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- Vergleiche die Formen der sechs Flächen in beiden Netzen. - Ein Würfel hat ausschließlich gleich große quadratische Flächen. - Bei einem allgemeinen Quader können rechteckige Flächen unterschiedliche Seitenlängen haben.

1. In a) bestehen alle sechs Flächen aus gleich großen Quadraten. Dieses Netz gehört zu einem Würfel. 2. In b) kommen Rechtecke mit verschiedenen Seitenlängen vor. Dieses Netz gehört zu einem Quader, der kein Würfel ist.

a) Würfelnetz; b) Quadernetz

- Vergleiche die Seitenlängen der Rechtecke im Netz. - Suche in diesem Netz zu jeder Fläche eine zweite Fläche mit denselben Seitenlängen. - Beginne zum Beispiel mit den beiden größten Rechtecken und prüfe danach die übrigen Flächen.

1. A und C haben dieselben Seitenlängen und bilden ein gleich großes Paar. 2. B und D haben dieselben Seitenlängen und bilden das zweite Paar. 3. E und F sind die beiden großen Rechtecke und bilden das dritte Paar.

A und C; B und D; E und F

- Ein Würfelnetz muss aus sechs Quadraten bestehen, aber das allein reicht noch nicht. - Stell dir vor, vier Quadrate werden zu den Seitenwänden hochgeklappt. - Prüfe besonders, ob beim Schließen zwei Flächen denselben Platz einnehmen würden.

1. a) lässt sich zu einem Würfel falten: Vier Flächen bilden den Mantel, zwei weitere schließen oben und unten. 2. b) ist ein \(2 \times 3\)-Block. Beim Falten würden Flächen aufeinanderliegen; die Anordnung ist kein Würfelnetz. 3. c) lässt sich ebenfalls ohne Überlappung zu einem Würfel falten. Daher ist nur b) kein Würfelnetz.

b)

- Denke daran, was beim Aufeinanderlegen zweier Flächen zu sehen sein müsste. - Reicht es, wenn beide Flächen nur dieselbe Form haben? - Beschreibe eine Probe, die unabhängig von der Lage oder Drehung der Flächen funktioniert.

1. Zwei Flächen sind deckungsgleich, wenn sie dieselbe Form und dieselbe Größe haben. 2. Schneidet man beide Flächen aus, kann man eine auf die andere legen. 3. Decken sie sich dabei genau, ohne dass irgendwo etwas übersteht, sind sie deckungsgleich.

Deckungsgleiche Flächen haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Beim Aufeinanderlegen müssen sie genau übereinanderpassen.

- Stell dir vor, der Streifen A–B–C–D wird zu einem geschlossenen Mantel gebogen. - Welche beiden Flächen liegen an den beiden Enden dieses Streifens? - Prüfe bei jedem Antwortpaar, ob die Flächen nach dem Falten nebeneinander oder gegenüber liegen.

1. Beim Falten werden A, B, C und D nacheinander zum Mantel des Quaders. 2. A und C liegen nach dem Schließen des Mantels einander gegenüber und teilen keine Kante. 3. E und F bilden die beiden gegenüberliegenden quadratischen Flächen. 4. Die beiden Endflächen des Mantelstreifens A und D treffen beim Schließen aufeinander. Daher ist B richtig.

B) A und D

- Wähle eine Fläche als Boden aus, zum Beispiel die Fläche C. - Falte die angrenzenden Flächen im Kopf nach oben. - Wo landet die Fläche E, wenn du zuerst D hochklappst? - Welche zwei Flächen berühren sich niemals an einer Kante, wenn der Würfel fertig ist?

1. Bestimmung der gegenüberliegenden Paare durch gedankliches Falten (C als Bodenfläche). 2. Wenn C der Boden ist, wird B zur linken Seite und D zur rechten Seite gefaltet. B und D liegen sich gegenüber. 3. A wird zur Vorderseite und F zur Rückseite gefaltet. A und F liegen sich gegenüber. 4. E wird von der rechten Seite D aus über die Oberseite geklappt und liegt somit dem Boden C gegenüber. 5. Ergebnis: Die Fläche E liegt der Fläche C gegenüber.

Die Fläche E liegt der blauen Fläche C genau gegenüber.

- Falte zuerst nur die vier Quadrate in der Reihe gedanklich zu einem Ring. - Überlege anschließend, wohin die angefügten Flächen A und B geklappt werden. - Ein geschlossener Würfel braucht außer den vier Seitenflächen noch zwei einander gegenüberliegende Flächen.

1. Die vier Quadrate in der Reihe werden zu den vier Seitenflächen des Würfels gefaltet. 2. Fläche A ist an einer Seitenfläche befestigt und wird zum Deckel. 3. Fläche B ist an einer anderen Seitenfläche befestigt und wird beim Falten ebenfalls zum Deckel. Sie liegt daher auf Fläche A. 4. Auf der gegenüberliegenden Seite der Viererreihe ist kein weiteres Quadrat angefügt. Die Bodenfläche bleibt deshalb offen.

Fläche B liegt beim Falten auf der Deckfläche A. Die gegenüberliegende Bodenfläche bleibt offen.

- Stelle dir zuerst vor, welche Flächen beim Falten direkt an \(B\) angrenzen. - Verfolge dann, welche Fläche nach dem Hochklappen nicht an \(B\) anliegt, sondern ihr gegenüberliegt. - Du kannst die Quadrate der langen Reihe gedanklich nacheinander hochklappen.

1. Beim Falten werden die vier Quadrate A, B, C und D nacheinander um den Würfel gelegt. 2. Dabei liegen A und C einander gegenüber; ebenso liegen B und D einander gegenüber. 3. Die Seitenflügel E und F liegen sich ebenfalls gegenüber. 4. Da die Fläche \(B\) unten liegt, befindet sich die gegenüberliegende Fläche \(D\) oben.

Auf der Oberseite ist der Buchstabe \(D\) zu sehen.

- Wähle ein Quadrat als Ausgangsfläche und falte die angrenzenden Quadrate gedanklich darum. - Beobachte, welche Flächen nach dem Falten in entgegengesetzte Richtungen zeigen. - Prüfe dein Ergebnis daran, dass jede Würfelfläche genau eine Gegenfläche hat.

1. A und B liegen auf gegenüberliegenden Seiten der mittleren Fläche E. Beim Falten werden sie zu gegenüberliegenden Würfelflächen. 2. C und D liegen links und rechts von E. Auch diese beiden Flächen liegen sich nach dem Falten gegenüber. 3. Damit bleibt E als Gegenfläche zu F. 4. Die drei Gegenflächenpaare sind A–B, C–D und E–F.

A und B C und D E und F

- Betrachte zunächst nur den Streifen A–B–C–D. - Stelle dir vor, dieser Streifen wird zu einem geschlossenen Mantel gefaltet. - Verfolge, welche Fläche nach dem Schließen des Mantels nicht an A angrenzt.

1. Die vier Seitenflächen A, B, C und D werden beim Falten nacheinander um den Quader gelegt. 2. Dabei liegen jeweils die erste und dritte Seitenfläche einander gegenüber. 3. Fläche A liegt deshalb gegenüber von Fläche C.

Fläche C.

- Die Anzahl von sechs Quadraten allein entscheidet noch nicht, ob ein Würfelnetz entsteht. - Stell dir bei jeder Ergänzung das mittlere Quadrat als Ausgangsfläche vor und klappe die Nachbarflächen hoch. - Achte darauf, ob zwei Quadrate nach dem Falten dieselbe Stelle besetzen würden.

1. Bei A lassen sich die sechs Quadrate zu sechs verschiedenen Würfelflächen falten. A ist ein Würfelnetz. 2. Bei B würden beim Falten zwei Quadrate dieselbe Würfelfläche einnehmen. B ist kein Würfelnetz. 3. Bei C lassen sich wieder sechs verschiedene Würfelflächen bilden. C ist ein Würfelnetz. 4. Daher sind A und C gültige Ergänzungen.

A und C ergeben gültige Würfelnetze.

- Überlege zuerst, welche drei verschiedenen Flächengrößen bei diesem Quader vorkommen. - Jede dieser Flächengrößen muss im vollständigen Netz zweimal vorhanden sein. - Vergleiche die vorhandenen fünf Flächen mit den drei angebotenen Rechtecken.

1. Ein Quader mit den Kantenlängen \(4\), \(2\) und \(1\) hat je zwei Flächen der Größen \(4 \times 2\), \(4 \times 1\) und \(2 \times 1\). 2. Im Teilnetz sind bereits zwei Flächen der Größe \(4 \times 2\), zwei der Größe \(4 \times 1\) und eine der Größe \(2 \times 1\) vorhanden. 3. Es fehlt daher ein Rechteck der Größe \(2 \times 1\). Das ist c). Rechts neben \(C\) ergänzt es das Teilnetz zu einem passenden Quadernetz.

c), das Rechteck \(2 \times 1\).

- Sechs Quadrate allein reichen noch nicht aus, damit eine Anordnung ein Würfelnetz ist. - Stell dir bei jeder Anordnung ein Quadrat als Boden vor und klappe benachbarte Quadrate hoch. - Prüfe, ob zwei Quadrate nach dem Falten dieselbe Würfelfläche einnehmen würden.

1. Anordnung A lässt sich ohne Überlappung zu sechs verschiedenen Würfelflächen falten. 2. Auch Anordnung B lässt sich zu einem Würfel falten. 3. Bei Anordnung C, dem \(2\times3\)-Block, würden beim Falten Flächen aufeinanderliegen; sie ist kein Würfelnetz. 4. A und B sehen verschieden aus, ergeben aber denselben Körper. Ein Würfel kann also unterschiedliche Netze haben.

A und B lassen sich zu einem Würfel falten; C nicht. Verschiedene Anordnungen können also verschiedene Netze desselben Würfels sein.

- Falte gedanklich zuerst die vier Quadrate in der waagerechten Reihe zu einem Ring. - Verfolge dabei nur die beiden markierten Ecken. - Überlege, welche beiden Enden des Seitenstreifens sich beim Schließen des Würfels begegnen.

1. Die vier Quadrate A, B, C und D bilden beim Falten den umlaufenden Seitenstreifen des Würfels. 2. Dadurch kommt die markierte Ecke von D an dieselbe hintere Würfelecke wie die markierte Ecke von A. 3. Die rote und die blaue Markierung treffen sich daher beim Falten an derselben Würfelecke.

Ja. Die beiden markierten Ecken treffen sich an derselben Würfelecke.

- Eine Viererreihe kann die vier Seitenflächen eines Würfels bilden. - Die beiden übrigen Quadrate müssen so liegen, dass sie beim Falten die beiden noch fehlenden Flächen schließen. - Mehrere Lösungen sind möglich; eine eindeutig beschriebene gültige Position genügt.

1. Die fünf Quadrate A bis E liegen zunächst in einer geraden Reihe. Eine solche Fünferreihe kann nicht zu den Flächen eines Würfels gefaltet werden. 2. Eine mögliche Änderung ist, das Quadrat E aus der Reihe zu nehmen. 3. Wird E unter Quadrat C angeordnet, bleiben A, B, C und D als Viererreihe; F liegt über C und E unter C. 4. Diese Anordnung ist ein gültiges Würfelnetz. Andere richtige Lösungen sind ebenfalls möglich.

Eine mögliche Lösung: Quadrat E wird unter Quadrat C angeordnet.

- Betrachte die Quadrate 1 bis 4 als zusammenhängende Viererreihe. - Quadrat 5 liegt bereits auf einer Seite dieser Reihe. - Prüfe für jede Position unter 1, 2, 3 und 4, ob beim Falten eine freie Würfelfläche geschlossen wird, ohne dass sich Flächen überdecken.

1. Die Quadrate 1 bis 4 bilden eine Viererreihe; Quadrat 5 liegt oberhalb von Quadrat 4. 2. Beim Falten kann die Viererreihe die vier Seitenflächen des Würfels bilden. Quadrat 5 schließt eine der beiden übrigen Flächen. 3. Das sechste Quadrat kann unter Quadrat 1, 2, 3 oder 4 liegen. In jedem dieser vier Fälle entsteht ein gültiges Würfelnetz.

Unter Quadrat 1, unter Quadrat 2, unter Quadrat 3 oder unter Quadrat 4.