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- Vergleiche die Form und Größe der sichtbaren Flächen. - Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang. - Überlege, was gleiche Kantenlängen für die sechs Flächen bedeuten.

1. Körper a) ist ein Würfel. Seine sechs Flächen sind gleich große Quadrate. 2. Körper b) ist ein allgemeiner Quader mit unterschiedlichen Kantenlängen. Seine Flächen sind Rechtecke verschiedener Größen. 3. Daher erfüllt nur Körper a) die Bedingung.

Körper a), der Würfel.

- Vergleiche die Formen der sechs Flächen in beiden Netzen. - Ein Würfel hat ausschließlich gleich große quadratische Flächen. - Bei einem allgemeinen Quader können rechteckige Flächen unterschiedliche Seitenlängen haben.

1. In a) bestehen alle sechs Flächen aus gleich großen Quadraten. Dieses Netz gehört zu einem Würfel. 2. In b) kommen Rechtecke mit verschiedenen Seitenlängen vor. Dieses Netz gehört zu einem Quader, der kein Würfel ist.

a) Würfelnetz; b) Quadernetz

- Eine Symmetrieachse teilt eine Figur in zwei spiegelgleiche Hälften. - Vergleiche die beiden unteren Ecken des Dreiecks miteinander. - Prüfe, welche Lage von s genau zwischen diesen beiden Ecken verläuft.

1. In a) verläuft s durch die obere Spitze und die Mitte der Grundseite. Die beiden Dreieckshälften sind spiegelgleich. 2. In b) teilt die waagerechte Gerade s das Dreieck nicht in spiegelgleiche Hälften. 3. Auch die schräge Gerade s in c) ist keine Symmetrieachse. Daher ist a) richtig.

a)

- „Senkrecht“ bedeutet: Zwei Geraden bilden beim Schneiden einen rechten Winkel. - Vergleiche zuerst \(g\) und \(h\). - Prüfe danach, ob die schräge Gerade \(k\) dieselbe Winkelöffnung bildet.

1. \(g\) verläuft waagerecht. 2. \(h\) bildet mit \(g\) einen rechten Winkel. 3. \(k\) schneidet \(g\) schräg und bildet keinen rechten Winkel. Daher steht \(h\) senkrecht auf \(g\).

Die Gerade \(h\).

- Wie viele Würfel sind in der Mitte? - Zähle von einer Seite zur Mitte und dann wieder nach unten.

1. Bestimme die Höhe der einzelnen Stapel von links nach rechts: \(1, 2, 3, 4, 3, 2, 1\). 2. Bilde die Gesamtsumme: \(1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16\). Ute benötigt \(16\) Würfel.

Ute braucht \(16\) Würfel.

- Betrachte bei jedem Weg nur die beiden Strecken am Knick. - Ein rechter Winkel kann auch in einem Lageplan als Vierteldrehung erkannt werden. - Vergleiche die Öffnung der beiden Knicke miteinander.

1. Beim Weg über \(K_1\) verläuft das erste Stück waagerecht und das zweite senkrecht. Am Knick entsteht ein rechter Winkel. 2. Beim Weg über \(K_2\) verlaufen beide Wegstücke schräg; ihr Knick ist kein rechter Winkel. 3. Daher hat der Weg über \(K_1\) einen rechten Winkel.

Der Weg über \(K_1\).

- Unterscheide zwischen der Anzahl der belegten Standorte und der Anzahl aller verbauten Würfel. - Für a) ist wichtig, wie viele Felder überhaupt belegt sind. - Für b) ist wichtig, welche Höhe in jedem belegten Feld steht.

1. Alle neun Felder des Bauplans sind belegt. Das Gebäude besteht deshalb aus \(9\) Würfeltürmen. 2. Acht Türme sind jeweils \(1\) Würfel hoch, der mittlere Turm ist \(3\) Würfel hoch. Insgesamt werden \(8+3=11\) Würfel benötigt. 3. Ein Bauplanfeld steht für einen Standort eines Turms; die Zahl im Feld gibt an, wie viele Würfel an diesem Standort übereinanderliegen. Darum können \(9\) Türme zusammen mehr als \(9\) Würfel enthalten.

a) \(9\) Würfeltürme b) \(11\) Würfel c) Ein Feld steht für einen Turmstandort, die Zahl im Feld für dessen Höhe. Der mittlere Turm enthält deshalb mehrere Würfel übereinander.

- Zähle bei jedem Gebäude sorgfältig, wie viele Würfel in jedem Turm stecken. - Vergiss nicht, auch die hinteren Türme zu betrachten.

1. Zählen der Würfel in Gebäude A: \(1 + 1 + 1 + 1 = 4\) Würfel. 2. Zählen der Würfel in Gebäude B: \(2 + 0 + 1 + 1 = 4\) Würfel. 3. Vergleich: Da beide Gebäude aus \(4\) Würfeln bestehen, ist die Anzahl gleich.

Ja, beide Gebäude bestehen aus jeweils \(4\) Würfeln.

- Lies die Formen von links nach rechts. - Vergleiche jede Form mit der Form zwei Stellen zuvor. - Suche die erste Stelle, an der die Abwechslung Quadrat–Dreieck nicht mehr stimmt.

1. Die Stellen \(1\) bis \(4\) folgen der Regel: Quadrat, Dreieck, Quadrat, Dreieck. 2. An Stelle \(5\) müsste wieder ein Quadrat stehen. 3. Dort steht aber ein Dreieck. Der erste Fehler liegt deshalb an Stelle \(5\).

Stelle \(5\).

- Kannst du das Gebäude in Gedanken Reihe für Reihe durchgehen? - Wie viele Würfel stehen ganz vorne links? Schau dir dann den Platz direkt dahinter an. - Zähle für jede Säule im Bild einzeln, wie viele Würfel dort übereinander gestapelt sind. - Wo im Bild siehst du eine Lücke, in der gar kein Würfel steht? Welche Zahl muss an dieser Stelle im Bauplan stehen? - Überlege dir, welche Seite des Bauplans (oben oder unten) die Reihe darstellt, die dir im Bild am nächsten ist.

1. Bestimmung der Stapelhöhen in der vorderen Reihe (unten im Bauplan) von links nach rechts: \(1, 2, 1, 1\). 2. Bestimmung der Stapelhöhen in der hinteren Reihe (oben im Bauplan) von links nach rechts: \(2, 3, 0\) (Lücke) und \(2\). 3. Abgleich der Werte mit den Antwortmöglichkeiten: Die Kombination aus oberer Zeile \(2, 3, 0, 2\) und unterer Zeile \(1, 2, 1, 1\) ist in Bauplan d) gegeben.

Bauplan d) ist korrekt.

- Achte auf die beiden bereits gezeichneten Seiten des Rechtecks. - Welche Lage muss die vierte Ecke haben, damit alle vier Ecken rechte Winkel sind? - Vergleiche zusätzlich die Längen der jeweils gegenüberliegenden Seiten.

1. Von \(A\) nach \(B\) verläuft die untere Seite waagerecht; von \(B\) nach \(C\) führt die rechte Seite nach oben. 2. Die vierte Ecke muss direkt über \(A\) und auf derselben Höhe wie \(C\) liegen, damit die Seitenlängen passen und vier rechte Winkel entstehen. 3. Diese Lage hat nur Punkt \(P\).

Punkt \(P\).

- Beurteile nicht die Lage der Figur, sondern ihre Eigenschaften. - Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang und alle vier Winkel recht. - Eine „Rauteform“ im Bild ist nicht automatisch ein Quadrat.

1. Figur a) ist ein Rechteck mit zwei verschiedenen Seitenlängen und daher kein Quadrat. 2. Figur b) besitzt vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Die gedrehte Lage ändert die Eigenschaften nicht. 3. Figur c) ist zwar schräg dargestellt, besitzt aber keine vier rechten Winkel. Daher ist nur b) ein Quadrat.

Figur b) ist ein Quadrat.

- Vergleiche die Eigenschaften von Quadrat und Rechteck. - Überlege, welche zusätzliche Eigenschaft ein Quadrat gegenüber einem allgemeinen Rechteck besitzt. - Eine richtige Aussage muss für jedes Quadrat und jedes Rechteck gelten.

1. Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln und erfüllt damit die entscheidende Eigenschaft eines Rechtecks. 2. Zusätzlich sind beim Quadrat alle vier Seiten gleich lang. Ein allgemeines Rechteck muss diese zusätzliche Eigenschaft nicht besitzen. 3. Daher ist Aussage C richtig.

C)

- Bestimme die Höhe jedes vorhandenen Turms im Gebäude. - Addiere die Turmhöhen für die Gesamtzahl der Würfel. - Vergleiche anschließend jede Position mit den Bauplänen und achte auch auf die leeren Felder.

1. Die sechs vorhandenen Türme haben die Höhen \(2\), \(1\), \(1\), \(3\), \(1\) und \(2\). Insgesamt sind das \(2+1+1+3+1+2=10\) Würfel. 2. Von hinten nach vorne stehen in den Reihen: \((2,\text{ leer},1)\), \((1,3,\text{ leer})\) und \((\text{leer},1,2)\). 3. Genau diese Anordnung zeigt Bauplan C.

1. Anzahl der Würfel: \(10\) 2. Passender Bauplan: Bauplan C

- Die Drehung der Figur verändert ihre Eigenschaften nicht. - Suche jeweils die Seite, die einer gegebenen Seite gegenüberliegt. - Vergleiche nicht nur waagerechte oder senkrechte Seiten; hier ist das Rechteck gedreht.

1. In einem Rechteck sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. 2. Daher sind \(AB\) und \(CD\) gleich lang. 3. Ebenso sind \(BC\) und \(AD\) gleich lang.

\(AB\) und \(CD\); \(BC\) und \(AD\)

- Vergleiche zuerst die Kantenlängen der beiden Körper. - Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang. - Für b) kannst du die vier Ecken oben und die vier Ecken unten zusammenfassen.

1. Körper a) hat in alle drei Richtungen gleich lange Kanten. Er ist ein Würfel. 2. Körper b) hat unterschiedliche Kantenlängen. Er ist ein Quader, aber kein Würfel. 3. Sowohl ein Würfel als auch ein Quader besitzt \(8\) Ecken.

a) Körper a) ist ein Würfel; Körper b) ist ein Quader, aber kein Würfel. b) Beide Körper haben jeweils \(8\) Ecken.

- Suche zu jeder sichtbaren Flächenart die gegenüberliegende Fläche. - Vorder- und Rückseite bilden ein Paar; denke ebenso an oben/unten und links/rechts. - Zähle jedes Flächenpaar nur einmal.

1. Vorder- und Rückseite sind gleich groß und liegen sich gegenüber. 2. Linke und rechte Seitenfläche bilden ein zweites gleich großes Paar. 3. Ober- und Unterseite bilden das dritte Paar. Insgesamt gibt es \(3\) Paare.

Der Quader besitzt \(3\) Paare gleich großer gegenüberliegender Flächen.

- Schau zuerst, in welcher Reihe die höchsten Türme stehen. - Die obere Zeile im Bauplan stellt die hinterste Reihe des Gebäudes dar. - Vergleiche die Turmhöhen und die leeren Felder Reihe für Reihe.

1. Von hinten nach vorne hat das Gebäude die Reihen \((3,\text{ leer},\text{ leer})\), \((2,2,\text{ leer})\) und \((1,1,1)\). 2. Bauplan A enthält andere Höhenwerte. Bauplan B vertauscht die vordere und hintere Reihe. 3. Bauplan C zeigt genau die Höhen und leeren Felder des Gebäudes. Daher ist Bauplan C korrekt.

Bauplan C ist der richtige Bauplan.

- Vergleiche die Seitenlängen der Rechtecke im Netz. - Suche in diesem Netz zu jeder Fläche eine zweite Fläche mit denselben Seitenlängen. - Beginne zum Beispiel mit den beiden größten Rechtecken und prüfe danach die übrigen Flächen.

1. A und C haben dieselben Seitenlängen und bilden ein gleich großes Paar. 2. B und D haben dieselben Seitenlängen und bilden das zweite Paar. 3. E und F sind die beiden großen Rechtecke und bilden das dritte Paar.

A und C; B und D; E und F

- Ein Würfelnetz muss aus sechs Quadraten bestehen, aber das allein reicht noch nicht. - Stell dir vor, vier Quadrate werden zu den Seitenwänden hochgeklappt. - Prüfe besonders, ob beim Schließen zwei Flächen denselben Platz einnehmen würden.

1. a) lässt sich zu einem Würfel falten: Vier Flächen bilden den Mantel, zwei weitere schließen oben und unten. 2. b) ist ein \(2 \times 3\)-Block. Beim Falten würden Flächen aufeinanderliegen; die Anordnung ist kein Würfelnetz. 3. c) lässt sich ebenfalls ohne Überlappung zu einem Würfel falten. Daher ist nur b) kein Würfelnetz.

b)

- Vergleiche zuerst die Höhe von P mit den drei möglichen Spiegelpunkten. - Zähle anschließend die Kästchen von P bis zu s. - Ein Spiegelpunkt liegt auf der anderen Seite genau gleich weit von der Achse entfernt.

1. Der Spiegelpunkt muss auf der anderen Seite von s liegen. 2. Er muss auf derselben Höhe wie P liegen und gleich weit von s entfernt sein. 3. Nur Punkt B erfüllt beide Bedingungen.

Punkt B.

- Lies die Länge der waagerechten und senkrechten Wegstücke aus dem Gitter ab. - Jeder Kästchenabschnitt steht für dieselbe wirkliche Länge. - Bestimme erst die Anzahl der Abschnitte und übertrage sie dann auf Meter.

1. Der Weg verläuft drei Kästchen nach rechts und vier Kästchen nach oben. Er besteht aus \(3 + 4 = 7\) Kästchenabschnitten. 2. Jeder Abschnitt entspricht \(20\,\text{m}\). 3. Die Weglänge beträgt \(7 \cdot 20\,\text{m} = 140\,\text{m}\).

Der Weg ist \(140\,\text{m}\) lang.

- Vergleiche, was von einer Figur zur nächsten hinzukommt. - Zähle die Stufen in den Figuren 1, 2 und 3. - Suche bei den Antworten genau eine Stufe mehr als in Figur 3.

1. Figur 1 besitzt eine Stufe, Figur 2 zwei und Figur 3 drei Stufen. 2. Die nächste Figur muss daher vier gleichartige Stufen besitzen. 3. Nur Antwortfigur b) zeigt eine Treppe mit vier Stufen.

b)

- Zähle die Würfel Reihe für Reihe oder Schicht für Schicht. - Wie hoch sind die Türme an den Ecken? - Wie viele Würfel fehlen dem Turm in der Mitte, um die gleiche Höhe wie die Ecken zu erreichen?

1. Wir zählen die vorhandenen Würfel: - Vordere Reihe: \(2 + 0 + 2 = 4\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(0 + 1 + 0 = 1\) Würfel. - Hintere Reihe: \(2 + 0 + 2 = 4\) Würfel. - Insgesamt: \(4 + 1 + 4 = 9\) Würfel. 2. Die Ecktürme haben die Höhe \(2\). Der mittlere Turm hat die Höhe \(1\) und muss deshalb um einen Würfel erhöht werden. 3. Danach besteht das Gebäude aus \(9 + 1 = 10\) Würfeln.

a) Das Gebäude besteht aus \(9\) Würfeln. b) Das neue Gebäude hat insgesamt \(10\) Würfel.

- Addiere die Anzahl der Würfel für jedes Gebäude einzeln. - Du kannst die Würfel Reihe für Reihe oder Turm für Turm zählen. - Achte darauf, keinen Turm zu übersehen, der vielleicht teilweise verdeckt ist.

1. Berechnung für Gebäude A: \(5 + 5 + 5 + 5 = 20\) Würfel. 2. Berechnung für Gebäude B: \(6 + 4 + 2 + 3 = 15\) Würfel. 3. Berechnung für Gebäude C: \(4 + 3 + 4 + 3 = 14\) Würfel. Ergebnis: Gebäude B besteht aus genau \(15\) Würfeln.

Gebäude B besteht aus genau \(15\) Würfeln.

- Vergleiche Gebäude und Bauplan Feld für Feld. - Jede Zahl gibt die Höhe des Turms an. - Lies die beiden markierten Felder \(a\) und \(b\) ab.

Vergleiche das Würfelgebäude Feld für Feld mit dem Bauplan. Für \(a\) gilt \(a = 2\), für \(b\) gilt \(b = 2\).

\(a = 2\) und \(b = 2\)

- Lies zuerst die beiden Zahlen in der untersten Reihe des Bauplans. - Vergleiche diese vordere Reihe mit den beiden Gebäuden. - Kontrolliere danach die hintere Reihe.

1. Bauplan P hat vorne die Turmhöhen \(2\) und \(1\) und hinten die Turmhöhen \(1\) und \(1\). 2. Gebäude A hat vorne die Höhen \(1\) und \(2\) und passt daher nicht. 3. Gebäude B hat vorne die Höhen \(2\) und \(1\) und hinten die Höhen \(1\) und \(1\). Es wurde genau nach dem Plan gebaut.

Gebäude B

- Vergleiche zuerst die drei Positionen in der vorderen Reihe. - Prüfe danach die hintere Reihe und achte auf leere Felder. - Vergleiche die Turmhöhen Feld für Feld.

1. In der vorderen Reihe stehen Türme mit den Höhen \(1\), \(2\) und \(1\). 2. In der hinteren Reihe sind links und rechts die Felder leer; nur in der Mitte steht ein Turm der Höhe \(1\). 3. Genau diese Verteilung zeigt Plan 1. Plan 2 hat vorne nur Türme der Höhe \(1\) und hinten einen Turm der Höhe \(2\).

Plan 1

- Zähle die Würfel am besten schichtweise oder Reihe für Reihe. - Achte darauf, dass unter sichtbaren Würfeln eines hohen Turms weitere Würfel stehen. - Notiere die Anzahl für jedes Gebäude einzeln und vergleiche erst danach.

1. Gebäude A enthält in den drei Reihen \(1\), \(1\) und \(3 + 1 + 1 = 5\) Würfel. Insgesamt sind es \(1 + 1 + 5 = 7\) Würfel. 2. Gebäude B enthält in den drei Reihen \(0\), \(1 + 1 = 2\) und \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel. Insgesamt sind es \(0 + 2 + 6 = 8\) Würfel. 3. Gebäude C enthält in den drei Reihen \(0\), \(1\) und \(3 + 3 = 6\) Würfel. Insgesamt sind es \(0 + 1 + 6 = 7\) Würfel. 4. Mit \(8\) Würfeln besteht Gebäude B aus den meisten Würfeln.

Gebäude B besteht aus den meisten Würfeln, insgesamt aus \(8\) Würfeln.

- Vergleiche zuerst die vordere Reihe des Gebäudes mit der untersten Zeile der beiden Baupläne. - Prüfe danach die mittlere und die hintere Reihe. - Achte sowohl auf die Turmhöhen als auch auf die leeren Positionen.

1. In der vorderen Reihe stehen links ein Turm der Höhe \(2\) und daneben ein Turm der Höhe \(1\); das rechte Feld ist leer. 2. In der mittleren Reihe steht links ein Turm der Höhe \(2\); die beiden anderen Felder sind leer. In der hinteren Reihe steht links ein Turm der Höhe \(1\). 3. Plan 1 zeigt genau diese Höhen und leeren Felder. Plan 2 zeigt eine gedrehte Anordnung und passt nicht zur vorgegebenen Orientierung.

Bauplan 1 ist korrekt.

- Beobachte, wo jeweils der rechte Winkel des Dreiecks liegt. - Verfolge die lange Seite von Figur zu Figur. - Führe dieselbe Vierteldrehung von Figur 3 noch einmal gedanklich aus.

1. Von Figur 1 zu Figur 2 dreht sich das Dreieck um eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn. 2. Dasselbe geschieht von Figur 2 zu Figur 3. 3. Nach einer weiteren Vierteldrehung liegt die lange Seite rechts senkrecht und die kurze Seite unten. Das zeigt Antwortfigur b).

b)

- Beginne mit der Angabe zum Bad, denn dafür brauchst du nur die Lage der Schule. - Prüfe danach beide Bedingungen für den Park. - Nutze die bereits bestimmte Lage des Bads für die zweite Bedingung.

1. Rechts von der Schule liegt Punkt A. Daher muss A das Bad sein. 2. Punkt B liegt rechts vom Haus und zugleich unterhalb von A. 3. Da A das Bad ist, erfüllt B beide Angaben für den Park.

A ist das Bad. B ist der Park.

- Vergleiche zuerst die unterste Planzeile mit der vorderen Gebäudereihe. - Betrachte die Positionen von \(a\) und \(b\) getrennt. - Prüfe jeweils, wie viele Würfel an derselben Stelle übereinander stehen.

1. An der Position von \(a\) steht im Gebäude ein Turm der Höhe \(2\). Also gilt \(a=2\). 2. An der Position von \(b\) steht ein Turm der Höhe \(3\). Also gilt \(b=3\).

\(a=2\) und \(b=3\)

- Zähle die Würfel in jedem Turm einzeln und addiere sie. - Achte darauf, ob Würfel hinter anderen versteckt sein könnten. Ein Bauplan könnte hier helfen. - Gehe Reihe für Reihe vor, um keinen Turm zu vergessen.

1. Gebäude A: Vordere Reihe \(1 + 0 + 1 = 2\), hintere Reihe \(2 + 1 + 2 = 5\). Insgesamt sind es \(2 + 5 = 7\) Würfel. 2. Gebäude B: Vordere Reihe \(1 + 1 + 0 = 2\), hintere Reihe \(3 + 1 + 1 = 5\). Insgesamt sind es \(2 + 5 = 7\) Würfel. 3. Beide Gebäude bestehen somit aus jeweils \(7\) Würfeln.

Ja, beide Gebäude haben die gleiche Anzahl an Würfeln. Beide bestehen aus jeweils \(7\) Würfeln.

- Führe zuerst nur die Bewegung nach rechts aus. - Gehe danach von dort zwei Kästchen nach oben. - Vergleiche die erreichte Stelle mit den markierten Punkten.

1. Drei Kästchen nach rechts führen von S in die Spalte von B. 2. Zwei Kästchen nach oben führen auf die Höhe von B. 3. Der Zielpunkt ist daher B.

Punkt B.

- Streiche gedanklich jeden Weg, bei dem du am Park vorbeikommen würdest. - Prüfe zuerst, welche erlaubte Möglichkeit du direkt vom Haus aus hast. - Folge anschließend nur den eingezeichneten Linien bis zum See.

1. Der direkte Weg nach rechts vom Haus führt zum Park und ist deshalb nicht erlaubt. 2. Vom Haus muss der Weg zuerst nach oben zur Schule führen. 3. Von der Schule geht es nach rechts zur Bücherei. 4. Von der Bücherei führt der Weg weiter nach rechts zum See.

Haus → Schule → Bücherei → See Richtungen: oben, rechts, rechts.

- Gehe Reihe für Reihe von vorne nach hinten vor. - Erfasse für jeden sichtbaren Turm seine vollständige Höhe. - Vergiss die Würfel nicht, die unter den oberen Würfeln eines Turms liegen.

1. In der vorderen Reihe stehen \(1 + 1 + 0 = 2\) Würfel. 2. In der mittleren Reihe stehen \(1 + 1 + 1 = 3\) Würfel. 3. In der hinteren Reihe stehen \(2 + 2 + 1 = 5\) Würfel. 4. Insgesamt sind es \(2 + 3 + 5 = 10\) Würfel.

Es wurden \(10\) Würfel verwendet.

- Zähle die Würfel Reihe für Reihe oder Stapel für Stapel. - Denke daran, dass unter den sichtbaren oberen Würfeln auch noch Würfel stehen müssen. - Vergleiche am Ende die beiden Gesamtzahlen.

1. Gebäude \(A\) enthält vorne \(1\) Würfel, in der mittleren Reihe \(2 + 2 = 4\) Würfel und hinten ebenfalls \(2 + 2 = 4\) Würfel. Insgesamt sind es \(1 + 4 + 4 = 9\) Würfel. 2. Gebäude \(B\) enthält in beiden Reihen jeweils \(3 + 1 + 1 = 5\) Würfel. Insgesamt sind es \(5 + 5 = 10\) Würfel. 3. Da \(10 > 9\), hat Gebäude \(B\) den größeren Rauminhalt.

Gebäude \(A\) besteht aus \(9\) Würfeln, Gebäude \(B\) aus \(10\) Würfeln. Gebäude \(B\) hat den größeren Rauminhalt.

- Zähle die Würfel in jedem Gebäude Reihe für Reihe oder Turm für Turm. - Achte bei höheren Türmen auch auf die Würfel unter den sichtbaren oberen Würfeln. - Vergleiche die beiden Gesamtzahlen und bestimme anschließend den Unterschied.

1. Gebäude A besteht aus \(1 + 1 = 2\) Würfeln in der vorderen Reihe und \(2 + 1 = 3\) Würfeln in der hinteren Reihe. Insgesamt sind es \(2 + 3 = 5\) Würfel. 2. Bei Gebäude B steht in der vorderen Reihe \(0 + 1 + 0 = 1\) Würfel; in der hinteren Reihe stehen \(2 + 2 + 1 = 5\) Würfel. Insgesamt sind es \(1 + 5 = 6\) Würfel. 3. Gebäude B besteht aus einem Würfel mehr als Gebäude A.

Gebäude B besteht aus mehr Würfeln. Der Unterschied beträgt \(1\) Würfel.

- Vergleiche zuerst die unterste Planzeile mit der vorderen Gebäudereihe. - Prüfe danach die hintere Reihe. - Der richtige Bau muss Höhen und leere Stellen an denselben Positionen haben.

1. Im Bauplan stehen vorne links \(2\) Würfel und vorne rechts \(1\) Würfel; das mittlere Feld ist leer. Hinten stehen links \(1\) und in der Mitte \(2\) Würfel; rechts ist das Feld leer. 2. Gebäude A hat vorne rechts einen Turm der Höhe \(2\) statt \(1\). 3. Gebäude B stimmt an allen Positionen mit dem Plan überein. Gebäude C hat die hinteren Türme an anderen Stellen. Daher ist B richtig.

Würfelgebäude B

- Zähle zuerst bei jedem Gebäude sorgfältig alle Würfel, auch die, die vielleicht teilweise verdeckt sind. - Ein Bauplan im Kopf zu erstellen kann helfen: Schreibe dir für jedes Gebäude auf, wie viele Würfel in jedem Stapel stecken. - Vergleiche dann die beiden Gesamtzahlen.

1. Gebäude A enthält vorne \(1 + 1 + 0 = 2\) und hinten \(2 + 1 + 1 = 4\) Würfel. Insgesamt sind es \(2 + 4 = 6\) Würfel. 2. Gebäude B enthält vorne \(1 + 1 + 1 = 3\) und hinten \(2 + 2 + 1 = 5\) Würfel. Insgesamt sind es \(3 + 5 = 8\) Würfel. 3. Maria muss \(8 - 6 = 2\) Würfel von Gebäude B wegnehmen.

Maria muss \(2\) Würfel von Gebäude B wegnehmen.

- Betrachte zuerst nur die beiden Positionen in der vorderen Reihe. - Schreibe für eine nicht belegte Position ausdrücklich „leer“. - Prüfe anschließend die beiden Positionen der hinteren Reihe.

1. In der vorderen Reihe steht links ein Turm der Höhe \(1\); die rechte Position ist leer. 2. In der hinteren Reihe stehen von links nach rechts Türme mit den Höhen \(2\) und \(1\). 3. Damit ist der Bauplan durch diese beiden Reihen vollständig beschrieben.

Vordere Reihe: \(1\), leer Hintere Reihe: \(2\), \(1\)

- Suche zuerst die waagerechte Höhe von Q. - Zähle die Kästchen von Q bis zu s. - Übertrage denselben Abstand auf die rechte Seite.

1. Der Spiegelpunkt von Q muss auf derselben Höhe wie Q liegen. 2. Q liegt zwei Kästchen links von s. Sein Spiegelpunkt muss daher zwei Kästchen rechts von s liegen. 3. Nur Punkt A liegt an dieser Stelle.

Punkt A.

- Lies zuerst am Gitter ab, wie viele Kästchenabstände zwischen H und P liegen. - Jeder dieser Abstände steht für \(50\,\text{m}\) in Wirklichkeit. - Verbinde die Anzahl der Kästchen mit der Entfernung pro Kästchen.

1. Zwischen H und P liegen \(4\) Kästchenabstände. 2. Jeder Kästchenabstand entspricht \(50\,\text{m}\). 3. Die wirkliche Entfernung beträgt \(4 \cdot 50\,\text{m} = 200\,\text{m}\).

Die wirkliche Entfernung beträgt \(200\,\text{m}\).

- Lies die drei Kantenlängen aus der Abbildung ab. - Eine Fläche ist nur dann ein Quadrat, wenn ihre beiden Seitenlängen gleich sind. - Gegenüberliegende Flächen haben jeweils dieselbe Form und Größe.

1. Aus der Abbildung liest man die Kantenlängen \(4\), \(2\) und \(2\) ab. 2. Die beiden Stirnflächen haben die Maße \(2\times2\) und sind Quadrate. 3. Die vier übrigen Flächen haben die Maße \(4\times2\). Sie sind Rechtecke, aber keine Quadrate. 4. Der Quader hat daher \(2\) quadratische und \(4\) nichtquadratische rechteckige Flächen.

\(2\) quadratische Flächen und \(4\) rechteckige Flächen, die keine Quadrate sind.

- Lies die Turmhöhen zuerst nur in der vorderen Reihe von links nach rechts ab. - Gehe danach in gleicher Weise durch die mittlere und die hintere Reihe. - Für die Gesamtzahl addierst du alle neun Turmhöhen.

1. Die vordere Reihe hat die Turmhöhen \((1, 2, 1)\). 2. Die mittlere Reihe hat die Turmhöhen \((2, 3, 2)\). 3. Die hintere Reihe hat die Turmhöhen \((3, 4, 3)\). 4. Insgesamt sind es \(1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4 + 3 = 21\) Würfel.

a) Vordere Reihe: \((1, 2, 1)\); mittlere Reihe: \((2, 3, 2)\); hintere Reihe: \((3, 4, 3)\) b) \(21\) Würfel

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der Würfel in Gebäude L. - Lies danach die vier Turmhöhen aus Bauplan S ab. - Vergleiche die beiden Gesamtzahlen.

1. Lukas’ Gebäude L enthält vorne \(1\) und hinten \(2+1=3\) Würfel. Insgesamt sind es \(4\) Würfel. 2. Sophies Bauplan S beschreibt Türme mit insgesamt \(2+1+3+2=8\) Würfeln. 3. Lukas müsste \(8-4=4\) Würfel hinzufügen.

Lukas müsste noch \(4\) Würfel hinzufügen.

- Beginne mit einer Kante einer bestimmten Länge und suche die gleich langen Kanten am Körper. - Wiederhole das für jede der drei eingezeichneten Kantenlängen. - Kontrolliere am Ende, ob du jede Kante genau einer der drei Längengruppen zugeordnet hast.

1. Aus der Abbildung liest man die Kantenlängen \(5\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) ab. 2. Bei einem Quader gibt es zu jeder der drei Kantenlängen vier gleich lange Kanten. 3. Deshalb gibt es \(4\) Kanten mit Länge \(5\,\text{cm}\), \(4\) mit Länge \(3\,\text{cm}\) und \(4\) mit Länge \(2\,\text{cm}\). 4. Zusammen sind das die \(12\) Kanten des Quaders.

Jeweils \(4\) Kanten: \(4\) mit \(5\,\text{cm}\), \(4\) mit \(3\,\text{cm}\) und \(4\) mit \(2\,\text{cm}\).

- Vergleiche die vier Turmpositionen von S und jedem grauen Gebäude einzeln. - Bei genau einem hinzugefügten Würfel darf sich nur eine Turmhöhe ändern. - Prüfe nicht nur die Gesamtzahl der Würfel, sondern auch ihre Positionen.

1. Vergleiche Gebäude S und A Position für Position. In A ist nur der hintere rechte Turm um einen Würfel höher; alle anderen Türme sind unverändert. A kann also durch genau einen zusätzlichen Würfel entstehen. 2. Gebäude B hat zwar ebenfalls insgesamt einen Würfel mehr als S, aber mehrere Turmhöhen haben sich verändert. Dazu müssten Würfel umgesetzt werden. 3. Dasselbe gilt für C: Auch dort stimmen mehrere Positionen nicht mehr mit S überein. 4. Daher ist Gebäude A das einzige mögliche neue Bauwerk.

Gebäude A

- Zähle zuerst alle Würfel, die Tim schon verbaut hat. Denke auch an Würfel, die hinter sichtbaren Würfeln liegen. - Bestimme anschließend die Zahl der Würfelplätze im vollständigen Ziel-Quader. - Vergleiche die Zahl der vorhandenen Würfel mit der Zahl der Würfelplätze.

1. In der vorderen Reihe stehen \(1 + 2 + 0 = 3\) Würfel, in der hinteren Reihe \(2 + 1 + 1 = 4\) Würfel. Insgesamt sind \(3 + 4 = 7\) Würfel vorhanden. 2. In den vollen Quader mit den Maßen \(3 \times 2 \times 2\) passen \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\) Würfel. 3. Daher fehlen noch \(12 - 7 = 5\) Würfel.

\(5\) Würfel.

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der Würfel im Gebäude G. - Zähle anschließend die Würfel des separat dargestellten Bausteins B. - Vergleiche beide Anzahlen, um die Größe des übrigen Bausteins zu bestimmen.

1. Das gesamte Gebäude G enthält \(2 + 2 + 3 + 2 = 9\) Würfel. 2. Baustein B enthält \(1 + 1 + 2 + 0 = 4\) Würfel. 3. Für den weiteren Baustein bleiben \(9 - 4 = 5\) Würfel.

Der weitere Baustein besteht aus \(5\) Würfeln.

- Schau dir die Höhen der einzelnen Stapel Reihe für Reihe an. - Beginne mit der hintersten Reihe und vergleiche die Höhen von links nach rechts mit den Zahlen in der ersten Zeile der Baupläne. - Achte darauf, wo leere Felder (Lücken) im Gebäude sind und wie diese im Plan dargestellt werden.

1. Wir analysieren das Würfelgebäude Reihe für Reihe von hinten nach vorne: - Hintere Reihe: Von links nach rechts sehen wir Türme mit den Höhen \(1\), \(2\) und \(3\). Im Bauplan steht dort also \((1, 2, 3)\). - Mittlere Reihe: Links ist das Feld leer, in der Mitte steht ein Turm der Höhe \(1\) und rechts ein Turm der Höhe \(2\). Im Bauplan steht dort also „leer, \(1\), \(2\)“. - Vordere Reihe: Links und in der Mitte sind die Felder leer; rechts steht ein Turm der Höhe \(1\). Im Bauplan steht dort also „leer, leer, \(1\)“. 2. Wir vergleichen dieses Ergebnis mit den angebotenen Plänen: - Plan A hat hinten die Höhen \((1, 2, 2)\) und in der Mitte „leer, \(1\), \(3\)“. Das passt nicht. - Plan B hat hinten die Höhen \((1, 3, 2)\). Das passt ebenfalls nicht. - Plan C zeigt genau die ermittelten Einträge. Somit gehört Plan C zum Gebäude.

Plan C

- Zähle zuerst nur die vier kleinsten Flächen. - Suche danach Rechtecke, die aus zwei benachbarten kleinen Quadraten bestehen. - Vergiss die gesamte äußere Figur nicht.

1. Zuerst gibt es die vier kleinen Quadrate. 2. Aus je zwei benachbarten kleinen Quadraten entstehen zwei waagerechte und zwei senkrechte größere Rechtecke. Damit sind es weitere \(4\) Rechtecke. 3. Die gesamte äußere Figur ist ebenfalls ein Rechteck. Insgesamt sind es \(4 + 4 + 1 = 9\) Rechtecke.

Insgesamt sind es \(9\) Rechtecke.

- Stell dir vor, der Streifen A–B–C–D wird zu einem geschlossenen Mantel gebogen. - Welche beiden Flächen liegen an den beiden Enden dieses Streifens? - Prüfe bei jedem Antwortpaar, ob die Flächen nach dem Falten nebeneinander oder gegenüber liegen.

1. Beim Falten werden A, B, C und D nacheinander zum Mantel des Quaders. 2. A und C liegen nach dem Schließen des Mantels einander gegenüber und teilen keine Kante. 3. E und F bilden die beiden gegenüberliegenden quadratischen Flächen. 4. Die beiden Endflächen des Mantelstreifens A und D treffen beim Schließen aufeinander. Daher ist B richtig.

B) A und D

- Suche zuerst zwei Ecken, die auf der möglichen Symmetrieachse liegen könnten. - Vergleiche die beiden übrigen Ecken auf beiden Seiten dieser gedachten Linie. - Prüfe auch, ob eine waagerechte oder senkrechte Achse die ganze Figur auf sich selbst abbildet.

1. Die linke untere und die rechte obere Spitze liegen auf einer gedachten schrägen Linie von links unten nach rechts oben. 2. Die beiden übrigen Ecken liegen auf entgegengesetzten Seiten dieser Linie und sind zueinander spiegelbildlich. 3. Eine waagerechte oder senkrechte Spiegelung passt nicht. Daher ist C richtig.

C)

- Prüfe bei einer Spiegelung nicht nur die Außenform, sondern auch die Zeichen in den Feldern. - Vergleiche zuerst die linke und die rechte Hälfte. - Vergleiche danach die obere und die untere Hälfte.

1. An der senkrechten Geraden g werden die beiden Kreise aufeinander und die beiden Striche aufeinander gespiegelt. Die Zeichen passen. 2. An der waagerechten Geraden h würden Kreise und Striche vertauscht. Das Muster deckt sich dann nicht mit sich selbst. 3. Daher ist nur g eine Symmetrieachse.

g

- Vergleiche in jeder Reihe die Felder links und rechts von der Mitte. - Achte dabei sowohl auf Zahlen als auch auf leere Felder. - Prüfe anschließend, ob auch eine waagerechte oder schräge Spiegelung das ganze Muster unverändert lässt.

1. In jeder Reihe stimmen die Einträge links und rechts von der mittleren Spalte überein; auch die beiden leeren Felder werden aufeinander gespiegelt. 2. Eine senkrechte Spiegelung durch die Mitte lässt den gesamten Bauplan unverändert. 3. Obere und untere Reihe sind verschieden; deshalb gibt es keine waagerechte Symmetrieachse. Auch eine schräge Achse passt nicht. Es gibt genau eine senkrechte Achse.

Ja. Der Bauplan besitzt genau eine senkrechte Symmetrieachse durch die mittlere Spalte.

- Die unterste Schicht entspricht der Anzahl der „besetzten“ Bodenfelder. - Addiere für die Gesamtzahl einfach die Höhen aller Stapel. - Schau genau hin, ob in der hinteren Reihe ganz rechts ein Würfel steht oder nicht.

1. In der untersten Schicht zählt jeder besetzte Platz einmal. Vorne sind \(2\) Plätze besetzt, hinten \(3\). Daher enthält die unterste Schicht \(2 + 3 = 5\) Würfel. 2. Insgesamt stehen vorne \(2 + 1 + 0 = 3\) und hinten \(2 + 2 + 1 = 5\) Würfel. Das Gebäude besteht aus \(3 + 5 = 8\) Würfeln.

In der untersten Schicht sind \(5\) Würfel. Insgesamt besteht das Gebäude aus \(8\) Würfeln.

- Zähle die Würfel am besten Reihe für Reihe von vorne nach hinten oder von links nach rechts. - Überlege dir, wie viele Würfel in jeder Spalte übereinander stehen. - Nutze Länge, Breite und Höhe der Schachtel, um die Gesamtzahl ihrer Würfelplätze zu bestimmen.

1. Das Gebäude enthält in der vorderen Reihe \(1 + 1 + 1 = 3\), in der mittleren Reihe \(2 + 2 + 2 = 6\) und in der hinteren Reihe \(3 + 3 + 3 = 9\) Würfel. Insgesamt sind \(3 + 6 + 9 = 18\) Würfel vorhanden. 2. Die Schachtel fasst \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Würfel. Daher fehlen \(27 - 18 = 9\) Würfel. 3. In die leere Schachtel passen insgesamt \(27\) Würfel.

1. Es wurden \(18\) Würfel verwendet. 2. Es fehlen noch \(9\) Würfel. 3. Insgesamt passen \(27\) Würfel in die Schachtel.

- Nutze die Angabe, dass nur der mittlere Platz der Grundfläche vollständig leer bleibt. - Bestimme für die vollständige Schachtel Breite, Tiefe und Höhe. - Vergleiche anschließend die vorhandenen Würfel mit allen Würfelplätzen der Schachtel.

1. Die acht äußeren Plätze tragen jeweils einen Turm aus \(2\) Würfeln. Daher wurden \(8 \cdot 2 = 16\) Würfel verbaut. 2. Die Schachtel ist \(3\) Würfel breit, \(3\) Würfel tief und \(2\) Würfel hoch. Insgesamt fasst sie \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\) Würfel. Es fehlen also \(18 - 16 = 2\) Würfel. 3. Insgesamt passen \(18\) Würfel in die Schachtel.

1. Es wurden \(16\) Würfel verbaut. 2. Es fehlen \(2\) Würfel. 3. Insgesamt passen \(18\) Würfel hinein.

- Schaue dir jeden Turm einzeln an und notiere die Anzahl der Würfel. - Addiere die Turmhöhen, um die vorhandene Gesamtanzahl zu finden. - Bestimme danach, wie viele Würfelplätze eine vollständig gefüllte Schachtel dieser Größe hat.

1. Die drei Reihen enthalten \(1 + 1 + 2 = 4\), \(1 + 2 + 2 = 5\) und \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel. Insgesamt sind es \(4 + 5 + 6 = 15\) Würfel. 2. In die \(3 \times 3 \times 2\)-Schachtel passen insgesamt \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\) Würfel. Daher fehlen \(18 - 15 = 3\) Würfel. 3. In die Schachtel passen insgesamt \(18\) Würfel.

1. Es sind insgesamt \(15\) Würfel. 2. Es fehlen \(3\) Würfel. 3. In die Schachtel passen insgesamt \(18\) Würfel.

- Notiere zuerst die drei Spalten des ursprünglichen Gebäudes. - Überlege, welche Seite nach einer Vierteldrehung im Uhrzeigersinn vorne liegt. - Alle Antwortpläne enthalten gleich viele Würfel; entscheide daher über die Positionen, nicht über die Summe.

1. Vor der Drehung hat das Gebäude von vorne nach hinten die Reihen \(1,\text{ leer},2\), \(2,1,\text{ leer}\) und \(\text{ leer},3,1\). 2. Bei einer Vierteldrehung im Uhrzeigersinn wird die bisherige rechte Spalte zur vorderen Reihe, die mittlere Spalte zur mittleren Reihe und die linke Spalte zur hinteren Reihe. Die Einträge werden dabei jeweils von vorne nach hinten gelesen. 3. Das gedrehte Gebäude hat vorne \(2,\text{ leer},1\), in der Mitte \(\text{ leer},1,3\) und hinten \(1,2,\text{ leer}\). 4. Genau diese Anordnung zeigt Bauplan C.

Bauplan C.