- Vergleiche die Reihenfolge der beiden Zahlen auf der linken Seite. - Bei einer Tauschaufgabe bleiben dieselben beiden Zahlen erhalten. - Prüfe, ob beide Seiten dasselbe Ergebnis haben.

1. Bei einer Tauschaufgabe wechseln die beiden Zahlen ihre Plätze. 2. Deshalb muss in der Lücke \(4\) stehen: \(4 \cdot 7 = 7 \cdot 4\).

\(4 \cdot 7 = 7 \cdot 4\)

- Bei beiden Geteiltaufgaben steht die \(32\) vorne. - Die \(4\) und die \(8\) tauschen ihre Plätze. - Prüfe am Ende, ob nur \(4\), \(8\) und \(32\) vorkommen.

1. Aus \(4 \cdot 8 = 32\) folgt \(32 : 4 = 8\). 2. Ebenso folgt \(32 : 8 = 4\). 3. Beide Geteiltaufgaben machen die Malaufgabe rückgängig und verwenden dieselben drei Zahlen.

\(32 : 4 = 8\) \(32 : 8 = 4\) Beide sind Umkehraufgaben zu \(4 \cdot 8 = 32\), weil sie dieselben drei Zahlen verwenden und die Malaufgabe rückgängig machen.

- Vergleiche \(5\) und \(6\). - Welche Siebenergruppe kommt dazu?

1. Von \(5 \cdot 7\) zu \(6 \cdot 7\) kommt eine Siebenergruppe dazu. 2. Deshalb gilt \(6 \cdot 7 = 35 + 7 = 42\).

\(6 \cdot 7 = 35 + 7 = 42\)

- Stelle dir \(5 \cdot 5\) als fünf gleich große Gruppen vor. - Überlege bei a), was sich ändert, wenn genau eine solche Gruppe wegfällt oder hinzukommt. - Vergleiche bei b) nur die Reihenfolge der beiden Zahlen.

1. Eine Fünfergruppe weniger als \(5 \cdot 5 = 25\) ergibt \(4 \cdot 5 = 20\). 2. Eine Fünfergruppe mehr ergibt \(6 \cdot 5 = 30\). 3. Wenn du die beiden Zahlen vertauschst, erhältst du \(5 \cdot 4 = 20\) und \(5 \cdot 6 = 30\). 4. \(4 \cdot 5\) und \(6 \cdot 5\) sind Nachbaraufgaben zu \(5 \cdot 5\), weil jeweils genau eine Fünfergruppe weniger oder mehr da ist.

a) \(4 \cdot 5 = 20\), \(6 \cdot 5 = 30\) b) \(5 \cdot 4 = 20\), \(5 \cdot 6 = 30\) c) Es ist jeweils eine Fünfergruppe weniger oder mehr als bei \(5 \cdot 5\); deshalb sind es Nachbaraufgaben.

- Vergleiche die gesuchte Aufgabe mit der gegebenen Kernaufgabe. - Überlege, welche zusätzliche Gruppe noch fehlt. - Prüfe, ob dein Rechenweg wirklich zu \(6 \cdot 9\) führt.

1. Die Kernaufgabe ergibt \(5 \cdot 9 = 45\). 2. Eine weitere Neunergruppe hat den Wert \(1 \cdot 9 = 9\). 3. Zusammen gilt \(45 + 9 = 54\). Damit ist \(6 \cdot 9 = 54\).

\(5 \cdot 9 = 45\) \(1 \cdot 9 = 9\) \(45 + 9 = 54\) \(6 \cdot 9 = 54\)

- Suche nach einer passenden Malaufgabe für die Zahl und bilde dann die Tauschaufgabe dazu. - In welcher Einmaleins-Reihe findest du die Zahl? - Überlege, welche zwei Zahlen du multiplizieren musst, um genau auf das Ergebnis zu kommen.

1. Für \(14\) passt \(2 \cdot 7\) und als Tauschaufgabe \(7 \cdot 2\). 2. Für \(45\) passt \(5 \cdot 9\) und als Tauschaufgabe \(9 \cdot 5\). 3. Für \(28\) passt \(4 \cdot 7\) und als Tauschaufgabe \(7 \cdot 4\).

\(14\): \(2 \cdot 7\) und \(7 \cdot 2\) \(45\): \(5 \cdot 9\) und \(9 \cdot 5\) \(28\): \(4 \cdot 7\) und \(7 \cdot 4\)

- Schau dir die Malaufgabe in der rechten Spalte an. Welche Zahl fehlt? - Das Ergebnis der Malaufgabe ist die erste Zahl der Geteiltaufgabe. - Gehe die passende Einmaleins-Reihe im Kopf durch.

1. Für die erste Zeile wird die Zahl gesucht, die mit \(9\) multipliziert \(63\) ergibt. Das ist \(7\). Also \(63 : 9 = 7\). 2. Für die zweite Zeile wird die Zahl gesucht, die mit \(4\) multipliziert \(32\) ergibt. Das ist \(8\). Also \(32 : 4 = 8\). 3. Für die dritte Zeile wird die Zahl gesucht, die mit \(9\) multipliziert \(81\) ergibt. Das ist \(9\). Also \(81 : 9 = 9\).

Erste Zeile: \(63 : 9 = 7\); Probe: \(7 \cdot 9 = 63\) Zweite Zeile: \(32 : 4 = 8\); Probe: \(8 \cdot 4 = 32\) Dritte Zeile: \(81 : 9 = 9\); Probe: \(9 \cdot 9 = 81\)

- Nutze in jeder Gruppe immer dieselben drei Zahlen. - Bei den Malaufgaben ist die größte Zahl das Ergebnis. - Bei den Geteiltaufgaben steht die größte Zahl vorne.

1. Für die Zahlen \(7, 9, 63\) ergeben sich die Multiplikationen \(7 \cdot 9 = 63\) und \(9 \cdot 7 = 63\) sowie die Divisionen \(63 : 9 = 7\) und \(63 : 7 = 9\). 2. Für die Zahlen \(4, 8, 32\) ergeben sich die Multiplikationen \(4 \cdot 8 = 32\) und \(8 \cdot 4 = 32\) sowie die Divisionen \(32 : 8 = 4\) und \(32 : 4 = 8\).

a) Aufgabenfamilie: \(7 \cdot 9 = 63\) \(9 \cdot 7 = 63\) \(63 : 9 = 7\) \(63 : 7 = 9\) b) Aufgabenfamilie: \(4 \cdot 8 = 32\) \(8 \cdot 4 = 32\) \(32 : 8 = 4\) \(32 : 4 = 8\)

- Welche einfache Malaufgabe mit 2, 5 oder 10 liegt ganz nah an der gesuchten Aufgabe? - Musst du am Ende eine Gruppe dazurechnen oder eine Gruppe abziehen? - Schreibe dir die Hilfsaufgabe zuerst auf.

1. a) Nutze \(5 \cdot 4 = 20\). Eine Vierergruppe kommt dazu: \(20 + 4 = 24\). 2. b) Nutze \(10 \cdot 7 = 70\). Eine Siebenergruppe fällt weg: \(70 - 7 = 63\). 3. c) Nutze \(2 \cdot 8 = 16\). Eine Achtergruppe kommt dazu: \(16 + 8 = 24\).

a) Kernaufgabe: \(5 \cdot 4 = 20\); Ergebnis: \(6 \cdot 4 = 24\) b) Kernaufgabe: \(10 \cdot 7 = 70\); Ergebnis: \(9 \cdot 7 = 63\) c) Kernaufgabe: \(2 \cdot 8 = 16\); Ergebnis: \(3 \cdot 8 = 24\)

- Schau, welche Zahl in der Malaufgabe um \(1\) größer oder kleiner geworden ist. - Entscheide, ob eine ganze Gruppe dazukommt oder wegfällt. - Die andere Zahl bleibt gleich.

1. \(6 \cdot 6 = 36\). Eine weitere Sechsergruppe ergibt \(7 \cdot 6 = 6 \cdot 6 + 1 \cdot 6 = 36 + 6 = 42\). 2. \(9 \cdot 9 = 81\). Eine Neunergruppe weniger ergibt \(8 \cdot 9 = 9 \cdot 9 - 1 \cdot 9 = 81 - 9 = 72\). 3. \(5 \cdot 5 = 25\). Eine Fünfergruppe weniger ergibt \(4 \cdot 5 = 5 \cdot 5 - 1 \cdot 5 = 25 - 5 = 20\).

a) \(7 \cdot 6 = 6 \cdot 6 + 1 \cdot 6 = 36 + 6 = 42\) b) \(8 \cdot 9 = 9 \cdot 9 - 1 \cdot 9 = 81 - 9 = 72\) c) \(4 \cdot 5 = 5 \cdot 5 - 1 \cdot 5 = 25 - 5 = 20\)

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Malaufgabe, wenn du die beiden Zahlen vertauschst? - Kennst du die kleine Aufgabe ohne die Null? Das kann beim Rechnen helfen.

1. \(30 \cdot 5 = 150\). Die Tauschaufgabe ist \(5 \cdot 30 = 150\). 2. \(80 \cdot 2 = 160\). Die Tauschaufgabe ist \(2 \cdot 80 = 160\). 3. \(40 \cdot 9 = 360\). Die Tauschaufgabe ist \(9 \cdot 40 = 360\).

a) \(30 \cdot 5 = 150\), Tauschaufgabe: \(5 \cdot 30 = 150\) b) \(80 \cdot 2 = 160\), Tauschaufgabe: \(2 \cdot 80 = 160\) c) \(40 \cdot 9 = 360\), Tauschaufgabe: \(9 \cdot 40 = 360\)

- Was passiert mit der ersten Zahl in jeder Zeile? Wird sie größer oder kleiner? - Welche Malreihe wird in Päckchen A gerechnet? - Welche Malreihe wird in Päckchen B gerechnet? - Kannst du das nächste Ergebnis finden, ohne die ganze Aufgabe neu zu rechnen?

1. In Päckchen A gilt \(5 \cdot 6 = 30\) und \(6 \cdot 6 = 36\). Das Ergebnis wird jedes Mal um \(6\) größer. 2. In Päckchen B gilt \(7 \cdot 8 = 56\) und \(6 \cdot 8 = 48\). Das Ergebnis wird jedes Mal um \(8\) kleiner.

Päckchen A: \(30, 36\) (Ergebnis erhöht sich immer um \(6\)). Päckchen B: \(56, 48\) (Ergebnis verringert sich immer um \(8\)).

- Tausche für die Tauschaufgabe die beiden Zahlen. - Bei den Geteiltaufgaben steht \(630\) vorne. - Nutze in allen vier Aufgaben dieselben drei Zahlen.

1. Tausche \(9\) und \(70\): \(70 \cdot 9 = 630\). 2. Die erste Geteiltaufgabe ist \(630 : 9 = 70\). 3. Die zweite Geteiltaufgabe ist \(630 : 70 = 9\).

Tauschaufgabe: \(70 \cdot 9 = 630\) Umkehraufgaben: \(630 : 9 = 70\) und \(630 : 70 = 9\)

- Tausche zuerst die Plätze der beiden Zahlen. - Rechne dann das Ergebnis aus. Es ist egal, welche der beiden Malaufgaben du dafür benutzt. - Fällt dir eine der beiden Aufgaben pro Zeile leichter zu rechnen?

1. Bei einer Tauschaufgabe wechseln die beiden Zahlen ihre Plätze; das Ergebnis bleibt gleich. 2. Aus \(10 \cdot 4\) wird \(4 \cdot 10\); beide Aufgaben ergeben \(40\). 3. Aus \(2 \cdot 6\) wird \(6 \cdot 2\); beide Aufgaben ergeben \(12\). 4. Aus \(5 \cdot 7\) wird \(7 \cdot 5\); beide Aufgaben ergeben \(35\). 5. Aus \(3 \cdot 8\) wird \(8 \cdot 3\); beide Aufgaben ergeben \(24\).

a) \(10 \cdot 4 = 4 \cdot 10 = 40\) b) \(2 \cdot 6 = 6 \cdot 2 = 12\) c) \(5 \cdot 7 = 7 \cdot 5 = 35\) d) \(3 \cdot 8 = 8 \cdot 3 = 24\)

- Vergleiche in jeder Teilaufgabe die beiden Faktoren und ihre Reihenfolge. - Nutze bekannte Beziehungen zwischen Malaufgaben, statt jede Aufgabe von vorn auszurechnen. - Prüfe bei c), ob deine beiden Malaufgaben wirklich dasselbe Ergebnis haben.

1. Bei a) sind nur die beiden Zahlen vertauscht. Deshalb gilt \(7 \cdot 4 = 4 \cdot 7\). 2. Auch bei b) sind nur die beiden Zahlen vertauscht. Deshalb folgt aus \(9 \cdot 3 = 27\), dass \(3 \cdot 9 = 27\) ist. 3. Für \(12\) passen zum Beispiel \(3 \cdot 4 = 12\) und \(4 \cdot 3 = 12\). Auch \(2 \cdot 6 = 12\) und \(6 \cdot 2 = 12\) sind möglich.

a) \(7 \cdot 4 = 4 \cdot 7\) b) \(3 \cdot 9 = 27\) c) Zum Beispiel: \(3 \cdot 4 = 12\) und \(4 \cdot 3 = 12\) (oder \(2 \cdot 6 = 12\) und \(6 \cdot 2 = 12\)).

- Wie hängen eine Malaufgabe und ihre Tauschaufgabe zusammen? - Wenn du \(8 \cdot 4\) kennst, was kommt bei \(9 \cdot 4\) einmal dazu? - Wenn eine der beiden Zahlen um \(1\) kleiner wird, welche ganze Gruppe fällt weg?

1. Tausche die beiden Zahlen: \(4 \cdot 8 = 32\). 2. Bei \(9 \cdot 4\) kommt eine Vierergruppe dazu: \(32 + 4 = 36\). 3. Bei \(8 \cdot 3\) fällt eine Achtergruppe weg: \(32 - 8 = 24\).

a) \(4 \cdot 8 = 32\) b) \(9 \cdot 4 = 32 + 4 = 36\) c) \(8 \cdot 3 = 32 - 8 = 24\)

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Malaufgabe, wenn du die beiden Zahlen vertauschst? - Kennst du das Fachwort für Aufgaben, bei denen die Zahlen nur vertauscht sind? - Kannst du die Aufgabe in Zehner und Einer zerlegen, um sie leichter zu rechnen?

1. Bei einer Tauschaufgabe wechseln die beiden Zahlen ihre Plätze. Das Ergebnis bleibt gleich. 2. Deshalb sind \(15 \cdot 4\) und \(4 \cdot 15\) gleich groß. 3. Es gilt \(15 \cdot 4 = 10 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 40 + 20 = 60\).

a) Beide Kinder erhalten das gleiche Ergebnis, da es sich um eine Tauschaufgabe handelt. b) Das Ergebnis ist \(60\).

- Lies zuerst Reihen und Punkte je Reihe aus dem Feld ab. - Für die beiden Geteiltaufgaben verwendest du genau dieselben drei Zahlen wie in der Malaufgabe. - Überlege, welche Rechnung eine Malaufgabe wieder rückgängig macht.

1. Das Feld hat \(4\) Reihen mit je \(8\) Punkten. Daher gilt \(4 \cdot 8 = 32\). 2. Die beiden passenden Geteiltaufgaben sind \(32 : 4 = 8\) und \(32 : 8 = 4\). 3. Beide Geteiltaufgaben machen die Malaufgabe rückgängig und verwenden dieselben drei Zahlen.

a) \(4 \cdot 8 = 32\) b) \(32 : 4 = 8\) und \(32 : 8 = 4\) c) Die Geteiltaufgaben machen die Malaufgabe rückgängig; alle drei Aufgaben verwenden dieselben drei Zahlen.

- Zähle zuerst die Punkte in einer Reihe. - Welche Malaufgabe zeigt der größere Teil? - Welche ganze Reihe kommt noch dazu?

1. In jeder Reihe liegen \(7\) Punkte. Der größere Teil besteht aus \(5\) Reihen und zeigt daher \(5 \cdot 7 = 35\). 2. Der kleinere Teil ist eine weitere vollständige Reihe mit \(7\) Punkten. Daher gilt \(6 \cdot 7 = 35 + 7 = 42\). 3. Der kleinere Teil entspricht in der Rechnung dem zusätzlichen Teil \(1 \cdot 7 = 7\).

a) \(7\) Punkte pro Reihe; der größere Teil zeigt \(5 \cdot 7 = 35\). b) \(6 \cdot 7 = 5 \cdot 7 + 1 \cdot 7 = 42\) c) Der kleinere Teil steht für die zusätzliche Reihe, also \(1 \cdot 7 = 7\).

- Zähle zuerst die Reihen. - Zähle dann die Spalten im größeren Teil. - Für das ganze Feld kommt eine Spalte dazu.

1. Das Feld hat \(6\) Reihen. Der größere Teil besitzt \(5\) Spalten und zeigt daher \(6 \cdot 5 = 30\). 2. Der schmale Teil besteht aus einer weiteren vollständigen Spalte und enthält \(6\) Punkte, also \(6 \cdot 1 = 6\). 3. Daher gilt \(6 \cdot 6 = 30 + 6 = 36\). Genutzt wird die Nachbaraufgabe \(6 \cdot 5\).

a) \(6\) Reihen; der größere Teil hat \(5\) Spalten und zeigt \(6 \cdot 5 = 30\). b) \(6 \cdot 6 = 6 \cdot 5 + 6 \cdot 1 = 36\) c) Eine zusätzliche Spalte mit \(6\) Punkten.

- Bei einem Quadrat sind Reihen- und Spaltenzahl gleich. - Vergleiche den quadratischen Teil mit dem ganzen Feld. - Welche zusätzliche Spalte bleibt übrig?

1. Der quadratische Teil hat \(7\) Reihen und \(7\) Spalten. Er zeigt also \(7 \cdot 7 = 49\). 2. Der übrige schmale Teil besteht aus einer weiteren vollständigen Spalte mit \(7\) Punkten, also \(7 \cdot 1 = 7\). 3. Deshalb gilt für das gesamte Feld \(7 \cdot 8 = 49 + 7 = 56\). Die Quadrataufgabe \(7 \cdot 7\) dient als Nachbaraufgabe.

a) \(7 \cdot 7 = 49\) b) \(7 \cdot 8 = 7 \cdot 7 + 7 \cdot 1 = 56\) c) Der übrige schmale Teil steht für die zusätzliche Spalte, also \(7 \cdot 1 = 7\).

- Zähle zuerst die Reihen und die Punkte in einer Reihe. - Schau danach auf die Spalten. - Kommen beim Drehen Punkte dazu oder verschwinden welche?

1. Das Bild zeigt \(4\) Reihen mit je \(7\) Punkten. Nach Reihen gelesen gilt \(4 \cdot 7 = 28\). 2. Dasselbe Feld hat \(7\) Spalten mit je \(4\) Punkten. Nach Spalten gelesen gilt \(7 \cdot 4 = 28\). 3. Beim Drehen kommen keine Punkte dazu und es verschwinden keine. Deshalb bleibt die Gesamtzahl gleich; nur die beiden Zahlen in der Malaufgabe tauschen ihre Plätze.

a) \(4 \cdot 7 = 28\) b) \(7 \cdot 4 = 28\) c) Die Punktzahl bleibt gleich, weil nur die Blickrichtung wechselt: \(4 \cdot 7 = 7 \cdot 4\).

- Zähle die Reihen im Bild und die Punkte in einer Reihe. - Überlege bei jeder Geteiltaufgabe, was das Ergebnis im Punktefeld beschreibt. - Nutze dieselben drei Zahlen für die passende Malaufgabe.

1. Das Feld hat \(6\) Reihen mit je \(9\) Punkten. Deshalb gilt \(54 : 6 = 9\): In jeder Reihe liegen \(9\) Punkte. 2. Es gilt auch \(54 : 9 = 6\): Es gibt \(6\) Reihen mit je \(9\) Punkten. 3. Zu beiden Geteiltaufgaben passt \(6 \cdot 9 = 54\).

a) \(54 : 6 = 9\): \(9\) Punkte pro Reihe b) \(54 : 9 = 6\): \(6\) Reihen c) \(6 \cdot 9 = 54\)

- Zähle in Bild A die Reihen und die Punkte in einer Reihe. - Vergleiche Bild B direkt mit Bild A. - Wie viele Pflanzen kommen durch eine neue Reihe dazu?

1. Bild A zeigt \(8\) Reihen mit je \(6\) Punkten. Daher gilt \(8 \cdot 6 = 48\). 2. In Bild B kommt eine vollständige Reihe mit \(6\) Punkten hinzu. Deshalb gilt \(48 + 6 = 54\). 3. Bild B zeigt \(9 \cdot 6 = 54\). Die Aufgabe entsteht aus \(8 \cdot 6\) durch eine weitere vollständige Reihe.

a) \(8 \cdot 6 = 48\) b) \(48 + 6 = 54\) c) \(9 \cdot 6 = 54\); Bild B hat eine vollständige Reihe mehr als Bild A.

- Zähle zuerst die Punkte in T und P. - Vergleiche die beiden Anzahlen: Wie oft passt die kleinere in die größere? - Schreibe dazu eine Malaufgabe und eine Geteiltaufgabe.

1. Im Feld T sind \(60\) Punkte, im Feld P sind \(20\) Punkte. 2. \(3 \cdot 20 = 60\). 3. \(60 : 20 = 3\).

\(3 \cdot 20 = 60\) und \(60 : 20 = 3\). Es gibt dreimal so viele Tomaten- wie Paprikapflanzen.

- Prüfe jede Gleichung. - Suche nach Aufgabenpaaren, bei denen die beiden Zahlen nur vertauscht sind. - Tauschaufgaben müssen dasselbe Ergebnis haben.

1. \(7 \cdot 8\) und \(8 \cdot 7\) sind Tauschaufgaben und ergeben beide \(56\). Deshalb ist a) falsch und c) richtig. 2. \(6 \cdot 9\) und \(9 \cdot 6\) sind Tauschaufgaben und ergeben beide \(54\). Deshalb ist b) richtig und d) falsch. 3. Richtig heißen die falschen Gleichungen \(7 \cdot 8 = 56\) und \(9 \cdot 6 = 54\).

a) falsch: \(7 \cdot 8 = 56\) b) richtig c) richtig d) falsch: \(9 \cdot 6 = 54\)

- Nutze die drei Zahlen \(6\), \(4\) und \(24\) als zusammengehörige Aufgabenfamilie. - Überlege, welche Zahl aus der Malaufgabe bei beiden Umkehraufgaben vorne steht. - Vergleiche, welche Plätze die Zahlen \(6\) und \(4\) in den beiden Geteiltaufgaben einnehmen.

1. Zu \(6 \cdot 4 = 24\) gehören die Umkehraufgaben \(24 : 6 = 4\) und \(24 : 4 = 6\). 2. Bei beiden Geteiltaufgaben bleibt \(24\) vorne. Die Zahlen \(6\) und \(4\) wechseln zwischen der Stelle nach dem Geteiltzeichen und dem Ergebnis. 3. Die zweite Umkehraufgabe entsteht deshalb nicht durch Vertauschen der beiden Zahlen links vom Gleichheitszeichen. Bens Regel ist falsch.

Bens Regel ist falsch. Die passenden Umkehraufgaben sind \(24 : 6 = 4\) und \(24 : 4 = 6\). Beim Teilen darfst du die Zahl vor und die Zahl nach dem Geteiltzeichen nicht einfach vertauschen.

- Schau zuerst auf die rechte Seite, dann auf die linke. - Bei einer Tauschaufgabe wechseln nur die beiden Zahlen ihre Plätze. - Welche Eckzahl wird in beiden Malaufgaben gebraucht?

1. Rechts gilt \(6 \cdot 9 = 54\). 2. Links gilt \(6 \cdot 4 = 24\). 3. Die Tauschaufgaben lauten \(9 \cdot 6 = 54\) und \(4 \cdot 6 = 24\). 4. In beiden Malaufgaben kommt die \(6\) vor.

a) \(6 \cdot 9 = 54\) und \(6 \cdot 4 = 24\) b) \(9 \cdot 6 = 54\) und \(4 \cdot 6 = 24\) c) Die gemeinsame Eckzahl ist \(6\).

- Überlege bei a), wie viele Murmeln in einen von \(7\) gleich großen Bechern kommen. - Überlege bei b), wie oft eine Gruppe mit \(6\) Murmeln in die \(42\) passt. - Für die Probe brauchst du dieselben drei Zahlen in einer Malaufgabe.

1. Bei a) werden \(42\) Murmeln auf \(7\) Becher verteilt: \(42 : 7 = 6\). In jeden Becher kommen \(6\) Murmeln. 2. Bei b) kommen jeweils \(6\) Murmeln in einen Becher: \(42 : 6 = 7\). Es werden \(7\) Becher gebraucht. 3. Zu beiden Geteiltaufgaben passt die Malaufgabe \(6 \cdot 7 = 42\). 4. Bei a) ist die Zahl der Becher bekannt und die Murmeln pro Becher werden gesucht. Bei b) sind die Murmeln pro Becher bekannt und die Zahl der Becher wird gesucht.

a) \(6\) Murmeln pro Becher b) \(7\) Becher c) \(42 : 7 = 6\), \(42 : 6 = 7\); Probe: \(6 \cdot 7 = 42\) d) Bei a) wird die Zahl der Murmeln pro Becher gesucht. Bei b) wird die Zahl der Becher gesucht.

- Finde in jeder Gruppe zuerst die größte Zahl. Sie ist das Ergebnis der beiden Malaufgaben. - Überlege, welche Zahl jeweils noch zur Malaufgabe gehört. - Nutze danach Tausch- und Umkehraufgaben, um die vier zusammengehörigen Rechnungen zu finden.

1. Bei a) fehlt \(9\), denn \(5 \cdot 9 = 45\). Dazu gehören \(5 \cdot 9 = 45\), \(9 \cdot 5 = 45\), \(45 : 9 = 5\) und \(45 : 5 = 9\). 2. Bei b) fehlt \(7\), denn \(7 \cdot 4 = 28\). Dazu gehören \(7 \cdot 4 = 28\), \(4 \cdot 7 = 28\), \(28 : 4 = 7\) und \(28 : 7 = 4\).

a) Fehlende Zahl: \(9\); \(5 \cdot 9 = 45\), \(9 \cdot 5 = 45\), \(45 : 9 = 5\), \(45 : 5 = 9\) b) Fehlende Zahl: \(7\); \(7 \cdot 4 = 28\), \(4 \cdot 7 = 28\), \(28 : 4 = 7\), \(28 : 7 = 4\)

- Schau dir die Zahlen vor und nach dem Gleichheitszeichen an. Welche Zahl fehlt, damit es eine Tauschaufgabe wird? - Rechne zuerst die Aufgabe aus, bei der beide Zahlen bekannt sind. - Wie hängen die Aufgaben mit der Zehnerzahl mit den Aufgaben aus dem kleinen Einmaleins zusammen?

1. Bei a) fehlt \(80\): \(6 \cdot 80 = 80 \cdot 6 = 480\). 2. Bei b) fehlt \(50\): \(50 \cdot 7 = 7 \cdot 50 = 350\). 3. Bei c) fehlt \(4\): \(4 \cdot 90 = 90 \cdot 4 = 360\).

a) \(6 \cdot 80 = 80 \cdot 6 = 480\) b) \(50 \cdot 7 = 7 \cdot 50 = 350\) c) \(4 \cdot 90 = 90 \cdot 4 = 360\)

- Welche Zahl mal \(6\) ergibt \(540\)? - Denke zuerst an die kleine Aufgabe mit \(54\). - Wenn du alle drei Zahlen kennst, kannst du zwei Malaufgaben und zwei Geteiltaufgaben schreiben.

1. Die fehlende Zahl ist \(90\), denn \(6 \cdot 90 = 540\). 2. Die Malaufgaben sind \(90 \cdot 6 = 540\) und \(6 \cdot 90 = 540\). 3. Die Geteiltaufgaben sind \(540 : 6 = 90\) und \(540 : 90 = 6\).

Die fehlende Zahl ist \(90\). Die Aufgaben sind: \(90 \cdot 6 = 540\) \(6 \cdot 90 = 540\) \(540 : 6 = 90\) \(540 : 90 = 6\)

- Wenn ein Ergebnis und eine Zahl bekannt sind, hilft dir eine Geteiltaufgabe. - Fülle zuerst die Zahlen oben und links aus. - Rechne danach die restlichen Felder.

1. Oben links fehlt \(16\), denn \(32 : 2 = 16\). 2. Oben rechts fehlt \(25\), denn \(50 : 2 = 25\). 3. Links unten fehlt \(3\), denn \(21 : 7 = 3\). 4. Danach gilt \(2 \cdot 7 = 14\), \(3 \cdot 16 = 48\) und \(3 \cdot 25 = 75\).

Die vervollständigte Tabelle sieht so aus: <table> <tr><td>\(\cdot\)</td><td>\(16\)</td><td>\(7\)</td><td>\(25\)</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(32\)</td><td>\(14\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><td>\(3\)</td><td>\(48\)</td><td>\(21\)</td><td>\(75\)</td></tr> </table>

- Was ist bei a) anders als bei der bekannten Aufgabe? - Was kommt bei b) zusätzlich dazu? - Nutze das bekannte Ergebnis, statt neu anzufangen.

1. Bei a) sind die beiden Zahlen nur vertauscht. Deshalb bleibt das Ergebnis \(78\). 2. Bei b) kommt eine weitere Dreizehnergruppe dazu: \(78 + 13 = 91\).

a) \(13 \cdot 6 = 78\) (da es die Tauschaufgabe ist). b) \(7 \cdot 13 = 91\) (da es eine Nachbaraufgabe ist: \(78 + 13 = 91\)).

- Wenn ein Ergebnis und eine Zahl bekannt sind, hilft dir die passende Geteiltaufgabe. - Beginne dort, wo bei drei zusammengehörigen Steinen nur eine Zahl fehlt.

1. Links unten suchst du die Zahl, die mit \(4\) die \(8\) ergibt. Es gilt \(8 : 4 = 2\). 2. Rechts in der zweiten Reihe suchst du die Zahl, die mit \(8\) die \(64\) ergibt. Es gilt \(64 : 8 = 8\). 3. Rechts unten suchst du wieder die Zahl, die mit \(4\) die \(8\) ergibt. Es gilt \(8 : 4 = 2\).

Die unterste Reihe lautet von links nach rechts: \(2, 4, 2\). In der zweiten Reihe steht rechts die \(8\).

- Vergleiche die beiden Aufgaben: Was hat sich verändert? - Prüfe, ob Zahlen vertauscht wurden, aus Mal Geteilt wurde oder eine Gruppe dazukommt. - Nenne zuerst die Art der Aufgabe und rechne danach.

1. Die beiden Zahlen sind vertauscht. Das ist eine Tauschaufgabe: \(8 \cdot 6 = 48\). 2. Aus der Malaufgabe wird die passende Geteiltaufgabe. Das ist eine Umkehraufgabe: \(63 : 9 = 7\). 3. Eine Achtergruppe kommt dazu. Das ist eine Nachbaraufgabe: \(40 + 8 = 48\), also \(6 \cdot 8 = 48\).

a) Tauschaufgabe; \(8 \cdot 6 = 48\) b) Umkehraufgabe; \(63 : 9 = 7\) c) Nachbaraufgabe; \(6 \cdot 8 = 48\)

- Die fehlende obere Eckzahl gehört zu beiden eingetragenen Seitenprodukten. - Nutze jedes Seitenprodukt getrennt als Umkehraufgabe und vergleiche die beiden Ergebnisse. - Erst wenn die Eckzahl geprüft ist, betrachte die beiden unteren Eckzahlen für das letzte Produkt.

1. Aus \(48 : 8 = 6\) ergibt sich für die obere Eckzahl \(6\). 2. Unabhängig davon ergibt auch \(30 : 5 = 6\) dieselbe obere Eckzahl. Beide Seiten sind also miteinander verträglich. 3. Unten grenzen \(8\) und \(5\) aneinander. Daher ist das fehlende Seitenprodukt \(8 \cdot 5 = 40\).

a) \(48 : 8 = 6\) und \(30 : 5 = 6\); die obere Eckzahl ist \(6\). b) \(8 \cdot 5 = 40\)