- Betrachte eine vollständige Reihe im Bild. - Prüfe, ob alle Punkte in gleich große Gruppen zu je \(6\) passen. - Ein Teiler teilt eine Zahl ohne Rest.

1. Im Bild sind \(4\) Reihen mit jeweils \(6\) Punkten zu sehen. 2. Die \(24\) Punkte lassen sich also ohne Rest in Gruppen zu je \(6\) aufteilen: \(24 : 6 = 4\). 3. Deshalb ist \(6\) ein Teiler von \(24\).

a) \(6\) Punkte b) Ja. \(24 : 6 = 4\) ohne Rest, also ist \(6\) ein Teiler von \(24\).

- Suche eine Zahl, mit der du \(4\) multiplizieren kannst. - Das Ergebnis soll genau \(20\) sein. - Eine passende Malaufgabe zeigt die Teilerbeziehung.

1. \(4 \cdot 5 = 20\). 2. Deshalb passt \(4\) ohne Rest in \(20\) und ist ein Teiler von \(20\).

Ja. \(4 \cdot 5 = 20\).

- Suche die Zahl, mit der \(7\) genau \(35\) ergibt. - Eine Zahl ist ein Vielfaches von \(7\), wenn sie als \(7\) mal eine ganze Zahl geschrieben werden kann.

1. \(7 \cdot 5 = 35\). 2. Deshalb ist \(35\) ein Vielfaches von \(7\).

\(7 \cdot 5 = 35\) Ja, \(35\) ist ein Vielfaches von \(7\).

- Verfolge die Sprünge nacheinander. - Die Malaufgabe beschreibt, wie oft die gleiche Sprungweite vorkommt. - Prüfe, ob die Malaufgabe genau beim dritten Landepunkt endet.

1. Die drei gleich großen Sprünge führen von \(0\) über \(8\) und \(16\) zu \(24\). 2. Es gilt \(3 \cdot 8 = 24\). 3. Deshalb ist \(24\) ein Vielfaches von \(8\).

Der dritte Landepunkt ist \(24\). \(3 \cdot 8 = 24\), also ist \(24\) ein Vielfaches von \(8\).

- Bestimme zuerst das gemeinsame Produkt auf der vollständig gegebenen Seite. - Frage dann, durch welchen bekannten Faktor dieses Produkt geteilt werden muss. - Wähle anschließend eine deiner vollständigen Multiplikationsgleichungen und formuliere die passende Umkehraufgabe.

1. a) Das gemeinsame Produkt ist \(240\). Daher gilt \(240 : 4 = 60\). 2. b) Das gemeinsame Produkt ist \(300\). Daher gilt \(300 : 30 = 10\). 3. c) Das gemeinsame Produkt ist \(360\). Daher gilt \(360 : 6 = 60\). 4. Eine passende Umkehraufgabe zu a) ist \(240 : 60 = 4\). Sie bestätigt, dass \(60\) ein Faktor und ein Teiler von \(240\) ist.

a) \(60\) b) \(10\) c) \(60\) Probe: \(240 : 60 = 4\).

- Rechne zuerst jede Geteiltaufgabe. - Zu jeder Geteiltaufgabe passt eine Malaufgabe mit demselben Ergebnis. - Wenn die Malaufgabe ohne Rest aufgeht, zeigt sie dir die Teilerbeziehung.

1. \(180 : 3 = 60\) und \(3 \cdot 60 = 180\). Deshalb ist \(3\) ein Teiler von \(180\). 2. \(420 : 7 = 60\) und \(7 \cdot 60 = 420\). Deshalb ist \(7\) ein Teiler von \(420\). 3. \(360 : 60 = 6\) und \(60 \cdot 6 = 360\). Deshalb ist \(60\) ein Teiler von \(360\). 4. \(480 : 80 = 6\) und \(80 \cdot 6 = 480\). Deshalb ist \(80\) ein Teiler von \(480\). 5. \(210 : 30 = 7\) und \(30 \cdot 7 = 210\). Deshalb ist \(30\) ein Teiler von \(210\). 6. \(49 : 7 = 7\) und \(7 \cdot 7 = 49\). Deshalb ist \(7\) ein Teiler von \(49\). 7. Die Paare mit gleichem Ergebnis sind \(180 : 3\) und \(420 : 7\), \(360 : 60\) und \(480 : 80\), sowie \(210 : 30\) und \(49 : 7\).

\(180 : 3 = 420 : 7 = 60\) \(360 : 60 = 480 : 80 = 6\) \(210 : 30 = 49 : 7 = 7\) Passende Malaufgaben: \(3 \cdot 60 = 180\), \(7 \cdot 60 = 420\) \(60 \cdot 6 = 360\), \(80 \cdot 6 = 480\) \(30 \cdot 7 = 210\), \(7 \cdot 7 = 49\) Die Zahlen \(3\), \(7\), \(60\), \(80\), \(30\) und \(7\) sind jeweils Teiler der Zahl vor dem Doppelpunkt.

- Schreibe eine Divisionsaufgabe als passende Multiplikationsaufgabe um, wenn dir das hilft. - Frage bei jeder Lücke, welche Zahl mit der bekannten Zahl das gegebene Produkt bildet. - Für die Probe nimmst du eine vollständige Aufgabe und wechselst zur Umkehraufgabe.

1. a) \(8\), denn \(80 \cdot 8 = 640\). Also sind \(80\) und \(8\) Faktoren von \(640\). 2. b) \(7\), denn \(60 \cdot 7 = 420\). Also sind \(60\) und \(7\) Teiler von \(420\). 3. c) \(80\), denn \(80 \cdot 9 = 720\). Also sind \(80\) und \(9\) Faktoren von \(720\). 4. d) \(90\), denn \(90 \cdot 4 = 360\). Also sind \(90\) und \(4\) Teiler von \(360\). 5. Zwei passende Umkehraufgaben sind zum Beispiel \(640 : 80 = 8\) und \(7 \cdot 60 = 420\).

a) \(8\); \(80\) und \(8\) sind Faktoren von \(640\). b) \(7\); \(60\) und \(7\) sind Teiler von \(420\). c) \(80\); \(80\) und \(9\) sind Faktoren von \(720\). d) \(90\); \(90\) und \(4\) sind Teiler von \(360\). Proben: \(640 : 80 = 8\) und \(7 \cdot 60 = 420\).

- Schau bei den Malaufgaben darauf, welche zwei Zahlen zusammen \(360\) ergeben. - Schreibe eine Geteiltaufgabe rückwärts als Malaufgabe. - Eine Malaufgabe ohne Rest zeigt dir, welche Zahlen Teiler sind.

1. A zeigt \(90 \cdot 4 = 360\). Also sind \(90\) und \(4\) Faktoren von \(360\). 2. C zeigt \(60 \cdot 6 = 360\). Also sind \(60\) und \(6\) Faktoren von \(360\). 3. E zeigt \(12 \cdot 30 = 360\). Also sind \(12\) und \(30\) Faktoren von \(360\). 4. B: \(420 : 7 = 60\) gehört zu \(7 \cdot 60 = 420\). Daher ist \(7\) ein Teiler von \(420\). 5. D: \(480 : 8 = 60\) gehört zu \(8 \cdot 60 = 480\). Daher ist \(8\) ein Teiler von \(480\). 6. F: \(360 : 6 = 60\) gehört zu \(6 \cdot 60 = 360\). Daher ist \(6\) ein Teiler von \(360\). 7. Zum Beispiel beschreiben \(60 \cdot 6 = 360\) und \(360 : 6 = 60\) dieselbe Beziehung zwischen \(6\), \(60\) und \(360\).

a) A: \(90\) und \(4\); C: \(60\) und \(6\); E: \(12\) und \(30\) sind jeweils Faktoren von \(360\). b) B: \(7 \cdot 60 = 420\), also ist \(7\) ein Teiler von \(420\). D: \(8 \cdot 60 = 480\), also ist \(8\) ein Teiler von \(480\). F: \(6 \cdot 60 = 360\), also ist \(6\) ein Teiler von \(360\). c) Zum Beispiel: \(60 \cdot 6 = 360\) und \(360 : 6 = 60\) zeigen dieselbe Beziehung.

- Nutze die passende Malaufgabe, wenn dir eine Zahl fehlt. - In einer Malaufgabe sind die beiden Zahlen vor und nach dem Malzeichen die Faktoren. - Prüfe, ob die Malaufgabe genau die Zahl vor dem Doppelpunkt ergibt.

1. a) \(360 : 4 = 90\), denn \(4 \cdot 90 = 360\). Die Faktoren \(4\) und \(90\) sind Teiler von \(360\). 2. b) \(480 : 80 = 6\), denn \(80 \cdot 6 = 480\). Die Faktoren \(80\) und \(6\) sind Teiler von \(480\). 3. c) \(6300 : 7 = 900\), denn \(7 \cdot 900 = 6300\). Die Faktoren \(7\) und \(900\) sind Teiler von \(6300\).

a) \(360 : 4 = 90\); \(4 \cdot 90 = 360\) b) \(480 : 80 = 6\); \(80 \cdot 6 = 480\) c) \(6300 : 7 = 900\); \(7 \cdot 900 = 6300\) In jeder Zeile sind die beiden Faktoren der Malaufgabe Teiler der Zahl vor dem Doppelpunkt.

- Teile \(1\,000\,000\) durch die angegebene Zahl. - Ein Teiler passt ohne Rest in die Zahl. - Prüfe dein Ergebnis mit einer Malaufgabe.

1. \(1\,000\,000 : 5 = 200\,000\). Daher gilt \(5 \cdot 200\,000 = 1\,000\,000\); \(5\) ist ein Teiler. 2. \(1\,000\,000 : 20 = 50\,000\). Daher gilt \(20 \cdot 50\,000 = 1\,000\,000\); \(20\) ist ein Teiler. 3. \(1\,000\,000 : 25 = 40\,000\). Daher gilt \(25 \cdot 40\,000 = 1\,000\,000\); \(25\) ist ein Teiler.

a) Ja: \(5 \cdot 200\,000 = 1\,000\,000\) b) Ja: \(20 \cdot 50\,000 = 1\,000\,000\) c) Ja: \(25 \cdot 40\,000 = 1\,000\,000\)

- Prüfe für jede Schachtelgröße, ob eine passende Malaufgabe genau \(1\,000\,000\) ergibt. - Wenn du nicht genau bei \(1\,000\,000\) landest, bleibt ein Rest. - Eine Schachtelgröße ist nur dann ein Teiler, wenn kein Rest bleibt.

1. Für \(1000\) Schrauben pro Schachtel gilt \(1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000\). Die Verpackung geht ohne Rest auf. 2. Für \(500\) Schrauben pro Schachtel gilt \(2000 \cdot 500 = 1\,000\,000\). Auch diese Verpackung geht ohne Rest auf. 3. Für \(300\) Schrauben pro Schachtel gilt \(3333 \cdot 300 = 999\,900\). Danach bleiben \(100\) Schrauben übrig. 4. Deshalb sind \(1000\) und \(500\) Teiler von \(1\,000\,000\), \(300\) aber nicht.

a) Ohne Rest geht es mit Schachteln für \(1000\) oder \(500\) Schrauben. b) \(1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000\); \(2000 \cdot 500 = 1\,000\,000\). Bei \(300\) bleibt ein Rest. c) \(3333\) volle Schachteln; \(100\) Schrauben bleiben übrig.

- Gesucht sind alle Teiler von \(30\). - Kann es eine Gruppe mit nur einem Kind geben? Oder eine Gruppe mit allen Kindern? - Gehe die Zahlen von \(1\) bis \(10\) durch und schaue, bei welcher Zahl kein Rest bleibt.

1. Gesucht sind alle Teiler von \(30\). 2. Es gilt \(30 : 1 = 30\), \(30 : 2 = 15\), \(30 : 3 = 10\) und \(30 : 5 = 6\). 3. Die Teiler sind \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15\) und \(30\).

Es sind folgende Gruppengrößen möglich: \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15\) und \(30\) Kinder.

- Schreibe zuerst alle Teiler der ersten Zahl auf. - Schreibe danach alle Teiler der zweiten Zahl auf. - Welche Zahlen stehen in beiden Listen? - Denk an die Endziffern – sie verraten dir oft, ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist.

1. Alle Teiler von \(20\) finden: \(1, 2, 4, 5, 10, 20\). 2. Alle Teiler von \(30\) finden: \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\). 3. Vergleich der beiden Listen und Auswahl der identischen Zahlen: \(1, 2, 5, 10\).

Die gemeinsamen Teiler von \(20\) und \(30\) sind: \(1, 2, 5, 10\).

- Gehe die Achterreihe im Kopf durch. - Was bedeutet das Wort „zwischen“ für die Randzahlen? - Wie hängen die Zahlen mit Rest mit der Malfolge zusammen? - Addiere den Rest zu den Ergebnissen der Achterreihe.

1. Die Vielfachen von \(8\) zwischen \(40\) und \(90\) sind \(8 \cdot 6 = 48\), \(8 \cdot 7 = 56\), \(8 \cdot 8 = 64\), \(8 \cdot 9 = 72\), \(8 \cdot 10 = 80\) und \(8 \cdot 11 = 88\). 2. Für den Rest \(5\) beginnt man bei \(5\) und geht jeweils \(8\) weiter: \(5, 13, 21, 29, 37\). Jede dieser Zahlen ist um \(5\) größer als ein Vielfaches von \(8\).

a) \(48, 56, 64, 72, 80, 88\) b) \(5, 13, 21, 29, 37\)

- Prüfe die Zahlen \(2\) bis \(10\) der Reihe nach. - Achte bei jeder Division darauf, ob ein Rest übrig bleibt. - Wenn kein Rest bleibt, ist die geprüfte Zahl ein Teiler von \(1680\).

1. \(1680 : 2 = 840\), \(1680 : 3 = 560\), \(1680 : 4 = 420\), \(1680 : 5 = 336\), \(1680 : 6 = 280\), \(1680 : 7 = 240\), \(1680 : 8 = 210\) und \(1680 : 10 = 168\) gehen ohne Rest auf. 2. Bei \(1680 : 9\) ergibt sich \(186\,\text{Rest}\,6\). 3. Eine geprüfte Zahl ist genau dann ein Teiler von \(1680\), wenn kein Rest bleibt. Daher sind \(2,3,4,5,6,7,8\) und \(10\) Teiler; \(9\) ist kein Teiler.

\(1680 : 2 = 840\); \(1680 : 3 = 560\); \(1680 : 4 = 420\); \(1680 : 5 = 336\); \(1680 : 6 = 280\); \(1680 : 7 = 240\); \(1680 : 8 = 210\); \(1680 : 9 = 186\,\text{Rest}\,6\); \(1680 : 10 = 168\) Teiler aus der geprüften Liste: \(2,3,4,5,6,7,8,10\). \(9\) ist kein Teiler von \(1680\).

- Zerlege \(1260\) bei Bedarf in Summanden, die sich mit dem jeweiligen Divisor leichter teilen lassen. - Kontrolliere einen gefundenen Quotienten durch Multiplikation und prüfe, ob ein Rest übrig bleibt. - Vergleiche am Ende nur die drei Reste: Welche davon sind \(0\)?

1. \(1260 : 7 = 180\). Die Division geht ohne Rest auf. 2. \(1260 : 8 = 157\,\text{Rest}\,4\). 3. \(1260 : 9 = 140\). Die Division geht ohne Rest auf. 4. Damit gehen die Divisionen durch \(7\) und \(9\) ohne Rest auf.

a) \(180\) b) \(157\,\text{Rest}\,4\) c) \(140\) Ohne Rest gehen die Divisionen durch \(7\) und \(9\) auf.

- Prüfe immer nur eine Zahl und einen möglichen Teiler zugleich. - Eine Zahl ist ein Teiler, wenn bei der Division kein Rest bleibt. - Du kannst deine Entscheidung auch mit einer passenden Malaufgabe prüfen.

1. \(240\) ist durch \(2\), \(5\) und \(10\) teilbar: \(240 : 2 = 120\), \(240 : 5 = 48\), \(240 : 10 = 24\). 2. \(245\) ist durch \(5\) teilbar: \(245 : 5 = 49\). 3. \(252\) ist durch \(2\) teilbar: \(252 : 2 = 126\). 4. \(260\) ist durch \(2\), \(5\) und \(10\) teilbar: \(260 : 2 = 130\), \(260 : 5 = 52\), \(260 : 10 = 26\). 5. \(265\) ist durch \(5\) teilbar: \(265 : 5 = 53\). 6. \(278\) ist durch \(2\) teilbar: \(278 : 2 = 139\). 7. Bei allen anderen geprüften Paaren bleibt bei der Division ein Rest; deshalb ist die jeweilige Zahl kein Teiler.

\(240\): Teiler \(2\), \(5\), \(10\) \(245\): Teiler \(5\) \(252\): Teiler \(2\) \(260\): Teiler \(2\), \(5\), \(10\) \(265\): Teiler \(5\) \(278\): Teiler \(2\)

- Überlege, in welchen Einmaleins-Reihen die Zahl vorkommt. - Jede Zahl lässt sich mindestens durch \(1\) und sich selbst teilen. - Findest du Zahlenpaare, die multipliziert genau deine Zielzahl ergeben? - Gehe die Zahlen der Reihe nach durch: Ist die Zahl durch \(2\) teilbar? Durch \(3\)?

1. Teiler von \(15\): Durch Probieren der Multiplikationspaare (\(1 \cdot 15\), \(3 \cdot 5\)) ergeben sich die Teiler \(1\), \(3\), \(5\) und \(15\). 2. Teiler von \(24\): Die Paare (\(1 \cdot 24\), \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\), \(4 \cdot 6\)) ergeben die Teiler \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(12\) und \(24\). 3. Teiler von \(28\): Die Paare (\(1 \cdot 28\), \(2 \cdot 14\), \(4 \cdot 7\)) ergeben die Teiler \(1\), \(2\), \(4\), \(7\), \(14\) und \(28\). 4. Teiler von \(30\): Die Paare (\(1 \cdot 30\), \(2 \cdot 15\), \(3 \cdot 10\), \(5 \cdot 6\)) ergeben die Teiler \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(6\), \(10\), \(15\) und \(30\).

\(15\): \(1, 3, 5, 15\) \(24\): \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\) \(28\): \(1, 2, 4, 7, 14, 28\) \(30\): \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\)

- Gehe die Einmaleins-Reihen beider Zahlen nacheinander durch. - Welche Zahlen kommen in beiden Reihen vor? - Achte darauf, dass deine Zahlen im geforderten Bereich liegen.

1. Die Vielfachen von \(4\) im Bereich sind \(12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48\). 2. Die Vielfachen von \(6\) im Bereich sind \(12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\). 3. In beiden Listen stehen \(12, 24, 36, 48\).

\(12, 24, 36, 48\)

- Gehe die 6er-Reihe im Kopf durch. - Kannst du die Zahl ohne Rest durch 6 teilen? - Überprüfe jede Zahl einzeln.

1. Ohne Rest durch \(6\) teilbar sind \(12 : 6 = 2\), \(18 : 6 = 3\), \(30 : 6 = 5\), \(42 : 6 = 7\), \(48 : 6 = 8\) und \(60 : 6 = 10\). 2. Die Zahlen \(22\), \(34\), \(56\) und \(64\) sind nicht ohne Rest durch \(6\) teilbar. 3. Die Vielfachen von \(6\) aus der Liste sind \(12\), \(18\), \(30\), \(42\), \(48\) und \(60\).

\(12\), \(18\), \(30\), \(42\), \(48\), \(60\)

- Denke an die kleinen Einmaleins-Aufgaben und hänge die Nullen passend an. - Wenn eine Zahl auf eine Null endet, ist sie immer durch \(10\) teilbar. - Kannst du die Zahl halbieren? Dann ist \(2\) einer der Faktoren. - Überlege, welche Zehnerzahlen (wie \(20, 30, 40 \dots\)) in die Zielzahl passen könnten.

1. Für \(180\): Mögliche Zerlegungen sind \(2 \cdot 90 = 180\), \(3 \cdot 60 = 180\), \(6 \cdot 30 = 180\), \(9 \cdot 20 = 180\) oder \(10 \cdot 18 = 180\). 2. Für \(280\): Mögliche Zerlegungen sind \(2 \cdot 140 = 280\), \(4 \cdot 70 = 280\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(10 \cdot 28 = 280\) oder \(14 \cdot 20 = 280\). 3. Für \(400\): Mögliche Zerlegungen sind \(2 \cdot 200 = 400\), \(4 \cdot 100 = 400\), \(5 \cdot 80 = 400\), \(8 \cdot 50 = 400\), \(10 \cdot 40 = 400\) oder \(20 \cdot 20 = 400\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(2 \cdot 90\), \(3 \cdot 60\), \(6 \cdot 30\) b) \(4 \cdot 70\), \(7 \cdot 40\), \(10 \cdot 28\) c) \(4 \cdot 100\), \(8 \cdot 50\), \(20 \cdot 20\)

- Kennst du eine Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins, deren Ergebnis 32 ist? - Was passiert, wenn du die 320 halbierst? - Kannst du eine der Zahlen verdoppeln und die andere dafür halbieren, um ein neues Paar zu finden?

1. \(320 : 2 = 160\), also gilt \(2 \cdot 160 = 320\). 2. \(320 : 4 = 80\), also gilt \(4 \cdot 80 = 320\). 3. \(320 : 8 = 40\), also gilt \(8 \cdot 40 = 320\). 4. Außerdem gilt \(320 : 20 = 16\), also \(16 \cdot 20 = 320\). 5. Drei dieser Paare reichen als Lösung aus.

Mögliche Antworten sind: \(2 \cdot 160\) \(4 \cdot 80\) \(8 \cdot 40\) \(16 \cdot 20\) (Drei dieser oder ähnlicher Paare müssen genannt werden.)

- Teile jede Zahl durch \(100\). - Achte darauf, ob ein Rest bleibt. - Nur eine Division ohne Rest zeigt, dass \(100\) ein Teiler ist.

1. \(1250 : 100 = 12\) Rest \(50\). Daher ist \(100\) kein Teiler von \(1250\). 2. \(4800 : 100 = 48\). Daher ist \(100\) ein Teiler von \(4800\). 3. \(12\,000 : 100 = 120\). Daher ist \(100\) ein Teiler von \(12\,000\). 4. \(760 : 100 = 7\) Rest \(60\). Daher ist \(100\) kein Teiler von \(760\). 5. \(30\,500 : 100 = 305\). Daher ist \(100\) ein Teiler von \(30\,500\).

\(1250 : 100 = 12\) Rest \(50\) — nein \(4800 : 100 = 48\) — ja \(12\,000 : 100 = 120\) — ja \(760 : 100 = 7\) Rest \(60\) — nein \(30\,500 : 100 = 305\) — ja

- Prüfe jede der genannten Zahlen bei \(24\) und bei \(36\). - Eine Zahl gehört nur dann zur Lösung, wenn beide Divisionen ohne Rest aufgehen. - Sobald eine Zahl eine der beiden Zahlen nicht ohne Rest teilt, gehört sie nicht zur Lösung.

1. Die Zahlen \(2, 3, 4, 6, 8, 12\) teilen \(24\) ohne Rest. 2. Von diesen Zahlen teilen \(2, 3, 4, 6, 12\) auch \(36\) ohne Rest. Bei \(8\) bleibt ein Rest. 3. Daher sind \(2, 3, 4, 6, 12\) gemeinsame Teiler.

Gemeinsame Teiler sind \(2, 3, 4, 6, 12\).

- Lies bei jedem Feld ab, wie viele Punkte in einer Reihe liegen. - Die Gesamtzahl \(48\) ist der Dividend; die Punktzahl pro Reihe kann als Divisor verwendet werden. - Prüfe, ob dein Quotient mit der sichtbaren Anzahl der Reihen übereinstimmt.

1. Feld A hat \(12\) Punkte pro Reihe und \(4\) Reihen, also \(48 : 12 = 4\). 2. Feld B hat \(8\) Punkte pro Reihe und \(6\) Reihen, also \(48 : 8 = 6\). 3. Feld C hat \(6\) Punkte pro Reihe und \(8\) Reihen, also \(48 : 6 = 8\). 4. Die Quotienten sind \(4, 6, 8\).

A: \(48 : 12 = 4\), B: \(48 : 8 = 6\), C: \(48 : 6 = 8\). Die Quotienten sind \(4, 6, 8\).

- Bei einem Teiler muss die passende Division ohne Rest aufgehen. - Bei einem Vielfachen lässt sich die größere Zahl als ganzzahliges Produkt schreiben. - Prüfe jede Aussage getrennt; eine richtige Aussage sagt nichts über die nächste aus.

1. \(48 : 6 = 8\), also ist die erste Aussage richtig. 2. \(48 : 7\) geht nicht ohne Rest auf, also ist die zweite Aussage falsch. 3. \(96 = 2 \cdot 48\), also ist die dritte Aussage richtig. 4. \(48 = 4 \cdot 12\), also ist die vierte Aussage richtig.

1. Richtig, denn \(48 : 6 = 8\). 2. Falsch, denn \(48 : 7\) geht nicht ohne Rest auf. 3. Richtig, denn \(96 = 2 \cdot 48\). 4. Richtig, denn \(48 = 4 \cdot 12\).

- Denke an die Folge der Vielfachen von \(50\,000\). - Prüfe jede Zahl einzeln. - Begründe jede passende Zahl mit einer Malaufgabe, in der \(50\,000\) ein Faktor ist.

1. \(150\,000 = 3 \cdot 50\,000\), also ist \(150\,000\) ein Vielfaches von \(50\,000\). 2. \(200\,000 = 4 \cdot 50\,000\), also ist \(200\,000\) ein Vielfaches von \(50\,000\). 3. \(350\,000 = 7 \cdot 50\,000\), also ist \(350\,000\) ein Vielfaches von \(50\,000\). 4. \(170\,000\), \(210\,000\) und \(370\,000\) entstehen nicht, wenn man \(50\,000\) mit einer ganzen Zahl multipliziert.

\(150\,000 = 3 \cdot 50\,000\) \(200\,000 = 4 \cdot 50\,000\) \(350\,000 = 7 \cdot 50\,000\)

- Lies an zwei benachbarten Landepunkten ab, um wie viel die Zahl bei einem Sprung wächst. - Überlege für b), wie oft dieselbe Sprungweite in den Zielwert passt. - Für c) verbindest du Anzahl der Sprünge und Sprungweite mit einer Multiplikation.

1. Die dargestellten Sprünge gehen jeweils um \(40\,000\) weiter. 2. Für \(200\,000\) braucht man \(200\,000 : 40\,000 = 5\) Sprünge. 3. Der letzte dargestellte Wert ist \(120\,000\). Es gilt \(3 \cdot 40\,000 = 120\,000\). 4. Außerdem gilt \(5 \cdot 40\,000 = 200\,000\). Daher sind beide Zahlen Vielfache von \(40\,000\).

a) \(40\,000\) b) \(5\) Sprünge c) \(3 \cdot 40\,000 = 120\,000\) und \(5 \cdot 40\,000 = 200\,000\)

- Kannst du die 15er-Reihe aufschreiben? - Nutze Hilfsrechnungen wie \(15 \cdot 10\), um dich im Zahlenraum zu orientieren. - Wenn eine Zahl bei der Division durch \(15\) den Rest \(4\) lässt, ist sie um \(4\) größer als ein Vielfaches von \(15\).

1. Vielfache von \(15\) im Bereich finden: \(15 \cdot 7 = 105\), \(15 \cdot 8 = 120\), \(15 \cdot 9 = 135\), \(15 \cdot 10 = 150\), \(15 \cdot 11 = 165\), \(15 \cdot 12 = 180\), \(15 \cdot 13 = 195\). 2. Zahlen mit Rest \(4\) berechnen: \(15 \cdot 2 + 4 = 34\), \(15 \cdot 3 + 4 = 49\), \(15 \cdot 4 + 4 = 64\), \(15 \cdot 5 + 4 = 79\).

a) \(105, 120, 135, 150, 165, 180, 195\) b) \(34, 49, 64, 79\)

- Rechne die vier Divisionen nacheinander aus. - Vergleiche anschließend nur die Reste. - Eine Zahl ist nur dann ein Teiler, wenn die Division ohne Rest aufgeht.

1. Es gilt \(3361 : 2 = 1680\,\text{Rest}\,1\), \(3361 : 3 = 1120\,\text{Rest}\,1\), \(3361 : 5 = 672\,\text{Rest}\,1\) und \(3361 : 10 = 336\,\text{Rest}\,1\). 2. Bei allen vier Divisionen bleibt derselbe Rest \(1\). 3. Keine der Zahlen \(2\), \(3\), \(5\) und \(10\) ist ein Teiler von \(3361\), weil keine der Divisionen ohne Rest aufgeht.

a) \(3361 : 2 = 1680\,\text{Rest}\,1\); \(3361 : 3 = 1120\,\text{Rest}\,1\); \(3361 : 5 = 672\,\text{Rest}\,1\); \(3361 : 10 = 336\,\text{Rest}\,1\) b) Bei allen Divisionen bleibt der Rest \(1\). c) Keine der vier Zahlen ist ein Teiler von \(3361\), weil immer ein Rest bleibt.

- Suche die Teiler für jede Zahl zunächst getrennt. - Ordne mögliche Faktoren von klein nach groß und suche jeweils den passenden Partner. - Wenn dir nur noch Zahlenpaare begegnen, die du schon in umgekehrter Reihenfolge gefunden hast, bist du fertig. - Zähle erst danach die Teiler jeder Zahl und vergleiche die drei Anzahlen.

1. Die Teiler von \(21\) sind \(1, 3, 7, 21\). Das sind \(4\) Teiler. 2. Die Teiler von \(36\) sind \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\). Das sind \(9\) Teiler. 3. Die Teiler von \(40\) sind \(1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\). Das sind \(8\) Teiler. 4. Weil \(9 > 8 > 4\), hat \(36\) die meisten Teiler.

a) Teiler von \(21\): \(1, 3, 7, 21\); Teiler von \(36\): \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\); Teiler von \(40\): \(1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\). b) Die Zahl \(36\) hat die meisten Teiler.

- Berechne zuerst, was die \(44\) Kisten Apfelsaft zusammen kosten. - Wie viel Geld bleibt danach für Mineralwasser übrig? - Prüfe bei b), ob sich der übrige Betrag ohne Rest durch \(6\) teilen lässt.

1. Die \(44\) Kisten Apfelsaft kosten \(44 \cdot 14\,\text{€} = 616\,\text{€}\). 2. Für Mineralwasser bleiben \(952\,\text{€} - 616\,\text{€} = 336\,\text{€}\). 3. Damit wurden \(336\,\text{€} : 6\,\text{€} = 56\) Kisten Mineralwasser gekauft. 4. Bei Gesamtkosten von \(960\,\text{€}\) blieben nach dem Apfelsaft \(960\,\text{€} - 616\,\text{€} = 344\,\text{€}\) für Mineralwasser. 5. Es gilt \(344 = 6 \cdot 57 + 2\). Der Betrag lässt sich also nicht ohne Rest durch \(6\,\text{€}\) teilen. Deshalb sind genau \(960\,\text{€}\) nicht möglich.

a) Es wurden \(56\) Kisten Mineralwasser gekauft. b) Nein. Nach den \(616\,\text{€}\) für Apfelsaft blieben \(344\,\text{€}\) für Mineralwasser. Dieser Betrag lässt sich nicht ohne Rest durch \(6\,\text{€}\) teilen, denn \(344 = 6 \cdot 57 + 2\).

- Suche zuerst nach der kleinsten Zahl über \(100\), die in der \(30\)er-Reihe und in der \(40\)er-Reihe vorkommt. - Wie hängen die Reihen von \(3\) und \(4\) mit den Reihen von \(30\) und \(40\) zusammen? - Wenn du die erste passende Zahl gefunden hast, sind auch deren Verdopplungen oder Verdreifachungen oft Lösungen.

1. Die Vielfachen von \(30\) zwischen \(100\) und \(500\) sind \(120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390, 420, 450, 480\). 2. Die Vielfachen von \(40\) zwischen \(100\) und \(500\) sind \(120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480\). 3. In beiden Listen stehen \(120\), \(240\), \(360\) und \(480\). 4. Zur Kontrolle: \(4 \cdot 30 = 120\) und \(3 \cdot 40 = 120\); \(8 \cdot 30 = 240\) und \(6 \cdot 40 = 240\); \(12 \cdot 30 = 360\) und \(9 \cdot 40 = 360\); \(16 \cdot 30 = 480\) und \(12 \cdot 40 = 480\).

Die gesuchten Zahlen sind \(120\), \(240\), \(360\) und \(480\).

- Welche Zahlen aus der 7er-Reihe liegen nahe bei 50 oder 60? - Denke an die 7er- und 8er-Reihe und hänge eine Null an. - Suche nach einer gemeinsamen Zahl in den Reihen der beiden Teiler.

1. Die Vielfachen von \(70\) rund um den gesuchten Bereich sind \(490\), \(560\) und \(630\). 2. Die Vielfachen von \(80\) rund um den gesuchten Bereich sind \(480\), \(560\) und \(640\). 3. Nur \(560\) kommt in beiden Reihen vor und liegt zwischen \(500\) und \(600\).

Die gesuchte Zahl ist \(560\).

- Rechne zuerst die vollständig gegebene Geteiltaufgabe einer Zeile. - Nutze das gleiche Ergebnis für die zweite Geteiltaufgabe. - Eine passende Malaufgabe zeigt dir die beiden Faktoren und damit die Teiler.

1. In a) ist \(324 : 4 = 81\). Daher muss \(\square : 9 = 81\) gelten. Mit \(9 \cdot 81 = 729\) ist die fehlende Zahl \(729\). 2. Dazu gehören \(4 \cdot 81 = 324\) und \(9 \cdot 81 = 729\). Die Faktoren \(4\) und \(81\) sind Teiler von \(324\); \(9\) und \(81\) sind Teiler von \(729\). 3. In b) ist \(735 : 7 = 105\). Deshalb muss \(525 : \square = 105\) gelten. Mit \(5 \cdot 105 = 525\) ist die fehlende Zahl \(5\). 4. Dazu gehören \(7 \cdot 105 = 735\) und \(5 \cdot 105 = 525\). Die Faktoren \(7\) und \(105\) sind Teiler von \(735\); \(5\) und \(105\) sind Teiler von \(525\).

a) Fehlende Zahl: \(729\) \(4 \cdot 81 = 324\); \(9 \cdot 81 = 729\) b) Fehlende Zahl: \(5\) \(7 \cdot 105 = 735\); \(5 \cdot 105 = 525\) Die beiden Faktoren jeder Malaufgabe sind Teiler ihres Ergebnisses.

- Zähle bei jedem Feld Reihen und Spalten. - Jede Seitenlänge eines vollständigen Rechtecks ist ein Teiler der Gesamtzahl. - Vertauschte Faktoren bilden dasselbe Faktorenpaar.

1. Die drei Rechtecke haben die Seitenlängen \(2\) und \(12\), \(3\) und \(8\) sowie \(4\) und \(6\). Dazu gehören \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\) und \(4 \cdot 6\). 2. Jedes Faktorenpaar beschreibt dieselbe Gesamtzahl von \(24\) Punkten in einer anderen rechteckigen Anordnung. 3. An den Seitenlängen lassen sich die Teiler \(2, 3, 4, 6, 8, 12\) ablesen.

a) \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\), \(4 \cdot 6\) b) Die Felder zeigen verschiedene Faktorenpaare von \(24\): \(2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24\). c) Sichtbare Teiler sind \(2, 3, 4, 6, 8, 12\).

- Prüfe nacheinander \(2\) bis \(12\) Punkte pro Reihe. - Ein vollständiges Rechteck darf keine unvollständige letzte Reihe haben. - Nutze den abgebildeten Versuch als Beispiel dafür, woran du einen Rest erkennst.

1. Bei \(6\) Punkten pro Reihe entstehen \(6\) volle Reihen und \(1\) Punkt bleibt übrig. 2. Auch bei jeder anderen Anzahl von \(2\) bis \(12\) Punkten pro Reihe bleibt ein Rest, denn \(37\) ist durch keine dieser Zahlen teilbar. 3. Deshalb lässt sich \(37\) unter diesen Bedingungen nicht als vollständiges Rechteck legen.

Es gelingt nicht, weil \(37\) durch keine Zahl von \(2\) bis \(12\) ohne Rest teilbar ist.

- Beginne mit der größten erlaubten Anzahl von Gruppen und prüfe dann kleinere Anzahlen. - Eine Anzahl von Gruppen passt nur, wenn sich die \(60\) Punkte ohne Rest aufteilen lassen. - Wenn du eine passende Anzahl gefunden hast, prüfe auch alle größeren erlaubten Anzahlen.

1. Bei \(9\) Gruppen bleiben \(6\) Punkte übrig, denn \(9 \cdot 6 = 54\). 2. Bei \(8\) Gruppen bleiben \(4\) Punkte übrig, denn \(8 \cdot 7 = 56\). 3. Bei \(7\) Gruppen bleiben ebenfalls \(4\) Punkte übrig, denn \(7 \cdot 8 = 56\). 4. \(6\) Gruppen funktionieren genau, denn \(6 \cdot 10 = 60\). 5. Also sind höchstens \(6\) Gruppen möglich. In jeder Gruppe sind \(10\) Punkte.

Höchstens \(6\) Gruppen mit je \(10\) Punkten. Bei \(7\), \(8\) oder \(9\) Gruppen bleiben Punkte übrig.

- Lies bei jeder Anordnung zuerst ab, wie viele Punkte in einer Reihe liegen. - Prüfe, ob sich alle Punkte in vollständige Reihen dieser Länge legen lassen. - Begründe die Anordnungen ohne Rest mit einer passenden Malaufgabe.

1. Die Bilder zeigen jeweils \(72\) Punkte. Bei a) liegen \(6\), bei b) \(8\), bei c) \(9\) und bei d) \(10\) Punkte pro Reihe. 2. Bei \(6\) Punkten pro Reihe entstehen \(12\) vollständige Reihen: \(6 \cdot 12 = 72\). 3. Bei \(8\) Punkten pro Reihe entstehen \(9\) vollständige Reihen: \(8 \cdot 9 = 72\). 4. Bei \(9\) Punkten pro Reihe entstehen \(8\) vollständige Reihen: \(9 \cdot 8 = 72\). 5. Bei \(10\) Punkten pro Reihe entstehen \(7\) vollständige Reihen und \(2\) Punkte bleiben übrig.

1) Jede Anordnung enthält \(72\) Punkte. Punkte pro Reihe: a) \(6\), b) \(8\), c) \(9\), d) \(10\). 2) Ohne Rest funktionieren a), b) und c): \(6 \cdot 12 = 72\), \(8 \cdot 9 = 72\), \(9 \cdot 8 = 72\). Bei d) bleiben \(2\) Punkte übrig.

- Prüfe jede der vier Paketgrößen einzeln. - Suche jeweils eine ganze Anzahl gleich großer Pakete, die zusammen genau \(1\,000\,000\) ergeben. - Mit einer Malaufgabe aus Paketanzahl und Paketgröße kannst du prüfen, ob nichts übrig bleibt.

1. \(1\,000\,000 : 20\,000 = 50\), also \(50 \cdot 20\,000 = 1\,000\,000\). 2. \(1\,000\,000 : 30\,000\) geht nicht ohne Rest; nach \(33\) Paketen bleiben \(10\,000\) übrig. 3. \(1\,000\,000 : 40\,000 = 25\), also \(25 \cdot 40\,000 = 1\,000\,000\). 4. \(1\,000\,000 : 50\,000 = 20\), also \(20 \cdot 50\,000 = 1\,000\,000\). 5. Damit sind \(20\,000\), \(40\,000\) und \(50\,000\) Teiler von \(1\,000\,000\); \(30\,000\) ist es nicht.

\(20\,000\): \(50\) Pakete; \(50 \cdot 20\,000 = 1\,000\,000\) \(40\,000\): \(25\) Pakete; \(25 \cdot 40\,000 = 1\,000\,000\) \(50\,000\): \(20\) Pakete; \(20 \cdot 50\,000 = 1\,000\,000\) \(30\,000\) teilt \(1\,000\,000\) nicht ohne Rest.