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- In einer Zahlenmauer ist jeder Stein die Summe der beiden Steine direkt darunter. - Fange in der untersten Reihe an und rechne dich nach oben. - Welche zwei Zahlen musst du addieren, um den Stein darüber zu finden?

1. Berechnung der Steine in der mittleren Reihe durch Addition der benachbarten Grundsteine: \(12 + 15 = 27\) und \(15 + 20 = 35\). 2. Berechnung des Zielsteins in der obersten Reihe: \(27 + 35 = 62\).

Der Zielstein lautet \(62\). Die Steine in der mittleren Reihe sind \(27\) und \(35\).

- Beginne in der untersten Reihe und arbeite dich Schritt für Schritt nach oben. - Addiere immer zwei nebeneinanderliegende Zahlen, um die Zahl darüber zu finden.

1. Berechnung der zweiten Reihe von links nach rechts: \(4 + 2 = 6\), \(2 + 5 = 7\) und \(5 + 3 = 8\). 2. Berechnung der dritten Reihe: \(6 + 7 = 13\) und \(7 + 8 = 15\). 3. Berechnung des Decksteins: \(13 + 15 = 28\).

Die fehlenden Zahlen sind in der zweiten Reihe \(6\), \(7\) und \(8\), in der dritten Reihe \(13\) und \(15\) und der Deckstein ist \(28\).

- Berechne für beide Mauern zuerst die mittlere Reihe. - Addiere dann die Zahlen der mittleren Reihe für den Deckstein.

1. Mauer a): \(5 + 5 = 10\) und \(5 + 5 = 10\). Deckstein: \(10 + 10 = 20\). 2. Mauer b): \(4 + 7 = 11\) und \(7 + 4 = 11\). Deckstein: \(11 + 11 = 22\). 3. Vergleich: \(22 > 20\).

Mauer a): mittlere Reihe \(10, 10\); Deckstein \(20\). Mauer b): mittlere Reihe \(11, 11\); Deckstein \(22\). Damit ist der Deckstein von Mauer b) größer.

- Welche zwei Eckzahlen bilden die Seitensumme \(60\)? - Wenn die Summe und ein Summand bekannt sind, kannst du direkt rückwärts rechnen.

1. Die Seitensumme \(60\) besteht aus der fehlenden oberen Ecke und \(25\). 2. Daher ist die obere Ecke \(60 - 25 = 35\).

Die fehlende obere Eckzahl ist \(35\).

- Lies zuerst ab, welche Ecke an die sichtbare Seitensumme \(230\) grenzt. - Prüfe die vorgeschlagenen Werte an genau dieser Seite. - Es ist nicht nötig, die übrigen Seiten zu berechnen.

1. Die Seitensumme \(230\) liegt zwischen der oberen Ecke \(80\) und der gesuchten rechten unteren Ecke. 2. Gesucht ist daher der Wert, der zusammen mit \(80\) die Summe \(230\) ergibt. 3. \(80 + 150 = 230\). Die beiden anderen Vorschläge passen nicht.

Die rechte untere Eckzahl ist \(150\), denn \(80 + 150 = 230\). Daher passt der vorgeschlagene Wert \(150\) zur sichtbaren Seitensumme.

- Kannst du die Beziehung zwischen den Zahlen in der untersten und der mittleren Reihe beschreiben? - Überlege, wie du Schritt für Schritt von unten nach oben gelangen kannst. - Welche Rechenart ist laut der Beschreibung für die Steine anzuwenden? - Kannst du zuerst die fehlenden Zahlen in der mittleren Reihe bestimmen?

1. Identifikation der untersten Reihe mit den Werten \(15\), \(8\) und \(30\). 2. Berechnung der beiden Steine in der mittleren Reihe durch Addition der jeweils darunterliegenden Nachbarn: linker Stein \(15 + 8 = 23\), rechter Stein \(8 + 30 = 38\). 3. Berechnung des Zielwerts (Fragezeichen) in der obersten Reihe durch Addition der beiden Steine der mittleren Reihe: \(23 + 38 = 61\).

\(61\)

- Schau dir die Dreiergruppen von Steinen an, bei denen du schon zwei von drei Werten kennst. - Wenn eine Zahl über zwei Steinen steht und einer der unteren Steine bekannt ist, kannst du den anderen durch Minusrechnen finden. - Trage gefundene Zahlen direkt ein, da sie dir helfen, die nächsten Lücken zu füllen. - Du kannst am Ende die Spitze der Mauer berechnen, um zu überprüfen, ob alle deine Rechnungen stimmen.

1. Bestimme die zweite Zahl der untersten Reihe durch Subtraktion der bekannten Nachbarzahl vom darüberliegenden Stein: \(19 - 7 = 12\). 2. Bestimme die vierte Zahl der untersten Reihe ebenso durch Subtraktion: \(22 - 7 = 15\). 3. Berechne die erste Zahl der zweiten Reihe von unten durch Addition der darunterliegenden Steine: \(8 + 12 = 20\). 4. Berechne die beiden Zahlen der dritten Reihe von unten: - Linker Stein: \(20 + 19 = 39\) - Rechter Stein: \(19 + 22 = 41\) 5. Überprüfe dein Ergebnis an der Spitze der Mauer: \(39 + 41 = 80\).

Die fehlenden Zahlen sind: - Unterste Reihe: \(12\) und \(15\) (vollständig von links nach rechts: \(8\), \(12\), \(7\), \(15\)) - Zweite Reihe von unten: \(20\) (vollständig von links nach rechts: \(20\), \(19\), \(22\)) - Dritte Reihe von unten: \(39\) und \(41\) - Spitze: \(80\)

- Schau dir den Stein mit der Zahl \(12\) an. Welche zwei Steine liegen direkt darunter? - Wenn du eine Zahl in einer Reihe kennst und eine der beiden Zahlen darunter, wie kannst du die andere Zahl berechnen? - Arbeite dich von unten nach oben vor, wo es möglich ist, und nutze an anderen Stellen die Zahl an der Spitze, um rückwärts zu rechnen.

1. In der untersten Reihe ist der zweite Stein von links mit dem dritten Stein (\(4\)) verbunden, um den Stein darüber (\(12\)) zu bilden. Es gilt: \(\text{zweiter Stein} + 4 = 12\). Daraus folgt, dass der zweite Stein von links in der untersten Reihe gleich \(12 - 4 = 8\) ist. 2. Nun berechnen wir den ersten Stein der zweiten Reihe von unten: \(5 + 8 = 13\). 3. Der linke Stein der dritten Reihe von unten ist \(13 + 12 = 25\). 4. Den rechten Stein der dritten Reihe von unten berechnen wir über den Spitzenstein: \(53 - 25 = 28\). 5. Den rechten Stein der zweiten Reihe von unten berechnen wir als \(28 - 12 = 16\). 6. Schließlich berechnen wir den ganz rechten Stein der untersten Reihe: \(16 - 4 = 12\).

- Unterste Reihe: \(8\) und \(12\) - Zweite Reihe von unten: \(13\) und \(16\) - Dritte Reihe von unten: \(25\) und \(28\)

- Schau dir die Steine an, bei denen du schon zwei von drei Werten in einer Dreiergruppe kennst. - Wenn die beiden unteren Steine bekannt sind, kannst du sie addieren, um den oberen zu erhalten. - Wenn der obere Stein und einer der unteren Steine bekannt sind, kannst du den anderen unteren Stein durch Subtraktion berechnen. - Finde zuerst die fehlenden Zahlen in der untersten Reihe.

1. Unten gilt \(13 - 5 = 8\) und \(15 - 6 = 9\). 2. In der zweiten Reihe von unten steht in der Mitte \(8 + 6 = 14\). 3. In der dritten Reihe stehen \(13 + 14 = 27\) und \(14 + 15 = 29\). 4. Oben steht \(27 + 29 = 56\).

Unterste Reihe: \(5, 8, 6, 9\). Zweite Reihe: \(13, 14, 15\). Dritte Reihe: \(27, 29\). Oben: \(56\).

- Überlege dir, wie die Steine miteinander zusammenhängen: Zwei nebeneinander liegende Steine ergeben addiert den Stein direkt darüber. - Du kannst rückwärts rechnen: Wenn du den oberen Stein und einen der beiden unteren Steine kennst, kannst du den anderen unteren Stein durch Subtraktion berechnen. - Fange an einer Stelle an, an der du bereits zwei von drei zusammenhängenden Steinen kennst.

1. In der untersten Reihe gilt \(13 - 5 = 8\) und \(18 - 6 = 12\). 2. Der gesuchte mittlere Stein der zweiten Reihe ist \(8 + 12 = 20\). 3. In der dritten Reihe stehen \(13 + 20 = 33\) und \(20 + 18 = 38\). 4. Oben steht \(33 + 38 = 71\).

Unterste Reihe: \(5, 8, 12, 6\). Zweite Reihe: \(13, 20, 18\); der gesuchte mittlere Stein ist \(20\). Dritte Reihe: \(33, 38\). Oben: \(71\).

- Erinnere dich daran, dass ein Stein immer die Summe der beiden Steine direkt darunter ist. - Wenn die Summe und einer der unteren Steine gegeben sind, kannst du den anderen Stein durch Minusrechnen (Subtraktion) finden. - Suche nach einer Stelle in der Zahlenmauer, an der du bereits zwei von drei zusammengehörigen Zahlen kennst. - Arbeite dich Schritt für Schritt von den bekannten Zahlen zu den unbekannten vor.

1. Berechnung für Mauer a): - Der mittlere Stein der untersten Reihe berechnet sich durch Subtraktion des rechten Steins vom mittleren Stein der zweiten Reihe: \(23 - 8 = 15\). - Der linke Stein der zweiten Reihe ergibt sich aus der Summe der beiden Steine darunter: \(12 + 15 = 27\). - Der Deckstein ist \(27 + 23 = 50\). 2. Berechnung für Mauer b): - Der linke Stein der untersten Reihe berechnet sich durch Subtraktion: \(39 - 14 = 25\). - Der rechte Stein der zweiten Reihe berechnet sich durch Subtraktion des linken Steins vom oberen Stein: \(71 - 39 = 32\). - Der rechte Stein der untersten Reihe berechnet sich durch Subtraktion: \(32 - 14 = 18\). 3. Berechnung für Mauer c): - Der linke Stein der zweiten Reihe ist die Summe der beiden Steine darunter: \(7 + 22 = 29\). - Der rechte Stein der zweiten Reihe ist die Differenz des oberen Steins und des linken Steins der zweiten Reihe: \(70 - 29 = 41\). - Der rechte Stein der untersten Reihe ist die Differenz des rechten Steins der zweiten Reihe und des mittleren Steins der untersten Reihe: \(41 - 22 = 19\).

a) Fehlende Zahlen: - Untere Reihe Mitte: \(15\) - Mittlere Reihe links: \(27\) - Deckstein: \(50\) b) Fehlende Zahlen: - Untere Reihe links: \(25\) - Mittlere Reihe rechts: \(32\) - Untere Reihe rechts: \(18\) c) Fehlende Zahlen: - Mittlere Reihe links: \(29\) - Mittlere Reihe rechts: \(41\) - Untere Reihe rechts: \(19\)

- Beginne mit dem rechten Stein der mittleren Reihe und den beiden Steinen direkt darunter. - Wenn der obere Stein und einer der beiden Steine direkt darunter bekannt sind, kannst du den anderen durch Subtraktion berechnen. - Rechne anschließend von unten nach oben weiter.

1. Berechne den mittleren Stein in der untersten Reihe aus dem rechten Stein der mittleren Reihe: \(35 - 23 = 12\). 2. Berechne den linken Stein in der mittleren Reihe: \(15 + 12 = 27\). 3. Berechne den obersten Stein: \(27 + 35 = 62\).

- Der linke Stein in der mittleren Reihe ist \(27\). - Der mittlere Stein in der untersten Reihe ist \(12\). - Der oberste Stein ist \(62\).

- Schau dir die Steine an, bei denen du bereits zwei Werte einer Dreiergruppe kennst. - Kannst du mit einer Plusaufgabe einen Stein in der zweiten Reihe berechnen? - Wenn du die Zahl auf einem oberen Stein und einem darunterliegenden Stein kennst, kannst du den anderen unteren Stein mit einer Minusaufgabe berechnen. - Arbeite dich so Schritt für Schritt durch die Mauer, bis du ganz oben ankommst.

1. Ganz rechts in der zweiten Reihe gilt \(14 + 7 = 21\). 2. Für den mittleren Stein der zweiten Reihe gilt \(45 - 21 = 24\). 3. In der untersten Reihe fehlt \(24 - 14 = 10\). 4. Links in der zweiten Reihe steht \(10 + 10 = 20\). 5. Links in der dritten Reihe steht \(20 + 24 = 44\). 6. Oben steht \(44 + 45 = 89\).

Unterste Reihe: \(10, 10, 14, 7\). Zweite Reihe: \(20, 24, 21\). Dritte Reihe: \(44, 45\). Oben: \(89\).

- Wenn du einen oberen Stein und einen der beiden Steine direkt darunter kennst, kannst du den fehlenden Stein durch Subtraktion bestimmen. - Suche zuerst nach einer Dreiergruppe von Steinen, in der nur ein Wert fehlt. - Entscheide bei jeder Lücke neu, ob du von unten nach oben addieren oder von oben nach unten subtrahieren kannst.

1. Der fehlende Stein in der zweiten Reihe ist \(63 - 35 = 28\). 2. Der mittlere Grundstein ist \(35 - 21 = 14\). 3. Der linke Grundstein ist \(28 - 14 = 14\).

Die unterste Reihe lautet von links nach rechts \(14\), \(14\), \(21\). Die zweite Reihe besteht aus \(28\) und \(35\). An der Spitze steht \(63\).

- Wenn unten ein Stein fehlt, nutze die passende Umkehraufgabe zu der Addition darüber. - Bestimme die beiden fehlenden Grundsteine nacheinander. - Wenn die zweite Reihe vollständig ist, kannst du die Spitze direkt berechnen.

1. Linker Grundstein: \(30-14=16\). 2. Rechter Grundstein: \(26-14=12\). 3. Spitzenstein: \(30+26=56\).

Die untere Reihe lautet \(16\), \(14\) und \(12\). Der Spitzenstein ist \(56\).

- Nutze dein Wissen über das Rechnen mit Hunderterzahlen. - Die Rechenregel für die Mauer bleibt die gleiche, egal wie groß die Zahlen sind. - Kontrolliere dein Ergebnis am Ende: Ergibt die Summe der mittleren Steine wirklich den Zielstein?

1. Addition der Grundsteine: \(120 + 250 = 370\) und \(250 + 380 = 630\). 2. Berechnung des Zielsteins: \(370 + 630 = 1000\).

Die Steine in der mittleren Reihe sind \(370\) und \(630\). Der Zielstein ist \(1000\).

- Beginne dort, wo nur eine Zahl in einer Dreiergruppe aus Steinen fehlt. - Wenn du zwei Steine nebeneinander hast, addiere sie für den Stein darüber. - Wenn der obere Stein und einer der unteren Steine gegeben sind, kannst du subtrahieren.

1. Unterste Reihe: \(15 - 5 = 10\) und \(15 - 7 = 8\). Damit lautet sie \(5, 10, 8, 7\). 2. Zweite Reihe: \(10 + 8 = 18\). Damit lautet sie \(15, 18, 15\). 3. Dritte Reihe: \(15 + 18 = 33\) und \(18 + 15 = 33\). 4. Spitze: \(33 + 33 = 66\).

Unterste Reihe: Es fehlen \(10\) und \(8\). Zweite Reihe: Es fehlt \(18\). Dritte Reihe: Es fehlen \(33\) und \(33\). Spitze: \(66\).

- Schau dir den Stein mit der Zahl \(32\) an. Welche Zahl fehlt darunter, damit die Rechnung stimmt? - Wenn du die unterste Reihe vollzählig hast, ist der Rest ganz einfach.

1. Den Stein ganz links in der untersten Reihe berechnen: \(32 - 15 = 17\). 2. Den rechten Stein in der mittleren Reihe berechnen: \(15 + 12 = 27\). 3. Den obersten Stein berechnen: \(32 + 27 = 59\).

Ganz links unten muss \(17\) stehen. Der rechte Stein in der mittleren Reihe hat den Wert \(27\), und im Zielstein oben steht \(59\).

- Addiere immer zwei nebeneinanderliegende Steine, um den Wert des Steins direkt darüber zu finden. - Arbeite dich Reihe für Reihe nach oben.

1. Zweite Reihe: \(110, 100, 110, 100\). 2. Dritte Reihe: \(210, 210, 210\). 3. Vierte Reihe: \(420, 420\). 4. Spitze: \(840\).

Zweite Reihe: \(110, 100, 110, 100\). Dritte Reihe: \(210, 210, 210\). Vierte Reihe: \(420, 420\). Spitze: \(840\).

- Wenn der obere Stein und einer der unteren Steine gegeben sind, kannst du den fehlenden unteren Stein durch Subtraktion finden. - Mit welchem Stein kannst du beginnen? Suche eine Stelle, an der nur eine Zahl in einer Dreiergruppe fehlt.

1. Fehlenden Stein unten links finden: \(25 - 15 = 10\). 2. Mittleren Stein rechts finden: \(60 - 25 = 35\). 3. Fehlenden Stein unten rechts finden: \(35 - 15 = 20\).

Die untere Reihe lautet \(10\), \(15\), \(20\). In der mittleren Reihe steht rechts \(35\).

- Nutze die schriftliche Addition, wenn die Zahlen zu groß für das Kopfrechnen sind. - Achte besonders auf die Überträge beim Addieren.

1. Linker Stein der zweiten Reihe: \(245 + 138 = 383\). 2. Rechter Stein der zweiten Reihe: \(138 + 304 = 442\). 3. Deckstein: \(383 + 442 = 825\).

Die zweite Reihe besteht aus den Zahlen \(383\) und \(442\). Der Deckstein an der Spitze hat den Wert \(825\).

- Schau dir die Steine an, bei denen schon zwei Zahlen in einer Dreiergruppe (zwei nebeneinanderliegende Steine und der Stein direkt darüber) bekannt sind. - Wenn die obere Zahl und eine der unteren Zahlen bekannt sind, kannst du die fehlende untere Zahl durch eine Minusaufgabe finden. - Arbeite dich Schritt für Schritt von den bekannten Stellen aus weiter.

1. Berechne die fehlenden Zahlen in der untersten Reihe durch Subtraktion: Der zweite Stein ist \(7 - 4 = 3\) und der vierte Stein ist ebenfalls \(7 - 4 = 3\). Die unterste Reihe lautet somit: \(2, 3, 4, 3, 2\). 2. Berechne die restlichen Steine in der zweiten Reihe durch Addition: \(2 + 3 = 5\) und \(3 + 2 = 5\). Die vollständige zweite Reihe ist \(5, 7, 7, 5\). 3. Berechne die dritte Reihe: \(5 + 7 = 12\), \(7 + 7 = 14\) und \(7 + 5 = 12\). 4. Berechne die vierte Reihe: \(12 + 14 = 26\) und \(14 + 12 = 26\). 5. Der oberste Stein ist die Summe der vierten Reihe: \(26 + 26 = 52\).

Unterste Reihe: \(2\), \(3\), \(4\), \(3\), \(2\) Zweite Reihe: \(5\), \(7\), \(7\), \(5\) Dritte Reihe: \(12\), \(14\), \(12\) Vierte Reihe: \(26\), \(26\) Spitze: \(52\)

- Addiere die Zahlen in der untersten Reihe paarweise, um die nächste Ebene zu füllen. - Überprüfe deine Rechnungen am Ende noch einmal.

1. Berechnung der zweiten Reihe: \(100 + 50 = 150\), \(50 + 120 = 170\) und \(120 + 130 = 250\). 2. Berechnung der dritten Reihe: \(150 + 170 = 320\) und \(170 + 250 = 420\). 3. Berechnung des Decksteins: \(320 + 420 = 740\).

Die Zahlen in der zweiten Reihe sind \(150\), \(170\) und \(250\). In der dritten Reihe stehen \(320\) und \(420\). Der Deckstein ist \(740\).

- Rechne beide Mauern sorgfältig bis zur Spitze aus. - Vergleiche die Endergebnisse miteinander.

1. Mauer 1: \(200 + 100 = 300\), \(100 + 200 = 300\). Deckstein: \(300 + 300 = 600\). 2. Mauer 2: \(220 + 90 = 310\), \(90 + 200 = 290\). Deckstein: \(310 + 290 = 600\). 3. Beide Decksteine sind gleich groß.

Mauer 1: mittlere Reihe \(300, 300\); Deckstein \(600\). Mauer 2: mittlere Reihe \(310, 290\); Deckstein \(600\). Beide Mauern haben denselben Deckstein.

- Subtrahiere immer den rechten Nachbarn vom linken Stein. - Arbeite dich Schritt für Schritt nach oben.

1. Erste Reihe über der Basis: \(60 - 25 = 35\), \(25 - 10 = 15\), \(10 - 2 = 8\). 2. Zweite Reihe über der Basis: \(35 - 15 = 20\), \(15 - 8 = 7\). 3. Spitze: \(20 - 7 = 13\).

Die Mauer enthält von unten nach oben die Zahlen: - Reihe 2: \(35, 15, 8\) - Reihe 3: \(20, 7\) - Spitze: \(13\)

- Schau dir die Steine an, bei denen schon zwei Zahlen einer Dreiergruppe bekannt sind. - Überlege dir: Welche Zahl muss man von der linken Zahl abziehen, um auf das Ergebnis im Stein darüber zu kommen? - Du kannst die Rechnung auch umkehren: Wenn du von unten nach oben rechnest und eine Zahl suchst, hilft oft eine Additionsaufgabe.

1. Bestimmung des mittleren Steins in der untersten Reihe: Da der Stein darüber die Differenz der beiden Steine darunter ist, gilt \(x - 12 = 23\). Daraus folgt durch Umkehraufgabe \(x = 23 + 12 = 35\). 2. Berechnung des linken Steins in der mittleren Reihe: Linker Stein minus rechter Stein ergibt \(78 - 35 = 43\). 3. Berechnung des obersten Steins: Die Differenz der beiden Steine in der mittleren Reihe ist \(43 - 23 = 20\).

Die fehlenden Zahlen sind: in der untersten Reihe die \(35\), in der mittleren Reihe die \(43\) und ganz oben die \(20\).

- Nutze bekannte Einmaleinsaufgaben und die Zehnerregel. - Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. - Multipliziere die Zahlen in der untersten Reihe paarweise, um die nächste Reihe zu erhalten.

1. Berechnung des linken Steins in der zweiten Reihe: \( 2 \cdot 5 = 10 \). 2. Berechnung des rechten Steins in der zweiten Reihe: \( 5 \cdot 8 = 40 \). 3. Berechnung des obersten Steins: \( 10 \cdot 40 = 400 \).

In der zweiten Reihe stehen die Zahlen \( 10 \) und \( 40 \). Die Zielzahl an der Spitze ist \( 400 \).

- Fange dort an, wo du zwei Zahlen eines „Dreier-Pakets“ kennst. - Du kannst von oben nach unten rechnen, um die fehlenden Werte in der Mitte zu finden.

1. Berechne den Stein ganz links unten: \(x - 50 = 70 \Rightarrow x = 120\). 2. Berechne den mittleren Stein in der zweiten Reihe: Da an der Spitze \(40\) steht und links daneben \(70\), muss gelten: \(70 - y = 40 \Rightarrow y = 30\). 3. Berechne den Stein ganz rechts unten: \(50 - z = 30 \Rightarrow z = 20\).

In der untersten Reihe stehen die Zahlen \(120, 50\) und \(20\). In der mittleren Reihe stehen \(70\) und \(30\).

- Berechne zuerst jede Seitensumme aus den beiden angrenzenden Ecken. - Beim Ordnen kannst du zuerst die Hunderter vergleichen. - Prüfe, ob die größte Seitensumme zu den beiden größten Eckzahlen gehört.

1. \(125 + 230 = 355\). 2. \(230 + 145 = 375\). 3. \(145 + 125 = 270\). 4. Geordnet gilt \(270 < 355 < 375\).

Die Seitensummen sind \(355\), \(375\) und \(270\). Von klein nach groß: \(270, 355, 375\).

- Vergleiche nicht nur die Ergebnisse, sondern auch die Summanden an den Seiten. - Welche Eckzahlen kommen doppelt vor? - Gleich zusammengesetzte Summen müssen denselben Wert haben.

1. Zwischen den beiden Ecken mit \(150\) steht \(150 + 150 = 300\). 2. Die beiden anderen Seitensummen sind \(150 + 80 = 230\) und \(80 + 150 = 230\). 3. Sie sind gleich, weil in beiden Summen dieselben Summanden \(150\) und \(80\) vorkommen.

Die Seitensummen sind \(300\), \(230\) und \(230\). Zwei davon sind gleich, weil sie jeweils aus \(150 + 80\) entstehen.

- Was geschieht mit einer Zahl, wenn du \(0\) addierst? - Zwei der drei Seiten grenzen an die Ecke mit \(0\). - Die dritte Seite verbindet die beiden von Null verschiedenen Ecken.

1. \(0 + 180 = 180\). 2. \(180 + 250 = 430\). 3. \(250 + 0 = 250\). 4. An den beiden Seiten mit der Null bleibt jeweils die andere Eckzahl unverändert, weil das Addieren von \(0\) den Wert nicht ändert.

Die Seitensummen sind \(180\), \(430\) und \(250\). An den beiden Seiten mit der Null ist die Seitensumme jeweils gleich der anderen Eckzahl.

- Lies zuerst die Lage der eingetragenen Seitensumme im Bild ab. - Eine Seitensumme gehört immer genau zu den beiden Ecken an dieser Seite. - Erst danach brauchst du die beiden noch leeren Seiten.

1. Die eingetragene \(27\) liegt zwischen den Ecken \(7\) und \(20\); tatsächlich gilt \(7 + 20 = 27\). 2. Unten gilt \(20 + 13 = 33\). 3. Links gilt \(13 + 7 = 20\).

Zur \(27\) gehören die Eckzahlen \(7\) und \(20\). Die beiden fehlenden Seitensummen sind \(33\) und \(20\).

- Prüfe nicht nur den Zahlenwert, sondern auch, welche beiden Ecken an der markierten Seite liegen. - Ein richtiger Summenwert kann trotzdem an der falschen Stelle stehen. - Nutze die Lage im Dreieck für die Korrektur.

1. An der linken Seite liegen die Ecken \(100\) und \(150\). Dort muss \(100 + 150 = 250\) stehen. 2. Die \(400\) gehört zur unteren Seite, denn \(250 + 150 = 400\). 3. Oben rechts gilt \(100 + 250 = 350\).

Die \(400\) steht an der falschen Seite. Links muss \(250\) stehen; unten gehört die \(400\) hin. Oben rechts ist die Seitensumme \(350\).

- Welche zwei Eckzahlen sind am größten? - Die Seitensumme einer Seite hängt nur von ihren beiden angrenzenden Ecken ab. - Rechne anschließend alle drei Summen aus, um deine Vorhersage zu prüfen.

1. Die beiden größten Eckzahlen sind \(320\) und \(180\). Ihre gemeinsame Seite muss daher die größte Seitensumme tragen. 2. \(320 + 180 = 500\). 3. \(180 + 50 = 230\) und \(50 + 320 = 370\).

Die Seite zwischen den Eckzahlen \(320\) und \(180\) ist die größte; ihre Summe ist \(500\). Die anderen Seitensummen sind \(230\) und \(370\).

- Beachte, dass \(99\) und \(101\) gleich weit von \(100\) entfernt sind. - Berechne jede Seite mit ihren beiden Eckzahlen. - Vergleiche die Ergebnisse anschließend mit \(200\) und \(300\).

1. \(99 + 101 = 200\). 2. \(101 + 200 = 301\). 3. \(200 + 99 = 299\).

Die Seitensummen sind \(200\), \(301\) und \(299\). Genau \(200\) entsteht aus \(99 + 101\); \(299\) liegt knapp unter und \(301\) knapp über \(300\).

- Welche Ecke kommt in beiden verglichenen Seitensummen vor? - Was bleibt für den Unterschied übrig, wenn derselbe Summand auf beiden Seiten vorkommt?

1. Beide verglichenen Seiten enthalten die obere Ecke \(240\). 2. Deshalb entscheidet nur der Unterschied der beiden unteren Ecken über den Unterschied der Seitensummen. 3. \(160 - 100 = 60\). Die obere rechte Seitensumme ist um \(60\) größer.

Die obere rechte Seitensumme ist um \(60\) größer.

- Welche Zahl kommt in beiden sichtbaren Seitensummen vor? - Überlege, was beim Vergleichen der beiden Summen gleich bleibt. - Du brauchst die beiden fehlenden Eckwerte nicht einzeln.

1. Beide Seitensummen enthalten dieselbe obere Ecke \(120\). 2. Deshalb entspricht ihr Unterschied direkt dem Unterschied der beiden unteren Ecken. 3. \(300 - 200 = 100\). Die rechte untere Ecke ist um \(100\) größer.

Die rechte untere Ecke ist um \(100\) größer als die linke untere Ecke.

- In beiden oberen Seitensummen steckt dieselbe obere Ecke. - Welche der drei Rechnungen entfernt diese gemeinsame Ecke aus beiden Seiten und addiert anschließend die beiden unteren Ecken?

1. Von jeder oberen Seitensumme muss die gemeinsame obere Ecke \(230\) abgezogen werden. So erhält man die beiden unteren Ecken. 2. Deshalb passt Rechnung b): \((500 - 230) + (430 - 230) = 270 + 200 = 470\).

b) ist richtig. Die untere Seitensumme ist \(470\).

- Verfolge die linke Seite im Bild von einem Endpunkt zum anderen. - Welche der beiden sichtbaren unteren Ecken liegt tatsächlich an dieser Seite? - Prüfe nach der Korrektur, ob deine obere Ecke zusammen mit der richtigen Nachbarecke \(425\) ergibt.

1. Die linke Seitensumme \(425\) liegt zwischen der oberen und der linken unteren Ecke. Die rechte untere Ecke \(275\) gehört nicht zu dieser Seite. 2. Deshalb gilt für die obere Ecke \(425 - 125 = 300\). 3. Die obere rechte Seitensumme ist \(300 + 275 = 575\).

Leon hat die nicht angrenzende Ecke \(275\) verwendet. Oben steht \(300\); die obere rechte Seitensumme ist \(575\).

- Welche beiden Ecken bilden die sichere Seitensumme \(500\)? - Prüfe Jonas Wert gegen diese Summe.

1. Die beiden unteren Ecken müssen zusammen \(500\) ergeben. 2. Daher ist die linke untere Ecke \(500 - 310 = 190\). 3. Jonas Wert \(210\) kann nicht stimmen.

Nein. Es gilt \(500 - 310 = 190\); links unten muss \(190\) stehen. Mit Jonas Wert wäre \(210 + 310 = 520\) statt \(500\).

- Setze den vorgeschlagenen Wert an jeder Seite mit der jeweils bekannten Nachbarecke zusammen. - Ein Wert ist nur dann bestätigt, wenn beide sichtbaren Seitensummen stimmen.

1. Oben rechts gilt \(230 + 120 = 350\). 2. Links gilt \(180 + 230 = 410\). 3. Der Wert \(230\) passt zu beiden Seitensummen.

Ja. Es gilt \(230 + 120 = 350\) und \(180 + 230 = 410\). Die obere Eckzahl \(230\) passt zu beiden sichtbaren Seitensummen.

- Suche eine sichtbare Seite, an der die fehlende Ecke und eine bekannte Ecke liegen. - Reicht dort die Seitensumme zusammen mit der bekannten Ecke bereits aus?

1. Nein, eine der beiden Seitensummen genügt zusammen mit der jeweils bekannten Nachbarecke. 2. Zum Beispiel: \(470 - 250 = 220\). 3. Alternativ ergibt auch \(380 - 160 = 220\).

Nein. Eine Seitensumme genügt. Zum Beispiel gilt \(470 - 250 = 220\); die fehlende rechte untere Ecke ist \(220\). Alternativ führt \(380 - 160 = 220\) zum selben Ergebnis.

- Nutze die Umkehraufgabe zur Addition an der Seite mit \(600\). - Vergleiche danach die beiden Eckzahlen direkt. - Für „um wie viel“ brauchst du ihren Unterschied.

1. Aus \(\square + 245 = 600\) folgt \(\square = 355\). 2. \(355 > 245\). 3. Der Unterschied ist \(355 - 245 = 110\).

Die fehlende Eckzahl ist \(355\). Sie ist um \(110\) größer als \(245\).

- Was verändert sich beim Addieren von \(0\)? - Die gegebene Seitensumme liegt direkt zwischen \(0\) und der gesuchten Ecke. - Nutze die gefundene Ecke anschließend für die untere Seite.

1. Aus \(0 + \square = 180\) folgt \(\square = 180\). 2. Unten gilt \(180 + 320 = 500\). 3. Links gilt \(320 + 0 = 320\). 4. An einer Seite mit der Ecke \(0\) ist die Seitensumme gleich der jeweils anderen Eckzahl.

Die fehlende rechte untere Eckzahl ist \(180\). Die untere Seitensumme ist \(500\), die linke Seitensumme \(320\). Die Null verändert beim Addieren nichts; deshalb ist an jeder Seite mit der Ecke \(0\) die Seitensumme gleich der anderen Eckzahl.

- Vergleiche, welche Ecke die obere rechte und die linke Seite gemeinsam haben. - Welche bekannte untere Ecke fällt beim Wechsel von einer Seite zur anderen weg, welche kommt hinzu? - So kannst du direkt von einer Seitensumme zur anderen gelangen.

1. In der oberen rechten Seitensumme \(470\) steckt neben der oberen Ecke die rechte untere Ecke \(200\). 2. Für die linke Seite wird diese \(200\) durch die linke untere Ecke \(150\) ersetzt. 3. Daher ist die linke Seitensumme \(470 - 200 + 150 = 420\).

Von der oberen rechten Seitensumme wird die rechte untere Ecke entfernt und die linke untere Ecke ergänzt: \(470 - 200 + 150 = 420\). Die fehlende linke Seitensumme ist \(420\).

- Beginne an der oberen rechten Seite mit genau einer unbekannten Ecke. - Verwende die gefundene Ecke anschließend für die Unterseite. - Die linke Seite kann unabhängig überprüft werden.

1. Aus \(125 + \square = 350\) folgt für die rechte untere Ecke \(225\). 2. Die untere Seitensumme ist \(225 + 275 = 500\). 3. Die linke Seitensumme passt, denn \(275 + 125 = 400\).

Die fehlende Eckzahl ist \(225\). Die fehlende untere Seitensumme ist \(500\). Kontrolle: \(275 + 125 = 400\), also stimmt die eingetragene linke Seitensumme.

- Welche Gesamtsumme sollen alle drei Seiten zusammen haben? - Fasse zuerst die beiden bekannten Seitensummen zusammen und ergänze auf die Gesamtsumme.

1. Die beiden bekannten Seitensummen ergeben \(320 + 280 = 600\). 2. Bis zur Gesamtsumme \(840\) fehlen \(840 - 600 = 240\). 3. Die fehlende Seitensumme ist \(240\).

Die fehlende Seitensumme ist \(240\).

- Betrachte die Einerstellen der drei Eckzahlen. - Welche Einerstelle entsteht beim Addieren zweier Zahlen mit Einerstelle \(0\)? - Übertrage diese Beobachtung auf jede der drei Seiten.

1. \(140 + 230 = 370\). 2. \(230 + 310 = 540\). 3. \(310 + 140 = 450\). 4. Beim Addieren zweier Vielfacher von \(10\) entsteht wieder ein Vielfaches von \(10\). Deshalb gilt das für jede Seite.

Die Seitensummen sind \(370\), \(540\) und \(450\). Jede Eckzahl hat die Einerstelle \(0\); beim Addieren zweier solcher Zahlen entsteht wieder eine Zahl mit Einerstelle \(0\). Deshalb ist jede Seitensumme ein Vielfaches von \(10\).

- Für die vorgegebene Seite brauchst du zwei Zahlen, die zusammen \(300\) ergeben. - Die dritte Ecke darfst du innerhalb der Bedingung selbst wählen. - Prüfe danach alle drei Seitensummen mit der Additionsregel.

1. Eine mögliche Wahl ist oben \(100\) und rechts unten \(200\). Damit ist die obere rechte Seitensumme \(100 + 200 = 300\). 2. Als linke untere Ecke kann zum Beispiel \(150\) gewählt werden. 3. Dann sind die weiteren Seitensummen \(200 + 150 = 350\) und \(150 + 100 = 250\).

Eine mögliche Lösung ist: Ecken \(100\), \(200\), \(150\); Seitensummen \(300\), \(350\), \(250\). Andere passende Belegungen sind möglich.

- Prüfe jede eingetragene Seite unabhängig mit ihren beiden Eckzahlen. - Es ist genau ein Eintrag fehlerhaft. - Ändere nur den Wert, dessen zugehörige Addition nicht stimmt.

1. Oben und rechts: \(100 + 200 = 300\). Die eingetragene \(350\) ist falsch. 2. Unten: \(200 + 300 = 500\) stimmt. 3. Links: \(300 + 100 = 400\) stimmt.

Falsch ist die Seitensumme \(350\). Richtig ist dort \(300\).

- Markiere gedanklich die beiden Seiten, die an der veränderten Ecke liegen. - Eine Seite ohne veränderte Eckzahl kann ihren Wert nicht ändern. - Prüfe die Veränderung anschließend durch vollständiges Berechnen beider Dreiecke.

1. In a) sind die Seitensummen \(100 + 150 = 250\), \(150 + 200 = 350\) und \(200 + 100 = 300\). 2. In b) sind sie \(150 + 150 = 300\), \(150 + 200 = 350\) und \(200 + 150 = 350\). 3. Die beiden Seiten an der oberen Ecke werden jeweils um \(50\) größer. Die untere Seite bleibt unverändert, weil ihre beiden Ecken gleich bleiben.

Die obere rechte und die linke Seitensumme steigen jeweils um \(50\); die untere Seitensumme bleibt gleich. Kontrolle: In a) sind die Seitensummen \(250\), \(350\) und \(300\); in b) sind sie \(300\), \(350\) und \(350\).

- Wie viele Eckzahlen stecken in einer Seitensumme? - Welche Änderung trägt jede dieser beiden Ecken bei?

1. Jede Seitensumme besteht aus zwei Eckzahlen. 2. Beide beteiligten Eckzahlen wachsen um \(20\). 3. Daher wächst jede Seitensumme um \(20 + 20 = 40\).

Jede Seitensumme wächst um \(40\).

- Beginne mit dem mittleren Stein der zweiten Reihe und dem bekannten Stein \(9\) direkt darunter. - Du kannst einen fehlenden Stein in einer unteren Reihe berechnen, indem du die bekannte Zahl von der Zahl im Stein darüber abziehst. - Arbeite anschließend von links nach rechts und nutze den Deckstein, um rückwärts zu rechnen.

1. Berechnung des zweiten Steins in der untersten Reihe: Der mittlere Stein der zweiten Reihe hat den Wert \(21\), der rechte Stein darunter den Wert \(9\). Daher gilt: \(21 - 9 = 12\). 2. Der linke Stein der zweiten Reihe ist \(4 + 12 = 16\). 3. Der linke Stein der dritten Reihe ist \(16 + 21 = 37\). 4. Berechnung des rechten Steins der dritten Reihe von unten: Der oberste Stein hat den Wert \(70\). Somit ergibt sich: \(70 - 37 = 33\). 5. Berechnung des rechten Steins der zweiten Reihe von unten: \(33 - 21 = 12\). 6. Berechnung des vierten Steins in der untersten Reihe: \(12 - 9 = 3\).

Der zweite Stein von links in der untersten Reihe hat den Wert \(12\). Der vierte Stein von links (ganz rechts) in der untersten Reihe hat den Wert \(3\).

- Suche zuerst nach einer Stelle in der Mauer, bei der dir nur eine Zahl in einer Dreiergruppe aus zwei unteren Steinen und einem oberen Stein fehlt. - Schau dir den mittleren Stein der zweiten Reihe (\(230\)) an: Welche Zahl muss links neben \(90\) stehen? - Nutze gefundene Zahlen, um die angrenzenden Steine zu berechnen. - Wenn du eine Reihe nach oben gehst, addierst du die beiden Steine darunter. Wenn du nach unten gehst, subtrahierst du. - Mache am Ende eine Probe, ob alle Steine das richtige Ergebnis liefern, wenn du sie von unten nach oben zusammenzählst.

1. Bestimme den zweiten Stein der untersten Reihe: Da der Stein darüber in der zweiten Reihe \(230\) ist und der rechte Stein darunter in der untersten Reihe \(90\) ist, rechnen wir: \(230 - 90 = 140\). 2. Berechne den ersten Stein der zweiten Reihe aus den darunterliegenden Steinen \(110\) und \(140\): \(110 + 140 = 250\). 3. Bestimme den dritten Stein der zweiten Reihe: Da der Stein darüber in der dritten Reihe \(490\) ist und der linke Stein darunter in der zweiten Reihe \(230\) ist, rechnen wir: \(490 - 230 = 260\). 4. Bestimme den vierten Stein der untersten Reihe: Da der Stein darüber in der zweiten Reihe \(260\) ist und der linke Stein darunter in der untersten Reihe \(90\) ist, rechnen wir: \(260 - 90 = 170\). 5. Berechne den ersten Stein der dritten Reihe aus den darunterliegenden Steinen \(250\) und \(230\): \(250 + 230 = 480\). 6. Berechne den obersten Stein aus den darunterliegenden Steinen \(480\) und \(490\): \(480 + 490 = 970\).

Die ausgefüllte Zahlenmauer lautet von unten nach oben: - Unterste Reihe: \(110\), \(140\), \(90\), \(170\) - Zweite Reihe: \(250\), \(230\), \(260\) - Dritte Reihe: \(480\), \(490\) - Oberste Reihe: \(970\)

- Überlege dir, wie oft die mittlere Zahl der untersten Reihe im Deckstein „steckt“. - Wenn du die mittlere Zahl um \(1\) erhöhst, um wie viel erhöht sich dann der Deckstein? - Wie viel fehlt dem aktuellen Deckstein bis \(600\)?

1. Aktueller Deckstein: \((120 + 140) + (140 + 160) = 260 + 300 = 560\). 2. Zielwert des Decksteins: \(600\). 3. Differenz: \(600 - 560 = 40\). 4. Da der Mittelstein zweimal in den Deckstein einfließt (einmal links, einmal rechts), muss er nur um die Hälfte der Differenz erhöht werden: \(40 : 2 = 20\). 5. Neuer Mittelstein: \(140 + 20 = 160\). 6. Probe: \((120 + 160) + (160 + 160) = 280 + 320 = 600\).

Der mittlere Stein muss um \(20\) erhöht werden. Die neue Zahl im mittleren Stein ist \(160\).

- Untersuche für jede Mauer zuerst den Beitrag der beiden äußeren Grundsteine zur Spitze. - Verfolge, wie der mittlere Grundstein über die beiden Steine der zweiten Reihe zur Spitze beiträgt. - Prüfe, ob der verbleibende Beitrag zu einer natürlichen Zahl in der Mitte führen kann.

1. Mauer a): Nach Abzug der äußeren Grundsteine bleiben \(80-10-20=50\). Dieser Betrag entsteht durch die beiden Beiträge des mittleren Grundsteins. Die Hälfte ist \(25\). Die zweite Reihe lautet \(35\) und \(45\); die Mauer ist lösbar. 2. Mauer b): Die äußeren Grundsteine ergeben bereits \(45+40=85\), mehr als die Spitze \(80\). Mit natürlichen Zahlen ist die Mauer nicht lösbar. 3. Mauer c): Nach Abzug der äußeren Grundsteine bleiben \(80-25-25=30\). Die Hälfte ist \(15\). Die zweite Reihe lautet \(40\) und \(40\); die Mauer ist lösbar. 4. Mauer d): Die äußeren Grundsteine ergeben bereits \(41+42=83\), mehr als die Spitze \(80\). Mit natürlichen Zahlen ist die Mauer nicht lösbar.

Lösbar sind a) und c). a) Mittelstein \(25\); zweite Reihe \(35\), \(45\). c) Mittelstein \(15\); zweite Reihe \(40\), \(40\). b) und d) sind nicht lösbar, weil die äußeren Grundsteine zusammen bereits mehr als \(80\) beitragen.

- Überlege, welchen Beitrag die beiden äußeren Grundsteine zur Spitze leisten. - Untersuche, wie sich eine Veränderung des mittleren Grundsteins auf die beiden Steine darüber auswirkt. - Prüfe einen vermuteten Mittelstein, indem du die Mauer nach oben ausrechnest.

1. Mauer a): Die äußeren Grundsteine tragen zusammen \(200+250=450\) zur Spitze bei. Bis \(950\) fehlen \(500\). Dieser Betrag entsteht durch die zwei Beiträge des mittleren Grundsteins, also ist seine Hälfte \(250\). 2. Mauer b): Die äußeren Grundsteine tragen zusammen \(111+111=222\) bei. Bis \(666\) fehlen \(444\). Die Hälfte davon ist \(222\), also ist dies der mittlere Grundstein.

Mauer a): Der mittlere Stein ist \(250\). Mauer b): Der mittlere Stein ist \(222\).

- Suche zuerst eine Stelle, an der nur eine Zahl in einer Dreiergruppe fehlt. - Du kannst von unten nach oben rechnen, musst aber an einer Stelle rückwärts rechnen (Subtraktion).

1. Fehlenden Grundstein finden: \(150 - 80 = 70\). 2. Restliche Steine der zweiten Reihe berechnen: \(50 + 70 = 120\) und \(80 + 60 = 140\). 3. Steine der dritten Reihe berechnen: \(120 + 150 = 270\) und \(150 + 140 = 290\). 4. Zielstein berechnen: \(270 + 290 = 560\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(50\), \(70\), \(80\), \(60\) - Zweite Reihe: \(120\), \(150\), \(140\) - Dritte Reihe: \(270\), \(290\) - Spitze: \(560\)

- Beginne dort, wo du zwei Zahlen einer Dreiergruppe bereits kennst. - Manchmal musst du erst eine Zahl in einer höheren Reihe finden, um tiefer liegende Lücken zu schließen.

1. Fehlender Grundstein: \(90 - 30 = 60\). 2. Steine der zweiten Reihe: \(40 + 60 = 100\) und \(170 - 90 = 80\). 3. Letzter Grundstein: \(80 - 30 = 50\). 4. Stein der dritten Reihe: \(100 + 90 = 190\). 5. Zielstein: \(190 + 170 = 360\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(40\), \(60\), \(30\), \(50\) - Zweite Reihe: \(100\), \(90\), \(80\) - Dritte Reihe: \(190\), \(170\) - Spitze: \(360\)

- Siehst du eine Symmetrie oder ein Muster in den vorgegebenen Zahlen? - Wenn zwei Steine in einer Reihe gleich sind, was bedeutet das für die Steine darunter?

1. Bestimmung der Grundsteine: Aus \(150\) und \(50\) folgt der erste Stein \(100\) (\(150 - 50\)). Analog ist der dritte Stein \(150 - 50 = 100\). 2. Bestimmung der mittleren Steine: \(50 + 100 = 150\). Alle Steine in der zweiten Reihe sind somit \(150\). 3. Dritte Reihe: \(150 + 150 = 300\). Beide Steine sind \(300\). 4. Zielstein: \(300 + 300 = 600\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(100\), \(50\), \(100\), \(50\) - Zweite Reihe: \(150\), \(150\), \(150\) - Dritte Reihe: \(300\), \(300\) - Spitze: \(600\)

- Beginne mit dem mittleren Stein der zweiten Reihe und dem bekannten Stein \(150\) direkt darunter. - Nutze danach die Grundsteine, um die zweite Reihe zu vervollständigen. - Rechne anschließend Reihe für Reihe nach oben.

1. Zuerst wird der fehlende Stein in der untersten Reihe berechnet: \(250 - 150 = 100\). 2. Der linke Stein in der zweiten Reihe ist \(50 + 100 = 150\). 3. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(150 + 80 = 230\). 4. Die dritte Reihe lautet \(150 + 250 = 400\) und \(250 + 230 = 480\). 5. Die Spitze ist \(400 + 480 = 880\).

Die Mauer wird wie folgt ausgefüllt: Unterste Reihe: \(50, 100, 150, 80\) Zweite Reihe: \(150, 250, 230\) Dritte Reihe: \(400, 480\) Spitze: \(880\)

- Schau dir die unterste Reihe genau an. Fällt dir eine Regelmäßigkeit auf? - Rechne von unten nach oben, indem du immer zwei Nachbarsteine addierst. - Was passiert in den höheren Reihen, wenn sich Zahlen unten wiederholen?

1. Der zweite Grundstein ist \(250 - 100 = 150\). 2. Der linke Stein der zweiten Reihe ist \(100 + 150 = 250\). Damit ergibt sich links in der dritten Reihe \(250 + 250 = 500\). 3. Der rechte Stein der dritten Reihe ist \(1000 - 500 = 500\). 4. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(500 - 250 = 250\). 5. Der vierte Grundstein ist \(250 - 100 = 150\). 6. Die unterste Reihe folgt somit dem Muster \(100\), \(150\), \(100\), \(150\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(100\), \(150\), \(100\), \(150\) - Zweite Reihe: \(250\), \(250\), \(250\) - Dritte Reihe: \(500\), \(500\) - Spitze: \(1000\)

- Fällt dir etwas Besonderes an der untersten Reihe auf? - Wenn die Basis symmetrisch ist, wie wirkt sich das auf die restliche Mauer aus? - Rechne Reihe für Reihe von unten nach oben.

1. Linker Grundstein: \(60 - 40 = 20\). 2. Der mittlere Stein der dritten Reihe ist \(120\). Nach Abzug der beiden bekannten \(40\) bleiben \(120 - 40 - 40 = 40\). Der mittlere Grundstein wird zweimal gezählt und ist daher \(40 : 2 = 20\). 3. Der mittlere rechte Stein der zweiten Reihe ist \(20 + 40 = 60\). 4. Aus dem rechten Stein der vierten Reihe folgt für den rechten Stein der dritten Reihe: \(240 - 120 = 120\). Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(120 - 60 = 60\), der rechte Grundstein also \(60 - 40 = 20\). 5. Der linke Stein der dritten Reihe ist \(60 + 60 = 120\). Der linke Stein der vierten Reihe ist \(120 + 120 = 240\), und die Spitze ist \(240 + 240 = 480\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(20\), \(40\), \(20\), \(40\), \(20\) - Zweite Reihe: viermal \(60\) - Dritte Reihe: dreimal \(120\) - Vierte Reihe: zweimal \(240\) - Spitze: \(480\)

- Beginne ganz unten und finde die fehlenden Steine durch Subtraktion. - Arbeite dich dann Stein für Stein nach oben. - Jede Zahl ist das Ergebnis der Plusaufgabe der beiden Steine darunter.

1. Unterste Reihe: Der zweite Stein ist \(7 - 4 = 3\), der vierte Stein ist \(7 - 5 = 2\). Die Reihe lautet \(2\), \(3\), \(4\), \(2\), \(5\). 2. Zweite Reihe: \(2 + 3 = 5\) und \(4 + 2 = 6\). Die Reihe lautet \(5\), \(7\), \(6\), \(7\). 3. Dritte Reihe: \(5 + 7 = 12\), \(7 + 6 = 13\), \(6 + 7 = 13\). Die Reihe lautet \(12\), \(13\), \(13\). 4. Vierte Reihe: \(12 + 13 = 25\) und \(13 + 13 = 26\). 5. Spitze: \(25 + 26 = 51\).

Unterste Reihe: \(2\), \(3\), \(4\), \(2\), \(5\) Zweite Reihe: \(5\), \(7\), \(6\), \(7\) Dritte Reihe: \(12\), \(13\), \(13\) Vierte Reihe: \(25\), \(26\) Spitze: \(51\)

- Berechne für beide Mauern die Zahl ganz oben. - Wie hängen die Zahlen in der untersten Reihe von Mauer b mit denen von Mauer a zusammen? - Gilt dieser Zusammenhang auch für die obersten Steine?

1. Zielstein Mauer a): \(10 + 25 = 35\), \(25 + 15 = 40\), \(35 + 40 = 75\). 2. Zielstein Mauer b): \(20 + 50 = 70\), \(50 + 30 = 80\), \(70 + 80 = 150\). 3. Vergleich: Da \(150 = 2 \cdot 75\), hat sich auch der Zielstein verdoppelt.

Wenn man alle Grundsteine verdoppelt, verdoppelt sich auch der Zielstein.

- Wie viel fehlt dir noch bis zum neuen Zielstein? - Überlege dir: Wenn du jeden Stein unten um \(1\) erhöhst, um wie viel wächst die Spitze? - Probiere systematisch aus, um wie viel du die untere Reihe anheben musst.

1. Differenz der Zielsteine: \(45 - 25 = 20\). 2. In einer dreireihigen Zahlenmauer bewirkt die Erhöhung jedes Grundsteins um \(1\) eine Erhöhung des Zielsteins um \(4\), da der mittlere Stein doppelt zählt (\(1 + 2 \cdot 1 + 1 = 4\)). 3. Berechnung des Betrags: \(20 : 4 = 5\). Jeder Grundstein muss um \(5\) erhöht werden. 4. Probe: Neue Grundsteine \(10, 12, 11\). Zielstein: \(10 + 12 = 22\), \(12 + 11 = 23\), \(22 + 23 = 45\).

Jeder Grundstein muss um \(5\) erhöht werden.

- Wie groß ist der Unterschied zwischen dem aktuellen Zielstein und \(800\)? - Wenn du alle Grundsteine um \(10\) erhöhst, wie stark ändert sich der Zielstein? Hilft dir das für die große Differenz?

1. Aktueller Zielstein: \(400\). Gewünschter Zielstein: \(800\). 2. Differenz: \(800 - 400 = 400\). 3. Bei einer Zahlenmauer mit drei Grundsteinen erhöht sich die Spitze um das Vierfache des Betrags, um den man die Grundsteine erhöht. 4. Rechnung: \(400 : 4 = 100\). 5. Neue Grundsteine: \(100 + 100 = 200\). Da alle Grundsteine \(100\) waren, sind sie nun alle \(200\).

Die neuen Grundsteine lauten alle \(200\).

- Fülle zuerst die ursprüngliche Zahlenmauer vollständig aus. - Erhöhe anschließend jeden Grundstein genau um den im Text angegebenen Betrag und baue daraus eine zweite Mauer. - Vergleiche nur die beiden Zielsteine, nachdem beide Mauern vollständig berechnet sind.

1. Die ursprüngliche Mauer hat in der zweiten Reihe \(10\), \(10\), \(10\), danach \(20\), \(20\) und an der Spitze \(40\). 2. Nach der Erhöhung liegen in der Grundreihe viermal \(7\). Die neue Mauer hat danach \(14\), \(14\), \(14\), dann \(28\), \(28\) und an der Spitze \(56\). 3. Die Zunahme des Zielsteins beträgt \(56 - 40 = 16\).

Der Zielstein nimmt um \(16\) zu.

- Suche zuerst nach Steinen in der untersten Reihe, bei denen der Summenstein direkt darüber und der andere Grundstein bekannt sind. - Überprüfe deine Ergebnisse am Ende, indem du die Mauer noch einmal von unten nach oben zusammenrechnest.

1. Den zweiten Stein von links in der untersten Reihe berechnen: \(220 - 120 = 100\). 2. Den Stein ganz rechts in der untersten Reihe berechnen: \(200 - 120 = 80\). 3. Den linken Stein in der zweiten Reihe berechnen: \(150 + 100 = 250\). 4. Die Steine in der dritten Reihe berechnen: \(250 + 220 = 470\) und \(220 + 200 = 420\). 5. Den Deckstein berechnen: \(470 + 420 = 890\).

Die unterste Reihe lautet von links nach rechts: \(150\), \(100\), \(120\), \(80\). Die zweite Reihe: \(250\), \(220\), \(200\). Die dritte Reihe: \(470\), \(420\). Der oberste Stein ist \(890\).

- Verfolge, wie die feste mittlere Zahl in den beiden Steinen darüber weiterwirkt. - Bestimme danach, welchen gemeinsamen Beitrag die beiden äußeren Grundsteine noch liefern müssen. - Es gibt mehrere richtige Paare für die äußeren Grundsteine.

1. Der mittlere Grundstein \(40\) wirkt auf beide Steine der zweiten Reihe und trägt deshalb insgesamt \(80\) zur Spitze bei. 2. Bis \(100\) fehlen \(20\). Die beiden äußeren Grundsteine müssen zusammen \(20\) ergeben. 3. Eine mögliche Wahl ist \(12\) und \(8\). Dann lautet die Grundreihe \(12\), \(40\), \(8\).

Eine mögliche Grundreihe ist \(12\), \(40\), \(8\). Auch andere äußere Zahlen mit Summe \(20\) sind möglich.

- Nutze die Bedingung, dass alle drei Grundsteine gleich sind. - Überlege anhand eines einfachen Probe-Werts, wie sich derselbe Grundwert bis zur Spitze vervielfacht. - Übertrage dieses Muster auf die vorgegebene Spitze.

1. Sind alle drei Grundsteine gleich, sind auch die beiden Steine der zweiten Reihe gleich. 2. Probiere die Wirkung eines Grundsteins: Derselbe Wert trägt über die Mauer insgesamt viermal zur Spitze bei. 3. Daher ist der Grundstein \(44:4=11\). Die zweite Reihe enthält zweimal \(22\).

Unterste Reihe: \(11\), \(11\), \(11\). Zweite Reihe: \(22\), \(22\). Spitze: \(44\).

- Rechne die Mauer b) Schritt für Schritt von unten nach oben aus. - Vergleiche dann das Endergebnis von b) mit dem von a).

1. Mauer a) hat den Zielstein \(500\). 2. In Mauer b) lautet die zweite Reihe \(160, 100, 150\). 3. Die dritte Reihe lautet \(260, 250\). 4. Oben steht \(260 + 250 = 510\). 5. Da \(510 - 500 = 10\), hat Max recht.

Mauer b): zweite Reihe \(160, 100, 150\); dritte Reihe \(260, 250\); Spitze \(510\). Damit ist die Spitze genau um \(10\) größer als in Mauer a). Max hat recht.

- Beginne bei einem gegebenen Stein, unter dem genau ein Grundstein fehlt. - Nutze dort die Umkehraufgabe zur Addition. - Arbeite danach Reihe für Reihe nach oben weiter.

1. Der fehlende Grundstein links ergibt sich aus der Umkehraufgabe \(14-8=6\). 2. In der zweiten Reihe entstehen \(6+7=13\) und \(7+10=17\). 3. In der dritten Reihe entstehen \(14+13=27\) und \(13+17=30\). 4. Der Spitzenstein ist \(27+30=57\).

Unterste Reihe: fehlender Stein \(6\). Zweite Reihe: \(13\) und \(17\). Dritte Reihe: \(27\) und \(30\). Spitze: \(57\).

- Berechne beide Mauern vollständig von unten nach oben. - Vergleiche danach die beiden Spitzenwerte. - Überlege, wie oft die veränderte Grundzahl in den darüberliegenden Summen weiterwirkt.

1. Mauer a): zweite Reihe \(20, 20, 20\); dritte Reihe \(40, 40\); Spitze \(80\). 2. Mauer b): zweite Reihe \(21, 21, 20\); dritte Reihe \(42, 41\); Spitze \(83\). 3. Der Zielstein erhöht sich um \(83 - 80 = 3\).

Mauer a): zweite Reihe \(20, 20, 20\); dritte Reihe \(40, 40\); Spitze \(80\). Mauer b): zweite Reihe \(21, 21, 20\); dritte Reihe \(42, 41\); Spitze \(83\). Der Zielstein erhöht sich um \(3\), wenn der zweite Grundstein um \(1\) erhöht wird.

- Beginne bei dem gegebenen Stein \(100\) und betrachte die Anordnung darunter. - Vergleiche die bekannten Grundsteine links und rechts und suche nach einer Symmetrie. - Nutze die Symmetrie zusammen mit der Zahlenmauerregel und arbeite danach nach oben und unten weiter.

1. Die bekannte Grundreihe ist links und rechts spiegelbildlich aufgebaut. Deshalb müssen auch die darüber entstehenden Steine spiegelbildlich sein. 2. Die beiden Steine direkt unter dem mittleren Stein \(100\) sind daher gleich groß. Zusammen ergeben sie \(100\), also ist jeder \(50\). 3. Der mittlere Grundstein ist \(50-20=30\). Die Grundreihe lautet \(10\), \(20\), \(30\), \(20\), \(10\). 4. Die zweite Reihe lautet \(30\), \(50\), \(50\), \(30\), die dritte Reihe \(80\), \(100\), \(80\), die vierte Reihe \(180\), \(180\). 5. Der Spitzenstein ist \(180+180=360\).

Unterste Reihe: \(10\), \(20\), \(30\), \(20\), \(10\) Zweite Reihe: \(30\), \(50\), \(50\), \(30\) Dritte Reihe: \(80\), \(100\), \(80\) Vierte Reihe: \(180\), \(180\) Spitze: \(360\)

- Kannst du eine Zahl in der untersten Reihe finden, indem du von der zweiten Reihe aus rückwärts rechnest? - Wenn du die dritte Reihe kennst, kannst du die Spitze berechnen – oder umgekehrt von der Spitze nach unten rechnen!

1. Berechne den zweiten Stein von links in der untersten Reihe: Da der Stein darüber in der zweiten Reihe \(20\) ist und der rechte Stein darunter \(12\), rechnen wir \(20 - 12 = 8\). 2. Berechne den ersten Stein in der zweiten Reihe: \(5 + 8 = 13\). 3. Berechne den linken Stein in der dritten Reihe: \(13 + 20 = 33\). 4. Berechne den rechten Stein in der dritten Reihe: Da die Spitze \(72\) ist, rechnen wir \(72 - 33 = 39\). 5. Berechne den rechten Stein in der zweiten Reihe: \(39 - 20 = 19\). 6. Berechne den letzten Stein in der untersten Reihe: \(19 - 12 = 7\).

Die vollständig ausgefüllte Zahlenmauer lautet von unten nach oben: - Unterste Reihe: \(5\), \(8\), \(12\), \(7\) - Zweite Reihe: \(13\), \(20\), \(19\) - Dritte Reihe: \(33\), \(39\) - Spitze: \(72\)

- Nutze die Umkehroperation (Minusrechnen), um Lücken zu füllen, wenn der obere Stein bekannt ist. - Überprüfe deine Ergebnisse am Ende, indem du die gesamte Mauer noch einmal von unten nach oben zusammenrechnest.

1. Berechne den zweiten Stein in der untersten Reihe: \(110 - 50 = 60\). 2. Berechne den ersten Stein der zweiten Reihe: \(40 + 60 = 100\). 3. Berechne den linken Stein der dritten Reihe: \(100 + 110 = 210\). 4. Berechne den rechten Stein der dritten Reihe von der Spitze aus: \(440 - 210 = 230\). 5. Berechne den rechten Stein der zweiten Reihe: \(230 - 110 = 120\). 6. Berechne den letzten Stein der untersten Reihe: \(120 - 50 = 70\).

Die unterste Reihe ist \(40, 60, 50, 70\). Die weiteren Steine sind \(100, 110, 120\) (2. Reihe) und \(210, 230\) (3. Reihe).

- Du kannst von oben nach unten rechnen, indem du subtrahierst. - Suche zuerst eine Dreiergruppe, in der der obere Stein und einer der beiden unteren Steine bekannt sind.

1. Fehlende Zahl in der mittleren Reihe (links): \(750 - 420 = 330\). 2. Fehlende Zahl in der untersten Reihe (Mitte): \(330 - 180 = 150\). 3. Fehlende Zahl in der untersten Reihe (rechts): \(420 - 150 = 270\).

In der untersten Reihe fehlen die Zahlen \(150\) und \(270\). In der mittleren Reihe fehlt \(330\).

- Kombiniere Addition nach oben mit der passenden Umkehraufgabe nach unten. - Nutze zuerst Stellen, an denen nur eine Zahl fehlt. - Prüfe am Ende jede Reihe mit der Zahlenmauerregel.

1. Linker Stein der dritten Reihe: \(40-22=18\). 2. Mittlerer Stein der zweiten Reihe: \(18-8=10\). 3. Zweiter Grundstein: \(8-3=5\). 4. Dritter Grundstein: \(10-5=5\). 5. Rechter Stein der zweiten Reihe: \(22-10=12\). 6. Rechter Grundstein: \(12-5=7\).

Unterste Reihe: \(3\), \(5\), \(5\), \(7\). Zweite Reihe: \(8\), \(10\), \(12\). Dritte Reihe: \(18\), \(22\). Spitze: \(40\).

- Beginne bei der Lücke in der untersten Reihe und nutze den bekannten Stein darüber. - Wenn die Grundreihe vollständig ist, rechne die Mauer nach oben weiter. - Kontrolliere zuletzt auch den Spitzenstein.

1. Dritter Grundstein: \(270-150=120\). 2. Zweite Reihe links: \(100+150=250\). 3. Zweite Reihe rechts: \(120+80=200\). 4. Dritte Reihe: \(250+270=520\) und \(270+200=470\). 5. Spitzenstein: \(520+470=990\).

Unterste Reihe: fehlender Stein \(120\). Zweite Reihe: \(250\), \(270\), \(200\). Dritte Reihe: \(520\), \(470\). Spitze: \(990\).

- Multipliziere die beiden nebeneinander liegenden Zahlen, um die Zahl im Stein darüber zu finden. - Nutze dein Wissen aus dem kleinen Einmaleins.

1. Erste Reihe über der Basis: \(2 \cdot 2 = 4\), \(2 \cdot 1 = 2\), \(1 \cdot 3 = 3\). 2. Zweite Reihe über der Basis: \(4 \cdot 2 = 8\), \(2 \cdot 3 = 6\). 3. Oberster Stein: \(8 \cdot 6 = 48\).

Die vervollständigte Mauer hat in der zweiten Reihe \(4, 2, 3\), in der dritten Reihe \(8, 6\) und an der Spitze die \(48\).

- Wenn ein oberer Stein und der rechte Stein darunter bekannt sind, nutze die Umkehraufgabe zur Subtraktion. - Arbeite zunächst von der Spitze zur Grundreihe zurück. - Kontrolliere anschließend alle Steine mit der angegebenen Mauerregel.

1. Linker Stein der zweiten Reihe: \(25+10=35\). 2. Linker Grundstein: \(35+15=50\). 3. Rechter Grundstein: \(15-10=5\).

Unterste Reihe: \(50\), \(15\), \(5\). Zweite Reihe: \(35\), \(10\). Spitze: \(25\).

- Wenn das Ergebnis oben steht, kannst du mit einer Divisionsaufgabe eine der Zahlen darunter finden. - Fange dort an, wo du zwei von drei Zahlen in einem kleinen Dreieck kennst. - Überprüfe am Ende, ob alle Multiplikationen von unten nach oben stimmen.

1. Berechnung des linken Steins in der mittleren Reihe: Der oberste Stein ist das Produkt der beiden Steine darunter, also \(x \cdot 10 = 200\). Daraus folgt durch Division \(x = 200 : 10 = 20\). 2. Bestimmung des mittleren Steins in der unteren Reihe: Es gilt \(4 \cdot y = 20\), also \(y = 20 : 4 = 5\). 3. Bestimmung des rechten Steins in der unteren Reihe: Es gilt \(5 \cdot z = 10\), also \(z = 10 : 5 = 2\).

In der untersten Reihe fehlen die \(5\) und die \(2\). In der mittleren Reihe fehlt die \(20\).

- Überlege dir, welche Rechenoperation du rückwärts anwenden musst, wenn ein Stein in der unteren Reihe fehlt. - Arbeite dich von den Stellen in der Mauer vor, an denen bereits zwei benachbarte Zahlen (entweder übereinander oder nebeneinander) bekannt sind. - Überprüfe am Ende, ob jede Subtraktion von unten nach oben korrekt ist.

1. Bestimme den zweiten Stein in der untersten Reihe: \(95 - 75 = 20\). 2. Berechne die fehlenden Steine in der zweiten Reihe: \(20 - 10 = 10\) und \(10 - 5 = 5\). 3. Berechne die dritte Reihe: \(75 - 10 = 65\) und \(10 - 5 = 5\). 4. Berechne die Spitze: \(65 - 5 = 60\).

Die vollständige Mauer lautet von unten nach oben: - Unterste Reihe: \(95, 20, 10, 5\) - Zweite Reihe: \(75, 10, 5\) - Dritte Reihe: \(65, 5\) - Spitze: \(60\)

- Nutze bei einem fehlenden unteren Faktor die Umkehraufgabe zur Multiplikation. - Vervollständige zuerst die Grundreihe und rechne dann nach oben weiter. - Kontrolliere jeden oberen Stein als Produkt seiner beiden Nachbarn darunter.

1. Zweiter Grundstein: \(4:2=2\). 2. Dritter Grundstein: \(2:2=1\). 3. Rechter Grundstein: \(2:1=2\). 4. Dritte Reihe: \(4\cdot2=8\) und \(2\cdot2=4\). 5. Spitze: \(8\cdot4=32\).

Unterste Reihe: \(2\), \(2\), \(1\), \(2\). Zweite Reihe: \(4\), \(2\), \(2\). Dritte Reihe: \(8\), \(4\). Spitze: \(32\).

- Rechne immer "links minus rechts", um den Stein darüber zu finden. - Gehe schrittweise von unten nach oben vor. - Achte darauf, dass die Zahlen nach oben hin kleiner werden.

1. Zweite Reihe: \( 200 - 80 = 120 \), \( 80 - 40 = 40 \), \( 40 - 20 = 20 \), \( 20 - 10 = 10 \). 2. Dritte Reihe: \( 120 - 40 = 80 \), \( 40 - 20 = 20 \), \( 20 - 10 = 10 \). 3. Vierte Reihe: \( 80 - 20 = 60 \), \( 20 - 10 = 10 \). 4. Spitze: \( 60 - 10 = 50 \).

Die Zahlen in den Reihen von unten nach oben sind: 1. Reihe: \( 200, 80, 40, 20, 10 \) 2. Reihe: \( 120, 40, 20, 10 \) 3. Reihe: \( 80, 20, 10 \) 4. Reihe: \( 60, 10 \) 5. Reihe (Spitze): \( 50 \)

- Beginne bei einer Stelle, an der zwei der drei zusammengehörigen Werte bekannt sind. - Nutze die passende Umkehraufgabe, wenn ein Grundstein fehlt. - Arbeite danach mit der Subtraktionsmauerregel nach oben weiter.

1. Rechter Grundstein: \(20-15=5\). 2. Linker Stein der zweiten Reihe: \(55-20=35\). 3. Spitzenstein: \(35-15=20\).

Unterste Reihe: fehlender Stein \(5\). Zweite Reihe: fehlender Stein \(35\). Spitze: \(20\).

- Wenn ein Faktor fehlt, nutze die passende Umkehraufgabe zur Multiplikation. - Beginne bei dem gegebenen Produkt in der zweiten Reihe. - Rechne nach dem Ergänzen der Grundreihe nach oben weiter.

1. Mittlerer Grundstein: \(15:3=5\). 2. Linker Stein der zweiten Reihe: \(2\cdot5=10\). 3. Spitzenstein: \(10\cdot15=150\).

Die fehlenden Zahlen sind \(5\) unten in der Mitte, \(10\) links in der zweiten Reihe und \(150\) an der Spitze.

- Nutze die Umkehraufgabe (Division), um die fehlenden Steine in der untersten Reihe zu finden. - Multipliziere zum Schluss die beiden Zahlen in der Mitte.

1. Bestimme den linken Stein unten: \(x \cdot 3 = 6 \Rightarrow x = 2\). 2. Bestimme den rechten Stein unten: \(3 \cdot y = 12 \Rightarrow y = 4\). 3. Berechne das Ergebnis an der Spitze: \(6 \cdot 12 = 72\).

Die fehlenden Zahlen sind \(2\) (unten links), \(4\) (unten rechts) und \(72\) (oben).

- Berechne zunächst jede Seitensumme einzeln. - Zähle anschließend, wie oft jede Eckzahl in den drei Seitensummen vorkommt. - Diese Häufigkeit erklärt die Beziehung zwischen beiden Gesamtsummen.

1. Die Seitensummen sind \(125 + 175 = 300\), \(175 + 200 = 375\) und \(200 + 125 = 325\). 2. Ihre Summe ist \(300 + 375 + 325 = 1000\). 3. Die Eckzahlen ergeben \(125 + 175 + 200 = 500\); verdoppelt sind das \(1000\). 4. Beide Gesamtsummen sind gleich, weil jede Eckzahl in genau zwei Seitensummen vorkommt.

Die Seitensummen sind \(300\), \(375\) und \(325\). Zusammen ergeben sie \(1000\), genau das Doppelte der Ecksumme \(500\).

- Welche Ecke kommt in beiden gegebenen Seitensummen vor? - Beim Bilden des Unterschieds hebt sich dieser gemeinsame Anteil auf. - Verbinde den verbleibenden Unterschied mit der bekannten oberen Ecke.

1. Beide Seitensummen enthalten die rechte untere Ecke. Ihr Unterschied ist daher zugleich der Unterschied zwischen der linken unteren und der oberen Ecke. 2. \(525 - 400 = 125\). 3. Die linke untere Ecke ist deshalb \(175 + 125 = 300\).

Die rechte untere Ecke steckt in beiden gegebenen Seitensummen und fällt beim Vergleich weg. \(525 - 400 = 125\), also ist die linke untere Ecke \(175 + 125 = 300\).

- Überlege, wie oft jede Ecke in der Gesamtheit aller drei Seitensummen vorkommt. - Daraus kannst du zuerst die Summe aller Ecken gewinnen. - Die beiden unteren Ecken sind bereits bekannt.

1. In der Summe aller drei Seitensummen wird jede Ecke zweimal gezählt. Die drei Ecken haben daher zusammen die Summe \(900 : 2 = 450\). 2. Die beiden unteren Ecken ergeben \(220 + 130 = 350\). 3. Oben steht \(450 - 350 = 100\).

Jede Ecke wird in der Summe der drei Seitensummen zweimal gezählt. Daher ist die Summe der drei Ecken \(900 : 2 = 450\). Unten stehen zusammen \(220 + 130 = 350\), also ist die obere Eckzahl \(450 - 350 = 100\).

- Jede der beiden bekannten Seitensummen enthält die bekannte Ecke \(130\). - Rechne beide Additionen unabhängig rückwärts. - Wenn beide fehlenden Ecken feststehen, bleibt nur noch ihre gemeinsame Seite.

1. Aus \(\square + 130 = 300\) folgt für die obere Ecke \(170\). 2. Aus \(130 + \square = 420\) folgt für die linke untere Ecke \(290\). 3. Die letzte Seitensumme ist \(170 + 290 = 460\).

Die fehlenden Eckzahlen sind \(170\) und \(290\). Die letzte Seitensumme ist \(460\).

- Markiere gedanklich, welche beiden Seiten an der veränderten oberen Ecke liegen. - Eine Seite enthält die obere Ecke gar nicht. - Nutze die gewünschte neue Seitensumme zusammen mit der unveränderten rechten unteren Ecke.

1. Rechts unten bleibt \(290\). Für die neue obere Ecke gilt daher \(550 - 290 = 260\). 2. Die neue linke Seitensumme ist \(260 + 270 = 530\). 3. Die untere Seite hängt nur von den beiden unveränderten unteren Ecken ab und bleibt \(560\).

Die neue obere Ecke ist \(260\). Die linke Seitensumme wird \(530\); die untere Seitensumme bleibt \(560\).

- Eine der beiden gewünschten gleichen Seiten ist durch unveränderte Ecken bereits festgelegt. - Die andere Seite enthält die einzige Ecke, die verändert werden darf. - Erst nach dieser Änderung ist die Unterseite neu zu berechnen.

1. Die linke Seitensumme ist durch die unveränderten Ecken fest: \(250 + 325 = 575\). 2. Damit auch oben rechts \(575\) entsteht, muss die neue rechte untere Ecke \(575 - 250 = 325\) sein. 3. Unten ergibt sich dann \(325 + 325 = 650\).

Die rechte untere Ecke muss auf \(325\) geändert werden. Die neue untere Seitensumme ist \(650\).

- Untersuche, wie sich die drei Seitensummen paarweise überlappen. - Suche eine Möglichkeit, die Angaben so zu verbinden, dass eine einzelne Ecke isoliert werden kann. - Prüfe gefundene Eckzahlen anschließend an allen drei sichtbaren Seiten.

1. Die beiden Seitensummen an der oberen Ecke ergeben \(90 + 100 = 190\). 2. Darin stecken die beiden unteren Ecken einmal zusammen; deren Summe ist die untere Seitensumme \(110\). Es bleiben \(190 - 110 = 80\) für die obere Ecke zweimal. 3. Die obere Ecke ist daher \(80 : 2 = 40\). 4. Rechts unten: \(90 - 40 = 50\). Links unten: \(100 - 40 = 60\).

Die Eckzahlen sind oben \(40\), rechts unten \(50\) und links unten \(60\).

- Betrachte gemeinsam die beiden Seiten, die an der oberen Ecke liegen. - Welche Anteile davon sind bereits in der unteren Seitensumme enthalten? - Gesucht ist nur eine Ecke, nicht die vollständige Belegung.

1. Addiert man die beiden Seiten an der oberen Ecke, wird die obere Ecke zweimal und jede untere Ecke einmal gezählt. 2. Die untere Seitensumme \(420\) enthält genau die beiden unteren Ecken. Daher bleiben \(300 + 360 - 420 = 240\) für die obere Ecke zweimal. 3. Oben steht \(240 : 2 = 120\).

Die obere Eckzahl ist \(120\).

- Zwei Seitensummen mit einer gemeinsamen Ecke unterscheiden sich nur in der jeweils anderen Ecke. - Du kannst zusätzlich die Summe aller Seitensummen betrachten. - Kontrolliere die gefundene Reihenfolge an allen drei Seiten.

1. Die Seitensummen \(380\) und \(260\) teilen die linke untere Ecke. Ihr Unterschied \(120\) ist deshalb der Unterschied zwischen oberer und rechter unterer Ecke. 2. Zur vollständigen Bestimmung kann die Summe aller Seiten genutzt werden: \(320 + 260 + 380 = 960\). Die Ecksumme ist \(960 : 2 = 480\). 3. Gegenüber der Seite \(260\) liegt die obere Ecke: \(480 - 260 = 220\). 4. Rechts unten: \(480 - 380 = 100\). Links unten: \(480 - 320 = 160\).

Zuerst zeigt \(380 - 260 = 120\), dass die obere Ecke um \(120\) größer ist als die rechte untere Ecke. Außerdem ist \(320 + 260 + 380 = 960\), also beträgt die Summe der drei Ecken \(960 : 2 = 480\). Damit sind die Ecken oben \(480 - 260 = 220\), rechts unten \(480 - 380 = 100\) und links unten \(480 - 320 = 160\).

- Jede Seite lässt genau eine der drei Ecken weg. - Vergleiche zunächst nur die größte und die kleinste Seitensumme. - Überlege, was eine besonders kleine Zweiersumme über die ausgelassene dritte Ecke bedeutet.

1. Jede Seitensumme enthält zwei Ecken und lässt genau die gegenüberliegende Ecke aus. 2. Die kleinste Seitensumme \(320\) lässt die größte Ecke aus. Ihr gegenüber liegt die rechte untere Ecke; sie ist daher die größte. 3. Die größte Seitensumme \(410\) lässt die kleinste Ecke aus. Ihr gegenüber liegt die linke untere Ecke; sie ist daher die kleinste.

Die rechte untere Ecke ist die größte, weil sie der kleinsten Seitensumme \(320\) gegenüberliegt. Die linke untere Ecke ist die kleinste, weil sie der größten Seitensumme \(410\) gegenüberliegt.

- Für die Behauptung brauchst du nur die Gesamtsumme der Ecken und die gegenüberliegende Seite. - Überlege zuerst, wie die Summe aller Seitensummen mit der Summe aller Ecken zusammenhängt. - Bestimme nur die gefragte Ecke.

1. Die drei Seitensummen ergeben zusammen \(370 + 290 + 340 = 1000\). Die Summe der drei Ecken ist daher \(1000 : 2 = 500\). 2. Die obere Ecke liegt der unteren Seitensumme \(290\) gegenüber. 3. Oben steht deshalb \(500 - 290 = 210\), nicht \(200\).

\(370 + 290 + 340 = 1000\), also beträgt die Summe der drei Ecken \(1000 : 2 = 500\). Die obere Ecke liegt der Seitensumme \(290\) gegenüber, daher steht oben \(500 - 290 = 210\). Miras Behauptung ist falsch.

- Bestimme zuerst nur, wo größte und kleinste Ecke liegen. - Suche dann zwei Seitensummen, die dieselbe dritte Ecke enthalten. - Ihr Unterschied kann direkt den gesuchten Eckunterschied liefern.

1. Die kleinste Seitensumme \(520\) liegt der größten Ecke gegenüber; das ist die obere Ecke. 2. Die größte Seitensumme \(680\) liegt der kleinsten Ecke gegenüber; das ist die linke untere Ecke. 3. Der Unterschied dieser beiden Ecken entspricht dem Unterschied der Seitensummen, die jeweils die gemeinsame rechte untere Ecke enthalten: \(680 - 520 = 160\).

Die kleinste Seitensumme \(520\) liegt der größten Ecke gegenüber, die größte Seitensumme \(680\) der kleinsten Ecke. Beide Seitensummen enthalten außerdem dieselbe rechte untere Ecke, daher ist der gesuchte Eckunterschied direkt \(680 - 520 = 160\).

- Vergleiche die beiden gleich großen Seiten: Welche Ecke haben sie gemeinsam? - Wenn zwei Summen denselben gemeinsamen Summanden haben und gleich sind, was gilt für die anderen Summanden? - Die dritte Seitensumme verbindet genau die beiden dadurch als gleich erkannten Ecken.

1. Die gleichen Seitensummen \(250\) und \(250\) teilen die rechte untere Ecke. Deshalb müssen die jeweils anderen Ecken gleich sein: obere und linke untere Ecke. 2. Diese beiden gleichen Ecken ergeben zusammen die dritte Seitensumme \(300\). Jede von ihnen ist daher \(150\). 3. Die rechte untere Ecke ist \(250 - 150 = 100\).

Die beiden Seitensummen \(250\) und \(250\) haben die rechte untere Ecke gemeinsam. Deshalb müssen die jeweils anderen Ecken gleich sein: oben = links unten. Da diese beiden Ecken zusammen \(300\) ergeben, sind beide \(150\); rechts unten steht \(250 - 150 = 100\).

- Jede Seite enthält zwei Eckzahlen und lässt genau eine Ecke weg. - Vergleiche, welche ausgelassene Ecke zur mittleren Zweiersumme passen muss. - Erst nach der Entscheidung brauchst du die gefragte Seite auszurechnen.

1. Die Ecken sind der Größe nach \(120 < 180 < 260\). 2. Eine Seitensumme ist umso größer, je kleiner die ausgelassene dritte Ecke ist. Die mittlere Seitensumme lässt deshalb die mittlere Ecke \(180\) aus. 3. Das ist die linke Seite zwischen \(120\) und \(260\): \(120 + 260 = 380\).

Die mittlere Seitensumme muss die mittlere Eckzahl \(180\) auslassen, weil bei gleicher Summe aller drei Ecken eine kleinere ausgelassene Ecke zu einer größeren Seitensumme führt. Das ist die linke Seite zwischen \(120\) und \(260\); sie beträgt \(120 + 260 = 380\).

- Vergleiche die beiden gleich großen Seiten und achte darauf, welche Ecke sie gemeinsam haben. - Welche Beziehung zwischen den beiden unteren Ecken wäre mit diesen gleichen Summen vereinbar? - Erst nach dieser Überlegung brauchst du die untere Seite zu berechnen.

1. Rechts unten: \(400 - 150 = 250\). 2. Links unten: ebenfalls \(400 - 150 = 250\). 3. Die beiden unteren Ecken müssen gleich sein, weil beide Seitensummen denselben oberen Summanden \(150\) enthalten. 4. Unten gilt \(250 + 250 = 500\).

Beide unteren Ecken sind \(250\). Die untere Seitensumme ist \(500\).

- Zähle, in wie vielen Seitensummen eine einzelne Ecke vorkommt. - Dasselbe gilt für jede der drei Ecken. - Diese Zählweise erklärt die Beziehung der beiden Gesamtsummen ohne besondere Zahlenwerte.

1. Die Seitensummen sind \(80 + 120 = 200\), \(120 + 200 = 320\) und \(200 + 80 = 280\). 2. Zusammen ergeben sie \(200 + 320 + 280 = 800\). 3. Die Ecken ergeben \(80 + 120 + 200 = 400\). 4. Jede Eckzahl kommt in genau zwei Seitensummen vor. Deshalb ist die Seitensummengesamtsumme \(2 \cdot 400 = 800\).

Die Seitensummen sind \(200\), \(320\) und \(280\); zusammen \(800\). Das ist das Doppelte der Ecksumme \(400\), weil jede Ecke zweimal mitgezählt wird.

- Vergleiche zwei Seiten und markiere ihre gemeinsame Ecke. - Überlege, was für die beiden jeweils anderen Eckzahlen gelten müsste, damit die beiden Summen gleich wären. - Prüfe diese Bedingung an den drei Eckzahlen im Bild.

1. Zwei beliebige Seiten des Dreiecks haben genau eine gemeinsame Ecke. 2. Wären ihre Seitensummen gleich, müssten deshalb auch die jeweils anderen beiden Eckzahlen gleich sein. 3. Im Bild sind \(80\), \(320\) und \(190\) jedoch alle verschieden. Daher können keine zwei Seitensummen gleich sein.

Nein. Zwei Seiten haben immer genau eine Ecke gemeinsam. Wären zwei Seitensummen gleich, müssten nach Weglassen dieser gemeinsamen Ecke auch die beiden jeweils anderen Eckzahlen gleich sein. Da \(80\), \(320\) und \(190\) alle verschieden sind, sind auch alle drei Seitensummen verschieden.

- Betrachte die drei Seitensummen gemeinsam statt einzelne Ecken zu suchen. - Verfolge gedanklich, wie oft jede Eckzahl in dieser Gesamtheit enthalten ist. - Gesucht ist nur die Gesamtsumme der Ecken, nicht ihre einzelnen Werte.

1. Die Seitensummen ergeben zusammen \(280 + 360 + 320 = 960\). 2. In dieser Gesamtsumme wird jede Eckzahl genau zweimal gezählt. 3. Deshalb ist die Summe der drei Ecken \(960 : 2 = 480\).

\(280 + 360 + 320 = 960\). In der Summe aller drei Seitensummen wird jede Eckzahl genau zweimal gezählt. Deshalb ist die Summe der drei Eckzahlen \(960 : 2 = 480\).

- Vergleiche die beiden gleich großen Seiten und beachte ihre gemeinsame obere Ecke. - Welche Beziehung müssen deshalb die beiden unteren Ecken haben? - Prüfe deine Konstruktion anschließend auch an der unteren Seite.

1. Rechts unten muss \(300 - 120 = 180\) stehen. 2. Links unten muss ebenfalls \(300 - 120 = 180\) stehen. 3. Die untere Seitensumme ist \(180 + 180 = 360\).

Beide unteren Ecken sind \(180\). Die untere Seitensumme ist \(360\).

- Eine Seite mit Summe \(450\) braucht zwei passende Vielfache von \(50\). - Die dritte Ecke muss die Ecksumme auf \(600\) ergänzen und von den anderen verschieden sein. - Prüfe anschließend, ob nicht versehentlich noch eine zweite Seite \(450\) ergibt.

1. Eine passende Wahl ist oben \(100\), rechts unten \(350\) und links unten \(150\). Die Ecksumme ist \(100 + 350 + 150 = 600\). 2. Die Seitensummen sind \(100 + 350 = 450\), \(350 + 150 = 500\) und \(150 + 100 = 250\). 3. Damit ist genau eine Seitensumme \(450\), und alle drei Ecken sind verschieden.

Eine mögliche Lösung ist oben \(100\), rechts unten \(350\), links unten \(150\). Die Seitensummen sind \(450\), \(500\) und \(250\). Andere passende Belegungen sind möglich.

- Welche zwei der drei Zahlen ergeben zusammen die größtmögliche Summe? - Diese beiden Zahlen müssen an der gewünschten größten Seite liegen. - Die Reihenfolge der beiden Zahlen an dieser Seite kann vertauscht werden.

1. Damit die obere rechte Seite am größten wird, müssen dort die beiden größten Eckzahlen \(300\) und \(200\) liegen. 2. Eine mögliche Anordnung ist oben \(300\), rechts unten \(200\), links unten \(100\). 3. Die Seitensummen sind dann \(500\), \(300\) und \(400\). Somit ist die obere rechte Seitensumme tatsächlich die größte.

Zum Beispiel: oben \(300\), rechts unten \(200\), links unten \(100\). Dann sind die Seitensummen \(500\), \(300\), \(400\).

- Trenne die feste Bedingung an der linken Seite von der frei wählbaren rechten unteren Ecke. - Suche in den beiden zu vergleichenden Seitensummen nach einem gemeinsamen Anteil. - Teste eine mögliche rechte untere Ecke und beobachte, ob die verlangte Differenz von dieser Wahl abhängt.

1. Aus der linken Seitensumme folgt für die linke untere Ecke \(500 - 200 = 300\). 2. Weil die linke untere Ecke um \(100\) größer als die obere Ecke ist, ist die untere Seitensumme für jede gewählte rechte Ecke automatisch um \(100\) größer als die obere rechte Seitensumme. 3. Wählt man rechts unten zum Beispiel \(150\), erhält man oben rechts \(200 + 150 = 350\) und unten \(150 + 300 = 450\).

Eine mögliche Belegung ist oben \(200\), rechts unten \(150\), links unten \(300\). Dann sind \(450\) und \(350\) genau um \(100\) verschieden.

- Nutze, dass die Seitensummen laut Aufgabe verlässlich sind. - Eine Eckzahl gehört immer zu zwei Seitensummen; ein falscher Eckwert kann deshalb an mehreren Seiten auffallen. - Suche einen Eckwert, der mit beiden angrenzenden Seitensummen gleichzeitig vereinbar ist.

1. Die linke Seite bestätigt die beiden dort stehenden Ecken: \(150 + 100 = 250\). 2. Aus der oberen rechten Seitensumme folgt für die rechte untere Ecke \(400 - 150 = 250\). 3. Auch die untere Seite bestätigt diesen Wert: \(350 - 100 = 250\). Daher ist die eingetragene \(240\) falsch.

Die rechte untere Eckzahl \(240\) ist falsch. Richtig ist dort \(250\).

- Nutze zunächst eine Seite, an der genau eine Ecke fehlt. - Sobald alle drei Ecken feststehen, ist jede Seitensumme eindeutig bestimmt. - Vergleiche den so berechneten linken Wert mit dem eingetragenen.

1. Aus der unteren Seite folgt für die linke untere Ecke \(500 - 150 = 350\). 2. Dann muss die linke Seitensumme \(350 + 200 = 550\) sein. 3. Eingetragen ist dort \(540\). Dieser Wert widerspricht den übrigen Angaben. 4. Die obere rechte Seite stimmt: \(200 + 150 = 350\).

Aus der unteren Seitensumme folgt links unten \(500 - 150 = 350\). Damit müsste links \(350 + 200 = 550\) stehen. Da dort \(540\) eingetragen ist, passen die Angaben nicht zusammen. Richtig wäre links \(550\).

- Prüfe zuerst, ob die genannte Seite wirklich die größte Summe hat. - Vergleiche danach die drei Eckzahlen unabhängig davon. - Ein einziges Gegenbeispiel reicht, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen.

1. Die obere rechte Seitensumme ist \(250 + 300 = 550\). 2. Die anderen Seitensummen sind \(300 + 100 = 400\) und \(100 + 250 = 350\). Damit ist \(550\) tatsächlich die größte Seitensumme. 3. Die größte Eckzahl ist aber \(300\) rechts unten, nicht \(250\) oben. 4. Theos Behauptung ist daher falsch. Eine große Seitensumme sagt nur etwas über die beiden Ecken zusammen aus.

Die Behauptung ist falsch. Die größte Seitensumme ist \(550\), aber die größte Ecke ist rechts unten mit \(300\).

- Nutze für a) die Beziehung zwischen der Summe aller Seitenfelder und der Summe aller Eckfelder. - Jede Seitenzahl enthält genau zwei der drei Eckzahlen. Welche Ecke gehört jeweils nicht zu einer bestimmten Seite? - Prüfe zum Schluss alle drei Seiten durch paarweises Addieren deiner Eckzahlen.

1. Die Seitenzahlen ergeben zusammen \(220 + 340 + 280 = 840\). 2. Deshalb ist die Summe der drei Eckzahlen \(840 : 2 = 420\). 3. Die obere Ecke \(a\) liegt gegenüber der Seite \(bc = 340\). Daher gilt \(a = 420 - 340 = 80\). 4. Die rechte untere Ecke \(b\) liegt gegenüber der Seite \(ca = 280\). Daher gilt \(b = 420 - 280 = 140\). 5. Die linke untere Ecke \(c\) liegt gegenüber der Seite \(ab = 220\). Daher gilt \(c = 420 - 220 = 200\). 6. Kontrolle: \(80 + 140 = 220\), \(140 + 200 = 340\) und \(200 + 80 = 280\).

a) Die Summe der drei Eckzahlen beträgt \(420\). b) Oben steht \(80\), rechts unten \(140\) und links unten \(200\).

- Erinnere dich daran, dass der oberste Stein die Summe der beiden Steine darunter ist. - Die beiden äußeren Steine unten fließen jeweils einmal in die Spitze ein, der mittlere untere Stein jedoch zweimal. - Ziehe die Beiträge der äußeren Grundsteine von der Spitze ab und untersuche den verbleibenden Betrag. - Prüfe, ob sich der verbleibende Betrag in zwei gleiche ganze Teile zerlegen lässt. - Kann die Summe der beiden äußeren Beiträge schon größer als der Spitzenstein sein?

1. Bei einer dreistufigen Zahlenmauer wirken die beiden äußeren Grundsteine je einmal auf die Spitze, der mittlere Grundstein zweimal. 2. Mauer A: Nach Abzug der äußeren Grundsteine bleiben \(500-150-250=100\). Diese \(100\) müssen zweimal vom mittleren Grundstein kommen. Die Hälfte ist \(50\). Damit lautet die mittlere Reihe \(200\) und \(300\). Mauer A ist lösbar. 3. Mauer B: Nach Abzug der äußeren Grundsteine bleiben \(500-150-249=101\). Diese Zahl müsste gleichmäßig auf zwei gleiche Beiträge des mittleren Grundsteins verteilt werden. Das ist mit ganzen Zahlen nicht möglich. Mauer B ist nicht lösbar. 4. Mauer C: Nach Abzug der äußeren Grundsteine bleiben \(800-300-450=50\). Die Hälfte ist \(25\). Damit lautet die mittlere Reihe \(325\) und \(475\). Mauer C ist lösbar. 5. Mauer D: Schon die beiden äußeren Grundsteine tragen zusammen \(300+520=820\) zur Spitze bei. Das ist mehr als der vorgegebene Spitzenwert \(800\). Mit einem natürlichen mittleren Grundstein kann die Spitze daher nicht kleiner werden. Mauer D ist nicht lösbar.

1. Lösbar sind Mauer A und Mauer C. Mauer A: unterer mittlerer Stein \(50\); mittlere Reihe \(200\) und \(300\). Mauer C: unterer mittlerer Stein \(25\); mittlere Reihe \(325\) und \(475\). 2. Mauer B ist nicht lösbar, weil der verbleibende Beitrag \(101\) nicht in zwei gleiche ganze Teile geteilt werden kann. Mauer D ist nicht lösbar, weil die beiden äußeren Grundsteine bereits \(820\) zur Spitze beitragen, obwohl die Spitze nur \(800\) sein soll.

- Suche nach einer Stelle in der Mauer, an der der obere Stein und einer der beiden Steine darunter bekannt sind. - Mit Subtraktion kannst du fehlende Steine in den unteren Reihen bestimmen. - Gehe Schritt für Schritt vor: Sobald du eine neue Zahl herausgefunden hast, hilft sie dir beim Lösen der Nachbarsteine. - Rechne die oberen Reihen anschließend durch Addition aus.

1. Bestimme die zweite Zahl der untersten Reihe. Da darüber \(222\) steht und darunter links \(128\), rechnen wir: \(222 - 128 = 94\). 2. Bestimme die dritte Zahl der untersten Reihe. Da darüber \(209\) steht und darunter rechts \(62\), rechnen wir: \(209 - 62 = 147\). 3. Berechne die mittlere Zahl der zweiten Reihe: \(94 + 147 = 241\). 4. Berechne die beiden Zahlen der dritten Reihe: - Links: \(222 + 241 = 463\) - Rechts: \(241 + 209 = 450\) 5. Berechne den Deckstein: \(463 + 450 = 913\).

Die fehlenden Zahlen sind: - Unterste Reihe: \(94\) und \(147\) (vollständig von links nach rechts: \(128\), \(94\), \(147\), \(62\)) - Zweite Reihe von unten: \(241\) (vollständig von links nach rechts: \(222\), \(241\), \(209\)) - Dritte Reihe von unten: \(463\) und \(450\) - Spitze: \(913\)

- Berechne beide Mauern Reihe für Reihe von unten nach oben. - Vergleiche danach die entsprechenden Steine beider Mauern. - Verfolge, auf wie vielen Wegen der veränderte Grundstein bis zur Spitze weiterwirkt.

1. Zoe: Aus den Grundsteinen \(60\), \(110\), \(80\), \(50\) entstehen zunächst \(170\), \(190\), \(130\), danach \(360\), \(320\) und schließlich \(680\). 2. Ben: Aus den Grundsteinen \(60\), \(120\), \(80\), \(50\) entstehen zunächst \(180\), \(200\), \(130\), danach \(380\), \(330\) und schließlich \(710\). 3. Die Spitzen unterscheiden sich um \(710-680=30\). 4. Der zweite Grundstein ist bei Ben um \(10\) größer. Dieser Grundstein wirkt über drei Wege auf die Spitze. Deshalb wird die Spitze um \(3\cdot10=30\) größer.

a) Zoes Spitzenstein ist \(680\). b) Bens Spitzenstein ist \(710\). c) Bens Spitze ist um \(30\) größer. Die Änderung des zweiten Grundsteins wirkt dreifach auf die Spitze.

- Beginne ganz oben an der Spitze. Wenn du den obersten Stein und einen der beiden darunter liegenden Steine kennst, kannst du den anderen Stein durch Minusrechnen finden. - Gehe dann Reihe für Reihe nach unten vor. - Suche immer nach einer Dreiergruppe von Steinen, bei denen bereits zwei Zahlen eingetragen sind. - Du kannst deine berechneten Zahlen überprüfen, indem du sie mit den Nachbarsteinen zusammenzählst.

1. Berechnung für Mauer A: - Linker Stein der dritten Reihe von unten: \(500 - 240 = 260\). - Mittlerer Stein der zweiten Reihe von unten: \(260 - 160 = 100\). - Linker Stein der untersten Reihe: \(160 - 60 = 100\). - Dritter Stein der untersten Reihe: \(100 - 60 = 40\). - Rechter Stein der zweiten Reihe: \(240 - 100 = 140\). - Rechter Stein der untersten Reihe: \(140 - 40 = 100\). 2. Berechnung für Mauer B: - Rechter Stein der dritten Reihe von unten: \(600 - 330 = 270\). - Linker Stein der zweiten Reihe von unten: \(330 - 130 = 200\). - Rechter Stein der zweiten Reihe von unten: \(270 - 130 = 140\). - Zweiter Stein der untersten Reihe: \(200 - 120 = 80\). - Dritter Stein der untersten Reihe: \(130 - 80 = 50\). - Rechter Stein der untersten Reihe: \(140 - 50 = 90\).

Mauer A: - Unterste Reihe: \(100\), \(60\), \(40\), \(100\) - Zweite Reihe von unten: \(160\), \(100\), \(140\) - Dritte Reihe von unten: \(260\), \(240\) - Spitze: \(500\) Mauer B: - Unterste Reihe: \(120\), \(80\), \(50\), \(90\) - Zweite Reihe von unten: \(200\), \(130\), \(140\) - Dritte Reihe von unten: \(330\), \(270\) - Spitze: \(600\)

- Berechne die dargestellte Mauer zunächst vollständig von unten nach oben. - Untersuche mit einer kleinen gleichen Veränderung aller Grundsteine, wie sich die Änderung bis zur Spitze fortsetzt. - Nutze dieses Veränderungsmuster für b) und c).

1. Aus den Grundsteinen \(50\), \(80\), \(60\), \(40\) entstehen in der zweiten Reihe \(130\), \(140\), \(100\), in der dritten Reihe \(270\), \(240\) und an der Spitze \(510\). 2. Für b) soll die Spitze um \(590 - 510 = 80\) steigen. Aus einer gleichen Erhöhung der vier Grundsteine um \(1\) entsteht an der Spitze eine Erhöhung um \(8\). Daher muss jeder Grundstein um \(80 : 8 = 10\) erhöht werden. 3. Bei einer Erhöhung jedes Grundsteins um \(20\) steigt die Spitze um \(8 \cdot 20 = 160\). Der neue Spitzenwert ist \(510 + 160 = 670\).

a) Zweite Reihe: \(130, 140, 100\); dritte Reihe: \(270, 240\); Spitze: \(510\). b) Jeder Grundstein muss um \(10\) erhöht werden. c) Der neue Spitzenstein ist \(670\).

- Beginne ganz oben an der Spitze der Mauer: Wenn du die Spitze und einen Stein darunter kennst, kannst du den anderen Stein in dieser Reihe durch Subtraktion berechnen. - Arbeite dich Schritt für Schritt von oben nach unten durch die Reihen der Zahlenmauer. - Wenn du einen Stein in einer Reihe und einen der beiden Steine direkt darunter kennst, subtrahiere den unteren vom oberen Stein, um den fehlenden unteren Stein zu finden.

1. Berechnung des linken Steins in der dritten Reihe von unten: \(670 - 308 = 362\). 2. Berechnung des mittleren Steins in der zweiten Reihe von unten: \(362 - 189 = 173\). 3. Berechnung des dritten Steins in der untersten Reihe: \(173 - 101 = 72\). 4. Berechnung des rechten Steins in der zweiten Reihe: \(308 - 173 = 135\). 5. Berechnung des vierten Steins in der untersten Reihe: \(135 - 72 = 63\). 6. Berechnung des ersten Steins in der untersten Reihe: \(189 - 101 = 88\).

Der erste Stein von links in der untersten Reihe hat den Wert \(88\). Der dritte Stein von links hat den Wert \(72\). Der vierte Stein von links hat den Wert \(63\).

- Berechne zuerst alle fehlenden Zahlen für Mauer A bis zur Spitze. - Berechne danach alle fehlenden Zahlen für Mauer B bis zur Spitze. - Vergleiche die beiden Zahlen an den Spitzen der Mauern. Um wie viel hat sich der oberste Stein verändert? - Überlege, warum sich eine Änderung des mittleren Steins in der untersten Reihe stärker auf die Spitze auswirkt als eine Änderung der äußeren Steine.

1. Berechne die Zahlen für Mauer A: - Die Steine in der zweiten Reihe sind \(120 + 150 = 270\) und \(150 + 180 = 330\). - Der oberste Stein ist \(270 + 330 = 600\). 2. Berechne die Zahlen für Mauer B: - Die Steine in der zweiten Reihe sind \(120 + 160 = 280\) und \(160 + 180 = 340\). - Der oberste Stein ist \(280 + 340 = 620\). 3. Vergleiche die beiden obersten Steine: - Der Unterschied an der Spitze beträgt \(620 - 600 = 20\). 4. Beantworte Jonas' Behauptung: - Jonas hat nicht recht. Der oberste Stein wird um \(20\) größer, nicht um \(10\). Das liegt daran, dass der mittlere Stein in der untersten Reihe in beide Steine der zweiten Reihe einfließt und somit doppelt zum Ergebnis an der Spitze beiträgt.

Nein, Jonas hat nicht recht. Die Spitze von Mauer A hat den Wert \(600\), während die Spitze von Mauer B den Wert \(620\) hat. Der oberste Stein wird also um \(20\) größer (und nicht um \(10\)), weil der mittlere Stein der untersten Reihe doppelt in die Berechnung der Spitze einfließt.

- Beginne dort, wo du aus zwei benachbarten bekannten Steinen direkt eine fehlende Zahl bestimmen kannst. - Verfolge bei Mauer b), welche Grundsteine zum gegebenen rechten Stein der dritten Reihe beitragen. - Nutze Addition nach oben und die passende Umkehraufgabe nach unten.

1. Mauer a): Der zweite Grundstein ist \(205-85=120\). Dann entstehen links \(45+120=165\) und darüber \(165+205=370\). Rechts in der dritten Reihe fehlt \(770-370=400\). Daraus folgt rechts in der zweiten Reihe \(400-205=195\) und der rechte Grundstein \(195-85=110\). 2. Mauer b): Der linke Grundstein ist \(205-70=135\). Im rechten Stein der dritten Reihe tragen die Grundsteine \(70\) und \(95\) je einmal und der gesuchte dritte Grundstein zweimal bei. Nach Abzug der äußeren Beiträge bleiben \(465-70-95=300\); die Hälfte ist \(150\). Damit entstehen in der zweiten Reihe \(205\), \(220\), \(245\), in der dritten Reihe \(425\), \(465\) und an der Spitze \(890\).

a) Unterste Reihe: \(45\), \(120\), \(85\), \(110\) Zweite Reihe: \(165\), \(205\), \(195\) Dritte Reihe: \(370\), \(400\) Spitze: \(770\) b) Unterste Reihe: \(135\), \(70\), \(150\), \(95\) Zweite Reihe: \(205\), \(220\), \(245\) Dritte Reihe: \(425\), \(465\) Spitze: \(890\)

- Beginne ganz oben an der Spitze der Zahlenmauer. Welche Zahl fehlt direkt neben der \(430\) unter dem Deckstein? - Nutze die Umkehroperation (Subtraktion), wenn dir ein Stein in einer unteren Reihe fehlt. - Wenn du eine Zahl ausgerechnet hast, kannst du mit diesem neuen Wert Schritt für Schritt weiter nach unten rechnen. - Kontrolliere deine Zwischenschritte, indem du die Steine von unten nach oben wieder zusammenrechnest.

1. Wir beginnen an der Spitze: Der Deckstein hat den Wert \(905\), der linke Stein direkt darunter den Wert \(430\). Der rechte Stein dieser Reihe ist daher \(905 - 430 = 475\). 2. Der linke Stein in der zweiten Reihe von unten ist \(430 - 230 = 200\). 3. Der zweite Stein von links in der untersten Reihe ist \(200 - 120 = 80\). 4. Der dritte Stein von links in der untersten Reihe ist \(230 - 80 = 150\). 5. Der rechte Stein in der zweiten Reihe von unten ist \(475 - 230 = 245\). 6. Der Stein ganz rechts in der untersten Reihe ist \(245 - 150 = 95\).

- Der rechte Stein in der 3. Reihe von unten ist \(475\). - Der linke Stein in der 2. Reihe von unten ist \(200\). - Der zweite Stein von links in der untersten Reihe ist \(80\).

- Suche zuerst nach einer Stelle in der Mauer, an der du zwei von drei zusammenhängenden Steinen kennst. - Wenn ein Stein oben und einer der beiden Steine direkt darunter bekannt sind, kannst du den fehlenden unteren Stein durch Subtraktion (Minusrechnen) finden. - Wenn du einen neuen Stein ausgerechnet hast, trage ihn gedanklich ein und suche nach dem nächsten Schritt. - Manchmal musst du von oben nach unten zurückrechnen, um an die unterste Reihe zu gelangen.

1. Wir betrachten das Dreieck aus dem mittleren Stein der zweiten Reihe (\(250\)) und den beiden Steinen darunter. Da der rechte davon \(140\) ist, berechnen wir den linken davon (den zweiten Stein von links in der untersten Reihe): \(250 - 140 = 110\). 2. Nun berechnen wir den linken Stein der zweiten Reihe aus den beiden bekannten Steinen darunter: \(80 + 110 = 190\). 3. Damit bestimmen wir den linken Stein der dritten Reihe: \(190 + 250 = 440\). 4. Da der oberste Stein \(900\) ist, berechnen wir den rechten Stein der dritten Reihe durch Subtraktion: \(900 - 440 = 460\). 5. Nun können wir den rechten Stein der zweiten Reihe bestimmen, da der Stein darüber \(460\) und sein linker Nachbar darunter \(250\) ist: \(460 - 250 = 210\). 6. Zum Schluss finden wir die gesuchte Zahl ganz unten rechts, indem wir \(210 - 140 = 70\) rechnen.

Ganz unten rechts muss die Zahl \(70\) stehen.

- Wenn du einen Stein in der Mitte oder oben suchst, musst du addieren. - Wenn dir ein Stein in einer unteren Reihe fehlt, musst du subtrahieren. - Du kannst in Mauer b) auch erst überlegen, wie groß die Summe der beiden Steine in der zweiten Reihe sein muss, damit oben 600 steht.

Mauer a): 1. Der rechte Stein in der zweiten Reihe ist \(210 + 150 = 360\). 2. Der linke Stein in der zweiten Reihe ist \(800 - 360 = 440\). 3. Der fehlende Stein unten links ist \(440 - 210 = 230\). Mauer b): 1. Die beiden äußeren Grundsteine tragen zusammen \(145 + 145 = 290\) zum Deckstein bei. 2. Für den mittleren Grundstein, der zweimal gezählt wird, bleiben \(600 - 290 = 310\). 3. Der mittlere Grundstein ist \(310 : 2 = 155\). 4. In der zweiten Reihe stehen zweimal \(145 + 155 = 300\).

Mauer a): Unten links fehlt \(230\). In der zweiten Reihe fehlen \(440\) und \(360\). Mauer b): Der mittlere Grundstein ist \(155\). In der zweiten Reihe stehen zweimal \(300\).

- Berechne zuerst alle drei Mauern vollständig. - Schau dir an, wie sich die Zahlen in der untersten Reihe von Mauer zu Mauer verändern. - Was passiert mit dem Mittelstein, wenn die Außensteine kleiner werden?

1. Mauer a): Mittelstein = \((800 - (200 + 200)) : 2 = 400 : 2 = 200\). 2. Mauer b): Mittelstein = \((800 - (100 + 100)) : 2 = 600 : 2 = 300\). 3. Mauer c): Mittelstein = \((800 - (50 + 50)) : 2 = 700 : 2 = 350\). 4. Beobachtung: Wenn die äußeren Steine kleiner werden, muss der Mittelstein größer werden, damit die Summe oben gleich bleibt. 5. Speziell: Wenn die Summe der Außensteine um 200 sinkt, steigt der Mittelstein um 100.

a) Die Mittelsteine sind: Mauer a) \(200\), Mauer b) \(300\), Mauer c) \(350\). b) Wenn die äußeren Steine kleiner werden, muss der mittlere Stein größer werden. Verringert man die Summe der Außensteine um einen bestimmten Betrag, muss der Mittelstein um die Hälfte dieses Betrags wachsen.

- Lass dich von den ungewohnten Zahlen nicht verwirren, das Prinzip bleibt gleich. - Nutze schriftliche Nebenrechnungen, wenn die Zahlen zu schwierig für den Kopf sind.

1. Unterste Reihe: \(196 - 104 = 92\). 2. Zweite Reihe: \(123 + 85 = 208\) und \(85 + 92 = 177\). 3. Dritte Reihe: \(208 + 177 = 385\) und \(177 + 196 = 373\). 4. Zielstein: \(385 + 373 = 758\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(123\), \(85\), \(92\), \(104\) - Zweite Reihe: \(208\), \(177\), \(196\) - Dritte Reihe: \(385\), \(373\) - Spitze: \(758\)

- Arbeite dich von der Spitze schrittweise nach unten vor. - Überprüfe deine Ergebnisse für die Grundreihe: Ergeben sie zusammenaddiert wirklich die Steine darüber?

1. Dritte Reihe: \(999 - 555 = 444\). 2. Zweite Reihe: \(444 - 244 = 200\) und \(555 - 244 = 311\). 3. Grundreihe: \(200 - 80 = 120\), dann \(244 - 120 = 124\) und \(311 - 124 = 187\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(80\), \(120\), \(124\), \(187\) - Zweite Reihe: \(200\), \(244\), \(311\) - Dritte Reihe: \(444\), \(555\) - Spitze: \(999\)

- Wenn du die Summe und einen Summanden kennst, kannst du den anderen Summanden durch Minusrechnen finden. - Arbeite dich schrittweise von den bekannten Zahlen zu den unbekannten vor. - Überprüfe am Ende deine Ergebnisse durch Plusrechnen von unten nach oben.

1. Dritte Reihe links berechnen: \(800 - 450 = 350\). 2. Zweite Reihe links berechnen: \(350 - 200 = 150\). 3. Zweite Reihe rechts berechnen: \(450 - 200 = 250\). 4. Unterste Reihe (von links nach rechts): Zweiter Stein: \(150 - 60 = 90\). Dritter Stein: \(200 - 90 = 110\). Kontrolle mit dem vorgegebenen vierten Stein: \(110 + 140 = 250\).

Die unterste Reihe ist \(60\), \(90\), \(110\), \(140\). Die zweite Reihe ist \(150\), \(200\), \(250\). Die dritte Reihe ist \(350\), \(450\). Die Spitze ist \(800\).

- Nutze die Symmetrie der Mauer, um Rechenschritte zu sparen. - Arbeite von oben nach unten, wenn ein Summenstein und ein darunterliegender Stein gegeben sind. - Prüfe deine Ergebnisse anschließend von unten nach oben.

1. Da die Spitze \(920\) und der linke Stein der vierten Reihe \(460\) beträgt, ist der rechte Stein dort \(920 - 460 = 460\). 2. Der linke Stein der dritten Reihe ist \(460 - 240 = 220\), der rechte Stein ebenfalls \(460 - 240 = 220\). 3. Der linke Stein der zweiten Reihe ist \(220 - 120 = 100\). Der zweite Grundstein ist daher \(100 - 45 = 55\). 4. Der dritte Stein der zweiten Reihe ist \(240 - 120 = 120\). Der mittlere Grundstein ist \(120 - 55 = 65\). 5. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(220 - 120 = 100\). Der vierte Grundstein ist \(120 - 65 = 55\), der rechte Grundstein ist \(100 - 55 = 45\). 6. Die vollständig ausgefüllten Reihen lauten: unten \(45\), \(55\), \(65\), \(55\), \(45\); darüber \(100\), \(120\), \(120\), \(100\); darüber \(220\), \(240\), \(220\); darüber \(460\), \(460\); Spitze \(920\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(45\), \(55\), \(65\), \(55\), \(45\) - Zweite Reihe: \(100\), \(120\), \(120\), \(100\) - Dritte Reihe: \(220\), \(240\), \(220\) - Vierte Reihe: \(460\), \(460\) - Spitze: \(920\)

- Bestimme zuerst, um wie viel der Spitzenstein kleiner werden soll. - Probiere aus, was mit der Spitze passiert, wenn jeder Grundstein nur um \(1\) kleiner wird. - Übertrage dieses Veränderungsmuster auf die benötigte Änderung.

1. Die Spitze soll von \(260\) auf \(120\) sinken. Das ist eine Verringerung um \(140\). 2. Um die Wirkung einer gleichen Verringerung zu untersuchen, betrachtet man nur die Änderungen: Werden alle drei Grundsteine um \(1\) kleiner, werden die beiden Steine darüber jeweils um \(2\) kleiner und die Spitze um \(4\) kleiner. 3. Damit die Spitze um \(140\) sinkt, muss jeder Grundstein um \(140:4=35\) verringert werden. 4. Die neuen Grundsteine sind \(60-35=25\), \(80-35=45\) und \(40-35=5\).

Die neuen Grundsteine sind \(25\), \(45\) und \(5\).

- Wenn alle Steine unten gleich sind, wie oft steckt der Wert eines Grundsteins im Zielstein einer Zahlenmauer mit vier Grundsteinen? - Probiere einfache Zahlen aus: Was passiert bei \(10\)? Was passiert bei \(20\)?

1. Trägt jeder Grundstein die Zahl \(1\), stehen in der zweiten Reihe dreimal \(2\), in der dritten Reihe zweimal \(4\) und an der Spitze \(8\). 2. Die Zahl an der Spitze ist daher achtmal so groß wie die gemeinsame Zahl der Grundsteine. 3. Gesucht ist \(240 : 8 = 30\). 4. Jeder Grundstein muss also die Zahl \(30\) tragen.

Alle vier Grundsteine müssen jeweils die Zahl \(30\) tragen.

- Bestimme zuerst, wie viel dem aktuellen Zielstein bis zur \(1000\) fehlt. - Überlege dir, wie stark sich die Spitze einer Zahlenmauer mit vier Grundsteinen ändert, wenn man alle Steine unten um \(1\) erhöht. - Teile den fehlenden Betrag durch diesen Wert.

1. Differenz der Zielsteine: \(1000 - 320 = 680\). 2. In einer Zahlenmauer mit vier Grundsteinen bewirkt eine Erhöhung jedes Grundsteins um \(1\) eine Erhöhung des Zielsteins um \(8\). 3. Berechnung des Betrags: \(680 : 8 = 85\). 4. Jeder Grundstein wurde um \(85\) vergrößert.

Jeder Grundstein wurde um \(85\) vergrößert.

- Berechne die Lücken in Mauer b) und finde den neuen Zielstein. - Überlege dir, wie oft die Zahl aus dem zweiten Stein von links in die Steine darüber „hineingerechnet“ wird.

1. Mauer a) berechnen: Zielstein ist \(500\). 2. Mauer b) berechnen: Unterste Reihe \(100, 60, 50, 100\). 3. Zweite Reihe: \(160, 110, 150\). 4. Dritte Reihe: \(270, 260\). 5. Oberster Stein: \(530\). 6. Vergleich: \(530 - 500 = 30\). Die oberste Zahl ist um \(30\) gestiegen. 7. Erklärung: Der zweite Grundstein von links wird für zwei Steine in der zweiten Reihe verwendet und im Zielstein insgesamt dreimal gezählt. Deshalb erhöht sich der Zielstein um das Dreifache der ursprünglichen Änderung.

Die oberste Zahl erhöht sich um \(30\). Der zweite Grundstein von links fließt dreimal in den Zielstein ein. Deshalb führt seine Erhöhung um \(10\) zu einer Erhöhung der Spitze um \(3 \cdot 10 = 30\).

- Nutze die Steine in der zweiten Reihe, um die fehlenden äußeren Steine ganz unten zu finden. - Wenn du die untere Reihe hast, kannst du die Lücken in der Mitte füllen. - Kontrolliere zum Schluss jede gefüllte Dreiergruppe: Der obere Stein muss jeweils die Summe der beiden darunterliegenden sein.

1. Der linke Grundstein ist \(75 - 25 = 50\), der rechte Grundstein ebenfalls \(75 - 25 = 50\). Die unterste Reihe lautet \(50, 25, 100, 25, 50\). 2. Zweite Reihe: \(75, 125, 125, 75\). 3. Dritte Reihe: \(200, 250, 200\). 4. Vierte Reihe: \(450, 450\). 5. Spitze: \(900\).

Unterste Reihe: \(50, 25, 100, 25, 50\). Zweite Reihe: \(75, 125, 125, 75\). Dritte Reihe: \(200, 250, 200\). Vierte Reihe: \(450, 450\). Spitze: \(900\).

- Suche zuerst eine Dreiergruppe von Steinen, in der nur ein Wert fehlt. - Manchmal kannst du von oben nach unten durch Subtraktion arbeiten, manchmal von unten nach oben durch Addition. - Kontrolliere nach jedem rückwärts gefundenen Stein die zugehörige Summe nach oben.

1. Rechts in der dritten Reihe gilt \(950 - 450 = 500\). 2. Links in der zweiten Reihe gilt \(450 - 240 = 210\). 3. Rechts in der zweiten Reihe gilt \(500 - 240 = 260\). 4. Der zweite Grundstein ist \(210 - 100 = 110\). 5. Der dritte Grundstein ist \(240 - 110 = 130\). 6. Der rechte Grundstein ist \(260 - 130 = 130\).

Die Grundreihe lautet \(100\), \(110\), \(130\), \(130\). Darüber stehen \(210\), \(240\), \(260\), dann \(450\), \(500\) und oben \(950\).

- Beginne bei den oberen Reihen, in denen sich ein fehlender Stein direkt durch Subtraktion bestimmen lässt. - Nutze anschließend, wie oft ein Grundstein in den Summen darüber vorkommt. - Die im Text angegebene Spiegelung erlaubt dir, die rechte Hälfte aus der linken zu übertragen.

1. Der fehlende Stein in der vierten Reihe ist \(36 - 18 = 18\). 2. Die äußeren Steine der dritten Reihe sind jeweils \(18 - 10 = 8\). Damit lautet die dritte Reihe \(8\), \(10\), \(8\). 3. Links unten entstehen die \(8\) aus den ersten drei Grundsteinen \(1\), einer fehlenden Zahl und \(3\). Die bekannten \(1\) und \(3\) tragen zusammen \(4\) bei. Bis \(8\) fehlen noch \(4\); die fehlende Grundzahl wird dabei zweimal verwendet. Daher ist sie \(4 : 2 = 2\). 4. Wegen der angegebenen Spiegelung lautet die Grundreihe \(1\), \(2\), \(3\), \(2\), \(1\). 5. Daraus folgen die Reihen \(3\), \(5\), \(5\), \(3\); dann \(8\), \(10\), \(8\); dann \(18\), \(18\); oben \(36\).

Die vollständige Mauer hat unten \(1\), \(2\), \(3\), \(2\), \(1\); darüber \(3\), \(5\), \(5\), \(3\); dann \(8\), \(10\), \(8\); dann \(18\), \(18\); an der Spitze \(36\).

- Fülle zuerst den Stein in der untersten Reihe aus, den du durch eine einfache Minusaufgabe berechnen kannst. - Achte darauf, ob sich Zahlen in der Mauer wiederholen. - Kannst du Symmetrien entdecken? Das heißt, sieht die linke Seite der Mauer genauso aus wie die rechte?

1. Berechne den dritten Stein in der untersten Reihe: \(100 - 50 = 50\). 2. Berechne den rechten Stein in der zweiten Reihe: \(50 + 50 = 100\). 3. Berechne den rechten Stein in der dritten Reihe: \(100 + 100 = 200\). 4. Berechne den linken Stein in der dritten Reihe von der Spitze aus: \(400 - 200 = 200\). 5. Berechne den linken Stein in der zweiten Reihe: \(200 - 100 = 100\). 6. Berechne den ersten Stein in der untersten Reihe: \(100 - 50 = 50\). 7. Das Muster zeigt, dass alle Steine in der untersten Reihe den Wert \(50\) haben.

In der untersten Reihe stehen viermal \(50\). Die weiteren Reihen sind \(100, 100, 100\) und \(200, 200\) bis zur Spitze \(400\).

- Beginne bei bekannten Steinen in höheren Reihen und nutze Subtraktion, um fehlende Steine darunter zu bestimmen. - Überprüfe am Ende, ob jeder obere Stein wirklich die Summe der beiden Steine direkt darunter ist.

1. Dritte Reihe rechts: \(800 - 380 = 420\). 2. Zweite Reihe Mitte: \(380 - 180 = 200\). 3. Unterste Reihe links: \(180 - 100 = 80\). 4. Dritter Stein von links in der untersten Reihe: \(200 - 100 = 100\). 5. Zweite Reihe rechts: \(420 - 200 = 220\). 6. Unterste Reihe rechts: \(220 - 100 = 120\).

Unterste Reihe: \(80\), \(100\), \(100\), \(120\). Zweite Reihe: \(180\), \(200\), \(220\). Dritte Reihe: \(380\), \(420\). Spitze: \(800\).

- Suche Dreiergruppen von Steinen, in denen zwei Werte bekannt sind. - Wenn die obere Differenz und eine untere Zahl bekannt sind, kann die andere untere Zahl manchmal durch Addition gefunden werden. - Kontrolliere jeden neuen Wert mit der im Text angegebenen Links-minus-rechts-Regel.

1. Rechts unten muss die fehlende Grundzahl zusammen mit \(30\) die Differenz \(70\) ergeben. Daher ist sie \(70 + 30 = 100\). 2. In der Mitte der zweiten Reihe gilt \(250 - 100 = 150\). 3. Rechts in der dritten Reihe gilt \(150 - 70 = 80\). 4. Links in der dritten Reihe gilt \(250 - 150 = 100\). 5. Die Spitze ist \(100 - 80 = 20\). 6. Links unten muss die fehlende Grundzahl zusammen mit \(250\) die Differenz \(250\) ergeben. Daher ist sie \(250 + 250 = 500\).

Unten stehen \(500\), \(250\), \(100\), \(30\). Darüber stehen \(250\), \(150\), \(70\), dann \(100\), \(80\), und an der Spitze \(20\).

- Nutze die Division, um von einer oberen Zahl auf eine fehlende untere Zahl zu schließen. - Überprüfe deine Ergebnisse am Ende, indem du die Mauer noch einmal von unten nach oben durchrechnest.

1. Berechne die linke Zahl unten: \(x \cdot 3 = 15\), also \(x = 15 : 3 = 5\). 2. Berechne die rechte Zahl in der zweiten Reihe: \(15 \cdot y = 135\), also \(y = 135 : 15 = 9\). 3. Berechne die rechte Zahl unten: \(3 \cdot z = 9\), also \(z = 9 : 3 = 3\).

Die unterste Reihe ist \(5, 3, 3\). In der zweiten Reihe steht rechts die \(9\).

- Wenn dir eine Zahl in der Basis fehlt, überlege: "Welche Zahl minus die bekannte Zahl ergibt den Stein darüber?" - Suche dir eine Stelle, an der bereits zwei von drei zusammengehörenden Steinen bekannt sind.

1. Der mittlere Stein in Reihe 2 ist die Differenz der Basissteine: \(200 - 80 = 120\). 2. Den linken Basisstein finden: \(x - 200 = 300\), also \(x = 500\). 3. Den linken Stein in Reihe 3 berechnen: \(300 - 120 = 180\). 4. Den rechten Stein in Reihe 2 finden: \(120 - y = 75\), also \(y = 45\). 5. Den rechten Basisstein finden: \(80 - z = 45\), also \(z = 35\). 6. Den Spitzenstein berechnen: \(180 - 75 = 105\).

Die vollständige Mauer hat: - Basis: \(500, 200, 80, 35\) - Reihe 2: \(300, 120, 45\) - Reihe 3: \(180, 75\) - Spitze: \(105\)

- Fange dort an, wo du bereits zwei Zahlen einer „Dreiergruppe“ kennst. - Nutze die Division, um von einem Ergebnis auf einen der Faktoren in der Reihe darunter zu kommen.

1. Berechne den linken Stein der zweiten Reihe: \(2 \cdot 1 = 2\). 2. Bestimme die fehlende Zahl in der Basis: \(1 \cdot x = 3\), also \(x = 3\). 3. Berechne den rechten Stein der zweiten Reihe: \(3 \cdot 2 = 6\). 4. Berechne die Steine der dritten Reihe: \(2 \cdot 3 = 6\) und \(3 \cdot 6 = 18\). 5. Berechne die Spitze: \(6 \cdot 18 = 108\).

Die fehlenden Zahlen sind: Basis \(3\), zweite Reihe \(2\) und \(6\), dritte Reihe \(6\) und \(18\), Spitze \(108\).

- Arbeite dich von den bekannten Zahlen aus vorwärts und nutze Lücken, bei denen du schon Nachbarn kennst. - Wenn eine Zahl in der unteren Reihe fehlt, hilft oft die Umkehroperation (Addition statt Subtraktion). - Kontrolliere deine Ergebnisse Zeile für Zeile, um sicherzugehen, dass die Regel überall eingehalten wird.

1. Bestimme den zweiten Stein von links in der untersten Reihe: \(x - 200 = 250\), also \(x = 450\). 2. Berechne den ersten Stein in der zweiten Reihe: \(800 - 450 = 350\). 3. Berechne den linken Stein in der dritten Reihe: \(350 - 250 = 100\). 4. Bestimme den dritten Stein in der zweiten Reihe: \(250 - y = 100\), also \(y = 150\). 5. Bestimme den letzten Stein unten rechts: \(200 - z = 150\), also \(z = 50\). 6. Berechne die Spitze: \(100 - 100 = 0\).

Die fehlenden Zahlen sind: - Unterste Reihe: \(450\) und \(50\) - Zweite Reihe: \(350\) und \(150\) - Dritte Reihe links: \(100\) - Spitze: \(0\)

- Berechne die Zielzahlen für alle drei Mauern. - Schau dir an, welche Zahl in jeder Mauer in der Mitte der untersten Reihe steht. - Überlege dir: Welche Zahl wird bei der Berechnung der Zielzahl öfter "benutzt"?

1. Mauer a): \( 2 \cdot 3 = 6 \), \( 3 \cdot 4 = 12 \). Spitze: \( 6 \cdot 12 = 72 \). 2. Mauer b): \( 4 \cdot 3 = 12 \), \( 3 \cdot 2 = 6 \). Spitze: \( 12 \cdot 6 = 72 \). 3. Mauer c): \( 3 \cdot 2 = 6 \), \( 2 \cdot 4 = 8 \). Spitze: \( 6 \cdot 8 = 48 \). 4. Mauern a) und b) haben dasselbe Ergebnis. In Mauer c) steht die kleinste Zahl (\( 2 \)) in der Mitte. Da die mittlere Zahl für beide Steine darüber verwendet wird, wirkt sie sich stärker auf das Endergebnis aus.

Mauer a) und b) haben beide die Zielzahl \( 72 \). Mauer c) hat die Zielzahl \( 48 \). Das Ergebnis von c) ist anders, weil die mittlere Zahl der untersten Reihe bei der Berechnung doppelt gewichtet wird. In Mauer c) ist dies die kleinste Zahl (\( 2 \)), was zu einem kleineren Gesamtergebnis führt.

- Suche nach einem Stein, bei dem schon zwei der drei beteiligten Zahlen bekannt sind. - Wenn die Zahl links unten fehlt, hilft dir die Addition der beiden anderen Zahlen. - Kontrolliere am Ende jede Differenz von unten nach oben.

1. Bestimme den zweiten Stein von links in der untersten Reihe: \(x - 60 = 90\), also \(x = 150\). 2. Berechne den Stein ganz rechts in der zweiten Reihe: \(60 - 20 = 40\). 3. Berechne den Stein ganz links in der zweiten Reihe: \(400 - 150 = 250\). 4. Berechne den linken Stein in der dritten Reihe: \(250 - 90 = 160\). 5. Berechne den rechten Stein in der dritten Reihe: \(90 - 40 = 50\). 6. Berechne die Spitze: \(160 - 50 = 110\).

Die Mauer wird von unten nach oben mit folgenden Zahlen ergänzt: Reihe 1: \(400, 150, 60, 20\) Reihe 2: \(250, 90, 40\) Reihe 3: \(160, 50\) Reihe 4: \(110\)

- Zwei Seitensummen sind noch nicht automatisch genug, um drei Eckzahlen eindeutig festzulegen. - Versuche eine obere Eckzahl frei zu wählen und die beiden unteren Ecken daran anzupassen. - Ein zweites anderes Beispiel entscheidet, ob Eindeutigkeit vorliegt.

1. Aus den beiden Seitensummen folgt nur, dass die rechte untere Ecke um \(80\) größer als die linke untere Ecke ist. 2. Eine passende Belegung ist oben \(100\), rechts unten \(300\), links unten \(220\). Dann entstehen \(400\) und \(320\). 3. Eine zweite passende Belegung ist oben \(200\), rechts unten \(200\), links unten \(120\). Auch dann entstehen \(400\) und \(320\). 4. Die obere Ecke ist daher nicht eindeutig bestimmt.

Nein. Die obere Eckzahl ist nicht eindeutig bestimmbar; zum Beispiel passen die Belegungen \((100,300,220)\) und \((200,200,120)\) in der Reihenfolge oben, rechts unten, links unten.

- Zähle, in wie vielen Seitensummen die veränderte Ecke vorkommt. - Die gewünschte Änderung von \(80\) verteilt sich auf genau diese betroffenen Seiten. - Eine Seite enthält die veränderte Ecke nicht.

1. Die linke untere Ecke kommt in genau zwei Seitensummen vor. 2. Wird sie um einen Betrag erhöht, wächst die Gesamtsumme aller Seitensummen um den doppelten Betrag. 3. Für eine Zunahme um \(80\) muss die Ecke daher um \(40\) wachsen, also von \(190\) auf \(230\). 4. Die untere und die linke Seitensumme wachsen jeweils um \(40\); die obere rechte Seite bleibt unverändert.

Die linke untere Ecke muss um \(40\) auf \(230\) erhöht werden. Die untere und die linke Seitensumme werden jeweils um \(40\) größer; die obere rechte bleibt gleich.

- Frage bei jedem Bild, ob wenigstens eine Ecke noch frei verändert werden könnte, ohne die sichtbaren Angaben zu verletzen. - Eine einzelne passende Belegung beweist noch keine Eindeutigkeit. - Vervollständige erst das Bild, bei dem keine solche Freiheit übrig bleibt.

1. In a) kann die linke untere Ecke frei verändert werden; die Angaben reichen nicht aus. 2. In b) ist oben \(100\) bekannt. Daher folgt rechts unten \(360 - 100 = 260\) und links unten \(440 - 100 = 340\). Unten ergibt sich \(260 + 340 = 600\). Dieses Dreieck ist eindeutig. 3. In c) ist die gemeinsame obere Ecke der beiden bekannten Seiten nicht vorgegeben. Verschiedene Werte für diese Ecke führen zu verschiedenen passenden unteren Ecken; die Angaben reichen daher nicht aus.

a) Nicht eindeutig: Oben steht \(100\), dadurch ist rechts unten zwar \(260\) festgelegt, aber die linke untere Ecke bleibt frei. b) Eindeutig: Oben steht \(100\), daher ist rechts unten \(360 - 100 = 260\) und links unten \(440 - 100 = 340\). Die untere Seitensumme ist \(260 + 340 = 600\). c) Nicht eindeutig: Die gemeinsame obere Ecke der beiden bekannten Seiten ist unbekannt. Verschiedene Werte für diese Ecke führen zu verschiedenen passenden unteren Eckzahlen.

- Suche für den ersten Weg nach einer Information, die alle drei Seitensummen gemeinsam liefern. - Suche für den zweiten Weg zwei Seitensummen, deren Vergleich eine Beziehung zwischen zwei Ecken sichtbar macht. - Beide Wege müssen am Ende dieselbe Belegung erklären und an allen drei Seiten bestehen.

1. Weg über die Gesamtsumme: \(360 + 320 + 280 = 960\). Die Ecksumme ist \(960 : 2 = 480\). Daraus folgen oben \(480 - 320 = 160\), rechts unten \(480 - 280 = 200\) und links unten \(480 - 360 = 120\). 2. Weg über Unterschiede: Oben rechts minus unten ergibt \(360 - 320 = 40\); daher ist die obere Ecke um \(40\) größer als die linke untere. Zusammen bilden diese beiden Ecken die linke Seitensumme \(280\). Zieht man den Unterschied ab, bleibt \(280 - 40 = 240\). Die kleinere Ecke ist daher \(240 : 2 = 120\), die größere \(120 + 40 = 160\). Rechts unten folgt aus \(360 - 160 = 200\). 3. Der erste Weg nutzt zuerst die gemeinsame Gesamtsumme der Ecken, der zweite Weg zunächst eine Differenzbeziehung zwischen zwei Ecken.

Über die Gesamtsumme: \(360 + 320 + 280 = 960\), also ist die Ecksumme \(960 : 2 = 480\). Damit sind die Ecken oben \(480 - 320 = 160\), rechts unten \(480 - 280 = 200\) und links unten \(480 - 360 = 120\). Über Unterschiede: \(360 - 320 = 40\), also ist die obere Ecke um \(40\) größer als die linke untere. Aus \(280 - 40 = 240\) folgt links unten \(240 : 2 = 120\), oben \(160\) und rechts unten \(360 - 160 = 200\). Der Gesamtsummenweg nutzt zuerst die Summe aller Eckzahlen; der Differenzweg nutzt zuerst eine Beziehung zwischen zwei Eckzahlen.

- Vergleiche benachbarte Seitensummen und beachte jeweils ihren gemeinsamen Eckanteil. - Zwei gleiche Seitendifferenzen können auf zwei gleiche Eckabstände hinweisen. - Nutze außerdem die Größenordnung der Seitensummen, um die Eckpositionen zu ordnen.

1. Die Differenz zwischen linker und oberer rechter Seitensumme ist \(350 - 275 = 75\). Sie entspricht dem Unterschied zwischen linker und rechter unterer Ecke. 2. Die Differenz zwischen unterer und linker Seitensumme ist \(425 - 350 = 75\). Sie entspricht dem Unterschied zwischen rechter unterer und oberer Ecke. 3. Damit ist oben die kleinste Ecke, rechts unten die mittlere und links unten die größte; beide aufeinanderfolgenden Abstände betragen \(75\).

\(350 - 275 = 75\): Die linke untere Ecke ist um \(75\) größer als die rechte untere Ecke. \(425 - 350 = 75\): Die rechte untere Ecke ist um \(75\) größer als die obere Ecke. Daher gilt oben < rechts unten < links unten, und beide aufeinanderfolgenden Eckabstände betragen \(75\).

- Vergleiche jeweils zwei der gleich großen Seiten und ihre gemeinsamen Ecken. - Überlege, ob zwei verschieden große Ecken mit drei identischen Seitensummen vereinbar wären. - Wenn du die Beziehung der drei Ecken geklärt hast, reicht eine Seitensumme für den Zahlenwert.

1. Zwei gleich große Seitensummen mit einer gemeinsamen Ecke haben gleich große jeweils andere Ecken. Aus den drei gleichen Seitensummen folgt daher, dass alle drei Ecken gleich sind. 2. Jede Seitensumme besteht aus zwei gleichen Ecken. Also ist jede Ecke \(400 : 2 = 200\). 3. Kontrolle: \(200 + 200 = 400\) an jeder Seite.

Ja. Vergleicht man zwei der gleich großen Seitensummen, fällt ihre gemeinsame Ecke beim Vergleich weg; deshalb müssen auch die jeweils anderen Ecken gleich sein. Aus den drei gleichen Seitensummen folgt so, dass alle drei Ecken gleich sind. Jede Ecke ist \(400 : 2 = 200\).

- Jede Seitensumme enthält zwei Ecken und lässt genau die gegenüberliegende Ecke weg. - Wenn die Summe aller drei Ecken fest ist, was bedeutet eine besonders große Seitensumme für die ausgelassene Ecke? - Rekonstruiere anschließend die Werte, um die qualitative Aussage zu prüfen.

1. Bei festem Gesamtwert der drei Ecken fehlt in jeder Seitensumme genau die gegenüberliegende Ecke. Deshalb liegt gegenüber der größten Seitensumme die kleinste Ecke und gegenüber der kleinsten Seitensumme die größte Ecke. 2. Die Seitensummen ergeben \(300 + 380 + 320 = 1000\); die Ecksumme ist \(1000 : 2 = 500\). 3. Gegenüber \(380\) liegt die obere Ecke: \(500 - 380 = 120\). 4. Gegenüber \(320\) liegt rechts unten: \(500 - 320 = 180\). Gegenüber \(300\) liegt links unten: \(500 - 300 = 200\).

Zuerst qualitativ: Gegenüber der größten Seitensumme \(380\) liegt die kleinste Ecke; das ist oben. Gegenüber der kleinsten Seitensumme \(300\) liegt die größte Ecke; das ist links unten. Zur Kontrolle gilt \(300 + 380 + 320 = 1000\), also ist die Ecksumme \(500\). Damit stehen oben \(500 - 380 = 120\), rechts unten \(500 - 320 = 180\) und links unten \(500 - 300 = 200\).

- Eine sichtbare Seitensumme verbindet die obere Ecke unmittelbar mit einer der unteren Ecken. - Überlege getrennt davon, was die Gesamtsumme aller drei Seiten über die drei Eckzahlen aussagt. - Verbinde anschließend beide Informationen und kontrolliere die drei Seitensummen gemeinsam.

1. Aus der oberen rechten Seite folgt für die rechte untere Ecke \(360 - 160 = 200\). 2. In der Summe aller drei Seitensummen wird jede Eckzahl zweimal gezählt. Die drei Ecken haben daher zusammen die Summe \(900 : 2 = 450\). 3. Links unten steht \(450 - 160 - 200 = 90\). 4. Die fehlenden Seitensummen sind unten \(200 + 90 = 290\) und links \(90 + 160 = 250\). 5. Kontrolle: \(360 + 290 + 250 = 900\).

Rechts unten steht \(200\), links unten \(90\). Die fehlenden Seitensummen sind \(290\) und \(250\).

- Übersetze jede Bedingung in eine Beziehung zwischen den beiden unteren Ecken. - Nutze die Vorgabe „Vielfache von \(20\)“, um passende Kandidaten systematisch zu testen. - Kontrolliere eine gefundene Belegung an allen drei Seitensummen und an der verlangten Differenz.

1. Die beiden unteren Ecken müssen zusammen \(400\) ergeben. 2. Der Unterschied der beiden oberen Seitensummen entspricht dem Unterschied der beiden unteren Ecken. Daher müssen sich die unteren Ecken um \(80\) unterscheiden. 3. Passend sind rechts unten \(240\) und links unten \(160\). 4. Die Seitensummen sind oben rechts \(120 + 240 = 360\), unten \(400\) und links \(120 + 160 = 280\).

Rechts unten steht \(240\), links unten \(160\). Die Seitensummen sind \(360\), \(400\) und \(280\).

- Vergleiche zuerst, was die gleiche Gesamtsumme der Seiten in beiden Dreiecken über die Gesamtsumme der Ecken festlegt. - Verteile diese gleiche Ecksumme in a) und b) unterschiedlich auf drei Ecken. - Prüfe bei jeder Belegung zusätzlich, ob die eingetragene untere Seite tatsächlich die größte der drei Seiten ist.

1. In beiden Dreiecken müssen die drei Eckzahlen zusammen \(450\) ergeben, weil ihre Werte in der Gesamtsumme der Seiten jeweils zweimal vorkommen. 2. Für a) ist zum Beispiel oben \(50\), rechts unten \(180\), links unten \(220\) möglich. Die Seitensummen sind \(230\), \(400\), \(270\). 3. Für b) ist zum Beispiel oben \(100\), rechts unten \(160\), links unten \(190\) möglich. Die Seitensummen sind \(260\), \(350\), \(290\). 4. In beiden Fällen beträgt die Summe der Seitensummen \(900\), aber die größte Seitensumme ist wie verlangt verschieden.

Eine mögliche Lösung ist a): Ecken \(50\), \(180\), \(220\), Seitensummen \(230\), \(400\), \(270\); b): Ecken \(100\), \(160\), \(190\), Seitensummen \(260\), \(350\), \(290\). Andere passende Konstruktionen sind möglich.

- Betrachte die drei Seitensummen von b) gemeinsam und überlege, welche Eckbelegung dazu passen könnte. - Vergleiche erst eine vollständige passende Belegung mit den drei Ecken aus a). - Unterscheide dabei zwischen „dieselben Zahlen“ und „dieselben Zahlen an denselben Positionen“.

1. In b) ergeben die Seitensummen zusammen \(320 + 220 + 260 = 800\). Die drei Ecken haben daher zusammen die Summe \(400\). 2. Oben liegt der unteren Seitensumme \(220\) gegenüber: \(400 - 220 = 180\). 3. Rechts unten liegt der linken Seitensumme \(260\) gegenüber: \(400 - 260 = 140\). 4. Links unten liegt der oberen rechten Seitensumme \(320\) gegenüber: \(400 - 320 = 80\). 5. Damit enthält b) dieselben Eckzahlen \(80\), \(140\), \(180\) wie a). Obere und linke untere Ecke haben ihre Plätze getauscht; die rechte untere Ecke bleibt \(140\).

In b) stehen oben \(180\), rechts unten \(140\), links unten \(80\). Es sind dieselben drei Zahlen wie in a); oben und links unten wurden vertauscht.

- Es reicht nicht, dass dieselben drei Seitensummen irgendwo entstehen; ihre Lage muss ebenfalls stimmen. - Prüfe, welche Eckpaare zu den drei fest eingezeichneten Seiten gehören. - Suche anschließend eine Belegung, die alle drei Seiten gleichzeitig an genau diesen Positionen erfüllt.

1. Leas Ecken erzeugen die Seitensummen \(80 + 120 = 200\), \(120 + 200 = 320\) und \(200 + 80 = 280\). Die beiden letzten Seitensummen liegen also an den falschen Seiten. 2. Die vorgegebenen Seitensummen ergeben zusammen \(200 + 280 + 320 = 800\); die Ecksumme ist \(400\). 3. Oben: \(400 - 280 = 120\). Rechts unten: \(400 - 320 = 80\). Links unten: \(400 - 200 = 200\). 4. Damit entstehen genau \(200\), \(280\), \(320\) an den vorgegebenen Seiten.

Leas Belegung passt nicht zur Lage der Seitensummen. Richtig ist: oben \(120\), rechts unten \(80\), links unten \(200\).

- Vergleiche zuerst, welche Seitensumme unverändert geblieben ist. - Eine unveränderte Seite grenzt nicht an die einzige veränderte Ecke. - Die beiden gleich großen Änderungen der anderen Seiten zeigen dann auch den Änderungsbetrag.

1. Die linke Seitensumme bleibt mit \(400\) unverändert. Die beiden Ecken an dieser Seite, oben \(220\) und links unten \(180\), sind daher unverändert. 2. Die beiden anderen Seitensummen steigen jeweils von \(360\) auf \(400\) beziehungsweise von \(320\) auf \(360\), also um \(40\). 3. Beide enthalten die rechte untere Ecke. Diese Ecke wurde daher um \(40\) von \(140\) auf \(180\) erhöht. 4. In b) stehen oben \(220\), rechts unten \(180\), links unten \(180\).

Verändert wurde die rechte untere Ecke. Sie wurde um \(40\) von \(140\) auf \(180\) erhöht. In b) stehen die Ecken \(220\), \(180\), \(180\).

- Die Reihenfolge von Summanden verändert eine Summe nicht. - Welche Seite enthält genau die beiden vertauschten unteren Ecken? - Verfolge danach, welche untere Ecke an welcher Seite der unveränderten oberen Ecke liegt.

1. In a) sind die Seitensummen oben rechts \(400\), unten \(340\) und links \(260\). 2. In b) sind sie oben rechts \(260\), unten \(340\) und links \(400\). 3. Die untere Seite enthält in beiden Bildern dieselben beiden Zahlen \(240\) und \(100\), nur in vertauschter Reihenfolge. Ihre Summe bleibt \(340\). 4. Die beiden Seiten an der oberen Ecke tauschen ihre Werte, weil die beiden unteren Ecken ihre Plätze wechseln.

Die untere Seitensumme bleibt gleich, weil dort weiterhin dieselben beiden Zahlen \(240\) und \(100\) addiert werden: \(240 + 100 = 340\). In a) sind die Seitensummen \(400\), \(340\), \(260\); in b) sind sie \(260\), \(340\), \(400\). Damit tauschen die beiden Seiten an der oberen Ecke die Werte \(400\) und \(260\).

- Verfolge jede Eckposition getrennt von a) nach b) nach c). - Eine Seitensumme wächst um die Summe der Änderungen ihrer beiden Ecken. - Nutze dieses Änderungsmuster auch als Kontrolle für die Werte von d).

1. Nach c) folgen die Eckzahlen \(130\), \(260\) und \(390\). 2. Die Seitensummen in d) sind \(130 + 260 = 390\), \(260 + 390 = 650\) und \(390 + 130 = 520\). 3. Oben rechts wachsen die beiden Ecken pro Schritt um \(10\) und \(20\); die Seitensumme wächst daher um \(30\). 4. Unten wächst sie um \(20 + 30 = 50\), links um \(30 + 10 = 40\).

d) hat die Ecken \(130\), \(260\), \(390\) und die Seitensummen \(390\), \(650\), \(520\). Die Seitensummen wachsen pro Schritt um \(30\), \(50\) und \(40\).

- Vergleiche, welche zwei Eckänderungen jeweils zu einer Seitenänderung beitragen. - Prüfe, ob dieselbe Änderung an allen drei Ecken zu den drei gleichen Seitenzuwächsen passen würde. - Kontrolliere deine Vermutung anschließend mit den angegebenen Seitensummen von b).

1. In a) sind die Ecken \(90\), \(130\), \(180\); die Seitensummen sind \(220\), \(310\), \(270\). 2. In b) sind die Seitensummen daher \(280\), \(370\), \(330\). 3. Die Seitensummen von b) ergeben zusammen \(980\); die Ecksumme ist \(980 : 2 = 490\). 4. Oben: \(490 - 370 = 120\). Rechts unten: \(490 - 330 = 160\). Links unten: \(490 - 280 = 210\). 5. Gegenüber a) ist jede Ecke um \(30\) größer. Das passt, weil jede Seitensumme aus zwei Ecken besteht und daher um \(30 + 30 = 60\) wächst.

In b) stehen die Ecken \(120\), \(160\), \(210\). Jede Ecke ist gegenüber a) um \(30\) größer.

- Welche Bedingung muss die obere Eckzahl wegen der beiden oberen Seitenprodukte erfüllen? - Nutze zusätzlich die Information, dass alle drei Eckzahlen einstellig sind. - Prüfe deine gefundenen Ecken zuletzt am unteren Seitenprodukt.

1. Die obere Eckzahl muss sowohl ein Faktor von \(56\) als auch von \(42\) sein. Als einstellige gemeinsame Faktoren kommen \(1\), \(2\) und \(7\) infrage. 2. Mit \(1\) oder \(2\) würden die unteren Eckzahlen größer als \(9\). Daher muss oben \(7\) stehen. 3. Rechts unten steht \(56 : 7 = 8\), links unten \(42 : 7 = 6\). 4. Kontrolle unten: \(8 \cdot 6 = 48\). Damit stimmen alle drei Seitenprodukte.

Oben steht \(7\), rechts unten \(8\) und links unten \(6\). Kontrolle: \(7 \cdot 8 = 56\), \(8 \cdot 6 = 48\) und \(6 \cdot 7 = 42\).

- Die obere Eckzahl muss zu beiden vorgegebenen Seitenprodukten passen. - Beachte zusätzlich die Bedingung, dass jede Eckzahl zwischen \(1\) und \(9\) liegt. - Wenn du eine obere Ecke ausprobierst, ergeben sich die beiden unteren Ecken durch Division.

1. Die obere Eckzahl muss sowohl ein Faktor von \(24\) als auch von \(18\) sein. 2. Mit oberer Ecke \(3\) erhält man rechts unten \(8\) und links unten \(6\). Unten steht \(8 \cdot 6 = 48\). 3. Mit oberer Ecke \(6\) erhält man rechts unten \(4\) und links unten \(3\). Unten steht \(4 \cdot 3 = 12\). 4. Andere gemeinsame Faktoren führen bei mindestens einer unteren Ecke aus dem Bereich von \(1\) bis \(9\) heraus. Daher gibt es genau diese beiden Möglichkeiten.

Möglichkeit 1: oben \(3\), rechts unten \(8\), links unten \(6\), unten \(48\). Möglichkeit 2: oben \(6\), rechts unten \(4\), links unten \(3\), unten \(12\).