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- Stelle dir die Körper bildlich vor oder nimm Modelle zur Hilfe. - Kannst du an einer Kugel eine Ecke oder Kante finden? - Vergleiche die Kanten eines Würfels mit denen eines Quaders.

1. Aussage a): Ein Quader besitzt definitionsgemäß \(8\) Ecken. Ergebnis: wahr. 2. Aussage b): Eine Kugel ist vollkommen rund und besitzt weder Ecken noch Kanten. Ergebnis: falsch. 3. Aussage c): Das entscheidende Merkmal eines Würfels ist, dass alle seine \(12\) Kanten die gleiche Länge haben. Ergebnis: wahr. 4. Aussage d): Ein Zylinder besitzt eine kreisförmige Grundfläche und eine kreisförmige Deckfläche. Ergebnis: wahr.

a) wahr b) falsch c) wahr d) wahr

- Stell dir den Karton bildlich vor oder nimm eine Schachtel in die Hand. - Wie viele Wände und wie viele Böden siehst du? - Ein Quader ist wie ein Würfel, nur dass die Seiten unterschiedlich lang sein können. Wie viele Flächen hat ein Spielwürfel? - Zähle die Spitzen des Kartons, um die Ecken zu finden.

1. Bestimmung der Flächen eines oben offenen Quaders: Der Karton besteht aus einer Bodenfläche und vier Seitenflächen, also insgesamt \(5\) Flächen. 2. Berechnung der fehlenden Flächen für einen geschlossenen Körper: Da ein vollständiger Quader \(6\) Flächen besitzt, fehlt \(6 - 5 = 1\) Fläche. 3. Identifikation der Eckenanzahl: Ein Quader hat unabhängig von der Anzahl der vorhandenen Seitenwände in seiner Grundform \(8\) Ecken.

a) Der offene Karton hat \(5\) Flächen. b) Es fehlt \(1\) Fläche. c) Der Quader hat \(8\) Ecken.

- Schau dir einen echten Würfel oder eine Schachtel an. Wie viele Flächen treffen sich in einer Ecke? - Wenn du das Netz bastelst, wie viele „Papierspitzen“ musst du an einer Stelle zusammenhalten?

1. Geometrie des Würfels: Ein Würfel ist ein dreidimensionaler Körper, bei dem an jeder der 8 Ecken genau drei Kanten und damit drei Seitenflächen (Quadrate) zusammenstoßen. 2. Übertragung auf das Netz: Wenn man den Würfel auffaltet, werden diese Verbindungen getrennt. Beim Zusammenfalten müssen also die Ecken von genau drei verschiedenen Quadraten des Netzes an einer Stelle zusammengeführt werden, um eine Würfelecke zu bilden.

An jeder Ecke des Würfels treffen genau 3 Ecken von Quadraten aus dem Netz zusammen.

- Achte auf die Form und Anzahl der Flächen im Netz. - Überlege, welcher bekannte Körper nur gleich große quadratische Flächen besitzt.

1. Das Netz besteht aus \(6\) gleich großen quadratischen Flächen. 2. Diese Flächen lassen sich zu einem Würfel zusammenfalten.

Das Netz gehört zu einem Würfel.

- Denke an einen Spielwürfel und einen Schuhkarton. - Zähle die Ecken und Kanten an einem dieser Gegenstände ab. - Betrachte die Seitenflächen: Sind sie immer perfekt quadratisch oder gibt es längere und kürzere Seiten? - Überlege, was passieren würde, wenn du alle Kanten eines Schuhkartons gleich lang machen würdest.

1. Vergleich der Anzahl: Sowohl der Würfel als auch der Quader besitzen jeweils genau \(8\) Ecken, \(12\) Kanten und \(6\) Flächen. 2. Unterscheidung der Flächen: Beim Würfel sind alle \(6\) Flächen deckungsgleiche Quadrate. Bei einem Quader, der kein Würfel ist, sind nicht alle \(6\) Flächen deckungsgleiche Quadrate. 3. Unterscheidung der Kantenlängen: Beim Würfel sind alle \(12\) Kanten gleich lang. Bei einem Quader, der kein Würfel ist, gibt es mindestens zwei verschiedene Kantenlängen; jeweils \(4\) parallele Kanten haben dieselbe Länge.

a) Beide Körper haben \(8\) Ecken, \(12\) Kanten und \(6\) Flächen. b) Beim Würfel sind alle \(6\) Flächen deckungsgleiche Quadrate und alle \(12\) Kanten gleich lang. Bei einem Quader, der kein Würfel ist, sind nicht alle Flächen deckungsgleiche Quadrate und es gibt mindestens zwei verschiedene Kantenlängen.

- Stell dir einen Schuhkarton oder ein Buch vor. - Zähle nacheinander die Ecken, dann die Linien (Kanten) und schließlich die glatten Seiten (Flächen). - Schau dir eine Fläche genau an: Sind die Winkel rechtwinklig? Sind die Seiten gegenüber gleich lang? - Suche Kanten, die wie Schienen in die gleiche Richtung laufen. Wie viele findest du davon?

1. Bestimmung der Anzahl der Grundelemente: Ein Quader besitzt \(8\) Ecken, \(12\) Kanten und \(6\) Flächen. 2. Bestimmung der Flächenform: Jede der \(6\) Flächen hat die Form eines Rechtecks. 3. Analyse der Kanten: Es gibt jeweils \(4\) Kanten, die parallel zueinander verlaufen und die gleiche Länge aufweisen (insgesamt \(3\) solcher Vierergruppen).

a) Ein Quader hat \(8\) Ecken, \(12\) Kanten und \(6\) Flächen. b) Die Flächen sind Rechtecke. c) Es sind jeweils \(4\) Kanten parallel und gleich lang.

- Überlege dir, wie viele Flächen ein Quader insgesamt hat. - Ein Quader hat immer Paare von Flächen, die genau gleich groß sind. Wie viele solcher Paare gibt es? - Schau dir die Maße der vorhandenen Rechtecke an. Welche Partnerflächen sind schon doppelt vorhanden und welche nur einmal?

1. Ein Quader besteht aus 3 Paaren deckungsgleicher, gegenüberliegender Flächen. 2. Die Abmessungen des geplanten Quaders ergeben sich aus den vorhandenen Rechtecken zu \(6\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). 3. Die drei Paare müssen also folgende Maße haben: - Paar 1: Zwei Rechtecke mit \(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) - Paar 2: Zwei Rechtecke mit \(6\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) - Paar 3: Zwei Rechtecke mit \(4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) 4. Vorhanden sind bereits beide Rechtecke von Paar 1, aber jeweils nur eines von Paar 2 und Paar 3. 5. Es fehlen also: 1 Rechteck mit \(6\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) und 1 Rechteck mit \(4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\).

Es fehlen 2 Rechtecke: eines mit den Seitenlängen \(6\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) sowie eines mit den Seitenlängen \(4\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\).

- Stell dir einen Spielwürfel vor. Wie viele Seitenflächen hat er? - Zähle die Linien an einem Würfel, an denen zwei Flächen aufeinandertreffen. Das sind die Kanten. - Schau dir die Ecke eines Zimmers oder einer Schachtel an. Wie viele Wände (Flächen) stoßen dort an einem Punkt zusammen?

1. Ein Würfel ist ein spezieller Quader, bei dem alle 6 Begrenzungsflächen Quadrate sind. Ein vollständiges Netz muss daher 6 Quadrate enthalten. 2. Ein Würfel besitzt geometrisch bedingt immer 12 Kanten. 3. An jeder Ecke eines Würfels treffen genau 3 Kanten und damit auch genau 3 Flächen zusammen.

a) 6 Quadrate b) 12 Kanten c) 3 Flächen

- Stell dir einen gewöhnlichen Spielwürfel vor und unterscheide Flächen von Kanten. - Fahre gedanklich die Linien nach, an denen jeweils zwei Flächen aufeinandertreffen. - Überlege bei der Färbung, wie viele Außenflächen verändert werden und welche übrigen Flächen davon unberührt bleiben.

1. Ein Würfel besitzt \(6\) quadratische Außenflächen. 2. Ein Würfel besitzt \(12\) Kanten. 3. Genau eine Außenfläche wird gefärbt. Von den \(6\) Außenflächen bleiben daher \(6-1=5\) ungefärbt.

a) Der Würfel hat \(6\) Flächen. b) Er hat \(12\) Kanten. c) Es bleiben \(5\) Flächen ungefärbt.

- Denk an einen echten Karton: Wie viele Seiten hat er (oben, unten, vorne, hinten, links, rechts)? - Schau dir die Form einer einzelnen Seite an. Ist es ein Kreis, ein Dreieck oder etwas anderes? - Welche Flächen eines Kartons liegen einander gegenüber und bilden ein Paar?

1. Ein Quader besitzt insgesamt 6 Begrenzungsflächen, daher besteht das Körpernetz aus 6 Teilflächen. 2. Die Begrenzungsflächen eines Quaders sind Rechtecke. 3. Da bei einem Quader jeweils zwei gegenüberliegende Flächen ein Paar bilden, ergeben sich bei 6 Flächen \(6 : 2 = 3\) Paare. Wenn jedes Paar eine eigene Farbe bekommen soll, benötigt man also 3 verschiedene Farben.

a) 6 Teilflächen b) Rechtecke c) 3 Farben

- Zeichne dir die beiden Körper grob auf oder stelle sie dir im Kopf vor. - Denke bei der Pyramide an die Grundfläche und an die Spitze. - Wie viele Ecken hat die Grundfläche einer quadratischen Pyramide? Kommt oben noch etwas dazu? - Zähle beim Würfel zuerst die Ecken der unteren Fläche und dann die der oberen Fläche.

1. Ein Würfel hat 8 Ecken und 12 Kanten. Jonas benötigt also 8 Holzkugeln und 12 Drahtstücke. 2. Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat 4 Kanten an der Basis und 4 Kanten, die zur Spitze führen. Insgesamt sind das \(4 + 4 = 8\) Kanten (Drahtstücke). 3. Die Pyramide hat 5 Ecken (4 an der Basis und 1 Spitze). 4. Vergleich der Ecken: Der Würfel hat 8 Ecken, die Pyramide hat 5 Ecken. 5. Differenz berechnen: \(8 - 5 = 3\). Der Würfel hat 3 Ecken mehr.

a) Er benötigt 8 Holzkugeln und 12 Drahtstücke. b) Er benötigt 8 Drahtstücke. c) Der Würfel hat mehr Ecken. Er hat 3 Ecken mehr als die Pyramide.

- Betrachte zuerst die längste Reihe von Quadraten im Netz. - Suche anschließend die Stelle, an der das Netz in der anderen Richtung am breitesten ist. - Vergleiche beide benötigten Gesamtmaße mit jeweils beiden Papiermaßen.

1. In der längsten waagerechten Reihe liegen \(4\) Quadrate mit Seitenlänge \(4\,\text{cm}\). Das Netz benötigt deshalb \(4 \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\) in dieser Richtung. 2. An der breitesten Stelle liegen \(3\) Quadrate übereinander. Dafür werden \(3 \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\) benötigt. 3. Die kleinsten Gesamtmaße bei der vorgegebenen Ausrichtung sind \(16\,\text{cm} \times 12\,\text{cm}\). 4. Papier A ist in beiden Richtungen groß genug. Bei Papier B ist keine Seite mindestens \(16\,\text{cm}\) lang. 5. Das Netz passt daher nur auf Papier A.

Das Netz passt nur auf Papier A. Es benötigt mindestens \(16\,\text{cm} \times 12\,\text{cm}\).

- Was unterscheidet die Form einer Kugel von der eines Würfels, wenn du sie anfassen würdest? - Überlege, was mit einem Blatt Papier passiert, wenn du versuchst, einen Ball damit faltenfrei einzupacken. - Welche Form haben die einzelnen Seiten eines Würfels?

1. Identifikation der Körper mit ebenen Flächen: Würfel und Quader besitzen ausschließlich ebene Begrenzungsflächen (Quadrate bzw. Rechtecke). 2. Begründung für die Netz-Konstruktion: Ein Würfel hat ebene Flächen, die an den Kanten miteinander verbunden sind. Man kann diese Flächen entlang einiger Kanten „aufklappen“ und flach in einer Ebene auslegen. 3. Begründung für die Kugel: Die Oberfläche einer Kugel ist in alle Richtungen gekrümmt. Da sie keine ebenen Teilflächen und keine Kanten besitzt, lässt sie sich nicht ohne Dehnung, Stauchung oder Einrisse flach auf einer Ebene (wie einem Blatt Papier) ausbreiten.

a) Würfel und Quader. b) Ein Würfel besteht aus flachen Quadraten, die man an den Kanten aufklappen und flach hinlegen kann. Eine Kugeloberfläche ist hingegen überall gekrümmt und besitzt keine Kanten. Man kann sie nicht flach ausbreiten, ohne die Fläche zu verzerren.

- Schau dir die Vorderseite und die Rückseite des Körpers genau an. Sind sie gleich? - Zähle die Spitzen (Ecken) des Körpers nacheinander ab. - Überlege, wie viele Linien (Kanten) an einer Ecke zusammentreffen. - Betrachte jede einzelne Außenwand des Körpers und bestimme ihre Form.

1. Identifikation des Körpers: Da die Grund- und Deckfläche Dreiecke sind, handelt es sich um ein dreiseitiges Prisma (oder Dreiecksprisma). 2. Bestimmung der Bestimmungsstücke: - Anzahl der Ecken: \(3\) an der Vorderseite und \(3\) an der Rückseite, insgesamt \(6\). - Anzahl der Kanten: \(3\) am vorderen Dreieck, \(3\) am hinteren Dreieck und \(3\) Verbindungskanten, insgesamt \(9\). - Anzahl der Flächen: \(2\) dreieckige Grund-/Deckflächen und \(3\) rechteckige Seitenflächen, insgesamt \(5\). 3. Formen der Flächen: \(2\) Dreiecke und \(3\) Rechtecke.

a) Dreiseitiges Prisma (oder Dreiecksprisma). b) Der Körper hat \(6\) Ecken, \(9\) Kanten und \(5\) Flächen. c) Die Flächen bestehen aus \(2\) Dreiecken und \(3\) Rechtecken.

- Überlege dir, welche Fläche im Netz beim Falten genau gegenüber der Bodenfläche liegt. - Welche Flächen im Netz berühren die Bodenfläche an einer Kante? Das sind die Seitenflächen. - Stell dir vor, wie du das Netz um die Bodenfläche herum nach oben klappst.

1. Identifikation der Deckfläche: In einem Standard-Würfelnetz liegt die Deckfläche der Bodenfläche gegenüber. Bei diesem Netz ist Feld \(B\) (Boden) an Position \((1|1)\). Das gegenüberliegende Feld ist zwei Schritte entfernt in der Hauptreihe, also Feld \(D\) an Position \((1|3)\). 2. Bestimmung der Seitenflächen: Die Flächen, die direkt an die Bodenfläche \(B\) grenzen, sind die Seitenflächen. Im Netz sind dies \(A\), \(C\), \(E\) und \(F\). 3. Ergebnis: a) Die Deckfläche ist \(D\). b) Die Flächen \(A\), \(C\), \(E\) und \(F\) sind zur Hälfte blau gefärbt, da sie die Seitenwände des Würfels bilden.

a) Die Deckfläche ist das Feld \(D\). b) Die Flächen \(A\), \(C\), \(E\) und \(F\) sind zur Hälfte blau gefärbt.

- Nutze die kleinen Gitterquadrate als Flächeneinheiten und betrachte zuerst nur eine Würfelfläche. - Ordne die kleinen Quadrate auf einer Fläche in Reihen und Spalten. - Überlege anschließend, wie viele gleich große Flächen das vollständige Netz enthält.

a) Auf einer Würfelfläche liegen \(5\) Reihen mit jeweils \(5\) Einheitsquadraten. Das sind \(5\cdot5=25\) Einheitsquadrate, also \(25\,\text{cm}^2\). b) Das Netz besteht aus \(6\) gleich großen Quadratflächen. Daher beträgt der gesamte Flächeninhalt \(6\cdot25\,\text{cm}^2=150\,\text{cm}^2\).

a) Eine Würfelfläche hat \(25\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt des gesamten Netzes beträgt \(150\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie viele Kanten einer Sorte (Länge, Breite oder Höhe) es an einem Quader insgesamt gibt. - Du kannst die Kanten am Netz abzählen oder dir den Quader räumlich vorstellen. - Nutze dein Ergebnis aus Aufgabenteil a) direkt für die Berechnung der Gesamtlänge in Teil b).

1. Berechnung der Summe der drei Kanten an einer Ecke: \(5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 2. Ein Quader besitzt jeweils vier Kanten jeder Länge (Länge, Breite, Höhe). 3. Die Gesamtlänge aller 12 Kanten ergibt sich aus \(4 \cdot (5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 3\,\text{cm}) = 4 \cdot 12\,\text{cm} = 48\,\text{cm}\).

a) \(12\,\text{cm}\) b) \(48\,\text{cm}\)

- Wie viele Kanten hat ein Würfel insgesamt? Sind diese alle gleich lang? - Wie oft kommen die Länge, die Breite und die Höhe bei den Kanten eines Quaders vor? - Überlege dir eine Rechnung, mit der du alle Kantenlängen zusammenzählst.

1. Berechnung Würfel: Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten. Gesamtlänge: \(12 \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}\). 2. Berechnung Quader: Ein Quader hat jeweils 4 Kanten für die Länge, 4 für die Breite und 4 für die Höhe. Gesamtlänge: \(4 \cdot 10\,\text{cm} + 4 \cdot 6\,\text{cm} + 4 \cdot 8\,\text{cm} = 40\,\text{cm} + 24\,\text{cm} + 32\,\text{cm} = 96\,\text{cm}\). 3. Vergleich: Beide Kinder benötigen exakt die gleiche Drahtlänge von \(96\,\text{cm}\).

a) Lukas benötigt \(96\,\text{cm}\) Draht. b) Marie benötigt \(96\,\text{cm}\) Draht. c) Beide Modelle benötigen genau die gleiche Gesamtlänge an Draht.

- Stell dir den Quader wie eine hohe Säule vor, die oben und unten ein Quadrat als „Deckel“ hat. - Wie viele Kanten gehören zu den beiden Quadraten? - Welche Kanten verbinden das obere Quadrat mit dem unteren Quadrat? - Überlege, ob sich die Anzahl der Ecken ändert, nur weil einige Kanten länger sind als andere.

1. Kantenlänge \(5\,\text{cm}\): Die beiden quadratischen Flächen (Grund- und Deckfläche) haben jeweils 4 Kanten der Länge \(5\,\text{cm}\). Das ergibt \(2 \cdot 4 = 8\) Kanten. 2. Kantenlänge \(12\,\text{cm}\): Die vier rechteckigen Seitenflächen verbinden die beiden Quadrate. Da sie \(12\,\text{cm}\) lang sind, gibt es 4 Kanten mit dieser Länge. 3. Überprüfung Gesamtzahl: \(8 + 4 = 12\) Kanten insgesamt, was für einen Quader korrekt ist. 4. Ecken: Jeder Quader besitzt genau 8 Ecken.

a) 8 Kanten sind \(5\,\text{cm}\) lang. b) 4 Kanten sind \(12\,\text{cm}\) lang. c) Der Quader hat 8 Ecken.

- Wie viele Ecken hat ein Quader? Jede Knetkugel steht für eine Ecke. - Überlege, wie viele Kanten in jede Richtung (Länge, Breite, Höhe) verlaufen. - Kannst du die Gesamtlänge berechnen, indem du zuerst die Längen der drei verschiedenen Kanten addierst und das Ergebnis dann vervielfachst? - Wie viele Kanten hat ein Quader insgesamt? Überprüfe, ob deine Anzahl der Strohhalme dazu passt.

1. Berechnung der Ecken: Ein Quader hat \(8\) Ecken, daher werden \(8\) Knetkugeln benötigt. 2. Bestimmung der Kantenanzahl pro Länge: Ein Quader besitzt \(12\) Kanten. Davon sind jeweils \(4\) Kanten parallel und gleich lang. Tim benötigt also \(4\) Halme mit \(12\,\text{cm}\), \(4\) Halme mit \(8\,\text{cm}\) und \(4\) Halme mit \(5\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Gesamtlänge: Die Summe ergibt sich aus \(4 \cdot 12\,\text{cm} + 4 \cdot 8\,\text{cm} + 4 \cdot 5\,\text{cm}\). 4. Durchführung der Rechnung: \(48\,\text{cm} + 32\,\text{cm} + 20\,\text{cm} = 100\,\text{cm}\).

a) Tim braucht \(8\) Knetkugeln. b) Er braucht jeweils \(4\) Strohhalme der Längen \(12\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\). c) Er benötigt insgesamt \(100\,\text{cm}\) Strohhalm.

- Denke an eine Schuhschachtel. Welche Seiten sehen identisch aus? - Was ist der Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Quadrat? - Könnte eine Schachtel an den Enden quadratisch sein, aber insgesamt langgestreckt? - Wie viele Flächen hat ein Körper insgesamt, wenn er \(3\) Paare hat?

1. Ein Quader hat \(6\) Flächen. Jeweils zwei gegenüberliegende Flächen sind deckungsgleich. Das ergibt \(3\) Paare. 2. Die Flächen eines Quaders sind Rechtecke; Quadrate sind besondere Rechtecke. 3. Ein Quader, der kein Würfel ist, kann genau \(2\) quadratische Flächen haben. Diese beiden gegenüberliegenden Flächen sind deckungsgleich; die übrigen vier Flächen sind nichtquadratische Rechtecke.

a) Ein Quader hat \(3\) Paare deckungsgleicher Flächen. b) Die Flächen sind Rechtecke. c) Ja. Ein Quader, der kein Würfel ist, kann genau \(2\) quadratische Flächen haben.

- Überlege dir, wie ein Quader aussieht. Kannst du die Ecken und Kanten an einem Karton abzählen? - Was passiert mit den Flächen, die sich beim Zusammenkleben berühren? Sind sie von außen noch sichtbar? - Welche Form hat der neue Körper, der aus den zwei Würfeln entstanden ist?

1. Ein Quader besitzt \(8\) Ecken und \(12\) Kanten. 2. Zwei gleich große, passgenau an einer Seitenfläche zusammengeklebte Würfel bilden außen einen längeren Quader. Die gemeinsame Klebefläche liegt im Inneren; die Klebenaht ist keine Kante des neuen Körpers. 3. Der neue Quader besitzt daher ebenfalls \(8\) Ecken und \(12\) Kanten.

a) Ein Quader hat \(8\) Ecken und \(12\) Kanten. b) Der neue Körper hat ebenfalls \(8\) Ecken und \(12\) Kanten.

- Was weißt du über die gegenüberliegenden Flächen in einem Quader? - Wenn du eine Fläche als Quadrat zeichnest, was bedeutet das für die Fläche auf der anderen Seite des Quaders? - In welcher Anzahl treten gleiche Flächen bei einem Quader immer auf?

1. Ein Quader besteht aus 6 rechteckigen Seitenflächen, wobei jeweils zwei gegenüberliegende Flächen deckungsgleich (kongruent) sind. 2. Wenn eine Seitenfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge \(s\) ist, dann muss die ihr gegenüberliegende Fläche ebenfalls ein Quadrat mit derselben Seitenlänge \(s\) sein. 3. Da Quadrate somit immer nur paarweise auftreten können, ist es unmöglich, dass ein Quader genau ein einziges Quadrat besitzt. Es müssten mindestens zwei sein.

In einem Quader sind gegenüberliegende Flächen immer gleich groß. Wenn eine Fläche ein Quadrat ist, muss die gegenüberliegende Fläche also ebenfalls ein Quadrat sein. Deshalb treten Quadrate bei einem Quader immer mindestens paarweise auf. Genau ein Quadrat ist daher unmöglich.

- Bestimme bei jedem Netz getrennt seine größte waagerechte Ausdehnung. - Achte darauf, wie weit die beiden Flügelflächen über die mittlere Reihe hinausragen. - Suche nicht die Fläche des Netzes, sondern die Seitenlängen des kleinsten umschließenden Rechtecks.

1. Bei Netz a) liegen in der waagerechten Reihe Flächen mit Breiten \(3\,\text{cm}\), \(2\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). Zusammen sind das \(10\,\text{cm}\). 2. Die Reihe ist \(6\,\text{cm}\) hoch. Oberhalb und unterhalb ragt jeweils eine \(2\,\text{cm}\) hohe Flügelfläche heraus. Die Gesamthöhe beträgt \(2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). 3. Netz a) liegt daher in einem Rechteck von \(10\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}\). 4. Bei Netz b) ergeben die vier Breiten \(6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 5. Die Reihe ist \(3\,\text{cm}\) hoch; die beiden Flügel ragen je \(2\,\text{cm}\) darüber beziehungsweise darunter hinaus. Die Gesamthöhe beträgt \(7\,\text{cm}\). 6. Netz b) liegt daher in einem Rechteck von \(16\,\text{cm} \times 7\,\text{cm}\).

a) \(10\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}\) b) \(16\,\text{cm} \times 7\,\text{cm}\)

- Stell dir vor, eine der Flächen liegt flach auf dem Tisch als Bodenfläche. Welche könnte das sein? - Wenn du eine Bodenfläche gewählt hast, welche Flächen klappen sich dann direkt nach oben hoch? - Welche Flächen stehen sich nach dem Hochklappen direkt gegenüber? - Wo landet die am weitesten außen liegende Fläche, wenn du alle Seiten nacheinander einklappst?

1. Wir wählen das quadratische Feld \(C\) als Bodenfläche des Würfels. 2. Wenn wir das Netz falten, klappen wir die links und rechts an \(C\) angrenzenden Flächen \(B\) und \(D\) nach oben. Sie stehen sich nun parallel als linke und rechte Seitenwand gegenüber. Das erste Paar ist also \(B\) und \(D\). 3. Die Flächen \(A\) (oberhalb von \(C\)) und \(E\) (unterhalb von \(C\)) klappen wir ebenfalls nach oben. Sie bilden die Rückseite und die Vorderseite des Würfels und liegen sich parallel gegenüber. Das zweite Paar ist somit \(A\) und \(E\). 4. Das verbleibende Feld \(F\) schließt an \(E\) an. Wenn \(E\) nach oben geklappt wird, knickt \(F\) um weitere \(90^\circ\) ab und bildet den Deckel des Würfels. Damit liegt \(F\) der Bodenfläche \(C\) direkt gegenüber. Das dritte Paar ist \(C\) und \(F\).

Die gegenüberliegenden Paare sind: - \(A\) und \(E\) - \(B\) und \(D\) - \(C\) und \(F\)

- Wähle bei jedem Netz gedanklich ein Quadrat als Grundfläche und klappe die angrenzenden Quadrate nacheinander hoch. - Prüfe beim Falten, ob zwei verschiedene Quadrate dieselbe Seite des Würfels einnehmen würden. - Kontrolliere außerdem, ob nach dem Falten jede der sechs Würfelseiten genau einmal bedeckt ist.

1. Netz 1 lässt sich ohne Überlappung zu einem Würfel falten und ist das korrekte Würfelnetz. 2. Bei Netz 2 führen die vier Quadrate im \(2\times2\)-Block beim Falten dazu, dass Flächen dieselbe Würfelseite einnehmen wollen. 3. Bei Netz 3 führt die Fünferkette dazu, dass beim Falten eine Fläche eine bereits belegte Seite erreicht, während eine andere Würfelseite nicht geschlossen wird.

a) Netz 1 ist ein korrektes Würfelnetz. b) Netz 2 enthält einen \(2 \times 2\)-Block, wodurch Flächen überlappen. Netz 3 hat eine 5er-Kette, wodurch die fünfte Fläche auf der ersten liegt und eine Seite offen bleibt.

- Welche Flächen liegen sich gegenüber? In einer Viererkette sind das immer Flächen mit einem Quadrat Abstand. - Die Summe muss für jedes Paar 7 sein. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du im Kopf faltest.

1. Bestimme die gegenüberliegenden Paare im Netz: - Die Fläche mit der 1 \((1|1)\) liegt der Fläche \(y\) \((3|1)\) gegenüber. - Die Fläche mit der 2 \((0|1)\) liegt der Fläche \(x\) \((2|1)\) gegenüber. - Die Fläche mit der 3 \((1|2)\) liegt der Fläche \(z\) \((1|0)\) gegenüber. 2. Berechne die Werte mit der Summenregel (Summe = 7): - \(1 + y = 7 \Rightarrow y = 6\) - \(2 + x = 7 \Rightarrow x = 5\) - \(3 + z = 7 \Rightarrow z = 4\)

Die Werte sind: \(x = 5\), \(y = 6\) und \(z = 4\).

- Verfolge nur die Fläche mit der \(6\) und notiere nach jedem einzelnen Kippen ihre Lage. - Was geschieht mit einer oben liegenden Fläche bei genau einem Kippen nach rechts? - Prüfe die beiden Richtungswechsel getrennt, statt die vier Kippbewegungen auf einmal im Kopf auszuführen. - Ein echter Würfel oder Radiergummi kann dir helfen, deine gedankliche Bewegung zu kontrollieren.

1. Ausgangslage: Die \(6\) liegt oben. 2. Nach dem ersten Kippen nach rechts liegt die \(6\) auf der rechten Seitenfläche. 3. Nach dem zweiten Kippen nach rechts liegt die \(6\) unten. 4. Nach dem ersten Kippen nach oben liegt die \(6\) auf der vorderen Seitenfläche. 5. Nach dem zweiten Kippen nach oben liegt die \(6\) wieder oben. Ergebnis: Ja, die \(6\) liegt am Ende wieder oben auf dem Zielfeld.

Ja, die Seite mit der \(6\) liegt am Ende wieder oben.

- Ein Würfelnetz muss immer aus genau sechs Quadraten bestehen. - Überprüfe, ob beim Falten zwei Quadrate an der gleichen Stelle landen würden. - Achte darauf, dass keine „Löcher“ im Körper entstehen.

1. Überprüfung von Netz a): Es handelt sich um die klassische Kreuzform, ein gültiges Würfelnetz. 2. Überprüfung von Netz b): Ein \(2 \times 3\)-Block kann keinen Würfel bilden, da beim Falten Flächen übereinander liegen würden und Seiten offen blieben. 3. Überprüfung von Netz c): Vier Quadrate in einer Reihe mit zwei Quadraten auf derselben Seite der Reihe führen zu Überlappungen; kein gültiges Netz. 4. Überprüfung von Netz d): Dies ist eine Treppenform (Z-Netz), die sich lückenlos zu einem Würfel falten lässt. Ergebnis: Netze a) und d) sind korrekt.

Die Netze a) und d) sind korrekt.

- Unterscheide die vier rechteckigen Seitenflächen von den beiden quadratischen Endflächen. - Überlege bei jedem Muster, welche Enden des gefalteten Quaders die beiden Quadrate schließen würden. - Prüfe außerdem, ob an jeder Faltstelle zwei gleich lange vollständige Kanten aneinanderliegen.

1. Ein \(1 \times 1 \times 2\)-Quader hat \(4\) rechteckige Flächen der Größe \(1 \times 2\) und \(2\) quadratische Flächen der Größe \(1 \times 1\). 2. Bei a) bilden die vier \(1 \times 2\)-Rechtecke beim Falten den Mantel. Die beiden Quadrate schließen die beiden gegenüberliegenden Enden. Das Netz ist gültig. 3. Bei b) liegen beide quadratischen Endflächen auf derselben Seite des Streifens. Beim Falten würden sie dasselbe Ende schließen; das andere Ende bliebe offen. 4. Bei c) ist ein Quadrat nur an einem Teil einer \(2\) Einheiten langen Rechteckkante angesetzt. Die Kanten passen dort nicht als vollständige Faltkante zusammen. 5. Daher ist nur a) ein korrektes Netz.

Muster a) ist ein korrektes Netz.

- Ein vollständiges Würfelnetz besteht aus sechs Quadraten. - Eine Viererreihe kann die vier Seitenflächen des Würfels bilden. - Die beiden übrigen Quadrate müssen so liegen, dass sie beim Falten verschiedene Flächen schließen. - Es gibt mehr als eine mögliche Lösung.

1. Vorhanden sind drei Quadrate in einer waagerechten Reihe und ein Quadrat über dem mittleren Quadrat dieser Reihe. 2. Ergänze links neben dem linken Quadrat der Reihe ein weiteres Quadrat. Dadurch entsteht eine Viererreihe. 3. Ergänze unter dem mittleren Quadrat der ursprünglichen Dreierreihe ein weiteres Quadrat. 4. Die beiden angefügten Quadrate liegen damit auf entgegengesetzten Seiten der Viererreihe. Die entstandene Figur ist ein vollständiges Würfelnetz.

Eine mögliche Lösung: Ergänze ein Quadrat links neben der waagerechten Dreierreihe und ein Quadrat unter dem mittleren Quadrat dieser Dreierreihe.

- Zähle zuerst, wie viele Teilflächen jede Figur hat. Wie viele Flächen muss ein Quader besitzen? - Überlege dir, welche Flächen nach dem Falten gegenüberliegen würden. Diese müssen bei einem Quader immer gleich groß sein. - Stell dir das Falten im Kopf vor oder benutze ein Blatt Papier: Treffen an jeder Faltkante zwei genau gleich lange Seiten aufeinander? - Kann ein Würfel auch als ein besonderer Quader betrachtet werden?

1. Überprüfung von Figur a): Es sind 6 rechteckige Flächen vorhanden, die paarweise kongruent sind (\(2 \times 3\), \(1 \times 3\) und \(2 \times 1\)). Die Anordnung erlaubt ein lückenloses Zusammenfalten, wobei alle aneinanderstoßenden Kanten die gleiche Länge haben. Somit ist a) ein gültiges Quadernetz. 2. Überprüfung von Figur b): Es sind 6 Quadrate vorhanden. Jedoch liegen zwei Flächen auf derselben Seite der mittleren Viererkette. Beim Falten würden diese beiden Flächen übereinanderliegen (die Oberseite doppelt belegen), während die Unterseite offen bliebe. Somit ist b) kein Quadernetz. 3. Überprüfung von Figur c): Es sind 6 Flächen vorhanden, aber die Kantenlängen passen nicht zusammen. Die kleinen Quadrate (\(1 \times 1\)) sind an Kanten der großen Rechtecke (\(2 \times 3\)) befestigt, die \(2\,\text{LE}\) lang sind. Beim Falten entstünden Lücken. Somit ist c) kein Quadernetz. 4. Überprüfung von Figur d): Es handelt sich um ein klassisches Netz eines Würfels (6 gleiche Quadrate). Da jeder Würfel auch ein spezieller Quader ist (alle Kantenlängen gleich), ist dies ein gültiges Quadernetz.

Die Figuren a) und d) sind gültige Quadernetze. Begründungen: - a) ist ein Netz eines Quaders mit den Kantenlängen \(2\), \(3\) und \(1\). - b) ist kein Netz, da zwei Flächen beim Falten übereinander liegen würden und eine Seite offen bleibt. - c) ist kein Netz, da die Längen der zusammenstoßenden Kanten nicht übereinstimmen (\(1\) und \(2\)). - d) ist ein Würfelnetz und damit auch ein Netz eines speziellen Quaders.

- Zähle zuerst die Anzahl der Flächen. Wie viele braucht ein Quader? - Schau dir an, wo die Flächen für Deckel und Boden sitzen. Können sie den Körper schließen? - Überlege, ob beim Zusammenfalten Flächen aufeinander liegen bleiben.

1. Ein Quadernetz muss aus 6 rechteckigen Flächen bestehen, wobei jeweils zwei gegenüberliegende Flächen deckungsgleich sein müssen. 2. Netz b) hat nur 5 Flächen und kann daher keinen geschlossenen Körper bilden. 3. Netz c) hat zwar 6 Flächen, aber beide „Deckelflächen“ sind auf der gleichen Seite der Mittelreihe angeordnet. Beim Falten würden sie übereinander liegen und der Boden des Quaders bliebe offen. 4. Netz a) ist korrekt aufgebaut: Es gibt eine Reihe aus vier Flächen, und die beiden anderen Flächen (Deckel und Boden) befinden sich auf gegenüberliegenden Seiten dieser Reihe.

Netz a) ist das einzige korrekte Quadernetz.

- Alle sechs Quadrate müssen über ganze Kanten zu einer zusammenhängenden Figur verbunden sein. - Falte die Quadrate gedanklich nacheinander um ihre gemeinsamen Kanten. - Achte darauf, dass beim Falten nicht zwei Quadrate auf derselben Würfelseite landen.

1. Eine mögliche andere Anordnung belegt die Felder A4, A3, B3, B2, C2 und C1. 2. Die sechs Quadrate hängen jeweils über ganze Kanten zusammen und bilden eine treppenartige Anordnung. 3. Beim gedanklichen Falten liegen die sechs Quadrate auf sechs verschiedenen Seiten des Würfels; keine zwei Flächen überdecken sich. 4. Die treppenartige Anordnung ist keine verschobene, gedrehte oder gespiegelte Kopie des kreuzförmigen Netzes aus der Vorlage.

Eine mögliche Lösung ist: A4, A3, B3, B2, C2, C1. Andere gültige Würfelnetze sind ebenfalls möglich.

- Überlege dir für Aufgabenteil a) drei verschiedene Zahlen für die Kantenlängen. Entsteht dabei ein Quadrat? - Für Teil b): Wenn zwei verschiedene Paare von Seitenflächen Quadrate sind, was bedeutet das für die Längen der Kanten \(a\), \(b\) und \(c\)? - Wie hängen die drei Kantenlängen zusammen, wenn zwei davon für das erste Quadrat gleich sein müssen und zwei davon für das zweite Quadrat?

1. Zu Teil a): Die Seitenflächen haben die Maße \(a \times b\), \(b \times c\) und \(a \times c\). Wenn \(a \neq b\), \(b \neq c\) und \(a \neq c\), dann ist bei keinem dieser Paare die Länge gleich der Breite. Somit gibt es 0 Quadrate. 2. Zu Teil b): Damit ein Paar Seitenflächen Quadrate sind, müssen zwei Kanten gleich lang sein (z. B. \(a = b\)). Dann sind die Flächen \(a \times b\) Quadrate. 3. Damit ein weiteres Paar Seitenflächen Quadrate sind, muss eine weitere Bedingung erfüllt sein (z. B. \(b = c\)). 4. Wenn aber \(a = b\) und \(b = c\) gilt, dann folgt daraus automatisch \(a = c\). 5. Das bedeutet, dass auch das dritte Flächenpaar (\(a \times c\)) aus Quadraten besteht. Somit hat der Körper insgesamt 6 quadratische Flächen (ein Würfel). Die Anzahl 4 ist nicht möglich.

a) Der Quader hat 0 Quadrate. b) Wenn vier Flächen Quadrate sind, bedeutet das, dass zwei verschiedene Paare von Kanten gleich lang sein müssen (z. B. \(a=b\) und \(b=c\)). Dann sind aber alle drei Kantenlängen gleich (\(a=b=c\)), wodurch alle sechs Flächen des Quaders zu Quadraten werden. Ein Quader mit genau vier Quadraten existiert also nicht.