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- Prüfe zuerst nur die Bedingung zum Größenbereich. - Betrachte danach bei den übrig gebliebenen Zahlen die geforderte Stelle. - Die gesuchte Zahl muss beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Zwischen \(350\,000\) und \(370\,000\) liegen aus der Liste \(352\,000\) und \(362\,000\). 2. Nur \(362\,000\) hat in der Zehntausenderstelle die Ziffer \(6\).

\(362\,000\)

- Ordne die Ziffern für die größte Zahl von der größten zur kleinsten und für die kleinste Zahl umgekehrt. - Das Wort „Unterschied“ weist dich darauf hin, dass du eine Differenz berechnen sollst. - Schreibe für Teil c) zunächst nur die Struktur \(\text{größte Zahl} - \Box = 80\,000\) auf und arbeite von dort rückwärts.

1. Größte Zahl: \(97\,531\), kleinste Zahl: \(13\,579\). Differenz: \(97\,531 - 13\,579 = 83\,952\). 2. Abstand zu \(50\,000\): \(50\,000 - 13\,579 = 36\,421\). 3. Gesuchte Zahl \(x\): \(97\,531 - x = 80\,000\). Rechnung: \(97\,531 - 80\,000 = 17\,531\).

a) \(97\,531 - 13\,579 = 83\,952\) b) \(36\,421\) c) \(17\,531\)

- Überlege dir die passende Reihe des Einmaleins ohne die Nullen. - Hilft es dir, die Umkehroperation im Kopf zu überschlagen? - Achte genau darauf, ob das Produkt kleiner oder größer als die jeweilige Zielzahl sein soll.

1. Bei a) gilt \(6 \cdot 40 = 240 < 250\), aber \(7 \cdot 40 = 280 > 250\). Daher passen die Ziffern \(0\) bis \(6\). 2. Bei b) gilt \(5 \cdot 700 = 3500 < 4000\), aber \(6 \cdot 700 = 4200 > 4000\). Daher passen die Ziffern \(6, 7, 8, 9\). 3. Bei c) gilt \(8 \cdot 90 = 720 < 800\), aber \(9 \cdot 90 = 810 > 800\). Daher passen die Ziffern \(0\) bis \(8\).

a) \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) b) \(6, 7, 8, 9\) c) \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\)

- Welche Zahl aus der Einerreihe der Malzahl hilft dir, in die Nähe der großen Zielzahl zu kommen? - Du kannst die Nullen beim Überlegen erst einmal weglassen und später wieder hinzufügen. - Probiere verschiedene einstellige Zahlen aus und rechne das Ergebnis aus. - Achte darauf, dass dein Ergebnis wirklich größer als die erste und kleiner als die zweite Zahl ist.

1. Für a) wird eine Zahl gesucht, die mit \( 4000 \) multipliziert zwischen \( 35\,000 \) und \( 38\,000 \) liegt. Durch Probieren oder Division ergibt sich \( 4000 \cdot 9 = 36\,000 \). Andere einstellige Zahlen wie \( 8 \) (\( 32\,000 \)) oder \( 10 \) (nicht einstellig) passen nicht. 2. Für b) wird ein Faktor für \( 80\,000 \) gesucht. \( 80\,000 \cdot 6 = 480\,000 \). Dies liegt im Bereich von \( 450\,000 \) bis \( 500\,000 \). 3. Für c) wird ein Faktor für \( 50\,000 \) gesucht. \( 50\,000 \cdot 3 = 150\,000 \). Dieser Wert liegt zwischen \( 120\,000 \) und \( 200\,000 \).

a) \( 9 \) b) \( 6 \) c) \( 3 \)

- An welcher Stelle im Stellenwertsystem ist eine Ziffer am wertvollsten? - Überlege dir eine Reihenfolge für die Ziffern, um den Wert der Zahl so groß wie möglich zu machen. - Was bedeutet der Begriff „Nachfolger“ in der Mathematik?

1. Um die größtmögliche Zahl zu bilden, müssen die höchsten Stellenwerte mit den größten verfügbaren Ziffern besetzt werden. Für die Hunderttausender-Stelle wählt man die \(9\), für die Zehntausender die \(8\), für die Tausender die \(7\), für die Hunderter die \(6\), für die Zehner die \(5\) und für die Einer die \(4\). Die Zahl lautet \(987\,654\). 2. Der Nachfolger einer Zahl wird durch die Addition von \(1\) berechnet: \(987\,654 + 1 = 987\,655\).

a) \(987\,654\) b) \(987\,655\)

- Prüfe die Bedingungen nacheinander und streiche jeweils nur sicher unpassende Kandidaten. - Achte bei Stellenbedingungen genau darauf, welche Ziffer zu welcher Stelle gehört. - Kontrolliere am Ende, ob der letzte Kandidat wirklich alle drei Bedingungen erfüllt.

1. Wegen des Größenbereichs scheidet \(441\,620\) aus. 2. Wegen der Tausenderstelle scheidet \(432\,160\) aus. 3. Von den verbleibenden Zahlen hat nur \(431\,620\) die Ziffer \(6\) in der Hunderterstelle.

Gesucht ist \(431\,620\).

- Prüfe die beiden Bedingungen nacheinander und streiche Kandidaten erst dann aus. - Für die Rundungsbedingung hilft dir das Intervall aller Zahlen, die auf denselben Zehntausender gerundet werden. - Kontrolliere bei den verbleibenden Zahlen die verlangte Stellenwertziffer.

1. Auf \(360\,000\) runden sich aus der Liste \(356\,700\) und \(362\,100\). 2. Bei \(356\,700\) steht an der Zehntausenderstelle die Ziffer \(5\); bei \(362\,100\) steht dort die Ziffer \(6\). 3. Damit erfüllt nur \(356\,700\) beide Bedingungen.

\(356\,700\)

- Woran erkennst du, ob eine Zahl ungerade ist? - Wenn du die größte Zahl suchst, welche Ziffern sollten dann möglichst weit vorne stehen? - Was musst du bei der Einerstelle beachten, damit die Bedingung „ungerade“ erfüllt bleibt?

1. Eine ungerade Zahl muss auf \(5\), \(7\) oder \(9\) enden. Für die größte Zahl wird die kleinste dieser ungeraden Ziffern (\(5\)) an die Einerstelle gesetzt, um die großen Ziffern für die vorderen Stellen zu behalten. Die restlichen Ziffern werden absteigend sortiert: \(987\,225\). 2. Für die kleinste ungerade Zahl wird die größte ungerade Ziffer (\(9\)) an die Einerstelle gesetzt, damit die kleineren Ziffern vorne stehen können. Die restlichen Ziffern werden aufsteigend sortiert: \(225\,789\).

a) \(987\,225\) b) \(225\,789\)

- Überlege dir für die größte Zahl, welche Ziffer an der höchsten Stelle stehen muss. - Wie gehst du vor, um eine möglichst kleine Zahl zu bilden? - Bei der Suche nach der nächsten Zahl hilft es, eine Zahl knapp unter und eine knapp über dem Zielwert zu vergleichen.

1. Für die größte Zahl werden die Ziffern absteigend sortiert: \(876\,432\). 2. Für die kleinste Zahl werden die Ziffern aufsteigend sortiert: \(234\,678\). 3. Um möglichst nah an \(500\,000\) zu liegen, werden Zahlen gesucht, die mit \(4\) (kleiner als \(500\,000\)) oder \(6\) (größer als \(500\,000\)) beginnen. 4. Die größte Zahl mit einer \(4\) an der Hunderttausenderstelle ist \(487\,632\). Der Abstand beträgt \(500\,000 - 487\,632 = 12\,368\). 5. Die kleinste Zahl mit einer \(6\) an der Hunderttausenderstelle ist \(623\,478\). Der Abstand beträgt \(623\,478 - 500\,000 = 123\,478\). 6. Da \(12\,368 < 123\,478\), ist \(487\,632\) die gesuchte Zahl.

a) \(876\,432\) b) \(234\,678\) c) \(487\,632\)

- Welche Ziffer muss an der ersten Stelle stehen, damit die Zahl knapp unter \(600\,000\) liegt? - Wie müssen die anderen Ziffern angeordnet sein, damit die Zahl so groß wie möglich wird? - Verfahre genauso für die Zahl, die knapp über \(600\,000\) liegt. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Zahlen?

1. Zahl A (kleiner als \(600\,000\)): Sie muss mit der nächstkleineren Ziffer \(5\) beginnen. Um nah an den Zielwert zu kommen, müssen die restlichen Stellen so groß wie möglich sein: \(597\,610\). 2. Berechnung des Abstands für Zahl A: \(600\,000 - 597\,610 = 2390\). 3. Zahl B (größer als \(600\,000\)): Sie muss mit der Ziffer \(6\) beginnen. Um nah an den Zielwert zu kommen, müssen die restlichen Stellen so klein wie möglich sein: \(601\,579\). 4. Berechnung des Abstands für Zahl B: \(601\,579 - 600\,000 = 1579\). 5. Vergleich: Da \(1579 < 2390\), liegt Zahl B (\(601\,579\)) näher an \(600\,000\).

Zahl A: \(597\,610\) (Abstand \(2390\)) Zahl B: \(601\,579\) (Abstand \(1579\)) Zahl B liegt näher an \(600\,000\).

- Überlege zuerst, welche Ziffer an der ersten Stelle (Hunderttausender) stehen muss, damit die Zahl im gesuchten Bereich liegt. - Suche dann in der Ziffernliste nach zwei Zahlen, bei denen die eine genau das Doppelte der anderen ist. - Schau dir die restlichen Ziffern an und finde ein Paar, dessen Unterschied genau 3 beträgt. - Die Ziffer, die am Ende übrig bleibt, füllt die letzte freie Stelle aus.

1. Da die Zahl zwischen \(400\,000\) und \(500\,000\) liegt, muss die Hunderttausenderziffer eine \(4\) sein. 2. Die verbleibenden Ziffern sind \(3, 5, 6, 8, 9\). 3. Für die Bedingung „Tausenderziffer ist das Doppelte der Einerziffer“ kommt aus den Restziffern nur das Paar \(6\) (Tausender) und \(3\) (Einer) infrage. 4. Verbleibende Ziffern: \(5, 8, 9\). 5. Die Zehnerziffer ist um \(3\) kleiner als die Hunderterziffer. Das passt nur für das Paar \(8\) (Hunderter) und \(5\) (Zehner). 6. Die letzte übrig gebliebene Ziffer \(9\) muss an der Zehntausenderstelle stehen.

\(496\,853\)

- Was verrät dir die Information „größer als \(900\,000\)“ über die erste Ziffer? - Woran erkennst du an der letzten Ziffer, ob eine Zahl gerade ist? - Welche zwei der gegebenen Ziffern ergeben zusammen 8? - Denke daran, dass eine Ziffer doppelt vorkommt und an verschiedenen Stellen stehen könnte.

1. Da die Zahl größer als \(900\,000\) ist, muss die Hunderttausenderziffer \(9\) sein. 2. Da die Zahl gerade ist, muss die Einerziffer \(2\) sein (die einzige gerade Ziffer im Satz). 3. Verbleibende Ziffern für die restlichen Stellen: \(1, 1, 5, 7\). 4. Die Summe aus Zehntausender- (ZT) und Tausenderziffer (T) ist \(8\). Die einzige Kombination aus den Restziffern ist \(1 + 7 = 8\). Es gibt zwei Möglichkeiten: ZT=\(1\), T=\(7\) oder ZT=\(7\), T=\(1\). 5. Für die verbleibenden Stellen (Hunderter und Zehner) bleiben in jedem Fall die Ziffern \(1\) und \(5\) übrig. Auch hier gibt es jeweils zwei Kombinationen. 6. Kombinationen für ZT=\(1\), T=\(7\): \(917\,152\) und \(917\,512\). 7. Kombinationen für ZT=\(7\), T=\(1\): \(971\,152\) und \(971\,512\).

\(917\,152, 917\,512, 971\,152, 971\,512\)

- Bestimme zuerst die ersten beiden Stellen durch den Zahlenbereich. - Was muss an der Einerstelle stehen, damit die Zahl durch 10 teilbar ist? - Sortiere die übrig gebliebenen Ziffern und schaue, welche zwei einen Abstand von 2 haben. - Setze die letzte Ziffer an den verbleibenden Platz.

1. Der Bereich zwischen \(240\,000\) und \(250\,000\) legt fest: Hunderttausender = \(2\), Zehntausender = \(4\). 2. Teilbarkeit durch \(10\) bedeutet, dass die Einerstelle eine \(0\) sein muss. 3. Verbleibende Ziffern für Tausender (T), Hunderter (H) und Zehner (Z): \(5, 6, 8\). 4. Die Bedingung „Tausender um \(2\) größer als Hunderter“ lässt bei den Restziffern nur \(8\) (Tausender) und \(6\) (Hunderter) zu. 5. Die letzte freie Ziffer \(5\) wird an der Zehnerstelle platziert.

\(248\,650\)

- Überlege für den größten Unterschied, wie du eine sehr große und eine sehr kleine Zahl bildest. - Für einen sehr kleinen Unterschied sollten die Tausenderstellen so nah wie möglich beieinander liegen. - Welche Ziffern müssen nach der Tausenderstelle folgen, damit die Zahlen insgesamt nah zusammenrücken?

1. Für die größtmögliche Differenz muss die erste Zahl so groß wie möglich (\(8765\)) und die zweite Zahl so klein wie möglich (\(1234\)) sein. Die Differenz beträgt \(8765 - 1234 = 7531\). 2. Für die kleinstmögliche Differenz müssen die Tausenderziffern direkt benachbart sein (z. B. \(5\) und \(4\)). Die größere Zahl wird mit den kleinsten verfügbaren Restziffern aufgefüllt (\(5123\)), die kleinere Zahl mit den größten verfügbaren Restziffern (\(4876\)). Die kleinste Differenz beträgt \(5123 - 4876 = 247\).

a) Die Zahlen sind \(8765\) und \(1234\). Der Unterschied beträgt \(7531\). b) Die Zahlen sind zum Beispiel \(5123\) und \(4876\). Der Unterschied beträgt \(247\).

- An welcher Stelle einer Zahl haben große Ziffern die größte Wirkung auf den Wert der Summe? - Darf die Ziffer \(0\) ganz vorne an einer Zahl stehen? - Verteile die Ziffern abwechselnd auf die beiden Zahlen, beginnend bei den Tausendern.

1. Für das größte Ergebnis müssen die größten Ziffern an den höchsten Stellenwerten stehen: Tausender \(7\) und \(6\), Hunderter \(5\) und \(4\), Zehner \(3\) und \(2\), Einer \(1\) und \(0\). Eine mögliche Rechnung ist \(7531 + 6420 = 13\,951\). 2. Für das kleinste Ergebnis müssen die kleinsten Ziffern (außer \(0\) an erster Stelle) an die Tausenderstellen: \(1\) und \(2\). Die \(0\) kommt an die Hunderterstelle der ersten Zahl, die \(3\) an die Hunderterstelle der zweiten Zahl. Danach folgen \(4\) und \(5\) für die Zehner sowie \(6\) und \(7\) für die Einer. Eine mögliche Rechnung ist \(1046 + 2357 = 3403\).

a) Das größte Ergebnis ist \(13\,951\). b) Das kleinste Ergebnis ist \(3403\).

- Überlege für Teil a), welche Ziffer an der höchsten Stelle stehen muss, um eine besonders große oder kleine Zahl zu erhalten. - Damit ein Ergebnis bei der Minusaufgabe sehr klein wird, müssen die Anfangsziffern der beiden Zahlen so nah wie möglich beieinander liegen. - Was passiert mit den restlichen Stellen, wenn du den Unterschied klein halten willst? Sollte die obere Zahl dort eher klein oder groß sein? - Die Umkehraufgabe einer Minusrechnung ist immer eine Plusrechnung.

1. Für die größtmögliche Differenz muss der Minuend so groß wie möglich (\(98\,765\)) und der Subtrahend so klein wie möglich (\(10\,234\)) sein: \(98\,765 - 10\,234 = 88\,531\). 2. Eine mögliche Kombination für ein Ergebnis kleiner als \(300\) ist \(50\,123 - 49\,876 = 247\). 3. Die Umkehraufgabe zur Beispielrechnung lautet: \(247 + 49\,876 = 50\,123\).

a) \(98\,765 - 10\,234 = 88\,531\) b) Zum Beispiel: \(50\,123 - 49\,876 = 247\) c) Zum Beispiel: \(247 + 49\,876 = 50\,123\)

- Überlege bei Teil a), was der Unterschied \(111\) für Hunderter-, Zehner- und Einerstelle bedeuten kann. - Kontrolliere nach jedem Versuch, ob jede der sechs Ziffern genau einmal verwendet wurde. - Schätze bei Teil b) zuerst über die Hunderterstellen, wie ein Unterschied nahe \(500\) entstehen kann. - Passe danach Zehner und Einer an und prüfe das genaue Ergebnis.

1. Eine passende Aufgabe für \(111\) ist \(753 - 642 = 111\). Alle sechs vorgegebenen Ziffern werden genau einmal verwendet. 2. Eine passende Aufgabe für den zweiten Bereich ist \(763 - 254 = 509\). Auch hier wird jede Ziffer genau einmal verwendet und das Ergebnis liegt zwischen \(500\) und \(510\).

a) Zum Beispiel: \(753 - 642 = 111\) b) Zum Beispiel: \(763 - 254 = 509\)

- Prüfe zuerst jede Bedingung für sich. - Notiere zu jeder Bedingung alle passenden Ziffern. - Vergleiche anschließend die beiden Listen: Nur Ziffern, die in beiden vorkommen, erfüllen beide Bedingungen.

1. Für Bedingung \(1\) gilt: \(3 \cdot 30 = 90\) ist zu klein, \(4 \cdot 30 = 120\) ist groß genug. Damit passen hier \(4, 5, 6, 7, 8, 9\). 2. Für Bedingung \(2\) gilt: \(6 \cdot 80 = 480\) passt, \(7 \cdot 80 = 560\) ist zu groß. Damit passen hier \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\). 3. In beiden Listen stehen die Ziffern \(4, 5, 6\). Genau sie erfüllen beide Bedingungen gleichzeitig.

\(4, 5, 6\)

- Nutze die Rechenbedingung zuerst, um einen möglichen Zahlenbereich einzugrenzen. - Suche danach innerhalb dieses Bereichs nur Zahlen aus der \(25\)er-Reihe. - Die geforderte Zehnerziffer entscheidet erst zwischen den verbleibenden Kandidaten.

1. Die dritte Bedingung wird rückwärts eingegrenzt: Vor der Division durch \(5\) muss der Wert größer als \(200\) und kleiner als \(300\) sein. 2. Vor dem Subtrahieren von \(150\) muss die gesuchte Zahl daher größer als \(350\) und kleiner als \(450\) sein. 3. Die Vielfachen von \(25\) in diesem offenen Intervall sind \(375\), \(400\) und \(425\). 4. Nur \(375\) hat an der Zehnerstelle die Ziffer \(7\). 5. Probe: \(375 - 150 = 225\) und \(225 : 5 = 45\). \(45\) liegt zwischen \(40\) und \(60\).

\(375\)

- Wenn du weißt, in welchem Bereich die Hälfte der Zahl liegt, kannst du dann den Bereich der ganzen Zahl bestimmen? - Schau dir die Hunderterstelle im gefundenen Bereich genau an. - Wie oft passt die Einerziffer in die Hunderterziffer? - Nutze eine Stellenwerttafel, um die Ziffern einzutragen.

1. Bestimmung des Bereichs der gesuchten Zahl: Wenn die Hälfte zwischen \(220\) und \(230\) liegt, muss die Zahl selbst zwischen \(440\) und \(460\) liegen (\(220 \cdot 2 = 440\) und \(230 \cdot 2 = 460\)). 2. Festlegung der Hunderterziffer: Da die Zahl im Bereich von \(440\) bis \(460\) liegt, muss die Hunderterziffer eine \(4\) sein. 3. Berechnung der Einerziffer: Die Hunderterziffer (\(4\)) ist das Doppelte der Einerziffer, also ist die Einerziffer \(4 : 2 = 2\). 4. Zusammensetzen der Zahl: Mit der Zehnerziffer \(4\) ergibt sich die Zahl \(442\). 5. Endkontrolle: \(442 : 2 = 221\). Das Ergebnis \(221\) liegt im geforderten Bereich.

Die Zahl heißt \(442\).

- Beginne mit der kleinsten Aufgabe ganz oben. - Vergleiche die Nullen in den drei Zeilen. Was hat sich verändert? - Wenn du die erste Lücke gefunden hast, prüfe, ob diese Zahl auch bei den großen Zahlen funktioniert. - Wie hängen die Zahlen in den verschiedenen Zeilen zusammen?

1. In der ersten Zeile wird eine Zahl gesucht, sodass \(\dots \cdot 4\) zwischen \(18\) und \(22\) liegt. Da \(5 \cdot 4 = 20\), passt die \(5\). 2. In der zweiten Zeile gilt \(5 \cdot 400 = 2000\); das Ergebnis liegt zwischen \(1800\) und \(2200\). 3. In der dritten Zeile gilt \(5 \cdot 40\,000 = 200\,000\); das Ergebnis liegt zwischen \(180\,000\) und \(220\,000\). 4. Von der ersten zur zweiten und von der zweiten zur dritten Zeile werden beide Grenzen und der jeweilige Faktor mit \(100\) multipliziert. Deshalb bleibt die gesuchte Lückenzahl gleich.

Die Zahl ist \(5\). Auffälligkeit: Von einer Zeile zur nächsten werden beide Grenzen und der Faktor jeweils mit \(100\) multipliziert. Deshalb bleibt die Lückenzahl gleich.

- Schreibe zuerst alle Zahlen der 8er-Reihe auf, die größer als \(50\) und kleiner als \(100\) sind. - Prüfe nun für jede dieser Zahlen, ob sie auch durch \(3\) teilbar ist. - Du kannst zur Überprüfung der Teilbarkeit durch \(3\) auch die Quersumme der Zahlen bilden.

1. Bestimmung der Vielfachen von \(8\) im Bereich zwischen \(50\) und \(100\): \(56\), \(64\), \(72\), \(80\), \(88\), \(96\). 2. Prüfung dieser Zahlen auf Teilbarkeit durch \(3\): - \(56:3 = 18\) Rest \(2\) (nein) - \(64:3 = 21\) Rest \(1\) (nein) - \(72:3 = 24\) (ja) - \(80:3 = 26\) Rest \(2\) (nein) - \(88:3 = 29\) Rest \(1\) (nein) - \(96:3 = 32\) (ja) 3. Ergebnis: Die möglichen Zahlen sind \(72\) und \(96\).

\(72\) und \(96\)

- Wenn eine Zahl klein sein soll, welche Ziffern sollten dann an den vorderen Stellen stehen? - Denke daran, dass eine fünfstellige Zahl immer eine Ziffer größer als Null ganz vorne braucht. - Was wäre der Unterschied zwischen \(01234\) und \(1234\)? - Gehe die Stellen von links nach rechts durch und setze die kleinstmöglichen verfügbaren Ziffern ein.

1. Bedingungen prüfen: Fünfstellige Zahl, kleinster Wert, Ziffer \(9\) an der Zehnerstelle (\(\dots 9 \dots\)). 2. Erste Stelle (Zehntausender): Für den kleinsten Wert muss die kleinste Ziffer ungleich \(0\) gewählt werden, also die \(3\). 3. Restliche Stellen füllen: Es bleiben \(0, 0, 5\). Um die Zahl so klein wie möglich zu machen, müssen die Nullen an die höchstmöglichen freien Stellen (Tausender und Hunderter). Die \(5\) kommt an die Einerstelle. 4. Ergebnis: \(30\,095\). 5. Stellenwerte bestimmen: \(3\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(0\) Hunderter, \(9\) Zehner, \(5\) Einer. 6. Begründung zur führenden Null: Eine Null am Anfang einer Zahl wird nicht mitgezählt. Aus \(03095\) würde die vierstellige Zahl \(3095\) werden. Damit die Zahl fünf Stellen hat, muss die Zehntausenderstelle mit einer Ziffer von \(1\) bis \(9\) besetzt sein.

a) \(30\,095\). b) \(3\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(0\) Hunderter, \(9\) Zehner, \(5\) Einer. c) Eine führende Null wird nicht gewertet; die Zahl wäre dann nur vierstellig (z. B. \(3095\)).

- Zeichne dir sechs Striche für die Stellen der Zahl auf. - Gehe die Hinweise nacheinander durch und fülle die Lücken. - Was bedeutet „Differenz“ in der Mathematik? - Wenn eine Stelle „nicht vorhanden“ ist, welche Ziffer schreibt man dann?

1. Bestimmung der Hunderttausender (HT): Gegeben als \(4\). 2. Bestimmung der Zehntausender (ZT): \(4 + 2 = 6\). 3. Bestimmung der Tausender (T): Laut Hinweis „keine“, also \(0\). 4. Bestimmung der Hunderter (H): Die Hälfte von \(6\) ist \(3\). 5. Bestimmung der Zehner (Z): Gegeben als \(0\). 6. Bestimmung der Einer (E): \(6 - 4 = 2\). 7. Zusammensetzen der Zahl: \(460\,302\). 8. Ausschreiben als Zahlwort: vierhundertsechzigtausenddreihundertzwei.

Ziffern: \(460\,302\) Zahlwort: vierhundertsechzigtausenddreihundertzwei

- Erstelle dir eine Stellenwerttafel mit den Spalten HT, ZT, T, H, Z und E. - Trage die Informationen aus dem Text Schritt für Schritt in die Tabelle ein. - Was bedeutet der Hinweis, dass alle anderen Stellen mit der Ziffer \(0\) besetzt sind? - Wie spricht man die Zahl aus, wenn man sie in Tausender-Pakete unterteilt?

1. Bestimmung der Stellenwerte: - Hunderttausender (HT): \(8\) - Zehntausender (ZT): \(0\) - Tausender (T): \(8 : 2 = 4\) - Hunderter (H): \(0\) - Zehner (Z): \(7\) - Einer (E): \(0\) 2. Zusammensetzen der Zahl: Aus den Stellenwerten ergibt sich die Ziffernfolge \(804\,070\). 3. Bildung des Zahlworts: Die Zahl \(804\,070\) wird als „achthundertviertausendsiebzig“ geschrieben.

Ziffern: \(804\,070\) Zahlwort: achthundertviertausendsiebzig

- Welche Zahlen aus der 7er-Reihe liegen nahe bei 50 oder 60? - Denke an die 7er- und 8er-Reihe und hänge eine Null an. - Suche nach einer gemeinsamen Zahl in den Reihen der beiden Teiler.

1. Bestimmung der Vielfachen von \(70\) im relevanten Bereich: \(7 \cdot 7 = 49 \Rightarrow 490\), \(7 \cdot 8 = 56 \Rightarrow 560\), \(7 \cdot 9 = 63 \Rightarrow 630\). Die Vielfachen von \(70\) sind also \(490, 560, 630\). 2. Bestimmung der Vielfachen von \(80\) im relevanten Bereich: \(8 \cdot 6 = 48 \Rightarrow 480\), \(8 \cdot 7 = 56 \Rightarrow 560\), \(8 \cdot 8 = 64 \Rightarrow 640\). Die Vielfachen von \(80\) sind also \(480, 560, 640\). 3. Vergleich der Listen: Die einzige Zahl, die in beiden Listen vorkommt und zwischen \(500\) und \(600\) liegt, ist \(560\).

Die gesuchte Zahl ist \(560\).

- Prüfe jede der vier Bedingungen zunächst getrennt an der gegebenen Zahl. - Für Teil b) muss eine einzelne Änderung genau die zuvor gefundene fehlerhafte Beziehung reparieren, ohne die anderen Bedingungen zu zerstören. - Untersuche systematisch jede Stelle, die an der fehlerhaften Bedingung beteiligt ist. - Kontrolliere jeden gefundenen Kandidaten anschließend noch einmal an allen vier Bedingungen.

1. \(643\,251\) liegt zwischen \(600\,000\) und \(700\,000\), hat die Ziffer \(4\) in der Zehntausenderstelle und die ungerade Einerziffer \(1\). Diese drei Bedingungen sind erfüllt. 2. In der Tausenderstelle steht \(3\), in der Hunderterstelle \(2\). Die Differenz beträgt nur \(1\); Bedingung \(3\) ist nicht erfüllt. 3. Wird die Tausenderziffer von \(3\) auf \(4\) geändert, entsteht \(644\,251\). Dann gilt \(4 = 2 + 2\). 4. Wird stattdessen die Hunderterziffer von \(2\) auf \(1\) geändert, entsteht \(643\,151\). Dann gilt \(3 = 1 + 2\). 5. Änderungen an anderen Stellen können die nicht erfüllte Beziehung zwischen Tausender- und Hunderterziffer nicht reparieren. Damit sind dies alle Möglichkeiten mit genau einer geänderten Ziffer.

a) Bedingung \(3\) ist nicht erfüllt. b) Möglich sind \(644\,251\) und \(643\,151\).

- Prüfe jede Bedingung als eigenen Filter und behalte nur Karten, die alle bisherigen Bedingungen erfüllen. - Achte genau darauf, welche Ziffer an der Tausender- und welche an der Hunderterstelle steht. - Für b) ist entscheidend, wie viele verschiedene Kandidaten nach allen Filtern übrig bleiben.

1. Die Bereichsbedingung erfüllen A, B, C und D; E liegt über \(490\,000\). 2. Die Tausenderziffer \(2\) haben unter diesen Karten A, B und C. D hat an dieser Stelle die Ziffer \(3\). 3. Die Hunderterziffer \(3\) haben davon A und B. C hat an der Hunderterstelle die Ziffer \(5\). 4. Somit erfüllen A und B alle drei Bedingungen. Weil zwei verschiedene Zahlen übrig bleiben, legen die Bedingungen keine eindeutige Zahl fest.

a) A: \(482\,350\) und B: \(482\,305\) b) Nein. Zwei verschiedene Karten erfüllen alle drei Bedingungen, also ist die Zahl nicht eindeutig bestimmt.

- Welche Stelle im Stellenwertsystem ist die Zehntausenderstelle? - Wenn eine Zahl so klein wie möglich sein soll, wie sortierst du dann die restlichen Ziffern? - Welche Ziffern kommen für die Hunderttausenderstelle infrage, wenn die Zahl größer als \(500\,000\) sein muss?

1. Die Bedingung „Zehntausenderstelle ist \(1\)“ fixiert die zweite Stelle von links: \(\_\,1\_\,\_\_\_\). 2. Die Zahl muss größer als \(500\,000\) sein. Die Hunderttausenderstelle muss also \(5\), \(7\) oder \(9\) sein. Da die Zahl so klein wie möglich sein soll, wählen wir die \(5\): \(51\_\,\_\_\_\). 3. Die verbleibenden Ziffern sind \(4, 5, 7, 9\). Um die kleinste Zahl zu bilden, werden diese aufsteigend an die restlichen Stellen gesetzt: \(514\,579\).

\(514\,579\)

- Welche Ziffern müssen an den ersten Stellen stehen, damit die Zahl überhaupt in den Bereich von \(844\,100\) kommt? - Wie viele Möglichkeiten hast du für die restlichen Stellen, wenn die ersten drei Ziffern feststehen? - Prüfe jede deiner gelegten Zahlen: Ist sie wirklich größer als der vorgegebene Wert?

1. Damit die Zahl größer als \(844\,100\) ist, muss sie mit den Ziffern \(8\), \(4\) und \(4\) beginnen (da keine größere Ziffer als \(8\) für die Hunderttausenderstelle und keine weiteren Ziffern außer \(4\) für die Zehntausender- und Tausenderstelle zur Verfügung stehen, um über \(844\,000\) zu bleiben). 2. Die verbleibenden Ziffern sind \(0\), \(1\) und \(2\). 3. Mögliche Kombinationen für die letzten drei Stellen: \(012, 021, 102, 120, 201, 210\). 4. Überprüfung der Bedingung (\(> 844\,100\)): \(844\,012\) und \(844\,021\) sind zu klein. 5. Die gültigen Zahlen sind: \(844\,102\), \(844\,120\), \(844\,201\), \(844\,210\).

\(844\,102 < 844\,120 < 844\,201 < 844\,210\)

- Überlege zuerst, welche Zahlen überhaupt unmittelbar unter oder unmittelbar über \(250\,000\) liegen könnten. - Für jede Seite des Zielwerts genügt es, den jeweils nächstmöglichen Kandidaten zu finden. - Nutze die noch nicht verwendeten Ziffern so, dass der Abstand zum Ziel auf der jeweiligen Seite möglichst klein wird. - Vergleiche erst danach die beiden Abstände.

1. Die größte mögliche Zahl unter \(250\,000\) ist \(246\,531\). Ihr Abstand zu \(250\,000\) beträgt \(250\,000 - 246\,531 = 3469\). 2. Die kleinste mögliche Zahl über \(250\,000\) ist \(251\,346\). Ihr Abstand beträgt \(251\,346 - 250\,000 = 1346\). 3. Da \(1346 < 3469\), liegt \(251\,346\) am nächsten an \(250\,000\).

Die Zahl \(251\,346\) liegt am nächsten an \(250\,000\). Ihr Abstand beträgt \(1346\); bei der nächstliegenden Zahl unterhalb, \(246\,531\), beträgt er \(3469\).

- Suche zunächst nach zwei fünfstelligen Zahlen, deren Zehntausenderstellen zusammen ungefähr \(8\) ergeben. - Kontrolliere bei einem sehr nahen Treffer, ob tatsächlich jede Ziffer genau einmal benutzt wurde. - Für die Optimalität musst du nur noch untersuchen, ob der noch kleinere Abstand \(0\) überhaupt möglich ist.

1. Eine gültige Wahl ist \(10\,243\) und \(69\,758\). In beiden Zahlen zusammen kommt jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) genau einmal vor. 2. Addition: \(10\,243 + 69\,758 = 80\,001\). 3. Der Abstand zu \(80\,000\) beträgt \(1\). 4. Genau \(80\,000\) ist nicht möglich: In der schriftlichen Addition müsste die Einerstelle durch eine Ziffernsumme von \(10\) entstehen. Wegen der jeweiligen Überträge müssten die Ziffernpaare an der Zehner-, Hunderter- und Tausenderstelle jeweils die Summe \(9\) haben. An der Zehntausenderstelle müssten die beiden Ziffern zusammen \(7\) ergeben. Damit wäre die Summe aller verwendeten Ziffern \(10 + 9 + 9 + 9 + 7 = 44\). Die Ziffern von \(0\) bis \(9\) haben zusammen aber die Summe \(45\). Also ist ein Ergebnis von genau \(80\,000\) unmöglich. 5. Da der Abstand \(0\) unmöglich und der Abstand \(1\) erreicht ist, ist diese Annäherung optimal.

Beispielzahlen: \(10\,243\) und \(69\,758\). Summe: \(80\,001\). Abstand zu \(80\,000\): \(1\).

- Achte darauf, dass die \(0\) nicht am Anfang der Zahl aus Gruppe A stehen darf. - Untersuche für den kleinsten Unterschied zuerst die Zehntausenderziffern: Wie weit dürfen sie höchstens auseinanderliegen, damit die restlichen Stellen noch ausgleichen können? - Wenn die Anfangsziffern feststehen, ordne die übrigen Ziffern so, dass sich die beiden Zahlen möglichst stark annähern. - Für den größten Unterschied musst du beide Richtungen vergleichen: große Zahl aus A gegen kleine aus B und große Zahl aus B gegen kleine aus A.

1. Für den kleinsten Unterschied können die Zehntausenderziffern nur benachbart sein. Bei einem Abstand von mindestens \(2\) wäre der Zahlenunterschied selbst mit den übrigen vier Stellen größer als \(10\,000\). 2. Für die acht möglichen benachbarten Anfangspaare ergeben sich bei jeweils optimaler Anordnung der restlichen Ziffern die kleinsten Abstände: \(715, 2939, 517, 2759, 517, 2939, 715, 4937\). 3. Der kleinste dieser Abstände ist \(517\). Er wird zum Beispiel mit \(40\,268 - 39\,751 = 517\) erreicht. 4. Für den größtmöglichen Unterschied sind beide Richtungen zu prüfen. Die größte Zahl aus Gruppe B und die kleinste aus Gruppe A ergeben \(97\,531 - 20\,468 = 77\,063\). 5. Die größte Zahl aus Gruppe A und die kleinste aus Gruppe B ergeben \(86\,420 - 13\,579 = 72\,841\). Damit ist \(77\,063\) der größtmögliche Unterschied.

a) Der kleinstmögliche Unterschied beträgt \(517\), zum Beispiel bei \(40\,268 - 39\,751\). b) Der größtmögliche Unterschied beträgt \(77\,063\), bei \(97\,531 - 20\,468\).

- Suche zunächst nach zwei fünfstelligen Zahlen, deren Summe unmittelbar unter oder über \(100\,000\) liegen könnte. - Kontrolliere bei einem sehr nahen Treffer, ob jede Ziffer genau einmal vorkommt. - Für die Optimalität genügt es anschließend zu klären, ob eine Summe von genau \(100\,000\) möglich wäre.

1. Ein passender Versuch ist \(49\,876 + 50\,123 = 99\,999\). Dabei werden alle Ziffern \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\) genau einmal verwendet. 2. Das Ergebnis \(99\,999\) hat einen Unterschied von genau \(1\) zu \(100\,000\). 3. Genau \(100\,000\) ist nicht möglich: In der schriftlichen Addition müsste die Einerstelle durch eine Ziffernsumme von \(10\) entstehen. Wegen der jeweiligen Überträge müssten die Ziffernpaare an der Zehner-, Hunderter-, Tausender- und Zehntausenderstelle jeweils die Summe \(9\) haben. Damit wäre die Summe aller verwendeten Ziffern \(10 + 9 + 9 + 9 + 9 = 46\). Die Ziffern von \(0\) bis \(9\) haben zusammen aber nur die Summe \(45\). 4. Ein Unterschied von \(0\) ist daher unmöglich; ein Unterschied von \(1\) ist erreicht und somit optimal.

Eine mögliche Aufgabe ist \(49\,876 + 50\,123 = 99\,999\). Der Unterschied zu \(100\,000\) beträgt \(1\).

- Behandle die Rechenkette zunächst als eigene Bedingung und grenze ihren möglichen Startbereich von hinten nach vorne ein. - Prüfe anschließend nur die Vielfachen von \(5000\), die in diesem Bereich liegen. - Verwende die verlangte Tausenderziffer erst als letzten Filter und kontrolliere danach die Rechenkette vorwärts.

1. Die dritte Bedingung wird rückwärts eingegrenzt. Vor dem Subtrahieren von \(2000\) muss der Wert größer als \(5850\) und kleiner als \(6300\) sein. 2. Vor dem Verdreifachen muss er größer als \(1950\) und kleiner als \(2100\) sein. Vor dem Addieren von \(350\) liegt er daher zwischen \(1600\) und \(1750\). 3. Dieser Wert ist die gesuchte Zahl geteilt durch \(100\). Die Zahl selbst muss also größer als \(160\,000\) und kleiner als \(175\,000\) sein. 4. Die Vielfachen von \(5000\) in diesem offenen Intervall sind \(165\,000\) und \(170\,000\). 5. Bei \(165\,000\) steht an der Tausenderstelle die Ziffer \(5\); bei \(170\,000\) steht dort die Ziffer \(0\). Gesucht ist daher \(170\,000\). 6. Probe der Rechenkette: \(170\,000 : 100 = 1700\), \(1700 + 350 = 2050\), \(2050 \cdot 3 = 6150\), \(6150 - 2000 = 4150\). Dieser Wert liegt zwischen \(3850\) und \(4300\).

\(170\,000\)

- Was bedeutet das Wort „Differenz“ in dieser Aufgabe? - Wenn du die Differenz von der Summe abziehst, hättest du zwei gleich große Zahlen. Wie hilft dir das weiter? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben deine beiden Zahlen zusammen wirklich die gesuchte Summe?

1. Berechnung der Summe aus Gesamtwert und Differenz: \(752\,300 + 48\,100 = 800\,400\) 2. Division durch \(2\), um die größere Zahl zu erhalten: \(800\,400 : 2 = 400\,200\) 3. Subtraktion der Differenz von der größeren Zahl zur Bestimmung der kleineren Zahl: \(400\,200 - 48\,100 = 352\,100\) 4. Überprüfung durch Addition: \(400\,200 + 352\,100 = 752\,300\)

Die Zahlen lauten \(400\,200\) und \(352\,100\).