Kostenlose Arbeitsblätter

- Zähle die Quadrate Reihe für Reihe oder Spalte für Spalte. - Du kannst die Figur auch in zwei Rechtecke zerlegen und deren Flächen addieren.

1. Zählen der Quadrate in der unteren Reihe: Dort liegen \(3\) Quadrate nebeneinander. 2. Zählen der Quadrate in der Spalte darüber: Über dem linken Quadrat liegen noch \(2\) weitere Quadrate. 3. Addition der Teilmengen: \(3 + 2 = 5\) Einheitsquadrate.

Der Flächeninhalt beträgt \(5\) Einheitsquadrate.

- Gehe Reihe für Reihe von unten nach oben vor. - Zähle in jeder Reihe nur die vollständigen Einheitsquadrate innerhalb des Randes. - Addiere anschließend die Anzahlen der Reihen.

1. In der unteren Reihe liegen \(4\) Einheitsquadrate. 2. In der mittleren Reihe liegen \(3\) Einheitsquadrate. 3. In der oberen Reihe liegt \(1\) Einheitsquadrat. 4. Insgesamt sind es \(4 + 3 + 1 = 8\) Einheitsquadrate.

Die Fläche besteht aus \(8\) Einheitsquadraten.

- Welche Teile der Figuren kannst du direkt mit Einheitsquadraten erfassen, und wo brauchst du eine Zerlegung oder Ergänzung? - Suche bei Figur B nach einfachen Teilflächen, deren Flächen sich ohne Überlappung zusammensetzen lassen. - Für Teil c): Welche ganzzahligen Seitenpaare können denselben Flächeninhalt ergeben wie dein Ergebnis aus b)? - Prüfe ein gefundenes Seitenpaar durch Multiplikation.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur A: Die Figur A lässt sich durch Abzählen direkt in Einheitsquadrate zerlegen. Sie besteht aus \(5\) ganzen Kästchen. Der Flächeninhalt beträgt somit \(5\,\text{Kästchen}\). 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur B: Die Figur B kann in einen unteren und einen oberen Teil zerlegt werden. - Der untere Teil ist ein Rechteck mit einer Breite von \(4\,\text{Kästchen}\) und einer Höhe von \(2\,\text{Kästchen}\). Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 2 = 8\,\text{Kästchen}\). - Der obere Teil ist ein Dreieck mit einer Grundseite von \(4\,\text{Kästchen}\) und einer Höhe von \(2\,\text{Kästchen}\). Dieses Dreieck lässt sich in zwei Hälften teilen, die zusammengelegt ein Rechteck der Größe \(2 \cdot 2 = 4\,\text{Kästchen}\) ergeben. - Der gesamte Flächeninhalt von Figur B beträgt \(8 + 4 = 12\,\text{Kästchen}\). 3. Rechteck mit gleichem Flächeninhalt: Ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von \(12\,\text{Kästchen}\) kann verschiedene ganzzahlige Seitenlängen haben. Mögliche Kombinationen für Länge und Breite sind: - \(3\) und \(4\) (da \(3 \cdot 4 = 12\)) - \(2\) und \(6\) (da \(2 \cdot 6 = 12\)) - \(1\) und \(12\) (da \(1 \cdot 12 = 12\))

a) Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(5\,\text{Kästchen}\). b) Der Flächeninhalt von Figur B beträgt \(12\,\text{Kästchen}\). c) Ein mögliches Rechteck hat die Seitenlängen \(3\) und \(4\) (oder \(2\) und \(6\) bzw. \(1\) und \(12\)).

- Nutze das kleine Referenzquadrat, um die Größe aller Einheitsquadrate festzulegen. - Eine vollständige Auslegung darf weder Lücken noch Überlappungen enthalten. - Beschreibe die Anordnung in Reihen oder Spalten, statt sie zeichnen zu müssen. - Vergleiche am Ende die Anzahl gleich großer Einheitsquadrate in beiden Figuren.

1. In Figur A passen unten drei Einheitsquadrate nebeneinander. Über dem linken Quadrat liegen noch zwei weitere Einheitsquadrate. Damit ist die Fläche lückenlos mit \(5\) Einheitsquadraten ausgelegt. 2. In Figur B passen unten ebenfalls drei Einheitsquadrate nebeneinander. Über dem mittleren Quadrat liegen noch zwei weitere Einheitsquadrate. Auch diese Fläche ist lückenlos mit \(5\) Einheitsquadraten ausgelegt. 3. Beide Figuren werden mit gleich vielen gleich großen Einheitsquadraten ausgelegt und haben deshalb denselben Flächeninhalt.

a) Figur A benötigt \(5\) Einheitsquadrate: drei unten und zwei weitere über dem linken unteren Quadrat. b) Figur B benötigt \(5\) Einheitsquadrate: drei unten und zwei weitere über dem mittleren unteren Quadrat. c) Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(5\) Einheitsquadraten.

- Welche einfache Flächenstruktur erkennst du bei Figur A im Gitter? - Umschließe Figur B gedanklich mit dem kleinsten passenden Rechteck im Gitter. - Welche beiden Flächen liegen dann innerhalb des Rechtecks, aber außerhalb von Figur B? - Kontrolliere, ob deine beiden Ergebnisse zur sichtbaren Größe der Figuren passen.

1. Figur A ist ein Rechteck mit einer Breite von \(4\) Einheiten und einer Höhe von \(2\) Einheiten. Der Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate. 2. Figur B liegt in einem Rechteck der Größe \(4 \times 2\) mit dem Flächeninhalt \(8\). Links und rechts außerhalb von B liegt jeweils ein Dreieck, das die Hälfte eines \(2 \times 2\)-Quadrats bildet und daher den Flächeninhalt \(2\) hat. 3. Für Figur B bleiben deshalb \(8 - 2 - 2 = 4\) Einheitsquadrate.

Figur A hat einen Flächeninhalt von \(8\) Einheitsquadraten. Figur B hat einen Flächeninhalt von \(4\) Einheitsquadraten.

- Du kannst die Kästchen in den Figuren zählen oder die Flächen berechnen. - Bei den Dreiecken hilft es zu überlegen, aus wie vielen Kästchen ein Rechteck bestünde, das genau doppelt so groß ist. - Vergleiche die Ergebnisse am Ende sorgfältig.

1. Flächeninhalt von Figur a (Quadrat): \(2 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. 2. Flächeninhalt von Figur b (Rechteck): \(4 \cdot 1 = 4\) Einheitsquadrate. 3. Flächeninhalt von Figur c (Dreieck): Grundseite \(3\), Höhe \(2\). Fläche: \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\) Einheitsquadrate. 4. Flächeninhalt von Figur d (Dreieck): Grundseite \(4\), Höhe \(2\). Fläche: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. 5. Ergebnis: Die Figuren a, b und d haben alle einen Flächeninhalt von \(4\).

Die Figuren a, b und d haben den gleichen Flächeninhalt.

- Stell dir vor, du legst kleine quadratische Fliesen in die Figur. Wie viele brauchst du? - Du kannst die Fläche berechnen, indem du die Quadrate in jeder Spalte addierst. - Beim Umfang zählst du alle Strecken, die die Figur begrenzen.

1. Flächeninhalt bestimmen: Die Figur besteht aus vier Spalten mit den Höhen 4, 3, 2 und 1. Die Gesamtzahl der Quadrate ist \(4 + 3 + 2 + 1 = 10\,\text{FE}\). 2. Umfang bestimmen: Die untere Kante ist 4 Einheiten lang, die linke Kante ebenfalls 4 Einheiten. Die Treppenkante besteht aus 4 horizontalen und 4 vertikalen Abschnitten der Länge 1. Gesamtumfang: \(4 + 4 + 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 16\,\text{LE}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{FE}\). b) Der Umfang beträgt \(16\,\text{LE}\).

- Zähle zuerst alle vollständig gefüllten Kästchen. - Welche bekannte Gitterfläche entsteht, wenn du den schrägen Teil passend ergänzt? - Fasse Teilflächen so zusammen, dass ganze Einheitsquadrate entstehen.

1. Die Figur besteht aus einem Quadrat der Größe \(2 \times 2\) und einem angehängten rechtwinkligen Dreieck. 2. Das Quadrat umfasst \(4\) Einheitsquadrate. 3. Das Dreieck entspricht der Hälfte eines \(2 \times 2\)-Quadrats und umfasst daher \(2\) Einheitsquadrate. 4. Zusammen ergibt das \(4 + 2 = 6\) Einheitsquadrate.

Die Figur bedeckt insgesamt \(6\) Einheitsquadrate.

- Prüfe für jedes Bild den gesamten blauen Zielrand. - Eine gültige Auslegung muss den Zielbereich vollständig bedecken, darf aber keine Fläche doppelt bedecken. - Suche in den fehlerhaften Bildern getrennt nach unbedeckten und doppelt belegten Stellen.

1. In Bild a) füllen sechs Einheitsquadrate die rechteckige Fläche genau aus. Es gibt weder Lücke noch Überlappung. 2. In Bild b) fehlt oben rechts ein Einheitsquadrat. Dort bleibt eine Lücke. 3. In Bild c) liegt das sechste Einheitsquadrat um eine halbe Einheitslänge nach links verschoben. Es überlappt dadurch das benachbarte Quadrat und lässt zugleich rechts eine Lücke.

a) Bild a) ist korrekt vollständig ausgelegt. b) In Bild b) bleibt eine Lücke. In Bild c) überlappt ein Einheitsquadrat ein anderes; außerdem bleibt rechts Fläche unbedeckt.

- Vergleiche die Breite und Höhe der Teilstrecken mit dem kleinen Referenzquadrat. - Beschreibe die Auslegung in Reihen oder Spalten, statt sie zeichnen zu müssen. - Kontrolliere, ob deine beschriebenen Quadrate den Umriss vollständig füllen, ohne sich zu überlappen.

1. Im unteren Streifen liegen drei Einheitsquadrate nebeneinander. 2. Über den beiden linken unteren Quadraten liegt jeweils noch ein Einheitsquadrat. 3. Insgesamt werden daher \(3 + 2 = 5\) Einheitsquadrate benötigt. Die beschriebene Anordnung füllt die Umrissfläche vollständig aus.

Es werden \(5\) Einheitsquadrate benötigt: drei in der unteren Reihe und zwei darüber auf der linken Seite.

- Suche nach gleich langen Reihen oder Spalten, statt einzelne Quadrate nacheinander zu zählen. - Wie viele Quadrate liegen in einer Reihe? - Wie oft kommt eine solche Reihe vor?

1. Die Auslegung besteht aus \(4\) Reihen. 2. In jeder Reihe liegen \(6\) Einheitsquadrate. 3. Daher enthält die Fläche \(4 \cdot 6 = 24\) Einheitsquadrate.

Es sind \(24\) Einheitsquadrate, angeordnet in \(4\) Reihen mit jeweils \(6\) Quadraten.

- Zähle nicht zuerst die weißen Felder; beschreibe die gesamte Rechteckstruktur mit Reihen und Spalten. - Schreibe für die Gesamtzahl ausdrücklich eine Malaufgabe. - Erfasse danach, wie viele Einheitsquadrate bereits markiert sind. - Vergleiche die vollständige Anzahl mit der bereits belegten Anzahl.

1. Das Rechteck hat \(3\) Reihen mit jeweils \(5\) Einheitsquadraten. Insgesamt gehören also \(3 \cdot 5 = 15\) Einheitsquadrate zur vollständigen Auslegung. 2. Im Bild sind \(11\) Einheitsquadrate bereits markiert. 3. Es fehlen \(15 - 11 = 4\) Einheitsquadrate.

a) \(3 \cdot 5 = 15\) Plätze insgesamt. b) \(11\) Plätze sind markiert. c) Es fehlen \(4\) Einheitsquadrate.

- Prüfe, ob der Rand überall auf den Linien des Einheitsrasters verläuft. - Was passiert mit einem Gitterquadrat, durch das eine schräge Randstrecke hindurchläuft? - „Auslegen mit ganzen Einheitsquadraten“ erlaubt weder Lücken noch zugeschnittene Teilquadrate.

1. Fläche A hat nur waagerechte und senkrechte Randstrecken auf Gitterlinien. Sie besteht aus \(6\) ganzen Einheitsquadraten und lässt sich vollständig damit auslegen. 2. Bei Fläche B verläuft eine Randstrecke schräg durch Gitterquadrate. Entlang dieses Randes entstehen Teilflächen, die keine ganzen Einheitsquadrate sind. 3. Daher lässt sich A, aber nicht B, mit ganzen Einheitsquadraten des Gitters ohne Zuschneiden vollständig auslegen.

Fläche A lässt sich vollständig mit ganzen Einheitsquadraten auslegen. Bei Fläche B müssten an der schrägen Kante Einheitsquadrate zerschnitten werden.

1. Flächeninhalt des Rumpfes (Trapez) berechnen: Untere Breite \(4\), obere Breite \(8\), Höhe \(2\). Fläche \(= \frac{4 + 8}{2} \cdot 2 = 12\,\text{EQ}\). 2. Flächeninhalt der Kabine (Rechteck über dem Rumpf) berechnen: Breite \(4\), Höhe \(1\). Fläche \(= 4 \times 1 = 4 \text{ EQ}\). 3. Flächeninhalt des Aufbaus (oberste Ebene) berechnen: Breite \(2\), Höhe \(1\). Fläche \(= 2 \times 1 = 2 \text{ EQ}\). 4. Gesamtsumme bilden: \(12 + 4 + 2 = 18 \text{ EQ}\).

18 EQ

- Zeichne dir die zwei Rechtecke im Kopf auf: Wie müssen sie liegen, damit ein Quadrat entsteht? - Wie oft passt die Seite des kleinen Quadrats in die Seite der großen Fläche? - Denk daran, dass die Fläche nicht nur eine Reihe ist, sondern auch in die Höhe geht. - Wie viele Rechtecke stecken in einem einzigen deiner Quadrate?

1. Bestimmung der Quadratseite: Wenn zwei Rechtecke von \(20\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}\) an den langen Seiten (\(20\,\text{cm}\)) zusammengefügt werden, addieren sich die Breiten: \(10\,\text{cm} + 10\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\). Das neue Quadrat hat also eine Seitenlänge von \(20\,\text{cm}\). 2. Anzahl der Quadrate berechnen: In eine Länge von \(60\,\text{cm}\) passen \(60 : 20 = 3\) Quadrate. Da die Fläche quadratisch ist (\(60\,\text{cm} \times 60\,\text{cm}\)), werden \(3 \cdot 3 = 9\) Quadrate benötigt. 3. Gesamtzahl der Rechtecke: Da jedes der 9 Quadrate aus 2 Rechtecken besteht, benötigt Aylin Demir \(9 \cdot 2 = 18\) Rechtecke.

a) Das Quadrat hat eine Seitenlänge von \(20\,\text{cm}\). b) Aylin Demir benötigt 9 Quadrate. c) Aylin Demir benötigt insgesamt 18 rechteckige Fliesen.

- Wo kannst du die Figur so zerlegen, dass bekannte einfache Teilflächen entstehen? - Welche Teilfläche kannst du direkt am Gitter bestimmen? - Bei dem Teil mit schrägen Rändern kann eine Ergänzung zu einer bekannten Gitterfläche helfen.

1. Zerlege die Figur in einen unteren rechteckigen Teil und den oberen dreieckigen Teil. 2. Das untere Rechteck ist \(4\) Einheiten breit und \(2\) Einheiten hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate. 3. Der obere Teil lässt sich in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Je zwei solcher Dreiecke ergänzen sich zu einem \(2 \times 2\)-Quadrat; zusammen hat der obere Teil daher \(4\) Einheitsquadrate. 4. Insgesamt ergibt sich \(8 + 4 = 12\) Einheitsquadrate.

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(12\) Einheitsquadrate.

- Suche in jeder Figur zuerst nach ganzen Einheitsquadraten. - Bei Figur 2 gibt es genau einen schrägen Rand, der ein Einheitsquadrat entlang seiner Diagonale halbiert. - Vergleiche die drei Flächenzahlen erst, nachdem du jede Figur vollständig zerlegt hast.

1. Figur 1 ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(2\). Ihr Flächeninhalt beträgt \(2 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. 2. Bei Figur 2 liegen unten drei ganze Einheitsquadrate. Darüber liegen ein ganzes Einheitsquadrat und ein halbes Einheitsquadrat. Insgesamt sind das \(3 + 1 + \frac{1}{2} = 4{,}5\) Einheitsquadrate. 3. Figur 3 lässt sich in einen Streifen aus drei Einheitsquadraten und einen Streifen aus zwei Einheitsquadraten zerlegen. Ihr Flächeninhalt beträgt \(3 + 2 = 5\) Einheitsquadrate. 4. Damit gilt \(4 < 4{,}5 < 5\). Die Reihenfolge lautet Figur 1, Figur 2, Figur 3.

Figur 1: \(4\) Einheitsquadrate Figur 2: \(4{,}5\) Einheitsquadrate Figur 3: \(5\) Einheitsquadrate Reihenfolge: Figur 1, Figur 2, Figur 3.

- Welche einfache mittlere Fläche erkennst du in der Figur? - Kannst du die beiden schrägen Randteile gedanklich zu einer einfachen Gitterfläche zusammensetzen? - Prüfe, ob deine Teilflächen die Figur vollständig und ohne Überlappung erfassen.

1. Zerlege die Figur in ein mittleres Rechteck und zwei seitliche Dreiecke. 2. Das mittlere Rechteck ist \(2\) Einheiten breit und \(2\) Einheiten hoch. Es umfasst \(4\) Einheitsquadrate. 3. Die beiden seitlichen Dreiecke lassen sich zu einem Rechteck der Größe \(1 \times 2\) zusammensetzen. Zusammen umfassen sie \(2\) Einheitsquadrate. 4. Insgesamt ergibt sich \(4 + 2 = 6\) Einheitsquadrate.

Die Figur hat einen Flächeninhalt von \(6\) Einheitsquadraten.

- Lies die Seitenlängen direkt an den Gitterabständen der Abbildung ab. - Beim Umfang zählt nur der vollständige äußere Rand. - Für die Plattenzahl im Inneren kannst du die Anordnung in gleich langen Reihen nutzen.

1. Am Gitter erkennt man eine Seitenlänge von \(8\) Plattenlängen und die andere von \(5\) Plattenlängen. 2. Für den Umfang werden alle vier Randseiten addiert: \(8 + 5 + 8 + 5 = 26\) Plattenlängen. 3. Im Inneren liegen \(5\) Reihen mit je \(8\) Platten. Das sind \(5 \cdot 8 = 40\) Platten.

a) Die Seitenlängen betragen \(8\) und \(5\) Plattenlängen. b) Der Umfang beträgt \(26\) Plattenlängen. c) Die Fläche wird von \(40\) Platten bedeckt.

- Vergleiche zuerst die äußere Form und Größe beider Bilder. - Bestimme dann getrennt, wie viele der jeweils eingezeichneten Einheitsquadrate die Fläche bedecken. - Welche Eigenschaft der verwendeten Einheit erklärt die unterschiedlichen Anzahlen?

1. In a) besteht die Fläche aus \(2\) großen Einheitsquadraten. 2. In b) besteht dieselbe Fläche aus \(18\) kleinen Einheitsquadraten: \(3\) Reihen mit jeweils \(6\) Quadraten. 3. Die Fläche selbst bleibt gleich, aber die verwendete Einheit ist in b) kleiner. Deshalb werden mehr Einheitsquadrate benötigt und die Maßzahl ist größer. 4. Elifs Aussage ist daher falsch.

Elifs Aussage ist falsch. Dieselbe Fläche hat in a) die Maßzahl \(2\) und in b) die Maßzahl \(18\), weil unterschiedlich große Einheitsquadrate verwendet werden.

- Vergleiche zuerst, was in beiden Bildern gleich bleibt und was verändert wurde. - Zähle die Einheitsquadrate in beiden Auslegungen. - Überlege, wie viele kleine Einheitsquadrate an die Stelle eines großen Einheitsquadrats treten.

1. In a) bedecken sechs große Einheitsquadrate die Fläche. 2. Jedes große Einheitsquadrat wird in b) durch vier kleine Einheitsquadrate ersetzt. Daher werden \(6 \cdot 4 = 24\) kleine Einheitsquadrate benötigt. 3. Die bedeckte Fläche ändert sich nicht. Nur die verwendete Einheit wird kleiner. Von einer kleineren Einheit braucht man mehr Stücke für dieselbe Fläche.

a) \(6\) große Einheitsquadrate b) \(24\) kleine Einheitsquadrate Die Maßzahl wird größer, weil für dieselbe Fläche mehr von den kleineren Einheitsquadraten benötigt werden.