- In einer Zahlenmauer ist jeder Stein die Summe der beiden Steine direkt darunter. - Fange in der untersten Reihe an und rechne dich nach oben. - Welche zwei Zahlen musst du addieren, um den Stein darüber zu finden?

1. In der mittleren Reihe stehen \(12+15=27\) und \(15+20=35\). 2. An der Spitze steht \(27+35=62\).

An der Spitze steht \(62\). In der mittleren Reihe stehen \(27\) und \(35\).

- Beginne in der untersten Reihe und arbeite dich Schritt für Schritt nach oben. - Addiere immer zwei nebeneinanderliegende Zahlen, um die Zahl darüber zu finden.

1. In der zweiten Reihe stehen \(4+2=6\), \(2+5=7\) und \(5+3=8\). 2. In der dritten Reihe stehen \(6+7=13\) und \(7+8=15\). 3. An der Spitze steht \(13+15=28\).

Die fehlenden Zahlen sind in der zweiten Reihe \(6\), \(7\) und \(8\), in der dritten Reihe \(13\) und \(15\), und an der Spitze steht \(28\).

- Berechne für beide Mauern zuerst die mittlere Reihe. - Addiere dann die beiden Zahlen der mittleren Reihe, um die Spitze zu finden.

1. Mauer a): \(5+5=10\) und \(5+5=10\). An der Spitze steht \(10+10=20\). 2. Mauer b): \(4+7=11\) und \(7+4=11\). An der Spitze steht \(11+11=22\). 3. \(22>20\). Die Spitze von Mauer b) ist größer.

Mauer a): mittlere Reihe \(10, 10\); Spitze \(20\). Mauer b): mittlere Reihe \(11, 11\); Spitze \(22\). Damit ist die Zahl an der Spitze von Mauer b) größer.

- Welche zwei Eckzahlen ergeben zusammen die Seitensumme \(60\)? - Ziehe die bekannte \(25\) von \(60\) ab. - Prüfe am Ende: Ergibt deine Zahl zusammen mit \(25\) wieder \(60\)?

1. Die Seitensumme \(60\) besteht aus der fehlenden oberen Ecke und \(25\). 2. Daher ist die obere Ecke \(60 - 25 = 35\).

Die fehlende obere Eckzahl ist \(35\).

- Lies zuerst ab, welche Ecke an die sichtbare Seitensumme \(230\) grenzt. - Prüfe die vorgeschlagenen Werte an genau dieser Seite. - Es ist nicht nötig, die übrigen Seiten zu berechnen.

1. Die Seitensumme \(230\) liegt zwischen der oberen Ecke \(80\) und der gesuchten rechten unteren Ecke. 2. Gesucht ist daher der Wert, der zusammen mit \(80\) die Summe \(230\) ergibt. 3. \(80 + 150 = 230\). Die beiden anderen Vorschläge passen nicht.

Die rechte untere Eckzahl ist \(150\), denn \(80 + 150 = 230\). Daher passt der vorgeschlagene Wert \(150\) zur sichtbaren Seitensumme.

- Kannst du die Beziehung zwischen den Zahlen in der untersten und der mittleren Reihe beschreiben? - Überlege, wie du Schritt für Schritt von unten nach oben gelangen kannst. - Welche Rechenart ist laut der Beschreibung für die Steine anzuwenden? - Kannst du zuerst die fehlenden Zahlen in der mittleren Reihe bestimmen?

1. Identifikation der untersten Reihe mit den Werten \(15\), \(8\) und \(30\). 2. Berechnung der beiden Steine in der mittleren Reihe durch Addition der jeweils darunterliegenden Nachbarn: linker Stein \(15 + 8 = 23\), rechter Stein \(8 + 30 = 38\). 3. Berechnung des Zielwerts (Fragezeichen) in der obersten Reihe durch Addition der beiden Steine der mittleren Reihe: \(23 + 38 = 61\).

\(61\)

- Schau dir die Dreiergruppen von Steinen an, bei denen du schon zwei von drei Werten kennst. - Wenn eine Zahl über zwei Steinen steht und einer der unteren Steine bekannt ist, kannst du den anderen durch Minusrechnen finden. - Trage gefundene Zahlen direkt ein, da sie dir helfen, die nächsten Lücken zu füllen. - Du kannst am Ende die Spitze der Mauer berechnen, um zu überprüfen, ob alle deine Rechnungen stimmen.

1. Bestimme die zweite Zahl der untersten Reihe durch Subtraktion der bekannten Nachbarzahl vom darüberliegenden Stein: \(19 - 7 = 12\). 2. Bestimme die vierte Zahl der untersten Reihe ebenso durch Subtraktion: \(22 - 7 = 15\). 3. Berechne die erste Zahl der zweiten Reihe von unten durch Addition der darunterliegenden Steine: \(8 + 12 = 20\). 4. Berechne die beiden Zahlen der dritten Reihe von unten: - Linker Stein: \(20 + 19 = 39\) - Rechter Stein: \(19 + 22 = 41\) 5. Überprüfe dein Ergebnis an der Spitze der Mauer: \(39 + 41 = 80\).

Die fehlenden Zahlen sind: - Unterste Reihe: \(12\) und \(15\) (vollständig von links nach rechts: \(8\), \(12\), \(7\), \(15\)) - Zweite Reihe von unten: \(20\) (vollständig von links nach rechts: \(20\), \(19\), \(22\)) - Dritte Reihe von unten: \(39\) und \(41\) - Spitze: \(80\)

- Schau dir den Stein mit der Zahl \(12\) an. Welche zwei Steine liegen direkt darunter? - Wenn du eine Zahl in einer Reihe kennst und eine der beiden Zahlen darunter, wie kannst du die andere Zahl berechnen? - Arbeite dich von unten nach oben vor, wo es möglich ist, und nutze an anderen Stellen die Zahl an der Spitze, um rückwärts zu rechnen.

1. Unterste Reihe, zweiter Stein: \(12-4=8\). 2. Zweite Reihe links: \(5+8=13\). 3. Dritte Reihe links: \(13+12=25\). 4. Dritte Reihe rechts: \(53-25=28\). 5. Zweite Reihe rechts: \(28-12=16\). 6. Unterste Reihe rechts: \(16-4=12\).

- Unterste Reihe: \(8\) und \(12\) - Zweite Reihe von unten: \(13\) und \(16\) - Dritte Reihe von unten: \(25\) und \(28\)

- Schau dir die Steine an, bei denen du schon zwei von drei Werten in einer Dreiergruppe kennst. - Wenn die beiden unteren Steine bekannt sind, kannst du sie addieren, um den oberen zu erhalten. - Wenn der obere Stein und einer der unteren Steine bekannt sind, kannst du den anderen unteren Stein durch Subtraktion berechnen. - Finde zuerst die fehlenden Zahlen in der untersten Reihe.

1. Unten gilt \(13 - 5 = 8\) und \(15 - 6 = 9\). 2. In der zweiten Reihe von unten steht in der Mitte \(8 + 6 = 14\). 3. In der dritten Reihe stehen \(13 + 14 = 27\) und \(14 + 15 = 29\). 4. Oben steht \(27 + 29 = 56\).

Unterste Reihe: \(5, 8, 6, 9\). Zweite Reihe: \(13, 14, 15\). Dritte Reihe: \(27, 29\). Oben: \(56\).

- Überlege dir, wie die Steine miteinander zusammenhängen: Zwei nebeneinander liegende Steine ergeben addiert den Stein direkt darüber. - Du kannst rückwärts rechnen: Wenn du den oberen Stein und einen der beiden unteren Steine kennst, kannst du den anderen unteren Stein durch Subtraktion berechnen. - Fange an einer Stelle an, an der du bereits zwei von drei zusammenhängenden Steinen kennst.

1. In der untersten Reihe gilt \(13 - 5 = 8\) und \(18 - 6 = 12\). 2. Der gesuchte mittlere Stein der zweiten Reihe ist \(8 + 12 = 20\). 3. In der dritten Reihe stehen \(13 + 20 = 33\) und \(20 + 18 = 38\). 4. Oben steht \(33 + 38 = 71\).

Unterste Reihe: \(5, 8, 12, 6\). Zweite Reihe: \(13, 20, 18\); der gesuchte mittlere Stein ist \(20\). Dritte Reihe: \(33, 38\). Oben: \(71\).

- Ein Stein ist immer die Summe der beiden Steine direkt darunter. - Kennst du den oberen Stein und einen der beiden unteren Steine, kannst du den anderen mit einer Minusaufgabe finden. - Suche nach drei zusammengehörigen Steinen, bei denen schon zwei Zahlen bekannt sind. - Arbeite dich Schritt für Schritt von den bekannten Zahlen zu den Lücken vor.

1. Mauer a): Unten in der Mitte steht \(23-8=15\). Links in der zweiten Reihe steht \(12+15=27\). An der Spitze steht \(27+23=50\). 2. Mauer b): Unten links steht \(39-14=25\). Rechts in der zweiten Reihe steht \(71-39=32\). Unten rechts steht \(32-14=18\). 3. Mauer c): Links in der zweiten Reihe steht \(7+22=29\). Rechts in der zweiten Reihe steht \(70-29=41\). Unten rechts steht \(41-22=19\).

a) Fehlende Zahlen: - Untere Reihe Mitte: \(15\) - Mittlere Reihe links: \(27\) - Spitze: \(50\) b) Fehlende Zahlen: - Untere Reihe links: \(25\) - Mittlere Reihe rechts: \(32\) - Untere Reihe rechts: \(18\) c) Fehlende Zahlen: - Mittlere Reihe links: \(29\) - Mittlere Reihe rechts: \(41\) - Untere Reihe rechts: \(19\)

- Beginne mit dem rechten Stein der mittleren Reihe und den beiden Steinen direkt darunter. - Wenn der obere Stein und einer der beiden Steine direkt darunter bekannt sind, kannst du den anderen durch Subtraktion berechnen. - Rechne anschließend von unten nach oben weiter.

1. Berechne den mittleren Stein in der untersten Reihe aus dem rechten Stein der mittleren Reihe: \(35 - 23 = 12\). 2. Berechne den linken Stein in der mittleren Reihe: \(15 + 12 = 27\). 3. Berechne den obersten Stein: \(27 + 35 = 62\).

- Der linke Stein in der mittleren Reihe ist \(27\). - Der mittlere Stein in der untersten Reihe ist \(12\). - Der oberste Stein ist \(62\).

- Suche drei zusammengehörige Steine, bei denen du schon zwei Zahlen kennst. - Kannst du mit einer Plusaufgabe einen Stein in der zweiten Reihe berechnen? - Kennst du einen oberen Stein und einen Stein darunter, kannst du den anderen unteren Stein mit einer Minusaufgabe finden. - Arbeite dich so Schritt für Schritt durch die Mauer, bis du ganz oben ankommst.

1. Ganz rechts in der zweiten Reihe gilt \(14 + 7 = 21\). 2. Für den mittleren Stein der zweiten Reihe gilt \(45 - 21 = 24\). 3. In der untersten Reihe fehlt \(24 - 14 = 10\). 4. Links in der zweiten Reihe steht \(10 + 10 = 20\). 5. Links in der dritten Reihe steht \(20 + 24 = 44\). 6. Oben steht \(44 + 45 = 89\).

Unterste Reihe: \(10, 10, 14, 7\). Zweite Reihe: \(20, 24, 21\). Dritte Reihe: \(44, 45\). Oben: \(89\).

- Wenn du einen oberen Stein und einen der beiden Steine direkt darunter kennst, kannst du den fehlenden Stein durch Subtraktion bestimmen. - Suche zuerst nach einer Dreiergruppe von Steinen, in der nur ein Wert fehlt. - Entscheide bei jeder Lücke neu, ob du von unten nach oben addieren oder von oben nach unten subtrahieren kannst.

1. Der fehlende Stein in der zweiten Reihe ist \(63 - 35 = 28\). 2. Der mittlere Grundstein ist \(35 - 21 = 14\). 3. Der linke Grundstein ist \(28 - 14 = 14\).

Die unterste Reihe lautet von links nach rechts \(14\), \(14\), \(21\). Die zweite Reihe besteht aus \(28\) und \(35\). An der Spitze steht \(63\).

- Wenn unten ein Stein fehlt, nutze die passende Umkehraufgabe zu der Addition darüber. - Bestimme die beiden fehlenden Grundsteine nacheinander. - Wenn die zweite Reihe vollständig ist, kannst du die Spitze direkt berechnen.

1. Linker Grundstein: \(30-14=16\). 2. Rechter Grundstein: \(26-14=12\). 3. Spitzenstein: \(30+26=56\).

Die untere Reihe lautet \(16\), \(14\) und \(12\). Der Spitzenstein ist \(56\).

- Nutze dein Wissen über das Rechnen mit Hunderterzahlen. - Die Rechenregel für die Mauer bleibt die gleiche, egal wie groß die Zahlen sind. - Kontrolliere am Ende: Ergeben die beiden mittleren Steine zusammen wirklich die Zahl an der Spitze?

1. In der mittleren Reihe stehen \(120 + 250 = 370\) und \(250 + 380 = 630\). 2. An der Spitze steht \(370 + 630 = 1000\).

Die Steine in der mittleren Reihe sind \(370\) und \(630\). An der Spitze steht \(1000\).

- Beginne bei drei zusammengehörigen Steinen, bei denen nur eine Zahl fehlt. - Wenn du zwei Steine nebeneinander kennst, addiere sie für den Stein darüber. - Wenn der obere Stein und einer der unteren Steine gegeben sind, kannst du mit Minus zurückrechnen.

1. Unterste Reihe: \(15 - 5 = 10\) und \(15 - 7 = 8\). Damit lautet sie \(5, 10, 8, 7\). 2. Zweite Reihe: \(10 + 8 = 18\). Damit lautet sie \(15, 18, 15\). 3. Dritte Reihe: \(15 + 18 = 33\) und \(18 + 15 = 33\). 4. Spitze: \(33 + 33 = 66\).

Unterste Reihe: Es fehlen \(10\) und \(8\). Zweite Reihe: Es fehlt \(18\). Dritte Reihe: Es fehlen \(33\) und \(33\). Spitze: \(66\).

- Schau auf die \(32\) und die \(15\) darunter. Welcher Stein fehlt daneben? - Wenn die unterste Reihe voll ist, kannst du nach oben weiterrechnen. - Prüfe am Ende alle Steine noch einmal von unten nach oben.

1. Ganz links unten steht \(32-15=17\). 2. Rechts in der mittleren Reihe steht \(15+12=27\). 3. Ganz oben steht \(32+27=59\).

Ganz links unten muss \(17\) stehen. Der rechte Stein in der mittleren Reihe hat den Wert \(27\), und ganz oben steht \(59\).

- Addiere immer zwei nebeneinanderliegende Steine, um den Wert des Steins direkt darüber zu finden. - Arbeite dich Reihe für Reihe nach oben.

1. Zweite Reihe: \(110, 100, 110, 100\). 2. Dritte Reihe: \(210, 210, 210\). 3. Vierte Reihe: \(420, 420\). 4. Spitze: \(840\).

Zweite Reihe: \(110, 100, 110, 100\). Dritte Reihe: \(210, 210, 210\). Vierte Reihe: \(420, 420\). Spitze: \(840\).

- Kennst du den oberen Stein und einen der beiden Steine darunter, kannst du den anderen mit Minus finden. - Suche zuerst eine Stelle, an der nur eine Zahl fehlt.

1. Unten links fehlt \(25-15=10\). 2. Rechts in der mittleren Reihe fehlt \(60-25=35\). 3. Unten rechts fehlt \(35-15=20\).

Die untere Reihe lautet \(10\), \(15\), \(20\). In der mittleren Reihe steht rechts \(35\).

- Nutze die schriftliche Addition, wenn die Zahlen zu groß für das Kopfrechnen sind. - Achte besonders auf die Überträge beim Addieren.

1. Links in der zweiten Reihe steht \(245+138=383\). 2. Rechts in der zweiten Reihe steht \(138+304=442\). 3. An der Spitze steht \(383+442=825\).

Die zweite Reihe besteht aus den Zahlen \(383\) und \(442\). An der Spitze steht \(825\).

- Suche eine Stelle, an der von drei zusammengehörigen Steinen schon zwei Zahlen bekannt sind. - Kennst du den oberen Stein und einen Stein darunter, kannst du den anderen mit Minus finden. - Arbeite von den bekannten Stellen aus Schritt für Schritt weiter.

1. Unten fehlen zweimal \(7-4=3\). Die unterste Reihe lautet also \(2, 3, 4, 3, 2\). 2. In der zweiten Reihe fehlen außen \(2+3=5\) und \(3+2=5\). Die Reihe lautet \(5, 7, 7, 5\). 3. In der dritten Reihe stehen \(5+7=12\), \(7+7=14\) und \(7+5=12\). 4. In der vierten Reihe stehen \(12+14=26\) und \(14+12=26\). 5. An der Spitze steht \(26+26=52\).

Unterste Reihe: \(2\), \(3\), \(4\), \(3\), \(2\) Zweite Reihe: \(5\), \(7\), \(7\), \(5\) Dritte Reihe: \(12\), \(14\), \(12\) Vierte Reihe: \(26\), \(26\) Spitze: \(52\)

- Addiere die Zahlen in der untersten Reihe paarweise, um die nächste Ebene zu füllen. - Überprüfe deine Rechnungen am Ende noch einmal.

1. In der zweiten Reihe stehen \(100+50=150\), \(50+120=170\) und \(120+130=250\). 2. In der dritten Reihe stehen \(150+170=320\) und \(170+250=420\). 3. An der Spitze steht \(320+420=740\).

Die Zahlen in der zweiten Reihe sind \(150\), \(170\) und \(250\). In der dritten Reihe stehen \(320\) und \(420\). An der Spitze steht \(740\).

- Rechne beide Mauern sorgfältig bis zur Spitze aus. - Vergleiche die beiden Zahlen ganz oben.

1. Mauer 1: \(200+100=300\), \(100+200=300\). An der Spitze steht \(300+300=600\). 2. Mauer 2: \(220+90=310\), \(90+200=290\). An der Spitze steht \(310+290=600\). 3. In beiden Mauern steht oben \(600\).

Mauer 1: mittlere Reihe \(300, 300\); Spitze \(600\). Mauer 2: mittlere Reihe \(310, 290\); Spitze \(600\). Beide Mauern haben an der Spitze dieselbe Zahl.

- Beginne direkt über der untersten Reihe. Dort kennst du jeweils beide Zahlen. - Achte gut auf die Reihenfolge: links minus rechts. - Rechne so Reihe für Reihe bis zur Spitze.

1. In der zweiten Reihe stehen \(60-25=35\), \(25-10=15\) und \(10-2=8\). 2. In der dritten Reihe stehen \(35-15=20\) und \(15-8=7\). 3. An der Spitze steht \(20-7=13\).

Die Mauer enthält von unten nach oben die Zahlen: - Reihe 2: \(35, 15, 8\) - Reihe 3: \(20, 7\) - Spitze: \(13\)

- Suche eine Stelle, an der von drei zusammengehörigen Steinen schon zwei Zahlen bekannt sind. - Frage dich: Welche Zahl muss links unten stehen, damit beim Minusrechnen die Zahl darüber herauskommt? - Manchmal hilft dabei eine passende Plusaufgabe.

1. Unten in der Mitte fehlt \(23+12=35\), denn \(35-12=23\). 2. Links in der mittleren Reihe steht \(78-35=43\). 3. Ganz oben steht \(43-23=20\).

Die fehlenden Zahlen sind: in der untersten Reihe die \(35\), in der mittleren Reihe die \(43\) und ganz oben die \(20\).

- Beginne mit der zweiten Reihe. - Nutze dein Einmaleins. Bei einer Aufgabe mit \(5\) kannst du an die Fünferreihe denken. - Sind die beiden Steine der zweiten Reihe fertig, fehlt nur noch die Spitze.

1. Links in der zweiten Reihe steht \(2\cdot5=10\). 2. Rechts in der zweiten Reihe steht \(5\cdot8=40\). 3. An der Spitze steht \(10\cdot40=400\).

In der zweiten Reihe stehen die Zahlen \(10\) und \(40\). An der Spitze steht \(400\).

- Suche zuerst drei zusammengehörige Steine, bei denen schon zwei Zahlen bekannt sind. - Wenn unten eine Zahl fehlt, kann dir eine Plusaufgabe helfen. - Nutze jede neu gefundene Zahl gleich für den nächsten Schritt.

1. Unten links fehlt \(70+50=120\), denn \(120-50=70\). 2. Rechts in der mittleren Reihe fehlt \(70-40=30\). 3. Unten rechts fehlt \(50-30=20\).

In der untersten Reihe stehen die Zahlen \(120, 50\) und \(20\). In der mittleren Reihe stehen \(70\) und \(30\).

- Berechne zuerst jede Seitensumme aus den beiden angrenzenden Ecken. - Beim Ordnen kannst du zuerst die Hunderter vergleichen. - Prüfe, ob die größte Seitensumme zu den beiden größten Eckzahlen gehört.

1. \(125 + 230 = 355\). 2. \(230 + 145 = 375\). 3. \(145 + 125 = 270\). 4. Geordnet gilt \(270 < 355 < 375\).

Die Seitensummen sind \(355\), \(375\) und \(270\). Von klein nach groß: \(270, 355, 375\).

- Vergleiche nicht nur die Ergebnisse, sondern auch die Summanden an den Seiten. - Welche Eckzahlen kommen doppelt vor? - Gleich zusammengesetzte Summen müssen denselben Wert haben.

1. Zwischen den beiden Ecken mit \(150\) steht \(150+150=300\). 2. An den beiden anderen Seiten steht jeweils \(150+80=230\). 3. Beide Seitensummen sind gleich, weil bei beiden dieselben zwei Eckzahlen addiert werden.

Die Seitensummen sind \(300\), \(230\) und \(230\). Zwei davon sind gleich, weil sie jeweils aus \(150 + 80\) entstehen.

- Was geschieht mit einer Zahl, wenn du \(0\) addierst? - Zwei der drei Seiten grenzen an die Ecke mit \(0\). - Die dritte Seite verbindet die beiden von Null verschiedenen Ecken.

1. \(0 + 180 = 180\). 2. \(180 + 250 = 430\). 3. \(250 + 0 = 250\). 4. An den beiden Seiten mit der Null bleibt jeweils die andere Eckzahl unverändert, weil das Addieren von \(0\) den Wert nicht ändert.

Die Seitensummen sind \(180\), \(430\) und \(250\). An den beiden Seiten mit der Null ist die Seitensumme jeweils gleich der anderen Eckzahl.

- Lies zuerst die Lage der eingetragenen Seitensumme im Bild ab. - Eine Seitensumme gehört immer genau zu den beiden Ecken an dieser Seite. - Erst danach brauchst du die beiden noch leeren Seiten.

1. Die eingetragene \(27\) liegt zwischen den Ecken \(7\) und \(20\); tatsächlich gilt \(7 + 20 = 27\). 2. Unten gilt \(20 + 13 = 33\). 3. Links gilt \(13 + 7 = 20\).

Zur \(27\) gehören die Eckzahlen \(7\) und \(20\). Die beiden fehlenden Seitensummen sind \(33\) und \(20\).

- Prüfe nicht nur die Zahl, sondern auch, welche beiden Ecken an der markierten Seite liegen. - Eine richtige Summe kann trotzdem an der falschen Seite stehen. - Nutze die Lage im Dreieck für die Korrektur.

1. An der linken Seite liegen die Ecken \(100\) und \(150\). Dort muss \(100 + 150 = 250\) stehen. 2. Die \(400\) gehört zur unteren Seite, denn \(250 + 150 = 400\). 3. Oben rechts gilt \(100 + 250 = 350\).

Die \(400\) steht an der falschen Seite. Links muss \(250\) stehen; unten gehört die \(400\) hin. Oben rechts ist die Seitensumme \(350\).

- Welche zwei Eckzahlen sind am größten? - Die Seitensumme einer Seite hängt nur von ihren beiden angrenzenden Ecken ab. - Rechne anschließend alle drei Summen aus, um deine Vorhersage zu prüfen.

1. Die beiden größten Eckzahlen sind \(320\) und \(180\). Ihre gemeinsame Seite muss daher die größte Seitensumme tragen. 2. \(320 + 180 = 500\). 3. \(180 + 50 = 230\) und \(50 + 320 = 370\).

Die Seite zwischen den Eckzahlen \(320\) und \(180\) ist die größte; ihre Summe ist \(500\). Die anderen Seitensummen sind \(230\) und \(370\).

- Beachte, dass \(99\) und \(101\) gleich weit von \(100\) entfernt sind. - Berechne jede Seite mit ihren beiden Eckzahlen. - Vergleiche die Ergebnisse anschließend mit \(200\) und \(300\).

1. \(99 + 101 = 200\). 2. \(101 + 200 = 301\). 3. \(200 + 99 = 299\).

Die Seitensummen sind \(200\), \(301\) und \(299\). Genau \(200\) entsteht aus \(99 + 101\); \(299\) liegt knapp unter und \(301\) knapp über \(300\).

- Welche Ecke kommt in beiden verglichenen Seitensummen vor? - Was bleibt für den Unterschied übrig, wenn derselbe Summand auf beiden Seiten vorkommt?

1. Beide verglichenen Seiten enthalten die obere Ecke \(240\). 2. Deshalb entscheidet nur der Unterschied der beiden unteren Ecken über den Unterschied der Seitensummen. 3. \(160 - 100 = 60\). Die obere rechte Seitensumme ist um \(60\) größer.

Die obere rechte Seitensumme ist um \(60\) größer.

- Welche Zahl wird in beiden Seitensummen mitgerechnet? - Was ist bei beiden Rechnungen gleich? - Du musst die beiden fehlenden Ecken nicht einzeln ausrechnen.

1. In beiden Seitensummen wird die obere \(120\) mitgerechnet. 2. Deshalb ist der Unterschied der beiden Seitensummen genauso groß wie der Unterschied der beiden unteren Ecken. 3. \(300-200=100\). Die rechte untere Ecke ist um \(100\) größer.

Die rechte untere Ecke ist um \(100\) größer als die linke untere Ecke.

- In beiden oberen Seitensummen steckt dieselbe obere Ecke. - Welche der drei Rechnungen entfernt diese gemeinsame Ecke aus beiden Seiten und addiert anschließend die beiden unteren Ecken?

1. Von jeder oberen Seitensumme muss die gemeinsame obere Ecke \(230\) abgezogen werden. So erhält man die beiden unteren Ecken. 2. Deshalb passt Rechnung b): \((500 - 230) + (430 - 230) = 270 + 200 = 470\).

b) ist richtig. Die untere Seitensumme ist \(470\).

- Verfolge die linke Seite im Bild von einem Endpunkt zum anderen. - Welche der beiden sichtbaren unteren Ecken liegt tatsächlich an dieser Seite? - Prüfe nach der Korrektur, ob deine obere Ecke zusammen mit der richtigen Nachbarecke \(425\) ergibt.

1. Die linke Seitensumme \(425\) liegt zwischen der oberen und der linken unteren Ecke. Die rechte untere Ecke \(275\) gehört nicht zu dieser Seite. 2. Deshalb gilt für die obere Ecke \(425 - 125 = 300\). 3. Die obere rechte Seitensumme ist \(300 + 275 = 575\).

Leon hat die nicht angrenzende Ecke \(275\) verwendet. Oben steht \(300\); die obere rechte Seitensumme ist \(575\).

- Welche beiden Ecken bilden die sichere Seitensumme \(500\)? - Prüfe Jonas Wert gegen diese Summe.

1. Die beiden unteren Ecken müssen zusammen \(500\) ergeben. 2. Daher ist die linke untere Ecke \(500 - 310 = 190\). 3. Jonas Wert \(210\) kann nicht stimmen.

Nein. Es gilt \(500 - 310 = 190\); links unten muss \(190\) stehen. Mit Jonas Wert wäre \(210 + 310 = 520\) statt \(500\).

- Setze den vorgeschlagenen Wert an jeder Seite mit der jeweils bekannten Nachbarecke zusammen. - Ein Wert ist nur dann bestätigt, wenn beide sichtbaren Seitensummen stimmen.

1. Oben rechts gilt \(230 + 120 = 350\). 2. Links gilt \(180 + 230 = 410\). 3. Der Wert \(230\) passt zu beiden Seitensummen.

Ja. Es gilt \(230 + 120 = 350\) und \(180 + 230 = 410\). Die obere Eckzahl \(230\) passt zu beiden sichtbaren Seitensummen.

- Suche eine sichtbare Seite, an der die fehlende Ecke und eine bekannte Ecke liegen. - Reicht dort die Seitensumme zusammen mit der bekannten Ecke bereits aus?

1. Nein, eine der beiden Seitensummen genügt zusammen mit der jeweils bekannten Nachbarecke. 2. Zum Beispiel: \(470 - 250 = 220\). 3. Alternativ ergibt auch \(380 - 160 = 220\).

Nein. Eine Seitensumme genügt. Zum Beispiel gilt \(470 - 250 = 220\); die fehlende rechte untere Ecke ist \(220\). Alternativ führt \(380 - 160 = 220\) zum selben Ergebnis.

- Nutze die Umkehraufgabe zur Addition an der Seite mit \(600\). - Vergleiche danach die beiden Eckzahlen direkt. - Für „um wie viel“ brauchst du ihren Unterschied.

1. Aus \(\square + 245 = 600\) folgt \(\square = 355\). 2. \(355 > 245\). 3. Der Unterschied ist \(355 - 245 = 110\).

Die fehlende Eckzahl ist \(355\). Sie ist um \(110\) größer als \(245\).

- Was verändert sich beim Addieren von \(0\)? - Die gegebene Seitensumme liegt direkt zwischen \(0\) und der gesuchten Ecke. - Nutze die gefundene Ecke anschließend für die untere Seite.

1. Aus \(0 + \square = 180\) folgt \(\square = 180\). 2. Unten gilt \(180 + 320 = 500\). 3. Links gilt \(320 + 0 = 320\). 4. An einer Seite mit der Ecke \(0\) ist die Seitensumme gleich der jeweils anderen Eckzahl.

Die fehlende rechte untere Eckzahl ist \(180\). Die untere Seitensumme ist \(500\), die linke Seitensumme \(320\). Die Null verändert beim Addieren nichts; deshalb ist an jeder Seite mit der Ecke \(0\) die Seitensumme gleich der anderen Eckzahl.

- Vergleiche, welche Ecke die obere rechte und die linke Seite gemeinsam haben. - Welche bekannte untere Ecke fällt beim Wechsel von einer Seite zur anderen weg, welche kommt hinzu? - So kannst du direkt von einer Seitensumme zur anderen gelangen.

1. In der oberen rechten Seitensumme \(470\) steckt neben der oberen Ecke die rechte untere Ecke \(200\). 2. Für die linke Seite wird diese \(200\) durch die linke untere Ecke \(150\) ersetzt. 3. Daher ist die linke Seitensumme \(470 - 200 + 150 = 420\).

Von der oberen rechten Seitensumme wird die rechte untere Ecke entfernt und die linke untere Ecke ergänzt: \(470 - 200 + 150 = 420\). Die fehlende linke Seitensumme ist \(420\).

- Beginne an der oberen rechten Seite mit genau einer unbekannten Ecke. - Verwende die gefundene Ecke anschließend für die Unterseite. - Die linke Seite kann unabhängig überprüft werden.

1. Aus \(125 + \square = 350\) folgt für die rechte untere Ecke \(225\). 2. Die untere Seitensumme ist \(225 + 275 = 500\). 3. Die linke Seitensumme passt, denn \(275 + 125 = 400\).

Die fehlende Eckzahl ist \(225\). Die fehlende untere Seitensumme ist \(500\). Kontrolle: \(275 + 125 = 400\), also stimmt die eingetragene linke Seitensumme.

- Welche Gesamtsumme sollen alle drei Seiten zusammen haben? - Fasse zuerst die beiden bekannten Seitensummen zusammen und ergänze auf die Gesamtsumme.

1. Die beiden bekannten Seitensummen ergeben \(320 + 280 = 600\). 2. Bis zur Gesamtsumme \(840\) fehlen \(840 - 600 = 240\). 3. Die fehlende Seitensumme ist \(240\).

Die fehlende Seitensumme ist \(240\).

- Betrachte die Einerstellen der drei Eckzahlen. - Welche Einerstelle entsteht beim Addieren zweier Zahlen mit Einerstelle \(0\)? - Übertrage diese Beobachtung auf jede der drei Seiten.

1. \(140 + 230 = 370\). 2. \(230 + 310 = 540\). 3. \(310 + 140 = 450\). 4. Beim Addieren zweier Vielfacher von \(10\) entsteht wieder ein Vielfaches von \(10\). Deshalb gilt das für jede Seite.

Die Seitensummen sind \(370\), \(540\) und \(450\). Jede Eckzahl hat die Einerstelle \(0\); beim Addieren zweier solcher Zahlen entsteht wieder eine Zahl mit Einerstelle \(0\). Deshalb ist jede Seitensumme ein Vielfaches von \(10\).

- Für die vorgegebene Seite brauchst du zwei Eckzahlen mit der Summe \(300\). - Die dritte Ecke darfst du innerhalb der Bedingung selbst wählen. - Berechne danach die beiden übrigen Seitensummen.

1. Eine mögliche Wahl ist oben \(100\) und rechts unten \(200\). Dann ist die obere rechte Seitensumme \(100 + 200 = 300\). 2. Als linke untere Ecke kann zum Beispiel \(150\) gewählt werden. 3. Dann gilt unten \(200 + 150 = 350\) und links \(150 + 100 = 250\).

Eine mögliche Lösung ist: oben \(100\), rechts unten \(200\), links unten \(150\); oben rechts \(300\), unten \(350\), links \(250\). Andere passende Eckzahlen sind möglich.

- Prüfe jede eingetragene Seite unabhängig mit ihren beiden Eckzahlen. - Es ist genau ein Eintrag fehlerhaft. - Ändere nur den Wert, dessen zugehörige Addition nicht stimmt.

1. Oben und rechts: \(100 + 200 = 300\). Die eingetragene \(350\) ist falsch. 2. Unten: \(200 + 300 = 500\) stimmt. 3. Links: \(300 + 100 = 400\) stimmt.

Falsch ist die Seitensumme \(350\). Richtig ist dort \(300\).

- Markiere gedanklich die beiden Seiten, die an der veränderten Ecke liegen. - Eine Seite ohne veränderte Eckzahl kann ihren Wert nicht ändern. - Prüfe die Veränderung anschließend durch vollständiges Berechnen beider Dreiecke.

1. In a) sind die Seitensummen \(100 + 150 = 250\), \(150 + 200 = 350\) und \(200 + 100 = 300\). 2. In b) sind sie \(150 + 150 = 300\), \(150 + 200 = 350\) und \(200 + 150 = 350\). 3. Die beiden Seiten an der oberen Ecke werden jeweils um \(50\) größer. Die untere Seite bleibt unverändert, weil ihre beiden Ecken gleich bleiben.

Die obere rechte und die linke Seitensumme steigen jeweils um \(50\); die untere Seitensumme bleibt gleich. Kontrolle: In a) sind die Seitensummen \(250\), \(350\) und \(300\); in b) sind sie \(300\), \(350\) und \(350\).

- Wie viele Eckzahlen stecken in einer Seitensumme? - Welche Änderung trägt jede dieser beiden Ecken bei?

1. Jede Seitensumme besteht aus zwei Eckzahlen. 2. Beide beteiligten Eckzahlen wachsen um \(20\). 3. Daher wächst jede Seitensumme um \(20 + 20 = 40\).

Jede Seitensumme wächst um \(40\).

- Beginne mit dem mittleren Stein der zweiten Reihe und dem bekannten Stein \(9\) direkt darunter. - Du kannst einen fehlenden Stein in einer unteren Reihe berechnen, indem du die bekannte Zahl von der Zahl im Stein darüber abziehst. - Arbeite anschließend von links nach rechts und nutze den Deckstein, um rückwärts zu rechnen.

1. Unterste Reihe, zweiter Stein: \(21-9=12\). 2. Zweite Reihe links: \(4+12=16\). 3. Dritte Reihe links: \(16+21=37\). 4. Dritte Reihe rechts: \(70-37=33\). 5. Zweite Reihe rechts: \(33-21=12\). 6. Unterste Reihe rechts: \(12-9=3\).

Der zweite Stein von links in der untersten Reihe hat den Wert \(12\). Der vierte Stein von links (ganz rechts) in der untersten Reihe hat den Wert \(3\).

- Suche zuerst nach einer Stelle in der Mauer, bei der dir nur eine Zahl in einer Dreiergruppe aus zwei unteren Steinen und einem oberen Stein fehlt. - Schau dir den mittleren Stein der zweiten Reihe (\(230\)) an: Welche Zahl muss links neben \(90\) stehen? - Nutze gefundene Zahlen, um die angrenzenden Steine zu berechnen. - Wenn du eine Reihe nach oben gehst, addierst du die beiden Steine darunter. Wenn du nach unten gehst, subtrahierst du. - Mache am Ende eine Probe, ob alle Steine das richtige Ergebnis liefern, wenn du sie von unten nach oben zusammenzählst.

1. Bestimme den zweiten Stein der untersten Reihe: Da der Stein darüber in der zweiten Reihe \(230\) ist und der rechte Stein darunter in der untersten Reihe \(90\) ist, rechnen wir: \(230 - 90 = 140\). 2. Berechne den ersten Stein der zweiten Reihe aus den darunterliegenden Steinen \(110\) und \(140\): \(110 + 140 = 250\). 3. Bestimme den dritten Stein der zweiten Reihe: Da der Stein darüber in der dritten Reihe \(490\) ist und der linke Stein darunter in der zweiten Reihe \(230\) ist, rechnen wir: \(490 - 230 = 260\). 4. Bestimme den vierten Stein der untersten Reihe: Da der Stein darüber in der zweiten Reihe \(260\) ist und der linke Stein darunter in der untersten Reihe \(90\) ist, rechnen wir: \(260 - 90 = 170\). 5. Berechne den ersten Stein der dritten Reihe aus den darunterliegenden Steinen \(250\) und \(230\): \(250 + 230 = 480\). 6. Berechne den obersten Stein aus den darunterliegenden Steinen \(480\) und \(490\): \(480 + 490 = 970\).

Die ausgefüllte Zahlenmauer lautet von unten nach oben: - Unterste Reihe: \(110\), \(140\), \(90\), \(170\) - Zweite Reihe: \(250\), \(230\), \(260\) - Dritte Reihe: \(480\), \(490\) - Oberste Reihe: \(970\)

- In wie viele Steine der zweiten Reihe geht die mittlere Zahl unten ein? - Wenn du die mittlere Zahl um \(1\) erhöhst, um wie viel wächst dann die Spitze? - Wie viel fehlt von \(560\) bis \(600\)?

1. Mit den Grundsteinen \(120, 140, 160\) entsteht in der zweiten Reihe \(120+140=260\) und \(140+160=300\). An der Spitze steht \(260+300=560\). 2. Bis \(600\) fehlen \(40\). 3. Der mittlere Grundstein gehört zu beiden Steinen der zweiten Reihe. Wird er um \(1\) größer, wird die Spitze um \(2\) größer. Deshalb muss er um \(40:2=20\) wachsen. 4. Der neue mittlere Stein ist \(140+20=160\). 5. Probe: \(120+160=280\), \(160+160=320\), \(280+320=600\).

Der mittlere Stein muss um \(20\) erhöht werden. Die neue Zahl im mittleren Stein ist \(160\).

- Untersuche für jede Mauer zuerst den Beitrag der beiden äußeren Grundsteine zur Spitze. - Verfolge, wie der mittlere Grundstein über die beiden Steine der zweiten Reihe zur Spitze beiträgt. - Prüfe, ob der verbleibende Beitrag zu einer Zahl ab 0 in der Mitte führen kann.

1. Mauer a): \(80-10-20=50\). Der mittlere Grundstein zählt für die Spitze zweimal, also ist er \(50:2=25\). In der zweiten Reihe stehen \(35\) und \(45\). Die Mauer ist lösbar. 2. Mauer b): Die äußeren Grundsteine ergeben schon \(45+40=85\). Das ist mehr als die Spitze \(80\). Mit Zahlen ab \(0\) ist die Mauer nicht lösbar. 3. Mauer c): \(80-25-25=30\). Der mittlere Grundstein ist \(30:2=15\). In der zweiten Reihe stehen \(40\) und \(40\). Die Mauer ist lösbar. 4. Mauer d): Die äußeren Grundsteine ergeben schon \(41+42=83\). Das ist mehr als die Spitze \(80\). Mit Zahlen ab \(0\) ist die Mauer nicht lösbar.

Lösbar sind a) und c). a) Mittelstein \(25\); zweite Reihe \(35\), \(45\). c) Mittelstein \(15\); zweite Reihe \(40\), \(40\). b) und d) sind nicht lösbar, weil die äußeren Grundsteine zusammen bereits mehr als \(80\) ergeben.

- Überlege, welchen Beitrag die beiden äußeren Grundsteine zur Spitze leisten. - Untersuche, wie sich eine Veränderung des mittleren Grundsteins auf die beiden Steine darüber auswirkt. - Prüfe einen vermuteten Mittelstein, indem du die Mauer nach oben ausrechnest.

1. Mauer a): Ziehe die beiden äußeren Grundsteine von der Spitze ab: \(950-200-250=500\). Der mittlere Grundstein zählt zweimal, also ist er \(500:2=250\). 2. Mauer b): \(666-111-111=444\). Der mittlere Grundstein ist \(444:2=222\).

Mauer a): Der mittlere Stein ist \(250\). Mauer b): Der mittlere Stein ist \(222\).

- Suche zuerst drei zusammengehörige Steine, bei denen nur eine Zahl fehlt. - Meist rechnest du nach oben mit Plus; an einer Stelle musst du mit Minus zurückrechnen.

1. Unten fehlt \(150-80=70\). 2. In der zweiten Reihe stehen außerdem \(50+70=120\) und \(80+60=140\). 3. In der dritten Reihe stehen \(120+150=270\) und \(150+140=290\). 4. An der Spitze steht \(270+290=560\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(50\), \(70\), \(80\), \(60\) - Zweite Reihe: \(120\), \(150\), \(140\) - Dritte Reihe: \(270\), \(290\) - Spitze: \(560\)

- Beginne dort, wo du bei drei zusammengehörigen Steinen schon zwei Zahlen kennst. - Manchmal musst du zuerst eine Zahl weiter oben finden, um eine Lücke darunter zu schließen.

1. Unten fehlt \(90-30=60\). 2. In der zweiten Reihe stehen außerdem \(40+60=100\) und \(170-90=80\). 3. Ganz rechts unten steht \(80-30=50\). 4. Links in der dritten Reihe steht \(100+90=190\). 5. An der Spitze steht \(190+170=360\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(40\), \(60\), \(30\), \(50\) - Zweite Reihe: \(100\), \(90\), \(80\) - Dritte Reihe: \(190\), \(170\) - Spitze: \(360\)

- Siehst du ein Muster in den vorgegebenen Zahlen? - Wenn in einer Reihe gleiche Zahlen entstehen, was bedeutet das für die nächste Reihe?

1. Unten fehlen zweimal \(150-50=100\). Die unterste Reihe lautet also \(100, 50, 100, 50\). 2. In der zweiten Reihe steht in der Mitte \(50+100=150\). Damit stehen dort dreimal \(150\). 3. In der dritten Reihe stehen zweimal \(150+150=300\). 4. An der Spitze steht \(300+300=600\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(100\), \(50\), \(100\), \(50\) - Zweite Reihe: \(150\), \(150\), \(150\) - Dritte Reihe: \(300\), \(300\) - Spitze: \(600\)

- Beginne mit dem mittleren Stein der zweiten Reihe und dem bekannten Stein \(150\) direkt darunter. - Nutze danach die Grundsteine, um die zweite Reihe zu vervollständigen. - Rechne anschließend Reihe für Reihe nach oben.

1. Zuerst wird der fehlende Stein in der untersten Reihe berechnet: \(250 - 150 = 100\). 2. Der linke Stein in der zweiten Reihe ist \(50 + 100 = 150\). 3. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(150 + 80 = 230\). 4. Die dritte Reihe lautet \(150 + 250 = 400\) und \(250 + 230 = 480\). 5. Die Spitze ist \(400 + 480 = 880\).

Die Mauer wird wie folgt ausgefüllt: Unterste Reihe: \(50, 100, 150, 80\) Zweite Reihe: \(150, 250, 230\) Dritte Reihe: \(400, 480\) Spitze: \(880\)

- Schau dir die unterste Reihe genau an. Fällt dir eine Regelmäßigkeit auf? - Rechne von unten nach oben, indem du immer zwei Nachbarsteine addierst. - Was passiert in den höheren Reihen, wenn sich Zahlen unten wiederholen?

1. Der zweite Grundstein ist \(250 - 100 = 150\). 2. Der linke Stein der zweiten Reihe ist \(100 + 150 = 250\). Damit ergibt sich links in der dritten Reihe \(250 + 250 = 500\). 3. Der rechte Stein der dritten Reihe ist \(1000 - 500 = 500\). 4. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(500 - 250 = 250\). 5. Der vierte Grundstein ist \(250 - 100 = 150\). 6. Die unterste Reihe folgt somit dem Muster \(100\), \(150\), \(100\), \(150\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(100\), \(150\), \(100\), \(150\) - Zweite Reihe: \(250\), \(250\), \(250\) - Dritte Reihe: \(500\), \(500\) - Spitze: \(1000\)

- Fällt dir ein Muster in der untersten Reihe auf? - Sind die linke und die rechte Seite der Mauer ähnlich aufgebaut? - Rechne Reihe für Reihe von unten nach oben.

1. Unten links fehlt \(60-40=20\). 2. Im mittleren Stein \(120\) der dritten Reihe stecken die beiden bekannten \(40\) jeweils einmal und der mittlere Grundstein zweimal. Es bleiben \(120-40-40=40\), also ist der mittlere Grundstein \(40:2=20\). 3. Rechts daneben in der zweiten Reihe steht \(20+40=60\). 4. Rechts in der dritten Reihe steht \(240-120=120\). Deshalb steht rechts in der zweiten Reihe \(120-60=60\) und unten rechts \(60-40=20\). 5. Links in der dritten Reihe steht \(60+60=120\). In der vierten Reihe stehen zweimal \(120+120=240\), und an der Spitze steht \(240+240=480\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(20\), \(40\), \(20\), \(40\), \(20\) - Zweite Reihe: viermal \(60\) - Dritte Reihe: dreimal \(120\) - Vierte Reihe: zweimal \(240\) - Spitze: \(480\)

- Beginne ganz unten und finde die fehlenden Steine durch Subtraktion. - Arbeite dich dann Stein für Stein nach oben. - Jede Zahl ist das Ergebnis der Plusaufgabe der beiden Steine darunter.

1. Unterste Reihe: Der zweite Stein ist \(7 - 4 = 3\), der vierte Stein ist \(7 - 5 = 2\). Die Reihe lautet \(2\), \(3\), \(4\), \(2\), \(5\). 2. Zweite Reihe: \(2 + 3 = 5\) und \(4 + 2 = 6\). Die Reihe lautet \(5\), \(7\), \(6\), \(7\). 3. Dritte Reihe: \(5 + 7 = 12\), \(7 + 6 = 13\), \(6 + 7 = 13\). Die Reihe lautet \(12\), \(13\), \(13\). 4. Vierte Reihe: \(12 + 13 = 25\) und \(13 + 13 = 26\). 5. Spitze: \(25 + 26 = 51\).

Unterste Reihe: \(2\), \(3\), \(4\), \(2\), \(5\) Zweite Reihe: \(5\), \(7\), \(6\), \(7\) Dritte Reihe: \(12\), \(13\), \(13\) Vierte Reihe: \(25\), \(26\) Spitze: \(51\)

- Berechne für beide Mauern die Zahl ganz oben. - Wie hängen die Zahlen in der untersten Reihe von Mauer b mit denen von Mauer a zusammen? - Gilt dieser Zusammenhang auch für die obersten Steine?

1. Mauer a): \(10 + 25 = 35\), \(25 + 15 = 40\), oben \(35 + 40 = 75\). 2. Mauer b): \(20 + 50 = 70\), \(50 + 30 = 80\), oben \(70 + 80 = 150\). 3. \(150 = 2 \cdot 75\). Die Zahl an der Spitze hat sich also ebenfalls verdoppelt.

Wenn man alle Grundsteine verdoppelt, verdoppelt sich auch die Zahl an der Spitze.

- Wie viel fehlt dir noch bis zum neuen Zielstein? - Überlege dir: Wenn du jeden Stein unten um \(1\) erhöhst, um wie viel wächst die Spitze? - Probiere systematisch aus, um wie viel du die untere Reihe anheben musst.

1. Von \(25\) bis \(45\) fehlen \(20\). 2. Erhöhst du jeden Grundstein um \(1\), steigt die Spitze um \(4\), weil der mittlere Grundstein zweimal zählt: \(1+2\cdot1+1=4\). 3. Deshalb rechnest du \(20:4=5\). Jeder Grundstein muss um \(5\) erhöht werden. 4. Probe: Die neuen Grundsteine sind \(10,12,11\). Dann gilt \(10+12=22\), \(12+11=23\) und \(22+23=45\).

Jeder Grundstein muss um \(5\) erhöht werden.

- Wie groß ist der Unterschied zwischen dem aktuellen Zielstein und \(800\)? - Wenn du alle Grundsteine um \(10\) erhöhst, wie stark ändert sich der Zielstein? Hilft dir das für die große Differenz?

1. Im Moment steht oben \(400\), am Ende sollen es \(800\) sein. Es fehlen also \(800-400=400\). 2. Erhöhst du jeden Grundstein um \(1\), steigt die Spitze um \(4\). 3. Deshalb rechnest du \(400:4=100\). Jeder Grundstein muss um \(100\) erhöht werden. 4. Aus \(100\) wird jeweils \(100+100=200\).

Die neuen Grundsteine lauten alle \(200\).

- Fülle zuerst die ursprüngliche Zahlenmauer aus. - Erhöhe danach jeden Grundstein um \(2\) und berechne die neue Mauer. - Vergleiche die beiden Zahlen an der Spitze.

1. In der ursprünglichen Mauer stehen in der zweiten Reihe \(10\), \(10\), \(10\), danach \(20\), \(20\) und an der Spitze \(40\). 2. Erhöhst du jeden Grundstein um \(2\), stehen unten viermal \(7\). Darüber stehen \(14\), \(14\), \(14\), dann \(28\), \(28\) und an der Spitze \(56\). 3. Die Spitze steigt also um \(56-40=16\).

Die Zahl an der Spitze steigt um \(16\).

- Suche zuerst nach Steinen in der untersten Reihe, bei denen der Summenstein direkt darüber und der andere Grundstein bekannt sind. - Überprüfe deine Ergebnisse am Ende, indem du die Mauer noch einmal von unten nach oben zusammenrechnest.

1. Unten fehlt als zweiter Stein \(220-120=100\). 2. Unten rechts fehlt \(200-120=80\). 3. Links in der zweiten Reihe steht \(150+100=250\). 4. In der dritten Reihe stehen \(250+220=470\) und \(220+200=420\). 5. An der Spitze steht \(470+420=890\).

Die unterste Reihe lautet von links nach rechts: \(150\), \(100\), \(120\), \(80\). Die zweite Reihe: \(250\), \(220\), \(200\). Die dritte Reihe: \(470\), \(420\). Der oberste Stein ist \(890\).

- Schau, wo die mittlere \(40\) auf dem Weg nach oben überall mitgerechnet wird. - Was müssen die beiden äußeren Grundsteine zusammen noch beitragen? - Probier ein passendes Zahlenpaar und rechne die Mauer zur Probe nach oben.

1. Die mittlere \(40\) wird in beiden Steinen darüber mitgerechnet. Deshalb kommen von ihr oben zweimal \(40\), also \(80\), an. 2. Bis \(100\) fehlen noch \(20\). Die beiden äußeren Grundsteine müssen zusammen \(20\) ergeben. 3. Eine Möglichkeit ist \(12+8=20\). Dann lautet die Grundreihe \(12\), \(40\), \(8\).

Eine mögliche Grundreihe ist \(12\), \(40\), \(8\). Auch andere äußere Zahlen mit Summe \(20\) sind möglich.

- Nutze die Bedingung, dass alle drei Grundsteine gleich sind. - Überlege anhand eines einfachen Probe-Werts, wie sich derselbe Grundwert bis zur Spitze vervielfacht. - Übertrage dieses Muster auf die vorgegebene Spitze.

1. Sind alle drei Grundsteine gleich, sind auch die beiden Steine darüber gleich. 2. Steht unten dreimal \(1\), steht darüber zweimal \(2\) und ganz oben \(4\). 3. Deshalb rechnest du \(44:4=11\). Unten steht dreimal \(11\), darüber zweimal \(22\).

Unterste Reihe: \(11\), \(11\), \(11\). Zweite Reihe: \(22\), \(22\). Spitze: \(44\).

- Rechne die zweite Mauer bis ganz nach oben. - Vergleiche die beiden Spitzenzahlen. - Schau, durch welche Steine die Änderung ganz links nach oben weitergeht.

1. In Mauer a) steht oben \(500\). 2. In Mauer b) stehen in der zweiten Reihe \(160\), \(100\), \(150\). 3. In der dritten Reihe stehen \(260\), \(250\). 4. Oben steht \(260+250=510\). 5. Weil \(510-500=10\), hat Max recht.

Mauer b): zweite Reihe \(160, 100, 150\); dritte Reihe \(260, 250\); Spitze \(510\). Damit ist die Spitze genau um \(10\) größer als in Mauer a). Max hat recht.

- Beginne bei einem gegebenen Stein, unter dem genau ein Grundstein fehlt. - Nutze dort die Umkehraufgabe zur Addition. - Arbeite danach Reihe für Reihe nach oben weiter.

1. Unten fehlt neben der \(8\) die Zahl \(14-8=6\). 2. In der zweiten Reihe stehen außerdem \(6+7=13\) und \(7+10=17\). 3. In der dritten Reihe stehen \(14+13=27\) und \(13+17=30\). 4. An der Spitze steht \(27+30=57\).

Unterste Reihe: fehlender Stein \(6\). Zweite Reihe: \(13\) und \(17\). Dritte Reihe: \(27\) und \(30\). Spitze: \(57\).

- Berechne beide Mauern vollständig von unten nach oben. - Vergleiche danach die beiden Zahlen an der Spitze. - Wie oft wird die veränderte Zahl unten auf dem Weg nach oben mitgerechnet?

1. Mauer a): zweite Reihe \(20, 20, 20\); dritte Reihe \(40, 40\); Spitze \(80\). 2. Mauer b): zweite Reihe \(21, 21, 20\); dritte Reihe \(42, 41\); Spitze \(83\). 3. Die Zahl an der Spitze steigt um \(83-80=3\).

Mauer a): zweite Reihe \(20, 20, 20\); dritte Reihe \(40, 40\); Spitze \(80\). Mauer b): zweite Reihe \(21, 21, 20\); dritte Reihe \(42, 41\); Spitze \(83\). Die Zahl an der Spitze steigt um \(3\), wenn der zweite Grundstein um \(1\) erhöht wird.

- Beginne bei dem Stein mit der \(100\) und schau auf die Steine darunter. - Vergleiche die bekannte linke und rechte Seite der Grundreihe. Was fällt dir auf? - Nutze dieses Muster und arbeite danach nach oben und unten weiter.

1. Links und rechts ist die unterste Reihe gleich aufgebaut. Deshalb sind auch die Steine darüber links und rechts gleich. 2. Die beiden Steine direkt unter der \(100\) sind gleich groß. Zusammen ergeben sie \(100\), also ist jeder \(50\). 3. Der mittlere Grundstein ist \(50-20=30\). Die Grundreihe lautet \(10\), \(20\), \(30\), \(20\), \(10\). 4. Die zweite Reihe lautet \(30\), \(50\), \(50\), \(30\), die dritte Reihe \(80\), \(100\), \(80\), die vierte Reihe \(180\), \(180\). 5. An der Spitze steht \(180+180=360\).

Unterste Reihe: \(10\), \(20\), \(30\), \(20\), \(10\) Zweite Reihe: \(30\), \(50\), \(50\), \(30\) Dritte Reihe: \(80\), \(100\), \(80\) Vierte Reihe: \(180\), \(180\) Spitze: \(360\)

- Kannst du eine Zahl in der untersten Reihe finden, indem du von der zweiten Reihe aus rückwärts rechnest? - Wenn du die dritte Reihe kennst, kannst du die Spitze berechnen – oder umgekehrt von der Spitze nach unten rechnen!

1. Berechne den zweiten Stein von links in der untersten Reihe: Da der Stein darüber in der zweiten Reihe \(20\) ist und der rechte Stein darunter \(12\), rechnen wir \(20 - 12 = 8\). 2. Berechne den ersten Stein in der zweiten Reihe: \(5 + 8 = 13\). 3. Berechne den linken Stein in der dritten Reihe: \(13 + 20 = 33\). 4. Berechne den rechten Stein in der dritten Reihe: Da die Spitze \(72\) ist, rechnen wir \(72 - 33 = 39\). 5. Berechne den rechten Stein in der zweiten Reihe: \(39 - 20 = 19\). 6. Berechne den letzten Stein in der untersten Reihe: \(19 - 12 = 7\).

Die vollständig ausgefüllte Zahlenmauer lautet von unten nach oben: - Unterste Reihe: \(5\), \(8\), \(12\), \(7\) - Zweite Reihe: \(13\), \(20\), \(19\) - Dritte Reihe: \(33\), \(39\) - Spitze: \(72\)

- Kennst du einen oberen Stein und einen Stein darunter, kannst du den anderen mit Minus finden. - Prüfe deine Ergebnisse am Ende, indem du die ganze Mauer noch einmal von unten nach oben zusammenrechnest.

1. Unten als zweiter Stein steht \(110-50=60\). 2. Links in der zweiten Reihe steht \(40+60=100\). 3. Links in der dritten Reihe steht \(100+110=210\). 4. Rechts in der dritten Reihe steht \(440-210=230\). 5. Rechts in der zweiten Reihe steht \(230-110=120\). 6. Unten rechts steht \(120-50=70\).

Die unterste Reihe ist \(40, 60, 50, 70\). Die weiteren Steine sind \(100, 110, 120\) (2. Reihe) und \(210, 230\) (3. Reihe).

- Du kannst von oben nach unten mit Minus rechnen. - Suche zuerst eine Stelle, an der du den oberen Stein und einen der beiden Steine darunter kennst.

1. Links in der mittleren Reihe fehlt \(750-420=330\). 2. Unten in der Mitte fehlt \(330-180=150\). 3. Unten rechts fehlt \(420-150=270\).

In der untersten Reihe fehlen die Zahlen \(150\) und \(270\). In der mittleren Reihe fehlt \(330\).

- Kombiniere Addition nach oben mit der passenden Umkehraufgabe nach unten. - Nutze zuerst Stellen, an denen nur eine Zahl fehlt. - Prüfe am Ende jede Reihe mit der Zahlenmauerregel.

1. Linker Stein der dritten Reihe: \(40-22=18\). 2. Mittlerer Stein der zweiten Reihe: \(18-8=10\). 3. Zweiter Grundstein: \(8-3=5\). 4. Dritter Grundstein: \(10-5=5\). 5. Rechter Stein der zweiten Reihe: \(22-10=12\). 6. Rechter Grundstein: \(12-5=7\).

Unterste Reihe: \(3\), \(5\), \(5\), \(7\). Zweite Reihe: \(8\), \(10\), \(12\). Dritte Reihe: \(18\), \(22\). Spitze: \(40\).

- Beginne bei der Lücke in der untersten Reihe und nutze den bekannten Stein darüber. - Wenn die Grundreihe vollständig ist, rechne die Mauer nach oben weiter. - Kontrolliere zuletzt auch den Spitzenstein.

1. Dritter Grundstein: \(270-150=120\). 2. Zweite Reihe links: \(100+150=250\). 3. Zweite Reihe rechts: \(120+80=200\). 4. Dritte Reihe: \(250+270=520\) und \(270+200=470\). 5. Spitzenstein: \(520+470=990\).

Unterste Reihe: fehlender Stein \(120\). Zweite Reihe: \(250\), \(270\), \(200\). Dritte Reihe: \(520\), \(470\). Spitze: \(990\).

- Beginne direkt über der untersten Reihe. - Rechne die Malaufgaben Reihe für Reihe nach oben. - Wenn du unsicher bist, prüfe eine Malaufgabe mit der passenden Geteiltaufgabe.

1. In der zweiten Reihe stehen \(2\cdot2=4\), \(2\cdot1=2\) und \(1\cdot3=3\). 2. In der dritten Reihe stehen \(4\cdot2=8\) und \(2\cdot3=6\). 3. An der Spitze steht \(8\cdot6=48\).

Die vervollständigte Mauer hat in der zweiten Reihe \(4, 2, 3\), in der dritten Reihe \(8, 6\) und an der Spitze die \(48\).

- Wenn ein oberer Stein und der rechte Stein darunter bekannt sind, nutze die Umkehraufgabe zur Subtraktion. - Arbeite zunächst von der Spitze zur Grundreihe zurück. - Kontrolliere anschließend alle Steine mit der angegebenen Mauerregel.

1. Linker Stein der zweiten Reihe: \(25+10=35\). 2. Linker Grundstein: \(35+15=50\). 3. Rechter Grundstein: \(15-10=5\).

Unterste Reihe: \(50\), \(15\), \(5\). Zweite Reihe: \(35\), \(10\). Spitze: \(25\).

- Wenn das Ergebnis oben steht, kannst du mit einer Geteiltaufgabe eine fehlende Zahl darunter finden. - Fange dort an, wo du von drei zusammengehörigen Steinen schon zwei Zahlen kennst. - Prüfe am Ende alle Malaufgaben von unten nach oben.

1. Links in der mittleren Reihe fehlt \(200:10=20\). 2. Unten in der Mitte fehlt \(20:4=5\). 3. Unten rechts fehlt \(10:5=2\).

In der untersten Reihe fehlen die \(5\) und die \(2\). In der mittleren Reihe fehlt die \(20\).

- Wenn unten eine Zahl fehlt, überlege, welche passende Plus- oder Minusaufgabe dir hilft. - Beginne an einer Stelle, an der schon zwei zusammengehörige Zahlen bekannt sind. - Prüfe am Ende jede Rechnung mit der Regel „links minus rechts“.

1. Unten als zweiter Stein steht \(95-75=20\). 2. In der zweiten Reihe fehlen \(20-10=10\) und \(10-5=5\). 3. In der dritten Reihe stehen \(75-10=65\) und \(10-5=5\). 4. An der Spitze steht \(65-5=60\).

Die vollständige Mauer lautet von unten nach oben: - Unterste Reihe: \(95, 20, 10, 5\) - Zweite Reihe: \(75, 10, 5\) - Dritte Reihe: \(65, 5\) - Spitze: \(60\)

- Nutze bei einem fehlenden unteren Faktor die Umkehraufgabe zur Multiplikation. - Vervollständige zuerst die Grundreihe und rechne dann nach oben weiter. - Kontrolliere jeden oberen Stein als Produkt seiner beiden Nachbarn darunter.

1. Zweiter Grundstein: \(4:2=2\). 2. Dritter Grundstein: \(2:2=1\). 3. Rechter Grundstein: \(2:1=2\). 4. Dritte Reihe: \(4\cdot2=8\) und \(2\cdot2=4\). 5. Spitze: \(8\cdot4=32\).

Unterste Reihe: \(2\), \(2\), \(1\), \(2\). Zweite Reihe: \(4\), \(2\), \(2\). Dritte Reihe: \(8\), \(4\). Spitze: \(32\).

- Rechne immer "links minus rechts", um den Stein darüber zu finden. - Gehe schrittweise von unten nach oben vor. - Achte darauf, dass die Zahlen nach oben hin kleiner werden.

1. Zweite Reihe: \( 200 - 80 = 120 \), \( 80 - 40 = 40 \), \( 40 - 20 = 20 \), \( 20 - 10 = 10 \). 2. Dritte Reihe: \( 120 - 40 = 80 \), \( 40 - 20 = 20 \), \( 20 - 10 = 10 \). 3. Vierte Reihe: \( 80 - 20 = 60 \), \( 20 - 10 = 10 \). 4. Spitze: \( 60 - 10 = 50 \).

Die Zahlen in den Reihen von unten nach oben sind: 1. Reihe: \( 200, 80, 40, 20, 10 \) 2. Reihe: \( 120, 40, 20, 10 \) 3. Reihe: \( 80, 20, 10 \) 4. Reihe: \( 60, 10 \) 5. Reihe (Spitze): \( 50 \)

- Beginne bei einer Stelle, an der zwei der drei zusammengehörigen Werte bekannt sind. - Nutze die passende Umkehraufgabe, wenn ein Grundstein fehlt. - Arbeite danach mit der Subtraktionsmauerregel nach oben weiter.

1. Rechter Grundstein: \(20-15=5\). 2. Linker Stein der zweiten Reihe: \(55-20=35\). 3. An der Spitze steht \(35-15=20\).

Unterste Reihe: fehlender Stein \(5\). Zweite Reihe: fehlender Stein \(35\). Spitze: \(20\).

- Wenn ein Faktor fehlt, nutze die passende Umkehraufgabe zur Multiplikation. - Beginne bei dem gegebenen Produkt in der zweiten Reihe. - Rechne nach dem Ergänzen der Grundreihe nach oben weiter.

1. Mittlerer Grundstein: \(15:3=5\). 2. Linker Stein der zweiten Reihe: \(2\cdot5=10\). 3. An der Spitze steht \(10\cdot15=150\).

Die fehlenden Zahlen sind \(5\) unten in der Mitte, \(10\) links in der zweiten Reihe und \(150\) an der Spitze.

- Finde die fehlenden Steine unten mit passenden Geteiltaufgaben. - Multipliziere zum Schluss die beiden Zahlen in der Mitte. - Prüfe, ob deine Zahlen unten wirklich die Produkte \(6\) und \(12\) ergeben.

1. Unten links fehlt \(6:3=2\). 2. Unten rechts fehlt \(12:3=4\). 3. An der Spitze steht \(6\cdot12=72\).

Die fehlenden Zahlen sind \(2\) (unten links), \(4\) (unten rechts) und \(72\) (oben).

- Berechne zuerst jede Seitensumme. - Wie oft wird jede Eckzahl in den drei Seitensummen mitgerechnet? - Vergleiche danach die beiden Ergebnisse.

1. Die Seitensummen sind \(125+175=300\), \(175+200=375\) und \(200+125=325\). 2. Zusammen ergeben sie \(300+375+325=1000\). 3. Die Eckzahlen ergeben \(125+175+200=500\). Das Doppelte davon ist \(1000\). 4. Beide Ergebnisse sind gleich, weil jede Eckzahl an zwei Seiten mitgerechnet wird.

Die Seitensummen sind \(300\), \(375\) und \(325\). Zusammen ergeben sie \(1000\). Die Eckzahlen ergeben zusammen \(500\); das Doppelte davon ist ebenfalls \(1000\).

- Welche Ecke kommt in beiden gegebenen Seitensummen vor? - Ziehe die kleinere Seitensumme von der größeren ab. Was sagt dir der Unterschied? - Vergleiche diesen Unterschied mit der bekannten oberen Ecke.

1. In beiden Seitensummen steckt dieselbe Zahl rechts unten. 2. Deshalb zeigt der Unterschied der beiden Seitensummen, wie viel größer die Zahl links unten als die obere Zahl ist: \(525 - 400 = 125\). 3. Die linke untere Ecke ist also \(175 + 125 = 300\).

In beiden Seitensummen steckt dieselbe Zahl rechts unten. Beim Vergleich fällt sie weg: \(525 - 400 = 125\). Also ist die linke untere Ecke \(175 + 125 = 300\).

- Wie oft wird jede Ecke mitgezählt, wenn du alle drei Seitensummen zusammenzählst? - So kannst du zuerst herausfinden, wie viel die drei Eckzahlen zusammen ergeben. - Die beiden unteren Eckzahlen kennst du schon.

1. In der Summe aller drei Seitensummen wird jede Ecke zweimal gezählt. Die drei Ecken haben daher zusammen die Summe \(900 : 2 = 450\). 2. Die beiden unteren Ecken ergeben \(220 + 130 = 350\). 3. Oben steht \(450 - 350 = 100\).

Jede Ecke wird in der Summe der drei Seitensummen zweimal gezählt. Daher ist die Summe der drei Ecken \(900 : 2 = 450\). Unten stehen zusammen \(220 + 130 = 350\), also ist die obere Eckzahl \(450 - 350 = 100\).

- Jede der beiden bekannten Seitensummen enthält die bekannte Ecke \(130\). - Rechne beide Additionen unabhängig rückwärts. - Wenn beide fehlenden Ecken feststehen, bleibt nur noch ihre gemeinsame Seite.

1. Aus \(\square + 130 = 300\) folgt für die obere Ecke \(170\). 2. Aus \(130 + \square = 420\) folgt für die linke untere Ecke \(290\). 3. Die letzte Seitensumme ist \(170 + 290 = 460\).

Die fehlenden Eckzahlen sind \(170\) und \(290\). Die letzte Seitensumme ist \(460\).

- Markiere gedanklich, welche beiden Seiten an der veränderten oberen Ecke liegen. - Eine Seite enthält die obere Ecke gar nicht. - Nutze die gewünschte neue Seitensumme zusammen mit der unveränderten rechten unteren Ecke.

1. Rechts unten bleibt \(290\). Für die neue obere Ecke gilt daher \(550 - 290 = 260\). 2. Die neue linke Seitensumme ist \(260 + 270 = 530\). 3. Die untere Seite hängt nur von den beiden unveränderten unteren Ecken ab und bleibt \(560\).

Die neue obere Ecke ist \(260\). Die linke Seitensumme wird \(530\); die untere Seitensumme bleibt \(560\).

- Eine der beiden gewünschten gleichen Seiten ist durch unveränderte Ecken bereits festgelegt. - Die andere Seite enthält die einzige Ecke, die verändert werden darf. - Erst nach dieser Änderung ist die Unterseite neu zu berechnen.

1. Die linke Seitensumme ist durch die unveränderten Ecken fest: \(250 + 325 = 575\). 2. Damit auch oben rechts \(575\) entsteht, muss die neue rechte untere Ecke \(575 - 250 = 325\) sein. 3. Unten ergibt sich dann \(325 + 325 = 650\).

Die rechte untere Ecke muss auf \(325\) geändert werden. Die neue untere Seitensumme ist \(650\).

- Schau dir an, welche Ecken in je zwei Seitensummen gemeinsam vorkommen. - Kannst du zwei Seitensummen so verbinden, dass nur noch eine Ecke unbekannt bleibt? - Prüfe deine Eckzahlen anschließend an allen drei Seiten.

1. Addiere die beiden Seitensummen an der oberen Ecke: \(90 + 100 = 190\). 2. Dabei wird die obere Ecke zweimal mitgezählt. Die beiden unteren Ecken zusammen ergeben \(110\). Also bleiben \(190 - 110 = 80\) für zweimal die obere Ecke. 3. Oben steht daher \(80 : 2 = 40\). 4. Rechts unten: \(90 - 40 = 50\). Links unten: \(100 - 40 = 60\).

Die Eckzahlen sind oben \(40\), rechts unten \(50\) und links unten \(60\).

- Betrachte gemeinsam die beiden Seiten, die an der oberen Ecke liegen. - Welche Anteile davon sind bereits in der unteren Seitensumme enthalten? - Gesucht ist nur eine Ecke, nicht alle drei Eckzahlen.

1. Addiert man die beiden Seiten an der oberen Ecke, wird die obere Ecke zweimal und jede untere Ecke einmal gezählt. 2. Die untere Seitensumme \(420\) enthält genau die beiden unteren Ecken. Daher bleiben \(300 + 360 - 420 = 240\) für die obere Ecke zweimal. 3. Oben steht \(240 : 2 = 120\).

Die obere Eckzahl ist \(120\).

- Zwei Seitensummen mit einer gemeinsamen Ecke unterscheiden sich nur in der jeweils anderen Ecke. - Du kannst zusätzlich die Summe aller Seitensummen betrachten. - Kontrolliere die gefundene Reihenfolge an allen drei Seiten.

1. Die Seitensummen \(380\) und \(260\) haben die linke untere Ecke gemeinsam. Ihr Unterschied \(120\) ist deshalb der Unterschied zwischen der oberen und der rechten unteren Ecke. 2. Addiere danach alle Seitensummen: \(320 + 260 + 380 = 960\). Jede Eckzahl wird dabei zweimal gezählt, also ergeben die drei Eckzahlen zusammen \(960 : 2 = 480\). 3. Oben: \(480 - 260 = 220\). 4. Rechts unten: \(480 - 380 = 100\). Links unten: \(480 - 320 = 160\).

Zuerst zeigt \(380 - 260 = 120\), dass die obere Ecke um \(120\) größer ist als die rechte untere Ecke. Außerdem ist \(320 + 260 + 380 = 960\), also beträgt die Summe der drei Ecken \(960 : 2 = 480\). Damit sind die Ecken oben \(480 - 260 = 220\), rechts unten \(480 - 380 = 100\) und links unten \(480 - 320 = 160\).

- Jede Seitensumme enthält zwei Eckzahlen und lässt genau eine Ecke aus. - Vergleiche zuerst die größte und die kleinste Seitensumme. - Wenn zwei Eckzahlen zusammen besonders wenig ergeben: Was sagt das über die dritte, ausgelassene Ecke?

1. Jede Seitensumme enthält zwei Ecken und lässt genau die gegenüberliegende Ecke aus. 2. Die kleinste Seitensumme \(320\) lässt die größte Ecke aus. Ihr gegenüber liegt die rechte untere Ecke; sie ist daher die größte. 3. Die größte Seitensumme \(410\) lässt die kleinste Ecke aus. Ihr gegenüber liegt die linke untere Ecke; sie ist daher die kleinste.

Die rechte untere Ecke ist die größte, weil sie der kleinsten Seitensumme \(320\) gegenüberliegt. Die linke untere Ecke ist die kleinste, weil sie der größten Seitensumme \(410\) gegenüberliegt.

- Für die Behauptung brauchst du nur die Gesamtsumme der Ecken und die gegenüberliegende Seite. - Überlege zuerst, wie die Summe aller Seitensummen mit der Summe aller Ecken zusammenhängt. - Bestimme nur die gefragte Ecke.

1. Die drei Seitensummen ergeben zusammen \(370 + 290 + 340 = 1000\). Die Summe der drei Ecken ist daher \(1000 : 2 = 500\). 2. Die obere Ecke liegt der unteren Seitensumme \(290\) gegenüber. 3. Oben steht deshalb \(500 - 290 = 210\), nicht \(200\).

\(370 + 290 + 340 = 1000\), also beträgt die Summe der drei Ecken \(1000 : 2 = 500\). Die obere Ecke liegt der Seitensumme \(290\) gegenüber, daher steht oben \(500 - 290 = 210\). Miras Behauptung ist falsch.

- Bestimme zuerst nur, wo größte und kleinste Ecke liegen. - Suche dann zwei Seitensummen, die dieselbe dritte Ecke enthalten. - Ihr Unterschied kann direkt den gesuchten Eckunterschied liefern.

1. Der kleinsten Seitensumme \(520\) liegt die größte Ecke gegenüber: die obere Ecke. 2. Der größten Seitensumme \(680\) liegt die kleinste Ecke gegenüber: die linke untere Ecke. 3. Die Seitensummen \(680\) und \(520\) enthalten beide die rechte untere Ecke. Ihr Unterschied ist deshalb genau der Unterschied zwischen größter und kleinster Eckzahl: \(680 - 520 = 160\).

Der kleinsten Seitensumme \(520\) liegt die größte Ecke gegenüber, der größten Seitensumme \(680\) die kleinste. Die beiden Seitensummen enthalten dieselbe rechte untere Ecke. Deshalb ist der gesuchte Unterschied \(680 - 520 = 160\).

- Welche Ecke haben die beiden gleich großen Seitensummen gemeinsam? - Wenn in beiden Summen dieselbe Zahl steckt und beide Summen gleich groß sind: Was gilt dann für die jeweils andere Zahl? - Die dritte Seitensumme verbindet genau diese beiden gleichen Eckzahlen.

1. Die beiden Seitensummen \(250\) und \(250\) haben die rechte untere Ecke gemeinsam. Deshalb müssen die jeweils anderen Ecken gleich groß sein: oben und links unten. 2. Diese beiden gleichen Ecken ergeben zusammen \(300\). Jede von ihnen ist also \(150\). 3. Rechts unten steht \(250 - 150 = 100\).

Die beiden Seitensummen \(250\) und \(250\) haben die rechte untere Ecke gemeinsam. Deshalb müssen die jeweils anderen Ecken gleich sein: oben = links unten. Da diese beiden Ecken zusammen \(300\) ergeben, sind beide \(150\); rechts unten steht \(250 - 150 = 100\).

- Jede Seite enthält zwei Eckzahlen. Eine Ecke fehlt immer. - Wenn eine große Eckzahl fehlt, wird die Seitensumme eher kleiner oder größer? - Überlege so, welche Ecke bei der mittleren Seitensumme fehlen muss.

1. Die Eckzahlen sind der Größe nach \(120 < 180 < 260\). 2. Je kleiner die Eckzahl ist, die auf einer Seite nicht vorkommt, desto größer ist die Seitensumme. Für die mittlere Seitensumme muss deshalb die mittlere Eckzahl \(180\) fehlen. 3. Das ist die linke Seite zwischen \(120\) und \(260\): \(120 + 260 = 380\).

Für die mittlere Seitensumme muss die mittlere Eckzahl \(180\) fehlen. Das ist die linke Seite zwischen \(120\) und \(260\). Sie beträgt \(120 + 260 = 380\).

- Welche Ecke haben die beiden gleich großen Seitensummen gemeinsam? - Wenn in beiden Summen dieselbe Zahl steckt und beide Summen \(400\) ergeben: Was gilt für die beiden anderen Zahlen? - Berechne danach die untere Seitensumme.

1. Rechts unten: \(400 - 150 = 250\). 2. Links unten: ebenfalls \(400 - 150 = 250\). 3. Die beiden unteren Ecken sind gleich groß, weil in beiden Seitensummen dieselbe obere Ecke \(150\) steckt. 4. Unten gilt \(250 + 250 = 500\).

Beide unteren Ecken sind \(250\). Die untere Seitensumme ist \(500\).

- Zähle, in wie vielen Seitensummen eine einzelne Ecke vorkommt. - Dasselbe gilt für jede der drei Ecken. - Was bedeutet das für die Summe aller drei Seitensummen?

1. Die Seitensummen sind \(80 + 120 = 200\), \(120 + 200 = 320\) und \(200 + 80 = 280\). 2. Zusammen ergeben sie \(200 + 320 + 280 = 800\). 3. Die Eckzahlen ergeben zusammen \(80 + 120 + 200 = 400\). 4. Jede Eckzahl kommt in genau zwei Seitensummen vor. Deshalb werden beim Addieren der Seitensummen alle Eckzahlen zweimal gezählt: \(2 \cdot 400 = 800\).

Die Seitensummen sind \(200\), \(320\) und \(280\); zusammen ergeben sie \(800\). Die Eckzahlen ergeben zusammen \(400\). Jede Ecke wird in zwei Seitensummen mitgezählt, deshalb ist \(800\) das Doppelte von \(400\).

- Vergleiche zwei Seiten und markiere ihre gemeinsame Ecke. - Überlege, was für die beiden jeweils anderen Eckzahlen gelten müsste, damit die beiden Summen gleich wären. - Prüfe diese Bedingung an den drei Eckzahlen im Bild.

1. Zwei beliebige Seiten des Dreiecks haben genau eine gemeinsame Ecke. 2. Wären ihre Seitensummen gleich, müssten deshalb auch die jeweils anderen beiden Eckzahlen gleich sein. 3. Im Bild sind \(80\), \(320\) und \(190\) jedoch alle verschieden. Daher können keine zwei Seitensummen gleich sein.

Nein. Zwei Seiten haben immer genau eine Ecke gemeinsam. Wären zwei Seitensummen gleich, müssten nach Weglassen dieser gemeinsamen Ecke auch die beiden jeweils anderen Eckzahlen gleich sein. Da \(80\), \(320\) und \(190\) alle verschieden sind, sind auch alle drei Seitensummen verschieden.

- Betrachte die drei Seitensummen gemeinsam statt einzelne Ecken zu suchen. - Verfolge gedanklich, wie oft jede Eckzahl in dieser Gesamtheit enthalten ist. - Gesucht ist nur die Gesamtsumme der Ecken, nicht ihre einzelnen Werte.

1. Die Seitensummen ergeben zusammen \(280 + 360 + 320 = 960\). 2. In dieser Gesamtsumme wird jede Eckzahl genau zweimal gezählt. 3. Deshalb ist die Summe der drei Ecken \(960 : 2 = 480\).

\(280 + 360 + 320 = 960\). In der Summe aller drei Seitensummen wird jede Eckzahl genau zweimal gezählt. Deshalb ist die Summe der drei Eckzahlen \(960 : 2 = 480\).

- Vergleiche die beiden gleich großen Seiten und beachte ihre gemeinsame obere Ecke. - Welche Beziehung müssen deshalb die beiden unteren Ecken haben? - Prüfe deine Konstruktion anschließend auch an der unteren Seite.

1. Rechts unten muss \(300 - 120 = 180\) stehen. 2. Links unten muss ebenfalls \(300 - 120 = 180\) stehen. 3. Die untere Seitensumme ist \(180 + 180 = 360\).

Beide unteren Ecken sind \(180\). Die untere Seitensumme ist \(360\).

- Für die Seitensumme \(450\) brauchst du zwei passende Vielfache von \(50\). - Die dritte Eckzahl muss zusammen mit den beiden anderen \(600\) ergeben und von ihnen verschieden sein. - Prüfe danach, ob wirklich nur eine Seitensumme \(450\) ist.

1. Eine passende Wahl ist oben \(100\), rechts unten \(350\) und links unten \(150\). Die Ecksumme ist \(100 + 350 + 150 = 600\). 2. Die Seitensummen sind \(100 + 350 = 450\), \(350 + 150 = 500\) und \(150 + 100 = 250\). 3. Damit ist genau eine Seitensumme \(450\), und alle drei Ecken sind verschieden.

Eine mögliche Lösung ist: oben \(100\), rechts unten \(350\), links unten \(150\). Die Seitensummen sind \(450\), \(500\) und \(250\). Andere passende Lösungen sind möglich.

- Welche zwei der drei Zahlen ergeben zusammen die größtmögliche Summe? - Diese beiden Zahlen müssen an der gewünschten größten Seite liegen. - Die Reihenfolge der beiden Zahlen an dieser Seite kann vertauscht werden.

1. Damit die obere rechte Seite am größten wird, müssen dort die beiden größten Eckzahlen \(300\) und \(200\) liegen. 2. Eine mögliche Anordnung ist oben \(300\), rechts unten \(200\), links unten \(100\). 3. Die Seitensummen sind dann \(500\), \(300\) und \(400\). Somit ist die obere rechte Seitensumme tatsächlich die größte.

Zum Beispiel: oben \(300\), rechts unten \(200\), links unten \(100\). Dann sind die Seitensummen \(500\), \(300\), \(400\).

- Aus \(200\) oben und \(500\) links kannst du zuerst die linke untere Ecke finden. - Vergleiche dann die untere Seite mit der oberen rechten Seite. Welche Zahl kommt in beiden Summen vor? - Wähle für rechts unten eine Zahl unter \(300\) und prüfe die beiden Seitensummen.

1. Links unten steht \(500 - 200 = 300\). 2. Links unten ist damit genau \(100\) größer als oben. Deshalb ist auch die untere Seitensumme immer genau \(100\) größer als die Seitensumme oben rechts, egal welche erlaubte Zahl rechts unten gewählt wird. 3. Wähle zum Beispiel rechts unten \(150\). Dann gilt oben rechts \(200 + 150 = 350\) und unten \(150 + 300 = 450\).

Eine mögliche Lösung ist oben \(200\), rechts unten \(150\), links unten \(300\). Dann sind \(450\) und \(350\) genau um \(100\) verschieden.

- Verlass dich auf die drei Seitensummen: Sie sind laut Aufgabe richtig. - Eine Eckzahl gehört zu zwei Seitensummen. Deshalb kann eine falsche Eckzahl an zwei Seiten auffallen. - Welche Zahl passt gleichzeitig zu beiden Seitensummen an dieser Ecke?

1. Die linke Seite bestätigt die beiden dort stehenden Ecken: \(150 + 100 = 250\). 2. Aus der oberen rechten Seitensumme folgt für die rechte untere Ecke \(400 - 150 = 250\). 3. Auch die untere Seite bestätigt diesen Wert: \(350 - 100 = 250\). Daher ist die eingetragene \(240\) falsch.

Die rechte untere Eckzahl \(240\) ist falsch. Richtig ist dort \(250\).

- Nutze zunächst eine Seite, an der genau eine Ecke fehlt. - Sobald alle drei Ecken feststehen, steht jede Seitensumme fest. - Vergleiche den so berechneten linken Wert mit dem eingetragenen.

1. Aus der unteren Seite folgt für die linke untere Ecke \(500 - 150 = 350\). 2. Dann muss die linke Seitensumme \(350 + 200 = 550\) sein. 3. Eingetragen ist dort \(540\). Dieser Wert widerspricht den übrigen Angaben. 4. Die obere rechte Seite stimmt: \(200 + 150 = 350\).

Aus der unteren Seitensumme folgt links unten \(500 - 150 = 350\). Damit müsste links \(350 + 200 = 550\) stehen. Da dort \(540\) eingetragen ist, passen die Angaben nicht zusammen. Richtig wäre links \(550\).

- Prüfe zuerst, ob die obere rechte Seite wirklich die größte Seitensumme hat. - Vergleiche danach die drei Eckzahlen. - Ein Beispiel, bei dem Theos Aussage nicht stimmt, reicht aus, um sie zu widerlegen.

1. Die obere rechte Seitensumme ist \(250 + 300 = 550\). 2. Die anderen Seitensummen sind \(300 + 100 = 400\) und \(100 + 250 = 350\). Damit ist \(550\) tatsächlich die größte Seitensumme. 3. Die größte Eckzahl ist aber \(300\) rechts unten, nicht \(250\) oben. 4. Theos Behauptung ist daher falsch. Eine große Seitensumme sagt nur etwas über die beiden Ecken zusammen aus.

Die Behauptung ist falsch. Die größte Seitensumme ist \(550\), aber die größte Ecke ist rechts unten mit \(300\).

- Nutze für a) die Beziehung zwischen der Summe aller Seitenfelder und der Summe aller Eckfelder. - Jede Seitenzahl enthält genau zwei der drei Eckzahlen. Welche Ecke gehört jeweils nicht zu einer bestimmten Seite? - Prüfe zum Schluss alle drei Seiten durch paarweises Addieren deiner Eckzahlen.

1. Die Seitenzahlen ergeben zusammen \(220 + 340 + 280 = 840\). 2. Deshalb ist die Summe der drei Eckzahlen \(840 : 2 = 420\). 3. Die obere Ecke \(a\) liegt gegenüber der Seite \(bc = 340\). Daher gilt \(a = 420 - 340 = 80\). 4. Die rechte untere Ecke \(b\) liegt gegenüber der Seite \(ca = 280\). Daher gilt \(b = 420 - 280 = 140\). 5. Die linke untere Ecke \(c\) liegt gegenüber der Seite \(ab = 220\). Daher gilt \(c = 420 - 220 = 200\). 6. Kontrolle: \(80 + 140 = 220\), \(140 + 200 = 340\) und \(200 + 80 = 280\).

a) Die Summe der drei Eckzahlen beträgt \(420\). b) Oben steht \(80\), rechts unten \(140\) und links unten \(200\).

- Schau dir bei jeder Mauer die Spitze und die beiden äußeren Grundsteine an. - Wie wirkt sich der mittlere Grundstein auf dem Weg zur Spitze aus? - Prüfe, ob für den mittleren Grundstein eine ganze Zahl ab \(0\) herauskommen kann.

1. Bei einer dreistufigen Zahlenmauer zählt jeder äußere Grundstein einmal für die Spitze, der mittlere Grundstein zweimal. 2. Mauer A: \(500-150-250=100\). Der mittlere Grundstein zählt doppelt, also ist er \(100:2=50\). Die mittlere Reihe lautet \(200\) und \(300\). Mauer A ist lösbar. 3. Mauer B: \(500-150-249=101\). Die \(101\) müsste in zwei gleiche ganze Teile geteilt werden. Das geht nicht. Mauer B ist nicht lösbar. 4. Mauer C: \(800-300-450=50\). Die Hälfte ist \(25\). Die mittlere Reihe lautet \(325\) und \(475\). Mauer C ist lösbar. 5. Mauer D: Die beiden äußeren Grundsteine ergeben schon \(300+520=820\). Das ist mehr als die Spitze \(800\). Der mittlere Grundstein kann die Spitze nur noch größer machen. Mauer D ist nicht lösbar.

1. Lösbar sind Mauer A und Mauer C. Mauer A: unterer mittlerer Stein \(50\); mittlere Reihe \(200\) und \(300\). Mauer C: unterer mittlerer Stein \(25\); mittlere Reihe \(325\) und \(475\). 2. Mauer B ist nicht lösbar, weil der verbleibende Beitrag \(101\) nicht in zwei gleiche ganze Teile geteilt werden kann. Mauer D ist nicht lösbar, weil die beiden äußeren Grundsteine bereits \(820\) zur Spitze beitragen, obwohl die Spitze nur \(800\) sein soll.

- Suche nach einer Stelle in der Mauer, an der der obere Stein und einer der beiden Steine darunter bekannt sind. - Mit Subtraktion kannst du fehlende Steine in den unteren Reihen bestimmen. - Gehe Schritt für Schritt vor: Sobald du eine neue Zahl herausgefunden hast, hilft sie dir beim Lösen der Nachbarsteine. - Rechne die oberen Reihen anschließend durch Addition aus.

1. Bestimme die zweite Zahl der untersten Reihe. Da darüber \(222\) steht und darunter links \(128\), rechnen wir: \(222 - 128 = 94\). 2. Bestimme die dritte Zahl der untersten Reihe. Da darüber \(209\) steht und darunter rechts \(62\), rechnen wir: \(209 - 62 = 147\). 3. Berechne die mittlere Zahl der zweiten Reihe: \(94 + 147 = 241\). 4. Berechne die beiden Zahlen der dritten Reihe: - Links: \(222 + 241 = 463\) - Rechts: \(241 + 209 = 450\) 5. Berechne den Deckstein: \(463 + 450 = 913\).

Die fehlenden Zahlen sind: - Unterste Reihe: \(94\) und \(147\) (vollständig von links nach rechts: \(128\), \(94\), \(147\), \(62\)) - Zweite Reihe von unten: \(241\) (vollständig von links nach rechts: \(222\), \(241\), \(209\)) - Dritte Reihe von unten: \(463\) und \(450\) - Spitze: \(913\)

- Berechne beide Mauern Reihe für Reihe von unten nach oben. - Vergleiche danach die entsprechenden Steine beider Mauern. - Verfolge, auf wie vielen Wegen der veränderte Grundstein bis zur Spitze weiterwirkt.

1. Zoe: Aus den Grundsteinen \(60\), \(110\), \(80\), \(50\) entstehen zunächst \(170\), \(190\), \(130\), danach \(360\), \(320\) und schließlich \(680\). 2. Ben: Aus den Grundsteinen \(60\), \(120\), \(80\), \(50\) entstehen zunächst \(180\), \(200\), \(130\), danach \(380\), \(330\) und schließlich \(710\). 3. Die Spitzen unterscheiden sich um \(710-680=30\). 4. Der zweite Grundstein ist bei Ben um \(10\) größer. Dieser Grundstein wirkt über drei Wege auf die Spitze. Deshalb wird die Spitze um \(3\cdot10=30\) größer.

a) Zoes Spitzenstein ist \(680\). b) Bens Spitzenstein ist \(710\). c) Bens Spitze ist um \(30\) größer. Die Änderung des zweiten Grundsteins wirkt dreifach auf die Spitze.

- Beginne ganz oben an der Spitze. Wenn du den obersten Stein und einen der beiden darunter liegenden Steine kennst, kannst du den anderen Stein durch Minusrechnen finden. - Gehe dann Reihe für Reihe nach unten vor. - Suche immer nach einer Dreiergruppe von Steinen, bei denen bereits zwei Zahlen eingetragen sind. - Du kannst deine berechneten Zahlen überprüfen, indem du sie mit den Nachbarsteinen zusammenzählst.

1. Berechnung für Mauer A: - Linker Stein der dritten Reihe von unten: \(500 - 240 = 260\). - Mittlerer Stein der zweiten Reihe von unten: \(260 - 160 = 100\). - Linker Stein der untersten Reihe: \(160 - 60 = 100\). - Dritter Stein der untersten Reihe: \(100 - 60 = 40\). - Rechter Stein der zweiten Reihe: \(240 - 100 = 140\). - Rechter Stein der untersten Reihe: \(140 - 40 = 100\). 2. Berechnung für Mauer B: - Rechter Stein der dritten Reihe von unten: \(600 - 330 = 270\). - Linker Stein der zweiten Reihe von unten: \(330 - 130 = 200\). - Rechter Stein der zweiten Reihe von unten: \(270 - 130 = 140\). - Zweiter Stein der untersten Reihe: \(200 - 120 = 80\). - Dritter Stein der untersten Reihe: \(130 - 80 = 50\). - Rechter Stein der untersten Reihe: \(140 - 50 = 90\).

Mauer A: - Unterste Reihe: \(100\), \(60\), \(40\), \(100\) - Zweite Reihe von unten: \(160\), \(100\), \(140\) - Dritte Reihe von unten: \(260\), \(240\) - Spitze: \(500\) Mauer B: - Unterste Reihe: \(120\), \(80\), \(50\), \(90\) - Zweite Reihe von unten: \(200\), \(130\), \(140\) - Dritte Reihe von unten: \(330\), \(270\) - Spitze: \(600\)

- Berechne die dargestellte Mauer zunächst vollständig von unten nach oben. - Untersuche mit einer kleinen gleichen Veränderung aller Grundsteine, wie sich die Änderung bis zur Spitze fortsetzt. - Nutze dieses Veränderungsmuster für b) und c).

1. Aus den Grundsteinen \(50\), \(80\), \(60\), \(40\) entstehen in der zweiten Reihe \(130\), \(140\), \(100\), in der dritten Reihe \(270\), \(240\) und an der Spitze \(510\). 2. Für b) muss die Spitze um \(590 - 510 = 80\) steigen. Wenn jeder Grundstein um \(1\) erhöht wird, steigt die Spitze um \(8\). Deshalb muss jeder Grundstein um \(80 : 8 = 10\) erhöht werden. 3. Werden alle Grundsteine um \(20\) erhöht, steigt die Spitze um \(8 \cdot 20 = 160\). Dann steht oben \(510 + 160 = 670\).

a) Zweite Reihe: \(130, 140, 100\); dritte Reihe: \(270, 240\); Spitze: \(510\). b) Jeder Grundstein muss um \(10\) erhöht werden. c) An der Spitze steht dann \(670\).

- Beginne oben: Kennst du die Spitze und einen Stein darunter, kannst du den anderen Stein mit einer Minusaufgabe finden. - Arbeite dich Schritt für Schritt von oben nach unten durch die Mauer. - Kennst du einen oberen Stein und einen der beiden Steine darunter, kannst du den fehlenden unteren Stein durch Subtraktion finden.

1. Dritte Reihe links: \(670-308=362\). 2. Zweite Reihe Mitte: \(362-189=173\). 3. Unterste Reihe, dritter Stein: \(173-101=72\). 4. Zweite Reihe rechts: \(308-173=135\). 5. Unterste Reihe, vierter Stein: \(135-72=63\). 6. Unterste Reihe, erster Stein: \(189-101=88\).

Der erste Stein von links in der untersten Reihe hat den Wert \(88\). Der dritte Stein von links hat den Wert \(72\). Der vierte Stein von links hat den Wert \(63\).

- Berechne zuerst beide Mauern bis zur Spitze. - Vergleiche die beiden Zahlen an der Spitze. Um wie viel unterscheiden sie sich? - In wie viele Steine der zweiten Reihe geht der veränderte mittlere Grundstein ein?

1. Mauer A: In der zweiten Reihe stehen \(120+150=270\) und \(150+180=330\). An der Spitze steht \(270+330=600\). 2. Mauer B: In der zweiten Reihe stehen \(120+160=280\) und \(160+180=340\). An der Spitze steht \(280+340=620\). 3. Die Spitzen unterscheiden sich um \(620-600=20\). 4. Jonas hat nicht recht. Der mittlere Grundstein ist um \(10\) größer und gehört zu beiden Steinen der zweiten Reihe. Deshalb wird die Spitze zweimal um \(10\), also insgesamt um \(20\), größer.

Nein, Jonas hat nicht recht. Bei Mauer A steht oben \(600\), bei Mauer B \(620\). Die Spitze wird also um \(20\) größer, weil der mittlere Grundstein in beide Steine der zweiten Reihe eingeht.

- Beginne dort, wo du aus zwei benachbarten bekannten Steinen direkt eine fehlende Zahl bestimmen kannst. - Verfolge bei Mauer b), welche Grundsteine zum gegebenen rechten Stein der dritten Reihe beitragen. - Nutze Addition nach oben und die passende Umkehraufgabe nach unten.

1. Mauer a): Der zweite Grundstein ist \(205-85=120\). Dann gilt links \(45+120=165\) und darüber \(165+205=370\). Rechts in der dritten Reihe steht \(770-370=400\). Deshalb steht rechts in der zweiten Reihe \(400-205=195\) und unten rechts \(195-85=110\). 2. Mauer b): Unten links steht \(205-70=135\). Für den rechten Stein \(465\) der dritten Reihe ziehst du zuerst \(70\) und \(95\) ab: \(465-70-95=300\). Der gesuchte dritte Grundstein steckt dort zweimal, also ist er \(300:2=150\). Damit stehen in der zweiten Reihe \(205\), \(220\), \(245\), in der dritten Reihe \(425\), \(465\) und an der Spitze \(890\).

a) Unterste Reihe: \(45\), \(120\), \(85\), \(110\) Zweite Reihe: \(165\), \(205\), \(195\) Dritte Reihe: \(370\), \(400\) Spitze: \(770\) b) Unterste Reihe: \(135\), \(70\), \(150\), \(95\) Zweite Reihe: \(205\), \(220\), \(245\) Dritte Reihe: \(425\), \(465\) Spitze: \(890\)

- Beginne ganz oben an der Spitze der Zahlenmauer. Welche Zahl fehlt direkt neben der \(430\) unter dem Deckstein? - Nutze die Umkehroperation (Subtraktion), wenn dir ein Stein in einer unteren Reihe fehlt. - Wenn du eine Zahl ausgerechnet hast, kannst du mit diesem neuen Wert Schritt für Schritt weiter nach unten rechnen. - Kontrolliere deine Zwischenschritte, indem du die Steine von unten nach oben wieder zusammenrechnest.

1. Beginne an der Spitze: \(905-430=475\). Rechts in der dritten Reihe steht also \(475\). 2. Links in der zweiten Reihe steht \(430-230=200\). 3. Der zweite Stein von links unten ist \(200-120=80\). 4. Der dritte Stein von links unten ist \(230-80=150\). 5. Rechts in der zweiten Reihe steht \(475-230=245\). 6. Ganz rechts unten steht \(245-150=95\).

- Der rechte Stein in der 3. Reihe von unten ist \(475\). - Der linke Stein in der 2. Reihe von unten ist \(200\). - Der zweite Stein von links in der untersten Reihe ist \(80\).

- Suche zuerst nach einer Stelle in der Mauer, an der du zwei von drei zusammenhängenden Steinen kennst. - Wenn ein Stein oben und einer der beiden Steine direkt darunter bekannt sind, kannst du den fehlenden unteren Stein durch Subtraktion (Minusrechnen) finden. - Wenn du einen neuen Stein ausgerechnet hast, trage ihn gedanklich ein und suche nach dem nächsten Schritt. - Manchmal musst du von oben nach unten zurückrechnen, um an die unterste Reihe zu gelangen.

1. Der zweite Stein von links unten ist \(250-140=110\). 2. Links in der zweiten Reihe steht \(80+110=190\). 3. Links in der dritten Reihe steht \(190+250=440\). 4. Rechts in der dritten Reihe steht \(900-440=460\). 5. Rechts in der zweiten Reihe steht \(460-250=210\). 6. Ganz unten rechts steht \(210-140=70\).

Ganz unten rechts muss die Zahl \(70\) stehen.

- In Mauer a) findest du rechts eine Stelle, an der du sofort weiterrechnen kannst. - Wenn oben und unten eine Zahl bekannt sind, hilft dir eine Minusaufgabe. - In Mauer b): Überlege, wie oft der mittlere Grundstein oben mitgerechnet wird.

1. Mauer a): Rechts in der zweiten Reihe steht \(210 + 150 = 360\). Links in der zweiten Reihe steht \(800 - 360 = 440\). Unten links fehlt \(440 - 210 = 230\). 2. Mauer b): Die beiden äußeren Grundsteine ergeben zusammen \(145 + 145 = 290\). In der Spitze steckt der mittlere Grundstein zweimal. Deshalb bleiben \(600 - 290 = 310\) für zweimal den mittleren Stein. \(310 : 2 = 155\). In der zweiten Reihe stehen dann zweimal \(145 + 155 = 300\).

Mauer a): Unten links fehlt \(230\). In der zweiten Reihe fehlen \(440\) und \(360\). Mauer b): Der mittlere Grundstein ist \(155\). In der zweiten Reihe stehen zweimal \(300\).

- Berechne zuerst die fehlende Zahl in jeder Mauer. - Schau dir an, wie sich die äußeren Steine von Mauer zu Mauer verändern. - Was passiert mit dem Mittelstein, wenn die Außensteine kleiner werden?

1. Mauer a): \(800-200-200=400\). Der Mittelstein zählt zweimal, also ist er \(400:2=200\). 2. Mauer b): \(800-100-100=600\). Der Mittelstein ist \(600:2=300\). 3. Mauer c): \(800-50-50=700\). Der Mittelstein ist \(700:2=350\). 4. Werden die beiden äußeren Steine zusammen kleiner, muss der Mittelstein größer werden, damit oben weiterhin \(800\) steht. Werden die Außensteine zusammen zum Beispiel um \(200\) kleiner, wird der Mittelstein um \(100\) größer.

a) Die Mittelsteine sind: Mauer a) \(200\), Mauer b) \(300\), Mauer c) \(350\). b) Wenn die äußeren Steine kleiner werden, muss der mittlere Stein größer werden. Wird ihre Summe um einen bestimmten Betrag kleiner, wächst der Mittelstein um die Hälfte dieses Betrags.

- Suche zuerst eine Stelle, an der nur eine Zahl fehlt. - Wenn dir die Zahlen zu groß für den Kopf sind, rechne schriftlich daneben. - Rechne die fertige Mauer am Ende noch einmal von unten nach oben zur Probe.

1. Unten fehlt \(196-104=92\). 2. In der zweiten Reihe stehen \(123+85=208\) und \(85+92=177\). 3. In der dritten Reihe stehen \(208+177=385\) und \(177+196=373\). 4. An der Spitze steht \(385+373=758\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(123\), \(85\), \(92\), \(104\) - Zweite Reihe: \(208\), \(177\), \(196\) - Dritte Reihe: \(385\), \(373\) - Spitze: \(758\)

- Arbeite dich von der Spitze schrittweise nach unten vor. - Überprüfe deine Ergebnisse für die Grundreihe: Ergeben sie zusammenaddiert wirklich die Steine darüber?

1. In der dritten Reihe fehlt \(999-555=444\). 2. In der zweiten Reihe fehlen \(444-244=200\) und \(555-244=311\). 3. Unten fehlen \(200-80=120\), dann \(244-120=124\) und \(311-124=187\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(80\), \(120\), \(124\), \(187\) - Zweite Reihe: \(200\), \(244\), \(311\) - Dritte Reihe: \(444\), \(555\) - Spitze: \(999\)

- Kennst du einen oberen Stein und einen der beiden Steine darunter, kannst du den anderen mit Minus finden. - Arbeite dich schrittweise von den bekannten Zahlen zu den unbekannten vor. - Überprüfe am Ende deine Ergebnisse durch Plusrechnen von unten nach oben.

1. Links in der dritten Reihe steht \(800-450=350\). 2. Links in der zweiten Reihe steht \(350-200=150\). 3. Rechts in der zweiten Reihe steht \(450-200=250\). 4. Unten gilt: zweiter Stein \(150-60=90\), dritter Stein \(200-90=110\). Kontrolle: \(110+140=250\).

Die unterste Reihe ist \(60\), \(90\), \(110\), \(140\). Die zweite Reihe ist \(150\), \(200\), \(250\). Die dritte Reihe ist \(350\), \(450\). Die Spitze ist \(800\).

- Schau, ob die linke und rechte Seite der Mauer gleich aufgebaut sind. - Kennst du einen oberen Stein und einen Stein darunter, kannst du den anderen unteren Stein mit Minus finden. - Prüfe deine Ergebnisse anschließend von unten nach oben.

1. Da die Spitze \(920\) und der linke Stein der vierten Reihe \(460\) beträgt, ist der rechte Stein dort \(920 - 460 = 460\). 2. Der linke Stein der dritten Reihe ist \(460 - 240 = 220\), der rechte Stein ebenfalls \(460 - 240 = 220\). 3. Der linke Stein der zweiten Reihe ist \(220 - 120 = 100\). Der zweite Grundstein ist daher \(100 - 45 = 55\). 4. Der dritte Stein der zweiten Reihe ist \(240 - 120 = 120\). Der mittlere Grundstein ist \(120 - 55 = 65\). 5. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(220 - 120 = 100\). Der vierte Grundstein ist \(120 - 65 = 55\), der rechte Grundstein ist \(100 - 55 = 45\). 6. Die vollständig ausgefüllten Reihen lauten: unten \(45\), \(55\), \(65\), \(55\), \(45\); darüber \(100\), \(120\), \(120\), \(100\); darüber \(220\), \(240\), \(220\); darüber \(460\), \(460\); Spitze \(920\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(45\), \(55\), \(65\), \(55\), \(45\) - Zweite Reihe: \(100\), \(120\), \(120\), \(100\) - Dritte Reihe: \(220\), \(240\), \(220\) - Vierte Reihe: \(460\), \(460\) - Spitze: \(920\)

- Bestimme zuerst, um wie viel der Spitzenstein kleiner werden soll. - Probiere aus, was mit der Spitze passiert, wenn jeder Grundstein nur um \(1\) kleiner wird. - Übertrage dieses Veränderungsmuster auf die benötigte Änderung.

1. Die Spitze soll von \(260\) auf \(120\) sinken. Sie soll also um \(140\) kleiner werden. 2. Wird jeder Grundstein um \(1\) kleiner, werden die beiden Steine darüber jeweils um \(2\) kleiner und die Spitze um \(4\) kleiner. 3. Deshalb rechnest du \(140:4=35\). Jeder Grundstein muss um \(35\) kleiner werden. 4. Die neuen Grundsteine sind \(60-35=25\), \(80-35=45\) und \(40-35=5\).

Die neuen Grundsteine sind \(25\), \(45\) und \(5\).

- Wenn alle Grundsteine gleich sind: Wie oft steckt die Zahl eines Grundsteins in der Zahl an der Spitze? - Probiere einfache Zahlen aus: Was passiert bei \(10\)? Was passiert bei \(20\)?

1. Trägt jeder Grundstein die Zahl \(1\), stehen in der zweiten Reihe dreimal \(2\), in der dritten Reihe zweimal \(4\) und an der Spitze \(8\). 2. Die Zahl an der Spitze ist daher achtmal so groß wie die gemeinsame Zahl der Grundsteine. 3. Gesucht ist \(240 : 8 = 30\). 4. Jeder Grundstein muss also die Zahl \(30\) tragen.

Alle vier Grundsteine müssen jeweils die Zahl \(30\) tragen.

- Wie viel fehlt oben noch bis \(1000\)? - Probier aus, was oben passiert, wenn du jeden Grundstein nur um \(1\) erhöhst. - Nutze dieses Muster, um die gesuchte Erhöhung zu finden, und prüfe sie.

1. Von \(320\) bis \(1000\) fehlen \(680\). 2. Erhöhst du jeden der vier Grundsteine um \(1\), steigt die Spitze um \(8\). 3. Deshalb rechnest du \(680:8=85\). 4. Jeder Grundstein wurde um \(85\) erhöht.

Jeder Grundstein wurde um \(85\) vergrößert.

- Rechne die Lücken in Mauer b) aus und finde die neue Zahl ganz oben. - Wie oft wird die Zahl aus dem zweiten Stein von links auf dem Weg nach oben mitgerechnet?

1. In Mauer a) steht oben \(500\). 2. In Mauer b) lautet die unterste Reihe \(100, 60, 50, 100\). 3. In der zweiten Reihe stehen \(160, 110, 150\). 4. In der dritten Reihe stehen \(270, 260\). 5. Oben steht \(530\). 6. \(530-500=30\). Die oberste Zahl ist also um \(30\) gestiegen. 7. Der zweite Grundstein von links wird auf dem Weg nach oben dreimal mitgerechnet. Deshalb führen \(10\) mehr unten zu \(3\cdot10=30\) mehr oben.

Die oberste Zahl erhöht sich um \(30\). Der zweite Grundstein von links wird dreimal mitgerechnet. Deshalb führen \(10\) mehr unten zu \(3\cdot10=30\) mehr an der Spitze.

- Nutze die Steine in der zweiten Reihe, um die fehlenden äußeren Steine ganz unten zu finden. - Wenn du die untere Reihe hast, kannst du die Lücken in der Mitte füllen. - Prüfe zum Schluss überall: Der obere Stein muss die Summe der beiden Steine direkt darunter sein.

1. Der linke Grundstein ist \(75 - 25 = 50\), der rechte Grundstein ebenfalls \(75 - 25 = 50\). Die unterste Reihe lautet \(50, 25, 100, 25, 50\). 2. Zweite Reihe: \(75, 125, 125, 75\). 3. Dritte Reihe: \(200, 250, 200\). 4. Vierte Reihe: \(450, 450\). 5. Spitze: \(900\).

Unterste Reihe: \(50, 25, 100, 25, 50\). Zweite Reihe: \(75, 125, 125, 75\). Dritte Reihe: \(200, 250, 200\). Vierte Reihe: \(450, 450\). Spitze: \(900\).

- Suche zuerst eine Dreiergruppe von Steinen, in der nur ein Wert fehlt. - Manchmal kannst du von oben nach unten durch Subtraktion arbeiten, manchmal von unten nach oben durch Addition. - Kontrolliere nach jedem rückwärts gefundenen Stein die zugehörige Summe nach oben.

1. Rechts in der dritten Reihe gilt \(950 - 450 = 500\). 2. Links in der zweiten Reihe gilt \(450 - 240 = 210\). 3. Rechts in der zweiten Reihe gilt \(500 - 240 = 260\). 4. Der zweite Grundstein ist \(210 - 100 = 110\). 5. Der dritte Grundstein ist \(240 - 110 = 130\). 6. Der rechte Grundstein ist \(260 - 130 = 130\).

Die Grundreihe lautet \(100\), \(110\), \(130\), \(130\). Darüber stehen \(210\), \(240\), \(260\), dann \(450\), \(500\) und oben \(950\).

- Finde zuerst oben den Stein, den du mit einer einfachen Minusaufgabe berechnen kannst. - Überlege dann, wie oft die fehlende Zahl unten auf dem Weg nach oben mitgerechnet wird. - Nutze den gleichen Aufbau links und rechts von der \(3\).

1. In der vierten Reihe fehlt \(36-18=18\). 2. Außen in der dritten Reihe steht jeweils \(18-10=8\). Die Reihe lautet also \(8\), \(10\), \(8\). 3. Links unten entsteht die \(8\) aus \(1\), einer fehlenden Zahl und \(3\). Die \(1\) und die \(3\) ergeben zusammen \(4\). Die fehlende Zahl wird dabei zweimal mitgerechnet, also gilt \(4:2=2\). 4. Weil die Grundreihe links und rechts gleich aufgebaut ist, lautet sie \(1\), \(2\), \(3\), \(2\), \(1\). 5. Darüber stehen \(3\), \(5\), \(5\), \(3\); dann \(8\), \(10\), \(8\); dann \(18\), \(18\); oben \(36\).

Die vollständige Mauer hat unten \(1\), \(2\), \(3\), \(2\), \(1\); darüber \(3\), \(5\), \(5\), \(3\); dann \(8\), \(10\), \(8\); dann \(18\), \(18\); an der Spitze \(36\).

- Finde zuerst den Stein unten, den du mit einer einfachen Minusaufgabe berechnen kannst. - Achte darauf, ob sich Zahlen in der Mauer wiederholen. - Vergleiche die linke und die rechte Seite. Was fällt dir auf?

1. Unten als dritter Stein steht \(100-50=50\). 2. Rechts in der zweiten Reihe steht \(50+50=100\). 3. Rechts in der dritten Reihe steht \(100+100=200\). 4. Links in der dritten Reihe steht \(400-200=200\). 5. Links in der zweiten Reihe steht \(200-100=100\). 6. Unten links steht \(100-50=50\). 7. Damit stehen unten viermal \(50\).

In der untersten Reihe stehen viermal \(50\). Die weiteren Reihen sind \(100, 100, 100\) und \(200, 200\) bis zur Spitze \(400\).

- Beginne bei bekannten Steinen in höheren Reihen und nutze Subtraktion, um fehlende Steine darunter zu bestimmen. - Überprüfe am Ende, ob jeder obere Stein wirklich die Summe der beiden Steine direkt darunter ist.

1. Dritte Reihe rechts: \(800 - 380 = 420\). 2. Zweite Reihe Mitte: \(380 - 180 = 200\). 3. Unterste Reihe links: \(180 - 100 = 80\). 4. Dritter Stein von links in der untersten Reihe: \(200 - 100 = 100\). 5. Zweite Reihe rechts: \(420 - 200 = 220\). 6. Unterste Reihe rechts: \(220 - 100 = 120\).

Unterste Reihe: \(80\), \(100\), \(100\), \(120\). Zweite Reihe: \(180\), \(200\), \(220\). Dritte Reihe: \(380\), \(420\). Spitze: \(800\).

- Suche eine Stelle, an der von drei zusammengehörigen Steinen schon zwei Zahlen bekannt sind. - Kennst du die Zahl oben und eine Zahl darunter, kannst du die andere manchmal mit Plus finden. - Prüfe jeden neuen Wert mit der Regel: links minus rechts ergibt oben.

1. Rechts unten gilt: \(100-30=70\). Deshalb fehlt dort die \(100\). 2. In der Mitte der zweiten Reihe steht \(250-100=150\). 3. Rechts in der dritten Reihe steht \(150-70=80\). 4. Links in der dritten Reihe steht \(250-150=100\). 5. An der Spitze steht \(100-80=20\). 6. Links unten gilt: \(500-250=250\). Deshalb fehlt dort die \(500\).

Unten stehen \(500\), \(250\), \(100\), \(30\). Darüber stehen \(250\), \(150\), \(70\), dann \(100\), \(80\), und an der Spitze \(20\).

- Nutze die Division, um von einer oberen Zahl auf eine fehlende untere Zahl zu schließen. - Überprüfe deine Ergebnisse am Ende, indem du die Mauer noch einmal von unten nach oben durchrechnest.

1. Unten links fehlt \(15:3=5\). 2. Rechts in der zweiten Reihe fehlt \(135:15=9\). 3. Unten rechts fehlt \(9:3=3\).

Die unterste Reihe ist \(5, 3, 3\). In der zweiten Reihe steht rechts die \(9\).

- Fehlt unten eine Zahl, frage dich: Welche Zahl minus die bekannte Zahl ergibt den Stein darüber? - Suche eine Stelle, an der von drei zusammengehörigen Steinen schon zwei Zahlen bekannt sind.

1. In der Mitte der zweiten Reihe steht \(200-80=120\). 2. Unten links fehlt \(300+200=500\), denn \(500-200=300\). 3. Links in der dritten Reihe steht \(300-120=180\). 4. Rechts in der zweiten Reihe fehlt \(120-75=45\). 5. Unten rechts fehlt \(80-45=35\). 6. An der Spitze steht \(180-75=105\).

Die vollständige Mauer hat: - Unterste Reihe: \(500, 200, 80, 35\) - Reihe 2: \(300, 120, 45\) - Reihe 3: \(180, 75\) - Spitze: \(105\)

- Finde zuerst die fehlende Zahl unten. - Welche Malaufgabe passt zur \(3\) in der zweiten Reihe? - Rechne mit der gefundenen Zahl Reihe für Reihe nach oben.

1. Links in der zweiten Reihe steht \(2\cdot1=2\). 2. Unten als dritter Stein fehlt die \(3\), denn \(1\cdot3=3\). 3. Rechts in der zweiten Reihe steht \(3\cdot2=6\). 4. In der dritten Reihe stehen \(2\cdot3=6\) und \(3\cdot6=18\). 5. An der Spitze steht \(6\cdot18=108\).

Die fehlenden Zahlen sind: unten \(3\), in der zweiten Reihe \(2\) und \(6\), in der dritten Reihe \(6\) und \(18\), an der Spitze \(108\).

- Arbeite von den bekannten Zahlen aus und suche Stellen, an denen nur noch eine Zahl fehlt. - Fehlt eine Zahl unten, hilft manchmal eine passende Plusaufgabe. - Prüfe deine Ergebnisse Reihe für Reihe mit der Mauerregel.

1. Unten als zweiter Stein fehlt \(250+200=450\), denn \(450-200=250\). 2. Links in der zweiten Reihe steht \(800-450=350\). 3. Links in der dritten Reihe steht \(350-250=100\). 4. Rechts in der zweiten Reihe fehlt \(250-100=150\). 5. Unten rechts fehlt \(200-150=50\). 6. An der Spitze steht \(100-100=0\).

Die fehlenden Zahlen sind: - Unterste Reihe: \(450\) und \(50\) - Zweite Reihe: \(350\) und \(150\) - Dritte Reihe links: \(100\) - Spitze: \(0\)

- Berechne bei allen drei Mauern die Zahl an der Spitze. - Welche Zahl steht jeweils in der Mitte der untersten Reihe? - Welche Zahl unten wird auf dem Weg zur Spitze zweimal mitgerechnet?

1. Mauer a): \(2\cdot3=6\), \(3\cdot4=12\). Spitze: \(6\cdot12=72\). 2. Mauer b): \(4\cdot3=12\), \(3\cdot2=6\). Spitze: \(12\cdot6=72\). 3. Mauer c): \(3\cdot2=6\), \(2\cdot4=8\). Spitze: \(6\cdot8=48\). 4. Mauern a) und b) haben oben beide \(72\). In Mauer c) steht die kleinste Zahl, die \(2\), in der Mitte. Die mittlere Zahl wird für beide Steine darüber gebraucht und deshalb zweimal mitgerechnet. Darum fällt die Zahl oben kleiner aus.

Mauer a) und b) haben oben beide \(72\). Bei Mauer c) steht oben \(48\). Das Ergebnis von c) ist anders, weil die mittlere Zahl unten zweimal mitgerechnet wird. In Mauer c) ist das die kleinste Zahl \(2\).

- Suche nach einem Stein, bei dem schon zwei der drei beteiligten Zahlen bekannt sind. - Wenn die Zahl links unten fehlt, hilft dir die Addition der beiden anderen Zahlen. - Kontrolliere am Ende jede Differenz von unten nach oben.

1. Unten als zweiter Stein fehlt \(90+60=150\), denn \(150-60=90\). 2. Rechts in der zweiten Reihe steht \(60-20=40\). 3. Links in der zweiten Reihe steht \(400-150=250\). 4. Links in der dritten Reihe steht \(250-90=160\). 5. Rechts in der dritten Reihe steht \(90-40=50\). 6. An der Spitze steht \(160-50=110\).

Die Mauer wird von unten nach oben mit folgenden Zahlen ergänzt: Reihe 1: \(400, 150, 60, 20\) Reihe 2: \(250, 90, 40\) Reihe 3: \(160, 50\) Reihe 4: \(110\)

- Mit zwei Seitensummen kennst du noch nicht automatisch alle drei Eckzahlen. - Wähle probeweise eine Zahl für oben und passe die beiden unteren Zahlen daran an. - Findest du zwei verschiedene passende Beispiele?

1. Die beiden Seitensummen zeigen nur: Rechts unten muss die Zahl um \(80\) größer sein als links unten. 2. Ein passendes Beispiel ist: oben \(100\), rechts unten \(300\), links unten \(220\). Dann entstehen \(400\) und \(320\). 3. Ein zweites passendes Beispiel ist: oben \(200\), rechts unten \(200\), links unten \(120\). Auch dann entstehen \(400\) und \(320\). 4. Deshalb lässt sich die obere Zahl nicht eindeutig bestimmen.

Nein. Die obere Eckzahl lässt sich nicht eindeutig bestimmen. Zum Beispiel passen oben/rechts unten/links unten sowohl \(100,300,220\) als auch \(200,200,120\).

- In wie vielen Seitensummen kommt die linke untere Ecke vor? - Wenn diese Ecke größer wird, werden genau diese Seitensummen mit größer. - Zusammen sollen die drei Seitensummen um \(80\) wachsen.

1. Die linke untere Ecke kommt in genau zwei Seitensummen vor. 2. Wird sie um eine Zahl größer, werden auch diese beiden Seitensummen jeweils um genau diese Zahl größer. 3. Zusammen sollen die Seitensummen um \(80\) wachsen. Deshalb muss die Ecke um \(40\) wachsen: von \(190\) auf \(230\). 4. Die untere und die linke Seitensumme wachsen jeweils um \(40\); die obere rechte Seite bleibt unverändert.

Die linke untere Ecke muss um \(40\) auf \(230\) erhöht werden. Die untere und die linke Seitensumme werden jeweils um \(40\) größer; die obere rechte bleibt gleich.

- Prüfe bei jedem Bild: Könnte noch eine Eckzahl verändert werden, ohne dass die sichtbaren Angaben falsch werden? - Ein einziges passendes Beispiel reicht noch nicht, um zu zeigen, dass die Zahlen feststehen. - Ergänze nur das Bild, bei dem alle drei Eckzahlen festgelegt sind.

1. In a) kann die linke untere Ecke noch verschiedene Werte haben. Die Angaben reichen also nicht aus. 2. In b) ist oben \(100\) bekannt. Daher ist rechts unten \(360 - 100 = 260\) und links unten \(440 - 100 = 340\). Unten ergibt sich \(260 + 340 = 600\). Hier sind alle Eckzahlen festgelegt. 3. In c) ist die obere Ecke unbekannt. Für verschiedene obere Eckzahlen lassen sich verschiedene passende untere Eckzahlen finden. Die Angaben reichen also nicht aus.

a) Nicht eindeutig bestimmbar: Oben steht \(100\), dadurch ist rechts unten zwar \(260\) festgelegt, aber links unten sind noch verschiedene Werte möglich. b) Bestimmbar: Oben steht \(100\), daher ist rechts unten \(360 - 100 = 260\) und links unten \(440 - 100 = 340\). Die untere Seitensumme ist \(260 + 340 = 600\). c) Nicht eindeutig bestimmbar: Die obere Ecke ist unbekannt. Verschiedene obere Eckzahlen führen zu verschiedenen passenden unteren Eckzahlen.

- Beim ersten Weg: Was verrät dir die Summe aller drei Seitensummen über die drei Ecken? - Beim zweiten Weg: Was verschwindet, wenn du zwei Seitensummen vergleichst? - Beide Wege müssen zu denselben drei Eckzahlen führen.

1. Weg 1: \(360 + 320 + 280 = 960\). Jede Eckzahl wird dabei zweimal gezählt. Die drei Eckzahlen zusammen ergeben also \(960 : 2 = 480\). Daraus folgen oben \(480 - 320 = 160\), rechts unten \(480 - 280 = 200\) und links unten \(480 - 360 = 120\). 2. Weg 2: \(360 - 320 = 40\). Deshalb ist die obere Ecke um \(40\) größer als die linke untere. Zusammen ergeben diese beiden Ecken \(280\). Also: \(280 - 40 = 240\), \(240 : 2 = 120\). Links unten steht \(120\), oben \(160\). Rechts unten folgt aus \(360 - 160 = 200\). 3. Beim ersten Weg beginnt man mit allen drei Seitensummen zusammen. Beim zweiten Weg beginnt man mit dem Unterschied zweier Seitensummen.

Weg 1: \(360 + 320 + 280 = 960\). Jede Eckzahl wird zweimal gezählt, also ergeben die drei Eckzahlen zusammen \(960 : 2 = 480\). Damit sind die Ecken oben \(160\), rechts unten \(200\) und links unten \(120\). Weg 2: \(360 - 320 = 40\). Die obere Ecke ist also um \(40\) größer als die linke untere. Aus \(280 - 40 = 240\) und \(240 : 2 = 120\) folgt links unten \(120\), oben \(160\) und rechts unten \(200\). Beim ersten Weg nutzt man zuerst alle drei Seitensummen zusammen, beim zweiten zuerst den Unterschied zweier Seitensummen.

- Vergleiche zwei Seitensummen, die eine Eckzahl gemeinsam haben. - Die gemeinsame Eckzahl steckt in beiden Summen. Was bleibt beim Unterschied übrig? - Suche zwei Unterschiede, die gleich groß sind.

1. \(350 - 275 = 75\). Beide Seitensummen enthalten die obere Ecke. Deshalb ist links unten um \(75\) größer als rechts unten. 2. \(425 - 350 = 75\). Beide Seitensummen enthalten die linke untere Ecke. Deshalb ist rechts unten um \(75\) größer als oben. 3. Also gilt: oben < rechts unten < links unten. Von einer Eckzahl zur nächsten sind es jeweils \(75\).

\(350 - 275 = 75\): Links unten ist um \(75\) größer als rechts unten. \(425 - 350 = 75\): Rechts unten ist um \(75\) größer als oben. Daher gilt oben < rechts unten < links unten. Der Abstand beträgt jeweils \(75\).

- Vergleiche zwei der gleich großen Seitensummen. Welche Eckzahl haben sie gemeinsam? - Was muss dann für die jeweils andere Eckzahl gelten? - Wenn alle drei Eckzahlen gleich sind, reicht eine Seitensumme, um ihren Wert zu finden.

1. Vergleiche zwei der gleich großen Seitensummen. Sie haben eine Eckzahl gemeinsam. Deshalb müssen auch die jeweils anderen Eckzahlen gleich groß sein. Das gilt für alle drei Seiten, also sind alle drei Eckzahlen gleich. 2. Jede Seitensumme besteht damit aus zwei gleichen Eckzahlen. Also ist jede Ecke \(400 : 2 = 200\). 3. Kontrolle: \(200 + 200 = 400\) an jeder Seite.

Ja. Vergleicht man zwei der gleich großen Seitensummen, haben sie eine Eckzahl gemeinsam. Deshalb müssen auch die jeweils anderen Eckzahlen gleich groß sein. So folgt, dass alle drei Eckzahlen gleich sind. Jede Ecke ist \(400 : 2 = 200\).

- Jede Seitensumme enthält zwei Ecken. Die gegenüberliegende Ecke fehlt. - Was bedeutet die größte Seitensumme für die Ecke, die dort fehlt? Und die kleinste Seitensumme? - Berechne danach die Eckzahlen zur Kontrolle.

1. Jede Seitensumme enthält zwei Eckzahlen; die gegenüberliegende Ecke kommt darin nicht vor. Deshalb liegt gegenüber der größten Seitensumme die kleinste Ecke und gegenüber der kleinsten Seitensumme die größte Ecke. 2. Die Seitensummen ergeben \(300 + 380 + 320 = 1000\). Jede Eckzahl wird dabei zweimal gezählt, also ergeben die drei Eckzahlen zusammen \(1000 : 2 = 500\). 3. Gegenüber \(380\) liegt die obere Ecke: \(500 - 380 = 120\). 4. Gegenüber \(320\) liegt rechts unten: \(500 - 320 = 180\). Gegenüber \(300\) liegt links unten: \(500 - 300 = 200\).

Gegenüber der größten Seitensumme \(380\) liegt die kleinste Ecke: oben. Gegenüber der kleinsten Seitensumme \(300\) liegt die größte Ecke: links unten. Zur Kontrolle: \(300 + 380 + 320 = 1000\), also ergeben die drei Eckzahlen zusammen \(500\). Damit stehen oben \(120\), rechts unten \(180\) und links unten \(200\).

- Welche untere Ecke kannst du mit \(160\) und \(360\) zuerst finden? - Was verrät dir die Summe \(900\) über alle drei Eckzahlen zusammen? - Nutze beide Informationen für die noch fehlende Ecke und prüfe die Seiten.

1. Rechts unten: \(360 - 160 = 200\). 2. Wenn du alle drei Seitensummen addierst, wird jede Eckzahl zweimal gezählt. Die drei Eckzahlen zusammen ergeben daher \(900 : 2 = 450\). 3. Links unten steht \(450 - 160 - 200 = 90\). 4. Unten: \(200 + 90 = 290\). Links: \(90 + 160 = 250\). 5. Kontrolle: \(360 + 290 + 250 = 900\).

Rechts unten steht \(200\), links unten \(90\). Die fehlenden Seitensummen sind \(290\) und \(250\).

- Die beiden unteren Eckzahlen müssen zusammen \(400\) ergeben. - Wie groß muss ihr Unterschied sein, damit sich auch die beiden oberen Seitensummen um \(80\) unterscheiden? - Suche passende Vielfache von \(20\) und prüfe danach alle drei Seitensummen.

1. Die beiden unteren Ecken müssen zusammen \(400\) ergeben. 2. Der Unterschied der beiden oberen Seitensummen entspricht dem Unterschied der beiden unteren Ecken. Daher müssen sich die unteren Ecken um \(80\) unterscheiden. 3. Passend sind rechts unten \(240\) und links unten \(160\). 4. Die Seitensummen sind oben rechts \(120 + 240 = 360\), unten \(400\) und links \(120 + 160 = 280\).

Rechts unten steht \(240\), links unten \(160\). Die Seitensummen sind \(360\), \(400\) und \(280\).

- Was verrät die Gesamtsumme \(900\) der drei Seiten über die drei Eckzahlen zusammen? - Für a) und b) brauchst du zwei verschiedene Verteilungen der Eckzahlen. - Prüfe jeweils, ob die vorgegebene untere Seite wirklich die größte ist.

1. In beiden Dreiecken müssen die drei Eckzahlen zusammen \(450\) ergeben, weil beim Addieren aller Seitensummen jede Eckzahl zweimal gezählt wird. 2. Für a) passt zum Beispiel: oben \(50\), rechts unten \(180\), links unten \(220\). Die Seitensummen sind \(230\), \(400\), \(270\). 3. Für b) passt zum Beispiel: oben \(100\), rechts unten \(160\), links unten \(190\). Die Seitensummen sind \(260\), \(350\), \(290\). 4. In beiden Fällen ergeben die Seitensummen zusammen \(900\), und die verlangte untere Seitensumme ist jeweils die größte.

Eine mögliche Lösung ist: a) Ecken \(50\), \(180\), \(220\); Seitensummen \(230\), \(400\), \(270\). b) Ecken \(100\), \(160\), \(190\); Seitensummen \(260\), \(350\), \(290\). Andere passende Lösungen sind möglich.

- Bestimme zuerst alle drei Eckzahlen von b). - Vergleiche sie danach mit den drei Eckzahlen aus a). - Achte nicht nur auf die Zahlen selbst, sondern auch darauf, an welcher Stelle sie stehen.

1. In b) ergeben die Seitensummen zusammen \(320 + 220 + 260 = 800\). Die drei Ecken haben daher zusammen die Summe \(400\). 2. Oben liegt der unteren Seitensumme \(220\) gegenüber: \(400 - 220 = 180\). 3. Rechts unten liegt der linken Seitensumme \(260\) gegenüber: \(400 - 260 = 140\). 4. Links unten liegt der oberen rechten Seitensumme \(320\) gegenüber: \(400 - 320 = 80\). 5. Damit enthält b) dieselben Eckzahlen \(80\), \(140\), \(180\) wie a). Obere und linke untere Ecke haben ihre Plätze getauscht; die rechte untere Ecke bleibt \(140\).

In b) stehen oben \(180\), rechts unten \(140\), links unten \(80\). Es sind dieselben drei Zahlen wie in a); oben und links unten wurden vertauscht.

- Es reicht nicht, dass dieselben drei Seitensummen irgendwo entstehen. Sie müssen auch an den richtigen Seiten stehen. - Prüfe, welche beiden Eckzahlen zu jeder eingezeichneten Seitensumme gehören. - Finde Eckzahlen, die zu allen drei Seiten gleichzeitig passen.

1. Leas Ecken erzeugen die Seitensummen \(80 + 120 = 200\), \(120 + 200 = 320\) und \(200 + 80 = 280\). Die beiden letzten Seitensummen liegen also an den falschen Seiten. 2. Die vorgegebenen Seitensummen ergeben zusammen \(200 + 280 + 320 = 800\); die Ecksumme ist \(400\). 3. Oben: \(400 - 280 = 120\). Rechts unten: \(400 - 320 = 80\). Links unten: \(400 - 200 = 200\). 4. Damit entstehen genau \(200\), \(280\), \(320\) an den vorgegebenen Seiten.

Leas Eckzahlen passen nicht zu den Stellen der Seitensummen. Richtig ist: oben \(120\), rechts unten \(80\), links unten \(200\).

- Welche Seitensumme ist gleich geblieben? - Die beiden Eckzahlen an dieser Seite müssen dann unverändert sein. - Die beiden anderen Seitensummen werden gleich stark größer. Welche gemeinsame Ecke wurde also verändert?

1. Die linke Seitensumme bleibt mit \(400\) gleich. Deshalb bleiben die beiden Eckzahlen an dieser Seite unverändert: oben \(220\) und links unten \(180\). 2. Die beiden anderen Seitensummen werden jeweils um \(40\) größer: von \(360\) auf \(400\) und von \(320\) auf \(360\). 3. In beiden Seiten steckt die rechte untere Ecke. Sie wurde also um \(40\) von \(140\) auf \(180\) erhöht. 4. In b) stehen oben \(220\), rechts unten \(180\), links unten \(180\).

Verändert wurde die rechte untere Ecke. Sie wurde um \(40\) von \(140\) auf \(180\) erhöht. In b) stehen die Ecken \(220\), \(180\), \(180\).

- Die Reihenfolge von Summanden verändert eine Summe nicht. - Welche Seite enthält genau die beiden vertauschten unteren Ecken? - Verfolge danach, welche untere Ecke an welcher Seite der unveränderten oberen Ecke liegt.

1. In a) sind die Seitensummen oben rechts \(400\), unten \(340\) und links \(260\). 2. In b) sind sie oben rechts \(260\), unten \(340\) und links \(400\). 3. Die untere Seite enthält in beiden Bildern dieselben beiden Zahlen \(240\) und \(100\), nur in vertauschter Reihenfolge. Ihre Summe bleibt \(340\). 4. Die beiden Seiten an der oberen Ecke tauschen ihre Werte, weil die beiden unteren Ecken ihre Plätze wechseln.

Die untere Seitensumme bleibt gleich, weil dort weiterhin dieselben beiden Zahlen \(240\) und \(100\) addiert werden: \(240 + 100 = 340\). In a) sind die Seitensummen \(400\), \(340\), \(260\); in b) sind sie \(260\), \(340\), \(400\). Damit tauschen die beiden Seiten an der oberen Ecke die Werte \(400\) und \(260\).

- Verfolge jede Eckposition getrennt von a) nach b) nach c). - Eine Seitensumme wächst um die Summe der Änderungen ihrer beiden Ecken. - Nutze dieses Änderungsmuster auch als Kontrolle für die Werte von d).

1. Nach c) folgen die Eckzahlen \(130\), \(260\) und \(390\). 2. Die Seitensummen in d) sind \(130 + 260 = 390\), \(260 + 390 = 650\) und \(390 + 130 = 520\). 3. Oben rechts wachsen die beiden Ecken pro Schritt um \(10\) und \(20\); die Seitensumme wächst daher um \(30\). 4. Unten wächst sie um \(20 + 30 = 50\), links um \(30 + 10 = 40\).

d) hat die Ecken \(130\), \(260\), \(390\) und die Seitensummen \(390\), \(650\), \(520\). Die Seitensummen wachsen pro Schritt um \(30\), \(50\) und \(40\).

- Jede Seitensumme besteht aus zwei Eckzahlen. - Wenn jede Seitensumme um \(60\) wächst: Welche gleiche Änderung an allen Eckzahlen würde dazu passen? - Prüfe danach die Eckzahlen von b) mit den drei Seitensummen.

1. In a) sind die Ecken \(90\), \(130\), \(180\); die Seitensummen sind \(220\), \(310\), \(270\). 2. In b) sind die Seitensummen deshalb \(280\), \(370\), \(330\). 3. Zusammen ergeben sie \(980\). Jede Eckzahl wird dabei zweimal gezählt, also ergeben die drei Eckzahlen zusammen \(980 : 2 = 490\). 4. Oben: \(490 - 370 = 120\). Rechts unten: \(490 - 330 = 160\). Links unten: \(490 - 280 = 210\). 5. Jede Ecke ist gegenüber a) um \(30\) größer. Deshalb wächst auch jede Seitensumme um \(30 + 30 = 60\).

In b) stehen die Ecken \(120\), \(160\), \(210\). Jede Ecke ist gegenüber a) um \(30\) größer.

- Welche Bedingung muss die obere Eckzahl wegen der beiden oberen Seitenprodukte erfüllen? - Nutze zusätzlich die Information, dass alle drei Eckzahlen einstellig sind. - Prüfe deine gefundenen Ecken zuletzt am unteren Seitenprodukt.

1. Die obere Eckzahl muss sowohl zu \(56\) als auch zu \(42\) passen. Als einstellige Möglichkeiten kommen \(1\), \(2\) und \(7\) infrage. 2. Mit \(1\) oder \(2\) würden die unteren Eckzahlen größer als \(9\). Deshalb muss oben \(7\) stehen. 3. Rechts unten steht \(56 : 7 = 8\), links unten \(42 : 7 = 6\). 4. Kontrolle unten: \(8 \cdot 6 = 48\). Damit stimmen alle drei Seiten.

Oben steht \(7\), rechts unten \(8\) und links unten \(6\). Kontrolle: \(7 \cdot 8 = 56\), \(8 \cdot 6 = 48\) und \(6 \cdot 7 = 42\).

- Die obere Eckzahl muss zu beiden vorgegebenen Seitenprodukten passen. - Beachte zusätzlich die Bedingung, dass jede Eckzahl zwischen \(1\) und \(9\) liegt. - Wenn du eine obere Ecke ausprobierst, ergeben sich die beiden unteren Ecken durch Division.

1. Die obere Eckzahl muss sowohl ein Faktor von \(24\) als auch von \(18\) sein. 2. Mit oberer Ecke \(3\) erhält man rechts unten \(8\) und links unten \(6\). Unten steht \(8 \cdot 6 = 48\). 3. Mit oberer Ecke \(6\) erhält man rechts unten \(4\) und links unten \(3\). Unten steht \(4 \cdot 3 = 12\). 4. Andere gemeinsame Faktoren führen bei mindestens einer unteren Ecke aus dem Bereich von \(1\) bis \(9\) heraus. Daher gibt es genau diese beiden Möglichkeiten.

Möglichkeit 1: oben \(3\), rechts unten \(8\), links unten \(6\), unten \(48\). Möglichkeit 2: oben \(6\), rechts unten \(4\), links unten \(3\), unten \(12\).