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- Lies zuerst aus A ab, welcher Anteil des Ganzen markiert ist. - Überlege, wie viele der vier gleich großen Teile in B denselben Anteil ausmachen. - Prüfe, ob dein vorgeschlagener Anteil in B genauso viel vom ganzen Balken umfasst wie in A.

1. In A ist einer von zwei gleich großen Teilen markiert. Das ist \(\frac{1}{2}\). 2. B ist in vier gleich große Teile geteilt. 3. Die Hälfte von vier Teilen sind zwei Teile. Daher müssten in B zwei Teile markiert werden. 4. Der entsprechende Bruch ist \(\frac{2}{4}\).

In B müssten \(2\) Teile markiert werden; der Anteil wäre \(\frac{2}{4}\).

- Beide Pizzen sind gleich groß. Vergleiche, wie sich ein Viertel verändert, wenn jedes Viertel noch einmal in zwei gleich große Teile geteilt wird. - Überlege bei b), wie viele Achtelstücke genau denselben Bereich bedecken wie ein Viertelstück. - Prüfe bei c), wie viele solcher Viertel-Gruppen benötigt werden.

1. Zwei von vier gleich großen Stücken sind \(\frac{2}{4}\) der ersten Pizza. Zwei Viertel bilden zusammen eine Hälfte. 2. Bei der zweiten Pizza ist jedes Viertel in zwei gleich große Achtelstücke geteilt. Deshalb entsprechen einem Viertel genau 2 Achtelstücke. 3. Drei Viertel bestehen aus drei solchen Zweiergruppen. Daher werden \(3 \cdot 2 = 6\) Achtelstücke benötigt.

a) \(\frac{2}{4}\), also die Hälfte b) 2 Stücke c) 6 Stücke

- Vergleiche bei jeder Abbildung die Zahl der farbig markierten Teile mit der Gesamtzahl gleich großer Teile. - Prüfe, ob die markierten Teile genau eine Hälfte des Ganzen bilden. - Welche zwei Abbildungen zeigen damit denselben Anteil?

1. In Abbildung a) sind 4 von 8 gleich großen Teilen farbig markiert. Je zwei Achtel lassen sich zu einem Viertel zusammenfassen; die 4 markierten Achtel bilden zwei Viertel und damit die Hälfte des Kreises. 2. In Abbildung b) sind 6 von 12 gleich großen Kästchen farbig markiert. Zu jedem markierten Kästchen gibt es ein unmarkiertes Kästchen; damit ist genau die Hälfte des Gitters markiert. 3. In Abbildung c) sind 2 von 5 gleich großen Teilen markiert. Das ist nicht die Hälfte. 4. Daher stellen a) und b) denselben Anteil \(\frac{1}{2}\) dar.

Die Abbildungen a) und b) stellen denselben Anteil dar: \(\frac{1}{2}\).

- Lies aus Abbildung A ab, wie viele von vier gleich großen Teilen markiert sind. - Stell dir vor, jedes Viertel wird noch einmal in zwei gleich große Teile geteilt. - Wie viele Achtel entstehen dadurch aus den drei markierten Vierteln?

1. In Abbildung A sind 3 von 4 gleich großen Stücken markiert. Beate hat also \(\frac{3}{4}\) der Torte gegessen. 2. Bei Cems Torte ist jedes Viertel in zwei gleich große Achtelstücke geteilt. Für jedes der drei Viertel werden daher zwei Achtelstücke benötigt. 3. Insgesamt sind das \(3 \cdot 2 = 6\) Achtelstücke. Cems Anteil ist damit \(\frac{6}{8}\), derselbe Anteil wie \(\frac{3}{4}\).

a) \(\frac{3}{4}\) b) 6 Stücke c) \(\frac{6}{8}\)

- In wie viele gleich große Teile ist der Kreis geteilt, und wie viele davon sind markiert? - Kannst du die vier Viertel zu zwei gleich großen Hälften zusammenfassen? - Liegen die beiden Kinder vielleicht mit unterschiedlichen Beschreibungen desselben Anteils richtig?

1. Der Kreis ist in 4 gleich große Sektoren geteilt, von denen 2 blau markiert sind. Lisa beschreibt den Anteil daher richtig als \(\frac{2}{4}\). 2. Fasst man je zwei Viertel zu einer Hälfte zusammen, bilden die beiden markierten Viertel genau eine Hälfte des Kreises. Max' Aussage ist deshalb ebenfalls richtig. 3. Beide Aussagen beschreiben denselben Anteil: \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Beide haben recht. Die Abbildung zeigt \(\frac{2}{4}\) des Kreises; diese zwei Viertel bilden zusammen genau \(\frac{1}{2}\).

- Zähle die farbig markierten Dreiecke und alle gleich großen Dreiecke der Fliese. - Vergleiche anschließend die markierte Fläche mit der unmarkierten Fläche. - Wann ist ein Anteil genau eine Hälfte des Ganzen?

1. Von 6 gleich großen Dreiecken sind 3 farbig markiert. Der markierte Anteil ist deshalb \(\frac{3}{6}\). 2. Es sind genauso viele Dreiecke markiert wie unmarkiert. Die markierte Fläche ist daher genau eine von zwei gleich großen Hälften der Fliese: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

(a) \(\frac{3}{6}\) (b) \(\frac{1}{2}\)

- Zähle zuerst alle Pralinen und danach die orange markierten Pralinen. - Wie viele Pralinen gehören zu einer von fünf gleich großen Gruppen der gesamten Schachtel? - Wie viele solcher Gruppen bilden die markierten Pralinen?

1. In der Abbildung sind 6 von 15 Pralinen orange markiert. Der Anteil ist zunächst \(\frac{6}{15}\). 2. Teilt man die 15 Pralinen in fünf gleich große Gruppen zu je 3 Pralinen, füllen die 6 markierten Pralinen genau zwei dieser Gruppen. 3. Deshalb beschreiben \(\frac{6}{15}\) und \(\frac{2}{5}\) denselben Anteil.

\(\frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)

- Lies zuerst bei A ab, wie viele gleich große Teile die Pizza hat und wie viele davon markiert sind. - Vergleiche anschließend B und C mit A; achte nicht nur auf die Zahl der markierten Stücke, sondern auf ihren Anteil an der ganzen Pizza. - Bei zwölf gleich großen Stücken kannst du überlegen, wie viele Stücke eine von drei gleich großen Gruppen enthalten müsste.

1. In A ist \(1\) von \(3\) gleich großen Teilen markiert. Der Anteil ist \(\frac{1}{3}\). 2. In B sind \(3\) von \(12\) gleich großen Teilen markiert. Dieser Anteil ist kleiner als ein Drittel: Bei einer Einteilung in drei gleich große Gruppen würden zu jeder Gruppe \(4\) der zwölf Stücke gehören. 3. In C sind \(4\) von \(12\) gleich großen Teilen markiert. Diese vier Stücke bilden genau eine von drei gleich großen Gruppen der Pizza. 4. Deshalb zeigen A und C denselben Anteil: \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{4}{12}\).

Figur C. In A ist \(\frac{1}{3}\) markiert, in C \(\frac{4}{12}\). Beide Brüche beschreiben denselben Anteil.

- Zähle alle gleich großen Dreiecke und die farbig markierten Dreiecke. - Wie kannst du die sechs Dreiecke zu drei gleich großen Gruppen zusammenfassen? - Wie viele dieser drei Gruppen bestehen vollständig aus markierten Dreiecken?

1. Von 6 gleich großen Dreiecken sind 4 farbig markiert. Der Anteil ist daher \(\frac{4}{6}\). 2. Je zwei der sechs Dreiecke lassen sich zu einer von drei gleich großen Gruppen zusammenfassen. Die 4 markierten Dreiecke bilden zwei solche Gruppen. 3. Deshalb gilt \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

\(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

- Zähle alle Steine und die blau markierten Steine. - Stell dir vor, die 16 Steine werden zu gleich großen Zweiergruppen zusammengefasst. - Wie viele dieser acht Gruppen entsprechen den sechs markierten Steinen?

1. In der Abbildung sind 6 von 16 gleich großen Steinen blau markiert. Der Anteil ist daher \(\frac{6}{16}\). 2. Fasst man die 16 Steine zu 8 Zweiergruppen zusammen, bilden die 6 markierten Steine 3 solcher Zweiergruppen. 3. Deshalb beschreiben \(\frac{6}{16}\) und \(\frac{3}{8}\) denselben Anteil.

\(\frac{6}{16} = \frac{3}{8}\)

- Vergleiche in jedem Feld die Zahl der markierten mit der Zahl der unmarkierten Punkte. - Wann ist genau die Hälfte einer Punktmenge markiert? - Beschreibe anschließend beide markierten Anteile mit demselben vertrauten Bruch.

1. In Feld A sind 12 von 24 Punkten markiert. Es sind also genauso viele Punkte markiert wie unmarkiert. A zeigt genau die Hälfte. 2. In Feld B sind 18 von 36 Punkten markiert. Auch hier sind genauso viele Punkte markiert wie unmarkiert. B zeigt ebenfalls genau die Hälfte. 3. Damit gilt für beide Felder derselbe Anteil: \(\frac{12}{24} = \frac{1}{2}\) und \(\frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).

Beide Felder zeigen die Hälfte: \(\frac{12}{24} = \frac{1}{2}\) und \(\frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).

- Die markierte Fläche selbst wird beim feineren Unterteilen nicht größer oder kleiner. - Überlege, in wie viele neue Teile ein bisheriges Drittel zerfällt. - Zähle gedanklich, wie viele der sechs neuen Teile aus dem markierten Drittel entstehen.

1. Der markierte Teil ist zunächst \(\frac{1}{3}\) des Streifens. 2. Beim Halbieren jedes Drittels entstehen aus dem markierten Drittel zwei kleinere, gleich große Teile. 3. Insgesamt gibt es nun sechs gleich große Teile, davon sind zwei markiert. 4. Der neue Bruch ist \(\frac{2}{6}\); er beschreibt denselben Anteil wie \(\frac{1}{3}\).

Es sind \(2\) von \(6\) Teilen markiert: \(\frac{2}{6}\).

- Prüfe bei jedem angebotenen Bruch, ob die ausgewählten Teile zusammen genau die Hälfte des Ganzen bilden. - Stell dir für die Begründung zwei gleich große Ganze vor: eines in Viertel, eines in Achtel geteilt. - Was geschieht mit den zwei ausgewählten Vierteln, wenn jedes Viertel noch einmal halbiert wird?

1. Bei \(\frac{2}{4}\) sind zwei von vier gleich großen Teilen gemeint; das ist die Hälfte des Ganzen. Bei \(\frac{4}{8}\) sind vier von acht gleich großen Teilen gemeint; auch das ist die Hälfte. 2. \(\frac{3}{8}\) und \(\frac{1}{3}\) beschreiben nicht die Hälfte. 3. Teilt man jedes der vier Viertel noch einmal in zwei gleich große Teile, entstehen acht Achtel. Die zwei ausgewählten Viertel bestehen dann aus vier Achteln. Deshalb beschreiben \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{4}{8}\) denselben Anteil.

a) \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{4}{8}\) b) Beide Brüche beschreiben die Hälfte. Werden die vier Viertel jeweils halbiert, werden aus zwei ausgewählten Vierteln vier ausgewählte Achtel.

- Prüfe bei jeder Lücke, welcher Anteil des Ganzen beschrieben werden soll. - Stell dir vor, die vorhandenen gleich großen Teile werden weiter in kleinere gleich große Teile zerlegt. Was geschieht dabei mit der Zahl aller Teile und mit den ausgewählten Teilen? - Kontrolliere jeden ergänzten Bruch daran, ob er noch denselben Anteil des Ganzen beschreibt.

1. Berechnung für a): Um den Wert \(\frac{1}{2}\) beizubehalten, muss der Nenner immer das Doppelte des Zählers sein. \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\) (da \(2 \cdot 2 = 4\)) \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\) (da \(8 : 2 = 4\)) \(\frac{1}{2} = \frac{5}{10}\) (da \(5 \cdot 2 = 10\)) Ergebnis: \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}\). 2. Berechnung für b): Da \(8\) das Doppelte von \(4\) ist, muss auch der Zähler verdoppelt werden: \(1 \cdot 2 = 2\). Ergebnis: \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\). 3. Berechnung für c): Da der Zähler \(6\) das Doppelte von \(3\) ist, muss auch der Nenner verdoppelt werden: \(4 \cdot 2 = 8\). Ergebnis: \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\). 4. Berechnung für d): \(\frac{10}{10}\) entspricht einem Ganzen (\(1\)). Damit der zweite Bruch ebenfalls \(1\) ergibt, muss der Zähler dem Nenner entsprechen: \(\frac{2}{2}\). Ergebnis: \(\frac{10}{10} = \frac{2}{2}\).

a) \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}\) b) \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\) c) \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\) d) \(\frac{10}{10} = \frac{2}{2}\)

- Stell dir bei a) und b) vor, dass die vorhandenen Teile weiter in gleich große Achtel geteilt werden. - Überlege bei c), wie sich jeweils zwei Achtel zu einem größeren Teil zusammenfassen lassen. - Vergleiche bei d) beide Anteile in Achteln.

1. Teilt man jede Hälfte noch einmal in vier gleich große Teile, besteht eine Hälfte aus vier Achteln. Daher gilt \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\). 2. Jedes Viertel lässt sich in zwei Achtel teilen. Drei Viertel bestehen deshalb aus sechs Achteln: \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\). 3. Sechs Achtel lassen sich zu drei Paaren zusammenfassen. Jedes Paar ist ein Viertel. Daher gilt \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). 4. Eine Hälfte entspricht vier Achteln. Fünf Achtel umfassen ein Achtel mehr, also ist \(\frac{5}{8} > \frac{1}{2}\).

a) \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\) b) \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\) c) \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) d) \(\frac{5}{8}\) ist größer als \(\frac{1}{2}\).

- Prüfe für jede Abbildung, wie viele Gegenstände insgesamt und wie viele davon farbig markiert sind. - Kannst du die Gesamtmenge in vier gleich große Gruppen teilen? - Genau eine dieser vier gleich großen Gruppen müsste der markierten Menge entsprechen.

1. In Gruppe a) sind 2 von 8 Gegenständen markiert. Teilt man 8 Gegenstände in vier gleich große Gruppen, enthält jede Gruppe 2 Gegenstände. Daher ist genau ein Viertel markiert. 2. In Gruppe b) sind 2 von 6 Gegenständen markiert. Diese 6 Gegenstände lassen sich in drei gleich große Zweiergruppen teilen; 2 von 6 sind daher ein Drittel und nicht ein Viertel. 3. In Gruppe c) sind 3 von 12 Gegenständen markiert. Vier gleich große Gruppen enthalten jeweils 3 Gegenstände. Daher ist genau ein Viertel markiert. 4. In Gruppe d) sind 2 von 10 Gegenständen markiert. Fünf gleich große Gruppen enthalten jeweils 2 Gegenstände; der markierte Anteil ist daher ein Fünftel. 5. Genau ein Viertel ist in den Gruppen a) und c) markiert.

a) und c)

- Lies zuerst für jede Figur die Zahl der blauen und aller gleich großen Teile ab. - Kannst du bei Figur b) die acht Teile zu vier gleich großen Gruppen zusammenfassen? - Vergleiche die tatsächlich markierte Fläche, nicht nur die Zahlen in den Brüchen.

1. Figur a) zeigt \(\frac{1}{4}\), Figur b) \(\frac{2}{8}\) und Figur c) \(\frac{2}{6}\). 2. In Figur b) lassen sich die acht kleinen Felder zu vier gleich großen Zweiergruppen zusammenfassen. Genau eine dieser vier Gruppen ist blau. Daher zeigen \(\frac{2}{8}\) und \(\frac{1}{4}\) denselben Anteil. 3. In Figur c) bilden je zwei der sechs Teile eine von drei gleich großen Gruppen. Die zwei blauen Teile entsprechen daher \(\frac{1}{3}\) und nicht \(\frac{1}{4}\). 4. Somit zeigen die Figuren a) und b) denselben Anteil.

a) a: \(\frac{1}{4}\); b: \(\frac{2}{8}\); c: \(\frac{2}{6}\) b) Figur a) und Figur b) zeigen denselben Anteil, denn zwei von acht Teilen bilden eine von vier gleich großen Zweiergruppen.

- Wenn der Nenner \(5\) sein soll: In wie viele gleich große Gruppen musst du die 60 Punkte teilen? - Wie viele Punkte liegen dann in einer solchen Gruppe? - Wie viele dieser Gruppen ergeben 36 blaue beziehungsweise 24 unmarkierte Punkte?

1. Teilt man 60 Punkte in fünf gleich große Gruppen, enthält jede Gruppe \(60 : 5 = 12\) Punkte. 2. Die 36 blauen Punkte füllen genau drei solcher Gruppen, denn \(36 = 3 \cdot 12\). Der blaue Anteil ist daher \(\frac{3}{5}\). 3. Unmarkiert bleiben \(60 - 36 = 24\) Punkte. Das sind zwei Gruppen zu je 12 Punkten, also \(\frac{2}{5}\).

Blau: \(\frac{3}{5}\); unmarkiert: \(\frac{2}{5}\).

- Zähle, in wie viele gleich große Intervalle der ganze Abschnitt eingeteilt ist und wie viele davon bis \(A\) reichen. - Überlege, ob du benachbarte kleine Intervalle zu größeren gleich großen Gruppen zusammenfassen kannst, ohne den Punkt \(A\) zu verschieben. - Suche für jeden verlangten Nenner einen Bruch, der denselben Anteil des ganzen Abschnitts beschreibt.

1. Der Zahlenstrahl ist in \(8\) gleich große Intervalle geteilt. Punkt \(A\) liegt nach \(4\) dieser Intervalle, also bei \(\frac{4}{8}\). 2. Fasst man jeweils zwei Achtel zu einem Viertel zusammen, liegt derselbe Punkt bei \(\frac{2}{4}\). 3. Fasst man die vier Achtel bis \(A\) als eine Hälfte des ganzen Abschnitts auf, liegt derselbe Punkt bei \(\frac{1}{2}\). 4. Damit gilt \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}\); gleichwertige Brüche bezeichnen auf dem Zahlenstrahl denselben Punkt.

\(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}\). Alle drei Brüche beschreiben denselben Anteil des Abschnitts von \(0\) bis \(1\) und deshalb denselben Punkt \(A\).

- Lies zuerst bei jedem Balken aus der Abbildung ab, wie viele gleich große Teile es insgesamt gibt und wie viele davon markiert sind. - Vergleiche A anschließend getrennt mit B und C. - Bei einer feineren Einteilung kannst du benachbarte kleine Teile zu gleich großen größeren Gruppen zusammenfassen.

1. Balken A ist in \(3\) gleich große Teile geteilt; \(2\) sind markiert. Sein Anteil ist \(\frac{2}{3}\). 2. Balken B ist in \(6\) gleich große Teile geteilt; \(2\) sind markiert. Sein Anteil ist \(\frac{2}{6}\). 3. Balken C ist in \(6\) gleich große Teile geteilt; \(4\) sind markiert. Sein Anteil ist \(\frac{4}{6}\). 4. Je zwei Sechstel von Balken C lassen sich zu einem Drittel zusammenfassen. Die vier markierten Sechstel bilden daher zwei markierte Drittel. Balken C zeigt denselben Anteil wie Balken A; Balken B nicht.

A: \(\frac{2}{3}\), B: \(\frac{2}{6}\), C: \(\frac{4}{6}\). Balken C zeigt denselben Anteil wie Balken A.