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- Berechne die vier Aufgaben der Reihe nach. - Vergleiche jeweils zwei benachbarte Aufgaben: Was verändert sich, was bleibt gleich? - Übertrage genau diese Veränderung auf die nächste Aufgabe.

1. Die Ergebnisse sind \(120\), \(130\), \(140\) und \(150\). 2. Der erste Summand wird von Aufgabe zu Aufgabe um \(10\) größer; der zweite Summand bleibt gleich. 3. Deshalb wird auch das Ergebnis jedes Mal um \(10\) größer. 4. Eine passende Fortsetzung ist \(140+20=160\).

Ergebnisse: \(120,130,140,150\). Eine passende Fortsetzung ist \(140+20=160\). Die Ergebnisse werden jeweils um \(10\) größer.

- Rechne die Aufgaben zuerst sorgfältig aus. - Vergleiche die Zehnerstellen und die Einerstellen der Aufgaben, die das gleiche Ergebnis haben. - Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn man eine große Ziffer von der Einerstelle an die Zehnerstelle verschiebt?

1. Berechnung der Summen: \(13 + 46 = 59\), \(16 + 43 = 59\), \(31 + 64 = 95\), \(34 + 61 = 95\). 2. Analyse Teil b): In beiden Aufgaben sind die Zehnerziffern (\(1\) und \(4\)) sowie die Einerziffern (\(3\) und \(6\)) identisch. Sie wurden lediglich innerhalb ihrer Stellenwerte getauscht (\(3+6\) zu \(6+3\)), was die Gesamtsumme nicht verändert. 3. Analyse Teil c): In den letzten beiden Aufgaben wurden die größeren Ziffern (\(3\), \(6\) statt \(1\), \(4\)) an die Zehnerstelle gesetzt. Da Zehner den zehnfachen Wert der Einer haben, steigt die Gesamtsumme deutlich an.

a) \(13 + 46 = 59\); \(16 + 43 = 59\); \(31 + 64 = 95\); \(34 + 61 = 95\). b) Die Zehnerziffern (\(1\) und \(4\)) und die Einerziffern (\(3\) und \(6\)) sind in beiden Aufgaben gleich, sie wurden nur vertauscht. c) Weil bei den letzten beiden Aufgaben größere Ziffern an der Zehnerstelle stehen.

- Schau dir an, wie sich die Zehnerziffer und die Einerziffer von einer Zeile zur nächsten verändern. - Berechne die Ergebnisse der neuen Aufgaben genau. - Überlege, was bei den Zahlen \(41\), \(52\) und \(63\) gemeinsam ist, wenn du die Ziffern voneinander abziehst.

1. Fortsetzen der Serie durch Erhöhen beider Ziffern um 1: \(74 - 47 = 27\) und \(85 - 58 = 27\). 2. Das Ergebnis bleibt immer \(27\), da der Unterschied zwischen Zehner- und Einerziffer bei allen Aufgaben gleich bleibt. 3. \(42 - 24 = 18\). Gegenüber \(27\) ist das Ergebnis damit um \(27 - 18 = 9\) kleiner. Weitere passende Aufgaben sind zum Beispiel \(53 - 35 = 18\) und \(64 - 46 = 18\).

a) \(74 - 47 = 27\) und \(85 - 58 = 27\). b) Das Ergebnis bleibt immer \(27\). c) \(42 - 24 = 18\); das Ergebnis wird also um \(9\) kleiner. Zwei weitere passende Aufgaben sind zum Beispiel \(53 - 35 = 18\) und \(64 - 46 = 18\). Andere passende Umkehrzahl-Aufgaben mit Ergebnis \(18\) sind ebenfalls möglich.

- Schau dir die Zahlen genau an: Was ist im Vergleich zur vorherigen Zeile gleich geblieben? - Rechne Schritt für Schritt von oben nach unten. - Konzentriere dich immer nur auf die Ziffer, die sich verändert hat.

1. Von \(300 + 400\) zu \(350 + 400\) ändert sich die Zehnerstelle des ersten Summanden: \(300 + 400 = 700\), \(350 + 400 = 750\). 2. Danach ändert sich die Zehnerstelle des zweiten Summanden: \(350 + 420 = 770\). 3. Anschließend ändert sich die Einerstelle des ersten Summanden: \(358 + 420 = 778\). 4. Zuletzt ändert sich die Einerstelle des zweiten Summanden: \(358 + 421 = 779\). Die Hunderterstellen bleiben in der ganzen Folge gleich.

Von der 1. zur 2. Aufgabe ändert sich die Zehnerstelle des ersten Summanden, von der 2. zur 3. die Zehnerstelle des zweiten, von der 3. zur 4. die Einerstelle des ersten und von der 4. zur 5. die Einerstelle des zweiten Summanden. Die Hunderterstellen bleiben gleich. \(300 + 400 = 700\) \(350 + 400 = 750\) \(350 + 420 = 770\) \(358 + 420 = 778\) \(358 + 421 = 779\)

- Vergleiche jede neue Aufgabe mit der Aufgabe darüber. - Welche Stelle (H, Z oder E) musst du neu berechnen? - Nutze das Ergebnis der vorherigen Aufgabe, um die neue Aufgabe leichter zu lösen.

1. Subtraktion der Hunderter: \(800 - 300 = 500\). 2. Änderung der Zehnerziffer im Minuenden: \(870 - 300 = 570\). 3. Änderung der Zehnerziffer im Subtrahenden: \(870 - 340 = 530\). 4. Änderung der Einerziffer im Minuenden: \(879 - 340 = 539\). 5. Änderung der Einerziffer im Subtrahenden: \(879 - 345 = 534\).

\(800 - 300 = 500\) \(870 - 300 = 570\) \(870 - 340 = 530\) \(879 - 340 = 539\) \(879 - 345 = 534\)

- Rechne zuerst die drei Aufgaben aus. - Schau dir die Zahlen an, die du abziehst. Wie verändern sie sich von Aufgabe zu Aufgabe? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du immer mehr abziehst?

1. Berechnung der einzelnen Differenzen durch Subtraktion von Zehnern von \(1000\): a) \(1000 - 20 = 980\), b) \(1000 - 40 = 960\), c) \(1000 - 60 = 940\). 2. Analyse der Zahlenfolge: Der Subtrahend (die abgezogene Zahl) wird in jedem Schritt um \(20\) größer. 3. Schlussfolgerung für das Ergebnis: Dadurch wird das Ergebnis (die Differenz) in jedem Schritt um \(20\) kleiner.

a) \(980\) b) \(960\) c) \(940\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse werden immer um \(20\) kleiner, weil die Zahl, die abgezogen wird, immer um \(20\) größer wird.

- Schau dir an, welche Ziffern in den Summanden oder beim Subtrahenden dazukommen oder wegfallen. - Überlege dir, ob sich nur die Hunderter, die Zehner oder die Einer verändern. - Kannst du das Ergebnis der nächsten Aufgabe finden, ohne alles neu zu rechnen?

1. In a) gilt: \(300 + 400 = 700\), \(320 + 400 = 720\), \(320 + 450 = 770\), \(326 + 450 = 776\), \(326 + 451 = 777\). Von Zeile 1 zu 2 und von 2 zu 3 ändert sich die Zehnerstelle des Ergebnisses; danach ändert sich jeweils die Einerstelle. 2. In b) gilt: \(800 - 500 = 300\), \(870 - 500 = 370\), \(870 - 530 = 340\), \(879 - 530 = 349\), \(879 - 534 = 345\). Auch hier ändern sich zunächst die Zehnerstellen und danach die Einerstellen der Ergebnisse.

a) \(700\), \(720\), \(770\), \(776\), \(777\). Von \(700\) zu \(720\) und von \(720\) zu \(770\) ändert sich die Zehnerstelle; von \(770\) zu \(776\) und von \(776\) zu \(777\) die Einerstelle. b) \(300\), \(370\), \(340\), \(349\), \(345\). Von \(300\) zu \(370\) und von \(370\) zu \(340\) ändert sich die Zehnerstelle; von \(340\) zu \(349\) und von \(349\) zu \(345\) die Einerstelle.

- Rechne zuerst die Aufgabe a) aus. - Schau dir die Zehner- und Einerstellen der Zahlen in den Aufgaben b), c) und d) genau an. - Was haben die Ausgangszahlen gemeinsam? - Vergleiche deine vier Ergebnisse miteinander.

1. Berechnung der einzelnen Differenzen: \(100 - 40 = 60\), \(300 - 240 = 60\), \(600 - 540 = 60\), \(900 - 840 = 60\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Alle Ergänzungszahlen sind gleich und lauten \(60\). Dies liegt daran, dass der Abstand zum jeweils nächsten vollen Hunderter immer gleich bleibt, wenn die Einer- und Zehnerstellen der Ausgangszahlen identisch sind.

a) \(60\) b) \(60\) c) \(60\) d) \(60\) Auffälligkeit: Die Ergänzungszahl ist immer \(60\).

- Rechne zuerst jedes Produkt einzeln aus. - Achte auf die Anzahl der Nullen in den Faktoren und im Ergebnis. - Vergleiche, ob ein Ergebnis genau das Zehnfache eines anderen ist oder ob sie gleich sind.

1. Berechnung der Ergebnisse: a) \(5 \cdot 10 = 50\) und \(5 \cdot 100 = 500\). Das zweite Ergebnis ist das Zehnfache des ersten (eine Null mehr). b) \(8 \cdot 100 = 800\) und \(80 \cdot 10 = 800\). Beide Ergebnisse sind gleich groß. c) \(30 \cdot 10 = 300\) und \(3 \cdot 10 = 30\). Das erste Ergebnis ist das Zehnfache des zweiten. d) \(10 \cdot 10 = 100\) und \(1 \cdot 100 = 100\). Beide Ergebnisse sind gleich groß.

a) \(50\) und \(500\) (Zehnfaches) b) \(800\) und \(800\) (gleich) c) \(300\) und \(30\) (Zehnfaches) d) \(100\) und \(100\) (gleich)

- Rechne zuerst alle sechs Aufgaben aus und schreibe dir die Ergebnisse auf. - Suche nach gleichen Ergebnissen und markiere sie. - Ordne danach die drei verschiedenen Ergebnisgrößen.

1. Die Ergebnisse sind a) \(300\), b) \(30\), c) \(30\), d) \(300\), e) \(3\) und f) \(300\). 2. Damit steht e) allein in der kleinsten Gruppe, b) und c) bilden die mittlere Gruppe, und a), d) und f) bilden die größte Gruppe.

a) \(300\) b) \(30\) c) \(30\) d) \(300\) e) \(3\) f) \(300\) g) e); b) = c); a) = d) = f).

- Schau dir an, wie viele Nullen bei der zweiten Zahl im Vergleich zur ersten Zahl dazugekommen sind. - Überlege, mit welcher Zahl du die erste Zahl multiplizieren musst, um das Ergebnis zu erhalten. - Gibt es Paare, bei denen du immer mit derselben Zahl malnimmst?

1. Berechnung der Multiplikationsfaktoren für jedes Paar: \(6 \cdot 10 = 60\), \(2 \cdot 100 = 200\), \(8 \cdot 10 = 80\), \(5 \cdot 100 = 500\), \(40 \cdot 10 = 400\), \(7 \cdot 100 = 700\). 2. Zusammenfassen der Paare mit Faktor 10: \(6 \rightarrow 60\), \(8 \rightarrow 80\), \(40 \rightarrow 400\). Die Regel lautet \(\cdot 10\). 3. Zusammenfassen der Paare mit Faktor 100: \(2 \rightarrow 200\), \(5 \rightarrow 500\), \(7 \rightarrow 700\). Die Regel lautet \(\cdot 100\).

Gruppe 1: \(6 \rightarrow 60\), \(8 \rightarrow 80\), \(40 \rightarrow 400\). Regel: \(\cdot 10\). Gruppe 2: \(2 \rightarrow 200\), \(5 \rightarrow 500\), \(7 \rightarrow 700\). Regel: \(\cdot 100\).

- Berechne für jedes Paar in einer Zeile, mit welcher Zahl multipliziert wurde. - Drei Paare in einer Zeile haben denselben Multiplikator, eines nicht. - Achte bei Aufgabe b) besonders genau auf die Anzahl der Nullen in beiden Zahlen.

1. Überprüfung von Zeile a): Die Paare \(4 \rightarrow 40\), \(8 \rightarrow 80\) und \(3 \rightarrow 30\) folgen der Regel \(\cdot 10\). Das Paar \(5 \rightarrow 500\) folgt der Regel \(\cdot 100\) und ist somit der Ausreißer. 2. Überprüfung von Zeile b): Die Paare \(2 \rightarrow 200\), \(6 \rightarrow 600\) und \(1 \rightarrow 100\) folgen der Regel \(\cdot 100\). Das Paar \(90 \rightarrow 900\) folgt der Regel \(\cdot 10\) (\(90 \cdot 10 = 900\)) und ist somit der Ausreißer.

a) Das Paar \(5 \rightarrow 500\) passt nicht (Regel \(\cdot 100\), während die anderen \(\cdot 10\) nutzen). b) Das Paar \(90 \rightarrow 900\) passt nicht (Regel \(\cdot 10\), während die anderen \(\cdot 100\) nutzen).

- Was verändert sich an der Zahl 8, wenn sie zu einer 80 wird? - Wie wirkt sich diese Veränderung auf das Gesamtergebnis aus? - Kannst du eine Regel finden, was mit der Null am Ende passiert?

1. Der Zusammenhang besteht darin, dass die Zahl \(80\) das Zehnfache von \(8\) ist. Daher ist auch das Ergebnis von \(3 \cdot 80\) das Zehnfache des Ergebnisses von \(3 \cdot 8\). 2. Berechnung von \(5 \cdot 90\): Die Grundaufgabe ist \(5 \cdot 9 = 45\). Das Zehnfache davon ist \(450\). 3. Berechnung von \(7 \cdot 40\): Die Grundaufgabe ist \(7 \cdot 4 = 28\). Das Zehnfache davon ist \(280\).

Zusammenhang: Da \(80\) das Zehnfache von \(8\) ist, ist das Ergebnis von \(3 \cdot 80\) (\(240\)) ebenfalls das Zehnfache von \(3 \cdot 8\) (\(24\)). \(5 \cdot 90 = 450\) \(7 \cdot 40 = 280\)

- Schau dir an, wie sich die Zahlen in den Aufgaben von Schritt zu Schritt verändern. - Vergleiche die erste Aufgabe von Reihe A mit der ersten Aufgabe von Reihe B. Was hat sich verändert? - Rechne zuerst die Ergebnisse aus und vergleiche dann die Zahlen untereinander.

1. Fortsetzung der Reihe A: \(6 \cdot 40 = 240\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(8 \cdot 40 = 320\). In jedem Schritt vergrößert sich das Ergebnis um \(40\). 2. Fortsetzung der Reihe B: \(6 \cdot 80 = 480\), \(7 \cdot 80 = 560\), \(8 \cdot 80 = 640\). In jedem Schritt vergrößert sich das Ergebnis um \(80\). 3. Vergleich: Die Ergebnisse in Reihe B sind genau doppelt so groß wie die Ergebnisse in Reihe A, da der zweite Faktor von \(40\) auf \(80\) verdoppelt wurde.

Reihe A: \(6 \cdot 40 = 240\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(8 \cdot 40 = 320\). Reihe B: \(6 \cdot 80 = 480\), \(7 \cdot 80 = 560\), \(8 \cdot 80 = 640\). Auffälligkeit: Die Ergebnisse in Reihe B sind immer doppelt so groß wie die Ergebnisse in Reihe A.

- Wie viel musst du zur ersten Zahl addieren, um zur nächsten ersten Zahl zu gelangen? - Bleibt die Zahl, durch die geteilt wird, immer gleich? - Schau dir die Ergebnisse an: Gibt es dort auch einen regelmäßigen Sprung?

1. Bestimmung des Musters beim Dividenden: Die erste Zahl erhöht sich in jedem Schritt um \(120\). 2. Berechnung der nächsten Dividenden: \(360 + 120 = 480\) und \(480 + 120 = 600\). 3. Berechnung der Ergebnisse: \(480 : 6 = 80\) und \(600 : 6 = 100\). 4. Analyse der Veränderung: Wenn der Dividend um \(120\) größer wird, wächst das Ergebnis bei gleichbleibendem Divisor (\(6\)) immer um \(20\).

Die nächsten Aufgaben sind: \(480 : 6 = 80\) \(600 : 6 = 100\) Regel: Der Dividend wird immer um \(120\) größer, dadurch wird das Ergebnis immer um \(20\) größer.

- Vergleiche in jedem Paar, welcher Faktor gleich bleibt und welcher sich verändert. - Beschreibe die Veränderung des Faktors als Multiplikation mit einer Zahl. - Prüfe, ob sich das Produkt in allen vier Paaren nach derselben Regel verändert.

1. Die Ergebnisse sind a) \(24\) und \(240\), b) \(21\) und \(210\), c) \(16\) und \(160\), d) \(45\) und \(450\). 2. In jedem Paar wird genau ein Faktor mit \(10\) multipliziert, während der andere Faktor gleich bleibt. 3. Deshalb wird auch das Produkt jeweils mit \(10\) multipliziert. Sein Wert wird zehnmal so groß.

a) \(24\) und \(240\) b) \(21\) und \(210\) c) \(16\) und \(160\) d) \(45\) und \(450\) Wird ein Faktor verzehnfacht und der andere bleibt gleich, wird auch das Produkt verzehnfacht.

- Schau dir die Zahlen genau an: Was verändert sich von der ersten zur zweiten Zeile? - Kannst du das Ergebnis der dritten Aufgabe finden, indem du die ersten beiden Ergebnisse nutzt? - Achte darauf, ob du Zehner oder Einer zu der Zahl hinzufügst.

1. Berechnung von Teil a: Zuerst werden die Zehner addiert (\(450 + 30 = 480\)), dann die Einer (\(450 + 6 = 456\)). Das dritte Ergebnis ist die Summe aus dem Grundwert und beiden Werten (\(450 + 36 = 486\)). 2. Berechnung von Teil b: Zuerst werden die Einer addiert (\(720 + 5 = 725\)), dann die Zehner (\(720 + 40 = 760\)). Das dritte Ergebnis kombiniert beide Schritte (\(720 + 45 = 765\)).

a) \(480\), \(456\), \(486\) b) \(725\), \(760\), \(765\)

- Rechne schrittweise: Erst die Zehner wegnehmen, dann die Einer. - Was passiert beim Abziehen der Einer mit dem Zehner der Ausgangszahl? - Die dritte Aufgabe zieht genau das ab, was die ersten beiden Aufgaben einzeln abgezogen haben.

1. Teil a: Subtraktion der Zehner ergibt \(960 - 40 = 920\). Subtraktion der Einer mit Zehnerübergang ergibt \(960 - 8 = 952\). Die Kombination beider Abzüge führt zu \(960 - 48 = 912\). 2. Teil b: Subtraktion der Zehner ergibt \(390 - 70 = 320\). Subtraktion der Einer mit Zehnerübergang ergibt \(390 - 2 = 388\). Die Kombination beider Abzüge führt zu \(390 - 72 = 318\).

a) \(920\), \(952\), \(912\) b) \(320\), \(388\), \(318\)

- Welche kleine Aufgabe aus dem Einmaleins hilft dir bei der großen Aufgabe? - Vergleiche Aufgaben, bei denen nur der Dividend verzehnfacht wird, mit Aufgaben, bei denen Dividend und Divisor gemeinsam verzehnfacht werden. - Prüfe, ob der Quotient bei diesen beiden Arten von Veränderung gleich bleibt oder sich ebenfalls verändert.

1. In a) gilt \(48 : 6 = 8\) und \(48 : 8 = 6\). Wird nur der Dividend von \(48\) auf \(480\) verzehnfacht, wird bei gleichem Divisor auch der Quotient verzehnfacht: \(480 : 6 = 80\). Werden dagegen Dividend und Divisor gemeinsam verzehnfacht, bleibt der Quotient gleich: Aus \(48 : 8 = 6\) folgt \(480 : 80 = 6\). 2. In b) gilt \(72 : 8 = 9\) und \(72 : 9 = 8\). Weil \(720\) und \(80\) jeweils das Zehnfache von \(72\) und \(8\) sind, bleibt der Quotient bei \(720 : 80 = 9\) gleich. Bei \(720 : 9\) ist nur der Dividend verzehnfacht; deshalb ist der Quotient \(80\).

a) \(48 : 6 = 8\), \(48 : 8 = 6\), \(480 : 6 = 80\), \(480 : 80 = 6\) b) \(72 : 8 = 9\), \(72 : 9 = 8\), \(720 : 80 = 9\), \(720 : 9 = 80\)

- Vergleiche, um wie viel der Dividend von Zeile zu Zeile wächst. - Setze diesen Zuwachs in Beziehung zum gleichbleibenden Divisor. - Beobachte anschließend die Schrittweite der Quotienten.

1. Die Quotienten sind \(21 : 7 = 3\), \(28 : 7 = 4\), \(35 : 7 = 5\), \(42 : 7 = 6\) und \(49 : 7 = 7\). 2. Der Dividend wächst in jedem Schritt genau um den Divisor \(7\). Deshalb passt eine weitere \(7\) hinein, und der Quotient wird jeweils um \(1\) größer.

a) \(3\) b) \(4\) c) \(5\) d) \(6\) e) \(7\) Weil der Dividend jeweils um den Divisor \(7\) wächst, wird der Quotient jeweils um \(1\) größer.

- Was fällt dir an den Nullen in den Aufgaben auf? - Kannst du die Aufgabe zuerst ohne die Null am Ende rechnen? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn ein Faktor zehnmal so groß wird? - Erinnerst du dich an das kleine Einmaleins?

1. Berechnung des ersten Paares: \(4 \cdot 2 = 8\). Da der zweite Faktor zehnmal so groß ist, gilt \(4 \cdot 20 = 80\). 2. Berechnung des zweiten Paares: \(3 \cdot 5 = 15\). Durch Multiplikation mit \(10\) ergibt sich \(3 \cdot 50 = 150\). 3. Berechnung des dritten Paares: \(6 \cdot 3 = 18\). Mit der Zehnerregel folgt \(6 \cdot 30 = 180\). 4. Berechnung des vierten Paares: \(8 \cdot 4 = 32\). Somit ist \(8 \cdot 40 = 320\).

1) \(4 \cdot 2 = 8\) und \(4 \cdot 20 = 80\) 2) \(3 \cdot 5 = 15\) und \(3 \cdot 50 = 150\) 3) \(6 \cdot 3 = 18\) und \(6 \cdot 30 = 180\) 4) \(8 \cdot 4 = 32\) und \(8 \cdot 40 = 320\)

- Nutze zu jeder Division die passende Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins. - Vergleiche erst die Quotienten, nachdem du alle fünf Aufgaben berechnet hast. - Suche den einzigen Quotienten, der von den übrigen abweicht.

1. \(24 : 6 = 4\). 2. \(28 : 7 = 4\). 3. \(32 : 8 = 4\). 4. \(35 : 7 = 5\). 5. \(36 : 9 = 4\). 6. Nur Aufgabe d) hat mit \(5\) ein anderes Ergebnis; die vier anderen Quotienten sind \(4\).

a) \(4\) b) \(4\) c) \(4\) d) \(5\) e) \(4\) Aufgabe d) passt nicht zu den anderen.

- Vergleiche die Faktoren der beiden großen Aufgaben jeweils mit \(7 \cdot 4\). - Welcher Faktor bleibt gleich, und welcher wird mit \(10\) multipliziert? - Suche für Teil c) ein anderes Faktorenpaar mit demselben Produkt und mindestens einer Zehnerzahl.

1. \(7 \cdot 4 = 28\), \(7 \cdot 40 = 280\) und \(70 \cdot 4 = 280\). 2. In den beiden großen Aufgaben wurde jeweils genau ein Faktor gegenüber \(7 \cdot 4\) verzehnfacht. Deshalb ist auch das Produkt jeweils zehnmal so groß: \(28 \cdot 10 = 280\). 3. Weitere passende Aufgaben sind zum Beispiel \(28 \cdot 10 = 280\) oder \(14 \cdot 20 = 280\).

a) \(28\), \(280\) und \(280\). b) Wird genau ein Faktor verzehnfacht und der andere bleibt gleich, wird auch das Produkt verzehnfacht. Deshalb sind \(7 \cdot 40\) und \(70 \cdot 4\) beide \(280\). c) Zum Beispiel \(28 \cdot 10 = 280\) oder \(14 \cdot 20 = 280\). Andere passende Aufgaben sind möglich.

- Rechne zuerst alle Aufgaben einzeln aus. - Schau dir die Ergebnisse genau an. Gibt es eine Zahl, die öfter vorkommt? - Welches Ergebnis unterscheidet sich von den anderen?

1. \(240 : 3 = 80\). 2. \(400 : 5 = 80\). 3. \(560 : 7 = 80\). 4. \(210 : 3 = 70\). 5. \(640 : 8 = 80\). 6. Vier Aufgaben haben das Ergebnis \(80\). Nur Aufgabe d) hat das Ergebnis \(70\) und passt deshalb nicht in die Reihe.

a) \(240 : 3 = 80\) b) \(400 : 5 = 80\) c) \(560 : 7 = 80\) d) \(210 : 3 = 70\) e) \(640 : 8 = 80\) Aufgabe d) passt nicht in die Reihe, weil nur dort der Quotient \(70\) statt \(80\) ist.

- Schau dir an, wie sich die Teiler (\(2\), \(4\) und \(8\)) verändern. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du durch eine größere Zahl teilst? - Vergleiche die Ergebnisse der Aufgaben nacheinander. - Kannst du das Ergebnis der ersten Aufgabe nutzen, um die zweite leichter zu lösen?

1. Berechnung von \(640 : 2\): Das Ergebnis ist \(320\). 2. Berechnung von \(640 : 4\): Da der Teiler verdoppelt wurde, wird das Ergebnis halbiert. \(320 : 2 = 160\). 3. Berechnung von \(640 : 8\): Da der Teiler erneut verdoppelt wurde, wird das Ergebnis wieder halbiert. \(160 : 2 = 80\). 4. Feststellung der Regel: Wenn der Teiler bei gleichem Dividenden verdoppelt wird, halbiert sich das Ergebnis.

a) \(320\) b) \(160\) c) \(80\) Regel: Wenn sich der Teiler verdoppelt, halbiert sich der Quotient.

- Rechne zuerst die Aufgaben mit der \(10\). - Vergleiche die beiden Ergebnisse in jedem Paar. Was fällt dir auf? - Wie oft passt die \(20\) in eine Zahl im Vergleich zur \(10\)? - Kannst du eine Regel formulieren, die das Halbieren nutzt?

1. Berechnung für a): \(340 : 10 = 34\). Da \(20\) das Doppelte von \(10\) ist, ist das Ergebnis der Division durch \(20\) die Hälfte: \(34 : 2 = 17\). 2. Berechnung für b): \(520 : 10 = 52\). Die Hälfte von \(52\) ist \(26\), also \(520 : 20 = 26\). 3. Berechnung für c): \(780 : 10 = 78\). Die Hälfte von \(78\) ist \(39\), also \(780 : 20 = 39\). 4. Feststellung: Das Ergebnis der Division durch \(20\) ist immer genau die Hälfte des Ergebnisses der Division durch \(10\).

a) \(340 : 10 = 34\), \(340 : 20 = 17\) b) \(520 : 10 = 52\), \(520 : 20 = 26\) c) \(780 : 10 = 78\), \(780 : 20 = 39\) Regel: Halbiere den Quotienten der Division durch \(10\), um den Quotienten der Division durch \(20\) zu erhalten.

- Schau dir die Teiler genau an. Fällt dir eine Beziehung zwischen ihnen auf? - Wenn du die erste Aufgabe einer Reihe gelöst hast, hilft dir das Ergebnis vielleicht bei der nächsten? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn sich der Teiler verdoppelt? - Du kannst die große Zahl auch in zwei kleinere Zahlen zerlegen, die leichter zu teilen sind.

1. Berechnung von \(360 : 2 = 180\). 2. Berechnung von \(360 : 4 = 90\) (da \(4\) das Doppelte von \(2\) ist, wird das Ergebnis halbiert). 3. Berechnung von \(360 : 8 = 45\) (da \(8\) das Doppelte von \(4\) ist, wird das Ergebnis halbiert). 4. Berechnung von \(360 : 3 = 120\). 5. Berechnung von \(360 : 6 = 60\) (da \(6\) das Doppelte von \(3\) ist, wird das Ergebnis halbiert). 6. Berechnung von \(360 : 9 = 40\) (da \(9\) das Dreifache von \(3\) ist, wird das Ergebnis durch \(3\) geteilt).

a) \(180\), \(90\), \(45\) b) \(120\), \(60\), \(40\)

- Schau dir an, um wie viel die erste Zahl von Zeile zu Zeile wächst. - Überlege, ob das Ergebnis im gleichen Maße wächst oder schrumpft. - Wie viel musst du zu \(370\) dazutun, um auf \(400\) zu kommen?

1. Der erste Summand wird in jedem Schritt um \(10\) größer: \(360 - 350 = 10\) und \(370 - 360 = 10\). 2. Da der zweite Summand gleich bleibt, wird auch die Summe jeweils um \(10\) größer: \(470\), \(480\), \(490\). 3. Von \(370\) zu \(400\) beträgt der Unterschied \(400 - 370 = 30\). Deshalb wächst auch die bekannte Summe \(490\) um \(30\): \(490 + 30 = 520\).

a) Der erste Summand wird immer um \(10\) größer. b) Die Summe wird ebenfalls immer um \(10\) größer. c) \(400 - 370 = 30\). Deshalb folgt aus \(370 + 120 = 490\): \(490 + 30 = 520\). Also ist \(400 + 120 = 520\).

- Stell dir die Rechnung mit einfachen Zahlen vor, zum Beispiel \(10 + 10 = 20\). Was passiert dort, wenn du eine Zahl änderst? - Überlege dir schrittweise, ob das Gesamtergebnis durch die Änderung größer oder kleiner werden muss. - Kannst du die beiden Änderungen zu einer einzigen Veränderung zusammenfassen?

1. Wenn zu einem Summanden eine Zahl addiert wird, erhöht sich die Summe um denselben Betrag. Die Summe vergrößert sich also um \(80\). 2. Wenn von einem Summanden eine Zahl subtrahiert wird, verringert sich die Summe um diesen Betrag. Die Summe verkleinert sich also um \(30\). 3. Bei gleichzeitiger Durchführung beider Änderungen wird die Summe erst um \(80\) größer und dann um \(30\) kleiner. Die Gesamtänderung berechnet sich durch \(80 - 30 = 50\). 4. Die neue Summe ergibt sich aus der ursprünglichen Summe plus der Gesamtänderung: \(450 + 50 = 500\).

a) Die Summe vergrößert sich um \(80\). b) Die Summe verkleinert sich um \(30\). c) Die neue Summe lautet \(500\). Die Summe ist insgesamt um \(50\) größer geworden, da \(80 - 30 = 50\) ist.

- Probiere es mit einer einfachen Beispielaufgabe wie \(100 - 20 = 80\) aus. - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Anfang mehr hast? - Was passiert mit dem Rest, wenn du mehr wegnimmst?

1. Teilaufgabe a: Wenn die Zahl, von der abgezogen wird (Minuend), um \(65\) größer wird, vergrößert sich auch der Abstand zur zweiten Zahl. Das Ergebnis (die Differenz) steigt um \(65\). 2. Teilaufgabe b: Wenn die Zahl, die abgezogen wird (Subtrahend), um \(65\) größer wird, bleibt weniger vom Minuenden übrig. Das Ergebnis (die Differenz) sinkt um \(65\).

a) Die Differenz vergrößert sich um \(65\). b) Die Differenz verkleinert sich um \(65\).

- Was passiert mit einer Summe, wenn man nur eine Zahl verändert? - Rechne zuerst aus, wie die beiden Zahlen nach der Änderung heißen. - Vergleiche dann dein neues Ergebnis mit der Zahl 550. - Du kannst auch überlegen: Wenn du 50 dazugibst, aber 80 wegnimmst, hast du dann am Ende mehr oder weniger als vorher?

1. Berechnung des ersten neuen Summanden: \(430 + 50 = 480\). 2. Berechnung des zweiten neuen Summanden: \(120 - 80 = 40\). 3. Berechnung der neuen Summe: \(480 + 40 = 520\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(550 - 520 = 30\). 5. Die Summe hat sich insgesamt um \(30\) verringert, da die Verringerung (\(80\)) stärker war als die Erhöhung (\(50\)).

Das neue Ergebnis ist \(520\). Das Ergebnis ist im Vergleich zum ursprünglichen Ergebnis um \(30\) kleiner geworden.

- Kannst du die erste Aufgabe mit einer Minusrechnung lösen? - Überlege bei b), wie sich das Ergebnis verändert, wenn du am Anfang mehr Geld hast, aber die Kosten gleich bleiben. - Was passiert bei c) mit dem Restgeld, wenn du mehr ausgeben musst? - Musst du bei b) und c) wirklich alles neu rechnen oder kannst du das Ergebnis von a) nutzen?

1. Berechnung des Restbetrags durch Subtraktion der Kosten vom Ersparten: \(350\,\text{€} - 120\,\text{€} = 230\,\text{€}\). 2. Anpassung des Startbetrags um \(+100\,\text{€}\): \(450\,\text{€} - 120\,\text{€} = 330\,\text{€}\). Alternativ: Das Ergebnis aus a) erhöht sich um den gleichen Betrag (\(230\,\text{€} + 100\,\text{€} = 330\,\text{€}\)). 3. Anpassung der Kosten um \(+20\,\text{€}\): \(350\,\text{€} - 140\,\text{€} = 210\,\text{€}\). Alternativ: Das Ergebnis aus a) verringert sich um diesen Betrag (\(230\,\text{€} - 20\,\text{€} = 210\,\text{€}\)).

a) \(230\,\text{€}\) b) \(330\,\text{€}\) c) \(210\,\text{€}\)

- Vergleiche die Startanzahl der Brötchen bei beiden Bäckern. - Wenn die Verkaufszahl gleich bleibt, wie wirkt sich der Unterschied am Anfang auf das Endergebnis aus? - Musst du für die zweite Aufgabe wirklich eine ganz neue Minusaufgabe rechnen?

1. Giulia Bianchi bleiben \(150 - 65 = 85\) Brötchen. 2. Pavel Novák beginnt mit \(20\) Brötchen weniger, verkauft aber dieselbe Anzahl. Deshalb ist auch sein Rest um \(20\) kleiner als Giulias Rest. 3. Aus dem Ergebnis von a) folgt direkt \(85 - 20 = 65\). Pavel Novák bleiben \(65\) Brötchen.

a) Giulia Bianchi bleiben \(150 - 65 = 85\) Brötchen. b) Pavel Novák hatte zu Beginn \(20\) Brötchen weniger und verkauft gleich viele. Deshalb sind auch \(20\) weniger übrig: \(85 - 20 = 65\). Ihm bleiben \(65\) Brötchen.

- Überlege dir zuerst, was passiert, wenn du nur eine der beiden Zahlen veränderst. - Wird das Gesamtergebnis größer oder kleiner, wenn du eine Zahl in einer Plusaufgabe verkleinerst? - Du kannst die Veränderungen nacheinander auf das Ergebnis anwenden.

1. Berechnung der Veränderung durch den ersten Summanden: Eine Vergrößerung eines Summanden vergrößert die Gesamtsumme um denselben Betrag, also \(420 + 50 = 470\). 2. Berechnung der Veränderung durch den zweiten Summanden: Eine Verkleinerung eines Summanden verringert die Gesamtsumme um denselben Betrag, also \(470 - 30 = 440\). 3. Die neue Summe beträgt \(440\).

Die neue Summe ist \(440\).

- Rechne zuerst die Aufgaben aus Teil a) aus und schaue dir die Ergebnisse genau an. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die erste Zahl einer Minusaufgabe größer wird? - Wie lautet der neue Subtrahend, wenn du \(100\) um \(50\) vergrößerst? - Überlege dir, ob das Ergebnis kleiner oder größer werden muss, wenn man mehr abzieht.

1. Berechnung der Ergebnisse: \(400 - 100 = 300\), \(450 - 100 = 350\), \(500 - 100 = 400\). 2. Vergleich der Ergebnisse aus Teil a: Wenn der Minuend um \(50\) vergrößert wird, steigt auch das Ergebnis (die Differenz) um \(50\). 3. Berechnung für Teil c: Bei \(400 - (100 + 50) = 400 - 150\) ergibt sich \(250\). 4. Vergleich mit dem ursprünglichen Ergebnis: Das Ergebnis verringert sich um \(50\), wenn der Subtrahend um \(50\) vergrößert wird.

a) \(300\), \(350\), \(400\). b) Das Ergebnis vergrößert sich ebenfalls um \(50\). c) Das Ergebnis verringert sich um \(50\).

- Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Was passiert mit dem Abstand, wenn die hintere Zahl näher an die vordere heranrückt? - Probiere es zuerst mit ganz einfachen Zahlen aus, zum Beispiel \(10 - 4 = 6\). Was passiert, wenn du die \(4\) um \(2\) vergrößerst? - Wird der Rest größer oder kleiner, wenn du mehr wegnimmst?

1. Identifikation der Rollen: Die kleinere Zahl in einer Differenz ist der Subtrahend. 2. Analyse der Änderung: Wenn der Subtrahend um einen Betrag vergrößert wird, verringert sich die Differenz um genau diesen Betrag. 3. Berechnung der neuen Differenz: \(240 - 60 = 180\).

Der neue Unterschied beträgt \(180\).

- Kannst du die Aufgabe mit einer Minusrechnung lösen? - Überlege bei Teil b), ob der Restbetrag größer oder kleiner werden muss, wenn man schon mehr geschafft hat. - Was passiert bei Teil c) mit der Lücke zum Ziel, wenn das Ziel weiter nach oben rutscht?

1. Berechnung des fehlenden Betrags durch Subtraktion des bereits gesparten Geldes vom Zielbetrag: \(450\,\text{€} - 280\,\text{€} = 170\,\text{€}\). 2. Wenn \(30\,\text{€}\) mehr gespart worden wären, verringert sich der fehlende Betrag um diesen Wert: \(170\,\text{€} - 30\,\text{€} = 140\,\text{€}\). 3. Wenn der Gesamtpreis um \(30\,\text{€}\) steigt, erhöht sich auch der fehlende Betrag um diesen Wert: \(170\,\text{€} + 30\,\text{€} = 200\,\text{€}\).

a) Es fehlen noch \(170\,\text{€}\). b) Es würden noch \(140\,\text{€}\) fehlen. c) Es würden noch \(200\,\text{€}\) fehlen.

- Wie viele Bilder hat Lukas nach der Abgabe noch? - Wie viele Bilder hat Marie nach der Abgabe noch? - Vergleiche die Startzahlen und die abgegebenen Zahlen von Lukas und Marie. Fällt dir etwas auf? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn man beide Zahlen um den gleichen Betrag vergrößert?

1. Berechnung der restlichen Bilder bei Lukas: \(360 - 140 = 220\). 2. Berechnung der restlichen Bilder bei Marie: \(390 - 170 = 220\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide haben mit \(220\) gleich viele Bilder übrig. 4. Logische Begründung: Marie hat \(30\) Bilder mehr als Lukas (\(390 - 360 = 30\)), gibt aber auch genau \(30\) Bilder mehr ab (\(170 - 140 = 30\)). Da Minuend und Subtrahend um denselben Betrag erhöht wurden, bleibt die Differenz gleich.

Beide haben am Ende gleich viele Bilder übrig (\(220\) Stück). Marie hat zwar \(30\) Bilder mehr als Lukas, gibt aber auch \(30\) Bilder mehr ab als er.

- Schau dir die erste Zahl (den Minuenden) bei beiden Aufgaben an. Was fällt dir auf? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn man eine größere Zahl abzieht? - Vergleiche nur die Zahlen, die abgezogen werden. Wie groß ist der Unterschied zwischen ihnen?

1. Beide Aufgaben haben denselben Minuenden \(500\). 2. Ben zieht mit \(180\) mehr ab als Anja mit \(140\). Deshalb ist Bens Rest kleiner und Anjas Ergebnis größer. 3. Der Unterschied der Ergebnisse entspricht bei gleichem Minuenden dem Unterschied der Subtrahenden: \(180 - 140 = 40\). 4. Anjas Ergebnis ist daher um \(40\) größer als Bens Ergebnis.

Anja erhält das größere Ergebnis, weil beide von \(500\) starten, Ben aber mehr abzieht. Die Subtrahenden unterscheiden sich um \(180 - 140 = 40\); deshalb ist Anjas Ergebnis um \(40\) größer als Bens Ergebnis.

- Überlege dir zuerst, was passiert, wenn du von einer Menge mehr wegnimmst. - Was passiert, wenn du am Anfang schon mehr hast, aber die gleiche Menge wegnimmst? - Du kannst die neuen Aufgaben einfach ausrechnen und mit dem alten Ergebnis vergleichen.

1. Berechnung für Teil a): Die erste Zahl wird zu \(580 + 40 = 620\). Die neue Rechnung lautet \(620 - 230 = 390\). Das Ergebnis ist um \(40\) größer als vorher (\(390 - 350 = 40\)). 2. Berechnung für Teil b): Die zweite Zahl wird zu \(230 + 40 = 270\). Die neue Rechnung lautet \(580 - 270 = 310\). Das Ergebnis ist um \(40\) kleiner als vorher (\(350 - 310 = 40\)).

a) Das Ergebnis wird um \(40\) größer (neues Ergebnis: \(390\)). b) Das Ergebnis wird um \(40\) kleiner (neues Ergebnis: \(310\)).

- Rechne zuerst alle Aufgaben nacheinander aus. - Vergleiche die Endergebnisse der vier Rechnungen. - Gibt es eine Gemeinsamkeit zwischen den Zahlen, die herausgekommen sind?

1. Berechnung der einzelnen Summen: \(260 + 380 = 640\) \(450 + 190 = 640\) \(170 + 470 = 640\) \(540 + 100 = 640\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Alle vier Rechnungen führen zum gleichen Ergebnis \(640\).

a) \(640\) b) \(640\) c) \(640\) d) \(640\) Auffälligkeit: Alle Ergebnisse sind gleich.

- Schau dir die Zahlen \(4\) und \(8\) genau an. In welcher Beziehung stehen sie zueinander? - Musst du für b) wirklich alles neu rechnen oder helfen dir die Ergebnisse aus a)? - Vergleiche jeweils dieselbe Ausgangszahl in a) und b).

1. Mit \(4\) ergeben sich \(60 \cdot 4 = 240\), \(80 \cdot 4 = 320\), \(110 \cdot 4 = 440\) und \(120 \cdot 4 = 480\). 2. Mit \(8\) ergeben sich \(60 \cdot 8 = 480\), \(80 \cdot 8 = 640\), \(110 \cdot 8 = 880\) und \(120 \cdot 8 = 960\). 3. Die Ergebnisse aus b) sind jeweils doppelt so groß wie die entsprechenden Ergebnisse aus a), weil \(8\) das Doppelte von \(4\) ist.

a) \(240\), \(320\), \(440\), \(480\) b) \(480\), \(640\), \(880\), \(960\) c) Die Ergebnisse aus b) sind jeweils doppelt so groß wie die entsprechenden Ergebnisse aus a).

- Kannst du die große Zahl am Anfang in zwei einfachere Zahlen zerlegen, die du gut durch den Teiler teilen kannst? - Denke an die Zehnerzahlen: Wie oft passt der Teiler in den Hunderter-Teil der Zahl? - Hilft es dir, erst die Aufgabe ohne die Null am Ende zu betrachten und dann die Zehnerstelle wieder zu berücksichtigen?

1. Berechnung von \(420 : 3\): Zerlegung in \(300 : 3 = 100\) und \(120 : 3 = 40\), ergibt \(140\). 2. Berechnung von \(560 : 4\): Zerlegung in \(400 : 4 = 100\) und \(160 : 4 = 40\), ergibt \(140\). 3. Berechnung von \(700 : 5\): Zerlegung in \(500 : 5 = 100\) und \(200 : 5 = 40\), ergibt \(140\). 4. Berechnung von \(840 : 6\): Zerlegung in \(600 : 6 = 100\) und \(240 : 6 = 40\), ergibt \(140\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Alle vier Aufgaben haben das gleiche Ergebnis \(140\).

a) \(140\) b) \(140\) c) \(140\) d) \(140\) Alle Ergebnisse sind gleich groß.

- Wie hängen die Zahlen \(4\) und \(8\) zusammen? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Teilung, wenn du durch eine doppelt so große Zahl teilst? - Vergleiche jeweils dieselbe Ausgangszahl in a) und b).

1. Durch \(4\) ergeben sich \(40\), \(80\), \(120\), \(160\) und \(200\). 2. Durch \(8\) ergeben sich \(20\), \(40\), \(60\), \(80\) und \(100\). 3. Da der Divisor \(8\) doppelt so groß ist wie \(4\), sind die Ergebnisse in b) jeweils halb so groß wie in a).

a) \(40\), \(80\), \(120\), \(160\), \(200\) b) \(20\), \(40\), \(60\), \(80\), \(100\) c) Die Ergebnisse aus b) sind jeweils halb so groß wie die entsprechenden Ergebnisse aus a).

- Nutze zu jeder Division die passende Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins. - Notiere die Quotienten zunächst neben den sechs Aufgaben. - Ordne anschließend Aufgaben mit demselben Quotienten zu einem Paar.

1. Die Quotienten sind \(A: 40 : 8 = 5\), \(B: 42 : 7 = 6\), \(C: 45 : 9 = 5\), \(D: 54 : 9 = 6\), \(E: 28 : 7 = 4\) und \(F: 32 : 8 = 4\). 2. Damit gehören A und C zusammen, B und D sowie E und F.

A und C haben beide das Ergebnis \(5\). B und D haben beide das Ergebnis \(6\). E und F haben beide das Ergebnis \(4\).

- Betrachte zunächst immer nur die Änderung eines Summanden. - Wie wirkt sich eine Vergrößerung oder Verkleinerung eines Summanden auf die Summe aus? - Bei c) wirken zwei Änderungen gleichzeitig. Verbinde ihre Auswirkungen.

1. a) Wird ein Summand um \(40\) größer, wird auch die Summe um \(40\) größer. Das neue Ergebnis ist \(390\). 2. b) Wird ein Summand um \(30\) kleiner, wird auch die Summe um \(30\) kleiner. Das neue Ergebnis wäre \(320\). 3. c) Beide Summanden werden um \(20\) größer. Zusammen wächst die Summe um \(20+20=40\). Das neue Ergebnis ist \(350+40=390\).

a) Die Summe wird um \(40\) größer. b) Die Summe wird um \(30\) kleiner. c) Die Summe wird um \(40\) größer; das neue Ergebnis ist \(390\).

- Betrachte die Wirkung der beiden Änderungen zunächst getrennt. - Welche der beiden Änderungen ist größer? - Vergleiche die beiden Beträge, um die Gesamtwirkung auf die Summe zu bestimmen.

1. Durch die Erhöhung des ersten Summanden würde die Summe um \(120\) wachsen. 2. Durch die Verringerung des zweiten Summanden würde die Summe um \(150\) sinken. 3. Die Verringerung ist um \(150-120=30\) größer als die Erhöhung. Deshalb wird die Summe insgesamt um \(30\) kleiner.

Die Summe verringert sich um \(30\).

- Was passiert mit einem Rest, wenn du weniger wegnimmst als vorher? - Überlege, ob sich die Differenz in die gleiche oder in die entgegengesetzte Richtung wie der Subtrahend verändert. - Nutze eine einfache Beispielaufgabe, wenn du die Wirkung prüfen möchtest.

1. Der Subtrahend wird um \(40\) kleiner. Es wird also \(40\) weniger abgezogen als vorher. 2. Deshalb wird die Differenz um \(40\) größer. 3. Die neue Differenz ist \(380+40=420\).

Die neue Differenz ist \(420\).

- Ein Stein in einer Zahlenmauer ist die Summe der beiden Steine direkt darunter. - Berechne die Mauer von unten nach oben. - Vergleiche am Ende die zusätzliche Additionsrechnung mit dem Spitzenstein.

1. Zweite Reihe: \(15+22=37\) und \(22+13=35\). 2. Spitzenstein: \(37+35=72\). 3. Summe der Grundreihe: \(15+22+13=50\). 4. Mit der mittleren Zahl nochmals: \(50+22=72\). 5. Das Ergebnis ist gleich dem Spitzenstein.

a) Die zweite Reihe lautet \(37\) und \(35\); der Spitzenstein ist \(72\). b) \(15+22+13+22=72\). Das Ergebnis ist genau der Wert des Spitzensteins.

- Rechne zuerst die Mauer im Bild fertig aus. - Erstelle eine zweite Mauer, bei der jeder Stein in der untersten Reihe um \(3\) größer ist. - Vergleiche die beiden Ergebnisse an der Spitze.

1. Ursprünglich entstehen aus \(1\), \(4\), \(2\) die Steine \(5\) und \(6\); der Zielstein ist \(11\). 2. Nach der Erhöhung um \(3\) lauten die Grundsteine \(4\), \(7\), \(5\). Daraus entstehen \(11\) und \(12\); der neue Zielstein ist \(23\). 3. Der neue Zielstein ist um \(23 - 11 = 12\) größer.

Ursprüngliche Mauer: untere Reihe \(1\), \(4\), \(2\); mittlere Reihe \(5\), \(6\); Zielstein \(11\). Neue Mauer: untere Reihe \(4\), \(7\), \(5\); mittlere Reihe \(11\), \(12\); Zielstein \(23\). Der Zielstein wird um \(23 - 11 = 12\) größer.

- Verfolge, an welchen beiden Seiten die veränderte obere Ecke beteiligt ist. - Eine Seite, deren beide Eckzahlen unverändert bleiben, behält auch ihr Produkt. - Prüfe deine Vorhersage danach durch Berechnen der Produkte.

1. Die obere Ecke gehört zu den Seiten oben rechts und oben links. Deshalb verdoppeln sich dort die Produkte. 2. Die untere Seite verwendet nur die beiden unveränderten unteren Ecken und bleibt daher gleich. 3. a): \(3 \cdot 4 = 12\), \(4 \cdot 5 = 20\), \(5 \cdot 3 = 15\). 4. b): \(6 \cdot 4 = 24\), \(4 \cdot 5 = 20\), \(5 \cdot 6 = 30\).

Die Seitenprodukte oben rechts und oben links verdoppeln sich. Das untere Seitenprodukt bleibt gleich. a): \(12, 20, 15\); b): \(24, 20, 30\).

- Vergleiche benachbarte Aufgaben, bevor du nur auf die Ergebnisse schaust. - Wie verändert sich der erste Summand von Zeile zu Zeile? - Was geschieht gleichzeitig mit dem zweiten Summanden?

1. Alle vier Summen sind \(200\). 2. Von Aufgabe zu Aufgabe wird der erste Summand um \(10\) größer und der zweite um \(10\) kleiner. 3. Deshalb bleibt die Summe gleich. 4. Eine passende Fortsetzung ist \(168+32=200\).

Die Ergebnisse sind jeweils \(200\). Eine passende Fortsetzung ist \(168+32=200\). Wird ein Summand um \(10\) erhöht und der andere um \(10\) vermindert, bleibt die Summe gleich.

- Wie verändern sich Minuend und Subtrahend jeweils von einer Zeile zur nächsten? - Denke bei einer Differenz an den Abstand zweier Zahlen. - Was passiert mit diesem Abstand, wenn beide Zahlen gleich stark wachsen?

1. Jede gegebene Differenz ist \(422\). 2. Minuend und Subtrahend werden jeweils gleichzeitig um \(10\) erhöht. 3. Ihr Abstand bleibt dadurch gleich. 4. Eine passende Fortsetzung ist \(583-161=422\).

Alle Ergebnisse sind \(422\). Eine passende Fortsetzung ist \(583-161=422\). Weil beide Zahlen jeweils um \(10\) steigen, bleibt ihre Differenz unverändert.

- Welche Zahl bleibt in allen Produkten gleich? - Um wie viel steigt der andere Faktor jeweils? - Welche Wirkung hat diese Faktoränderung auf das Produkt?

1. Die Ergebnisse sind \(60\), \(100\), \(140\) und \(180\). 2. Der zweite Faktor steigt jeweils um \(10\). 3. Deshalb steigt das Produkt jeweils um \(4\cdot10=40\). 4. Eine passende Fortsetzung ist \(4\cdot55=220\).

Ergebnisse: \(60,100,140,180\). Eine passende Fortsetzung ist \(4\cdot55=220\). Die Ergebnisse steigen jeweils um \(40\).

- Um wie viel wächst der Dividend von Zeile zu Zeile? - Teile genau diese Veränderung durch den unveränderten Divisor. - Passt dieser Wert zu den Abständen der Quotienten?

1. Die Quotienten sind \(40\), \(50\), \(60\) und \(70\). 2. Der Dividend steigt jeweils um \(60\). 3. Da \(60:6=10\), steigt der Quotient jeweils um \(10\). 4. Eine passende Fortsetzung ist \(480:6=80\).

Quotienten: \(40,50,60,70\). Eine passende Fortsetzung ist \(480:6=80\). Bei \(+60\) im Dividend steigt der Quotient um \(10\).

- Vergleiche zuerst die Quotienten der vier Aufgaben. - Wie verändern sich Dividend und Divisor von Zeile zu Zeile gemeinsam? - Welche feste Beziehung zwischen Dividend und Divisor erklärt den gleichbleibenden Quotienten?

1. Alle vier Quotienten sind \(40\). 2. Dividend und Divisor werden gemeinsam vergrößert; der Dividend ist jeweils das \(40\)-Fache des Divisors. 3. Eine passende Fortsetzung ist \(400:10=40\).

\(80:2=40\), \(160:4=40\), \(240:6=40\), \(320:8=40\). Eine passende Fortsetzung ist \(400:10=40\). Der Dividend ist jeweils das \(40\)-Fache des Divisors.

- Schau dir die Zahlen an, die abgezogen werden. Wie verändern sie sich von Aufgabe zu Aufgabe? - Wenn du die erste Aufgabe gelöst hast, kannst du das Ergebnis für die nächste nutzen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du immer \(100\) mehr abziehst?

1. Berechnung von \(500 - 142\): \(500 - 100 = 400\), \(400 - 40 = 360\), \(360 - 2 = 358\). 2. Berechnung von \(500 - 242\): Da der Subtrahend um \(100\) größer ist als bei der ersten Aufgabe, muss das Ergebnis um \(100\) kleiner sein: \(358 - 100 = 258\). 3. Berechnung von \(500 - 342\): Da der Subtrahend erneut um \(100\) größer ist, verringert sich das Ergebnis wieder um \(100\): \(258 - 100 = 158\).

a) \(358\) b) \(258\) c) \(158\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse werden immer um \(100\) kleiner.

- Überlege dir zuerst, welche Ziffern an der Zehnerstelle und welche an der Einerstelle stehen. - Wenn du die Zehnerziffern festlegst, bleiben nur noch zwei Ziffern für die Einerstellen übrig. Probiere beide Möglichkeiten aus. - Schau dir die Ergebnisse der Aufgaben genau an und vergleiche sie. Wie viel kommt von Schritt zu Schritt dazu?

1. Für a) sind die Zehnerziffern \(4\) und \(5\). Die Einerziffern sind dann \(6\) und \(7\). Mögliche Rechnungen: \(46 + 57 = 103\) und \(47 + 56 = 103\). Das Ergebnis ist immer \(103\). 2. Für b) sind die Zehnerziffern \(4\) und \(6\). Die Einerziffern sind \(5\) und \(7\). Mögliche Rechnungen: \(45 + 67 = 112\) und \(47 + 65 = 112\). Das Ergebnis ist immer \(112\). 3. Für c) sind die Zehnerziffern \(4\) und \(7\). Die Einerziffern sind \(5\) und \(6\). Mögliche Rechnungen: \(45 + 76 = 121\) und \(46 + 75 = 121\). Das Ergebnis ist immer \(121\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(112 - 103 = 9\) und \(121 - 112 = 9\). Die Ergebnisse nehmen jeweils um \(9\) zu.

a) \(46 + 57 = 103\) und \(47 + 56 = 103\). b) \(45 + 67 = 112\) und \(47 + 65 = 112\). c) \(45 + 76 = 121\) und \(46 + 75 = 121\). d) Die Ergebnisse werden immer um \(9\) größer (\(103\), \(112\), \(121\)).

- Vergleiche den Abstand der Ziffern mit der 9er-Reihe. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn der Abstand der Ziffern um 1 größer wird? - Kannst du eine Regel finden, wie man das Ergebnis ohne langes Rechnen bestimmen kann?

1. Erkennen des Musters: Das Ergebnis entspricht immer dem Ziffernabstand multipliziert mit 9. 2. Berechnung für \(61 - 16\): Der Abstand zwischen 6 und 1 ist 5. \(5 \cdot 9 = 45\). Rechnung: \(61 - 10 = 51\), \(51 - 6 = 45\). 3. Vorhersage für \(81 - 18\): Der Abstand ist 7. \(7 \cdot 9 = 63\). Überprüfung: \(81 - 10 = 71\), \(71 - 8 = 63\). 4. Suche nach Ergebnis 45: Da \(45 = 5 \cdot 9\), muss der Ziffernabstand 5 sein. Mögliche Ziffernpaare sind \(6\) und \(1\), \(7\) und \(2\), \(8\) und \(3\) sowie \(9\) und \(4\). Eine Aufgabe ist z. B. \(72 - 27 = 45\).

a) \(45\) b) Erwartung: \(63\). Rechnung: \(81 - 18 = 63\). c) Zum Beispiel \(61 - 16 = 45\) oder \(94 - 49 = 45\).

- Überlege, wie viel von der Zahl in der linken Spalte bis zum Dach fehlt. - Schau dir die Endungen der Zahlen an, die du eingetragen hast. Sind sie sich ähnlich? - Was passiert mit der Ergänzung zu 100, wenn im 1000er-Haus noch Hunderter dazukommen?

1. Berechnung der Ergänzungen für das 100er-Haus: \(100 - 14 = 86\), \(100 - 67 = 33\), \(100 - 48 = 52\), \(100 - 5 = 95\). 2. Berechnung der Ergänzungen für das 1000er-Haus: \(1000 - 314 = 686\), \(1000 - 467 = 533\), \(1000 - 848 = 152\), \(1000 - 905 = 95\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Die Einer- und Zehnerstellen der Ergänzungszahlen sind in beiden Häusern jeweils identisch (z. B. 86 und 686).

Haus 100: 86; 33; 52; 95. Haus 1000: 686; 533; 152; 95. Auffälligkeit: Die Ergänzungszahlen haben die gleichen Zehner und Einer.

- Rechne zuerst alle Aufgaben aus. - Schau dir die Zahlenpaare genau an: Vergleiche zum Beispiel das erste Ergebnis von a) mit dem ersten von b). - Gibt es eine Regel für die Nullen?

1. Berechnung Teil a: \(1000 - 720 = 280\), \(1000 - 340 = 660\), \(1000 - 810 = 190\), \(1000 - 470 = 530\). 2. Berechnung Teil b: \(100 - 72 = 28\), \(100 - 34 = 66\), \(100 - 81 = 19\), \(100 - 47 = 53\). 3. Vergleich: Die Platzhalter in a) sind jeweils das Zehnfache der Platzhalter in b). Die Ziffernfolge bleibt gleich, es kommt lediglich eine Null am Ende hinzu.

a) 280; 660; 190; 530. b) 28; 66; 19; 53. c) Die Ergebnisse in a) sind zehnmal so groß wie in b) (eine Null mehr).

- Achte darauf, wie sich Minuend und Subtrahend von Zeile zu Zeile verändern. - Wie wirkt sich eine Vergrößerung des Subtrahenden auf die Differenz aus? - Zerlege die letzte Subtraktion bei Bedarf in zwei günstige Teilschritte, ohne die Rechnung schon festzulegen.

1. \(600 - 400 = 200\). 2. \(630 - 400 = 230\). 3. \(630 - 410 = 220\). 4. \(635 - 410 = 225\). 5. \(635 - 418 = 217\).

\(600 - 400 = 200\) \(630 - 400 = 230\) \(630 - 410 = 220\) \(635 - 410 = 225\) \(635 - 418 = 217\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Zeile zu Zeile verändert. - Was passiert mit der zweiten Zahl in jeder neuen Zeile? - Rechne zuerst die Ergebnisse aus und vergleiche sie dann miteinander.

1. Erste Differenz: \(542 - 200 + 1 = 343\). 2. Zweite Differenz: \(552 - 200 + 2 = 354\). 3. Dritte Differenz: \(562 - 200 + 3 = 365\). 4. Fortsetzung: In jeder Zeile steigt der Minuend um \(10\) und der Subtrahend sinkt um \(1\). 5. Vierte Aufgabe: \(572 - 196 = 376\). 6. Fünfte Aufgabe: \(582 - 195 = 387\). 7. Muster: Das Ergebnis (die Differenz) wird in jeder Zeile um \(11\) größer.

\(542 - 199 = 343\) \(552 - 198 = 354\) \(562 - 197 = 365\) \(572 - 196 = 376\) \(582 - 195 = 387\) Auffälligkeit: Das Ergebnis wird immer um \(11\) größer.

- Vergleiche die erste Zahl der ersten Aufgabe mit der ersten Zahl der zweiten Aufgabe. - Vergleiche nun die zweiten Zahlen der Aufgaben auf die gleiche Weise. - Wenn beide Zahlen einer Minusaufgabe um den gleichen Betrag verändert werden, was passiert dann mit dem Abstand dazwischen?

1. Berechnung: \(735 - 399 = 735 - 400 + 1 = 336\). 2. Berechnung: \(736 - 400 = 336\). 3. Berechnung: \(737 - 401 = 737 - 400 - 1 = 337 - 1 = 336\). 4. Analyse: Der Minuend wird um \(1\) größer, und gleichzeitig wird auch der Subtrahend um \(1\) größer. 5. Schlussfolgerung: Da der Abstand zwischen beiden Zahlen gleich bleibt, verändert sich das Ergebnis nicht (Konstanz der Differenz).

Die Ergebnisse sind: \(735 - 399 = 336\) \(736 - 400 = 336\) \(737 - 401 = 336\) Das Ergebnis bleibt gleich, weil sowohl die erste als auch die zweite Zahl um jeweils \(1\) vergrößert werden. Der Abstand zwischen den Zahlen bleibt also gleich.

- Was ist der Unterschied zwischen den beiden Aufgaben in einem Paar? - Wird beim zweiten Mal mehr oder weniger dazuaddiert oder abgezogen? - Wie wirkt sich diese Änderung auf dein erstes Ergebnis aus?

1. Paar a: \(450 + 300 = 750\). Da der zweite Summand um \(20\) größer ist, ist das Ergebnis \(750 + 20 = 770\). 2. Paar b: \(680 - 200 = 480\). Da \(40\) mehr abgezogen werden, ist das Ergebnis \(480 - 40 = 440\). 3. Paar c: \(512 + 100 = 612\). Da der zweite Summand um \(7\) größer ist, ist das Ergebnis \(612 + 7 = 619\). 4. Paar d: \(975 - 400 = 575\). Da \(6\) mehr abgezogen werden, ist das Ergebnis \(575 - 6 = 569\).

a) \(450 + 300 = 750\); wegen \(+20\) im zweiten Summanden folgt \(750 + 20 = 770\). b) \(680 - 200 = 480\); weil \(40\) mehr abgezogen werden, folgt \(480 - 40 = 440\). c) \(512 + 100 = 612\); wegen \(+7\) im zweiten Summanden folgt \(612 + 7 = 619\). d) \(975 - 400 = 575\); weil \(6\) mehr abgezogen werden, folgt \(575 - 6 = 569\).

- Schau dir die Ziffern der Zahlen in jeder Zeile genau an. Wie verändern sie sich von oben nach unten? - Rechne die Subtraktionen sorgfältig. - Vergleiche die Ergebnisse, die du unter a) ausgerechnet hast.

1. Berechnung der Aufgaben: \(959 - 595 = 364\), \(848 - 484 = 364\), \(737 - 373 = 364\). 2. Feststellung: Alle Ergebnisse sind gleich (\(364\)). 3. Fortführung des Musters: In beiden Zahlen verringert sich jede Ziffer von Aufgabe zu Aufgabe um \(1\). 4. Nächste Aufgaben: \(626 - 262 = 364\) und \(515 - 151 = 364\).

a) Die Ergebnisse lauten alle \(364\). b) Die Ergebnisse sind immer gleich. c) Die nächsten Aufgaben sind: \(626 - 262 = 364\) \(515 - 151 = 364\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Bleibt die zweite Zahl gleich oder verändert sie sich auch? - Was haben die Zahlen \(858\), \(747\) und \(636\) gemeinsam?

1. Analyse der ersten Zahl: Die Ziffern an der Hunderter-, Zehner- und Einerstelle werden jeweils um \(1\) kleiner. Die Zahl nimmt also immer um \(111\) ab (\(979, 868, 757, \dots\)). 2. Die abzuziehende Zahl bleibt gleich (\(121\)). 3. Fortsetzung der Reihe: \(646 - 121 = 525\) \(535 - 121 = 414\) \(424 - 121 = 303\) 4. Regel für die Ergebnisse: Die Ergebnisse sind ebenfalls Palindromzahlen. Sie verringern sich von Aufgabe zu Aufgabe um \(111\).

a) Die nächsten Aufgaben sind: \(646 - 121 = 525\) \(535 - 121 = 414\) \(424 - 121 = 303\) b) Die Ergebnisse sind allesamt Palindromzahlen. Jedes Ergebnis ist um \(111\) kleiner als das vorherige.

- Achte darauf, die Ziffern in jedem Schritt neu zu ordnen. - Stell dir die größte Zahl immer so vor, dass die größte Ziffer an der Hunderterstelle steht. - Wenn du ein Ergebnis erhältst, das du schon einmal hattest, ist die Aufgabe gelöst. - Kontrolliere deine Subtraktionen genau, besonders wenn du beim Subtrahieren entbündeln musst.

1. Erste Rechnung mit den Ziffern \(8\), \(4\) und \(1\): Die größte Zahl ist \(841\), die kleinste \(148\). Die Differenz ist \(841 - 148 = 693\). 2. Zweite Rechnung mit den Ziffern \(9\), \(6\) und \(3\): Die größte Zahl ist \(963\), die kleinste \(369\). Die Differenz ist \(963 - 369 = 594\). 3. Dritte Rechnung mit den Ziffern \(9\), \(5\) und \(4\): Die größte Zahl ist \(954\), die kleinste \(459\). Die Differenz ist \(954 - 459 = 495\). 4. Vierte Rechnung mit den Ziffern \(9\), \(5\) und \(4\): Wiederum ergibt sich \(954 - 459 = 495\). Das Ergebnis \(495\) hat sich wiederholt. Es wurden insgesamt \(4\) Rechenschritte durchgeführt, bis die Wiederholung eintrat.

Der Zahlenzug sieht so aus: \(841 - 148 = 693\) \(963 - 369 = 594\) \(954 - 459 = 495\) \(954 - 459 = 495\) Nach dem 4. Rechenschritt wiederholt sich das Ergebnis \(495\).

- Werden die Zahlen in den Aufgaben größer oder kleiner? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn man einen Faktor halbiert? - Schau dir die Abstände zwischen den Ergebnissen in Reihe a) an.

1. Fortsetzung a): \(5 \cdot 60 = 300\), \(4 \cdot 60 = 240\), \(3 \cdot 60 = 180\). Die Ergebnisse werden immer um \(60\) kleiner. 2. Fortsetzung b): \(5 \cdot 30 = 150\), \(4 \cdot 30 = 120\), \(3 \cdot 30 = 90\). Die Ergebnisse werden immer um \(30\) kleiner. 3. Vergleich: In jeder Spalte ist das Ergebnis von b) genau die Hälfte des Ergebnisses von a), weil der Faktor \(30\) die Hälfte von \(60\) ist.

a) \(5 \cdot 60 = 300\), \(4 \cdot 60 = 240\), \(3 \cdot 60 = 180\). b) \(5 \cdot 30 = 150\), \(4 \cdot 30 = 120\), \(3 \cdot 30 = 90\). Innerhalb der Reihen werden die Ergebnisse immer kleiner (um \(60\) bzw. um \(30\)). Die Ergebnisse von b) sind halb so groß wie die von a).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine Zahl mit \(10\) malnimmst? - Wie viel kommt in Serie 1 von Aufgabe zu Aufgabe dazu? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Serien zeilenweise.

1. Serie 1: \(10 \cdot 20 = 200\), \(10 \cdot 30 = 300\), \(10 \cdot 40 = 400\). Fortsetzung: \(10 \cdot 50 = 500\), \(10 \cdot 60 = 600\), \(10 \cdot 70 = 700\). 2. Serie 2: \(5 \cdot 20 = 100\), \(5 \cdot 30 = 150\), \(5 \cdot 40 = 200\). Fortsetzung: \(5 \cdot 50 = 250\), \(5 \cdot 60 = 300\), \(5 \cdot 70 = 350\). 3. In Serie 1 bleibt der erste Faktor \(10\), während der zweite Faktor jeweils um \(10\) wächst. Daher wächst das Ergebnis jeweils um \(100\).

Serie 1: \(10 \cdot 20 = 200\), \(10 \cdot 30 = 300\), \(10 \cdot 40 = 400\), \(10 \cdot 50 = 500\), \(10 \cdot 60 = 600\), \(10 \cdot 70 = 700\). Serie 2: \(5 \cdot 20 = 100\), \(5 \cdot 30 = 150\), \(5 \cdot 40 = 200\), \(5 \cdot 50 = 250\), \(5 \cdot 60 = 300\), \(5 \cdot 70 = 350\). Regel für Serie 1: Der zweite Faktor wächst jeweils um \(10\), deshalb werden die Ergebnisse jeweils um \(100\) größer.

- Schau dir an, um wie viel sich die erste Zahl von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Vergleiche die Teiler (die zweiten Zahlen) der beiden Reihen miteinander. - Rechne zuerst die Ergebnisse der bekannten Aufgaben aus, um ein Muster zu finden. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn man durch eine kleinere Zahl teilt?

1. Fortsetzung der Reihe a) durch Verringerung des Dividenden um jeweils \(80\): \(560 : 80 = 7\) und \(480 : 80 = 6\). 2. Fortsetzung der Reihe b) durch Verringerung des Dividenden um jeweils \(80\): \(560 : 40 = 14\) und \(480 : 40 = 12\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Die Quotienten in Reihe b) sind genau doppelt so groß wie die entsprechenden Quotienten in Reihe a) (z. B. \(20\) statt \(10\), \(18\) statt \(9\)).

a) \(560 : 80 = 7\) und \(480 : 80 = 6\) b) \(560 : 40 = 14\) und \(480 : 40 = 12\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse in Reihe b) sind doppelt so groß wie in Reihe a).

- Stell dir vor, du verteilst \(600\) Bonbons an immer mehr Kinder. Bekommt jedes Kind dann mehr oder weniger? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn sich der Teiler genau verdoppelt? - Schau dir die Zahlenpaare genau an: \(10\) und \(60\), \(20\) und \(30\). Fällt dir etwas bei ihrem Produkt auf?

1. Beobachtung des Gesamttrends: Da der Dividend (\(600\)) gleich bleibt, sinkt das Ergebnis (Quotient), sobald der Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) steigt. 2. Spezifischer Vergleich: Der Divisor \(20\) ist doppelt so groß wie der Divisor \(10\). 3. Ergebnisvergleich: Das Ergebnis von \(600 : 20\) (\(30\)) ist genau die Hälfte des Ergebnisses von \(600 : 10\) (\(60\)).

Wenn der Divisor größer wird, wird das Ergebnis kleiner. Entdeckung: Wenn sich der Divisor verdoppelt (von \(10\) auf \(20\)), halbiert sich das Ergebnis (von \(60\) auf \(30\)).

- Vergleiche die Ergebnisse der beiden Rechnungen in jeder Zeile. - Was verändert sich an den Stellenwerten, wenn du durch \(10\) oder durch \(100\) teilst? - Gibt es eine Beziehung zwischen den beiden Ergebnissen?

1. Berechnungen für a): \(900 : 10 = 90\) (Umkehraufgabe: \(90 \cdot 10 = 900\)) und \(900 : 100 = 9\) (Umkehraufgabe: \(9 \cdot 100 = 900\)). 2. Berechnungen für b): \(200 : 10 = 20\) (Umkehraufgabe: \(20 \cdot 10 = 200\)) und \(200 : 100 = 2\) (Umkehraufgabe: \(2 \cdot 100 = 200\)). 3. Berechnungen für c): \(500 : 10 = 50\) (Umkehraufgabe: \(50 \cdot 10 = 500\)) und \(500 : 100 = 5\) (Umkehraufgabe: \(5 \cdot 100 = 500\)). 4. Beobachtung: Das Ergebnis der Division durch \(100\) ist immer ein Zehntel so groß wie das Ergebnis der Division durch \(10\).

a) \(900 : 10 = 90\) mit der Umkehraufgabe \(90 \cdot 10 = 900\); \(900 : 100 = 9\) mit der Umkehraufgabe \(9 \cdot 100 = 900\). b) \(200 : 10 = 20\) mit der Umkehraufgabe \(20 \cdot 10 = 200\); \(200 : 100 = 2\) mit der Umkehraufgabe \(2 \cdot 100 = 200\). c) \(500 : 10 = 50\) mit der Umkehraufgabe \(50 \cdot 10 = 500\); \(500 : 100 = 5\) mit der Umkehraufgabe \(5 \cdot 100 = 500\). Auffälligkeit: Das Ergebnis der Division durch \(100\) ist ein Zehntel so groß wie das Ergebnis der Division durch \(10\).

- Vergleiche jeweils die Faktoren vor und nach dem Pfeil. - Frage dich, ob ein Faktor verzehnfacht, gezehntelt oder unverändert bleibt. - Wenn sich beide Faktoren ändern, untersuche, ob sich ihre Veränderungen gegenseitig ausgleichen.

1. In a) wird der Faktor \(4\) verzehnfacht. Deshalb wird auch das Produkt \(12\) verzehnfacht: \(3 \cdot 40 = 120\). 2. In b) wird das Produkt von \(10\) auf \(100\) verzehnfacht, während der Faktor \(2\) gleich bleibt. Daher muss \(5\) zu \(50\) verzehnfacht werden. 3. In c) wird der Faktor \(10\) zu \(100\) verzehnfacht. Daher wird \(80\) zu \(800\). 4. In d) wird der erste Faktor durch \(10\) geteilt und der zweite mit \(10\) multipliziert. Diese beiden Änderungen gleichen sich aus; das Produkt bleibt \(600\).

a) \(120\) b) \(50\) c) \(800\) d) \(600\)

- Welche Division beschreibt in a) die Anzahl gleich langer Reihen? - In b) ist die Anzahl der Reihen bekannt. Welche Größe ist jetzt gesucht? - Vergleiche anschließend nicht nur die Ergebnisse, sondern auch die Rollen der beiden Zahlen in den Divisionen.

1. Für a) gilt \(480 : 8 = 60\). Es entstehen \(60\) Reihen. 2. Für b) gilt \(480 : 60 = 8\). Es müssen \(8\) Steine in jede Reihe gelegt werden. 3. In beiden Rechnungen treten die Zahlen \(8\) und \(60\) auf, aber Divisor und Quotient tauschen ihre Rollen.

a) Es entstehen \(60\) Reihen. b) In jede Reihe kommen \(8\) Steine. c) Die Zahlen \(8\) und \(60\) sind in den beiden Divisionen vertauscht.

- Rechne zuerst alle Aufgaben einzeln aus. - Schau dir die Ziffern der Ergebnisse genau an. Welche Ziffern kommen vor? - Was passiert mit der Null im Ergebnis, wenn die Null im Dividenden an einer anderen Stelle steht?

1. Berechnung Paar a: \(360 : 3 = 120\) und \(306 : 3 = 102\). 2. Berechnung Paar b: \(840 : 4 = 210\) und \(804 : 4 = 201\). 3. Berechnung Paar c: \(550 : 5 = 110\) und \(505 : 5 = 101\). 4. Vergleich: In jedem Paar vertauschen die Ziffern im Ergebnis ihre Plätze (Zehner und Einer), da sich im Dividenden die Position der Null und der anderen Ziffer verändert hat.

a) \(120\) und \(102\) b) \(210\) und \(201\) c) \(110\) und \(101\) Auffälligkeit: Die Ziffern an der Zehner- und Einerstelle sind im Ergebnis vertauscht.

- Überlege, was passiert, wenn du die gleiche Menge unter doppelt so vielen Leuten aufteilst. - Was passiert, wenn du nur noch die halbe Menge hast, sie aber unter der gleichen Anzahl an Leuten aufteilst? - Vergleiche die Zahlen in den neuen Aufgaben mit den Zahlen aus der Startaufgabe \(900 : 3\).

1. Analyse von Aufgabe a): Der Dividend (\(900\)) bleibt gleich, aber der Teiler verdoppelt sich von \(3\) auf \(6\). Das Ergebnis muss daher die Hälfte von \(300\) sein: \(300 : 2 = 150\). 2. Analyse von Aufgabe b): Der Teiler (\(3\)) bleibt gleich, aber der Dividend halbiert sich von \(900\) auf \(450\). Das Ergebnis muss daher ebenfalls die Hälfte von \(300\) sein: \(300 : 2 = 150\).

a) \(150\) b) \(150\) Bei a) verdoppelt sich der Teiler, daher halbiert sich der Quotient. Bei b) halbiert sich der Dividend, daher halbiert sich ebenfalls der Quotient.

- Rechne zuerst alle Aufgaben in Teil a) aus und schreibe sie untereinander. - Schau dir an, wie sich die Teiler \(10\), \(20\) und \(40\) verändern. - Betrachte nun die Ergebnisse: Werden sie größer oder kleiner? In welchem Verhältnis? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du denselben Kuchen an doppelt so viele Kinder verteilst?

1. Berechnungen für \(240\): \(240 : 10 = 24\), \(240 : 20 = 12\), \(240 : 40 = 6\). 2. Berechnungen für \(480\): \(480 : 10 = 48\), \(480 : 20 = 24\), \(480 : 40 = 12\). 3. Vergleich der Teiler: \(10 \to 20 \to 40\) (Verdopplung). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(24 \to 12 \to 6\) bzw. \(48 \to 24 \to 12\) (Halbierung). 5. Schlussfolgerung: Wenn der Teiler verdoppelt wird, halbiert sich das Ergebnis.

a) Ergebnisse für \(240\): \(24\), \(12\), \(6\). Ergebnisse für \(480\): \(48\), \(24\), \(12\). b) Wenn sich der Teiler verdoppelt, wird das Ergebnis halb so groß.

- Überlege dir zuerst, was mit dem Ergebnis passiert, wenn man nur eine der beiden Zahlen ändert. - Was passiert mit der Summe, wenn ein Teil weggenommen wird? - Du kannst dir auch eine einfache Beispielaufgabe ausdenken, wie \(300 + 300\), und die Änderungen dort ausprobieren.

1. Die Vergrößerung des ersten Summanden bewirkt zunächst eine Zunahme der Summe um \(210\). 2. Die Verkleinerung des zweiten Summanden bewirkt eine Abnahme der Summe um \(130\). 3. Um die gesamte Änderung zu bestimmen, wird die Verkleinerung von der Vergrößerung abgezogen: \(210 - 130 = 80\). 4. Da die Vergrößerung stärker war als die Verkleinerung, ist das Endergebnis eine Zunahme um \(80\).

Die Summe vergrößert sich um \(80\).

- Kannst du die Aufgabe in deinen eigenen Worten beschreiben? - Was genau suchen wir in dieser Aufgabe? - Was würde passieren, wenn man nur den ersten Summanden verändert? - Kannst du aufschreiben, was wir über die Änderungen wissen und was uns noch fehlt? - Wie hängen die Änderungen der einzelnen Zahlen mit der Änderung des Endergebnisses zusammen?

1. Die gesamte Erhöhung der Summe beträgt \(500\). 2. Der erste Summand trägt bereits eine Erhöhung von \(320\) zu diesem Gesamtergebnis bei. 3. Um herauszufinden, wie viel der zweite Summand beigetragen hat, subtrahiert man den Anteil des ersten Summanden von der Gesamtänderung: \(500 - 320 = 180\). 4. Da die Summe insgesamt stärker gestiegen ist als der erste Summand allein, muss auch der zweite Summand vergrößert worden sein.

Der zweite Summand wurde um \(180\) vergrößert.

- Wähle für dein Beispiel ganz einfache Zahlen, mit denen du leicht rechnen kannst. - Stell dir vor, du hättest zwei Körbe mit Äpfeln. Wenn du aus einem Korb Äpfel nimmst und sie in den anderen legst, ändert sich dann die Gesamtzahl der Äpfel? - Rechne erst das Ergebnis deiner Beispielaufgabe aus und dann das Ergebnis mit den veränderten Zahlen.

1. Beispielrechnung wählen: \(100 + 100 = 200\). 2. Erste Zahl vergrößern: \(100 + 15 = 115\). 3. Zweite Zahl verkleinern: \(100 - 15 = 85\). 4. Neue Summe berechnen: \(115 + 85 = 200\). 5. Vergleich und Schlussfolgerung: Das Ergebnis bleibt gleich (\(200 = 200\)). Da der Betrag, der bei der einen Zahl hinzugefügt wird (\(+15\)), bei der anderen Zahl wieder abgezogen wird (\(-15\)), gleicht sich die Veränderung insgesamt aus.

Das Gesamtergebnis (die Summe) bleibt gleich. Beispiel: \(100 + 100 = 200\). Verändert man die Zahlen, erhält man \(115 + 85 = 200\). Da man genau so viel wegnimmt, wie man an anderer Stelle dazutut, ändert sich die Summe nicht.

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Plusaufgabe, wenn die Zahlen, die man zusammenzählt, kleiner werden? - Wenn jede der beiden Zahlen um einen bestimmten Betrag schrumpft, wie oft wirkt sich das auf das Endergebnis aus? - Versuche, die Änderungen der beiden Summanden erst zusammenzuzählen.

1. Der erste Summand wird um \(40\) kleiner, wodurch die Summe zunächst um \(40\) sinkt. 2. Der zweite Summand wird ebenfalls um \(40\) kleiner, wodurch die Summe nochmals um \(40\) sinkt. 3. Die gesamte Verringerung der Summe beträgt \(40 + 40 = 80\). 4. Berechnung des neuen Ergebnisses: \(500 - 80 = 420\).

Das Ergebnis verringert sich um \(80\). Das neue Ergebnis ist \(420\). Da jeder der zwei Summanden um \(40\) kleiner wird, muss man insgesamt zweimal \(40\) (also \(80\)) vom ursprünglichen Ergebnis abziehen.

- Stell dir die Aufgabe zuerst mit kleinen Zahlen vor. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du nur eine Zahl veränderst? - Rechne die Änderungen nacheinander aus.

1. Eine Vergrößerung des ersten Summanden um \(120\) bewirkt zunächst, dass die Summe ebenfalls um \(120\) ansteigt. 2. Eine gleichzeitige Verkleinerung des zweiten Summanden um \(50\) bewirkt, dass die Summe wieder um \(50\) sinkt. 3. Die Gesamtänderung berechnet sich durch die Verrechnung beider Änderungen: \(120 - 50 = 70\). 4. Die Summe ist somit insgesamt um \(70\) größer als vorher.

Die Summe vergrößert sich um \(70\).

- Was passiert mit dem Rest, wenn du von einer größeren Zahl denselben Betrag abziehst? - Was passiert mit dem Rest, wenn du von derselben Zahl weniger abziehst? - Probiere es mit einer Beispielaufgabe aus, zum Beispiel \(200 - 100\). Verändere dann die Zahlen wie beschrieben und vergleiche die Ergebnisse.

1. Eine Vergrößerung des Minuenden um \(50\) bewirkt, dass das Ergebnis (die Differenz) um \(50\) größer wird. 2. Eine Verkleinerung des Subtrahenden um \(50\) bewirkt ebenfalls, dass das Ergebnis (die Differenz) um \(50\) größer wird, da weniger abgezogen wird. 3. Gesamte Änderung des Ergebnisses: \(50 + 50 = 100\). 4. Das Ergebnis der Minusaufgabe vergrößert sich um \(100\).

Das Ergebnis vergrößert sich um \(100\).

- Was passiert mit einem Ergebnis, wenn du einen Teil der Rechnung größer machst? - Was passiert, wenn du danach einen anderen Teil um denselben Betrag kleiner machst? - Probiere es zur Not mit ganz kleinen Zahlen aus, zum Beispiel mit \(10 + 10 = 20\).

1. Auswirkung der ersten Änderung: Da ein Summand um \(30\) erhöht wird, steigt die Gesamtsumme ebenfalls um \(30\). Rechnung: \(480 + 30 = 510\). 2. Auswirkung der zweiten Änderung: Da der andere Summand nun um \(30\) verringert wird, sinkt die Summe wieder um \(30\). Rechnung: \(510 - 30 = 480\). 3. Vergleich: Die Endsumme ist identisch mit der Startsumme \(480\).

a) Die neue Summe ist \(510\). b) Die Summe ist dann wieder \(480\). Wenn man eine Zahl um einen Betrag vergrößert und die andere um den gleichen Betrag verkleinert, bleibt die Gesamtsumme gleich.

- Stelle dir die beiden Zahlen als Punkte auf einem Zahlenstrahl vor. Die Differenz ist ihr Abstand. - Was muss mit dem zweiten Punkt passieren, wenn der erste um einen bestimmten Betrag verschoben wird und der Abstand gleich bleiben soll? - Kontrolliere deine Überlegung mit einer einfachen Minusaufgabe.

1. Der neue Minuend ist \(600 + 40 = 640\). 2. Damit die Differenz weiterhin \(350\) beträgt, muss der neue Subtrahend \(640 - 350 = 290\) sein. 3. Der Subtrahend steigt von \(250\) auf \(290\), also ebenfalls um \(40\). 4. Werden Minuend und Subtrahend um denselben Betrag vergrößert, bleibt ihr Abstand und damit die Differenz gleich.

Lukas muss auch den Subtrahenden um \(40\) vergrößern, also von \(250\) auf \(290\). Dann gilt \(640 - 290 = 350\). Werden Minuend und Subtrahend um denselben Betrag vergrößert, bleibt die Differenz gleich.

- Überlege zuerst: Ist die Summe nach der ersten Änderung (\(+80\)) schon größer oder kleiner als das gewünschte Ziel (\(+50\))? - Musst du beim zweiten Summanden etwas hinzufügen oder wegnehmen, um auf das Ziel von \(+50\) zu kommen? - Rechne es mit einer Beispielaufgabe wie \(100 + 100 = 200\) durch.

1. Geplante Erhöhung der Gesamtsumme: \(+50\). 2. Bereits erfolgte Erhöhung durch den ersten Summanden: \(+80\). 3. Berechnung der notwendigen Gegenmaßnahme: \(80 - 50 = 30\). 4. Da die bisherige Erhöhung (\(80\)) zu groß für das Ziel (\(50\)) ist, muss der zweite Summand um \(30\) verkleinert werden.

Der zweite Summand muss um \(30\) verkleinert werden.

- Rechne die neuen Aufgaben zuerst ganz normal aus. - Vergleiche dann das neue Ergebnis mit der Zahl \(440\). Ist es größer oder kleiner geworden? - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Was passiert mit dem Abstand zwischen ihnen, wenn du beide Zahlen um das gleiche Stück nach rechts verschiebst?

1. Erhöhung des Minuenden: \(710 - 230 = 480\). Das Ergebnis ist um \(40\) größer als das ursprüngliche Ergebnis (\(440 + 40 = 480\)). 2. Erhöhung des Subtrahenden: \(670 - 270 = 400\). Das Ergebnis ist um \(40\) kleiner als das ursprüngliche Ergebnis (\(440 - 40 = 400\)). 3. Gleichzeitige Erhöhung beider Werte: \(770 - 330 = 440\). Das Ergebnis bleibt gleich, da der Abstand zwischen den beiden Zahlen auf dem Zahlenstrahl unverändert bleibt.

a) Das neue Ergebnis ist \(480\). Es ist um \(40\) größer geworden. b) Das neue Ergebnis ist \(400\). Es ist um \(40\) kleiner geworden. c) Das Ergebnis bleibt \(440\) (gleich), weil der Unterschied zwischen den Zahlen gleich bleibt.

- Was passiert mit dem Rest, wenn du von einer kleineren Zahl startest? - Was passiert mit dem Rest, wenn du mehr abziehst als vorher? - Versuche den Unterschied direkt zu bestimmen, ohne die ganze Aufgabe neu zu rechnen.

1. Berechnung der Basisaufgabe: \(780 - 150 = 630\). 2. Veränderung des Minuenden: Der neue Minuend ist \(780 - 50 = 730\). Die neue Rechnung lautet \(730 - 150 = 580\). Das Ergebnis ist um \(50\) kleiner geworden (\(630 - 580 = 50\)). 3. Veränderung des Subtrahenden: Der neue Subtrahend ist \(150 + 20 = 170\). Die neue Rechnung lautet \(780 - 170 = 610\). Das Ergebnis ist um \(20\) kleiner geworden (\(630 - 610 = 20\)).

a) Das Ergebnis ist \(630\). b) Das Ergebnis wird um \(50\) kleiner (es ist nun \(580\)). c) Das Ergebnis wird um \(20\) kleiner (es ist nun \(610\)).

- Stell dir vor, du hast eine Tüte Gummibärchen und jemand nimmt dir mehr weg als vorher. Bleiben dann mehr oder weniger für dich übrig? - Welche Zahl in der Minusaufgabe ist der Subtrahend? - Probiere es zur Not mit ganz kleinen Zahlen aus, zum Beispiel \(10 - 2 = 8\). Was passiert, wenn du aus der \(2\) eine \(3\) machst?

1. Analyse der Veränderung: Wenn bei einer Minusaufgabe die Zahl, die abgezogen wird (der Subtrahend), größer wird, verringert sich das Ergebnis (die Differenz). 2. Berechnung der Verringerung: Da der Subtrahend um \(60\) vergrößert wurde, verringert sich die Differenz um genau diesen Betrag. 3. Berechnung des neuen Wertes: \(350 - 60 = 290\).

Die Differenz verringert sich um \(60\). Der neue Wert ist \(290\).

- Vergleiche die beiden Zahlen einer Subtraktion als Abstand auf dem Zahlenstrahl. - Wenn der Minuend kleiner wird und die Differenz gleich bleiben soll, in welche Richtung muss sich der Subtrahend verändern? - Kontrolliere die neue Aufgabe am Ende durch Ausrechnen.

1. Bens Minuend ist um \(30\) kleiner als Annas Minuend. 2. Damit der Abstand der beiden Zahlen gleich bleibt, muss auch der Subtrahend um \(30\) kleiner werden. 3. Der neue Subtrahend ist \(210-30=180\). 4. Kontrolle: \(600-180=420\).

Ben muss den Subtrahenden um \(30\) verkleinern, also auf \(180\).

- Überlege dir eine Beispielaufgabe, die \(300\) ergibt, zum Beispiel \(400 - 100 = 300\). - Verändere nun die erste Zahl wie in der Aufgabe beschrieben. Was musst du mit der zweiten Zahl tun, damit wieder \(300\) herauskommt? - Wenn die erste Zahl kleiner wird, muss dann von ihr mehr oder weniger abgezogen werden, um das gleiche Ziel zu erreichen?

1. Analyse der ersten Änderung: Wenn der Minuend um \(50\) verkleinert wird, sinkt das Ergebnis der Subtraktion ebenfalls um \(50\) (von \(300\) auf \(250\)). 2. Zielsetzung: Das Ergebnis soll wieder um \(50\) steigen, um den ursprünglichen Wert von \(300\) zu erreichen. 3. Bestimmung der Gegenmaßnahme: Um die Differenz wieder zu erhöhen, muss der Subtrahend verkleinert werden. 4. Berechnung des Betrags: Da das Ergebnis um \(50\) steigen muss, muss der Subtrahend um exakt \(50\) verkleinert werden.

Der Subtrahend muss ebenfalls um \(50\) verkleinert werden.

- Rechne zuerst aus, wie viel Wasser nach dem normalen Verbrauch übrig ist. - Musst du für b) und c) wirklich ganz neu rechnen oder kannst du das erste Ergebnis anpassen? - Was passiert mit dem Rest, wenn du von der gleichen Menge weniger wegnimmst? - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Anfang einfach mehr hast?

1. Es bleiben \(650 - 380 = 270\) Liter. 2. Werden \(20\) Liter weniger verbraucht, wird der Rest um \(20\) Liter größer. Aus dem Ergebnis von a) folgt direkt \(270 + 20 = 290\). 3. Enthält der Tank zu Beginn \(20\) Liter mehr und der Verbrauch bleibt gleich, wird der Rest ebenfalls um \(20\) Liter größer: \(270 + 20 = 290\).

a) Es bleiben \(650 - 380 = 270\) Liter übrig. b) Aus a): \(270 + 20 = 290\). Es blieben \(290\) Liter übrig. c) Auch ein um \(20\) Liter größerer Anfangsbestand vergrößert den Rest um \(20\): \(270 + 20 = 290\). Es blieben \(290\) Liter übrig.

- Schau dir die vorderen Zahlen der Aufgaben genau an. Wie verändern sie sich von Zeile zu Zeile? - Schau dir die hinteren Zahlen der Aufgaben genau an. Was fällt dir auf? - Überlege dir einen Namen für die Regel, wenn beide Zahlen einer Minusaufgabe gleichmäßig wachsen. - Was bedeutet das Gleichbleiben des Ergebnisses für den Abstand zwischen den beiden Zahlen?

1. Fortsetzung der Reihe: Da die Zahlen jeweils um \(10\) steigen, lautet die nächste Aufgabe \(570 - 240 = 330\). 2. Analyse der Veränderung: In jedem Schritt werden sowohl der Minuend als auch der Subtrahend um \(10\) größer. 3. Erklärung der Regel: Wenn man bei einer Subtraktion zu beiden Zahlen den gleichen Betrag addiert, verändert sich der Abstand zwischen den Zahlen nicht. Daher bleibt das Ergebnis (die Differenz) gleich.

a) Die nächste Aufgabe lautet \(570 - 240 = 330\). b) Beide Zahlen werden in jedem Schritt um \(10\) größer. c) Das Ergebnis bleibt gleich, weil der Unterschied (Abstand) zwischen den beiden Zahlen immer derselbe ist, wenn man beide um den gleichen Betrag erhöht.

- Stell dir vor, du hast eine Kiste mit Äpfeln. Was passiert mit dem Rest, wenn du mehr Äpfel in die Kiste legst? - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Ende weniger Äpfel herausnimmst als geplant? - Verändere das Ergebnis Schritt für Schritt für jede der beiden Zahlen einzeln.

1. Durch die Vergrößerung des Minuenden um \(30\) wächst die Differenz von \(150\) auf \(150 + 30 = 180\). 2. Durch die Verkleinerung des Subtrahenden um \(10\) wird weniger abgezogen; die Differenz wächst um weitere \(10\). 3. Damit ist das neue Ergebnis \(180 + 10 = 190\).

Die Differenz wächst zuerst um \(30\): \(150 + 30 = 180\). Weil der Subtrahend anschließend um \(10\) kleiner wird, wächst die Differenz nochmals um \(10\): \(180 + 10 = 190\). Das neue Ergebnis ist \(190\).

- Rechne jede Aufgabe Schritt für Schritt aus und notiere dir die Zwischenergebnisse. - Vergleiche die Endergebnisse der vier Aufgaben miteinander. - Nutze die Umkehraufgabe mit Multiplikation, um sicherzugehen, dass deine Ergebnisse stimmen.

1. Berechnung von \(480 : 3\): \(300 : 3 = 100\) und \(180 : 3 = 60\), Summe ist \(160\). 2. Berechnung von \(640 : 4\): \(400 : 4 = 100\) und \(240 : 4 = 60\), Summe ist \(160\). 3. Berechnung von \(800 : 5\): \(500 : 5 = 100\) und \(300 : 5 = 60\), Summe ist \(160\). 4. Berechnung von \(780 : 6\): \(600 : 6 = 100\) und \(180 : 6 = 30\), Summe ist \(130\). 5. Identifikation des Ausreißers: Das Ergebnis von Aufgabe d) ist \(130\), während alle anderen \(160\) ergeben.

a) \(160\) b) \(160\) c) \(160\) d) \(130\) Das Ergebnis von d) passt nicht zu den anderen.

- Du musst nicht immer alles neu rechnen. Schau dir an, welche Zahl in der Aufgabe verändert wurde. - Wenn du zu einer Zahl mehr dazu tust als vorher, was passiert dann mit dem Endergebnis? - Wenn du von einer größeren Zahl den gleichen Betrag abziehst, wie verändert das den Rest? - Vergleiche die Aufgaben ganz genau, bevor du mit dem Rechnen beginnst.

1. Berechnung von \(270 + 80 = 350\). 2. Berechnung von \(270 + 90 = 360\). 3. Vergleich der Ergebnisse aus a): \(360 - 350 = 10\). Da der zweite Summand um \(10\) größer ist, steigt auch das Ergebnis um \(10\). 4. Berechnung von \(640 - 50 = 590\). 5. Berechnung von \(660 - 50 = 610\). 6. Vergleich der Ergebnisse aus b): Da die Ausgangszahl (Minuend) um \(20\) größer ist (\(660\) statt \(640\)), aber derselbe Wert abgezogen wird, muss das Ergebnis ebenfalls um \(20\) größer sein (\(610 - 590 = 20\)).

a) \(270 + 80 = 350\) und \(270 + 90 = 360\). Das zweite Ergebnis ist um \(10\) größer. b) \(640 - 50 = 590\) und \(660 - 50 = 610\). Das zweite Ergebnis ist größer, weil die Startzahl (Minuend) um \(20\) größer ist.

- Probiere die Rechnung mit den veränderten Zahlen einfach mal aus. - Stell dir vor, du hast zwei Beutel mit Murmeln. Wenn du aus dem einen Beutel Murmeln in den anderen legst, ändert sich dann die Gesamtzahl der Murmeln? - Was passiert, wenn du in beide Beutel zusätzliche Murmeln hineinfüllst?

1. Anwendung der Regel auf die Zahlen: Die erste Zahl wird \(340 + 20 = 360\). Die zweite Zahl wird \(160 - 20 = 140\). 2. Berechnung der neuen Summe: \(360 + 140 = 500\). Die Behauptung stimmt für dieses Beispiel. 3. Logische Erklärung: Da dem einen Summanden genau so viel hinzugefügt wird (\(+20\)), wie dem anderen weggenommen wird (\(-20\)), gleicht sich die Änderung insgesamt aus (\(0\)). 4. Analyse der doppelten Vergrößerung: Wenn beide Summanden um \(20\) wachsen, erhöht sich die Summe insgesamt um \(20 + 20 = 40\). Das neue Ergebnis wäre \(540\).

a) Die neuen Zahlen sind \(360\) und \(140\). Das Ergebnis ist weiterhin \(500\). b) Das Ergebnis bleibt gleich, weil man bei der einen Zahl genau das dazutut, was man bei der anderen wegnimmt (Gegensinniges Verändern). c) Das Ergebnis würde um \(40\) größer werden (neues Ergebnis: \(540\)).

- Betrachte zuerst nur die Änderung des Minuenden. - Betrachte danach nur die Änderung des Subtrahenden: Was passiert, wenn weniger abgezogen wird? - Vergleiche die beiden entgegengesetzten Auswirkungen.

1. Wird nur der Minuend um \(40\) kleiner, wird die Differenz um \(40\) kleiner. 2. Wird der Subtrahend um \(15\) kleiner, wird weniger abgezogen; dadurch wird die Differenz um \(15\) größer. 3. Von der Verringerung um \(40\) werden also \(15\) wieder ausgeglichen. Übrig bleibt \(40-15=25\). Die Differenz wird insgesamt um \(25\) kleiner.

Die Differenz verringert sich um \(25\).

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn die erste Zahl größer wird? - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Die Differenz ist der Abstand zwischen ihnen. Was passiert mit dem Abstand, wenn beide Zahlen um das gleiche Stück nach rechts verschoben werden? - Betrachte die beiden Änderungen nacheinander: Erst wird das Ergebnis größer, und dann?

1. Teil a): Wenn der Minuend um \(20\) vergrößert wird, steigt das Ergebnis der Subtraktion ebenfalls um \(20\). Rechnung: \(350 + 20 = 370\). 2. Teil b): Wenn nun auch der Subtrahend um \(20\) vergrößert wird, wird wieder mehr abgezogen. Das Ergebnis sinkt also wieder um \(20\). 3. Da beide Zahlen um den gleichen Betrag (\(20\)) erhöht wurden, bleibt der Abstand zwischen den Zahlen (die Differenz) gleich. 4. Die Rechnung lautet \(520 - 170 = 350\). Das Ergebnis ist identisch mit dem Startwert.

a) Das neue Ergebnis ist \(370\). b) Das Ergebnis ist \(350\) (es bleibt gleich).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du mit einer größeren Menge startest, aber gleich viel wegnimmst? - Überlege, ob das Ergebnis größer oder kleiner wird, wenn du von einer Zahl mehr abziehst als vorher. - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Was passiert mit dem Abstand, wenn beide Zahlen um das gleiche Stück nach rechts hüpfen?

1. Berechnung für Fall a: Der Minuend wird zu \(500 + 40 = 540\). Die neue Rechnung lautet \(540 - 200 = 340\). Das Ergebnis ist um \(40\) größer als vorher. 2. Berechnung für Fall b: Der Subtrahend wird zu \(200 + 40 = 240\). Die neue Rechnung lautet \(500 - 240 = 260\). Das Ergebnis ist um \(40\) kleiner als vorher. 3. Berechnung für Fall c: Beide Zahlen ändern sich. Die neue Rechnung lautet \(540 - 240 = 300\). Da sich beide Zahlen um denselben Betrag in die gleiche Richtung ändern, bleibt der Abstand (die Differenz) gleich.

a) \(340\); die Differenz wird um \(40\) größer. b) \(260\); die Differenz wird um \(40\) kleiner. c) \(300\); die Differenz bleibt gleich.

- Stell dir die beiden Zahlen als Markierungen auf einem Lineal vor. - Was passiert mit dem Abstand zwischen den Markierungen, wenn die rechte Markierung nach links geschoben wird? - Was passiert mit dem Abstand, wenn die linke Markierung nach rechts geschoben wird? - Verkleinert oder vergrößert sich die Lücke in jedem Schritt?

1. Analyse der ersten Änderung: Wenn die größere Zahl (der Minuend) um \(20\) kleiner wird, verringert sich der Abstand zwischen den Zahlen ebenfalls um \(20\). Zwischenstand: \(150 - 20 = 130\). 2. Analyse der zweiten Änderung: Wenn die kleinere Zahl (der Subtrahend) um \(10\) größer wird, rückt sie näher an die größere Zahl heran. Der Abstand verringert sich also um weitere \(10\). 3. Endberechnung: \(130 - 10 = 120\). Der neue Unterschied zwischen den Zahlen beträgt \(120\).

\(120\)

- Beginne damit, die beiden Steine in der mittleren Reihe zu berechnen, indem du die jeweils darunterliegenden Steine addierst. - Wenn du die mittlere Reihe hast, kannst du diese beiden Zahlen addieren, um den obersten Stein zu finden. - Vergleiche die Zahlen im untersten mittleren Stein von Mauer A, Mauer B und Mauer C. Um wie viel werden sie größer? - Vergleiche nun die Zahlen in den obersten Steinen. Fällt dir ein Zusammenhang auf? - Überlege, wie oft die untere mittlere Zahl in die Berechnung des obersten Steins einfließt.

1. Berechnen der fehlenden Steine für jede Mauer: - Mauer A: Die mittlere Reihe ergibt sich aus \(10 + 15 = 25\) und \(15 + 12 = 27\). Der oberste Stein ist \(25 + 27 = 52\). - Mauer B: Die mittlere Reihe ergibt sich aus \(10 + 20 = 30\) und \(20 + 12 = 32\). Der oberste Stein ist \(30 + 32 = 62\). - Mauer C: Die mittlere Reihe ergibt sich aus \(10 + 25 = 35\) und \(25 + 12 = 37\). Der oberste Stein ist \(35 + 37 = 72\). 2. Vergleich der Ergebnisse: - Die Spitzenzahlen sind \(52\), \(62\) und \(72\). Sie erhöhen sich von Mauer zu Mauer um jeweils \(10\). - Erklärung: Der mittlere Stein der untersten Reihe wird sowohl für den linken als auch den rechten Stein der mittleren Reihe benötigt. Er fließt somit doppelt in die Berechnung des obersten Steins ein. Eine Erhöhung der unteren Mitte um \(5\) bewirkt daher eine Erhöhung der Spitze um \(2 \cdot 5 = 10\).

1. Die ausgefüllten Mauern haben folgende Werte: - **Mauer A**: Mittlere Reihe: \(25\) und \(27\); Spitze: \(52\) - **Mauer B**: Mittlere Reihe: \(30\) und \(32\); Spitze: \(62\) - **Mauer C**: Mittlere Reihe: \(35\) und \(37\); Spitze: \(72\) 2. Wenn sich die untere mittlere Zahl um \(5\) erhöht, wird die Spitze um \(10\) größer. Das liegt daran, dass die untere Mittelzahl doppelt in die Spitze einfließt, da sie für beide Steine der mittleren Reihe benötigt wird.

- Schau dir die Steine an, bei denen du bereits zwei Nachbarsteine kennst. - Wenn ein Stein über zwei anderen Steinen liegt, ist sein Wert die Summe dieser beiden Steine. - Wenn der obere Stein und einer der beiden unteren Steine bekannt sind, kannst du den fehlenden unteren Stein durch eine Minusaufgabe finden. - Vergleiche nach dem Lösen die unterste Reihe von Mauer A und Mauer B. Was hat sich verändert und wie wirkt sich das auf die Spitze aus?

1. Berechnung für Mauer A: - Der Stein unten links berechnet sich durch Subtraktion: \(32 - 15 = 17\). - Der Stein in der Mitte rechts ist die Summe der beiden Steine darunter: \(15 + 24 = 39\). - Der Stein an der Spitze ist die Summe der beiden Steine der mittleren Reihe: \(32 + 39 = 71\). 2. Berechnung für Mauer B: - Der Stein unten links berechnet sich durch Subtraktion: \(35 - 15 = 20\). - Der Stein in der Mitte rechts ist die Summe der beiden Steine darunter: \(15 + 24 = 39\). - Der Stein an der Spitze ist die Summe der beiden Steine der mittleren Reihe: \(35 + 39 = 74\). 3. Vergleich der Mauern: - Der Stein unten links ist bei Mauer B um \(3\) größer als bei Mauer A (\(20\) statt \(17\)). - Da dieser Stein zur Summe an der Spitze beiträgt, ist auch der oberste Stein bei Mauer B um genau \(3\) größer als bei Mauer A (\(74\) statt \(71\)).

Mauer A: - Untere Reihe: \(17\), \(15\), \(24\) - Mittlere Reihe: \(32\), \(39\) - Spitze: \(71\) Mauer B: - Untere Reihe: \(20\), \(15\), \(24\) - Mittlere Reihe: \(35\), \(39\) - Spitze: \(74\) Erklärung: Der Stein unten links ist bei Mauer B um \(3\) größer als bei Mauer A (\(20\) statt \(17\)). Dadurch wird auch der Stein ganz oben bei Mauer B um genau \(3\) größer (\(74\) statt \(71\)).

- Berechne die abgebildete Mauer zunächst vollständig. - Vergleiche danach, welche Steine sich verändern, wenn alle Grundsteine um denselben Betrag steigen. - Untersuche, wie oft jeder Grundstein auf dem Weg zur Spitze beiträgt.

1. Aus den Grundsteinen \(6\), \(8\), \(12\) entstehen \(14\) und \(20\); die Spitze ist \(34\). 2. Nach der Erhöhung um \(2\) lauten die Grundsteine \(8\), \(10\), \(14\). Darüber entstehen \(18\) und \(24\); die Spitze ist \(42\). Sie ist um \(42 - 34 = 8\) größer. 3. Bei einer gleichen Erhöhung wirken die beiden äußeren Grundsteine je einmal und der mittlere Grundstein zweimal auf die Spitze. Eine Erhöhung aller drei Grundsteine um \(5\) erhöht die Spitze daher um \(20\).

a) Untere Reihe: \(6\), \(8\), \(12\); mittlere Reihe: \(14\), \(20\); Spitze: \(34\). b) Untere Reihe: \(8\), \(10\), \(14\); mittlere Reihe: \(18\), \(24\); Spitze: \(42\). Die Spitze ist um \(8\) größer. c) Werden alle drei Grundsteine um \(5\) erhöht, wächst die Spitze um \(20\) auf \(54\).

- Berechne beide Mauern vollständig und vergleiche entsprechende Steine. - Verfolge, welche Steine in der zweiten Reihe durch die veränderte Mitte beeinflusst werden. - Vergleiche die Änderung unten mit der Änderung an der Spitze.

1. Mauer a): Aus \(8\), \(10\), \(12\) entstehen \(18\), \(22\) und oben \(40\). 2. Mauer b): Aus \(8\), \(11\), \(12\) entstehen \(19\), \(23\) und oben \(42\). 3. Der mittlere Grundstein wurde um \(1\) erhöht. Die Spitze stieg von \(40\) auf \(42\), also um \(2\).

a) Mauer a): untere Reihe \(8\), \(10\), \(12\); mittlere Reihe \(18\), \(22\); Spitze \(40\). Mauer b): untere Reihe \(8\), \(11\), \(12\); mittlere Reihe \(19\), \(23\); Spitze \(42\). b) Wird der mittlere Grundstein um \(1\) erhöht, steigt die Spitze um \(2\).

- Probiere beide Veränderungen nacheinander aus. - Achte darauf, wie oft der Wert eines Grundsteins in das Ergebnis an der Spitze einfließt.

1. Aus \(5\), \(10\), \(5\) entstehen \(15\), \(15\) und oben \(30\). 2. Wird nur die Mitte um \(5\) erhöht, lauten die Grundsteine \(5\), \(15\), \(5\). Daraus entstehen \(20\), \(20\), oben \(40\). Die Spitze wächst um \(10\). 3. Werden stattdessen nur die äußeren Grundsteine um jeweils \(5\) erhöht, lauten die Grundsteine \(10\), \(10\), \(10\). Daraus entstehen ebenfalls \(20\), \(20\), oben \(40\). Die Spitze wächst ebenfalls um \(10\).

Ursprüngliche Mauer: untere Reihe \(5\), \(10\), \(5\); mittlere Reihe \(15\), \(15\); Zielstein \(30\). Nur Mitte \(+5\): neue Spitze \(40\), also \(+10\). Nur beide äußeren Grundsteine je \(+5\): neue Spitze ebenfalls \(40\), also ebenfalls \(+10\).

- Berechne beide Mauern zunächst vollständig. - Vergleiche, wie sich die beiden Steine der zweiten Reihe verändern. - Verbinde diese beiden Veränderungen mit dem Unterschied an der Spitze.

1. Mauer a): Zweite Reihe \(50-15=35\) und \(15-5=10\); Spitze \(35-10=25\). 2. Mauer b): Zweite Reihe \(50-16=34\) und \(16-5=11\); Spitze \(34-11=23\). 3. Die mittlere Zahl unten steigt um \(1\), während die Spitze von \(25\) auf \(23\) sinkt. Die Spitze wird also um \(2\) kleiner.

Die Spitze von Mauer a) ist \(25\), die von Mauer b) ist \(23\). Wird die mittlere Zahl unten um \(1\) erhöht, sinkt die Spitze um \(2\).

- Vergleiche bei A, B und C getrennt die Anzahl der Reihen und die Anzahl der Spalten. - Setze beide Veränderungen für die nächste Anordnung fort. - Vergleiche danach die Punktzahlen von C und der neuen Anordnung.

1. A hat \(2\) Reihen und \(3\) Spalten, B hat \(3\) Reihen und \(4\) Spalten, C hat \(4\) Reihen und \(5\) Spalten. 2. Von Bild zu Bild kommen jeweils eine Reihe und eine Spalte hinzu. 3. Die nächste Anordnung hat daher \(5\) Reihen und \(6\) Spalten: \(5 \cdot 6 = 30\) Punkte. 4. C hat \(4 \cdot 5 = 20\) Punkte. Der Zuwachs beträgt \(30 - 20 = 10\) Punkte.

Reihen- und Spaltenzahl steigen jeweils um \(1\). Die nächste Anordnung hat \(30\) Punkte; der Zuwachs beträgt \(10\) Punkte.

- Vergleiche zuerst, welche Eckzahl sich von Bild zu Bild verändert. - Beobachte jede Seite getrennt über alle drei Dreiecke hinweg. - Erkläre die Schrittweite einer Seitenfolge mithilfe der unveränderten angrenzenden Ecke.

1. a): oben rechts \(5 \cdot 3 = 15\), unten \(3 \cdot 2 = 6\), oben links \(2 \cdot 5 = 10\). 2. b): oben rechts \(5 \cdot 4 = 20\), unten \(4 \cdot 2 = 8\), oben links \(2 \cdot 5 = 10\). 3. c): oben rechts \(5 \cdot 5 = 25\), unten \(5 \cdot 2 = 10\), oben links \(2 \cdot 5 = 10\). 4. Oben rechts wächst die Folge jeweils um \(5\), unten jeweils um \(2\), oben links bleibt sie konstant bei \(10\).

a): \(15, 6, 10\) b): \(20, 8, 10\) c): \(25, 10, 10\) Oben rechts steigt die Seitenzahl jeweils um \(5\), unten jeweils um \(2\), oben links bleibt sie gleich.

- Betrachte jede Seite danach, welche ihrer beiden Eckzahlen verändert wurde. - Was geschieht mit einem Produkt, wenn ein Faktor verdoppelt und der andere gleichzeitig halbiert wird? - Prüfe die beiden übrigen Seiten getrennt: Dort ändert sich jeweils nur einer der beiden Faktoren.

1. Oben rechts wirken Verdoppeln und Halbieren gleichzeitig. Das Produkt bleibt deshalb gleich: a) \(4 \cdot 6 = 24\), b) \(8 \cdot 3 = 24\). 2. Unten bleibt die linke untere Ecke gleich, während die rechte untere Ecke halbiert wird. Das Produkt halbiert sich von \(30\) auf \(15\). 3. Oben links bleibt die linke untere Ecke gleich, während die obere Ecke verdoppelt wird. Das Produkt verdoppelt sich von \(20\) auf \(40\).

Oben rechts bleibt das Produkt gleich. Unten halbiert es sich. Oben links verdoppelt es sich. Kontrolle: a) \(24, 30, 20\); b) \(24, 15, 40\).

- Untersuche die Veränderung des Minuenden und des Subtrahenden getrennt. - Welche der beiden Veränderungen macht die Differenz kleiner? - Wie wirken beide Veränderungen zusammen auf den Abstand?

1. Die Ergebnisse sind \(800\), \(730\), \(660\) und \(590\). 2. Der Minuend sinkt jeweils um \(50\), während der Subtrahend gleichzeitig um \(20\) steigt. 3. Beide Veränderungen verkleinern die Differenz; zusammen beträgt die Änderung \(50+20=70\). 4. Eine passende Fortsetzung ist \(700-180=520\).

Ergebnisse: \(800,730,660,590\). Eine passende Fortsetzung ist \(700-180=520\). Die Differenz sinkt jeweils um \(70\), weil der Minuend um \(50\) kleiner und der Subtrahend um \(20\) größer wird.

- Berechne zunächst mehrere der Produkte und vergleiche die Ergebnisse. - Welche Zahl scheint unverändert zu bleiben? - Suche für die Fortsetzung zwei Faktoren, deren Produkt genau diese Zahl ergibt.

1. Alle fünf Produkte sind \(240\). 2. Die Faktoren ändern sich unterschiedlich, werden aber so gewählt, dass das Produkt konstant bleibt. 3. Ein weiteres passendes Paar ist zum Beispiel \(12\cdot20=240\).

Alle Produkte sind \(240\). Zum Beispiel ist auch \(12\cdot20=240\). Andere passende Faktorenpaare mit Produkt \(240\) sind möglich.

- Vergleiche nicht nur die Ergebnisse, sondern auch die Summanden benachbarter Zeilen. - Welche Veränderung erkennst du beim ersten Summanden? - Welche passende Gegenveränderung müsste beim zweiten Summanden auftreten?

1. Vom ersten zum zweiten und vom passenden dritten zum vierten Term steigt der erste Summand jeweils um \(10\), während der zweite um \(10\) sinkt. 2. Deshalb muss die dritte Zeile \(340+160=500\) lauten. 3. \(345+155=500\) ist zwar rechnerisch richtig, bricht aber die regelmäßige Veränderung der Summanden. 4. In der passenden Folge bleibt die Summe \(500\).

Die dritte Zeile unterbricht das Muster. Passend ist \(340+160=500\). Der erste Summand steigt jeweils um \(10\), der zweite sinkt um \(10\); die Summe bleibt \(500\).

- Um eine kleine Summe zu bekommen, sollten die kleinen Ziffern möglichst viel wert sein – oder doch eher die großen? Überlege, welcher Stellenwert wichtiger ist. - Systematisches Probieren hilft: Wähle zwei Ziffern für die Zehnerstelle aus und schau, welches Ergebnis herauskommt. Wie viele Paare kannst du bilden? - Denke daran, dass \(24 + 58\) das gleiche Ergebnis liefert wie \(28 + 54\).

1. Kleinstmögliche Summe: Die kleinsten Ziffern (\(2\) und \(4\)) müssen an die Zehnerstelle. Die verbleibenden Ziffern (\(5\) und \(8\)) sind die Einer. Rechnung: \(25 + 48 = 73\) oder \(28 + 45 = 73\). Das kleinste Ergebnis ist \(73\). 2. Größtmögliche Summe: Die größten Ziffern (\(5\) und \(8\)) müssen an die Zehnerstelle. Die verbleibenden Ziffern (\(2\) und \(4\)) sind die Einer. Rechnung: \(52 + 84 = 136\) oder \(54 + 82 = 136\). Das größte Ergebnis ist \(136\). 3. Anzahl der Ergebnisse: Es gibt 6 verschiedene Paare von Zehnerziffern: \((2, 4)\), \((2, 5)\), \((2, 8)\), \((4, 5)\), \((4, 8)\) und \((5, 8)\). Da jede Kombination von Zehnerziffern zu einer eindeutigen Summe führt, gibt es genau 6 verschiedene Ergebnisse: \(73, 82, 100, 109, 127, 136\).

a) Kleinstmögliche Summe: \(25 + 48 = 73\) (oder \(28 + 45 = 73\)). b) Größtmögliche Summe: \(52 + 84 = 136\) (oder \(54 + 82 = 136\)). c) Es gibt insgesamt 6 verschiedene Ergebnisse (\(73\), \(82\), \(100\), \(109\), \(127\), \(136\)).

- Rechne sorgfältig untereinander oder schrittweise. - Schau dir die mittlere Ziffer der Ergebnisse an. - Addiere bei den Ergebnissen einmal die erste und die letzte Ziffer. Was fällt dir auf? - Warum sind die Ergebnisse hier alle gleich, obwohl die Startzahlen unterschiedlich sind?

1. Berechnung der Aufgaben: \(421 - 124 = 297\) \(623 - 326 = 297\) \(825 - 528 = 297\) 2. Analyse der Ergebnisse: In diesem Päckchen ist das Ergebnis immer \(297\). 3. Beobachtung der Ziffern: Die Zehnerziffer des Ergebnisses ist immer \(9\). Die Summe der Hunderter- und Einerziffer des Ergebnisses ist ebenfalls \(9\) (\(2 + 7 = 9\)).

a) \(297\) b) \(297\) c) \(297\) d) Das Ergebnis ist immer gleich (\(297\)). Die Zehnerziffer ist immer eine \(9\). Die Hunderterziffer (\(2\)) und die Einerziffer (\(7\)) ergeben zusammen \(9\).

- Rechne zuerst alle Aufgaben aus Päckchen A aus. Was bemerkst du? - Rechne dann Päckchen B aus. - Vergleiche die Ergebnisse beider Päckchen. Ist das Ergebnis eines Päckchens ein Vielfaches des anderen?

1. Berechnung Päckchen A: \(654 - 456 = 198\), \(765 - 567 = 198\), \(876 - 678 = 198\). 2. Berechnung Päckchen B: \(642 - 246 = 396\), \(753 - 357 = 396\), \(864 - 468 = 396\). 3. Vergleich: Die Ergebnisse innerhalb eines Päckchens sind jeweils identisch. 4. Zusammenhang: Das Ergebnis von Päckchen B (\(396\)) ist genau das Doppelte des Ergebnisses von Päckchen A (\(198\)), da \(198 + 198 = 396\).

a) Ergebnisse Päckchen A: immer \(198\). Ergebnisse Päckchen B: immer \(396\). b) Die Ergebnisse in Päckchen B sind genau doppelt so groß wie die Ergebnisse in Päckchen A.

- Rechne für jedes Kind getrennt. - Wenn eine Null unter den Ziffern ist, steht sie bei der kleinsten Zahl ganz vorne (zum Beispiel die Ziffernfolge „038“, die den Wert \(38\) hat). - Vergleiche die Ergebnisse der einzelnen Schritte miteinander. Findest du eine Zahl, die in beiden Zügen vorkommt?

1. Mias Start: \(721 - 127 = 594\). Toms Start: \(830 - 38 = 792\); bei der dreistelligen Anordnung steht vorne die Ziffernfolge „038“. 2. Mias zweiter Schritt: Aus \(5\), \(9\) und \(4\) wird \(954 - 459 = 495\). Mia erreicht die \(495\) nach \(2\) Schritten. 3. Toms zweiter Schritt: Aus \(7\), \(9\) und \(2\) wird \(972 - 279 = 693\). 4. Toms dritter Schritt: Aus \(6\), \(9\) und \(3\) wird \(963 - 369 = 594\). 5. Toms vierter Schritt: Aus \(5\), \(9\) und \(4\) wird \(954 - 459 = 495\). Tom erreicht die \(495\) nach \(4\) Schritten. 6. Vergleich: Beide Züge landen schließlich bei der \(495\), auch wenn sie unterschiedlich lang sind und verschiedene Zwischenstationen haben.

a) Mia: \(721 - 127 = 594\). Tom: \(830 - 38 = 792\). b) Mia braucht \(2\) Schritte: \(594 \rightarrow 495\). Tom braucht \(4\) Schritte: \(792 \rightarrow 693 \rightarrow 594 \rightarrow 495\). c) Beide Züge treffen sich bei der Zahl \(594\) und enden beide bei der \(495\).

- Überlege zuerst: Was passiert mit dem Ergebnis \(300\), wenn du nur die erste Zahl um \(50\) erhöhst? - Vergleiche dieses Zwischenergebnis mit dem Zielwert \(320\). Muss das Ergebnis noch größer oder kleiner werden? - Wenn das Ergebnis kleiner werden soll, musst du dann von der zweiten Zahl mehr oder weniger abziehen? - Versuche, dir die Aufgabe mit kleinen Zahlen vorzustellen, zum Beispiel \(10 - 5 = 5\).

1. Wird nur der Minuend um \(50\) vergrößert, steigt die Differenz zunächst von \(300\) auf \(300 + 50 = 350\). 2. Gewünscht ist aber \(320\). Die Differenz muss also wieder um \(350 - 320 = 30\) sinken. 3. Eine Vergrößerung des Subtrahenden um \(30\) verkleinert die Differenz genau um \(30\). 4. Deshalb muss der Subtrahend um \(30\) vergrößert werden.

Zuerst würde die Differenz durch den um \(50\) größeren Minuenden von \(300\) auf \(350\) steigen. Zum Ziel \(320\) fehlen dann \(350 - 320 = 30\) nach unten. Deshalb muss der Subtrahend um \(30\) vergrößert werden.