Kostenlose Arbeitsblätter

- Betrachte nur die Einerstelle. - Die übrigen Ergebnisziffern sind für den ersten Schritt nicht nötig. - Prüfe die gefundene Ziffer anschließend am vollständigen Produkt.

1. Für die Einerstelle gilt \(4\cdot3=12\). 2. Deshalb muss die Einerziffer des Produkts \(2\) sein. 3. Vollständig gilt \(214\cdot3=642\).

Das Sternchen ist \(2\).

- Betrachte den letzten sichtbaren Teildividenden. - Bestimme, wie oft der Divisor dort hineinpasst. - Die erste Quotientenziffer ist bereits gegeben und muss nicht neu berechnet werden.

1. Nach dem ersten Schritt bleibt Rest \(3\); mit der letzten Dividendziffer entsteht der Teildividend \(32\). 2. \(32:8=4\). 3. Daher ist die fehlende letzte Quotientenziffer \(4\), und \(672:8=84\).

Das Sternchen ist \(4\).

- Überlege dir die passende Reihe des Einmaleins ohne die Nullen. - Hilft es dir, die Umkehroperation im Kopf zu überschlagen? - Achte genau darauf, ob das Produkt kleiner oder größer als die jeweilige Zielzahl sein soll.

1. Bei a) gilt \(6 \cdot 40 = 240 < 250\), aber \(7 \cdot 40 = 280 > 250\). Daher passen die Ziffern \(0\) bis \(6\). 2. Bei b) gilt \(5 \cdot 700 = 3500 < 4000\), aber \(6 \cdot 700 = 4200 > 4000\). Daher passen die Ziffern \(6, 7, 8, 9\). 3. Bei c) gilt \(8 \cdot 90 = 720 < 800\), aber \(9 \cdot 90 = 810 > 800\). Daher passen die Ziffern \(0\) bis \(8\).

a) \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) b) \(6, 7, 8, 9\) c) \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\)

- Überlege bei jeder Teilaufgabe, welche ganze Zahl hinter dem unvollständigen Produkt stehen muss. - Eine Umkehraufgabe kann dir zeigen, welche vollständige Zahl oder welcher Faktor gesucht ist. - Prüfe anschließend, ob die eingesetzte Ziffer die ursprüngliche Multiplikation wirklich erfüllt.

1. Zu a): \(744 : 3 = 248\). Die fehlende Hunderterziffer ist \(2\). 2. Zu b): \(750 : 125 = 6\). Der fehlende Faktor ist \(6\). 3. Zu c): \(856 : 4 = 214\). Die fehlende Zehnerziffer ist \(1\).

a) \(2\) b) \(6\) c) \(1\)

- Wenn du ein Plättchen bei den Zehnern wegnimmst, wird die Zahl um \(10\) kleiner. - Um wie viel muss die Zahl wieder größer werden, damit sie insgesamt nur um \(9\) kleiner ist? - Welcher Stellenwert entspricht dieser Erhöhung?

1. Analyse der Anforderung: Die Zahl soll um \(9\) kleiner werden. 2. Wirkung des Entfernens: Wenn ein Plättchen aus der Zehner-Spalte entfernt wird, verringert sich der Wert der Zahl zunächst um \(10\). 3. Wirkung des Hinzufügens: Damit die Gesamtabnahme nur \(9\) beträgt, muss das Plättchen an einer Stelle wieder hinzugefügt werden, die den Wert um \(1\) erhöht (\(-10 + 1 = -9\)). 4. Identifikation der Zielspalte: Die Einer-Spalte (E) hat den Stellenwert \(1\). 5. Ergebnis: Das Plättchen muss in die Einer-Spalte gelegt werden. 6. Kontrolle: Ursprüngliche Zahl \(312\). Neue Zahl nach Verschiebung von Z nach E: \(303\). Differenz: \(312 - 303 = 9\).

Das Plättchen muss in die Einer-Spalte (E) gelegt werden.

- Probiere verschiedene Möglichkeiten aus. Wo ist ein Plättchen am meisten wert? - Wenn die Zahl groß werden soll, sollten möglichst viele Plättchen in den Spalten ganz links liegen.

1. Aktuelle Zahl: \(1\) Hunderter, \(1\) Zehner, \(1\) Einer ergeben \(111\). 2. Möglichkeiten prüfen: - E nach H: \(210\) - E nach Z: \(120\) - Z nach H: \(201\) - Z nach E: \(102\) - H nach Z: \(0\) Hunderter, \(2\) Zehner und \(1\) Einer ergeben \(21\) - H nach E: \(0\) Hunderter, \(1\) Zehner und \(2\) Einer ergeben \(12\) 3. Vergleich: Die größte Zahl ist \(210\).

Die größte Zahl ist \(210\).

- Beginne bei der Einerstelle und beachte, welche Endziffer dort entstehen muss. - Denke daran, dass ein zweistelliges Einerergebnis einen Übertrag in die Zehnerstelle erzeugt. - Dieselbe Ziffer muss an jeder Stelle des Buchstabens funktionieren.

1. An der Einerstelle muss \(7 + K\) auf \(5\) enden. Das ist nur mit \(K=8\) möglich; dabei entsteht ein Übertrag von \(1\). 2. An der Zehnerstelle ergibt sich dann \(8 + 4 + 1 = 13\), passend zu den letzten beiden Stellen von \(135\) und dem Hunderterübertrag \(1\). 3. Probe: \(87 + 48 = 135\).

\(K = 8\)

- Beginne bei der Einerstelle; dort entsteht kein Übertrag. - Dieselbe Ziffer muss anschließend auch in der Zehnerstelle passen. - Prüfe den gefundenen Wert in der vollständigen Addition.

1. An der Einerstelle gilt \(3 + A = 7\), also ist \(A = 4\). 2. An der Zehnerstelle ergibt sich damit \(4 + 1 = 5\), passend zur Zehnerziffer des Ergebnisses. 3. Probe: \(43 + 14 = 57\).

\(A = 4\)

- Beginne mit der Einerstelle und bestimme den Übertrag. - Nutze dann die sichtbare Zehnerziffer des Produkts. - Erst danach prüfst du die Hunderterstelle.

1. Einer: \(4\cdot3=12\); es wird \(1\) übertragen. 2. Damit die Zehnerstelle des Produkts \(0\) wird, muss für die fehlende Ziffer \(z\) gelten, dass \(3z+1\) auf \(0\) endet. 3. \(z=3\), denn \(3\cdot3+1=10\). 4. Vollständig gilt \(234\cdot3=702\).

Das Sternchen ist \(3\).

- Ordne die vollständige Teilproduktzeile zuerst der Einerziffer des Multiplikators zu. - Suche eine einstellige Zahl, die zusammen mit dem Multiplikanden genau dieses Teilprodukt ergibt. - Kontrolliere anschließend das sichtbare Endprodukt.

1. Die Einer-Teilproduktzeile lautet \(1075\). 2. Gesucht ist eine Ziffer \(z\) mit \(215\cdot z=1075\). 3. \(z=5\). Damit lautet der Multiplikator \(15\), und \(215\cdot15=3225\).

Das Sternchen ist \(5\); der Multiplikator lautet \(15\).

- Kannst du die Aufgabe in deinen eigenen Worten beschreiben? - Was weißt du über das schriftliche Rechnen von rechts nach links? - Wie gehst du mit Überträgen um, wenn eine Ziffer oben kleiner ist als die Ziffer unten? - Könntest du die Aufgabe auch als Addition lösen, indem du von unten nach oben rechnest? - Hast du versucht, die gegebenen Antwortmöglichkeiten einfach mal einzusetzen und zu prüfen? - Was muss an der Zehnerstelle passieren, damit dort das angegebene Ergebnis steht?

1. Analyse der Einerstelle: \(11 - 3 = 8\), Übertrag \(1\) zur Zehnerstelle. 2. Aufstellen der Gleichung für die Zehnerstelle unter Berücksichtigung des Übertrags: \(15 - x - 1 = 7\). 3. Lösung für die unbekannte Ziffer: \(x = 7\). 4. Validierung der Hunderterstelle: \(4 - 2 - 1 = 1\), was mit dem Ergebnis übereinstimmt. 5. Resultat: Die verschmierte Ziffer ist \(7\).

c) 7

- Welche Stellen in einer Zahl haben den größten Einfluss auf den Gesamtwert? - Probiere aus, was passiert, wenn du die größten Ziffern an die Zehnerstellen setzt. - Es gibt nur zwei Möglichkeiten für die Einerstellen, wenn die Zehnerstellen feststehen. Rechne beide aus.

1. Um ein möglichst großes Produkt zu erhalten, müssen die größten Ziffern an den Zehnerstellen stehen. Die Zehnerstellen sind somit \(6\) und \(5\). 2. Testen der beiden möglichen Kombinationen für die Einerstellen: - \(62 \cdot 53 = 3286\) - \(63 \cdot 52 = 3276\) 3. Vergleich der Ergebnisse: \(3286 > 3276\). 4. Die gesuchte Aufgabe ist \(62 \cdot 53\).

Die Aufgabe mit dem größten Ergebnis ist \(62 \cdot 53 = 3286\). An die Zehnerstellen müssen die beiden größten Ziffern (\(6\) und \(5\)) gesetzt werden, damit die Zahlen möglichst groß werden.

- Wenn das Ergebnis klein sein soll, müssen dann die Zehnerstellen eher groß oder klein sein? - Überlege dir zuerst, welche Ziffern an die Zehnerstellen gehören. - Teste die verbleibenden Möglichkeiten durch Multiplizieren.

1. Bestimmung der Zehnerstellen: Für ein möglichst kleines Produkt müssen die kleinsten Ziffern (\(1\) und \(2\)) an den Zehnerstellen stehen. 2. Vergleich der Kombinationen: Es bleiben die Möglichkeiten \(14 \cdot 26\) und \(16 \cdot 24\). 3. Berechnung: \(14 \cdot 26 = 364\) und \(16 \cdot 24 = 384\). 4. Ergebnis: Das kleinste Produkt ist \(364\).

Die Kombination mit dem kleinsten Produkt ist \(14 \cdot 26 = 364\) (oder \(26 \cdot 14 = 364\)).

- Überlege, welche Zahl an der gesuchten Stelle stehen muss, damit die Rechnung beim schriftlichen Multiplizieren aufgeht. - Du kannst die Umkehroperation nutzen, um die fehlende Zahl zu finden. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die fertige Aufgabe noch einmal schriftlich nachrechnest. - Achte besonders auf die Stellen, an denen ein Übertrag entstehen könnte.

1. Für a) \(\square 12 \cdot 3 = 936\): Division des Ergebnisses durch den Faktor: \(936 : 3 = 312\). Die fehlende Hunderterziffer ist \(3\). 2. Für b) \(40\square \cdot 4 = 1632\): Division des Ergebnisses durch den Faktor: \(1632 : 4 = 408\). Die fehlende Einerziffer ist \(8\). 3. Für c) \(2\square 15 \cdot 3 = 6345\): Division des Ergebnisses durch den Faktor: \(6345 : 3 = 2115\). Die fehlende Hunderterziffer ist \(1\). 4. Für d) \(120\square \cdot 5 = 6040\): Division des Ergebnisses durch den Faktor: \(6040 : 5 = 1208\). Die fehlende Einerziffer ist \(8\).

a) \(3\) b) \(8\) c) \(1\) d) \(8\)

- Beginne bei den Einern und arbeite dich nach links vor. - Vergiss nicht, die Überträge zu beachten, wenn eine Summe an einer Stelle größer als 9 ist. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende durch eine normale schriftliche Addition.

1. Erste Aufgabe: An der Einerstelle muss \(7 + \text{Einer} = 12\) ergeben (mit Übertrag 1), also ist die fehlende Ziffer \(5\). An der Zehnerstelle gilt mit dem Übertrag: \(1 + \text{Zehner} + 8 = 15\) (mit Übertrag 1), also ist die fehlende Ziffer \(6\). Die Hunderterstelle ergibt \(1 + 3 + 4 = 8\). Die vollständige Rechnung lautet: \(367 + 485 = 852\). 2. Zweite Aufgabe: An der Einerstelle muss \(\text{Einer} + 4 = 13\) ergeben (mit Übertrag 1), also ist die fehlende Ziffer \(9\). An der Zehnerstelle gilt mit dem Übertrag: \(1 + 2 + 8 = 11\). Das Ergebnis zeigt an der Zehnerstelle eine \(1\) und einen Übertrag von \(1\) zur Hunderterstelle. An der Hunderterstelle gilt: \(1 + 5 + \text{Hunderter} = 9\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). Die vollständige Rechnung lautet: \(529 + 384 = 913\).

a) \(367 + 485 = 852\) b) \(529 + 384 = 913\)

- Arbeite in der dargestellten Rechnung von rechts nach links. - Prüfe in jeder Spalte, ob ein Übertrag zur nächsten Stelle entsteht. - Nutze die Ergebnisziffer jeder Spalte, um die dort fehlende Ziffer einzugrenzen.

1. Einerstelle: \(5 + 0 + 2 = 7\). Es gibt keinen Übertrag. 2. Zehnerstelle: \(4 + 1 + * = 9\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\). 3. Hunderterstelle: \(* + 2 + 3 = 9\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\). 4. Tausenderstelle: \(2 + * + 4 = 12\). Daher ist die fehlende Ziffer \(6\); es entsteht ein Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(1 + 3 + 2 + 1 = 7\). Damit lautet die vollständige Rechnung \(12\,445 + 36\,210 + 24\,342 = 72\,997\).

Die fehlenden Ziffern sind im oberen Summanden \(4\), im mittleren Summanden \(6\) und im unteren Summanden \(4\). Die vollständige Rechnung lautet \(12\,445 + 36\,210 + 24\,342 = 72\,997\).

- Beginne bei der Einerstelle und arbeite nach links. - Nimm einen Übertrag aus der vorherigen Spalte immer mit. - Bestimme pro Spalte nur die Ziffer, die du dort wirklich brauchst.

1. Einerstelle: \(3 + 9 = 12\). Man schreibt \(2\) und überträgt \(1\). 2. Zehnerstelle: \(5 + * + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\). 3. Hunderterstelle: \(7 + 4 + 1 = 12\). Daher ist die fehlende Ergebnisziffer \(2\). 4. Tausenderstelle: \(* + 8 + 1 = 12\). Daher ist die fehlende Ziffer \(3\). 5. Zehntausenderstelle: \(4 + 2 + 1 = 7\). Die vollständige Rechnung ist \(43\,753 + 28\,449 = 72\,202\).

Die fehlenden Ziffern sind im oberen Summanden \(3\), im unteren Summanden \(4\) und im Ergebnis \(2\). Die vollständige Rechnung lautet \(43\,753 + 28\,449 = 72\,202\).

- Versuche die Aufgabe von rechts nach links wie eine normale Subtraktion zu lösen. - Wenn eine Ziffer oben kleiner ist als unten, musst du „entbündeln“ – wie wirkt sich das auf die Lücke aus? - Du kannst auch die Umkehraufgabe nutzen: Was musst du zum Ergebnis addieren, um die obere Zahl zu erhalten? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die fertige Aufgabe noch einmal ganz durchrechnest.

1. Einerstelle prüfen: Da \(5 < 8\) gilt, wird ein Zehner entbündelt. Es ergibt sich \(15 - 8 = 7\). 2. Zehnerstelle bestimmen: Nach der Entbündelung ist die obere Zehnerziffer um \(1\) kleiner. Für die gesuchte Ziffer \(z\) gilt daher \((z-1) - 4 = 2\). Somit ist \(z = 7\). 3. Hunderterstelle bestimmen: Da \(2 < 8\) gilt, wird ein Tausender entbündelt. Die Rechnung lautet \(12 - \text{Lücke} = 4\), also ist die fehlende Ziffer im Subtrahenden \(8\). 4. Tausenderstelle prüfen: Nach der Entbündelung gilt \(5 - 2 = 3\). Die Rechnung ist korrekt. Die fehlenden Ziffern sind \(7\) und \(8\).

Die fehlende Ziffer im Minuend (obere Zahl) ist \(7\), die im Subtrahend (untere Zahl) ist \(8\). Die vollständige Rechnung lautet \(6275 - 2848 = 3427\).

- Beginne ganz rechts und überlege, was beim Subtrahieren von \(6\) von einer Null passieren muss. - Verfolge die Entbündelung über die aufeinanderfolgenden Nullen. - Nutze danach die Ergebnisziffern, um die beiden weiteren Sternchen festzulegen.

1. Einerstelle: Da oben eine \(0\) stehen muss und \(0<6\) gilt, wird über die Nullen hinweg entbündelt. Es entsteht \(10-6=4\). 2. Zehner- bis Tausenderstelle: Nach dem Entbündeln steht dort jeweils \(9\). Es gilt \(9-5=4\), \(9-4=5\) und \(9-3=6\). 3. Zehntausenderstelle: \(9-* = 7\). Die fehlende Ziffer im Subtrahenden ist \(2\). 4. Hunderttausenderstelle: Durch das Entbündeln wurde die \(3\) zu \(2\). Daher gilt \(2-1=1\); die fehlende Ergebnisziffer ist \(1\). 5. Die vollständige Rechnung lautet \(300\,000 - 123\,456 = 176\,544\).

Die fehlende Ziffer im Minuenden ist \(0\), die fehlende Ziffer im Subtrahenden ist \(2\), und die fehlende Ergebnisziffer ist \(1\). Vollständig: \(300\,000 - 123\,456 = 176\,544\).

- Kannst du die gesuchte Zahl finden, indem du eine andere Minusaufgabe rechnest? - Wie kannst du die Umkehraufgabe (Addition) nutzen, um dein Ergebnis zu prüfen? - Bei Teil b) hilft es, zuerst die komplette Zahl auszurechnen, die abgezogen wurde.

1. Zu Teil a): Um den fehlenden Subtrahenden zu finden, berechnet man die Differenz zwischen dem Minuenden und dem Ergebnis: \(625\,000 - 187\,654 = 437\,346\). 2. Zu Teil b): Um die gesamte subtrahierte Zahl zu finden, rechnet man \(403\,506 - 215\,212\). Das Ergebnis dieser Rechnung ist \(188\,294\). 3. Vergleich mit dem Lückentext \(1*8\,2*4\): Die erste Ziffer (\(*\)) an der Zehntausenderstelle ist die \(8\), die zweite Ziffer (\(*\)) an der Zehnerstelle ist die \(9\).

a) Die Zahl lautet \(437\,346\). b) Das erste Sternchen steht für die Ziffer \(8\), das zweite Sternchen steht für die Ziffer \(9\).

- Achte darauf, dass die Zahlen stellenwertrichtig untereinanderstehen. - Beachte, dass die Summanden unterschiedlich viele Stellen haben können.

1. Einerstelle: \(4 + 5 + * = 10\), also ist die fehlende Ziffer \(1\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(6 + * + 1 + 1 = 13\), also ist die fehlende Ziffer \(5\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(* + 8 + 5 + 1 = 19\), also ist die fehlende Ziffer \(5\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(2 + 1 + 1 = 4\). 5. Zehntausenderstelle: Die \(1\) wird übernommen. Die Rechnung lautet: \(12\,564 + 1855 + 511 = 14\,930\).

Die vollständige Rechnung ist: \(12\,564 + 1855 + 511 = 14\,930\)

- Bei \(1000\) musst du für die Einer über mehrere Nullstellen hinweg entbündeln. - Verfolge dabei, wie aus dem Tausender Hunderter, Zehner und schließlich Einer werden. - Prüfe deine vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Für die Einerstelle muss über die Nullen hinweg entbündelt werden. Dadurch stehen bei den Einern \(10\) Einer zur Verfügung: \(10 - * = 7\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). 2. Nach dem Entbündeln stehen bei den Zehnern \(9\) Zehner zur Verfügung. Es gilt \(9 - 4 = 5\). 3. Bei den Hundertern gilt \(9 - * = 6\), also ist die zweite fehlende Ziffer \(3\). 4. Die Rechnung lautet \(1000 - 343 = 657\).

Die fehlenden Ziffern sind \(3\) und \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(1000 - 343 = 657\).

- Betrachte zuerst nur die Addition der beiden Subtrahenden. - Welche gleiche Ziffer muss in der Zehnerspalte zweimal vorkommen, damit dort \(6\) entsteht? - Prüfe anschließend, ob die Summe der beiden Subtrahenden beim Abziehen von \(999\) wirklich \(631\) ergibt.

1. Zuerst werden die beiden Subtrahenden addiert. Aus der Zehnerspalte der ersten Rechnung folgt \(* + * = 6\). Da beide Sternchen dieselbe Ziffer bedeuten, ist die gesuchte Ziffer \(3\). Damit gilt \(133 + 235 = 368\). 2. Anschließend wird die Summe der Subtrahenden vom Minuenden abgezogen: \(999 - 368 = 631\). 3. Damit lautet die ursprüngliche Rechnung \(999 - 133 - 235 = 631\).

Die gesuchte Ziffer ist \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(999 - 133 - 235 = 631\).

- Prüfe in jeder Spalte zuerst, ob die obere Ziffer groß genug zum Abziehen ist. - Wenn du entbündelst, vermindert sich die nächsthöhere Stelle um \(1\). - Kontrolliere die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(2 - 7\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(12 - 7 = 5\); dadurch wird die Zehnerziffer des Minuenden von \(4\) auf \(3\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(3 - * = 2\), also ist die fehlende Ziffer \(1\). 3. Hunderterstelle: Die obere Ziffer muss nach dem Entbündeln \(13\) ergeben, denn \(13 - 5 = 8\). Daher war die fehlende Hunderterziffer \(3\); die Tausenderziffer des Minuenden wird von \(8\) auf \(7\) vermindert. 4. Tausenderstelle: \(7 - * = 4\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(8342 - 3517 = 4825\).

\(8342 - 3517 = 4825\). Eine passende Entbündelungsbegründung muss eine der vier fehlenden Ziffern aus der veränderten oberen Stelle herleiten.

- Arbeite beim Abziehverfahren von den Einern nach links und notiere jede Stelle, die durch Entbündeln um \(1\) kleiner wird. - Wenn oben nach einem Entbündeln eine \(0\) steht, kann in der nächsten Spalte erneut Entbündeln nötig sein. - Prüfe am Ende die vollständige Subtraktion mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(2 - 5\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(12 - 5 = 7\). Damit ist die fehlende Einerziffer des Subtrahenden \(5\); die Zehnerziffer des Minuenden wird von \(1\) auf \(0\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(0 - 5\) ist nicht möglich. Aus der Hunderterstelle wird entbündelt, sodass \(10 - 5 = 5\). Damit ist die fehlende Zehnerziffer im Ergebnis \(5\); die Hunderterziffer des Minuenden wird von \(4\) auf \(3\) vermindert. 3. Hunderterstelle: \(3 - *\) reicht für die Ergebnisziffer \(6\) nicht aus. Nach dem Entbündeln aus der Tausenderstelle gilt \(13 - * = 6\), also ist die fehlende Ziffer des Subtrahenden \(7\). 4. Tausenderstelle: Nach dem Entbündeln gilt \(6 - 3 = 3\). Damit ist die fehlende Tausenderziffer im Ergebnis \(3\). 5. Die vollständige Rechnung lautet \(7412 - 3755 = 3657\).

\(7412 - 3755 = 3657\)

- Bei vier Summanden können die Überträge auch \(2\) oder sogar \(3\) sein. - Gehe Spalte für Spalte von rechts nach links vor.

1. Einerstelle: \(4 + 5 + 6 + 8 = 23\). Die \(3\) wird notiert, Übertrag \(2\). 2. Zehnerstelle: \(8 + 2 + 5 + 6 + 2 = 23\). Die fehlende Ergebnisziffer ist \(3\), Übertrag \(2\). 3. Hunderterstelle: \(* + 9 + 1 + 2 + 2 = 17\). Daher ist die fehlende Ziffer im ersten Summanden \(3\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(0 + 7 + 4 + 6 + 1 = 18\). Die Ergebnisziffer ist \(8\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(6 + 3 + * + 1 = 14\). Daher ist die fehlende Ziffer im dritten Summanden \(4\). Die vollständige Rechnung lautet: \(60\,384 + 37\,925 + 44\,156 + 6268 = 148\,733\).

Die vollständige Rechnung lautet: \(60\,384 + 37\,925 + 44\,156 + 6268 = 148\,733\).

- Auch bei sechsstelligen Zahlen arbeitest du Spalte für Spalte von rechts nach links und berücksichtigst jeden Übertrag. - In der höchsten Stelle wird die Ergebnisziffer aus den dort vorhandenen Ziffern und einem möglichen Übertrag gemeinsam bestimmt. - Prüfe alle ergänzten Ziffern mit der vollständigen Addition.

1. Einerstelle: \(6 + 1 + 7 = 14\). Ergebnisziffer \(4\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(5 + 0 + 6 + 1 = 12\). Ergebnisziffer \(2\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(4 + 9 + * + 1 = 19\). Daraus folgt \(* = 5\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(3 + 8 + 4 + 1 = 16\). Die fehlende Ergebnisziffer ist \(6\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(* + 7 + 3 + 1 = 13\). Daraus folgt \(* = 2\), Übertrag \(1\). 6. Hunderttausenderstelle: \(1 + 0 + 2 + 1 = 4\). Die vollständige Rechnung lautet \(123\,456 + 78\,901 + 234\,567 = 436\,924\).

\(123\,456 + 78\,901 + 234\,567 = 436\,924\)

- Gehe bei jeder Rechnung von rechts nach links durch die Stellen des Abziehverfahrens. - Beachte, dass Entbündeln die Ziffer der nächsthöheren Stelle verändert. - Wenn eine gesuchte Ziffer im Subtrahenden steht, kannst du aus oberer Ziffer und Ergebnisziffer bestimmen, was abgezogen worden sein muss.

1. In a) ergibt die Einerstelle \(2 - 4\) nach dem Entbündeln \(12 - 4 = 8\). Die Zehnerstelle des Minuenden wird dadurch von \(8\) auf \(7\). Aus \(7 - 3 = 4\), \(5 - * = 3\) und \(4 - 1 = 3\) folgt die fehlende Ziffer \(2\). Die vollständige Rechnung ist \(4582 - 1234 = 3348\). 2. In b) wird der fehlende Subtrahend durch die Spalten des Abziehverfahrens bestimmt. Die vollständige Rechnung lautet \(12\,043 - 2567 = 9476\); damit ist die fehlende Tausenderziffer \(2\). 3. In c) ist die Einerstelle bereits vollständig: \(5 - 0 = 5\). Das Sternchen steht an der Zehnerstelle. Dort gilt \(* - 1 = 4\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Minuenden \(5\). Die vollständige Rechnung lautet \(87\,655 - 23\,410 = 64\,245\).

a) \(4582 - 1234 = 3348\); fehlende Ziffer: \(2\) b) \(12\,043 - 2567 = 9476\); fehlende Ziffer: \(2\) c) \(87\,655 - 23\,410 = 64\,245\); fehlende Ziffer: \(5\)

- Beginne bei der Einerstelle und arbeite von rechts nach links. - Wenn eine Spaltensumme mindestens \(10\) ist, notiere die Einerziffer und nimm den Übertrag in die nächste Spalte mit. - Setze jede gefundene Ziffer sofort in die nächste Spaltenrechnung ein und prüfe am Ende die ganze Addition.

1. Einerstelle: \(* + 5 = 7\). Daher ist die fehlende Ziffer \(2\). 2. Zehnerstelle: \(8 + 3 = 11\). Die Ergebnisziffer ist \(1\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(7 + * + 1 = 16\). Daher ist die fehlende Ziffer \(8\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(8 + 3 + 1 = 12\). Die Ergebnisziffer ist \(2\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(4 + 2 + 1 = 7\). Die vollständige Rechnung lautet \(48\,782 + 23\,835 = 72\,617\).

\(48\,782 + 23\,835 = 72\,617\)

- Gehe von rechts nach links und notiere nach jedem Entbündeln die neue obere Ziffer. - Wenn die obere Ziffer kleiner als die untere ist, musst du aus der nächsthöheren Stelle entbündeln. - Kontrolliere die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(* - 7\) ist nicht direkt möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(13 - 7 = 6\), also ist die fehlende Einerziffer des Minuenden \(3\); die Zehnerziffer wird von \(2\) auf \(1\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(1 - *\) ist für die Ergebnisziffer \(5\) zu klein. Nach dem Entbündeln aus der Hunderterstelle gilt \(11 - * = 5\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Subtrahenden \(6\). 3. Hunderterstelle: Die obere Ziffer ist nach dem Entbündeln \(0\). Für \(0 - 6\) wird aus der Tausenderstelle entbündelt: \(10 - 6 = 4\). Damit war die fehlende ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden \(1\). 4. Tausenderstelle: Die \(5\) wurde auf \(4\) vermindert. Es gilt \(4 - * = 2\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(2\). 5. Die vollständige Rechnung lautet \(5123 - 2667 = 2456\).

\(5123 - 2667 = 2456\)

- Wenn das Ergebnis an einer Stelle 0 ist, gab es meistens einen Übertrag zur nächsten Stelle. - Überprüfe jede Spalte einzeln von rechts nach links.

1. Einerstelle: \(1 + * = 10\), also ist \(* = 9\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(5 + 4 + 1 = 10\). Die Ziffer im Ergebnis ist \(0\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(* + 7 + 1 = 10\), also ist \(* = 2\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(4 + * + 1 = 9\), also ist \(* = 4\). Die Rechnung lautet: \(4251 + 4749 = 9000\).

Die vervollständigte Aufgabe sieht so aus: \(4251 + 4749 = 9000\)

- Arbeite dich von rechts nach links durch. - Vergiss keinen der Überträge.

1. Einerstelle: \(* + 7 = 15\), also ist die fehlende Ziffer \(8\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(8 + * + 1 = 14\), also ist die fehlende Ziffer \(5\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(* + 2 + 1 = 10\), also ist die fehlende Ziffer \(7\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(3 + * + 1 = 8\), also ist die fehlende Ziffer \(4\). Die Rechnung lautet: \(3788 + 4257 = 8045\).

Die vervollständigte Rechnung lautet: \(3788 + 4257 = 8045\)

- Beginne bei den Einern; dort lässt sich eine fehlende Ziffer direkt bestimmen. - Verfolge danach jede Entbündelung und notiere, welche obere Ziffer dadurch kleiner wird. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(* - 3 = 2\), also ist die fehlende Einerziffer des Minuenden \(5\). 2. Zehnerstelle: \(1 - *\) reicht für die Ergebnisziffer \(9\) nicht aus. Nach dem Entbündeln gilt \(11 - * = 9\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Subtrahenden \(2\); die Hunderterziffer des Minuenden wird von \(1\) auf \(0\) vermindert. 3. Hunderterstelle: \(0 - 2\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln aus der Tausenderstelle gilt \(10 - 2 = 8\). Damit war die fehlende ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden \(1\). 4. Tausenderstelle: Die \(6\) wurde auf \(5\) vermindert. Es gilt \(5 - * = 3\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(2\). 5. Die vollständige Rechnung lautet \(6115 - 2223 = 3892\).

\(6115 - 2223 = 3892\)

- Bei einem Ergebnis wie 6000 hast du an fast jeder Stelle einen Übertrag. - Prüfe am Ende, ob alle Spalten zusammen wirklich 6000 ergeben.

1. Einerstelle: \(6 + * = 10\), also ist die Ziffer \(4\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(7 + 2 + 1 = 10\). Die Ziffer im Ergebnis ist \(0\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(* + 3 + 1 = 10\), also ist die Ziffer \(6\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(2 + * + 1 = 6\), also ist die Ziffer \(3\). Die Rechnung lautet: \(2676 + 3324 = 6000\).

Die korrekte Rechnung ist: \(2676 + 3324 = 6000\)

- Gehe Spalte für Spalte von rechts nach links vor. - Wenn die Summe in einer Spalte \(10\) oder mehr ergibt, notiere den Übertrag für die nächste Spalte links daneben.

1. Einerstelle: \(5 + 2 = 7\). Korrekt. 2. Zehnerstelle: \(4 + * = 0\) bedeutet \(4 + 6 = 10\). Also ist die Ziffer \(6\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + * + 7 = 1\) bedeutet \(8 + * = 11\). Die Ziffer ist \(3\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + 3 + * = 8\) bedeutet \(4 + * = 8\). Die Ziffer ist \(4\). Die Rechnung lautet: \(3345 + 4762 = 8107\).

Die fehlenden Ziffern sind \(3\), \(4\) und \(6\). Die vollständige Aufgabe ist \(3345 + 4762 = 8107\).

- Denke daran, dass ein Sternchen an der Einerstelle zusammen mit der \(8\) eine Zahl ergeben muss, die auf \(1\) endet. - Überprüfe nach jeder Spalte, ob ein Übertrag entstanden ist.

1. Einerstelle: \(* + 8 = 11\) ergibt \(* = 3\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 + 2 + * = 11\) ergibt \(* = 8\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 + * + 4 = 12\) ergibt \(* = 7\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(1 + 6 + 2 = 9\). Korrekt. Die Rechnung lautet: \(6723 + 2488 = 9211\).

Die fehlenden Ziffern sind \(7\), \(3\) und \(8\). Die Rechnung lautet \(6723 + 2488 = 9211\).

- Bei drei Summanden funktioniert das Prinzip genauso: Addiere die bekannten Ziffern einer Spalte und schaue, was bis zur Ziffer im Ergebnis fehlt. - Achte darauf, dass der Übertrag auch \(2\) sein könnte, wenn die Summe über \(20\) liegt.

1. Einerstelle: \(2 + * + 5 = 11\) (da das Ergebnis auf \(1\) endet). \(7 + * = 11 \Rightarrow * = 4\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + * + 4 + 0 = 13\). \(5 + * = 13 \Rightarrow * = 8\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + 1 + 2 + * = 7\). \(4 + * = 7 \Rightarrow * = 3\). Die Rechnung lautet: \(182 + 244 + 305 = 731\).

Die fehlenden Ziffern sind \(8\), \(4\) und \(3\). Die Rechnung lautet \(182 + 244 + 305 = 731\).

- Addiere zuerst alle Ziffern, die du in einer Spalte schon kennst. - Überlege dann, wie viel bis zur Ziffer im Ergebnis (oder zur nächsthöheren Zehnerzahl) fehlt.

1. Einerstelle: \(5 + * + 4 = 16\) (da Ergebnis auf \(6\) endet). \(9 + * = 16 \Rightarrow * = 7\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + * + 1 + 2 = 12\). \(4 + * = 12 \Rightarrow * = 8\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + 3 + 1 + 2 = 7\). Korrekt. Die Rechnung lautet: \(385 + 117 + 224 = 726\).

Die fehlenden Ziffern sind \(8\) und \(7\). Die Rechnung ist \(385 + 117 + 224 = 726\).

- Hier musst du manchmal zwei Sterne gleichzeitig betrachten, die voneinander abhängen. - Probiere für einen Stern eine Ziffer aus und schaue, ob der Rest der Spalte dann Sinn ergibt.

1. Einerstelle: \(* + 4 = 11\). Daher ist die fehlende Ziffer \(7\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 + 6 + * = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(3\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 + * + 8 = 14\). Daher ist die fehlende Ziffer im ersten Summanden \(5\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(1 + 4 + * = 7\). Daher ist die fehlende Ziffer im zweiten Summanden \(2\). Die vollständige Rechnung lautet: \(4567 + 2834 = 7401\).

Die fehlenden Ziffern sind \(5\), \(7\), \(2\) und \(3\). Die Rechnung lautet: \(4567 + 2834 = 7401\).

- Verfolge die Entbündelung von der Tausenderstelle bis zu den Einern durch beide Nullstellen hindurch. - Nach dem Weitergeben bleiben in den mittleren Stellen jeweils \(9\) Einheiten des betreffenden Stellenwerts zurück. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Für die Einerstelle muss über die beiden Nullstellen hinweg aus der Tausenderstelle entbündelt werden. Die \(9\) wird dadurch zu \(8\), die Hunderterstelle wird nach dem Weitergeben zu \(9\), die Zehnerstelle ebenfalls zu \(9\), und bei den Einern stehen \(10\) Einer zur Verfügung. 2. Einerstelle: \(10 - 4 = 6\). 3. Zehnerstelle: \(9 - 3 = 6\). Damit ist die fehlende Ergebnisziffer \(6\). 4. Hunderterstelle: \(9 - 2 = 7\). Die fehlende ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden ist \(0\). 5. Tausenderstelle: \(8 - 1 = 7\). Die vollständige Rechnung lautet \(9000 - 1234 = 7766\).

\(9000 - 1234 = 7766\)

- Bei großen Zahlen ist sorgfältiges Rechnen Spalte für Spalte besonders wichtig. - Achte darauf, an welcher Stelle ein Sternchen steht: im Summanden oder im Ergebnis.

1. Einer: \(5 + 8 = 13\). Schreibe \(3\), Übertrag \(1\). 2. Zehner: \(4 + * + 1 = 12\). Damit ist \(* = 7\). Übertrag \(1\). 3. Hunderter: \(* + 7 + 1 = 11\). Damit ist \(* = 3\). Übertrag \(1\). 4. Tausender: \(2 + 8 + 1 = 11\). Die Ziffer im Ergebnis ist somit \(1\). Übertrag \(1\). 5. Zehntausender: \(1 + 3 + 1 = 5\). Das passt.

Die vollständige Rechnung ist: \(12\,345 + 38\,778 = 51\,123\).

- Ein Ergebnis mit vielen Nullen deutet darauf hin, dass die Summen in den Spalten oft genau \(10\) (oder ein Vielfaches) ergeben. - Achte konsequent auf die Überträge.

1. Einer: \(* + 3 = 10 \implies * = 7\). Übertrag \(1\). 2. Zehner: \(9 + * + 1 = 10 \implies * = 0\). Übertrag \(1\). 3. Hunderter: \(* + 2 + 1 = 10 \implies * = 7\). Übertrag \(1\). 4. Tausender: \(7 + 1 + 1 = 9\). Das passt zum Ergebnis.

Die Rechnung lautet: \(7797 + 1203 = 9000\).

- Verfolge die Entbündelung von der Zehntausenderstelle bis zu den Einern durch alle vier Nullstellen. - Nach dem Weitergeben bleiben in den mittleren Stellen jeweils \(9\) Einheiten des betreffenden Stellenwerts zurück. - Nutze die bekannten Ergebnisziffern, um die fehlenden Ziffern im Subtrahenden zu bestimmen.

1. Für die Einerstelle muss über alle Nullstellen hinweg aus der Zehntausenderstelle entbündelt werden. Die führende Ziffer ist daher \(8\); sie wird beim Entbündeln zu \(7\). 2. Einerstelle: \(10 - 5 = 5\). 3. Zehnerstelle: Nach der Entbündelung stehen \(9\) Zehner zur Verfügung. Es gilt \(9 - * = 6\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Subtrahenden \(3\). 4. Hunderterstelle: \(9 - 3 = 6\). Damit ist die fehlende Hunderterziffer im Ergebnis \(6\). 5. Tausenderstelle: \(9 - * = 2\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(7\). 6. Zehntausenderstelle: Nach dem Entbündeln gilt \(7 - 1 = 6\). Die vollständige Rechnung lautet \(80\,000 - 17\,335 = 62\,665\).

\(80\,000 - 17\,335 = 62\,665\)

- Bei drei Summanden addierst du einfach alle drei Ziffern einer Spalte. - Wenn die Summe \(10\) oder \(20\) erreicht, notiere den entsprechenden Übertrag.

1. Einer: \(* + 7 + 2 = 9 \implies * + 9 = 9 \implies * = 0\). 2. Zehner: \(5 + 6 + * = 19 \implies 11 + * = 19 \implies * = 8\). Übertrag \(1\). 3. Hunderter: \(4 + 3 + 1 + 1 (\text{Übertrag}) = 9\). Das passt zum Ergebnis.

Die Rechnung lautet: \(450 + 367 + 182 = 999\).

- Nutze zuerst die Einerstelle der Addition, um die Summe der beiden Ziffern einzugrenzen. - Berücksichtige, dass die dreistellige Summe einen Übertrag enthält. - Verwende danach die zusätzliche Bedingung über den Abstand der beiden Ziffern.

1. An der Einerstelle werden \(A\) und \(B\) addiert. Da die Ergebnis-Einerziffer \(1\) ist und ein Übertrag entsteht, muss die Ziffernsumme \(11\) betragen. 2. Gesucht sind daher zwei verschiedene Ziffern mit Summe \(11\), von denen die größere genau \(3\) größer ist. 3. Das Ziffernpaar \(7\) und \(4\) erfüllt beide Bedingungen. 4. Probe: \(74 + 47 = 121\). Der Übertrag \(1\) aus der Einerstelle führt an der Zehnerstelle zu \(7 + 4 + 1 = 12\).

\(A = 7\) und \(B = 4\)

- Beginne bei der Einerstelle und verfolge jede Veränderung durch das Entbündeln. - Nach dem ersten Entbündeln ist auch die Zehnerstelle der oberen Zahl verändert. - Dieselbe Ziffer \(A\) muss sowohl an der Hunderter- als auch an der Zehnerstelle zur gesamten Rechnung passen.

1. An der Einerstelle muss wegen \(2 - 7\) entbündelt werden. Es wird \(12 - 7 = 5\) gerechnet; dadurch bleibt an der Zehnerstelle der oberen Zahl zunächst \(2\). 2. Damit die Zehnerziffer des Ergebnisses \(6\) wird, reicht \(2 - A\) nicht aus. Es muss erneut entbündelt werden, sodass \(12 - A = 6\). 3. Daraus folgt \(A = 6\). 4. Durch dieses zweite Entbündeln wird die Hunderterziffer oben von \(6\) auf \(5\) vermindert; \(5 - 1 = 4\) passt zur Hunderterziffer des Ergebnisses. 5. Probe: \(632 - 167 = 465\).

\(A = 6\)

- Betrachte zuerst nur die Einerstelle des dargestellten Produkts. - Welche Ziffern können bei \(4 \cdot A\) eine Einerziffer \(2\) erzeugen? - Prüfe die verbleibenden Möglichkeiten mit dem Übertrag in der Zehnerstelle.

1. An der Einerstelle muss \(4 \cdot A\) auf \(2\) enden. Dafür kommen zunächst \(A=3\) oder \(A=8\) infrage. 2. Für \(A=3\) gilt \(4 \cdot 3=12\): Die \(2\) wird notiert und \(1\) übertragen. Danach ergibt \(3 \cdot 3+1=10\), also genau \(102\). 3. Für \(A=8\) ergäbe die Einerrechnung \(32\) und danach \(8 \cdot 8+3=67\); das passt nicht zum dargestellten Produkt. 4. Damit ist nur \(A=3\) möglich. Probe: \(34 \cdot 3=102\).

\(A=3\)

- Addiere zuerst nur die Einerziffern und beachte die geforderte Endziffer. - Ein zweistelliges Ergebnis der Einerspalte erzeugt einen Übertrag. - Setze denselben Wert für \(A\) anschließend auch in beiden Zehnerstellen ein.

1. An der Einerstelle gilt \(6 + A + 8\). Da die Ergebnis-Einerziffer \(7\) ist, muss \(14 + A\) auf \(7\) enden. Daher ist \(A=3\), und es entsteht ein Übertrag \(1\). 2. An der Zehnerstelle ergibt sich dann \(3 + 2 + 3 + 1 = 9\), passend zur Ergebnis-Zehnerziffer. 3. Probe: \(36 + 23 + 38 = 97\).

\(A = 3\)

- Eine vollständige Teilproduktzeile kann dir die ganze erste Zahl verraten. - Ordne die Zeile zuerst der richtigen Multiplikatorziffer zu. - Nutze die zweite Zeile anschließend als unabhängige Kontrolle.

1. Die Einerzeile gehört zur Multiplikatorziffer \(5\) und lautet \(1820\). Daher muss die erste Zahl \(1820:5=364\) sein. 2. Die fehlende Zehnerziffer der ersten Zahl ist also \(6\). 3. Die zweite Teilproduktzeile bestätigt dies: \(364\cdot2=728\).

Das Sternchen ist \(6\); die erste Zahl lautet \(364\).

- Nutze den Rest des ersten sichtbaren Schritts zusammen mit der heruntergeholten Dividendziffer. - Bei jedem Teildividenden bestimmst du zuerst die passende Quotientenziffer und daraus den Subtrahenden. - Der letzte verbleibende Betrag muss kleiner als der Divisor sein.

1. Nach \(5-4=1\) wird die fehlende Zehnerziffer heruntergeholt. Der nächste Teildividend ist \(13\), also ist die fehlende Dividendziffer \(3\). 2. \(13:4\) liefert die Quotientenziffer \(3\) und den Subtrahenden \(12\); Rest \(1\). Mit der letzten Dividendziffer \(8\) entsteht \(18\). 3. \(18:4\) liefert die Quotientenziffer \(4\) und den Subtrahenden \(16\); Rest \(2\). 4. Vollständig gilt \(538:4=134\,\text{Rest}\,2\).

Dividendziffer: \(3\); fehlende Quotientenziffern: \(3\) und \(4\); Subtrahenden: \(12\) und \(16\); Rest: \(2\).

- Arbeite bis zu dem Schritt, an dem der Dividend ein Sternchen hat. - Der sichtbare Teildividend verrät die heruntergeholte fehlende Ziffer. - Diese Teildivision legt anschließend die fehlende Quotientenziffer fest.

1. Nach \(6-5=1\) wird die \(8\) heruntergeholt. In \(18\) passt die \(5\) dreimal; Rest \(3\). 2. Der nächste sichtbare Teildividend ist \(34\). Daher muss die fehlende Dividendziffer \(4\) sein. 3. In \(34\) passt die \(5\) sechsmal; Rest \(4\). Damit ist die fehlende Quotientenziffer \(6\). 4. Mit der letzten Dividendziffer entsteht \(45\), und \(45:5=9\). Vollständig gilt \(6845:5=1369\).

Die fehlende Dividendziffer ist \(4\); die fehlende Quotientenziffer ist \(6\). Vollständig: \(6845:5=1369\).

- Arbeite die Spalten von rechts nach links ab und berücksichtige jeden Übertrag in der nächsten Spalte. - In b) werden in jeder Spalte drei Summanden addiert; achte deshalb darauf, alle drei Ziffern einzubeziehen. - Wenn eine Spaltensumme mindestens \(10\) ist, steht nur ihre Einerziffer unten und der Zehner wird übertragen. - Prüfe am Ende jede vervollständigte Addition vollständig.

1. In a) ergibt die Einerstelle \(7 + * = 12\), also ist die fehlende Ziffer \(5\) und der Übertrag \(1\). 2. In der Zehnerstelle gilt \(2 + 8 + 1 = 11\), daher steht im Ergebnis eine \(1\) und es gibt erneut den Übertrag \(1\). 3. In der Hunderterstelle gilt \(* + 5 + 1 = 12\), also ist die fehlende Ziffer \(6\). In der Tausenderstelle folgt aus \(4 + * + 1 = 13\) die Ziffer \(8\). Damit lautet a) vollständig \(34\,627 + 18\,585 = 53\,212\). 4. In b) ergibt die Einerstelle \(5 + * + 9 = 17\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). 5. In der Zehnerstelle gilt \(4 + 8 + * + 1 = 18\), also ist die fehlende Ziffer \(5\). In der Hunderterstelle gilt \(* + 3 + 2 + 1 = 11\), daher ist auch dort die fehlende Ziffer \(5\). 6. Die Tausenderstelle ergibt \(2 + 4 + 1 + 1 = 8\). Damit lautet b) vollständig \(2545 + 4383 + 1259 = 8187\).

a) \(34\,627 + 18\,585 = 53\,212\) b) \(2545 + 4383 + 1259 = 8187\)

- Arbeite beim Abziehverfahren von rechts nach links und entbündele, wenn die obere Ziffer für die Subtraktion nicht ausreicht. - Wenn über eine Null hinweg entbündelt werden muss, verändert sich mehr als eine Stelle des Minuenden. - Prüfe jede gefundene Ziffer in der vollständigen Spalte, bevor du zur nächsten Stelle gehst. - Am Ende kannst du mit der Umkehraufgabe aus Differenz plus Subtrahend kontrollieren.

1. In a) muss bei den Einern entbündelt werden: \(13 - 7 = 6\). Die Zehnerziffer des Minuenden wird dadurch von \(8\) zu \(7\). 2. In der Zehnerspalte gilt \(7 - 1 = 6\). In der Hunderterspalte muss \(4 - * = 0\) gelten, also ist die fehlende Ziffer \(4\). 3. In der Tausenderspalte gilt \(* - 1 = 8\), also ist die fehlende Ziffer \(9\). In der Zehntausenderspalte gilt \(4 - * = 1\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). Damit lautet a) \(49\,483 - 31\,417 = 18\,066\). 4. In b) muss für die Einerstelle über die Null in der Zehnerstelle entbündelt werden. Aus einem Hunderter werden zehn Zehner; einer dieser Zehner wird zu zehn Einern. Dadurch gilt bei den Einern \(16 - 7 = 9\) und bei den Zehnern \(9 - 8 = 1\). 5. Die Hunderterziffer des Minuenden ist nach dem Entbündeln \(6\). Daher gilt \(6 - * = 4\), also ist die fehlende Ziffer \(2\). 6. In der Tausenderspalte gilt \(* - 4 = 3\), also ist die fehlende Ziffer \(7\). In der Zehntausenderspalte gilt \(8 - * = 7\), also ist die fehlende Ziffer \(1\). Damit lautet b) \(87\,706 - 14\,287 = 73\,419\).

a) \(49\,483 - 31\,417 = 18\,066\) b) \(87\,706 - 14\,287 = 73\,419\)

- Gehe Spalte für Spalte vor und berücksichtige immer den Übertrag aus der vorherigen Spalte. - Die Sterne stehen für verschiedene Stellen; ein gefundener Wert gilt nicht automatisch für einen anderen Stern. - Nutze die bereits sichtbaren Ergebnisziffern, um jede fehlende Stelle einzeln festzulegen.

1. Einer: \(8 + 4 = 12\). Im Ergebnis steht \(2\), Übertrag \(1\). 2. Zehner: \(1 + 1 + \square = 11\). Die fehlende Zehnerziffer des zweiten Summanden ist daher \(9\), Übertrag \(1\). 3. Hunderter: \(1 + 2 + 9 = 12\). Im Ergebnis steht \(2\), Übertrag \(1\). 4. Tausender: \(1 + 4 + \square = 13\). Die fehlende Tausenderziffer des zweiten Summanden ist daher \(8\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausender: \(1 + \square + 5 = 12\). Die fehlende Zehntausenderziffer des ersten Summanden ist daher \(6\), Übertrag \(1\). 6. Hunderttausender: \(1 + 6 + 1 = 8\). Die fehlende Hunderttausenderziffer des Ergebnisses ist \(8\). 7. Die Rechnung lautet \(664\,218 + 158\,994 = 823\,212\).

Die fertige Rechnung ist \(664\,218 + 158\,994 = 823\,212\).

- Beginne bei den Einern und berücksichtige, dass ein Entbündeln die nächsthöhere Stelle verändert. - Behandle die fehlende Zehnerziffer zunächst als unbekannt und frage, ob die sichtbare Ergebnisziffer ohne ein weiteres Entbündeln überhaupt möglich wäre. - Prüfe jede gefundene Ziffer anschließend in der vollständigen Subtraktion.

1. Einerstelle: Die obere Einerziffer ist \(2\). Es muss entbündelt werden, sodass \(12-\square=3\). Die fehlende Einerziffer des Subtrahenden ist daher \(9\). 2. Sei \(t\) die fehlende Zehnerziffer des Minuenden. Durch das Entbündeln für die Einerstelle bleiben dort zunächst \(t-1\) Zehner. Ohne weiteres Entbündeln könnte nach dem Abziehen von \(1\) keine Ergebnisziffer \(9\) entstehen. Deshalb muss aus der Hunderterstelle entbündelt werden; wegen der dortigen \(0\) geschieht dies über die Tausenderstelle. Danach stehen in der Zehnerspalte \(t-1+10\) Zehner zur Verfügung. Aus \((t-1+10)-1=9\) folgt \(t=1\). 3. Nach dem Entbündeln zur Zehnerstelle bleiben \(9\) Hunderter. Es gilt \(9-8=1\), daher ist die fehlende Hunderterziffer im Ergebnis \(1\). 4. Die Tausenderziffer des Minuenden wurde beim Entbündeln von \(5\) auf \(4\) vermindert. Für \(4-\square=7\) muss aus der Zehntausenderstelle entbündelt werden; damit gilt \(14-\square=7\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(7\). 5. In der Zehntausenderstelle bleiben \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(45\,012-7819=37\,193\).

\(45\,012-7819=37\,193\).

- Beginne rechts bei der Einerstelle und nimm jeden Übertrag in die nächste Spalte mit. - Wenn eine Spaltensumme auf \(0\) endet, muss die Summe der Ziffern einschließlich Übertrag hier \(10\) ergeben. - Prüfe nach dem Ergänzen die vollständige Addition noch einmal.

1. Einerstelle: \(7 + * = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(3\); Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(* + 4 + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer im ersten Summanden \(5\); Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 + 8 + 1 = 10\). Die Ergebnisziffer ist \(0\); Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(4 + * + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer im zweiten Summanden \(5\); Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(* + 6 + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer im ersten Summanden \(3\); Übertrag \(1\). 6. Hunderttausenderstelle: \(3 + 4 + 1 = 8\). Damit lautet die vollständige Rechnung \(334\,157 + 465\,843 = 800\,000\).

\(334\,157 + 465\,843 = 800\,000\)

- Verfolge jede Entbündelung genau; in dieser Aufgabe zieht sich die Kette durch fast alle Stellen. - Notiere nach jeder Spalte, welche Ziffer der nächsthöheren Stelle für die nächste Rechnung übrig bleibt. - Nutze die bekannten Ergebnisziffern, um die drei Sternchen nacheinander zu bestimmen. - Prüfe deine vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(1 - 8\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(11 - 8 = 3\); die Zehnerstelle des Minuenden wird zu \(0\). 2. Zehnerstelle: Nach dem ersten Entbündeln steht oben \(0\). Es muss aus der Hunderterstelle entbündelt werden: \(10 - 5 = 5\). 3. Hunderterstelle: Die gesuchte ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden wurde durch das vorige Entbündeln um \(1\) vermindert. Damit die Ergebnisziffer \(6\) entsteht, muss nach erneutem Entbündeln \(12 - 6 = 6\) gelten. Die ursprüngliche Hunderterziffer ist daher \(3\). 4. Tausenderstelle: Nach dem Entbündeln steht oben \(2\). Es gilt \(12 - * = 7\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(5\). 5. Zehntausenderstelle: Nach dem vorigen Entbündeln steht oben \(3\). Es gilt \(13 - 5 = 8\), also wird auch hier entbündelt. 6. Hunderttausenderstelle: Danach gilt \(6 - 2 = 4\). Die vollständige Rechnung lautet \(743\,311 - 255\,658 = 487\,653\).

\(743\,311 - 255\,658 = 487\,653\)

- Bei drei Summanden kann der Übertrag größer als \(1\) sein; behalte ihn für die nächste Spalte genau im Blick. - Arbeite von den Einern nach links und frage jeweils, welche Ziffer zusammen mit den bekannten Ziffern die Ergebnisziffer erzeugt. - Prüfe nach jeder gefundenen Ziffer, welchen Übertrag die vollständige Spaltensumme liefert.

1. Einerstelle: \(6 + * + 5 = 20\). Daher ist die fehlende Ziffer \(9\), Übertrag \(2\). 2. Zehnerstelle: \(* + 8 + 7 + 2 = 20\). Daher ist die fehlende Ziffer \(3\), Übertrag \(2\). 3. Hunderterstelle: \(1 + 6 + 1 + 2 = 10\). Die fehlende Ergebnisziffer ist \(0\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(3 + 4 + 2 + 1 = 10\). Die vollständige Rechnung lautet \(3136 + 4689 + 2175 = 10\,000\).

\(3136 + 4689 + 2175 = 10\,000\)

- Weil das Ergebnis \(100\,000\) ist, müssen die unteren fünf Ergebnisstellen jeweils \(0\) werden. - Arbeite von rechts nach links und berücksichtige den Übertrag aus jeder Spalte in der nächsten. - Frage in jeder Lückenspalte, welche Ziffer zusammen mit den bekannten Ziffern genau zur nächsten Zehnergrenze führt.

1. Einerstelle: \(* + 6 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(2 + 7 + 1 = 10\). Die Ergebnisziffer ist \(0\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(5 + * + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(* + 2 + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(7\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(8 + 1 + 1 = 10\). Die vollständige Rechnung lautet \(87\,524 + 12\,476 = 100\,000\).

\(87\,524 + 12\,476 = 100\,000\)

- Arbeite beim Abziehverfahren von rechts nach links und notiere nach jedem Entbündeln die veränderte obere Ziffer. - In dieser Aufgabe wirkt jede Entbündelung auf die nächste Spalte; verfolge diese Veränderungen nacheinander. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(3 - 6\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(13 - 6 = 7\); die Zehnerziffer des Minuenden wird von \(1\) auf \(0\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(0 - 4\) ist nicht möglich. Aus der Hunderterstelle wird entbündelt: \(10 - 4 = 6\). Damit ist die fehlende ursprüngliche Zehnerziffer des Minuenden \(1\). 3. Hunderterstelle: Nach dem vorigen Schritt steht oben \(1\). Für \(1 - 3\) wird aus der Tausenderstelle entbündelt: \(11 - 3 = 8\). 4. Tausenderstelle: Nach dem Entbündeln steht oben \(0\). Deshalb wird aus der Zehntausenderstelle entbündelt. Es gilt \(10 - * = 3\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(7\). 5. Zehntausenderstelle: Die \(5\) wurde auf \(4\) vermindert. Es gilt \(4 - 2 = 2\). Die vollständige Rechnung lautet \(51\,213 - 27\,346 = 23\,867\).

\(51\,213 - 27\,346 = 23\,867\). Die Erklärung muss die Entbündelung von den Einern über Zehner und Hunderter bis zur Tausenderstelle nachvollziehbar verfolgen.

- Beginne rechts und verfolge genau, welche obere Ziffer durch Entbündeln um \(1\) kleiner wird. - Eine fehlende Ziffer im Subtrahenden kannst du aus der veränderten oberen Ziffer und der Ergebnisziffer bestimmen. - Kontrolliere am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(7 - 5 = 2\). 2. Zehnerstelle: \(0 - 8\) ist nicht möglich. Aus der Hunderterstelle wird entbündelt, sodass \(10 - 8 = 2\); die Hunderterziffer des Minuenden wird von \(3\) auf \(2\) vermindert. 3. Hunderterstelle: \(2 - *\) reicht für die Ergebnisziffer \(7\) nicht aus. Nach dem Entbündeln aus der Tausenderstelle gilt \(12 - * = 7\), also ist die fehlende Hunderterziffer des Subtrahenden \(5\). 4. Tausenderstelle: Die obere Ziffer ist nach dem Entbündeln \(7\). Daher gilt \(7 - 5 = 2\), sodass die ursprüngliche fehlende Tausenderziffer des Minuenden \(8\) war. 5. Zehntausenderstelle: \(4 - 2 = 2\). Die vollständige Rechnung lautet \(48\,307 - 25\,585 = 22\,722\).

\(48\,307 - 25\,585 = 22\,722\)

- Die Entbündelungskette läuft hier durch mehrere benachbarte Stellen; notiere nach jeder Spalte den neuen oberen Wert. - Nutze die bekannte Ergebnisziffer jeder Spalte, um die fehlende Ziffer eindeutig zu bestimmen. - Prüfe deine vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(5 - 6\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(15 - 6 = 9\); damit ist die fehlende Ergebnisziffer \(9\) und die Zehnerziffer des Minuenden wird von \(4\) auf \(3\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(3 - 6\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(13 - 6 = 7\). Damit war die fehlende ursprüngliche Zehnerziffer des Minuenden \(4\); die Hunderterziffer wird von \(3\) auf \(2\) vermindert. 3. Hunderterstelle: \(2 - *\) ist für die Ergebnisziffer \(4\) zu klein. Nach dem Entbündeln gilt \(12 - * = 4\), also ist die fehlende Hunderterziffer des Subtrahenden \(8\). 4. Tausenderstelle: Nach dem vorigen Entbündeln steht oben \(1\). Deshalb gilt nach erneutem Entbündeln \(11 - 5 = 6\). 5. Zehntausenderstelle: Die \(9\) wurde auf \(8\) vermindert. Es gilt \(8 - 4 = 4\). Die vollständige Rechnung lautet \(92\,345 - 45\,866 = 46\,479\).

\(92\,345 - 45\,866 = 46\,479\)

- Wenn zwischen der benötigten Stelle und der nächsten von Null verschiedenen Stelle Nullen liegen, musst du die Entbündelungskette durch alle diese Stellen verfolgen. - Markiere, welche Werte nach dem Entbündeln bei Hundertern und Zehnern tatsächlich übrig bleiben. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Für die Einerstelle muss über die beiden Nullstellen hinweg aus der Tausenderstelle entbündelt werden. Die Tausenderziffer \(9\) wird zu \(8\), die Hunderterstelle wird zunächst zu \(10\), gibt einen Hunderter an die Zehnerstelle weiter und wird dadurch zu \(9\); die Zehnerstelle wird zu \(10\), gibt einen Zehner an die Einerstelle weiter und wird dadurch zu \(9\). 2. Einerstelle: \(12 - 7 = 5\). Damit ist die fehlende Einerziffer des Minuenden \(2\). 3. Zehnerstelle: \(9 - * = 5\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Subtrahenden \(4\). 4. Hunderterstelle: \(9 - 4 = 5\). Damit ist die fehlende ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden \(0\). 5. Tausenderstelle: Nach der Entbündelung steht oben \(8\). Es gilt \(8 - * = 5\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(9002 - 3447 = 5555\).

\(9002 - 3447 = 5555\)

- An der Zehnerstelle musst du über eine Null in der Hunderterstelle hinweg entbündeln. - Notiere nach dieser Entbündelung, welche Werte bei Hundertern und Tausendern tatsächlich übrig bleiben. - Kontrolliere die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(5 - 4 = 1\). Damit ist die fehlende Einerziffer im Ergebnis \(1\). 2. Zehnerstelle: Die obere Zehnerziffer ist \(1\), also reicht sie für \(1 - 7\) nicht aus. Weil in der Hunderterstelle eine \(0\) steht, wird aus der Tausenderstelle entbündelt: Die \(2\) wird zu \(1\), die Hunderterstelle zu \(10\), gibt einen Hunderter an die Zehnerstelle weiter und wird zu \(9\). Dadurch gilt \(11 - 7 = 4\). Die fehlende ursprüngliche Zehnerziffer des Minuenden ist \(1\). 3. Hunderterstelle: \(9 - 3 = 6\). 4. Tausenderstelle: Nach dem vorigen Entbündeln steht oben \(1\). Für die Ergebnisziffer \(3\) muss erneut aus der Zehntausenderstelle entbündelt werden: \(11 - * = 3\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(8\). 5. Zehntausenderstelle: Die \(4\) wurde auf \(3\) vermindert. Es gilt \(3 - 1 = 2\). Die vollständige Rechnung lautet \(42\,015 - 18\,374 = 23\,641\).

\(42\,015 - 18\,374 = 23\,641\)

- Wandle die Division zunächst in ihre Multiplikationsprobe um. - Untersuche zuerst, wann eine Ziffer nach der Multiplikation mit \(9\) wieder dieselbe Einerziffer ergibt. - Der Übertrag aus der Einerstelle muss anschließend zu zwei gleichen führenden Ziffern passen.

1. Die Probe zur Division lautet \(AB \cdot 9 = AAB\). 2. An der Einerstelle muss \(B \cdot 9\) wieder auf \(B\) enden. Dafür kommen nur \(B=0\) oder \(B=5\) infrage. 3. \(B=0\) kann die Form \(AAB\) nicht erfüllen, denn \(A0 \cdot 9\) würde nicht zu \(AA0\) führen. Daher ist \(B=5\). 4. Bei \(5 \cdot 9 = 45\) entsteht der Übertrag \(4\). Für die nächste Stelle muss \(A \cdot 9 + 4\) die beiden führenden gleichen Ziffern \(AA\) erzeugen. Mit \(A=2\) gilt \(2 \cdot 9 + 4 = 22\). 5. Probe: \(25 \cdot 9 = 225\). Also gilt \(225 : 9 = 25\).

\(A = 2\) und \(B = 5\)

- Beginne mit der Teilproduktzeile zur Zehnerziffer \(3\); sie schränkt die fehlende Ziffer der ersten Zahl stark ein. - Nutze danach die Einer-Teilproduktzeile, um die fehlende Einerziffer des Multiplikators zu bestimmen. - Prüfe zum Schluss, ob die beiden vervollständigten Zeilen zum Endprodukt passen.

1. Die Zehner-Teilproduktzeile hat die Form \(1*81\) und entsteht durch Multiplikation der ersten Zahl mit \(3\). Unter den Zahlen \(407,417,\ldots,497\) passt nur \(427\), denn \(427\cdot3=1281\). 2. Damit ist das Sternchen in der ersten Zahl \(2\). 3. Für die Einerziffer des Multiplikators muss \(427\cdot z\) zur Zeile \(25*2\) passen. \(427\cdot6=2562\), also ist \(z=6\) und das Sternchen dort \(6\). 4. Die fehlenden Ziffern in den Teilprodukten sind \(6\) und \(2\); das Endprodukt ist \(15\,372\), also steht dort \(3\).

Vollständig: \(427\cdot36=15\,372\). Die Teilprodukte sind \(2562\) und \(1281\).

- Arbeite strikt von links nach rechts; jede spätere Lücke hängt vom vorherigen Rest ab. - Nutze sichtbare Subtraktionszeilen, um Quotientenziffern einzugrenzen. - Für den letzten Schritt kannst du zusätzlich den gegebenen Rest \(4\) verwenden.

1. Nach dem ersten Schritt bleibt \(1\). Die nächste Teildividendenform \(1*\) und die sichtbare Subtraktion \(12\) zeigen, dass die zweite Dividendziffer \(3\) ist und der Teildividend \(13\) lautet; die zweite Quotientenziffer ist \(2\). 2. Es bleibt wieder \(1\). Mit der sichtbaren dritten Dividendziffer \(5\) entsteht \(15\); die dritte Quotientenziffer ist \(2\). 3. Nach \(15-12=3\) wird die letzte Dividendziffer heruntergeholt. Weil der gegebene Rest \(4\) ist und in der letzten Zeile \(30\) subtrahiert wird, muss der letzte Teildividend \(34\) sein. Die letzte Dividendziffer ist also \(4\), die letzte Quotientenziffer \(5\). 4. Vollständig: Dividend \(7354\), Quotient \(1225\), Rest \(4\).

Vollständig: Dividend \(7354\), Divisor \(6\), Quotient \(1225\), Rest \(4\). Die fehlenden Teildividenden sind \(13\), \(15\) und \(34\).

- Beginne mit der Zehner-Teilproduktzeile; sie hängt nur von der sichtbaren Zehnerziffer des Multiplikators ab. - Nutze danach die Einer-Teilproduktzeile, um die fehlende Einerziffer des Multiplikators zu bestimmen. - Addiere die vervollständigten Zeilen erst am Ende.

1. Die Zehner-Teilproduktzeile gehört zur sichtbaren Multiplikatorziffer \(2\). Die Form \(6*8\) passt bei einer Zahl der Form \(3*4\) nur zu \(314\cdot2=628\). Damit ist die fehlende Zehnerziffer im Multiplikanden \(1\) und die fehlende Ziffer dieser Teilproduktzeile \(2\). 2. Für die Einerziffer des Multiplikators muss \(314\cdot z\) die Form \(2*98\) haben. Das gilt für \(z=7\), denn \(314\cdot7=2198\). 3. Die fehlende Ziffer der Einer-Teilproduktzeile ist \(1\). 4. Stellenrichtig addiert entsteht \(8478\); im Endprodukt fehlt daher die Ziffer \(7\).

Vollständig: \(314\cdot27=8478\). Die Teilprodukte sind \(2198\) und \(628\).

- Beginne mit der Frage, welche Ziffer ein Hunderterübertrag bei der Summe zweier zweistelliger Zahlen haben kann. - Nutze danach die Zehnerspalte, ohne die Einerspalte schon vollständig lösen zu müssen. - Jeder gefundene Übertrag muss anschließend auch zur Einerspalte und zur Bedingung verschiedener Ziffern passen.

1. Weil die Summe zweier zweistelliger Zahlen dreistellig ist, entsteht aus der Zehnerspalte ein Hunderterübertrag von \(1\). Die Hunderterziffer des Ergebnisses ist \(A\), also muss \(A=1\) sein. 2. In der Zehnerspalte werden \(A\), \(B\) und der Übertrag aus der Einerspalte addiert. Das Ergebnis muss wieder die Zehnerziffer \(A=1\) haben und zugleich den Hunderterübertrag \(1\) erzeugen. 3. Ohne einen Einerübertrag wäre dafür eine Ziffer \(B=10\) nötig, was unmöglich ist. Daher muss aus der Einerspalte ein Übertrag \(1\) kommen. Dann gilt an der Zehnerstelle \(1 + B + 1 = 11\), also \(B=9\). 4. An der Einerstelle muss \(B + C = 9 + C\) die Einerziffer \(A=1\) ergeben und den bereits benötigten Übertrag \(1\) erzeugen. Daher gilt \(9 + C = 11\), also \(C=2\). 5. Probe: \(19 + 92 = 111\). Die Ziffern \(1\), \(9\) und \(2\) sind verschieden.

\(A = 1\), \(B = 9\), \(C = 2\)