- Runde jede Zahl auf einen nahen Hunderter. - Wähle die Rechnung, die die Ausgangszahlen nur wenig verändert.

\(198\) liegt nahe bei \(200\) und \(303\) nahe bei \(300\). Daher passt \(200 + 300\) am besten.

a) \(200 + 300\)

- Vergleiche die Wörter „exakt“ und „etwa“. - Frage dich, ob \(500\) denselben Genauigkeitsanspruch hat wie \(503\).

1. Das Wort „etwa“ zeigt, dass \(500\) nur ungefähr gemeint ist. 2. Das genaue Ergebnis ist \(503\). Deshalb ist \(500\) hier ein Überschlag.

\(500\) ist hier ein Überschlag, kein exaktes Ergebnis.

- Für einen Überschlag brauchst du keine exakte schriftliche Addition. - Runde beide Summanden auf nahe Zehner, mit denen du leicht rechnen kannst. - Vergleiche nur die Größenordnung des dargestellten Ergebnisses mit deinem Überschlag.

1. Runde für einen groben Überschlag auf Zehner: \(246 \approx 250\) und \(153 \approx 150\). 2. Damit liegt die Summe ungefähr bei \(250 + 150 = 400\). 3. \(499\) liegt deutlich darüber und kann deshalb nicht stimmen.

Nein. Ein Überschlag auf Zehner ergibt ungefähr \(400\); \(499\) ist deutlich zu groß.

- Runde beide Zahlen auf nahe Hunderter. - Berechne nur die gerundete Differenz. - Dein Überschlag muss nur ungefähr zum dargestellten Ergebnis passen.

1. \(603\) liegt nahe bei \(600\), \(198\) nahe bei \(200\). 2. \(600-200=400\). 3. Das angegebene Ergebnis \(405\) liegt sehr nahe bei \(400\) und passt deshalb gut zum Überschlag.

Ja. Der Überschlag \(600-200=400\) passt gut zu \(405\).

- Du musst das genaue Produkt nicht kennen, um die Größenordnung zu prüfen. - Vergleiche die Anzahl pro Kiste mit einer nahe gelegenen runden Zahl. - Prüfe, ob bereits ein einfacher unterer Vergleich größer als das behauptete Ergebnis ist.

1. In jeder Kiste liegen mehr als \(50\) Flaschen. 2. Schon \(6 \cdot 50 = 300\) Flaschen wären mehr als die behaupteten \(212\). 3. Deshalb kann \(212\) nicht das Ergebnis von \(6 \cdot 52\) sein.

Das Ergebnis \(212\) ist unmöglich, denn schon \(6 \cdot 50 = 300 > 212\).

- Wie kannst du eine Additionsaufgabe mithilfe einer Subtraktion überprüfen? - Welche Zahl aus deinem Additionsergebnis musst du an den Anfang der Subtraktionsaufgabe setzen? - Denke daran, die Zahlen beim schriftlichen Rechnen stellengerecht untereinander zu schreiben.

1. Schriftlich gilt \(783 + 459 = 1242\). 2. Zur Kontrolle ziehst du den zweiten Summanden wieder ab: \(1242 - 459 = 783\). 3. Du erhältst wieder den ersten Summanden. Die Addition ist also richtig.

Das Ergebnis der Addition ist \(1242\). Die Umkehraufgabe zur Kontrolle lautet \(1242 - 459 = 783\).

- Für einen Überschlag darfst du \(48\) durch eine nahe, leichter zu rechnende Zahl ersetzen. - Rechne die genaue Aufgabe erst nach deiner Schätzung. - Vergleiche anschließend nicht nur die beiden Zahlen, sondern frage dich, ob ihre Abweichung zur gewählten Rundung passt.

1. Ein möglicher Überschlag ist \(6 \cdot 50 = 300\). 2. Genau gilt \(6 \cdot 48 = 6 \cdot 40 + 6 \cdot 8 = 240 + 48 = 288\). 3. \(288\) liegt nahe bei \(300\). Das genaue Ergebnis passt daher zum Überschlag. Andere sinnvolle Überschläge sind möglich, wenn du das genaue Ergebnis damit sinnvoll vergleichen kannst.

Überschlag: z. B. \(300\). Genaues Ergebnis: \(288\) Flaschen. Das genaue Ergebnis passt gut zur Schätzung.

- Wähle für den Überschlag eine nahe Zahl, mit der du leicht multiplizieren kannst. - Rechne das genaue Produkt erst nach deiner Schätzung. - Vergleiche nicht nur die Größe der beiden Ergebnisse, sondern auch die Richtung der Rundung.

1. Für a) ist zum Beispiel \(20 \cdot 7 = 140\) ein sinnvoller Überschlag. Genau gilt \(18 \cdot 7 = 126\). Das genaue Ergebnis liegt erwartungsgemäß etwas unter \(140\). 2. Für b) sind zum Beispiel \(25 \cdot 4 = 100\) oder \(30 \cdot 4 = 120\) sinnvolle Überschläge. Genau gilt \(26 \cdot 4 = 104\); \(104\) passt zu beiden Schätzungen. 3. Für c) ist \(50 \cdot 3 = 150\) ein sinnvoller Überschlag. Genau gilt \(49 \cdot 3 = 147\), also liegt das Ergebnis knapp unter \(150\).

a) Genau: \(126\); z. B. Überschlag \(140\), passend. b) Genau: \(104\); z. B. Überschlag \(100\) oder \(120\), passend. c) Genau: \(147\); z. B. Überschlag \(150\), passend.

- Runde einen oder beide Faktoren so, dass die Überschlagsrechnung leicht wird. - Berechne danach die genaue Anzahl unabhängig von deiner Schätzung. - Frage dich zum Schluss, ob die Abweichung zwischen Schätzung und genauem Ergebnis zur gewählten Rundung passt.

1. Ein möglicher Überschlag ist \(10 \cdot 20 = 200\). Auch \(9 \cdot 20 = 180\) oder \(10 \cdot 23 = 230\) sind als begründete Schätzungen möglich. 2. Genau gilt \(9 \cdot 23 = 9 \cdot 20 + 9 \cdot 3 = 180 + 27 = 207\). 3. \(207\) liegt nahe bei \(200\). Das genaue Ergebnis passt also zum Überschlag.

Genau sind es \(207\) Plätze. Ein möglicher Überschlag ist \(200\) Plätze; andere sinnvolle Schätzungen sind möglich. Zum Beispiel liegt \(207\) nahe bei \(200\), deshalb passt das genaue Ergebnis gut zu diesem Überschlag.

- Beginne ganz links und bilde den ersten Teildividenden, der durch \(8\) geteilt werden kann. - Ein Rest wird mit der nächsten Ziffer des Dividenden zum nächsten Teildividenden verbunden. - Welche Multiplikation muss bei einer richtigen Division wieder \(952\) ergeben?

1. Schriftliche Division: \(9 : 8 = 1\,\text{Rest}\,1\); daraus wird der Teildividend \(15\). Es gilt \(15 : 8 = 1\,\text{Rest}\,7\); daraus wird der Teildividend \(72\). Schließlich ist \(72 : 8 = 9\). Damit gilt \(952 : 8 = 119\). 2. Zur Probe wird der Quotient mit dem Divisor multipliziert: \(119 \cdot 8\). 3. Es gilt \(100 \cdot 8 = 800\), \(10 \cdot 8 = 80\) und \(9 \cdot 8 = 72\). Somit ist \(119 \cdot 8 = 952\); die Division ist bestätigt.

\(952 : 8 = 119\); Probe: \(119 \cdot 8 = 952\).

- Suche jeweils eine nahe Zahl, die sich leicht durch \(6\) teilen lässt. - Achte beim schriftlichen Dividieren darauf, welche Stellen im Quotienten eine Null erhalten. - Ein Überschlag dient hier als Kontrolle: Passt die Größenordnung des genauen Ergebnisses dazu?

1. a) Ein passender Überschlag ist \(546 : 6 \approx 540 : 6 = 90\). Schriftlich ergibt sich \(546 : 6 = 91\). Das genaue Ergebnis liegt nahe bei \(90\) und passt zum Überschlag. 2. b) Ein passender Überschlag ist \(5406 : 6 \approx 5400 : 6 = 900\). Schriftlich ergibt sich \(5406 : 6 = 901\). Das genaue Ergebnis liegt nahe bei \(900\) und passt zum Überschlag. 3. c) Ein passender Überschlag ist \(54\,006 : 6 \approx 54\,000 : 6 = 9000\). Schriftlich ergibt sich \(54\,006 : 6 = 9001\). Das genaue Ergebnis liegt nahe bei \(9000\) und passt zum Überschlag.

a) Überschlag: etwa \(90\); genau: \(91\); passt. b) Überschlag: etwa \(900\); genau: \(901\); passt. c) Überschlag: etwa \(9000\); genau: \(9001\); passt.

- Wähle für die Probe eine andere Reihenfolge als in der ersten Rechnung. - Notiere die Summe der ersten beiden Summanden deiner Probe, bevor du den dritten addierst. - Vergleiche erst danach die beiden Endergebnisse.

1. Zuerst gilt \(45\,612 + 12\,389 = 58\,001\). Danach ist \(58\,001 + 7504 = 65\,505\). 2. Für die Probe kannst du zuerst \(12\,389 + 7504\) rechnen. Die Zwischensumme ist \(19\,893\). 3. Danach gilt \(19\,893 + 45\,612 = 65\,505\). 4. Beide Rechenwege führen zu \(65\,505\).

Erste Rechnung: \(65\,505\). Probe, z. B.: erste Zwischensumme \(12\,389 + 7504 = 19\,893\), danach \(19\,893 + 45\,612 = 65\,505\).

- Beachte bei jedem Weg nur die Zahlen, die in der jeweiligen Klammer zuerst zusammengehören. - Halte diese erste Zwischensumme fest, bevor du weiterrechnest. - Vergleiche die Endergebnisse erst, nachdem beide Wege vollständig ausgeführt sind.

1. Beim ersten Weg ist die Summe in der Klammer \(3456 + 2189 = 5645\). Danach gilt \(5645 + 4072 = 9717\). 2. Beim zweiten Weg ist die Summe in der Klammer \(2189 + 4072 = 6261\). Danach gilt \(3456 + 6261 = 9717\). 3. Die Zwischensummen sind verschieden, aber beide Rechenwege führen zum Endergebnis \(9717\).

1. Zwischensumme \(5645\), Endergebnis \(9717\). 2. Zwischensumme \(6261\), Endergebnis \(9717\). Die Endergebnisse sind gleich.

- Bei einer richtigen Malaufgabe muss die Division des Produkts durch einen Faktor den anderen Faktor ergeben. - Prüfe bei b), ob die Division genau aufgeht und den erwarteten Faktor liefert. - Erst wenn die Probe fehlschlägt, berechnest du das korrekte Produkt.

1. a) Es gilt \(236 \cdot 4 = 944\). Die passende Kontrolle ist \(944 : 4 = 236\). 2. b) Zur Kontrolle rechnest du \(1116 : 7\). Es ergibt sich \(159\,\text{Rest}\,3\). Du erhältst also nicht \(158\), und außerdem bleibt ein Rest. Emmas Ergebnis kann nicht stimmen. 3. Das richtige Produkt ist \(158 \cdot 7 = 1106\).

a) \(236 \cdot 4 = 944\); Kontrolle: \(944 : 4 = 236\). b) \(1116 : 7 = 159\,\text{Rest}\,3\), also ist das Ergebnis falsch. Richtig ist \(158 \cdot 7 = 1106\).

- Bestimme zuerst die Zahl der vollständigen Neunerreihen. - Was bleibt nach diesen vollständigen Gruppen übrig? - Zur Probe werden Produkt und Rest wieder zum Dividenden zusammengesetzt.

1. Acht vollständige Umschläge enthalten \(8 \cdot 9 = 72\) Karten. 2. Es bleiben \(5\) Karten übrig. Daher gilt \(77 : 9 = 8\,\text{Rest}\,5\). 3. Probe: \(8 \cdot 9 + 5 = 77\).

\(77 : 9 = 8\,\text{Rest}\,5\); Probe: \(8 \cdot 9 + 5 = 77\).

- Eine Multiplikation kann durch Division rückwärts geprüft werden. - Wähle als Divisor den einstelligen Faktor. - Vergleiche den erhaltenen Quotienten mit dem anderen Faktor.

1. Zur Multiplikation \(214\cdot3=642\) passt die Division \(642:3\). 2. \(642:3=214\). 3. Du erhältst wieder den ersten Faktor. Das dargestellte Produkt stimmt.

Probe: \(642:3=214\). Das Produkt ist richtig.

- Bei einer Division mit Rest reicht „Divisor mal Quotient“ noch nicht aus. - Der Rest muss am Ende wieder hinzukommen. - Die Probe muss exakt den ursprünglichen Dividend ergeben.

1. Multipliziere das Ergebnis mit \(5\): \(149\cdot5=745\). 2. Addiere den Rest: \(745+1=746\). 3. Du erhältst wieder die ursprüngliche Zahl. Die Division ist richtig.

Probe: \(149\cdot5+1=746\). Die Division ist richtig.

- Überlege, ob du für die Entscheidung wirklich den genauen Bestand kennen musst. - Suche eine nahe, einfachere Packungsgröße, die sicher kleiner als die tatsächliche ist. - Wenn schon dieser kleinere Vergleich die Box vollständig füllt, was folgt dann für den tatsächlichen Bestand?

1. Du musst nicht genau ausrechnen. Jede Packung enthält mehr als \(100\) Perlen. 2. Schon mit \(100\) Perlen pro Packung gilt \(19 \cdot 100 = 1900\). 3. Tatsächlich sind es pro Packung \(102\) Perlen. Insgesamt sind es also mehr als \(1900\). Die Box reicht nicht.

Nein. Weil \(102 > 100\), gilt \(19 \cdot 102 > 19 \cdot 100 = 1900\). Die Box ist zu klein.

- Vergleiche zuerst das Überschlagsergebnis mit der Kapazitätsgrenze. - Wenn Überschlag und Grenze zusammenfallen, kann eine kleine Rundungsabweichung die Entscheidung verändern. - Nutze dann ein exaktes Verfahren für die Differenz und vergleiche erst danach mit der Boxgröße.

1. Maras Schätzung ergibt genau \(8700\), also genau die Grenze der Box. Damit weißt du noch nicht sicher, ob die wirkliche Zahl etwas darunter oder darüber liegt. 2. Deshalb musst du genau rechnen: \(12\,480 - 3765 = 8715\). 3. \(8715 > 8700\). Es passen also nicht alle Karten in die Box. \(15\) Karten sind zu viel.

Die Schätzung reicht nicht. Genau gilt \(12\,480 - 3765 = 8715\). Die Box ist um \(15\) Karten zu klein.

- Suche zwei einfache Zahlen, zwischen denen \(247\) liegt. - Multipliziere beide Vergleichszahlen mit derselben Anzahl von Klassen. - Ein richtiges Ergebnis muss zwischen den beiden so entstehenden Grenzen liegen.

1. Es gilt \(240 < 247 < 250\). 2. Deshalb muss das Produkt zwischen \(8 \cdot 240 = 1920\) und \(8 \cdot 250 = 2000\) liegen. 3. \(2136\) liegt über \(2000\). Die Behauptung ist also falsch.

Die Behauptung ist falsch. Das Produkt muss zwischen \(1920\) und \(2000\) liegen; \(2136\) kann daher nicht stimmen.

- Überlege, bei welcher Prüfung ein Fehler aus dem ursprünglichen Rechenweg am wenigsten einfach wiederholt werden kann. - Eine Umkehraufgabe nutzt einen anderen Zusammenhang als bloßes Wiederholen derselben Rechnung. - Für eine Größenordnung brauchst du keine genaue Neuberechnung, sondern passende nahe Zahlen.

1. Prüfung B ist unabhängiger, weil dabei eine andere Rechenart verwendet wird. Es gilt \(1666 : 7 = 238\). 2. Bei Prüfung A kann derselbe Rechenfehler noch einmal passieren, wenn genau derselbe Weg wiederholt wird. 3. Zusätzlich kannst du überschlagen: \(238\) liegt nahe bei \(240\), also liegt das Produkt ungefähr bei \(240 \cdot 7 = 1680\). Das passt gut zu \(1666\).

B) ist unabhängiger vom ersten Rechenweg, weil mit einer anderen Rechenart geprüft wird. Ein passender Überschlag ist zum Beispiel \(240 \cdot 7 = 1680\).

- Was passiert, wenn du einen Teil des Ganzen wieder wegnimmst? - Achte beim schriftlichen Addieren auf die Überträge und beim schriftlichen Subtrahieren auf notwendige Entbündelungen. - Hast du das Ergebnis der Addition als erste Zahl für deine Minusaufgabe verwendet?

1. Schriftlich gilt \(5612 + 3789 = 9401\). 2. Zur Kontrolle rechnest du \(9401 - 3789 = 5612\). 3. Du erhältst wieder den ersten Summanden. Die Addition ist also richtig.

Die Summe ist \(9401\). Die Kontrollrechnung lautet \(9401 - 3789 = 5612\).

- Rechne jede Aufgabe im Kopf nach und achte besonders auf die Anzahl der Nullen im Ergebnis. - Bei der Multiplikation mit 10 kommt eine Null dazu. - Was passiert bei der Division, wenn beide Zahlen eine Null am Ende haben? - Vergleiche die Aufgaben a) und d) genau mit ihren Ergebnissen.

1. Überprüfung von a): \(9 \cdot 4 = 36\), daher muss \(9 \cdot 40 = 360\) sein. Die Aussage ist falsch. 2. Überprüfung von b): \(36 : 9 = 4\), also \(360 : 9 = 40\). Die Aussage ist richtig. 3. Überprüfung von c): \(36 : 4 = 9\), also \(360 : 4 = 90\). Die Aussage ist richtig. 4. Überprüfung von d): \(360 : 40 = 9\), da sich die Nullen bei der Division durch eine Zehnerzahl gegenseitig aufheben (\(36 : 4 = 9\)). Die Aussage ist falsch.

a) falsch; richtig ist \(360\) b) richtig c) richtig d) falsch; richtig ist \(9\)

- Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Werten? - Erinnere dich an die Regeln für das Runden: Bei 0, 1, 2, 3 und 4 rundest du ab, bei 5, 6, 7, 8 und 9 rundest du auf. - Vergleiche dein genaues Ergebnis mit dem Überschlag. Liegen die Zahlen nah beieinander?

1. Tierpark Falkenau: \(15\,412\,\text{km} - 14\,895\,\text{km} = 517\,\text{km}\). Überschlag: \(15\,400 - 14\,900 = 500\). 2. Nordsee: \(16\,105\,\text{km} - 15\,412\,\text{km} = 693\,\text{km}\). Überschlag: \(16\,100 - 15\,400 = 700\). 3. Bergsee: \(17\,034\,\text{km} - 16\,105\,\text{km} = 929\,\text{km}\). Überschlag: \(17\,000 - 16\,100 = 900\).

Tierpark Falkenau: \(517\,\text{km}\) (Überschlag: \(500\,\text{km}\)) Nordsee: \(693\,\text{km}\) (Überschlag: \(700\,\text{km}\)) Bergsee: \(929\,\text{km}\) (Überschlag: \(900\,\text{km}\))

- Welche Rechenart hilft dir, den Verbrauch zwischen zwei Zeitpunkten zu bestimmen? - Beim Runden auf Tausender schaust du dir die Hunderterstelle an. - Passt dein genaues Ergebnis ungefähr zu deinem Überschlag?

1. Schriftliche Subtraktion zur Bestimmung des Verbrauchs: \(38\,214 - 34\,567 = 3647\). Der Verbrauch beträgt \(3647\,\text{kWh}\). 2. Rundung auf Tausender für den Überschlag: \(38\,214 - 34\,567 \approx 38\,000 - 35\,000 = 3000\).

a) Der Stromverbrauch beträgt \(3647\,\text{kWh}\). b) \(38\,214\,\text{kWh} - 34\,567\,\text{kWh} \approx 3000\,\text{kWh}\).

- Runde auf Faktoren, mit denen du schnell multiplizieren kannst, ohne sie unnötig stark zu verändern. - Achte darauf, ob du auf- oder abrundest; das hilft beim Vergleich mit dem genauen Ergebnis. - Ein guter Überschlag soll vor allem die richtige Größenordnung und eine brauchbare Nähe liefern.

1. a) Ein passender Überschlag ist \(5 \cdot 200 = 1000\). Genau gilt \(5 \cdot 198 = 990\); das genaue Ergebnis liegt knapp darunter. 2. b) Ein passender Überschlag ist \(50 \cdot 20 = 1000\). Genau gilt \(48 \cdot 19 = 912\); das genaue Ergebnis passt gut zur Schätzung. 3. c) Ein passender Überschlag ist \(200 \cdot 7 = 1400\). Genau gilt \(203 \cdot 7 = 1421\); das Ergebnis liegt wie erwartet etwas darüber.

a) Genau \(990\); z. B. Überschlag \(1000\). b) Genau \(912\); z. B. Überschlag \(1000\). c) Genau \(1421\); z. B. Überschlag \(1400\). Andere nahe, begründete Überschläge sind möglich.

- Beginne jeweils mit dem kleinsten Anfang des Dividenden, der mindestens so groß wie der Teiler ist. - Bleibt nach einer Teildivision ein Rest, verbindest du ihn mit der nächsten Ziffer zum nächsten Teildividenden. - Welche Multiplikation muss bei einer richtigen Division wieder den ursprünglichen Dividenden ergeben?

1. a) Die schriftliche Division ergibt \(816 : 6 = 136\). Probe: \(136 \cdot 6 = 816\). 2. b) Die schriftliche Division ergibt \(816 : 4 = 204\). Probe: \(204 \cdot 4 = 816\). 3. c) Die schriftliche Division ergibt \(816 : 8 = 102\). Probe: \(102 \cdot 8 = 816\).

a) \(136\); Probe: \(136 \cdot 6 = 816\) b) \(204\); Probe: \(204 \cdot 4 = 816\) c) \(102\); Probe: \(102 \cdot 8 = 816\)

- Rechne für jede Aufgabe die Umkehraufgabe aus. - Vergleiche das Ergebnis deiner Multiplikation mit der ersten Zahl der Division. - Achte bei der Korrektur besonders auf Stellen, an denen eine Null im Ergebnis stehen könnte.

1. Prüfung von Aufgabe a): \(208 \cdot 3 = 624\). Das Ergebnis ist richtig. 2. Prüfung von Aufgabe b): \(149 \cdot 5 = 745\). Das Ergebnis ist richtig. 3. Prüfung von Aufgabe c): \(14 \cdot 9 = 126\). Da \(126 \neq 936\), ist die Rechnung falsch. 4. Korrektur der Aufgabe c): Die schriftliche Division \(936 : 9\) ergibt \(104\).

Rechnung c) ist falsch. Die Probe ergibt \(14 \cdot 9 = 126\). Das richtige Ergebnis ist \(936 : 9 = 104\).

- Rechne jede der drei Aufgaben selbst schriftlich nach. - Achte besonders auf die Überträge an der Hunderterstelle. - Nur eine der drei Aufgaben ist falsch.

1. Überprüfung von Aufgabe 1: \(5608 + 392 = 6000\) ist korrekt. 2. Überprüfung von Aufgabe 2: \(4725 + 1285 = 6010\) ist korrekt. 3. Überprüfung von Aufgabe 3: Die schriftliche Addition von \(3419\) und \(681\) ergibt \(4100\). 4. Identifikation: Rechnung 3 ist fehlerhaft, da das angegebene Ergebnis \(4000\) um \(100\) zu klein ist.

Rechnung 3 ist falsch. Das richtige Ergebnis lautet \(4100\).

- Führe für jede Aufgabe eine einfache Schätzung durch. - Achte besonders darauf, wie viele Stellen (Einer, Zehner, Hunderter) dein Schätzergebnis hat. - Wo weicht das Ergebnis extrem von deiner Schätzung ab?

1. Überschlag für a): \(3456 : 9 \approx 3600 : 9 = 400\). Das Ergebnis \(384\) liegt nah am Überschlag. 2. Überschlag für b): \(1944 : 6 \approx 1800 : 6 = 300\). Das Ergebnis \(324\) liegt nah am Überschlag. 3. Überschlag für c): \(5565 : 7 \approx 5600 : 7 = 800\). Das angegebene Ergebnis \(95\) ist viel zu klein und hat eine Stelle zu wenig. Das tatsächliche Ergebnis ist \(795\).

Rechnung c) ist falsch. Es gilt \(5565 : 7 \approx 5600 : 7 = 800\). Das Ergebnis \(95\) ist viel zu klein; es müsste eine dreistellige Zahl im Hunderterbereich sein.

- Suche für den Überschlag eine nahe Zahl, die sich gut durch den jeweiligen Teiler teilen lässt. - Bei der schriftlichen Division wird ein Rest mit der nächsten Ziffer zum nächsten Teildividenden verbunden. - Vergleiche erst am Ende Größenordnung und Abstand von Überschlag und genauem Ergebnis.

1. a) Für den Überschlag eignet sich die nahe durch \(7\) teilbare Zahl \(1680\): \(1638 : 7 \approx 1680 : 7 = 240\). 2. Schriftlich gilt: \(16 : 7 = 2\,\text{Rest}\,2\); daraus wird \(23\), also \(23 : 7 = 3\,\text{Rest}\,2\); daraus wird \(28\), also \(28 : 7 = 4\). Damit ist \(1638 : 7 = 234\). 3. \(234\) liegt nahe beim Überschlag \(240\). Das genaue Ergebnis passt also gut zur Schätzung. 4. b) Für den Überschlag eignet sich \(2250\): \(2304 : 9 \approx 2250 : 9 = 250\). 5. Schriftlich gilt: \(23 : 9 = 2\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(50\), also \(50 : 9 = 5\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(54\), also \(54 : 9 = 6\). Damit ist \(2304 : 9 = 256\). 6. \(256\) liegt nahe beim Überschlag \(250\). Auch dieses Ergebnis passt gut zur Schätzung.

a) Überschlag: \(1638 : 7 \approx 240\); genau: \(234\); passt zur Schätzung. b) Überschlag: \(2304 : 9 \approx 250\); genau: \(256\); passt zur Schätzung.

- Welche Rechenart kehrt eine Division um? - Bei einer Division mit Rest muss die Probe auch den Rest berücksichtigen. - Prüfe, ob dein Rest kleiner als der Divisor ist.

1. a) Schriftlich: \(54 : 8 = 6\,\text{Rest}\,6\); daraus wird \(63\), also \(63 : 8 = 7\,\text{Rest}\,7\); daraus wird \(72\), also \(72 : 8 = 9\). Damit ist \(5432 : 8 = 679\). 2. Probe zu a): \(679 \cdot 8 = 5432\). 3. b) Schriftlich: \(7 : 4 = 1\,\text{Rest}\,3\); daraus wird \(38\), also \(38 : 4 = 9\,\text{Rest}\,2\); daraus wird \(21\), also \(21 : 4 = 5\,\text{Rest}\,1\); daraus wird \(15\), also \(15 : 4 = 3\,\text{Rest}\,3\). Damit ist \(7815 : 4 = 1953\,\text{Rest}\,3\). 4. Probe zu b): \(1953 \cdot 4 + 3 = 7812 + 3 = 7815\).

a) \(5432 : 8 = 679\); Probe: \(679 \cdot 8 = 5432\) b) \(7815 : 4 = 1953\,\text{Rest}\,3\); Probe: \(1953 \cdot 4 + 3 = 7815\)

- Führe die schriftliche Division von links nach rechts aus. - Der Rest muss kleiner als der Divisor sein. - Für die Probe verbindest du Quotient, Divisor und Rest wieder mit dem Dividenden.

1. a) \(17\,285 : 3 = 5761\,\text{Rest}\,2\). 2. Probe: \(5761 \cdot 3 = 17\,283\); \(17\,283 + 2 = 17\,285\). 3. b) \(42\,061 : 6 = 7010\,\text{Rest}\,1\). 4. Probe: \(7010 \cdot 6 = 42\,060\); \(42\,060 + 1 = 42\,061\).

a) \(5761\,\text{Rest}\,2\); Probe: \(5761 \cdot 3 + 2 = 17\,285\). b) \(7010\,\text{Rest}\,1\); Probe: \(7010 \cdot 6 + 1 = 42\,061\).

- Schau dir die Endungen der Zahlen genau an. Welche Zahlen lassen sich besonders leicht zusammenrechnen? - Kannst du Paare bilden, die eine glatte Zehntausenderzahl ergeben? - Wenn du die Teilsummen addierst, muss das gleiche Ergebnis herauskommen wie bei der schrittweisen Addition aller vier Zahlen.

1. Die vier Zahlen ergeben zusammen \(70\,000\). 2. Für die Probe kannst du \(15\,280 + 34\,720 = 50\,000\) rechnen. 3. Das zweite Paar ergibt \(9150 + 10\,850 = 20\,000\). 4. \(50\,000 + 20\,000 = 70\,000\). Beide Wege führen also zum selben Ergebnis.

Die Gesamtsumme beträgt \(70\,000\). Durch das geschickte Zusammenfassen zu \(50\,000 + 20\,000\) wird das Ergebnis bestätigt.

- Kannst du die Zahlen runden, um schnell eine ungefähre Summe zu finden? - Was passiert, wenn du vom Ergebnis eine der beiden Zahlen wieder abziehst? - Hast du beim Addieren der Tausenderstelle an den Übertrag gedacht?

1. Ein Überschlag ist \(54\,000 + 28\,000 = 82\,000\). Laras Ergebnis \(81\,242\) liegt zwar in der Nähe, damit ist es aber noch nicht sicher richtig. 2. Die Kontrolle mit Subtraktion ergibt \(81\,242 - 27\,914 = 53\,328\). Das ist nicht \(54\,328\), also ist Laras Ergebnis falsch. 3. Richtig ist \(54\,328 + 27\,914 = 82\,242\).

Lara hat falsch gerechnet. Das korrekte Ergebnis lautet \(82\,242\).

- Schau dir die letzten Ziffern der Zahlen an. Passt die letzte Ziffer des Ergebnisses dazu? - Kannst du zwei der Zahlen in Aufgabe D schnell im Kopf zusammenrechnen? - Rechne die Aufgaben schriftlich nach, bei denen dein Überschlag nicht passt.

1. A ist richtig: \(12\,456 + 35\,123 = 47\,579\). 2. B ist richtig: \(45\,280 + 14\,720 = 60\,000\). 3. Bei C gilt an der Einerstelle \(9 + 2 = 11\). Das Ergebnis muss also auf \(1\) enden, nicht auf \(5\). Richtig ist \(38\,209 + 41\,782 = 79\,991\). 4. Bei D gilt zuerst \(5602 + 14\,398 = 20\,000\). Danach ist \(20\,000 + 20\,100 = 40\,100\). Das angegebene Ergebnis ist falsch.

Falsch sind die Aufgaben C und D. Korrekte Ergebnisse: C) \(79\,991\) D) \(40\,100\)

- Bei einer Division kann am Ende ein Rest übrig bleiben. - Welche Multiplikation verbindet Quotient und Divisor wieder mit dem Dividenden? - Berücksichtige bei der Probe auch den Rest.

1. Schriftlich: \(59 : 6 = 9\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(53\), also \(53 : 6 = 8\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(59\), also \(59 : 6 = 9\,\text{Rest}\,5\). Damit ist \(5939 : 6 = 989\,\text{Rest}\,5\). 2. Probe: \(989 \cdot 6 = 5934\). 3. Mit dem Rest gilt \(5934 + 5 = 5939\). Damit ist das Ergebnis bestätigt.

\(5939 : 6 = 989\,\text{Rest}\,5\); Probe: \(989 \cdot 6 + 5 = 5939\).

- Welche drei Zahlen kommen in einer Malaufgabe und ihrer Umkehraufgabe jeweils wieder vor? - In der zweiten Spalte kannst du zuerst die Division lösen. - Prüfe anschließend, ob die gefundene Zahl auch die Multiplikation erfüllt.

1. In der ersten Spalte gilt \(417 \cdot 3 = 1251\). Die Probe lautet \(1251 : 3 = 417\). 2. In der zweiten Spalte ergibt die Division den fehlenden Faktor: \(1345 : 5 = 269\). 3. Daher lautet die passende Multiplikation \(269 \cdot 5 = 1345\).

Erste Spalte: \(417 \cdot 3 = 1251\) und \(1251 : 3 = 417\). Zweite Spalte: \(269 \cdot 5 = 1345\) und \(1345 : 5 = 269\).

- Wie viele Stellen sollte das Ergebnis ungefähr haben? - Was passiert bei der schriftlichen Division, wenn du eine Zahl herunterholst, die kleiner als der Teiler ist? - Wie kannst du mit einer Multiplikation kontrollieren, ob dein Divisionsergebnis stimmt?

1. Runde \(241\,530\) zum Beispiel auf \(240\,000\). Dann gilt \(240\,000 : 5 = 48\,000\). Das ist viel größer als \(4836\), also kann Max' Ergebnis nicht stimmen. 2. Schriftlich ergibt sich \(241\,530 : 5 = 48\,306\). 3. Probe: \(48\,306 \cdot 5 = 241\,530\).

1. Ein möglicher Überschlag ist \(240\,000 : 5 = 48\,000\). Das Ergebnis \(4836\) ist viel zu klein. 2. Das richtige Ergebnis ist \(48\,306\). 3. Probe: \(48\,306 \cdot 5 = 241\,530\).

- Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation? - Die Probe muss wieder den ursprünglichen Faktor ergeben. - Achte beim schriftlichen Dividieren darauf, wie ein Rest mit der nächsten Ziffer zum neuen Teildividenden wird.

1. Schriftlich ergibt sich \(4152 \cdot 6 = 24\,912\). 2. Zur Probe rechnest du \(24\,912 : 6\). 3. Schriftlich: \(24 : 6 = 4\); danach gilt \(9 : 6 = 1\,\text{Rest}\,3\), daraus wird \(31\), also \(31 : 6 = 5\,\text{Rest}\,1\); daraus wird \(12\), also \(12 : 6 = 2\). 4. Die Division ergibt wieder \(4152\). Damit stimmt das Produkt.

\(4152 \cdot 6 = 24\,912\); Probe: \(24\,912 : 6 = 4152\).

- Welche Umkehraufgabe führt vom bekannten Produkt zum fehlenden Faktor? - Ein Rest in einem Zwischenschritt der Division wird mit der nächsten Ziffer zum nächsten Teildividenden verbunden. - Die abschließende Multiplikation muss wieder das gegebene Produkt ergeben.

1. Teile \(38\,136\) schriftlich durch \(8\). 2. Es gilt \(38 : 8 = 4\,\text{Rest}\,6\); daraus wird \(61\), also \(61 : 8 = 7\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(53\), also \(53 : 8 = 6\,\text{Rest}\,5\); daraus wird \(56\), also \(56 : 8 = 7\). 3. Die gesuchte Zahl ist \(4767\). 4. Probe: \(4767 \cdot 8 = 38\,136\). Das Ergebnis stimmt.

a) \(4767\) b) Probe: \(4767 \cdot 8 = 38\,136\)

- Welche Division muss bei einem richtigen Produkt wieder einen der Faktoren ergeben? - Bei der Tauschaufgabe werden die beiden Faktoren nur in anderer Reihenfolge multipliziert. - Überlege, ob eine Rechnung einen Fehler entdecken kann, wenn du ihr Ergebnis nur aus der ersten Rechnung abschreibst.

1. a) \(37 \cdot 40 = 1480\). Probe: \(1480 : 40 = 37\). Tauschaufgabe: \(40 \cdot 37 = 1480\). 2. b) \(215 \cdot 30 = 6450\). Probe: \(6450 : 30 = 215\). Tauschaufgabe: \(30 \cdot 215 = 6450\). 3. c) \(506 \cdot 70 = 35\,420\). Probe: \(35\,420 : 70 = 506\). Tauschaufgabe: \(70 \cdot 506 = 35\,420\). 4. Bei der Tauschaufgabe werden nur die beiden Faktoren vertauscht. Wenn du das erste Ergebnis einfach übernimmst, prüfst du nichts neu. Erst wenn du die Tauschaufgabe selbst ausrechnest, kann sie einen Fehler aufdecken.

a) \(1480\); Probe: \(1480 : 40 = 37\); Tauschaufgabe: \(40 \cdot 37 = 1480\) b) \(6450\); Probe: \(6450 : 30 = 215\); Tauschaufgabe: \(30 \cdot 215 = 6450\) c) \(35\,420\); Probe: \(35\,420 : 70 = 506\); Tauschaufgabe: \(70 \cdot 506 = 35\,420\) Erklärung: Die Tauschaufgabe hilft nur dann zusätzlich, wenn du sie neu ausrechnest. Das bloße Übernehmen des ersten Ergebnisses ist keine Kontrolle.

- Eine unabhängige Probe soll nicht denselben Multiplikationsweg nur anders anordnen. - Welche Umkehraufgabe führt vom Produkt zu einem der Faktoren zurück? - Für den Überschlag reicht eine nahe runde Zahl, die die Größenordnung sichtbar macht.

1. Schriftlich gilt \(326 \cdot 6 = 1956\). Die Überträge von rechts nach links sind \(3\) und \(1\). 2. Probe: \(1956 : 6 = 326\). Beim schriftlichen Teilen beginnst du mit \(19\). 3. Ein möglicher Überschlag ist \(300 \cdot 6 = 1800\). Das genaue Ergebnis \(1956\) passt gut zu dieser Schätzung.

\(326 \cdot 6 = 1956\); Überträge: \(3, 1\). 1. Probe: \(1956 : 6 = 326\); erste Zahl beim Teilen: \(19\). 2. Überschlag: z. B. \(300 \cdot 6 = 1800\); \(1956\) passt zur Schätzung.

- Kannst du die Aufgabe mit der entgegengesetzten Rechenart überprüfen? - Achte beim schriftlichen Rechnen besonders auf die Entbündelungen an den Stellen, an denen eine Null steht. - Hilft es dir, die Zahlen genau untereinander zu schreiben (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner)?

1. a) Schriftlich gilt \(92\,451 - 45\,163 = 47\,288\). 2. Probe: \(47\,288 + 45\,163 = 92\,451\). 3. b) Schriftlich gilt \(506\,000 - 237\,482 = 268\,518\). 4. Probe: \(268\,518 + 237\,482 = 506\,000\).

a) Differenz: \(47\,288\), Probe: \(47\,288 + 45\,163 = 92\,451\) b) Differenz: \(268\,518\), Probe: \(268\,518 + 237\,482 = 506\,000\)

- Beginne die Probe mit einer anderen Paarung oder Reihenfolge als die erste Rechnung. - Notiere die entstehenden Zwischensummen und rechne mit ihnen weiter. - Vergleiche die beiden Endergebnisse erst am Schluss.

1. Die erste Addition ergibt \(312\,085 + 56\,720 + 9433 + 867 = 379\,105\). 2. Für die Probe kannst du mit den kleineren Zahlen beginnen: \(867 + 9433 = 10\,300\). 3. Danach gilt \(10\,300 + 56\,720 = 67\,020\). 4. Schließlich ist \(67\,020 + 312\,085 = 379\,105\). 5. Beide Reihenfolgen führen zum selben Ergebnis.

Ergebnis: \(379\,105\). Probe, z. B.: \(867 + 9433 = 10\,300\), \(10\,300 + 56\,720 = 67\,020\), \(67\,020 + 312\,085 = 379\,105\).

- Wie heißt das Ergebnis einer Minusaufgabe? - Erinnerst du dich, wie man eine Minusaufgabe mit einer Plusaufgabe überprüfen kann? - Was passiert, wenn du das Ergebnis vom ersten Wert der Aufgabe abziehst? - Achte beim schriftlichen Rechnen besonders auf die Entbündelungen.

1. Die Differenz ist \(74\,821 - 36\,547 = 38\,274\). 2. Probe mit Addition: \(38\,274 + 36\,547 = 74\,821\). Du erhältst wieder die erste Zahl. 3. Probe mit Subtraktion: \(74\,821 - 38\,274 = 36\,547\). Du erhältst wieder die Zahl, die zuerst abgezogen wurde.

Ergebnis: \(38\,274\). 1. Additionsprobe: \(38\,274 + 36\,547 = 74\,821\) 2. Subtraktionsprobe: \(74\,821 - 38\,274 = 36\,547\)

- Bilde zu jeder Minusaufgabe die passende Plusaufgabe aus Differenz und Subtrahend. - Vergleiche das Ergebnis jeder Probe mit dem jeweiligen Minuenden. - Erst nachdem eine Probe nicht aufgeht, berechnest du diese Subtraktion neu.

1. a) Probe: \(44\,121 + 14\,271 = 58\,392\). Die Rechnung ist richtig. 2. b) Probe: \(55\,219 + 37\,186 = 92\,405\). Die Rechnung ist richtig. 3. c) Probe: \(45\,695 + 24\,315 = 70\,010\). Das ist nicht die erste Zahl \(70\,000\), also ist diese Rechnung falsch. 4. Richtig ist \(70\,000 - 24\,315 = 45\,685\).

c) ist falsch. Richtig ist \(70\,000 - 24\,315 = 45\,685\).

- Runde für a) auf gut rechenbare Tausender. - Überlege für b), wie du mit Subtraktion einzelne Summanden wieder zurückgewinnen kannst. - Beide Kontrollen sollen zum berechneten Summenwert passen.

1. Die Summe ist \(27\,405 + 13\,990 + 8605 = 50\,000\). 2. Überschlag: \(27\,000 + 14\,000 + 9000 = 50\,000\). 3. Kontrolle mit Subtraktion: \(50\,000 - 8605 = 41\,395\) und \(41\,395 - 13\,990 = 27\,405\).

a) Überschlag: \(27\,000 + 14\,000 + 9000 = 50\,000\). b) Kontrolle: \(50\,000 - 8605 = 41\,395\) und \(41\,395 - 13\,990 = 27\,405\). Summe: \(50\,000\).

- Rechne das Produkt zunächst schriftlich und halte die Überträge fest. - Nutze danach den einstelligen Multiplikator als Divisor der Umkehraufgabe. - Bei der zweiten Probe ist eine Teilzahl kleiner als der Divisor; überlege, was dann im Quotienten stehen muss.

1. a) Schriftlich gilt \(684 \cdot 7 = 4788\). Die Überträge von rechts nach links sind zuerst \(2\), dann \(5\). 2. Probe: \(4788 : 7 = 684\). Beim Teilen verwendest du nacheinander \(47 \rightarrow 58 \rightarrow 28\). 3. b) Schriftlich gilt \(509 \cdot 6 = 3054\). Die Überträge von rechts nach links sind zuerst \(5\), dann \(0\). 4. Probe: \(3054 : 6 = 509\). Beim Teilen verwendest du \(30 \rightarrow 5 \rightarrow 54\). Weil \(5<6\), steht in der Mitte des Ergebnisses eine \(0\).

a) \(684 \cdot 7 = 4788\); Überträge: \(2 \rightarrow 5\); Probe: \(4788 : 7 = 684\); Zahlen beim Teilen: \(47 \rightarrow 58 \rightarrow 28\) b) \(509 \cdot 6 = 3054\); Überträge: \(5 \rightarrow 0\); Probe: \(3054 : 6 = 509\); Zahlen beim Teilen: \(30 \rightarrow 5 \rightarrow 54\)

- Lies bei jedem Rechteck zuerst Reihen- und Spaltenzahl ab. - Vergleiche danach beide dargestellten Teilprodukte mit den Summanden in Rafaels Rechnung. - Für c) suche eine Kontrolle, die nicht nur dieselbe Zerlegung wiederholt.

1. Das linke Rechteckfeld hat \(7\) Reihen und \(10\) Spalten. Es zeigt \(7 \cdot 10 = 70\). 2. Das rechte Rechteckfeld hat \(7\) Reihen und \(2\) Spalten. Es zeigt \(7 \cdot 2 = 14\). 3. Rafaels zweiter Summand \(2\) passt nicht zum rechten Feld. Richtig ist \(70 + 14 = 84\). 4. Als unabhängige Kontrolle kannst du zum Beispiel die Tauschaufgabe \(12 \cdot 7\) neu ausrechnen.

a) Nein. Der zweite Summand passt nicht zum rechten Rechteckfeld. b) Links: \(7 \cdot 10 = 70\); rechts: \(7 \cdot 2 = 14\); insgesamt \(84\). c) Zum Beispiel die Tauschaufgabe \(12 \cdot 7\) neu ausrechnen; die Kontrolle darf nicht nur dieselbe Zerlegung wiederholen.

- Suche für a) einen kleineren zweiten Faktor, mit dem du das Vergleichsprodukt leicht bestimmen kannst. - Wenn du einen Faktor verkleinerst und den anderen unverändert lässt, muss auch das Produkt kleiner werden. - Prüfe in b) die beiden Teilprodukte getrennt, bevor du sie addierst.

1. Weil \(14 > 12\), muss \(36 \cdot 14\) größer als \(36 \cdot 12\) sein. 2. Es gilt \(36 \cdot 12 = 36 \cdot 10 + 36 \cdot 2 = 360 + 72 = 432\). Da \(404 < 432\), kann Hanas Ergebnis nicht stimmen. 3. Die Zerlegung \(14 = 10 + 4\) ist richtig. Dabei gilt \(36 \cdot 10 = 360\) und \(36 \cdot 4 = 144\). 4. Daher ist \(36 \cdot 14 = 360 + 144 = 504\).

a) Nein. \(36 \cdot 14\) muss größer als \(36 \cdot 12 = 432\) sein; \(404\) ist zu klein. b) \(36 \cdot 14 = 504\).

- Runde die Faktoren auf gut rechenbare Zehner, um das Ergebnis zunächst abzuschätzen. - Für die genaue Rechnung kannst du einen Faktor in einen gut rechenbaren Zehner und die passende Differenz zerlegen. - Vergleiche anschließend dein exaktes Ergebnis mit dem Überschlag: Liegen beide in derselben Größenordnung?

1. Überschlag: \(63\approx60\) und \(18\approx20\). Damit ergibt sich ungefähr \(60\cdot20=1200\). 2. \(1134\) liegt nahe bei \(1200\). Das angegebene Ergebnis passt also gut zur Schätzung. 3. Genau gilt \(63\cdot18=63\cdot(20-2)=1260-126=1134\).

Überschlag: \(60\cdot20=1200\). \(1134\) passt gut zur Schätzung. Genau gilt \(63\cdot18=1134\).

- Runde beide Faktoren auf gut rechenbare Zahlen. - Vergleiche nur die Größenordnung des Überschlags mit Finns Ergebnis, bevor du exakt rechnest. - Prüfe anschließend die Stellenzahl deines exakten Produkts.

1. Überschlag: \(48 \approx 50\) und \(24 \approx 25\). Damit ergibt sich ungefähr \(50 \cdot 25 = 1250\). 2. Ein Ergebnis über \(11\,000\) ist im Vergleich dazu viel zu groß. 3. Genau gilt \(48 \cdot 24 = 1152\). Finns Ergebnis hat eine zusätzliche Null und ist deshalb zehnmal so groß wie das richtige Ergebnis.

Finns Ergebnis kann nicht stimmen. Der Überschlag liegt bei ungefähr \(1250\), genau sind es \(1152\) Bleistifte.

- Runde jede der drei Zahlen auf den nächsten gut passenden Hunderter. - Rechne danach mit den ursprünglichen Zahlen. - Die Abweichung ist der Abstand zwischen Überschlag und exaktem Ergebnis.

1. Überschlag: \(398 \approx 400\), \(607 \approx 600\), \(191 \approx 200\). Also \(400 + 600 + 200 = 1200\). 2. Exakt: \(398 + 607 + 191 = 1196\). 3. Abweichung: \(1200 - 1196 = 4\).

a) Überschlag: etwa \(1200\) Arbeitsblätter. b) Exakt: \(1196\) Arbeitsblätter. c) Der Überschlag liegt um \(4\) Blätter über dem exakten Ergebnis.

- Wähle für den Überschlag nahe runde Faktoren. - Für die letzte Ziffer brauchst du nur die beiden Einerziffern der Faktoren. - Zwei unterschiedliche Prüfideen sind stärker als dieselbe Rechnung noch einmal.

1. Überschlag: \(438\) liegt nahe bei \(400\), \(27\) nahe bei \(30\). \(400\cdot30=12\,000\). Das Ergebnis \(11\,826\) passt gut zu dieser Schätzung. 2. Einerziffer: \(8\cdot7=56\). Das Produkt muss also auf \(6\) enden. Das dargestellte Ergebnis endet auf \(6\). 3. Beide Kontrollen sprechen dafür, dass das Ergebnis stimmen kann.

Der Überschlag liegt bei etwa \(12\,000\), und die Einerziffer muss \(6\) sein. \(11\,826\) passt zu beiden Kontrollen.

- Für die exakte Probe verbindest du Quotient, Divisor und Rest. - Für den Überschlag suche einen nahe gelegenen Dividend, der leicht durch den Divisor teilbar ist. - Prüfe sowohl die exakte Gleichheit als auch die Größenordnung.

1. Genaue Probe: \(834\cdot7=5838\); mit dem Rest gilt \(5838+4=5842\). 2. Überschlag: \(5600:7=800\). Das Ergebnis \(834\) liegt in der Nähe dieser Schätzung. 3. Beide Kontrollen bestätigen \(834\) Rest \(4\).

Probe: \(834\cdot7+4=5842\). Der Überschlag \(5600:7=800\) bestätigt die Größenordnung; das Ergebnis ist richtig.

- Für eine Hallenwahl musst du nicht unbedingt die exakte Teilnehmerzahl kennen. - Suche einfache untere und obere Vergleichszahlen für die Kinderzahl je Schule. - Prüfe, ob diese Grenzen bereits eindeutig zwischen den beiden Hallengrößen liegen.

1. Für eine sichere Entscheidung genügen hier grobe Grenzen. Jede Schule bringt mehr als \(190\), aber weniger als \(200\) Kinder mit. 2. Damit kommen aus den Schulen mehr als \(6 \cdot 190 = 1140\), aber weniger als \(6 \cdot 200 = 1200\) Kinder. Mit den \(35\) Erwachsenen liegt die Gesamtzahl also sicher über \(1000\) und unter \(1500\). 3. Die Halle mit \(1000\) Plätzen ist zu klein, die Halle mit \(1500\) Plätzen reicht. Die genaue Teilnehmerzahl muss für diese Entscheidung nicht berechnet werden.

Ein Überschlag reicht. Die Gesamtzahl liegt sicher zwischen \(1000\) und \(1500\); deshalb wird die Halle mit \(1500\) Plätzen benötigt.

- Vergleiche den Überschlag mit der Budgetgrenze und frage dich, ob daraus schon eine sichere Entscheidung folgt. - Wenn Überschlag und Grenze zu nahe beieinanderliegen, kann ein exakter Wert nötig sein. - Addiere dann die drei tatsächlichen Ausgaben und vergleiche die Summe mit dem verfügbaren Betrag.

1. Der Überschlag ergibt \(200\,\text{€} + 200\,\text{€} + 100\,\text{€} = 500\,\text{€}\). 2. Die Schätzung ist also genau so hoch wie der vorhandene Betrag. Damit weißt du noch nicht sicher, ob die wirklichen Kosten etwas darunter oder darüber liegen. 3. Genau gilt \(248\,\text{€} + 167\,\text{€} + 79\,\text{€} = 494\,\text{€}\). 4. Das Geld reicht. Es bleiben \(500\,\text{€} - 494\,\text{€} = 6\,\text{€}\) übrig.

Der Überschlag ergibt \(500\,\text{€}\) und reicht deshalb nicht für eine sichere Entscheidung. Genau kosten die geplanten Ausgaben \(494\,\text{€}\); \(6\,\text{€}\) bleiben übrig.

- Berechne die beiden angegebenen Überschläge zunächst unabhängig voneinander. - Für die Genauigkeit zählt der Abstand zum exakten Ergebnis. - Vergleiche auch, wie stark die ursprünglichen Faktoren bei den beiden Strategien verändert wurden.

1. Leas Überschlag: \(200 \cdot 50 = 10\,000\). 2. Bens Überschlag: \(200 \cdot 47 = 9400\). 3. Genau gilt \(198 \cdot 47 = 9306\). 4. Leas Schätzung liegt \(10\,000 - 9306 = 694\) darüber. 5. Bens Schätzung liegt \(9400 - 9306 = 94\) darüber. 6. Bens Schätzung liegt näher am genauen Ergebnis, weil \(94 < 694\).

a) Lea: \(10\,000\); Ben: \(9400\). b) Exakt sind es \(9306\) Hefte. c) Leas Schätzung liegt um \(694\) daneben, Bens um \(94\). Bens Schätzung liegt näher.