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- Rechne jede Aufgabe einzeln aus. - Welches Ergebnis unterscheidet sich von den anderen? - Gibt es einen Trick beim Multiplizieren mit Zehnerzahlen?

1. Berechnung aller Ergebnisse: a) \(7 \cdot 80 = 560\) b) \(32 \cdot 20 = 640\) c) \(8 \cdot 70 = 560\) d) \(56 \cdot 10 = 560\) 2. Vergleich: Drei Rechnungen ergeben 560, eine ergibt 640. 3. Ergebnis: b) ist die abweichende Aufgabe.

b) \(32 \cdot 20 = 640\)

- Beginne bei der Einerstelle. - Arbeite Stelle für Stelle nach links. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis ungefähr dreimal so groß wie die Ausgangszahl ist.

1. Multipliziere von rechts nach links mit \(3\): \(3\cdot3=9\), \(1\cdot3=3\), \(2\cdot3=6\). 2. Damit gilt \(213\cdot3=639\). 3. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(213 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(0, 0\).

\(639\) Schriftliche Zwischenschritte: \(213 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(0, 0\).

- Starte bei den Einern. - Wenn ein Teilprodukt zweistellig ist, gehört die Zehnerziffer zur nächsten Stelle. - Nimm einen Übertrag in die nächste Multiplikation mit.

1. Einer: \(2\cdot4=8\). 2. Zehner: \(4\cdot4=16\). Man schreibt \(6\) und überträgt \(1\). 3. Hunderter: \(1\cdot4+1=5\). 4. Ergebnis: \(142\cdot4=568\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(142 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(0, 1\).

\(568\) Schriftliche Zwischenschritte: \(142 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(0, 1\).

- Unterscheide Einer- und Zehnerziffer des Multiplikators. - Frage dich, welchen Stellenwert die \(2\) im Multiplikator besitzt. - Die Verschiebung der Zeile trägt den Stellenwert, nicht eine zusätzlich geschriebene Endnull.

1. Die Zehnerziffer des Multiplikators ist \(2\). 2. Dazu gehört das Teilprodukt \(126\cdot2=252\). 3. Weil die \(2\) für zwei Zehner steht, wird die Zeile eine Stelle nach links verschoben und stellt \(2520\) dar.

Die Zeile mit \(252\) gehört zur Zehnerziffer \(2\); verschoben stellt sie \(2520\) dar.

- Achte darauf, die Überträge an der richtigen Stelle zu addieren. - Du kannst die Aufgabe Stelle für Stelle von rechts nach links durchrechnen. - Notiere dir die gemerkten Zahlen klein über die nächste Stelle, damit du sie nicht vergisst.

1. Berechnung von \(4719 \cdot 3\): Multiplikation der Einer (\(3 \cdot 9 = 27\), schreibe \(7\), Übertrag \(2\)), der Zehner (\(3 \cdot 1 + 2 = 5\)), der Hunderter (\(3 \cdot 7 = 21\), schreibe \(1\), Übertrag \(2\)) und der Tausender (\(3 \cdot 4 + 2 = 14\)). Das Ergebnis ist \(14\,157\). 2. Berechnung von \(826 \cdot 8\): Multiplikation der Einer (\(8 \cdot 6 = 48\), schreibe \(8\), Übertrag \(4\)), der Zehner (\(8 \cdot 2 + 4 = 20\), schreibe \(0\), Übertrag \(2\)) und der Hunderter (\(8 \cdot 8 + 2 = 66\)). Das Ergebnis ist \(6608\). 3. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(4719 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(2, 0, 2\); \(826 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(4, 2\).

a) \(14\,157\) b) \(6608\) Schriftliche Zwischenschritte: \(4719 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(2, 0, 2\); \(826 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(4, 2\).

- Lies die beiden Ziffern des Multiplikators nach ihrem Stellenwert. - Die Teilproduktzeile zur Zehnerziffer beginnt eine Stelle weiter links. - Addiere die beiden Teilprodukte erst, wenn sie stellenrichtig ausgerichtet sind.

1. Für die Zehnerziffer \(1\) wird \(354 \cdot 1 = 354\) berechnet. Diese Teilproduktzeile beginnt eine Stelle weiter links und stellt dadurch \(3540\) dar. 2. Für die Einerziffer \(2\) gilt \(354 \cdot 2 = 708\). 3. Stellenrichtig addiert ergibt sich \(3540 + 708 = 4248\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(354 \cdot 12\): Einerzeile \(708\), Zehnerzeile \(354\) (nach links versetzt).

\(354 \cdot 12 = 4248\). Schriftliche Zwischenschritte: \(354 \cdot 12\): Einerzeile \(708\), Zehnerzeile \(354\) (nach links versetzt).

- Erinnere dich an die Stellenwerte: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender. - Denke bei jedem Schritt an den Übertrag, falls das Ergebnis größer als 9 ist. - Bei zweistelligen Faktoren kannst du die Multiplikation in zwei Schritte aufteilen und die Ergebnisse addieren. - Beginne deine Rechnung immer bei den Einern.

1. Multiplikation von \(614\) mit \(5\): \(5 \cdot 4 = 20\) (Schreibe \(0\), Übertrag \(2\)), \(5 \cdot 1 = 5\), plus Übertrag \(2\) ergibt \(7\), \(5 \cdot 6 = 30\). Ergebnis: \(3070\). 2. Multiplikation von \(2137\) mit \(3\): \(3 \cdot 7 = 21\) (Schreibe \(1\), Übertrag \(2\)), \(3 \cdot 3 = 9\), plus Übertrag \(2\) ergibt \(11\) (Schreibe \(1\), Übertrag \(1\)), \(3 \cdot 1 = 3\), plus Übertrag \(1\) ergibt \(4\), \(3 \cdot 2 = 6\). Ergebnis: \(6411\). 3. Multiplikation von \(4029\) mit \(2\): \(2 \cdot 9 = 18\) (Schreibe \(8\), Übertrag \(1\)), \(2 \cdot 2 = 4\), plus Übertrag \(1\) ergibt \(5\), \(2 \cdot 0 = 0\), \(2 \cdot 4 = 8\). Ergebnis: \(8058\). 4. Multiplikation von \(328\) mit \(14\): Multiplikation mit \(10\) ergibt \(3280\); Multiplikation mit \(4\) ergibt \(1312\). Die Summe beider Teilergebnisse (\(3280 + 1312\)) ist \(4592\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(614 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(2, 0\); \(2137 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(2, 1, 0\); \(4029 \cdot 2\): Überträge von rechts nach links \(1, 0, 0\); \(328 \cdot 14\): Einerzeile \(1312\), Zehnerzeile \(328\) (nach links versetzt).

a) \(3070\) b) \(6411\) c) \(8058\) d) \(4592\) Schriftliche Zwischenschritte: \(614 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(2, 0\); \(2137 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(2, 1, 0\); \(4029 \cdot 2\): Überträge von rechts nach links \(1, 0, 0\); \(328 \cdot 14\): Einerzeile \(1312\), Zehnerzeile \(328\) (nach links versetzt).

- Achte beim schriftlichen Multiplizieren auf den richtigen Übertrag. - Bei zweistelligen Zahlen kannst du die Aufgabe in Teilschritte zerlegen (zuerst mit den Zehnern, dann mit den Einern multiplizieren). - Schreibe die Zahlen sauber untereinander, damit du dich nicht beim Addieren der Zwischenergebnisse vertust.

1. Berechnung von \(68 \cdot 3\): \(3 \cdot 8 = 24\), schreibe \(4\), übertrage \(2\); \(3 \cdot 6 = 18\), \(18 + 2 = 20\). Ergebnis: \(204\). 2. Berechnung von \(42 \cdot 9\): \(9 \cdot 2 = 18\), schreibe \(8\), übertrage \(1\); \(9 \cdot 4 = 36\), \(36 + 1 = 37\). Ergebnis: \(378\). 3. Berechnung von \(135 \cdot 5\): \(5 \cdot 5 = 25\), schreibe \(5\), übertrage \(2\); \(5 \cdot 3 = 15\), \(15 + 2 = 17\), schreibe \(7\), übertrage \(1\); \(5 \cdot 1 = 5\), \(5 + 1 = 6\). Ergebnis: \(675\). 4. Berechnung von \(217 \cdot 4\): \(4 \cdot 7 = 28\), schreibe \(8\), übertrage \(2\); \(4 \cdot 1 = 4\), \(4 + 2 = 6\); \(4 \cdot 2 = 8\). Ergebnis: \(868\). 5. Berechnung von \(46 \cdot 12\): \(10 \cdot 46 = 460\); \(2 \cdot 46 = 92\); \(460 + 92 = 552\). Ergebnis: \(552\). 6. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(68 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(2\); \(42 \cdot 9\): Überträge von rechts nach links \(1\); \(135 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(2, 1\); \(217 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 0\); \(46 \cdot 12\): Einerzeile \(92\), Zehnerzeile \(46\) (nach links versetzt).

a) \(204\) b) \(378\) c) \(675\) d) \(868\) e) \(552\) Schriftliche Zwischenschritte: \(68 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(2\); \(42 \cdot 9\): Überträge von rechts nach links \(1\); \(135 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(2, 1\); \(217 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 0\); \(46 \cdot 12\): Einerzeile \(92\), Zehnerzeile \(46\) (nach links versetzt).

- Beginne beim schriftlichen Multiplizieren an der Einerstelle. - Bei einem zweistelligen Multiplikator brauchst du eine Einer- und eine Zehner-Teilzeile. - Achte darauf, die Zehner-Teilzeile stellenrichtig unter die Einer-Teilzeile zu schreiben.

1. Bei \(364 \cdot 6\) wird von rechts nach links multipliziert: \(6 \cdot 4 = 24\), schreibe \(4\) und merke \(2\); \(6 \cdot 6 + 2 = 38\), schreibe \(8\) und merke \(3\); \(6 \cdot 3 + 3 = 21\). Ergebnis: \(2184\). 2. Bei \(42 \cdot 15\) entstehen die Teilprodukte \(42 \cdot 5 = 210\) und \(42 \cdot 10 = 420\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(630\). 3. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(364 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(2, 3\); \(42 \cdot 15\): Einerzeile \(210\), Zehnerzeile \(42\) (nach links versetzt).

a) \(2184\) b) \(630\) Schriftliche Zwischenschritte: \(364 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(2, 3\); \(42 \cdot 15\): Einerzeile \(210\), Zehnerzeile \(42\) (nach links versetzt).

- Beginne bei jeder Aufgabe an der Einerstelle des größeren Faktors. - Nimm jeden Übertrag genau in die nächste Stelle mit. - Kontrolliere am Ende mit einem Überschlag, ob die Größenordnung deines Ergebnisses passt.

1. a) Von rechts nach links werden die Ziffern von \(8236\) mit \(4\) multipliziert und die Überträge jeweils zur nächsten Stelle genommen. Das Ergebnis ist \(32\,944\). 2. b) Ebenso ergibt die schriftliche Multiplikation \(14\,052 \cdot 7 = 98\,364\). 3. c) Die schriftliche Multiplikation ergibt \(35\,619 \cdot 6 = 213\,714\). 4. d) Die schriftliche Multiplikation ergibt \(72\,108 \cdot 9 = 648\,972\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(8236 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 1, 0\); \(14\,052 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(1, 3, 0, 2\); \(35\,619 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(5, 1, 3, 3\); \(72\,108 \cdot 9\): Überträge von rechts nach links \(7, 0, 0, 1\).

a) \(32\,944\) b) \(98\,364\) c) \(213\,714\) d) \(648\,972\) Schriftliche Zwischenschritte: \(8236 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 1, 0\); \(14\,052 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(1, 3, 0, 2\); \(35\,619 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(5, 1, 3, 3\); \(72\,108 \cdot 9\): Überträge von rechts nach links \(7, 0, 0, 1\).

- Welche Rechenart ersetzt das mehrfache Addieren der gleichen Zahl? - Denke daran, beim schriftlichen Rechnen zuerst mit den Zehnern und dann mit den Einern zu multiplizieren. - Vergiss nicht, die Teilergebnisse am Ende zusammenzuzählen.

1. Die wiederholte Addition derselben Zahl wird als Multiplikation geschrieben: \(364 \cdot 25\). 2. Schriftliche Multiplikation mit dem Zehner: \(364 \cdot 20 = 7280\). 3. Schriftliche Multiplikation mit dem Einer: \(364 \cdot 5 = 1820\). 4. Addition der Teilergebnisse: \(7280 + 1820 = 9100\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(364 \cdot 25\): Einerzeile \(1820\), Zehnerzeile \(728\) (nach links versetzt).

Das Ergebnis ist \(9100\). Schriftliche Zwischenschritte: \(364 \cdot 25\): Einerzeile \(1820\), Zehnerzeile \(728\) (nach links versetzt).

- Kannst du die Zahl 26 in Zehner und Einer zerlegen? - Wie hilft dir das Wissen über den Preis von 20 Stück und 6 Stück weiter, wenn du den Preis für 26 Stück wissen willst? - Rechne zuerst die einfachen Aufgaben aus.

1. Kosten für 6 Sets berechnen: \(6 \cdot 14\,\text{€} = 84\,\text{€}\). 2. Kosten für 20 Sets berechnen: \(20 \cdot 14\,\text{€} = 280\,\text{€}\). 3. Da \(26 = 20 + 6\) ist, können die Teilbeträge addiert werden: \(84\,\text{€} + 280\,\text{€} = 364\,\text{€}\).

a) 6 Sets kosten \(84\,\text{€}\). b) 20 Sets kosten \(280\,\text{€}\). c) 26 Sets kosten \(364\,\text{€}\). Man kann die Ergebnisse addieren, da \(6 + 20 = 26\) ist.

- Kannst du die Zahlen in Zehner und Einer zerlegen? - Multipliziere zuerst mit der Zehnerstelle des zweiten Faktors. - Vergiss nicht, die Teilergebnisse am Ende stellengerecht zu addieren. - Achte auf den Übertrag beim Addieren.

1. Berechnung von \(43 \cdot 27\): Multiplikation mit den Zehnern ergibt \(43 \cdot 20 = 860\), Multiplikation mit den Einern ergibt \(43 \cdot 7 = 301\). Die Addition der Teilergebnisse führt zum Produkt \(1161\). 2. Berechnung von \(56 \cdot 38\): Multiplikation mit den Zehnern ergibt \(56 \cdot 30 = 1680\), Multiplikation mit den Einern ergibt \(56 \cdot 8 = 448\). Die Summe ist \(2128\). 3. Berechnung von \(72 \cdot 45\): Multiplikation mit den Zehnern ergibt \(72 \cdot 40 = 2880\), Multiplikation mit den Einern ergibt \(72 \cdot 5 = 360\). Die Summe ist \(3240\). 4. Berechnung von \(89 \cdot 61\): Multiplikation mit den Zehnern ergibt \(89 \cdot 60 = 5340\), Multiplikation mit den Einern ergibt \(89 \cdot 1 = 89\). Die Summe ist \(5429\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(43 \cdot 27\): Einerzeile \(301\), Zehnerzeile \(86\) (nach links versetzt); \(56 \cdot 38\): Einerzeile \(448\), Zehnerzeile \(168\) (nach links versetzt); \(72 \cdot 45\): Einerzeile \(360\), Zehnerzeile \(288\) (nach links versetzt); \(89 \cdot 61\): Einerzeile \(89\), Zehnerzeile \(534\) (nach links versetzt).

a) \(1161\) b) \(2128\) c) \(3240\) d) \(5429\) Schriftliche Zwischenschritte: \(43 \cdot 27\): Einerzeile \(301\), Zehnerzeile \(86\) (nach links versetzt); \(56 \cdot 38\): Einerzeile \(448\), Zehnerzeile \(168\) (nach links versetzt); \(72 \cdot 45\): Einerzeile \(360\), Zehnerzeile \(288\) (nach links versetzt); \(89 \cdot 61\): Einerzeile \(89\), Zehnerzeile \(534\) (nach links versetzt).

- Lies die Zehner- und Einerziffer des Multiplikators getrennt. - Die Teilproduktzeile zur Zehnerziffer beginnt eine Stelle weiter links. - Addiere die beiden Teilprodukte erst nach der richtigen Ausrichtung.

1. a) Für die Zehnerziffer gilt \(435 \cdot 1 = 435\); die verschobene Zeile stellt \(4350\) dar. Für die Einerziffer gilt \(435 \cdot 3 = 1305\). Ergebnis: \(5655\). 2. b) Für die Zehnerziffer gilt \(267 \cdot 2 = 534\); die verschobene Zeile stellt \(5340\) dar. Für die Einerziffer gilt \(267 \cdot 4 = 1068\). Ergebnis: \(6408\). 3. c) Für die Zehnerziffer gilt \(108 \cdot 4 = 432\); die verschobene Zeile stellt \(4320\) dar. Für die Einerziffer gilt \(108 \cdot 5 = 540\). Ergebnis: \(4860\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(435 \cdot 13\): Einerzeile \(1305\), Zehnerzeile \(435\) (nach links versetzt); \(267 \cdot 24\): Einerzeile \(1068\), Zehnerzeile \(534\) (nach links versetzt); \(108 \cdot 45\): Einerzeile \(540\), Zehnerzeile \(432\) (nach links versetzt).

a) \(5655\) b) \(6408\) c) \(4860\) Schriftliche Zwischenschritte: \(435 \cdot 13\): Einerzeile \(1305\), Zehnerzeile \(435\) (nach links versetzt); \(267 \cdot 24\): Einerzeile \(1068\), Zehnerzeile \(534\) (nach links versetzt); \(108 \cdot 45\): Einerzeile \(540\), Zehnerzeile \(432\) (nach links versetzt).

- Weißt du noch, welche Rechenart gemeint ist, wenn man nach dem „Vervielfachen“ einer Zahl fragt? - Nutze das schriftliche Rechenverfahren, um die großen Zahlen schrittweise zu multiplizieren. - Achte beim Untereinanderschreiben darauf, die Stellenwerte wie Einer und Zehner genau untereinander zu setzen.

1. Berechnung von \(384 \cdot 27\): Multiplikation von \(384\) mit \(20\) ergibt \(7680\), Multiplikation mit \(7\) ergibt \(2688\). Die Summe ist \(10\,368\). 2. Berechnung von \(509 \cdot 43\): Multiplikation von \(509\) mit \(40\) ergibt \(20\,360\), Multiplikation mit \(3\) ergibt \(1527\). Die Summe ist \(21\,887\). 3. Berechnung von \(271 \cdot 56\): Multiplikation von \(271\) mit \(50\) ergibt \(13\,550\), Multiplikation mit \(6\) ergibt \(1626\). Die Summe ist \(15\,176\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(384 \cdot 27\): Einerzeile \(2688\), Zehnerzeile \(768\) (nach links versetzt); \(509 \cdot 43\): Einerzeile \(1527\), Zehnerzeile \(2036\) (nach links versetzt); \(271 \cdot 56\): Einerzeile \(1626\), Zehnerzeile \(1355\) (nach links versetzt).

a) \(10\,368\) b) \(21\,887\) c) \(15\,176\) Schriftliche Zwischenschritte: \(384 \cdot 27\): Einerzeile \(2688\), Zehnerzeile \(768\) (nach links versetzt); \(509 \cdot 43\): Einerzeile \(1527\), Zehnerzeile \(2036\) (nach links versetzt); \(271 \cdot 56\): Einerzeile \(1626\), Zehnerzeile \(1355\) (nach links versetzt).

- Bestimme zuerst aus der Beziehung „\(6\)-mal so groß“ den zweiten Faktor. - Beim anschließenden schriftlichen Multiplizieren brauchst du eine Einer- und eine Zehner-Teilzeile. - Kontrolliere, ob die Größenordnung des Endprodukts zu \(14 \cdot 84\) passt.

1. Der zweite Faktor ist \(14 \cdot 6 = 84\). 2. Für \(14 \cdot 84\) ergeben die schriftlichen Teilprodukte \(14 \cdot 4 = 56\) und \(14 \cdot 80 = 1120\). 3. Stellenrichtig addiert ergibt das \(56 + 1120 = 1176\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(14 \cdot 84\): Einerzeile \(56\), Zehnerzeile \(112\) (nach links versetzt).

a) Der zweite Faktor ist \(84\). b) Das Produkt ist \(1176\). Schriftliche Zwischenschritte: \(14 \cdot 84\): Einerzeile \(56\), Zehnerzeile \(112\) (nach links versetzt).

- Vergleiche die Faktoren jeder Aufgabe mit den Faktoren der Basisaufgabe. - Was passiert mit einem Produkt, wenn genau ein Faktor verzehnfacht oder verhundertfacht wird? - Bei d) werden beide Faktoren skaliert. Verknüpfe die beiden Skalierungsfaktoren.

1. Berechnung der Basisaufgabe: \(64 \cdot 8 = 512\). 2. Für \(640 \cdot 8\) wird ein Faktor verzehnfacht, also wird das Ergebnis \(512 \cdot 10 = 5120\). 3. Für \(64 \cdot 800\) wird ein Faktor verhundertfacht, also wird das Ergebnis \(512 \cdot 100 = 51\,200\). 4. Für \(6400 \cdot 80\) wird der erste Faktor verhundertfacht und der zweite Faktor verzehnfacht. Das Gesamtergebnis wird somit vertausendfacht: \(512 \cdot 1000 = 512\,000\).

a) \(512\) b) \(5120\) c) \(51\,200\) d) \(512\,000\)

- Welche Multiplikation beschreibt gleich große Tüten mit jeweils \(8\) Äpfeln? - Führe die schriftliche Multiplikation von der Einerstelle aus und notiere jeden Übertrag. - Prüfe mit einem Überschlag, ob dein Ergebnis etwas über \(400 \cdot 8\) liegt.

1. Gesucht ist \(435 \cdot 8\). 2. Schriftlich wird von rechts nach links multipliziert: \(8 \cdot 5 = 40\), schreibe \(0\) und merke \(4\); \(8 \cdot 3 + 4 = 28\), schreibe \(8\) und merke \(2\); \(8 \cdot 4 + 2 = 34\). 3. Das Produkt ist \(3480\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(435 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(4, 2\).

Es wurden insgesamt \(3480\) Äpfel verpackt. Schriftliche Zwischenschritte: \(435 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(4, 2\).

- Multipliziere für jeden Monat die Stückzahl mit \(24\,\text{€}\). - Bei jedem zweistelligen Multiplikator entstehen eine Einer- und eine Zehner-Teilzeile. - Addiere die Teilzeilen stellenrichtig und behalte die Einheit Euro im Endergebnis bei.

1. Juni: Für \(35 \cdot 24\) ergeben die schriftlichen Teilprodukte \(35 \cdot 4 = 140\) und \(35 \cdot 20 = 700\). Zusammen sind das \(840\,\text{€}\). 2. Juli: Für \(53 \cdot 24\) ergeben die schriftlichen Teilprodukte \(53 \cdot 4 = 212\) und \(53 \cdot 20 = 1060\). Zusammen sind das \(1272\,\text{€}\). 3. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(35 \cdot 24\): Einerzeile \(140\), Zehnerzeile \(70\) (nach links versetzt); \(53 \cdot 24\): Einerzeile \(212\), Zehnerzeile \(106\) (nach links versetzt).

Im Juni betragen die Einnahmen \(840\,\text{€}\), im Juli \(1272\,\text{€}\). Schriftliche Zwischenschritte: \(35 \cdot 24\): Einerzeile \(140\), Zehnerzeile \(70\) (nach links versetzt); \(53 \cdot 24\): Einerzeile \(212\), Zehnerzeile \(106\) (nach links versetzt).

- Du kannst die zweite Zahl in Zehner und Einer zerlegen. - Multipliziere erst mit dem Zehner, dann mit dem Einer und addiere die Teilergebnisse. - Schreibe die Zahlen beim schriftlichen Rechnen sauber untereinander.

1. \(23 \cdot 12\): \(23 \cdot 10 = 230\), \(23 \cdot 2 = 46\), \(230 + 46 = 276\) 2. \(45 \cdot 11\): \(45 \cdot 10 = 450\), \(45 \cdot 1 = 45\), \(450 + 45 = 495\) 3. \(32 \cdot 14\): \(32 \cdot 10 = 320\), \(32 \cdot 4 = 128\), \(320 + 128 = 448\) 4. \(18 \cdot 21\): \(18 \cdot 20 = 360\), \(18 \cdot 1 = 18\), \(360 + 18 = 378\) 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(23 \cdot 12\): Einerzeile \(46\), Zehnerzeile \(23\) (nach links versetzt); \(45 \cdot 11\): Einerzeile \(45\), Zehnerzeile \(45\) (nach links versetzt); \(32 \cdot 14\): Einerzeile \(128\), Zehnerzeile \(32\) (nach links versetzt); \(18 \cdot 21\): Einerzeile \(18\), Zehnerzeile \(36\) (nach links versetzt).

a) \(276\) b) \(495\) c) \(448\) d) \(378\) Schriftliche Zwischenschritte: \(23 \cdot 12\): Einerzeile \(46\), Zehnerzeile \(23\) (nach links versetzt); \(45 \cdot 11\): Einerzeile \(45\), Zehnerzeile \(45\) (nach links versetzt); \(32 \cdot 14\): Einerzeile \(128\), Zehnerzeile \(32\) (nach links versetzt); \(18 \cdot 21\): Einerzeile \(18\), Zehnerzeile \(36\) (nach links versetzt).

- Wie verändert sich ein Ergebnis, wenn man einen Faktor um 1 erhöht? - Kannst du das Ergebnis von \(63 \cdot 14\) nutzen, um direkt auf \(63 \cdot 15\) zu kommen? - Überlege, was „ein Mal mehr“ in dieser Rechenaufgabe bedeutet.

1. Berechnung der Teilergebnisse: \(63 \cdot 10 = 630\) und \(63 \cdot 4 = 252\). 2. Summe der Teilergebnisse: \(630 + 252 = 882\). 3. Anpassung für den Faktor 15: Da der zweite Faktor um \(1\) größer ist, kommt \(63\) einmal zusätzlich hinzu. Man rechnet also \(882 + 63 = 945\). Das Ergebnis erhöht sich um genau \(63\).

1. \(630\) und \(252\) 2. \(882\) 3. Das Ergebnis erhöht sich um \(63\) auf \(945\), weil ein weiterer Summand \(63\) hinzukommt.

- Überlege zuerst, welcher der beiden angebotenen Wege für dich hier weniger Zwischenschritte braucht. - Beim halbschriftlichen Weg kannst du den zweiten Faktor in zwei gut rechenbare Teile zerlegen. - Für die Begründung reicht es nicht, nur das gleiche Ergebnis zu nennen; erkläre die Beziehung zwischen den beiden Rechenwegen.

1. Halbschriftlich wird \(17\) in \(10 + 7\) zerlegt: \(48 \cdot 10 = 480\) und \(48 \cdot 7 = 336\); zusammen sind das \(816\). 2. Schriftlich ergibt \(48 \cdot 17\) ebenfalls \(816\). 3. Beide Wege sind gleichwertig, weil \(17 = 10 + 7\) gilt und beide dieselben \(48\) Päckchen mit insgesamt \(17\) Karten je Päckchen erfassen. 4. Für c) sind beide Entscheidungen zulässig. Eine tragfähige Begründung nennt einen konkreten Vorteil, etwa die leicht rechenbaren Teilfaktoren beim halbschriftlichen Weg oder die geordnete Stellenstruktur beim schriftlichen Weg.

a) \(816\) Sammelkarten; ein korrekt ausgeführter halbschriftlicher oder schriftlicher Rechenweg ist möglich. b) Beide Wege sind gleichwertig, weil \(17 = 10 + 7\) gilt. c) Beide Wege sind zulässig. Die Begründung muss einen konkreten rechnerischen oder darstellerischen Vorteil des gewählten Weges nennen.

- Beginne beim bereits sichtbaren Übertrag aus der Einerrechnung. - Verwende diesen Übertrag zusammen mit der Zehnerziffer des ersten Faktors. - Der gesuchte Wert ist nicht die geschriebene Ergebnisziffer dieses Schritts, sondern der Übertrag zur nächsten Stelle.

1. Zuerst wird an der Einerstelle gerechnet: \(8 \cdot 4 = 32\). Deshalb wird \(2\) geschrieben und \(3\) zur Zehnerstelle übertragen; dieser Übertrag ist bereits sichtbar. 2. An der Zehnerstelle gilt anschließend \(6 \cdot 4 + 3 = 27\). 3. Die \(7\) wird an der Zehnerstelle geschrieben. Die \(2\) wird zur Hunderterstelle übertragen. 4. Deshalb gehört an die Stelle des Sternchens die Ziffer \(2\).

Der fehlende Übertrag ist \(2\). Er entsteht aus \(6 \cdot 4 + 3 = 27\): Die \(7\) bleibt an der Zehnerstelle, die \(2\) wird zur Hunderterstelle übertragen.

- Multipliziere von den Einern nach links. - Zerlege jedes zweistellige Zwischenergebnis in notierte Einerziffer und Übertrag. - Nimm den Übertrag in die nächste Stelle mit.

1. Einer: \(6\cdot4=24\); \(4\) wird notiert, \(2\) übertragen. 2. Zehner: \(4\cdot4+2=18\); \(8\) wird notiert, \(1\) übertragen. 3. Hunderter: \(3\cdot4+1=13\). 4. Ergebnis: \(346\cdot4=1384\).

\(1384\); die Überträge sind zuerst \(2\), dann \(1\).

- Behandle jede Stelle der Zahl, auch eine Null. - Frage dich, ob aus der Einerstelle ein Übertrag in die Nullstelle kommt. - Prüfe, dass der Stellenwert der Ziffern im Ergebnis erhalten bleibt.

1. Einer: \(7\cdot6=42\); \(2\) wird notiert und \(4\) übertragen. 2. Zehner: \(0\cdot6+4=4\). Die Null wird also nicht „übersprungen“; an dieser Stelle bleibt durch den Übertrag eine \(4\). 3. Hunderter: \(5\cdot6=30\). 4. Ergebnis: \(507\cdot6=3042\).

\(3042\). Die Null bezeichnet die Zehnerstelle; dort wird \(0\cdot6\) gerechnet und der vorhandene Übertrag berücksichtigt.

- Welche Ziffer steht an der Zehnerstelle des Multiplikators? - Multipliziere den Multiplikanden mit genau dieser Ziffer, bevor du an die Verschiebung denkst. - Addiere erst danach die beiden Teilproduktzeilen stellenrichtig.

1. Die Zehnerziffer des Multiplikators ist \(1\). Daher lautet die unverschobene Zehner-Teilproduktzeile \(234\cdot1=234\). 2. In der schriftlichen Darstellung beginnt diese Zeile eine Stelle weiter links und stellt deshalb \(2340\) dar. 3. Die Einerzeile ist \(468\). Stellenrichtig addiert gilt \(2340+468=2808\).

Zehner-Teilproduktzeile: \(234\), sie stellt verschoben \(2340\) dar. Endergebnis: \(2808\).

- Betrachte zuerst die Einerziffer des Multiplikators. - Ordne danach die zweite Teilproduktzeile ihrem Stellenwert zu. - Addiere erst, wenn beide Zeilen richtig gedeutet sind.

1. Die Einerziffer des Multiplikators ist \(1\). Deshalb ist das Einer-Teilprodukt \(408\cdot1=408\). 2. Für die Zehnerziffer gilt \(408\cdot2=816\); die Zeile wird eine Stelle nach links verschoben und stellt \(8160\) dar. 3. \(8160+408=8568\).

\(8568\). Das Einer-Teilprodukt ist \(408\), weil die Einerziffer des Multiplikators \(1\) ist.

- Schau zuerst auf die Einerziffer des Multiplikators. - Eine echte Nullziffer erzeugt ein echtes Teilprodukt \(0\). - Deute die andere Zeile über den Zehnerstellenwert.

1. Die Einerziffer des Multiplikators ist \(0\); daher lautet das Einer-Teilprodukt \(315\cdot0=0\). 2. Die Zehnerziffer ist \(2\): \(315\cdot2=630\). Verschoben stellt die Zeile \(6300\) dar. 3. Das Endergebnis ist \(6300\).

\(6300\). Die Nullzeile entsteht, weil mit der Einerziffer \(0\) multipliziert wird.

- Ordne die fehlende Zeile der Einerziffer des Multiplikators zu. - Berechne nur dieses eine Teilprodukt. - Nutze das sichtbare Endergebnis anschließend als Kontrolle.

1. Die Einerziffer des Multiplikators ist \(4\). 2. Das fehlende Teilprodukt ist daher \(263\cdot4=1052\). 3. Die Zehnerzeile stellt \(2630\) dar; zusammen mit \(1052\) ergibt sich das sichtbare Endprodukt \(3682\).

Die fehlende Teilproduktzeile ist \(1052\).

- Lies zuerst die Einerziffer des Multiplikators ab. - Berechne damit das fehlende Teilprodukt, bevor du die Zeilen addierst. - Deute die Verschiebung der Zehnerzeile korrekt.

1. Die Einerziffer des Multiplikators ist \(2\). Daher ist die fehlende Einerzeile \(184\cdot2=368\). 2. Die Zehnerzeile \(552\) stellt wegen ihrer Verschiebung \(5520\) dar. 3. \(5520+368=5888\). Das Sternchen im Ergebnis ist daher \(8\).

Einer-Teilproduktzeile: \(368\). Das Ergebnis lautet \(5888\); die fehlende Ergebnisziffer ist \(8\).

- Ignoriere die Nullzeile nicht: Ordne sie zuerst der Einerziffer zu. - Berechne dann das Teilprodukt zur Zehnerziffer. - Der Stellenwert wird durch die Verschiebung der Zeile sichtbar.

1. Die Zehnerziffer des Multiplikators ist \(3\). Das unverschobene Teilprodukt ist \(274\cdot3=822\). 2. Als Zehnerzeile wird \(822\) eine Stelle nach links verschoben und stellt \(8220\) dar. 3. Zusammen mit der Nullzeile ergibt sich \(8220\).

Die fehlende Teilproduktzeile ist \(822\); verschoben stellt sie \(8220\) dar.

- Welche schriftliche Multiplikation gehört zu \(45\) gleich großen Kartons? - Beginne mit der Einerziffer des zweistelligen Multiplikators und arbeite danach mit seiner Zehnerziffer. - Die zweite Teilzeile muss wegen des Stellenwerts der Zehnerziffer versetzt beginnen.

1. Schreibe \(225 \cdot 45\) als schriftliche Multiplikation auf. 2. Die Teilzeile zur Einerziffer \(5\) ergibt \(225 \cdot 5 = 1125\). 3. Die Teilzeile zur Zehnerziffer \(4\), also zu \(40\), ergibt stellenrichtig versetzt \(225 \cdot 40 = 9000\). 4. Addiere die Teilzeilen: \(1125 + 9000 = 10\,125\). 5. Ein Überschlag mit etwa \(200 \cdot 50 = 10\,000\) bestätigt die Größenordnung. 6. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(225 \cdot 45\): Einerzeile \(1125\), Zehnerzeile \(900\) (nach links versetzt).

Es sind insgesamt \(10\,125\) Hefte. Schriftliche Zwischenschritte: \(225 \cdot 45\): Einerzeile \(1125\), Zehnerzeile \(900\) (nach links versetzt).

- Bei einem zweistelligen zweiten Faktor brauchst du eine Teilzeile zur Einerziffer und eine zur Zehnerziffer. - Beginne die Zehner-Teilzeile eine Stelle weiter links als die Einer-Teilzeile. - Bei der Tauschaufgabe werden die beiden Faktoren vertauscht; das Produkt muss gleich bleiben.

1. In a) entstehen im schriftlichen Verfahren die Teilzeilen \(24 \cdot 6 = 144\) und stellenrichtig versetzt \(24 \cdot 50 = 1200\). Ihre Summe ist \(1344\). Die Tauschaufgabe \(56 \cdot 24\) ergibt ebenfalls \(1344\). 2. In b) entstehen die Teilzeilen \(37 \cdot 2 = 74\) und \(37 \cdot 40 = 1480\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(1554\). Die Tauschaufgabe \(42 \cdot 37\) bestätigt \(1554\). 3. In c) entstehen die Teilzeilen \(58 \cdot 9 = 522\) und \(58 \cdot 10 = 580\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(1102\). Die Tauschaufgabe \(19 \cdot 58\) bestätigt \(1102\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(24 \cdot 56\): Einerzeile \(144\), Zehnerzeile \(120\) (nach links versetzt); \(37 \cdot 42\): Einerzeile \(74\), Zehnerzeile \(148\) (nach links versetzt); \(58 \cdot 19\): Einerzeile \(522\), Zehnerzeile \(58\) (nach links versetzt).

a) \(1344\) b) \(1554\) c) \(1102\) Schriftliche Zwischenschritte: \(24 \cdot 56\): Einerzeile \(144\), Zehnerzeile \(120\) (nach links versetzt); \(37 \cdot 42\): Einerzeile \(74\), Zehnerzeile \(148\) (nach links versetzt); \(58 \cdot 19\): Einerzeile \(522\), Zehnerzeile \(58\) (nach links versetzt).

- Rechne jedes Produkt mit den beiden schriftlichen Teilzeilen für Einer und Zehner des zweiten Faktors. - Beachte bei einem Faktor mit Einerziffer \(0\), dass die erste Teilzeile \(0\) ist. - Vergleiche erst nach der Kontrolle mit der Tauschaufgabe alle fünf Endergebnisse.

1. A: Die schriftlichen Teilzeilen sind \(28 \cdot 5 = 140\) und \(28 \cdot 40 = 1120\). Zusammen ergeben sie \(1260\). 2. B: Die Teilzeilen sind \(35 \cdot 6 = 210\) und \(35 \cdot 30 = 1050\). Zusammen ergeben sie \(1260\). 3. C: Die Teilzeilen sind \(20 \cdot 3 = 60\) und \(20 \cdot 60 = 1200\). Zusammen ergeben sie \(1260\). 4. D: Die Einer-Teilzeile zu \(0\) ist \(0\); die Zehner-Teilzeile entspricht \(42 \cdot 30 = 1260\). Das Produkt ist \(1260\). 5. E: Die Einer-Teilzeile zu \(0\) ist \(0\); die Zehner-Teilzeile entspricht \(32 \cdot 40 = 1280\). Das Produkt ist \(1280\). 6. Die Tauschaufgaben liefern dieselben Produkte. Damit weicht nur E von den vier Produkten \(1260\) ab. 7. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(28 \cdot 45\): Einerzeile \(140\), Zehnerzeile \(112\) (nach links versetzt); \(35 \cdot 36\): Einerzeile \(210\), Zehnerzeile \(105\) (nach links versetzt); \(20 \cdot 63\): Einerzeile \(60\), Zehnerzeile \(120\) (nach links versetzt); \(42 \cdot 30\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(126\) (nach links versetzt); \(32 \cdot 40\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(128\) (nach links versetzt).

Aufgabe E, denn \(32 \cdot 40 = 1280\); A, B, C und D ergeben jeweils \(1260\). Schriftliche Zwischenschritte: \(28 \cdot 45\): Einerzeile \(140\), Zehnerzeile \(112\) (nach links versetzt); \(35 \cdot 36\): Einerzeile \(210\), Zehnerzeile \(105\) (nach links versetzt); \(20 \cdot 63\): Einerzeile \(60\), Zehnerzeile \(120\) (nach links versetzt); \(42 \cdot 30\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(126\) (nach links versetzt); \(32 \cdot 40\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(128\) (nach links versetzt).

- Schreibe für jede Person die passende Multiplikation auf und berechne sie mit zwei schriftlichen Teilzeilen. - Vergleiche danach die Reihenfolge der beiden Faktoren. - Wie verändert sich ein Produkt, wenn nur die Reihenfolge der Faktoren vertauscht wird?

1. Für Arben wird \(18 \cdot 24\) schriftlich berechnet. Die Teilzeilen sind \(18 \cdot 4 = 72\) und \(18 \cdot 20 = 360\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(432\). 2. Für Elif wird \(24 \cdot 18\) schriftlich berechnet. Die Teilzeilen sind \(24 \cdot 8 = 192\) und \(24 \cdot 10 = 240\). Stellenrichtig addiert ergibt das ebenfalls \(432\). 3. Die Ergebnisse sind gleich, weil die Faktoren nur vertauscht wurden: \(18 \cdot 24 = 24 \cdot 18\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(18 \cdot 24\): Einerzeile \(72\), Zehnerzeile \(36\) (nach links versetzt); \(24 \cdot 18\): Einerzeile \(192\), Zehnerzeile \(24\) (nach links versetzt).

a) Arben: \(432\) Äpfel; Elif: \(432\) Äpfel b) Die Ergebnisse sind gleich, weil es Tauschaufgaben sind. Schriftliche Zwischenschritte: \(18 \cdot 24\): Einerzeile \(72\), Zehnerzeile \(36\) (nach links versetzt); \(24 \cdot 18\): Einerzeile \(192\), Zehnerzeile \(24\) (nach links versetzt).

- Wie lässt sich der Faktor \(22\) in zwei leicht zu berechnende Teile zerlegen? - Welche der Ergebnisse aus a) gehören genau zu diesen beiden Teilen? - Vergleiche anschließend die Faktoren \(22\) und \(44\).

1. \(24 \cdot 2 = 48\) und \(24 \cdot 20 = 480\). 2. Für \(24 \cdot 22\) werden die beiden Teilprodukte addiert: \(48 + 480 = 528\). Dabei wurde \(22\) in \(20 + 2\) zerlegt. 3. \(24 \cdot 44 = 1056\). 4. Da \(44\) das Doppelte von \(22\) ist, ist auch \(1056\) das Doppelte von \(528\).

a) \(48\) und \(480\) b) \(24 \cdot 22 = 528\), indem die Teilprodukte zu \(48 + 480\) zusammengesetzt werden. c) \(24 \cdot 44 = 1056\). Das Ergebnis ist doppelt so groß wie \(528\).

- Schätze zunächst, welche Produkte ungefähr bei \(96\,000\) liegen. - Achte bei zweistelligen Multiplikatoren auf die stellenrichtige Zehner-Teilzeile. - Vergleiche erst die vollständig berechneten Produkte miteinander.

1. A: Die schriftlichen Teilprodukte sind \(6400 \cdot 5 = 32\,000\) und \(6400 \cdot 10 = 64\,000\). Zusammen ergibt das \(96\,000\). 2. B: Die schriftlichen Teilprodukte sind \(4000 \cdot 4 = 16\,000\) und \(4000 \cdot 20 = 80\,000\). Zusammen ergibt das \(96\,000\). 3. C: \(11\,999 \cdot 8 = 95\,992\). 4. D: Die schriftlichen Teilprodukte sind \(5998 \cdot 6 = 35\,988\) und \(5998 \cdot 10 = 59\,980\). Zusammen ergibt das \(95\,968\). 5. E: Die schriftlichen Teilprodukte sind \(3201 \cdot 0 = 0\) und \(3201 \cdot 30 = 96\,030\). Zusammen ergibt das \(96\,030\). 6. Es gilt \(95\,968 < 95\,992 < 96\,000 < 96\,030\). Damit ist D am kleinsten. 7. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(6400 \cdot 15\): Einerzeile \(32\,000\), Zehnerzeile \(6400\) (nach links versetzt); \(4000 \cdot 24\): Einerzeile \(16\,000\), Zehnerzeile \(8000\) (nach links versetzt); \(11\,999 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(7, 7, 7, 1\); \(5998 \cdot 16\): Einerzeile \(35\,988\), Zehnerzeile \(5998\) (nach links versetzt); \(3201 \cdot 30\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(9603\) (nach links versetzt).

D: \(5998 \cdot 16 = 95\,968\) Schriftliche Zwischenschritte: \(6400 \cdot 15\): Einerzeile \(32\,000\), Zehnerzeile \(6400\) (nach links versetzt); \(4000 \cdot 24\): Einerzeile \(16\,000\), Zehnerzeile \(8000\) (nach links versetzt); \(11\,999 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(7, 7, 7, 1\); \(5998 \cdot 16\): Einerzeile \(35\,988\), Zehnerzeile \(5998\) (nach links versetzt); \(3201 \cdot 30\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(9603\) (nach links versetzt).

- Rechne jede Aufgabe einzeln aus. - Gibt es Aufgaben, die du im Kopf rechnen kannst, um Zeit zu sparen? - Vergleiche deine Ergebnisse am Ende miteinander.

1. Berechnung der Produkte: \(12\,000 \cdot 15 = 180\,000\) \(18\,000 \cdot 10 = 180\,000\) \(9000 \cdot 20 = 180\,000\) \(7500 \cdot 24 = 180\,000\) \(14\,500 \cdot 12 = 174\,000\) 2. Feststellung der Abweichung: Die Ergebnisse von A, B, C und D sind identisch (\(180\,000\)). Das Ergebnis von E ist mit \(174\,000\) anders.

E: \(14\,500 \cdot 12\)

- Nutze die Überschläge nur zur Orientierung; mehrere Produkte liegen sehr dicht beieinander. - Bei einem zweistelligen Multiplikator brauchst du eine Einer- und eine stellenrichtig verschobene Zehner-Teilzeile. - Vergleiche nach der exakten Rechnung die vier Ergebnisse stellenweise.

1. Überschläge: A liegt nahe bei \(15\,000 \cdot 12 = 180\,000\), B nahe bei \(11\,000 \cdot 16 = 176\,000\), C nahe bei \(9000 \cdot 20 = 180\,000\) und D nahe bei \(22\,500 \cdot 8 = 180\,000\). 2. A: Die schriftlichen Teilprodukte sind \(14\,990 \cdot 2 = 29\,980\) und \(14\,990 \cdot 10 = 149\,900\). Ihre Summe ist \(179\,880\). 3. B: Die schriftlichen Teilprodukte sind \(11\,250 \cdot 6 = 67\,500\) und \(11\,250 \cdot 10 = 112\,500\). Ihre Summe ist \(180\,000\). 4. C: Die schriftlichen Teilprodukte sind \(8950 \cdot 0 = 0\) und \(8950 \cdot 20 = 179\,000\). Das Produkt ist \(179\,000\). 5. D: \(22\,480 \cdot 8 = 179\,840\). 6. Damit ist \(180\,000\) das größte Ergebnis; es gehört zu B. 7. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(14\,990 \cdot 12\): Einerzeile \(29\,980\), Zehnerzeile \(14\,990\) (nach links versetzt); \(11\,250 \cdot 16\): Einerzeile \(67\,500\), Zehnerzeile \(11\,250\) (nach links versetzt); \(8950 \cdot 20\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(17\,900\) (nach links versetzt); \(22\,480 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(0, 6, 3, 1\).

B: \(11\,250 \cdot 16 = 180\,000\) Schriftliche Zwischenschritte: \(14\,990 \cdot 12\): Einerzeile \(29\,980\), Zehnerzeile \(14\,990\) (nach links versetzt); \(11\,250 \cdot 16\): Einerzeile \(67\,500\), Zehnerzeile \(11\,250\) (nach links versetzt); \(8950 \cdot 20\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(17\,900\) (nach links versetzt); \(22\,480 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(0, 6, 3, 1\).

- Berechne jedes Produkt mit dem schriftlichen Verfahren und achte auf Überträge. - Bei Aufgabe C brauchst du zwei Teilzeilen für Einer und Zehner des zweiten Faktors. - Vergleiche die vier Endergebnisse erst nach einer kurzen Kontrolle.

1. A: Bei \(258 \cdot 7\) werden von rechts nach links die Stellen multipliziert und Überträge berücksichtigt. Das ergibt \(1806\). 2. B: Bei \(314 \cdot 6\) ergibt die schriftliche Multiplikation \(1884\). 3. C: Für \(49 \cdot 37\) entstehen die Teilprodukte \(49 \cdot 7 = 343\) und \(49 \cdot 30 = 1470\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(1813\). 4. D: Bei \(182 \cdot 9\) ergibt die schriftliche Multiplikation \(1638\). 5. Es gilt \(1884 > 1813 > 1806 > 1638\). Das größte Ergebnis gehört zu B. 6. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(258 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(5, 4\); \(314 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(2, 0\); \(49 \cdot 37\): Einerzeile \(343\), Zehnerzeile \(147\) (nach links versetzt); \(182 \cdot 9\): Überträge von rechts nach links \(1, 7\).

Aufgabe B liefert mit \(1884\) das größte Ergebnis. Schriftliche Zwischenschritte: \(258 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(5, 4\); \(314 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(2, 0\); \(49 \cdot 37\): Einerzeile \(343\), Zehnerzeile \(147\) (nach links versetzt); \(182 \cdot 9\): Überträge von rechts nach links \(1, 7\).

- Führe die drei einstelligen schriftlichen Multiplikationen jeweils von rechts nach links aus. - Bestimme danach zu jedem Ergebnis den Abstand von \(3000\). - Der kleinste Abstand entscheidet, nicht das kleinste oder größte Produkt.

1. Die schriftliche Multiplikation ergibt für A: \(428 \cdot 7 = 2996\). 2. Die schriftliche Multiplikation ergibt für B: \(596 \cdot 5 = 2980\). 3. Die schriftliche Multiplikation ergibt für C: \(382 \cdot 8 = 3056\). 4. Die Abstände zu \(3000\) sind \(3000 - 2996 = 4\), \(3000 - 2980 = 20\) und \(3056 - 3000 = 56\). 5. Da \(4 < 20 < 56\), liegt A am nächsten an \(3000\). 6. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(428 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(5, 1\); \(596 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(3, 4\); \(382 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(1, 6\).

A: \(428 \cdot 7 = 2996\) liegt mit Abstand \(4\) am nächsten an \(3000\). Schriftliche Zwischenschritte: \(428 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(5, 1\); \(596 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(3, 4\); \(382 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(1, 6\).

- Schreibe zuerst die beiden Vervielfachungen als Multiplikationsaufgaben. - Führe beide schriftlichen Multiplikationen von rechts nach links aus und beachte mögliche Überträge. - Bestimme nach dem Vergleich den Abstand der beiden Ergebnisse durch Subtraktion.

1. Die schriftliche Multiplikation ergibt \(185 \cdot 4 = 740\). 2. Die schriftliche Multiplikation ergibt \(92 \cdot 8 = 736\). 3. Es gilt \(740 > 736\), also ist das \(4\)-Fache von \(185\) größer. 4. Der Unterschied beträgt \(740 - 736 = 4\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(185 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 3\); \(92 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(1\).

Das \(4\)-Fache von \(185\) ist mit \(740\) größer. Der Unterschied beträgt \(4\). Schriftliche Zwischenschritte: \(185 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 3\); \(92 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(1\).

- Berechne in jeder Zeile beide Produkte mit dem schriftlichen Verfahren. - Kontrolliere besonders die Überträge, weil die Produkte jeweils nah beieinanderliegen. - Setze das Vergleichszeichen erst ein, wenn beide Endergebnisse feststehen.

1. a) Schriftlich berechnet gilt \(178 \cdot 4 = 712\) und \(142 \cdot 5 = 710\). Daher gilt \(712 > 710\). 2. b) Schriftlich berechnet gilt \(235 \cdot 3 = 705\) und \(118 \cdot 6 = 708\). Daher gilt \(705 < 708\). 3. c) Schriftlich berechnet gilt \(156 \cdot 7 = 1092\) und \(182 \cdot 6 = 1092\). Daher gilt \(1092 = 1092\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(178 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(3, 3\); \(142 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(1, 2\); \(235 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(1, 1\); \(118 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(4, 1\); \(156 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(4, 3\); \(182 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(1, 4\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(=\) Schriftliche Zwischenschritte: \(178 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(3, 3\); \(142 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(1, 2\); \(235 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(1, 1\); \(118 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(4, 1\); \(156 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(4, 3\); \(182 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(1, 4\).

- Multipliziere jede Ziffer des Multiplikators mit dem ersten Faktor. - Die Teilproduktzeile zur Zehnerziffer wird um eine Stelle nach links verschoben. - Addiere die Teilprodukte stellenrichtig. - Prüfe die Größenordnung anschließend mit einem Überschlag.

1. a) Für die Zehnerziffer gilt \(537 \cdot 2 = 1074\); die verschobene Zeile stellt \(10\,740\) dar. Für die Einerziffer gilt \(537 \cdot 4 = 2148\). Stellenrichtig addiert ergibt sich \(12\,888\). 2. b) Für die Zehnerziffer gilt \(1284 \cdot 1 = 1284\); die verschobene Zeile stellt \(12\,840\) dar. Für die Einerziffer gilt \(1284 \cdot 3 = 3852\). Die Summe ist \(16\,692\). 3. c) Für die Zehnerziffer gilt \(2115 \cdot 3 = 6345\); die verschobene Zeile stellt \(63\,450\) dar. Für die Einerziffer gilt \(2115 \cdot 6 = 12\,690\). Die Summe ist \(76\,140\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(537 \cdot 24\): Einerzeile \(2148\), Zehnerzeile \(1074\) (nach links versetzt); \(1284 \cdot 13\): Einerzeile \(3852\), Zehnerzeile \(1284\) (nach links versetzt); \(2115 \cdot 36\): Einerzeile \(12\,690\), Zehnerzeile \(6345\) (nach links versetzt).

a) \(12\,888\) b) \(16\,692\) c) \(76\,140\) Schriftliche Zwischenschritte: \(537 \cdot 24\): Einerzeile \(2148\), Zehnerzeile \(1074\) (nach links versetzt); \(1284 \cdot 13\): Einerzeile \(3852\), Zehnerzeile \(1284\) (nach links versetzt); \(2115 \cdot 36\): Einerzeile \(12\,690\), Zehnerzeile \(6345\) (nach links versetzt).

- Führe beide einstelligen schriftlichen Multiplikationen sorgfältig von rechts nach links aus. - Vergleiche die Ergebnisse erst, wenn beide Rechnungen vollständig kontrolliert sind. - Für den Unterschied subtrahierst du das kleinere Ergebnis vom größeren.

1. Lukas rechnet schriftlich \(12\,345 \cdot 8 = 98\,760\). 2. Marie rechnet schriftlich \(16\,465 \cdot 6 = 98\,790\). 3. Da \(98\,790 > 98\,760\), erhält Marie das größere Ergebnis. 4. Der Unterschied beträgt \(98\,790 - 98\,760 = 30\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(12\,345 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(4, 3, 2, 1\); \(16\,465 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(3, 3, 2, 3\).

Marie erhält mit \(98\,790\) das größere Ergebnis. Der Unterschied beträgt \(30\). Schriftliche Zwischenschritte: \(12\,345 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(4, 3, 2, 1\); \(16\,465 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(3, 3, 2, 3\).

- Rechne in jeder Zeile zunächst beide Produkte mit dem schriftlichen Verfahren aus. - Achte besonders auf Überträge, weil die verglichenen Ergebnisse sehr nahe beieinanderliegen. - Setze das Vergleichszeichen erst nach der exakten Rechnung ein.

1. a) Die schriftlichen Multiplikationen ergeben \(12\,450 \cdot 6 = 74\,700\) und \(24\,900 \cdot 3 = 74\,700\). Daher gilt \(=\). 2. b) Die schriftlichen Multiplikationen ergeben \(15\,312 \cdot 7 = 107\,184\) und \(13\,400 \cdot 8 = 107\,200\). Daher gilt \(<\). 3. c) Die schriftlichen Multiplikationen ergeben \(48\,216 \cdot 4 = 192\,864\) und \(21\,428 \cdot 9 = 192\,852\). Daher gilt \(>\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(12\,450 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(0, 3, 2, 1\); \(24\,900 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(0, 0, 2, 1\); \(15\,312 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(1, 0, 2, 3\); \(13\,400 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(0, 0, 3, 2\); \(48\,216 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 0, 0, 3\); \(21\,428 \cdot 9\): Überträge von rechts nach links \(7, 2, 3, 1\).

a) \(=\) b) \(<\) c) \(>\) Schriftliche Zwischenschritte: \(12\,450 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(0, 3, 2, 1\); \(24\,900 \cdot 3\): Überträge von rechts nach links \(0, 0, 2, 1\); \(15\,312 \cdot 7\): Überträge von rechts nach links \(1, 0, 2, 3\); \(13\,400 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(0, 0, 3, 2\); \(48\,216 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 0, 0, 3\); \(21\,428 \cdot 9\): Überträge von rechts nach links \(7, 2, 3, 1\).

- Führe jede Multiplikation schriftlich von rechts nach links aus. - Kontrolliere die Überträge, bevor du die Ergebnisse vergleichst. - Beim Ordnen helfen zuerst die Tausender- und dann die Hunderterstellen.

1. Schriftlich berechnet ist \(736 \cdot 8 = 5888\). 2. Schriftlich berechnet ist \(1465 \cdot 4 = 5860\). 3. Schriftlich berechnet ist \(982 \cdot 6 = 5892\). 4. Damit gilt \(5860 < 5888 < 5892\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(736 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(4, 2\); \(1465 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 2, 1\); \(982 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(1, 4\).

\(1465 \cdot 4 = 5860\) \(736 \cdot 8 = 5888\) \(982 \cdot 6 = 5892\) Schriftliche Zwischenschritte: \(736 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(4, 2\); \(1465 \cdot 4\): Überträge von rechts nach links \(2, 2, 1\); \(982 \cdot 6\): Überträge von rechts nach links \(1, 4\).

- Berechne zuerst beide Produkte mit dem schriftlichen Verfahren. - Vergleiche die Ergebnisse, damit klar ist, welches größer ist. - Den Unterschied erhältst du, indem du das kleinere Ergebnis vom größeren subtrahierst.

1. Die schriftliche Multiplikation ergibt \(a = 3407 \cdot 5 = 17\,035\). 2. Die schriftliche Multiplikation ergibt \(b = 2138 \cdot 8 = 17\,104\). 3. Der Unterschied ist \(17\,104 - 17\,035 = 69\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(3407 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(3, 0, 2\); \(2138 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(6, 3, 1\).

\(a = 17\,035\) \(b = 17\,104\) Der Unterschied beträgt \(69\). Schriftliche Zwischenschritte: \(3407 \cdot 5\): Überträge von rechts nach links \(3, 0, 2\); \(2138 \cdot 8\): Überträge von rechts nach links \(6, 3, 1\).

- Rechne zuerst das Produkt für die erste Aufgabe aus. - Schau dir die beiden Aufgaben genau an: Was hat sich beim zweiten Faktor verändert? - Musst du wirklich alles neu rechnen, oder kannst du den Unterschied direkt aus den Faktoren ablesen?

1. Schriftliche Multiplikation von \(412 \cdot 38\): \(412 \cdot 30 = 12\,360\) und \(412 \cdot 8 = 3296\). 2. Summe der Teilergebnisse: \(12\,360 + 3296 = 15\,656\). 3. Vergleich der Faktoren: In der zweiten Aufgabe wird die Zahl \(412\) einmal weniger addiert (\(37\)-mal statt \(38\)-mal). 4. Der Unterschied entspricht also genau dem Wert des ersten Faktors: \(412\).

Das Produkt von \(412 \cdot 38\) ist \(15\,656\). Der Unterschied zum Produkt von \(412 \cdot 37\) beträgt genau \(412\).

- Schreibe zu jedem zweistelligen Multiplikator eine Einer- und eine Zehner-Teilzeile. - Achte darauf, die Zehner-Teilzeile stellenrichtig zu notieren. - Vergleiche die Endprodukte erst nach einer kurzen Kontrolle.

1. a) Schriftlich berechnet gilt \(36 \cdot 25 = 900\) und \(45 \cdot 20 = 900\). Daher gilt \(=\). 2. b) Für \(58 \cdot 14\) ergeben die Teilprodukte \(58 \cdot 4 = 232\) und \(58 \cdot 10 = 580\) zusammen \(812\). Für \(42 \cdot 19\) ergeben \(42 \cdot 9 = 378\) und \(42 \cdot 10 = 420\) zusammen \(798\). Daher gilt \(>\). 3. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(36 \cdot 25\): Einerzeile \(180\), Zehnerzeile \(72\) (nach links versetzt); \(45 \cdot 20\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(90\) (nach links versetzt); \(58 \cdot 14\): Einerzeile \(232\), Zehnerzeile \(58\) (nach links versetzt); \(42 \cdot 19\): Einerzeile \(378\), Zehnerzeile \(42\) (nach links versetzt).

a) \(=\) b) \(>\) Schriftliche Zwischenschritte: \(36 \cdot 25\): Einerzeile \(180\), Zehnerzeile \(72\) (nach links versetzt); \(45 \cdot 20\): Einerzeile \(0\), Zehnerzeile \(90\) (nach links versetzt); \(58 \cdot 14\): Einerzeile \(232\), Zehnerzeile \(58\) (nach links versetzt); \(42 \cdot 19\): Einerzeile \(378\), Zehnerzeile \(42\) (nach links versetzt).

- Bei jedem Produkt entstehen zwei schriftliche Teilzeilen für Einer und Zehner des zweiten Faktors. - Kontrolliere die Stellenverschiebung der Zehner-Teilzeile. - Addiere erst danach die drei fertigen Produkte zur Gesamtsumme.

1. a) Die Teilprodukte sind \(27 \cdot 3 = 81\) und \(27 \cdot 40 = 1080\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(1161\). 2. b) Die Teilprodukte sind \(52 \cdot 9 = 468\) und \(52 \cdot 10 = 520\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(988\). 3. c) Die Teilprodukte sind \(36 \cdot 6 = 216\) und \(36 \cdot 30 = 1080\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(1296\). 4. Die Gesamtsumme ist \(1161 + 988 + 1296 = 3445\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(27 \cdot 43\): Einerzeile \(81\), Zehnerzeile \(108\) (nach links versetzt); \(52 \cdot 19\): Einerzeile \(468\), Zehnerzeile \(52\) (nach links versetzt); \(36 \cdot 36\): Einerzeile \(216\), Zehnerzeile \(108\) (nach links versetzt).

a) \(1161\) b) \(988\) c) \(1296\) Gesamtsumme: \(3445\) Schriftliche Zwischenschritte: \(27 \cdot 43\): Einerzeile \(81\), Zehnerzeile \(108\) (nach links versetzt); \(52 \cdot 19\): Einerzeile \(468\), Zehnerzeile \(52\) (nach links versetzt); \(36 \cdot 36\): Einerzeile \(216\), Zehnerzeile \(108\) (nach links versetzt).

- Achte beim schriftlichen Multiplizieren auf die Stellenwerte der beiden Multiplikatorziffern. - Berechne erst alle drei Produkte vollständig. - Vergleiche anschließend von der höchsten Stellenwertziffer aus.

1. Für \(456 \cdot 23\) ergeben die beiden Stellenprodukte zusammen \(10\,488\). 2. Für \(382 \cdot 47\) ergibt sich \(17\,954\). 3. Für \(709 \cdot 18\) ergibt sich \(12\,762\). 4. Damit gilt \(10\,488 < 12\,762 < 17\,954\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(456 \cdot 23\): Einerzeile \(1368\), Zehnerzeile \(912\) (nach links versetzt); \(382 \cdot 47\): Einerzeile \(2674\), Zehnerzeile \(1528\) (nach links versetzt); \(709 \cdot 18\): Einerzeile \(5672\), Zehnerzeile \(709\) (nach links versetzt).

a) \(10\,488\) b) \(17\,954\) c) \(12\,762\) Reihenfolge: a) \(<\) c) \(<\) b). Schriftliche Zwischenschritte: \(456 \cdot 23\): Einerzeile \(1368\), Zehnerzeile \(912\) (nach links versetzt); \(382 \cdot 47\): Einerzeile \(2674\), Zehnerzeile \(1528\) (nach links versetzt); \(709 \cdot 18\): Einerzeile \(5672\), Zehnerzeile \(709\) (nach links versetzt).

- Berechne beide Produkte mit je einer Einer- und einer Zehner-Teilzeile. - Achte auf die Stellenverschiebung der Zehner-Teilzeile. - Die beiden Ergebnisse liegen sehr nah beieinander; vergleiche deshalb erst nach der exakten Rechnung.

1. Für \(617 \cdot 24\) ergeben die schriftlichen Teilprodukte \(617 \cdot 4 = 2468\) und \(617 \cdot 20 = 12\,340\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(14\,808\). 2. Für \(423 \cdot 35\) ergeben die schriftlichen Teilprodukte \(423 \cdot 5 = 2115\) und \(423 \cdot 30 = 12\,690\). Stellenrichtig addiert ergibt das \(14\,805\). 3. Da \(14\,808 > 14\,805\), gilt \(617 \cdot 24 > 423 \cdot 35\). 4. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(617 \cdot 24\): Einerzeile \(2468\), Zehnerzeile \(1234\) (nach links versetzt); \(423 \cdot 35\): Einerzeile \(2115\), Zehnerzeile \(1269\) (nach links versetzt).

\(617 \cdot 24 > 423 \cdot 35\) Schriftliche Zwischenschritte: \(617 \cdot 24\): Einerzeile \(2468\), Zehnerzeile \(1234\) (nach links versetzt); \(423 \cdot 35\): Einerzeile \(2115\), Zehnerzeile \(1269\) (nach links versetzt).

- Rechne erst beide Aufgaben schriftlich aus und vergleiche die Ergebnisse. - Untersuche, wie man von \(412\) zu \(206\) gelangt. - Vergleiche danach \(16\) und \(32\). - Überlege, wie sich diese beiden Veränderungen gegenseitig ausgleichen.

1. Bei \(412 \cdot 16\) gilt für die Einerziffer \(412 \cdot 6 = 2472\). Für die Zehnerziffer gilt \(412 \cdot 1 = 412\); diese Zeile beginnt eine Stelle weiter links und stellt \(4120\) dar. Das Produkt ist \(6592\). 2. Bei \(206 \cdot 32\) gilt für die Einerziffer \(206 \cdot 2 = 412\). Für die Zehnerziffer gilt \(206 \cdot 3 = 618\); diese Zeile beginnt eine Stelle weiter links und stellt \(6180\) dar. Das Produkt ist ebenfalls \(6592\). 3. Der erste Faktor wurde halbiert, während der zweite Faktor verdoppelt wurde: \(412 : 2 = 206\) und \(16 \cdot 2 = 32\). 4. Halbiert man einen Faktor und verdoppelt gleichzeitig den anderen, bleibt das Produkt gleich.

a) (1) \(6592\); (2) \(6592\) b) Die Ergebnisse sind gleich groß. c) Das Produkt bleibt gleich, weil ein Faktor halbiert und der andere gleichzeitig verdoppelt wurde.

- Berechne zuerst beide Ergebnisse einzeln mit der schriftlichen Multiplikation. - Wenn du beide Ergebnisse hast, kannst du sie wie gewohnt vergleichen. - Um den Unterschied zu finden, musst du eine Subtraktion durchführen.

1. Schriftliche Multiplikation für Aufgabe A (\(482 \cdot 34\)): \(482 \cdot 30 = 14\,460\) und \(482 \cdot 4 = 1928\). Das Gesamtergebnis ist \(16\,388\). 2. Schriftliche Multiplikation für Aufgabe B (\(342 \cdot 48\)): \(342 \cdot 40 = 13\,680\) und \(342 \cdot 8 = 2736\). Das Gesamtergebnis ist \(16\,416\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(16\,416 > 16\,388\), somit ist Ergebnis B größer. 4. Berechnung des Unterschieds: \(16\,416 - 16\,388 = 28\). 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(482 \cdot 34\): Einerzeile \(1928\), Zehnerzeile \(1446\) (nach links versetzt); \(342 \cdot 48\): Einerzeile \(2736\), Zehnerzeile \(1368\) (nach links versetzt).

Ergebnis B ist größer. Der Unterschied beträgt \(28\). (Ergebnis A: \(16\,388\); Ergebnis B: \(16\,416\)) Schriftliche Zwischenschritte: \(482 \cdot 34\): Einerzeile \(1928\), Zehnerzeile \(1446\) (nach links versetzt); \(342 \cdot 48\): Einerzeile \(2736\), Zehnerzeile \(1368\) (nach links versetzt).

- Rechne zuerst das Ergebnis für Teil a) aus. - Was bedeutet „verdoppeln“ und „halbieren“ mathematisch? - Führe die neuen Rechnungen für b) und c) Schritt für Schritt aus und vergleiche sie mit deinem ersten Ergebnis. - Fällt dir eine Regel auf, wenn du einen Faktor mit einer Zahl multiplizierst und den anderen durch dieselbe Zahl dividierst?

1. Berechnung des ersten Produkts: \(25 \cdot 12 = 300\). 2. Untersuchung der Änderung bei Verdopplung des einen und Halbierung des anderen Faktors: Neuer erster Faktor \(25 \cdot 2 = 50\), neuer zweiter Faktor \(12 : 2 = 6\). Neues Produkt: \(50 \cdot 6 = 300\). Das Produkt bleibt gleich (Gesetz der Konstanz des Produkts). 3. Untersuchung der Änderung bei Verdopplung beider Faktoren: Neuer erster Faktor \(50\), neuer zweiter Faktor \(24\). Neues Produkt: \(50 \cdot 24 = 1200\). Das Produkt vervierfacht sich (\(300 \cdot 4 = 1200\)).

a) Das Produkt ist \(300\). b) Das Produkt bleibt gleich (\(300\)). c) Das Produkt vervierfacht sich (\(1200\)).

- Berechne zuerst die Gesamtzahl der Stühle mit zwei schriftlichen Teilzeilen. - Vergleiche danach die Platzanzahl mit \(400\). - Falls die Plätze nicht reichen, bestimme den fehlenden Betrag durch Subtraktion.

1. Für \(24 \cdot 16\) ergeben die schriftlichen Teilprodukte \(24 \cdot 6 = 144\) und \(24 \cdot 10 = 240\). 2. Stellenrichtig addiert ergibt das \(384\) Plätze. 3. Da \(384 < 400\), reichen die Plätze nicht aus. 4. Es fehlen \(400 - 384 = 16\) Stühle. 5. Der verlangte Nachweis des schriftlichen Verfahrens ist: \(24 \cdot 16\): Einerzeile \(144\), Zehnerzeile \(24\) (nach links versetzt).

Nein. Es gibt \(384\) Plätze; für \(400\) Kinder fehlen \(16\) Stühle. Schriftliche Zwischenschritte: \(24 \cdot 16\): Einerzeile \(144\), Zehnerzeile \(24\) (nach links versetzt).

- Vergleiche a) und b): Welcher Faktor wurde jeweils mit \(10\) multipliziert? - Überlege, warum das Produkt gleich bleibt, wenn die Verzehnfachung vom einen Faktor zum anderen „wandert“. - Vergleiche c) mit \(24 \cdot 13\): Um welche Faktoren wurden beide Faktoren skaliert?

1. Berechnung von \(240 \cdot 13\): \(240 \cdot 10 = 2400\), \(240 \cdot 3 = 720\), Summe: \(2400 + 720 = 3120\). 2. Berechnung von \(24 \cdot 130\): \(24 \cdot 13 = 312\), dann mit \(10\) multiplizieren ergibt \(3120\). Alternativ: \(24 \cdot 100 = 2400\), \(24 \cdot 30 = 720\), Summe: \(3120\). 3. Berechnung von \(240 \cdot 130\): Dies entspricht \(24 \cdot 13 \cdot 100\). Da \(24 \cdot 13 = 312\), ist das Ergebnis \(31\,200\).

a) \(3120\) b) \(3120\) c) \(31\,200\)

- Welche Division muss bei einem richtigen Produkt wieder einen der Faktoren ergeben? - Die Tauschaufgabe beruht darauf, dass die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht ändert. - Überlege, ob eine Rechnung einen Fehler entdecken kann, wenn du ihr Ergebnis nur aus der ersten Rechnung abschreibst.

1. a) \(37 \cdot 40 = 1480\). Die Umkehraufgabe lautet \(1480 : 40 = 37\). Die Tauschaufgabe ist \(40 \cdot 37 = 1480\). 2. b) \(215 \cdot 30 = 6450\). Die Umkehraufgabe lautet \(6450 : 30 = 215\). Die Tauschaufgabe ist \(30 \cdot 215 = 6450\). 3. c) \(506 \cdot 70 = 35\,420\). Die Umkehraufgabe lautet \(35\,420 : 70 = 506\). Die Tauschaufgabe ist \(70 \cdot 506 = 35\,420\). 4. Die Umkehraufgabe prüft das erhaltene Produkt mit einer anderen Rechenart. Die Tauschaufgabe beschreibt wegen des Kommutativgesetzes dieselbe Multiplikation. Wenn ihr Ergebnis nur übernommen wird, entsteht keine unabhängige Kontrolle; nur eine tatsächliche Neuberechnung kann einen Rechenfehler aufdecken.

a) \(1480\); Probe: \(1480 : 40 = 37\); Tauschaufgabe: \(40 \cdot 37 = 1480\) b) \(6450\); Probe: \(6450 : 30 = 215\); Tauschaufgabe: \(30 \cdot 215 = 6450\) c) \(35\,420\); Probe: \(35\,420 : 70 = 506\); Tauschaufgabe: \(70 \cdot 506 = 35\,420\) Erklärung: Die Division ist eine Umkehraufgabe. Die Tauschaufgabe kontrolliert nur bei einer echten Neuberechnung zusätzlich; bloßes Übernehmen des Ergebnisses prüft nichts.

- Eine unabhängige Probe soll nicht denselben Multiplikationsweg nur anders anordnen. - Welche Umkehraufgabe führt vom Produkt zu einem der Faktoren zurück? - Für den Überschlag reicht eine nahe runde Zahl, die die Größenordnung sichtbar macht.

1. Schriftlich gilt \(326 \cdot 6 = 1956\). Die Überträge von rechts nach links sind \(3\) und \(1\). 2. Die unabhängige Umkehraufgabe lautet \(1956 : 6 = 326\). Der erste Teildividend ist \(19\); damit wird die Division tatsächlich neu ausgeführt und nicht nur das Produkt vertauscht. 3. Ein passender Überschlag ist \(300 \cdot 6 = 1800\). Das exakte Ergebnis \(1956\) liegt in derselben Größenordnung und ist plausibel.

\(326 \cdot 6 = 1956\); Überträge: \(3, 1\). 1. Probe: \(1956 : 6 = 326\); erster Teildividend: \(19\). 2. Überschlag: z. B. \(300 \cdot 6 = 1800\); \(1956\) ist plausibel.

- Vergleiche \(50\) mit \(100\). - Prüfe, ob diese Beziehung bei jeder Aufgabe überhaupt vorkommt. - Bei einem unregelmäßigen zweistelligen Multiplikator kann ein schriftlicher Weg übersichtlicher sein.

1. Für a) bis d) gilt \(n \cdot 50 = (n \cdot 100) : 2\). Damit ergeben sich \(800\), \(1900\), \(2700\) und \(3600\). 2. Bei diesen vier Aufgaben sind Kopf- oder halbschriftliche Verfahren wegen der einfachen Beziehung zu \(100\) besonders effizient. 3. e) \(318 \cdot 47 = 14\,946\). Für den unregelmäßigen zweistelligen Multiplikator ist die schriftliche Multiplikation übersichtlich.

a) \(800\); z. B. Kopf/halbschriftlich. b) \(1900\); z. B. Kopf/halbschriftlich. c) \(2700\); z. B. Kopf/halbschriftlich. d) \(3600\); z. B. Kopf/halbschriftlich. e) \(14\,946\); z. B. schriftlich.

- Vergleiche bei jeder Teilaufgabe zuerst die beiden ersten Faktoren miteinander und danach die beiden zweiten Faktoren. - Für eine unveränderte Produktgröße müssen Halbieren und Verdoppeln genau zusammenpassen. - Nur bei den Paaren, die diese Regel nicht erfüllen, brauchst du die Produktgrößen zusätzlich zu vergleichen.

1. Bei a) wird \(16\) halbiert und \(25\) verdoppelt. Das Produkt bleibt daher gleich. 2. Bei b) ist die Veränderung nicht Halbieren/Verdoppeln. Es gilt \(20 \cdot 25 = 500\) und \(12 \cdot 40 = 480\), also ist das linke Produkt größer. 3. Bei c) wird zwar \(32\) halbiert, aber \(25\) nicht verdoppelt, sondern auf \(60\) verändert. Es gilt \(32 \cdot 25 = 800\) und \(16 \cdot 60 = 960\), also ist das linke Produkt kleiner. 4. Bei d) wird \(44\) halbiert und \(25\) verdoppelt. Das Produkt bleibt daher gleich.

a) Gleichheit folgt aus Halbieren/Verdoppeln: \(=\). b) keine solche Invarianz: \(>\). c) keine solche Invarianz: \(<\). d) Gleichheit folgt aus Halbieren/Verdoppeln: \(=\).

- Prüfe bei jedem zweiten Faktor, wie nah er an einer runden Zahl liegt. - Ein Ausgleich ist nur dann vorteilhaft, wenn die leichtere Nachbaraufgabe wirklich kurz ist. - Vergleiche diesen Aufwand mit den geordneten Schritten der schriftlichen Multiplikation.

1. a) Vorteilhaft ist \(63 \cdot 10 - 63 = 567\). 2. b) Vorteilhaft ist \(24 \cdot 20 - 24 = 456\). 3. c) Vorteilhaft ist \(15 \cdot 50 - 15 = 735\). 4. d) \(327 \cdot 46 = 15\,042\). Hier ist die schriftliche Multiplikation übersichtlich; der Faktor \(46\) liegt nicht nur eine Einheit unter einer besonders günstigen runden Zahl.

a) \(567\); z. B. Kopf/halbschriftlich. b) \(456\); z. B. Kopf/halbschriftlich. c) \(735\); z. B. Kopf/halbschriftlich. d) \(15\,042\); z. B. schriftlich.

- Vergleiche den zweiten Faktor jeweils mit einer nahen runden Zahl. - Frage dich, wie groß und wie aufwendig die anschließende Korrektur wäre. - Wenn dadurch kein kurzer Weg entsteht, kann die schriftliche Multiplikation übersichtlicher sein.

1. a) Mit Ausgleich: \(45 \cdot 20 - 45 = 855\). 2. b) Mit Ausgleich: \(32 \cdot 10 - 32 = 288\). 3. c) \(284 \cdot 37 = 10\,508\). Hier ist die schriftliche Multiplikation übersichtlicher, weil \(37\) nicht unmittelbar an einer runden Zahl liegt, die nur eine sehr kleine Korrektur verlangt.

a) \(855\); Ausgleichsweg ist günstig. b) \(288\); Ausgleichsweg ist günstig. c) \(10\,508\); z. B. schriftliche Multiplikation.

- Zerlege den Multiplikator gedanklich nach Einern und Zehnern. - Unterscheide die Ziffernrechnung mit der \(2\) von ihrem Stellenwert im Multiplikator. - Achte im Bild auf den Beginn der beiden Teilproduktzeilen.

1. Mit der Einerziffer \(7\) entsteht \(324 \cdot 7 = 2268\). 2. Für die Zehnerziffer wird \(324 \cdot 2 = 648\) berechnet. Weil die \(2\) in \(27\) zwei Zehner bedeutet, beginnt diese Zeile eine Stelle weiter links und stellt dadurch \(6480\) dar. 3. Stellenrichtig addiert ergibt sich \(2268 + 6480 = 8748\).

Die Teilprodukte sind \(2268\) und \(648\). Die Zehnerzeile beginnt eine Stelle weiter links und stellt dadurch \(6480\) dar. Das Ergebnis ist \(8748\).

- Lies beide Ziffern des Multiplikators nach ihrem Stellenwert. - Was bewirkt die Multiplikation mit der Einerziffer \(0\)? - Achte darauf, an welcher Stelle die Zehner-Teilproduktzeile im Bild beginnt.

1. Die Einerziffer ist \(0\). Das Einer-Teilprodukt ist daher \(408 \cdot 0 = 0\). 2. Für die Zehnerziffer gilt \(408 \cdot 3 = 1224\). Diese Teilproduktzeile beginnt eine Stelle weiter links und stellt dadurch \(12\,240\) dar. 3. Das Null-Teilprodukt verändert die Summe nicht. Daher gilt \(408 \cdot 30 = 12\,240\).

\(408 \cdot 30 = 12\,240\). Die \(0\) liefert das Einer-Teilprodukt \(0\); die \(3\) steht für drei Zehner, deshalb wird ihr Teilprodukt um eine Stelle nach links verschoben.

- Bestimme in jedem Bild zuerst die Einerziffer des Multiplikators. - Berechne damit jeweils die fehlende Einer-Teilproduktzeile. - Erst danach addierst und vergleichst du die Endprodukte.

1. a) Die Einerziffer ist \(7\): \(248\cdot7=1736\). Die Zehnerzeile \(744\) stellt \(7440\) dar. Damit ist \(248\cdot37=9176\). 2. b) Die Einerziffer ist \(9\): \(315\cdot9=2835\). Die Zehnerzeile \(630\) stellt \(6300\) dar. Damit ist \(315\cdot29=9135\). 3. \(9176-9135=41\). Also ist a) um \(41\) größer.

a) fehlende Einerzeile \(1736\), Endprodukt \(9176\) b) fehlende Einerzeile \(2835\), Endprodukt \(9135\) a) ist um \(41\) größer.

- Ordne jede Teilproduktzeile einer Ziffer des Multiplikators zu. - Unterscheide den Zahlenwert des unverschobenen Teilprodukts von seinem Stellenwert in der schriftlichen Rechnung. - Addiere erst nach dieser Deutung.

1. \(407\cdot3=1221\). 2. \(407\cdot6=2442\). Diese Zeile gehört zur Zehnerziffer \(6\), also zu \(60\), und wird deshalb eine Stelle nach links verschoben; sie stellt \(24\,420\) dar. 3. \(24\,420+1221=25\,641\).

\(25\,641\). Die Zeile \(2442\) steht für \(24\,420\), weil sie zur Zehnerziffer des Multiplikators gehört und eine Stelle nach links verschoben ist.

- Unterscheide zwischen den Ziffern, die in der Zehner-Teilproduktzeile stehen, und dem Wert, den diese verschobene Zeile darstellt. - Bestimme aus Endergebnis und dem Wert der Zehner-Teilproduktzeile zunächst den Wert des noch fehlenden Einer-Teilprodukts. - Vergleiche jedes Teilprodukt mit \(345\), um die zugehörige Multiplikatorziffer zu erkennen.

1. Die Zehner-Teilproduktzeile enthält \(690\). Daher gilt für die Zehnerziffer des Multiplikators \(345 \cdot 2 = 690\). Durch die Stellenverschiebung repräsentiert diese Zeile \(6900\), also \(345 \cdot 20\). 2. Das noch fehlende Einer-Teilprodukt hat den Wert \(8625-6900=1725\). 3. Es gilt \(1725=345\cdot5\). Die Einerziffer des Multiplikators ist daher \(5\). 4. Der gesuchte Multiplikator ist \(25\). Probe: \(345\cdot25=8625\).

Der Multiplikator ist \(25\).