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- Gehe die 6er-Reihe im Kopf durch. - Kannst du die Zahl ohne Rest durch 6 teilen? - Überprüfe jede Zahl einzeln.

1. Prüfung der Teilbarkeit jeder Zahl durch \(6\). 2. Berechnung der Ergebnisse: \(12 : 6 = 2\), \(18 : 6 = 3\), \(30 : 6 = 5\), \(42 : 6 = 7\), \(48 : 6 = 8\), \(60 : 6 = 10\). 3. Die Zahlen \(22\), \(34\), \(56\) und \(64\) sind nicht ohne Rest durch \(6\) teilbar. 4. Die Vielfachen von \(6\) aus der Liste sind \(12\), \(18\), \(30\), \(42\), \(48\) und \(60\).

\(12\), \(18\), \(30\), \(42\), \(48\), \(60\)

- Denke an die Folge der Vielfachen, die entsteht, wenn immer wieder \(50\,000\) hinzukommt. - Prüfe jede Kandidatenzahl unabhängig und suche für mögliche Treffer den zugehörigen natürlichen Faktor. - Eine bloße Auswahl reicht nicht: Kontrolliere jeden Treffer mit einer Multiplikation.

1. \(150\,000 = 3 \cdot 50\,000\), also ist \(150\,000\) ein Vielfaches von \(50\,000\). 2. \(200\,000 = 4 \cdot 50\,000\), also ist \(200\,000\) ein Vielfaches von \(50\,000\). 3. \(350\,000 = 7 \cdot 50\,000\), also ist \(350\,000\) ein Vielfaches von \(50\,000\). 4. Für \(170\,000\), \(210\,000\) und \(370\,000\) gibt es keinen natürlichen Faktor \(n\) mit \(n \cdot 50\,000\) gleich der jeweiligen Zahl.

\(150\,000 = 3 \cdot 50\,000\) \(200\,000 = 4 \cdot 50\,000\) \(350\,000 = 7 \cdot 50\,000\)

- Bestimme zuerst das gemeinsame Produkt auf der vollständig gegebenen Seite. - Frage dann, durch welchen bekannten Faktor dieses Produkt geteilt werden muss. - Wähle anschließend eine deiner vollständigen Multiplikationsgleichungen und formuliere die passende Umkehraufgabe.

1. a) Das gemeinsame Produkt ist \(240\). Daher gilt \(240 : 4 = 60\). 2. b) Das gemeinsame Produkt ist \(300\). Daher gilt \(300 : 30 = 10\). 3. c) Das gemeinsame Produkt ist \(360\). Daher gilt \(360 : 6 = 60\). 4. Eine passende Umkehraufgabe zu a) ist \(240 : 60 = 4\). Sie bestätigt, dass \(60\) ein Faktor beziehungsweise Teiler von \(240\) ist.

a) \(60\) b) \(10\) c) \(60\) Probe: \(240 : 60 = 4\).

- Schreibe eine Divisionsaufgabe als passende Multiplikationsaufgabe um, wenn dir das hilft. - Frage bei jeder Lücke, welche Zahl mit der bekannten Zahl das gegebene Produkt bildet. - Für die Probe nimmst du eine vollständige Aufgabe und wechselst zur Umkehraufgabe.

1. a) \(8\), denn \(80 \cdot 8 = 640\). Also sind \(80\) und \(8\) Faktoren von \(640\). 2. b) \(7\), denn \(60 \cdot 7 = 420\). Also sind \(60\) und \(7\) Teiler von \(420\). 3. c) \(80\), denn \(80 \cdot 9 = 720\). Also sind \(80\) und \(9\) Faktoren von \(720\). 4. d) \(90\), denn \(90 \cdot 4 = 360\). Also sind \(90\) und \(4\) Teiler von \(360\). 5. Zwei passende Umkehraufgaben sind zum Beispiel \(640 : 80 = 8\) und \(7 \cdot 60 = 420\).

a) \(8\); \(80\) und \(8\) sind Faktoren von \(640\). b) \(7\); \(60\) und \(7\) sind Teiler von \(420\). c) \(80\); \(80\) und \(9\) sind Faktoren von \(720\). d) \(90\); \(90\) und \(4\) sind Teiler von \(360\). Proben: \(640 : 80 = 8\) und \(7 \cdot 60 = 420\).

- Suche bei den Multiplikationen danach, welche zwei Faktoren dasselbe Produkt ergeben. - Forme jede Division als passende Multiplikation um, ohne neue Zahlen zu erfinden. - Vergleiche anschließend die Rollen von Faktor, Produkt, Divisor und Dividend.

1. A: \(90 \cdot 4 = 360\). Damit sind \(90\) und \(4\) Faktoren von \(360\). 2. C: \(60 \cdot 6 = 360\). Damit sind \(60\) und \(6\) Faktoren von \(360\). 3. E: \(12 \cdot 30 = 360\). Damit sind \(12\) und \(30\) Faktoren von \(360\). 4. B: \(420 : 7 = 60\) gehört zu \(7 \cdot 60 = 420\). Daher ist \(7\) ein Teiler von \(420\). 5. D: \(480 : 8 = 60\) gehört zu \(8 \cdot 60 = 480\). Daher ist \(8\) ein Teiler von \(480\). 6. F: \(360 : 6 = 60\) gehört zu \(6 \cdot 60 = 360\). Daher ist \(6\) ein Teiler von \(360\). 7. Multiplikation nennt die Faktoren eines Produkts; die zugehörige Division zeigt dieselbe Beziehung ausgehend vom Produkt.

a) A: \(90\) und \(4\); C: \(60\) und \(6\); E: \(12\) und \(30\) sind jeweils Faktoren von \(360\). b) B: \(7 \cdot 60 = 420\), also ist \(7\) ein Teiler von \(420\). D: \(8 \cdot 60 = 480\), also ist \(8\) ein Teiler von \(480\). F: \(6 \cdot 60 = 360\), also ist \(6\) ein Teiler von \(360\). c) Zum Beispiel: \(60 \cdot 6 = 360\) und \(360 : 6 = 60\) beschreiben dieselbe Faktor-Teiler-Beziehung.

- Lies jede Tabellenzeile als zusammengehörige Multiplikations- und Divisionsbeziehung. - Wenn Dividend und ein Faktor bekannt sind, findest du den anderen Faktor durch Division. - Prüfe jede Zeile mit Divisor mal Quotient.

1. a) \(4 \cdot 90 = 360\), also ist der Dividend \(360\). 2. b) Aus \(480 : 6 = 80\) folgt, dass der Divisor \(80\) ist. 3. c) \(6300 : 7 = 900\), also ist der Quotient \(900\). 4. In jeder Zeile bilden Divisor und Quotient ein Faktorenpaar des Dividenden.

a) \(360\) b) \(80\) c) \(900\) In jeder Zeile sind Divisor und Quotient Faktoren des Dividenden.

- Schreibe zuerst alle Teiler der ersten Zahl auf. - Schreibe danach alle Teiler der zweiten Zahl auf. - Welche Zahlen stehen in beiden Listen? - Denk an die Endziffern – sie verraten dir oft, ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist.

1. Alle Teiler von \(20\) finden: \(1, 2, 4, 5, 10, 20\). 2. Alle Teiler von \(30\) finden: \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\). 3. Vergleich der beiden Listen und Auswahl der identischen Zahlen: \(1, 2, 5, 10\).

Die gemeinsamen Teiler von \(20\) und \(30\) sind: \(1, 2, 5, 10\).

- Gehe die Achterreihe im Kopf durch. - Was bedeutet das Wort „zwischen“ für die Randzahlen? - Wie hängen die Zahlen mit Rest mit der Malfolge zusammen? - Addiere den Rest zu den Ergebnissen der Achterreihe.

1. Die Vielfachen von \(8\) zwischen \(40\) und \(90\) sind \(8 \cdot 6 = 48\), \(8 \cdot 7 = 56\), \(8 \cdot 8 = 64\), \(8 \cdot 9 = 72\), \(8 \cdot 10 = 80\) und \(8 \cdot 11 = 88\). 2. Für den Rest \(5\) beginnt man bei \(5\) und geht jeweils \(8\) weiter: \(5, 13, 21, 29, 37\). Jede dieser Zahlen ist um \(5\) größer als ein Vielfaches von \(8\).

a) \(48, 56, 64, 72, 80, 88\) b) \(5, 13, 21, 29, 37\)

- Bearbeite die Divisoren der Reihe nach und notiere zu jedem einen Quotienten. - Prüfe jeden Quotienten durch Rückmultiplikation; bleibt etwas übrig, ist dieser Teil der Rest. - Achte darauf, dass ein Rest immer kleiner als der jeweilige Divisor sein muss.

1. \(1680 : 2 = 840\) 2. \(1680 : 3 = 560\) 3. \(1680 : 4 = 420\) 4. \(1680 : 5 = 336\) 5. \(1680 : 6 = 280\) 6. \(1680 : 7 = 240\) 7. \(1680 : 8 = 210\) 8. \(1680 : 9 = 186\,\text{Rest}\,6\) 9. \(1680 : 10 = 168\)

\(1680 : 2 = 840\); \(1680 : 3 = 560\); \(1680 : 4 = 420\); \(1680 : 5 = 336\); \(1680 : 6 = 280\); \(1680 : 7 = 240\); \(1680 : 8 = 210\); \(1680 : 9 = 186\,\text{Rest}\,6\); \(1680 : 10 = 168\)

- Zerlege \(1260\) bei Bedarf in Summanden, die sich mit dem jeweiligen Divisor leichter teilen lassen. - Kontrolliere einen gefundenen Quotienten durch Multiplikation und prüfe, ob ein Rest übrig bleibt. - Vergleiche am Ende nur die drei Reste: Welche davon sind \(0\)?

1. \(1260 : 7 = 180\). Die Division geht ohne Rest auf. 2. \(1260 : 8 = 157\,\text{Rest}\,4\). 3. \(1260 : 9 = 140\). Die Division geht ohne Rest auf. 4. Damit gehen die Divisionen durch \(7\) und \(9\) ohne Rest auf.

a) \(180\) b) \(157\,\text{Rest}\,4\) c) \(140\) Ohne Rest gehen die Divisionen durch \(7\) und \(9\) auf.

- Achte auf die letzte Ziffer der Zahlen. - Welche Endziffern haben Zahlen, die man gerecht halbieren kann? - Woran erkennst du Zahlen aus der 5er-Reihe oder der 10er-Reihe?

1. Anwendung der Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist durch \(2\) teilbar, wenn sie auf \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\) endet. Sie ist durch \(5\) teilbar, wenn sie auf \(0\) oder \(5\) endet. Sie ist durch \(10\) teilbar, wenn sie auf \(0\) endet. 2. Prüfung der einzelnen Zahlen: - \(240\): Endziffer \(0 \rightarrow\) teilbar durch \(2, 5, 10\). - \(245\): Endziffer \(5 \rightarrow\) teilbar durch \(5\). - \(252\): Endziffer \(2 \rightarrow\) teilbar durch \(2\). - \(260\): Endziffer \(0 \rightarrow\) teilbar durch \(2, 5, 10\). - \(265\): Endziffer \(5 \rightarrow\) teilbar durch \(5\). - \(278\): Endziffer \(8 \rightarrow\) teilbar durch \(2\).

Teilbar durch \(2\): \(240, 252, 260, 278\) Teilbar durch \(5\): \(240, 245, 260, 265\) Teilbar durch \(10\): \(240, 260\)

- Überlege, in welchen Einmaleins-Reihen die Zahl vorkommt. - Jede Zahl lässt sich mindestens durch \(1\) und sich selbst teilen. - Findest du Zahlenpaare, die multipliziert genau deine Zielzahl ergeben? - Gehe die Zahlen der Reihe nach durch: Ist die Zahl durch \(2\) teilbar? Durch \(3\)?

1. Teiler von \(15\): Durch Probieren der Multiplikationspaare (\(1 \cdot 15\), \(3 \cdot 5\)) ergeben sich die Teiler \(1\), \(3\), \(5\) und \(15\). 2. Teiler von \(24\): Die Paare (\(1 \cdot 24\), \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\), \(4 \cdot 6\)) ergeben die Teiler \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(12\) und \(24\). 3. Teiler von \(28\): Die Paare (\(1 \cdot 28\), \(2 \cdot 14\), \(4 \cdot 7\)) ergeben die Teiler \(1\), \(2\), \(4\), \(7\), \(14\) und \(28\). 4. Teiler von \(30\): Die Paare (\(1 \cdot 30\), \(2 \cdot 15\), \(3 \cdot 10\), \(5 \cdot 6\)) ergeben die Teiler \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(6\), \(10\), \(15\) und \(30\).

\(15\): \(1, 3, 5, 15\) \(24\): \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\) \(28\): \(1, 2, 4, 7, 14, 28\) \(30\): \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\)

- Gehe die Einmaleins-Reihen beider Zahlen nacheinander durch. - Welche Zahlen kommen in beiden Reihen vor? - Achte darauf, dass deine Zahlen im geforderten Bereich liegen.

1. Die Vielfachen von \(4\) im Bereich sind \(12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48\). 2. Die Vielfachen von \(6\) im Bereich sind \(12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\). 3. In beiden Listen stehen \(12, 24, 36, 48\).

\(12, 24, 36, 48\)

- Denke an die kleinen Einmaleins-Aufgaben und hänge die Nullen passend an. - Wenn eine Zahl auf eine Null endet, ist sie immer durch \(10\) teilbar. - Kannst du die Zahl halbieren? Dann ist \(2\) einer der Faktoren. - Überlege, welche Zehnerzahlen (wie \(20, 30, 40 \dots\)) in die Zielzahl passen könnten.

1. Für \(180\): Mögliche Zerlegungen sind \(2 \cdot 90 = 180\), \(3 \cdot 60 = 180\), \(6 \cdot 30 = 180\), \(9 \cdot 20 = 180\) oder \(10 \cdot 18 = 180\). 2. Für \(280\): Mögliche Zerlegungen sind \(2 \cdot 140 = 280\), \(4 \cdot 70 = 280\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(10 \cdot 28 = 280\) oder \(14 \cdot 20 = 280\). 3. Für \(400\): Mögliche Zerlegungen sind \(2 \cdot 200 = 400\), \(4 \cdot 100 = 400\), \(5 \cdot 80 = 400\), \(8 \cdot 50 = 400\), \(10 \cdot 40 = 400\) oder \(20 \cdot 20 = 400\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(2 \cdot 90\), \(3 \cdot 60\), \(6 \cdot 30\) b) \(4 \cdot 70\), \(7 \cdot 40\), \(10 \cdot 28\) c) \(4 \cdot 100\), \(8 \cdot 50\), \(20 \cdot 20\)

- Kennst du eine Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins, deren Ergebnis 32 ist? - Was passiert, wenn du die 320 halbierst? - Kannst du eine der Zahlen verdoppeln und die andere dafür halbieren, um ein neues Paar zu finden?

1. Zerlegung der Zahl \(320\) unter Nutzung bekannter kleinerer Malaufgaben (z. B. aus dem kleinen Einmaleins). 2. Testen von Teilern: \(320 : 2 = 160\), also \(2 \cdot 160 = 320\). 3. \(320 : 4 = 80\), also \(4 \cdot 80 = 320\). 4. \(320 : 8 = 40\), also \(8 \cdot 40 = 320\). 5. \(320 : 20 = 16\), also \(20 \cdot 16 = 320\). Mögliche Paare sind zum Beispiel \((2, 160)\), \((4, 80)\), \((8, 40)\) oder \((16, 20)\).

Mögliche Antworten sind: \(2 \cdot 160\) \(4 \cdot 80\) \(8 \cdot 40\) \(16 \cdot 20\) (Drei dieser oder ähnlicher Paare müssen genannt werden.)

- Erinnere dich an die Division durch \(10\). Was ändert sich, wenn du durch \(100\) teilst? - Schau dir die Endziffern der Zahlen genau an. - Gibt es eine Gemeinsamkeit bei den Zahlen, die gut durch \(100\) zu teilen sind?

1. Prüfung der Teilbarkeit durch \(100\) (Zahlen müssen auf mindestens zwei Nullen enden): \(4800\), \(12\,000\) und \(30\,500\) erfüllen die Bedingung. 2. Durchführung der Divisionen: \(4800 : 100 = 48\) \(12\,000 : 100 = 120\) \(30\,500 : 100 = 305\) 3. Formulierung der Regel: Eine Zahl ist ohne Rest durch \(100\) teilbar, wenn sie an den letzten beiden Stellen (Einer- und Zehnerstelle) jeweils eine Null hat.

a) Die Zahlen sind: \(4800 : 100 = 48\) \(12\,000 : 100 = 120\) \(30\,500 : 100 = 305\) b) Man erkennt es daran, dass die Zahl am Ende mindestens zwei Nullen hat.

- Lies bei jedem Feld ab, wie viele Punkte in einer Reihe liegen. - Die Gesamtzahl \(48\) ist der Dividend; die Punktzahl pro Reihe kann als Divisor verwendet werden. - Prüfe, ob dein Quotient mit der sichtbaren Anzahl der Reihen übereinstimmt.

1. Feld A hat \(12\) Punkte pro Reihe und \(4\) Reihen, also \(48 : 12 = 4\). 2. Feld B hat \(8\) Punkte pro Reihe und \(6\) Reihen, also \(48 : 8 = 6\). 3. Feld C hat \(6\) Punkte pro Reihe und \(8\) Reihen, also \(48 : 6 = 8\). 4. Die Quotienten sind \(4, 6, 8\).

A: \(48 : 12 = 4\), B: \(48 : 8 = 6\), C: \(48 : 6 = 8\). Die Quotienten sind \(4, 6, 8\).

- Lies an zwei benachbarten Landepunkten ab, um wie viel die Zahl bei einem Sprung wächst. - Überlege für b), wie oft dieselbe Sprungweite in den Zielwert passt. - Für c) verbindest du Anzahl der Sprünge und Sprungweite mit einer Multiplikation.

1. Die dargestellten Sprünge gehen jeweils um \(40\,000\) weiter. 2. Für \(200\,000\) braucht man \(200\,000 : 40\,000 = 5\) Sprünge. 3. Der letzte dargestellte Wert ist \(120\,000\). Es gilt \(3 \cdot 40\,000 = 120\,000\). 4. Außerdem gilt \(5 \cdot 40\,000 = 200\,000\). Daher sind beide Zahlen Vielfache von \(40\,000\).

a) \(40\,000\) b) \(5\) Sprünge c) \(3 \cdot 40\,000 = 120\,000\) und \(5 \cdot 40\,000 = 200\,000\)

- Das Problem fragt nach allen Teilern der Zahl 30. - Kann es eine Gruppe mit nur einem Kind geben? Oder eine Gruppe mit allen Kindern? - Gehe die Zahlen von 1 bis 10 durch und schaue, bei welcher Zahl kein Rest bleibt.

1. Ermittlung aller Teiler der Zahl \(30\). 2. Prüfung der Teilbarkeit: \(30 : 1 = 30\), \(30 : 2 = 15\), \(30 : 3 = 10\), \(30 : 5 = 6\). 3. Die Teiler sind \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15\) und \(30\).

Es sind folgende Gruppengrößen möglich: \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15\) und \(30\) Kinder.

- Kannst du die 15er-Reihe aufschreiben? - Nutze Hilfsrechnungen wie \(15 \cdot 10\), um dich im Zahlenraum zu orientieren. - Wenn eine Zahl bei der Division durch \(15\) den Rest \(4\) lässt, ist sie um \(4\) größer als ein Vielfaches von \(15\).

1. Vielfache von \(15\) im Bereich finden: \(15 \cdot 7 = 105\), \(15 \cdot 8 = 120\), \(15 \cdot 9 = 135\), \(15 \cdot 10 = 150\), \(15 \cdot 11 = 165\), \(15 \cdot 12 = 180\), \(15 \cdot 13 = 195\). 2. Zahlen mit Rest \(4\) berechnen: \(15 \cdot 2 + 4 = 34\), \(15 \cdot 3 + 4 = 49\), \(15 \cdot 4 + 4 = 64\), \(15 \cdot 5 + 4 = 79\).

a) \(105, 120, 135, 150, 165, 180, 195\) b) \(34, 49, 64, 79\)

- Rechne die Aufgaben nacheinander aus und achte besonders auf die letzte Ziffer der Zahl. - Schau dir die Reste am Ende deiner Rechnungen genau an. Gibt es eine Gemeinsamkeit?

1. Es gilt \(3361 : 2 = 1680\,\text{Rest}\,1\), \(3361 : 3 = 1120\,\text{Rest}\,1\), \(3361 : 5 = 672\,\text{Rest}\,1\) und \(3361 : 10 = 336\,\text{Rest}\,1\). 2. Bei allen vier Divisionen bleibt derselbe Rest \(1\).

a) \(3361 : 2 = 1680\,\text{Rest}\,1\); \(3361 : 3 = 1120\,\text{Rest}\,1\); \(3361 : 5 = 672\,\text{Rest}\,1\); \(3361 : 10 = 336\,\text{Rest}\,1\) b) Bei allen Divisionen bleibt der Rest \(1\).

- Suche die Teiler für jede Zahl zunächst getrennt. - Ordne mögliche Faktoren von klein nach groß und suche jeweils den passenden Partner. - Prüfe systematisch, bis sich nur noch bereits gefundene Faktorenpaare in umgekehrter Reihenfolge ergeben. - Zähle erst danach die Teiler jeder Zahl und vergleiche die drei Anzahlen.

1. Die Teiler von \(21\) sind \(1, 3, 7, 21\). Das sind \(4\) Teiler. 2. Die Teiler von \(36\) sind \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\). Das sind \(9\) Teiler. 3. Die Teiler von \(40\) sind \(1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\). Das sind \(8\) Teiler. 4. Weil \(9 > 8 > 4\), hat \(36\) die meisten Teiler.

a) Teiler von \(21\): \(1, 3, 7, 21\); Teiler von \(36\): \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\); Teiler von \(40\): \(1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\). b) Die Zahl \(36\) hat die meisten Teiler.

- Teile die Aufgabe in zwei Schritte auf: Berechne erst den Wert der bekannten Kisten. - Was muss mit dem Restbetrag möglich sein, damit die Anzahl der Kisten eine ganze Zahl ergibt? - Überlege dir für den zweiten Teil, wie viel Geld für das Wasser übrig bliebe, wenn die Rechnung \(960\,\text{€}\) hoch wäre.

1. Berechnung der Kosten für den Apfelsaft: \(44 \cdot 14\,\text{€} = 616\,\text{€}\) 2. Ermittlung des für Mineralwasser verfügbaren Betrags: \(952\,\text{€} - 616\,\text{€} = 336\,\text{€}\) 3. Bestimmung der Anzahl der Wasserkisten: \(336\,\text{€} : 6\,\text{€} = 56\) 4. Prüfung der Behauptung für \(960\,\text{€}\): Verbleibender Betrag nach Abzug des Saftes wäre \(960\,\text{€} - 616\,\text{€} = 344\,\text{€}\). 5. Überprüfung der Teilbarkeit: \(344 = 6 \cdot 57 + 2\). Da der Betrag nicht ohne Rest durch \(6\,\text{€}\) teilbar ist, kann man keine ganze Anzahl an Kisten dafür kaufen.

a) Es wurden \(56\) Kisten Mineralwasser gekauft. b) Nein, das ist nicht möglich. Wenn man \(616\,\text{€}\) für Saft abzieht, bleiben \(344\,\text{€}\) übrig. Dieser Betrag lässt sich nicht ohne Rest durch den Kistenpreis von \(6\,\text{€}\) teilen, denn \(344 = 6 \cdot 57 + 2\).

- Suche zuerst nach der kleinsten Zahl über \(100\), die in der \(30\)er-Reihe und in der \(40\)er-Reihe vorkommt. - Wie hängen die Reihen von \(3\) und \(4\) mit den Reihen von \(30\) und \(40\) zusammen? - Wenn du die erste passende Zahl gefunden hast, sind auch deren Verdopplungen oder Verdreifachungen oft Lösungen.

1. Vielfache von \(30\) im Bereich von \(100\) bis \(500\) bestimmen: \(120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390, 420, 450, 480\). 2. Vielfache von \(40\) im Bereich von \(100\) bis \(500\) bestimmen: \(120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480\). 3. Gemeinsame Zahlen in beiden Listen finden: \(120\), \(240\), \(360\) und \(480\). 4. Überprüfung der Produkte: \(4 \cdot 30 = 120\) und \(3 \cdot 40 = 120\) \(8 \cdot 30 = 240\) und \(6 \cdot 40 = 240\) \(12 \cdot 30 = 360\) und \(9 \cdot 40 = 360\) \(16 \cdot 30 = 480\) und \(12 \cdot 40 = 480\)

Die gesuchten Zahlen sind \(120\), \(240\), \(360\) und \(480\).

- Bestimme in jeder Zeile zuerst den Quotienten der vollständig gegebenen Division. - Nutze denselben Quotienten anschließend als Faktor in der noch unvollständigen Multiplikationsbeziehung. - Prüfe bei jeder fertigen Division, welche zwei Zahlen miteinander multipliziert den Dividenden ergeben; genau diese Beziehung begründet die Teileraussage.

1. a) \(324 : 4 = 81\). Deshalb muss auch \(\Box : 9 = 81\) gelten, also \(9 \cdot 81 = 729\). Die Lücke ist \(729\). 2. b) \(735 : 7 = 105\). Deshalb muss \(525 : \Box = 105\) gelten. Aus \(5 \cdot 105 = 525\) folgt die Lücke \(5\). 3. Zu a) gehören \(4 \cdot 81 = 324\) und \(9 \cdot 81 = 729\). Damit sind \(4\) und \(81\) Teiler von \(324\) sowie \(9\) und \(81\) Teiler von \(729\). 4. Zu b) gehören \(7 \cdot 105 = 735\) und \(5 \cdot 105 = 525\). Damit sind \(7\) und \(105\) Teiler von \(735\) sowie \(5\) und \(105\) Teiler von \(525\).

a) \(729\); \(4 \cdot 81 = 324\) und \(9 \cdot 81 = 729\). \(4\) und \(81\) sind Teiler von \(324\); \(9\) und \(81\) sind Teiler von \(729\). b) \(5\); \(7 \cdot 105 = 735\) und \(5 \cdot 105 = 525\). \(7\) und \(105\) sind Teiler von \(735\); \(5\) und \(105\) sind Teiler von \(525\).

- Zähle bei jedem Feld Reihen und Spalten. - Jede Seitenlänge eines vollständigen Rechtecks ist ein Teiler der Gesamtzahl. - Vertauschte Faktoren bilden dasselbe Faktorenpaar.

1. Die drei Rechtecke haben die Seitenlängen \(2\) und \(12\), \(3\) und \(8\) sowie \(4\) und \(6\). Dazu gehören \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\) und \(4 \cdot 6\). 2. Jedes Faktorenpaar beschreibt dieselbe Gesamtzahl von \(24\) Punkten in einer anderen rechteckigen Anordnung. 3. An den Seitenlängen lassen sich die Teiler \(2, 3, 4, 6, 8, 12\) ablesen.

a) \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\), \(4 \cdot 6\) b) Die Felder zeigen verschiedene Faktorenpaare von \(24\): \(2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24\). c) Sichtbare Teiler sind \(2, 3, 4, 6, 8, 12\).

- Prüfe mögliche Reihengrößen von \(2\) bis \(12\). - Ein vollständiges Rechteck darf keine unvollständige letzte Reihe haben. - Nutze den abgebildeten Versuch als Beispiel dafür, woran du einen Rest erkennst.

1. Bei \(6\) Punkten pro Reihe entstehen \(6\) volle Reihen und \(1\) Restpunkt. 2. Auch mit jeder anderen erlaubten Reihengröße von \(2\) bis \(12\) bleibt ein Rest, denn \(37\) ist durch keine dieser Zahlen teilbar. 3. Deshalb lässt sich \(37\) unter den vorgegebenen Bedingungen nicht als vollständiges Rechteck legen.

Es gelingt nicht, weil \(37\) durch keine Zahl von \(2\) bis \(12\) ohne Rest teilbar ist.

- Prüfe jede vorgeschlagene Zahl an beiden Punktzahlen. - Eine Zahl gehört nur dann zur Lösung, wenn beide Divisionen ohne Rest aufgehen. - Streiche einen Kandidaten sofort, sobald er eine der beiden Zahlen nicht ohne Rest teilt.

1. Von den vorgegebenen Zahlen teilen \(2, 3, 4, 6, 8, 12\) die Zahl \(24\) ohne Rest. 2. Von ihnen teilen \(2, 3, 4, 6, 12\) auch die Zahl \(36\) ohne Rest; \(8\) teilt \(36\) nicht ohne Rest. 3. Daher sind \(2, 3, 4, 6, 12\) gemeinsame Teiler.

Gemeinsame Teiler sind \(2, 3, 4, 6, 12\).

- Beginne bei der größten erlaubten Gruppenanzahl und prüfe abwärts. - Eine Gruppenanzahl ist nur möglich, wenn sich \(60\) ohne Rest in genau so viele gleich große Gruppen zerlegen lässt. - Sobald die erste passende Gruppenanzahl gefunden ist, begründe zusätzlich, warum alle größeren erlaubten Anzahlen ausgeschieden sind.

1. Gesucht ist der größte Teiler von \(60\), der höchstens \(9\) ist. 2. \(9\) Gruppen gehen nicht ohne Rest, denn \(9 \cdot 6 = 54\) und \(6\) Punkte bleiben übrig. 3. \(8\) Gruppen gehen nicht ohne Rest, denn \(8 \cdot 7 = 56\) und \(4\) Punkte bleiben übrig. Auch \(7\) Gruppen gehen nicht ohne Rest, denn \(7 \cdot 8 = 56\) und \(4\) Punkte bleiben übrig. 4. \(6\) Gruppen funktionieren genau, denn \(6 \cdot 10 = 60\). 5. Damit sind maximal \(6\) Gruppen möglich; jede enthält \(10\) Punkte.

Maximal \(6\) Gruppen; \(10\) Punkte pro Gruppe. Die größeren erlaubten Gruppenanzahlen \(7\), \(8\) und \(9\) teilen \(60\) nicht ohne Rest.

- Bei einem Teiler muss die passende Division ohne Rest aufgehen. - Bei einem Vielfachen lässt sich die größere Zahl als ganzzahliges Produkt schreiben. - Prüfe jede Aussage getrennt; eine richtige Aussage sagt nichts über die nächste aus.

1. \(48 : 6 = 8\), also ist die erste Aussage richtig. 2. \(48 : 7\) geht nicht ohne Rest auf, also ist die zweite Aussage falsch. 3. \(96 = 2 \cdot 48\), also ist die dritte Aussage richtig. 4. \(48 = 4 \cdot 12\), also ist die vierte Aussage richtig.

1. Richtig, denn \(48 : 6 = 8\). 2. Falsch, denn \(48 : 7\) geht nicht ohne Rest auf. 3. Richtig, denn \(96 = 2 \cdot 48\). 4. Richtig, denn \(48 = 4 \cdot 12\).

- Bestimme die Gesamtzahl einer Anordnung aus vollständigen Reihen und möglichen Restpunkten. - Lies die Reihengröße bei jeder der vier Anordnungen direkt aus der Darstellung ab. - Eine Reihengröße teilt die Gesamtzahl nur dann ohne Rest, wenn keine unvollständige letzte Reihe bleibt; begründe vollständige Fälle mit Produkten.

1. Die Bilder zeigen jeweils \(72\) Punkte. Die Reihengrößen sind bei a) \(6\), bei b) \(8\), bei c) \(9\) und bei d) \(10\) Punkte. 2. Bei \(6\) Punkten pro Reihe entstehen \(12\) vollständige Reihen: \(6 \cdot 12 = 72\). 3. Bei \(8\) Punkten pro Reihe entstehen \(9\) vollständige Reihen: \(8 \cdot 9 = 72\). 4. Bei \(9\) Punkten pro Reihe entstehen \(8\) vollständige Reihen: \(9 \cdot 8 = 72\). 5. Bei \(10\) Punkten pro Reihe entstehen \(7\) vollständige Reihen und \(2\) Restpunkte. Diese Reihengröße ist daher nicht ohne Rest möglich.

1) Jede Anordnung enthält \(72\) Punkte. Reihengrößen: a) \(6\), b) \(8\), c) \(9\), d) \(10\) Punkte pro Reihe. 2) Möglich sind \(6\), denn \(6 \cdot 12 = 72\); \(8\), denn \(8 \cdot 9 = 72\); und \(9\), denn \(9 \cdot 8 = 72\). Nicht möglich ist \(10\), weil \(2\) Punkte übrig bleiben.

- Prüfe jede der vier Paketgrößen unabhängig. - Suche jeweils eine natürliche Anzahl gleich großer Pakete, die genau die Million ergibt. - Eine Multiplikation aus Paketanzahl und Paketgröße dient als Probe für eine restlose Zerlegung.

1. \(1\,000\,000 : 20\,000 = 50\), also \(50 \cdot 20\,000 = 1\,000\,000\). 2. \(1\,000\,000 : 30\,000\) geht nicht ohne Rest; nach \(33\) Paketen bleiben \(10\,000\) übrig. 3. \(1\,000\,000 : 40\,000 = 25\), also \(25 \cdot 40\,000 = 1\,000\,000\). 4. \(1\,000\,000 : 50\,000 = 20\), also \(20 \cdot 50\,000 = 1\,000\,000\). 5. Damit sind \(20\,000\), \(40\,000\) und \(50\,000\) Teiler von \(1\,000\,000\); \(30\,000\) ist es nicht.

\(20\,000\): \(50\) Pakete; \(50 \cdot 20\,000 = 1\,000\,000\) \(40\,000\): \(25\) Pakete; \(25 \cdot 40\,000 = 1\,000\,000\) \(50\,000\): \(20\) Pakete; \(20 \cdot 50\,000 = 1\,000\,000\) \(30\,000\) teilt \(1\,000\,000\) nicht ohne Rest.

- Addiere zunächst die Werte aller zehn Ziffernkarten und achte darauf, was daran für die Teilbarkeit besonders ist. - Vergleiche diese feste Ziffernsumme mit den Quersummen deiner verschiedenen Ergebnisse. - Überlege bei einem einzelnen Übertrag, wie sich die Ziffernsumme vor und nach dem Übertrag verändert.

1. Mögliche Beispiele sind \(10\,234 + 98\,765 = 108\,999\) mit Quersumme \(36\), \(50\,246 + 13\,789 = 64\,035\) mit Quersumme \(18\) und \(24\,680 + 13\,579 = 38\,259\) mit Quersumme \(27\). 2. In allen drei Beispielen ist die Quersumme des Ergebnisses durch \(9\) teilbar. 3. Die Summe aller verwendeten Ziffern von \(0\) bis \(9\) ist \(45\), also ein Vielfaches von \(9\). Bei einem Übertrag sinkt die Ziffernsumme um ein Vielfaches von \(9\). Deshalb bleibt die Quersumme der Summe ein Vielfaches von \(9\).

a) Zum Beispiel: \(10\,234 + 98\,765 = 108\,999\), Quersumme \(36\); \(50\,246 + 13\,789 = 64\,035\), Quersumme \(18\); \(24\,680 + 13\,579 = 38\,259\), Quersumme \(27\). b) Die Quersumme des Ergebnisses ist immer ein Vielfaches von \(9\). c) Die Ziffern \(0\) bis \(9\) haben zusammen die Summe \(45\). Überträge verändern eine Ziffernsumme nur um Vielfache von \(9\). Daher bleibt die Quersumme des Ergebnisses durch \(9\) teilbar.