- Prüfe zuerst nur die Größenbedingung. - Schau danach nur auf die Tausenderstelle. - Erst am Ende entscheidest du, ob beide Bedingungen erfüllt sind.

1. \(47\,205 > 40\,000\). Die erste Bedingung ist erfüllt. 2. In \(47\,205\) steht an der Tausenderstelle die Ziffer \(7\). Die zweite Bedingung ist erfüllt. 3. Die Zahl erfüllt beide Bedingungen.

Ja. \(47\,205\) erfüllt beide Bedingungen.

- Prüfe zuerst nur den Größenvergleich. - Schau danach nur auf die Tausenderstelle. - Beide Bedingungen müssten stimmen, damit die Antwort „ja“ ist.

1. \(62\,308 < 70\,000\). Die erste Bedingung ist erfüllt. 2. An der Tausenderstelle von \(62\,308\) steht die Ziffer \(2\), nicht \(3\). Die zweite Bedingung ist nicht erfüllt. 3. Deshalb erfüllt die Zahl nicht beide Bedingungen.

Nein. Die erste Bedingung ist erfüllt, die zweite nicht.

- Prüfe die beiden Vergleiche getrennt. - Für „beide Bedingungen“ müssen beide Vergleiche stimmen. - Achte darauf, welches Vergleichszeichen zu „größer“ und welches zu „kleiner“ passt.

1. \(54\,300 > 50\,000\). 2. \(54\,300 < 60\,000\). 3. Deshalb erfüllt \(54\,300\) beide Bedingungen.

Ja. \(54\,300\) ist größer als \(50\,000\) und kleiner als \(60\,000\).

- Prüfe zuerst jede Bedingung für sich. - Notiere zu jeder Bedingung alle passenden Ziffern. - Vergleiche anschließend die beiden Listen: Nur Ziffern, die in beiden vorkommen, erfüllen beide Bedingungen.

1. Für Bedingung \(1\) gilt: \(3 \cdot 30 = 90\) ist zu klein, \(4 \cdot 30 = 120\) ist groß genug. Damit passen hier \(4, 5, 6, 7, 8, 9\). 2. Für Bedingung \(2\) gilt: \(6 \cdot 80 = 480\) passt, \(7 \cdot 80 = 560\) ist zu groß. Damit passen hier \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\). 3. In beiden Listen stehen die Ziffern \(4, 5, 6\). Genau sie erfüllen beide Bedingungen gleichzeitig.

\(4, 5, 6\)

- Schau bei jeder Ungleichung, zwischen welchen beiden Zahlen das Produkt liegen muss. - Du kannst beim Überlegen die Nullen zunächst weglassen und später wieder ergänzen. - Probiere einstellige Zahlen aus und prüfe danach beide Grenzen.

1. Bei a) passt \(9\), denn \(9 \cdot 4000 = 36\,000\). Dieser Wert liegt zwischen \(35\,000\) und \(38\,000\). 2. Bei b) passt \(6\), denn \(6 \cdot 80\,000 = 480\,000\). Dieser Wert liegt zwischen \(450\,000\) und \(500\,000\). 3. Bei c) passt \(3\), denn \(3 \cdot 50\,000 = 150\,000\). Dieser Wert liegt zwischen \(120\,000\) und \(200\,000\).

a) \(9\) b) \(6\) c) \(3\)

- Prüfe zuerst nur die Bedingung zum Größenbereich. - Betrachte danach bei den übrig gebliebenen Zahlen die geforderte Stelle. - Die gesuchte Zahl muss beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Zwischen \(350\,000\) und \(370\,000\) liegen aus der Liste \(352\,000\) und \(362\,000\). 2. Nur \(362\,000\) hat in der Zehntausenderstelle die Ziffer \(6\).

\(362\,000\)

- Prüfe die Bedingungen nacheinander und streiche nur Zahlen, die sicher nicht passen. - Achte bei den Stellenbedingungen genau darauf, welche Ziffer zu welcher Stelle gehört. - Kontrolliere am Ende, ob die letzte Zahl wirklich alle drei Bedingungen erfüllt.

1. \(441\,620\) liegt nicht im gesuchten Zahlenbereich. 2. Bei \(432\,160\) steht an der Tausenderstelle keine \(1\). 3. Von den übrigen Zahlen hat nur \(431\,620\) die Ziffer \(6\) an der Hunderterstelle.

\(431\,620\)

- Prüfe zuerst, welche Zahlen aus der Liste auf \(360\,000\) gerundet werden. - Schau bei diesen Zahlen danach auf die Zehntausenderstelle. - Die gesuchte Zahl muss beide Bedingungen erfüllen.

1. Auf \(360\,000\) runden sich aus der Liste \(356\,700\) und \(362\,100\). 2. Bei \(356\,700\) steht an der Zehntausenderstelle die Ziffer \(5\); bei \(362\,100\) steht dort die Ziffer \(6\). 3. Damit erfüllt nur \(356\,700\) beide Bedingungen.

\(356\,700\)

- Prüfe bei A, was die erste Größenbedingung schon sicher aussagt. - Bei B: Überlege, in welchem Bereich Zahlen mit \(5\) an der Hunderttausenderstelle liegen. - Eine Bedingung ist unnötig, wenn die anderen sie schon sicher mit erfüllen.

1. Bei A sagt die erste Bedingung schon, dass die Zahl kleiner als \(450\,000\) ist. Damit ist sie auf jeden Fall auch kleiner als \(500\,000\). Die letzte Bedingung wird nicht gebraucht. 2. Bei B kann keine Zahl passen. Eine Zahl mit \(5\) an der Hunderttausenderstelle ist mindestens \(500\,000\). Das passt nicht zur Forderung, kleiner als \(450\,000\) zu sein.

A: Nicht gebraucht wird „Die Zahl ist kleiner als \(500\,000\)“. B: Nein. Die beiden Bedingungen passen nicht zusammen.

- Suche zuerst eine Bedingung, die genau zwei oder drei Zahlen übrig lässt. - Die zweite Bedingung soll einige andere Zahlen ausschließen. - Prüfe zum Schluss auch, dass keine der beiden Bedingungen allein schon genügt.

1. Eine mögliche erste Bedingung ist: Die Zahl ist größer als \(480\,000\) und kleiner als \(500\,000\). Dann bleiben \(482\,716\) und \(482\,761\). 2. Eine mögliche zweite Bedingung ist: An der Einerstelle steht die Ziffer \(6\). Dann bleiben \(482\,716\), \(428\,716\) und \(582\,716\). 3. Nur \(482\,716\) erfüllt beide Bedingungen zugleich. Keine der beiden Bedingungen reicht allein aus.

Eine mögliche Lösung: - Die Zahl ist größer als \(480\,000\) und kleiner als \(500\,000\). - An der Einerstelle steht die Ziffer \(6\). Nur zusammen bestimmen die beiden Bedingungen \(482\,716\) eindeutig.

- Prüfe die Bedingungen nacheinander, wie es in der Aufgabe steht. - Nach der ersten Bedingung sollen noch mehrere Zahlen übrig sein. - Schau bei den übrigen Zahlen nur auf die Hunderterstelle.

1. \(35\,420\) ist nicht größer als \(36\,000\) und fällt weg. 2. \(36\,240\) und \(36\,420\) erfüllen die erste Bedingung. 3. Bei \(36\,240\) steht an der Hunderterstelle die Ziffer \(2\); bei \(36\,420\) steht dort die Ziffer \(4\). 4. Deshalb bleibt nur \(36\,420\) übrig.

\(36\,420\)

- Welche Stelle im Stellenwertsystem ist die Zehntausenderstelle? - Wenn eine Zahl so klein wie möglich sein soll, wie sortierst du dann die restlichen Ziffern? - Welche Ziffern kommen für die Hunderttausenderstelle infrage, wenn die Zahl größer als \(500\,000\) sein muss?

1. Die Zehntausenderstelle ist fest vorgegeben: An der zweiten Stelle von links steht die \(1\). 2. Die Zahl muss größer als \(500\,000\) sein. Für die Hunderttausenderstelle kommen also \(5\), \(7\) oder \(9\) infrage. Damit die Zahl möglichst klein wird, steht dort die \(5\). 3. Übrig bleiben \(4, 5, 7, 9\). In aufsteigender Reihenfolge ergeben sie an den restlichen Stellen die kleinste mögliche Zahl: \(514\,579\).

\(514\,579\)

- Überlege zuerst, welche Ziffer an der ersten Stelle (Hunderttausender) stehen muss, damit die Zahl im gesuchten Bereich liegt. - Suche dann in der Ziffernliste nach zwei Zahlen, bei denen die eine genau das Doppelte der anderen ist. - Schau dir die restlichen Ziffern an und finde ein Paar, dessen Unterschied genau 3 beträgt. - Die Ziffer, die am Ende übrig bleibt, füllt die letzte freie Stelle aus.

1. Da die Zahl zwischen \(400\,000\) und \(500\,000\) liegt, muss die Hunderttausenderziffer eine \(4\) sein. 2. Die verbleibenden Ziffern sind \(3, 5, 6, 8, 9\). 3. Für die Bedingung „Tausenderziffer ist das Doppelte der Einerziffer“ kommt aus den Restziffern nur das Paar \(6\) (Tausender) und \(3\) (Einer) infrage. 4. Verbleibende Ziffern: \(5, 8, 9\). 5. Die Zehnerziffer ist um \(3\) kleiner als die Hunderterziffer. Das passt nur für das Paar \(8\) (Hunderter) und \(5\) (Zehner). 6. Die letzte übrig gebliebene Ziffer \(9\) muss an der Zehntausenderstelle stehen.

\(496\,853\)

- Was verrät dir die Information „größer als \(900\,000\)“ über die erste Ziffer? - Woran erkennst du an der letzten Ziffer, ob eine Zahl gerade ist? - Welche zwei der gegebenen Ziffern ergeben zusammen 8? - Denke daran, dass eine Ziffer doppelt vorkommt und an verschiedenen Stellen stehen könnte.

1. Da die Zahl größer als \(900\,000\) ist, muss die Hunderttausenderziffer \(9\) sein. 2. Da die Zahl gerade ist, muss die Einerziffer \(2\) sein (die einzige gerade Ziffer im Satz). 3. Verbleibende Ziffern für die restlichen Stellen: \(1, 1, 5, 7\). 4. Die Summe aus Zehntausender- (ZT) und Tausenderziffer (T) ist \(8\). Die einzige Kombination aus den Restziffern ist \(1 + 7 = 8\). Es gibt zwei Möglichkeiten: ZT=\(1\), T=\(7\) oder ZT=\(7\), T=\(1\). 5. Für die verbleibenden Stellen (Hunderter und Zehner) bleiben in jedem Fall die Ziffern \(1\) und \(5\) übrig. Auch hier gibt es jeweils zwei Kombinationen. 6. Kombinationen für ZT=\(1\), T=\(7\): \(917\,152\) und \(917\,512\). 7. Kombinationen für ZT=\(7\), T=\(1\): \(971\,152\) und \(971\,512\).

\(917\,152, 917\,512, 971\,152, 971\,512\)

- Bestimme zuerst die ersten beiden Stellen durch den Zahlenbereich. - Was muss an der Einerstelle stehen, damit die Zahl durch 10 teilbar ist? - Sortiere die übrig gebliebenen Ziffern und schaue, welche zwei einen Abstand von 2 haben. - Setze die letzte Ziffer an den verbleibenden Platz.

1. Der Bereich zwischen \(240\,000\) und \(250\,000\) legt fest: Hunderttausender = \(2\), Zehntausender = \(4\). 2. Teilbarkeit durch \(10\) bedeutet, dass die Einerstelle eine \(0\) sein muss. 3. Verbleibende Ziffern für Tausender (T), Hunderter (H) und Zehner (Z): \(5, 6, 8\). 4. Die Bedingung „Tausender um \(2\) größer als Hunderter“ lässt bei den Restziffern nur \(8\) (Tausender) und \(6\) (Hunderter) zu. 5. Die letzte freie Ziffer \(5\) wird an der Zehnerstelle platziert.

\(248\,650\)

- Nutze die Rechenbedingung zuerst, um den möglichen Zahlenbereich kleiner zu machen. - Suche danach in diesem Bereich nur Zahlen aus der \(25\)er-Reihe. - Die Zehnerziffer entscheidet zwischen den Zahlen, die dann noch übrig sind.

1. Aus der dritten Bedingung folgt: Vor dem Teilen durch \(5\) muss der Wert größer als \(200\) und kleiner als \(300\) sein. 2. Deshalb muss die gesuchte Zahl größer als \(350\) und kleiner als \(450\) sein. 3. Die Vielfachen von \(25\) in diesem Bereich sind \(375\), \(400\) und \(425\). 4. Nur \(375\) hat an der Zehnerstelle die Ziffer \(7\). 5. Probe: \(375 - 150 = 225\) und \(225 : 5 = 45\). \(45\) liegt zwischen \(40\) und \(60\).

\(375\)

- Wenn du weißt, in welchem Bereich die Hälfte der Zahl liegt, kannst du dann den Bereich der ganzen Zahl bestimmen? - Schau dir die Hunderterstelle im gefundenen Bereich genau an. - Wie oft passt die Einerziffer in die Hunderterziffer? - Nutze eine Stellenwerttafel, um die Ziffern einzutragen.

1. Wenn die Hälfte zwischen \(220\) und \(230\) liegt, muss die ganze Zahl zwischen \(440\) und \(460\) liegen. 2. Deshalb ist die Hunderterziffer \(4\). 3. Die Hunderterziffer ist doppelt so groß wie die Einerziffer. Also ist die Einerziffer \(2\). 4. Die Zehnerziffer ist vorgegeben und lautet \(4\). Damit entsteht die Zahl \(442\). 5. Probe: \(442 : 2 = 221\). Das liegt zwischen \(220\) und \(230\).

Die Zahl heißt \(442\).

- Schreibe zuerst alle Vielfachen von \(8\) auf, die im angegebenen Bereich liegen. - Prüfe die gefundenen Zahlen anschließend einzeln mit einer Division durch \(3\). - Behalte nur Zahlen, bei denen diese Division ohne Rest aufgeht.

1. Die Vielfachen von \(8\) zwischen \(50\) und \(100\) sind \(56,64,72,80,88,96\). 2. Davon lassen sich \(72\) und \(96\) ohne Rest durch \(3\) teilen: \(72 : 3 = 24\) und \(96 : 3 = 32\). 3. Daher kommen genau \(72\) und \(96\) infrage.

\(72\) und \(96\)

- Wenn eine Zahl klein sein soll, welche Ziffern sollten dann an den vorderen Stellen stehen? - Denke daran, dass eine fünfstellige Zahl immer eine Ziffer größer als Null ganz vorne braucht. - Was wäre der Unterschied zwischen \(01234\) und \(1234\)? - Gehe die Stellen von links nach rechts durch und setze die kleinstmöglichen verfügbaren Ziffern ein.

1. An der Zehnerstelle muss die \(9\) stehen. 2. Ganz vorn kann keine \(0\) stehen. Für die kleinste mögliche Zahl kommt dort deshalb die \(3\) hin. 3. Übrig bleiben \(0, 0, 5\). Die beiden Nullen kommen an Tausender- und Hunderterstelle, die \(5\) an die Einerstelle. So entsteht \(30\,095\). 4. Die Zahl hat \(3\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(0\) Hunderter, \(9\) Zehner und \(5\) Einer. 5. Eine Null am Anfang wird nicht als eigene Stelle gezählt. Aus \(03095\) würde die vierstellige Zahl \(3095\) werden.

a) \(30\,095\) b) \(3\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(0\) Hunderter, \(9\) Zehner, \(5\) Einer. c) Eine führende Null wird nicht gewertet; die Zahl wäre dann nur vierstellig (z. B. \(3095\)).

- Zeichne dir sechs Striche für die Stellen der Zahl auf. - Gehe die Hinweise nacheinander durch und fülle die Lücken. - Was bedeutet „Differenz“ in der Mathematik? - Wenn eine Stelle „nicht vorhanden“ ist, welche Ziffer schreibt man dann?

1. An der Hunderttausenderstelle steht die \(4\). 2. Die Zehntausenderziffer ist um \(2\) größer: \(4 + 2 = 6\). 3. Es gibt keine Tausender, also steht an der Tausenderstelle die \(0\). 4. Die Hunderterziffer ist halb so groß wie \(6\), also \(3\). 5. An der Zehnerstelle steht die \(0\). 6. Die Einerziffer ist \(6 - 4 = 2\). 7. Damit lautet die Zahl \(460\,302\). Als Zahlwort heißt sie vierhundertsechzigtausenddreihundertzwei.

Ziffern: \(460\,302\) Zahlwort: vierhundertsechzigtausenddreihundertzwei

- Erstelle dir eine Stellenwerttafel mit den Spalten HT, ZT, T, H, Z und E. - Trage die Bedingungen nacheinander an den passenden Stellen ein. - Wenn für einen Stellenwert ausdrücklich \(0\) gilt, muss diese Null in der Ziffernschreibweise erhalten bleiben. - Lies die fertige Zahl anschließend als Ganzes, um dein Zahlwort zu prüfen.

1. An der Hunderttausenderstelle steht \(8\). 2. Die Tausenderziffer ist halb so groß: \(8 : 2 = 4\). 3. An der Zehnerstelle steht \(7\); an Zehntausender-, Hunderter- und Einerstelle steht jeweils \(0\). 4. Die Ziffernfolge ist damit \(804\,070\). 5. Das Zahlwort lautet „achthundertviertausendsiebzig“.

Ziffern: \(804\,070\) Zahlwort: achthundertviertausendsiebzig

- Prüfe jede der vier Bedingungen zuerst einzeln an der gegebenen Zahl. - In Teil b) darfst du nur eine Ziffer ändern. Welche beiden Stellen kommen in der nicht erfüllten Bedingung vor? - Eine Änderung passt nur, wenn danach auch die anderen drei Bedingungen weiterhin stimmen. - Prüfe jede gefundene Zahl am Ende noch einmal an allen vier Bedingungen.

1. \(643\,251\) liegt zwischen \(600\,000\) und \(700\,000\), hat die Ziffer \(4\) in der Zehntausenderstelle und die ungerade Einerziffer \(1\). Diese drei Bedingungen sind erfüllt. 2. In der Tausenderstelle steht \(3\), in der Hunderterstelle \(2\). Die Differenz beträgt nur \(1\); Bedingung \(3\) ist nicht erfüllt. 3. Wird die Tausenderziffer von \(3\) auf \(4\) geändert, entsteht \(644\,251\). Dann gilt \(4 = 2 + 2\). 4. Wird stattdessen die Hunderterziffer von \(2\) auf \(1\) geändert, entsteht \(643\,151\). Dann gilt \(3 = 1 + 2\). 5. Änderungen an anderen Stellen ändern die Beziehung zwischen Tausender- und Hunderterziffer nicht. Deshalb sind dies alle Möglichkeiten mit genau einer geänderten Ziffer.

a) Bedingung \(3\) ist nicht erfüllt. b) Möglich sind \(644\,251\) und \(643\,151\).

- Prüfe die Bedingungen nacheinander und behalte nur Karten, die weiterhin passen. - Achte genau darauf, welche Ziffer an der Tausender- und welche an der Hunderterstelle steht. - Für b) zählt, wie viele verschiedene Karten nach allen drei Bedingungen übrig bleiben.

1. Die erste Bedingung erfüllen A, B, C und D; E liegt über \(490\,000\). 2. Von diesen Karten haben A, B und C die Ziffer \(2\) an der Tausenderstelle. Bei D steht dort die \(3\). 3. Von A, B und C haben nur A und B die Ziffer \(3\) an der Hunderterstelle. 4. Also erfüllen A und B alle drei Bedingungen. Weil zwei verschiedene Zahlen übrig bleiben, ist die Zahl nicht eindeutig bestimmt.

a) A: \(482\,350\) und B: \(482\,305\) b) Nein. Zwei verschiedene Karten erfüllen alle drei Bedingungen, also ist die Zahl nicht eindeutig bestimmt.

- Beginne mit zwei gleich großen Teilen der Gesamtsumme. - Wenn du denselben Betrag von einer Zahl wegnimmst und zur anderen dazugibst, bleibt die Summe gleich. - Überlege, wie sich der Abstand zwischen den beiden Zahlen verändert, wenn du einen Betrag von der einen zur anderen verschiebst.

1. Zwei gleich große Zahlen mit der Summe \(180\,000\) wären jeweils \(90\,000\). 2. Damit zwischen den beiden Zahlen ein Unterschied von \(40\,000\) entsteht, muss die Hälfte dieses Unterschieds von der einen Zahl zur anderen verschoben werden. Das sind \(20\,000\). 3. Die kleinere Zahl ist \(90\,000 - 20\,000 = 70\,000\), die größere Zahl ist \(90\,000 + 20\,000 = 110\,000\). 4. Kontrolle: \(70\,000 + 110\,000 = 180\,000\) und \(110\,000 - 70\,000 = 40\,000\).

a) Je \(90\,000\) b) \(20\,000\) c) \(70\,000\) und \(110\,000\)

- Welche Ziffern müssen an den ersten Stellen stehen, damit die Zahl überhaupt in den Bereich von \(844\,100\) kommt? - Wie viele Möglichkeiten hast du für die restlichen Stellen, wenn die ersten drei Ziffern feststehen? - Prüfe jede deiner gelegten Zahlen: Ist sie wirklich größer als der vorgegebene Wert?

1. Damit die Zahl größer als \(844\,100\) werden kann, müssen die ersten drei Ziffern \(8\), \(4\) und \(4\) sein. 2. Für die letzten drei Stellen bleiben \(0\), \(1\) und \(2\). 3. Damit sind die Endungen \(012, 021, 102, 120, 201, 210\) möglich. 4. \(844\,012\) und \(844\,021\) sind kleiner als \(844\,100\) und fallen weg. 5. Übrig bleiben \(844\,102\), \(844\,120\), \(844\,201\) und \(844\,210\).

\(844\,102 < 844\,120 < 844\,201 < 844\,210\)

- Arbeite die Rechenkette rückwärts, um den möglichen Zahlenbereich kleiner zu machen. - Prüfe danach nur die Vielfachen von \(5000\), die in diesem Bereich liegen. - Schau zuletzt auf die Tausenderstelle und kontrolliere die gefundene Zahl mit der Rechenkette.

1. Wir arbeiten die Rechenkette rückwärts. Vor dem Abziehen von \(2000\) muss der Wert größer als \(5850\) und kleiner als \(6300\) sein. 2. Vor dem Verdreifachen muss der Wert größer als \(1950\) und kleiner als \(2100\) sein. Vor dem Addieren von \(350\) liegt er also zwischen \(1600\) und \(1750\). 3. Dieser Wert ist die gesuchte Zahl geteilt durch \(100\). Die Zahl selbst muss deshalb größer als \(160\,000\) und kleiner als \(175\,000\) sein. 4. Die Vielfachen von \(5000\) in diesem Bereich sind \(165\,000\) und \(170\,000\). 5. Bei \(165\,000\) steht an der Tausenderstelle die \(5\). Bei \(170\,000\) steht dort die \(0\). Gesucht ist also \(170\,000\). 6. Probe: \(170\,000 : 100 = 1700\), \(1700 + 350 = 2050\), \(2050 \cdot 3 = 6150\), \(6150 - 2000 = 4150\). \(4150\) liegt zwischen \(3850\) und \(4300\).

\(170\,000\)

- Was bedeutet das Wort „Differenz“ in dieser Aufgabe? - Wenn du die Differenz von der Summe abziehst, hättest du zwei gleich große Zahlen. Wie hilft dir das weiter? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben deine beiden Zahlen zusammen wirklich die gesuchte Summe?

1. Addiert man Summe und Unterschied, erhält man \(752\,300 + 48\,100 = 800\,400\). 2. Die Hälfte davon ist die größere Zahl: \(800\,400 : 2 = 400\,200\). 3. Die kleinere Zahl erhält man, indem man den Unterschied von der größeren Zahl abzieht: \(400\,200 - 48\,100 = 352\,100\). 4. Probe: \(400\,200 + 352\,100 = 752\,300\).

Die Zahlen lauten \(400\,200\) und \(352\,100\).