- Nutze Körpermodelle, wenn dir das hilft. - Kannst du an einer Kugel eine Ecke oder Kante finden? - Vergleiche die Kanten eines Würfels mit denen eines Quaders.

1. a) Ein Quader hat genau \(8\) Ecken. Die Aussage ist wahr. 2. b) Eine Kugel hat keine Ecken. Die Aussage ist falsch. 3. c) Bei einem Würfel sind alle \(12\) Kanten gleich lang. Die Aussage ist wahr. 4. d) Ein Zylinder hat eine kreisförmige Grundfläche und eine kreisförmige Deckfläche. Die Aussage ist wahr.

a) wahr b) falsch c) wahr d) wahr

- Zähle Boden und Seitenflächen des offenen Kartons. - Wie viele Flächen hat ein geschlossener Quader? - Zähle die Ecken eines Schuhkartons.

1. Der offene Karton hat eine Bodenfläche und vier Seitenflächen, also \(5\) Flächen. 2. Ein geschlossener Quader hat \(6\) Flächen. Es fehlt deshalb \(1\) Fläche. 3. Ein Quader hat \(8\) Ecken.

a) Der offene Karton hat \(5\) Flächen. b) Es fehlt \(1\) Fläche. c) Der Quader hat \(8\) Ecken.

- Denk an eine Ecke eines echten Würfels. - Welche Flächen sind unmittelbar an dieser Ecke beteiligt? - Übertrage diese Beobachtung auf die entsprechenden Ecken der Quadrate im Netz.

1. An jeder Würfelecke treffen genau \(3\) Flächen zusammen. 2. Deshalb treffen beim Falten auch die Ecken von genau \(3\) Quadraten des Netzes an dieser Stelle zusammen.

An jeder Würfelecke treffen die Ecken von genau \(3\) Quadraten zusammen.

- Achte auf die Form und Anzahl der Flächen im Netz. - Überlege, welcher bekannte Körper nur gleich große quadratische Flächen besitzt.

1. Das Netz besteht aus \(6\) gleich großen quadratischen Flächen. 2. Diese Flächen lassen sich zu einem Würfel zusammenfalten.

Das Netz gehört zu einem Würfel.

- Vergleiche beide Figuren mit dem, was ein vollständiges Würfelnetz beim Falten abdecken muss. - Achte sowohl auf die Zahl der Teilflächen als auch darauf, wie sie miteinander verbunden sind. - Prüfe, ob nach dem Falten jede Würfelseite genau eine Fläche bekommt.

1. Figur a) hat sechs Quadrate, die über ganze Seiten miteinander verbunden sind. Sie kann ein Würfelnetz sein. 2. Figur b) hat nur fünf Quadrate. Ein Würfel braucht sechs Flächen. Deshalb kann b) kein vollständiges Würfelnetz sein.

Nur Figur a) kann ein vollständiges Würfelnetz sein. Figur b) hat nur fünf Quadrate.

- Achte zuerst darauf, ob ein Körper rund ist oder ebene Flächen hat. - Suche bei Kegel und Pyramide nach einer Spitze. - Vergleiche beim Zylinder und beim Prisma die beiden gegenüberliegenden Flächen.

1. a) hat eine kreisförmige Grundfläche und läuft zu einer Spitze zusammen: Kegel. 2. b) ist rund und hat keine Ecken: Kugel. 3. c) hat eine quadratische Grundfläche und eine Spitze: Pyramide. 4. d) hat zwei gleich große kreisförmige Flächen: Zylinder. 5. e) hat zwei dreieckige Flächen und rechteckige Seitenflächen: Dreiecksprisma.

a) Kegel b) Kugel c) Pyramide d) Zylinder e) Dreiecksprisma

- Suche zuerst das Netz mit einer runden Grundfläche. - Überlege, welcher Körper nur rechteckige Flächen hat. - Bei einer Pyramide laufen die Seitenflächen beim Falten zu einer Spitze zusammen.

1. Bei a) sieht man einen Kreis und einen Kreisausschnitt. Dieses Netz gehört zu einem Kegel. 2. b) besteht nur aus rechteckigen Flächen. Dieses Netz gehört zu einem Quader. 3. Bei c) liegt eine viereckige Grundfläche zwischen dreieckigen Seitenflächen. Dieses Netz gehört zu einer Pyramide.

a) Kegel b) Quader c) Pyramide

- Denk an einen Spielwürfel und einen Schuhkarton. - Zähle Ecken, Kanten und Flächen. - Vergleiche die Form der Flächen und die Kantenlängen.

1. Würfel und Quader haben jeweils \(8\) Ecken, \(12\) Kanten und \(6\) Flächen. 2. Beim Würfel sind alle \(6\) Flächen deckungsgleiche Quadrate und alle \(12\) Kanten gleich lang. 3. Bei einem Quader, der kein Würfel ist, sind nicht alle Flächen deckungsgleiche Quadrate und es gibt mindestens zwei verschiedene Kantenlängen.

a) Beide Körper haben \(8\) Ecken, \(12\) Kanten und \(6\) Flächen. b) Beim Würfel sind alle \(6\) Flächen deckungsgleiche Quadrate und alle \(12\) Kanten gleich lang. Bei einem Quader, der kein Würfel ist, gilt das nicht.

- Denk an einen Schuhkarton oder ein Buch. - Zähle Ecken, Kanten und Flächen nacheinander. - Suche Kanten, die in dieselbe Richtung verlaufen.

1. Ein Quader hat \(8\) Ecken, \(12\) Kanten und \(6\) Flächen. 2. Seine Flächen sind Rechtecke. 3. Jeweils \(4\) Kanten verlaufen parallel zueinander und sind gleich lang. Es gibt \(3\) solche Gruppen.

a) Ein Quader hat \(8\) Ecken, \(12\) Kanten und \(6\) Flächen. b) Die Flächen sind Rechtecke. c) Es sind jeweils \(4\) Kanten parallel und gleich lang.

- Überlege dir, wie viele Flächen ein Quader insgesamt hat. - Ein Quader hat immer Paare von Flächen, die genau gleich groß sind. Wie viele solcher Paare gibt es? - Schau dir die Maße der vorhandenen Rechtecke an. Welche Partnerflächen sind schon doppelt vorhanden und welche nur einmal?

1. Ein Quader besteht aus 3 Paaren deckungsgleicher, gegenüberliegender Flächen. 2. Die Abmessungen des geplanten Quaders ergeben sich aus den vorhandenen Rechtecken zu \(6\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). 3. Die drei Paare müssen also folgende Maße haben: - Paar 1: Zwei Rechtecke mit \(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) - Paar 2: Zwei Rechtecke mit \(6\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) - Paar 3: Zwei Rechtecke mit \(4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) 4. Vorhanden sind bereits beide Rechtecke von Paar 1, aber jeweils nur eines von Paar 2 und Paar 3. 5. Es fehlen also: 1 Rechteck mit \(6\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) und 1 Rechteck mit \(4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\).

Es fehlen 2 Rechtecke: eines mit den Seitenlängen \(6\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) sowie eines mit den Seitenlängen \(4\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\).

- Wie viele Flächen hat ein Spielwürfel? - Kanten sind die Linien, an denen zwei Flächen zusammentreffen. - Wie viele Flächen treffen sich an einer Ecke?

1. Ein Würfel hat \(6\) quadratische Flächen. Ein vollständiges Netz besteht deshalb aus \(6\) Quadraten. 2. Ein Würfel hat \(12\) Kanten. 3. An jeder Ecke treffen \(3\) Flächen zusammen.

a) \(6\) Quadrate b) \(12\) Kanten c) \(3\) Flächen

- Denk an einen gewöhnlichen Spielwürfel und unterscheide Flächen von Kanten. - Kanten sind die Linien, an denen zwei Flächen zusammentreffen. - Wie viele der sechs Flächen werden angemalt?

1. Ein Würfel besitzt \(6\) quadratische Außenflächen. 2. Ein Würfel besitzt \(12\) Kanten. 3. Genau eine Außenfläche wird gefärbt. Von den \(6\) Außenflächen bleiben daher \(6-1=5\) ungefärbt.

a) Der Würfel hat \(6\) Flächen. b) Er hat \(12\) Kanten. c) Es bleiben \(5\) Flächen ungefärbt.

- Denk an einen echten Karton: Welche Flächen hat er (oben, unten, vorne, hinten, links, rechts)? - Schau dir die Form einer einzelnen Fläche an. Ist es ein Kreis, ein Dreieck oder etwas anderes? - Welche Flächen eines Kartons liegen einander gegenüber und bilden ein Paar?

1. Ein Quader hat \(6\) Flächen. Sein Netz besteht daher aus \(6\) Teilflächen. 2. Die Flächen eines Quaders sind Rechtecke. 3. Die \(6\) Flächen bilden \(3\) Paare gegenüberliegender Flächen. Deshalb werden \(3\) Farben benötigt.

a) \(6\) Teilflächen b) Rechtecke c) \(3\) Farben

- Zähle beim Würfel Ecken und Kanten. - Bei der Pyramide gehören die Kanten der quadratischen Grundfläche und die Kanten zur Spitze dazu. - Vergleiche anschließend die Zahl der Ecken.

1. Ein Würfel hat \(8\) Ecken und \(12\) Kanten. Jonas braucht \(8\) Holzkugeln und \(12\) Drahtstücke. 2. Die quadratische Pyramide hat \(4\) Grundkanten und \(4\) Kanten zur Spitze, also \(8\) Kanten. 3. Die Pyramide hat \(5\) Ecken, der Würfel \(8\). Der Würfel hat daher \(8-5=3\) Ecken mehr.

a) Er benötigt \(8\) Holzkugeln und \(12\) Drahtstücke. b) Er benötigt \(8\) Drahtstücke. c) Der Würfel hat mehr Ecken. Er hat \(3\) Ecken mehr als die Pyramide.

- Welche Körper haben flache Flächen, welche eine gekrümmte Oberfläche? - Wie sind die Flächen eines Würfels miteinander verbunden? - Was fehlt der Kugel im Vergleich zum Würfel?

1. Würfel und Quader haben nur flache Flächen. 2. Die quadratischen Flächen eines Würfels sind an Kanten verbunden. Man kann sie aufklappen und flach auslegen. 3. Eine Kugel hat eine gekrümmte Oberfläche und keine Kanten. Ihre Oberfläche lässt sich nicht ohne Verformen flach auslegen.

a) Würfel und Quader. b) Die Flächen eines Würfels sind flach und lassen sich an den Kanten aufklappen. Die Oberfläche einer Kugel ist gekrümmt und hat keine Kanten; sie lässt sich nicht einfach flach auslegen.

- Welche Form haben Vorder- und Rückseite? - Zähle die Ecken an beiden gleichen Flächen. - Welche Kanten verbinden diese beiden Flächen? - Zähle anschließend alle Flächen.

1. Grund- und Deckfläche sind Dreiecke. Der Körper ist deshalb ein Dreiecksprisma. 2. Er hat \(6\) Ecken: je \(3\) an den beiden Dreiecken. 3. Er hat \(9\) Kanten: je \(3\) an den Dreiecken und \(3\) Verbindungskanten. 4. Er hat \(5\) Flächen: \(2\) Dreiecke und \(3\) Rechtecke.

a) Dreiecksprisma b) \(6\) Ecken, \(9\) Kanten und \(5\) Flächen c) \(2\) Dreiecke und \(3\) Rechtecke

- Welche Fläche liegt nach dem Falten der Bodenfläche gegenüber? - Welche vier Flächen werden zu den Seitenflächen? - Verfolge die Flächen beim gedanklichen Hochklappen.

1. Beim Falten liegt \(D\) der Bodenfläche \(B\) gegenüber. \(D\) ist daher die Deckfläche. 2. Die übrigen Flächen \(A\), \(C\), \(E\) und \(F\) bilden die vier Seitenflächen. 3. Diese vier Seitenflächen sind jeweils zur Hälfte blau.

a) Die Deckfläche ist das Feld \(D\). b) Die Flächen \(A\), \(C\), \(E\) und \(F\) sind zur Hälfte blau gefärbt.

- Lies die drei verschiedenen Kantenlängen aus der Abbildung ab. - Überlege, wie oft jede Kantenlänge an einem Quader vorkommt. - Nutze das Ergebnis aus a) für die Gesamtlänge aller Kanten.

1. Die drei Kantenlängen an einer Ecke sind \(5\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). Ihre Summe ist \(5\,\text{cm}+4\,\text{cm}+3\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). 2. Von jeder dieser drei Kantenlängen besitzt der Quader jeweils vier Kanten. 3. Deshalb beträgt die Gesamtlänge \(4\cdot(5\,\text{cm}+4\,\text{cm}+3\,\text{cm})=4\cdot12\,\text{cm}=48\,\text{cm}\).

a) \(12\,\text{cm}\) b) \(48\,\text{cm}\)

- Wähle ein mittleres Quadrat als Boden und klappe benachbarte Quadrate gedanklich hoch. - Prüfe, ob zwei verschiedene Quadrate auf derselben Würfelseite landen. - Sechs zusammenhängende Quadrate sind notwendig, aber nicht jede solche Anordnung ist ein Würfelnetz.

1. Bei a) liegen die sechs Quadrate als \(2\times3\)-Block. Beim Falten würden Flächen auf dieselbe Würfelseite gelangen. 2. Bei b) können die vier Quadrate der Reihe die Seitenflächen bilden. Die beiden übrigen Quadrate schließen zwei verschiedene Seiten. 3. Deshalb ist nur b) ein Würfelnetz.

Nur b) ist ein Würfelnetz. Bei a) würden beim Falten Flächen übereinanderliegen.

- Falte die Quadrate gedanklich an den gemeinsamen Kanten hoch. - Prüfe, ob zwei Quadrate auf derselben Würfelseite landen würden. - Ein richtiges Netz bedeckt am Ende jede Würfelseite genau einmal.

1. Bei a) liegen die beiden zusätzlichen Quadrate auf derselben Seite der Viererreihe. Beim Falten würden Flächen auf dieselbe Würfelseite gelangen. 2. Bei b) liegen fünf Quadrate in einer Reihe. Beim Falten erreicht ein Quadrat eine bereits belegte Seite. 3. c) ist treppenförmig. Beim Falten landen die sechs Quadrate auf sechs verschiedenen Würfelseiten. 4. Deshalb ist nur c) ein Würfelnetz.

Figur c) ist ein Würfelnetz.

- Achte auf runde Flächen, Ecken und Spitzen. - Bei einem Prisma sind zwei Flächen gleich geformt und liegen sich gegenüber. - Frage dich bei jedem Körper, welche Flächen du außen sehen würdest.

1. a) beschreibt eine Kugel. 2. b) beschreibt einen Zylinder. 3. c) beschreibt einen Kegel. 4. d) beschreibt ein Dreiecksprisma. 5. e) beschreibt eine Pyramide.

a) Kugel b) Zylinder c) Kegel d) Dreiecksprisma e) Pyramide

- Überlege, wo die beiden Kreisflächen am fertigen Körper liegen könnten. - Welche Form kann aus einem Rechteck entstehen, wenn du es rundherum biegst? - Vergleiche danach die drei abgebildeten Körper.

1. Die beiden Kreisflächen werden beim Falten Grundfläche und Deckfläche. 2. Das Rechteck bildet die gebogene Seitenfläche. 3. Diese Beschreibung passt zum Zylinder in Bild b).

Bild b) zeigt den Zylinder. Das Rechteck bildet die Seitenfläche; die beiden Kreise bilden Grund- und Deckfläche.

- Vergleiche, wie die Kanten bei Würfel und Quader in den drei Raumrichtungen angeordnet sind. - Achte darauf, welche Kanten jeweils gleich lang sind. - Kontrolliere deine Drahtlängen daran, ob jede Kante des Modells genau einmal berücksichtigt ist.

1. Ein Würfel hat \(12\) gleich lange Kanten. Lukas braucht \(12 \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}\) Draht. 2. Beim Quader kommen Länge, Breite und Höhe jeweils an \(4\) Kanten vor. Marie braucht \(4 \cdot 10\,\text{cm} + 4 \cdot 6\,\text{cm} + 4 \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}\) Draht. 3. Beide Modelle benötigen gleich viel Draht.

a) Lukas benötigt \(96\,\text{cm}\) Draht. b) Marie benötigt \(96\,\text{cm}\) Draht. c) Beide Modelle benötigen gleich viel Draht.

- Zähle zuerst die Kanten der beiden quadratischen Flächen. - Welche Kanten verbinden das eine Quadrat mit dem anderen? - Die Anzahl der Ecken eines Quaders hängt nicht von den Kantenlängen ab.

1. Die beiden quadratischen Flächen haben zusammen \(8\) Kanten der Länge \(5\,\text{cm}\). 2. Die beiden Quadrate werden durch \(4\) Kanten der Länge \(12\,\text{cm}\) verbunden. 3. Damit hat der Quader insgesamt \(12\) Kanten und wie jeder Quader \(8\) Ecken.

a) \(8\) Kanten sind \(5\,\text{cm}\) lang. b) \(4\) Kanten sind \(12\,\text{cm}\) lang. c) Der Quader hat \(8\) Ecken.

- Welche Bauteile stehen im Modell für Ecken und welche für Kanten? - Ordne die Kanten des Quaders nach ihren verschiedenen Richtungen und Längen. - Kontrolliere am Ende, ob du wirklich alle Kanten des Modells berücksichtigt hast.

1. Ein Quader hat \(8\) Ecken. Tim braucht daher \(8\) Knetkugeln. 2. Von den \(12\) Kanten sind jeweils \(4\) gleich lang. Tim braucht also \(4\) Halme mit \(12\,\text{cm}\), \(4\) mit \(8\,\text{cm}\) und \(4\) mit \(5\,\text{cm}\). 3. Die Strohhalme haben zusammen eine Länge von \(4 \cdot 12\,\text{cm} + 4 \cdot 8\,\text{cm} + 4 \cdot 5\,\text{cm} = 100\,\text{cm}\).

a) Tim braucht \(8\) Knetkugeln. b) Er braucht jeweils \(4\) Strohhalme der Längen \(12\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\). c) Die Strohhalme haben zusammen eine Länge von \(100\,\text{cm}\).

- Denke an die Paare gegenüberliegender Flächen eines Quaders. - Vergleiche die Form eines solchen Flächenpaares mit den anderen Flächenpaaren. - Prüfe, welche Möglichkeiten übrig bleiben, wenn der Körper ausdrücklich kein Würfel ist.

1. Ein Quader hat \(6\) Flächen. Jeweils zwei gegenüberliegende Flächen sind deckungsgleich. Das ergibt \(3\) Paare. 2. Die Flächen eines Quaders sind Rechtecke; Quadrate sind besondere Rechtecke. 3. Ein Quader, der kein Würfel ist, kann genau \(2\) quadratische Flächen haben. Diese beiden gegenüberliegenden Flächen sind deckungsgleich; die übrigen vier Flächen sind nichtquadratische Rechtecke.

a) Ein Quader hat \(3\) Paare deckungsgleicher Flächen. b) Die Flächen sind Rechtecke. c) Ja. Ein Quader, der kein Würfel ist, kann genau \(2\) quadratische Flächen haben.

- Zähle Ecken und Kanten an einem Quader oder Karton. - Die zusammengeklebten Flächen liegen danach im Inneren. - Welche Form hat der neue Körper?

1. Ein Quader besitzt \(8\) Ecken und \(12\) Kanten. 2. Zwei gleich große, passgenau an einer Seitenfläche zusammengeklebte Würfel bilden außen einen längeren Quader. Die gemeinsame Klebefläche liegt im Inneren; die Klebenaht ist keine Kante des neuen Körpers. 3. Der neue Quader besitzt daher ebenfalls \(8\) Ecken und \(12\) Kanten.

a) Ein Quader hat \(8\) Ecken und \(12\) Kanten. b) Der neue Körper hat ebenfalls \(8\) Ecken und \(12\) Kanten.

- Betrachte nicht nur die einzelne quadratische Fläche, sondern ihre Lage im Quader. - Überlege, welche Beziehung zwischen gegenüberliegenden Flächen eines Quaders besteht. - Prüfe, ob diese Beziehung mit genau einer quadratischen Fläche vereinbar ist.

1. Bei einem Quader sind gegenüberliegende Flächen deckungsgleich. 2. Ist eine Fläche ein Quadrat, dann ist auch die gegenüberliegende Fläche ein Quadrat. 3. Deshalb kann ein Quader nicht genau eine quadratische Fläche haben.

In einem Quader sind gegenüberliegende Flächen deckungsgleich. Wenn eine Fläche ein Quadrat ist, ist die gegenüberliegende Fläche ebenfalls ein Quadrat. Deshalb kann ein Quader nicht genau eine quadratische Fläche haben.

- Wähle eine Fläche als Bodenfläche. - Welche Flächen klappen direkt an den Seiten hoch? - Welche Fläche wird beim Falten zur Deckfläche?

1. Wählt man \(C\) als Bodenfläche, klappen \(B\) und \(D\) zu zwei gegenüberliegenden Seitenflächen hoch. 2. Ebenso liegen sich nach dem Falten \(A\) und \(E\) gegenüber. 3. Die Fläche \(F\) wird zur Deckfläche und liegt damit \(C\) gegenüber.

Gegenüber liegen sich \(A\) und \(E\), \(B\) und \(D\) sowie \(C\) und \(F\).

- Falte jede Anordnung gedanklich Quadrat für Quadrat. - Prüfe, ob zwei Quadrate auf derselben Würfelseite landen würden. - Ein richtiges Netz muss alle sechs Würfelseiten genau einmal bedecken.

1. a) lässt sich ohne Überlappung zu einem Würfel falten. 2. Bei b) enthält die Anordnung einen \(2\times2\)-Block. Beim Falten würden Flächen auf dieselbe Würfelseite gelangen. 3. Bei c) liegen fünf Quadrate in einer Reihe. Beim Falten erreicht eine Fläche eine bereits belegte Würfelseite; eine andere Seite bleibt offen. 4. Deshalb ist nur a) ein Würfelnetz.

a) Anordnung a) ist das Würfelnetz. b) Bei b) und c) würden beim Falten Flächen übereinanderliegen; der Würfel würde nicht richtig schließen.

- Falte das Netz gedanklich und verfolge jeweils eine Fläche, bis du ihre Gegenfläche gefunden hast. - Nutze erst danach die Regel für gegenüberliegende Seiten eines Spielwürfels. - Kontrolliere, ob jede Würfelseite genau einmal berücksichtigt ist.

1. Beim Falten liegen sich \(1\) und \(y\), \(2\) und \(x\) sowie \(3\) und \(z\) gegenüber. 2. Daher gilt \(1+y=7\), also \(y=6\). 3. Außerdem gilt \(2+x=7\), also \(x=5\), und \(3+z=7\), also \(z=4\).

Die Werte sind: \(x = 5\), \(y = 6\) und \(z = 4\).

- Verfolge nur die Fläche mit der \(6\). - Notiere ihre Lage nach jedem einzelnen Kippen. - Prüfe zuerst die beiden Kippbewegungen nach rechts und danach die beiden nach oben. - Ein Würfel oder Radiergummi kann beim Kontrollieren helfen.

1. Am Anfang liegt die \(6\) oben. 2. Nach dem ersten Kippen nach rechts liegt sie rechts, nach dem zweiten Kippen unten. 3. Nach dem ersten Kippen nach oben liegt sie vorne, nach dem zweiten wieder oben. 4. Die \(6\) liegt am Ende also wieder oben.

Ja, die Seite mit der \(6\) liegt am Ende wieder oben.

- Ein Würfelnetz besteht aus genau sechs Quadraten. - Prüfe, ob beim Falten zwei Quadrate auf derselben Würfelseite landen würden. - Am Ende müssen alle sechs Seiten geschlossen sein.

1. a) lässt sich ohne Überlappung zu einem Würfel falten und ist ein Würfelnetz. 2. b) bildet ein Rechteck aus \(2 \times 3\) Quadraten. Beim Falten würden Flächen übereinanderliegen; b) ist kein Würfelnetz. 3. c) führt beim Falten ebenfalls zu einer Überlappung und ist kein Würfelnetz. 4. d) lässt sich ohne Überlappung zu einem Würfel falten und ist ein Würfelnetz.

a) und d) sind Würfelnetze.

- Unterscheide die vier rechteckigen Seitenflächen von den beiden quadratischen Endflächen. - Überlege bei jedem Muster, welche Enden des gefalteten Quaders die beiden Quadrate schließen würden. - Prüfe außerdem, ob an jeder Faltstelle zwei gleich lange vollständige Kanten aneinanderliegen.

1. Ein \(1\times1\times2\)-Quader hat vier Rechtecke der Größe \(1\times2\) und zwei Quadrate der Größe \(1\times1\). 2. Bei a) liegen beide quadratischen Endflächen auf derselben Seite des Streifens. Beim Falten würden sie dasselbe Ende schließen. 3. Bei b) sitzt ein Quadrat nur an einem Teil einer langen Rechteckkante. Dort passen die Faltkanten nicht vollständig zusammen. 4. Bei c) bilden die vier Rechtecke den Mantel; die beiden Quadrate schließen zwei verschiedene Enden. 5. Deshalb ist nur c) ein korrektes Netz.

Muster c) ist ein korrektes Netz.

- Am Ende müssen alle Flächen eines Würfels im Netz vertreten sein. - Probiere mögliche Stellen für die neuen Quadrate und denke das Falten jeweils mit. - Prüfe, ob beim Falten keine Flächen aufeinanderliegen und keine Würfelseite offen bleibt.

1. Vorhanden sind drei Quadrate in einer waagerechten Reihe und ein Quadrat über dem mittleren Quadrat. 2. Eine mögliche Ergänzung ist ein Quadrat links neben die Dreierreihe. Dadurch entsteht eine Viererreihe. 3. Das zweite Quadrat kommt unter das mittlere Quadrat der ursprünglichen Dreierreihe. 4. So entsteht ein vollständiges Würfelnetz.

Eine mögliche Lösung: Ergänze ein Quadrat links neben der waagerechten Dreierreihe und ein Quadrat unter dem mittleren Quadrat dieser Dreierreihe.

- Zähle zuerst die Teilflächen jeder Figur. - Prüfe, ob gleich lange Kanten beim Falten aufeinandertreffen können. - Achte darauf, ob Flächen überlappen oder Lücken entstehen.

1. a) hat sechs passende Rechtecke. Gleich lange Kanten treffen beim Falten aufeinander; a) ist ein Quadernetz. 2. b) besteht aus sechs Quadraten, aber beim Falten würden zwei Flächen auf derselben Seite landen. b) ist kein Quadernetz. 3. c) hat nicht zueinander passende Kantenlängen. Beim Falten würden Lücken entstehen; c) ist kein Quadernetz. 4. d) ist ein Würfelnetz. Da ein Würfel ein besonderer Quader ist, ist d) ebenfalls ein Quadernetz.

a) und d) sind Quadernetze. b) führt beim Falten zu einer Überlappung. c) hat nicht zueinander passende Kantenlängen.

- Zähle zuerst die Anzahl der Flächen. Wie viele braucht ein Quader? - Schau dir an, wo die Flächen für Deckel und Boden sitzen. Können sie den Körper schließen? - Überlege, ob beim Zusammenfalten Flächen aufeinander liegen bleiben.

1. a) hat nur fünf Flächen und kann keinen geschlossenen Quader bilden. 2. b) ist ein vollständiges Quadernetz. Die sechs Flächen lassen sich ohne Überlappung zum Quader falten. 3. c) hat zwar sechs Flächen, aber beide großen Abschlussflächen liegen auf derselben Seite der langen Reihe. Beim Falten würden sie sich überdecken; eine Seite bliebe offen. 4. Deshalb ist nur b) richtig.

Netz b) ist das einzige korrekte Quadernetz.

- Alle sechs Quadrate müssen über ganze Kanten zusammenhängen. - Falte die Anordnung gedanklich Quadrat für Quadrat. - Prüfe, ob beim Falten zwei Quadrate dieselbe Würfelseite einnehmen würden. - Vergleiche die Form am Ende mit der Vorlage: Reines Verschieben, Drehen oder Spiegeln reicht nicht.

1. Eine mögliche Lösung ist eine Treppenform aus sechs Quadraten. 2. Lege zwei Quadrate senkrecht übereinander. Rechts neben das untere dieser beiden Quadrate kommt ein Quadrat. Unter dieses Quadrat kommt ein weiteres. Rechts daneben kommt ein Quadrat. Unter dieses letzte Quadrat kommt das sechste Quadrat. 3. Die sechs Quadrate hängen jeweils über ganze Kanten zusammen. 4. Beim Falten landen die sechs Quadrate auf sechs verschiedenen Seiten des Würfels. Die Anordnung ist daher ein Würfelnetz und keine verschobene, gedrehte oder gespiegelte Kopie der Vorlage.

Eine mögliche Lösung: zwei Quadrate senkrecht übereinander; rechts neben das untere kommt ein Quadrat, darunter ein Quadrat, rechts daneben ein Quadrat und darunter das sechste Quadrat. Andere gültige, deutlich anders angeordnete Würfelnetze sind ebenfalls möglich.

- Prüfe bei a) bei jeder Flächenform, ob beide Seiten gleich lang sind. - Quadratische Flächen eines Quaders treten als gegenüberliegendes Paar auf. - Überlege bei b), was mit der dritten Kantenlänge passieren muss, wenn zwei verschiedene Flächenpaare quadratisch sein sollen.

1. Die drei verschiedenen Flächenformen des Quaders aus a) haben die Seitenlängen \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\) sowie \(4\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\). Bei keiner dieser Flächen sind beide Seiten gleich lang. Deshalb gibt es keine quadratische Fläche. 2. Für ein Paar quadratischer Flächen müssen zwei Kantenlängen des Quaders gleich sein. 3. Sollen noch zwei weitere Flächen Quadrate sein, muss auch die dritte Kantenlänge genauso lang sein. 4. Dann sind alle Kanten des Quaders gleich lang. Der Körper ist ein Würfel und hat sechs quadratische Flächen. Genau vier quadratische Flächen sind daher nicht möglich.

a) Der Quader hat \(0\) quadratische Flächen. b) Nein. Sobald zwei verschiedene Flächenpaare Quadrate sind, müssen alle drei Kantenlängen gleich sein. Dann ist der Körper ein Würfel und hat \(6\) quadratische Flächen.