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- Für einen Überschlag brauchst du keine exakte schriftliche Addition. - Runde beide Summanden auf nahe Zehner, mit denen du leicht rechnen kannst. - Vergleiche nur die Größenordnung des dargestellten Ergebnisses mit deinem Überschlag.

1. Runde für einen groben Überschlag auf Zehner: \(246 \approx 250\) und \(153 \approx 150\). 2. Damit liegt die Summe ungefähr bei \(250 + 150 = 400\). 3. \(499\) liegt deutlich darüber und ist als Ergebnis nicht plausibel.

Nein. Ein Überschlag auf Zehner ergibt ungefähr \(400\); \(499\) ist deutlich zu groß.

- Runde beide Zahlen auf nahe Hunderter. - Berechne nur die gerundete Differenz. - Ein Plausibilitätscheck verlangt Nähe zur Größenordnung, nicht denselben exakten Wert.

1. \(603\) liegt nahe bei \(600\), \(198\) nahe bei \(200\). 2. \(600-200=400\). 3. Das dargestellte Ergebnis \(405\) liegt sehr nahe am Überschlag und ist daher plausibel.

Ja. Der Überschlag \(600-200=400\) passt gut zu \(405\).

- Du musst das genaue Produkt nicht kennen, um die Größenordnung zu prüfen. - Vergleiche die Anzahl pro Kiste mit einer nahe gelegenen runden Zahl. - Prüfe, ob bereits ein einfacher unterer Vergleich größer als das behauptete Ergebnis ist.

1. In jeder Kiste liegen mehr als \(50\) Flaschen. 2. Schon \(6 \cdot 50 = 300\) Flaschen wären mehr als die behaupteten \(212\). 3. Deshalb kann \(212\) nicht das Ergebnis von \(6 \cdot 52\) sein.

Das Ergebnis \(212\) ist unmöglich, denn schon \(6 \cdot 50 = 300 > 212\).

- Wie kannst du eine Additionsaufgabe mithilfe einer Subtraktion überprüfen? - Welche Zahl aus deinem Additionsergebnis musst du an den Anfang der Subtraktionsaufgabe setzen? - Denke daran, die Zahlen beim schriftlichen Rechnen stellengerecht untereinander zu schreiben.

1. Schriftliche Addition der Summanden \(783\) und \(459\). Ergebnis: \(1242\). 2. Durchführung der Umkehraufgabe durch Subtraktion des zweiten Summanden vom Ergebnis: \(1242 - 459 = 783\). 3. Vergleich des Subtraktionsergebnisses mit dem ersten Summanden. Da das Ergebnis \(783\) dem ersten Summanden entspricht, ist die Rechnung korrekt.

Das Ergebnis der Addition ist \(1242\). Die Umkehraufgabe zur Kontrolle lautet \(1242 - 459 = 783\).

- Für einen Überschlag darfst du \(48\) durch eine nahe, leichter zu rechnende Zahl ersetzen. - Rechne die genaue Aufgabe erst nach deiner Schätzung. - Vergleiche anschließend nicht nur die beiden Zahlen, sondern frage dich, ob ihre Abweichung zur gewählten Rundung passt.

1. Ein möglicher Überschlag ist \(6 \cdot 50 = 300\). 2. Genau gilt \(6 \cdot 48 = 6 \cdot 40 + 6 \cdot 8 = 240 + 48 = 288\). 3. \(288\) liegt nahe bei \(300\). Das genaue Ergebnis passt daher zum Überschlag. Andere sinnvolle Überschläge sind möglich, wenn sie als Plausibilitätskontrolle verwendet werden.

Überschlag: z. B. \(300\). Genaues Ergebnis: \(288\) Flaschen. Das genaue Ergebnis ist plausibel, weil es nahe beim Überschlag liegt.

- Wähle für den Überschlag eine nahe Zahl, mit der du leicht multiplizieren kannst. - Rechne das genaue Produkt erst nach deiner Schätzung. - Vergleiche nicht nur die Größe der beiden Ergebnisse, sondern auch die Richtung der Rundung.

1. Für a) ist zum Beispiel \(20 \cdot 7 = 140\) ein sinnvoller Überschlag. Genau gilt \(18 \cdot 7 = 126\). Das genaue Ergebnis liegt erwartungsgemäß etwas unter \(140\). 2. Für b) sind zum Beispiel \(25 \cdot 4 = 100\) oder \(30 \cdot 4 = 120\) sinnvolle Überschläge. Genau gilt \(26 \cdot 4 = 104\); \(104\) passt zu beiden Schätzungen. 3. Für c) ist \(50 \cdot 3 = 150\) ein sinnvoller Überschlag. Genau gilt \(49 \cdot 3 = 147\), also liegt das Ergebnis knapp unter \(150\).

a) Genau: \(126\); z. B. Überschlag \(140\), passend. b) Genau: \(104\); z. B. Überschlag \(100\) oder \(120\), passend. c) Genau: \(147\); z. B. Überschlag \(150\), passend.

- Runde einen oder beide Faktoren so, dass die Überschlagsrechnung leicht wird. - Berechne danach die genaue Anzahl unabhängig von deiner Schätzung. - Frage dich zum Schluss, ob die Abweichung zwischen Schätzung und genauem Ergebnis zur gewählten Rundung passt.

1. Ein möglicher Überschlag ist \(10 \cdot 20 = 200\). Auch \(9 \cdot 20 = 180\) oder \(10 \cdot 23 = 230\) sind als begründete Schätzungen möglich. 2. Genau gilt \(9 \cdot 23 = 9 \cdot 20 + 9 \cdot 3 = 180 + 27 = 207\). 3. \(207\) liegt nahe bei \(200\); die genaue Anzahl ist daher mit dem Überschlag vereinbar.

Genau sind es \(207\) Plätze. Ein möglicher Überschlag ist \(200\) Plätze; andere sinnvolle Schätzungen sind möglich. Das genaue Ergebnis muss nachvollziehbar mit der Schätzung verglichen werden.

- Beginne ganz links und bilde den ersten Teildividenden, der durch \(8\) geteilt werden kann. - Ein Rest wird mit der nächsten Ziffer des Dividenden zum nächsten Teildividenden verbunden. - Welche Multiplikation muss bei einer richtigen Division wieder \(952\) ergeben?

1. Schriftliche Division: \(9 : 8 = 1\,\text{Rest}\,1\); daraus wird der Teildividend \(15\). Es gilt \(15 : 8 = 1\,\text{Rest}\,7\); daraus wird der Teildividend \(72\). Schließlich ist \(72 : 8 = 9\). Damit gilt \(952 : 8 = 119\). 2. Zur Probe wird der Quotient mit dem Divisor multipliziert: \(119 \cdot 8\). 3. Es gilt \(100 \cdot 8 = 800\), \(10 \cdot 8 = 80\) und \(9 \cdot 8 = 72\). Somit ist \(119 \cdot 8 = 952\); die Division ist bestätigt.

\(952 : 8 = 119\); Probe: \(119 \cdot 8 = 952\).

- Suche jeweils eine nahe Zahl, die sich leicht durch \(6\) teilen lässt. - Achte beim schriftlichen Dividieren darauf, welche Stellen im Quotienten eine Null erhalten. - Ein Überschlag dient hier als Kontrolle: Passt die Größenordnung des genauen Ergebnisses dazu?

1. a) Ein passender Überschlag ist \(546 : 6 \approx 540 : 6 = 90\). Schriftlich ergibt sich \(546 : 6 = 91\). Der genaue Quotient liegt nahe bei \(90\) und ist plausibel. 2. b) Ein passender Überschlag ist \(5406 : 6 \approx 5400 : 6 = 900\). Schriftlich ergibt sich \(5406 : 6 = 901\). Der genaue Quotient liegt nahe bei \(900\) und ist plausibel. 3. c) Ein passender Überschlag ist \(54\,006 : 6 \approx 54\,000 : 6 = 9000\). Schriftlich ergibt sich \(54\,006 : 6 = 9001\). Der genaue Quotient liegt nahe bei \(9000\) und ist plausibel.

a) Überschlag: etwa \(90\); genau: \(91\); plausibel. b) Überschlag: etwa \(900\); genau: \(901\); plausibel. c) Überschlag: etwa \(9000\); genau: \(9001\); plausibel.

- Wähle für die Probe eine andere Reihenfolge als in der ersten Rechnung. - Notiere die Summe der ersten beiden Summanden deiner Probe, bevor du den dritten addierst. - Vergleiche erst danach die beiden Endergebnisse.

1. In der ersten Reihenfolge gilt \(45\,612 + 12\,389 = 58\,001\) und danach \(58\,001 + 7504 = 65\,505\). 2. Für eine unabhängiger ausgeführte Kontrollrechnung kann zuerst \(12\,389 + 7504\) gerechnet werden. Diese Zwischensumme ist \(19\,893\). 3. Danach gilt \(19\,893 + 45\,612 = 65\,505\). 4. Beide vollständig ausgeführten Rechenwege führen zu \(65\,505\).

Erste Rechnung: \(65\,505\). Probe, z. B.: erste Zwischensumme \(12\,389 + 7504 = 19\,893\), danach \(19\,893 + 45\,612 = 65\,505\).

- Beachte bei jedem Weg nur die Zahlen, die in der jeweiligen Klammer zuerst zusammengehören. - Halte diese erste Zwischensumme fest, bevor du weiterrechnest. - Vergleiche die Endergebnisse erst, nachdem beide Wege vollständig ausgeführt sind.

1. Beim ersten Weg ist die Klammer-Zwischensumme \(3456 + 2189 = 5645\). Danach gilt \(5645 + 4072 = 9717\). 2. Beim zweiten Weg ist die Klammer-Zwischensumme \(2189 + 4072 = 6261\). Danach gilt \(3456 + 6261 = 9717\). 3. Die unterschiedlichen Zwischensummen zeigen, dass beide Rechenwege tatsächlich ausgeführt wurden. Beide führen zum Endergebnis \(9717\).

1. Zwischensumme \(5645\), Endergebnis \(9717\). 2. Zwischensumme \(6261\), Endergebnis \(9717\). Die Endergebnisse sind gleich.

- Bei einer richtigen Malaufgabe muss die Division des Produkts durch einen Faktor den anderen Faktor ergeben. - Prüfe bei b), ob die Division genau aufgeht und den erwarteten Faktor liefert. - Erst wenn die Probe fehlschlägt, berechnest du das korrekte Produkt.

1. a) Es gilt \(236 \cdot 4 = 944\). Die Umkehraufgabe lautet \(944 : 4 = 236\). 2. b) Zur Kontrolle wird \(1116 : 7\) gerechnet. Dabei ergibt sich \(1116 : 7 = 159\,\text{Rest}\,3\). Der Quotient ist also nicht \(158\), und zusätzlich bleibt ein Rest; Emmas Ergebnis kann nicht stimmen. 3. Das richtige Produkt ist \(158 \cdot 7 = 1106\).

a) \(236 \cdot 4 = 944\); Umkehraufgabe: \(944 : 4 = 236\). b) \(1116 : 7 = 159\,\text{Rest}\,3\), also ist die Behauptung falsch. Richtig ist \(158 \cdot 7 = 1106\).

- Bestimme zuerst die Zahl der vollständigen Neunerreihen. - Was bleibt nach diesen vollständigen Gruppen übrig? - Zur Probe werden Produkt und Rest wieder zum Dividenden zusammengesetzt.

1. Acht vollständige Umschläge enthalten \(8 \cdot 9 = 72\) Karten. 2. Es bleiben \(5\) Karten übrig. Daher gilt \(77 : 9 = 8\,\text{Rest}\,5\). 3. Probe: \(8 \cdot 9 + 5 = 77\).

\(77 : 9 = 8\,\text{Rest}\,5\); Probe: \(8 \cdot 9 + 5 = 77\).

- Eine Multiplikation kann durch Division rückwärts geprüft werden. - Wähle als Divisor den einstelligen Faktor. - Vergleiche den erhaltenen Quotienten mit dem anderen Faktor.

1. Zur Multiplikation \(214\cdot3=642\) passt die Umkehraufgabe \(642:3\). 2. \(642:3=214\). 3. Die Umkehraufgabe führt wieder zum ersten Faktor; das dargestellte Produkt stimmt.

Probe: \(642:3=214\). Das Produkt ist richtig.

- Bei einer Division mit Rest reicht „Divisor mal Quotient“ noch nicht aus. - Der Rest muss am Ende wieder hinzukommen. - Die Probe muss exakt den ursprünglichen Dividend ergeben.

1. Multipliziere Divisor und Quotient: \(5\cdot149=745\). 2. Addiere den Rest: \(745+1=746\). 3. Das ergibt genau den Dividend; die Division ist korrekt.

Probe: \(5\cdot149+1=746\). Die Division ist korrekt.

- Suche zwei einfache Zahlen, zwischen denen \(247\) liegt. - Multipliziere beide Vergleichszahlen mit derselben Anzahl von Klassen. - Ein richtiges Ergebnis muss zwischen den beiden so entstehenden Grenzen liegen.

1. Es gilt \(240 < 247 < 250\). 2. Daher liegt das gesuchte Produkt zwischen \(8 \cdot 240 = 1920\) und \(8 \cdot 250 = 2000\). 3. Die behaupteten \(2136\) liegen oberhalb dieser oberen Schranke. Die Behauptung ist deshalb falsch.

Die Behauptung ist falsch. Das Produkt liegt zwischen \(1920\) und \(2000\); \(2136\) kann daher nicht stimmen.

- Überlege, bei welcher Prüfung ein Fehler aus dem ursprünglichen Rechenweg am wenigsten einfach wiederholt werden kann. - Eine Umkehraufgabe nutzt einen anderen Zusammenhang als bloßes Wiederholen derselben Rechnung. - Für eine Größenordnung brauchst du keine genaue Neuberechnung, sondern passende nahe Zahlen.

1. Prüfung B ist unabhängiger, weil eine andere Rechenart verwendet wird. Es gilt tatsächlich \(1666 : 7 = 238\). 2. Bei Prüfung A kann derselbe Verfahrensfehler wie in der ersten Rechnung erneut auftreten, wenn der Rechenweg unverändert wiederholt wird. 3. Für die Größenordnung kann man zusätzlich überschlagen. Zum Beispiel liegt \(238\) nahe bei \(240\), also liegt das Produkt in der Nähe von \(240 \cdot 7 = 1680\). Das passt zur Größenordnung von \(1666\).

B) ist unabhängiger, weil die Umkehraufgabe eine andere Rechenart verwendet. Ein zusätzlicher Überschlag kann die Größenordnung prüfen.

- Was passiert, wenn du einen Teil des Ganzen wieder wegnimmst? - Achte beim schriftlichen Addieren auf die Überträge und beim schriftlichen Subtrahieren auf notwendige Entbündelungen. - Hast du das Ergebnis der Addition als erste Zahl für deine Minusaufgabe verwendet?

1. Schriftliche Addition von \(5612\) und \(3789\). Ergebnis: \(9401\). 2. Aufstellen der Umkehraufgabe: \(9401 - 3789\). 3. Berechnung der Differenz: \(5612\). 4. Da die Differenz mit dem ersten Summanden der ursprünglichen Aufgabe übereinstimmt, ist das Ergebnis der Addition richtig.

Die Summe ist \(9401\). Die Kontrollrechnung lautet \(9401 - 3789 = 5612\).

- Rechne jede Aufgabe im Kopf nach und achte besonders auf die Anzahl der Nullen im Ergebnis. - Bei der Multiplikation mit 10 kommt eine Null dazu. - Was passiert bei der Division, wenn beide Zahlen eine Null am Ende haben? - Vergleiche die Aufgaben a) und d) genau mit ihren Ergebnissen.

1. Überprüfung von a): \(9 \cdot 4 = 36\), daher muss \(9 \cdot 40 = 360\) sein. Die Aussage ist falsch. 2. Überprüfung von b): \(36 : 9 = 4\), also \(360 : 9 = 40\). Die Aussage ist richtig. 3. Überprüfung von c): \(36 : 4 = 9\), also \(360 : 4 = 90\). Die Aussage ist richtig. 4. Überprüfung von d): \(360 : 40 = 9\), da sich die Nullen bei der Division durch eine Zehnerzahl gegenseitig aufheben (\(36 : 4 = 9\)). Die Aussage ist falsch.

a) falsch; richtig ist \(360\) b) richtig c) richtig d) falsch; richtig ist \(9\)

- Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Werten? - Erinnere dich an die Regeln für das Runden: Bei 0, 1, 2, 3 und 4 rundest du ab, bei 5, 6, 7, 8 und 9 rundest du auf. - Vergleiche dein genaues Ergebnis mit dem Überschlag. Liegen die Zahlen nah beieinander?

1. Berechnung für Fahrt A: \(15\,412\,\text{km} - 14\,895\,\text{km} = 517\,\text{km}\). Überschlag (Hunderter): \(15\,400 - 14\,900 = 500\). 2. Berechnung für Fahrt B: \(16\,105\,\text{km} - 15\,412\,\text{km} = 693\,\text{km}\). Überschlag (Hunderter): \(16\,100 - 15\,400 = 700\). 3. Berechnung für Fahrt C: \(17\,034\,\text{km} - 16\,105\,\text{km} = 929\,\text{km}\). Überschlag (Hunderter): \(17\,000 - 16\,100 = 900\).

Fahrt A: \(517\,\text{km}\) (Überschlag: \(500\,\text{km}\)); Fahrt B: \(693\,\text{km}\) (Überschlag: \(700\,\text{km}\)); Fahrt C: \(929\,\text{km}\) (Überschlag: \(900\,\text{km}\)).

- Welche Rechenart hilft dir, den Verbrauch zwischen zwei Zeitpunkten zu bestimmen? - Beim Runden auf Tausender schaust du dir die Hunderterstelle an. - Ist dein genaues Ergebnis plausibel im Vergleich zum Überschlag?

1. Schriftliche Subtraktion zur Bestimmung des Verbrauchs: \(38\,214 - 34\,567 = 3647\). Der Verbrauch beträgt \(3647\,\text{kWh}\). 2. Rundung auf Tausender für den Überschlag: \(38\,214 - 34\,567 \approx 38\,000 - 35\,000 = 3000\).

a) Der Stromverbrauch beträgt \(3647\,\text{kWh}\). b) \(38\,214\,\text{kWh} - 34\,567\,\text{kWh} \approx 3000\,\text{kWh}\).

- Runde auf Faktoren, mit denen du schnell multiplizieren kannst, ohne sie unnötig stark zu verändern. - Achte darauf, ob du auf- oder abrundest; das hilft beim Vergleich mit dem genauen Ergebnis. - Ein guter Überschlag soll vor allem die richtige Größenordnung und eine brauchbare Nähe liefern.

1. a) Ein passender Überschlag ist \(5 \cdot 200 = 1000\). Genau gilt \(5 \cdot 198 = 990\); das genaue Ergebnis liegt knapp darunter. 2. b) Ein passender Überschlag ist \(50 \cdot 20 = 1000\). Genau gilt \(48 \cdot 19 = 912\); die Größenordnung passt zum Überschlag. 3. c) Ein passender Überschlag ist \(200 \cdot 7 = 1400\). Genau gilt \(203 \cdot 7 = 1421\); das Ergebnis liegt wie erwartet etwas darüber.

a) Genau \(990\); z. B. Überschlag \(1000\). b) Genau \(912\); z. B. Überschlag \(1000\). c) Genau \(1421\); z. B. Überschlag \(1400\). Andere nahe, begründete Überschläge sind möglich.

- Beginne jeweils mit dem kleinsten Anfang des Dividenden, der mindestens so groß wie der Teiler ist. - Bleibt nach einer Teildivision ein Rest, verbindest du ihn mit der nächsten Ziffer zum nächsten Teildividenden. - Welche Multiplikation muss bei einer richtigen Division wieder den ursprünglichen Dividenden ergeben?

1. a) Die schriftliche Division ergibt \(816 : 6 = 136\). Probe: \(136 \cdot 6 = 816\). 2. b) Die schriftliche Division ergibt \(816 : 4 = 204\). Probe: \(204 \cdot 4 = 816\). 3. c) Die schriftliche Division ergibt \(816 : 8 = 102\). Probe: \(102 \cdot 8 = 816\).

a) \(136\); Probe: \(136 \cdot 6 = 816\) b) \(204\); Probe: \(204 \cdot 4 = 816\) c) \(102\); Probe: \(102 \cdot 8 = 816\)

- Rechne für jede Aufgabe die Umkehraufgabe aus. - Vergleiche das Ergebnis deiner Multiplikation mit der ersten Zahl der Division. - Achte bei der Korrektur besonders auf Stellen, an denen eine Null im Ergebnis stehen könnte.

1. Prüfung von Aufgabe a): \(208 \cdot 3 = 624\). Das Ergebnis ist richtig. 2. Prüfung von Aufgabe b): \(149 \cdot 5 = 745\). Das Ergebnis ist richtig. 3. Prüfung von Aufgabe c): \(14 \cdot 9 = 126\). Da \(126 \neq 936\), ist die Rechnung falsch. 4. Korrektur der Aufgabe c): Die schriftliche Division \(936 : 9\) ergibt \(104\).

Rechnung c) ist falsch. Die Probe ergibt \(14 \cdot 9 = 126\). Das richtige Ergebnis ist \(936 : 9 = 104\).

- Rechne jede der drei Aufgaben selbst schriftlich nach. - Achte besonders auf die Überträge an der Hunderterstelle. - Nur eine der drei Aufgaben ist falsch.

1. Überprüfung von Aufgabe 1: \(5608 + 392 = 6000\) ist korrekt. 2. Überprüfung von Aufgabe 2: \(4725 + 1285 = 6010\) ist korrekt. 3. Überprüfung von Aufgabe 3: Die schriftliche Addition von \(3419\) und \(681\) ergibt \(4100\). 4. Identifikation: Rechnung 3 ist fehlerhaft, da das angegebene Ergebnis \(4000\) um \(100\) zu klein ist.

Rechnung 3 ist falsch. Das richtige Ergebnis lautet \(4100\).

- Verfolge jeden notierten Übertrag bis in die unmittelbar nächste Stellenrechnung. - Prüfe, ob jede über dem Multiplikanden notierte Zahl im nächsten Schritt tatsächlich verwendet wird. - Vergleiche für c) die Einerstellen der beiden Multiplikanden.

1. Der Übertrag \(2\) aus der Einerstelle wurde bei der Zehnerstelle nicht berücksichtigt. 2. In der Zehnerstelle gilt \(3 \cdot 4 + 2 = 14\). Man schreibt \(4\) und überträgt \(1\) Hunderter. 3. In der Hunderterstelle gilt \(6 \cdot 4 + 1 = 25\). Damit ist \(635 \cdot 4 = 2540\). 4. Bei \(630 \cdot 4\) entsteht in der Einerstelle kein Übertrag. Deshalb ergibt diese andere Aufgabe tatsächlich \(2520\).

a) Der Übertrag \(2\) aus der Einerstelle wurde bei der Zehnerrechnung nicht verwendet. b) \(635 \cdot 4 = 2540\) c) \(630 \cdot 4 = 2520\), weil bei \(0 \cdot 4\) kein Einerübertrag entsteht.

- Führe für jede Aufgabe eine einfache Schätzung durch. - Achte besonders darauf, wie viele Stellen (Einer, Zehner, Hunderter) dein Schätzergebnis hat. - Wo weicht das Ergebnis extrem von deiner Schätzung ab?

1. Überschlag für a): \(3456 : 9 \approx 3600 : 9 = 400\). Das Ergebnis \(384\) liegt nah am Überschlag. 2. Überschlag für b): \(1944 : 6 \approx 1800 : 6 = 300\). Das Ergebnis \(324\) liegt nah am Überschlag. 3. Überschlag für c): \(5565 : 7 \approx 5600 : 7 = 800\). Das angegebene Ergebnis \(95\) ist viel zu klein und hat eine Stelle zu wenig. Das tatsächliche Ergebnis ist \(795\).

Rechnung c) ist falsch. Es gilt \(5565 : 7 \approx 5600 : 7 = 800\). Das Ergebnis \(95\) ist viel zu klein; es müsste eine dreistellige Zahl im Hunderterbereich sein.

- Suche für den Überschlag eine nahe Zahl, die sich gut durch den jeweiligen Teiler teilen lässt. - Bei der schriftlichen Division wird ein Rest mit der nächsten Ziffer zum nächsten Teildividenden verbunden. - Vergleiche erst am Ende Größenordnung und Abstand von Überschlag und genauem Ergebnis.

1. a) Für den Überschlag eignet sich die nahe durch \(7\) teilbare Zahl \(1680\): \(1638 : 7 \approx 1680 : 7 = 240\). 2. Schriftlich gilt: \(16 : 7 = 2\,\text{Rest}\,2\); daraus wird \(23\), also \(23 : 7 = 3\,\text{Rest}\,2\); daraus wird \(28\), also \(28 : 7 = 4\). Damit ist \(1638 : 7 = 234\). 3. \(234\) liegt nahe beim Überschlag \(240\); das genaue Ergebnis ist plausibel. 4. b) Für den Überschlag eignet sich \(2250\): \(2304 : 9 \approx 2250 : 9 = 250\). 5. Schriftlich gilt: \(23 : 9 = 2\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(50\), also \(50 : 9 = 5\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(54\), also \(54 : 9 = 6\). Damit ist \(2304 : 9 = 256\). 6. \(256\) liegt nahe beim Überschlag \(250\); auch dieses genaue Ergebnis ist plausibel.

a) Überschlag: \(1638 : 7 \approx 240\); genau: \(234\); plausibel. b) Überschlag: \(2304 : 9 \approx 250\); genau: \(256\); plausibel.

- Welche Rechenart kehrt eine Division um? - Bei einer Division mit Rest muss die Probe auch den Rest berücksichtigen. - Prüfe, ob dein Rest kleiner als der Divisor ist.

1. a) Schriftlich: \(54 : 8 = 6\,\text{Rest}\,6\); daraus wird \(63\), also \(63 : 8 = 7\,\text{Rest}\,7\); daraus wird \(72\), also \(72 : 8 = 9\). Damit ist \(5432 : 8 = 679\). 2. Probe zu a): \(679 \cdot 8 = 5432\). 3. b) Schriftlich: \(7 : 4 = 1\,\text{Rest}\,3\); daraus wird \(38\), also \(38 : 4 = 9\,\text{Rest}\,2\); daraus wird \(21\), also \(21 : 4 = 5\,\text{Rest}\,1\); daraus wird \(15\), also \(15 : 4 = 3\,\text{Rest}\,3\). Damit ist \(7815 : 4 = 1953\,\text{Rest}\,3\). 4. Probe zu b): \(1953 \cdot 4 + 3 = 7812 + 3 = 7815\).

a) \(5432 : 8 = 679\); Probe: \(679 \cdot 8 = 5432\) b) \(7815 : 4 = 1953\,\text{Rest}\,3\); Probe: \(1953 \cdot 4 + 3 = 7815\)

- Führe die schriftliche Division von links nach rechts aus. - Der Rest muss kleiner als der Divisor sein. - Für die Probe verbindest du Quotient, Divisor und Rest wieder mit dem Dividenden.

1. a) \(17\,285 : 3 = 5761\,\text{Rest}\,2\). 2. Probe: \(5761 \cdot 3 = 17\,283\); \(17\,283 + 2 = 17\,285\). 3. b) \(42\,061 : 6 = 7010\,\text{Rest}\,1\). 4. Probe: \(7010 \cdot 6 = 42\,060\); \(42\,060 + 1 = 42\,061\).

a) \(5761\,\text{Rest}\,2\); Probe: \(5761 \cdot 3 + 2 = 17\,285\). b) \(7010\,\text{Rest}\,1\); Probe: \(7010 \cdot 6 + 1 = 42\,061\).

- Schau dir die Endungen der Zahlen genau an. Welche Zahlen lassen sich besonders leicht zusammenrechnen? - Kannst du Paare bilden, die eine glatte Zehntausenderzahl ergeben? - Wenn du die Teilsummen addierst, muss das gleiche Ergebnis herauskommen wie bei der schrittweisen Addition aller vier Zahlen.

1. Berechnung der Gesamtsumme: \(15\,280 + 34\,720 + 9150 + 10\,850 = 70\,000\). 2. Überprüfung durch geschickte Paarbildung: Erstes Paar: \(15\,280 + 34\,720 = 50\,000\). Zweites Paar: \(9150 + 10\,850 = 20\,000\). 3. Addition der Teilsummen: \(50\,000 + 20\,000 = 70\,000\). 4. Vergleich: Da beide Wege zum selben Ergebnis führen, ist die Rechnung korrekt.

Die Gesamtsumme beträgt \(70\,000\). Durch das geschickte Zusammenfassen (\(50\,000 + 20\,000\)) wird das Ergebnis bestätigt.

- Kannst du die Zahlen runden, um schnell eine ungefähre Summe zu finden? - Was passiert, wenn du vom Ergebnis eine der beiden Zahlen wieder abziehst? - Hast du beim Addieren der Tausenderstelle an den Übertrag gedacht?

1. Durchführung der Überschlagsrechnung: \(54\,000 + 28\,000 = 82\,000\). Das Ergebnis \(81\,242\) liegt nahe am Überschlag, ist aber nicht exakt bestätigt. 2. Durchführung der Umkehroperation: \(81\,242 - 27\,914 = 53\,328\). Da \(53\,328 \neq 54\,328\), ist Laras Ergebnis falsch. 3. Berechnung des korrekten Ergebnisses: \(54\,328 + 27\,914 = 82\,242\).

Lara hat falsch gerechnet. Das korrekte Ergebnis lautet \(82\,242\).

- Schau dir die letzten Ziffern der Zahlen an. Passt die letzte Ziffer des Ergebnisses dazu? - Kannst du zwei der Zahlen in Aufgabe D schnell im Kopf zusammenrechnen? - Rechne die Aufgaben schriftlich nach, bei denen dein Überschlag nicht passt.

1. Überprüfung von A: \(12\,456 + 35\,123 = 47\,579\) ist korrekt. 2. Überprüfung von B: \(45\,280 + 14\,720 = 60\,000\) ist korrekt. 3. Überprüfung von C: Prüfung der Einerstelle (\(9 + 2 = 11\)). Das Ergebnis muss auf \(1\) enden, nicht auf \(5\). Korrektes Ergebnis: \(38\,209 + 41\,782 = 79\,991\). 4. Überprüfung von D: Teilschritte berechnen (\(5602 + 14\,398 = 20\,000\)). Dann \(20\,000 + 20\,100 = 40\,100\). Das angegebene Ergebnis \(40\,000\) ist falsch.

Falsch sind die Aufgaben C und D. Korrekte Ergebnisse: C) \(79\,991\) D) \(40\,100\)

- Bei einer Division kann am Ende ein Rest übrig bleiben. - Welche Multiplikation verbindet Quotient und Divisor wieder mit dem Dividenden? - Berücksichtige bei der Probe auch den Rest.

1. Schriftlich: \(59 : 6 = 9\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(53\), also \(53 : 6 = 8\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(59\), also \(59 : 6 = 9\,\text{Rest}\,5\). Damit ist \(5939 : 6 = 989\,\text{Rest}\,5\). 2. Probe: \(989 \cdot 6 = 5934\). 3. Mit dem Rest gilt \(5934 + 5 = 5939\). Damit ist das Ergebnis bestätigt.

\(5939 : 6 = 989\,\text{Rest}\,5\); Probe: \(989 \cdot 6 + 5 = 5939\).

- Welche drei Zahlen kommen in einer Malaufgabe und ihrer Umkehraufgabe jeweils wieder vor? - In der zweiten Spalte kannst du zuerst die Division lösen. - Prüfe anschließend, ob die gefundene Zahl auch die Multiplikation erfüllt.

1. In der ersten Spalte gilt \(417 \cdot 3 = 1251\). Damit lautet die Probe \(1251 : 3 = 417\). 2. In der zweiten Spalte liefert die Division den fehlenden Faktor: \(1345 : 5 = 269\). 3. Daher lautet die passende Multiplikation \(269 \cdot 5 = 1345\).

Erste Spalte: \(417 \cdot 3 = 1251\) und \(1251 : 3 = 417\). Zweite Spalte: \(269 \cdot 5 = 1345\) und \(1345 : 5 = 269\).

- Wie viele Stellen sollte das Ergebnis ungefähr haben? - Was passiert bei der schriftlichen Division, wenn du eine Zahl herunterholst, die kleiner als der Teiler ist? - Wie kannst du mit einer Multiplikation kontrollieren, ob dein Divisionsergebnis stimmt?

1. Durchführung eines Überschlags: Rundung von \(241\,530\) auf \(240\,000\). \(240\,000 : 5 = 48\,000\). Da \(48\,000\) viel größer ist als \(4836\), ist Max' Ergebnis falsch. 2. Schriftliche Division: \(241\,530 : 5 = 48\,306\). 3. Durchführung der Probe: \(48\,306 \cdot 5 = 241\,530\).

1. Ein möglicher Überschlag ist \(240\,000 : 5 = 48\,000\). Das Ergebnis \(4836\) ist viel zu klein. 2. Das richtige Ergebnis ist \(48\,306\). 3. Probe: \(48\,306 \cdot 5 = 241\,530\).

- Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation? - Die Probe muss wieder den ursprünglichen Faktor ergeben. - Achte beim schriftlichen Dividieren darauf, wie ein Rest mit der nächsten Ziffer zum neuen Teildividenden wird.

1. Die schriftliche Multiplikation ergibt \(4152 \cdot 6 = 24\,912\). 2. Zur Probe wird die Umkehraufgabe \(24\,912 : 6\) gerechnet. 3. Schriftlich: \(24 : 6 = 4\); danach gilt \(9 : 6 = 1\,\text{Rest}\,3\), daraus wird \(31\), also \(31 : 6 = 5\,\text{Rest}\,1\); daraus wird \(12\), also \(12 : 6 = 2\). 4. Die Division ergibt \(4152\). Damit bestätigt die Umkehraufgabe das Produkt.

\(4152 \cdot 6 = 24\,912\); Probe: \(24\,912 : 6 = 4152\).

- Welche Umkehraufgabe führt vom bekannten Produkt zum fehlenden Faktor? - Ein Rest in einem Zwischenschritt der Division wird mit der nächsten Ziffer zum nächsten Teildividenden verbunden. - Die abschließende Multiplikation muss wieder das gegebene Produkt ergeben.

1. Für die unbekannte Zahl wird \(38\,136 : 8\) schriftlich gerechnet. 2. Es gilt \(38 : 8 = 4\,\text{Rest}\,6\); daraus wird \(61\), also \(61 : 8 = 7\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(53\), also \(53 : 8 = 6\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(56\), also \(56 : 8 = 7\). 3. Die gesuchte Zahl ist \(4767\). 4. Die schriftliche Probe ergibt \(4767 \cdot 8 = 38\,136\). Damit ist der gefundene Faktor bestätigt.

a) \(4767\) b) Probe: \(4767 \cdot 8 = 38\,136\)

- Welche Division muss bei einem richtigen Produkt wieder einen der Faktoren ergeben? - Die Tauschaufgabe beruht darauf, dass die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht ändert. - Überlege, ob eine Rechnung einen Fehler entdecken kann, wenn du ihr Ergebnis nur aus der ersten Rechnung abschreibst.

1. a) \(37 \cdot 40 = 1480\). Die Umkehraufgabe lautet \(1480 : 40 = 37\). Die Tauschaufgabe ist \(40 \cdot 37 = 1480\). 2. b) \(215 \cdot 30 = 6450\). Die Umkehraufgabe lautet \(6450 : 30 = 215\). Die Tauschaufgabe ist \(30 \cdot 215 = 6450\). 3. c) \(506 \cdot 70 = 35\,420\). Die Umkehraufgabe lautet \(35\,420 : 70 = 506\). Die Tauschaufgabe ist \(70 \cdot 506 = 35\,420\). 4. Die Umkehraufgabe prüft das erhaltene Produkt mit einer anderen Rechenart. Die Tauschaufgabe beschreibt wegen des Kommutativgesetzes dieselbe Multiplikation. Wenn ihr Ergebnis nur übernommen wird, entsteht keine unabhängige Kontrolle; nur eine tatsächliche Neuberechnung kann einen Rechenfehler aufdecken.

a) \(1480\); Probe: \(1480 : 40 = 37\); Tauschaufgabe: \(40 \cdot 37 = 1480\) b) \(6450\); Probe: \(6450 : 30 = 215\); Tauschaufgabe: \(30 \cdot 215 = 6450\) c) \(35\,420\); Probe: \(35\,420 : 70 = 506\); Tauschaufgabe: \(70 \cdot 506 = 35\,420\) Erklärung: Die Division ist eine Umkehraufgabe. Die Tauschaufgabe kontrolliert nur bei einer echten Neuberechnung zusätzlich; bloßes Übernehmen des Ergebnisses prüft nichts.

- Eine unabhängige Probe soll nicht denselben Multiplikationsweg nur anders anordnen. - Welche Umkehraufgabe führt vom Produkt zu einem der Faktoren zurück? - Für den Überschlag reicht eine nahe runde Zahl, die die Größenordnung sichtbar macht.

1. Schriftlich gilt \(326 \cdot 6 = 1956\). Die Überträge von rechts nach links sind \(3\) und \(1\). 2. Die unabhängige Umkehraufgabe lautet \(1956 : 6 = 326\). Der erste Teildividend ist \(19\); damit wird die Division tatsächlich neu ausgeführt und nicht nur das Produkt vertauscht. 3. Ein passender Überschlag ist \(300 \cdot 6 = 1800\). Das exakte Ergebnis \(1956\) liegt in derselben Größenordnung und ist plausibel.

\(326 \cdot 6 = 1956\); Überträge: \(3, 1\). 1. Probe: \(1956 : 6 = 326\); erster Teildividend: \(19\). 2. Überschlag: z. B. \(300 \cdot 6 = 1800\); \(1956\) ist plausibel.

- Kannst du die Aufgabe mit der entgegengesetzten Rechenart überprüfen? - Achte beim schriftlichen Rechnen besonders auf die Entbündelungen an den Stellen, an denen eine Null steht. - Hilft es dir, die Zahlen genau untereinander zu schreiben (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner)?

1. Durchführung der schriftlichen Subtraktion für Teil a): \(92\,451 - 45\,163 = 47\,288\) 2. Überprüfung durch die Umkehraufgabe (Addition): \(47\,288 + 45\,163 = 92\,451\) 3. Durchführung der schriftlichen Subtraktion für Teil b): \(506\,000 - 237\,482 = 268\,518\) 4. Überprüfung durch die Umkehraufgabe (Addition): \(268\,518 + 237\,482 = 506\,000\)

a) Differenz: \(47\,288\), Probe: \(47\,288 + 45\,163 = 92\,451\); b) Differenz: \(268\,518\), Probe: \(268\,518 + 237\,482 = 506\,000\).

- Beginne die Probe mit einer anderen Paarung oder Reihenfolge als die erste Rechnung. - Notiere die entstehenden Zwischensummen und rechne mit ihnen weiter. - Vergleiche die beiden Endergebnisse erst am Schluss.

1. Die erste Addition ergibt \(312\,085 + 56\,720 + 9433 + 867 = 379\,105\). 2. Für die Probe kann mit den kleineren Summanden begonnen werden: \(867 + 9433 = 10\,300\). 3. Danach gilt \(10\,300 + 56\,720 = 67\,020\). 4. Schließlich gilt \(67\,020 + 312\,085 = 379\,105\). 5. Die notierten Zwischensummen belegen die zweite, anders geordnete Rechnung; beide Wege ergeben \(379\,105\).

Ergebnis: \(379\,105\). Probe, z. B.: \(867 + 9433 = 10\,300\), \(10\,300 + 56\,720 = 67\,020\), \(67\,020 + 312\,085 = 379\,105\).

- Wie heißt das Ergebnis einer Minusaufgabe? - Erinnerst du dich, wie man eine Minusaufgabe mit einer Plusaufgabe überprüfen kann? - Was passiert, wenn du das Ergebnis vom ersten Wert der Aufgabe abziehst? - Achte beim schriftlichen Rechnen besonders auf die Entbündelungen.

1. Berechnung der Differenz: \(74\,821 - 36\,547 = 38\,274\). 2. Probe durch Addition: Addiere die Differenz und den Subtrahenden: \(38\,274 + 36\,547 = 74\,821\). Das Ergebnis entspricht dem Minuenden. 3. Probe durch Subtraktion: Subtrahiere die Differenz vom Minuenden: \(74\,821 - 38\,274 = 36\,547\). Das Ergebnis entspricht dem Subtrahenden.

Das Ergebnis ist \(38\,274\). Probe 1 (Addition): \(38\,274 + 36\,547 = 74\,821\) Probe 2 (Subtraktion): \(74\,821 - 38\,274 = 36\,547\)

- Bilde zu jeder Minusaufgabe die passende Plusaufgabe aus Differenz und Subtrahend. - Vergleiche das Ergebnis jeder Probe mit dem jeweiligen Minuenden. - Erst nachdem eine Probe nicht aufgeht, berechnest du diese Subtraktion neu.

1. Zu a) wird geprüft: \(44\,121 + 14\,271 = 58\,392\). Die Rechnung ist korrekt. 2. Zu b) wird geprüft: \(55\,219 + 37\,186 = 92\,405\). Die Rechnung ist korrekt. 3. Zu c) wird geprüft: \(45\,695 + 24\,315 = 70\,010\). Das ist nicht der Minuend \(70\,000\); diese Rechnung ist falsch. 4. Richtig ist \(70\,000 - 24\,315 = 45\,685\).

c) ist falsch. Richtig ist \(70\,000 - 24\,315 = 45\,685\).

- Runde für a) auf gut rechenbare Tausender. - Überlege für b), wie du mit Subtraktion einzelne Summanden wieder zurückgewinnen kannst. - Beide Kontrollen sollen zum berechneten Summenwert passen.

1. Die Summe ist \(27\,405 + 13\,990 + 8605 = 50\,000\). 2. Überschlag: \(27\,000 + 14\,000 + 9000 = 50\,000\). 3. Umkehraufgabe: \(50\,000 - 8605 = 41\,395\) und \(41\,395 - 13\,990 = 27\,405\).

a) Überschlag: \(27\,000 + 14\,000 + 9000 = 50\,000\). b) Umkehraufgabe: \(50\,000 - 8605 = 41\,395\) und \(41\,395 - 13\,990 = 27\,405\). Summe: \(50\,000\).

- Rechne das Produkt zunächst schriftlich und halte die Überträge fest. - Nutze danach den einstelligen Multiplikator als Divisor der Umkehraufgabe. - Bei der zweiten Probe ist eine Teilzahl kleiner als der Divisor; überlege, was dann im Quotienten stehen muss.

1. a) Schriftlich gilt \(684 \cdot 7=4788\). Die Überträge von rechts nach links sind \(2,5\). 2. Die unabhängige Probe lautet \(4788:7=684\). Die Teildividenden sind \(47 \rightarrow 58 \rightarrow 28\). 3. b) Schriftlich gilt \(509 \cdot 6=3054\). Die Überträge von rechts nach links sind \(5,0\). 4. Die unabhängige Probe lautet \(3054:6=509\). Die Teildividenden sind \(30 \rightarrow 5 \rightarrow 54\). Die Null in der Quotientenmitte muss dabei mitgeführt werden.

a) \(684 \cdot 7=4788\); Überträge \(2,5\); Probe \(4788:7=684\); Teildividenden \(47 \rightarrow 58 \rightarrow 28\) b) \(509 \cdot 6=3054\); Überträge \(5,0\); Probe \(3054:6=509\); Teildividenden \(30 \rightarrow 5 \rightarrow 54\)

- Lies bei jedem Rechteck zuerst Reihen- und Spaltenzahl ab. - Vergleiche danach beide dargestellten Teilprodukte mit den Summanden in Rafaels Rechnung. - Für c) suche eine Kontrolle, die nicht nur dieselbe Zerlegung wiederholt.

1. Das linke Rechteckfeld hat \(7\) Reihen und \(10\) Spalten. Es stellt daher \(7 \cdot 10 = 70\) dar. 2. Das rechte Rechteckfeld hat \(7\) Reihen und \(2\) Spalten. Es stellt daher \(7 \cdot 2 = 14\) dar. 3. Rafaels zweiter Summand \(2\) passt nicht zum rechten Rechteckfeld. Richtig ist \(70 + 14 = 84\). 4. Als unabhängige Kontrolle eignet sich zum Beispiel die Tauschaufgabe \(12 \cdot 7\).

a) Nein. Der zweite Summand passt nicht zum rechten Rechteckfeld. b) Links: \(7 \cdot 10 = 70\); rechts: \(7 \cdot 2 = 14\); insgesamt \(84\). c) Zum Beispiel mit der Tauschaufgabe \(12 \cdot 7\).

- Suche für a) einen kleineren zweiten Faktor, mit dem du das Vergleichsprodukt leicht bestimmen kannst. - Wenn du einen Faktor verkleinerst und den anderen unverändert lässt, muss auch das Produkt kleiner werden. - Prüfe in b) die beiden Teilprodukte getrennt, bevor du sie addierst.

1. Weil \(14 > 12\), muss \(36 \cdot 14\) größer als \(36 \cdot 12\) sein. 2. Es gilt \(36 \cdot 12 = 36 \cdot 10 + 36 \cdot 2 = 360 + 72 = 432\). Da \(404 < 432\), kann Hanas Ergebnis nicht stimmen. 3. Die Zerlegung \(14 = 10 + 4\) ist richtig. Dabei gilt \(36 \cdot 10 = 360\) und \(36 \cdot 4 = 144\). 4. Daher ist \(36 \cdot 14 = 360 + 144 = 504\).

a) Nein. \(36 \cdot 14\) muss größer als \(36 \cdot 12 = 432\) sein; \(404\) ist zu klein. b) \(36 \cdot 14 = 504\).

- Wähle für den Überschlag nahe runde Faktoren. - Für die letzte Ziffer brauchst du nur die beiden Einerziffern der Faktoren. - Zwei unterschiedliche Prüfideen sind stärker als dieselbe Rechnung noch einmal.

1. Überschlag: \(438\) liegt nahe bei \(400\), \(27\) nahe bei \(30\). \(400\cdot30=12\,000\), also passt die Größenordnung von \(11\,826\). 2. Einerziffer: \(8\cdot7=56\), daher muss das Produkt auf \(6\) enden. Das dargestellte Ergebnis endet auf \(6\). 3. Beide unabhängigen Checks sprechen dafür, dass das Ergebnis plausibel ist.

Der Überschlag liegt bei etwa \(12\,000\), und die Einerziffer muss \(6\) sein. \(11\,826\) besteht beide Checks.

- Für die exakte Probe verbindest du Quotient, Divisor und Rest. - Für den Überschlag suche einen nahe gelegenen Dividend, der leicht durch den Divisor teilbar ist. - Prüfe sowohl die exakte Gleichheit als auch die Größenordnung.

1. Multiplikationsprobe: \(834\cdot7=5838\); mit dem Rest gilt \(5838+4=5842\). 2. Überschlag: \(5600:7=800\). Ein Quotient etwas über \(800\) ist daher plausibel. 3. Beide Prüfungen bestätigen Quotient \(834\) und Rest \(4\).

Probe: \(834\cdot7+4=5842\). Der Überschlag \(5600:7=800\) bestätigt die Größenordnung; das Ergebnis ist richtig.