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- Überlege, welche Zahl aus der 9er-Reihe am nächsten an der 86 liegt, ohne sie zu überschreiten. - Wie viel fehlt von dieser Zahl noch bis zur 86? - Das Ergebnis sagt dir, wie oft die 9 ganz in die 86 passt.

1. Suche das größte Vielfache von \(9\), das kleiner oder gleich \(86\) ist: \(9 \cdot 9 = 81\). 2. Bestimme den Rest, indem du das Vielfache von der Ausgangszahl abziehst: \(86 - 81 = 5\). 3. Das Ergebnis der Division ist \(9\) mit dem Rest \(5\).

\(9\) Rest \(5\)

- Wie viele Punkte gehören zu einer vollständigen Gruppe? - Zähle die vollständigen Reihen, bevor du den unvollständigen Rest betrachtest. - Welche beiden Angaben entsprechen Quotient und Rest?

1. Das Bild zeigt \(59\) Punkte. 2. \(8\) vollständige Gruppen zu je \(7\) Punkten enthalten \(56\) Punkte. 3. \(3\) Punkte bleiben übrig. Daher \(59:7=8\) Rest \(3\).

Es sind \(8\) vollständige Gruppen und \(3\) übrige Punkte. \(59:7=8\) Rest \(3\).

- Rechne die Aufgaben nacheinander aus und achte darauf, wie sich der Rest verändert. - Was passiert mit dem Rest, wenn die Zahl, die du teilst, um \(1\) größer wird? - Kann ein Rest bei der Division durch \(7\) gleich \(7\) oder größer sein?

1. Die Divisionen ergeben der Reihe nach \(6\) Rest \(0\), \(6\) Rest \(1\), \(6\) Rest \(2\), \(6\) Rest \(3\), \(6\) Rest \(4\), \(6\) Rest \(5\), \(6\) Rest \(6\) und \(7\) Rest \(0\). 2. Damit kommen die Reste \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) und \(6\) vor. 3. Der größte mögliche Rest ist \(6\), weil ein Rest immer kleiner als der Teiler \(7\) sein muss.

a) \(42 : 7 = 6\) Rest \(0\) b) \(43 : 7 = 6\) Rest \(1\) c) \(44 : 7 = 6\) Rest \(2\) d) \(45 : 7 = 6\) Rest \(3\) e) \(46 : 7 = 6\) Rest \(4\) f) \(47 : 7 = 6\) Rest \(5\) g) \(48 : 7 = 6\) Rest \(6\) h) \(49 : 7 = 7\) Rest \(0\) i) Es kommen die Reste \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) und \(6\) vor. j) Der größte mögliche Rest ist \(6\), weil der Rest kleiner als \(7\) sein muss.

- Überlege dir zuerst, welche Zahl aus der passenden Einmaleins-Reihe am nächsten an der gesuchten Zahl liegt, aber kleiner ist als sie. - Wie viel fehlt von dieser Zahl aus der Einmaleins-Reihe noch bis zur ursprünglichen Zahl? Das ist dein Rest. - Der Rest muss immer kleiner sein als die Zahl, durch die du teilst.

1. Für \(38 : 5\): Die nächstkleinere Zahl in der 5er-Reihe ist \(35\). \(35 : 5 = 7\). Der Rest ist \(38 - 35 = 3\). Ergebnis: \(7 \text{ Rest } 3\). 2. Für \(47 : 6\): Die nächstkleinere Zahl in der 6er-Reihe ist \(42\). \(42 : 6 = 7\). Der Rest ist \(47 - 42 = 5\). Ergebnis: \(7 \text{ Rest } 5\). 3. Für \(60 : 7\): Die nächstkleinere Zahl in der 7er-Reihe ist \(56\). \(56 : 7 = 8\). Der Rest ist \(60 - 56 = 4\). Ergebnis: \(8 \text{ Rest } 4\). 4. Für \(29 : 4\): Die nächstkleinere Zahl in der 4er-Reihe ist \(28\). \(28 : 4 = 7\). Der Rest ist \(29 - 28 = 1\). Ergebnis: \(7 \text{ Rest } 1\). 5. Für \(85 : 9\): Die nächstkleinere Zahl in der 9er-Reihe ist \(81\). \(81 : 9 = 9\). Der Rest ist \(85 - 81 = 4\). Ergebnis: \(9 \text{ Rest } 4\).

a) \(7 \text{ Rest } 3\) b) \(7 \text{ Rest } 5\) c) \(8 \text{ Rest } 4\) d) \(7 \text{ Rest } 1\) e) \(9 \text{ Rest } 4\)

- Suche zuerst die größte Zahl aus der passenden Einmaleins-Reihe, die noch kleiner ist als deine Zahl. - Wie viel fehlt von dieser Zahl noch bis zu deiner Ausgangszahl? Das ist der Rest. - Der Rest muss immer kleiner sein als die Zahl, durch die du teilst.

1. Berechnung von \(14 : 3\): Die größte Zahl aus der Dreierreihe, die kleiner als \(14\) ist, ist \(12\) (\(4 \cdot 3\)). Der Rest ist \(14 - 12 = 2\). Ergebnis: \(4\) Rest \(2\). 2. Berechnung von \(22 : 4\): Die größte Zahl aus der Viererreihe unter \(22\) ist \(20\) (\(5 \cdot 4\)). Der Rest ist \(22 - 20 = 2\). Ergebnis: \(5\) Rest \(2\). 3. Berechnung von \(31 : 5\): Die größte Zahl aus der Fünferreihe unter \(31\) ist \(30\) (\(6 \cdot 5\)). Der Rest ist \(31 - 30 = 1\). Ergebnis: \(6\) Rest \(1\). 4. Berechnung von \(43 : 6\): Die größte Zahl aus der Sechserreihe unter \(43\) ist \(42\) (\(7 \cdot 6\)). Der Rest ist \(43 - 42 = 1\). Ergebnis: \(7\) Rest \(1\). 5. Berechnung von \(52 : 7\): Die größte Zahl aus der Siebenerreihe unter \(52\) ist \(49\) (\(7 \cdot 7\)). Der Rest ist \(52 - 49 = 3\). Ergebnis: \(7\) Rest \(3\).

a) \(4\) Rest \(2\) b) \(5\) Rest \(2\) c) \(6\) Rest \(1\) d) \(7\) Rest \(1\) e) \(7\) Rest \(3\)

- Rechne zuerst alle Aufgaben aus und notiere dir jeweils den Rest. - Vergleiche am Ende deine Ergebnisse: Bei welchen Rechnungen steht hinter dem Wort „Rest“ die gleiche Zahl? - Überprüfe dein Ergebnis mit der Umkehraufgabe, zum Beispiel: \((\text{Ergebnis} \cdot \text{Teiler}) + \text{Rest} = \text{Anfangszahl}\).

1. Berechnung der Aufgaben: a) \(20 : 9 = 2\) Rest \(2\) (da \(2 \cdot 9 = 18\)) b) \(38 : 4 = 9\) Rest \(2\) (da \(9 \cdot 4 = 36\)) c) \(50 : 6 = 8\) Rest \(2\) (da \(8 \cdot 6 = 48\)) d) \(65 : 7 = 9\) Rest \(2\) (da \(9 \cdot 7 = 63\)) e) \(75 : 8 = 9\) Rest \(3\) (da \(9 \cdot 8 = 72\)) f) \(29 : 3 = 9\) Rest \(2\) (da \(9 \cdot 3 = 27\)) 2. Vergleich der Reste: Die Aufgaben a, b, c, d und f haben den Rest \(2\). Die Aufgabe e hat den Rest \(3\).

Die Aufgaben a), b), c), d) und f) haben den Rest \(2\). Ergebnisse: a) \(2\) Rest \(2\) b) \(9\) Rest \(2\) c) \(8\) Rest \(2\) d) \(9\) Rest \(2\) e) \(9\) Rest \(3\) f) \(9\) Rest \(2\)

- Welche Zahl aus der Einmaleins-Reihe des Teilers liegt am nächsten an der ersten Zahl, ist aber noch kleiner? - Wie viel fehlt von dieser Zahl noch bis zur ersten Zahl? - Denk daran, dass der Rest immer kleiner sein muss als die Zahl, durch die du teilst.

1. Für \(19 : 3\) ist \(18 = 6 \cdot 3\) das nächstkleinere Vielfache; es bleibt \(1\). 2. Für \(26 : 4\) ist \(24 = 6 \cdot 4\); es bleibt \(2\). 3. Für \(33 : 5\) ist \(30 = 6 \cdot 5\); es bleibt \(3\). 4. Für \(47 : 6\) ist \(42 = 7 \cdot 6\); es bleibt \(5\). 5. Für \(52 : 7\) ist \(49 = 7 \cdot 7\); es bleibt \(3\).

a) \(19 : 3 = 6\) Rest \(1\) b) \(26 : 4 = 6\) Rest \(2\) c) \(33 : 5 = 6\) Rest \(3\) d) \(47 : 6 = 7\) Rest \(5\) e) \(52 : 7 = 7\) Rest \(3\)

- Rechne jede Aufgabe einzeln aus und schreibe dir den Rest gut auf. - Schau dir die Reste nach dem Rechnen genau an. Welche Zahlen sind gleich? - Kannst du eine Aufgabe finden, deren Rest aus der Reihe tanzt?

1. Berechnung der Reste: a) \(17 : 3 = 5 \text{ Rest } 2\) (\(15 + 2\)) b) \(26 : 4 = 6 \text{ Rest } 2\) (\(24 + 2\)) c) \(37 : 5 = 7 \text{ Rest } 2\) (\(35 + 2\)) d) \(41 : 6 = 6 \text{ Rest } 5\) (\(36 + 5\)) e) \(58 : 8 = 7 \text{ Rest } 2\) (\(56 + 2\)) 2. Vergleich: Die Aufgaben a), b), c) und e) ergeben alle den Rest \(2\).

a) \(5 \text{ Rest } 2\) b) \(6 \text{ Rest } 2\) c) \(7 \text{ Rest } 2\) d) \(6 \text{ Rest } 5\) e) \(7 \text{ Rest } 2\) Den gleichen Rest \(2\) haben a), b), c) und e).

- Überlege, welche Zahl aus der Malreihe am nächsten an der gesuchten Zahl liegt. - Wie kannst du eine Divisionsaufgabe rückwärts rechnen? - Was musst du am Ende mit dem Rest machen?

1. Teilaufgabe a): Bestimmung des größten Vielfachen von \(7\) unter \(44\), also \(6 \cdot 7 = 42\). Berechnung der Differenz \(44 - 42 = 2\). Ergebnis: \(6\) Rest \(2\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Umkehraufgabe \(6 \cdot 5 = 30\). Addition des Rests \(30 + 2 = 32\). Ergebnis: \(32\).

a) \(6\) Rest \(2\) b) \(32\)

- Rechne für jede Aufgabe zuerst das Ergebnis mit Rest aus. - Schreibe dir die Reste neben die Aufgaben. - Suche dann nach Aufgaben, bei denen die gleiche Zahl beim Rest steht.

1. Berechnung der Reste für jede Aufgabe: a) \(38 = 4 \cdot 9 + 2\), also Rest \(2\); b) \(26 = 6 \cdot 4 + 2\), also Rest \(2\); c) \(50 = 7 \cdot 7 + 1\), also Rest \(1\); d) \(19 = 6 \cdot 3 + 1\), also Rest \(1\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Aufgaben a) und b) ergeben den Rest \(2\). Aufgaben c) und d) ergeben den Rest \(1\).

a) \(4 \text{ Rest } 2\) b) \(6 \text{ Rest } 2\) c) \(7 \text{ Rest } 1\) d) \(6 \text{ Rest } 1\) Den gleichen Rest haben a) und b) sowie c) und d).

- Suche für jede Aufgabe die größte Zahl aus der passenden Einmaleins-Reihe, die noch kleiner ist als die erste Zahl. - Der Rest ist der Unterschied zwischen dieser Zahl und der Zahl, die geteilt wird. - Vergleiche am Ende alle Reste, die du gefunden hast.

1. Berechnung von \(45 : 6\): Da \(7 \cdot 6 = 42\) und \(45 - 42 = 3\), ist das Ergebnis \(7\) Rest \(3\). 2. Berechnung von \(33 : 4\): Da \(8 \cdot 4 = 32\) und \(33 - 32 = 1\), ist das Ergebnis \(8\) Rest \(1\). 3. Berechnung von \(50 : 7\): Da \(7 \cdot 7 = 49\) und \(50 - 49 = 1\), ist das Ergebnis \(7\) Rest \(1\). 4. Berechnung von \(70 : 8\): Da \(8 \cdot 8 = 64\) und \(70 - 64 = 6\), ist das Ergebnis \(8\) Rest \(6\). 5. Vergleich der Reste: Die Reste sind \(3\), \(1\), \(1\) und \(6\). Der größte Rest ist \(6\).

a) \(45 : 6 = 7\) Rest \(3\) b) \(33 : 4 = 8\) Rest \(1\) c) \(50 : 7 = 7\) Rest \(1\) d) \(70 : 8 = 8\) Rest \(6\); damit hat d) den größten Rest.

- Suche zuerst die größte Zahl aus der passenden Einmaleins-Reihe, die noch kleiner ist als die erste Zahl. - Wie viel fehlt von dieser Zahl aus der Einmaleins-Reihe noch bis zur gesuchten Zahl? Das ist dein Rest. - Der Rest muss immer kleiner sein als die Zahl, durch die du teilst.

1. Bestimmung der Vielfachen und Reste: a) \(35\) ist das größte Vielfache von \(5\) unter \(37\): \(37 : 5 = 7\) Rest \(2\). b) \(42\) ist das größte Vielfache von \(6\) unter \(44\): \(44 : 6 = 7\) Rest \(2\). c) \(56\) ist das größte Vielfache von \(7\) unter \(58\): \(58 : 7 = 8\) Rest \(2\). d) \(64\) ist das größte Vielfache von \(8\) unter \(65\): \(65 : 8 = 8\) Rest \(1\). e) \(72\) ist das größte Vielfache von \(9\) unter \(80\): \(80 : 9 = 8\) Rest \(8\).

a) \(7\) Rest \(2\) b) \(7\) Rest \(2\) c) \(8\) Rest \(2\) d) \(8\) Rest \(1\) e) \(8\) Rest \(8\)

- Suche die größte Zahl aus der passenden Malreihe, die gerade noch in die vordere Zahl passt. - Wie viel fehlt von dieser Zahl aus der Malreihe noch bis zur vorderen Zahl? Das ist dein Rest. - Überprüfe am Ende, ob dein Rest kleiner ist als die Zahl, durch die du teilst.

1. Für \(19 : 2\): Die größte Zahl der 2er-Reihe unter 19 ist 18. Da \(18 : 2 = 9\) und \(19 - 18 = 1\), ist das Ergebnis \(9 \text{ Rest } 1\). 2. Für \(26 : 3\): Die größte Zahl der 3er-Reihe unter 26 ist 24. Da \(24 : 3 = 8\) und \(26 - 24 = 2\), ist das Ergebnis \(8 \text{ Rest } 2\). 3. Für \(38 : 4\): Die größte Zahl der 4er-Reihe unter 38 ist 36. Da \(36 : 4 = 9\) und \(38 - 36 = 2\), ist das Ergebnis \(9 \text{ Rest } 2\). 4. Für \(47 : 5\): Die größte Zahl der 5er-Reihe unter 47 ist 45. Da \(45 : 5 = 9\) und \(47 - 45 = 2\), ist das Ergebnis \(9 \text{ Rest } 2\). 5. Für \(59 : 6\): Die größte Zahl der 6er-Reihe unter 59 ist 54. Da \(54 : 6 = 9\) und \(59 - 54 = 5\), ist das Ergebnis \(9 \text{ Rest } 5\).

a) \(9 \text{ Rest } 1\) b) \(8 \text{ Rest } 2\) c) \(9 \text{ Rest } 2\) d) \(9 \text{ Rest } 2\) e) \(9 \text{ Rest } 5\)

- Welche Zahl aus der Einmaleinsreihe liegt am nächsten an der gesuchten Zahl, ohne sie zu überschreiten? - Kannst du die Aufgabe lösen, indem du die Umkehraufgabe mit Multiplikation nutzt? - Was passiert mit der Differenz, die übrig bleibt?

1. Bei \(67 : 8\) passt die 8 genau \(8\)-mal hinein (\(8 \cdot 8 = 64\)). Der Rest ist \(67 - 64 = 3\). Ergebnis: \(8 \text{ Rest } 3\). 2. Bei \(84 : 9\) passt die 9 genau \(9\)-mal hinein (\(9 \cdot 9 = 81\)). Der Rest ist \(84 - 81 = 3\). Ergebnis: \(9 \text{ Rest } 3\). 3. Bei \(55 : 7\) passt die 7 genau \(7\)-mal hinein (\(7 \cdot 7 = 49\)). Der Rest ist \(55 - 49 = 6\). Ergebnis: \(7 \text{ Rest } 6\). 4. Bei \(93 : 10\) passt die 10 genau \(9\)-mal hinein (\(9 \cdot 10 = 90\)). Der Rest ist \(93 - 90 = 3\). Ergebnis: \(9 \text{ Rest } 3\). 5. Bei \(76 : 9\) passt die 9 genau \(8\)-mal hinein (\(8 \cdot 9 = 72\)). Der Rest ist \(76 - 72 = 4\). Ergebnis: \(8 \text{ Rest } 4\).

a) \(8 \text{ Rest } 3\) b) \(9 \text{ Rest } 3\) c) \(7 \text{ Rest } 6\) d) \(9 \text{ Rest } 3\) e) \(8 \text{ Rest } 4\)

- Überlege, welche Zahl aus der passenden Einmaleins-Reihe am nächsten an der gesuchten Zahl liegt, aber nicht größer ist. - Wie viel fehlt von dieser Einmaleins-Zahl noch bis zu deiner Ausgangszahl? - Was passiert mit dem Rest, wenn die Zahl, die du teilst, immer um \(1\) größer wird?

1. Berechnung von \(78 : 8\): Die nächstkleinere Zahl aus der Achterreihe ist \(72\) (\(9 \cdot 8\)). Die Differenz \(78 - 72 = 6\) ergibt den Rest. Ergebnis: \(9\) Rest \(6\). 2. Berechnung von \(79 : 8\): Die nächstkleinere Zahl ist \(72\). Die Differenz \(79 - 72 = 7\) ergibt den Rest. Ergebnis: \(9\) Rest \(7\). 3. Berechnung von \(80 : 8\): Die Zahl \(80\) ist ohne Rest durch \(8\) teilbar (\(10 \cdot 8 = 80\)). Ergebnis: \(10\) Rest \(0\).

a) \(9\) Rest \(6\) b) \(9\) Rest \(7\) c) \(10\) Rest \(0\)

- Überlege dir zuerst, wie oft die zweite Zahl ganz in die erste Zahl passt. - Der Rest ist der Unterschied zwischen der ersten Zahl und dem passenden Vielfachen des Teilers. - Vergleiche am Ende alle deine Reste mit der Zahl \(4\).

1. \(29 : 5 = 5\) Rest \(4\), da \(5 \cdot 5 = 25\) und \(29 - 25 = 4\). 2. \(38 : 8 = 4\) Rest \(6\), da \(4 \cdot 8 = 32\) und \(38 - 32 = 6\). 3. \(46 : 7 = 6\) Rest \(4\), da \(6 \cdot 7 = 42\) und \(46 - 42 = 4\). 4. \(31 : 9 = 3\) Rest \(4\), da \(3 \cdot 9 = 27\) und \(31 - 27 = 4\). 5. \(50 : 6 = 8\) Rest \(2\), da \(8 \cdot 6 = 48\) und \(50 - 48 = 2\). 6. Die Aufgaben a), c) und d) haben den Rest \(4\).

a) \(29 : 5 = 5\) Rest \(4\) b) \(38 : 8 = 4\) Rest \(6\) c) \(46 : 7 = 6\) Rest \(4\) d) \(31 : 9 = 3\) Rest \(4\) e) \(50 : 6 = 8\) Rest \(2\) Den Rest \(4\) haben a), c) und d).

- Überlege dir, welche Zahl aus der passenden Einmaleins-Reihe kurz vor deiner Zahl liegt. - Wie viel musst du zu dieser Zahl dazuzählen, um deine Zahl zu erreichen? Das ist dein Rest. - Der Rest muss immer kleiner sein als die Zahl, durch die du teilst.

1. Suche für jede Aufgabe die größte Zahl aus der entsprechenden Einmaleins-Reihe, die kleiner als die erste Zahl (der Dividend) ist. 2. Teile diese Zahl durch den Divisor, um den Quotienten zu erhalten. 3. Berechne den Unterschied zum Dividenden, um den Rest zu bestimmen: - \(17 : 2\): \(16 : 2 = 8\), Rest \(17 - 16 = 1\). Ergebnis: \(8 \text{ Rest } 1\). - \(29 : 4\): \(28 : 4 = 7\), Rest \(29 - 28 = 1\). Ergebnis: \(7 \text{ Rest } 1\). - \(43 : 5\): \(40 : 5 = 8\), Rest \(43 - 40 = 3\). Ergebnis: \(8 \text{ Rest } 3\). - \(58 : 9\): \(54 : 9 = 6\), Rest \(58 - 54 = 4\). Ergebnis: \(6 \text{ Rest } 4\). - \(67 : 8\): \(64 : 8 = 8\), Rest \(67 - 64 = 3\). Ergebnis: \(8 \text{ Rest } 3\).

a) \(8 \text{ Rest } 1\) b) \(7 \text{ Rest } 1\) c) \(8 \text{ Rest } 3\) d) \(6 \text{ Rest } 4\) e) \(8 \text{ Rest } 3\)

- Schau dir die erste Zahl jeder Aufgabe genau an. Was passiert mit ihr von Aufgabe zu Aufgabe? - Beobachte, wie sich der Rest verändert, während die erste Zahl immer um eins größer wird. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn es keinen Rest mehr gibt?

1. Führe die Divisionen nacheinander durch: - \(18 : 4 = 4 \text{ Rest } 2\) - \(19 : 4 = 4 \text{ Rest } 3\) - \(20 : 4 = 5\) (kein Rest bzw. Rest \(0\)) - \(21 : 4 = 5 \text{ Rest } 1\) - \(22 : 4 = 5 \text{ Rest } 2\) 2. Beobachte die Entwicklung: Wenn der Dividend um \(1\) steigt, steigt auch der Rest um \(1\). Sobald der Rest so groß wie der Divisor (\(4\)) wäre, geht die Rechnung glatt auf, das Ergebnis steigt um \(1\) und der Rest beginnt wieder bei \(0\).

a) \(4 \text{ Rest } 2\) b) \(4 \text{ Rest } 3\) c) \(5\) d) \(5 \text{ Rest } 1\) e) \(5 \text{ Rest } 2\) Muster: Wenn die Zahl vorne um \(1\) größer wird, wird auch der Rest um \(1\) größer. Wenn die Division aufgeht, erhöht sich das Ergebnis und der Rest beginnt wieder bei \(0\).

- Suche zuerst die größte Zahl aus der passenden Einmaleins-Reihe, die noch kleiner ist als die vordere Zahl. - Der Rest ist der Unterschied zwischen dieser Zahl und der vorderen Zahl. - Vergleiche am Ende die beiden Reste miteinander.

1. Berechnung von \(74 : 8\): Das nächstkleinere Vielfache von \(8\) ist \(72\) (\(9 \cdot 8\)). Somit ist \(74 : 8 = 9 \text{ Rest } 2\). 2. Berechnung von \(59 : 6\): Das nächstkleinere Vielfache von \(6\) ist \(54\) (\(9 \cdot 6\)). Somit ist \(59 : 6 = 9 \text{ Rest } 5\). 3. Vergleich der Reste: Der Rest von Aufgabe b) ist \(5\), der Rest von Aufgabe a) ist \(2\). Da \(5 > 2\), hat Aufgabe b) den größeren Rest. 4. Differenz berechnen: \(5 - 2 = 3\).

a) \(9 \text{ Rest } 2\) b) \(9 \text{ Rest } 5\) Aufgabe b) hat den größeren Rest; die Differenz der Reste beträgt \(3\).

- Überlege, welche Zahl aus der passenden Malreihe am nächsten an der ersten Zahl liegt, ohne größer als sie zu sein. - Wie viel fehlt noch von deinem Ergebnis aus der Malreihe bis zur ersten Zahl? Das ist dein Rest. - Kannst du die Malreihe der Zahl, durch die geteilt wird, im Kopf aufsagen?

1. Für \(52 : 8\): Bestimmung des größten Vielfachen von \(8\) unter \(52\) (\(48 = 6 \cdot 8\)), Differenz \(52 - 48 = 4\). Ergebnis: \(6 \text{ Rest } 4\). 2. Für \(37 : 5\): Bestimmung des größten Vielfachen von \(5\) unter \(37\) (\(35 = 7 \cdot 5\)), Differenz \(37 - 35 = 2\). Ergebnis: \(7 \text{ Rest } 2\). 3. Für \(66 : 7\): Bestimmung des größten Vielfachen von \(7\) unter \(66\) (\(63 = 9 \cdot 7\)), Differenz \(66 - 63 = 3\). Ergebnis: \(9 \text{ Rest } 3\). 4. Für \(29 : 4\): Bestimmung des größten Vielfachen von \(4\) unter \(29\) (\(28 = 7 \cdot 4\)), Differenz \(29 - 28 = 1\). Ergebnis: \(7 \text{ Rest } 1\). 5. Für \(83 : 9\): Bestimmung des größten Vielfachen von \(9\) unter \(83\) (\(81 = 9 \cdot 9\)), Differenz \(83 - 81 = 2\). Ergebnis: \(9 \text{ Rest } 2\).

a) \(6 \text{ Rest } 4\) b) \(7 \text{ Rest } 2\) c) \(9 \text{ Rest } 3\) d) \(7 \text{ Rest } 1\) e) \(9 \text{ Rest } 2\)

- Welche Zahl aus der 9er-Reihe liegt am nächsten an der 76, ist aber nicht größer als sie? - Wie viel fehlt von dieser Zahl noch bis zur 76? - Erinnerst du dich, wie man eine Divisionsaufgabe mit einer Malaufgabe überprüft?

1. Bestimmung des größten Vielfachen von \(9\), das kleiner oder gleich \(76\) ist: \(8 \cdot 9 = 72\). 2. Berechnung des Quotienten: \(72 : 9 = 8\). 3. Berechnung des Rests durch Subtraktion: \(76 - 72 = 4\). Das Ergebnis lautet \(8\) Rest \(4\). 4. Durchführung der Probe durch Umkehraufgabe: \(8 \cdot 9 + 4 = 72 + 4 = 76\).

\(76 : 9 = 8\) Rest \(4\). Probe: \(8 \cdot 9 + 4 = 76\).

- Was weißt du über die Größe des Restes im Vergleich zu der Zahl, durch die du teilst? - Überlege dir, was passieren würde, wenn der Rest genauso groß wie der Teiler wäre. Könntest du dann noch einmal weiterteilen? - Schau dir die Zahl \(5\) und die Zahl \(4\) genau an. Welche ist größer?

1. Anwendung der Regel für Division mit Rest: Der Rest muss immer kleiner sein als der Teiler. 2. Überprüfung der Behauptung: Da der Teiler \(4\) ist, muss jeder mögliche Rest kleiner als \(4\) sein. Da \(5 > 4\) ist, kann \(5\) kein Rest bei dieser Rechnung sein. 3. Bestimmung der möglichen Reste: Die Zahlen, die kleiner als \(4\) sind, lauten \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\).

Leo hat sich geirrt, weil der Rest immer kleiner als der Teiler (hier \(4\)) sein muss. Die möglichen Reste beim Teilen durch \(4\) sind \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\).

- Welche Zahl aus der Einmaleins-Reihe des Teilers liegt am nächsten an der ersten Zahl, ist aber kleiner? - Wie viel fehlt von dieser Zahl noch bis zur ersten Zahl? Das ist dein Rest. - Um dein Ergebnis zu prüfen, kannst du die Umkehraufgabe rechnen und den Rest am Ende dazu zählen.

1. \(29 : 4 = 7\) Rest \(1\). Probe: \(7 \cdot 4 + 1 = 29\). 2. \(46 : 5 = 9\) Rest \(1\). Probe: \(9 \cdot 5 + 1 = 46\). 3. \(58 : 8 = 7\) Rest \(2\). Probe: \(7 \cdot 8 + 2 = 58\). 4. \(74 : 9 = 8\) Rest \(2\). Probe: \(8 \cdot 9 + 2 = 74\).

a) \(29 : 4 = 7\) Rest \(1\); Probe: \(7 \cdot 4 + 1 = 29\) b) \(46 : 5 = 9\) Rest \(1\); Probe: \(9 \cdot 5 + 1 = 46\) c) \(58 : 8 = 7\) Rest \(2\); Probe: \(7 \cdot 8 + 2 = 58\) d) \(74 : 9 = 8\) Rest \(2\); Probe: \(8 \cdot 9 + 2 = 74\)

- Kannst du die Aufgabe umkehren? Was ist das Gegenteil von Geteiltrechnen? - Denke daran, dass der Rest am Ende wieder hinzugefügt werden muss. - Wie würdest du prüfen, ob dein Ergebnis stimmt?

1. Multipliziere das Ergebnis mit dem Teiler: \(8 \cdot 7 = 56\). 2. Addiere den Rest zu diesem Zwischenergebnis: \(56 + 5 = 61\). 3. Die gesuchte Zahl ist \(61\).

\(61\)

- Überlege dir, wie groß ein Rest im Vergleich zu der Zahl sein darf, durch die du teilst. - Was passiert, wenn du zum Beispiel \(4\) Äpfel an \(4\) Kinder verteilst? Bleibt dann ein Rest von \(4\)? - Kann ein Rest genauso groß oder größer sein als der Teiler?

1. Bestimmung der Regel für Reste: Der Rest bei einer Division muss immer kleiner sein als der Teiler. 2. Identifikation des Teilers: In dieser Aufgabe wird durch \(4\) geteilt. 3. Bestimmung der möglichen Reste: Beim Teilen durch \(4\) sind nur die Reste \(0, 1, 2\) und \(3\) möglich. 4. Abgleich mit der Liste: In Tims Liste kommt die Zahl \(4\) vor. 5. Schlussfolgerung: Da der Rest \(4\) nicht kleiner als der Teiler \(4\) ist, ist dieser Wert falsch. Man könnte in diesem Fall noch eine weitere \(4\)er-Gruppe bilden, sodass der Rest eigentlich \(0\) wäre.

Die Zahl \(4\) ist falsch. Ein Rest muss immer kleiner sein als der Teiler. Beim Teilen durch \(4\) sind nur die Reste \(0, 1, 2\) und \(3\) möglich.

- Zähle zuerst, wie viele Punkte eine vollständige Reihe im Bild enthält. - Suche dann die größtmögliche Zahl vollständiger Reihen. - Der Rest muss kleiner sein als die Zahl der Punkte in einer vollständigen Reihe.

1. Aus dem Bild liest man \(35\) Punkte und \(6\) Punkte pro vollständiger Reihe ab. 2. Fünf vollständige Reihen enthalten \(5 \cdot 6 = 30\) Punkte. 3. Es bleiben \(35 - 30 = 5\) Punkte. Daher gilt \(35 : 6 = 5\) Rest \(5\).

\(35 : 6 = 5\) Rest \(5\).

- Bestimme zuerst die Größe einer vollständigen Reihe im Bild. - Zähle die vollständigen Reihen und beachte die unvollständige letzte Reihe. - Vergleiche den Rest mit der Größe eines vollen Beutels.

1. Aus dem Bild liest man \(29\) Murmeln und \(4\) Murmeln pro vollständiger Reihe ab. 2. Sieben volle Beutel enthalten \(7 \cdot 4 = 28\) Murmeln. 3. Eine Murmel bleibt übrig. Für einen weiteren Beutel reicht der Rest nicht. Daher gilt \(29 : 4 = 7\) Rest \(1\).

Es entstehen \(7\) volle Beutel; \(1\) Murmel bleibt übrig. Der Rest reicht nicht für einen weiteren vollen Beutel.

- Prüfe am Bild, wie viele Punkte in eine vollständige Reihe gehören. - Zähle, wie viele Punkte von den vollständigen Reihen erfasst werden. - Vergleiche die verbleibenden Punkte mit Noahs Angabe.

1. Aus dem Bild liest man \(45\) Punkte und \(7\) Punkte pro vollständiger Reihe ab. 2. Sechs vollständige Reihen enthalten \(6 \cdot 7 = 42\) Punkte. 3. Von \(45\) bleiben \(45 - 42 = 3\) Punkte übrig, nicht \(2\). 4. Richtig ist \(45 : 7 = 6\) Rest \(3\).

Richtig ist \(45 : 7 = 6\) Rest \(3\). Noah hat den Rest um \(1\) zu klein angegeben.

- Bestimme zuerst die Zahl der Boxen in einer vollständigen Reihe. - Zähle die vollständigen Reihen und den Rest. - Vergleiche den Rest mit der Größe einer vollen Kiste.

1. Aus dem Bild liest man \(60\) Lunchboxen und \(8\) Boxen pro voller Kiste ab. 2. Sieben volle Kisten enthalten \(7 \cdot 8 = 56\) Boxen. 3. Es bleiben \(60 - 56 = 4\) Boxen. 4. Für eine weitere Kiste fehlen \(8 - 4 = 4\) Boxen.

Es entstehen \(7\) volle Kisten. \(4\) Boxen bleiben übrig und \(4\) weitere fehlen für die nächste volle Kiste.

- Wie viele Punkte enthält eine vollständige Reihe im Bild? - Jede vollständige Reihe steht für eine Runde, in der jedes Kind genau einen Sticker erhält. - Die Punkte in der unvollständigen letzten Reihe bilden den Rest.

1. Aus dem Bild liest man \(56\) Sticker ab. Eine vollständige Reihe enthält \(9\) Punkte und steht für eine Runde mit je einem Sticker für jedes der \(9\) Kinder. 2. Sechs vollständige Reihen benötigen \(6 \cdot 9 = 54\) Sticker. 3. Es bleiben \(56 - 54 = 2\) Sticker übrig. Daher gilt \(56 : 9 = 6\) Rest \(2\).

Es sind \(6\) vollständige Runden möglich; danach bleiben \(2\) Sticker übrig. Das entspricht \(56 : 9 = 6\) Rest \(2\).

- Lies zuerst die Gesamtzahl der Knöpfe aus dem Bild ab. - Bilde daraus möglichst viele vollständige Gruppen zu je \(5\). - Deute die Knöpfe, die keine vollständige Gruppe mehr bilden, als Rest.

1. Im Bild sind \(38\) Knöpfe dargestellt. 2. Sieben vollständige Fünferreihen enthalten \(7 \cdot 5 = 35\) Knöpfe; \(3\) Knöpfe bleiben übrig. 3. Daher gilt \(38 : 5 = 7\) Rest \(3\).

Es können \(7\) Beutel vollständig gefüllt werden; \(3\) Knöpfe bleiben übrig.

- Welches große Vielfache von \(5\) liegt direkt unter \(356\)? - Wie groß ist der Abstand von diesem Vielfachen zu \(356\)? - Wie setzt sich bei einer Division mit Rest der Dividend aus Quotient, Divisor und Rest zusammen?

1. \(5\cdot71=355\). 2. Von \(356\) bleibt danach \(1\) übrig. 3. Prüfung: \(71\cdot5+1=356\).

\(356:5=71\) Rest \(1\). Prüfung: \(71\cdot5+1=356\).

- Welche Größe hat jedes vollständig gefüllte Tütchen? - Suche das größte passende Vielfache von \(6\), das \(428\) nicht überschreitet. - Deute Quotient und Rest in der Situation.

1. \(6\cdot71=426\). 2. \(428-426=2\). 3. Es entstehen \(71\) volle Tütchen; \(2\) Aufkleber bleiben übrig.

\(428:6=71\) Rest \(2\). Es entstehen \(71\) volle Tütchen, und \(2\) Aufkleber bleiben übrig.

- Zähle zuerst nur die vollständig gefüllten Reihen im Bild. - Wie viele Punkte bleiben danach außerhalb einer vollständigen Reihe? - Welche Bedingung muss der Rest im Vergleich zum Divisor erfüllen?

1. Im Bild sind \(8\) vollständige Reihen mit je \(6\) Punkten zu sehen; danach bleiben \(5\) Punkte. 2. \(8\cdot6=48\), und \(53-48=5\). 3. Der Rest \(5\) ist kleiner als \(6\), also ist \(53:6=8\) Rest \(5\) korrekt. 4. Für eine neunte vollständige Gruppe wären noch \(6\) Punkte nötig.

Leni hat recht: \(53:6=8\) Rest \(5\). Der Rest \(5\) ist kleiner als \(6\), daher entsteht keine neunte volle Gruppe.

- Welche Vielfachen von \(9\) liegen jeweils direkt unter oder bei den gegebenen Zahlen? - Welche Bedingung muss ein Rest im Vergleich zum Teiler erfüllen? - Prüfe bei c), ob aus einem angeblichen Rest noch eine vollständige Neunergruppe gebildet werden könnte.

1. Für a): \(79 : 9 = 8\) Rest \(7\), \(80 : 9 = 8\) Rest \(8\), \(81 : 9 = 9\) Rest \(0\), \(82 : 9 = 9\) Rest \(1\). 2. Für b): Möglich sind die Reste \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\) und \(8\). 3. Für c): Ein Rest muss kleiner als der Teiler sein. Aus einem angeblichen Rest \(10\) könnte noch einmal eine Neunergruppe gebildet werden; übrig bliebe dann \(1\).

a) \(8\) Rest \(7\), \(8\) Rest \(8\), \(9\) Rest \(0\), \(9\) Rest \(1\) b) Es gibt \(9\) mögliche Reste: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\). c) Ein Rest muss kleiner als \(9\) sein; deshalb kann \(10\) kein Rest bei einer Division durch \(9\) sein.

- Bestimme in a) und b) jeweils den Rest der Division. - Übersetze „ein Heft mehr übrig“ in eine Aussage über den neuen Rest. - Welche allgemeine Bedingung gilt für den Rest im Vergleich zum Teiler?

1. Für a): \(23 : 4 = 5\) Rest \(3\). 2. Für b): \(23 : 5 = 4\) Rest \(3\). 3. Für c): Gesucht ist die kleinste Zahl größer als \(23\), die bei Division durch \(5\) den Rest \(4\) hat. Das ist \(24\), denn \(24 : 5 = 4\) Rest \(4\). 4. Für d): Ein Rest muss kleiner als \(5\) sein. Der größtmögliche Rest ist daher \(4\).

a) \(3\) Hefte b) \(3\) Hefte c) \(24\) Hefte d) Der größte Rest ist \(4\).

- Du kannst eine Aufgabe mit der Umkehraufgabe prüfen: Multipliziere das Ergebnis mit dem Teiler und addiere den Rest. Kommt die erste Zahl wieder heraus? - Achte besonders auf den Rest: Darf ein Rest größer oder gleich der Zahl sein, durch die geteilt wird? - Wenn der Rest zu groß ist, bedeutet das, dass man die Zahl noch öfter hätte teilen können.

1. Überprüfung von a): \(7 \cdot 5 + 3 = 35 + 3 = 38\). Da der Rest \(3\) kleiner als der Teiler \(5\) ist, ist die Rechnung richtig. 2. Überprüfung von b): \(6 \cdot 6 + 10 = 36 + 10 = 46\). Die Summe stimmt zwar, aber der Rest \(10\) ist größer als der Teiler \(6\). Das ist nicht erlaubt; der Quotient kann noch um \(1\) erhöht werden. Richtig ist \(46 : 6 = 7 \text{ Rest } 4\). 3. Überprüfung von c): \(7 \cdot 8 + 3 = 56 + 3 = 59\). Da der Rest \(3\) kleiner als der Teiler \(8\) ist, ist die Rechnung richtig.

a) Richtig. b) Falsch, da der Rest \(10\) größer ist als der Teiler \(6\). Richtig ist: \(46 : 6 = 7 \text{ Rest } 4\). c) Richtig.

- Kannst du die Malaufgabe (Umkehraufgabe) zu der geteilten Aufgabe finden? - Vergiss nicht, den Rest am Ende wieder dazu zu zählen, wenn du die vordere Zahl suchst. - Wenn der Teiler in der Mitte fehlt, überlege: Wie oft passt die Zahl in die vordere Zahl hinein, wenn man den Rest vorher abzieht? - Was weißt du über den Zusammenhang zwischen dem Rest und dem Ergebnis der Multiplikation?

1. Berechnung der gesuchten Werte durch Umkehraufgaben oder Division: a) \(5 \cdot 4 + 2 = 22\). Die Zahl ist \(22\). b) \(29 - 1 = 28\) und \(28 : 4 = 7\). Der Teiler ist \(7\). c) \(3 \cdot 8 + 5 = 24 + 5 = 29\). Die Zahl ist \(29\). d) \(49\) ist das größte Vielfache von \(7\) unter \(50\): \(50 : 7 = 7\) Rest \(1\). e) \(8 \cdot 5 = 40\) und \(43 - 40 = 3\). Der Rest ist \(3\).

a) \(22\) b) \(7\) c) \(29\) d) \(7\) Rest \(1\) e) \(3\)

- Überlege zuerst: Wie groß darf ein Rest höchstens sein, wenn man zum Beispiel durch \(4\) teilt? - Wenn du den Rest kennst, kannst du die fehlende Zahl am Anfang finden, indem du die Malaufgabe rechnest und den Rest dazu addierst. - Erinnere dich: Der Rest muss immer kleiner sein als die Zahl, durch die du teilst.

1. Bestimmung des größtmöglichen Restes: Ein Rest muss immer kleiner sein als die Zahl, durch die geteilt wird. Der größte Rest ist also immer um \(1\) kleiner als diese Zahl. 2. Berechnung für a): Teiler ist \(4\), größter Rest ist \(3\). Rechnung: \(8 \cdot 4 + 3 = 32 + 3 = 35\). Ergebnis: \(35 : 4 = 8 \text{ Rest } 3\). 3. Berechnung für b): Teiler ist \(7\), größter Rest ist \(6\). Rechnung: \(5 \cdot 7 + 6 = 35 + 6 = 41\). Ergebnis: \(41 : 7 = 5 \text{ Rest } 6\). 4. Berechnung für c): Teiler ist \(9\), größter Rest ist \(8\). Rechnung: \(6 \cdot 9 + 8 = 54 + 8 = 62\). Ergebnis: \(62 : 9 = 6 \text{ Rest } 8\). 5. Berechnung für d): Teiler ist \(6\), größter Rest ist \(5\). Rechnung: \(7 \cdot 6 + 5 = 42 + 5 = 47\). Ergebnis: \(47 : 6 = 7 \text{ Rest } 5\).

a) \(35 : 4 = 8 \text{ Rest } 3\) b) \(41 : 7 = 5 \text{ Rest } 6\) c) \(62 : 9 = 6 \text{ Rest } 8\) d) \(47 : 6 = 7 \text{ Rest } 5\)

- Überlege dir, welche Zahlen aus der 7er-Reihe in der Nähe von \(30\) bis \(50\) liegen. - Wenn eine Zahl durch \(7\) geteilt den Rest \(4\) lassen soll, muss sie um \(4\) größer sein als eine Zahl aus der 7er-Reihe. - Gehe die 7er-Reihe Schritt für Schritt durch und addiere jeweils den Rest.

1. Vielfache von \(7\) im relevanten Bereich bestimmen und \(4\) addieren. 2. \(7 \cdot 4 + 4 = 28 + 4 = 32\). 3. \(7 \cdot 5 + 4 = 35 + 4 = 39\). 4. \(7 \cdot 6 + 4 = 42 + 4 = 46\). 5. Prüfung der nächsten Zahl: \(7 \cdot 7 + 4 = 49 + 4 = 53\) liegt außerhalb des Bereichs bis \(50\). 6. Prüfung der vorherigen Zahl: \(7 \cdot 3 + 4 = 21 + 4 = 25\) liegt außerhalb des Bereichs ab \(30\). 7. Die gesuchten Zahlen sind \(32\), \(39\) und \(46\).

Die Zahlen sind \(32\), \(39\) und \(46\). Rechnungen: \(32 : 7 = 4 \text{ Rest } 4\) \(39 : 7 = 5 \text{ Rest } 4\) \(46 : 7 = 6 \text{ Rest } 4\)

- Kannst du die Rechnung rückwärts rechnen, um die Startzahl zu finden? - Was passiert, wenn der Rest genauso groß oder größer als die Zahl ist, durch die du teilst? - Überlege dir, welche Reste beim Teilen durch 7 möglich sind.

1. Berechnung der Geheimzahl durch Umkehrung der Division: Multiplikation des Quotienten mit dem Divisor und Addition des Rests: \(13 \cdot 7 + 5\). 2. Zwischenergebnis der Multiplikation: \(13 \cdot 7 = 91\). 3. Addition des Rests: \(91 + 5 = 96\). Die Geheimzahl ist \(96\). 4. Bestimmung des maximalen Rests: Ein Rest muss immer kleiner sein als der Divisor. Da der Divisor \(7\) ist, ist die größte Zahl unter \(7\) die \(6\). Der größte Rest ist also \(6\).

a) Die Geheimzahl ist \(96\). b) Der größte Rest ist \(6\), da der Rest immer kleiner als der Divisor (hier \(7\)) sein muss.

- Welche Bedingung muss jeder Rest im Vergleich zum Teiler erfüllen? - Was sagt dir der größtmögliche erlaubte Rest über den Teiler? - Verwende für b) ein Vielfaches des Teilers aus a) und füge den gewünschten Rest hinzu.

1. Ermittlung des Teilers: Ein Rest muss stets kleiner als der Teiler sein. Wenn \(5\) der größte mögliche Rest ist, muss der Teiler die nächstfolgende ganze Zahl sein. Der Teiler ist somit \(6\). 2. Konstruktion einer Beispielaufgabe für Rest \(3\): Ein Vielfaches von \(6\) wird gewählt und um \(3\) erhöht. Beispielsweise \(1 \cdot 6 + 3 = 9\) oder \(2 \cdot 6 + 3 = 15\). 3. Ergebnisformulierung: Die Beispielaufgabe lautet \(9 : 6 = 1 \text{ Rest } 3\) oder \(15 : 6 = 2 \text{ Rest } 3\).

a) Es wurde durch die Zahl \(6\) geteilt. b) Mögliche Beispielaufgaben sind \(9 : 6 = 1 \text{ Rest } 3\) oder \(15 : 6 = 2 \text{ Rest } 3\).

- Kannst du die Aufgabe mithilfe einer Malaufgabe und einer Plusaufgabe lösen? - Wenn du den Rest vom Anfangswert abziehst, lässt sich die Zahl dann ohne Rest teilen? - Überlege dir, wie der Rest entsteht: Er ist der Unterschied zwischen dem Dividenden und dem nächstkleineren Vielfachen des Teilers.

1. Bestimmung der fehlenden Zahl in a): Anwendung der Umkehroperation. Multipliziere den Quotienten mit dem Teiler und addiere den Rest: \(7 \cdot 6 + 3 = 42 + 3 = 45\). Die gesuchte Zahl ist \(45\). 2. Bestimmung der fehlenden Zahl in b): Subtrahiere zuerst den Rest vom Dividenden: \(38 - 3 = 35\). Suche nun den Teiler, indem du \(35\) durch das Ergebnis \(5\) teilst: \(35 : 5 = 7\). Die gesuchte Zahl ist \(7\). 3. Bestimmung der fehlenden Zahl in c): Multipliziere Teiler und Quotient: \(8 \cdot 6 = 48\). Berechne den Unterschied zum Dividenden: \(50 - 48 = 2\). Der gesuchte Rest ist \(2\).

a) \(45\) b) \(7\) c) \(2\)

- Überlege dir, wie man eine Probe bei einer Divisionsaufgabe mit Rest macht. - Bei Teil b) hilft es, zuerst den Rest wegzunehmen, damit die Zahl glatt teilbar wird. - Wie oft passt der Divisor in den Dividenden, wenn noch ein Rest übrig ist?

1. Berechnung des Dividenden bei Division mit Rest: Quotient mal Divisor plus Rest, also \(7 \cdot 6 + 4 = 42 + 4 = 46\). 2. Berechnung des Divisors: Zuerst den Rest vom Dividenden abziehen: \(29 - 2 = 27\). Dann den neuen Wert durch den Quotienten teilen: \(27 : 9 = 3\).

a) Der Dividend ist \(46\). b) Der Divisor ist \(3\).

- Rechne die Probe: Multipliziere das Ergebnis mit der Zahl, durch die geteilt wurde, und addiere den Rest. - Gibt es eine Regel für die Größe des Restes im Vergleich zum Teiler? - Prüfe genau, ob die Umkehraufgabe wirklich die ursprüngliche Zahl ergibt.

1. Überprüfung von Lukas: \(8 \cdot 9 = 72\). Mit dem Rest \(4\) ergibt sich \(72 + 4 = 76\). Da der Rest \(4\) kleiner als der Teiler \(9\) ist, ist das Ergebnis korrekt. 2. Überprüfung von Mia: \(7 \cdot 9 + 13 = 63 + 13 = 76\). Die Rechnung stimmt zwar, aber bei einer Division mit Rest muss der Rest immer kleiner sein als der Teiler. Da \(13 > 9\) ist, hätte sie noch einmal \(9\) abziehen können. 3. Überprüfung von Sophie: \(8 \cdot 9 + 3 = 72 + 3 = 75\). Das Ergebnis der Umkehraufgabe ist \(75\) und nicht \(76\), daher ist die Rechnung falsch.

Lukas hat recht. Mias Ergebnis ist falsch, weil der Rest \(13\) nicht kleiner als der Teiler \(9\) ist. Sophies Ergebnis ist falsch, weil \(8 \cdot 9 + 3 = 75\) ergibt und nicht \(76\).

- Bestimme aus dem Bild die Größe einer vollständigen Reihe. - Prüfe, wie viele vollständige Reihen in das Feld passen. - Vergleiche jeden möglichen Rest mit der Reihengröße.

1. Aus dem Bild liest man \(50\) Punkte und \(8\) Punkte pro vollständiger Reihe ab. 2. Sechs vollständige Reihen enthalten \(48\) Punkte; \(2\) bleiben übrig. Daher gilt \(50 : 8 = 6\) Rest \(2\). 3. Ein Rest von \(9\) ist unmöglich, weil ein Rest immer kleiner als der Divisor sein muss. Aus \(9\) Punkten könnte noch eine weitere vollständige Reihe gebildet werden.

\(50 : 8 = 6\) Rest \(2\). Ein Rest von \(9\) ist unmöglich, weil \(9\) nicht kleiner als der Teiler \(8\) ist.

- Suche ein großes Vielfaches von \(8\) knapp unter \(745\). - Wie groß darf ein Rest bei Division durch \(8\) höchstens sein? - Wie kannst du Quotient, Divisor und Rest wieder zum Dividend zusammensetzen?

1. \(8\cdot93=744\). 2. Bis \(745\) fehlt \(1\). 3. Daher \(745:8=93\) Rest \(1\). 4. Rückrechnung: \(93\cdot8+1=745\).

\(745:8=93\) Rest \(1\). Rückrechnung: \(93\cdot8+1=745\).

- Welches Vielfache von \(7\) liegt nahe unter \(999\)? - Was bleibt nach diesem Vielfachen noch übrig? - Welche Bedingung muss jeder Rest im Vergleich zum Divisor erfüllen?

1. \(7\cdot142=994\). 2. \(999-994=5\). 3. Daher \(999:7=142\) Rest \(5\). 4. Der Rest ist zulässig, weil \(5<7\).

\(999:7=142\) Rest \(5\). Der Rest ist zulässig, weil er kleiner als der Divisor \(7\) ist.

- Wie viele vollständig gefüllte Kartons erhältst du zunächst? - Sind nach diesen vollen Kartons noch Bücher übrig? - Kann ein nicht voller letzter Karton trotzdem notwendig sein?

1. \(503:8=62\) Rest \(7\), denn \(62\cdot8=496\). 2. \(62\) Kartons reichen nur für \(496\) Bücher. 3. Die restlichen \(7\) Bücher brauchen einen weiteren Karton. Insgesamt werden \(63\) Kartons benötigt.

\(503:8=62\) Rest \(7\). Wegen der \(7\) übrigen Bücher wird noch ein Karton gebraucht; mindestens \(63\) Kartons sind nötig.

- Was beschreibt das Produkt aus Quotient und Divisor? - Welcher Teil des Dividenden fehlt nach diesem Produkt noch? - Wie setzt du beide Teile wieder zusammen?

1. Der vollständig verteilte Teil ist \(84\cdot7=588\). 2. Dazu kommt der Rest \(5\). 3. \(588+5=593\). Der Dividend ist \(593\).

Der Dividend ist \(593\), denn \(84\cdot7+5=593\).

- Welche Vielfachen von \(9\) liegen direkt an der Grenze zu den dreistelligen Zahlen? - Wie entsteht aus einem Vielfachen von \(9\) eine Zahl mit Rest \(4\)? - Prüfe auch die vorherige Zahl mit demselben Restmuster.

1. Die kleinste dreistellige Zahl ist \(100\). 2. Das größte Vielfache von \(9\) unter \(100\) ist \(99\). 3. Für Rest \(4\) folgt \(99+4=103\). 4. Die vorherige Zahl mit Rest \(4\) wäre \(94\) und ist noch zweistellig. Daher ist \(103\) die kleinste dreistellige Lösung.

Die kleinste dreistellige Zahl ist \(103\), denn \(103:9=11\) Rest \(4\); die vorherige Zahl mit demselben Rest ist \(94\).