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Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Kombinatorik mit Darstellungen

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5520544
Für ein Pausenbrot wird genau eine Brotsorte mit genau einem Belag kombiniert. Die Tabelle zeigt die notierten Möglichkeiten. <table><tr><th></th><th>Käse</th><th>Gurke</th></tr><tr><th>Vollkorn</th><td>Vollkorn + Käse</td><td>Vollkorn + Gurke</td></tr><tr><th>Roggen</th><td>Roggen + Käse</td><td>Roggen + Gurke</td></tr></table> Ist die Kombinationstabelle vollständig? Begründe kurz und nenne die Anzahl der verschiedenen Kombinationen.

Denkanstöße

- Prüfe jede Brotsorte einzeln. - Kommen in jeder Zeile alle angebotenen Beläge genau einmal vor? - Zähle nur die inneren Felder mit vollständigen Kombinationen.

Lösung

1. In der Zeile „Vollkorn“ kommen beide Beläge genau einmal vor. 2. Auch in der Zeile „Roggen“ kommen beide Beläge genau einmal vor. 3. Damit ist jede Brotsorte mit jedem Belag genau einmal kombiniert; die Tabelle ist vollständig. 4. Die vier inneren Tabellenfelder stehen für \(4\) verschiedene Kombinationen.

Antwort

Ja. Jede der beiden Brotsorten ist mit jedem der beiden Beläge genau einmal kombiniert. Es gibt \(4\) verschiedene Kombinationen.
5520554
Vier Kinder A, B, C und D möchten Zweierteams bilden. In einem Zweierteam spielt die Reihenfolge keine Rolle: AB und BA bezeichnen dasselbe Team. Die geordnete Liste beginnt so: - AB - AC - AD - BC - BD - ? Welche Paarung fehlt? Wie viele verschiedene Zweierteams enthält die vollständige Liste?

Denkanstöße

- Gehe die Kinder in alphabetischer Reihenfolge durch und ergänze jeweils nur Partner, die noch nicht mit diesem Kind als Team erfasst wurden. - Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, wird eine umgekehrte Schreibweise nicht als neues Team gezählt. - Prüfe am Ende, ob jedes Kind mit jedem anderen genau einmal vorkommt.

Lösung

1. Nach den Paarungen mit A sind die noch neuen Paarungen mit B als erstem Buchstaben BC und BD. 2. Danach fehlt nur noch die Paarung der beiden noch nicht gemeinsam genannten Kinder C und D: CD. 3. Die vollständige Liste enthält \(6\) verschiedene Zweierteams.

Antwort

Es fehlt CD. Insgesamt gibt es \(6\) verschiedene Zweierteams.
4157714
In einer Saftbar gibt es vier verschiedene Obstsorten: Apfel, Banane, Kirsche und Orange. Ein „Mix-Saft“ besteht immer aus genau zwei verschiedenen Sorten. Wie viele verschiedene Mix-Säfte kann man zusammenstellen? Schreibe alle Möglichkeiten auf.

Denkanstöße

- Überlege dir eine Abkürzung für jede Obstsorte. - Fange mit einer Sorte an und kombiniere sie mit allen anderen. Nimm dann die nächste Sorte. - Ist ein Saft aus Apfel und Banane das Gleiche wie ein Saft aus Banane und Apfel?

Lösung

1. Systematisches Auflisten der Kombinationen (A = Apfel, B = Banane, K = Kirsche, O = Orange): 2. Kombinationen mit Apfel: Apfel-Banane, Apfel-Kirsche, Apfel-Orange (3 Möglichkeiten). 3. Kombinationen mit Banane (ohne Apfel): Banane-Kirsche, Banane-Orange (2 Möglichkeiten). 4. Kombinationen mit Kirsche (ohne Apfel/Banane): Kirsche-Orange (1 Möglichkeit). 5. Berechnung der Summe: \(3 + 2 + 1 = 6\).

Antwort

Es gibt 6 verschiedene Mix-Säfte: Apfel-Banane, Apfel-Kirsche, Apfel-Orange, Banane-Kirsche, Banane-Orange, Kirsche-Orange.
4157724
Vier Fußballmannschaften A, B, C und D spielen in einer kleinen Liga. Jede Mannschaft spielt gegen jede andere Mannschaft genau zweimal: einmal im eigenen Stadion und einmal im Stadion des Gegners. Stelle zuerst alle verschiedenen Mannschaftspaarungen in einer übersichtlichen Tabelle oder Liste dar. Bestimme damit, wie viele Spiele insgesamt stattfinden.

Denkanstöße

- Liste zunächst nur verschiedene Mannschaftspaare auf; AB und BA gehören dabei zur selben Paarung. - Kontrolliere systematisch, ob jede Mannschaft mit jeder anderen genau einmal als Paar erfasst ist. - Berücksichtige erst danach, wie viele Spiele zu jeder Paarung gehören.

Lösung

1. Ohne Tauschdoppelungen sind die verschiedenen Mannschaftspaarungen AB, AC, AD, BC, BD und CD. 2. Damit gibt es \(6\) verschiedene Paarungen. 3. Zu jeder Paarung gehören zwei Spiele, weil beide Mannschaften je einmal Heimteam sind. 4. Insgesamt finden \(6 \cdot 2 = 12\) Spiele statt.

Antwort

Paarungen: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Zu jeder der \(6\) Paarungen gehören \(2\) Spiele; insgesamt finden \(12\) Spiele statt.
4171154
Lena stellt sich einen Eisbecher zusammen. Sie wählt genau eine Sorte Eis und genau eine Zutat aus. Eissorten: Schokolade, Vanille, Erdbeere Zutaten: Sahne, Streusel, Schokosoße Erstelle eine Kombinationstabelle, in der jede Eissorte mit jeder Zutat genau einmal vorkommt. Wie viele verschiedene Eisbecher zeigt die vollständige Tabelle?

Denkanstöße

- Verwende die Eissorten als Zeilen und die Zutaten als Spalten. - In jedes innere Feld gehört genau die Kombination aus seiner Zeile und seiner Spalte. - Kontrolliere, ob jede Eissorte mit jeder Zutat genau einmal vorkommt.

Lösung

1. Die drei Eissorten bilden die Zeilen und die drei Zutaten die Spalten der Kombinationstabelle. 2. Jedes innere Tabellenfeld enthält genau die Kombination aus seiner Zeile und seiner Spalte. 3. So entstehen \(3 \cdot 3 = 9\) verschiedene Kombinationen.

Antwort

<table><tr><th>Eissorte</th><th>Sahne</th><th>Streusel</th><th>Schokosoße</th></tr><tr><td>Schokolade</td><td>Schokolade + Sahne</td><td>Schokolade + Streusel</td><td>Schokolade + Schokosoße</td></tr><tr><td>Vanille</td><td>Vanille + Sahne</td><td>Vanille + Streusel</td><td>Vanille + Schokosoße</td></tr><tr><td>Erdbeere</td><td>Erdbeere + Sahne</td><td>Erdbeere + Streusel</td><td>Erdbeere + Schokosoße</td></tr></table> Die vollständige Tabelle zeigt \(9\) verschiedene Eisbecher.
4374394
Das Punktefeld zeigt alle Kombinationen von T-Shirt-Farben und Hosenfarben. Jede Zeile steht für eine T-Shirt-Farbe, jede Spalte für eine Hosenfarbe, und jeder Punkt steht für genau eine Kombination. a) Wie viele T-Shirt-Farben und wie viele Hosenfarben sind im Punktefeld dargestellt? Wie viele Kombinationen sind das? b) Es kommen zwei weitere T-Shirt-Farben hinzu, die Zahl der Hosenfarben bleibt gleich. Wie viele Kombinationen gibt es dann?
Abbildung zur Aufgabe 437439

Denkanstöße

- Zähle im Punktefeld getrennt die Zeilen und die Spalten. - Eine Zeile enthält alle Hosen-Kombinationen zu genau einer T-Shirt-Farbe. - Nach der Erweiterung ändert sich nur die Zahl der Zeilen, nicht die Zahl der Spalten.

Lösung

1. Das Punktefeld hat \(4\) Zeilen und \(3\) Spalten. Es sind also \(4\) T-Shirt-Farben und \(3\) Hosenfarben dargestellt. 2. Jede Zeile enthält \(3\) Kombinationen. Insgesamt sind es \(4 \cdot 3 = 12\). 3. Mit zwei zusätzlichen T-Shirt-Farben gibt es \(6\) Zeilen bei weiterhin \(3\) Spalten. 4. Dann entstehen \(6 \cdot 3 = 18\) Kombinationen.

Antwort

a) \(4\) T-Shirt-Farben, \(3\) Hosenfarben und \(12\) Kombinationen. b) Danach gibt es \(18\) Kombinationen.
5520564
Für einen zweistelligen Buchstabencode werden zwei verschiedene Karten aus A, B und C nacheinander gelegt. Die Reihenfolge zählt. Das Baumdiagramm zeigt alle erlaubten Wege. Lies aus jedem vollständigen Weg einen Code ab. a) Schreibe alle möglichen Codes auf. b) Wie viele verschiedene Codes gibt es? c) Erkläre anhand des Baumdiagramms, warum AB und BA als zwei verschiedene Möglichkeiten vorkommen.
Abbildung zur Aufgabe 552056

Denkanstöße

- Verfolge jeden Weg vom Start bis zu einem Endknoten. - Lies die beiden Buchstaben eines Weges in der Reihenfolge der beiden Stufen. - Prüfe, ob du von jedem ersten Buchstaben aus alle erlaubten zweiten Buchstaben erfasst hast.

Lösung

1. Jeder vollständige Weg beginnt bei „Start“, führt zu einem ersten Buchstaben und danach zu einem anderen zweiten Buchstaben. 2. Vom Ast A entstehen AB und AC, vom Ast B entstehen BA und BC, vom Ast C entstehen CA und CB. 3. Damit gibt es \(6\) verschiedene Codes. 4. AB und BA liegen auf zwei verschiedenen Wegen: Bei AB wird zuerst A und danach B gewählt, bei BA zuerst B und danach A. Die Reihenfolge unterscheidet die Codes.

Antwort

a) AB, AC, BA, BC, CA, CB b) \(6\) Codes c) AB und BA gehören zu verschiedenen Wegen im Baumdiagramm, weil der erste und der zweite Buchstabe vertauscht sind.
5523574
Juna wählt zuerst ein Shirt in Rot oder Blau und danach eine Hose in kurz oder lang. Im Baumdiagramm fehlt am Ende eines Pfades die Bezeichnung. Ergänze die fehlende Kombination und nenne anschließend alle Kombinationen, die das Baumdiagramm zeigt.
Abbildung zur Aufgabe 552357

Denkanstöße

- Lies einen Pfad immer vom Start bis zu seinem Ende. - Vergleiche die beiden Äste nach der ersten Auswahl: Welche zweite Möglichkeit erscheint auf einer Seite schon vollständig? - Prüfe anschließend, ob jede erste Wahl mit jeder zweiten Wahl genau einmal verbunden ist.

Lösung

1. Vom Start führen zwei erste Äste zu Rot und Blau. 2. Nach jeder Shirtfarbe gibt es die beiden Hosenmöglichkeiten kurz und lang. 3. Beim blauen Shirt ist der Pfad „lang“ bereits eingezeichnet, aber sein Endpunkt ist nicht bezeichnet. Dort fehlt also „Blau/lang“. 4. Die vollständigen Kombinationen sind Rot/kurz, Rot/lang, Blau/kurz und Blau/lang.

Antwort

Es fehlt „Blau/lang“. Insgesamt zeigt der vollständige Baum: Rot/kurz, Rot/lang, Blau/kurz und Blau/lang.
5523584
Für einen Pausensnack kann man ein Getränk und einen Snack wählen. Es gibt Wasser oder Saft sowie Apfel, Brezel oder Keks. Die Kombinationstabelle ist noch unvollständig. Ergänze alle Fragezeichen. <table><tr><th></th><th>Apfel</th><th>Brezel</th><th>Keks</th></tr><tr><th>Wasser</th><td>Wasser + Apfel</td><td>?</td><td>Wasser + Keks</td></tr><tr><th>Saft</th><td>?</td><td>Saft + Brezel</td><td>?</td></tr></table>

Denkanstöße

- Lies die Überschrift der Zeile und die Überschrift der Spalte für jedes leere Feld zusammen. - Prüfe nach dem Ergänzen jede Zeile von links nach rechts. - Am Ende soll jede Getränkewahl mit jeder Snackwahl genau einmal vorkommen.

Lösung

1. Jede Tabellenzeile steht für ein Getränk, jede Spalte für einen Snack. 2. Im Feld Wasser/Brezel fehlt „Wasser + Brezel“. 3. In der Saft-Zeile fehlen bei Apfel und Keks die Kombinationen „Saft + Apfel“ und „Saft + Keks“. 4. Die vollständige Tabelle enthält \(2 \cdot 3 = 6\) verschiedene Kombinationen.

Antwort

<table><tr><th></th><th>Apfel</th><th>Brezel</th><th>Keks</th></tr><tr><th>Wasser</th><td>Wasser + Apfel</td><td>Wasser + Brezel</td><td>Wasser + Keks</td></tr><tr><th>Saft</th><td>Saft + Apfel</td><td>Saft + Brezel</td><td>Saft + Keks</td></tr></table> Insgesamt gibt es \(6\) Kombinationen.
5523614
Die beiden Baumdiagramme zeigen zweistellige Codes aus den Zeichen A und B. In Diagramm a) darf ein Zeichen nicht wiederholt werden, in Diagramm b) ist Wiederholung erlaubt. a) Wie viele Codes zeigt jedes Diagramm? b) Welche Codes kommen nur hinzu, weil in Diagramm b) Wiederholung erlaubt ist?
Abbildung zur Aufgabe 552361

Denkanstöße

- Lies jeden vollständigen Pfad als einen Code mit erster und zweiter Stelle. - Vergleiche, welche zweiten Äste nach demselben ersten Zeichen in den beiden Diagrammen vorhanden sind. - Suche für b) genau die Codes, in denen dasselbe Zeichen zweimal vorkommt.

Lösung

1. In Diagramm a) kann nach A nur B und nach B nur A folgen. Die Codes sind AB und BA, also \(2\) Codes. 2. In Diagramm b) kann nach jedem ersten Zeichen sowohl A als auch B folgen. Die Codes sind AA, AB, BA und BB, also \(4\) Codes. 3. Neu durch die erlaubte Wiederholung sind AA und BB.

Antwort

a) Diagramm a) zeigt \(2\) Codes, Diagramm b) zeigt \(4\) Codes. b) Nur durch die erlaubte Wiederholung kommen AA und BB hinzu.
5539854
Aus zwei T-Shirt-Farben Rot und Blau und drei Kappenfarben Schwarz, Weiß und Grau soll jeweils genau eine Kombination gebildet werden. Jemand notiert diese Liste: Rot + Schwarz, Rot + Weiß, Rot + Grau, Blau + Schwarz, Blau + Weiß, Blau + Weiß. a) Welche Kombination steht doppelt in der Liste? b) Welche mögliche Kombination fehlt? c) Gib die korrigierte vollständige Liste an und erkläre kurz, wie du ihre Vollständigkeit systematisch prüfst.

Denkanstöße

- Ordne die Einträge zuerst nach der T-Shirt-Farbe. - Prüfe innerhalb jeder dieser Gruppen, ob jede erlaubte Kappenfarbe genau einmal vorkommt. - Eine vollständige systematische Liste darf weder einen Eintrag doppelt enthalten noch eine erlaubte Kombination auslassen.

Lösung

1. „Blau + Weiß“ kommt zweimal vor. 2. Zur T-Shirt-Farbe Blau müssen die drei Kappenfarben Schwarz, Weiß und Grau jeweils einmal erscheinen; „Blau + Grau“ fehlt. 3. Die vollständige Liste lautet Rot + Schwarz, Rot + Weiß, Rot + Grau, Blau + Schwarz, Blau + Weiß, Blau + Grau. 4. Die Liste ist systematisch vollständig, weil zu jeder der beiden T-Shirt-Farben jede der drei Kappenfarben genau einmal vorkommt.

Antwort

a) Doppelt steht „Blau + Weiß“. b) Es fehlt „Blau + Grau“. c) Rot + Schwarz, Rot + Weiß, Rot + Grau, Blau + Schwarz, Blau + Weiß, Blau + Grau. Vollständig ist die Liste, wenn zu jeder T-Shirt-Farbe jede Kappenfarbe genau einmal vorkommt.
4157574
Fünf Kinder A, B, C, D und E veranstalten ein kleines Tennisturnier. Jedes Kind spielt gegen jedes andere Kind genau einmal. a) Stelle alle Paarungen in einer geordneten Liste dar und bestimme, wie viele Spiele insgesamt stattfinden. b) Kurz vor dem Start kommen die Kinder F und G dazu. Ergänze deine Darstellung nur um die neuen Paarungen. Wie viele zusätzliche Spiele müssen geplant werden?

Denkanstöße

- Ordne die Liste nach dem jeweils zuerst genannten Kind. - Wenn eine Paarung schon vorkommt, brauchst du die umgekehrte Reihenfolge nicht noch einmal. - Ergänze bei F und G nur Paarungen, die in der ursprünglichen Fünfergruppe noch nicht vorhanden sein konnten.

Lösung

1. Für die fünf ursprünglichen Kinder werden die Paarungen ohne Tauschdoppelungen systematisch aufgelistet: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. 2. Die Liste enthält \(4 + 3 + 2 + 1 = 10\) Paarungen. 3. Mit F entstehen die neuen Paarungen AF, BF, CF, DF und EF; das sind \(5\). 4. Mit G entstehen AG, BG, CG, DG, EG und FG; das sind \(6\) weitere Paarungen. 5. Insgesamt kommen \(5 + 6 = 11\) Spiele hinzu.

Antwort

a) AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE; insgesamt \(10\) Spiele. b) Neu sind AF, BF, CF, DF, EF, AG, BG, CG, DG, EG und FG; insgesamt \(11\) zusätzliche Spiele.
4167544
Verwende die Ziffernkarten \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\). Bilde daraus zwei zweistellige Zahlen und schreibe sie als Multiplikationsaufgabe. Jede Ziffernkarte darf genau einmal verwendet werden. Tauschaufgaben gelten als dieselbe Möglichkeit. a) Finde alle verschiedenen Aufgaben, bei denen die \(1\) an der Zehnerstelle einer der beiden Faktoren steht. Rechne die Produkte nicht aus. b) Erkläre, woran du erkennst, dass keine Möglichkeit fehlt und keine doppelt gezählt wurde.

Denkanstöße

- Lege fest, an welcher Stelle du den Faktor mit der Zehnerziffer \(1\) immer notierst, damit Tauschaufgaben nicht doppelt vorkommen. - Gehe die möglichen Einerziffern dieses Faktors in einer festen Reihenfolge durch. - Prüfe bei jeder Wahl, auf welche Arten sich die beiden noch übrigen Ziffern anordnen lassen. - Kontrolliere am Ende, ob jede Ziffernkarte in jeder Aufgabe genau einmal vorkommt.

Lösung

1. Schreibe bei jeder Möglichkeit zuerst den Faktor auf, dessen Zehnerziffer \(1\) ist. So werden Tauschaufgaben nicht doppelt gezählt. 2. Für die Einerstelle dieses Faktors kommen nacheinander \(2\), \(3\) und \(4\) infrage. 3. Die beiden übrigen Ziffern können im zweiten Faktor jeweils in zwei verschiedenen Reihenfolgen stehen. So erhält man \(12 \cdot 34\), \(12 \cdot 43\), \(13 \cdot 24\), \(13 \cdot 42\), \(14 \cdot 23\) und \(14 \cdot 32\). 4. Zu jeder der drei möglichen Einerziffern beim ersten Faktor gehören genau zwei Anordnungen der übrigen Ziffern. Damit sind alle \(3 \cdot 2 = 6\) Möglichkeiten erfasst.

Antwort

a) \(12 \cdot 34\), \(12 \cdot 43\), \(13 \cdot 24\), \(13 \cdot 42\), \(14 \cdot 23\), \(14 \cdot 32\); insgesamt \(6\) Aufgaben. b) Die Einerziffer beim Faktor mit der Zehnerziffer \(1\) wird systematisch gewählt. Die beiden übrigen Ziffern werden jeweils in beiden Reihenfolgen angeordnet. Weil dieser Faktor immer zuerst notiert wird, werden Tauschaufgaben nicht doppelt gezählt.
5520574
Eine Kombinationstabelle soll alle Getränke zeigen, die aus genau einer von \(4\) Teesorten und genau einer Sirupsorte gemischt werden können. Die \(4\) Teesorten bilden die Zeilen der Tabelle, die Sirupsorten die Spalten. Im Inneren der vollständigen Tabelle gibt es insgesamt \(20\) Kombinationsfelder. Wie viele Sirupspalten braucht die Tabelle? Skizziere die Tabellenstruktur mit \(4\) Zeilen und der passenden Zahl von Spalten.

Denkanstöße

- In jeder Teezeile gibt es für jede Sirupsorte genau ein Kombinationsfeld. - Alle vier Teezeilen haben daher gleich viele innere Felder. - Nutze die Gesamtzahl der Kombinationsfelder, um die Zahl der Felder in einer Zeile zu bestimmen, und kontrolliere damit deine Skizze.

Lösung

1. Jede der \(4\) Teezeilen enthält gleich viele Kombinationsfelder, nämlich eines für jede Sirupsorte. 2. Die \(20\) Kombinationsfelder verteilen sich auf \(4\) gleich lange Zeilen. 3. \(20 : 4 = 5\). Die Tabelle braucht daher \(5\) Sirupspalten. 4. Eine passende Tabellenstruktur ist: <table><tr><th></th><th>Sirup 1</th><th>Sirup 2</th><th>Sirup 3</th><th>Sirup 4</th><th>Sirup 5</th></tr><tr><th>Tee 1</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Tee 2</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Tee 3</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Tee 4</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

Antwort

Die Tabelle braucht \(5\) Sirupspalten. <table><tr><th></th><th>Sirup 1</th><th>Sirup 2</th><th>Sirup 3</th><th>Sirup 4</th><th>Sirup 5</th></tr><tr><th>Tee 1</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Tee 2</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Tee 3</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Tee 4</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
5520584
Für ein kleines Pausenmenü wählst du genau eine Brotsorte, genau eine Füllung und genau ein Getränk. Brotsorten: Pita, Wrap Füllungen: Käse, Falafel, Gemüse Getränke: Wasser, Saft Die Tabelle zeigt zuerst nur die Möglichkeiten aus Brotsorte und Füllung: <table><tr><th>Brotsorte</th><th>Füllung</th></tr><tr><td>Pita</td><td>Käse</td></tr><tr><td>Pita</td><td>Falafel</td></tr><tr><td>Pita</td><td>Gemüse</td></tr><tr><td>Wrap</td><td>Käse</td></tr><tr><td>Wrap</td><td>Falafel</td></tr><tr><td>Wrap</td><td>Gemüse</td></tr></table> Wie viele vollständige Menüs gibt es, wenn zu jeder Tabellenzeile noch eines der beiden Getränke gewählt werden kann? Erkläre, wie dir die Tabelle beim Zählen hilft.

Denkanstöße

- Zähle zuerst, wie viele verschiedene Kombinationen die Tabelle bereits enthält. - Überlege dann, wie viele vollständige Menüs aus genau einer Tabellenzeile entstehen können. - Dieselbe Erweiterung gilt für jede Zeile der Tabelle.

Lösung

1. Die Tabelle enthält \(6\) verschiedene Kombinationen aus Brotsorte und Füllung. 2. Zu jeder dieser \(6\) Kombinationen gibt es \(2\) Getränkemöglichkeiten. 3. Damit entstehen \(6 \cdot 2 = 12\) vollständige Menüs. 4. Die Tabelle sorgt dafür, dass jede Kombination der ersten beiden Auswahlstufen genau einmal berücksichtigt wird.

Antwort

Es gibt \(12\) vollständige Menüs. Die \(6\) Tabellenzeilen werden jeweils mit \(2\) Getränkemöglichkeiten kombiniert.
5523594
Das Baumdiagramm zeigt alle Kombinationen aus einer Eissorte und einem Topping. Übertrage dieselben Möglichkeiten in eine Kombinationstabelle: Die Eissorten sollen die Zeilen bilden, die Toppings die Spalten. Zeige damit, dass keine Kombination verloren geht.
Abbildung zur Aufgabe 552359

Denkanstöße

- Überlege, welche Auswahl im Baum zuerst und welche danach getroffen wird. - Verwende eine Auswahlstufe für die Tabellenzeilen und die andere für die Spalten. - Kontrolliere die fertige Tabelle, indem du jedes Feld einem vollständigen Pfad im Baum zuordnest.

Lösung

1. Im Baum stehen auf der ersten Stufe die Eissorten Vanille und Erdbeere. 2. Von jeder Eissorte führen auf der zweiten Stufe die drei Toppings Streusel, Soße und Obst ab. 3. Verwende daher zwei Tabellenzeilen für die Eissorten und drei Spalten für die Toppings. 4. Jedes Tabellenfeld entspricht genau einem vollständigen Pfad des Baums. So entstehen \(2 \cdot 3 = 6\) Felder und damit dieselben sechs Kombinationen.

Antwort

<table><tr><th></th><th>Streusel</th><th>Soße</th><th>Obst</th></tr><tr><th>Vanille</th><td>Vanille + Streusel</td><td>Vanille + Soße</td><td>Vanille + Obst</td></tr><tr><th>Erdbeere</th><td>Erdbeere + Streusel</td><td>Erdbeere + Soße</td><td>Erdbeere + Obst</td></tr></table> Die \(6\) Tabellenfelder entsprechen den \(6\) vollständigen Pfaden im Baumdiagramm.
5523604
Ada, Ben und Cem betrachten zwei Situationen. a) Für ein Zweierteam ist nur wichtig, welche zwei Kinder zusammengehören. Liste alle verschiedenen Zweierteams auf. b) Für zwei Sitzplätze „links“ und „rechts“ ist zusätzlich wichtig, wer wo sitzt. Liste alle verschiedenen Sitzordnungen mit zwei der drei Kinder auf. c) Erkläre, warum es bei b) mehr Möglichkeiten gibt als bei a).

Denkanstöße

- Prüfe in jeder Situation, ob Vertauschen zweier ausgewählter Kinder etwas Neues erzeugt. - Schreibe die Möglichkeiten in einer festen Reihenfolge auf, damit keine Paarung fehlt. - Vergleiche am Ende ein konkretes Paar in beiden Situationen: Ist die vertauschte Reihenfolge dort dieselbe oder eine neue Möglichkeit?

Lösung

1. Bei einem Zweierteam zählt Ada–Ben genauso wie Ben–Ada. Die verschiedenen Teams sind Ada/Ben, Ada/Cem und Ben/Cem. Das sind \(3\) Teams. 2. Bei den Sitzplätzen unterscheiden sich links und rechts. Zu jedem ausgewählten Paar gehören daher zwei Sitzordnungen. 3. Die Sitzordnungen sind Ada–Ben, Ben–Ada, Ada–Cem, Cem–Ada, Ben–Cem und Cem–Ben. Das sind \(6\) Anordnungen. 4. Der Unterschied entsteht, weil die Reihenfolge beim Team keine neue Möglichkeit erzeugt, bei den bezeichneten Sitzplätzen aber schon.

Antwort

a) Ada/Ben, Ada/Cem, Ben/Cem; insgesamt \(3\) Zweierteams. b) Ada–Ben, Ben–Ada, Ada–Cem, Cem–Ada, Ben–Cem, Cem–Ben; insgesamt \(6\) Sitzordnungen. c) Beim Team spielt die Reihenfolge keine Rolle. Bei den Sitzplätzen sind links und rechts verschieden, deshalb ergeben vertauschte Kinder eine neue Sitzordnung.
5523624
Ein dreistelliger Code wird so gebildet: An der ersten Stelle steht A oder B, an der zweiten Stelle \(1\) oder \(2\), an der dritten Stelle X oder Y. Zusätzlich gelten zwei Regeln: - Nach A2 darf nur X folgen. - Nach B1 darf nur Y folgen. Das Baumdiagramm ist unvollständig. Nenne alle fehlenden erlaubten Äste mit ihren Endpunkten. Nenne anschließend alle gültigen Codes und erkläre, warum die Codes A2Y und B1X nicht vorkommen dürfen.
Abbildung zur Aufgabe 552362

Denkanstöße

- Prüfe jeden Knoten der zweiten Stufe einzeln gegen die beiden Zusatzregeln. - Nenne einen fehlenden Ast durch seinen Ausgangsknoten und seine erlaubte letzte Auswahl. - Liste zum Schluss jeden vollständigen erlaubten Pfad genau einmal auf. - Kontrolliere besonders die beiden in der Aufgabe genannten Codes gegen die Regeln.

Lösung

1. Unter A1 sind X und Y bereits vollständig dargestellt. Unter A2 ist wegen der Zusatzregel nur X erlaubt; es fehlt der Ast A2–X mit dem Endpunkt A2X. 2. Unter B1 ist nur Y erlaubt und bereits dargestellt; ein X-Ast wäre dort unzulässig. 3. Unter B2 sind X und Y erlaubt. B2X ist bereits vorhanden; es fehlt der Ast B2–Y mit dem Endpunkt B2Y. 4. Die gültigen Codes sind A1X, A1Y, A2X, B1Y, B2X und B2Y. 5. A2Y verletzt die Regel für A2; B1X verletzt die Regel für B1. Daher gibt es insgesamt \(6\) gültige Codes.

Antwort

Fehlend sind der Ast A2–X mit Endpunkt A2X und der Ast B2–Y mit Endpunkt B2Y. Gültige Codes: A1X, A1Y, A2X, B1Y, B2X, B2Y; insgesamt \(6\). A2Y ist verboten, weil nach A2 nur X folgen darf. B1X ist verboten, weil nach B1 nur Y folgen darf.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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