Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege, welche Information die Zahlen in einem Bauplan eines Würfelgebäudes darstellen. - Unterscheide zwischen der Lage eines Feldes und der Höhe über diesem Feld.

Die Zahl \(3\) bedeutet, dass an dieser Stelle ein Turm aus \(3\) übereinanderliegenden Würfeln steht.

An dieser Stelle ist der Würfelturm \(3\) Würfel hoch.

- Betrachte nur die Höhe des einzigen Turms. - In der Vorderansicht entspricht jeder Würfel des Turms einem sichtbaren Quadrat.

Der Turm ist \(3\) Würfel hoch. Von vorne sieht man deshalb \(3\) quadratische Würfelflächen übereinander.

\(3\) Quadrate

- Betrachte im Bauplan nur die beiden Felder der linken Spalte. - Für die Vorderansicht zählt dort der höhere Stapel.

1. In der linken Spalte des Bauplans stehen die Höhen \(1\) und \(3\). 2. Von vorne bestimmt der höhere dieser beiden Stapel die sichtbare Höhe. 3. Die linke Spalte der Vorderansicht ist daher \(3\) Quadrate hoch.

\(3\) Quadrate.

- Betrachte zuerst den höchsten Turm des Gebäudes. Welche Höhe hat er und wo genau steht er? - Suche im Bauplan nach dem Feld für die hintere linke Ecke. Welche Zahl müsste dort für den höchsten Turm stehen? - Vergleiche nun auch die Positionen der anderen Türme mit einer Höhe von \(2\) und \(1\). - Welcher Plan zeigt an jeder Position die exakte Anzahl der übereinandergestapelten Würfel?

1. Wir bestimmen die Höhen der Türme an den verschiedenen Positionen: - In der hinteren linken Ecke steht ein Turm der Höhe \(3\). - Direkt rechts daneben steht ein Turm der Höhe \(1\). - In der Mitte des Gebäudes steht ein Turm der Höhe \(2\). - In der vorderen rechten Ecke steht ein Turm der Höhe \(1\). 2. Plan A zeigt genau diese Verteilung. Plan B vertauscht die Höhen \(3\) und \(1\) in der hinteren Reihe. Plan C ordnet mehrere Türme anders an. 3. Somit ist Plan A der korrekte Bauplan.

Plan A

- Betrachte die vorderste Reihe des Würfelgebäudes. Wie viele Würfel stehen dort ganz links, in der Mitte und rechts? Vergleiche dies mit der jeweils untersten Reihe der Baupläne. - Schau dir nun die mittlere Reihe an. Welche Höhen haben die Türme dort? - Welcher Bauplan stimmt in allen drei Reihen (hinten, Mitte, vorne) mit dem Gebäude überein?

1. Wir lesen die Türme von vorne nach hinten ab: - Vordere Reihe: \((1, \text{leer}, \text{leer})\). - Mittlere Reihe: \((2, \text{leer}, 1)\). - Hintere Reihe: \((3, 1, 2)\). 2. Diese Einträge stimmen genau mit Plan A überein.

A

- Schaue dir das Würfelgebäude Reihe für Reihe von vorne nach hinten an. - Wie hoch ist der vorderste Turm ganz links? Und der Turm rechts daneben? - Vergleiche die Höhen der Türme in der mittleren Reihe mit den Zahlen in den Plänen. - Achte darauf, wo sich leere Felder im Gebäude befinden.

1. Betrachte das Würfelgebäude Reihe für Reihe von vorne nach hinten. 2. Die vordere Reihe lautet \((1, 1, \text{leer})\), die mittlere Reihe \((2, 1, 1)\) und die hintere Reihe \((3, 2, 2)\). 3. Plan A zeigt genau diese Höhenverteilung. Plan B hat in der mittleren Reihe \((1, 2, 1)\), Plan C in der vorderen Reihe \((1, \text{leer}, 1)\). 4. Daher ist Plan A der richtige Bauplan.

Der richtige Bauplan ist Plan A.

- Die unterste Zeile im Bauplan entspricht immer der Reihe, die im Bild ganz vorne zu sehen ist. - Suche dir den höchsten Turm im Bild und schaue nach, an welcher Stelle er im Bauplan eingetragen ist. - Achte darauf, ob der höchste Turm auf der linken oder der rechten Seite steht.

1. Im Gebäude stehen vorne von links nach rechts Türme der Höhen \(1,0,0\), in der mittleren Reihe \(1,0,0\) und hinten \(3,1,1\). 2. Im Bauplan steht die Vorderreihe unten und die Hinterreihe oben. Plan A zeigt daher unten \(1,\text{ leer},\text{ leer}\), in der Mitte dieselbe Reihe und oben \(3,1,1\). 3. Plan B vertauscht links und rechts. Deshalb ist Plan A richtig.

Plan A zeigt den Bauplan richtig.

- Schau dir zuerst die Form der Grundfläche an. Wo stehen Würfel und wo ist der Boden frei? - Vergleiche die Höhen der einzelnen Türme im Gebäude mit den Zahlen im Bauplan. - Gehe Reihe für Reihe vor: Was siehst du vorne links, vorne rechts und was steht dahinter?

1. Analyse von Gebäude A: Es hat die Form eines Kreuzes mit einer Höhe von jeweils \(2\) Würfeln in der Mitte und an den vier Seitenmitten. Der passende Bauplan muss an diesen Stellen eine \(2\) und sonst eine \(0\) oder ein leeres Feld zeigen. Dies entspricht Plan 1. 2. Analyse von Gebäude B: Es besteht aus vier Türmen an den Ecken, die jeweils \(2\) Würfel hoch sind. Die Mitte und die Seitenmitten sind leer. Dies entspricht Plan 2. 3. Plan 3 zeigt einen geschlossenen Ring mit einer Lücke in der Mitte, was zu keinem der abgebildeten Gebäude passt. Ergebnis: Gebäude A – Plan 1; Gebäude B – Plan 2.

Gebäude A gehört zu Plan 1. Gebäude B gehört zu Plan 2. Plan 3 bleibt übrig.

- Stell dir vor, du stehst direkt vor dem Gebäude. Welche Würfel verdecken andere? - In jeder Spalte siehst du von vorne nur so viele Quadrate, wie der höchste Stapel in dieser Spalte Würfel hat. - Zähle für jede Spalte die Quadrate des jeweils höchsten Stapels zusammen.

1. Bestimmung der sichtbaren Höhe pro Spalte von vorne: - In der linken Spalte ist der vordere Stapel 2 Würfel hoch und der hintere 0. Die sichtbare Höhe ist \(\max(2, 0) = 2\). - In der rechten Spalte ist der vordere Stapel 1 Würfel hoch und der hintere 3. Die sichtbare Höhe ist \(\max(1, 3) = 3\). 2. Gesamtzahl der sichtbaren Quadrate: \(2 + 3 = 5\).

Es sind \(5\) Quadrate sichtbar.

- Die Ansicht von vorne wird durch den jeweils höchsten Stapel in jeder Spalte bestimmt. - Vergleiche für jedes Gebäude die maximale Höhe der linken Spalte und die maximale Höhe der rechten Spalte.

1. Gebäude A: - Linke Spalte: vorne \(3\), hinten \(1\). Sichtbare Höhe: \(\max(3, 1) = 3\). - Rechte Spalte: vorne \(1\), hinten \(1\). Sichtbare Höhe: \(\max(1, 1) = 1\). 2. Gebäude B: - Linke Spalte: vorne \(3\), hinten \(2\). Sichtbare Höhe: \(\max(3, 2) = 3\). - Rechte Spalte: vorne \(1\), hinten \(0\). Sichtbare Höhe: \(\max(1, 0) = 1\). 3. Beide Gebäude zeigen von vorne die Höhen \((3, 1)\). Daher haben sie dieselbe Vorderansicht.

Ja, beide Gebäude haben von vorne gesehen dieselbe Ansicht.

- Stell dir vor, du stehst direkt vor dem Gebäude. Welche Würfelflächen kannst du dann sehen? - Bei der Ansicht von rechts schaust du von der rechten Seite auf die Reihen. - Überlege für jede Spalte oder Reihe einzeln, wie hoch der höchste Stapel ist, den man von dort aus sieht.

1. Von vorne ist für jede Spalte die größte Stapelhöhe entscheidend. Die Höhen sind \(3\), \(1\) und \(2\). Daher sieht man \(3 + 1 + 2 = 6\) Quadrate. 2. Von rechts entspricht jede Gebäudereihe einer Spalte der Ansicht. Die größten Höhen der Reihen sind von vorne nach hinten \(1\), \(2\) und \(3\). Daher sieht man ebenfalls \(1 + 2 + 3 = 6\) Quadrate.

a) Von vorne siehst du \(6\) Quadrate. b) Von rechts siehst du ebenfalls \(6\) Quadrate.

- Schaue dir zuerst genau die vorderste Reihe jedes Gebäudes an und vergleiche sie mit der untersten Reihe der Pläne. - Achte auf die Position der höchsten Türme.

1. Gebäude 1 hat vorne die Stapelhöhen \((3, 1)\) und hinten \((2, 2)\). Da die vordere Reihe im Bauplan unten liegt, passt Plan B. 2. Gebäude 2 hat vorne die Stapelhöhen \((2, 2)\) und hinten \((3, 1)\). Dazu passt Plan A. 3. Die Zuordnung lautet daher \(1\)-B und \(2\)-A.

Gebäude 1 gehört zu Bauplan B. Gebäude 2 gehört zu Bauplan A.

- Zähle für Teil a) die Würfel in den beiden Reihen getrennt. - Ordne die Außenflächen für Teil b) nach Blickrichtungen, damit du keine Seite doppelt zählst. - Prüfe auch Ober- und Unterseite des zusammengesetzten Körpers.

1. Vorne stehen \(3\) einzelne Würfel. Hinten stehen \(3\) Türme der Höhe \(2\), also \(3 \cdot 2 = 6\) Würfel. 2. Insgesamt sind es \(3 + 6 = 9\) Würfel. 3. Für die Außenflächen kann man nach Richtungen zählen: oben \(6\), unten \(6\), vorne \(6\), hinten \(6\), links \(3\) und rechts \(3\). 4. Insgesamt sind das \(6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 = 30\) quadratische Außenflächen.

a) \(9\) Würfel b) \(30\) quadratische Außenflächen

- Welche Zahlenreihe aus dem Plan erkennst du ganz vorne in der 3D-Ansicht wieder? - Die Beschriftungen N (oben) und S (unten) am Plan helfen dir bei der Orientierung.

1. Die vorderste Reihe in der 3D-Ansicht hat die Höhen \((1, 1, 1)\). 2. Im Bauplan entspricht dies der untersten, südlichen Zeile. 3. Daher wird das Gebäude von Süden betrachtet.

Das Gebäude wird von Süden (S) betrachtet.

- Schau dir die vorderste Reihe des Gebäudes an und vergleiche sie mit der untersten Reihe der Baupläne. - Addiere alle Zahlen im richtigen Bauplan, um die Gesamtzahl der Würfel zu finden. - Berechne zuerst, wie viele Würfel ein massiver Würfel mit der Kantenlänge \(3\) insgesamt hätte.

1. Bauplan A stimmt mit allen Stapelhöhen überein: Der Turm der Höhe \(3\) steht hinten links, der mittlere Turm hat die Höhe \(2\), alle übrigen Türme die Höhe \(1\). 2. Insgesamt sind es \(3 + 2 + 7 \cdot 1 = 12\) Würfel. 3. Ein voller \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel besteht aus \(27\) Würfeln. Es fehlen \(27 - 12 = 15\) Würfel.

a) Bauplan A b) \(12\) Würfel c) \(15\) Würfel

- Um die Gesamtzahl der Würfel zu finden, musst du alle Zahlen im Bauplan addieren. - Wenn du von vorne auf ein Gebäude schaust, verdeckt ein höherer Turm die kleineren Türme, die direkt hinter ihm stehen. - Welche ist die größte Zahl in der mittleren Spalte des Bauplans?

a) Addiere alle Zahlen im Bauplan: \(1 + 2 + 1 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 + 1 = 16\). Das Gebäude besteht aus \(16\) Einheitswürfeln. b) Für die Vorderansicht bestimmt man in jeder Spalte die größte Turmhöhe. Links ist das Maximum \(2\), in der Mitte \(4\) und rechts \(2\). In der mittleren Spalte sieht man daher \(4\) Würfel übereinander.

a) Das Gebäude besteht aus \(16\) Würfeln. b) In der mittleren Spalte sieht man \(4\) Würfel übereinander.

- In jeder Spalte bestimmt der höchste Stapel die sichtbare Höhe. - Wenn ein Stapel hinter einem höheren Stapel steht, wird er verdeckt. Ist er höher, sieht man nur den oberen Teil. - Zähle für jede der drei Spalten, wie viele Würfelflächen übereinander zu sehen sind.

1. Bestimme für jede Spalte den höchsten Stapel. 2. Linke Spalte: vorne Höhe \(2\), hinten Höhe \(1\); sichtbar sind \(2\) Quadrate. 3. Mittlere Spalte: vorne Höhe \(3\), hinten Höhe \(1\); sichtbar sind \(3\) Quadrate. 4. Rechte Spalte: vorne Höhe \(1\), hinten Höhe \(0\); sichtbar ist \(1\) Quadrat. 5. Insgesamt sind \(2 + 3 + 1 = 6\) Quadrate sichtbar.

In der Vorderansicht sind insgesamt \(6\) Quadrate zu sehen.

- Stell dir vor, du stehst direkt vor dem Gebäude und schaust darauf. - In jeder Spalte bestimmt der höchste Turm, wie hoch die Ansicht dort erscheint. - Gehe den Bauplan Spalte für Spalte von links nach rechts durch.

1. Zur Bestimmung der Vorderansicht betrachtet man das Maximum jeder Spalte im Bauplan. 2. Erste Spalte (links): Maximum von \(1\), \(2\) und \(0\) ist \(2\). 3. Zweite Spalte: Maximum von \(0\), \(3\) und \(1\) ist \(3\). 4. Dritte Spalte: Maximum von \(2\), \(0\) und \(1\) ist \(2\). 5. Vierte Spalte (rechts): Maximum von \(1\), \(2\) und \(0\) ist \(2\). 6. Die Höhen der Vorderansicht sind somit \(2\), \(3\), \(2\) und \(2\).

Die Höhen der Vorderansicht sind von links nach rechts: \(2\), \(3\), \(2\) und \(2\).

- Stell dir vor, du betrachtest das Gebäude von der linken Seite aus. - Jede Reihe im Bauplan entspricht einem Abschnitt der Seitenansicht. - Welcher Turm in einer Reihe ist jeweils der höchste?

1. Für die Seitenansicht von links betrachtet man das Maximum jeder Zeile (Reihe) im Bauplan. 2. Die erste Reihe (vorne) hat die Werte \(2\), \(1\) und \(3\). Das Maximum ist \(3\). 3. Die zweite Reihe (Mitte) hat die Werte \(0\), \(2\) und \(1\). Das Maximum ist \(2\). 4. Die dritte Reihe (hinten) hat die Werte \(1\), \(0\) und \(2\). Das Maximum ist \(2\). 5. Die Höhen der Seitenansicht von links sind von vorne nach hinten: \(3\), \(2\) und \(2\).

Die Höhen der Seitenansicht von links sind von vorne nach hinten: \(3\), \(2\) und \(2\).

- Bestimme für jeden Bauplan die maximale Höhe in jeder Spalte. - Vergleiche dein Ergebnis mit den vorgegebenen Werten \(3\) und \(2\).

1. Prüfung von Bauplan A: Die linke Spalte hat die Höhen \(3\) und \(2\). Das Maximum ist \(3\). Die rechte Spalte hat die Höhen \(1\) und \(2\). Das Maximum ist \(2\). Die Vorderansicht wäre \((3, 2)\). Das passt. 2. Prüfung von Bauplan B: Die linke Spalte hat die Höhen \(1\) und \(2\). Das Maximum ist \(2\). Die rechte Spalte hat die Höhen \(3\) und \(2\). Das Maximum ist \(3\). Die Vorderansicht wäre \((2, 3)\). Das passt nicht. 3. Ergebnis: Bauplan A ist korrekt.

Bauplan A passt zur beschriebenen Vorderansicht.

- Stell dir vor, du schaust von der rechten Seite auf das Gebäude. - Jede waagerechte Zeile im Bauplan entspricht einem Teil deiner Ansicht. - Suche in jeder Zeile nach der größten Zahl.

1. Die Seitenansicht von rechts betrachtet jede Reihe des Bauplans separat. 2. Vordere Reihe (unten im Plan): Die Höhen sind \(1, 2, 1\). Das Maximum ist \(2\). 3. Mittlere Reihe: Die Höhen sind \(0, 3, 2\). Das Maximum ist \(3\). 4. Hintere Reihe (oben im Plan): Die Höhen sind \(2, 1, 0\). Das Maximum ist \(2\). 5. Die Ansicht von rechts zeigt also nacheinander die Höhen \(2\), \(3\) und \(2\).

Die Höhen der Seitenansicht von rechts sind von vorne nach hinten: \(2\), \(3\) und \(2\).

- Stell dir vor, du stehst direkt vor dem Gebäude. - Was passiert, wenn ein hoher Turm hinter einem kleineren steht? - Welche Zahl ist in der linken Spalte am größten?

Die linke Spalte enthält vorne einen Turm der Höhe \(2\) und hinten einen Turm der Höhe \(4\). Daher ist die sichtbare Höhe \(\max(2, 4) = 4\).

Er sieht \(4\) Würfel übereinander.

- Bestimme für jede Spalte die größte Turmhöhe. - Vergleiche anschließend die linke und die rechte Höhe der Vorderansicht.

Für die Vorderansicht bildet man für jede Spalte des Bauplans das Maximum der Turmhöhen. Dadurch erhält man die Höhen \((3, 4, 3)\). Da die linke und rechte Höhe gleich sind, ist die Vorderansicht achsensymmetrisch.

Ja, die Vorderansicht ist achsensymmetrisch.

- Wenn du von rechts schaust, blickst du entlang der Zeilen des Plans. - Welche Zeile im Bauplan entspricht der „Mitte“, wenn du von der Seite schaust? - Was ist die größte Zahl in dieser Zeile?

Die Ansicht von rechts ergibt sich aus den Zeilen des Bauplans. Die mittlere Spalte der Seitenansicht gehört zur mittleren Zeile des Bauplans. Die mittlere Zeile lautet \((3, 4)\). Die sichtbare Höhe ist der größte Wert dieser Zeile: \(\max(3, 4) = 4\).

Sie sieht \(4\) Würfel.

- Welche Würfel stehen direkt hinter den vorderen? - Sind diese hinteren Würfel genauso hoch oder höher als die vorderen? - Nur die Teile, die über die vorderen Würfel hinausragen, sind sichtbar.

In der Vorderansicht sieht man die beiden vorderen Würfel (Höhe 1). Dahinter stehen zwei Türme der Höhe 2. Jeder der hinteren Türme hat einen unteren Würfel, der genau hinter einem vorderen Würfel steht und somit verdeckt wird. Insgesamt sind also \(2\) Würfel versteckt.

Es sind \(2\) Würfel versteckt.

- Zähle die Würfel in jedem Stapel des Gebäudes von vorne nach hinten. - Denke daran, dass im Bauplan die vorderste Reihe des Gebäudes unten gezeichnet wird. - Prüfe bei jedem Plan, ob die Summe aller Zahlen tatsächlich 10 ergibt und ob die Höhen an den richtigen Stellen stehen.

1. Das Gebäude enthält vorne \(2 + 1 + 3 = 6\) und hinten \(1 + 2 + 1 = 4\) Würfel. Insgesamt sind es \(6 + 4 = 10\) Würfel. 2. Plan A zeigt unten die Vorderreihe \((2, 1, 3)\) und oben die Hinterreihe \((1, 2, 1)\). Er stimmt damit vollständig mit dem Gebäude überein. 3. Plan B vertauscht Vorder- und Hinterreihe. Plan C enthält ebenfalls \(10\) Würfel, ordnet die Stapelhöhen aber anders an. Daher ist Plan A richtig.

Der passende Bauplan ist Plan A.

- Gehe die vier Plätze der Reihe von links nach rechts durch. - Ein Feld im Bauplan gibt die Höhe des Stapels an diesem Platz an. - Vergiss den leeren Platz nicht; dafür wird \(0\) eingetragen.

1. Von links nach rechts ist der erste Stapel \(2\) Würfel hoch. 2. Der zweite Platz ist leer, also steht dort \(0\). 3. Der dritte Stapel ist \(1\) Würfel hoch. 4. Der vierte Stapel ist \(3\) Würfel hoch. 5. Der Bauplan lautet daher \(2, 0, 1, 3\).

\(2, 0, 1, 3\)

- Bestimme für die Vorderansicht in jeder Spalte die größte Stapelhöhe. - Bestimme für die Rechtsansicht in jeder Reihe die größte Stapelhöhe. - Achte bei der Rechtsansicht auf die Reihenfolge von links nach rechts.

1. Von vorne ist in jeder Spalte die größte Turmhöhe maßgeblich: \(\max(3, 2, 0) = 3\), \(\max(1, 2, 1) = 2\) und \(\max(0, 1, 1) = 1\). Die Vorderansicht lautet daher \((3, 2, 1)\). 2. Bei der Ansicht von rechts entsprechen die Gebäudereihen von vorne nach hinten den Spalten von links nach rechts. Ihre Maximalhöhen sind \(\max(3, 1, 0) = 3\), \(\max(2, 2, 1) = 2\) und \(\max(0, 1, 1) = 1\). Die Rechtsansicht lautet ebenfalls \((3, 2, 1)\). Damit ist Möglichkeit A korrekt.

Möglichkeit A

- Bestimme für jede Blickrichtung die jeweils größten Stapelhöhen. - Bei einer Seitenansicht werden die drei Reihen des Bauplans zu den drei Spalten der Ansicht. - Achte darauf, in welcher Reihenfolge Vorder- und Hinterreihe von links nach rechts erscheinen.

1. Von vorne ergeben die Spaltenmaxima \((3, 2, 1)\); von hinten ist die Reihenfolge \((1, 2, 3)\). 2. Für eine Seitenansicht werden die Maximalhöhen der Reihen betrachtet. Von vorne nach hinten sind das \((3, 2, 2)\). 3. Beim Blick von links erscheinen diese Reihen von links nach rechts in umgekehrter Reihenfolge: \((2, 2, 3)\). Damit entsteht die gesuchte Ansicht beim Blick von links.

von links

- Betrachte das Würfelgebäude Reihe für Reihe, beginnend von hinten nach vorne. - Vergleiche die Anzahl der Würfel in jedem Turm mit den Zahlen in den Bauplänen. - Achte besonders auf den höchsten Turm in der Mitte des Gebäudes. Welche Zahl müsste an dieser Stelle im Bauplan stehen? - Ein Bauplan zeigt die Anzahl der Würfel von oben gesehen. Leere Felder im Gebäude entsprechen leeren Feldern im Plan.

1. Die Turmhöhen sind: - hinten \((2, 1, 0)\), - in der Mitte \((1, 3, 2)\), - vorne \((0, 1, 1)\). 2. Bauplan A zeigt genau diese Verteilung. Bauplan B vertauscht hinten die ersten beiden Höhen; Bauplan C hat in der Mitte die Höhe \(2\) statt \(3\). Somit ist Bauplan A richtig.

Bauplan A

- Gehe Reihe für Reihe vor, beginnend bei der vordersten Reihe des Gebäudes. - Erinnere dich daran, dass die vordere Reihe im Bauplan ganz unten gezeichnet wird. - Achte besonders auf Lücken im Gebäude und wo sie im Plan als „0“ erscheinen.

1. Die vordere Reihe hat die Höhen \((1, 2, 1)\). In den Bauplänen steht sie in der untersten Zeile. Plan A und Plan C passen; Plan B hat dort \((3, 1, 3)\). 2. Die mittlere Reihe hat die Höhen \((2, 0, 2)\). Plan A zeigt \((2, 0, 2)\), Plan C dagegen \((0, 2, 0)\). Damit ist Plan C falsch. 3. Die hintere Reihe hat die Höhen \((3, 1, 3)\). Das stimmt mit der obersten Zeile von Plan A überein. 4. Daher ist Plan A korrekt.

Bauplan A beschreibt das Gebäude korrekt.

- Schau dir jedes Gebäude einzeln von der linken Seite an. - Zähle für jede der drei Reihen (von vorne nach hinten), wie viele Quadrate man maximal übereinander sieht. - Vergleiche dann die Gesamtsummen der beiden Gebäude.

1. Gebäude A (blau): Wir betrachten die maximale Höhe jeder Reihe von links. Reihe 1: \(\max(1, 2, 1) = 2\), Reihe 2: \(\max(1, 2, 1) = 2\), Reihe 3: \(\max(1, 2, 1) = 2\). Gesamtzahl: \(2 + 2 + 2 = 6\). 2. Gebäude B (orange): Reihe 1: \(\max(2, 1, 1) = 2\), Reihe 2: \(\max(0, 3, 0) = 3\), Reihe 3: \(\max(1, 1, 2) = 2\). Gesamtzahl: \(2 + 3 + 2 = 7\). 3. Vergleich: \(7 > 6\), also hat Gebäude B mehr sichtbare Quadrate von links.

Gebäude B hat in der Ansicht von links mehr sichtbare Quadrate. Es sind dort \(7\) Quadrate zu sehen, während es bei Gebäude A nur \(6\) Quadrate sind.

- Vergleiche jeden Turm des Gebäudes einzeln mit der entsprechenden Zahl im Plan. - Gehe systematisch vor: erst die vordere Reihe von links nach rechts, dann die hintere Reihe. - Findest du eine Stelle, an der die Höhe im Bild nicht mit der Zahl im Plan übereinstimmt?

1. Abgleich der vorderen Reihe: Im Gebäude G stehen vorne von links nach rechts \(1, 2, 1\) Würfel. Im Bauplan P steht in der unteren Zeile ebenfalls \(1, 2, 1\). Das ist korrekt. 2. Abgleich der hinteren Reihe: Im Gebäude G stehen hinten von links nach rechts überall gleich hohe Türme mit \(2\) Würfeln. Die korrekte Folge wäre also \(2, 2, 2\). 3. Identifikation des Fehlers: Im Bauplan P steht in der oberen Zeile (hinten) in der Mitte eine \(3\). Da der Turm im Gebäude G dort nur \(2\) Würfel hoch ist, ist die \(3\) falsch. 4. Ergebnis: Die \(3\) in der hinteren Reihe (Mitte) muss durch eine \(2\) ersetzt werden.

Die Zahl \(3\) im Bauplan (obere Reihe, Mitte) ist falsch. An dieser Stelle ist das Gebäude nur \(2\) Würfel hoch. Die richtige Zahl im Bauplan müsste also eine \(2\) sein.

- Vergleiche zuerst die vorderste Reihe des Gebäudes mit der untersten Reihe in den Bauplänen. - Suche nach einer Besonderheit, zum Beispiel einem leeren Feld (Höhe \(0\)) oder dem höchsten Turm. - Prüfe, ob links und rechts im Plan mit dem Bild übereinstimmen. - Gehe die Türme einzeln durch und hake sie im Kopf ab.

1. Das Gebäude hat vorne die Stapelhöhen \((0, 1, 3)\), in der Mitte \((1, 2, 1)\) und hinten \((2, 0, 1)\). 2. Plan A zeigt genau diese Reihenfolge: unten die Vorderreihe \((0, 1, 3)\), darüber \((1, 2, 1)\) und oben die Hinterreihe \((2, 0, 1)\). 3. Plan B vertauscht links und rechts; Plan C vertauscht Vorder- und Hinterreihe. Daher ist Plan A richtig.

Der richtige Bauplan ist Plan A.

- Gehe systematisch vor und notiere dir für jedes Feld die Anzahl der Würfel. - Addiere alle Zahlen in deinem Bauplan, um die Gesamtanzahl zu finden.

1. Der Bauplan enthält vorne die Höhen \((1, 1, 1)\), in der Mitte \((1, 0, 1)\) und hinten \((2, 2, 2)\). Im Plan wird die hintere Reihe oben und die vordere Reihe unten eingetragen. 2. Die Gesamtzahl beträgt \(1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 2 + 2 + 2 = 11\) Würfel.

a) Der Bauplan lautet: <table> <tr><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr> <tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr> <tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr> </table> b) Das Gebäude besteht aus \(11\) Würfeln.

- Vergleiche die vorderste Reihe des Gebäudes mit den Reihen im Bauplan. - Achte darauf, an welcher Himmelsrichtung die Zahlenfolge steht, die du vorne im Bild siehst.

1. Die vorderste Reihe der 3D-Ansicht hat die Höhen \((2, 3, 1)\). 2. Diese Folge steht im Bauplan in der obersten, nördlichen Zeile. 3. Da diese Reihe im Bild vorne liegt, wird das Gebäude von Norden aus betrachtet.

Das Würfelgebäude wird von Norden (N) aus betrachtet.

- Vergleiche die Höhe der Türme im Bild direkt mit den Feldern im Bauplan. - Die vordere Reihe im Bild entspricht der unteren Zeile in der Tabelle. - Überlege zuerst, wie viele Würfel aktuell vorhanden sind und wie viele es am Ende sein sollen.

1. Vorne links steht ein Turm mit \(3\) Würfeln. Diese Position ist im unvollständigen Bauplan mit \(x\) bezeichnet, also gilt \(x = 3\). 2. Hinten rechts steht ein Turm mit \(2\) Würfeln. Diese Position ist mit \(y\) bezeichnet, also gilt \(y = 2\). 3. Vorhanden sind \(3 + 1 + 2 + 2 = 8\) Würfel. Vier Türme der Höhe \(4\) enthalten zusammen \(4 \cdot 4 = 16\) Würfel. Daher müssen \(16 - 8 = 8\) Würfel hinzugefügt werden.

a) Die fehlenden Zahlen sind \(x = 3\) und \(y = 2\). b) Es müssten insgesamt \(8\) Würfel hinzugefügt werden.

- Überlege dir, wohin die einzelnen Türme wandern, wenn du das Gebäude drehst. - Du kannst dir einen festen Punkt am Boden merken und schauen, wo er nach der Drehung landet. - Ein Bauplan hilft dir, die Höhen der Türme übersichtlich zu notieren.

1. Der Bauplan des Gebäudes G lautet vor der Drehung vorne \((2, 1)\) und hinten \((3, 0)\). 2. Bei einer Drehung um \(90^\circ\) im Uhrzeigersinn wird daraus vorne \((1, 0)\) und hinten \((2, 3)\). 3. Diese Anordnung zeigt Bauplan B.

Bauplan B

- Versuche, im Kopf um die Gebäude herumzugehen. Siehst du bei zwei Gebäuden die gleiche Form? - Achte auf die Positionen der höchsten Türme zueinander. - Es kann helfen, für jedes Gebäude einen kleinen Bauplan zu zeichnen und diese dann zu drehen.

1. Bei Gebäude 1 bilden zwei benachbarte Zweiertürme eine Ecke; der einzelne Würfel steht am dritten Feld dieser L-Form. 2. Gebäude 2 besitzt dieselbe Anordnung nach einer Drehung um \(90^\circ\): Die beiden Zweiertürme bleiben benachbart, und der Einerwürfel liegt relativ dazu am gleichen Eckfeld. 3. Bei Gebäude 3 liegt der Einerwürfel am anderen Ende der L-Form. Diese Anordnung entsteht nicht durch eine Drehung von Gebäude 1. 4. Daher sind Gebäude 1 und 2 identisch.

Gebäude 1 und Gebäude 2

- Addiere alle Zahlen im Plan, um die Gesamtzahl der Würfel zu finden. - Stell dir vor, du stehst direkt vor dem Gebäude. Welche Würfel verdeckt ein hoher Stapel in der hinteren Reihe? - Bei der Ansicht von vorne zählt für jede Spalte nur der jeweils höchste Stapel in dieser Spalte. - Wenn du von links schaust, siehst du für jede Reihe (von vorne nach hinten) nur den höchsten Stapel dieser Reihe.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Würfel durch Addition aller Zahlen im Bauplan: \(1 + 2 + 0 + 3 + 1 + 2 = 9\). 2. Ermittlung der Ansicht von vorne durch Bestimmung der maximalen Höhe in jeder Spalte: - Linke Spalte: \(\max(1, 3) = 3\) - Mittlere Spalte: \(\max(2, 1) = 2\) - Rechte Spalte: \(\max(0, 2) = 2\) 3. Ermittlung der Ansicht von links durch Bestimmung der maximalen Höhe in jeder Reihe: - Vordere Reihe (unten im Plan): \(\max(1, 2, 0) = 2\) - Hintere Reihe (oben im Plan): \(\max(3, 1, 2) = 3\)

a) Es wurden insgesamt \(9\) Würfel verbaut. b) Von vorne sieht man links \(3\), in der Mitte \(2\) und rechts \(2\) Würfel. c) Von links sieht man in der vorderen Reihe \(2\) und in der hinteren Reihe \(3\) Würfel.

- Für die Vorderansicht schaust du, welcher Stapel in jeder Spalte am höchsten ist. - Für die Seitenansicht von links stellst du dir vor, du stehst links neben dem Gebäude und schaust darauf. Die vorderste Reihe ist dann ganz rechts in deinem Blickfeld. - Zähle für die Gesamtzahl die Würfel jedes einzelnen Stapels im Gebäude zusammen.

a) Für die Vorderansicht nimmt man in jeder Spalte die größte Turmhöhe: \(\max(2, 2, 2) = 2\), \(\max(2, 1, 0) = 2\), \(\max(0, 0, 2) = 2\). Die Vorderansicht lautet \((2, 2, 2)\). b) Für die Seitenansicht von links nimmt man die Maximalhöhen der Reihen. Von links nach rechts erscheinen hintere, mittlere und vordere Reihe; alle haben die Höhe \(2\). Die Seitenansicht lautet \((2, 2, 2)\). c) Die Reihen enthalten \(2 + 2 + 0 = 4\), \(2 + 1 + 0 = 3\) und \(2 + 0 + 2 = 4\) Würfel. Insgesamt sind es \(4 + 3 + 4 = 11\) Würfel.

a) Die Vorderansicht ist \(2, 2, 2\). b) Die Seitenansicht von links ist \(2, 2, 2\). c) Das Gebäude besteht aus \(11\) Würfeln.

- Stell dir vor, du läufst um das Gebäude herum. Was siehst du von der anderen Seite? - In einer Seitenansicht siehst du in jeder Reihe oder Spalte nur die Höhe des höchsten Turms. - Überlege dir, welche Seite des Gebäudes in deiner Ansicht links abgebildet werden muss.

1. Für die Ansicht von hinten bestimmt man zunächst die Spaltenmaxima \((3, 2, 3, 2)\) und kehrt ihre Reihenfolge um. Die Ansicht von hinten lautet \((2, 3, 2, 3)\). 2. Für die Ansicht von rechts bestimmt man die Maximalhöhe jeder Reihe von vorne nach hinten: \(3\), \(2\), \(3\). Die Ansicht von rechts lautet daher \((3, 2, 3)\).

Ansicht von hinten: \(2, 3, 2, 3\) Ansicht von rechts: \(3, 2, 3\)

- Die Würfelzahl ist bei allen drei Teilen gleich; suche deshalb nach einer Formeigenschaft. - Überlege, wie man einen \(2 \times 2 \times 2\)-Würfel in zwei gleich große Hälften zerlegen kann. - Prüfe bei jedem Bauteil, welche räumliche Form es nach einer Drehung annehmen kann.

1. Alle drei Bauteile bestehen aus \(4\) Würfeln. Durch Zählen allein kann man also nicht entscheiden. 2. A ist eine vollständige \(2 \times 2 \times 1\)-Schicht. 3. B ist dieselbe Art von Schicht in einer anderen räumlichen Lage: Nach einer Drehung bildet B ebenfalls eine \(2 \times 2 \times 1\)-Schicht. 4. Legt man A und B als zwei parallele Schichten übereinander, füllen sie genau den \(2 \times 2 \times 2\)-Würfel. 5. C ist keine flache \(2 \times 2\)-Schicht. Von einem Eckwürfel gehen Würfel in drei zueinander senkrechte Richtungen aus. Durch Drehen wird daraus keine vollständige \(2 \times 2\)-Schicht. 6. Daher bleiben bei der passenden Zusammensetzung A und B im großen Würfel und C übrig.

Bauteil C bleibt übrig.

- Zähle zuerst bei jedem Gebäude, aus wie vielen Würfeln es insgesamt besteht. - Schau dir die Höhe der einzelnen Türme in den Gebäuden an. Gibt es einen Turm, der besonders hoch ist? - Versuche dir vorzustellen, wie ein Gebäude aussieht, wenn du es von einer anderen Seite betrachtest. - Achte darauf, ob die Anordnung der hohen und niedrigen Stapel bei allen Gebäuden logisch zusammenpasst.

1. Alle Gebäude A bis E bestehen aus insgesamt \(6\) Würfeln. 2. Die Gebäude A, B, C und E besitzen jeweils einen Turm mit \(3\) Würfeln und drei Türme mit je \(1\) Würfel. Durch Drehung um die senkrechte Achse können diese Gebäude ineinander überführt werden. 3. Gebäude D besteht dagegen aus zwei Türmen mit je \(2\) Würfeln und zwei Türmen mit je \(1\) Würfel. Es hat daher eine andere räumliche Struktur und ist das gesuchte Gebäude.

Gebäude D ist das falsche Gebäude.

- Überlege dir zuerst, wie hoch das Gebäude in jeder der drei Spalten von vorne gesehen ist. - Was müsste sich an diesen Höhen ändern, damit die linke und die rechte Seite gleich aussehen? - Achte darauf, dass bei jedem Plan genau ein Würfel zum ursprünglichen Gebäude hinzugefügt wurde. - Prüfe für jeden Bauplan einzeln, welche Ansicht von vorne dadurch entsteht.

1. Für die Vorderansicht bestimmen wir in jeder Spalte die größte Turmhöhe: - Linke Spalte: \(\max(1, 2) = 2\). - Mittlere Spalte: \(\max(2, 3) = 3\). - Rechte Spalte: \(\max(1, 1) = 1\). Die Vorderansicht hat also die Höhen \((2, 3, 1)\). 2. Nach dem Hinzufügen eines Würfels soll die Vorderansicht symmetrisch sein. Dafür müssen die Höhen \((2, 3, 2)\) lauten. In der rechten Spalte muss also ein Turm um einen Würfel erhöht werden. 3. Bauplan A erhöht den vorderen rechten Turm von \(1\) auf \(2\). Die neue Vorderansicht lautet \((2, 3, 2)\) und ist symmetrisch. - Bauplan B verändert die Vorderansicht nicht; sie bleibt \((2, 3, 1)\). - Bauplan C führt zur Vorderansicht \((3, 3, 1)\). - Bauplan D führt zur Vorderansicht \((2, 4, 1)\). Nur Bauplan A erfüllt die Bedingung.

Bauplan A

- Wie viele Würfel hat das gesamte Gebäude insgesamt? - Wenn zwei gleiche Teile übereinander liegen, wie viele Würfel muss dann jeder Teil haben? - Schau dir genau an, wo das Gebäude Lücken hat. Sind diese Lücken in der vorderen oder in der hinteren Reihe? - Beachte, dass in einem Bauplan die untere Zeile immer für die Vorderseite des Gebäudes steht.

1. Analysiere die Struktur des Gebäudes: Das Gebäude hat eine Grundfläche von \(3 \times 2\) Feldern. In der vorderen Reihe ist das mittlere Feld leer (Höhe \(0\)). Alle anderen Felder haben eine Höhe von \(2\) Würfeln. 2. Da das Gebäude aus zwei identischen, übereinander liegenden Schichten besteht, muss jede Schicht genau die halbe Höhe haben. Das bedeutet, ein einzelner Baustein hat an den Stellen mit Höhe \(2\) jeweils einen Würfel (Höhe \(1\)) und an der leeren Stelle keinen Würfel. 3. Überprüfe die Baupläne: Im Bauplan wird die vorderste Reihe unten dargestellt. 4. Bauplan A zeigt eine vordere Reihe mit \(1\), Lücke, \(1\) und eine hintere Reihe mit \(1\), \(1\), \(1\). Dies entspricht genau einer Schicht des Gebäudes. 5. Bauplan B hat nur \(4\) Würfel, das Gebäude hat aber insgesamt \(10\) Würfel, also müsste ein Teil \(5\) Würfel haben. 6. Bauplan C hat die Lücke in der hinteren Reihe. Somit ist Bauplan A korrekt.

Bauplan A ist der richtige Plan.

- Überlege bei jeder Ansicht, welche Würfelstapel hintereinander liegen. - In einer Ansichts-Spalte ist nur die größte Höhe entlang der Blickrichtung entscheidend. - Bearbeite Vorderansicht und rechte Seitenansicht getrennt und achte auf die verlangte Reihenfolge.

1. Für die Vorderansicht zählt in jeder Spalte die größte Stapelhöhe entlang der Blickrichtung. Von links nach rechts sind die größten Höhen \(2, 2, 3\). 2. Für die rechte Seitenansicht zählt entsprechend in jeder Reihe die größte Stapelhöhe. Von vorne nach hinten sind die Höhen \(3, 2, 1\). 3. Diese Höhenfolgen bestimmen die beiden zu zeichnenden Ansichten.

Vorderansicht: \(2, 2, 3\) Rechte Seitenansicht: \(3, 2, 1\)

- Prüfe zunächst, welche Eigenschaften bei einer Drehung unverändert bleiben. - Betrachte besonders die Lage des höchsten Turms zu den unmittelbar benachbarten Stapeln. - Frage dich, ob diese Nachbarn vom hohen Turm aus in einer geraden Linie oder in zwei verschiedenen Richtungen liegen.

1. Alle drei Gebäude bestehen aus \(7\) Würfeln. Die Gesamtzahl entscheidet die Aufgabe also nicht. 2. Bei A steht der Turm der Höhe \(3\) am Knick einer L-förmigen Grundform. Von diesem Feld gehen zwei Arme im rechten Winkel ab. 3. B hat dieselbe Anordnung nach einer Drehung. Auch dort liegt der hohe Turm am Knick derselben L-Form. 4. Bei C liegt der Turm der Höhe \(3\) auf einem geraden Arm: Die beiden direkt angrenzenden belegten Felder liegen in entgegengesetzten Richtungen. 5. Diese Nachbarschaft kann durch Drehen nicht in die L-Anordnung von A und B überführt werden. Daher ist C das Kuckucksei.

Gebäude C ist das Kuckucksei.

- Für jede Spalte des Bauplans muss die größte Turmhöhe zur entsprechenden Höhe der Vorderansicht passen. - Für jede Reihe muss die größte Turmhöhe zur entsprechenden Höhe der rechten Seitenansicht passen. - Kontrolliere zusätzlich, dass die sechs Einträge des Bauplans zusammen genau die angegebene Würfelzahl ergeben. - Suche nach einer Stelle, an der du Würfel zwischen vorderer und hinterer Reihe verschieben kannst, ohne eine maximale Ansichtshöhe zu verändern.

1. In jeder Spalte muss die größte der beiden Turmhöhen mit der Vorderansicht \(3, 2, 2\) übereinstimmen. Außerdem müssen die größten Höhen der vorderen und hinteren Reihe \(3\) beziehungsweise \(2\) sein. 2. Ein möglicher Bauplan ist vorne \(3, 1, 2\) und hinten \(0, 2, 0\). Die Summe ist \(3 + 1 + 2 + 0 + 2 + 0 = 8\); die beiden Ansichten stimmen. 3. Ein zweiter möglicher Bauplan ist vorne \(3, 0, 2\) und hinten \(1, 2, 0\). Auch hier beträgt die Summe \(8\), und beide Ansichten bleiben unverändert. 4. Damit ist gezeigt, dass die Ansichten zusammen mit der Würfelzahl den Bauplan hier nicht eindeutig bestimmen.

Zum Beispiel: Bauplan 1: vorne \(3, 1, 2\), hinten \(0, 2, 0\) Bauplan 2: vorne \(3, 0, 2\), hinten \(1, 2, 0\) Die Angaben bestimmen den Bauplan nicht eindeutig. Andere passende Bauplanpaare sind möglich.