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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 4

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Zahlen ordnen und vergleichen

Lernziele

  • Vergleicht Zahlen bis zur Million.
  • Ordnet mehrere Zahlen.
  • Begründet Vergleiche mit Stellenwerten.

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

4100254
Welche Zahl hat den geringsten Abstand zu \(90\,000\)? a) \(89\,000\) b) \(89\,800\) c) \(90\,300\) d) \(90\,500\)

Denkanstöße

- Wie weit ist jede Zahl von \(90\,000\) entfernt? - Berechne jeweils die positive Differenz zwischen der Zahl und \(90\,000\). - Welche dieser Differenzen ist am kleinsten?

Lösung

1. Der Abstand von \(89\,000\) zu \(90\,000\) beträgt \(1000\). 2. Der Abstand von \(89\,800\) zu \(90\,000\) beträgt \(200\). 3. Der Abstand von \(90\,300\) zu \(90\,000\) beträgt \(300\). 4. Der Abstand von \(90\,500\) zu \(90\,000\) beträgt \(500\). 5. \(200\) ist der kleinste Abstand. Daher liegt \(89\,800\) am nächsten an \(90\,000\).

Antwort

b) \(89\,800\)
4100284
Welche Zahl ist am kleinsten? a) \(217\,213\) b) \(341\,231\) c) \(89\,679\) d) \(91\,312\)

Denkanstöße

- Wie viele Stellen haben die einzelnen Zahlen? - Worauf achtest du zuerst, wenn du zwei Zahlen vergleichst? - Kannst du die Zahlen der Größe nach ordnen?

Lösung

1. Vergleichen der Anzahl der Stellen: \(89\,679\) und \(91\,312\) haben 5 Stellen, \(217\,213\) und \(341\,231\) haben 6 Stellen. 2. Vergleich der 5-stelligen Zahlen: Bei \(89\,679\) ist die Zehntausenderstelle eine 8, bei \(91\,312\) eine 9. 3. Ergebnis: \(89\,679\) ist die kleinste Zahl.

Antwort

c) \(89\,679\)
4165144
An einer Zählstelle für Radfahrer springt die Anzeige gerade auf die Zahl \(600\,000\). a) Welche Zahl wurde unmittelbar davor auf dem Display angezeigt? b) Welche Zahl wird als Nächstes angezeigt, wenn noch ein Radfahrer vorbeifährt?

Denkanstöße

- Überlege, was passiert, wenn du von einer Zahl mit vielen Nullen eins abziehst. - Welche Ziffer ändert sich, wenn du eins dazuzählst?

Lösung

1. Berechnung des direkten Vorgängers durch Subtraktion von \(1\): \(600\,000 - 1 = 599\,999\). 2. Berechnung des direkten Nachfolgers durch Addition von \(1\): \(600\,000 + 1 = 600\,001\).

Antwort

a) \(599\,999\) b) \(600\,001\)
5524804
a) Lies die markierte Zahl A am Zahlenstrahl ab. b) Setze das passende Vergleichszeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein: \(200\,000\;\square\;A\). c) Setze das passende Vergleichszeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein: \(A\;\square\;250\,000\).
Abbildung zur Aufgabe 552480

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, wie groß der Abstand zwischen zwei benachbarten kleinen Strichen ist. - Orientiere dich an den beschrifteten Marken links und rechts von A. - Wenn du A abgelesen hast, vergleiche die drei Zahlen nach ihrer Lage von links nach rechts.

Lösung

1. Zwischen \(200\,000\) und \(250\,000\) liegen fünf gleich große Schritte zu je \(10\,000\). 2. A liegt beim dritten Schritt nach \(200\,000\): \(200\,000 + 30\,000 = 230\,000\). 3. Daher gilt \(200\,000 < 230\,000\) und \(230\,000 < 250\,000\).

Antwort

a) A markiert die Zahl \(230\,000\). b) \(200\,000 < A\) c) \(A < 250\,000\)
5574314
Vergleiche \(472\,615\) und \(472\,561\). Die ersten drei Stellen von links sind gleich. a) An welcher Stelle unterscheiden sich die Zahlen zuerst? b) Setze \(<\) oder \(>\) ein und begründe mit dieser Stelle.

Denkanstöße

- Vergleiche von links nach rechts. - Sobald du die erste unterschiedliche Stelle findest, ist der Vergleich entschieden. - Nenne in deiner Begründung die Stelle und die beiden Ziffern.

Lösung

1. Hunderttausender, Zehntausender und Tausender sind gleich. 2. Die erste unterschiedliche Stelle ist die Hunderterstelle. 3. Dort steht bei \(472\,615\) die \(6\), bei \(472\,561\) die \(5\). 4. Weil \(6 > 5\), gilt \(472\,615 > 472\,561\).

Antwort

a) Hunderterstelle b) \(472\,615 > 472\,561\), weil an der ersten unterschiedlichen Stelle \(6\) Hunderter mehr sind als \(5\) Hunderter.
4163814
Welche Ziffer muss jeweils in das Kästchen eingesetzt werden, damit die Aussage wahr ist? a) \(345\,\square 20 < 345\,100\) b) \(8\square 9\,000 > 889\,000\) c) \(589\,999 < 5\square 9\,999 < 600\,000\) d) \(481\,000 < 48\square\,500 < 482\,000\)

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen von links nach rechts und suche die erste Stelle, an der sie sich unterscheiden können. - Bei einer Doppelungleichung muss die eingesetzte Ziffer beide Grenzen gleichzeitig erfüllen. - Setze deine Ziffer anschließend ein und lies die vollständige Aussage noch einmal.

Lösung

1. Bei a) sind die ersten drei Stellen gleich. Für die Hunderterstelle muss \(0\) eingesetzt werden, denn \(345\,020 < 345\,100\); jede größere Ziffer würde die linke Zahl zu groß machen. 2. Bei b) muss die Zehntausenderziffer größer als \(8\) sein. Nur \(9\) ist möglich, also \(899\,000 > 889\,000\). 3. Bei c) muss die Zahl größer als \(589\,999\), aber kleiner als \(600\,000\) sein. Nur \(599\,999\) passt, also ist die gesuchte Ziffer \(9\). 4. Bei d) muss die Zahl zwischen \(481\,000\) und \(482\,000\) liegen. \(481\,500\) erfüllt beide Ungleichungen, daher ist die gesuchte Ziffer \(1\).

Antwort

a) \(0\) b) \(9\) c) \(9\) d) \(1\)
4164194
Vergleiche die Zahlenpaare und setze die Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) passend ein. a) \(302 \square 320\) und \(302\,000 \square 320\,000\) b) \(740 \square 470\) und \(740\,000 \square 470\,000\) c) \(855 \square 855\) und \(855\,000 \square 855\,000\) Was stellst du bei den Vergleichszeichen in den beiden Spalten fest? Erkläre kurz.

Denkanstöße

- Vergleiche bei jedem Paar zuerst die höchste Stelle, an der sich die Zahlen unterscheiden. - Welche Beziehung besteht zwischen einer dreistelligen Zahl und der entsprechenden Zahl mit drei zusätzlichen Nullen? - Prüfe, ob sich das Vergleichszeichen ändert, wenn beide Zahlen auf dieselbe Weise vergrößert werden.

Lösung

1. Die dreistelligen Zahlen ergeben \(302 < 320\), \(740 > 470\) und \(855 = 855\). 2. Bei den entsprechenden sechsstelligen Zahlen gilt \(302\,000 < 320\,000\), \(740\,000 > 470\,000\) und \(855\,000 = 855\,000\). 3. In jeder Zeile bleibt das Vergleichszeichen gleich. 4. Beide Zahlen eines Paares wurden jeweils mit \(1000\) multipliziert. Dadurch ändert sich ihre Reihenfolge nicht.

Antwort

a) \(302 < 320\) und \(302\,000 < 320\,000\) b) \(740 > 470\) und \(740\,000 > 470\,000\) c) \(855 = 855\) und \(855\,000 = 855\,000\) Feststellung: In jeder Zeile bleibt das Vergleichszeichen gleich. Werden beide Zahlen mit \(1000\) multipliziert, bleibt ihre Reihenfolge erhalten.
4164204
Du hast drei Ziffernkärtchen: \(0\), \(3\) und \(5\). a) Bilde aus diesen Kärtchen die kleinste und die größte dreistellige Zahl (die \(0\) darf nicht vorne stehen). Vergleiche sie mit \(<\). b) Multipliziere beide Zahlen mit \(1000\). Wie heißen die neuen Zahlen? Vergleiche sie ebenfalls. c) Hat sich die Rangfolge der Zahlen durch das Multiplizieren verändert? Begründe deine Antwort.

Denkanstöße

- Denk daran, dass eine dreistellige Zahl nicht mit einer Null beginnen kann. - Wie gehst du vor, um die größtmögliche Zahl aus gegebenen Ziffern zu bauen? - Vergleiche die Stellenwerte: Wenn \(3\) Hunderter weniger sind als \(5\) Hunderter, wie verhalten sich dann \(3\) Hunderttausender zu \(5\) Hunderttausendern?

Lösung

1. Kleinste dreistellige Zahl aus \(0, 3, 5\) ist \(305\). Größte Zahl ist \(530\). Vergleich: \(305 < 530\). 2. Multiplikation mit \(1000\): \(305 \cdot 1000 = 305\,000\) und \(530 \cdot 1000 = 530\,000\). 3. Vergleich der großen Zahlen: \(305\,000 < 530\,000\). 4. Begründung: Die Rangfolge hat sich nicht geändert. Da beide Werte im gleichen Verhältnis (Faktor \(1000\)) vergrößert wurden, bleibt die linke Zahl weiterhin die kleinere.

Antwort

a) \(305 < 530\) b) \(305\,000 < 530\,000\) c) Nein, die Rangfolge bleibt gleich, weil beide Zahlen um denselben Faktor (\(1000\)) vergrößert wurden.
4164914
In vier verschiedenen Zoos wurden im letzten Jahr die Besucher gezählt: Zoo Birkenhain: \(506\,780\) Besucher Tierpark Sonnenfels: \(560\,870\) Besucher Zoo Flussgarten: \(506\,870\) Besucher Tiergarten Eichenhöhe: \(560\,780\) Besucher a) Vergleiche die Besucherzahlen von Zoo Birkenhain und Zoo Flussgarten. Setze \(<\) oder \(>\) ein. b) Vergleiche die Besucherzahlen von Tierpark Sonnenfels und Tiergarten Eichenhöhe. Setze \(<\) oder \(>\) ein. c) Ordne alle vier Besucherzahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl und verwende das Zeichen \(<\).

Denkanstöße

- Achte genau darauf, an welcher Stelle sich die Ziffern unterscheiden. - Vergleiche zuerst die Tausenderzahlen. - Was ist mehr: \(800\) oder \(700\)?

Lösung

1. Vergleich Zoo Birkenhain und Zoo Flussgarten: Die ersten drei Stellen (\(506\)) sind gleich. An der Hunderterstelle hat Zoo Flussgarten eine \(8\) und Zoo Birkenhain eine \(7\), daher gilt: \(506\,780 < 506\,870\). 2. Vergleich Tierpark Sonnenfels und Tiergarten Eichenhöhe: Die ersten drei Stellen (\(560\)) sind gleich. An der Hunderterstelle hat Tierpark Sonnenfels eine \(8\) und Tiergarten Eichenhöhe eine \(7\), daher gilt: \(560\,870 > 560\,780\). 3. Gesamte Ordnung: Durch Vergleich der Zehntausenderstellen (\(0\) gegen \(6\)) und anschließend der Hunderterstellen ergibt sich: \(506\,780 < 506\,870 < 560\,780 < 560\,870\).

Antwort

a) \(506\,780 < 506\,870\) b) \(560\,870 > 560\,780\) c) \(506\,780 < 506\,870 < 560\,780 < 560\,870\)
4164924
Eine Fabrik hat in vier aufeinanderfolgenden Jahren unterschiedlich viele Fahrräder hergestellt: Jahr 1: \(243\,650\) Stück Jahr 2: \(234\,560\) Stück Jahr 3: \(243\,560\) Stück Jahr 4: \(234\,650\) Stück Ordne diese Produktionszahlen der Größe nach. Beginne mit der größten Zahl und verwende das Zeichen \(>\).

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen von links nach rechts und beginne bei der höchsten Stelle. - Sobald du die erste unterschiedliche Ziffer findest, ist die Reihenfolge dieses Zahlenpaars entschieden. - Wenn die ersten drei Ziffern gleich sind, hilft dir die Hunderterstelle weiter.

Lösung

1. Zuerst werden die Zahlen in Gruppen mit gleichen Zehntausender- und Tausenderstellen eingeteilt: Die \(243\,000\)er-Zahlen sind größer als die \(234\,000\)er-Zahlen. 2. Innerhalb der Gruppen erfolgt der Vergleich über die Hunderterstelle: \(243\,650 > 243\,560\) und \(234\,650 > 234\,560\). 3. Die vollständige Kette lautet somit: \(243\,650 > 243\,560 > 234\,650 > 234\,560\).

Antwort

\(243\,650 > 243\,560 > 234\,650 > 234\,560\)
4165164
Beantworte die Fragen zu den Grenzen im Zahlenraum bis \(1\,000\,000\). a) Wie heißt der direkte Vorgänger der kleinsten sechsstelligen Zahl? b) Wie heißt der direkte Nachfolger der größten sechsstelligen Zahl?

Denkanstöße

- Wie viele Stellen hat die kleinste sechsstellige Zahl und wie lautet sie? - Was ist die größte Zahl, die du mit genau sechs Stellen schreiben kannst? - Denke an den Übergang zwischen fünfstelligen, sechsstelligen und siebenstelligen Zahlen.

Lösung

1. Die kleinste sechsstellige Zahl ist \(100\,000\). 2. Ihr Vorgänger ist \(100\,000 - 1 = 99\,999\). 3. Die größte sechsstellige Zahl ist \(999\,999\). 4. Ihr Nachfolger ist \(999\,999 + 1 = 1\,000\,000\).

Antwort

a) \(99\,999\) b) \(1\,000\,000\)
4165794
Finde die Zahl, die den gleichen Abstand zu beiden Werten eines Paares hat. a) \(120\,000\) und \(140\,000\) b) \(120\,000\) und \(130\,000\) c) \(122\,000\) und \(124\,000\)

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den gesamten Abstand zwischen den beiden gegebenen Zahlen. - Die gesuchte Zahl soll zu beiden Zahlen denselben Abstand haben. Wie müssen sich deshalb die beiden Teilabstände zueinander verhalten? - Prüfe deine Zahl, indem du beide Abstände getrennt berechnest.

Lösung

1. Bei a) beträgt der Abstand der gegebenen Zahlen \(20\,000\). Gleiche Abstände auf beiden Seiten sind jeweils \(10\,000\), also ist die gesuchte Zahl \(130\,000\). 2. Bei b) beträgt der Gesamtabstand \(10\,000\). Zwei gleiche Teilabstände sind jeweils \(5000\), daher ist die gesuchte Zahl \(125\,000\). 3. Bei c) beträgt der Gesamtabstand \(2000\). Zwei gleiche Teilabstände sind jeweils \(1000\), daher ist die gesuchte Zahl \(123\,000\).

Antwort

a) \(130\,000\) b) \(125\,000\) c) \(123\,000\)
4166344
In der Tabelle siehst du die Anzahl der verkauften Eintrittskarten eines Freizeitparks in zwei verschiedenen Jahren. <table> <tr> <th>Freizeitpark</th> <th>Jahr 2022</th> <th>Jahr 2023</th> </tr> <tr> <td>Bärenpark</td> <td>\(456\,780\)</td> <td>\(461\,200\)</td> </tr> <tr> <td>Wasserwelt</td> <td>\(890\,120\)</td> <td>\(887\,500\)</td> </tr> <tr> <td>Ritterburg</td> <td>\(123\,450\)</td> <td>\(125\,000\)</td> </tr> </table> a) Bei welchen Parks sind die Verkaufszahlen gestiegen? b) Bei welchem Park sind die Verkaufszahlen gesunken?

Denkanstöße

- Schau dir die Ziffern von links nach rechts an, um zu entscheiden, welche Zahl größer ist. - Was bedeutet es für die Zahlen, wenn etwas steigt oder sinkt? - Vergleiche für jeden Park die Zahl aus dem Jahr 2022 mit der Zahl aus dem Jahr 2023.

Lösung

1. Vergleich der Zahlen für den Bärenpark: \(461\,200 > 456\,780\), also ein Anstieg. 2. Vergleich der Zahlen für die Wasserwelt: \(887\,500 < 890\,120\), also ein Rückgang. 3. Vergleich der Zahlen für die Ritterburg: \(125\,000 > 123\,450\), also ein Anstieg.

Antwort

a) Die Verkaufszahlen sind beim Bärenpark und bei der Ritterburg gestiegen. b) Die Verkaufszahlen sind bei der Wasserwelt gesunken.
4166354
Ein Naturschutzbund zählt jedes Jahr die Anzahl der Zugvögel in einem Gebiet. Jahr 2021: \(345\,900\) Vögel Jahr 2022: \(342\,100\) Vögel Jahr 2023: \(339\,850\) Vögel Beschreibe die Entwicklung der Zahlen über die drei Jahre. Steigen die Zahlen oder fallen sie? Begründe deine Antwort durch einen Vergleich der Zahlen.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst die Zahlen von 2021 und 2022. - Vergleiche dann die Zahlen von 2022 und 2023. - Passiert in beiden Schritten das Gleiche?

Lösung

1. Vergleich der ersten beiden Jahre: \(342\,100 < 345\,900\), die Zahl ist gesunken. 2. Vergleich der letzten beiden Jahre: \(339\,850 < 342\,100\), die Zahl ist erneut gesunken. 3. Gesamtfeststellung: Da die Zahlen von Jahr zu Jahr kleiner werden, fallen die Zahlen kontinuierlich.

Antwort

Die Zahlen fallen. Begründung: Es gilt \(345\,900 > 342\,100 > 339\,850\). Die Anzahl der Vögel wird also jedes Jahr kleiner.
4166364
Die Tabelle zeigt, wie viele Tonnen (\(\text{t}\)) Altpapier, Kunststoff und Altglas in drei Jahren recycelt wurden. <table> <tr> <th>Abfallart</th> <th>2021</th> <th>2022</th> <th>2023</th> </tr> <tr> <td>Altpapier</td> <td>\(789\,400\,\text{t}\)</td> <td>\(785\,200\,\text{t}\)</td> <td>\(780\,100\,\text{t}\)</td> </tr> <tr> <td>Kunststoff</td> <td>\(345\,600\,\text{t}\)</td> <td>\(350\,000\,\text{t}\)</td> <td>\(355\,200\,\text{t}\)</td> </tr> <tr> <td>Altglas</td> <td>\(120\,800\,\text{t}\)</td> <td>\(125\,400\,\text{t}\)</td> <td>\(122\,000\,\text{t}\)</td> </tr> </table> a) Bei welcher Abfallart steigen die Zahlen in jedem Jahr an? b) Bei welcher Abfallart fallen die Zahlen in jedem Jahr? c) Bei welcher Abfallart steigen die Zahlen erst und fallen dann wieder?

Denkanstöße

- Gehe jede Zeile der Tabelle einzeln durch. - Vergleiche die Zahl von 2021 mit 2022 und dann die von 2022 mit 2023. - Suche nach einer Reihe, die jedes Jahr größer wird, einer, die jedes Jahr kleiner wird, und einer, die erst größer und dann kleiner wird.

Lösung

1. Beim Altpapier gilt \(789\,400 > 785\,200 > 780\,100\). Die Zahlen fallen jedes Jahr. 2. Beim Kunststoff gilt \(345\,600 < 350\,000 < 355\,200\). Die Zahlen steigen jedes Jahr. 3. Beim Altglas gilt \(120\,800 < 125\,400\), aber \(125\,400 > 122\,000\). Die Zahlen steigen erst und fallen dann.

Antwort

a) Bei Kunststoff steigen die Zahlen in jedem Jahr an. b) Bei Altpapier fallen die Zahlen in jedem Jahr. c) Bei Altglas steigen die Zahlen erst an (von 2021 auf 2022) und fallen dann wieder (von 2022 auf 2023).
4168294
In Sonnenberg leben \(320\,000\) Menschen. Ergänze die fehlenden Angaben: Es sind \(\square\) mehr als \(300\,000\). Es sind \(\square\) weniger als \(400\,000\).

Denkanstöße

- Stelle dir die Zahlen am Zahlenstrahl vor. - Wie viel musst du zur kleineren Zahl addieren, um die größere Zahl zu erhalten? - Überlege dir, wie groß der Schritt von einem Hunderttausender zum nächsten ist.

Lösung

1. Berechnung des Unterschieds zu \(300\,000\): \(320\,000 - 300\,000 = 20\,000\). 2. Berechnung des Unterschieds zu \(400\,000\): \(400\,000 - 320\,000 = 80\,000\).

Antwort

Es sind \(20\,000\) mehr als \(300\,000\). Es sind \(80\,000\) weniger als \(400\,000\).
4170394
Ein Taschenrechner kann auf seinem Display maximal sechs Ziffern nebeneinander anzeigen. a) Welches ist die größte Zahl, die auf diesem Display dargestellt werden kann? b) Wie heißt die Zahl, die genau um \(1\) größer ist als diese Anzeige?

Denkanstöße

- Welche Ziffer ist die größte, die du kennst? - Wie viele Stellen hat eine Zahl, wenn sie sechs Ziffern hat? - Was passiert, wenn du zu einer Zahl, die nur aus Neunern besteht, eins addierst?

Lösung

1. Um die größte Zahl mit sechs Stellen zu finden, muss an jeder Stelle die größtmögliche Ziffer \(9\) stehen. Dies ergibt die Zahl \(999\,999\). 2. Die Addition von \(1\) zur größten sechsstelligen Zahl führt zum nächsthöheren Stellenwert: \(999\,999 + 1 = 1\,000\,000\).

Antwort

a) \(999\,999\) b) \(1\,000\,000\) (Eine Million)
5524814
Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen A, B und C markiert. a) Lies die drei Zahlen ab. b) Ordne A, B und C der Größe nach, beginnend mit der kleinsten Zahl. c) Welche markierte Zahl liegt zwischen \(440\,000\) und \(460\,000\)?
Abbildung zur Aufgabe 552481

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Schritts am Zahlenstrahl. - Lies die Markierungen von links nach rechts und notiere ihre Werte. - Prüfe für Teil c), welche gelesene Zahl größer als \(440\,000\) und kleiner als \(460\,000\) ist.

Lösung

1. Die kleinen Schritte haben den Abstand \(10\,000\). Daher gilt \(A = 430\,000\), \(B = 470\,000\) und \(C = 450\,000\). 2. Von links nach rechts steigen die Zahlen. Deshalb ist \(430\,000 < 450\,000 < 470\,000\), also \(A < C < B\). 3. Nur \(450\,000\) liegt zwischen \(440\,000\) und \(460\,000\). Das ist C.

Antwort

a) \(A = 430\,000\), \(B = 470\,000\), \(C = 450\,000\) b) \(A < C < B\) c) C
5539544
Lies die drei markierten Zahlen A, B und C am Zahlenstrahl ab. a) Welche Zahlen sind markiert? b) Ordne A, B und C der Größe nach und beginne mit der kleinsten Zahl. c) Welche Markierung liegt am nächsten bei \(370\,000\)? Begründe mit dem Abstand.
Abbildung zur Aufgabe 553954

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Abstand zwischen zwei benachbarten kleinen Strichen. - Lies jede Markierung unabhängig ab, bevor du sie ordnest. - Für c) vergleiche die Abstände der drei Werte zu \(370\,000\).

Lösung

1. Die Markierungen liegen bei A \(= 355\,000\), B \(= 380\,000\) und C \(= 395\,000\). 2. Daher gilt \(355\,000 < 380\,000 < 395\,000\), also A \(<\) B \(<\) C. 3. Die Abstände zu \(370\,000\) betragen für A \(15\,000\), für B \(10\,000\) und für C \(25\,000\). B liegt damit am nächsten.

Antwort

a) A: \(355\,000\); B: \(380\,000\); C: \(395\,000\) b) A \(<\) B \(<\) C c) B; Abstand: \(10\,000\)
5574324
Mika behauptet: „\(509\,080 > 509\,800\), weil in \(509\,080\) eine \(8\) an der Zehnerstelle steht.“ Prüfe die Behauptung. a) Welche Stelle entscheidet den Vergleich? b) Setze das richtige Vergleichszeichen ein. c) Erkläre kurz, warum Mikas Begründung nicht stimmt.

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen von links nach rechts. - Suche die erste Stelle, an der verschiedene Ziffern stehen. - Eine weiter rechts liegende Stelle kann den Vergleich danach nicht mehr umdrehen.

Lösung

1. Von links stimmen Hunderttausender, Zehntausender und Tausender überein. 2. Die erste unterschiedliche Stelle ist die Hunderterstelle. 3. Bei \(509\,080\) steht dort \(0\), bei \(509\,800\) steht dort \(8\). 4. Daher gilt \(509\,080 < 509\,800\). 5. Die Zehnerstelle entscheidet nicht mehr, weil der Vergleich schon an der Hunderterstelle entschieden ist.

Antwort

a) Hunderterstelle b) \(509\,080 < 509\,800\) c) Die Hunderterstelle unterscheidet sich zuerst. Dort gilt \(0 < 8\); deshalb ist die Zehnerstelle für den Vergleich nicht mehr entscheidend.
4163794
Ordne diese fünf Zahlen: \(450\,300\), \(405\,030\), \(450\,003\), \(405\,300\), \(540\,003\) a) Beginne mit der kleinsten Zahl und verwende das Zeichen \(<\). b) Welche dieser Zahlen liegt am nächsten an \(450\,000\)?

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts. - Beginne bei der Hunderttausenderstelle und gehe nur so weit nach rechts wie nötig. - Für Teil b) bestimme jeweils die positive Differenz zu \(450\,000\).

Lösung

1. Beim Stellenwertvergleich ergibt sich \(405\,030 < 405\,300 < 450\,003 < 450\,300 < 540\,003\). 2. Die Abstände zu \(450\,000\) betragen: für \(450\,003\) genau \(3\), für \(450\,300\) genau \(300\), für \(405\,300\) genau \(44\,700\), für \(405\,030\) genau \(44\,970\) und für \(540\,003\) genau \(90\,003\). 3. Der kleinste Abstand ist \(3\). Daher liegt \(450\,003\) am nächsten an \(450\,000\).

Antwort

a) \(405\,030 < 405\,300 < 450\,003 < 450\,300 < 540\,003\) b) \(450\,003\)
4164904
Hier sind sechs erfundene Einwohnerzahlen: <table><tr><td>Bochum</td><td>\(363\,441\)</td><td>Wuppertal</td><td>\(354\,572\)</td></tr><tr><td>Bielefeld</td><td>\(334\,002\)</td><td>Bonn</td><td>\(331\,285\)</td></tr><tr><td>Münster</td><td>\(317\,713\)</td><td>Karlsruhe</td><td>\(309\,964\)</td></tr></table> a) Ordne die Städte nach dem zugeordneten Wert. Beginne mit dem größten Wert. b) Berechne den Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert aus der Tabelle.

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen von links nach rechts und suche jeweils die erste unterschiedliche Stelle. - Beginne mit dem größten Wert und ordne danach die übrigen Werte absteigend ein. - Für den Unterschied brauchst du den größten und den kleinsten Wert der Tabelle.

Lösung

1. Der Stellenwertvergleich ergibt \(363\,441 > 354\,572 > 334\,002 > 331\,285 > 317\,713 > 309\,964\). Dazu gehören der Reihe nach Bochum, Wuppertal, Bielefeld, Bonn, Münster und Karlsruhe. 2. Der Unterschied zwischen größtem und kleinstem Wert ist \(363\,441 - 309\,964 = 53\,477\).

Antwort

a) Bochum, Wuppertal, Bielefeld, Bonn, Münster, Karlsruhe b) \(53\,477\)
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Ordne die Zahlen \(740\,000\), \(320\,000\), \(960\,000\) und \(580\,000\). a) Ordne die vier Zahlen von klein nach groß. b) Erkläre, warum die Reihenfolge gleich bleibt, wenn jede Zahl halbiert wird. c) Schreibe deshalb die vier Halbierungsaufgaben in derselben Größenreihenfolge auf, ohne zuerst alle vier Ergebnisse auszurechnen. Berechne anschließend nur die kleinste und die größte Hälfte zur Kontrolle.

Denkanstöße

- Ordne zunächst nur die gegebenen Ausgangszahlen. - Vergleiche zwei verschieden große Zahlen und überlege, was mit beiden passiert, wenn du sie halbierst. - Nutze diese Beziehung für die Reihenfolge der Halbierungsaufgaben und rechne erst danach die beiden Randwerte aus.

Lösung

1. Die Ausgangszahlen geordnet lauten \(320\,000 < 580\,000 < 740\,000 < 960\,000\). 2. Beim Halbieren wird jede Zahl auf dieselbe Weise verkleinert. Ist eine Zahl vorher kleiner als eine andere, bleibt auch ihre Hälfte kleiner. 3. Daher gilt schon vor dem vollständigen Ausrechnen \(320\,000 : 2 < 580\,000 : 2 < 740\,000 : 2 < 960\,000 : 2\). 4. Zur Kontrolle sind die Randwerte \(320\,000 : 2 = 160\,000\) und \(960\,000 : 2 = 480\,000\).

Antwort

a) \(320\,000 < 580\,000 < 740\,000 < 960\,000\) b) Wenn alle Zahlen halbiert werden, bleibt ihre Reihenfolge erhalten: Die Hälfte der kleineren Zahl ist weiterhin kleiner als die Hälfte der größeren Zahl. c) \(320\,000 : 2 < 580\,000 : 2 < 740\,000 : 2 < 960\,000 : 2\); kleinste Hälfte: \(160\,000\), größte Hälfte: \(480\,000\)
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Im Stadion Sonnenpark waren im letzten Jahr insgesamt \(545\,000\) Fans. Ergänze die Sätze: Das sind \(\square\) mehr als eine halbe Million. Das sind \(\square\) weniger als \(600\,000\).

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff „eine halbe Million“ als Zahl geschrieben? - Du kannst die Aufgabe lösen, indem du die Differenz zwischen den Zahlen berechnest. - Achte auf die Stellenwerte der Ziffern beim Rechnen.

Lösung

1. Bestimmung des Wertes einer halben Million: \(500\,000\). 2. Berechnung der Differenz zur halben Million: \(545\,000 - 500\,000 = 45\,000\). 3. Berechnung der Differenz zu \(600\,000\): \(600\,000 - 545\,000 = 55\,000\).

Antwort

Das sind \(45\,000\) mehr als eine halbe Million. Das sind \(55\,000\) weniger als \(600\,000\).
4199594
Vergleiche die beiden Zahlenpaare. Schreibe die Zahlen dazu zuerst mit Ziffern auf und setze dann das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) achthunderttausendzwölf \(\_\_\_\) achthundertzwölftausend b) dreihundertviertausendfünfhundert \(\_\_\_\) dreihundertviertausendfünfzig

Denkanstöße

- Schreibe dir die Zahlen untereinander auf, damit du die Stellenwerte (wie Zehner oder Tausender) besser vergleichen kannst. - Achte genau darauf, wo die „Nullen“ als Platzhalter in der Ziffernschreibweise stehen müssen. - Lies die Wörter laut und langsam, um keinen Teil der Zahl zu übersehen.

Lösung

1. Umwandlung von a): „achthunderttausendzwölf“ entspricht \(800\,012\). „achthundertzwölftausend“ entspricht \(812\,000\). 2. Vergleich von a): Da \(800\,012\) kleiner ist als \(812\,000\), lautet das Ergebnis \(800\,012 < 812\,000\). 3. Umwandlung von b): „dreihundertviertausendfünfhundert“ entspricht \(304\,500\). „dreihundertviertausendfünfzig“ entspricht \(304\,050\). 4. Vergleich von b): Da \(304\,500\) größer ist als \(304\,050\), lautet das Ergebnis \(304\,500 > 304\,050\).

Antwort

a) \(800\,012 < 812\,000\) b) \(304\,500 > 304\,050\)
4205294
Ordne die vier Zahlen \(67\,804\), \(123\,900\), \(8560\) und \(204\,050\). a) Ordne die Zahlen von der kleinsten zur größten. b) Um wie viel ist die größte Zahl größer als die kleinste? c) Betrachte in deiner geordneten Liste jeweils zwei benachbarte Zahlen. Zwischen welchem benachbarten Paar ist der Abstand am kleinsten?

Denkanstöße

- Ordne die vier Zahlen zuerst nach ihrem Stellenwert. - Für „um wie viel größer“ brauchst du den Abstand zwischen den beiden Zahlen. - Vergleiche in Teil c) nur die Abstände benachbarter Zahlen aus deiner geordneten Liste.

Lösung

1. In aufsteigender Reihenfolge gilt \(8560 < 67\,804 < 123\,900 < 204\,050\). 2. Der Abstand zwischen größter und kleinster Zahl beträgt \(204\,050 - 8560 = 195\,490\). 3. Die Abstände benachbarter Zahlen sind \(67\,804 - 8560 = 59\,244\), \(123\,900 - 67\,804 = 56\,096\) und \(204\,050 - 123\,900 = 80\,150\). 4. Der kleinste dieser Abstände ist \(56\,096\). Er liegt zwischen \(67\,804\) und \(123\,900\).

Antwort

a) \(8560 < 67\,804 < 123\,900 < 204\,050\) b) \(195\,490\) c) Zwischen \(67\,804\) und \(123\,900\); der Abstand beträgt \(56\,096\).
5524824
Die Markierungen A, B und C liegen um \(500\,000\) herum. a) Welche zwei markierten Zahlen haben denselben Abstand zu \(500\,000\)? Begründe zuerst mit ihrer Lage am Zahlenstrahl und kontrolliere dann durch Rechnung. b) Welche Markierung liegt am nächsten bei \(500\,000\)? Gib auch diesen Abstand an.
Abbildung zur Aufgabe 552482

Denkanstöße

- Suche zuerst die Markierungen, die gleich weit links und rechts von \(500\,000\) liegen. - Nutze die gleich großen Schritte auf dem Zahlenstrahl, bevor du die Abstände ausrechnest. - Rechne die Abstände anschließend nach und vergleiche sie.

Lösung

1. A liegt bei \(480\,000\) und B bei \(520\,000\). Beide liegen gleich weit von \(500\,000\) entfernt, A links und B rechts. 2. Beide Abstände betragen \(20\,000\): \(500\,000 - 480\,000 = 20\,000\) und \(520\,000 - 500\,000 = 20\,000\). 3. C liegt bei \(510\,000\). Sein Abstand zu \(500\,000\) beträgt \(10\,000\). 4. Damit liegt C am nächsten bei \(500\,000\).

Antwort

a) A und B haben denselben Abstand von jeweils \(20\,000\) zu \(500\,000\). b) C liegt mit einem Abstand von \(10\,000\) am nächsten bei \(500\,000\).

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