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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 4

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Zahlenfolgen und Zahlmuster untersuchen

Lernziele

  • Beschreibt passende Regeln für Zahlenfolgen.
  • Ergänzt fehlende Folgenglieder.
  • Setzt Folgen nach ihrer Regel fort.
  • Verändert Folgen systematisch.
  • Begründet Zusammenhänge zwischen Folgengliedern.

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

4199904
Notiere die fünf Zahlen, die in der Zahlenreihe unmittelbar vor der Zahl \(300\,003\) stehen.

Denkanstöße

- Kannst du die Zahlen rückwärts zählen? - Was passiert mit den Stellenwerten, wenn du von einer Zahl mit vielen Nullen eins abziehst? - Welche Einerziffer steht beim Rückwärtszählen unmittelbar vor der \(3\)? - Achte besonders auf den Übergang bei der Zahl \(300\,000\).

Lösung

1. Die gesuchten Zahlen stehen in der Zahlenreihe direkt vor \(300\,003\). 2. Rückwärts gerechnet erhält man: \(300\,003 - 1 = 300\,002\), \(300\,002 - 1 = 300\,001\), \(300\,001 - 1 = 300\,000\), \(300\,000 - 1 = 299\,999\), \(299\,999 - 1 = 299\,998\). 3. In der Reihenfolge der Zahlenreihe werden sie aufsteigend notiert: \(299\,998, 299\,999, 300\,000, 300\,001, 300\,002\).

Antwort

\(299\,998, 299\,999, 300\,000, 300\,001, 300\,002\)
4199914
Zähle in Zehnerschritten weiter. Welche vier Zahlen folgen in dieser Schrittfolge direkt auf die Zahl \(699\,980\)?

Denkanstöße

- In welchen Abständen sollst du hier zählen? - Welche Ziffer ändert sich, wenn du immer \(10\) addierst? - Was passiert an der Zehnerstelle, wenn dort bereits eine \(9\) steht? - Achte besonders darauf, was nach \(699\,990\) kommt.

Lösung

1. \(699\,980 + 10 = 699\,990\). 2. Noch einmal \(10\) dazu ergibt \(700\,000\). 3. Danach folgen \(700\,010\) und \(700\,020\). 4. Die Folge lautet \(699\,990, 700\,000, 700\,010, 700\,020\).

Antwort

\(699\,990, 700\,000, 700\,010, 700\,020\)
5539564
Der Zahlenstrahl zeigt drei gleich große Vorwärtssprünge. Welche Zahlen gehören an die drei Fragezeichen?
Abbildung zur Aufgabe 553956

Denkanstöße

- Lies Startwert und Sprungweite direkt aus der Darstellung ab. - Jeder Pfeil verändert die Zahl um denselben Betrag. - Arbeite von links nach rechts und kontrolliere, ob die Abstände gleich bleiben.

Lösung

1. Der Startwert ist \(700\,000\); jeder Sprung beträgt \(25\,000\). 2. Nach dem ersten Sprung liegt man bei \(725\,000\), nach dem zweiten bei \(750\,000\) und nach dem dritten bei \(775\,000\).

Antwort

\(725\,000, 750\,000, 775\,000\)
4100234
Drei Aufgaben haben dasselbe Ergebnis. Eine Aufgabe passt nicht dazu. a) \(7 \cdot 80\) b) \(32 \cdot 20\) c) \(8 \cdot 70\) d) \(56 \cdot 10\) Welche Aufgabe passt nicht? Erkläre auch, warum die drei anderen Aufgaben auf dieselbe kleine Malaufgabe zurückgehen.

Denkanstöße

- Suche bei jeder Aufgabe zuerst eine kleinere Malaufgabe ohne die Endnull. - Welche drei Aufgaben führen dabei zur gleichen Zahl? - Erkläre den Zusammenhang, bevor du die Aufgabe auswählst, die nicht passt.

Lösung

1. Bei \(7 \cdot 80\) hilft \(7 \cdot 8 = 56\). Mit dem Zehner entsteht \(560\). 2. Bei \(8 \cdot 70\) hilft \(8 \cdot 7 = 56\). Auch hier entsteht \(560\). 3. \(56 \cdot 10 = 560\). 4. Bei \(32 \cdot 20\) gilt \(32 \cdot 2 = 64\). Mit dem Zehner entsteht \(640\). Deshalb passt b) nicht.

Antwort

b) \(32 \cdot 20 = 640\). Bei a), c) und d) steckt jeweils die Grundzahl \(56\); mit dem Faktor \(10\) entsteht \(560\).
4160614
Berechne die Ergebnisse der zusammengehörigen Aufgabenfolgen. a) \(3 \cdot 7 = \square\) b) \(30 \cdot 7 = \square\) c) \(3 \cdot 70 = \square\) d) \(210 : 3 = \square\) e) \(210 : 30 = \square\) f) \(210 : 7 = \square\) g) \(210 : 70 = \square\) Beschreibe anschließend, wie dir die Grundaufgabe \(3 \cdot 7\) hilft, die übrigen Aufgaben zu verstehen.

Denkanstöße

- Beginne mit der kleinen Grundaufgabe und achte darauf, welche Zahlen in den anderen Aufgaben verzehnfacht wurden. - Welche Multiplikationen und Divisionen beschreiben dieselbe Beziehung zwischen den Zahlen? - Formuliere am Ende eine Regel für den Zusammenhang, nicht nur einzelne Ergebnisse.

Lösung

1. Die Grundaufgabe ist \(3 \cdot 7 = 21\). 2. Wird in einem Produkt einer der beiden Faktoren verzehnfacht, wird auch das Produkt verzehnfacht. Deshalb gilt \(30 \cdot 7 = 210\) und \(3 \cdot 70 = 210\). 3. Die Umkehraufgaben zum Produkt \(210\) liefern \(210 : 3 = 70\), \(210 : 30 = 7\), \(210 : 7 = 30\) und \(210 : 70 = 3\). 4. Damit hängen alle Aufgaben über dieselbe Grundbeziehung zwischen \(3\), \(7\) und \(21\) sowie deren Verzehnfachungen zusammen.

Antwort

a) \(21\) b) \(210\) c) \(210\) d) \(70\) e) \(7\) f) \(30\) g) \(3\) Zusammenhang: Die Grundaufgabe \(3 \cdot 7 = 21\) wird durch Verzehnfachen eines Faktors zu einem Produkt von \(210\); die Divisionen sind passende Umkehraufgaben.
4160734
Berechne die Reihen im Kopf. Was verändert sich, wenn die Zahl links vom Doppelpunkt in jedem Schritt zehnmal so groß wird? a) \(24 : 3\), \(240 : 3\), \(2400 : 3\) b) \(24 : 4\), \(240 : 4\), \(2400 : 4\) c) \(24 : 6\), \(240 : 6\), \(2400 : 6\)

Denkanstöße

- Beginne jeweils mit der kleinsten Aufgabe. - Vergleiche die erste Zahl von zwei Aufgaben derselben Reihe. - Vergleiche danach die beiden Ergebnisse.

Lösung

1. a) ergibt \(8\), \(80\), \(800\). 2. b) ergibt \(6\), \(60\), \(600\). 3. c) ergibt \(4\), \(40\), \(400\). 4. In jeder Reihe wird die Zahl links vom Doppelpunkt mit \(10\) multipliziert, während die Zahl rechts davon gleich bleibt. Deshalb wird auch das Ergebnis jedes Mal mit \(10\) multipliziert.

Antwort

a) \(8\), \(80\), \(800\) b) \(6\), \(60\), \(600\) c) \(4\), \(40\), \(400\) In jeder Reihe wird das Ergebnis von Schritt zu Schritt zehnmal so groß.
4160744
Ergänze die fehlenden Ergebnisse in der Tabelle. <table><tr><th>:</th><th>\(2\)</th><th>\(4\)</th><th>\(8\)</th></tr><tr><td>\(400\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr><tr><td>\(4000\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr><tr><td>\(40\,000\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr></table> Wähle danach eine Spalte. Erkläre, wie du von einer Zeile zur nächsten kommst, ohne jede Aufgabe neu auszurechnen.

Denkanstöße

- Berechne zuerst die oberste Zeile. - Vergleiche danach die Zahlen untereinander in einer Spalte. - Was bleibt gleich, und was wird zehnmal so groß?

Lösung

1. Für \(400\) erhält man \(200\), \(100\) und \(50\). 2. Für \(4000\) erhält man \(2000\), \(1000\) und \(500\). 3. Für \(40\,000\) erhält man \(20\,000\), \(10\,000\) und \(5000\). 4. In jeder Spalte wird die Zahl links vom Doppelpunkt von Zeile zu Zeile mit \(10\) multipliziert. Die Zahl oben in der Spalte bleibt gleich. Deshalb wird auch das Ergebnis jeweils mit \(10\) multipliziert.

Antwort

Zeile \(400\): \(200\), \(100\), \(50\) Zeile \(4000\): \(2000\), \(1000\), \(500\) Zeile \(40\,000\): \(20\,000\), \(10\,000\), \(5000\) Erklärung: In einer Spalte wird die erste Zahl jeweils zehnmal so groß; deshalb wird auch das Ergebnis zehnmal so groß.
4160754
Setze die Aufgabenfolgen fort. a) \(63 : 9 = 7\), \(630 : 9 = 70\), \(6300 : 9 = \square\), \(63\,000 : 9 = \square\) b) \(63 : 7 = 9\), \(630 : 7 = 90\), \(6300 : 7 = \square\), \(63\,000 : 7 = \square\) c) \(630 : 10 = 63\), \(6300 : 10 = 630\), \(63\,000 : 10 = \square\), \(630\,000 : 10 = \square\) Schreibe danach einen Satz, der für alle drei Reihen beschreibt, was sich von Schritt zu Schritt verändert.

Denkanstöße

- Vergleiche zwei benachbarte Aufgaben einer Reihe. - Welche Zahl bleibt gleich? - Beschreibe auch, was mit dem Ergebnis passiert.

Lösung

1. a) wird mit \(700\) und \(7000\) fortgesetzt. 2. b) wird mit \(900\) und \(9000\) fortgesetzt. 3. c) wird mit \(6300\) und \(63\,000\) fortgesetzt. 4. In jeder Reihe wird die Zahl links vom Doppelpunkt von Schritt zu Schritt mit \(10\) multipliziert; die Zahl rechts davon bleibt gleich. Deshalb wird auch das Ergebnis jeweils mit \(10\) multipliziert.

Antwort

a) \(700\), \(7000\) b) \(900\), \(9000\) c) \(6300\), \(63\,000\) Regel: Wird die Zahl links vom Doppelpunkt zehnmal so groß und bleibt die Zahl rechts gleich, wird auch das Ergebnis zehnmal so groß.
4161154
Setze dieses „Schöne Päckchen“ fort: \(245\,100 + 312\,400 = 557\,500\) \(255\,200 + 322\,500 = 577\,700\) \(265\,300 + 332\,600 = 597\,900\) a) Schreibe die vierte Aufgabe auf. b) Um wie viel vergrößert sich das Ergebnis von Aufgabe zu Aufgabe? Erkläre die Regel mithilfe der Summanden.

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Zeile zu Zeile verändert. - Untersuche dann die Veränderung der zweiten Zahl. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn beide Zahlen einer Plusaufgabe größer werden?

Lösung

1. Der erste Summand wird jeweils um \(10\,100\) größer, also folgt \(265\,300 + 10\,100 = 275\,400\). Der zweite Summand wird ebenfalls um \(10\,100\) größer, also folgt \(332\,600 + 10\,100 = 342\,700\). Die vierte Aufgabe lautet \(275\,400 + 342\,700 = 618\,100\). 2. Weil beide Summanden um \(10\,100\) wachsen, wird die Summe in jedem Schritt um \(10\,100 + 10\,100 = 20\,200\) größer.

Antwort

a) \(275\,400 + 342\,700 = 618\,100\) b) Das Ergebnis vergrößert sich um \(20\,200\). Die Regel lautet: Da beide Summanden um \(10\,100\) größer werden, wächst das Gesamtergebnis um \(20\,200\).
4161184
Wie berechnet man die untere Zahl aus der oberen Zahl? Finde die Regel und ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle. <table><tr><td>\(1200\)</td><td>\(5000\)</td><td>\(15\,000\)</td><td>\(100\,000\)</td><td>\(240\,000\)</td><td>\(600\,000\)</td></tr><tr><td>\(3700\)</td><td>\(7500\)</td><td>\(17\,500\)</td><td>\(102\,500\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Vergleiche ein vollständiges Zahlenpaar: Wird die Zahl größer oder kleiner? - Bestimme die Veränderung bei einem zweiten vollständigen Paar und vergleiche sie. - Eine passende Regel muss bei allen bereits ausgefüllten Spalten funktionieren.

Lösung

1. Beim ersten Zahlenpaar beträgt die Veränderung \(3700 - 1200 = 2500\). 2. Dieselbe Regel passt zu den weiteren bekannten Paaren: \(5000 + 2500 = 7500\), \(15\,000 + 2500 = 17\,500\) und \(100\,000 + 2500 = 102\,500\). 3. Für die leeren Felder ergibt sich \(240\,000 + 2500 = 242\,500\) und \(600\,000 + 2500 = 602\,500\).

Antwort

Regel: \(+2500\) Fehlende Zahlen: \(242\,500\) und \(602\,500\)
4161194
Bestimme die Rechenregel für diese Tabelle und trage die fehlenden Zahlen ein. <table><tr><td>\(15\)</td><td>\(60\)</td><td>\(200\)</td><td>\(1000\)</td><td>\(3000\)</td><td>\(12\,000\)</td></tr><tr><td>\(45\)</td><td>\(180\)</td><td>\(600\)</td><td>\(3000\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Vergleiche bei einem vollständigen Paar die obere und die untere Zahl. - Prüfe deine vermutete Regel an mindestens einem weiteren bekannten Paar. - Wende erst danach dieselbe Regel auf die leeren Felder an.

Lösung

1. Beim ersten Paar gilt \(15 \cdot 3 = 45\). 2. Die Regel \(\cdot 3\) passt auch zu \(60 \cdot 3 = 180\), \(200 \cdot 3 = 600\) und \(1000 \cdot 3 = 3000\). 3. Für die fehlenden Werte gilt \(3000 \cdot 3 = 9000\) und \(12\,000 \cdot 3 = 36\,000\).

Antwort

Regel: \(\cdot 3\) Fehlende Zahlen: \(9000\) und \(36\,000\)
4161414
Vergleiche die Ergebnisse der Malaufgaben, ohne sie schriftlich auszurechnen. Setze das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) \(40 \cdot 60\;\square\;50 \cdot 50\) b) \(8 \cdot 700\;\square\;90 \cdot 60\) c) \(300 \cdot 30\;\square\;3 \cdot 3000\) Erkläre bei jedem Vergleich, welche Grundaufgabe und welche Stellenwerte dir die Entscheidung ermöglichen.

Denkanstöße

- Suche in jedem Paar zuerst die passende kleine Grundaufgabe. - Vergleiche danach, wie die Faktoren durch Zehner- oder Hunderterstellen vergrößert wurden. - Begründe das Vergleichszeichen mit der Grundaufgabe und der gleichen Vergrößerung des Produkts.

Lösung

1. Bei a) gilt \(4 \cdot 6 = 24\) und \(5 \cdot 5 = 25\). Beide Grundprodukte werden mit \(100\) multipliziert. Deshalb gilt \(40 \cdot 60 < 50 \cdot 50\). 2. Bei b) gilt \(8 \cdot 7 = 56\) und \(9 \cdot 6 = 54\). Auch hier werden beide Grundprodukte mit \(100\) multipliziert. Deshalb gilt \(8 \cdot 700 > 90 \cdot 60\). 3. Bei c) steckt auf beiden Seiten die Grundaufgabe \(3 \cdot 3 = 9\). Beide Grundprodukte werden mit \(1000\) multipliziert. Deshalb sind die Produkte gleich.

Antwort

a) \(<\), weil \(24 < 25\) und beide Grundprodukte mit \(100\) multipliziert werden. b) \(>\), weil \(56 > 54\) und beide Grundprodukte mit \(100\) multipliziert werden. c) \(=\), weil auf beiden Seiten \(3 \cdot 3 = 9\) steckt und das Grundprodukt jeweils mit \(1000\) multipliziert wird.
4161634
Finde die Aufgabenpaare, die das gleiche Ergebnis haben. Ordne sie einander zu. 1. \(6 \cdot 70\) 2. \(30 \cdot 9\) 3. \(4 \cdot 900\) 4. \(42 \cdot 10\) 5. \(270 \cdot 1\) 6. \(60 \cdot 60\) Erkläre für jedes Paar, welche bekannte Grundrechnung oder Stellenwertbeziehung zeigt, dass die Produkte gleich sind.

Denkanstöße

- Suche zunächst nach kleinen Grundprodukten, die du sicher kennst. - Achte danach darauf, wie Zehner- und Hunderterstellen den Wert des Produkts verändern. - Eine passende Erklärung muss zeigen, warum zwei Produkte gleich sind, nicht nur dass du beide ausgerechnet hast.

Lösung

1. \(6 \cdot 70\) und \(42 \cdot 10\) ergeben beide \(420\), denn \(6 \cdot 7 = 42\) und das Ergebnis wird jeweils mit \(10\) multipliziert. 2. \(30 \cdot 9\) und \(270 \cdot 1\) ergeben beide \(270\). Bei der ersten Aufgabe wird aus \(3 \cdot 9 = 27\) durch den Zehner \(270\); bei der zweiten bleibt \(270\) beim Multiplizieren mit \(1\) unverändert. 3. \(4 \cdot 900\) und \(60 \cdot 60\) ergeben beide \(3600\). Die Grundaufgaben \(4 \cdot 9\) und \(6 \cdot 6\) ergeben jeweils \(36\), und beide Produkte sind anschließend \(100\)-mal so groß.

Antwort

1. gehört zu 4: \(420\) 2. gehört zu 5: \(270\) 3. gehört zu 6: \(3600\) Die Gleichheiten lassen sich jeweils durch bekannte Grundaufgaben und die Stellenwerte der Faktoren erklären.
4161804
In jeder Gruppe haben genau zwei Aufgaben das gleiche Ergebnis. Finde das Paar. Gruppe 1: \(9 \cdot 30\); \(4 \cdot 70\); \(3 \cdot 90\) Gruppe 2: \(5 \cdot 80\); \(10 \cdot 40\); \(6 \cdot 70\) Gruppe 3: \(7 \cdot 20\); \(2 \cdot 80\); \(14 \cdot 10\) Erkläre bei jedem Paar, wie sich die beiden Faktoren verändern. Rechne nicht einfach alle Produkte aus.

Denkanstöße

- Vergleiche die Faktoren in jeder Gruppe miteinander. - Suche nach zwei Aufgaben, bei denen ein Faktor größer und der andere passend kleiner wird. - Überlege, was mit einem Produkt passiert, wenn du einen Faktor verdoppelst und den anderen halbierst.

Lösung

1. Gruppe 1: Von \(9 \cdot 30\) zu \(3 \cdot 90\) wird der erste Faktor durch \(3\) geteilt und der zweite mit \(3\) multipliziert. Das Produkt bleibt gleich. 2. Gruppe 2: Von \(5 \cdot 80\) zu \(10 \cdot 40\) wird der erste Faktor verdoppelt und der zweite halbiert. Das Produkt bleibt gleich. 3. Gruppe 3: Von \(7 \cdot 20\) zu \(14 \cdot 10\) wird der erste Faktor verdoppelt und der zweite halbiert. Das Produkt bleibt gleich.

Antwort

Gruppe 1: \(9 \cdot 30\) und \(3 \cdot 90\) Gruppe 2: \(5 \cdot 80\) und \(10 \cdot 40\) Gruppe 3: \(7 \cdot 20\) und \(14 \cdot 10\) Bei jedem Paar wird ein Faktor passend größer und der andere passend kleiner. Dadurch bleibt das Produkt gleich.
4161934
Vier Aufgaben haben das gleiche Ergebnis. Eine passt nicht dazu. \(20 \cdot 90\) \(30 \cdot 60\) \(45 \cdot 40\) \(18 \cdot 100\) \(50 \cdot 35\) a) Welche Aufgabe passt nicht? b) Wähle zwei passende Aufgaben und beschreibe, wie sich ihre Faktoren verändern. c) Erfinde eine weitere Multiplikationsaufgabe mit demselben Ergebnis. Begründe sie mithilfe einer passenden Veränderung der Faktoren.

Denkanstöße

- Suche zuerst das Ergebnis, das bei mehreren Aufgaben vorkommt. - Vergleiche danach zwei passende Aufgaben: Was wird bei einem Faktor größer, was beim anderen kleiner? - Für deine eigene Aufgabe kannst du bei einer passenden Aufgabe einen Faktor verdoppeln und den anderen halbieren.

Lösung

1. Die ersten vier Aufgaben haben das Ergebnis \(1800\). \(50 \cdot 35 = 1750\). Deshalb passt \(50 \cdot 35\) nicht. 2. Zum Beispiel: Von \(18 \cdot 100\) zu \(36 \cdot 50\) wird der erste Faktor verdoppelt und der zweite halbiert. Das Produkt bleibt gleich. 3. Deshalb ist \(36 \cdot 50\) eine weitere passende Aufgabe mit dem Ergebnis \(1800\).

Antwort

a) \(50 \cdot 35\) passt nicht. b) Zum Beispiel: Wenn ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert wird, kann das Produkt gleich bleiben. c) Zum Beispiel: \(36 \cdot 50\). Es entsteht aus \(18 \cdot 100\) durch Verdoppeln des ersten und Halbieren des zweiten Faktors.
4161964
Setze dieses „Schöne Päckchen“ um zwei weitere Aufgaben fort und berechne alle Ergebnisse. Beschreibe anschließend, wie sich die Ergebnisse verändern. \(4 \cdot 70 = \square\) \(8 \cdot 70 = \square\) \(12 \cdot 70 = \square\) \(16 \cdot 70 = \square\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die Zahlen vor dem Malzeichen von Aufgabe zu Aufgabe verändern. - Bleibt die Zahl nach dem Malzeichen gleich oder verändert sie sich auch? - Rechne die ersten Ergebnisse aus und vergleiche sie miteinander. - Kannst du einen Zusammenhang zwischen der Änderung der Faktoren und der Änderung der Ergebnisse finden?

Lösung

1. Die ersten vier Produkte sind \(4 \cdot 70 = 280\), \(8 \cdot 70 = 560\), \(12 \cdot 70 = 840\) und \(16 \cdot 70 = 1120\). 2. Der erste Faktor wird immer um \(4\) größer, der zweite bleibt \(70\). Deshalb folgen \(20 \cdot 70 = 1400\) und \(24 \cdot 70 = 1680\). 3. Die Ergebnisse werden in jedem Schritt um \(280\) größer, denn \(4 \cdot 70 = 280\).

Antwort

Die fortgesetzten Aufgaben sind: \(20 \cdot 70 = 1400\) \(24 \cdot 70 = 1680\) Beschreibung: Die Ergebnisse werden immer um \(280\) größer.
4162324
Rechne die Aufgaben jeder Teilaufgabe aus. Was bemerkst du beim Vergleich der Ergebnisse innerhalb einer Zeile? a) \(240 : 4\), \(120 : 4\), \(60 : 4\) b) \(600 : 6\), \(300 : 6\), \(150 : 6\) c) \(800 : 8\), \(400 : 8\), \(200 : 8\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl (der Dividend) von Aufgabe zu Aufgabe in einer Zeile verändert. - Bleibt die zweite Zahl (der Divisor) gleich? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn die erste Zahl kleiner wird? - Kannst du ein Muster erkennen, wie genau sich die Ergebnisse verändern?

Lösung

1. Division der Dividenden in Teilaufgabe a) durch \(4\): \(240 : 4 = 60\), \(120 : 4 = 30\), \(60 : 4 = 15\). 2. Division der Dividenden in Teilaufgabe b) durch \(6\): \(600 : 6 = 100\), \(300 : 6 = 50\), \(150 : 6 = 25\). 3. Division der Dividenden in Teilaufgabe c) durch \(8\): \(800 : 8 = 100\), \(400 : 8 = 50\), \(200 : 8 = 25\). Erkenntnis: Wenn der Dividend halbiert wird und der Divisor gleich bleibt, halbiert sich auch das Ergebnis (der Quotient).

Antwort

a) \(60, 30, 15\) b) \(100, 50, 25\) c) \(100, 50, 25\) Beobachtung: Wenn der Dividend halbiert wird, halbiert sich auch der Quotient.
4162444
Untersuche das Muster im „schönen Päckchen“ und setze die Reihe um eine Aufgabe fort: \(24\,000 : 6 = 4000\) \(30\,000 : 6 = 5000\) \(36\,000 : 6 = 6000\) \(42\,000 : 6 = 7000\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl (der Dividend) von Zeile zu Zeile verändert. - Vergleiche die Ergebnisse der Rechnungen miteinander. - Bleibt eine der Zahlen in der Rechnung immer gleich?

Lösung

1. Der Divisor bleibt in jeder Aufgabe gleich (\(6\)). 2. Der Dividend erhöht sich von Aufgabe zu Aufgabe um \(6000\) (\(24\,000 + 6000 = 30\,000\) usw.). 3. Das Ergebnis vergrößert sich dadurch jeweils um \(1000\). 4. Für die nächste Aufgabe wird zum letzten Dividenden \(6000\) addiert: \(42\,000 + 6000 = 48\,000\). 5. Die Rechnung lautet \(48\,000 : 6\). 6. Das Ergebnis ist \(8000\).

Antwort

\(48\,000 : 6 = 8000\)
4162564
Setze die Zahlenfolge um drei weitere Zahlen fort und beschreibe die Regel: \(125\,400, 126\,100, 126\,800, 127\,500, \dots\)

Denkanstöße

- Schau dir den Abstand zwischen der ersten und der zweiten Zahl an. - Ist der Abstand zwischen der zweiten und dritten Zahl genauso groß? - Was musst du rechnen, um von einer Zahl zur nächsten zu gelangen?

Lösung

1. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen beträgt jeweils \(700\): \(126\,100 - 125\,400 = 700\) und \(126\,800 - 126\,100 = 700\). 2. Deshalb folgt \(127\,500 + 700 = 128\,200\). 3. Danach folgen \(128\,900\) und \(129\,600\).

Antwort

Nächste Zahlen: \(128\,200, 128\,900, 129\,600\). Regel: Addiere immer \(700\) (\(+ 700\)).
4163584
Setze die Zahlenfolge in \(500\)er-Schritten fort, bis du die Zielzahl erreichst. \(348\,000, 348\,500, \dots, 351\,000\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie viel von einer Zahl zur nächsten dazukommt. - Was passiert mit der Hunderter- und Tausenderstelle, wenn du \(500\) addierst? - Überlege, wie viele Schritte du brauchst, um den nächsten Tausender zu erreichen.

Lösung

1. Berechnung der Folgeschritte durch fortlaufende Addition von \(500\). 2. \(348\,500 + 500 = 349\,000\) 3. \(349\,000 + 500 = 349\,500\) 4. \(349\,500 + 500 = 350\,000\) 5. \(350\,000 + 500 = 350\,500\) 6. \(350\,500 + 500 = 351\,000\) (Zielzahl erreicht).

Antwort

\(348\,000, 348\,500, 349\,000, 349\,500, 350\,000, 350\,500, 351\,000\)
4163594
Untersuche die Zahlenfolgen und ergänze jeweils die nächsten drei Zahlen. Bestimme zuerst die Schrittweite und die Richtung (vorwärts oder rückwärts). a) \(456\,700, 456\,800, 456\,900, \dots\) b) \(820\,000, 810\,000, 800\,000, \dots\)

Denkanstöße

- Vergleiche die erste und die zweite Zahl einer Folge. Werden sie größer oder kleiner? - Welche Stelle im Stellenwertsystem verändert sich? - Achte bei Aufgabe b) besonders auf den Übergang am vollen Hunderttausender.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Differenz zwischen \(456\,800\) und \(456\,700\) berechnen. Ergebnis: \(+100\). 2. Fortführung a): \(456\,900 + 100 = 457\,000\); \(457\,000 + 100 = 457\,100\); \(457\,100 + 100 = 457\,200\). 3. Teilaufgabe b): Differenz zwischen \(810\,000\) und \(820\,000\) berechnen. Ergebnis: \(-10\,000\). 4. Fortführung b): \(800\,000 - 10\,000 = 790\,000\); \(790\,000 - 10\,000 = 780\,000\); \(780\,000 - 10\,000 = 770\,000\).

Antwort

a) \(457\,000, 457\,100, 457\,200\) b) \(790\,000, 780\,000, 770\,000\)
4163604
Zähle von der Zahl \(1\,000\,000\) in \(1000\)er-Schritten rückwärts, bis du bei der Zahl \(994\,000\) ankommst. Schreibe die vollständige Zahlenfolge auf.

Denkanstöße

- Ziehe immer genau einen Tausender ab. - Was passiert mit der Million, wenn du den ersten Tausender abziehst? - Wie viele Tausender fehlen noch bis zur Million, wenn du bei \(999\,000\) bist?

Lösung

1. Beginne bei \(1\,000\,000\) und ziehe immer \(1000\) ab. 2. \(1\,000\,000 - 1000 = 999\,000\) 3. \(999\,000 - 1000 = 998\,000\) 4. \(998\,000 - 1000 = 997\,000\) 5. \(997\,000 - 1000 = 996\,000\) 6. \(996\,000 - 1000 = 995\,000\) 7. \(995\,000 - 1000 = 994\,000\)

Antwort

\(1\,000\,000, 999\,000, 998\,000, 997\,000, 996\,000, 995\,000, 994\,000\)
4163714
In dieser Zahlenfolge fehlen einige Zahlen. Ergänze die Lücken passend zum Muster: \(599\,996, \square, \square, 599\,999, \square, 600\,001, \square\)

Denkanstöße

- Schau dir die Zahlen an, die bereits dastehen. Wie groß ist der Abstand zwischen ihnen? - Wenn du bei einer Zahl mit vielen Neunen am Ende eins addierst, verändern sich auch die Stellen davor. - Wie heißt die Zahl, die genau zwischen \(599\,999\) und \(600\,001\) liegt?

Lösung

1. Zwischen \(599\,996\) und \(599\,999\) liegen drei Einerschritte. Die Folge zählt also immer um \(1\) weiter. 2. Nach \(599\,996\) folgen \(599\,997\) und \(599\,998\). 3. Nach \(599\,999\) folgt \(600\,000\). 4. Nach \(600\,001\) folgt \(600\,002\).

Antwort

\(599\,997, 599\,998, 600\,000, 600\,002\)
4163894
Setze die Zahlenfolgen in 100er-Schritten vorwärts fort, bis du den nächsten vollen Zehntausender erreichst. a) \(359\,400, 359\,500, \dots, 360\,000\) b) \(819\,600, 819\,700, \dots, 820\,000\)

Denkanstöße

- Achte auf die Hunderterstelle der Zahlen. - Was passiert an der Tausenderstelle, wenn du über die 900 hinausgehst? - Wie viele Schritte fehlen noch bis zur Zielzahl?

Lösung

1. Es wird immer \(100\) addiert. 2. Bei a) fehlen \(359\,600, 359\,700, 359\,800, 359\,900\). 3. Bei b) fehlen \(819\,800, 819\,900\).

Antwort

a) \(359\,600, 359\,700, 359\,800, 359\,900\) b) \(819\,800, 819\,900\)
4164004
Bestimme, wie viele Schritte der angegebenen Größe jeweils nötig sind, um von der Startzahl aus den nächsten Tausender zu erreichen. a) Startzahl: \(342\,400\); Schrittweite: \(200\) b) Startzahl: \(712\,750\); Schrittweite: \(50\) c) Startzahl: \(899\,920\); Schrittweite: \(20\)

Denkanstöße

- Überlege zuerst, welche Zahl der nächste Tausender nach der Startzahl ist. - Wie viel fehlt von deiner Zahl bis zu diesem vollen Tausender? - Wie oft passt die Schrittweite in diesen fehlenden Betrag?

Lösung

1. Berechnung der Differenz zum nächsten Tausender für a): \(343\,000 - 342\,400 = 600\). Division durch die Schrittweite: \(600 : 200 = 3\). Es sind \(3\) Schritte nötig. 2. Berechnung der Differenz für b): \(713\,000 - 712\,750 = 250\). Division durch die Schrittweite: \(250 : 50 = 5\). Es sind \(5\) Schritte nötig. 3. Berechnung der Differenz für c): \(900\,000 - 899\,920 = 80\). Division durch die Schrittweite: \(80 : 20 = 4\). Es sind \(4\) Schritte nötig.

Antwort

a) \(3\) Schritte b) \(5\) Schritte c) \(4\) Schritte
4164564
Zähle in gleich großen Schritten. a) Wie viele Schritte brauchst du von \(0\) bis \(1\,000\,000\), wenn jeder Schritt \(100\,000\) groß ist? b) Wie viele Schritte brauchst du von \(0\) bis \(100\,000\), wenn jeder Schritt \(10\,000\) groß ist? c) Wie viele Schritte brauchst du von \(0\) bis \(1\,000\,000\), wenn jeder Schritt \(10\,000\) groß ist? d) Vergleiche a) und c). Warum brauchst du bei c) zehnmal so viele Schritte?

Denkanstöße

- Überlege, wie oft die Schrittgröße in die Gesamtstrecke passt. - Vergleiche für d) nur die Schrittgrößen aus a) und c). - Was passiert mit der Anzahl der Schritte, wenn jeder Schritt kleiner wird?

Lösung

1. a) \(1\,000\,000 : 100\,000 = 10\). Es sind \(10\) Schritte. 2. b) \(100\,000 : 10\,000 = 10\). Es sind \(10\) Schritte. 3. c) \(1\,000\,000 : 10\,000 = 100\). Es sind \(100\) Schritte. 4. Bei c) ist jeder Schritt nur ein Zehntel so groß wie bei a). Für dieselbe Gesamtstrecke braucht man deshalb zehnmal so viele Schritte.

Antwort

a) \(10\) Schritte b) \(10\) Schritte c) \(100\) Schritte d) Die Schritte sind bei c) zehnmal kleiner, deshalb brauchst du zehnmal so viele Schritte.
4164984
Welche Zahl wurde jeweils von \(1\,000\,000\) abgezogen? Bestimme die fehlenden Subtrahenden. a) \(1\,000\,000-\square=999\,999\) b) \(1\,000\,000-\square=999\,900\) c) \(1\,000\,000-\square=990\,000\) d) \(1\,000\,000-\square=0\) Welche Regel erkennst du in den vier fehlenden Subtrahenden?

Denkanstöße

- Nutze jeweils die Umkehroperation zum Ergänzen auf eine Million. - Vergleiche danach nur die vier gefundenen Subtrahenden miteinander. - Wie verändert sich die Stellenzahl, wenn du von einem Wert zum nächsten gehst?

Lösung

1. a) \(1\,000\,000-999\,999=1\). 2. b) \(1\,000\,000-999\,900=100\). 3. c) \(1\,000\,000-990\,000=10\,000\). 4. d) \(1\,000\,000-0=1\,000\,000\). 5. Die fehlenden Subtrahenden lauten \(1,100,10\,000,1\,000\,000\); jeder Wert ist das Hundertfache des vorherigen.

Antwort

a) \(1\) b) \(100\) c) \(10\,000\) d) \(1\,000\,000\) Regel: Jeder fehlende Subtrahend ist \(100\)-mal so groß wie der vorherige.
4165154
Setze die Zahlenfolge in Einerschritten fort. Welche drei Zahlen folgen auf die \(399\,999\)? \(399\,997, 399\,998, 399\,999, \dots, \dots, \dots\)

Denkanstöße

- Achte besonders auf den Übergang zum nächsten Hunderter, Tausender oder Zehntausender. - Wie viele Stellen verändern sich, wenn du von \(399\,999\) aus eins weiterzählst?

Lösung

1. Erster Folgeschritt: \(399\,999 + 1 = 400\,000\). 2. Zweiter Folgeschritt: \(400\,000 + 1 = 400\,001\). 3. Dritter Folgeschritt: \(400\,001 + 1 = 400\,002\).

Antwort

\(400\,000, 400\,001, 400\,002\)
4167034
Berechne die Ergebnisse der beiden Aufgabenreihen. a) \(18 : 3\), \(180 : 3\), \(1800 : 3\), \(18\,000 : 3\), \(180\,000 : 3\) b) \(18 : 2\), \(180 : 2\), \(1800 : 2\), \(18\,000 : 2\), \(180\,000 : 2\) Beschreibe für beide Reihen, wie sich das Ergebnis von Schritt zu Schritt verändert und warum.

Denkanstöße

- Vergleiche jeweils zwei Aufgaben direkt nacheinander. - Welche Zahl bleibt gleich? - Was passiert gleichzeitig mit der Zahl links vom Doppelpunkt und dem Ergebnis?

Lösung

1. In a) gilt zuerst \(18 : 3 = 6\). Von Schritt zu Schritt wird die Zahl links vom Doppelpunkt zehnmal so groß, während die Zahl rechts davon gleich bleibt. Deshalb werden auch die Ergebnisse jeweils zehnmal so groß: \(6, 60, 600, 6000, 60\,000\). 2. In b) gilt zuerst \(18 : 2 = 9\). Genauso entstehen \(9, 90, 900, 9000, 90\,000\). 3. In beiden Reihen gilt: Wird die Zahl links vom Doppelpunkt zehnmal so groß und bleibt die Zahl rechts davon gleich, wird auch das Ergebnis zehnmal so groß.

Antwort

a) \(6, 60, 600, 6000, 60\,000\) b) \(9, 90, 900, 9000, 90\,000\) Regel: Die Zahl links vom Doppelpunkt und das Ergebnis werden von Schritt zu Schritt zehnmal so groß.
4167094
Rechne die Aufgabenpaare aus. Nutze jeweils eine passende kleine Einmaleins-Aufgabe als Hilfe. a) \(45\,000 : 5\) und \(45\,000 : 9\) b) \(54\,000 : 6\) und \(54\,000 : 9\) c) \(56\,000 : 7\) und \(56\,000 : 8\) Zeige bei mindestens einem Ergebnis genau, wie dir die kleine Aufgabe hilft.

Denkanstöße

- Suche zu jeder großen Aufgabe eine passende kleine Einmaleins-Aufgabe. - Vergleiche die Zahl links vom Doppelpunkt in der kleinen und der großen Aufgabe. - Erkläre an einem Beispiel, was deshalb mit dem Ergebnis passiert.

Lösung

1. Aus \(45 : 5 = 9\) folgt \(45\,000 : 5 = 9000\). Aus \(45 : 9 = 5\) folgt \(45\,000 : 9 = 5000\). 2. Aus \(54 : 6 = 9\) und \(54 : 9 = 6\) folgen \(54\,000 : 6 = 9000\) und \(54\,000 : 9 = 6000\). 3. Aus \(56 : 7 = 8\) und \(56 : 8 = 7\) folgen \(56\,000 : 7 = 8000\) und \(56\,000 : 8 = 7000\). 4. Beispiel: \(45\,000\) ist tausendmal so groß wie \(45\). Die Zahl rechts vom Doppelpunkt bleibt \(5\). Deshalb ist auch das Ergebnis tausendmal so groß wie \(9\).

Antwort

a) \(9000\) und \(5000\) b) \(9000\) und \(6000\) c) \(8000\) und \(7000\) Beispiel: Aus \(45 : 5 = 9\) folgt \(45\,000 : 5 = 9000\), weil die Zahl links vom Doppelpunkt und das Ergebnis jeweils tausendmal so groß sind.
4167124
Berechne die Ergebnisse und vergleiche sie. a) \(20\,000 : 4\) und \(20\,000 : 5\) b) \(36\,000 : 6\) und \(36\,000 : 4\) Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die Zahl links vom Doppelpunkt gleich bleibt, aber die Zahl rechts davon größer wird?

Denkanstöße

- Nutze passende kleine Einmaleins-Aufgaben. - Vergleiche in jedem Paar die Zahl rechts vom Doppelpunkt und das Ergebnis. - Suche einen Satz, der zu beiden Paaren passt.

Lösung

1. \(20\,000 : 4 = 5000\) und \(20\,000 : 5 = 4000\). Also gilt \(5000 > 4000\). 2. \(36\,000 : 6 = 6000\) und \(36\,000 : 4 = 9000\). Also gilt \(6000 < 9000\). 3. In beiden Vergleichen zeigt sich: Bleibt die Zahl links vom Doppelpunkt gleich und wird die Zahl rechts davon größer, wird das Ergebnis kleiner.

Antwort

a) \(5000 > 4000\) b) \(6000 < 9000\) Regel: Bleibt die Zahl links vom Doppelpunkt gleich, führt eine größere Zahl rechts vom Doppelpunkt zu einem kleineren Ergebnis.
4167454
Berechne die folgenden Produkte und beschreibe, was dir bei den Ergebnissen auffällt: 1. \(125 \cdot 8\) 2. \(125 \cdot 18\) 3. \(125 \cdot 28\) 4. \(125 \cdot 38\) 5. \(125 \cdot 48\)

Denkanstöße

- Vergleiche die Aufgaben miteinander: Was bleibt gleich und was verändert sich? - Schau dir die Abstände zwischen den Ergebnissen an. - Kannst du eine Regel finden, wie sich das Ergebnis verändert, wenn sich ein Faktor um 10 erhöht?

Lösung

1. Die Produkte sind \(125 \cdot 8 = 1000\), \(125 \cdot 18 = 2250\), \(125 \cdot 28 = 3500\), \(125 \cdot 38 = 4750\) und \(125 \cdot 48 = 6000\). 2. Von einem Ergebnis zum nächsten kommen immer \(1250\) dazu: \(2250 - 1000 = 1250\). Der Faktor \(125\) bleibt gleich, während der andere Faktor jeweils um \(10\) wächst. Deshalb wächst das Produkt jeweils um \(125 \cdot 10 = 1250\).

Antwort

Die Ergebnisse sind: \(1000\), \(2250\), \(3500\), \(4750\) und \(6000\). Auffälligkeit: Die Ergebnisse nehmen immer um \(1250\) zu.
4170454
Setze das Muster fort. \(1 \cdot 9 + 2 = 11\) \(12 \cdot 9 + 3 = 111\) \(123 \cdot 9 + 4 = 1111\) a) Wie lautet die vierte Zeile? Berechne das Ergebnis. b) Wie lautet die fünfte Zeile? Berechne das Ergebnis.

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl in jeder Zeile verändert. Welche Ziffer kommt hinzu? - Was passiert mit der Zahl, die nach dem Malzeichen addiert wird? - Schau dir die Ergebnisse an. Fällt dir eine Besonderheit bei den Ziffern auf? - Wie viele Stellen hat das Ergebnis im Vergleich zur Anzahl der Ziffern in der ersten Zahl?

Lösung

1. Im ersten Faktor wird in jeder Zeile die nächste Ziffer angehängt (\(1\), \(12\), \(123\), ...). Der zweite Faktor bleibt immer \(9\). Die Additionszahl erhöht sich pro Zeile um \(1\) (\(2\), \(3\), \(4\), ...). 2. Die vierte Zeile lautet: \(1234 \cdot 9 + 5\). Rechnung: \(1234 \cdot 9 = 11\,106\). Addition: \(11\,106 + 5 = 11\,111\). 3. Die fünfte Zeile lautet: \(12\,345 \cdot 9 + 6\). Rechnung: \(12\,345 \cdot 9 = 111\,105\). Addition: \(111\,105 + 6 = 111\,111\).

Antwort

a) \(1234 \cdot 9 + 5 = 11\,111\) b) \(12\,345 \cdot 9 + 6 = 111\,111\)
4170844
Setze die Zahlenfolge nach dieser Regel fort: Jede weitere Zahl ist die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen. Berechne die Folge bis zur 6. Zahl. Startzahlen: \(2400\) und \(3700\)

Denkanstöße

- Schau dir die Regel genau an: Du musst immer die letzten beiden Zahlen addieren, um die neue Zahl zu finden. - Beginne damit, die beiden Startzahlen zusammenzuzählen. - Für die vierte Zahl nimmst du dann das Ergebnis der dritten Zahl und addierst es zur zweiten Zahl.

Lösung

1. Die 3. Zahl ist \(2400 + 3700 = 6100\). 2. Die 4. Zahl ist \(3700 + 6100 = 9800\). 3. Die 5. Zahl ist \(6100 + 9800 = 15\,900\). 4. Die 6. Zahl ist \(9800 + 15\,900 = 25\,700\).

Antwort

\(2400, 3700, 6100, 9800, 15\,900, 25\,700\)
4185114
Untersuche das folgende Zahlenmuster und löse die Aufgaben: \(9 \cdot 7 = \square\) \(9 \cdot 77 = \square\) \(9 \cdot 777 = \square\) a) Berechne die Ergebnisse der drei Aufgaben. b) Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? Beschreibe das Muster der Ziffern. c) Wie lautet die fünfte Aufgabe in dieser Reihe? Gib die Aufgabe und das Ergebnis an, ohne die schriftliche Multiplikation zu verwenden.

Denkanstöße

- Vergleiche bei den drei Ergebnissen zuerst Anfang und Ende. - Untersuche danach nur die Ziffern zwischen Anfangs- und Endziffer. - Vergleiche die Anzahl der gleichen Ziffern im zweiten Faktor mit der Anzahl der wiederholten Ziffern im Ergebnis. - Übertrage die gefundene Regel auf die fünfte Aufgabe.

Lösung

1. Es gilt \(9 \cdot 7 = 63\), \(9 \cdot 77 = 693\) und \(9 \cdot 777 = 6993\). 2. Jedes Ergebnis beginnt mit der Ziffer \(6\) und endet mit der Ziffer \(3\). Dazwischen stehen Neunen. Ihre Anzahl ist jeweils um \(1\) kleiner als die Anzahl der Siebener im zweiten Faktor. 3. Die vierte Aufgabe wäre \(9 \cdot 7777 = 69\,993\). 4. Beim fünften Faktor \(77\,777\) stehen daher vier Neunen zwischen Anfangs- und Endziffer: \(9 \cdot 77\,777 = 699\,993\).

Antwort

a) \(63\), \(693\), \(6993\) b) Die Ergebnisse beginnen mit der Ziffer \(6\) und enden mit der Ziffer \(3\). Dazwischen stehen Neunen; ihre Anzahl ist jeweils um \(1\) kleiner als die Anzahl der Siebener im zweiten Faktor. c) \(9 \cdot 77\,777 = 699\,993\)
4188644
Ergänze die fehlenden Zahlen in den Zahlenreihen und setze sie um drei weitere Stellen fort. a) \(60\,200, 60\,100, 60\,000, \dots\) b) \(899\,997, 899\,998, 899\,999, \dots\) c) \(120\,000, 110\,000, 100\,000, \dots\)

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Unterschied zwischen den ersten zwei Zahlen einer Reihe. - Überprüfe, ob die Zahlen größer oder kleiner werden. - Achte beim Abziehen oder Dazurechnen auf den Wechsel zur nächsten großen Stelle (z. B. von Tausendern zu Zehntausendern).

Lösung

1. In Folge a) beträgt der Abstand zwischen den Zahlen \(-100\). Die nächsten drei Zahlen nach der Subtraktion von \(100\) sind \(59\,900\), \(59\,800\) und \(59\,700\). 2. In Folge b) beträgt der Abstand \(+1\). Nach \(899\,999\) folgen durch Addition von \(1\) die Zahlen \(900\,000\), \(900\,001\) und \(900\,002\). 3. In Folge c) beträgt der Abstand \(-10\,000\). Nach \(100\,000\) folgen durch Subtraktion von \(10\,000\) die Zahlen \(90\,000\), \(80\,000\) und \(70\,000\).

Antwort

a) \(59\,900, 59\,800, 59\,700\) b) \(900\,000, 900\,001, 900\,002\) c) \(90\,000, 80\,000, 70\,000\)
4190614
Berechne die folgenden Aufgabenpaare. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? Beschreibe die Regel, die du entdeckst. a) \(16 \cdot 4\) und \(16 \cdot 40\) b) \(35 \cdot 3\) und \(35 \cdot 30\) c) \(125 \cdot 6\) und \(125 \cdot 60\)

Denkanstöße

- Vergleiche in jedem Paar den veränderten Faktor. - Um welchen Faktor wird er größer? - Prüfe, ob sich das Produkt jeweils um denselben Faktor verändert.

Lösung

1. a) \(16 \cdot 4 = 64\). Da \(40\) das Zehnfache von \(4\) ist, gilt \(16 \cdot 40 = 640\). 2. b) \(35 \cdot 3 = 105\). Wird der zweite Faktor von \(3\) auf \(30\) verzehnfacht, verzehnfacht sich das Produkt auf \(1050\). 3. c) \(125 \cdot 6 = 750\). Wird \(6\) auf \(60\) verzehnfacht, verzehnfacht sich das Produkt auf \(7500\). 4. Regel: Wird bei unverändertem anderen Faktor ein Faktor verzehnfacht, wird auch das Produkt verzehnfacht.

Antwort

a) \(64\) und \(640\) b) \(105\) und \(1050\) c) \(750\) und \(7500\) Regel: Wird ein Faktor verzehnfacht und der andere bleibt gleich, verzehnfacht sich auch das Produkt.
4190624
Nutze das Ergebnis der Startrechnung \(14 \cdot 5 = 70\), um die folgenden Aufgaben im Kopf zu lösen. Erkläre bei jeder Aufgabe kurz deinen Denkweg. a) \(14 \cdot 50\) b) \(140 \cdot 5\) c) \(140 \cdot 50\) d) \(14 \cdot 500\)

Denkanstöße

- Vergleiche jeden neuen Faktor mit dem passenden Faktor der Startrechnung. - Ist ein Faktor zehnmal oder hundertmal so groß? Dann wird auch das Produkt entsprechend größer. - Wenn sich beide Faktoren ändern, beachte beide Veränderungen.

Lösung

1. a) Der Faktor \(5\) wird zehnmal so groß; deshalb wird auch \(70\) zehnmal so groß: \(700\). 2. b) Der Faktor \(14\) wird zehnmal so groß; deshalb wird auch \(70\) zehnmal so groß: \(700\). 3. c) Beide Faktoren werden zehnmal so groß. Deshalb wird das Produkt \(100\)-mal so groß: \(70 \cdot 100 = 7000\). 4. d) Der Faktor \(5\) wird \(100\)-mal so groß. Deshalb wird auch das Produkt \(100\)-mal so groß: \(7000\).

Antwort

a) \(700\) b) \(700\) c) \(7000\) d) \(7000\)
4192044
Berechne zuerst \(64 \cdot 8\). Nutze dieses Ergebnis für die anderen Aufgaben. a) \(64 \cdot 8\) b) \(640 \cdot 8\) c) \(64 \cdot 800\) d) \(6400 \cdot 80\) e) Erkläre zu b), c) und d), wie sich die Faktoren gegenüber a) verändert haben und warum das Produkt entsprechend größer wird.

Denkanstöße

- Vergleiche bei jeder Aufgabe die beiden Faktoren mit a). - Welche Faktoren wurden mit \(10\) oder \(100\) vergrößert? - Verknüpfe bei d) beide Veränderungen.

Lösung

1. a) \(64 \cdot 8 = 512\). 2. b) Der erste Faktor ist zehnmal so groß. Daher ist auch das Produkt zehnmal so groß: \(5120\). 3. c) Der zweite Faktor ist hundertmal so groß. Daher ist auch das Produkt hundertmal so groß: \(51\,200\). 4. d) Der erste Faktor ist hundertmal und der zweite zehnmal so groß. Zusammen wird das Produkt tausendmal so groß: \(512\,000\).

Antwort

a) \(512\) b) \(5120\); das Produkt ist \(10\)-mal so groß wie bei a). c) \(51\,200\); das Produkt ist \(100\)-mal so groß wie bei a). d) \(512\,000\); das Produkt ist \(1000\)-mal so groß wie bei a).
4210764
Berechne die Produkte. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf, wenn du die Aufgaben nacheinander betrachtest? a) \(4 \cdot 25\) b) \(8 \cdot 25\) c) \(12 \cdot 25\) d) \(16 \cdot 25\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Erinnert dich das Ergebnis von \(4 \cdot 25\) an eine bestimmte Zahl, mit der man leicht weiterrechnen kann? - Kannst du das Ergebnis der nächsten Aufgabe vorhersagen, ohne es neu auszurechnen?

Lösung

1. \(4 \cdot 25 = 100\). 2. \(8 \cdot 25 = 200\). 3. \(12 \cdot 25 = 300\). 4. \(16 \cdot 25 = 400\). 5. Der erste Faktor wird jeweils um \(4\) größer. Deshalb wächst das Ergebnis immer um \(100\).

Antwort

a) \(100\) b) \(200\) c) \(300\) d) \(400\) Auffälligkeit: Das Ergebnis erhöht sich immer um \(100\), da der erste Faktor immer um \(4\) größer wird.
4213094
Setze die Zahlenfolge fort. Die ersten beiden Zahlen sind \(999\,800\) und \(999\,850\). Jede weitere Zahl ist immer um denselben Betrag größer als ihre Vorgängerzahl. Schreibe die nächsten drei Zahlen der Folge auf.

Denkanstöße

- Finde zuerst heraus, um wie viel die Zahlen in jedem Schritt wachsen. - Was passiert, wenn du \(50\) zu \(999\,950\) addierst? - Wie viele Nullen hat die Zahl eine Million? - Rechne Schritt für Schritt und achte darauf, welche Ziffern sich ändern.

Lösung

1. Zwischen \(999\,800\) und \(999\,850\) liegen \(50\). 2. \(999\,850 + 50 = 999\,900\). 3. \(999\,900 + 50 = 999\,950\). 4. \(999\,950 + 50 = 1\,000\,000\). 5. Die gesuchten Zahlen sind \(999\,900, 999\,950, 1\,000\,000\).

Antwort

\(999\,900, 999\,950, 1\,000\,000\)
5539574
Der Zahlenstrahl zeigt zwei gleich große Vorwärtssprünge und endet an einem bekannten Wert. Welche Zahlen gehören an die beiden Fragezeichen?
Abbildung zur Aufgabe 553957

Denkanstöße

- Beginne bei dem bekannten Wert am rechten Ende. - Gehe die dargestellten Sprünge in umgekehrter Richtung zurück. - Kontrolliere anschließend vorwärts, ob beide gleich großen Sprünge wieder beim Endwert ankommen.

Lösung

1. Der Endwert ist \(930\,000\), jeder Sprung beträgt \(40\,000\). 2. Einen Sprung zurück liegt man bei \(890\,000\). 3. Noch einen Sprung zurück liegt der Start bei \(850\,000\).

Antwort

Von links nach rechts: \(850\,000, 890\,000\)
4100194
Eva legt Sechsecke aus Münzen nach folgendem Muster (siehe Abbildung). Für ein bestimmtes Sechseck in dieser Reihe braucht sie 54 Münzen. Gib die Nummer von diesem Sechseck an. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10
Abbildung zur Aufgabe 410019

Denkanstöße

- Zähle die Münzen in den ersten drei Sechsecken. Fällt dir ein Muster auf? - Wie verändert sich die Anzahl der Münzen von einem Sechseck zum nächsten? - Welche Malfolge (Einmaleins) könnte hier helfen?

Lösung

1. Bestimmung der Anzahl der Münzen pro Muster: Muster 1 hat 6 Münzen, Muster 2 hat 12 Münzen, Muster 3 hat 18 Münzen. 2. Erkennen der Gesetzmäßigkeit: Die Anzahl der Münzen entspricht \(6 \cdot n\), wobei \(n\) die Nummer des Musters ist. 3. Berechnung für 54 Münzen: \(6 \cdot n = 54 \implies n = 54 / 6 = 9\).

Antwort

c) 9
4160634
Vervollständige die Lücken, sodass die vier Aufgaben zusammenpassen. a) \(8 \cdot 4 = \square\) b) \(80 \cdot \square = 320\) c) \(\square : 8 = 40\) d) \(320 : 40 = \square\) Erkläre anschließend kurz, wie die vier Aufgaben zusammenhängen.

Denkanstöße

- Beginne mit der ersten Aufgabe und suche dieselben Grundzahlen in den übrigen Rechnungen wieder. - Achte darauf, wo eine Zahl verzehnfacht wurde. - Nutze Multiplikation und Division als Umkehraufgaben, um die gemeinsame Struktur zu beschreiben.

Lösung

1. Die Grundaufgabe ergibt \(8 \cdot 4 = 32\). 2. Wird der Faktor \(8\) verzehnfacht, wird auch das Produkt verzehnfacht: \(80 \cdot 4 = 320\). 3. Zum Produkt \(320\) gehört die Umkehraufgabe \(320 : 8 = 40\). 4. Ebenso gilt \(320 : 40 = 8\). Alle vier Aufgaben beruhen auf den Faktoren \(8\) und \(4\) sowie ihren Verzehnfachungen.

Antwort

a) \(32\) b) \(4\) c) \(320\) d) \(8\) Zusammenhang: Verzehnfachen eines passenden Faktors verzehnfacht das Produkt; die beiden Divisionen sind Umkehraufgaben zum Produkt \(320\).
4161164
In diesem „Schönen Päckchen“ hat sich ein Fehler eingeschlichen. Eine der Aufgaben passt nicht zum Muster der anderen. 1. Aufgabe: \(980\,000 - 450\,000 = 530\,000\) 2. Aufgabe: \(950\,000 - 420\,000 = 530\,000\) 3. Aufgabe: \(920\,000 - 390\,000 = 530\,000\) 4. Aufgabe: \(890\,000 - 350\,000 = 540\,000\) a) Welche Aufgabe ist falsch? b) Wie muss die 4. Aufgabe richtig lauten, damit sie zum Muster passt?

Denkanstöße

- Vergleiche die Ergebnisse der ersten drei Aufgaben. Fällt dir etwas auf? - Wenn das Ergebnis immer gleich bleiben soll, wie müssen sich dann die beiden Zahlen der Minusaufgabe verändern? - Prüfe die Abstände zwischen den Zahlen von Aufgabe zu Aufgabe.

Lösung

1. In den ersten drei Aufgaben werden beide Zahlen jeweils um \(30\,000\) kleiner. Deshalb bleibt das Ergebnis bei \(530\,000\). 2. In der 4. Aufgabe wurde die erste Zahl richtig um \(30\,000\) auf \(890\,000\) verkleinert. Die zweite Zahl müsste ebenfalls um \(30\,000\) kleiner werden, also von \(390\,000\) auf \(360\,000\). 3. Damit lautet die passende Aufgabe \(890\,000 - 360\,000 = 530\,000\).

Antwort

a) Die 4. Aufgabe ist falsch. b) Die richtige 4. Aufgabe lautet: \(890\,000 - 360\,000 = 530\,000\).
4161174
Erstelle ein „Schönes Päckchen“ nach der folgenden Regel: - Die 1. Aufgabe lautet: \(300\,000 + 200\,000 = 500\,000\). - In jeder weiteren Aufgabe wird der erste Summand um \(50\,000\) größer. - In jeder weiteren Aufgabe wird der zweite Summand um \(20\,000\) kleiner. Berechne das Ergebnis der 5. Aufgabe dieses Päckchens.

Denkanstöße

- Du kannst die Aufgaben nacheinander aufschreiben (2., 3., 4. und dann die 5. Aufgabe). - Achte darauf, dass du bei der 5. Aufgabe die Veränderung insgesamt viermal durchgeführt hast, ausgehend von der ersten Aufgabe. - Überlege dir, wie sich das Gesamtergebnis in jedem Schritt verändert, wenn eine Zahl um \(50\,000\) steigt und die andere um \(20\,000\) sinkt.

Lösung

1. Für die 5. Aufgabe wurde der erste Summand viermal um \(50\,000\) erhöht: \(300\,000 + 4 \cdot 50\,000 = 500\,000\). 2. Der zweite Summand wurde viermal um \(20\,000\) verkleinert: \(200\,000 - 4 \cdot 20\,000 = 120\,000\). 3. Damit gilt \(500\,000 + 120\,000 = 620\,000\).

Antwort

Die 5. Aufgabe lautet \(500\,000 + 120\,000 = 620\,000\). Das Ergebnis ist \(620\,000\).
4162454
Wie geht dieses „schöne Päckchen“ weiter? Finde die nächste Aufgabe: \(64\,000 : 80 = 800\) \(56\,000 : 70 = 800\) \(48\,000 : 60 = 800\) \(40\,000 : 50 = 800\)

Denkanstöße

- Was fällt dir bei den Ergebnissen der Aufgaben auf? - Wie verändern sich der Dividend (erste Zahl) und der Divisor (zweite Zahl) von Schritt zu Schritt? - Versuche, die Regelmäßigkeit für beide Zahlen der Division zu finden.

Lösung

1. Der Quotient (das Ergebnis) ist in jeder Aufgabe konstant \(800\). 2. Der Divisor verringert sich in jedem Schritt um \(10\) (\(80, 70, 60, 50, \dots\)). Der nächste Divisor ist also \(40\). 3. Der Dividend verringert sich in jedem Schritt um \(8000\) (\(64\,000, 56\,000, 48\,000, 40\,000, \dots\)). Der nächste Dividend ist \(40\,000 - 8000 = 32\,000\). 4. Die neue Aufgabe lautet \(32\,000 : 40\). 5. Zur Überprüfung: \(32\,000 : 40 = 800\).

Antwort

\(32\,000 : 40 = 800\)
4162464
Setze das Muster fort und finde die nächste Aufgabe: \(21\,000 : 3 = 7000\) \(32\,000 : 4 = 8000\) \(45\,000 : 5 = 9000\) \(60\,000 : 6 = 10\,000\)

Denkanstöße

- Untersuche zuerst, wie sich die Divisoren (die Zahlen nach dem Doppelpunkt) verändern. - Schau dir dann die Ergebnisse an. Welches Muster erkennst du dort? - Wie kannst du aus dem neuen Divisor und dem neuen Ergebnis die erste Zahl der Rechnung bestimmen?

Lösung

1. Der Divisor erhöht sich in jedem Schritt um \(1\) (\(3, 4, 5, 6, \dots\)). Der nächste Divisor ist \(7\). 2. Das Ergebnis (der Quotient) erhöht sich in jedem Schritt um \(1000\) (\(7000, 8000, 9000, 10\,000, \dots\)). Das nächste Ergebnis ist \(11\,000\). 3. Um den nächsten Dividenden zu finden, multipliziert man den neuen Divisor mit dem neuen Quotienten: \(7 \cdot 11\,000 = 77\,000\). 4. Alternativ: Die Differenz zwischen den Dividenden wächst stetig an (\(+11\,000, +13\,000, +15\,000\)). Der nächste Sprung ist \(+17\,000\), also \(60\,000 + 17\,000 = 77\,000\). 5. Die vollständige Aufgabe lautet \(77\,000 : 7 = 11\,000\).

Antwort

\(77\,000 : 7 = 11\,000\)
4162574
Untersuche die Zahlenfolge und finde heraus, wie sie fortgesetzt wird: \(850\,000, 800\,000, 825\,000, 775\,000, 800\,000, \dots\) Ergänze die nächsten drei Zahlen und erkläre das Muster.

Denkanstöße

- Hier ändert sich die Richtung der Zahlen: Manchmal werden sie kleiner, manchmal größer. - Untersuche die ersten zwei Schritte getrennt voneinander. - Wiederholen sich die Rechenschritte nach einer bestimmten Anzahl von Zahlen?

Lösung

1. Zuerst wird \(50\,000\) abgezogen: \(850\,000 - 50\,000 = 800\,000\). 2. Danach werden \(25\,000\) addiert: \(800\,000 + 25\,000 = 825\,000\). 3. Diese beiden Schritte wiederholen sich: \(825\,000 - 50\,000 = 775\,000\) und \(775\,000 + 25\,000 = 800\,000\). 4. Deshalb folgen \(750\,000\), \(775\,000\) und \(725\,000\).

Antwort

Nächste Zahlen: \(750\,000, 775\,000, 725\,000\). Regel: Rechne abwechselnd \(- 50\,000\) und \(+ 25\,000\).
4162614
Finde die Regel und vervollständige die Folgen. a) \(200\,000, 350\,000, 500\,000, \square, \square, 950\,000\) b) \(900\,000, 820\,000, 740\,000, \square, \square, \square, 420\,000\) c) \(62\,500, 125\,000, 250\,000, \square, 1\,000\,000\)

Denkanstöße

- Lass dich von den vielen Nullen nicht verwirren. Du kannst zunächst die Veränderungen der vorderen Stellen betrachten. - Prüfe bei a) und b), ob zwischen je zwei Nachbarzahlen immer dieselbe Differenz liegt. - Vergleiche bei c) jeweils eine Zahl mit ihrer Nachfolgerin: Welche gleichbleibende Multiplikation passt?

Lösung

1. In Teilaufgabe a) wird immer \(150\,000\) addiert: \(500\,000 + 150\,000 = 650\,000\), \(650\,000 + 150\,000 = 800\,000\), \(800\,000 + 150\,000 = 950\,000\). 2. In Teilaufgabe b) wird immer \(80\,000\) subtrahiert: \(740\,000 - 80\,000 = 660\,000\), \(660\,000 - 80\,000 = 580\,000\), \(580\,000 - 80\,000 = 500\,000\), \(500\,000 - 80\,000 = 420\,000\). 3. In Teilaufgabe c) wird jede Zahl verdoppelt: \(250\,000 \cdot 2 = 500\,000\) und \(500\,000 \cdot 2 = 1\,000\,000\).

Antwort

a) Regel: \(+ 150\,000\); fehlende Zahlen: \(650\,000, 800\,000\) b) Regel: \(- 80\,000\); fehlende Zahlen: \(660\,000, 580\,000, 500\,000\) c) Regel: \(\cdot 2\); fehlende Zahl: \(500\,000\)
4162724
In dieser Zahlenfolge wurden zwei Zahlen vergessen. Ergänze die Lücken. \(100\,000, 120\,000, 150\,000, \square, 240\,000, 300\,000, \square\)

Denkanstöße

- Berechne die Unterschiede zwischen den Zahlen, die direkt nebeneinander stehen. - Vergleiche die Unterschiede miteinander. Werden sie größer oder kleiner? - Haben die Unterschiede selbst ein erkennbares Muster? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Regel auf die Zahlen nach der Lücke anwendest.

Lösung

1. Die ersten Abstände sind \(120\,000 - 100\,000 = 20\,000\) und \(150\,000 - 120\,000 = 30\,000\). 2. Die Abstände werden bei jedem Schritt um \(10\,000\) größer. 3. Deshalb gilt \(150\,000 + 40\,000 = 190\,000\). 4. Zur Kontrolle: \(190\,000 + 50\,000 = 240\,000\). 5. Nach dem Schritt \(+60\,000\) zu \(300\,000\) folgt \(+70\,000\): \(300\,000 + 70\,000 = 370\,000\).

Antwort

Die fehlenden Zahlen sind \(190\,000\) und \(370\,000\).
4164024
Ergänze die fehlenden Angaben in der Tabelle, um jeweils genau beim nächsten Tausender (Zielzahl) anzukommen. <table> <tr> <th>Startzahl</th> <th>Schrittweite</th> <th>Zielzahl</th> <th>Anzahl der Schritte</th> </tr> <tr> <td>\(451\,200\)</td> <td>\(200\)</td> <td>\(452\,000\)</td> <td>\(\square\)</td> </tr> <tr> <td>\(123\,750\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(124\,000\)</td> <td>\(5\)</td> </tr> <tr> <td>\(\square\)</td> <td>\(10\)</td> <td>\(888\,000\)</td> <td>\(3\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- In jeder Zeile fehlt eine andere Information. - Wenn die Startzahl fehlt, kannst du von der Zielzahl aus rückwärts rechnen. - Wenn die Schrittweite fehlt, teile den Gesamtabstand durch die Anzahl der Schritte. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Schritte von der Startzahl aus im Kopf durchgehst.

Lösung

1. Erste Zeile: Differenz \(452\,000 - 451\,200 = 800\). \(800 : 200 = 4\). Die Anzahl der Schritte ist \(4\). 2. Zweite Zeile: Differenz \(124\,000 - 123\,750 = 250\). \(250 : 5 = 50\). Die Schrittweite ist \(50\). 3. Dritte Zeile: Gesamtweg berechnen mit \(3 \cdot 10 = 30\). Startzahl berechnen durch \(888\,000 - 30 = 887\,970\).

Antwort

Zeile 1: \(4\) Schritte Zeile 2: Schrittweite \(50\) Zeile 3: Startzahl \(887\,970\)
4164314
In einer Zahlenfolge wird in jedem Schritt die Summe aus \(100\,000\), \(10\,000\), \(1000\), \(100\), \(10\) und \(1\) addiert. a) Setze die Folge um zwei Zahlen fort: \(123\,456 \to 234\,567 \to \square \to \square\) b) Berechne die nächste Zahl dieser Folge: \(489\,000 \to 600\,111 \to \square\) c) Wie oft muss der Wert \(111\,111\) addiert werden, um von der Startzahl \(222\,222\) zur Zahl \(888\,888\) zu gelangen?

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die einzelnen Ziffern von einer Zahl zur nächsten verändern. - Wie viel wird insgesamt in einem einzigen Schritt addiert? - Bei Teil b) musst du genau auf die Zehntausender- und Hunderttausenderstelle achten, da es dort einen Übergang gibt. - Bei Teil c) kannst du die Differenz zwischen Start und Ziel nutzen.

Lösung

1. In jedem Schritt werden insgesamt \(111\,111\) addiert. 2. Bei a) folgt \(234\,567 + 111\,111 = 345\,678\) und danach \(345\,678 + 111\,111 = 456\,789\). 3. Bei b) gilt \(600\,111 + 111\,111 = 711\,222\). 4. Bei c) beträgt der Abstand \(888\,888 - 222\,222 = 666\,666\). Es gilt \(666\,666 : 111\,111 = 6\).

Antwort

a) \(345\,678\) und \(456\,789\) b) \(711\,222\) c) \(6\)-mal
4164704
Berechne die Ergebnisse dieser Aufgabenpäckchen. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? a) \(1\,000\,000 : 1 = \square\) \(1\,000\,000 : 10 = \square\) \(1\,000\,000 : 100 = \square\) \(1\,000\,000 : 1000 = \square\) b) \(100\,000 : 2 = \square\) \(100\,000 : 4 = \square\) \(100\,000 : 8 = \square\)

Denkanstöße

- Was passiert mit der Anzahl der Nullen, wenn du durch 10, 100 oder 1000 teilst? - Schau dir im zweiten Päckchen an, wie sich die Teiler verändern. Was bedeutet das für das Ergebnis?

Lösung

1. Bei a) wird nacheinander durch \(1\), \(10\), \(100\) und \(1000\) geteilt. Die Ergebnisse sind \(1\,000\,000\), \(100\,000\), \(10\,000\) und \(1000\). 2. Bei b) verdoppelt sich die Zahl, durch die geteilt wird, jeweils von \(2\) auf \(4\) und dann auf \(8\). Deshalb halbiert sich das Ergebnis jeweils: \(50\,000\), \(25\,000\), \(12\,500\).

Antwort

a) \(1\,000\,000\); \(100\,000\); \(10\,000\); \(1000\) b) \(50\,000\); \(25\,000\); \(12\,500\) Auffälligkeit: In a) wird das Ergebnis pro Schritt durch 10 geteilt (eine Null weniger). In b) wird das Ergebnis pro Schritt halbiert.
4165474
Berechne die Ergebnisse im Kopf. Achte darauf, wie sich die Ziffern an den verschiedenen Stellen verändern. a) \(400\,000 - 1 = \square\) b) \(400\,000 - 10 = \square\) c) \(400\,000 - 100 = \square\) d) \(400\,000 - 1000 = \square\) e) \(400\,000 - 10\,000 = \square\) f) \(400\,000 - 100\,000 = \square\)

Denkanstöße

- Überlege dir, an welcher Stelle (Einer, Zehner, Hunderter ...) sich die Zahl ändert. - Was passiert mit den Nachbarstellen, wenn du von einer Null etwas abziehst? - Eine Stellenwerttafel kann dir helfen, die Veränderungen zu verfolgen.

Lösung

1. Subtraktion von \(1\) (Einerstelle): Da an der Einerstelle eine \(0\) steht, muss über alle Stellen hinweg entbündelt werden. Ergebnis: \(399\,999\). 2. Subtraktion von \(10\) (Zehnerstelle): Entbündelung ab der Zehnerstelle. Ergebnis: \(399\,990\). 3. Subtraktion von \(100\) (Hunderterstelle): Entbündelung ab der Hunderterstelle. Ergebnis: \(399\,900\). 4. Subtraktion von \(1000\) (Tausenderstelle): Entbündelung ab der Tausenderstelle. Ergebnis: \(399\,000\). 5. Subtraktion von \(10\,000\) (Zehntausenderstelle): Entbündelung ab der Zehntausenderstelle. Ergebnis: \(390\,000\). 6. Subtraktion von \(100\,000\) (Hunderttausenderstelle): Verringerung der Ziffer an der Hunderttausenderstelle um \(1\). Ergebnis: \(300\,000\).

Antwort

a) \(399\,999\) b) \(399\,990\) c) \(399\,900\) d) \(399\,000\) e) \(390\,000\) f) \(300\,000\)
4165484
Vervollständige die Tabelle, indem du von der Zahl in der linken Spalte jeweils die Zahl in der Kopfzeile subtrahierst. <table> <tr> <th>Zahl</th> <th>\( - 1\)</th> <th>\( - 100\)</th> <th>\( - 10\,000\)</th> </tr> <tr> <td>\(325\,400\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> </tr> <tr> <td>\(800\,000\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Gehe Spalte für Spalte vor und schaue genau, welchen Stellenwert du abziehen musst. - Musst du bei der Zahl \(325\,400\) immer entbündeln? - Bei der Zahl \(800\,000\) ändern sich oft viele Ziffern gleichzeitig. Warum ist das so?

Lösung

1. Zeile \(325\,400\): - \(325\,400 - 1\): Entbündeln ab der Hunderterstelle, da Zehner und Einer null sind. Ergebnis: \(325\,399\). - \(325\,400 - 100\): Verringerung der Hunderterstelle um \(1\). Ergebnis: \(325\,300\). - \(325\,400 - 10\,000\): Verringerung der Zehntausenderstelle um \(1\). Ergebnis: \(315\,400\). 2. Zeile \(800\,000\): - \(800\,000 - 1\): Entbündeln über alle Stellen hinweg. Ergebnis: \(799\,999\). - \(800\,000 - 100\): Entbündeln ab der Hunderterstelle. Ergebnis: \(799\,900\). - \(800\,000 - 10\,000\): Entbündeln ab der Zehntausenderstelle. Ergebnis: \(790\,000\).

Antwort

<table> <tr> <th>Zahl</th> <th>\( - 1\)</th> <th>\( - 100\)</th> <th>\( - 10\,000\)</th> </tr> <tr> <td>\(325\,400\)</td> <td>\(325\,399\)</td> <td>\(325\,300\)</td> <td>\(315\,400\)</td> </tr> <tr> <td>\(800\,000\)</td> <td>\(799\,999\)</td> <td>\(799\,900\)</td> <td>\(790\,000\)</td> </tr> </table>
4165494
Welche Zahl wurde hier jeweils von \(700\,000\) abgezogen? Ergänze die Lücken. a) \(700\,000 - \square = 699\,999\) b) \(700\,000 - \square = 699\,900\) c) \(700\,000 - \square = 690\,000\) d) \(700\,000 - \square = 600\,000\) e) \(700\,000 - \square = 699\,000\)

Denkanstöße

- Schau dir an, ab welcher Stelle sich die Ziffern von \(700\,000\) unterscheiden. - Du kannst auch die Umkehraufgabe mit Plus nutzen: Was musst du zum Ergebnis dazurechnen, um wieder auf \(700\,000\) zu kommen? - Überlege, welchen Stellenwert der Unterschied jeweils hat.

Lösung

1. Vergleich von \(700\,000\) und \(699\,999\): Die Differenz beträgt \(1\). 2. Vergleich von \(700\,000\) und \(699\,900\): Die Differenz beträgt \(100\). 3. Vergleich von \(700\,000\) und \(690\,000\): Die Differenz beträgt \(10\,000\). 4. Vergleich von \(700\,000\) und \(600\,000\): Die Differenz beträgt \(100\,000\). 5. Vergleich von \(700\,000\) und \(699\,000\): Die Differenz beträgt \(1000\).

Antwort

a) \(1\) b) \(100\) c) \(10\,000\) d) \(100\,000\) e) \(1000\)
4165814
Untersuche die Zahlenfolgen. Bestimme jeweils die Schrittweite und setze die Folgen um drei Zahlen fort. a) \(0, 150\,000, 300\,000, \dots\) b) \(1\,000\,000, 925\,000, 850\,000, \dots\) c) \(500\,000, 575\,000, 650\,000, \dots\)

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Unterschied zwischen zwei benachbarten Zahlen. - Achte darauf, ob du addieren oder subtrahieren musst. - Rechne schrittweise, zum Beispiel erst die Zehntausender und dann die Tausender.

Lösung

1. In a) beträgt die Schrittweite \(+150\,000\). Die nächsten Zahlen sind \(300\,000 + 150\,000 = 450\,000\), \(450\,000 + 150\,000 = 600\,000\) und \(600\,000 + 150\,000 = 750\,000\). 2. In b) beträgt die Schrittweite \(-75\,000\). Die Fortsetzung lautet \(850\,000 - 75\,000 = 775\,000\), \(775\,000 - 75\,000 = 700\,000\) und \(700\,000 - 75\,000 = 625\,000\). 3. In c) beträgt die Schrittweite \(+75\,000\). Die Fortsetzung lautet \(650\,000 + 75\,000 = 725\,000\), \(725\,000 + 75\,000 = 800\,000\) und \(800\,000 + 75\,000 = 875\,000\).

Antwort

a) Schrittweite: \(+150\,000\); Folge: \(450\,000, 600\,000, 750\,000\) b) Schrittweite: \(-75\,000\); Folge: \(775\,000, 700\,000, 625\,000\) c) Schrittweite: \(+75\,000\); Folge: \(725\,000, 800\,000, 875\,000\)
4165824
Lukas zählt von \(0\) aus in \(250\,000\)er-Schritten vorwärts. Marie zählt von \(1\,000\,000\) aus in \(100\,000\)er-Schritten rückwärts. Welche Zahlen kommen in beiden Zählfolgen vor?

Denkanstöße

- Schreibe dir die Zahlenfolge für Lukas und Marie jeweils komplett auf. - Überlege, welche Zahlen bei Marie immer an der Zehntausenderstelle eine Null haben müssen. - Vergleiche die beiden Listen Zahl für Zahl.

Lösung

1. Lukas zählt \(0, 250\,000, 500\,000, 750\,000, 1\,000\,000\). 2. Marie zählt in vollen Hunderttausendern von \(1\,000\,000\) rückwärts bis \(0\): \(1\,000\,000, 900\,000, \dots, 0\). 3. In beiden Folgen kommen \(0\), \(500\,000\) und \(1\,000\,000\) vor.

Antwort

Die gemeinsamen Zahlen sind \(0\), \(500\,000\) und \(1\,000\,000\).
4167054
Ergänze die fehlenden Zahlen. \(42 : 6 = \square\) \(\square : 6 = 70\) \(4200 : \square = 700\) \(42\,000 : 6 = \square\) \(\square : 6 = 70\,000\) Beschreibe danach, wie die Zahl links vom Doppelpunkt und das Ergebnis zusammen wachsen.

Denkanstöße

- Beginne mit der kleinen Aufgabe. - Vergleiche danach zwei Zeilen direkt untereinander. - Prüfe eine fehlende Zahl mit einer passenden Malaufgabe.

Lösung

1. \(42 : 6 = 7\). 2. Für das Ergebnis \(70\) muss die Zahl links vom Doppelpunkt zehnmal so groß sein: \(420 : 6 = 70\). 3. In \(4200 : \square = 700\) fehlt die \(6\). 4. \(42\,000 : 6 = 7000\). 5. Zum Ergebnis \(70\,000\) gehört \(420\,000 : 6 = 70\,000\). 6. Die Zahl rechts vom Doppelpunkt bleibt immer \(6\). Werden die Zahl links davon und das Ergebnis von Zeile zu Zeile zehnmal so groß, bleibt die Division passend.

Antwort

\(42 : 6 = 7\) \(420 : 6 = 70\) \(4200 : 6 = 700\) \(42\,000 : 6 = 7000\) \(420\,000 : 6 = 70\,000\) Die Zahl links vom Doppelpunkt und das Ergebnis werden jeweils zehnmal so groß.
4167104
Vervollständige die Rechenpäckchen. a) \(48\,000 : 2\), \(48\,000 : 4\), \(48\,000 : 6\), \(48\,000 : 8\) b) \(12\,000 : 3\), \(24\,000 : 3\), \(36\,000 : 3\), \(48\,000 : 3\) Vergleiche danach die beiden Päckchen: Was bleibt jeweils gleich, was verändert sich, und was passiert mit den Ergebnissen?

Denkanstöße

- Markiere in jedem Päckchen zuerst die Zahl, die gleich bleibt. - Schau dann nur auf die Ergebnisse. - Beschreibe für jedes Päckchen die Veränderung in einem Satz.

Lösung

1. In a) bleibt die Zahl links vom Doppelpunkt \(48\,000\) gleich, während die Zahl rechts davon größer wird. Die Ergebnisse sind \(24\,000, 12\,000, 8000, 6000\) und werden kleiner. 2. In b) bleibt die Zahl rechts vom Doppelpunkt \(3\) gleich. Die Zahl links davon wächst jeweils um \(12\,000\). Die Ergebnisse sind \(4000, 8000, 12\,000, 16\,000\) und wachsen jeweils um \(4000\). 3. Die beiden Päckchen zeigen zwei verschiedene Veränderungen: In a) wird durch immer größere Zahlen geteilt; in b) wächst die Zahl, die geteilt wird, regelmäßig.

Antwort

a) \(24\,000, 12\,000, 8000, 6000\) b) \(4000, 8000, 12\,000, 16\,000\) Bei a) bleibt die Zahl links vom Doppelpunkt gleich und die Ergebnisse werden kleiner. Bei b) bleibt die Zahl rechts vom Doppelpunkt gleich und die Ergebnisse wachsen regelmäßig.
4167834
Eine Zahlenfolge beginnt bei der Zahl \(10\). Es wird immer nach der gleichen Regel multipliziert: Zuerst multiplizierst du mit \(10\), dann mit \(5\), dann mit \(2\). Danach wiederholt sich die Regel \((\cdot 10, \cdot 5, \cdot 2, \dots)\). Wie viele Multiplikationsschritte musst du ausführen, um mindestens \(1\,000\,000\) zu erreichen?

Denkanstöße

- Notiere die Zahlen \(10\), \(5\) und \(2\) in der richtigen Reihenfolge und wiederhole sie anschließend. - Schreibe nach jedem Schritt die neue Zahl auf. - Höre auf, sobald du zum ersten Mal mindestens \(1\,000\,000\) erreichst.

Lösung

1. Nach dem ersten Schritt gilt \(10 \cdot 10 = 100\). 2. Nach dem zweiten Schritt gilt \(100 \cdot 5 = 500\). 3. Nach dem dritten Schritt gilt \(500 \cdot 2 = 1000\). 4. Nach dem vierten Schritt gilt \(1000 \cdot 10 = 10\,000\). 5. Nach dem fünften Schritt gilt \(10\,000 \cdot 5 = 50\,000\). 6. Nach dem sechsten Schritt gilt \(50\,000 \cdot 2 = 100\,000\). 7. Nach dem siebten Schritt gilt \(100\,000 \cdot 10 = 1\,000\,000\). Damit ist die Zielzahl erstmals erreicht.

Antwort

Es sind \(7\) Schritte nötig.
4169304
Setze die Aufgabenfolge um eine Aufgabe fort und berechne alle Ergebnisse. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? \(1112 : 8\) \(2224 : 8\) \(3336 : 8\) ...

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die Zahl links vom Doppelpunkt von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Kannst du eine Regel finden, wie die vierte Aufgabe aussehen muss? - Vergleiche die Ergebnisse der Divisionen miteinander – gibt es auch dort ein Muster?

Lösung

1. Die ersten drei Ergebnisse sind \(1112 : 8 = 139\), \(2224 : 8 = 278\) und \(3336 : 8 = 417\). 2. Die Zahl links vom Doppelpunkt wird von Aufgabe zu Aufgabe um \(1112\) größer. Die vierte Aufgabe lautet deshalb \(4448 : 8\). 3. \(4448 : 8 = 556\). 4. Auch die Ergebnisse wachsen regelmäßig: Von einem Ergebnis zum nächsten kommen immer \(139\) dazu.

Antwort

Die Ergebnisse sind: \(139\), \(278\), \(417\). Fortsetzung: \(4448 : 8 = 556\). Beobachtung: Wenn die Zahl links vom Doppelpunkt immer um \(1112\) größer wird, wächst das Ergebnis immer um \(139\).
4169994
Setze in alle Lücken dieselbe Zahl ein, sodass die Rechnungen stimmen. Welche Zahl ist es? \( 18 < \square \cdot 4 < 22 \) \( 1800 < \square \cdot 400 < 2200 \) \( 180\,000 < \square \cdot 40\,000 < 220\,000 \) Was fällt dir beim Vergleich der Aufgaben auf?

Denkanstöße

- Beginne mit der kleinsten Aufgabe ganz oben. - Vergleiche die Nullen in den drei Zeilen. Was hat sich verändert? - Wenn du die erste Lücke gefunden hast, prüfe, ob diese Zahl auch bei den großen Zahlen funktioniert. - Wie hängen die Zahlen in den verschiedenen Zeilen zusammen?

Lösung

1. In der ersten Zeile wird eine Zahl gesucht, sodass \(\dots \cdot 4\) zwischen \(18\) und \(22\) liegt. Da \(5 \cdot 4 = 20\), passt die \(5\). 2. In der zweiten Zeile gilt \(5 \cdot 400 = 2000\); das Ergebnis liegt zwischen \(1800\) und \(2200\). 3. In der dritten Zeile gilt \(5 \cdot 40\,000 = 200\,000\); das Ergebnis liegt zwischen \(180\,000\) und \(220\,000\). 4. Von der ersten zur zweiten und von der zweiten zur dritten Zeile werden beide Grenzen und der jeweilige Faktor mit \(100\) multipliziert. Deshalb bleibt die gesuchte Lückenzahl gleich.

Antwort

Die Zahl ist \(5\). Auffälligkeit: Von einer Zeile zur nächsten werden beide Grenzen und der Faktor jeweils mit \(100\) multipliziert. Deshalb bleibt die Lückenzahl gleich.
4170464
Untersuche das Zahlenmuster und beantworte die Fragen. \(6 + 6 = 12\) \(66 + 66 = 132\) \(666 + 666 = 1332\) \(6666 + 6666 = 13\,332\) a) Wie lautet das Ergebnis der nächsten Aufgabe in der Folge? b) Beschreibe, wie sich das Ergebnis verändert, wenn bei den Summanden jeweils eine Ziffer \(6\) dazukommt.

Denkanstöße

- Rechne die nächste Aufgabe schriftlich aus, um deine Vermutung zu prüfen. - Aus welchen Ziffern bestehen alle Ergebnisse? - Wo genau im Ergebnis verändern sich die Ziffern? - Vergleiche die Anzahl der Sechser in der Aufgabe mit der Anzahl der Dreier im Ergebnis.

Lösung

1. Die nächste Aufgabe lautet \(66\,666 + 66\,666 = 133\,332\). 2. Die Ergebnisse beginnen immer mit einer \(1\) und enden mit einer \(2\). Dazwischen stehen nur Ziffern \(3\). 3. Bei jeder zusätzlichen \(6\) in den Summanden kommt im Ergebnis eine weitere \(3\) in der Mitte hinzu. Die Anzahl der Dreier ist immer um eins kleiner als die Anzahl der Sechser in einem Summanden.

Antwort

a) \(66\,666 + 66\,666 = 133\,332\) b) Das Ergebnis beginnt immer mit einer \(1\) und endet mit einer \(2\). Mit jeder zusätzlichen \(6\) in den Summanden kommt in der Mitte des Ergebnisses eine weitere \(3\) hinzu.
4170754
In einer Hundertertafel stehen die Zahlen von \(1\) bis \(100\) in zehn Zeilen. 1. Berechne die Summe der kleinsten Zahl \(1\) und der größten Zahl \(100\). 2. Berechne die Summe der zweitkleinsten Zahl \(2\) und der zweitgrößten Zahl \(99\). 3. Berechne die Summe der drittkleinsten Zahl \(3\) und der drittgrößten Zahl \(98\). 4. Was stellst du bei den Ergebnissen fest? Wie viele solcher Zahlenpaare lassen sich mit den Zahlen von \(1\) bis \(100\) insgesamt bilden? 5. Nutze deine Entdeckung, um die Gesamtsumme aller Zahlen von \(1\) bis \(100\) zu berechnen.

Denkanstöße

- Vergleiche jeweils eine Zahl vom Anfang mit einer Zahl vom Ende der Zahlenfolge. - Prüfe, ob die ersten drei Paare dieselbe Summe haben. - Überlege, wie viele Zweierpaare du aus insgesamt \(100\) Zahlen bilden kannst. - Wenn jedes Paar dieselbe Summe hat, musst du nicht alle \(100\) Zahlen einzeln addieren.

Lösung

1. Es gilt \(1 + 100 = 101\). 2. Ebenso gilt \(2 + 99 = 101\). 3. Auch \(3 + 98 = 101\). 4. Immer ergänzen sich die beiden Zahlen eines solchen Paares zu \(101\). Die \(100\) Zahlen lassen sich zu \(100 : 2 = 50\) Paaren zusammenfassen. 5. Deshalb beträgt die Gesamtsumme \(50 \cdot 101 = 5050\).

Antwort

1. \(101\) 2. \(101\) 3. \(101\) 4. Jedes Paar ergibt \(101\); es gibt \(50\) Paare. 5. \(5050\)
4170764
In der Hundertertafel stehen die Zahlen in zehn Spalten untereinander. 1. Berechne die Summe der ersten Spalte \(1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91\). 2. Berechne die Summe der zweiten Spalte \(2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92\). 3. Vergleiche die beiden Spaltensummen. Wie viel größer ist die zweite Summe? Erkläre, warum das so ist. 4. Bestimme die Summe der zehnten Spalte \(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100\), ohne alle Zahlen einzeln zu addieren. 5. Addiere alle zehn Spaltensummen, um die Gesamtsumme der Hundertertafel zu erhalten.

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen der ersten und zweiten Spalte jeweils zeilenweise. - Überlege, wie sich zehn Erhöhungen um jeweils \(1\) auf die gesamte Spaltensumme auswirken. - Nutze diese Veränderung, um von der ersten zur zehnten Spaltensumme zu gelangen. - Beim Addieren der zehn Spaltensummen können Paare aus einer kleinen und einer großen Spaltensumme helfen.

Lösung

1. Die Summe der ersten Spalte ist \(1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91 = 460\). 2. Die Summe der zweiten Spalte ist \(2 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 = 470\). 3. Die zweite Spaltensumme ist um \(10\) größer. Jede ihrer zehn Zahlen ist um \(1\) größer als die entsprechende Zahl der ersten Spalte, also wächst die Summe um \(10 \cdot 1 = 10\). 4. Von Spalte zu Spalte steigt die Summe um \(10\). Die zehnte Spalte liegt neun Schritte nach der ersten, also ist ihre Summe \(460 + 9 \cdot 10 = 550\). 5. Die zehn Spaltensummen lauten \(460, 470, 480, 490, 500, 510, 520, 530, 540, 550\). Ihre Summe ist \(5050\).

Antwort

1. \(460\) 2. \(470\) 3. Um \(10\); jede der zehn Zahlen ist um \(1\) größer. 4. \(550\) 5. \(5050\)
4170854
In einer Zahlenfolge ist jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen. Von dieser Folge sind nur zwei Zahlen bekannt: Die 3. Zahl ist \(12\,500\). Die 4. Zahl ist \(20\,000\). Bestimme die 1., 2. und 5. Zahl dieser Folge.

Denkanstöße

- Wenn zwei Zahlen zusammen eine bekannte Summe ergeben, kannst du mit Minus rückwärts rechnen. - Um die 5. Zahl zu finden, kannst du die Regel direkt anwenden. - Um weiter vorne in der Folge Zahlen zu finden, musst du rückwärts rechnen und subtrahieren.

Lösung

1. Die 5. Zahl ist \(12\,500 + 20\,000 = 32\,500\). 2. Für die 2. Zahl rechnest du rückwärts: \(20\,000 - 12\,500 = 7500\). 3. Für die 1. Zahl rechnest du noch einmal rückwärts: \(12\,500 - 7500 = 5000\).

Antwort

1. Zahl: \(5000\) 2. Zahl: \(7500\) 5. Zahl: \(32\,500\)
4170864
Beginne eine Zahlenfolge mit den Zahlen \(6500\) und \(9000\). Es gilt die Regel: Jede weitere Zahl ist die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen. Welche Zahl in dieser Folge ist die erste, die größer als \(100\,000\) ist? An welcher Stelle der Folge steht sie?

Denkanstöße

- Schreibe die Folge Schritt für Schritt auf und nummeriere die Zahlen. - Addiere immer die letzten beiden Ergebnisse, um die nächste Zahl zu erhalten. - Höre erst auf, wenn dein Ergebnis mehr als \(100\,000\) beträgt.

Lösung

1. Die Folge geht so weiter: 3. Zahl: \(6500 + 9000 = 15\,500\) 4. Zahl: \(9000 + 15\,500 = 24\,500\) 5. Zahl: \(15\,500 + 24\,500 = 40\,000\) 6. Zahl: \(24\,500 + 40\,000 = 64\,500\) 7. Zahl: \(40\,000 + 64\,500 = 104\,500\) 2. \(104\,500 > 100\,000\). Damit ist die 7. Zahl die erste Zahl über \(100\,000\).

Antwort

Die 7. Zahl ist die erste, die größer als \(100\,000\) ist. Sie lautet \(104\,500\).
4170894
Addiere alle Fünferzahlen von \(5\) bis \(100\): \(5 + 10 + 15 + \dots + 95 + 100\). Es sind insgesamt genau \(20\) Zahlen in dieser Folge. Berechne die Gesamtsumme auf eine geschickte Weise und beschreibe kurz deinen Rechenweg.

Denkanstöße

- Vergleiche die erste mit der letzten Zahl und die zweite mit der vorletzten. - Haben diese Paare dieselbe Summe? - Wie viele Paare entstehen aus \(20\) Zahlen?

Lösung

1. Paare den ersten mit dem letzten Wert, den zweiten mit dem vorletzten und so weiter. Jedes Paar hat dieselbe Summe: \(5 + 100 = 105\), \(10 + 95 = 105\). 2. Aus \(20\) Zahlen entstehen \(10\) solche Paare. 3. Daher beträgt die Gesamtsumme \(10 \cdot 105 = 1050\).

Antwort

\(1050\). Rechenweg: Die \(20\) Zahlen werden zu \(10\) Paaren aus jeweils erster und letzter verbleibender Zahl zusammengefasst. Jedes Paar ergibt \(105\), also \(10 \cdot 105 = 1050\).
4170904
Erstelle Zahlenfolgen nach einer festen Regel: Die ersten beiden Zahlen sind jeweils vorgegeben. Jede weitere Zahl ist die Summe der beiden direkt davorstehenden Zahlen. Die zweite Startzahl ist immer \(20\,000\). Die erste Startzahl wird von Folge zu Folge um \(1000\) größer. Folge 1: \(10\,000, 20\,000, \dots\) Folge 2: \(11\,000, 20\,000, \dots\) Folge 3: \(12\,000, 20\,000, \dots\) Folge 4: \(13\,000, 20\,000, \dots\) Berechne für jede Folge die fünfte Zahl. Wie verändert sich diese von Folge zu Folge?

Denkanstöße

- Berechne jede Folge nach derselben Summenregel bis zur fünften Zahl. - Vergleiche anschließend nur die vier fünften Zahlen miteinander. - Welche Veränderung der ersten Startzahl wiederholt sich von Folge zu Folge, und wie zeigt sie sich später?

Lösung

1. Folge 1 ergibt nacheinander \(30\,000\), \(50\,000\) und als fünfte Zahl \(80\,000\). 2. Folge 2 ergibt \(31\,000\), \(51\,000\) und als fünfte Zahl \(82\,000\). 3. Folge 3 ergibt \(32\,000\), \(52\,000\) und als fünfte Zahl \(84\,000\). 4. Folge 4 ergibt \(33\,000\), \(53\,000\) und als fünfte Zahl \(86\,000\). 5. Die fünften Zahlen steigen von Folge zu Folge jeweils um \(2000\).

Antwort

Die fünften Zahlen lauten \(80\,000\), \(82\,000\), \(84\,000\) und \(86\,000\). Sie vergrößern sich jeweils um \(2000\).
4170914
Setze die Zahlenfolgen bis zur fünften Zahl fort. Nutze die Regel: Eine Zahl ist immer die Summe der beiden direkt davorstehenden Zahlen. Die erste Startzahl ist immer \(50\,000\). Die zweite Startzahl wird von Folge zu Folge um \(10\,000\) größer. a) \(50\,000, 10\,000, \dots\) b) \(50\,000, 20\,000, \dots\) c) \(50\,000, 30\,000, \dots\) d) \(50\,000, 40\,000, \dots\) Untersuche die fünfte Zahl: Um wie viel vergrößert sie sich jeweils von Folge zu Folge?

Denkanstöße

- Addiere immer die letzten beiden Zahlen, um die nächste zu finden. - Führe jede Folge bis genau zur fünften Zahl weiter. - Vergleiche anschließend nur die fünften Zahlen der vier Folgen miteinander.

Lösung

1. Folge a: \(50\,000, 10\,000, 60\,000, 70\,000, 130\,000\). 2. Folge b: \(50\,000, 20\,000, 70\,000, 90\,000, 160\,000\). 3. Folge c: \(50\,000, 30\,000, 80\,000, 110\,000, 190\,000\). 4. Folge d: \(50\,000, 40\,000, 90\,000, 130\,000, 220\,000\). 5. \(160\,000 - 130\,000 = 30\,000\), \(190\,000 - 160\,000 = 30\,000\) und \(220\,000 - 190\,000 = 30\,000\). Die fünfte Zahl wächst also von Folge zu Folge jeweils um \(30\,000\).

Antwort

a) \(50\,000, 10\,000, 60\,000, 70\,000, 130\,000\) b) \(50\,000, 20\,000, 70\,000, 90\,000, 160\,000\) c) \(50\,000, 30\,000, 80\,000, 110\,000, 190\,000\) d) \(50\,000, 40\,000, 90\,000, 130\,000, 220\,000\) Die fünfte Zahl vergrößert sich jeweils um \(30\,000\).
4192194
Berechne die Ergebnisse dieser drei Aufgaben: a) \(240 \cdot 13\) b) \(24 \cdot 130\) c) \(240 \cdot 130\) Vergleiche anschließend die drei Produkte. Erkläre, warum a) und b) gleich sind und warum c) zehnmal so groß ist.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst nur, wie sich die beiden Faktoren von a) zu b) verändern. - Was passiert mit einem Produkt, wenn ein Faktor durch \(10\) geteilt und der andere mit \(10\) multipliziert wird? - Vergleiche danach c) mit einem der beiden gleichen Produkte.

Lösung

1. \(240 \cdot 13 = 3120\). 2. \(24 \cdot 130 = 24 \cdot 13 \cdot 10 = 3120\). Gegenüber a) wurde der Faktor \(10\) vom ersten Faktor zum zweiten verschoben; das Produkt bleibt gleich. 3. \(240 \cdot 130 = 24 \cdot 13 \cdot 100 = 31\,200\). Gegenüber a) ist zusätzlich auch der zweite Faktor verzehnfacht, daher ist das Produkt zehnmal so groß.

Antwort

a) \(3120\) b) \(3120\) c) \(31\,200\) a) und b) sind gleich, weil der Faktor \(10\) nur zwischen den beiden Faktoren verschoben wird. c) ist zehnmal so groß wie a) und b), weil gegenüber diesen Aufgaben ein weiterer Faktor \(10\) hinzukommt.
5539584
Auf dem Zahlenstrahl sind die vier Zahlen A, B, C und D markiert. a) Lies ihre Werte ab. b) Untersuche die drei Sprünge von A nach B, von B nach C und von C nach D. Wie verändern sich die Sprungweiten? c) Bestimme die nächste Zahl nach D, wenn dieses Muster fortgesetzt wird.
Abbildung zur Aufgabe 553958

Denkanstöße

- Lies zunächst alle vier markierten Werte unabhängig voneinander ab. - Vergleiche danach nicht die Zahlen selbst, sondern die Abstände zwischen benachbarten Markierungen. - Prüfe, ob sich auch diese Abstände regelmäßig verändern.

Lösung

1. A \(= 300\,000\), B \(= 350\,000\), C \(= 425\,000\), D \(= 525\,000\). 2. Die Sprungweiten sind \(50\,000\), \(75\,000\) und \(100\,000\). Sie wachsen jeweils um \(25\,000\). 3. Die nächste Sprungweite beträgt deshalb \(125\,000\). Die nächste Zahl ist \(525\,000 + 125\,000 = 650\,000\).

Antwort

a) A: \(300\,000\); B: \(350\,000\); C: \(425\,000\); D: \(525\,000\) b) \(50\,000, 75\,000, 100\,000\); die Sprungweite wächst jeweils um \(25\,000\). c) \(650\,000\)
4162584
Finde die Regel dieser Zahlenfolge und setze sie um drei Glieder fort: \(2500, 5000, 4000, 8000, 7000, \dots, \dots, \dots\)

Denkanstöße

- Wie oft passt die erste Zahl in die zweite Zahl? - Was passiert im nächsten Schritt mit dem Ergebnis? - Könnte eine Multiplikation Teil der Regel sein?

Lösung

1. Zuerst wird verdoppelt: \(2500 \cdot 2 = 5000\). 2. Danach werden \(1000\) abgezogen: \(5000 - 1000 = 4000\). 3. Diese beiden Schritte wiederholen sich: \(4000 \cdot 2 = 8000\) und \(8000 - 1000 = 7000\). 4. Deshalb folgen \(7000 \cdot 2 = 14\,000\), \(14\,000 - 1000 = 13\,000\) und \(13\,000 \cdot 2 = 26\,000\).

Antwort

Nächste Zahlen: \(14\,000, 13\,000, 26\,000\). Regel: Rechne abwechselnd \(\cdot 2\) und \(- 1000\).
4164324
Ein „Rechenpaket“ bedeutet: Addiere nacheinander \(1\), \(10\), \(100\), \(1000\), \(10\,000\) und \(100\,000\) zu einer Startzahl. a) Wende dieses Rechenpaket zweimal hintereinander auf \(345\,123\) an. Wie lautet das Endergebnis? b) Starte bei \(100\,000\). Wie oft kannst du das komplette Rechenpaket anwenden, ohne über \(1\,000\,000\) zu kommen?

Denkanstöße

- Fasse zuerst alle Additionen eines vollständigen Pakets zu einem einzigen Zuwachs zusammen. - Für a) brauchst du denselben Zuwachs zweimal. - Für b) vergleiche passende Vielfache dieses Zuwachses mit dem Abstand von der Startzahl bis zur Million.

Lösung

1. Ein vollständiges Paket erhöht die Zahl um \(1 + 10 + 100 + 1000 + 10\,000 + 100\,000 = 111\,111\). 2. Bei a) werden zwei Pakete addiert: \(2 \cdot 111\,111 = 222\,222\). Damit gilt \(345\,123 + 222\,222 = 567\,345\). 3. Bei b) ergeben acht Pakete zusätzlich \(8 \cdot 111\,111 = 888\,888\). Von \(100\,000\) aus erreicht man damit \(988\,888\), also noch nicht mehr als eine Million. 4. Ein neuntes Paket würde weitere \(111\,111\) addieren und zu \(1\,099\,999\) führen. Das ist zu groß. Deshalb sind höchstens \(8\) vollständige Pakete möglich.

Antwort

a) \(567\,345\) b) \(8\)-mal
4170474
Finde die Regel der Aufgabenfolge und setze sie fort. \(9 \cdot 9 + 7 = 88\) \(98 \cdot 9 + 6 = 888\) \(987 \cdot 9 + 5 = 8888\) a) Wie lauten die nächsten beiden Aufgaben? Berechne ihre Ergebnisse. b) Ohne zu rechnen: Wie viele Stellen hat das Ergebnis der 5. Aufgabe in diesem Muster? Begründe kurz.

Denkanstöße

- Schau dir die erste Zahl in jeder Zeile an. Was passiert mit den Ziffern? - Was passiert mit der Zahl, die ganz am Ende addiert wird? - Zähle die Anzahl der Achten im Ergebnis und vergleiche sie mit der Zeilennummer. - Wie viele Stellen hat das Ergebnis der ersten, zweiten und dritten Aufgabe? Siehst du eine Regel?

Lösung

1. Der erste Faktor beginnt bei \(9\) und erhält in jedem Schritt die nächstkleinere Ziffer (\(9\), \(98\), \(987\), ...). Der zweite Faktor bleibt \(9\). Die Zahl am Ende wird pro Schritt um \(1\) kleiner (\(7\), \(6\), \(5\), ...). 2. Die vierte Aufgabe lautet \(9876 \cdot 9 + 4\). Es gilt \(9876 \cdot 9 = 88\,884\) und \(88\,884 + 4 = 88\,888\). 3. Die fünfte Aufgabe lautet \(98\,765 \cdot 9 + 3\). Es gilt \(98\,765 \cdot 9 = 888\,885\) und \(888\,885 + 3 = 888\,888\). 4. Das Ergebnis der 5. Aufgabe hat \(6\) Stellen. Mit jeder neuen Zeile kommt im Ergebnis eine weitere \(8\) hinzu: erst \(2\), dann \(3\), \(4\), \(5\) und schließlich \(6\) Achten.

Antwort

a) \(9876 \cdot 9 + 4 = 88\,888\) und \(98\,765 \cdot 9 + 3 = 888\,888\) b) Das Ergebnis hat \(6\) Stellen, da in jeder neuen Zeile eine weitere \(8\) zum Ergebnis dazukommt.
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<table><tbody><tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td></tr><tr><td>21</td><td>22</td><td>23</td><td>24</td><td>25</td><td>26</td><td>27</td><td>28</td><td>29</td><td>30</td></tr><tr><td>31</td><td>32</td><td>33</td><td>34</td><td>35</td><td>36</td><td>37</td><td>38</td><td>39</td><td>40</td></tr><tr><td>41</td><td>42</td><td>43</td><td>44</td><td>45</td><td>46</td><td>47</td><td>48</td><td>49</td><td>50</td></tr><tr><td>51</td><td>52</td><td>53</td><td>54</td><td>55</td><td>56</td><td>57</td><td>58</td><td>59</td><td>60</td></tr><tr><td>61</td><td>62</td><td>63</td><td>64</td><td>65</td><td>66</td><td>67</td><td>68</td><td>69</td><td>70</td></tr><tr><td>71</td><td>72</td><td>73</td><td>74</td><td>75</td><td>76</td><td>77</td><td>78</td><td>79</td><td>80</td></tr><tr><td>81</td><td>82</td><td>83</td><td>84</td><td>85</td><td>86</td><td>87</td><td>88</td><td>89</td><td>90</td></tr><tr><td>91</td><td>92</td><td>93</td><td>94</td><td>95</td><td>96</td><td>97</td><td>98</td><td>99</td><td>100</td></tr></tbody></table> Wähle ein beliebiges \(3 \times 3\)-Quadrat aus der Hundertertafel aus. 1. Addiere alle \(9\) Zahlen deines gewählten Quadrats. 2. Suche die Zahl genau in der Mitte und multipliziere sie mit \(9\). 3. Vergleiche beide Ergebnisse. Was fällt dir auf? 4. Überprüfe deine Entdeckung an einem anderen \(3 \times 3\)-Quadrat. 5. Erkläre, warum das Muster immer funktioniert.

Denkanstöße

- Wähle zuerst ein Quadrat und schreibe alle neun Zahlen geordnet auf. - Vergleiche Zahlen, die sich im Quadrat genau gegenüberliegen. - Wie weit liegen diese Zahlen jeweils unter und über der mittleren Zahl? - Was ergibt die Summe eines solchen gegenüberliegenden Paares im Vergleich zur Mitte? - Übertrage diese Beobachtung auf alle vier Paare.

Lösung

1. Beispiel mit der Mitte \(25\): Die neun Zahlen sind \(14,15,16,24,25,26,34,35,36\). Ihre Summe ist \(225\), und \(9 \cdot 25 = 225\). 2. Beispiel mit der Mitte \(58\): Die Summe der neun Zahlen ist \(522\), und \(9 \cdot 58 = 522\). 3. In jedem \(3 \times 3\)-Quadrat liegen vier Zahlenpaare einander gegenüber. In jedem Paar liegt eine Zahl genauso weit unter der Mitte wie die andere darüber. 4. Deshalb ergibt jedes gegenüberliegende Paar zusammen genau das Doppelte der mittleren Zahl. Vier Paare ergeben zusammen das Achtfache der Mitte; mit der mittleren Zahl selbst ergibt die Summe das Neunfache der Mitte.

Antwort

Die Summe der neun Zahlen ist immer gleich dem Neunfachen der mittleren Zahl. Eine passende Erklärung nennt die vier gegenüberliegenden Zahlenpaare: Jedes Paar liegt gleich weit unter und über der Mitte und ergibt daher zusammen das Doppelte der Mitte. Vier Paare plus die Mitte ergeben das Neunfache der Mitte.
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Lukas und Mia bilden Zahlenfolgen nach derselben Regel: Jede nächste Zahl ist die Summe der beiden vorherigen. Zuerst starten beide mit \(100\,000\) und \(100\,000\). Die fünfte Zahl dieser Folge ist \(500\,000\). Nun ändert jedes Kind genau eine Startzahl um \(1\): Lukas wählt: \(100\,001, 100\,000, \dots\) Mia wählt: \(100\,000, 100\,001, \dots\) Wer von beiden erhält die größere fünfte Zahl? Begründe deine Antwort durch Ausrechnen beider Folgen.

Denkanstöße

- Rechne beide Folgen ganz genau bis zur fünften Stelle aus. - Achte darauf, welche Zahl sich bei der Addition öfter auswirkt. - Ein kleiner Unterschied am Anfang kann am Ende verschiedene Auswirkungen haben.

Lösung

1. Lukas erhält die Folge \(100\,001, 100\,000, 200\,001, 300\,001, 500\,002\). 2. Mia erhält die Folge \(100\,000, 100\,001, 200\,001, 300\,002, 500\,003\). 3. Es gilt \(500\,003 > 500\,002\). Mia erhält die größere fünfte Zahl.

Antwort

Mia erhält die größere fünfte Zahl. Ihre Folge endet bei \(500\,003\), während die Folge von Lukas bei \(500\,002\) endet.

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