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Zahlen ordnen und vergleichen

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Schwierigkeit: 1 – 5

4100254

Welche Zahl hat den geringsten Abstand zu \(90\,000\)? a) \(89\,000\) b) \(89\,800\) c) \(90\,300\) d) \(90\,500\)

Denkanstöße

- Wie weit ist jede Zahl von \(90\,000\) entfernt? - Kannst du den Unterschied zwischen zwei Zahlen berechnen? - Was bedeutet „geringster Abstand“ in diesem Fall?

Lösung

1. Berechnung der Abstände zu \(90\,000\): a) \(|90\,000 - 89\,000| = 1000\) b) \(|90\,000 - 89\,800| = 200\) c) \(|90\,300 - 90\,000| = 300\) d) \(|90\,500 - 90\,000| = 500\) 2. Vergleich der Differenzen: \(200\) ist der kleinste Wert. 3. Ergebnis: \(89\,800\) liegt am nächsten an \(90\,000\).

Antwort

b) \(89\,800\)

4100284

Die kleinste von den gegebenen Zahlen ist a) \(217\,213\) b) \(341\,231\) c) \(89\,679\) d) \(91\,312\)

Denkanstöße

- Wie viele Stellen haben die einzelnen Zahlen? - Worauf achtest du zuerst, wenn du zwei Zahlen vergleichst? - Kannst du die Zahlen der Größe nach ordnen?

Lösung

1. Vergleichen der Anzahl der Stellen: \(89\,679\) und \(91\,312\) haben 5 Stellen, \(217\,213\) und \(341\,231\) haben 6 Stellen. 2. Vergleich der 5-stelligen Zahlen: Bei \(89\,679\) ist die Zehntausenderstelle eine 8, bei \(91\,312\) eine 9. 3. Ergebnis: \(89\,679\) ist die kleinste Zahl.

Antwort

c) \(89\,679\)

4165144

An einer Zählstelle für Radfahrer springt die Anzeige gerade auf die Zahl \(600\,000\). a) Welche Zahl wurde unmittelbar davor auf dem Display angezeigt? b) Welche Zahl wird als Nächstes angezeigt, wenn noch ein Radfahrer vorbeifährt?

Denkanstöße

- Überlege, was passiert, wenn du von einer Zahl mit vielen Nullen eins abziehst. - Welche Ziffer ändert sich, wenn du eins dazuzählst?

Lösung

1. Berechnung des direkten Vorgängers durch Subtraktion von \(1\): \(600\,000 - 1 = 599\,999\). 2. Berechnung des direkten Nachfolgers durch Addition von \(1\): \(600\,000 + 1 = 600\,001\).

Antwort

a) \(599\,999\) b) \(600\,001\)

5524804

a) Lies die markierte Zahl A am Zahlenstrahl ab. b) Setze das passende Vergleichszeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein: \(200\,000\;\square\;A\). c) Setze das passende Vergleichszeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein: \(A\;\square\;250\,000\).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, wie groß der Abstand zwischen zwei benachbarten kleinen Strichen ist. - Orientiere dich an den beschrifteten Marken links und rechts von A. - Wenn du A abgelesen hast, vergleiche die drei Zahlen nach ihrer Lage von links nach rechts.

Lösung

1. Zwischen \(200\,000\) und \(250\,000\) liegen fünf gleich große Schritte zu je \(10\,000\). 2. A liegt beim dritten Schritt nach \(200\,000\): \(200\,000 + 30\,000 = 230\,000\). 3. Daher gilt \(200\,000 < 230\,000\) und \(230\,000 < 250\,000\).

Antwort

a) A markiert die Zahl \(230\,000\). b) \(200\,000 < A\) c) \(A < 250\,000\)

4163814

Welche Ziffer muss jeweils in das Kästchen eingesetzt werden, damit die Aussage wahr ist? a) \(345\,\square 20 < 345\,100\) b) \(8\square 9\,000 > 889\,000\) c) \(589\,999 < 5\square 9\,999 < 600\,000\) d) \(481\,000 < 48\square\,500 < 482\,000\)

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen von links nach rechts und suche die erste Stelle, an der sie sich unterscheiden können. - Bei einer Doppelungleichung muss die eingesetzte Ziffer beide Grenzen gleichzeitig erfüllen. - Setze deine Ziffer anschließend ein und lies die vollständige Aussage noch einmal.

Lösung

1. Bei a) sind die ersten drei Stellen gleich. Für die Hunderterstelle muss \(0\) eingesetzt werden, denn \(345\,020 < 345\,100\); jede größere Ziffer würde die linke Zahl zu groß machen. 2. Bei b) muss die Zehntausenderziffer größer als \(8\) sein. Nur \(9\) ist möglich, also \(899\,000 > 889\,000\). 3. Bei c) muss die Zahl größer als \(589\,999\), aber kleiner als \(600\,000\) sein. Nur \(599\,999\) passt, also ist die gesuchte Ziffer \(9\). 4. Bei d) muss die Zahl zwischen \(481\,000\) und \(482\,000\) liegen. \(481\,500\) erfüllt beide Ungleichungen, daher ist die gesuchte Ziffer \(1\).

Antwort

a) \(0\) b) \(9\) c) \(9\) d) \(1\)

4164194

Vergleiche die Zahlenpaare und setze die Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) passend ein. a) \(302 \dots 320\) und \(302\,000 \dots 320\,000\) b) \(740 \dots 470\) und \(740\,000 \dots 470\,000\) c) \(855 \dots 855\) und \(855\,000 \dots 855\,000\) Was stellst du bei den Vergleichszeichen in den beiden Spalten fest? Erkläre kurz.

Denkanstöße

- Vergleiche bei jedem Paar zuerst die höchste Stelle, an der sich die Zahlen unterscheiden. - Welche Beziehung besteht zwischen einer dreistelligen Zahl und der entsprechenden Zahl mit drei zusätzlichen Nullen? - Prüfe, ob sich das Vergleichszeichen ändert, wenn beide Zahlen auf dieselbe Weise vergrößert werden.

Lösung

1. Die dreistelligen Zahlen ergeben \(302 < 320\), \(740 > 470\) und \(855 = 855\). 2. Bei den entsprechenden sechsstelligen Zahlen gilt \(302\,000 < 320\,000\), \(740\,000 > 470\,000\) und \(855\,000 = 855\,000\). 3. In jeder Zeile bleibt das Vergleichszeichen gleich. 4. Beide Zahlen eines Paares wurden jeweils mit \(1000\) multipliziert. Dadurch ändert sich ihre Reihenfolge nicht.

Antwort

a) \(302 < 320\) und \(302\,000 < 320\,000\) b) \(740 > 470\) und \(740\,000 > 470\,000\) c) \(855 = 855\) und \(855\,000 = 855\,000\) Feststellung: In jeder Zeile bleibt das Vergleichszeichen gleich. Werden beide Zahlen mit \(1000\) multipliziert, bleibt ihre Reihenfolge erhalten.

4164204

Stell dir vor, du hast drei Ziffernkärtchen: \(0\), \(3\) und \(5\). a) Bilde aus diesen Kärtchen die kleinste und die größte dreistellige Zahl (die \(0\) darf nicht vorne stehen). Vergleiche sie mit \(<\). b) Multipliziere beide Zahlen mit \(1000\). Wie heißen die neuen Zahlen? Vergleiche sie ebenfalls. c) Hat sich die Rangfolge der Zahlen durch das Multiplizieren verändert? Begründe deine Antwort.

Denkanstöße

- Denk daran, dass eine dreistellige Zahl nicht mit einer Null beginnen kann. - Wie gehst du vor, um die größtmögliche Zahl aus gegebenen Ziffern zu bauen? - Vergleiche die Stellenwerte: Wenn \(3\) Hunderter weniger sind als \(5\) Hunderter, wie verhalten sich dann \(3\) Hunderttausender zu \(5\) Hunderttausendern?

Lösung

1. Kleinste dreistellige Zahl aus \(0, 3, 5\) ist \(305\). Größte Zahl ist \(530\). Vergleich: \(305 < 530\). 2. Multiplikation mit \(1000\): \(305 \cdot 1000 = 305\,000\) und \(530 \cdot 1000 = 530\,000\). 3. Vergleich der großen Zahlen: \(305\,000 < 530\,000\). 4. Begründung: Die Rangfolge hat sich nicht geändert. Da beide Werte im gleichen Verhältnis (Faktor \(1000\)) vergrößert wurden, bleibt die linke Zahl weiterhin die kleinere.

Antwort

a) \(305 < 530\) b) \(305\,000 < 530\,000\) c) Nein, die Rangfolge bleibt gleich, weil beide Zahlen um denselben Faktor (\(1000\)) vergrößert wurden.

4164914

In vier verschiedenen Zoos wurden im letzten Jahr die Besucher gezählt: Zoo Birkenhain: \(506\,780\) Besucher Tierpark Sonnenfels: \(560\,870\) Besucher Zoo Flussgarten: \(506\,870\) Besucher Tiergarten Eichenhöhe: \(560\,780\) Besucher a) Vergleiche die Besucherzahlen von Zoo Birkenhain und Zoo Flussgarten. Setze \(<\) oder \(>\) ein. b) Vergleiche die Besucherzahlen von Tierpark Sonnenfels und Tiergarten Eichenhöhe. Setze \(<\) oder \(>\) ein. c) Ordne alle vier Besucherzahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl und verwende das Zeichen \(<\).

Denkanstöße

- Achte genau darauf, an welcher Stelle sich die Ziffern unterscheiden. - Vergleiche zuerst die Tausenderzahlen. - Was ist mehr: \(800\) oder \(700\)?

Lösung

1. Vergleich Zoo Birkenhain und Zoo Flussgarten: Die ersten drei Stellen (\(506\)) sind gleich. An der Hunderterstelle hat Zoo Flussgarten eine \(8\) und Zoo Birkenhain eine \(7\), daher gilt: \(506\,780 < 506\,870\). 2. Vergleich Tierpark Sonnenfels und Tiergarten Eichenhöhe: Die ersten drei Stellen (\(560\)) sind gleich. An der Hunderterstelle hat Tierpark Sonnenfels eine \(8\) und Tiergarten Eichenhöhe eine \(7\), daher gilt: \(560\,870 > 560\,780\). 3. Gesamte Ordnung: Durch Vergleich der Zehntausenderstellen (\(0\) gegen \(6\)) und anschließend der Hunderterstellen ergibt sich: \(506\,780 < 506\,870 < 560\,780 < 560\,870\).

Antwort

a) \(506\,780 < 506\,870\) b) \(560\,870 > 560\,780\) c) \(506\,780 < 506\,870 < 560\,780 < 560\,870\)

4164924

Eine Fabrik hat in vier aufeinanderfolgenden Jahren unterschiedlich viele Fahrräder hergestellt: Jahr 1: \(243\,650\) Stück Jahr 2: \(234\,560\) Stück Jahr 3: \(243\,560\) Stück Jahr 4: \(234\,650\) Stück Ordne diese Produktionszahlen der Größe nach. Beginne mit der größten Zahl und verwende das Zeichen \(>\).

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen von links nach rechts und beginne bei der höchsten Stelle. - Sobald du die erste unterschiedliche Ziffer findest, ist die Reihenfolge dieses Zahlenpaars entschieden. - Wenn die ersten drei Ziffern gleich sind, hilft dir die Hunderterstelle weiter.

Lösung

1. Zuerst werden die Zahlen in Gruppen mit gleichen Zehntausender- und Tausenderstellen eingeteilt: Die \(243\,000\)er-Zahlen sind größer als die \(234\,000\)er-Zahlen. 2. Innerhalb der Gruppen erfolgt der Vergleich über die Hunderterstelle: \(243\,650 > 243\,560\) und \(234\,650 > 234\,560\). 3. Die vollständige Kette lautet somit: \(243\,650 > 243\,560 > 234\,650 > 234\,560\).

Antwort

\(243\,650 > 243\,560 > 234\,650 > 234\,560\)

4165164

Beantworte die Fragen zu den Grenzen im Zahlenraum bis \(1\,000\,000\). a) Wie heißt der direkte Vorgänger der kleinsten sechsstelligen Zahl? b) Wie heißt der direkte Nachfolger der größten sechsstelligen Zahl?

Denkanstöße

- Wie viele Stellen hat die kleinste sechsstellige Zahl und wie lautet sie? - Was ist die größte Zahl, die du mit genau sechs Stellen schreiben kannst? - Denke an den Übergang zwischen fünfstelligen, sechsstelligen und siebenstelligen Zahlen.

Lösung

1. Identifikation der kleinsten sechsstelligen Zahl: \(100\,000\). 2. Bestimmung des Vorgängers: \(100\,000 - 1 = 99\,999\). 3. Identifikation der größten sechsstelligen Zahl: \(999\,999\). 4. Bestimmung des Nachfolgers: \(999\,999 + 1 = 1\,000\,000\).

Antwort

a) \(99\,999\) b) \(1\,000\,000\)

4165794

Finde die Zahl, die den gleichen Abstand zu beiden Werten eines Paares hat. a) \(120\,000\) und \(140\,000\) b) \(120\,000\) und \(130\,000\) c) \(122\,000\) und \(124\,000\)

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den gesamten Abstand zwischen den beiden gegebenen Zahlen. - Die gesuchte Zahl soll zu beiden Endwerten denselben Abstand haben. Wie müssen sich deshalb die beiden Teilabstände zueinander verhalten? - Prüfe deine Zahl, indem du beide Abstände getrennt berechnest.

Lösung

1. Bei a) beträgt der Abstand der gegebenen Zahlen \(20\,000\). Gleiche Abstände auf beiden Seiten sind jeweils \(10\,000\), also ist die gesuchte Zahl \(130\,000\). 2. Bei b) beträgt der Gesamtabstand \(10\,000\). Zwei gleiche Teilabstände sind jeweils \(5000\), daher ist die gesuchte Zahl \(125\,000\). 3. Bei c) beträgt der Gesamtabstand \(2000\). Zwei gleiche Teilabstände sind jeweils \(1000\), daher ist die gesuchte Zahl \(123\,000\).

Antwort

a) \(130\,000\) b) \(125\,000\) c) \(123\,000\)

4166344

In der Tabelle siehst du die Anzahl der verkauften Eintrittskarten eines Freizeitparks in zwei verschiedenen Jahren. <table> <tr> <th>Freizeitpark</th> <th>Jahr 2022</th> <th>Jahr 2023</th> </tr> <tr> <td>Bärenpark</td> <td>\(456\,780\)</td> <td>\(461\,200\)</td> </tr> <tr> <td>Wasserwelt</td> <td>\(890\,120\)</td> <td>\(887\,500\)</td> </tr> <tr> <td>Ritterburg</td> <td>\(123\,450\)</td> <td>\(125\,000\)</td> </tr> </table> a) Bei welchen Parks sind die Verkaufszahlen gestiegen? b) Bei welchem Park sind die Verkaufszahlen gesunken?

Denkanstöße

- Schau dir die Ziffern von links nach rechts an, um zu entscheiden, welche Zahl größer ist. - Was bedeutet es für die Zahlen, wenn etwas steigt oder sinkt? - Vergleiche für jeden Park die Zahl aus dem Jahr 2022 mit der Zahl aus dem Jahr 2023.

Lösung

1. Vergleich der Zahlen für den Bärenpark: \(461\,200 > 456\,780\), also ein Anstieg. 2. Vergleich der Zahlen für die Wasserwelt: \(887\,500 < 890\,120\), also ein Rückgang. 3. Vergleich der Zahlen für die Ritterburg: \(125\,000 > 123\,450\), also ein Anstieg.

Antwort

a) Die Verkaufszahlen sind beim Bärenpark und bei der Ritterburg gestiegen. b) Die Verkaufszahlen sind bei der Wasserwelt gesunken.

4166354

Ein Naturschutzbund zählt jedes Jahr die Anzahl der Zugvögel in einem Gebiet. Jahr 2021: \(345\,900\) Vögel Jahr 2022: \(342\,100\) Vögel Jahr 2023: \(339\,850\) Vögel Beschreibe die Entwicklung der Zahlen über die drei Jahre. Steigen die Zahlen oder fallen sie? Begründe deine Antwort durch einen Vergleich der Zahlen.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst die Zahlen von 2021 und 2022. - Vergleiche dann die Zahlen von 2022 und 2023. - Passiert in beiden Schritten das Gleiche?

Lösung

1. Vergleich der ersten beiden Jahre: \(342\,100 < 345\,900\), die Zahl ist gesunken. 2. Vergleich der letzten beiden Jahre: \(339\,850 < 342\,100\), die Zahl ist erneut gesunken. 3. Gesamtfeststellung: Da die Zahlen von Jahr zu Jahr kleiner werden, fallen die Zahlen kontinuierlich.

Antwort

Die Zahlen fallen. Begründung: Es gilt \(345\,900 > 342\,100 > 339\,850\). Die Anzahl der Vögel wird also jedes Jahr kleiner.

4166364

In einer Region wurde die Menge des recycelten Abfalls in Tonnen (\(\text{t}\)) gemessen. <table> <tr> <th>Abfallart</th> <th>2021</th> <th>2022</th> <th>2023</th> </tr> <tr> <td>Altpapier</td> <td>\(789\,400\,\text{t}\)</td> <td>\(785\,200\,\text{t}\)</td> <td>\(780\,100\,\text{t}\)</td> </tr> <tr> <td>Kunststoff</td> <td>\(345\,600\,\text{t}\)</td> <td>\(350\,000\,\text{t}\)</td> <td>\(355\,200\,\text{t}\)</td> </tr> <tr> <td>Altglas</td> <td>\(120\,800\,\text{t}\)</td> <td>\(125\,400\,\text{t}\)</td> <td>\(122\,000\,\text{t}\)</td> </tr> </table> a) Bei welcher Abfallart steigen die Zahlen in jedem Jahr an? b) Bei welcher Abfallart fallen die Zahlen in jedem Jahr? c) Bei welcher Abfallart steigen die Zahlen erst und fallen dann wieder?

Denkanstöße

- Gehe jede Zeile der Tabelle einzeln durch. - Vergleiche die Zahl von 2021 mit 2022 und dann die von 2022 mit 2023. - Achte genau auf die Fragestellung: Suchst du nach einem dauerhaften Anstieg, einem dauerhaften Abfall oder einer Änderung der Richtung?

Lösung

1. Analyse Altpapier: \(789\,400 > 785\,200 > 780\,100\). Die Zahlen fallen stetig. 2. Analyse Kunststoff: \(345\,600 < 350\,000 < 355\,200\). Die Zahlen steigen stetig. 3. Analyse Altglas: \(120\,800 < 125\,400\), aber \(125\,400 > 122\,000\). Die Zahlen steigen erst und fallen dann.

Antwort

a) Bei Kunststoff steigen die Zahlen in jedem Jahr an. b) Bei Altpapier fallen die Zahlen in jedem Jahr. c) Bei Altglas steigen die Zahlen erst an (von 2021 auf 2022) und fallen dann wieder (von 2022 auf 2023).

4168294

In einer Region leben \(320\,000\) Menschen. Ergänze die fehlenden Angaben: Es sind \(?\) mehr als \(300\,000\). Es sind \(?\) weniger als \(400\,000\).

Denkanstöße

- Stelle dir die Zahlen am Zahlenstrahl vor. - Wie viel musst du zur kleineren Zahl addieren, um die größere Zahl zu erhalten? - Überlege dir, wie groß der Schritt von einem Hunderttausender zum nächsten ist.

Lösung

1. Berechnung des Unterschieds zu \(300\,000\): \(320\,000 - 300\,000 = 20\,000\). 2. Berechnung des Unterschieds zu \(400\,000\): \(400\,000 - 320\,000 = 80\,000\).

Antwort

Es sind \(20\,000\) mehr als \(300\,000\). Es sind \(80\,000\) weniger als \(400\,000\).

5524814

Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen A, B und C markiert. a) Lies die drei Zahlen ab. b) Ordne A, B und C der Größe nach, beginnend mit der kleinsten Zahl. c) Welche markierte Zahl liegt zwischen \(440\,000\) und \(460\,000\)?

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Schritts am Zahlenstrahl. - Lies die Markierungen von links nach rechts und notiere ihre Werte. - Für das Intervall in Teil c) prüfst du, welche gelesene Zahl beide Grenzbedingungen erfüllt.

Lösung

1. Die kleinen Schritte haben den Abstand \(10\,000\). Daher gilt \(A = 430\,000\), \(B = 470\,000\) und \(C = 450\,000\). 2. Von links nach rechts steigen die Zahlen. Deshalb ist \(430\,000 < 450\,000 < 470\,000\), also \(A < C < B\). 3. Nur \(450\,000\) liegt zwischen \(440\,000\) und \(460\,000\). Das ist C.

Antwort

a) \(A = 430\,000\), \(B = 470\,000\), \(C = 450\,000\) b) \(A < C < B\) c) C

5539544

Lies die drei markierten Zahlen A, B und C am Zahlenstrahl ab. a) Welche Zahlen sind markiert? b) Ordne A, B und C der Größe nach und beginne mit der kleinsten Zahl. c) Welche Markierung liegt am nächsten bei \(370\,000\)? Begründe mit dem Abstand.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Teilstrich-Abstands. - Lies jede Markierung unabhängig ab, bevor du sie ordnest. - Für c) vergleiche die Abstände der drei Werte zum gegebenen Bezugspunkt.

Lösung

1. Die Markierungen liegen bei A \(= 355\,000\), B \(= 380\,000\) und C \(= 395\,000\). 2. Daher gilt \(355\,000 < 380\,000 < 395\,000\), also A \(<\) B \(<\) C. 3. Die Abstände zu \(370\,000\) betragen für A \(15\,000\), für B \(10\,000\) und für C \(25\,000\). B liegt damit am nächsten.

Antwort

a) A: \(355\,000\); B: \(380\,000\); C: \(395\,000\) b) A \(<\) B \(<\) C c) B; Abstand: \(10\,000\)

4163794

Gegeben sind die folgenden fünf Zahlen: \(450\,300\), \(405\,030\), \(450\,003\), \(405\,300\), \(540\,003\) a) Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl und verwende das Zeichen \(<\). b) Welche dieser Zahlen liegt am nächsten an der Zahl \(450\,000\)?

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts. - Schau dir zuerst die Hunderttausenderstelle an, dann die Zehntausenderstelle und so weiter. - Um herauszufinden, welche Zahl am nächsten liegt, kannst du den Unterschied (die Differenz) berechnen.

Lösung

1. Vergleich der Stellenwerte (Hunderttausender, Zehntausender, Tausender usw.): \(405\,030 < 405\,300 < 450\,003 < 450\,300 < 540\,003\) 2. Bestimmung der Abstände zu \(450\,000\): \(|450\,000 - 450\,003| = 3\) \(|450\,000 - 450\,300| = 300\) \(|450\,000 - 405\,300| = 44\,700\) \(|450\,000 - 405\,030| = 44\,970\) \(|540\,003 - 450\,000| = 90\,003\) Der kleinste Abstand beträgt \(3\), daher liegt \(450\,003\) am nächsten.

Antwort

a) \(405\,030 < 405\,300 < 450\,003 < 450\,300 < 540\,003\) b) \(450\,003\)

4163804

Für jede Teilaufgabe sollst du zuerst eine besonders passende Art der Berechnung wählen: im Kopf, halbschriftlich oder schriftlich. Begründe deine Wahl mit der konkreten Zahlenstruktur, berechne dann die nötigen Werte und setze \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. Andere Verfahren sind möglich, wenn du konkret begründest, warum sie für diese Zahlen ebenso zweckmäßig sind. a) \(300\,000 + 40\,000 \square 350\,000 - 5000\) b) \(327\,486 + 148\,729 \square 480\,000\) c) \(720\,000 : 8 \square 90\,000\) d) \(604\,317 - 278\,948 \square 325\,000\)

Denkanstöße

- Schau vor dem Rechnen auf die Zahlenstruktur: Runde Zahlen und bekannte Einmaleins-Beziehungen eignen sich oft für Kopfrechnen. - Bei unübersichtlichen mehrstelligen Additionen oder Subtraktionen kann ein schriftliches Verfahren sinnvoller sein. - Die Wahl des Verfahrens und der anschließende Vergleich sind zwei getrennte Entscheidungen; begründe beides.

Lösung

1. a) Kopfrechnen ist besonders passend, weil beide Seiten aus runden Zahlen bestehen. \(300\,000 + 40\,000 = 340\,000\) und \(350\,000 - 5000 = 345\,000\), also gilt \(<\). 2. b) Eine schriftliche Addition ist eine gut nachvollziehbare Wahl, weil beide Summanden viele von null verschiedene Stellen besitzen. \(327\,486 + 148\,729 = 476\,215\), also gilt \(476\,215 < 480\,000\). 3. c) Kopfrechnen ist besonders passend, weil die bekannte Division \(72 : 8 = 9\) auf die großen Stellenwerte übertragen werden kann. \(720\,000 : 8 = 90\,000\), also gilt \(=\). 4. d) Eine schriftliche Subtraktion ist eine gut nachvollziehbare Wahl, weil beim Subtrahieren über mehrere Stellen entbündelt werden muss. \(604\,317 - 278\,948 = 325\,369\), also gilt \(325\,369 > 325\,000\).

Antwort

a) Zum Beispiel Kopfrechnen, weil beide Seiten aus runden Zahlen bestehen; \(340\,000 < 345\,000\). b) Zum Beispiel schriftlich, weil beide Summanden viele von null verschiedene Stellen besitzen; \(327\,486 + 148\,729 = 476\,215 < 480\,000\). c) Zum Beispiel Kopfrechnen, weil sich \(72 : 8 = 9\) auf die großen Stellenwerte übertragen lässt; \(720\,000 : 8 = 90\,000\). d) Zum Beispiel schriftlich, weil bei der Subtraktion über mehrere Stellen entbündelt werden muss; \(604\,317 - 278\,948 = 325\,369 > 325\,000\). Andere Verfahren sind nur dann gleichwertig, wenn ihre Zweckmäßigkeit anhand der konkreten Zahlenstruktur nachvollziehbar begründet wird.

4164714

Vier Kinder haben für eine Rechnung ein Rechenverfahren gewählt. Beurteile jeweils, ob die Wahl angemessen ist. Wenn nicht, nenne ein passenderes Rechenverfahren. Berechne anschließend das Ergebnis. Du darfst zwischen Kopfrechnen, halbschriftlichem Rechnen und schriftlichem Rechnen wählen. Bei einer nachvollziehbaren Begründung können auch andere angemessene Rechenverfahren gelten. a) Nora will \(500\,000 - 499\,800\) schriftlich rechnen. b) Emil will \(386\,742 + 275\,689\) vollständig im Kopf rechnen. c) Luan will \(720\,000 : 8\) schriftlich rechnen. d) Mira will \(48 \cdot 25\) halbschriftlich rechnen.

Denkanstöße

- Beurteile nicht nur, ob ein Verfahren möglich ist, sondern ob es zur Zahlenstruktur passt und nachvollziehbar bleibt. - Suche nach runden Abständen und übertragbaren Einmaleins-Beziehungen, bevor du ein schriftliches Verfahren wählst. - Bei vielen unregelmäßigen Stellen kann ein schriftliches Verfahren übersichtlicher sein als Kopfrechnen.

Lösung

1. a) Schriftliches Rechnen ist unnötig aufwendig. Kopfrechnen über den Abstand zu \(500\,000\) ist passend: \(500\,000 - 499\,800 = 200\). 2. b) Bei den unübersichtlichen sechsstelligen Summanden ist die schriftliche Addition eine sichere und nachvollziehbare Wahl. Es gilt \(386\,742 + 275\,689 = 662\,431\). 3. c) Die Division lässt sich mit der bekannten Beziehung \(72 : 8 = 9\) gut im Kopf lösen: \(720\,000 : 8 = 90\,000\). Ein schriftliches Verfahren wäre hier unnötig aufwendig. 4. d) Halbschriftliches Rechnen ist angemessen. Zum Beispiel gilt \(48 \cdot 25 = 48 \cdot 100 : 4 = 1200\).

Antwort

a) eher nicht angemessen; zum Beispiel Kopfrechnen; \(200\) b) eher nicht angemessen; zum Beispiel schriftlich; \(662\,431\) c) eher nicht angemessen; zum Beispiel Kopfrechnen; \(90\,000\) d) angemessen; halbschriftlich; \(1200\)

4164904

Für eine Rechenübung sind sechs deutschen Städten folgende fiktive Einwohnerzahlen zugeordnet. <table><tr><td>Bochum</td><td>\(363\,441\)</td><td>Wuppertal</td><td>\(354\,572\)</td></tr><tr><td>Bielefeld</td><td>\(334\,002\)</td><td>Bonn</td><td>\(331\,285\)</td></tr><tr><td>Münster</td><td>\(317\,713\)</td><td>Karlsruhe</td><td>\(309\,964\)</td></tr></table> a) Ordne die Städte nach dem zugeordneten Wert. Beginne mit dem größten Wert. b) Berechne den Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert aus der Tabelle.

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen von links nach rechts und suche jeweils die erste unterschiedliche Stelle. - Beginne mit dem größten Wert und ordne danach die übrigen Werte absteigend ein. - Für den Unterschied brauchst du den größten und den kleinsten Wert der Tabelle.

Lösung

1. Der Stellenwertvergleich ergibt \(363\,441 > 354\,572 > 334\,002 > 331\,285 > 317\,713 > 309\,964\). Dazu gehören der Reihe nach Bochum, Wuppertal, Bielefeld, Bonn, Münster und Karlsruhe. 2. Der Unterschied zwischen größtem und kleinstem Wert ist \(363\,441 - 309\,964 = 53\,477\).

Antwort

a) Bochum, Wuppertal, Bielefeld, Bonn, Münster, Karlsruhe b) \(53\,477\)

4166044

Gegeben sind die Zahlen \(740\,000\), \(320\,000\), \(960\,000\) und \(580\,000\). a) Ordne die vier Ausgangszahlen von klein nach groß. b) Erkläre, warum die Reihenfolge gleich bleibt, wenn jede Zahl halbiert wird. c) Schreibe deshalb die vier Halbierungsaufgaben in derselben Größenreihenfolge auf, ohne zuerst alle vier Ergebnisse auszurechnen. Berechne anschließend nur die kleinste und die größte Hälfte zur Kontrolle.

Denkanstöße

- Ordne zunächst nur die gegebenen Ausgangszahlen. - Überlege, was mit zwei verschieden großen positiven Zahlen passiert, wenn beide durch dieselbe positive Zahl geteilt werden. - Nutze diese Beziehung für die Reihenfolge der Halbierungsaufgaben und rechne erst danach die beiden Randwerte aus.

Lösung

1. Die Ausgangszahlen geordnet lauten \(320\,000 < 580\,000 < 740\,000 < 960\,000\). 2. Alle vier positiven Zahlen werden durch denselben positiven Divisor \(2\) geteilt. Dadurch bleibt ihre Größenreihenfolge erhalten. 3. Daher gilt schon vor dem Ausrechnen \(320\,000 : 2 < 580\,000 : 2 < 740\,000 : 2 < 960\,000 : 2\). 4. Zur Kontrolle sind die Randwerte \(320\,000 : 2 = 160\,000\) und \(960\,000 : 2 = 480\,000\).

Antwort

a) \(320\,000 < 580\,000 < 740\,000 < 960\,000\) b) Das Halbieren aller Zahlen mit demselben positiven Divisor erhält die Reihenfolge. c) \(320\,000 : 2 < 580\,000 : 2 < 740\,000 : 2 < 960\,000 : 2\); kleinste Hälfte: \(160\,000\), größte Hälfte: \(480\,000\)

4168304

Ein großes Stadion wurde im letzten Jahr von \(545\,000\) Fans besucht. Ergänze die Sätze: Das sind \(?\) mehr als eine halbe Million. Das sind \(?\) weniger als \(600\,000\).

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff „eine halbe Million“ als Zahl geschrieben? - Du kannst die Aufgabe lösen, indem du die Differenz zwischen den Zahlen berechnest. - Achte auf die Stellenwerte der Ziffern beim Rechnen.

Lösung

1. Bestimmung des Wertes einer halben Million: \(500\,000\). 2. Berechnung der Differenz zur halben Million: \(545\,000 - 500\,000 = 45\,000\). 3. Berechnung der Differenz zu \(600\,000\): \(600\,000 - 545\,000 = 55\,000\).

Antwort

Das sind \(45\,000\) mehr als eine halbe Million. Das sind \(55\,000\) weniger als \(600\,000\).

4168314

Betrachte die Zahl \(785\,500\). Wie viel mehr ist sie als eine Dreiviertelmillion? Wie viel fehlt ihr noch bis zu \(800\,000\)?

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass eine Million \(1\,000\,000\) ist. Wie viel ist dann ein Viertel oder drei Viertel davon? - Schreibe die Begriffe zuerst als Zahlen auf. - Rechne schrittweise: Wie viel fehlt bis zum nächsten Tausender, Zehntausender und dann zum Hunderttausender?

Lösung

1. Bestimmung des Wertes einer Dreiviertelmillion: \(750\,000\). 2. Berechnung der Differenz: \(785\,500 - 750\,000 = 35\,500\). 3. Berechnung des fehlenden Betrags bis \(800\,000\): \(800\,000 - 785\,500 = 14\,500\).

Antwort

Sie ist \(35\,500\) größer als eine Dreiviertelmillion. Es fehlen noch \(14\,500\) bis zu \(800\,000\).

4170134

Wähle für jede Teilaufgabe ein besonders passendes Vorgehen: ohne das genaue Ergebnis auszurechnen, im Kopf beziehungsweise halbschriftlich oder schriftlich. Begründe deine Wahl jeweils mit der Struktur der Zahlen oder der Rechenoperation und löse die Aufgabe. Andere Verfahren sind möglich, wenn du konkret begründest, warum sie hier ebenso zweckmäßig sind. a) Entscheide: \(240\,000 \cdot 1 \square 240\,000\). b) Berechne \(360\,000 : 4\). c) Berechne \(700\,000 - 199\,999\). d) Berechne \(284\,736 + 197\,845\).

Denkanstöße

- Prüfe zuerst, ob die Rechenoperation allein schon eine Entscheidung erlaubt, ohne das genaue Ergebnis zu bestimmen. - Achte darauf, ob runde Zahlen, bekannte Grundaufgaben oder die Nähe zu einer runden Zahl ein geschicktes Kopf- oder halbschriftliches Verfahren ermöglichen. - Bei unübersichtlichen mehrstelligen Zahlen kann ein schriftliches Verfahren die sicherste Wahl sein; begründe deine Entscheidung mit der konkreten Zahlenstruktur.

Lösung

1. a) Das genaue Ergebnis muss nicht ausgerechnet werden: Multiplikation mit \(1\) verändert eine Zahl nicht. Daher gilt \(=\). 2. b) Kopfrechnen ist besonders passend, weil \(36 : 4 = 9\) auf die großen Stellenwerte übertragen werden kann. Das Ergebnis ist \(90\,000\). 3. c) Halbschriftliches Rechnen mit Ausgleich ist besonders passend: Statt \(199\,999\) kann zunächst \(200\,000\) subtrahiert und anschließend \(1\) ausgeglichen werden. Das Ergebnis ist \(500\,001\). 4. d) Eine schriftliche Addition ist eine gut nachvollziehbare Wahl, weil beide Summanden mehrere von null verschiedene Stellen besitzen und mehrere Überträge auftreten. Das Ergebnis ist \(482\,581\).

Antwort

a) Ohne genaue Rechnung: Multiplikation mit \(1\) verändert die Zahl nicht; \(=\). b) Zum Beispiel Kopfrechnen, weil sich \(36 : 4\) auf die großen Stellenwerte übertragen lässt; \(90\,000\). c) Zum Beispiel halbschriftlich mit Ausgleich, weil \(199\,999\) nahe bei \(200\,000\) liegt; \(500\,001\). d) Zum Beispiel schriftlich, weil beide Summanden mehrere von null verschiedene Stellen besitzen und mehrere Überträge auftreten; \(482\,581\). Andere Verfahren sind nur dann gleichwertig, wenn ihre Zweckmäßigkeit anhand der konkreten Zahlenstruktur nachvollziehbar begründet wird.

4199594

Vergleiche die beiden Zahlenpaare. Schreibe die Zahlen dazu zuerst mit Ziffern auf und setze dann das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) achthunderttausendzwölf \(\_\_\_\) achthundertzwölftausend b) dreihundertviertausendfünfhundert \(\_\_\_\) dreihundertviertausendfünfzig

Denkanstöße

- Schreibe dir die Zahlen untereinander auf, damit du die Stellenwerte (wie Zehner oder Tausender) besser vergleichen kannst. - Achte genau darauf, wo die „Nullen“ als Platzhalter in der Ziffernschreibweise stehen müssen. - Lies die Wörter laut und langsam, um keinen Teil der Zahl zu übersehen.

Lösung

1. Umwandlung von a): „achthunderttausendzwölf“ entspricht \(800\,012\). „achthundertzwölftausend“ entspricht \(812\,000\). 2. Vergleich von a): Da \(800\,012\) kleiner ist als \(812\,000\), lautet das Ergebnis \(800\,012 < 812\,000\). 3. Umwandlung von b): „dreihundertviertausendfünfhundert“ entspricht \(304\,500\). „dreihundertviertausendfünfzig“ entspricht \(304\,050\). 4. Vergleich von b): Da \(304\,500\) größer ist als \(304\,050\), lautet das Ergebnis \(304\,500 > 304\,050\).

Antwort

a) \(800\,012 < 812\,000\) b) \(304\,500 > 304\,050\)

4205294

Gegeben sind diese vier Zahlen: \(67\,804\), \(123\,900\), \(8560\), \(204\,050\). a) Ordne die Zahlen von der kleinsten zur größten. b) Um wie viel ist die größte Zahl größer als die kleinste? c) Vergleiche die größte Zahl mit der Summe der beiden kleinsten Zahlen. Welche ist größer und um wie viel?

Denkanstöße

- Ordne die vier Zahlen zuerst nach ihrem Stellenwert. - Für „um wie viel größer“ brauchst du den Unterschied der beiden verglichenen Werte. - Berechne in Teil c) zuerst die Summe der beiden kleinsten Zahlen und vergleiche erst danach.

Lösung

1. In aufsteigender Reihenfolge gilt \(8560 < 67\,804 < 123\,900 < 204\,050\). 2. Der Unterschied zwischen größter und kleinster Zahl ist \(204\,050 - 8560 = 195\,490\). 3. Die Summe der beiden kleinsten Zahlen ist \(8560 + 67\,804 = 76\,364\). 4. Vergleich mit der größten Zahl: \(204\,050 > 76\,364\). Der Unterschied beträgt \(204\,050 - 76\,364 = 127\,686\).

Antwort

a) \(8560 < 67\,804 < 123\,900 < 204\,050\) b) \(195\,490\) c) Die größte Zahl \(204\,050\) ist um \(127\,686\) größer als die Summe \(76\,364\) der beiden kleinsten Zahlen.

5524824

Die Markierungen A, B und C liegen um \(500\,000\) herum. a) Welche zwei markierten Zahlen haben denselben Abstand zu \(500\,000\)? Begründe zuerst mit ihrer Lage am Zahlenstrahl und kontrolliere dann durch Rechnung. b) Welche Markierung liegt am nächsten bei \(500\,000\)? Gib auch diesen Abstand an.

Denkanstöße

- Suche zuerst die Markierungen, die gleich weit links und rechts vom Bezugspunkt liegen. - Nutze die gleichmäßige Skalierung des Zahlenstrahls, bevor du Differenzen berechnest. - Kontrolliere deine visuelle Einschätzung anschließend mit den Abständen der abgelesenen Zahlen.

Lösung

1. A liegt bei \(480\,000\) und B bei \(520\,000\). Sie liegen symmetrisch links und rechts von \(500\,000\). 2. Beide Abstände betragen \(20\,000\): \(500\,000 - 480\,000 = 20\,000\) und \(520\,000 - 500\,000 = 20\,000\). 3. C liegt bei \(510\,000\). Sein Abstand zu \(500\,000\) beträgt \(10\,000\). 4. Damit liegt C am nächsten bei \(500\,000\).

Antwort

a) A und B haben denselben Abstand von jeweils \(20\,000\) zu \(500\,000\). b) C liegt mit einem Abstand von \(10\,000\) am nächsten bei \(500\,000\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.