,000 = 810\,000\). 3. Schrittweise ergibt sich \(125 \cdot 10 = 1250\) und \(1250 \cdot 100 = 125\,000\). Zusammengefasst gilt \(10 \cdot 100 = 1000\), also \(125 \cdot 1000 = 125\,000\).

a) Schrittweise: \(52 \cdot 10 = 520\), \(520 \cdot 10 = 5200\), \(5200 \cdot 10 = 52\,000\); zusammengefasst: \(52 \cdot 1000 = 52\,000\). b) Schrittweise: \(81 \cdot 100 = 8100\), \(8100 \cdot 100 = 810\,000\); zusammengefasst: \(81 \cdot 10\,000 = 810\,000\). c) Schrittweise: \(125 \cdot 10 = 1250\), \(1250 \cdot 100 = 125\,000\); zusammengefasst: \(125 \cdot 1000 = 125\,000\).

- Rechne in jeder Tabellenzeile die beiden Divisionen nacheinander aus. - Vergleiche das zweite Ergebnis mit der Ausgangszahl: Welcher Gesamtfaktor wurde durch zweimaliges Teilen durch \(10\) erreicht? - Kontrolliere eine Zeile rückwärts durch zweimaliges Multiplizieren mit \(10\).

1. \(45\,000 : 10 = 4500\), dann \(4500 : 10 = 450\). 2. \(12\,300 : 10 = 1230\), dann \(1230 : 10 = 123\). 3. \(800 : 10 = 80\), dann \(80 : 10 = 8\). 4. \(7000 : 10 = 700\), dann \(700 : 10 = 70\).

Zeile 1: \(4500\), \(450\) Zeile 2: \(1230\), \(123\) Zeile 3: \(80\), \(8\) Zeile 4: \(700\), \(70\)

- Zähle die Plättchen in jeder Spalte genau ab. - Achte besonders auf die Spalten, in denen keine Plättchen liegen. Welche Ziffer musst du dort schreiben? - Schreibe die gefundenen Ziffern in der richtigen Reihenfolge hintereinander auf.

1. Ablesen der Plättchenanzahl für Tafel a): \(2\) HT, \(0\) ZT, \(6\) T, \(3\) H, \(9\) Z, \(5\) E. Die Zahl lautet \(206\,395\). 2. Ablesen der Plättchenanzahl für Tafel b): \(5\) HT, \(4\) ZT, \(1\) T, \(0\) H, \(2\) Z, \(8\) E. Die Zahl lautet \(541\,028\).

a) \(206\,395\) b) \(541\,028\)

- Lies die Ausgangszahl zuerst aus der Stellenwerttafel ab. - Verfolge getrennt, in welcher Spalte ein Plättchen weggenommen und in welcher es hinzugefügt wird. - Vergleiche den Wert desselben Plättchens vor und nach dem Verschieben.

1. Die Stellenwerttafel zeigt \(4\) Zehntausender, \(1\) Tausender, \(2\) Hunderter, \(5\) Zehner und \(0\) Einer, also \(41\,250\). 2. Nach dem Verschieben liegen \(3\) Plättchen bei ZT und \(2\) Plättchen bei T; H, Z und E bleiben unverändert. 3. Die neue Zahl ist \(32\,250\). 4. Die Verringerung beträgt \(41\,250 - 32\,250 = 9000\). Das entspricht dem Wertverlust beim Verschieben eines Plättchens von ZT nach T.

a) Die neue Zahl lautet \(32\,250\). b) Der Wert der Zahl hat sich um \(9000\) verringert.

- Gehe Spalte für Spalte von links nach rechts vor. - Notiere dir die Anzahl der Plättchen für jede Stelle als Ziffer.

1. Zähle die Plättchen in jeder Spalte: \(ZT = 3\), \(T = 8\), \(H = 2\), \(Z = 5\), \(E = 9\). 2. Setze die Ziffern zur Zahl zusammen: \(38\,259\).

Die Zahl heißt \(38\,259\).

- Lies die Ausgangszahl direkt aus den vier Spalten der Abbildung ab. - Was ändert sich in der H-Spalte und was gleichzeitig in der Z-Spalte? - Lies nach dem Verschieben alle Stellen noch einmal von links nach rechts ab.

1. Die Tabelle zeigt \(1\) Tausender, \(4\) Hunderter, \(2\) Zehner und \(6\) Einer, also \(1426\). 2. Nach dem Verschieben bleiben \(3\) Hunderter und es liegen \(3\) Plättchen bei den Zehnern. 3. Die neue Stellenwertdarstellung ist \(1\) T, \(3\) H, \(3\) Z und \(6\) E. 4. Daraus entsteht die Zahl \(1336\).

Die neue Zahl heißt \(1336\).

- Lies zuerst jede besetzte Spalte der dargestellten Tabelle ab. - Gesucht ist eine Verschiebung zu einem niedrigeren Stellenwert, deren Wertverlust genau \(9\) beträgt. - Kontrolliere die neue Zahl anschließend direkt aus der veränderten Plättchenzahl jeder Spalte.

1. Die Tabelle zeigt \(4\) Tausender, \(0\) Hunderter, \(3\) Zehner und \(2\) Einer, also \(4032\). 2. Beim Verschieben eines Plättchens von Z nach E verliert die Zahl \(10\) und gewinnt \(1\). Die Änderung ist damit \(1 - 10 = -9\). 3. Nach der Verschiebung liegen \(2\) Zehner und \(3\) Einer vor. Die neue Zahl ist \(4023\).

a) \(4032\) b) Von Z nach E. c) \(4023\)

- Lies die Ausgangszahl vollständig aus der Tabelle, bevor du etwas verschiebst. - Verändere bei der Verschiebung nur die beiden betroffenen Spalten H und Z. - Vergleiche anschließend Ausgangszahl und neue Zahl, um Richtung und Größe der Änderung zu kontrollieren.

1. Die Tabelle zeigt \(3\) Tausender, \(1\) Hunderter, \(8\) Zehner und \(2\) Einer, also \(3182\). 2. Nach dem Verschieben liegen \(2\) Hunderter und \(7\) Zehner vor. Die neue Zahl ist \(3272\). 3. Die Wertänderung ist \(3272 - 3182 = 90\). Die Zahl wird also um \(90\) größer.

a) \(3182\) b) \(3272\) c) Die Zahl wird um \(90\) größer.

- Lies zuerst die Ausgangszahl aus der Abbildung ab. - Vergleiche, wie viel ein einzelnes Plättchen in verschiedenen benachbarten Spalten wert ist. - Welche Verschiebung vergrößert den Wert genau um \(900\)?

1. Die Tabelle zeigt \(1\) Tausender und \(1\) Hunderter, also \(1100\). 2. Damit der Wert um \(900\) steigt, kann ein Hunderterplättchen zu den Tausendern verschoben werden: \(1000 - 100 = 900\). 3. Danach liegen \(2\) Plättchen bei den Tausendern und keine bei den Hundertern. 4. Die neue Zahl ist \(2000\).

Die neue Zahl lautet \(2000\).

- Lies zuerst die Ausgangszahl aus der Abbildung ab. - Wenn die Zahl kleiner werden soll, muss das Plättchen an einen niedrigeren Stellenwert wandern. - Vergleiche den Wert eines Plättchens vor und nach möglichen Verschiebungen.

1. Die Tabelle zeigt \(3\) Tausender, also \(3000\). 2. Ein Plättchen von T nach H zu verschieben verändert seinen Wert von \(1000\) auf \(100\). 3. Die Zahl wird dadurch um \(1000 - 100 = 900\) kleiner. 4. Danach liegen \(2\) Tausender und \(1\) Hunderter; die neue Zahl ist \(2100\).

Die neue Zahl heißt \(2100\).

- Lies zuerst die Ausgangszahl aus der Abbildung ab. - Für eine Vergrößerung muss das Plättchen zu einem höheren Stellenwert wandern. - Welche Verschiebung erhöht den Wert eines einzelnen Plättchens genau um \(9000\)?

1. Die Tabelle zeigt \(1\) Zehntausender und \(1\) Tausender, also \(11\,000\). 2. Wird ein Tausenderplättchen zu den Zehntausendern verschoben, steigt sein Wert von \(1000\) auf \(10\,000\). 3. Die Veränderung beträgt \(10\,000 - 1000 = 9000\). 4. Danach liegen \(2\) Plättchen an der Zehntausenderstelle und keines mehr an der Tausenderstelle.

Danach liegen \(2\) Plättchen an der Zehntausenderstelle.

- Lies zuerst die Ausgangszahl aus der Stellenwerttafel ab. - Weil die Zahl kleiner werden soll, muss das Plättchen zu einem niedrigeren Stellenwert wandern. - Vergleiche mögliche Ausgangs- und Zielspalten danach, wie stark sich der Wert eines einzelnen Plättchens ändert. - Bestimme nach der Verschiebung die neue Zahl aus der veränderten Stellenwerttafel.

1. Die Stellenwerttafel zeigt \(50\,000\). 2. Die gesuchte neue Zahl ist \(50\,000 - 9000 = 41\,000\). 3. Ein Plättchen muss von einem höheren zu einem niedrigeren Stellenwert verschoben werden. Die Wertdifferenz zwischen Zehntausendern und Tausendern beträgt genau \(9000\). 4. Das Plättchen wird daher von den Zehntausendern (ZT) zu den Tausendern (T) verschoben.

1) Von den Zehntausendern (ZT) zu den Tausendern (T). 2) \(41\,000\)

- Achte beim Ablesen auf die Spalte mit der Null. - Erinnere dich daran, dass die Tausenderstelle die vierte Stelle von rechts ist.

1. Ablesen der Zahl: \(2\) ZT, \(0\) T, \(9\) H, \(4\) Z, \(3\) E. Dies ergibt \(20\,943\). 2. Hinzufügen von \(2\) Plättchen bei den Tausendern (T): Die Ziffer an der T-Stelle ändert sich von \(0\) auf \(2\). 3. Die neue Zahl lautet \(22\,943\).

Die ursprüngliche Zahl ist \(20\,943\). Die neue Zahl heißt \(22\,943\).

- Gehe Stelle für Stelle vor und ändere nur die Ziffern, bei denen Plättchen dazukommen. - Lies die fertige Zahl laut vor, um sie zu überprüfen.

1. Ablesen: \(4\) ZT, \(3\) T, \(2\) H, \(1\) Z, \(9\) E. In Ziffern: \(43\,219\). 2. Hinzufügen: - \(1\) Plättchen bei T: Aus \(3\) Tausendern werden \(4\). - \(1\) Plättchen bei Z: Aus \(1\) Zehner werden \(2\). 3. Die anderen Stellen bleiben gleich. 4. Neue Zahl: \(44\,229\).

Dargestellt ist die Zahl \(43\,219\). Die neue Zahl heißt \(44\,229\).

- Suche zuerst die Spalte, in der die übliche Zifferngrenze überschritten ist. - Erinnere dich daran, wie viele gleichwertige Plättchen zu einem Plättchen der nächsthöheren Stelle gebündelt werden. - Zähle nach dem Bündeln die Plättchen in allen vier Spalten noch einmal.

1. In der Hunderterspalte liegen \(12\) Plättchen. 2. \(10\) Hunderter werden zu \(1\) Tausender gebündelt. Es bleiben \(2\) Hunderter übrig. 3. Danach liegen \(3\) T, \(2\) H, \(4\) Z und \(7\) E in der Tafel. Das ist die Zahl \(3247\).

Nach dem Bündeln stellt die Tafel \(3247\) dar.

- Stell dir vor, du hüpfst auf einem Zahlenstrahl. Wie groß ist jeder Sprung? - Kannst du das Ergebnis von Teilaufgabe c) mithilfe der Ergebnisse aus a) und b) finden?

1. Für \(100\,000\)er-Schritte bis \(1\,000\,000\): Division \(1\,000\,000 : 100\,000 = 10\). 2. Für \(10\,000\)er-Schritte bis \(100\,000\): Division \(100\,000 : 10\,000 = 10\). 3. Für \(10\,000\)er-Schritte bis \(1\,000\,000\): Division \(1\,000\,000 : 10\,000 = 100\).

a) \(10\) Schritte b) \(10\) Schritte c) \(100\) Schritte

- Eine Stellenwerttafel kann dir helfen, die Ziffern an die richtige Position zu setzen. - Wenn ein Stellenwert in der Liste fehlt, musst du an dieser Stelle eine Null schreiben. - Achte bei Aufgabe c) genau darauf, bei welchem Stellenwert die Zahl beginnt.

1. Zuordnung der Stellenwerte zu ihren Positionen: HT (Hunderttausender), ZT (Zehntausender), T (Tausender), H (Hunderter), Z (Zehner), E (Einer). 2. Für a): \(4, 2, 5, 8, 3, 1\) ergibt \(425\,831\). Wortform: vierhundertfünfundzwanzigtausendachthunderteinunddreißig. 3. Für b): Fehlende oder mit \(0\) angegebene Stellen als \(0\) notieren: \(7, 0, 0, 4, 0, 9\) ergibt \(700\,409\). Wortform: siebenhunderttausendvierhundertneun. 4. Für c): Nicht genannte Stellen (HT, H, E) sind \(0\). Die Zahl beginnt bei ZT: \(1, 6, 0, 5, 0\) ergibt \(16\,050\). Wortform: sechzehntausendfünfzig.

a) \(425\,831\); vierhundertfünfundzwanzigtausendachthunderteinunddreißig b) \(700\,409\); siebenhunderttausendvierhundertneun c) \(16\,050\); sechzehntausendfünfzig

- Wenn eine Stelle (wie zum Beispiel die Hunderter) nicht genannt wird, bedeutet das, dass an dieser Stelle eine Null steht. - Bei Aufgaben wie „14 Hunderter“ musst du bedenken, dass \(10\) Hunderter bereits einen Tausender ergeben. - Du kannst die Werte der einzelnen Stellen auch untereinander aufschreiben und addieren.

1. Berechnung für a): \(5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 2 = 5382\). 2. Berechnung für b): \(9 \cdot 10\,000 + 4 \cdot 1000 + 7 = 94\,007\). 3. Berechnung für c): \(2 \cdot 100\,000 + 6 \cdot 10\,000 + 1 \cdot 100 + 5 \cdot 10 = 260\,150\). 4. Berechnung für d): \(14 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 3 = 1400 + 60 + 3 = 1463\). 5. Berechnung für e): \(3 \cdot 1000 + 25 \cdot 10 = 3000 + 250 = 3250\).

a) \(5382\) b) \(94\,007\) c) \(260\,150\) d) \(1463\) e) \(3250\)

- Was passiert, wenn in einer Spalte der Stellenwerttafel eine Zahl größer als 9 steht? - Wie viele Einer ergeben einen Zehner, wie viele Zehner einen Hunderter und so weiter? - Wenn ein Stellenwert in der Beschreibung gar nicht vorkommt (wie die Zehner in Aufgabe a), welche Ziffer musst du dann dort eintragen?

1. Analyse für Zahl a: \(6 \cdot 10\,000 + 14 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 5 = 60\,000 + 14\,000 + 200 + 5\). 2. Bündelung der Tausender: \(14\,\text{T}\) sind \(1\,\text{ZT}\) und \(4\,\text{T}\). Die Zehntausender erhöhen sich auf \(6 + 1 = 7\). Ergebnis: \(7\,\text{ZT}\), \(4\,\text{T}\), \(2\,\text{H}\), \(0\,\text{Z}\), \(5\,\text{E}\). Die Zahl lautet \(74\,205\). 3. Analyse für Zahl b: \(3 \cdot 100\,000 + 8 \cdot 1000 + 12 \cdot 10 = 300\,000 + 8000 + 120\). 4. Bündelung der Zehner: \(12\,\text{Z}\) sind \(1\,\text{H}\) und \(2\,\text{Z}\). Ergebnis: \(3\,\text{HT}\), \(0\,\text{ZT}\), \(8\,\text{T}\), \(1\,\text{H}\), \(2\,\text{Z}\), \(0\,\text{E}\). Die Zahl lautet \(308\,120\).

a) \(74\,205\) (Tabelle: \(\text{HT}=0; \text{ZT}=7; \text{T}=4; \text{H}=2; \text{Z}=0; \text{E}=5\)) b) \(308\,120\) (Tabelle: \(\text{HT}=3; \text{ZT}=0; \text{T}=8; \text{H}=1; \text{Z}=2; \text{E}=0\))

- Für die Teilaufgaben a und b kannst du dir vorstellen, die Zahl in einer Stellenwerttafel zu zerlegen. - Wie viele Zehner stecken insgesamt in der Zahl, nicht nur an der Zehnerstelle? - Bei Teilaufgabe c: Welches ist die nächste Hunderterzahl, die größer als \(73\,412\) ist?

1. Anzahl der Zehner: Ganzzahlige Division durch 10 ergibt \(73\,412 : 10 = 7341\) Rest 2. Es sind 7341 vollständige Zehner. 2. Anzahl der Tausender: Ganzzahlige Division durch 1000 ergibt \(73\,412 : 1000 = 73\) Rest 412. Es sind 73 vollständige Tausender. 3. Nächster Hunderter: Die Zahl hat aktuell 734 vollständige Hunderter. Der nächsthöhere Wert mit einem weiteren Hunderter ist \(735 \cdot 100 = 73\,500\). 4. Berechnung der Differenz: \(73\,500 - 73\,412 = 88\). Es müssen 88 Einer dazukommen.

a) 7341 vollständige Zehner b) 73 vollständige Tausender c) 88 Einer

- Wie verändert sich die Anzahl, wenn die Einheit (Zehner, Hunderter, ...) immer größer wird? - Du kannst die Stellen rechts von der gesuchten Einheit zunächst abdecken. - Überlege, wie oft die jeweilige Einheit vollständig in der Zahl enthalten ist.

1. Bestimmung der vollen Zehner durch Division durch \(10\): \(528\,314 : 10 = 52\,831\) Rest \(4\). Ergebnis: \(52\,831\). 2. Bestimmung der vollen Hunderter durch Division durch \(100\): \(528\,314 : 100 = 5283\) Rest \(14\). Ergebnis: \(5283\). 3. Bestimmung der vollen Tausender durch Division durch \(1000\): \(528\,314 : 1000 = 528\) Rest \(314\). Ergebnis: \(528\). 4. Bestimmung der vollen Zehntausender durch Division durch \(10\,000\): \(528\,314 : 10\,000 = 52\) Rest \(8314\). Ergebnis: \(52\).

a) \(52\,831\) volle Zehner b) \(5283\) volle Hunderter c) \(528\) volle Tausender d) \(52\) volle Zehntausender

- Rechne zuerst aus, wie viel insgesamt bis zur Million fehlt. - Wie viele Hunderter stecken in einem Tausender? - Du kannst auch in Schritten zählen: Wie viele Hunderter fehlen bis \(999\,000\) und wie viele dann noch bis zur Million?

1. Berechnung der Differenz zwischen dem Zielwert und dem Startwert: \(1\,000\,000 - 998\,000 = 2000\). 2. Bestimmung der Anzahl der Hunderter in der Differenz: Da \(2000 = 20 \cdot 100\), sind es \(20\) Hunderter. 3. Ergebnis: Es fehlen \(20\) Hunderter.

Es fehlen \(20\) Hunderter.

- Was ist die kleinste Zahl, die genau diese Anzahl an Zehnern hat? - Wie viele Einer kannst du hinzufügen, ohne dass ein neuer Zehner entsteht? - Probiere es zur Not mit einer kleineren Anzahl an Zehnern aus, zum Beispiel mit genau \(5\) vollen Zehnern.

1. Die kleinste Zahl mit genau \(3057\) vollen Zehnern erhält man durch Multiplikation: \(3057 \cdot 10 = 30\,570\). 2. Da die Anzahl der vollen Zehner erst bei der nächsten Zehnerzahl (\(30\,580\)) ansteigt, ist die größte mögliche Zahl um \(9\) größer als die kleinste Zahl: \(30\,570 + 9 = 30\,579\).

Die kleinste Zahl ist \(30\,570\) und die größte Zahl ist \(30\,579\).

- Rechne zunächst den Teil aus, dessen Faktoren schon feststehen. - Vergleiche danach den erreichten Wert mit dem Zielwert. - Prüfe in d), ob sich nur die Reihenfolge derselben Faktoren geändert hat.

1. Bei a) gilt \(37 \cdot 10 \cdot 10 = 3700\). Deshalb ist \(\Box = 10\). 2. Bei b) gilt \(5 \cdot 100 = 500\). Deshalb ist \(\Box = 100\). 3. Bei c) gilt \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000\). Deshalb ist \(\Box = 10\,000\). 4. Bei d) ergeben beide Rechnungen \(22\,000\), weil nur die Reihenfolge der Faktoren \(10\) und \(100\) vertauscht wird.

a) \(\Box = 10\) b) \(\Box = 100\) c) \(\Box = 10\,000\) d) Ja. Beide Ergebnisse sind \(22\,000\).

- Lies zuerst die beiden Zahlen Zeile für Zeile ab, indem du die Plättchen in jeder Spalte zählst. - Denke daran, dass eine leere Spalte für den Wert 0 steht. - Welches Rechenverfahren benutzt du, um den Unterschied zwischen zwei Zahlen zu berechnen? - Achte beim Berechnen des Unterschieds darauf, die kleinere Zahl von der größeren Zahl abzuziehen.

1. Zuerst werden die beiden Zahlen aus der Stellenwerttafel abgelesen: - Erste Zeile: 4 Zehntausender, 3 Tausender, 0 Hunderter, 7 Zehner und 5 Einer ergeben die Zahl \(43\,075\). - Zweite Zeile: 2 Zehntausender, 8 Tausender, 5 Hunderter, 1 Zehner und 9 Einer ergeben die Zahl \(28\,519\). 2. Anschließend wird die Differenz zwischen der größeren und der kleineren Zahl berechnet: - Rechnung: \(43\,075 - 28\,519 = 14\,556\). - Der Unterschied zwischen den beiden Zahlen beträgt somit \(14\,556\).

a) Die erste Zahl lautet \(43\,075\) und die zweite Zahl lautet \(28\,519\). b) Der Unterschied beträgt \(14\,556\).

- Bestimme zuerst, welche Zahl in der Tabelle dargestellt ist. - Welche neue Zahl soll entstehen, wenn der Wert um \(90\,000\) sinkt? - Vergleiche Ausgangs- und Zielzahl Stelle für Stelle: Wo brauchst du ein Plättchen weniger und wo eines mehr? - Denke daran, dass genau dasselbe Plättchen nur einmal versetzt werden darf.

1. Die Tabelle zeigt \(3\) Hunderttausender, \(2\) Zehntausender, \(5\) Tausender, \(4\) Hunderter, \(1\) Zehner und \(6\) Einer, also \(325\,416\). 2. Der Zielwert ist \(325\,416 - 90\,000 = 235\,416\). 3. Vom Ausgangswert zum Zielwert wird ein Hunderttausender weniger und ein Zehntausender mehr benötigt; alle anderen Stellen bleiben unverändert. 4. Deshalb wird genau ein Plättchen von HT nach ZT verschoben. Der Wert sinkt dabei um \(100\,000 - 10\,000 = 90\,000\).

Das Plättchen muss von HT nach ZT verschoben werden.

- Bestimme zuerst für jede Spalte der Stellenwerttafel die Anzahl der Plättchen und schreibe die Zahl auf. - Denke beim Aufschreiben der Zahl in Worten an die typische Sprechweise im Deutschen (z. B. erst Einer, dann Zehner bei den letzten beiden Ziffern). - Wenn ein Plättchen von einer Spalte in eine andere wandert, verliert die eine Spalte an Wert und die andere gewinnt an Wert. Berechne den Unterschied. - Überlege für den letzten Aufgabenteil: Welche zwei Stellenwerte haben eine Differenz von genau \(9900\)?

1. Abgelesene Zahl: In den Spalten liegen von links nach rechts folgende Plättchenanzahlen: ZT: \(4\), T: \(2\), H: \(6\), Z: \(1\), E: \(5\). Die dargestellte Zahl ist somit \(42\,615\). In Worten: zweiundvierzigtausendsechshundertfünfzehn. 2. Verschiebung von ZT nach T: Ein Plättchen wird von den Zehntausendern abgezogen (\(-10\,000\)) und bei den Tausendern hinzugefügt (\(+1000\)). Der Wert der Zahl verringert sich um \(10\,000 - 1000 = 9000\). Die neuen Stellenwerte sind ZT: \(3\), T: \(3\), H: \(6\), Z: \(1\), E: \(5\). Die neue Zahl lautet \(33\,615\). 3. Erhöhung um genau \(9900\): Wenn wir ein Plättchen verschieben, verringern wir den Wert einer Spalte um deren Stellenwert und erhöhen den Wert einer anderen Spalte um deren Stellenwert. Wir suchen zwei Stellenwerte \(A\) und \(B\) (mit \(B > A\)), so dass \(B - A = 9900\). Da \(10\,000 - 100 = 9900\) ist, müssen wir ein Plättchen von der Hunderter-Spalte (\(H\), Wert \(100\)) in die Zehntausender-Spalte (\(ZT\), Wert \(10\,000\)) verschieben. Die neuen Stellenwerte sind dann ZT: \(5\), T: \(2\), H: \(5\), Z: \(1\), E: \(5\). Die neue Zahl lautet \(52\,515\).

a) Ziffern: \(42\,615\); Worte: zweiundvierzigtausendsechshundertfünfzehn b) Neue Zahl: \(33\,615\); der Wert verringert sich um \(9000\). c) Verschiebung von der Hunderter-Spalte (\(H\)) in die Zehntausender-Spalte (\(ZT\)). Neue Zahl: \(52\,515\).

- Bestimme zuerst den Stellenwert jeder Spalte, um die Startzahl richtig abzulesen. - Denke bei Teilaufgabe b) daran, welchen Wert ein Plättchen in der Spalte \(\text{ZT}\) und welchen Wert es in der Spalte \(\text{T}\) hat. - Du kannst auch die neue Zahl nach dem Verschieben aufschreiben und den Unterschied zur Startzahl berechnen. - Achte bei Teilaufgabe c) darauf, wieder von der ursprünglichen Startzahl auszugehen und drei Plättchen in der Hunderterspalte zu ergänzen.

1. Bestimmung der Startzahl: Da \(2\) Plättchen bei \(\text{ZT}\), \(5\) bei \(\text{T}\), \(1\) bei \(\text{H}\), \(4\) bei \(\text{Z}\) und \(3\) bei \(\text{E}\) liegen, lautet die Startzahl \(25\,143\). 2. Verschieben eines Plättchens von \(\text{ZT}\) nach \(\text{T}\): Das Wegnehmen von \(\text{ZT}\) verringert den Wert um \(10\,000\), das Hinzufügen bei \(\text{T}\) erhöht ihn um \(1000\). Die Zahl verringert sich insgesamt um \(10\,000 - 1000 = 9000\). Alternativ ergibt sich die neue Zahl \(16\,143\) mit der Differenz \(25\,143 - 16\,143 = 9000\). 3. Hinzufügen von drei Plättchen bei \(\text{H}\) (ausgehend von \(25\,143\)): Die Hunderterziffer erhöht sich um \(3\) auf \(4\). Die neue Zahl lautet \(25\,443\).

a) \(25\,143\) b) Um \(9000\) c) \(25\,443\)

- Zähle die Plättchen in jeder Spalte sorgfältig. Achte besonders auf die Spalte, in der kein Plättchen liegt. - Wenn du eine Zahl so klein wie möglich machen möchtest, an welche Stelle (ganz links oder ganz rechts) solltest du neue Plättchen legen? - Wenn du eine Zahl so groß wie möglich machen möchtest, welchen Stellenwert solltest du erhöhen? - Führe die Veränderungen Schritt für Schritt für jede Teilaufgabe durch und schreibe die neuen Ziffern auf.

1. Bestimmung der Ausgangszahl: Die Stellenwerttafel zeigt: - \(1\) Hunderttausender (HT) - \(3\) Zehntausender (ZT) - \(4\) Tausender (T) - \(0\) Hunderter (H) - \(2\) Zehner (Z) - \(5\) Einer (E) Die Zahl lautet somit \(134\,025\). 2. Bestimmung der kleinsten Zahl durch Hinzufügen von zwei Plättchen: Um die Zahl so klein wie möglich zu halten, müssen die neuen Plättchen auf den Stellenwert mit dem geringsten Wert gelegt werden. Das ist die Spalte der Einer (E). Wir fügen beide Plättchen bei den Einern hinzu (aus \(5\) werden \(7\) Einer). Die kleinste Zahl ist \(134\,027\). 3. Bestimmung der größten Zahl durch Hinzufügen von zwei Plättchen: Um die Zahl so groß wie möglich zu machen, müssen die neuen Plättchen auf den Stellenwert mit dem höchsten Wert gelegt werden. Das ist die Spalte der Hunderttausender (HT). Wir fügen beide Plättchen bei den Hunderttausendern hinzu (aus \(1\) werden \(3\) Hunderttausender). Die größte Zahl ist \(334\,025\). 4. Hinzufügen von je einem Plättchen bei Z und HT: - Bei HT kommt ein Plättchen hinzu: \(1 + 1 = 2\) - Bei Z kommt ein Plättchen hinzu: \(2 + 1 = 3\) Die neue Zahl lautet \(234\,035\).

a) Die Zahl lautet \(134\,025\). b) - Die kleinste Zahl ist \(134\,027\). - Die größte Zahl ist \(334\,025\). - Die Zahl mit den zwei zusätzlichen Plättchen lautet \(234\,035\).

- Schreibe die Zahl zuerst in Ziffern auf. Achte dabei auf die Nullen an den Stellen, an denen keine Plättchen liegen. - Überlege dir, wie viele Tausender eine Million hat. - Du kannst auch schrittweise rechnen: Wie viele Tausender fehlen bis zum nächsten Zehntausender, wie viele dann bis zum nächsten Hunderttausender?

1. Ablesen der Zahl: Die Tafel zeigt \(9\) HT, \(8\) ZT, \(4\) T, \(0\) H, \(0\) Z, \(0\) E. Das entspricht der Zahl \(984\,000\). 2. Berechnung der Differenz zur Million: \(1\,000\,000 - 984\,000 = 16\,000\). 3. Umrechnung in Tausender: \(16\,000\) Einheiten entsprechen genau \(16\) Tausendern.

Es fehlen noch \(16\) Tausender.

- Beginne mit einer Spalte, in der die übliche Zifferngrenze überschritten ist. - Prüfe nach jedem Bündelschritt erneut, ob in einer benachbarten Spalte wieder gebündelt werden muss. - Beim Entbündeln läuft dieselbe Stellenwertbeziehung in umgekehrter Richtung.

1. In der ZT-Spalte liegen \(10\) Plättchen. Sie werden zu \(1\) HT-Plättchen gebündelt. 2. Zusammen mit den vorhandenen \(9\) HT-Plättchen liegen nun \(10\) HT-Plättchen vor. 3. Diese \(10\) HT-Plättchen werden zu \(1\) M-Plättchen gebündelt. 4. Die vollständig gebündelte Tafel stellt daher \(1\,000\,000\) dar. 5. Beim Entbündeln wird \(1\) M wieder zu \(10\) HT. 6. Wird davon genau \(1\) HT weiter entbündelt, bleiben \(9\) HT und es entstehen \(10\) ZT.

a) Die Tafel stellt nach dem Bündeln \(1\,000\,000\) dar. Aus \(10\) ZT wird zuerst \(1\) HT; dadurch entstehen \(10\) HT, die zu \(1\) M gebündelt werden. b) Nach dem Entbündeln liegen \(9\) HT und \(10\) ZT vor.