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- Zähle die Kästchen in A. - Zähle die Kästchen in B und vergleiche.

1. A bedeckt \(4\) Einheitsquadrate. 2. B bedeckt \(4\) Einheitsquadrate. 3. Beide Figuren sind flächengleich.

A und B haben jeweils den Flächeninhalt \(4\) Einheitsquadrate und sind flächengleich.

- Suche zuerst nach einem Teil, der in beiden Figuren genau gleich groß ist. - Wenn du den gemeinsamen Teil gedanklich wegnimmst, welche Reststücke bleiben übrig? - Für den Unterschied musst du nur die beiden Reststücke vergleichen.

1. Beide Figuren besitzen unten denselben rechteckigen Teil mit Breite 4 und Höhe 2. Dieser gemeinsame Teil muss für den Vergleich nicht berechnet werden. 2. Über diesem gemeinsamen Teil besitzt Figur A ein Rechteck aus 2 Reihen mit je 2 Einheitsquadraten. 3. Figur B besitzt dort 3 Reihen mit je 2 Einheitsquadraten. Gegenüber Figur A kommt also genau eine zusätzliche Reihe mit 2 Einheitsquadraten hinzu. 4. Deshalb ist Figur B um 2 Einheitsquadrate größer als Figur A.

Figur B ist um 2 Einheitsquadrate größer als Figur A.

- Welche Teile der Figuren kannst du direkt mit Einheitsquadraten erfassen, und wo brauchst du eine Zerlegung oder Ergänzung? - Suche bei Figur B nach einfachen Teilflächen, deren Flächen sich ohne Überlappung zusammensetzen lassen. - Für Teil c): Welche ganzzahligen Seitenpaare können denselben Flächeninhalt ergeben wie dein Ergebnis aus b)? - Prüfe ein gefundenes Seitenpaar durch Multiplikation.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur A: Die Figur A lässt sich durch Abzählen direkt in Einheitsquadrate zerlegen. Sie besteht aus \(5\) ganzen Kästchen. Der Flächeninhalt beträgt somit \(5\,\text{Kästchen}\). 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur B: Die Figur B kann in einen unteren und einen oberen Teil zerlegt werden. - Der untere Teil ist ein Rechteck mit einer Breite von \(4\,\text{Kästchen}\) und einer Höhe von \(2\,\text{Kästchen}\). Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 2 = 8\,\text{Kästchen}\). - Der obere Teil ist ein Dreieck mit einer Grundseite von \(4\,\text{Kästchen}\) und einer Höhe von \(2\,\text{Kästchen}\). Dieses Dreieck lässt sich in zwei Hälften teilen, die zusammengelegt ein Rechteck der Größe \(2 \cdot 2 = 4\,\text{Kästchen}\) ergeben. - Der gesamte Flächeninhalt von Figur B beträgt \(8 + 4 = 12\,\text{Kästchen}\). 3. Rechteck mit gleichem Flächeninhalt: Ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von \(12\,\text{Kästchen}\) kann verschiedene ganzzahlige Seitenlängen haben. Mögliche Kombinationen für Länge und Breite sind: - \(3\) und \(4\) (da \(3 \cdot 4 = 12\)) - \(2\) und \(6\) (da \(2 \cdot 6 = 12\)) - \(1\) und \(12\) (da \(1 \cdot 12 = 12\))

a) Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(5\,\text{Kästchen}\). b) Der Flächeninhalt von Figur B beträgt \(12\,\text{Kästchen}\). c) Ein mögliches Rechteck hat die Seitenlängen \(3\) und \(4\) (oder \(2\) und \(6\) bzw. \(1\) und \(12\)).

- Welche Fläche kannst du bei jeder Figur direkt zählen oder durch eine bekannte Form bestimmen? - Überlege bei der Figur mit schrägem Rand, wie sie zu einer einfacheren Vergleichsfläche ergänzt werden könnte. - Finde für die L-Form eine Zerlegung in Teilflächen, ohne dir ihre Größen vorzugeben. - Welche der vorgegebenen Aussagen passt zu allen drei selbst bestimmten Flächeninhalten?

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Quadrat A: Seitenlänge \(2\,\text{Längeneinheiten}\) ergibt einen Flächeninhalt von \(2 \cdot 2 = 4\,\text{FE}\). 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Dreieck B: Grundseite \(4\,\text{Längeneinheiten}\) und Höhe \(2\,\text{Längeneinheiten}\) ergeben einen Flächeninhalt von \(\frac{4 \cdot 2}{2} = 4\,\text{FE}\). 3. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur C: Zerlegung in ein vertikales Rechteck (\(1 \times 2\)) und ein horizontales Rechteck (\(2 \times 1\)) ergibt einen Gesamtflächeninhalt von \(2 + 2 = 4\,\text{FE}\). 4. Vergleich der Flächeninhalte: Alle drei Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(4\,\text{FE}\).

Alle drei Figuren haben denselben Flächeninhalt.

- Zähle für jede Figur, wie viele Einheitsquadrate innerhalb ihres Randes liegen. - Wenn das direkte Zählen unübersichtlich wird, suche nach einer Zerlegung in einfache Teilflächen. - Kontrolliere, ob du bei einer Figur eine ausgesparte Fläche berücksichtigen musst. - Vergleiche erst danach die drei Flächeninhalte.

1. Bestimmung der Flächeninhalte durch Zählen der Einheitsquadrate: - **Figur A:** Die Figur lässt sich in einen vertikalen Balken links (Größe \(1 \times 3\), also \(3\) Einheitsquadrate) und einen horizontalen Balken rechts unten (Größe \(2 \times 1\), also \(2\) Einheitsquadrate) zerlegen. Der Flächeninhalt beträgt \(3 + 2 = 5\) Einheitsquadrate. - **Figur B:** Die T-Figur besteht aus einem horizontalen Balken der Größe \(3 \times 1\) unten (\(3\) Einheitsquadrate) und einem vertikalen Balken der Größe \(1 \times 2\) darüber (\(2\) Einheitsquadrate). Zusammen sind das \(3 + 2 = 5\) Einheitsquadrate. - **Figur C:** Die U-Figur lässt sich aus einem großen Quadrat der Größe \(3 \times 3\) abzüglich der freien Fläche im Inneren der Größe \(1 \times 2\) berechnen: \(9 - 2 = 7\) Einheitsquadrate. Alternativ zählen wir die Quadrate direkt: zwei Säulen links und rechts mit je \(3\) Einheitsquadraten und ein verbindendes Quadrat in der Mitte unten. Das ergibt \(3 + 3 + 1 = 7\) Einheitsquadrate. 2. Vergleich: Da Figur C einen Flächeninhalt von \(7\) Einheitsquadraten besitzt, während die Figuren A und B jeweils nur \(5\) Einheitsquadrate groß sind, hat Figur C den größten Flächeninhalt.

a) Figur A: \(5\) Einheitsquadrate, Figur B: \(5\) Einheitsquadrate, Figur C: \(7\) Einheitsquadrate b) Figur C hat den größten Flächeninhalt.

- Zähle zuerst die ganzen Quadrate, die vollständig innerhalb der Figur liegen. - Kannst du die schrägen Linien oder Dreiecke so zusammensetzen, dass daraus ganze Quadrate entstehen? - Zerlege die Figuren in einfachere Formen wie Rechtecke oder Quadrate, deren Größe du leicht bestimmen kannst. - Vergleiche am Ende die beiden Zahlenwerte, die du für die Flächeninhalte berechnet hast.

1. **Flächeninhalt von Figur A:** Figur A ist ein symmetrisches Trapez. Man kann es in ein mittleres Rechteck der Breite 2 und Höhe 2 (Flächeninhalt: \(2 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate) und zwei seitliche Dreiecke mit jeweils der Grundseite 1 und Höhe 2 (Flächeninhalt: \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\) Einheitsquadrat) zerlegen. Der Gesamtflächeninhalt von Figur A beträgt: \(4 + 1 + 1 = 6\) Einheitsquadrate. 2. **Flächeninhalt von Figur B:** Figur B ist eine stufenförmige Figur. Man kann sie in zwei Rechtecke zerlegen: - Ein unteres, liegendes Rechteck mit der Breite 4 und der Höhe 1 (Flächeninhalt: \(4 \cdot 1 = 4\) Einheitsquadrate). - Ein oberes, stehendes Rechteck mit der Breite 1 und der Höhe 2 (Flächeninhalt: \(1 \cdot 2 = 2\) Einheitsquadrate). Der Gesamtflächeninhalt von Figur B beträgt: \(4 + 2 = 6\) Einheitsquadrate. 3. **Vergleich:** Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(6\) Einheitsquadraten, obwohl sie eine völlig unterschiedliche Form besitzen.

a) Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(6\) Einheitsquadrate. b) Der Flächeninhalt von Figur B beträgt \(6\) Einheitsquadrate. c) Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(6\) Einheitsquadraten.

- Welche bekannte Form kannst du für das Rechteck direkt nutzen, ohne Kästchen einzeln abzuzählen? - Suche für das Dreieck eine rechteckige Vergleichsfläche, zu der es in einer einfachen Beziehung steht. - Bestimme beide Flächen mit einer passenden Flächenbeziehung und vergleiche erst dann.

1. Das Rechteck a) hat die Seitenlängen \(4\) und \(1\). Daher beträgt sein Flächeninhalt \(4 \cdot 1 = 4\) Einheitsquadrate. 2. Das Dreieck b) ist genau halb so groß wie ein Rechteck mit den Seitenlängen \(2\) und \(4\). Dieses Rechteck hat \(2 \cdot 4 = 8\) Einheitsquadrate, also hat das Dreieck \(4\) Einheitsquadrate. 3. Beide Flächen sind \(4\) Einheitsquadrate groß. Daher haben die Figuren denselben Flächeninhalt.

Beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt von \(4\) Einheitsquadraten.

- Du kannst die Kästchen in den Figuren zählen oder die Flächen berechnen. - Bei den Dreiecken hilft es zu überlegen, aus wie vielen Kästchen ein Rechteck bestünde, das genau doppelt so groß ist. - Vergleiche die Ergebnisse am Ende sorgfältig.

1. Flächeninhalt von Figur a (Quadrat): \(2 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. 2. Flächeninhalt von Figur b (Rechteck): \(4 \cdot 1 = 4\) Einheitsquadrate. 3. Flächeninhalt von Figur c (Dreieck): Grundseite \(3\), Höhe \(2\). Fläche: \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\) Einheitsquadrate. 4. Flächeninhalt von Figur d (Dreieck): Grundseite \(4\), Höhe \(2\). Fläche: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. 5. Ergebnis: Die Figuren a, b und d haben alle einen Flächeninhalt von \(4\).

Die Figuren a, b und d haben den gleichen Flächeninhalt.

- Zähle für jede Figur einzeln, wie viele ganze Kästchen sie bedeckt. - Du kannst die Kästchen in Reihen oder Spalten zählen und die Ergebnisse addieren. - Vergleiche am Ende die beiden Zahlen miteinander.

1. Figur a) ist ein Rechteck. Es besteht aus \(2\) Reihen mit jeweils \(4\) Kästchen. Insgesamt sind das \(4 + 4 = 8\) Kästchen. 2. Figur b) ist eine treppenartige Figur. In der unteren Reihe befinden sich \(5\) Kästchen, in der oberen Reihe \(3\) Kästchen. Insgesamt sind das \(5 + 3 = 8\) Kästchen. 3. Da beide Figuren aus jeweils \(8\) Kästchen bestehen, haben sie denselben Flächeninhalt.

Ja, beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt von \(8\,\text{Einheitsquadraten}\).

- Zähle zuerst die ganzen Quadrate im Inneren der Figuren. - Überlege, wie du halbe Quadrate oder schräge Linien zu ganzen Quadraten zusammensetzen kannst. - Du kannst die Figuren auch in einfachere Formen wie Rechtecke oder Dreiecke zerlegen.

1. Figur a) ist ein Rechteck mit Breite \(3\) und Höhe \(2\). Sein Flächeninhalt beträgt \(3 \cdot 2 = 6\) Einheitsquadrate. 2. Figur b) lässt sich in ein Rechteck der Größe \(2 \times 2\) und ein angrenzendes rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\) zerlegen. Der Flächeninhalt beträgt \(2 \cdot 2 + \frac{2 \cdot 2}{2} = 4 + 2 = 6\) Einheitsquadrate. 3. Figur c) kann durch Abschneiden und Umlegen eines Dreiecks in ein Rechteck der Größe \(2 \times 2\) verwandelt werden. Ihr Flächeninhalt beträgt \(2 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. 4. Die Figuren a) und b) haben denselben Flächeninhalt von \(6\) Einheitsquadraten.

Die Figuren a) und b) sind gleich groß. Ihr Flächeninhalt beträgt jeweils \(6\) Einheitsquadrate.

- Welche Einheitsquadrate liegen vollständig innerhalb der beiden Figuren? - Bei Figur b) kann eine Zerlegung in zwei Rechtecke das Bestimmen der Fläche übersichtlicher machen. - Vergleiche die beiden Flächeninhalte erst, nachdem du sie unabhängig bestimmt hast.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur a): Es handelt sich um ein Quadrat mit einer Seitenlänge von \(3\) Einheiten. Der Flächeninhalt beträgt \(3 \cdot 3 = 9\) Einheitsquadrate. 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur b): Die Figur kann in zwei Rechtecke zerlegt werden. Ein linkes Rechteck der Größe \(2 \times 2\) hat den Inhalt \(4\) Einheitsquadrate. Ein rechtes Rechteck der Größe \(2 \times 3\) hat den Inhalt \(6\) Einheitsquadrate. Der Gesamtinhalt ist \(4 + 6 = 10\) Einheitsquadrate. 3. Vergleich: Da \(10 > 9\), ist Figur b) größer als Figur a).

Figur b) hat mit \(10\) Einheitsquadraten einen größeren Flächeninhalt als Figur a), die \(9\) Einheitsquadrate groß ist.

- Zähle bei beiden Figuren die Einheitsquadrate innerhalb des Randes. - Bei Figur b) kannst du zeilenweise oder in Teilbalken zählen. - Vergleiche anschließend die beiden Anzahlen.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur a): Ein Rechteck mit \(3\) Spalten und \(2\) Reihen ergibt \(3 \cdot 2 = 6\) Einheitsquadrate. 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur b): Die T-förmige Figur besteht aus einem unteren Balken mit \(3\) Einheitsquadraten und einem mittleren oberen Balken mit \(2\) weiteren Einheitsquadraten. Insgesamt sind es \(3 + 2 = 5\) Einheitsquadrate. 3. Vergleich: Da \(6 > 5\), hat Figur a) den größeren Flächeninhalt.

Figur a) ist mit \(6\) Einheitsquadraten größer als Figur b), die nur \(5\) Einheitsquadrate groß ist.

- Berechne für jedes Feld einzeln den Flächeninhalt. - Überlege, welches Rechenverfahren du für Rechteck und Quadrat benutzt. - Bestimme anschließend den Unterschied der beiden Flächeninhalte.

1. Feld a) hat den Flächeninhalt \(60\,\text{m} \cdot 40\,\text{m} = 2400\,\text{m}^2\). 2. Feld b) hat den Flächeninhalt \(50\,\text{m} \cdot 50\,\text{m} = 2500\,\text{m}^2\). 3. Der Unterschied beträgt \(2500\,\text{m}^2 - 2400\,\text{m}^2 = 100\,\text{m}^2\).

Feld b) ist um \(100\,\text{m}^2\) größer als Feld a).

- Vergleiche nicht zuerst die bedeckten Kästchen, sondern den gleichen äußeren Rahmen beider Figuren. - Welche Teile dieses Rahmens fehlen jeweils? - Wenn zwei gleich große Ausgangsflächen verschieden große Stücke verlieren, welche Restfläche ist größer?

1. Beide Figuren haben denselben vollständigen \(3 \times 3\)-Rahmen als Vergleichsfläche. 2. Bei Figur a) fehlt oben rechts genau ein Einheitsquadrat. 3. Bei Figur b) fehlt oben rechts ein Rechteck aus zwei Einheitsquadraten. 4. Von derselben Ausgangsfläche wird bei b) mehr weggenommen. Deshalb hat a) den größeren Flächeninhalt. Der Unterschied beträgt ein Einheitsquadrat.

Figur a) hat den größeren Flächeninhalt. Im gleichen \(3 \times 3\)-Rahmen fehlt bei a) ein Einheitsquadrat, bei b) fehlen zwei; daher ist a) um ein Einheitsquadrat größer.

- Welche einfachen Teilflächen oder bekannten Formen erkennst du in jeder Figur? - Bei einer Figur mit schrägem Rand: Kann eine passende Ergänzung helfen, den Flächeninhalt mit einer bekannten Fläche zu vergleichen? - Suche für die Treppenfigur nach einer Zerlegung, bei der sich keine Teilflächen überlappen. - Was sagt der Vergleich deiner drei Ergebnisse über Form und Flächeninhalt aus?

1. Figur A ist ein Rechteck mit der Breite \(3\) und der Höhe \(2\). Der Flächeninhalt beträgt \(3 \cdot 2 = 6\) Einheitsquadrate. 2. Figur B ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Grundseite von \(4\) und einer Höhe von \(3\). Man kann es zu einem Rechteck der Größe \(4 \times 3\) mit dem Flächeninhalt \(12\) ergänzen. Das Dreieck ist halb so groß und hat daher den Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) Einheitsquadrate. 3. Figur C ist eine Treppenfigur. Zerlegt man sie in vertikale Spalten, erhält man Spalten der Höhen \(3\), \(2\) und \(1\). Zusammen ergibt das \(3 + 2 + 1 = 6\) Einheitsquadrate. 4. Alle drei Flächeninhalte sind gleich groß. Trotz ihrer unterschiedlichen Formen haben A, B und C jeweils den Flächeninhalt \(6\) Einheitsquadrate.

a) Der Flächeninhalt jeder der drei Figuren beträgt jeweils \(6\,\text{Einheitsquadrate}\). - Figur A: Ein Rechteck mit \(3 \cdot 2 = 6\,\text{Einheitsquadraten}\). - Figur B: Ein Dreieck, das die Hälfte eines \(4 \times 3\)-Rechtecks einnimmt, also \(\frac{1}{2} \cdot 12 = 6\,\text{Einheitsquadrate}\). - Figur C: Eine Treppenfigur, die sich aus \(3 + 2 + 1 = 6\,\text{Einheitsquadraten}\) zusammensetzt. b) Alle drei Figuren haben trotz ihrer völlig unterschiedlichen Formen genau denselben Flächeninhalt.

- Kannst du zählen, wie viele kleine Quadrate im Inneren jeder Figur liegen? - Haben alle Figuren die gleiche Anzahl an Quadraten im Inneren? - Um den Umfang zu bestimmen, kannst du dir vorstellen, am äußeren Rand der Figur entlangzugehen. Wie viele Schritte von einem Stift zum nächsten musst du für eine Runde machen? - Achte beim Umrunden von Figur C darauf, auch die Schritte zu zählen, die nach innen und wieder nach außen führen.

1. Flächeninhalt bestimmen: - Figur A: Ein Rechteck aus \(4 \times 2\) Quadraten. Der Flächeninhalt beträgt \(8\) Einheitsquadrate. - Figur B: Ein L-förmiges Muster. Der Flächeninhalt beträgt \(8\) Einheitsquadrate. - Figur C: Ein U-förmiges Muster. Der Flächeninhalt beträgt \(8\) Einheitsquadrate. - Ergebnis: Alle drei Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(8\) Einheitsquadraten (sie sind flächengleich). 2. Umfang bestimmen: - Der Umfang wird durch das Zählen der Gitterabschnitte am äußeren Rand ermittelt. - Figur A: \(4 + 2 + 4 + 2 = 12\,\text{LE}\) - Figur B: \(5 + 1 + 2 + 1 + 3 + 2 = 14\,\text{LE}\) - Figur C: \(4 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 3 = 18\,\text{LE}\) - Ergebnis: Figur C hat mit \(18\,\text{LE}\) den größten Umfang.

a) Alle drei Figuren haben den gleichen Flächeninhalt von \(8\) Einheitsquadraten. b) Der Umfang von Figur A beträgt \(12\,\text{LE}\), von Figur B \(14\,\text{LE}\) und von Figur C \(18\,\text{LE}\). Figur C hat den größten Umfang.

- Beim Versetzen eines ganzen Einheitsquadrats bleibt sein Flächeninhalt erhalten. - Welche Lücke in einem gedachten Rechteck könntest du mit dem obersten Quadrat von B füllen? - Führe dieselbe Idee bei C aus und achte darauf, ob danach noch eine Lücke bleibt.

1. Bei Figur B kann das oberste Einheitsquadrat in die freie Stelle rechts in der mittleren Reihe versetzt werden. Dadurch entsteht ein Rechteck mit 3 Spalten und 2 Reihen, genau wie Figur A. Das Versetzen ändert den Flächeninhalt nicht, also sind A und B gleich groß. 2. Bei Figur C kann das oberste Einheitsquadrat ebenfalls nach unten versetzt werden. Danach lässt sich die Figur innerhalb eines Rechtecks wie A anordnen, aber eine Stelle bleibt frei. 3. Figur C hat deshalb genau ein Einheitsquadrat weniger Fläche als A.

a) Figur B kann durch Versetzen eines Einheitsquadrats zu einem Rechteck wie A umgeformt werden; A und B sind gleich groß. b) Figur C hat 1 Einheitsquadrat weniger Fläche als A.

- Welche einfachen Vergleichsflächen erkennst du bei den drei unterschiedlich geformten Figuren? - Bei schrägen Rändern kann es helfen, eine Figur gedanklich zu ergänzen oder einen Teil zu verschieben. Welche Möglichkeit passt jeweils? - Prüfe bei jeder Zerlegung, ob die Teilflächen die Figur genau und ohne Überlappung abdecken. - Vergleiche erst die selbst bestimmten Flächeninhalte, bevor du eine Aussage über die drei Formen formulierst.

1. Zerlegen von Figur A (Trapez) in ein mittleres Rechteck der Größe \(2 \times 2\) und zwei äußere Dreiecke der Größe \(1 \times 2\). Berechnung des Flächeninhalts: \(2 \cdot 2 + 2 \cdot \left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right) = 4 + 2 = 6\) Einheitsquadrate. 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur B (Dreieck) über das umgebende Rechteck der Größe \(4 \times 3\) und anschließende Halbierung: \(\frac{4 \cdot 3}{2} = 6\) Einheitsquadrate. 3. Umformung von Figur C (Parallelogramm) in ein Rechteck der Größe \(3 \times 2\) durch Verschieben eines dreieckigen Teilbereichs. Berechnung des Flächeninhalts: \(3 \cdot 2 = 6\) Einheitsquadrate. 4. Vergleich der Ergebnisse: Alle drei Figuren besitzen denselben Flächeninhalt von \(6\) Einheitsquadraten.

a) Der Flächeninhalt jeder einzelnen Figur (A, B und C) beträgt \(6\) Einheitsquadrate. b) Alle drei Figuren haben denselben Flächeninhalt.

- Versuche, die Kästchen innerhalb der beiden Figuren zu zählen. - Wenn eine Figur schräge Linien hat, kannst du versuchen, halbe Kästchen oder Dreiecke zu erkennen, die zusammengelegt ein ganzes Kästchen ergeben. - Kannst du die Figuren in kleinere, einfachere Formen wie Quadrate, Rechtecke oder Dreiecke zerlegen? - Berechne den Flächeninhalt für jede Figur einzeln und vergleiche die beiden Ergebnisse.

1. Flächeninhalt von Figur A bestimmen: - Figur A ist eine L-förmige Figur. - Wir können sie in zwei Rechtecke zerlegen: ein senkrechtes Rechteck links (Breite \(1\,\text{cm}\), Höhe \(2\,\text{cm}\), Fläche \(2\,\text{cm}^2\)) und ein waagerechtes Rechteck unten (Breite \(3\,\text{cm}\), Höhe \(1\,\text{cm}\), Fläche \(3\,\text{cm}^2\)). - Der Gesamtflächeninhalt von Figur A beträgt \(2\,\text{cm}^2 + 3\,\text{cm}^2 = 5\,\text{cm}^2\). Alternativ ergibt das Zählen der vollen Quadrate genau \(5\) Einheitsquadrate. 2. Flächeninhalt von Figur B bestimmen: - Figur B ist ein Trapez. - Wir können es in ein Quadrat links (Seitenlänge \(2\,\text{cm}\), Fläche \(4\,\text{cm}^2\)) und ein rechtwinkliges Dreieck rechts (Grundseite \(1\,\text{cm}\), Höhe \(2\,\text{cm}\), Fläche \(\frac{1}{2} \cdot 1\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 1\,\text{cm}^2\)) zerlegen. - Der Gesamtflächeninhalt von Figur B beträgt \(4\,\text{cm}^2 + 1\,\text{cm}^2 = 5\,\text{cm}^2\). Alternativ ergibt das Zählen der Quadrate: \(4\) ganze Quadrate plus ein halbiertes Rechteck aus \(2\) Quadraten (\(1\,\text{cm}^2\)), also insgesamt \(5\) Einheitsquadrate. 3. Vergleich: - Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(5\,\text{cm}^2\). Somit ist Aussage 3 richtig.

3) Beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt (jeweils \(5\,\text{cm}^2\)).

- Welche einfachere Form könnte denselben Flächeninhalt wie Figur A haben, wenn du einen Teil gedanklich versetzt? - Suche bei Figur B nach einer Zerlegung in nicht überlappende Rechtecke. - Bestimme die beiden Flächen unabhängig voneinander und kontrolliere, ob deine Zerlegungen die Figuren vollständig erfassen. - Welche Vergleichsaussage folgt erst aus deinen beiden Ergebnissen?

1. Wir bestimmen zuerst den Flächeninhalt von Figur A (Parallelogramm): - Wir können Figur A gedanklich zerlegen. Schneidet man das Dreieck auf der linken Seite ab (mit einer Breite von \(1\) und einer Höhe von \(2\)) und fügt es auf der rechten Seite wieder an, entsteht ein Rechteck der Größe \(4 \times 2\). - Der Flächeninhalt von Figur A beträgt somit: \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate. 2. Wir bestimmen den Flächeninhalt von Figur B: - Wir können Figur B in zwei Rechtecke zerlegen: ein unteres Rechteck der Größe \(4 \times 1\) und ein oberes Quadrat der Größe \(2 \times 2\). - Der Flächeninhalt des unteren Rechtecks beträgt \(4 \cdot 1 = 4\) Einheitsquadrate. - Der Flächeninhalt des oberen Quadrats beträgt \(2 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. - Zusammen ergibt das für Figur B \(4 + 4 = 8\) Einheitsquadrate. 3. Vergleich: Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von genau \(8\) Einheitsquadraten. Sie sind also gleich groß.

Beide Figuren sind gleich groß. Der Flächeninhalt von Figur A und Figur B beträgt jeweils genau \(8\) Einheitsquadrate.

- Welche einfachen Teilflächen erkennst du im Haus und im Boot? - Wie kannst du halbe Kästchen zu ganzen Flächeneinheiten zusammenfassen? - Bei den dreieckigen Teilen kann eine passende rechteckige Vergleichsfläche helfen. - Bestimme beide Flächen zuerst getrennt und vergleiche anschließend die Ergebnisse.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur A (Haus): - Zerlegung in ein Rechteck der Größe \(4 \times 2\) Kästchen (Fläche: \(4 \cdot 2 = 8\) Kästchen) und ein dreieckiges Dach mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\) (Fläche: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Kästchen). - Gesamtfläche des Hauses: \(8 + 4 = 12\) Kästchen. 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur B (Boot): - Der Rumpf besteht aus \(3\) vollen Kästchen und \(2\) halben Kästchen (links und rechts), also insgesamt \(3 + 0{,}5 + 0{,}5 = 4\) Kästchen. - Das Segel ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(3\). Es ist die Hälfte eines Rechtecks mit \(2 \cdot 3 = 6\) Kästchen, also \(3\) Kästchen groß. - Gesamtfläche des Bootes: \(4 + 3 = 7\) Kästchen. 3. Vergleich: - Das Haus ist mit \(12\) Kästchen größer als das Boot mit \(7\) Kästchen. - Der Unterschied beträgt \(12 - 7 = 5\) Kästchen.

a) Das Haus hat einen Flächeninhalt von \(12\,\text{Kästchen}\) und das Boot von \(7\,\text{Kästchen}\). b) Das Haus hat den größeren Flächeninhalt. Es ist um \(5\,\text{Kästchen}\) größer als das Boot.

- Zähle für den Flächeninhalt einfach die Anzahl der Kästchen im Inneren. - Um den Umfang zu finden, fahre mit dem Finger den Rand der Figur ab und zähle die Schritte von Punkt zu Punkt. - Fällt dir etwas Besonderes auf, wenn du Fläche und Umfang vergleichst?

1. Flächeninhalt Figur 1 (Rechteck): \(4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\). 2. Umfang Figur 1: \(2 \cdot (4 + 3) = 14\,\text{LE}\). 3. Flächeninhalt Figur 2 (C-Form): Ein \(4 \times 3\) Rechteck abzüglich eines \(3 \times 1\) Ausschnitts. \(A_2 = 12 - 3 = 9\,\text{FE}\). 4. Umfang Figur 2: Addition der Kanten \(4 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 4 + 3 = 20\,\text{LE}\). 5. Vergleich: Figur 1 hat die größere Fläche (\(12 > 9\)), Figur 2 hat den größeren Umfang (\(20 > 14\)).

a) Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von \(12\,\text{FE}\), die C-Figur hat \(9\,\text{FE}\). Das Rechteck bedeckt mehr Fläche. b) Die C-Figur hat mit \(20\,\text{LE}\) den größeren Umfang (Rechteck: \(14\,\text{LE}\)).

- Suche in jeder Figur zuerst nach ganzen Einheitsquadraten. - Bei Figur 2 gibt es genau einen schrägen Rand, der ein Einheitsquadrat entlang seiner Diagonale halbiert. - Vergleiche die drei Flächenzahlen erst, nachdem du jede Figur vollständig zerlegt hast.

1. Figur 1 ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(2\). Ihr Flächeninhalt beträgt \(2 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. 2. Bei Figur 2 liegen unten drei ganze Einheitsquadrate. Darüber liegen ein ganzes Einheitsquadrat und ein halbes Einheitsquadrat. Insgesamt sind das \(3 + 1 + \frac{1}{2} = 4{,}5\) Einheitsquadrate. 3. Figur 3 lässt sich in einen Streifen aus drei Einheitsquadraten und einen Streifen aus zwei Einheitsquadraten zerlegen. Ihr Flächeninhalt beträgt \(3 + 2 = 5\) Einheitsquadrate. 4. Damit gilt \(4 < 4{,}5 < 5\). Die Reihenfolge lautet Figur 1, Figur 2, Figur 3.

Figur 1: \(4\) Einheitsquadrate Figur 2: \(4{,}5\) Einheitsquadrate Figur 3: \(5\) Einheitsquadrate Reihenfolge: Figur 1, Figur 2, Figur 3.

- Bestimme für jede Figur eine passende einfache Vergleichsfläche oder Zerlegung. - Bei der schrägen Figur: Was verändert sich am Flächeninhalt, wenn du einen Randteil gedanklich an die andere Seite verschiebst? - Kontrolliere beide Flächenwerte und entscheide anschließend, welche Vergleichsaussage stimmt.

1. Figur a) ist ein Rechteck mit einer Breite von \(4\) und einer Höhe von \(2\). Der Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate. 2. Bei Figur b) kann man den schrägen Randteil links gedanklich abschneiden und an die rechte Seite verschieben. So entsteht ein Rechteck aus \(3\) Reihen mit je \(3\) Einheitsquadraten. 3. Dieses Rechteck enthält \(3 \cdot 3 = 9\) Einheitsquadrate. Durch das Verschieben ändert sich der Flächeninhalt nicht, also hat auch Figur b) den Flächeninhalt \(9\) Einheitsquadrate. 4. Weil \(9 > 8\) gilt, hat Figur b) den größeren Flächeninhalt.

Figur b) hat einen größeren Flächeninhalt als Figur a), weil \(9 > 8\) gilt.

- Welche Größen der beiden Figuren lassen sich im Gitter direkt miteinander vergleichen? - Überlege, ob die schräge Figur durch ein flächentreues Verschieben eines Randstücks einfacher werden kann. - Bestimme die Fläche beider Figuren mit einer Methode deiner Wahl und prüfe, ob die Ergebnisse übereinstimmen. - Begründe den Vergleich mit deiner Flächenbestimmung, nicht nur mit dem Aussehen der Figuren.

1. Analyse von Figur a): Das Rechteck hat eine Breite von 4 Einheiten und eine Höhe von 2 Einheiten. Durch Zählen der Kästchen ergibt sich ein Flächeninhalt von \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadraten. 2. Analyse von Figur b): Das Viereck (ein Parallelogramm) hat ebenfalls eine Grundseite von 4 Einheiten und eine Höhe von 2 Einheiten. 3. Vergleich durch Zerlegung: Wenn man die linke schräge Spitze von Figur b) abschneidet und rechts wieder anlegt, erhält man genau das Rechteck a). 4. Schlussfolgerung: Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt von 8 Einheitsquadraten.

Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt.

- Versuche, die Figuren in kleinere, einfachere Formen wie Quadrate, Rechtecke oder halbe Rechtecke (Dreiecke) zu unterteilen. - Zähle zuerst alle ganzen Quadrate im Inneren der Figur. - Wie viele halbe Quadrate kannst du zu einem ganzen Quadrat zusammensetzen? - Du kannst auch ein großes Rechteck um die Figur denken und die Flächen abziehen, die nicht zur Figur gehören.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur A (Trapez): Die Figur kann in ein zentrales Rechteck der Größe \(2 \times 2\) und zwei seitliche Dreiecke mit einer Grundseite von \(1\) und einer Höhe von \(2\) zerlegt werden. Das Rechteck hat den Inhalt \(4\), jedes Dreieck hat den Inhalt \(1\) (\(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\)). Gesamtinhalt: \(4 + 1 + 1 = 6\) Einheitsquadrate. 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur B (fünfeckige Figur): Die Figur kann in ein unteres Rechteck der Größe \(4 \times 1\) (Inhalt \(4\)) und ein aufgesetztes Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(1\) (Inhalt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2\)) zerlegt werden. Gesamtinhalt: \(4 + 2 = 6\) Einheitsquadrate. 3. Vergleich: Beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt von \(6\) Einheitsquadraten.

Beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt von \(6\) Einheitsquadraten.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt von Fläche A. - Zerlege Fläche B in zwei einfache Rechtecke. - Vergleiche die beiden Flächeninhalte am Ende.

1. Flächeninhalt von A berechnen: \(8\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\). 2. Flächeninhalt von B durch Zerlegung berechnen: Das untere Rechteck hat \(10\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\), das obere Rechteck \(4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\). Zusammen sind das \(52\,\text{m}^2\). 3. Vergleich: \(52\,\text{m}^2 > 48\,\text{m}^2\).

Fläche B ist mit \(52\,\text{m}^2\) größer als Fläche A mit \(48\,\text{m}^2\) und benötigt daher mehr Rasensamen.

- Nutze die angegebenen Maße und bestimme fehlende Seitenlängen aus der Zeichnung. - Für den Umfang musst du die gesamte äußere Begrenzung berücksichtigen. - Prüfe, ob gleicher Flächeninhalt automatisch gleichen Umfang bedeutet.

1. Figur 1 ist ein Rechteck mit den Seitenlängen \(4\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). Ihr Flächeninhalt ist \(4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 2. Figur 2 kann als \(4 \times 4\)-Quadrat betrachtet werden, aus dem ein \(2 \times 2\)-Quadrat entfernt wurde. Ihr Flächeninhalt ist \(16\,\text{cm}^2 - 4\,\text{cm}^2 = 12\,\text{cm}^2\). 3. Beide Figuren haben damit denselben Flächeninhalt. 4. Für Figur 1 gilt \(U_1 = 2(4\,\text{cm} + 3\,\text{cm}) = 14\,\text{cm}\). 5. Für Figur 2 ergibt die Summe der Außenkanten \(4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 6. Figur 2 hat den größeren Umfang.

a) Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(12\,\text{cm}^2\). b) Figur 1 hat den Umfang \(14\,\text{cm}\), Figur 2 den Umfang \(16\,\text{cm}\). Figur 2 hat den größeren Umfang.

- Wie weit eine Figur nach rechts reicht, entscheidet allein noch nicht über ihren Flächeninhalt. - Suche bei b) nach Randteilen, die an anderer Stelle eine Lücke schließen könnten. - Prüfe, ob du a) erzeugen kannst, ohne Fläche hinzuzufügen oder wegzunehmen.

1. Figur b) besteht links aus einem \(2 \times 3\)-Block und unten aus einem längeren Streifen. 2. Die beiden äußersten Einheitsquadrate rechts im unteren Streifen können nach oben in die noch freien beiden Plätze der dritten Spalte verschoben werden. 3. Dann entsteht genau das \(3 \times 3\)-Quadrat a), ohne dass Fläche hinzukommt oder wegfällt. Beide Figuren haben daher denselben Flächeninhalt.

Mira hat nicht recht. Figur a) und Figur b) haben denselben Flächeninhalt. Durch Umlegen der beiden äußersten Einheitsquadrate von b) entsteht genau a).